Albornoz Cabrera Brain David
Simulación de Sistemas
PRACTICA Nº2 MONTECARLO Ejercicio 1: Sea la variable aleatoria X = el número de bolas blancas de una muestra de tamaño dos extraída sin reemplazo de un recipiente que contiene 10 bolas de las cuales 6 son blancas y 4 son rojas. PASO 1: X = el # de canicas blancas en una muestra de tamaño 2 1
2
3
4
5
3
6
7
8
9
10
PASO 2: Espacio muestral y variable aleatoria B: canicas blancas R: canicas rojas
X
Combinaciones OCURRENCIAS OCURRENCIAS f(x) BB 30 6/10*5/9= 30/90 BR, RB 48 6/10*4/9+4/10*6/9=48/90 6/10*4/9+4/10*6/9=48/90 RR 12 4/10*3/9=12/90
2 1 0
PASO 3: X 2 1 0
Combinaciones OCURRENCIAS OCURRENCIAS BB 30 BR, RB 48 RR 12 X 2 1 0
f(x) 30/90 48/90 12/90
OCURRENCIAS 30/90 48/90 12/90
48/90 30/90 12/90
0
1
2
1 Práctica 2 del Método Método Montecarlo
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Simulación de Sistemas
a. Encuentre y grafique la función de probabilidades correspondientes, realizando el método Montecarlo. PASO 4: Función acumulada de probabilidad F(x) ()
() () () () () ()
1
60/90
12/90
X F(x)
0 12/90
1 60/90
2 1 0
1
2
PASO 5: construir la tabla de transformación inversa de la función acumulada de probabilidad
b. Media y desviación estándar Cantidad de canicas blancas (x)
ocurrencias
f(x)
Xf(x)
X^2
X^2f(x)
2
30
0.33
0.667
4
1.333
1
48
0.53
0.533
1
0.533
0
12
0.13
0.000
0
0.000
90
1
µ = 1.2
µ21 = 1.867
() ( )
Efectué una corrida de simulación de tamaño veinte
2 Práctica 2 del Método Método Montecarlo
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Simulación de Sistemas
a. Encuentre y grafique la función de probabilidades correspondientes, realizando el método Montecarlo. PASO 4: Función acumulada de probabilidad F(x) ()
() () () () () ()
1
60/90
12/90
X F(x)
0 12/90
1 60/90
2 1 0
1
2
PASO 5: construir la tabla de transformación inversa de la función acumulada de probabilidad
b. Media y desviación estándar Cantidad de canicas blancas (x)
ocurrencias
f(x)
Xf(x)
X^2
X^2f(x)
2
30
0.33
0.667
4
1.333
1
48
0.53
0.533
1
0.533
0
12
0.13
0.000
0
0.000
90
1
µ = 1.2
µ21 = 1.867
() ( )
Efectué una corrida de simulación de tamaño veinte
2 Práctica 2 del Método Método Montecarlo
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Extracciones 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Resultado (X) 0 1 2
RND 0.493 0.090 0.170 0.321 0.485 0.462 0.101 0.040 0.663 0.264 0.799 0.179 0.648 0.875 0.072 0.536 0.008 0.710 0.902 0.152
Simulación de Sistemas
Canicas blancas 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 2 1 1 2 0 1 0 2 2 1
Ocurrencias f(x) 5 11 4
5/20 = 0.25 11/20 = 0.55 4/20 = 0.2
Xf(x) 0 0.55 0.4
X^2
X^2f(x)
0 1 4
0 0.55 0.8
c. Con los resultados resultados obtenidos de la corrida, corrida, calcule la media y la desviación desviación estándar
Resultado (X) 0 1 2
Ocurrencias f(x) 5 11 4
5/20 = 0.25 11/20 = 0.55 4/20 = 0.2
20
Xf(x) 0 0.55 0.4
µ = 0.95
X^2
X^2f(x)
0 1 4
0 0.55 0.8
µ21 = 1.35
() () )
3 Práctica 2 del Método Método Montecarlo
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Simulación de Sistemas
Ejercicio 2: Sea la variable aleatoria X = el número de sillas malogradas en una muestra de tamaño tres detectadas en los salones de 17 sillas, donde 12 son buenas y 5 malogradas PASO 1: X = el número de sillas malogradas en una muestra de tamaño 3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
PASO 2: Espacio muestral y variable aleatoria M: sillas malogradas B: sillas buenas
X 3
Combinaciones MMM
OCURRENCIAS f(x) 60
2
MMB,MBM,BMM 720
1
MBB,BBM,BMB
1980
0
BBB
1320
5/17*4/16*12/15 + 5/17*12/16*4/15 + 12/17*5/16*4/15 = 720/4080 5/17*12/16*11/15+12/17*11/16*5/15 + 12/17*5/16*11/15 = 1980/4080 12/17*11/16/10/15 = 1320/4080
PASO 3 Cantidad de sillas malogradas(X) 3 2 1 0
ocurrencias
f(x)
60 720 1980 1320
60/4080 720/4080 1980/4080 1320/4080
4 Práctica 2 del Método Montecarlo
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X 3 2 1 0
Simulación de Sistemas
OCURRENCIAS 60/4080 720/4080 1980/4080 1320/4080
1980/4080
1320/408 720/4080 60/4080
0
1
2
3
a. Encuentre y grafique la función de probabilidades correspondientes, realizando el método Montecarlo. PASO 4: Función acumulada de probabilidad F(x) ()
() () () () () () () () ()
X F(x)
0 1320/4080
1 3300/4080
2 4020/4080
3 1
1
4020/408 3300/4080 1320/4080
0
1
2
3
PASO 5: construir la tabla de transformación inversa de la función acumulada de probabilidad – – –
5 Práctica 2 del Método Montecarlo
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Simulación de Sistemas
b. Media y desviación estándar Cantidad de Canicas Blancas (X) 3 2 1 0
ocurrencia s
f(x)
60 720 1980 1320
60/4080 720/4080 1980/4080 1320/4080
Xf(x) 0,044 0,353 0,485 0,000 µ = 0,882
X^2 9 4 1 0
X^2f(x) 0,132 0,706 0,485 0,000 2 µ 1 = 1,324
() ( )
c. Efectué una corrida de simulación de tamaño veinte
– –
RND 0.281 0.644 0.939 0.806 0.777 0.586 0.808 0.214 0.487 0.819 0.774 0.046 0.341 0.152 0.758 0.791 0.824 0.592 0.002 0.169
–
lanzamientos 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Cant. Sillas malogradas 0 1 3 1 1 1 1 0 1 2 2 0 1 0 1 1 2 1 0 0
6 Práctica 2 del Método Montecarlo
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Resultado (X) 0 1 2 3
Simulación de Sistemas
Ocurrencia
f(x)
Xf(x)
X^2
X^2f(x)
6 10 3 1
0.3 0.5 0.15 0.05
0 0.5 0.3 0.15
0 1 4 9
0 0.5 1.2 1.35
d. Con los resultados obtenidos de la corrida, calcule la media y la desviación estándar Resultado (X) 0 1 2 3
Ocurrencia f(x)
Xf(x)
X^2
X^2f(x)
6 10 3 1 20
0 0.5 0.3 0.15 µ = 0.95
0 1 4 9
0 0.5 1.2 1.35 µ21 = 3.05
0.3 0.5 0.15 0.05
() ()
Ejercicio3: Sea la variable aleatoria X = el número de focos defectuosos al extraer sin reemplazo una muestra de tamaño tres tomados de una caja de 12 focos, donde 8 son buenos y 4 defectuosos. PASO 1: X = el número de focos defectuosos al extraer sin reemplazo una muestra de tamaño tres 1
2
9
3
4
10
5
11
6
7
8
12
PASO 2: Espacio muestral y variable aleatoria X 3 2 1 0
Combinaciones OCURRENCIAS f(x) DDD 24 4/12*3/11*2/10 = 24/1320 DDB,BDD,DBD 288 4/12*3/11*8/10 + 8/12*4/11*3/10 4/12*8/11*3/10 = 288/1320 BBD, DBB, BDB 672 8/12*7/11*4/10 + 4/12*8/11*7/10 8/12*4/11*7/10 = 672/1320 BBB 336 8/12*7/11*6/10 = 336/1320
+ +
7 Práctica 2 del Método Montecarlo
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Simulación de Sistemas
PASO 3 Cantidad de focos defectuosos (X) 3 2 1 0
ocurrencias f(x)
24 288 672 336
24/1320 288/1320 672/1320 336/1320
672/1320
336/1320 288/1320
X 3 2 1 0
OCURRENCIAS 24/1320 288/1320 672/1320 336/1320
24/1320
0
1
2
3
a. Encuentre y grafique la función de probabilidades correspondientes, realizando el método Montecarlo. PASO 4: Función acumulada de probabilidad F(x) ()
() () () () () () () () ()
X F(x)
0 336/1320
1 1008/1320
2 1296/1320
3 1
1
1296/1320 1008/1320 336/1320
0
1
2
3
8 Práctica 2 del Método Montecarlo
Albornoz Cabrera Brain David
Simulación de Sistemas
PASO 5: construir la tabla de transformación inversa de la función acumulada de probabilidad
– – –
b. Media y desviación estándar Cantidad de focos defectuoso s (X) 3 2 1 0
ocurren cias
f(x)
Xf(x)
X^2
X^2f(x)
24 288 672 336
24/1320 288/1320 672/1320 336/1320
0,0545 0,4364 0,5091 0 µ=1
9 4 1 0
0,164 0,873 0,509 0 µ21 = 1,545
() ()
c. Efectué una corrida de simulación de tamaño veinte
– – –
lanzamientos 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
RND 0.312 0.057 0.171 0.687 0.761 0.526 0.658 0.811 0.525 0.817
Cant. De defectuosos 1 0 0 1 1 1 1 2 1 2
Focos
9 Práctica 2 del Método Montecarlo
Albornoz Cabrera Brain David
Simulación de Sistemas
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
0.390 0.266 0.250 0.652 0.139 0.026 0.394 0.230 0.662 0.241
1 1 0 1 0 0 1 0 1 0
Resultado (X) 2 1 0
Ocurrencia f(x)
Xf(x)
X^2
X^2f(x)
2 11 7
0.2 0.55 0
4 1 0
0.4 0.55 0
2/20 11/20 7/20
d. Con los resultados obtenidos de la corrida, calcule la media y la desviación estándar
Resultado (X) 2 1 0
Ocurrencia f(x)
Xf(x)
X^2
X^2f(x)
2 11 7 20
0.2 0.55 0 µ = 0.75
4 1 0
0.4 0.55 0 µ21 = 0.95
2/20 11/20 7/20
() ()
10 Práctica 2 del Método Montecarlo
Albornoz Cabrera Brain David
Simulación de Sistemas
Ejercicio4: Un cajón contiene 6 pares de medias cafés y 3 pares de medias verdes. Sea la variable aleatoria X = el número de calcetines cafés que se selecciona, (la selección es sin reemplazo), extraer sin reemplazo una muestra de tamaño dos. PASO 1: X = el número de calcetines café
1
2
3
4
10
9
14
5
7
12
11
16
15
6
8
13
17
18
PASO 2: Espacio muestral y variable aleatoria o o
X 2 1 0
C: calcetín café V: calcetín verde Combinaciones CC CV, VC VV
OCURRENCIAS f(x) 132 12/18*11/17= 132/306 144 12/18*6/17+6/18*12/17= 144/306 30 6/18*5/17=30/306
PASO 3 X 2 1 0
OCURRENCIAS 132/306 144/306 30/306
11 Práctica 2 del Método Montecarlo
Albornoz Cabrera Brain David
Simulación de Sistemas
a. Encuentre y grafique la función de probabilidades correspondientes, realizando el método Montecarlo. PASO 4: Función acumulada de probabilidad F(x) () () () () () () ()
X F(x)
0 30/306
1
1 174/306
2 1
174/306
30/306
0
1
2
PASO 5: construir la tabla de transformación inversa de la función acumulada de probabilidad
b. Media y desviación estándar Cantida d de Medias cafe (X) 2 1 0
ocurre ncias
f(x)
Xf(x)
X^2
X^2f(x)
132 144 30
132/306 144/306 30/306
264/306 144/306 0 µ = 1.333
4 1 0
528/306 144/306 0 µ21 = 2.196
() ( )
12 Práctica 2 del Método Montecarlo
Albornoz Cabrera Brain David
Simulación de Sistemas
c. Efectué una corrida de simulación de tamaño veinte
Extracción RND Cant. De Medias 1 0.311 0
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
0.186 0.431 0.640 0.294 0.459 0.260 0.772 0.469 0.272 0.337 0.143 0.837 0.082 0.427 0.705 0.904 0.385 0.526 0.579
1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 2 0 1 2 2 1 1 2
Resultado (X)
Ocurrencia f(x)
Xf(x)
X^2
X^2f(x)
2
6
6/20
0.6
4
1.2
1
12
12/20
0.6
1
0.6
0
2
2/20
0
0
0
13 Práctica 2 del Método Montecarlo
Albornoz Cabrera Brain David
Simulación de Sistemas
d. Con los resultados obtenidos de la corrida, calcule la media y la desviación estándar Resultado (X)
Ocurrencia f(x)
Xf(x)
X^2
X^2f(x)
2
6
0.30
0.6
4
1.2
1
12
0.60
0.6
1
0.6
0
2
0.10
0
0
0
20
1
µ = 1.2
µ21 = 1.8
() ( )
Ejercicio 5: Sea la variable aleatoria X= suma de los puntos observados después del lanzamiento de dos dados tetraédricos (el puntaje se obtiene de la base del tetraedro). Las caras tiene puntuaciones de 1,2,3,4. PASO 1: X = suma de los puntos observados después del lanzamiento de dos dados legales.
4 3 2 1
4 3 2 1 1
2
3
5 4
6 5
7 6
8 7
3
4
5
6
2
3
4
5
1
2
4 3
4
14 Práctica 2 del Método Montecarlo
Albornoz Cabrera Brain David
Simulación de Sistemas
PASO 2: Espacio muestral y variable aleatoria S = {todos los resultados posibles} S: {1,1), (2,1) … (6,6)}
P = (S) = 216 n = 16 X = {2, 3, 4, 5, 6, 7,8}
PASO 3 X 2 3 4 5 6 7 8
ocurrencia 1 2 3 4 3 2 1
f(x) 1/36 2/36 3/36 4/36 3/36 2/36 1/36
4/16 3/16 2/16 1/16 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12
a. Encuentre y grafique la función de probabilidades correspondientes, realizando el método Montecarlo. PASO 4: Función acumulada de probabilidad F(x) () () () () () () () () () () () () () () () () () () ()
X F(X)
2 1/16
3 3/16
4 6/16
5 6 7 8 10/16 13/16 15/16 1
15 Práctica 2 del Método Montecarlo
Albornoz Cabrera Brain David
Simulación de Sistemas
1 15/16
13/16 10/16 6/16 3/16 1/16
1
2
3
4
5
6
7
8
PASO 5: construir la tabla de transformación inversa de la función acumulada de probabilidad – – – –
b. Media y desviación estándar
X 2 3 4 5 6 7 8
ocurrencias 1 2 3 4 3 2 1
f(x) 1/16 2/16 3/16 4/16 3/16 2/16 1/16
Xf(x) 2/16 6/16 12/16 20/16 18/16 14/16 8/16 µ=5
X^2 4 9 16 25 36 49 64
X^2f(x) 4/16 18/16 48/16 100/16 108/16 98/16 64/16 µ21 = 27,50
() ()
16 Práctica 2 del Método Montecarlo
Albornoz Cabrera Brain David
Simulación de Sistemas
c. Efectué una corrida de simulación de tamaño20 – – – –
lanzamientos 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
RND 0.657 0.151 0.986 0.148 0.620 0.747 0.403 0.320 0.483 0.424 0.461 0.511 0.209 0.094 0.837 0.738 0.307 0.857 0.509 0.004
Cantidades 3 2 8 3 5 6 5 4 5 5 5 5 4 3 7 6 4 7 5 2
Resultado (X) 2 3 4 5 6 7 8
Ocurrencia f(x)
Xf(x)
X^2
X^2f(x)
2 3 3 7 2 2 1
0.2 0.45 0.6 1.75 0.6 0.7 0.4
4 9 16 25 36 49 64
0.4 1.35 2.4 8.75 3.6 4.9 3.2
2/20=0.10 3/20=0.15 3/20=0.15 7/20=0.35 2/20=0.10 2/20=0.10 1/20=0.05
17 Práctica 2 del Método Montecarlo
Albornoz Cabrera Brain David
Simulación de Sistemas
d. Con los resultados obtenidos de la corrida, calcule la media y la desviación estándar Resultado (X) 2 3 4 5 6 7 8
Ocurrencia f(x)
Xf(x)
X^2
X^2f(x)
2 3 3 7 2 2 1
0.2 0.45 0.6 1.75 0.6 0.7 0.4 µ = 4,7
4 9 16 25 36 49 64
0.4 1.35 2.4 8.75 3.6 4.9 3.2 µ21 = 24.6
2/20=0.10 3/20=0.15 3/20=0.15 7/20=0.35 2/20=0.10 2/20=0.10 1/20=0.05
() ( )
Ejercicio 6: Sea la variable aleatoria X = el número de tréboles en una mano de tres cartas extraídas sin reemplazo de una baraja. PASO 1: X = el número de tréboles en una mano de tres cartas extraídas sin reemplazo de una baraja.
Baraja inglesa
Total: 52 cartas Trébol: 14/52 Otras: 38/52
18 Práctica 2 del Método Montecarlo
Albornoz Cabrera Brain David
Simulación de Sistemas
PASO 2: Espacio muestral y variable aleatoria ?: Representa a cualquier otra carta que no sea trébol. X 3 2
Combinaciones OCURRENCIAS f(x) TTT 2184 14/52*13/51*12/50 = 2184/132600 T?T, TT?,?TT 20748 14/52*38/51*13/50 + 14/52*13/51*38/50 + 38/52*14/51*13/50 = 20748/132600 ??T, T??, ?T? 59052 38/52*37/51*14/50 + 14/52*38/51*37/50 + 38/52*14/51*37/50 = 59052/132600 ??? 50616 38/52*37/51*36/50 = 50616/132600
1 0
PASO 3 Cantidad de tréboles por mano(X) 3 2 1 0 X 3 2 1 0
ocurrencias f(x)
2184 20748 59052 50616
2184/132600 20748/132600 59052/132600 50616/132600
OCURRENCIAS 2184/132600 20748/132600 59052/132600 50616/132600
59052/132600 50616/132600 20748/132600 2184/132600 0
1
2 3
a. Encuentre y grafique la función de probabilidades correspondientes, realizando el método Montecarlo. PASO 4: Función acumulada de probabilidad F(x) () () () () () () () () () ()
X F(x)
0 1 2 3 50616/132600 109668/132600 130416/132600 1 19
Práctica 2 del Método Montecarlo
Albornoz Cabrera Brain David
Simulación de Sistemas
1 130416/13260 109668/13260 50616/132600 0
1
2 3
PASO 5: construir la tabla de transformación inversa de la función acumulada de probabilidad
–
–
–
b. Media y desviación estándar Cantidad de tréboles en una mano (X) 3 2 1 0
ocurrencia s
f(x)
Xf(x)
X^2
X^2f(x)
2184 20748 59052 50616
2184/132600 20748/132600 59052/132600 50616/132600
0,049 0,313 0,445 0,000 µ = 0,808
9 4 1 0
0,148 0,626 0,445 0,000 µ21 = 1,219
() ( )
c. Efectué una corrida de simulación de tamaño veinte
– – –
20 Práctica 2 del Método Montecarlo
Albornoz Cabrera Brain David
Simulación de Sistemas
Cant. mano 2 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 2 1 1 2 1 1 1 0
De
Treboles
x
lanzamientos 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
RND 0.097 0.743 0.334 0.754 0.187 0.038 0.819 0.576 0.156 0.293 0.621 0.664 0.912 0.053 0.564 0.886 0.823 0.556 0.475 0.274
Resultado (X) 0 1 2
Ocurrencia f(x)
Xf(x)
X^2
X^2f(x)
11 6 3
0 0.3 0.3
0 1 4
0 0.3 0.6
11/20 =0.55 6/20 =0.30 3/20 =0.15
d. Con los resultados obtenidos de la corrida, calcule la media y la desviación estándar Resultado (X) 0 1 2
Ocurrencia f(x)
Xf(x)
X^2
X^2f(x)
11 6 3 20
0 0.3 0.3 µ = 0,6
0 1 4
0 0.3 0.6 µ21 = 0,9
0.55 0.30 0.15
() ( )
21 Práctica 2 del Método Montecarlo
Albornoz Cabrera Brain David
Simulación de Sistemas
Ejercicio 7: Sea la variable aleatoria X= suma de los puntos observados después del lanzamiento de un dado tetraédrico. PASO 1: X = suma de los puntos observados después del lanzamiento de un dado tetraédrico.
PASO 2: Espacio muestral y variable aleatoria S = {todos los resultados posibles} S: {1,1), (2,1) … (6,6)}
S = {c,s} Variable aleatoria
X ={0, 1}
X – R r -- X(r)
P = (S) = 24 = 16 n = 16 f(x)
X = {1,2,3,4}
PASO 3 X 1 2 3 4
f(x) 1/4 1/4 1/4 1/4
1/4
1
2
3
4
a. Encuentre y grafique la función de probabilidades correspondientes, realizando el método Montecarlo. PASO 4: Función acumulada de probabilidad F(x) ()
() () () () () ()
() () ()
X F(X)
1 1/4
2 1/4
3 1/4
4 1/4 22
Práctica 2 del Método Montecarlo
Albornoz Cabrera Brain David
Simulación de Sistemas
f(x)
1 3/4 2/4 1/4
1
3
2
x
4
PASO 5: construir la tabla de transformación inversa de la función acumulada de probabilidad
– –
–
b. Media y desviación estándar X 1 2 3 4
f(x) 1/4 1/4 1/4 1/4
Xf(x) 1/4 2/4 3/4 4/4 µ = 2.5
X^2 1 4 9 16
X^2f(x) 1/4 4/4 9/4 16/4 µ21 = 7.5
() ( )
c. Efectué una corrida de simulación de tamaño veinte – – – 23 Práctica 2 del Método Montecarlo
Albornoz Cabrera Brain David
Simulación de Sistemas
lanzamientos 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
RND 0.317 0.870 0.653 0.991 0.667 0.535 0.002 0.558 0.413 0.965 0.360 0.426 0.481 0.618 0.620 0.983 0.729 0.002 0.775 0.892
Resultado (X) 0 1 2 3 4
Ocurrencia f(x)
Xf(x)
X^2
X^2f(x)
1 1 5 7 6
0 0.05 0.5 1.05 1.2
0 1 4 9 16
0 0.05 1 3.15 4.8
2 4 3 4 3 3 1 3 2 4 2 2 2 3 3 4 3 0 4 4
1/20 =0.05 1/20 =0.05 1/20 =0.25 1/20 =0.35 1/20 =0.30
d. Con los resultados obtenidos de la corrida, calcule la media y la desviación estándar Resultado (X) 0 1 2 3
Ocurrencia f(x)
Xf(x)
X^2
X^2f(x)
1 1 5 7 20
0 0.05 0.5 1.05 µ = 2,8
0 1 4 9
0 0.05 1 3.15 µ21 = 9
1/20 =0.05 1/20 =0.05 1/20 =0.25 1/20 =0.35
() ( )
24 Práctica 2 del Método Montecarlo
Albornoz Cabrera Brain David
Simulación de Sistemas
Ejercicio 8: Sea la variable aleatoria X= suma de los puntos observados después del lanzamiento de dos dados legales. PASO 1: X = suma de los puntos observados después del lanzamiento de dos dados legales.
6 5 4 3 2 1 0
6 5 4 3 2 1 0
1
2
3
4
5 6
7
8
9 10 11 12
6
7
8
9 10 11
5
6
7
8
4
5
6
7
3
4
2
3
1
2
9
10
8
9
5
6 7
8
4
5
7
3
4
6
5 6
PASO 2: Espacio muestral y variable aleatoria S = {todos los resultados posibles} S: {1,1), (2,1) … (6,6)}
S = {c,s} X ={0, 1}
Variable aleatoria
P = (S) = 236 = 236 =
X – R r -- X(r)
n = 36
X = {2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}
25 Práctica 2 del Método Montecarlo
Albornoz Cabrera Brain David
Simulación de Sistemas
PASO 3 X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
ocurrencia 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1
f(x) 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36
e. Encuentre y grafique la función de probabilidades correspondientes, realizando el método Montecarlo. PASO 4: Función acumulada de probabilidad F(x) ()
() () () () () () () () () () () () () () () () () () () () ()
() () ()
() () () () () ()
26 Práctica 2 del Método Montecarlo
Albornoz Cabrera Brain David
X F(X)
2 1/36
3 3/36
Simulación de Sistemas
4 6/36
5 10/36
6 15/36
7 21/36
8 26/36
9 30/36
10 33/36
11 35/36
12 36/36
1 35/36 33/36 30/36 26/36 21/36 15/36 10/36 6/36 3/36 1/36
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12
PASO 5: construir la tabla de transformación inversa de la función acumulada de probabilidad – – – –
f. X 2 3 4
Media y desviación estándar ocurrencias 1 2 3
f(x) 1/36 2/36 3/36
Xf(x) 2/36 6/36 12/36
X^2 4 9 16
X^2f(x) 4/36 18/36 48/36 27
Práctica 2 del Método Montecarlo
Albornoz Cabrera Brain David
5 6 7 8 9 10 11 12
4 5 6 5 4 3 2 1
Simulación de Sistemas
4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36
() ()
20/36 30/36 42/36 40/36 36/36 30/36 22/36 12/36 µ=7
25 36 49 64 81 100 121 144
100/36 180/36 294/36 320/36 324/36 300/36 242/36 144/36 µ21 = 54.83
g. Efectué una corrida de simulación de tamaño veinte – – – –
lanzamientos 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
RND 0.377 0.013 0.309 0.776 0.025 0.292 0.146 0.433 0.622 0.180 0.958 0.073 0.605 0.686 0.812 0.394 0.005 0.349 0.864 0.939
6 4 6 9 2 3 2 7 8 5 11 3 8 8 9 6 2 6 10 11
28 Práctica 2 del Método Montecarlo
Albornoz Cabrera Brain David
Resultado (X) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Simulación de Sistemas
Ocurrencia f(x)
Xf(x)
X^2
X^2f(x)
3 2 1 1 4 1 3 2 1 2
0.3 0.3 0.2 0.25 1.2 0.35 1.2 0.9 0.5 1.1
4 9 16 25 36 49 64 81 100 121
0.6 0.9 0.8 1.25 7.2 2.45 9.6 8.1 5 12.1
3/20 =0.15 2/20 =0.10 1/20 =0.05 1/20 =0.05 4/20 =0.20 1/20 =0.05 3/20 =0.15 2/20 =0.10 1/20 =0.05 2/20 =0.10
h. Con los resultados obtenidos de la corrida, calcule la media y la desviación estándar Resultado (X) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Ocurrencia f(x)
Xf(x)
X^2
X^2f(x)
3 2 1 1 4 1 3 2 1 2 20
0.3 0.3 0.2 0.25 1.2 0.35 1.2 0.9 0.5 1.1 µ = 6,3
4 9 16 25 36 49 64 81 100 121
0.6 0.9 0.8 1.25 7.2 2.45 9.6 8.1 5 12.1 µ21 = 48
3/20 =0.15 2/20 =0.10 1/20 =0.05 1/20 =0.05 4/20 =0.20 1/20 =0.05 3/20 =0.15 2/20 =0.10 1/20 =0.05 2/20 =0.10
() ( )
29 Práctica 2 del Método Montecarlo
Albornoz Cabrera Brain David
Simulación de Sistemas
Ejercicio 9: Una grabadora de cinta contiene seis transistores, de los cuales 2 están defectuosos. Sea la variable aleatoria X= el número de unidades defectuosas al extraer dos de esos transistores. PASO 1: X = el número de unidades defectuosas al extraer dos de esos transistores.
1
3
2
4
5
6
PASO 2: Espacio muestral y variable aleatoria X 2 1 0
S MM BM,MB BB
OCURRENCIAS f(x) 2 2/6*1/5 = 2/30 16 2/6*4/5 + 4/6*2/5 = 16/30 12 4/6*3/5 = 12/30
PASO 3 X 2 1 0
OCURRENCIAS 2/30 16/30 12/30
12/30 16/30 2/30 0
1
2
a. Encuentre y grafique la función de probabilidades correspondientes, realizando el método Montecarlo. PASO 4: Función acumulada de probabilidad F(x) () () () ()
1
28/30
() () ()
12/30 0
X F(x)
0 12/30
1 28/30
1
2
2 1
30 Práctica 2 del Método Montecarlo
Albornoz Cabrera Brain David
Simulación de Sistemas
PASO 5: construir la tabla de transformación inversa de la función acumulada de probabilidad – –
b. Media y desviación estándar X 2 1 0
ocurrencias 2 16 12
f(x) 2/30 16/30 12/30
Xf(x) 4/30 16/30 0 µ = 0.667
X^2 4 1 0
X^2f(x) 8/30 16/30 0 µ21 = 0.8
() ( )
c. Efectué una corrida de simulación de tamaño veinte – –
lanzamientos 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
RND 0.639 0.065 0.118 0.568 0.122 0.029 0.478 0.502 0.971 0.181 0.548 0.746 0.024 0.680 0.749 0.575 0.015 0.044 0.736
Cant. Malos 1 1 0 1 0 0 1 1 2 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1
De
Transistores
31 Práctica 2 del Método Montecarlo
Albornoz Cabrera Brain David
Simulación de Sistemas
20
0.561
1
Resultado (X) 0 1 2
Ocurrencia f(x)
Xf(x)
X^2
X^2f(x)
6 13 1
0 0.65 0.1
0 1 4
0 0.65 0.2
6/20 =0.30 13/20 =0.65 1/20 =0.05
d. Con los resultados obtenidos de la corrida, calcule la media y la desviación estándar Resultado (X) 0 1 2
Ocurrencia f(x)
Xf(x)
X^2
X^2f(x)
6 13 1 20
0 0.65 0.1 µ = 0.75
0 1 4
0 0.65 0.2 µ21 = 0.85
6/20 =0.30 13/20 =0.65 1/20 =0.05
() ()
Ejercicio 10: Sea la variable aleatoria X = el número de maletines blancos producidos en una hora en una muestra de tamaño tres extraída sin reemplazo de la planta de producción que contiene 12 maletines de los cuales 4 son blancos 5 son rojos y 3 negros. PASO 1: X = el número de maletines blancos producidos en una hora en una muestra de tamaño tres
1
7
2
3
8
9
4
10
5
11
6
12
32 Práctica 2 del Método Montecarlo
Albornoz Cabrera Brain David
Simulación de Sistemas
PASO 2: Espacio muestral y variable aleatoria X 3 2
Combinaciones OCURRENCIAS f(x) BBB 24 4/12*3/11*2/10 = 24/1320 BBR, RBB, 288 4/12*3/11*5/10 + 5/12*4/11*3/10 + BRB, BBN, 4/12*5/11*3/10 + 4/12*3/11*3/10 + NBB, BNB 3/12*4/11*3/10 + 4/12*3/11*3/10 = 288/1320 BRN, BNR, 672 4/12*5/11*3/10 + 4/12*3/11*5/10 + NBR, RBN, 3/12*4/11*5/10 + 5/12*4/11*3/10 + NRB, RNB 3/12*5/11*4/10 + 5/12*3/11*4/10 + RRB, BRR, 5/12*4/11*4/10 + 4/12*5/11*4/10 + RBR, 5/12*4/11*4/10 + 3/12*2/11*4/10 + NNB,BNN,NBN 4/12*3/11*2/10 + 3/12*4/11*2/10 = 672/1320 RRN, 336 5/12*4/11*3/10 + 3/12*5/11*4/10 + NRR,RNR, 5/12*3/11*4/10 + 3/12*2/11*5/10 + NNR, RNN,NRN 5/12*3/11*2/10 + 3/12*5/11*2/10 + RRR, NNN 5/12*4/11*3/10 + 3/12*2/11*1/10 = /1320
1
0
PASO 3 Cantidad de maletines blancos (X) 3 2 1 0
X 3 2 1 0
ocurrencias f(x)
24 288 672 336
24/1320 288/1320 672/1320 336/1320
OCURRENCIAS 24/1320 288/1320 672/1320 336/1320
672/1320 336/1320 288/1320 24/1320 0
1
2
3
33 Práctica 2 del Método Montecarlo
Albornoz Cabrera Brain David
Simulación de Sistemas
a. Encuentre y grafique la función de probabilidades correspondientes, realizando el método Montecarlo. PASO 4: Función acumulada de probabilidad F(x) () () () () () () () () () ()
X F(x)
0 336/1320
1 1008/1320
2 1296/1320
3 1
1 1296/1320 1008/1320 336/1320 0
1
2
3
PASO 5: construir la tabla de transformación inversa de la función acumulada de probabilidad – – –
b. Media y desviación estándar Cantidad de focos defectuoso s (X) 3 2 1 0
ocurren cias
f(x)
Xf(x)
X^2
X^2f(x)
24 288 672 336
24/1320 288/1320 672/1320 336/1320
0,0545 0,4364 0,5091 0 µ=1
9 4 1 0
0,164 0,873 0,509 0 µ21 = 1,545
() ()
34 Práctica 2 del Método Montecarlo
Albornoz Cabrera Brain David
Simulación de Sistemas
c. Efectué una corrida de simulación de tamaño veinte
– – –
Cant. Blancos 1 2 1 1 3 2 2 1 2 1 1 0 1 0 1 0 2 1 0 2
De
Maletines
lanzamientos 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
RND 0.400 0.889 0.637 0.639 0.984 0.899 0.777 0.266 0.901 0.741 0.749 0.108 0.444 0.023 0.269 0.109 0.838 0.565 0.105 0.849
Resultado (X) 3 2 1 0
Ocurrencia f(x)
Xf(x)
X^2
X^2f(x)
1 6 9 4
0.15 0.6 0.45 0
9 4 1 0
0.45 1.2 0.45 0
1/20 =0.05 6/20 =0.30 9/20 =0.45 4/20 =0.20
35 Práctica 2 del Método Montecarlo