El método de Montecarlo y sus aplicaciones Por vICENTE JIMEN^Z DIEZ DE ARTAZCOZ Estadístico Faculta#iva.
E1 método de Mc.^ntecarlo que surgió con objeto de resolver un dificil problema de ^`fsica nuclear en el Laboratorio de los Alamos, se ha extendido extraordinariamente en los últimos años, siendo numerosas sus aplicaciones a la I nvestigación operativa. Desgraciadarnente la bibliografía existente sobre el inétodo es escasa, pues durante mucho tiernpo fue considerado como un secreto mílitar. Sóla se pretende en este artículo dar una visión general del método, sus antecedentes históricos, su fundamenta y sus aplicaciones a la resolución de problemas determinfsticas relacionados con la Estadistica y con Ia técnica del muestreo, así como a sencillas cuestiones de tipo comercial e industrial.
l.
Anteceáentes histdricos.
En el año igq.g, en él Laboratorio de los Alamos se planteó un problema de dificil solución. Se trataba de determinar el recorrido de los neutrones cn los diferentes medios. Una solución que recurriese a los procedimientos clásicos resultarf a laboriosa y complicada. Los técnicos conocían los datos fundamentales que se necesitaban para resolver el problema; sin embargo, la dificultad surgia al tratar de relacionar los datos en una sola fórlnula. tTlam y l\`eumann idearón una solución clue esencialmente consistfa en que una rul^ta resolviera el problema propuesto. ^`^e fueron agrupando las pra^ habilid^.des de los distintos sucesos, abteniéndose una solución que qu^^ ^ daba dentro de la aproximac2ón éxigida por los técnicos. Cuando al método empleado f ue necesario dárle un nombre se le den oL ininó con c^Montecarlo». Sin embargo, la técnica matemática empleada era ya c©nocida con anterioridad. En efecto, el descubrimiento de la téCI11Ca, de Montecarlo podemos hacerla retroceder a una época remota en que un matemático legendario observase por primera vez el camino seguido por un borracho. Supongamos que la probabilidad dc dar pasos en cualquier dirección fuese la misma. El borracho puede dar los pasos en cualcluier dirección de una manera, no previsible aunque casual. Se trata de determinar a caué distancia se tncon-
^:L
MÉTODC)
I)N:
14InN1'EC.^^I.O
^' St'^ .1YLI^`AC,IO:'^FS
1,^
trará del punto de partida después de haber dado ^sr pasos, a también cuál será la distancia más probable al cabo de los ^t pasas. ^e le denominó el problema del ^^ aseo al acaso (al azar) .^iediante •una aplicación del r^t^-^estyeo adeatoyio se resolviá este problema, pera pronto se encontró que el método podía extenderse a otro tipo de cuestiones y ofrecfa grandes aplicaciones .
en la práctlca.
Estirnar tal distancia probable exigiría observar un gran número de borrachos en condiciones análogas, lo que resultaria diffcil o poco práctico. ^in embargo, puesto que los pasos se dan al a^ar, podemos simular modelos de sus pasos mediante una tabla de números aleatorios y aproxim,arnos a la efectiva situación real. Con un gran número de pruebas simuladas podemos estimar la distancia probable después de fz pasas. Prosiguiendo esta ruta histórica, más adelante ^expondremos los dos clásicos prob^enias de Buffon y de F^ ermi, que pueden considerarse como f undamento del método Monteca.rlo.
2.
Constderaciones generales sobre los problemas que resuelve el m^todo de Montecarlo.
' Sobre las posibilidades del método y el tipo general de problemas quc resuelve, nos remitimos a la autorizada opinión de diversos autores. ^ Para Donsker y k.ac, algunos problemas que conducen a co rnplicadas ecuaciones diferenciales o integrales, se han resuelto recientemente, utilizándo diversas técnicas probabilf sticas y métodos de muestreo. En su canj uñtó estos métodos son conocidos con la denominación genérica de métoc^o d'e Monte^arlo. Los problemas a Ios que se ha aplicado la técnica de Montecarlo, parecen dividirse en dos categorias. Tf pico de la primera es el problerna de los neutrones que se difunden en la materia, y en el cual las partículas están sometidas no sólo a alguna influencia determinfstica, sino también a influencias casuales. En tal problema la técnica de Montecarlo consiste en permitir que una partf cula j uegue una partida de azar, siendo las reglas del j uego tales que las ef ectivas características casuales y determinística del proceso ff sico son exactamente imitadas, paso a paso, por el j uego. Considerando un número muy ^grande de partículas, es posi-ble responder a preguntas referentes a la distribución de las partículas al final de un cierto perf odo de tiempo; el núnlero de partf culas que han atravesado un obstáculo de un determinado espesor, etc. L7na caracterfstica importante de la técnica precedente es que la ecuación funcional que describe el proceso de difusión está superada por completo, habiéndose conseguido del propio proceso el modelo probabilf stico empleado. L^ na aplicación rnás sofisticada del método de Montecarlo es la referente al problema de la deterrnin,acxón de un modelo probabilf stico o j uego, cuya solución está en relación con la ^solución de una ecuación.
^STAD^STICA ESPAI^OLA
Para Householder, el método de Montecarlo puede describirse brevernente como la estratagema para. estudiar un modela estocástica artificial de un praceso ff sico o matemática. I.a novedad principal del método estriba en la su;gerencia que cuando una ecuación que tiene por arigen un cantenido no probabilistico requiere una solución numérica, que no es f ácil obtener con los métodas numéricos ordinarios, puede existir un procedimiento aleatorio con distribuciones o parámetros que satisfagan a Ia ecuación, y puede ser efectivamente más eficiente idear tal procedimiento y calcular las constantes estadísticas que intentar la resolución por la^s métodos clásicas. Los problernas que se plantean son: dada una ecuación, ^ existe un procedimiento aleatorio que nos dé una distribución tal que ella, o una serie de sus parámetros, satisfaga a aqueila ecuación? Y en caso afirmativo, ^cuál es el métoda más eficiente para obtener 1as constantes estadfsticas? Deberá, ser evidente que el método para construir por entero la distribución no es probablemente más eficiente, salvo que 1a distribu^ión se obtenga solamente por integración de otras variables. E1 métado es fundamentalmente un método de integración numérica. Kendall y Buckland en su obra ^A Dictionary of Statistical Terms^^ , al definir sintéticamente el método de Moritecarlo, se expresan asf: ^Un término que se emplea con algunas si,gnificados diferentes. z) Para denominar la solución apraximada de los problemas de distribución mediante experimentos muestrales; este ernpleo no es recomendable. 2) Para denominar la solución de problemas matemá.ticos que se originan en una estructura. estocástica, mediante experimentos con muestras. Por ej emplo, la ecuación de Fokker-Planck. se presenta en un problema de Cálculo de Probabilidacies, y por consiguiente, el muestrea puede emplearse para obtener soluciones aproximadas aplicables al caso ffsico. 3) Por extensión del 2), la solución de cualquier problema matemático mediante rnétodos muestrales; el procedimiento consiste en construir un modelo estocástico artificial del proceso matemático y después muestrear en el modelo.» La siguiente definición, que se debe a J. Curtis, amplía el campo de aplicación del métoda extendiéndolo al muestreo artificial, que permite hallar la distribución experimental de un estimador. Se expresa asi: <
^L M^TODO DE MONT'ECARLO Y S^^ S APLtCACI(^ ÑÉ ^
t5
lf stico. En el método de Montecarlo la situación se invierte. El problema probabilístico (del que puede siempre obtenerse una solución aproximada mediante pruebas repetidas) , se considera como el instrumento para encontrar la solueión numérica de una ecuación funcional. ^ en alternativa, un problema f f sico que exige un modelo analf tico, el problerna probabil^stico equivalente es considerado corno un modelo suficiente y la deducción de una solución anal^tica se considera superflua^. Es interesante observar que el método de Montecarlo no es del todo nuevo a los estadísticos, p^ues éstos vienen utilizándolo desde hace más de cincuenta años. En Estadística se presenta el problema de hallar la distribución de un estimador o estadístico en el muestreo. Si de una población cuya función de densidad es f(x} se obtiene una muestra aleatoria simple, xl, x^: . . . . . xn
la función de densidad conjunta de la rnuestra es
f (xl) • f (x=) . . . . f(x,^) Si por h(xl, x^ •••• x„) designamos un estadfstico, la función de distribución del estadístico exige el cálculo de una integral múltiple.
F(x) = Prob [h (xl, x, • • •
xa) c x] _
^
. . . • t.•
R.
f 1^^^) ^ f \x^^ .
. . . f (^xn} l^xl dx3 . . . . dx^i ^
R •
donde el dominio de integración viene definido por la relación h(xl, x, •••• xn) C x
Puesto que el cálculo de Ia integral múltiple es complicado, los estadísticos han recurrido con frecuencia a realizar un muestreo artificial en la población dada, mediante una tabla de números aleatorios u otro procedimiento de azar, con lo que el valor del estadístico se observa repetidamente y su distribución puede establecerse empfricamente de forma aproximada. Mediante este procedimiento, la distribución experimental del estadístico no es otra cosa que un método de Montecarlo de integración numérica. Así fue establecida en i9o8 la distribución del estadístico t de Student, aunque posteriormente se estableció su distribución matemáticamente.
* * *
ESTAD^STICA ESPAÑOI^,A
Resumiendo las diversas opiniones, la esencia del método ^lontecarlc^ se fundamenta en el eálculo de Probabilidades, que históricamente surgic^ de las juegos de azar, aunque la situación está realmente invertida, es d^.^cir, a partir de un juega de azar: ruleta, baraja, Ptc., o sea utilizand^ una . . tabla de números aleatorias, deduce las soluciones. En muchas cuestione^s el pensamiento de los investigadores puede sintetizarse en la siguiente farma: Ante un problema fisica o técnico, cuya salucián se trata de encontrar y no siendo posible relacionar tadas las variabies en una sola ecuación, pues aun en el casa de que se pudiera hallar resultaria de poca utilidad en la práctica, se intenta idear un juego de azar q ue resuelva la cuestión sin recurrir a ecuaciones. I:,n otras ocasianes el problema clue se trata de resolver es la soluciórl de una ecuación complicada y utilizanclo los rn^tados ordinarios no se resolveria dentro de un tiempo especificacio, será, pues, necesario intentar algú r^ pracedimiento estadfstico que proporcione la solución del problema. Como inconvenientes del método i^Iontecarlo, pademos citar que en ocasiones es necesario realizar un gran número de cálculos, por lo quc.^ puede resultar prohibitivo desde el punto de vista económico y por otra parte los resultados son sólo aproximados. E1 m^todo se ha usado principalmente en problemas de flsica x^uclear, l^err^ actualmente se ha aplicado con é xito en el campo de la Investig^LC1óI1 C)perativa, siendo corriente su empleo en probiernas de producción: tr^^Tlsporte, centrales telefónicas y control de existencia^ .
3.
Problema de Buifon.
Fiistóricamente, el prime,^ f undamento del m^todo de l^Zontecarlo, que permite resolver proble las deterministicos mediante experimento5 mue5-trales, lo constituye el clásico problema de 1_iuffon, que consiste c^n lc^ siguiente: «Se tienen sobre un plano una serie de paralelas, siendo 2 d la distanci^i entre cada dos de e'nas. Se lanza al azar sobre el plano una aguj a de longi tud 2 1 ^ 2 d y se trata de hallar la probaY^ilidad de clue la aguja corte ^i alg^una paralela.» Sea x la distancia del centro de la aguja a la paralela más próxima, y de^ignemos por ^w el ángulo que forma con ella. Para evitar paradojas debe precisarse qué se entiende por lanz^,r una aguja al azar (Z). Supondremos que x tiene una distribución uniforme en c^l int^ervalo ( o, d), es decir, que el centro de la aguja se toma al azar eiz l^il^ punto del segmento perpendicular a las paralelas, Igualmente suponrlt•c( i)
^'^ asc :^rxTC^ Río^: a:^^tétc^dc^^s ^^stadisticus ^^, ^.a c^ciici^n. l^laclricl, i r^G r.
EL MÉTODO DE M^NT'ECARL4 Y SUS APLICACIONES
2d
mos que w es independiente de x y tiene tarnbi^n una distribución unifurrne en el intervalo (o, ^c). "I'odas las posibles posiciones de la a^uja están determinadas pur lo:^ valores x y w de l05 puntos ciel rect^ángulo de lado5 (d, rc). La fur^ción dc^ clensidad conj unta será I ._____ para
d^t
u Cx ^c^
^ o c w=^ ^t
1,1 1^uja cc^rta a al^una paralela cuandc^ 4e cumple la condici^íi^ .^ ^ l sen c^^ lucgo la probabilidad pedida se encontrará calculanda l^^ si^;uientc^ it^te^ral cioble: ^
I
z< 1 sen ^^^
^. I
^ ^, n
I
d^ d x c^w = d_._
^^ ^-
j SCIi ^^^
d c,^
x o
:
^ l seR ^^^
c^x ^.--
dw
^ 0 ^ 0
'^
I d ^r
o
lsenwc^w--^-
l c^ rc
^
Cc^s c^^ Il
Zl c os ^ -^- c«s c ^ ^ = d ^r T)r la fórmula anteric^r, se deducc^ ^ -..-T d ^ ^iendo l y d constantes, si de al^una fortna calculáraIiios ^, tendríamcr^; rlNterminada ^r. .
f^STA DÍSTIC:^ ESY.^ÑC)I.:1
I^
5i lanzáramos la aguja un gran númGr+^ de veces \i y contárainos el ilúmero ^i de ellas en que la a^uja corta a alguna paralela, la frecuenci^^ ^^t relativa - es una estimación de ^i, es decir: N ^._•. ^ ^rt d^N Si hacemos que la distancia entre las paralelas fuese doble de la longitud dc la aguj a, o sea
2d =41,
- Z
con lo cual
es decir, dividiendo el número de lanzamientos por el número de veces que la aguj a corta a alguna paralela, obtendrf amos un valor aproximado del número ^c, con lo cual un problema deterrninístico ha sido resuelto de forma experirnental. Por tanto, un problema analftico, la determinación del número ^, que la (_^eorr^etrfa clásica resuelve por el método de los perf inetros o el de los isoperf inetros, ha quedado reducido a determinar una probabilidad, y después estimar ésta por una frecuencia relativa.
4.
Problema de Fermi.
^ n este problema se trata de calcular la anchura de una puerta, utilirando una regla sin divisiones, conociendo únicamente que s^^ longitud es 1 rnetros y mayor que la anchura de la puerta. Podernos idear un modelo probabilfstico formado por una ruleta de I ^netros de diámetro, colocando sobre la ruleta dos rectas paralelas, cuya distancia entre ellas sea igual a la anchura de la puerta, de forma que el centro de la ruleta coincida con el centro ,geométrico de la puerta. I)esignemos por a la anchura de ésta. Un valor aproximado del ángulo r^ puede obtenerse de la siguiente forma: Se tira a la ruleta un gran número de veces que designaremos por ^z y sea ^i' el de veces que la ruleta queda dentro de las paralelas. La proporr•i ^^ n 2 ^
n'
r3f^c^^ ^ -_ _ ,t
^L MÉTODO DE 1btONT'ECAR^O Y SUS APLICACIOI^E4
% (^
l^errt^ite ciesPejar el ^.ngiilo ^ ---- I $Oa ^'
^z
Conocido ^ y la longitud total de la rc^la I, l^^ ^inchi^ra de la puert^ se t.^^tendr^ mediante la fármula a
l
2
2
cos g°
`^ 2
- 1 sen `^ 2
2
luego a ---- l sen `^ ^ 5.^--Aplicación al c^ilculo de una integra! definida. A continuacibn aplicaremos el rnétodo cic Montecario al cálculu de uIla integral definida. Así, por ejez^plo, si se quiere calcular
^O
^!STADfsTIC.4 ES^^ÑOLA
se establecerá un modelo estocástico de forma que la probabilidad dc^ quc^ un punto tomado al azar en el rectáng^ulo R, quede dentro clel área encerrada por la curva, ser^:
Area encerrada p_or la curva A Area del rectángulo R`^ R lue^o, A -= R p F l pr^blema queda reducido a esti mar dicha probabiliciad mediante un 11111f':;tr^0 utilila.ndo una tabla dc números aleatoric^s. l;le^idc^ un puntc^
Y ^ f tX^
0 I^ i^;. 3.
al azar con abscisa comprendida entre a y b, si la ordenada del mismo fuese inferior a la de la curva, constituirá un éxito E, y si fuese superior, un fracaso h. Realizado un número suficiente de experiencias, la frecuencia . relativa E b_ será una estirnación de la probabilidad ^ y el ^.rea sE^rá ^ ^^FaroximadamPnte
A -- ^` ^ E_. E -f- F Como ejelYyplo, calcularemos el á.rea bajo la v al^scisa comprendidos entre cero y uno, es decir, 1
0
I
^
x^
- c^^ ^ c^:^^ ^
,I
para valores de la
^:1.
:^1ÉTODU DE MONTECARL,O 1' sUS AI'LICACIC)NES
2I
l:sta cuadratura no se puede calcular por los métodos generales dc intc^;ración, exigiendo el desarrollo en serie de potencia del integrando. Aplicando el método descrito anteriormente y utilizando las tablas auxiliares de Estadfstica de Royo y Ferrer, se eligieron las dos primera5 columnas de la tabla de números aleatorios (página 3) consideradas como • abscisas con aproxirnación hasta las centésimas. Las dos columnas siguientes se toman como ordenadas de los puntos elegidos al azar, con análoga aproximación. E1 criterio para decidir si el punto queda dentro del árca consiste en cornparar la ordenada muestral con la ordenada de la v(o, ^) correspondiente a la misma abscisa, que proporcionan la tabla V, <
Urden.id:c muestral
Ur^ienada d^ la (o,t )
4^
^^
3^53
^3
oc^
3c) ^t>
3t> ^ ,5
-}h .i-^
373^^^ 3<^ ^ i
f^^ :^ 4
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3! f^( ^
c^^^
^;7 ;;,ti t c^ '^^
=5 ^ t^ 35"= ;y ^ c^ 1; ^^i^ ^^
07 ^)o
yc^ o^
.ic^tio
^^^^ -^7 t c^
,
I:
l;
3 4 -^ ^
_>bf^ [
I:
1'uc^stc^ clue ^^n cste caso el rect•ángulo ha cluedadu cutlvcrtidu eti u^i euacíracío cle lado uniclad, el área ser^í aproxilnadamcntc A -
E -}- F
1^ealizada la experiencia para diferentes valor^.^s de ^c, se obtuuicroti los siguientes valores: , ; n yt ^i ^r rr ^t
= 40; == 80; -- roo; _^._ it ^o; -- i(>o; . ^oo; ,^
}: = ^ 7; 1' =-- ^3; E= 33: 1' -^- 47; E ^- 3^; ^' _= 6z; l~: --- 43; 1^ =- 77; 1; ^_^ 5(^; 1^ __._ i c^4; 1: ^-.^ ^5; l^ ^=- i 3^;
;^ ^- ^,.I^S 1^ _::_. 0,45 .^, =- 0,38 .^^ ^_ o^ ^ 5^^ •1 =-- o^3S :^ --^- o,3z5
ESTAI)ISTYCA ESPA1'dOLA
22
I.as t^cblas cíc^ ár^^as de la distribución v(o,T) daxi I
.l
^-_--_ e ^,
^ z^ _
2 d^ = 0,3 4 I 3
^, 2 r^
A la vista de los resultados anteriores se observa cómo se van estabilizando los resultados hacia el área verdadera y cómo para n-= IoO se obtiene la primera cifra decimal exacta, de acuerdo con Ia fórmula de error i del métoclo ^^Iontecarlo, clue aproximadamente es .. 1` ^ l.c^s rc^sultaclc.^s anteriores se rehresent^.n en el ^;ráfico de la 1^ i^;. 4.
Ql
^
^
^
^
^
_
eo ^oo ^^o ^ ao zoo Ní^rrioro d^ pruebos Fi^. ^.
l^n E^ste ^ráfico 1^^ estabilización de los resultados nos indica que el núrnr^ro clc pruebas realizadas es suficiente.
h.--^--Aplicacián al muestreo por conglornerados. ^'olviendo a la ruta histórica esbozada al principio del artfculo, mediante la aplicación del método de Montecarlo, se trata de encontrar a qué distanci^. de un cierto poste se encontraría un borracho después de haber c^laclc^ ^^ pasos al azar.
1.1.
:^IFTODU DE :^iONTEC.^RLt) 1' sLS .1PI,IC:^CIC^tiES
2^i
Yara sirnplificar el problema suponganlos que los pasos sólo puecle^^ ser dados en las direcciones de los cuatro puntos cardinal es y con la misnla p^robabilidad.
Un modelo estocástico que nos permita hallar las direcciones de los pasos del. borracho se . establecerá de la siguiente forma: LTtilizando dos columnas de una. tabla de núr^^eros aleatorios, los comprendidos entre o y 24 determinarán la dirección ^"orte; entre 25 y 49, la Sur; 50-74, l.:ste, y 7^-gg, Oeste. En la tabla si^;uiente presentamos los resultacius obtenidos, utilirando lati t^^.blas auxiliares de ^:;stadística de Koyo `T 1^ c^rrer, página 5.
F'1so
Números aleatarios
DireceiLn del desplaz^miento
(;uc.rrd^nadas del pu^ito
histancia ^il post^
5e^ún la tabla anterior, la distancia del borracha al l^oste coincide c^c>>t la rafz cuadrada del núrnero de pasos, cuando ^stos fueron 1, 5, zo, z7 y 2c^, es decir, si el borracho dio 2o pasos, la dirección al poste es -^ 2^ . Podría pensarse que el resultado ^.nterior ha sido deinasiado casual. Calculadas diez tablas coma la precedente, l^^.s distal^cias para ^^ _= 2o pasos fueron las si^;uientes: ^, ^ r ^ , L^' ^ c^ , ^, ' 5 ^ , -^ 4 , 1 ^' z o , ^,r^ ^ o , -y' z o , 1^^ ^ , ^^/ b y -^,^ 2 0 ,
cuya media aritmética es 4,2y268, que se estabiliza, l^aci^l ^, ^ac^ =--^ ^.,.^^Z I.
.^^.
ESTADÍSTICA ESPA:rTOLA
f)ueda, pue:^, establecidca lnediaY^tc un ^iontecarlo que la distancia, er^ l^rc,medio, será v'ñ . 'I'ambién n^ediante un ^ir^ntecarla puede establecerse que la distancia rr^ániina entre n puntos situados aleatoriamente en un plano es proporcional a 1,/ñ . ^ ste importante resultada afrece una interesante aplicación al muestreo pc^r conglomerados. C'c^nsideremos el problema de determinar la unidad óptima de xnuestrco, c^ sea el tamaño óptimo del conl;lomerado, que propcarciona la inforniación ^náxirl^^i para los fondos de que se disponga. :^i clesignan^os por zz el número de conglomeradas que forman l^arte dc^ la tnuestra y por 1^f el tarnaño poblacional de cada conglomerado, dos til^c^s larincipales de cc^ste pueden considerarse: z) Coste debido a la enumeración de las n.^I unidades secundarias, incluyendo ^astos de transporte dentra del conglomerado. a) Coste del tienll^o empleado en viajar de un conglomeraclo a utru y cc^stF del transporte. ^i c, es el coste dc^l prinler ahartt^dc^ y c, el del se^undo, el coste tutal cle las trabajos de campo será: C-^ cl n M-}- c, ^^í n ti^a rlue, en virtud de lo anteriormente ex_puesto, la distancia lninitna entrc sa puntos aleatorios es proporcional a-^/n . ^i designamos por L' (z) la varianza de la mcdia niuestral y obtenemo5 los rY^íniiii^s condicionados de la función . ^ = T^ (x) -i- 1^ ( c, yt 11l -^- c^ ^tif n
(: )
llar^ hallar los valorc.^s cic ^i y 1L^ cle forrna que la varianza sca t^lini^t^a para, un c,c^ste c^speeifieaclo, sc puc^de deY^lostrar que (^)
(;___ _cl __._ _..M __^_ .
^ constante.
ii 2
C'oYno cl aumenta cun la duracián de la entrevista, y c^ disminuye si el coste de transporte se reduce, el tamaño óptimo de unidad M será menor cuando: a) cl aumenta, es decir, aumenta la duración de la entrevista. b) c: disminuye, o sea el coste de transporte se reduce. c) C^ aumenta, es decir, se dispone de un mayor presupuesto. , ( r) aM tac;;trc^a clc^ ^^^il^l:acic ^ n^^^ finit^^sa, ^,c,r .1 ^^5^:t.r^u (^:^^.^_^^.^ n^t1:^tc^. f^A:^t^L^^, ntíinc^^u ^ ^ , c^neru-ITl^ii^zu ic^tao.
I^_^'r.^ ^>í^ j'tc: :^ 1^:5-
I±;I.
25
1^iF:7'ODC) I)^ ti1UN1'^^G.4F^iL() 4' tit^ti :1F'I.ICAC'IC)?^ 1;;^
7. ---Aplicación a un problema de tipo comercial. Supongamos que la demanda de una mercancía es una variable ale^^toria con una distribución de probabilidad especificada. ^e desea saber la cantidad a que deberá comprar diariamente un comerciante para que la ganancia sea máxima, sabiendo que gana g pesetas por kilogramo vendido y pierde m por l^ilogramo que no tiene salida en el día de la compra por tratarse de un ^Lrtículo pere.cederc^. l^esolvere^nos c^l problcnla nYatcmátic^cnlcntc^ ^^ lilccliantc cl I11^tUClU cíe y
1^^Ulltecarl0. .
. •
.^c^l^ccto^t ^raatemc^tica. ^ea ^=-= x la cantidacl dcmandacia diarialYleYltC?. I'ara quc^ la g^^nancia sca la mayor posible, deberemos hacer máxima la esperan•r.a matemática cle dicha ganancia, que designaremos por G(a) y tiene por expresión ^
a-i
«__ ^
na ,^ (a - x ) ^i.^
.^;' [G(a)] = ga ), ^x -f- g ^^ x^x 0
a
0
Puesto que sc trata de determinar a para que [^] sea xlláxirna deberán cumplirse las dos condiciones E [G (a -}- I ) ] ^' [G (a
E [G (a) ] `^: o
[2]
I ) ] ------ .^ [(^ (a)] `^ o
^3^
Calculen^os primeramente .^' [G(a -^}- 1)] (i): .F [ <^ (a -^- I ) ] = Qq
R
^l 1
1
_- g (a -^- I } ^ ^x -}- g ^ .^^i ^ o
a -}-1 ^
^
1
?tt ^ (cz
a
a-}-1
0
-- x ) p= __
u
^._ ga ^, ^, z --}- g ^^ ^ ^z -}- g ^ x ^h x -- m ^, (a rr -}- 1
.^ i
u^ a
x) ^x
()
a+^
U ^
oc
== ga ú^ px -^- ga Prob. (^ = a)
^
^^a ^ ^.^
ga Prab. (^ = a) -}- g
^ a -^{-1
^x --^-
(^) Véa.se ciONZALO ARNAI2: Apuntes cle l:st^dística de lti 1^^LCUltacl dc Cic^ncias :l^:conómicas, clonclc se resuelve tin problem^^, scrnejal^te, pero ec ^ n l^i clifereneia clc^ clue se pa^;an niult^^.s I^or derna,nda insatisfecha, c^,so clue no sc h^c cc^nsiclcra,clc^ cn cl prc^scntc ejcmplo, piiesto cluc sólo cx isten pt^rdida.s 5i la canticlad ^^,lmaccnacía supcr^^ ^c la dcmandada.
I;:^`f:^13ÍSTIGA
ESPAIrOLA
a-- t
u
a ----^ 1
I'rc.^b. (^ =-= a) _._.. ^^c ^^ (a
-.^- g ^' x^ ^
,x) ^it
m^ ^x 0
U a
oa
__ .^ ^(^(a)] -^- g ^ ^= m ^ ^i^ ^ a^ + 1
==- ^' ^G(a)] -^- g [z
0
Prob. (^ ^ a)]
^^a Prob. (^ ^ a)
f'ar^^, yue se cu^npla [2] deberá verificarse: g,C lg -f- sri) Prob, (^ ^ a} g g -+- m
Prob. (^ ^ a^
lue^c^
A continuación calcularnos E[^(a E [G(a
a-2
-,
a---2 ^
^
x) ^^ ---
l) ^ 1^x ^- g,^ x^^ -- ^yz v o
a-- i a
i)]:
i)] = a,
._--= g ia
[4]
^
a--2
a--^
a-2
:,^ , -^ a ^-^ g v^x -+- g^ xp y sn ^ ^ (a x) px -{-- ^ri ^ --= g^^= Q--1
o
^-- i
0
0
^ (^ ^ ^ a __-._ I) -_____ g ^, ^, ^ ...^ i) -{- ga Prob.
^ ga ^^ ^s ga Prob. (^ _ = a
a-^
^-^ u- 2
--^- g ^.^.J^ x^ x -^ g (a ^-- i ) ^'rob, ( y == a
r)
i ) Prob. ( ; .^-^ a -- --
g ca
0
«^^^^
u-- ^
--- tyr ^^ ( a ---- x) fi x ---- is^t T'rob. ( ^ __- a --- i ) -^- m Pro b. ( ^ = a -- z ) -}- ^1c ^, f^ x o
^
^
o ^r--- - t
^
^
:__-- g u ^^ ^:^ --}-- ga ^'rob. ( ^ ^.^_ Q __ ^ ) _ _ g `^^ ^x _^. g ^' a,,r ^ :r ._._. _. a-l
a
0
a- 1
-- ,g (a -- i ) P r o b . ( ^ -.^__ u ___ z )
ra2 ,^.^, ( a -__ _ x ) p ^ -^- m 1'ro b . ( ^ ^ a u
---^= .^' [^(a}] -{- ga Prob. (^ _== a
--- ^a Yrob. (^ ^. -_- a . . ^_-_ ^^^ ca)]
z)
g [i
Prob. (^ <: a
^ } -{-- g Prob. (; ^-:, a -_ -- z } --}- ry^ Prob. , ^ -^ a b-^- g Prob. (^ •^ u---^- ^) -^- ^^^r Prob.
^a
z
^.L MÉTODO DE MOIVTTECARLO
^' sU5 A^'LICACIUNES
1'ara que se cumpla [3] deberá verificarse: (g --}- tn) Prab. {^ c a 1) ^ g 1 u ego
Prob. ( ; ^ a z) ^
Las desigualdades [4] y[5] determinan la cantidad a quc satisface las condiciones del problema. Supongamos que la demanda se distribuye según la distribución de Foisson con media a== io. Si i25 pesetas es el precio de compra y z5o el cle venta, será g- 25 y^z = I25.
t^tili^ando la tabla I de la distribución de Poisson y puesto que -- -- 25
g g -#- m
-- o,ibbó,
tenemos
2^, -^{-^ 125
Prob. (^ ^ a) -- Prob. (^ ^ ^) i o,2^03 > o,i666 Prob. {^ c a
i) ^ Prob. {^ < 6) = o,i3o2 ^ o,i666 '1'ABLA I
l'robabilidades de la distribucidn de ^'oissost de ^ar^írn.etro x-- to
^^^ Valor de x
(2} Prob. (; = x)
('^ Prc^b• (: ^ X)
(41 Núm. de Kg. demandados
(S) Intervaios para númcros Aleatorios
0 ^ Z 3 .} 5 6 ^ 8 9 ^o ^r ^z c3 ^4 t5 ^^ i7 18 i9 20 :z i 2^z
0, o000 o,ooos o,ooz3 0,oo^(i o,oi$g 0•0378 0,063 i o,ogoi
o, ^ 137 o, 0948 o,o7zg 0,05 z t 0^0347 o,oz I 7 o,olz8 o,oo^i 0, 003 7 0,0o I c^ u,ooog o, o00 4
0, o000 o, ooa!ç o,ooz8 o,ol04 o,©293 0,06? ^ o, z 30^ o,z2o3 0,33?9 o,45go o,583i o,6g68 0, 79 i tí o,8645 o,g i 6b o.9513 0.973o 0,9858 o,9929 0,9966 0,9985 o,9994 0, 9998
--i 1 3 4 5 6 7 b <.^ io zi I2 r3 z4 ^5 I6 ^7 rg ^g 2O ^2 ^ .z -
----i-5 6-28 2g-io4 Io5-793 z94-67 ^ b^2-i 3oz z3o3-2203 2204-3329 3330-4580 458^-583t 5832-6g68 Ugóg-7g i 6 79; 7-$64S 8646-g z 66 916?'9513 9514-9730 g73z-9858 9g39-9929 c^93o-gyóó c.^9^ 7-9^)85 c^c^^i^ ^ -c^gc^^ c^c^9 5-q99 8
23
0, o0o z
t, o000
^3
c^yc^c^- i ooc^c^
0, I I 26
0, i 25 i o,I2SI
i
H :^"1'r^Uf sTICA ESI'AI^iOI,:^
I,^^ solucicín m^ltei»átic^:^ clel problerna indica clue, cn pron^cdi^^, ^^. ,^^.n^it1ci^^ será máxima cuando el comerciante tenga a disposición del público 7 kg. de la mercancf a. S^olución ^nediante el r^tétodo Monteca^lo. La solución del problema mediante el niétodo Montecarlo requiere, primero, realizar un muestreo artificial en la población que constituyen las posibles cantidades demandadas diariamente. Con este fin, la columna (3) de la tabla I, que da las probabilidades acumuladas de la distribución dc Poissan, nos permite escribir los intervalos de la columna (5), de forma. que a un número aleatorio le corresponderá una demanda expresada por los números de la columna (4). Asf, por ejemplo, el número aleatorio 22io indica una demanda de 8 kilogramos. Utilizando cuatro columnas de una tabla de números aleatorios, transcribimos Ios diez prirneros resultados, asf corna los beneficios para los distintos programas de ^o, g, 8, ^, 6 y 5 kg a disposición del público. Realizada la experiencia para 20o días se obtuvieron los beneficios tot^.les de la última fila de la tabla II, que confirman los resultados obtenidos en la solución matemática.
8.
Aplicacián a un problerna de tlpo i ndustrial (z)
Supon;gamos que un aparato se compone de dos piezas, partes o ele^nentos, que eventualmente pueden .dejar de funcionar. Por experiencias anteriores se conoce la distribución de probabilidad de la duración de cada uno de los elementos expresada en horas. Se desea conocer la duración del conjunto constituido por ambos. Supongamos que la duración de] primer elemento se distribuye v(ioo, 20) y la del segundo v(80, i o) . Mediante la aplicación del método de Montecarlo podemos elcgir al arar la duracíón del primero, asf como la del segundo y observar el tiempo d^; duración del canjunto, que será la del elernento que lo tenga menor. LStilizando una tabla de desviaci.ones aleatorias de la distribución v(o, i), obtenernas las desviaciones aleatorias ^^ y^^, columnas (2) y(3) de la tabla III, tomadas de la obra aProntuari per calcoli Statistici», de Silvio Vianelli, Prontuario CLXVI-Scarti normali casuali. Si designamos por ^1 y^$ la duración aleatoria de cada uno de los elemeñtos, rnediante 1a fórmula:
(1) llivcrsas a^^licaciones ^il C^tI71pU inc^ustrial pucd^^n v^rsc cn .I.vis ^R()CA5 "E1 iu^^tu^lu Mc,ntccarlo.^^---.^plicaciones".--Institutu Nacic^n^Ll tlc IZ^^,cic^naliz:.^ción dcl "i^rabajc^.
^L M^TODO DL 1'I^i^NTECARLO ^' SÚ`S APLICACI(^NE5 "1' .^. 13 L :^ I I i ^ntidad
Núm. aleato-
dem^ndada
rio
^ '
i "
^ 0 kg.
9 kg.
f
5084 4371
[ I
9
9.25-i.i25
g.25 g.25
Io .25-
^
b kg.
^ kg.
.
^.
_
--------
8 kg.
S kg.
___._..
8.2g 8.z5
?.25 l.^^5
6.25 6.25
5.2$ 5.25
2534
^
8. 2 ^ -2. I 2g
8.25- I. I 25
8.25
?. z ^
6. 2 ^
^. z$
3ti6 ^80(^
8 t2
8.25-a.i 25 to.25
8.25-I . i 25 g.25
8.25 ^3.25
^.z5 ?.25
6.a5 Ci.25
5.25 S.zs
2^)O ^
í^
f^ .2 ^ -2. I 25
8.25- I. I l ^
8.2s
?.25
f1.25
5.2,^j
5.25-5. i^5 5•25-4. I 2S S 0543 ^ c^ 4H^i2 x o.25 q. r 5 to ro.25 ' y.zS 5374 i:z xo.z5 g.25 7293 ..... ...... ............ ............ ..... ...... ............ ........... .13ene#i cios totá les....
770o
5.25-3.I :.^ 5 5.25-I .1 ^5 5.25-2. i 25 ' ^. 25 6. 2 5 7. ^5 ^.z5 6.25 I ^`^•=5 H.aS ?.25 6.25 ..........., ............ ........... ............ ............ ...........
17550
22goo
25850
5•25 5.25 5.25 S.zS ....... ...,.
2580o
183So
que permite pasar de los valores de la v(o, i) a los de la v( x, Q) , y considerando los datos del problema, se tiene: ^^ ^ zoo -{- 20 ^l r==8o-}-zo^^ obteniéndose de esta forma las columnas (4) y(5). La duración en horas del conj unto aparece en la colurnna (6} . En l a tabla III, transcribimos los diez primeros resultados. '1'^^BL^^^ Desviaciones normales aleatorias
III Duración en horas
Observaciones { N.^ de orden) (^)
^ 3
4 5
c) 7 ^^ c^
Io
Duración en horas del con^unto Muestra t.^ (a>
o, 28 -- x,52 I, ^ z 0,42 __._ i ^ o ^ ____. o, 35 -^^ ^^37 --- o, 3 t^ 0,09 ---- o, 3 t3
Muestra 2.^ (3)
Del a.er elemento (4)
Dzl 2.^ elemento (S)
93 78 7^ !^^ 7 83 83 7^ 75 99 xo4
I,3t
^06
------ O, I ^
^U
0,95
130
O, ^g
10^
0,3 z
7 ^^ 93 93 g^ Io2 g2
O, 2 O
- 0.39 - 0.50 x,gx 2^37
(6 j
93 %U 7L i^,
^^^ 83 7^ 75 99 9z . ........ ....
^^C)
ÉSTADÍSTICA E5PAÑOLA
Realizadas un número suficiente de pruebas puede obtenerse el promeclio de la duración en horas del conjunto, hallando la rnedia aritm^tica de la columna (b}, así como su desviación tf pica, que nos dará idea de la representatividad del prornedio. Por otra parte, también podria hallarse la distribución experinnental de la distribución de la columna (6), que nos permitiría obtener conclusiones en términos de probabilidad. I3II3LItJGRAFTA GoxxwLO ARr'A12 VELLANllO: ^^i puntes de L^stad^ts#ica de la Facultad de Cieyicias Fconvr^licas. ScxTO Ríos: alétodos estad^sticos. 3.^ edición, Madrid, igbY. I.vts AROCws: »L1 métodr^ de Montecarlo.---Aplicacic^,nesM. Inatituto N<
^í. WAGNER: ^A Montecarlv study of estiniates of sirnultaneos linear structural ec^uations ^>. Econo»xetrica. January igg8, vol. ^^6, ntím. r. 1- LAM, S. Y METROP^LIS, NICHOLws: t 1 he ?^^Inntecarlo liethod^ ^ , f o^trnal o^ tfie .^^ r^iericnu .5tu#'IStlG41I :9 ssociatiorc. Vol. ^,I.
