Simulación 3D de Controladores en Matlab para un Péndulo Invertido

Péndulo Invertido, Escuela Politécnica Nacional, Nacional, Quito, Agosto de 2016

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Diseño e Implementac I mplementación ión de Controladores para un Péndulo Invertido con Simulación Virtual 3D Darío Fernando Lema Vela, María Gabriela Campoverde Robles, Xavier Iván Aguas Haro Ingeniería en Electrónica y Control, Control, Escuela Politécnica Politécnica Nacional, Quito, Ecuador

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Resumen — En En este artículo se presenta el desarrollo de diferentes controladores para la estabilización de un péndulo invertido, basado en realimentación de estados a partir de un regulador lineal óptimo, PID, tiempo finito, tiempo mínimo y Ragazzini. Dicho estudio consistirá en una primera parte en la que se realice un modelado matemático del sistema, obteniendo las ecuaciones que lo describen y realizando un modelo del mismo a partir de ellas. En la segunda parte se realizará varios diseños de control utilizando la herramienta Simulink de Matlab de tal forma que partiendo del reposo mantenga una posición vertical. En el ejemplo propuesto se demuestra que la barra se puede mantener en posición vertical para una perturbación dada lo suficientemente pequeña. Como resultado de esta experiencia se tiene una plataforma que permite evidenciar el control PID. Palabras clave — Regulador Regulador lineal óptimo, Péndulo inve rtido, Ragazzini, Controladores.

I. I NTRODUCCIÓN L desarrollo de controladores es muy importante en el mundo para la automatizaci auto matización ón de los diferentes procesos industriales. De manera que diseñar controladores que funcionen correctamente para sistemas físicos lineales y no lineales, es el reto de un ingeniero para generar grandes avances en la industria. El control de un péndulo invertido constituye un problema clásico dentro del campo del control no lineal. Existe una amplia gama de controladores ya sea lineales, no lineales, óptimos, robustos, predictivos, etc. que han sido diseñados para esta aplicación en específico. El objetivo es diseñar un controlador que permita estabilizar un péndulo invertido así como el desarrollo de una aplicación capaz de simularlo. El carro deberá moverse para compensar el desplazamiento del péndulo y mantenerlo, así, en equilibrio. Su aplicación en la vida cotidiana va desde el control de estabilidad de grúas, hasta la construcción de vehículos de desplazamiento para humanos que implementan este problema, como es el vehículo segway.

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II. MODELAMIENTO DEL PÉNDULO INVERTIDO Para obtener el comportamiento del sistema de estudio, se plantea el modelo modelo matemático del péndulo péndulo invertido sobre un carro y se analiza el modelo matemático a partir de las leyes de la dinámica de Newton, de la cual se obtiene el modelo no lineal y las ecuaciones de estado lineales que representa el

Fig. 1. Sistema de estudio “Péndulo Invertido” Invertido”

El sistema a analizarse se compone de un péndulo cuya masa se concentra en un punto a determinada longitud unido a un carro el cual se mueve en una sola dirección (eje x). El péndulo rota libremente libremente en e n torno a un eje e je paralelo al a l eje z y un punto fijo en el móvil, su posición de equilibrio es en 0 radianes con respecto al eje y. En este sistema se consideran la masa de la barra cuyo signo es m y tiene un valor de 0.32 Kg, además se tiene la masa del carro denotado como M y con valor de 1.2 Kg. Por otro lado, se considera la fricción del carro, el cual depende de la velocidad de este, con símbolo b y valor de 0.11 N/m/seg. Como último parámetro del sistema se tiene l la longitud de la varilla cuyo valor es de 0.36 m. Es importante mencionar que el momento de inercia del sistema se considera despreciable. Una variable que aparece internamente al momento de efectuar las operaciones de las leyes de Newton es N la fuerza Normal que ejercen recíprocamente entre sí el carro y la masa. La señal de entrada de control es la fuerza horizontal ejercida sobre el carro y las señales de salida es el ángulo y el desplazamiento en x del péndulo. El modelamiento matemático del sistema permite analizarlo y establecer sus parámetros de entrada y salida, se puede utilizar un modelamiento lineal para poder simplificar dicho análisis pero se debe tomar en cuenta que el sistema se estabilice alrededor de un punto, que para este caso es en el ángulo con el eje e igual a 0 radianes ( =0 []), además se

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Péndulo Invertido, Escuela Politécnica Nacional, Nacional, Quito, Agosto de 2016 debe considerar que el sistema no varía en gran medida alrededor de este punto, y para este caso el sistema se considera lineal.

Considerando esto se procede a linealizar el sistema alrededor del punto de equilibrio, por lo que se plantea el siguiente modelo: Fig. 3. Fuerzas influyentes influyentes sobre el péndulo

TABLA I PARÁMETROS QUE INTERVIENEN EN EL PÉNDULO I NVERTIDO Símbolo

Descripción

Valor

M

Masa del carro

1.2 [Kg]

m

Masa de la barra

0.32 [Kg]

En donde: =Ángulo entre el péndulo y eje y de referencia m=masa de la barra N=Fuerza normal por el carro

b

Fricción del carro, que depende de la velocidad

0.11 [N/m/seg]

Fuerzas en el eje horizontal: hor izontal:

l

Longitud de la varilla

0.36 [m]

g

gravedad

9.8 [m/ ]

N

Fuerza Normal entre el carro y la varilla

-

Planteando las ecuaciones de fuerzas influyentes en el carro: carro :

Fuerzas en el eje vertical:

Fig. 2. Fuerzas influyentes influyentes sobre el carro carro

En donde: F=Fuerza que empuja el móvil hacia adelante b=Constante de fricción fricción entre el móvil y el piso N=Fuerza normal por el péndulo péndulo M=Masa del móvil

Sustituyendo (1) en (3):

2








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Por lo tanto las funciones de transferencia de posición del carro y ángulo del péndulo son: En (7):

Sustituyendo (9) en (8): IV. CARACTERÍSTICAS ESTACIONARIAS DE LA PLANTA El sistema cuenta con un espacio de estados de cuatro dimensiones, cuyos estados son:

1: Desplazamiento en X 2: Velocidad en X 3: Ángulo del péndulo 4: Velocidad angular del péndulo III. VARIABLES DE ESTADO Una vez obtenido el modelo matemático linealizado del sistema se puede representarlo en variables de estado, de esta manera se puede saber el comportamiento dinámico del sistema en un conjunto pequeño de variables.

El carro se desplaza en el únicamente en el eje X. La entrada de control es la Fuerza en el eje horizontal aplicada en el carrito, mientras que las salidas son la posición angular del péndulo  y la posición horizontal del carro X.

De esta manera se determina las variables de estado de este sistema, las cuales son:

De las ecuaciones (9) y (10) se tiene:

Fig. 4. Representación en variables variables de estado SIMULINK








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La estructura de un controlador PID es simple pero en ocasiones su sencillez puede ser también su debilidad. Considerando un lazo de control de una entrada y una salida (SISO) de un grado de libertado obtenemos el siguiente diagrama:

Fig. 7. Diagrama de bloques bloques para un controlador controlador PID

Fig. 6. Salida de desplazamiento desplazamiento y ángulo

La forma de diseñar este PID es haciendo uso del método de ajuste de Nichols-Ziegler. Básicamente consiste en lograr unos valores para la I (integral) y D (derivados) de modo que la ganancia sea cero.

V. CONTROLADORES A continuación se realiza un diseño, implementación y análisis de diferentes controladores del sistema lineal discretizado del péndulo invertido, por lo que su diseño se ve afectado por el tiempo diferentes parámetros con los cuales se llegó a la función de transferencia d el sistema discreto, como el tiempo de muestreo, el método de discretización, etc, así como la estabilidad del sistema lineal alrededor del punto de equilibrio. Vale recalcar que el sistema tiene dos salidas por lo que el análisis de los controladores se los realiza a partir de una función de transferencia, la cual es la que relaciona la entrada con el ángulo del péndulo, ya que el fin de este sistema es controlar que el ángulo se mantenga en cero con respecto al eje vertical, de esta manera la posición se ve afectada y no llega ser controlada totalmente, esto con los controladores que usan funciones de transferencia como son los controladores de Ragazz ini, Tiempo Mínimo y PID. Para poder realizar un adecuado control tanto de la posición como del ángulo se recurre a un control por realimentación de estados en el cual se logra estabilizar tanto el ángulo del péndulo como la posición del carro sobre el cual se encuentra el péndulo, debido a que este controlador realiza una realimentación directa de cada estado del sistema. El uso de este tipo de controlador es

Fig. 8. Método de Nichols-Ziegler.

A pesar de que el controlador PID estabiliza el ángulo del péndulo, este diseño diseño no no es útil para para el objetivo que se pretende alcanzar. Por ello, el siguiente paso es intentar un diseño en espacio de estado

B. Controlador tiempo finito

Este controlador permite eliminar rápidamente el error entre la salida del sistema y la señal de referencia, evitando al mismo tiempo el fenómeno de “oscilaciones ocultas” que se puede producir en los los controladores de tiempo mínimo. mínimo. Se desea que C(z) debe ser tal que se cumplan







Péndulo Invertido, Escuela Politécnica Nacional, Nacional, Quito, Agosto de 2016 Con los respectivos cálculos se tiene la siguiente función de transferencia:

La cual la implementamos de dos diferentes maneras: con el sistema lineal continuo y discreto, como se muestra a continuación:

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Se debe tomar en cuenta que el diseño de este controlador se basa en condiciones de la función de transferencia del controlador y de ésta en lazo cerrado, por lo que se debe tener especificaciones especificaciones de la función en lazo cerrado. A continuación se determinan los polos deseados del sistema a partir de los requerimientos del mismo que son parámetros sobre los cuales se basan los controladores en estudio, por lo que estos polos se usarán también en controladores posteriores.    . .  = 3.5     . .  = 3.5/30   ≈ 0.1  Se considera un máximo sobrepico menor al 10%:

 = 10%

Fig. 9. Sistema con controlador de tiempo mínimo

−    =  √− ∗ 100% −  0.1 =  √− 

 = 0.5911

Del tiempo de establecimiento establecimiento se tiene: t iene:

4 = 3.5  ∗  4  = = 1.93326  ∗ 3.5 3.5  =

Como:

 =   1    = 1.55937 De esta manera se tiene los polos deseados en lazo cerrado en el plano z, definidos por: Fig. 10. Inestabilidad del sistema con controlador de tiempo mínimo

Para lo cual se tiene un sistema inestable, esto debido a que el sistema no responde para un tiempo mínimo debido a que es inestable. Con el sistema completamente en discreto el sistema también es inestable.

, =  − (cos( (cos( ) ± ( ( )) −   , =  (cos(1. (cos(1.559 55937 37 ∗ ) ± (1. (1.559 55937 37 ∗ )) , = 0.89201 ∗ (0.9878 ± 0.15531) , = 0.881 0.881187 187 ± 0.138534 0.138534 Debido a que el sistema es de 4to órden se necesitan 2 polos más y éstos se toman de tal manera que no afecten a los polos deseados, por lo que se toman po los en el plano ‘s’ alejados p lano del eje ‘jw’: s= -30 y s=-20. Y estos polos se los pasa al plano ‘z’ por correspondencia:

 = 20 →  =  −∗ = 0.13534 →  →  = 0.13534 −∗  = 30 →  =  = 0.04979 →  →  = 0.04979 Fig. 11. Sistema discreto con controlador ragazzini

Una vez obtenidos los polos deseados en lazo cerrado, se procede a calcular la ecuación característica del sistema en base a estos polos.








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0 ∗    1 1 ∗   + 2 ∗    3 3 ∗  + 4  =    1.948 1.948  + 11287   0.1592 0.1592 + 0.0053 0.005362 62

Este controlador es el más adecuado cuando se necesita controlar más de una salida, ya que permite tener una ganancia de realimentación adecuada para cada estado y de esta manera el sistema está completamente controlado.

Para determinar los valores de bn se tiene las siguientes restricciones o parámetros: restricción de causalidad, de estabilidad y de exactitud, obteniéndose las siguientes ecuaciones:

La realimentación de estados consiste en una matriz K 1xn donde n es el orden del sistema el cual se lo calcula a partir de la fórmula de Ackerman, el cual viene dado por:

0 = 0 5.804 5.80488 ∗ 1 + 3.229 3.22999 ∗ 2 + 1.7 1.7972 972∗∗ 3 3 + 4 4 = 2.489 2.48955 1 + 2 2 + 3 + 4 = 0.0 0.0269 269 1 + 1.45 1.4568 68 ∗ 2 + 1.97 1.9749 49 ∗ 3 + 2.55 2.5542 42 ∗ 4 = 0 1 + 1.15 1.1547 47 ∗ 2 + 1.30 1.3094 94 ∗ 3 + 1.46 1.4642 42 ∗ 4 = 0

De esta manera se obtiene que: b1=2.8751 b2=-7.35974 b3=6.347 b4=-1.83545

 =

1 ∗   + 2 2 ∗   3 ∗  + 4    1.948 1.948  + 11287   0.1592 0.1592 + 0.0053 0.005362 62

Por lo que el controlador queda de la siguiente manera: ( ( ) 242.12 12 ( (  0.9928) ( 0.7644) ( (  0.5553) (  1.797) (^2  1.795 + 0.8351) = ( + 0.9969) (  1) (  0.9564) (  1.797) (^2  2.07 + 1.071)

Y se implementa el siguiente diagrama de bloques:

 = [0 0 0 1] ∗ [     ]− ∗ ∅( ) Donde:

∅( ) =  + 1 ∗  + 2 ∗  + 3 ∗  + 4 Y los coeficientes an son los correspondientes a la ecuación característica del sistema deseado en lazo cerrado Q(z). Esto se resuelve con la herramienta adecuada de Matlab, la cual permite manejar fácilmente matrices, de esta manera se obtiene el siguiente valor de K de realimentación. K=[-11.7766 -9.3456 -63.6865 -10.1493] Este controlador es implementado en el sistema no lineal continuo el cual se lo realiza con ecuaciones no lineales, senos y cosenos, que definen el sistema. s istema. Esto se lo realiza debido a que este controlador debe usar las señales de los estados del sistema para realimentar.

Fig. 12. Implementación del sistema con C ontrolador por el método de Ragazzini y perturbación al carro

Fig. 14. Sistema Controlado por Realimentación de Estados

Como se observa el sistema tiene 4 realimentaciones correspondientes a los cuatro estados del sistema, estas señales se realimentan y se pueden ver los estados del sistema en la siguiente gráfica.










De igual manera se implementa una perturbación al sistema para que se observe que el sistema responde adecuadamente llegando al punto de estabilidad en 0 radianes en el caso del eje de rotación, y en 0 cm en el caso de la posición del carro. De igual manera se puede obtener una realimentación de estados con el sistema discreto, para lo cual se usa los bloques adecuados en Simulink de Matlab.

Fig. 16. Control por realimentación de estados al sistema discreto lineal

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Este controlador se lo implementa usando la herramienta de Matlab, la misma que tiene funciones adecuadas que clculan el K óptimo para el sistema. A continuación se presentan los comando necesarios necesarios para obtener la K de realimentación en Matlab. %DATOS DEL SISTEMA M=1.2; m=0.32; b=0.11; l=0.36; g=9.8; %% Matrices de la ecuación de estados del sistema A=[0 1 0 0;0 -b/M -m*g/M 0;0 0 0 1;0 b/(M*l) (M+m)*g/(M*l) 0]; B=[0;1/M;0;-1/(M*l)]; %% LQR Q=[500 0 0 0;0 0 0 0;0 0 500 0;0 0 0 0]; R=1; K=lqr(A,B,Q,R)

El sistema implementado en simulink es el mismo que se usó en el anterior controlador, yla única diferencia d iferencia es que el K de realimentación es distinto, para lo cual se tiene el siguiente resultado.

Fig. 17. Estados del sistema discreto con realimentación de estados, c on estado inicial y perturbación al carro








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la respuesta. VI. COMUNICACIÓN ENTRE SIMULINK Y CONTROLADOR Simulink es un entorno de programación programación visual, que funciona sobre el entorno de programación Matlab. La programación es de más alto nivel de abstracción que el lenguaje interpretado Matlab (archivos con extensión .m). Este software es una herramienta de simulación de modelos o sistemas, con cierto grado de abstracción de los fenómenos físicos involucrados en los mismos.

Fig. 21. Arduino Due para realizar la comunicación comunicación entre la computadora y tarjeta. Fig. 21. Simulink para la comunicación comunicación serial.

La ejecución en modo externo permite ejecutar el modelo de simulación simultáneamente en el hardware externo y en el computador para hacer la simulación interactiva, mostrando valores y graficas de evolución de las variables, y también para modificar valores de parámetros del modelo, lo que permite depuración y ajuste de controladores durante el funcionamiento del sistema. Esto se efectúa de manera transparente, mediante un protocolo propio, sin necesidad de programar código para ello. Son necesarios más recursos por lo que no es compatible con los Arduino UNO o nano, debido a su reducida memoria de programa. Se optó por usar el ARDUINO DUE el cual presenta las siguientes características. Características: Microcontrolador: AT91SAM3X8E

En nuestro caso se muestra el diagrama de bloques utilizado en Simulink para llevar a cabo la conexión serial con parámetros que se detallan a continuación (115200 ( 115200 baudios, 8bits, 1 bit de parada). Con el uso del Simulink como herramienta para la simulación de modelos o sistemas, mejoran de manera óptima su operatividad operatividad y ejecución ejecución de un graficador graficador basado en MatLab, de modo que facilita la visualización visualiza ción de comportamiento de cada uno de los bloques bloques del sistema para la incorporación de señales. VII. IMPLEMENTACIÓN EN GUI DE MATLAB El sistema se implementa por medio de una interfaz gráfica de Matlab y por medio del uso de VLR de Matlab que permite crear figuras en 3D y las cuales se las puede manejar fácilmente por medio de ecuaciones.








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Xavier Iván Aguas. nació en Quito,

Fig. 24. Interfaz 3D para la simulación virtual del péndulo invertido





VIII. CONCLUSIONES Gracias a SIMULINK se ha cumplido satisfactoriamente lo esperado, logrando así, facilitar la comunicación entre la tarjeta y la planta que se encuentra dentro del computador y poder observa o bservarr cómo se va comportando la planta con los diversos controladores diseñados. No se recomienda realizar el proceso de “Grafica en tiempo real” ya que al estar tomando más datos, r equiere

un mayor esfuerzo de la máquina y pueden llegar a presentarse retardos en la adquisición adquisición y traficación y posteriores fallos en los resultados, por lo tanto se recomienda primero tomar todos los datos que se requieran y luego de esto si graficar al final en un solo proceso. R EFERENCES EFERENCES [1] L. E. García, Control Digital, Teoría y Práctica, 3r a ed., MedellínColombia, Colombia, Politécnico Colombiano, 2010. [2] K. Ogata, Sistemas de Control en Tiempo Discreto, 2da ed., New York-Estados York-Estados Unidos, Prentice Hal, 1996. [3] S. Dominguez, Control en el Espacio de Estados, 2da ed., Madri d-Espa ña, Prentice Prentice Hal, Hal, 2006. 2006.

Ecuador, estudió en el Instituto Nacional Mejía, uno de sus principales logros fue participar en concursos internos y jornadas de puertas abiertas de la física, las matemáticas y las áreas sociales y sobre todo muy buena con las palabras que ganaron la mejor historia de ciencia ficción concurso y la ejecución de programas en Visual Basic 6.0 está llevando a cabo actualmente un grado en Ingeniería Electrónica y de control de la Escuela Politécnica Nacional.. María Gabriela Campoverde: Nació en

Quito-Ecuador de padres lojanos, sus estudios fueron realizados en el Instituto Tecnológico Superior Consejo Provincial de Pichincha. Su principal logro fue ser escolta del pabellón de Quito además tuvo reconocimientos por sus logros deportivos en el cual la represento a la provincia en la disciplina de taekwondo.








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ANEXO Código en Matlab clc clear all close all %DATOS DEL SISTEMA M=1.2; m=0.32; b=0.11; l=0.36; g=9.8; %% CÁLCULO DE LA FUNCIÓN DE TRASFERENCIA A=[0 1 0 0;0 -b/M -m*g/M 0;0 0 0 1;0 b/(M*l) (M+m)*g/(M*l) 0] B=[0;1/M;0;-1/(M*l)] C=[1 0 0 0;0 0 1 0] Cp=[1 0 0 0] Ca=[0 0 1 0] D=0 %%sim('diagrama_flujo_proyecto') [numP,denP]=ss2tf(A,B,Cp,D) [numA,denA]=ss2tf(A,B,Ca,D) [zerosP, polosP, kteP] = tf2zp(numP,denP) [zerosA, polosA, kteA] = tf2zp(numA,denA) %Función de trasferencia de la posición en lazo abierto Gp=tf(numP,denP) %Función de trasferencia del ángulo en lazo abierto Ga=tf(numA,denA) %condiciones %condicione s iniciales X0=[0;0.15]; %% CARACTERÍSTICA EN ESTADO TRANSITORIO DE LA PLANTA SIN CONTROLADOR

%% ___________________________%Sección de cálculos posicion s=tf('s' s=tf('s') ) Gpp=1/s*Gp Gpp.num{1} Gpp.den{1} % Calcula fracciones parciales [r,p,k]=residue(Gpp.num{1},Gpp.den{1}) %% ___________________________%Sección de cálculos posicion ángulo Gaa=1/s*Ga Gaa.num{1} Gaa.den{1} [n,d,k]=tf2zp(Gaa.num{1},Gaa.den{1}) % Calcula fracciones parciales [r,p,k]=residue(Gaa.num{1},Gaa.den{1}) %% DISCRETIZACIÓN DE LA FUNCIÓN DE TRASFERENCIA s=tf('s' s=tf('s') ) Gpz=c2d(Gp,0.1, 'zoh' 'zoh') ) figure(3) impulse(Gpz) [c,p,k]=tf2zp(Gpz.num{1},Gpz.den{1}) figure(4) Gaz=c2d(Ga,0.1, 'zoh' 'zoh') ) impulse(feedback(Gaz,1)) %[cA,pA,kA]=tf2zp(Gaz.num{1},Gaz.den{1}) %figure(5) %rlocus(Ga) %sisotool(Ga) %% Ki=-63.7505 Kp=-10.5195; Kd=-5.7373







Péndulo Invertido, Escuela Politécnica Nacional, Nacional, Quito, Agosto de 2016 z3=((A-(v(1))*I)*(A-(v(2))*I)*(A(v(4))*I))/((v(3)-v(1))*(v(3)v(2))*(v(3)-v(4))) z4=((A-(v(1))*I)*(A-(v(2))*I)*(A(v(3))*I))/((v(4)-v(1))*(v(4)v(2))*(v(4)-v(3))) T=0.1; Ad=z1*exp(v(1)*T)+z2*(exp(v(2)*T))+z3*(e xp(v(3)*T))+z4*(exp(v(4)*T)) Bd=z1*B*T+z2*B*((1-exp(v(2)*T))/(v(2)))+z3*B*((1-exp(v(3)*T))/(v(3)))+z4*B*((1-exp(v(4)*T))/(-v(4))) Cd=C; %% Controlador por Realimentación de Estados %polos deseados en el plano z P1=0.881187+0.138534i; P2=0.881187-0.138534i; P3=0.13534; P4=0.04979; %matriz de realimentación de estados P=[P1 P2 P3 P4]; polos=(s-P1)*(s-P2)*(s-P3)*(s-P4) alfas=polos.num{1} phi=Ad^4+(alfas(:,2))*(Ad^3)+(alfas(:,3) )*(Ad^2)+(alfas(:,4))*Ad+(alfas(:,5))*(e ye(4)) Q=ctrb(Ad,Bd); Qin=inv(Q); K=[0 0 0 1]*Qin*phi %comprobación de resultados K=place(Ad,Bd,P)

%% Controlador Óptimo LQR Q=[500 0 0 0;0 0 0 0;0 0 500 0;0 0 0 0];

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Simulación 3D de Controladores en Matlab para un Péndulo Invertido

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