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Simulacion Del Modelo de Ising
Ejercicios de Temperatura
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Simulación de Monte Carlo del Modelo de Ising Trabajo en grupo de Física computacional Puyuelo Valdés, Pilar Salillas Martínez, Ricardo [Seleccione la fecha] Simón Colomar, Daniel Vázquez Martín, Irene Yus Díez, Jesús 05/05/2014
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Ejercicios de Temperatura
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Índice
Introducción .......................................................................................................................................
Explicación del código. ........................................................................................................................ ........................................................................................................................
Determinación de parámetros de entrada: .........................................................................................
Beta inicial y beta final .................................................................................................................. .........
Delta de beta .............................................................. ................................................................................................................................. ............................................................................ .........
Pasos de termalización .......................................................... ........................................................................................................................... .................................................................
Número de medidas ......................................................................... ...................................................... Pasos de Monte Carlo ............................................................................................................................
Resumen de parámetros .................................................................. ......................................................
Configuraciones típicas a distintos valores de beta: ............................................................................ Temperaturas altas (fase desordenada) ................................................................................................
Temperaturas intermedias (transici ón de fase) ........................................................................... .......... Temperaturas bajas (fase ordenada) .....................................................................................................
Resultados de la simulación ................................................................................................................
Energía ............................................................................................. ......................................................
Error de l a energía ................................................................. .................................................................................................................................. ................................................................. Magnetización .......................................................................................................................................
Error de la magnetización ................................................................................................. ..................... Calor específico ...................................................................................................................................... Susceptibilidad magnética .....................................................................................................................
Conclusión ..........................................................................................................................................
Sign up to vote on this title ANEXO I: Código utilizado para la simulación de Monte Carlo del modelo de Ising .............................. Useful Not useful
ANEXO II: Código utilizado para la simulación con un valor fijo de beta...............................................
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Índice
Introducción .......................................................................................................................................
Explicación del código. ........................................................................................................................ ........................................................................................................................
Determinación de parámetros de entrada: .........................................................................................
Beta inicial y beta final .................................................................................................................. .........
Delta de beta .............................................................. ................................................................................................................................. ............................................................................ .........
Pasos de termalización .......................................................... ........................................................................................................................... .................................................................
Número de medidas ......................................................................... ...................................................... Pasos de Monte Carlo ............................................................................................................................
Resumen de parámetros .................................................................. ......................................................
Configuraciones típicas a distintos valores de beta: ............................................................................ Temperaturas altas (fase desordenada) ................................................................................................
Temperaturas intermedias (transici ón de fase) ........................................................................... .......... Temperaturas bajas (fase ordenada) .....................................................................................................
Resultados de la simulación ................................................................................................................
Energía ............................................................................................. ......................................................
Error de l a energía ................................................................. .................................................................................................................................. ................................................................. Magnetización .......................................................................................................................................
Error de la magnetización ................................................................................................. ..................... Calor específico ...................................................................................................................................... Susceptibilidad magnética .....................................................................................................................
Conclusión ..........................................................................................................................................
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ANEXO II: Código utilizado para la simulación con un valor fijo de beta...............................................
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Simulacion Del Modelo de Ising
Ejercicios de Temperatura
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Introducción
El objetivo de este trabajo es dual: en primer lugar el desarrollo de un programa qu
reproduzca el modelo de Ising a través de la simulación de Monte Carlo y más tarde el anális de los datos obtenidos con dicho programa.
El modelo de Ising es un modelo físico que nos permite estudiar el comportamiento de lo
materiales ferromagnéticos. En esta simulación consideramos una red bidimension
constituida por un retículo cuadrado con geometría toroidal en cuanto a las condiciones d
contorno se refiere. El retículo está discretizado, a cada punto de la malla se le denomina nod y posee un valor de spin (1 o -1). Este modelo nos posibilita estudiar el cambio de algu
magnitudes básicas de los ferromagnéticos como son la energía (E o e), la magnetización (m
la susceptibilidad (χ) y el calor específico (C v) conforme varía la temperatura (T) o en su defec β (se corresponden según
= 1 siendo la constante de Boltzman).
Con la energía asociamos la agitación térmica entre los espines, los que interaccionan entre
tendiendo a alinearse. Dada una malla de átomos de dimensión V, distinguiremos entr
= ∑ ∑−1 =0 ∑� =0,1 +� (siendo n el entero que recorre el volumen de 1 malla y μ las dos dimensiones (x e y) existentes); y energía intensiva: = ∑, �
energía extensiva:
siendo esta última independiente del tamaño del sistema. Es decir, a un nivel más intuitivo,
energía se obtiene sumando todos los links existentes entre los átomos del sistema; y esto
links toman valor -1 si los spines de los átomos que une son iguales, y +1 si son distintos. Po
tanto, configuraciones aleatorias tendrán una energía mayor que aquellas en las que exista grandes regiones con un mismo spin.
Dado un beta, el valor medio teórico de las energías intensivas viene dado po
> = 1 ∑ 21 ∑,� +� ∑ � � .
<
,
La Z a la que nos referimos en la anterior definición es la función de partición. Según la ley d Boltzman, la definimos como
= ∫
( ) − siendo dμ la medida sobre el espacio d
configuraciones Cα. En el caso de un espacio de configuración discreto la definimos com ∑ Sign up donde to vote on k this es title la constante d = ,� � . Posteriormente definiremos =1/kT, useful Boltzmann y T la temperatura. La solución de esta función de partición nos es desconocida, Useful Not
∑
β
no resulta nada trivial. Por tanto, para estimar los valores medios se realizará mediante repetición de medidas y estimadores estadísticos.
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El valor
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Simulacion Del Modelo de Ising
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teórico medio de la magnetización magnetización dado dado
1 1 < > = ∑ ∑, ∑,� � ,
Ejercicios de Temperatura
un valor de de beta beta viene dado
pero de nuevo recordemos que desconocemos
valor de Z, y por tanto se estimará
por la realización de múltiples medidas. En concret
nosotros tomaremos <|m|> en las medidas que realicemos, por razones que posteriormen veremos.
Definiremos también la derivada de la energía intensiva con respecto a beta como el calo específico (excluyendo constantes) obteniendo que
= 2 (< 2 > < >2) manteniend
la variable como una cantidad intensiva al igual que su primitiva. Derivando la magnetización de una manera análoga al calor específico obtenemos susceptibilidad magnética del sistema, que la estimaremos de la siguiente manera:
2 > < >2).
χ =
Las magnitudes antes señaladas tal y como hemos visto se derivan en última instancia de lo
valores del conjunto de spines del retículo, y para calcularlas llevaremos a cabo una extens
estadística de las distintas configuraciones de spines spines en la malla a distintas betas, dich
configuraciones serán obtenidas mediante la simulación de Monte Carlo con nuest programa. Si el programa es correcto, la evolución de las configuraciones de spines, y por
tanto de las magnitudes derivadas de ellas, debería actuar conforme al modelo teóric
conocido que explica el comportamiento de los ferromagnéticos, el cual se caracteriza por, qu
al bajar la temperatura por debajo de una dada, adquieren magnetización espontáne sufriendo una transición de fase.
En resumen: partiendo de una determinada configuración de spines spines simularemos su evolució
con la temperatura; de las distintas configuraciones obtendremos las magnitudes que la
caracterizan (energía, magnetización…) y finalmente analizaremos el valor de dicha
magnitudes (explicación de su comportamiento así como del análisis estadístico llevado acab
y verificación con los valores que predice el modelo teórico). Este análisis constituirá el e central del trabajo.
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Simulacion Del Modelo de Ising
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Explicación del código.
El programa desarrollado sobre el cual gira nuestro trabajo se basa en el modelo de Ising
través de la simulación de Monte Carlo. Resumiendo su funcionamiento, en este programa s
genera una malla, y se realizan varias iteraciones en las que se la malla varía según la ley d
Boltzmann, y se realizan medidas de las energía y magnetización para cada valor de bet
recorriendo todo beta desde un beta inicial hasta un beta final leidos por archivo. A partir d esas medidas se realiza estadística para hallar medias, errores, y magnitudes derivadas, finalmente sacar por archivo los valores de todos esos parámetros junto a su beta.
Para realizar todo este procedimiento se han desarrollado numerosos subalgoritmos qu
faciliten la implementación del código y el desarrollo a posteriori de la parte principal d
mismo (int main()). Se trata del programa incluido en el Anexo I. A continuación procederemo a explicar su funcionamiento en detalle. Subalgoritmos empleados: - Para generar números aleatorios hemos hecho uso del generador de Parisi-Rapuano, el
inicializábamos en void ini_ran(int SEMILLA), y se generaban los números aleatorios, ent
cero y uno, en la función float Random(). Matizar que para la generación de número aleatorios no siga una misma secuencia la semilla ( int SEMILLA) irá cambiando con
función time(NULL), (hora del ordenador en el momento en que se compila el program siempre diferente).
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- Se ha desarrollado un subalgoritmo que lee de un fichero de texto los valores de lo
parámetros que usaremos en el programa, void LeeInput Download With Free Trial (), cómo: beta inicial, beta fina delta de beta, el número de pasos de termalización, el número de medidas, y el número d pasos de Monte Carlo adecuado entre medidas.
- Con el procedimiento void GeneraConfiguracion () se genera una primera configuració
inicial aleatoria, en el que cada spin se elige al azar, y tiene la misma probabilidad d aparecer 1 o -1. Se hace uso de float Random(). Sign up to vote on this title Además en este subalgoritmo se pedirá al usuario que indique la dimensión del lado de Useful Not useful malla.
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Simulacion Del Modelo de Ising
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Dado que la probabilidad de que aparezca una configuración es proporcional al exponen
de (-Beta) por la energía E(C α), para aligerar cálculos realizaremos el cociente d probabilidades restando los exponentes.
Así mismo realizaremos un subalgoritmo void CalculaProb() que calcula las probabilidad
en un subalgoritmo aparte según la beta que nos encontremos, puesto que la resta de lo exponentes va a tener unos valores en concreto según el spin sea positivo o negativo.
- La función void CalculaEM () se encarga de calcular la energía y magnetización, intensiva para una configuración dada para una malla con una dimensión L determinada.
ConstruirVectorMedidas() guarda dicha energía y magnetización en un array para su futu
manejo. - El subalgoritmo void CalculaValoresMedios() calcula todos los valores relacionados con
energía y la magnetización (media de la energía y de la magnetización, errores de l
mismas, y media de la energía al cuadrado y de la magnetización al cuadrado) que van a s
necesarios para el posterior análisis del modelo de Ising. Dichos valores los guarda en u
vector results[dimensión]. La dimensión de este vector es 7 veces el número máximo d
pasos de beta posibles, hemos creído conveniente guardar los datos en un vector y no e una matriz por ser más eficiente y consumir menos tiempo de CPU.
- Para guardar los datos que tenemos almacenados en el vector results[] en un fichero d
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texto hemos creado la función void EscribeValoresMedios(), además los sacará por pantall Unlock full access with a free trial.
main(), en Algoritmo principal del código o Int el que va a realizar la simulación de Mon Download With FreeseTrial
Carlo.
Primero se lee de un archivo entrantes los parámetros con LeeInput (), se inicializa la prime
configuración random con GeneraConfiguracion (), e inicializamos los direccionamientos co
InicializaOffset (). Con los datos leídos del input calcularemos el número de pasos que vamos
realizar para cada beta.
A continuación entramos en un bucle que va a realizar el ciclo devote Histéresis, que consiste e Sign up to on this title realizar la simulación de Monte Carlo en las dos direcciones, de beta inicial a beta final, y d useful Useful Not
beta final a inicial, una vez comprobado que nuestro programa se aproxima bien al modelo d Ising, y los valores obtenidos son coherentes, eliminaremos el proceso de vuelta.
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Simulacion Del Modelo de Ising
Ejercicios de Temperatura
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trayectoria no es ergódica, como solución, en este caso se generará una configuració aleatoria.
Una vez obtenidos todos los datos para una beta se procede a calcular los valores medio
guardarlos en modo append en un fichero de texto, y se avanza en beta con delta de be hasta llegar a beta final.
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Simulacion Del Modelo de Ising
Ejercicios de Temperatura
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Determinación de parámetros de entrada:
Como se ha comentado anteriormente, nuestro programa de simulación del modelo de Isin
requiere una serie de parámetros de entrada leídos de un archivo externo que regirán s
funcionamiento. Estos datos son beta inicial , beta final , delta de beta, pasos de termalizació número de medidas y pasos de Monte Carlo.
A continuación trataremos con profundidad la determinación del valor de cada uno de ello para que el programa se ajuste a lo que convenga y así realice las medidas correctas adecuadas. Beta inicial y beta final Estos dos parámetros han sido los más sencillos de determinar al verse de manera explícita a
hora de realizar las gráficas. Son precisamente tanto el valor de beta con el que empezamo (beta inicial) y el valor máximo (beta final) para el que tomaremos las medidas.
Se ha tomado una beta inicial de 0.0 y una final de 1.5 para realizar una observación inicial d
cómo se comporta el sistema, y posteriormente se han acotado los intervalos en el entorno d beta crítica.
Se ha decidido tomar esos valores ya que es interesante apreciar la gráfica desde temperatur
muy altas (beta inicial 0.0, equivalente a temperatura infinita) hasta un valor de be
suficientemente alto para que encima mismoa Preview no existan prácticamente cambios en You'redel Reading comportamiento de las gráficas, por lo que no resultaba interesante tomar más valore Unlock full access with a free trial.
Además tomar un beta final mayor implica más operaciones realizadas por el ordenador,
que se traduce en mayor tiempo de ejecución. De forma que finalmente el valor de beta fin elegido ha sido de 1.5.
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Por otro lado, se han tomado intervalos menores en el entorno de beta crítica para pode
obtener una mayor resolución en un tiempo de ejecución similar porque es en esta zon
donde las gráficas presentan un comportamiento más brusco, existiendo diversos análisis
realizar en este entorno. Entre ellos, el de beta crítica, que requiere de una gran resolució para poder diferenciar los valores que adquiere en mallas grandes. Delta de beta
Sign up to vote on this title
Useful Not useful Este parámetro es la resolución a la que nos referíamos en el párrafo anterior. Es el interva
con el que vamos recorriendo beta y cada el cual tomamos los valores de energí
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Simulacion Del Modelo de Ising
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Hemos otorgado un valor de delta de beta de 0.01 para las simulaciones de intervalo de 0.0
1.5, ya que nos otorga 150 puntos para ver las gráficas con resolución suficiente para aprecia
el comportamiento general; y un valor de 0.002 para las simulaciones en el entorno de be
crítica, que nos da una resolución 5 veces mayor para apreciar el comportamiento de la gráficas en torno a la beta crítica.
En caso de necesitar una resolución aún mayor para determinar la beta crítica se acotaría aú más el intervalo para también utilizar un delta de beta menor (y también se aumentaría número de medidas). Pasos de termalización
Este es el número de sweeps que se realizan antes de tomar medidas tras variar el valor d
beta, porque existen un cierto número de iteraciones necesario para que tanto la energ
como la magnetización alcancen valores estables (la malla se termalice), y no se debe considerar los valores previos a esta termalización.
Debido a la ausencia de una referencia de cuántos deberían ser los pasos de termalización, y
la dificultad que supone apreciar la influencia de la termalización observando las gráficas
simple vista ya que este efecto se ve en parte camuflado mientras se realiza la estadística, s
ha utilizado un programa a parte del que realiza la simulación del modelo de Ising. (El códig del programa se encuentra recogido en el anexo II)
You're Reading a Preview El funcionamiento de este programa es sencillo; a partir de una co nfiguración inicial tomada d
un archivo, o bien aleatoria, realiza tantos como deseen con una beta fijada, y tom Unlock full sweeps access with a freese trial.
los datos de energía y magnetización para cada sweep realizado. Guarda en un archivo esto datos indexados con el número de iteraciones realizado para poder graficarlos, y también Download With Free Trial configuración final en otro archivo diferente para poder ser leída por el m ismo programa. El procedimiento para determinar los pasos de termalización ha sido pues el siguiente: A partir de una configuración aleatoria generamos una configuración fijando un beta dado. Esta configuración (termalizada a dicho valor de beta, ya que sus valores de energía
magnetización son estables) se guarda en un archivo y se lee en una posterior ejecución a u beta superior. Sign up to vote on this title Posteriormente, en una gráfica se representa la magnetización Useful con respecto Not useful al número d
sweeps realizado para ver el tiempo que tarda en estabilizarse en un nuevo valor d magnetización. Es decir, estaríamos simulando el paso del primer beta al segundo
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Simulacion Del Modelo de Ising
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Se analiza el valor de magnetización ya que termaliza más lentamente que la energía,
interesa que se hayan termalizado todos los parámetros. Por último, se repite este proceso 1 veces ya que el número de pasos requerido para termalizar no es fijo.
Posteriormente vemos la gráfica comentada anteriormente para la configuración de L=128. S
ha tomado un valor de beta inicial de 0.42 y uno final de 0.47, que como he indicad
anteriormente, contiene a la beta de corte y a la región de mayor variación tanto d magnetización como de energía.
You're Reading a Preview Unlock full access with a free trial.
Download With Free Trial
Cada una de las líneas de diferente color (que en realidad son un cúmulo de puntos, cada un
de los cuales es el valor de la magnetización tras cierto número de iteraciones) corresponden una simulación.
Se observa que para la beta inicial los valores de magnetización son cercanos a 0, mientras qu tras la simulación se estabilizan entre 0.8 y 1.0 (o bien entre -0.8 y -1.0). Sign up to vote on this title
Useful laNot La simulación que más iteraciones ha tardado en termalizarse ha sido deuseful color verde, con u
número comprendido entre 3000 y 3500. Por ello, y para asegurar que la malla ha termalizad
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energía y la magnetización, como posteriormente analizaremos en otras secciones; y por el
tomamos un intervalo mayor al anterior para que englobe una variación similar a la anterior).
En este caso, tras 10 simulaciones, el mayor número de sweeps necesario para termalizar You're Reading a Preview
malla ha sido cercano a 800. Tomaremos pues 1000 pasos de termalización para la malla d
full access with a free trial. L=64, recordando que el intervaloUnlock analizado (0.07) es 7 veces mayor al máximo delta de be
que utilizamos (0.01).
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Repitamos una vez más el proceso para L=32, con un intervalo de 0.35 a 0.55:
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En este caso el mayor número necesario de pasos ha sido cercano a 130. Tomaremos pues 20
pasos de termalización. Utilizaremos estos mismos pasos de termalización para las mallas d
menor tamaño a esta, ya que como hemos visto, el número de pasos necesario para termaliz
disminuye cuanto menor es la malla, y 200 pasos no suponen una cantidad de tiempo d ejecución importante, y menos aún para estos tamaños de malla.
Otro aspecto a comentar es que los pasos de termalización considerados son más qu
suficientes para termalizar directamente desde beta=0 (temperatura infinita) hasta cualquie
beta menor a la beta inferior del intervalo que hemos analizado en cada caso para determina
el número de pasos de termalización. Es decir, en nuestro programa principal podremo
realizar simulaciones tomando una beta inicial menor o igual a 0.35 en el caso de mallas d L
≤ 32,
0.41 en L=64 y 0.42 en L=128 sin necesidad de realizar una termalización inici
adicional.
Un buen método para reconocer si los pasos de termalización son suficientes es observar si s
produce un falso proceso de histéresis al recorrer beta en ambos sentidos, es decir, observar
se recogen datos superiores a otros dependiendo del sentido de recorrido. Que ocurriera es
fenómeno precisamente querría decir que las configuraciones utilizadas "recuerdan" la
anteriores en la cadena de Markov, y tienen un valor más similar a ellas; fenómeno el cu
pretendemos evitar utilizando el proceso de termalización, por el que las medidas realizada
You're Reading a Preview
para una temperatura dada son independientes de la temperatura anterior. Decimos fals
with a free proceso de histéresis porque no Unlock sería full el access producido portrial. una transición de primer orden (
transición que analizamos es de segundo orden), sino por la falta de termalización.
Download With Free Trial
Realizamos una gráfica con L=128 (la malla que más tiempo tarda en termalizar) para observ
el fenómeno más claramente, en la que representamos la magnetización según beta. No se h
realizado demasiada estadística ya que la malla termaliza también en el mismo proceso d
medida, lo que suavizaría este efecto, y pretendemos que aquí se vea claramente. Se h
realizado la gráfica con líneas y no con puntos ya que de esta manera es más fácil de visualiza
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Se observa en efecto que al provenir de valores de magnetización más altos las medidas e
sentido negativo son superiores en el entorno de la beta crítica (cercano a 0.44 para est
tamaño de malla). Para valores más alejados de la beta crítica la diferencia no se aprecia salv
You're Reading a Preview por pequeñas divergencias de carácter estadístico.
Unlock full access with a free trial. Realicemos una gráfica ahora en la que se realizan los 4000 pasos de termalización estimado
para esta dimensión de malla:
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reducidas, ya que como se había indicado, aquí se ha realizado una estadística más reducid para apreciar mejor el efecto de la termalización. Número de medidas
Este es el número de valores de energía y de magnetización que se toman para un valor d beta dado, sobre el cual posteriormente se hallará la media.
Esto no tiene gran influencia ni en las gráficas de energía ni las de magnetización, pero sí en l
del calor específico y susceptibilidad, ya que para un bajo número de medidas existen zonas e
las que aparecen datos más dispersos y menos definidos que para un alto número de medida El tener datos poco definidos puede ser crucial a la hora de determinar la beta de corte, ya va a ser a partir de estas gráficas de donde la determinemos. Por otro lado, recordemos que la definición de calor específico y susceptibilidad es análoga a
de varianza, y el error de la media de la energía es precisamente la raíz de esa varianza dividid
entre el número de medidas. Es decir, a parte de las zonas donde aparecen datos má
dispersos, el error va dividido entre la raíz del número de medidas, lo que hace que tenga un fuerte dependencia del número de medidas realizado.
Observemos la siguiente gráfica, que compara el calor específico entre una malla de L=
habiendo tomado 1000 medidas (rojo) y habiendo tomado 10000 medidas (verde). Se h realizado la simulación en ambos sentidos, no porque vaya a haber una diferencia entre
Reading(que a Preview camino de ida y de vuelta debido aYou're la "histéresis" ha sido controlada en la determinació
de los pasos de termalización, y se ha comprobado efecto no hay) sino para tener do Unlock full access withque a freeen trial.
datos para cada valor de beta con lo que poder apreciar mejor si se dispersan o son similares.
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Otro aspecto en el que se puede observar la mejoría de la gráfica es la diferencia entre medida realizada en un sentido y en otro para el mismo valor de beta, siendo que para gráfica con mayor número de medidas es bastante menor.
Tras realizar este análisis, observamos que realmente cuanto mayor número de medida
vayamos a tomar, mejor será la simulación, con errores más bajos y gráficas mejor definida
Lo ideal entonces sería tomar un número que tienda a infinito de medidas. Pero esto no va
ser posible, ya que el número de medidas que tomemos va a estar limitado por el tiempo d ejecución del programa. Por tanto, seleccionaremos aquél número que proporcionará
suficiente claridad en las gráficas para que se vean correctamente, y así podamos determin
correctamente la beta de corte; pero que no sea un número excesivamente alto que hag nuestro programa inviable a nivel computacional.
Finalmente, el número de pasos para medir va a ser 10000, que mantendremos para todas la
simulaciones que realicemos, ya que tomar valores superiores comienza a suponer tiempos d
ejecución excesivamente largos, y este valor ya nos otorga gráficas suficientemente buena para nuestros objetivos. Pasos de Monte Carlo
Se trata del número de sweeps que se realiza entre cada medida, de forma que la
configuraciones de las cuales tomemos medidas sean independientes y entonces la fórmu mediante la cual se halla el error sea correcta.
You're Reading a Preview
Existen diversos métodos destinados a hallar este número de pasos, pero son de un nivel má Unlock full access with a free trial.
avanzado, por lo cual no los utilizaremos. En su lugar, lo determinaremos de una maner
empírica, con la que nos podremos hacer a laWith idea Free de laTrial cantidad que necesitaremos, pero e Download ningún caso supondrá un dato correcto, sino un dato que hemos considerado adecuado.
El proceso seguido consiste en la realización de diversas simulaciones con distintos pasos d
Monte Carlo entre las medidas. Reproducimos una primera simulación con sólo 1 paso d
Montecarlo, una segunda con un número de pasos de Monte Carlo tentativo, y una última co
ese valor multiplicado por 4 ó 5. Nos hemos percatado realizando las gráficas de los errores d
energía y magnetización que sí existían diferencias entre la simulación con el número tentativ Sign up to vote on this title de pasos de Monte Carlo entre medidas y la de un sólo paso, pero hemos visto como la de es
Useful por Not 5. useful valor tentativo se ajustaba bastante bien a la del valor multiplicado Con lo cual se h
dado ese valor como el correcto; al observar que no había cambios relevantes en la gráfica d
error se ha considerado que el valor tentativo ya conseguía el objetivo de la independenc
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gráficas es algo con cierto grado de subjetividad, además de que su forma puede varia ligeramente en la realización de diferentes simulaciones por mera estadística. Se espera que
realizar una gran cantidad de medidas como las 10000 que se han elegido anteriormen
ayude a compensar el error generado en caso de haber utilizado un número de pasos d Monte Carlo menor al necesario. Resumen de parámetros
A continuación quedan resumidos los parámetros utilizados para las diferentes simulacione
realizando algunas simulaciones adicionales con distintos valores para obtener may resolución en un intervalo menor al hallar la beta crítica.
L Pasos de termalización Número de medidas Pasos de Monte Carlo
8
12
16 200
32
64 1000
128 4000
15
40
10000 5
beta inicial beta final delta beta beta inicial beta final delta beta
24
0.0 1.5 0.01
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0.35 0.5
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Configuraciones típicas a distintos valores de beta: Antes de entrar en el análisis de la evolución de los observables como la energía o
magnetización con beta, es interesante ver cómo se comportan los sistemas a diferente
valores fijos de beta (diferentes temperaturas) para luego comprender mejor cierto resultados que obtengamos. Temperaturas altas (fase desordenada) En estas temperaturas la probabilidad de encontrar cualquier configuración es similar, con
cual las energías con entropía alta (energías cercanas a 0) son mucho más probables en es
rango. Es decir, las configuraciones que obtengamos serán configuraciones desordenada
generándose spines prácticamente aleatorios independientemente de los que tenga
alrededor (conforme vayan subiendo las temperaturas esta dependencia aumentar
comenzándose a generar zonas en las cuales los spines sean iguales). Que estos spines sea
aleatorios o prácticamente aleatorios hará que la energía obtenida para temperaturas mu
altas tenga un valor central de cero, como posteriormente podremos ver en las gráficas. L magnetización también tendrá un valor central de 0, pero nosotros estaremos midiendo
observable del valor absoluto de la magnetización, con lo cual no se obtendrá ese valor en la gráficas, como también se verá en la sección correspondiente. Vamos a observar
cómo es una configuración termalizada a un beta de 0.1. A es
temperatura ya se comienzan a formar regiones donde dominan spines de un tipo u otro, per
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son de pequeño tamaño, con lo que igualmente se considera una config uración desordenada Unlock full access with a free trial.
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Para ello utilizaremos el mismo programa que ya hemos utilizado anteriormente en
determinación de los pasos de termalización. Es el incluido en el Anexo II. Recordemo
igualmente su sencillo funcionamiento. El programa genera una configuración random o bie
leer una de archivo, sobre la cual realiza tantos sweeps como queramos a un beta fijado. Par
cada iteración (o cada un cierto número de ellas añadiendo un if) realiza medidas de la energ y de la magnetización de la configuración y las guarda en un archivo junto al índice de
iteración para luego poder ver la evolución en una gráfica. Al finalizar el programa tambié
genera otro archivo con la malla final tras el número de iteraciones elegido, de forma que s
podrá utilizar para una simulación posterior (la malla de la figura anterior ha sido generad mediante este programa).
Realicemos una simulación con 100000 iteraciones, que toma la energía y la magnetizació
cada 100 simulaciones para con un beta fijado como anteriormente a 0.1 para ver cóm evoluciona el sistema (se elige también L=20) .
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Sign up to vote on this title Al haber realizado la simulación para un beta de 0.1 el valor central de energía no resulta ser Useful Not useful sino ligeramente inferior. Esto nos indica que en efecto se han generado pequeñas regione
donde domina un spin u otro, tal y como hemos podido ver anteriormente.
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En cambio, la magnetización sí sigue estando centrada en 0, lo que nos indica que a pesar d
que se hayan generado pequeñas zonas donde dominan unos u o tros spines, se sigue teniend
una configuración desordenada ya que la cantidad de spines de cada tipo sigue siendo igua
Conviene también observar la diferencia entre la dispersión You're Reading a Preview de valores para esta dimensión una mayor, ya que en una suma de V variables aleatorias, la dispersión se reduce con raíz de full access with a free trial. (por teorema del límite central); yUnlock se obtendrán valores más estables alrededor del 0. Para
energía no se aprecian diferencias relevantes, ya que su dispersión como ya hemos indicad
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está más relacionada con la generación de pequeñas zonas donde predomina un tipo de spin.
Realizamos una simulación con L=64 y observemos la diferencia en cuanto a la dispersión d los datos de magnetización:
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Se observa claramente que los valores de magnetización obtenidos están menos disperso
(observar en el eje y los valores entre los que varía). Esto se traducirá en una meno
susceptibilidad, tendiendo a 0 conforme aumenta V, resultado que podremos observa posteriormente con las gráficas de la susceptibilidad con respecto a beta. Temperaturas intermedias (transición de fase)
A estas temperaturas, en la configuración se empezarán a formar grandes zonas dond
predominen unos u otros spines. Esto es debido a que la probabilidad de que un átom
rodeado de 4 con el mismo spin realice un flip flop es muy reducida. Si las temperaturas sigue
bajando las grandes zonas de un tipo de spin predominarán sobre las del otro, hasta qu
finalmente en temperaturas frías la totalidad de la malla tenga spines de un solo tip
Observemos una configuración de L=20 a un beta de 0.42, temperatura muy cercana a la be crítica donde se produce la transición de fase.
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En este caso particular observamos cómo se ha generado una configuración de spine
positivos predominante sobre la de spines negativos. La magnetización es de 0.590 y la energ de -0.650.
Sign upytolavote on this title De nuevo volvamos a observar cómo evoluciona la energía magnetización, realizand Not useful Useful cada 100000 iteraciones y tomando un valor de energía y de magnetización 100 iteraciones.
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La energía toma valores bastante inferiores que en temperaturas altas, consecuencia de
existencia de esas grandes zonas con el mismo spin. También existe una dispersión much
mayor de los valores de energía, lo que nos indica que estas zonas no se estabilizan en u
Readingde a Preview tamaño dado, sino que aumentanYou're o se reducen tamaño. Por tanto, en esta región el cal específico será mayor que en temperaturas altas.
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magnetización obtenidos, incluso tomando el valor absoluto, lo que se traduce en un susceptibilidad magnética muy alta. Temperaturas bajas (fase ordenada)
Volvamos a observar una configuración típica, esta vez para un valor de beta de 0.6. Esta ve
se obtendrá una malla con todos los spines orientados hacia el mismo lado, salvo algun
aislado que espontáneamente pueda haber realizado un flip flop (la probabilidad de que es ocurra será más baja cuanto menores sean las temperaturas)
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La configuración obtenida ha resultado ser prácticamente uniforme con spines de +1, salvo p
9 de ellos que son negativos (la temperatura tomada es excesivamente baja y es norm Download With Freeno Trial que esto ocurra). La energía toma un valor de -0.945 y la magnetización de 0.955.
Observemos ahora la evolución de los observables del sistema a esta beta de 0.6, de la mism manera que anteriormente.
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Ambas gráficas siguen un comportamiento similar. La energía toma valores centrados casi e
-1 (ligeramente inferior por no encontrarnos en un beta excesivamente alto) con un
dispersión muy pequeña en comparación con las anteriores (el calor específico pues tomará u
valor también inferior); y la magnetización actúa igual, sólo que también podría haber estad
You'reninguna Reading a Previewinicialmente entre spines +1 ó -1 centrada en el valor opuesto (no existe preferencia por lo que la susceptibilidad magnética Unlocktambién full access será with abaja. free trial. Conforme las temperaturas son menores (betas mayores), como se ha indicado,
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probabilidad de que un spin realice espontáneamente un flip flop es menor. Esto se traduce e
que los valores de energía y magnetización media se acercan cada vez más a su valor límite (-
en la energía, 1 en el valor absoluto de la magnetización), y además su dispersión se i
reduciendo, lo que hará que el calor específico y la susceptibilidad vayan alcanzando valor cada vez más cercanos a 0.
Para acabar esta sección, indicar que existía una probabilidad no nula de que un configuración con predominancia de spines de un tipo cambie, y esta predominanciapase a s Sign up to vote on this title de los del otro tipo. Esto no ha llegado a suceder en la anterior simulación, así que pa useful Useful Not 6 observar este fenómeno realizaremos una simulación esta vez con 10 iteraciones y con u
beta fijado en 0.5, ya que a mayor temperatura existe una mayor probabilidad de que suceda
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En efecto, hemos conseguido apreciar ahora este fenómeno. La predominancia ha cambiado, aunque los valores de magnetización han estado siempre centrados en un valor y en su opuesto. Gracias a esto ahora es fácil ver por qué se ha elegido realizar las medias sobre el valor absoluto de la magnetización.
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Resultados de la simulación Tal y como se había indicado en otros apartados, para cada valor de beta se toman un cierto
número de medidas de energía y magnetización con el cual poder estimar su media y error, y las magnitudes derivadas de calor específico y susceptibilidad. Para cada observable se ha realizado un análisis independiente. Incluimos gráficas para cada uno de ellos en un intervalo de beta de [0.0,1.5], y otra con mayor resolución y un intervalo
adaptado al entorno de beta crítica en aquellos que sea conveniente. A lo largo de este punto utilizaremos los términos energía y magnetización haciendo referencia a energía intensiva media y magnetización intensiva media respectivamente. Energía
Se puede apreciar en las gráficas la gran similitud existente entre la energía media para tod
valor de L. Recordemos que la energía analizada se trata de la energía intensiva; en cas
contrario veríamos que iría multiplicada por V y se apreciaría enormemente esa diferencia e las gráficas.
Desde beta igual a 0 hasta el entorno de beta crítica, la energía se va reduciendo s
observarse grandes diferencias entre las distintas simulaciones. Al llegar al entorno de be
crítica, las diferencias se acentúan, realizando un cambio más brusco, y ligeramente más tard
cuanto mayor es L. Esto corresponde a un cambio de fase que paulatinamente se v
Reading Preview asemejando más al modelo teóricoYou're de L infinito, el acual se produce más tarde cuanto mayor e el tamaño de la malla.
Unlock full access with a free trial.
Para betas superiores a este intervalo, la pendiente de la gráfica se va reduciendo has
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estabilizarse en el valor final de =-1 (O prácticamente ese valor, ya que recordemos qu
para esos valores de beta existe una probabilidad baja pero no nula de que un átomo gir espontáneamente).
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Error de la energía
En esta gráfica destaca como el error se va reduciendo con L (salvo en el entorno de bet crítico, que analizaremos en la sección de calor específico). Esto se explica mediante
teorema del límite central, ya que para el cálculo de la energía media existen V variable
aleatorias independientes que se suman; y al hacer esta magnitud intensiva, la dispersión s
√
reduce a razón de 1/ V. Cabe You're indicar Reading que el número de medidas tomado en todas l a Preview simulaciones ha sido 10000, con lo cual este no supone un factor diferencial entre los errore de las distintas simulaciones.
Unlock full access with a free trial.
Download Freeque Trial También se aprecia un claro máximo en estasWith gráficas, se va desplazando hacia la derech
según aumenta el valor de L. Este máximo coincide con el valor de beta crítica, en el que exis una mayor dispersión entre los valores de energía.
Finalmente, para valores elevados de beta el error se reduce en gran medida, ya que en esto
casos casi todos los átomos apuntan hacia el mismo lado, existiendo una probabilidad mu baja de que espontáneamente uno cambie de orientación. Sign up to vote on this title
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Vamos a comprobar cómo, en efecto, el error se reduce con raíz de V.
Tomaremos un valor cualquiera de beta alejado del entorno de beta crítica, ya que aquí exist
un comportamiento ligeramente distinto (que posteriormente explicaremos), y analizaremo
el error que le corresponde para cada L. Con estos valores realizaremos una gráfica del erro con respecto a 1/L, y observaremos cómo la dependencia es lineal. 1,20E-03 1,00E-03 > 8,00E-04 e < r 6,00E-04 o r r e 4,00E-04
2,00E-04 0,00E+00 0
0,05
1/L
0,1
0,15
Concretamente, esta gráfica se ha realizado para un valor de beta de 0.2. Magnetización
Las gráficas de la magnetización para cada L presentan una diferencia mucho más clara que la anteriormente vistas de energía. Ya para valores de beta cercanos a 0 difieren entre ellas,
You're Reading a Preview
suficiente como para poder discernir una gráfica de otra. Esto es debido a que se toma com
Unlock fullel access with a free trial. observable <|m|>, y no , y por tanto valor central obtenido no es 0 ni lo sería aunqu
realizáramos un número mucho mayor de medidas. Pero conforme aumenta L, este valor se
Download With Free Trial asemejando mucho más a 0 ya que la magnetización extensiva para altas temperaturas s
obtiene mediante la suma de V números +1 ó -1 al azar, y su suma se separará de la media co
√. Al hacer esta magnitud intensiva (dividiendo entre V), vemos que en efecto <|m|> ser proporcional a 1/√. Al final de este apartado de magnetización se comprobará esto.
Pero donde se aprecia una mayor diferencia entre las gráficas a medida aumenta L las gráfica
es en el entorno de beta crítica. A mayor tamaño, las gráficas se van asemejando cada vez má y m al modelo teórico de dimensión infinita, realizando un cambio de fase más tardío Sign up to vote on this title brusco. Recordemos que para dicho modelo teórico el valor de la magnetización es 0 hast Useful Not useful beta crítica, y en ese punto se produce un cambio de comportamiento; una transición de fa
de primer orden. Esto es, la función no es derivable en este punto, la derivada presenta un
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Useful Not useful Por último queda realizar la comprobación de que, en la fase desordenada, para temperatura
muy altas (betas bajos) el valor de la magnetización es proporcional a 1/
√. En efecto,
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0,6 0,5 0,4 > | m0,3 | <
0,2 0,1 0 0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
1/L
Error de la magnetización
Para la siguiente gráfica podemos realizar un análisis similar al del caso del error de la energí
aunque existen ciertos aspectos que difieren. De nuevo, el error salvo para betas en el entorn de beta crítica es inversamente proporcional a
√ (como ya hemos indicado, el análisis pa
los puntos de este entorno se realizará posteriormente).
También se observa al igual que en el caso del error de la energía, los máximos se desplaza
hacia la derecha cuanto mayor es la dimensión, pero en este caso además las gráficas s
You're Reading a Preview
estrechan alrededor de ese máximo. Esto es consecuente con el hecho de que en la grafica d Unlock full access a free trial. en la energía, lo que aumenta magnetización existe un cambio más rápido que with el observado
dispersión de los valores en esa región de cambio.
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0,0013 0,0011 0,0009 > | m0,0007 | < r o 0,0005 r r e
0,0003 0,0001 -1E-04 0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
1/L
Calor específico
You're Reading a Preview
Comencemos con el análisis de esta observable recordando su definición, que no es otra que derivada de la energía con respecto a beta. Es decir, valor Unlock full access with asu free trial.no es otro que la pendiente de
gráfica de la energía, por lo que tomará valores más altos según mayor sea la variació
Download With Free Trialen el que se produzca la máxim existente en ese punto en la gráfica de la energía. El punto
variación de energía será donde esta gráfica alcance su valor máximo, y precisamente es
punto será el beta crítico (de manera que cuando posteriormente determinemos el valor d
beta crítico, se realizará tomando el punto donde se encuentra el máximo en estas gráficas Observamos que según aumenta el tamaño de la malla sobre la que se ha realizado
simulación, el valor del calor específico en ese punto es más alto, acercándose así a la gráfic
teórica para la malla de dimensión infinita en la que se produce una discontinuidad de salt
infinito (transición de fase de primer o rden). El hecho de que se alcancen valores mayores pa Sign up to vote on this title dimensiones mayores nos sugiere que el cambio en la energía es más brusco cuanto mayor e Useful Not useful L, hecho que en efecto hemos comprobado anteriormente en el análisis de esas gráficas.
Por esta misma razón habíamos indicado en el error de la energía que iba dividido entre raíz d
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En efecto, como comprobamos en la siguiente gráfica al aumentar el tamaño de la malla, valor de beta crítico aparente tiende asintóticamente hacia el valor teórico de
1 ln(1 + √ 2
0.44069
0,445 0,44 0,435 a 0,43 c i t í r c 0,425 a t e B 0,42
0,415 0,41 0,405 0
20
40
60
L
80
100
120
140
Susceptibilidad magnética
El análisis realizado para esta gráfica es similar al del calor específico, pero en este caso existi
You're Reading a Preview
una diferencia mucho mayor en los valores máximos de la susceptibilidad para cada L, ya qu
la diferencia entre las pendientesUnlock de la full magnetización para access with a free trial.cada tamaño de malla era much
mayor que en el caso de la energía. Esto es claramente apreciable en la gráfica, en la que se v
Download With Trial cómo los valores máximos de susceptibilidad paraFree L=128 y L=64 se disparan, dificultando
apreciación de las gráficas del resto de mallas (por ello en la segunda representación, la d menor rango, no se han representado las susceptibilidades para esas dimensiones).
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Se determinarán numéricamente las betas críticas obtenidas para la susceptibilidad de
misma manera que con el calor específico, buscando el valor de beta donde la susceptibilida
alcanza un valor máximo. Al ser obtenidas mediante observables diferentes, no tienen por qu
You're Reading Preview coincidir con las anteriores determinadas medianteael calor específico. L 8 12 16 24
Unlock full access with a free trial. Beta crítica L 0,388 32 Download With Free 64 Trial 0,408 0,414 128 0,424
Beta crítica 0,428 0,4345 0,4375
Volvemos a representar la beta crítica obtenida para cada dimensión frente a su lado L pa poder observar de nuevo una tendencia asintótica hacia el valor teórico de
1 ln(1 + √ 2
0.44069 Sign up to vote on this title 0,45 0,44
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Conclusión
En resumen podemos decir que gracias al método de Montecarlo hemos podido estudiar u
sistema ferromagnético y sus transiciones de fase al desorden cuando nos acercamos a valor de beta (temperatura) próximos a un cierto beta crítica.
A pesar de estar estudiando configuraci ones que macroscópicamente parecen estables, hem
visto que se producen cambios a nivel microscópico, que resultan ser muy bruscos cuando ha
un cambio de fase. Ha sido importante el estudio de la energía, ya que todos los spines tiende
a apuntar en la misma dirección para reducir la energía total del sistema para temperatura
reducidas, realizando una transición muy fuerte en las gráficas en el entorno de beta crític desde la fase desordenada. Además cabe resaltar que esto es lo que favorece la aparición de
magnetización en estas temperaturas, magnitud cuyo estudio también es muy importante y que fue precisamente la que motivó la creación de este modelo.
Podemos decir que hemos conseguido conocer aproximadamente los estados microscópic de un ferromagneto dado un estado macroscópico.
Gran parte de los esfuerzos en la realización del trabajo han ido destinados a la optimizació
de la simulación para su viabilidad computacional. Idealmente se habría generado un
configuración de tamaño infinito y se habrían realizado infinitas medidas sobre el mismo co
una resolución igualmente infinita. Pero obviamente, esto no ha sido posible, y el reto h
You're Reading Preview estado en determinar los valores adecuados para aobtener una simulación viable, fiable y co
una exactitud suficiente. De esta forma se han ido ajustando Unlock full access with a free trial. los parámetros de entrada segú nuestros objetivos, para obtener los mejores resultados posibles.
Download With Free Trial
También se han observado las limitaciones de la simulación por el hecho de contar con un
malla de dimensión finita, y hemos visto como los resultados se acercaban a los teórico
cuanto mayor era la dimensión. Se ha observado cómo la complejidad computacion 2
aumentaba con L por lo que llegaba un punto en el que tomar mayores dimensiones no er
viable, ni tampoco habría aportado prácticamente información adicional para los objetivos d trabajo.
imitar d Pero a pesar de estas limitaciones, se han conseguido simulaciones consiguen Sign up to voteque on this title manera bastante fidedigna el modelo de Ising, obteniendo aproximadament Usefulresultados Not useful
correctos sin requerir mayor potencia que la de un PC de potencia normal.
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ANEXO I: Código utilizado para la simulación de Monte Carlo del modelo de Ising #include #include #include #define LMAX 128 // Dimensión máxima del lado de la malla #define VMAX LMAX*LMAX // Dimensión máxima de la malla. #define MEDMAX 50000// Número máximo de medidas para cada beta. #define MAXPASOSBETA 2000 // Número máximo de pasos que se pueden dar para recorrer beta. #define NormRANu (2.3283063671E-10F) // Parámetro para el generador random de ParisiRapuano unsigned int irr[256]; unsigned int ir1; unsigned char ind_ran,ig1,ig2,ig3; extern void ini_ran(int SEMILLA); extern float Random(void);
You're Reading afloat Preview void LeeInput (float *beta_inicial, float *beta_final, *delta_beta, int*pasos_termalizacio int *n_medidas, int *pasos_montecarlo); Unlock full access with a free trial. void GeneraConfiguracion (char *conf, int *L);
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void InicializaOffset (int L, int *xp, int *yp, int *xm, int *ym); void CalculaProb (float beta, double *prob); void Sweep (char *conf, int L, int *xp, int *yp, int *xm, int *ym, double *prob); void CalculaEM (char *conf, int L, float *e, float *m, int *xp, i nt *yp); void ConstruirVectorMedidas (int indice, int N_medidas, float e, float m, float *medidas); void CalculaValoresMedios(float *medidas, double *results, int N_medidas, int indice_beta, Sign up to vote on this title float beta);
Useful void EscribeValoresMedios(double *results, int indice_beta); FILE *fout;
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valores máximos de la linea de arriba, salvo el contador sentido, cuyo máximo es 2 (hay 2 sentidos para recorrer beta) int xp[LMAX], yp[LMAX], xm[LMAX], ym[LMAX]; //Offset float beta, beta_inicial, beta_final, delta_beta; // Valor "actual" de beta. Los siguientes, leidos de archivo en LeeInput, su valor máximo, su valor mínimo y el paso de uno a otro. double prob[5]; // Vector de probabilidades, calculado en CalculaProb
float e,m; // Energía y magnetización, calculados de una configuracion dada en CalculaEM. float medidas[MEDMAX*2]; //Vector donde se almacenan todos los datos de energía y magnetización de un beta, sobre los cuales se calcularán errores. double results[7*MAXPASOSBETA]; // Vector donde se almacenan las medias y errores de todos los betas generados en la simulación. fout=fopen("datos.txt","wt"); // Abrimos el archivo en modo write para crear uno nuevo eliminando el anterior. Creamos también la primera línea. fprintf(fout,"# Beta
error_e
<|m|> error_m
\n");
fclose(fout); ini_ran(123456789*time(NULL));// Se inicializan los generadores random según el reloj interno del ordenador. srand(987654321*time(NULL));
You're Reading a Preview LeeInput(&beta_inicial, &beta_final, &delta_beta, &pasos_termalizacion, &N_medidas, &pasos_montecarlo); // Leemos los datos recogidos input. Unlock full access with aen freeeltrial. GeneraConfiguracion (conf, &L); // Generamos una configuración de malla inicial desde la que partir de la dimensión L que introduzca usuario. DownloadelWith Free Trial InicializaOffset (L,xp,yp,xm,ym); // Damos valor a los vectores del offset (xp, yp, xm, ym) para podernos mover hacia arriba, abajo, izda o dcha en la malla.
N_pasos=(beta_final-beta_inicial)/delta_beta; // Calculamos el número de pasos necesario para recorrer todo beta, valor que usaremos en un bucle posterior. beta=beta_inicial; // Le damos a beta el valor inicial introducido por archivo.
fout=fopen("datos.txt","at"); // Abrimos archivo de output de datos en modo append. Se abre antes del bucle para hacerlo una única vez.
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Not useful Useful delante for (sentido=0; sentido<2; sentido++) // Recorremos sentido hacia y hacia atrás
(sólo cuando simulamos histéresis) {
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{ if (beta==0) for (i=0;i
ConstruirVectorMedidas(N_MED, N_medidas, e, m, medidas); // Almacenamos las medidas de e y m en el indice N_MED en los vectores medidas[N_MED] y medidas [N_MED+N_medidas] respectivamente. } CalculaValoresMedios(medidas, results, N_medidas, indice_beta, beta); EscribeValoresMedios(results, indice_beta); beta+=delta_beta; // Incrementamos beta para empezar de nuevo el bucle con un nuevo valor de beta. }
delta_beta=-delta_beta; // Cambiamos el sentido de recorrido de beta tras haber llegado a You're Reading a Preview valor máximo introducido en el input, para ahora recorrer beta en el sentido contrario. } fclose (fout);
Unlock full access with a free trial.
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return (0); }
float Random(void) { float r; ig1=ind_ran-22; ig2=ind_ran-55; ig3=ind_ran-61;
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srand(SEMILLA); INI=SEMILLA; FACTOR=67397; SUM=7364893; for (i=0;i<256;i++) { INI=(INI*FACTOR+SUM); irr[i]=INI; } ind_ran=ig1=ig2=ig3=0; }
void LeeInput (float *beta_inicial, float *beta_final, f loat *delta_beta,int*pasos_termalizacio int *N_medidas, int *pasos_montecarlo) { FILE *input; input=fopen("input.txt","rt"); fscanf(input,"%f (beta inicial)%f (beta final)%f (delta beta)%d (pasos de termalizacion)%d (numero de medidas)%d (pasos de monte c arlo entre medidas)", beta_inicial, beta_final, delta_beta, pasos_termalizacion, N_medidas, pasos_montecarlo); fclose (input);
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}
void GeneraConfiguracion (char *conf, int *L) With Free Trial Download { int i;
do // Se crea un bucle para evitar que el usuario introduzca una dimensión mayor a LMAX produciría errores. { printf ("Introduce la dimension del lado L de la configuracion (MAX:%d)\n",LMAX); Sign up to vote on this title scanf ("%d",L);
Useful Not useful if (*L>LMAX||*L<0) printf("Eleccion no valida. L maxima=%d\n",LMAX); } while (*L>LMAX||*L<0);
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yp[i]=L; xm[i+1]=-1; ym[i+1]=-L; } xp[L-1]=-(L-1); yp[L-1]=-L*(L-1); xm[0]=(L-1); ym[0]=L*(L-1); }
void CalculaProb (float beta, double *prob) { prob[0]=exp(-beta*(-8.0)); prob[1]=exp(-beta*(-4.0)); prob[2]=exp(-beta*(0.0)); prob[3]=exp(-beta*4.0); prob[4]=exp(-beta*8.0); }
void Sweep (char *conf, int L, int *xp, int *yp, int *xm, int *ym, double *prob) { int x,y,n; int indice_prob; float porcentaje;
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n=0; for(y=0; y
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for (y=0; y
void ConstruirVectorMedidas (int indice, int N_medidas, float e, f loat m, float *medidas) { medidas[indice]=e; medidas[indice+N_medidas]=m; }
void CalculaValoresMedios(float *medidas, double *results, int N_medidas, int indice_beta, float beta) { /*Acerca del vector results:
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results[7*indice_beta] es la beta actual.
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results[1+7*indice_beta] es la energía media de esa beta.
results[2+7*indice_beta] es el error de la media de la energía. results[3+7*indice_beta] es la magnetización (en módulo) media de esa beta. results[4+7*indice_beta] es el error de la media de la magnetización results[5+7*indice_beta] es la media de los cuadrados de la energía. results[6+7*indice_beta] es la media de los cuadrados de la magnetización*/
int i; results[7*indice_beta]=beta;
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} results[1+7*indice_beta]/=N_medidas; // Media e results[3+7*indice_beta]/=N_medidas; // Media m results[5+7*indice_beta]/=N_medidas; // Media de los cuadrados de e results[6+7*indice_beta]/=N_medidas; // Media de los cuadrados de m results[2+7*indice_beta]=results[5+7*indice_beta]results[1+7*indice_beta]*results[1+7*indice_beta]; // -^2 results[4+7*indice_beta]=results[6+7*indice_beta]results[3+7*indice_beta]*results[3+7*indice_beta]; // <|m|^2>-<|m|>^2 results[2+7*indice_beta]=sqrt(results[2+7*indice_beta]/(N_medidas-1)); // Error de la media de e results[4+7*indice_beta]=sqrt(results[4+7*indice_beta]/(N_medidas-1)); // Error de la media de m } void EscribeValoresMedios(double *results, int indice_beta) { int i; fprintf(fout,"%1.4lf ", results[7*indice_beta]); //Escribimos beta con 4 decimales. printf("%1.4f ", results[7*indice_beta]); for(i=1; i<7; i++) {
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fprintf(fout,"%1.8lf ", results[i+7*indice_beta]); // Escribimos el resto de parámetros co 8 decimales.
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printf("%1.8lf ", results[i+7*indice_beta]); } fprintf(fout,"\n"); printf("\n"); }
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ANEXO II: Código utilizado para la simulación con un valor fijo de beta #include #include #include #define LMAX 128 #define VMAX LMAX*LMAX #define RAN (rand()/((double)RAND_MAX+1)) void EscribeConfiguracion (char *conf, int L); void EscribeConfiguracionArchivo (char *conf, int L); void CalculaEM (char *conf, int L, float *e, float *m, int *xp, int *yp); void Sweep (char *conf, int L, int *xp, int *yp, int *xm, int *ym, double *prob); void GeneraConfiguracion (char *conf, int *dim);
main() { char conf[VMAX];
You're Reading a Preview int i, L, pasos_termalizacion, pasos_medir, pasos_montecarlo; int xp[LMAX], yp[LMAX], xm[LMAX], Unlockym[LMAX]; full access with a free trial. float e, m, beta, beta_inicial, beta_final, delta_beta; double prob[5];
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FILE *fout; srand(time(NULL)); // Se inicializa el generador random. GeneraConfiguracion(conf,&L); // Se genera una configuración random o leída de archivo for (i=0;i<(L-1);i++) // Definimos las direcciones positiva y negativa del retículo Sign up to vote on this title { Useful Not useful xp[i]=1; yp[i]=L;
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prob[0]=exp(-beta*(-8.0)); // A partir de ese beta generamos el vector de probabilidades prob[1]=exp(-beta*(-4.0)); prob[2]=exp(-beta*(-0.0)); prob[3]=exp(-beta*4.0); prob[4]=exp(-beta*8.0);
CalculaEM(conf,L,&e,&m,xp,yp); // Se calcula y se escribe por pantalla la energía y magnetización iniciales. printf("\nEnergia inicial: %lf Magnetizacion inicial: %lf\n",e,m);
fout=fopen("EM_Iteraciones.txt","wt"); // Se abre el archivo donde se escribiran los valore de energía y magnetización para cada iteracion. fprintf(fout,"#i e
m\n");
for(i=1;i<=100000;i++) // Se realizan tantas iteraciones como se deseen. { Sweep(conf,L,xp,yp,xm,ym,prob); // EscribeConfiguracion (conf,L); // Saca po r pantalla la configuración actual. Resulta interesante observar iteración por iteración cómo evoluciona un sistema. CalculaEM(conf,L,&e,&m,xp,yp);
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if (i%100==0) // Se ha añadido para escribir en el archivo cada 100 iteraciones. También se puede variar esto desde aquí. Unlock full access with a free trial. fprintf(fout,"%d %11.8lf %11.8lf\n",i,e,m);
Download With Free Trial
}
printf("\nEnergia final: %lf Magnetizacion final: %lf",e,m); // Escribimos por pantalla la energía y magnetización finales. EscribeConfiguracionArchivo(conf,L); // Escribimos la configuración final en otro archivo. Sign up to vote on this title fclose(fout); Useful Not useful return (0);
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for(y=0; y
void EscribeConfiguracion (char *conf,int L) // Escribe por pantalla una configuración dada de dimensión L { int i,j; printf("\n\nLa configuracion generada es la siguiente: \n\n"); for (i=0;i
You're Reading a Preview Unlock full access with a free trial.
}
Download Trial en el archivo zconf.txt una void EscribeConfiguracionArchivo (char *conf,With int L)Free //Escribe configuración dada de dimensión L { int i,j; FILE *confout; confout=fopen("zconf.txt","wt"); for (i=0;i
Sign up to vote on this title
fprintf(confout,"%+d ",conf[i]); if ((i+1)%L==0) fprintf(confout,"\n");
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i=0; for (y=0; y
void GeneraConfiguracion (char *conf, int *dim) // Genera una configuración random o la lee de archivo. { int eleccion,i,j; char archivo [32]; FILE *input;
You're Reading a Preview
do //El usuario elige cómo generar la configuración
Unlock full access with a free trial.
{
printf ("Elige la configuracion para empezar la simulacion:\n\n[0]Configuracion
Free Trial random\n[1]Leer configuracion deDownload un archivoWith de texto\n"); scanf("%d",&eleccion);
if (eleccion>5||eleccion<0) printf ("Eleccion no valida\n\n"); } while (eleccion>5||eleccion<0); do { printf ("\nIntroduce la dimension del lado L de la configuracion (MAX:%d)\n",LMAX); Sign up to vote on this title
scanf ("%d",dim);
Useful if (*dim>LMAX||*dim<0) printf("Eleccion no valida\n");
} while (*dim>LMAX);
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