Simplex Generalizado Clase11

4.4.2 Algoritmo Algoritm o s´ımplex generalizado genera lizado

El algoritmo a lgoritmo s´ımplex ımplex (primal) inicia siendo factible, pero p ero no optimo. o´ptimo . El s´ımplex dual comienza mejor que el óptimo, optimo, pero p ero no factible. factible. ¿Y si un modelo de programaci´ programaci´ on on lineal iniciara no optimo óptimo y no factible factible al mismo tiempo? Hemos visto que el s´ımplex ımplex primal tiene en cuenta la no factibilidad de la solución on de inicio usando variables artificiales. En forma parecida, parecida, el s´ımplex ımplex dual tiene en cuenta cuenta la no optimalidad optimalidad usando restricrestricciones ciones artificiales. artificiales. Aunque Aunque esos procedimien procedimientos tos tienen por ob jeto ampliar ampliar el c´ omputo omputo autom´ atico, los detalles pueden hacer perder de vista lo que realmente implica el algoritmo s´ımplex, que es que la soluci´ on on optima o´ptima de una programación on lineal siempre se asocia con una solución on de punto de esquina (o básica). asica). Con base en esta observaci´ observaci´ on on usted deber´ deber´ıa poder “adaptar” su propio algoritmo s´ımplex para modelos de programación on lineal que inician siendo no ópti o ptimo moss y no factib factible less a la vez. ez. En el sigu siguie ient ntee ejemplo se ilustra lo que se llama algoritmo a lgoritmo s´ımplex ımplex generalizado. Ejemplo 4.4-2

El modelo de programación on lineal del problema 2a), del conjunto dado previamente, se puede poner en la tabla siguiente, en el que la solución básica asica de inicio (x (x4, x5 , x6 ) es al mismo tiempo no óptima optima (por x (por x 3) y no factible (por x (por x 4 = −8). (La primera ecuación on se multiplicó por −1 para revelar la no factibilidad en forma directa, en la columna ). Soluci´ on ). Básica asica x1 x2 x3 x4 x5 x6 Solución on 0 0 −2 0 0 0 0 z 1 −2 2 1 0 0 x4 −8 1 1 0 1 0 4 −1 x5 2 −1 4 0 0 1 10 x6 El problema se puede resolver sin usar variables ni restricciones artificiales, como sigue: quitar quitar primero la no factibilidad factibilidad aplicando aplicando una versi´ versi´ on on de la condición on s´ımpl ım plex ex dual de factibilidad, que seleccione a x4 como variable de salida. Para determinar cuál al es la variable de entrada todo lo que se necesita es una variable no básica asica cuyo coeficiente de restricción on en fila x4 , sea estrictamen estrictamente te negativo. negativo. Se puede hacer la selecci´ selección on sin cuidarse de mantener la optimalidad, porque de cualquier manera es no existente en este punto (compárela arela con la condición on de optimalidad dual). El resultado es la siguiente tabla:

1

Básica x1 x2 x3 x4 x5 x6 Solución 0 0 −2 0 0 0 0 z 4 −1/2 1 −1 −1/2 0 0 x2 2 1/2 1 0 0 x5 −1/2 0 3/2 0 3 −1/2 0 1 14 x6

Ahora la solución en esta tabla es factible, pero no óptima, y podremos usar el s´ımplex primal para determinar la soluci´ on o´ptima. En general, si no nos hubi´ eramos encontrado la factibilidad en la tabla anterior, habr´ıa que repetir el procedimiento las veces necesarias hasta satisfacer la factibilidad, o hasta que haya pruebas de que el problema no tenga solución factible. Una vez establecida la factibilidad, el siguiente paso es atender la optimalidad, aplicando la condici´ on adecuada de optimalidad del método s´ımplex primal. La esencia del ejemplo 4.4-2 es que el método s´ımplex no es r´ıgido. En las publicaciones abundan las variaciones del método s´ımplex (por ejemplo, el método primal-dual, el método simétrico, el método entrecruzado y el método múltiplex) que dan la impresión que cada uno es distinto, cuando en realidad todos buscan una solució n de punto esquina, con inclinación hacia los cálculos autom´ aticos y quizá hacia la eficiencia de cómputo. ´ ´ ANALISIS POSTOPTIMO O DE SENSIBILIDAD

Al estudiar el método gráfico para problemes de optimización lineal, se describió el análisis de sensibilidad a un nivel elemental. En esta secci´ on se aplicará la dualidad y los cálculos primal-dual para examinar el tema en forma más completa. El análisis de sensibilidad investiga el cambio de la solución o´ptima que resulta de hacer cambios en los parámetros del modelo de programación lineal. La tabla siguiente contiene todos los casos posibles que pueden surgir en el análisis de sensibilidad, as´ı como las acciones necesarias para obtener la nueva solución (suponiendo que exista):

2

Condici´ on resultante de los cambios

Acción recomendada

La solución actual queda óptima y factible No es necesaria acción alguna La solución actual se vuelve no factible Usar el simplex dual para recuperar la factibilidad La solución actual se vuelve no ó ptima Usar el simplex primal para recuperar la o´ptimalidad La solución actual se vuelve no óptima Usar el m´ etodo simplex generalizado y no factible a la vez para obtener una nueva solución

Los tres primeros casos se investigarán en esta secció n. El cuarto, como es una combinaci´ on de los casos 2 y 3, se resolverá más adelante. El modelo de TOYCO en el ejemplo 4.3-2 servirá para explicar los distintos procedimientos. Recuérdese que ese modelo es del ensamble de tres clases de juguetes: trenes, camiones y autos. Cada art´ıculo requiere tres operaciones sucesivas. Se desea determinar la cantidad de unidades de cada juguete que haga máxima a la utilidad. A continuación se repiten el modelo y su dual, por comodidad. Primal de TOYCO

Dual de TOYCO

Maximizar z = 3x1 + 2x2 + 5x3 sujeta a on 1) x1 + 2x2 + x3 ≤ 430 (operaci´ 3x1 + 2x3 ≤ 460 (operaci´ on 2) on 3) x1 + 4x2 ≤ 420 (operaci´ xk ≥ 0 Soluci´ on o´ptima: x1 = 0, x2 = 100, x3 = 230, z = $1350

Minimizar z = 430y1 + 460y2 + 420y3 sujeta a y1 + 3y2 + y3 ≥ 3 2y1 + 4y3 ≥ 2 y1 + 2y2 ≥ 5 yk ≥ 0 Soluci´ on o´ptima: y1 = 1, y2 = 2, y3 = 0, w = $1350

La tabla o´ptima asociada para el primal es:

3

Básica x1 x2 x3 x4 x5 x6 Solución 4 0 0 1 2 0 1350 z 100 −1/4 1 0 1/2 −1/4 0 x2 3/2 0 1 0 1/2 0 230 x3 2 0 0 −2 1 1 20 x6

Cambios que afectan la factibilidad

La factibilidad de la solución o´ptima en el momento sólo puede variar si 1) cambia el lado derecho de las restricciones, o 2) se agrega al modelo una restricción nueva. En ambos casos se tiene no factibilidad cuando al menos un elemento del lado derecho en la tabla o´ptima se hace negativo; esto es, una o más de las variables básicas actuales se vuelve negativa. Cambios en el lado derecho

Estos cambios requieren volver a calcular el lado derecho de la tabla, usando la fórmula 1 de la sección 4.2.4, esto es,



Nuevo lado derecho de la tabla en la iteración i

  =

Inversa en la iteración i

  Nuevo lado derecho de  ×

la iteración i

Recuerde que el lado derecho de la tabla expresa los valores de las variables básicas. El siguiente ejemplo ilustrará el procedimiento. Ejemplo 4.5-1

Suponga que TOYCO desea ampliar sus l´ıneas de ensamble aumentando en 40% la capacidad diaria de cada una, hasta 602, 644 y 588 minutos, respectivamente. Con esos aumentos, el u ´ nico cambio que se hará en la tabla óptima es el lado derecho de las restricciones (y el valor objetivo óptimo). As´ı, la nueva soluci´ on básica se calcula como sigue:

 x   1/2  x = 0 2 3

x6

−1/4 0 1/2 0 1 1 −2 4

  602   140    644  =  322  588

328

As´ı, las variables básicas actuales (x2 , x3 y x 6 ) siguen siendo factibles con los nuevos valores 140, 322 y 328. La utilidad o´ptima correspondiente es $1890. Aunque la nueva solución es atrayente, tanto desde el punto de vista de mayor utilidad, TOYCO reconoce que para implementarla pasará algo de tiempo. En consecuencia se hizo otra proposición que es cambiar la holgura de capacidad de la operación 3 (x6 = 20 minutos) a la capacidad de la operación 1, con lo que cambia la combinación de las tres operaciones a 450,460 y 400 minutos, respectivamente. La solución resultante es

 x   1/2  x = 0 2 3

x6

−1/4 0 1/2 0 1 1 −2

  450   110    460  =  230  400

−40

Esta solución es no factible, porque x6 = − 40. Se aplicará el método s´ımplex dual para recuperar la factibilidad. Primero se modifica el lado derecho de la tabla, como se ve en la columna enmarcada. Observe que el valor asociado de z = 3 × 0+2 × 110+5 × 230 = $1370. Básica x1 x2 x3 x4 x5 x6 Solución 4 0 0 1 2 0 1370 z 110 −1/4 1 0 1/2 −1/4 0 x2 3/2 0 1 0 1/2 0 230 x3 2 0 0 −2 1 1 −40 x6 Comenzando con el s´ımplex dual, sale x6 y entra x4 , con lo que la tabla óptima factible es la siguiente (en general, el s´ımplex dual requerirá más de una iteración para recuperar la factibilidad). Básica x1 x2 x3 x4 x5 x6 Solución 5 0 0 0 5/2 1/2 1350 z 1/4 1 0 0 0 1/4 100 x2 3/2 0 1 0 1/2 0 230 x3 20 −1 0 0 1 −1/2 −1/2 x4 5

La solución o´ptima (en funció n de x1 , x2 y x3 ) queda igual que en el modelo original. Tambi´ en se demuestra que no se usó la capacidad adicional para la operaci´ on 1 (x4 = 20). La única conclusión entonces es que la operación 2 es el cuello de botella. Intervalo de factibilidad de los elementos del lado derecho

Otra forma de examinar el efecto de cambiar la disponibilidad de los recursos (es decir, el vector del lado derecho) es determinar el intervalo para el cual la solución actual o del momento permanece factible. El ejemplo siguiente ilustra el procedimiento. Ejemplo 4.5-2

En el modelo de TOYCO, suponer que lo que interesa es determinar el intervalo de factibilidad de la capacidad de la operación 1. Se puede hacer reemplazando el lado derecho con

 430 + D   460  1

420

La cantidad D1 representa el cambio en la capacidad de la operació n 1, arriba y abajo del valor actual de 430 minutos. La soluci´ on actual básica permanece factible si todas las variables básicas son no negativas, esto es,

 x   1/2  x = 0 2 3

x6

−1/4 0 1/2 0 1 1 −2

  430 + D   100 + D /2   0    460  =  230  ≥  0  1

420

1

20 − 2D1

Estas condiciones conducen a las siguientes cotas de D1 : (x2 ≥ 0) : 100 + D1 /2 ≥ 0 ⇒ D1 ≥ −200 (x3 ≥ 0) : x 3 es independiente de D 1 (x6 ≥ 0) : 20 − 2D1 ≥ 0 ⇒ D1 ≤ 10 As´ı, la solución actual permanece factible cuando,

−200 ≤ D1 ≤ 10 6

0

Esto equivale a variar los minutos de disponibilidad de la operación en el intervalo 430 − 200 ≤ (Capacidad de la operación 1) ≤ 430 + 10 o sea 230 ≤ (Capacidad de la operación 1) ≤ 440 El cambio en el valor objetivo óptimo asociado con D1 es D1y1, siendo y1 el valor por unidad (precio dual), en $ por minuto de la operación 1. Para ilustrar el uso del intervalo determinado, suponga que la capacidad de la operación 1 cambia desde su valor actual de 430 a 400 minutos. La solución básica actual permanece factibie, porque la nueva capacidad queda dentro del intervalo factible. Para calcular los valores nuevos de las variables se usa D1 = 400 − 430 = −30 As´ı,

 x   100 + (−30)/2   85   x  =  230  =  230  2 3

x6

20 − 2(−30)

80

Para calcular el cambio asociado en el valor óptimo de la función objetivo se calculan primero los precios duales, con el método 1 de la secci´ on 4.2.3, esto es

 Valores óptimos de   Coeficientes originales   Inversa  de las variables óptimas × = las variables duales óptima básicas primales

As´ı,

 1/2 (y , y , y ) = (2, 5, 0)  0 1

2

3

−1/4 0 1/2 0 1 1 −2

  = (1, 2, 0)

Esto quiere decir que el valor de la operación 1 por minuto es y 1 = $1, y que el cambio de la utilidad óptima es D1 y1 = − 30 × 1 = − $30. Recuerde y1 = 1, el valor dado por unidad, sigue siendo válido sólo dentro del intervalo especificado:

−200 ≤ D1 ≤ 10 7

Todo cambio que salga de este intervalo causa no factibilidad; de aqu´ı la necesidad de usar el método s´ımplex dual para determinar la nueva solución, si es que existe. Para determinar los intervalos factibles D2 y D3 , los cambios asociados con las operaciones 2 y 3 se pueden usar procedimientos parecidos. La determinaci´ on de D1 , D2 y D3 en la forma establecida, y su relación con los valores duales óptimos y1 , y2 y y3 sólo son válidas cuando se considera por separado cada recurso. Si se quisiera cambiar los tres recursos al mismo tiempo, se debe deducir un conjunto distinto de condiciones, con los elementos del lado derecho 430 + D1 , 460 + D2 y 420 + D3 . Adici´ on de nuevas restricciones. La adici´ on de una nueva restricción a un modelo

existente puede llevar a uno de los dos casos siguientes: 1. La nueva restricció n es redundante, lo que quiere decir que se satisface con la

soluci´ on o´ptima actual y, por consiguiente, se puede eliminar por completo del modelo. 2. La soluci´ on actual viola la nueva restricción, y en este caso se puede aplicar el

método s´ımplex dual para recuperar la factibilidad. Observe que la adición de una nueva restricción, como en el caso 2, nunca puede mejorar el valor objetivo óptimo actual. Ejemplo 4.5-3

Suponga que TOYCO cambia el diseñ o de los juguetes, y que para el cambio se requerir´ a agregar una cuarta operación en las l´ıneas de ensamble. La capacidad diaria de la nueva operación es 500 minutos, y los tiempos por unidad, para los tres productos en esta operación, son 3, 1 y 1 minutos, respectivamente. La restricci´ on resultante se forma, por consiguiente, como sigue: 3x1 + x2 + x3 ≤ 500 Esta restricción es redundante, porque queda satisfecha con la solución o´ptima actual x1 = 0, x2 = 100 y x 3 = 230. Eso quiere decir que la solución o´ptima actual permanece sin cambio.

8

Ahora suponga que los tiempos por unidad, en TOYCO, para la cuarta operación son 3,3 y 1 minutos, respectivamente. Todos los datos restantes del modelo permanecen igual. En este caso, la cuarta restricción 3x1 + 3x2 + x3 ≤ 500 no queda satisfecha por la solución o´ptima actual. En consecuencia, debemos aumentar la nueva restricción a la tabla óptima actual, como sigue (x7 es una holgura): Básica x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 Solución 4 0 0 1 2 0 0 1350 z 100 x2 −1/4 1 0 1/2 −1/4 0 0 3/2 0 1 0 1/2 0 0 230 x3 2 0 0 −2 1 1 0 20 x6 3 3 1 0 0 0 1 500 x7

Como las variables x 2 y x 3 son básicas, se deben sustituir y eliminar sus coeficientes de restricción en la fila de x7, lo que se puede hacer con la siguiente operación: Nueva fila de x 7 =Fila anterior de x7 −{3×(fila de x 2 )+1×(fila de x3 )} Básica x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 Solución 4 0 0 1 2 0 0 1350 z 1/2 −1/4 0 0 100 −1/4 1 0 x2 3/2 0 1 0 1/2 0 0 230 x3 2 0 0 1 1 0 20 −2 x6 9/4 0 0 −3/2 1/4 0 1 x7 −30

La aplicación del método s´ımplex dual dar´ a como resultado la nueva solución o´ptima x1 = 0, x 2 = 90, x 3 = 230, z = $1330 (¡compruébelo!) Cambios que afectan la optimalidad

En esta sección se examinan dos soluciones particulares que podr´ıan afectar la optimalidad de la solución actual: 1. Cambios en los coeficientes objetivo originales.

9

2. Adici´ on de una nueva actividad económica (variable) al modelo. Cambios en los coeficientes de la funci´ on objetivo.

Esos cambios sólo afectan la optimalidad de la soluci´ on. Por consiguiente requieren recalcular los coeficientes de la fila z , con el siguiente procedimiento: 1. Calcular los valores duales con los m´ etodos 1 y 2 de la sección 4.2.3. 2. Usar los nuevos valores duales en la f´ ormula 2, sección 4.2.4, para determinar los

nuevos coeficientes en el fila de z . Se presentarán dos casos: 1. La nueva fila de z satisface la condici´ on de optimalidad, y la soluci´ on permanece

sin cambio (sin embargo, el valor objetivo óptimo puede cambiar). 2. La condici´ on de optimalidad no se satisface, y en ese caso se aplica el m´ etodo

s´ımplex (primal) para recuperar la optimalidad. Ejemplo 4.5-4

En el modelo de TOYCO, suponga que la empresa tiene nueva pol´ıtica de precios para igualar la competencia. Bajo la nueva pol´ıtica, las utilidades por unidad son $2, $3 y $4, por los trenes, camiones y autos, respectivamente. La nueva funci´ on objetivo es Maximizar z = 2x1 + 3x2 + 4x3 As´ı, (Nuevos coeficientes objetivo de x 2 , x 3 y x 6 básicas)=(3,4,0) Las variables duales se calculan con el método 1 de la secci´ on 4.2.3, como sigue:

 1/2 (y , y , y ) = (3, 4, 0)  0 1

2

3

−1/4 0 1/2 0 1 1 −2

  = (3/2, 5/4, 0)

Los coeficientes de la fila z se determinan como la diferencia entre los lados izquierdo y derecho de las restricciones duales (fórmula 2, sección 4.2.4). No es necesario recalcular 10

los coeficientes de las variables básicas x2 , x3 y x6 en el fila objetivo, porque siempre son iguales a cero, independientemente de los cambios hechos a los coeficientes objetivo (¡compruébelo!). x1 : y1 + 3y2 + y3 − 2 = 3/2 + 3(5/4) + 0 − 2 = 13/4 = 3/2 x4 : y1 − 0 = 5/4 x5 : y2 − 0 Nótese que el lado derecho de la restricción dual asociada con x1 es 2, el coeficiente nuevo en la función objetivo modificada. Los cálculos indican que en la solución actual, x1 = 0 trenes, x2 = 100 camiones y x3 = 230 autos, permanece óptima. La nueva utilidad correspondiente se calcula como 2 × 0 + 3 × 100 + 4 × 230 = $1220. Ahora suponga que cambia la función objetivo de TOYCO a Maximizar z = 6x1 + 3x2 + 4x3 Los cambios correspondientes en la fila de z se indican en la siguiente tabla (¡compruébelos!): Básica z x2 x3 x6

x1 x2 x3 −3/4 0 0 −1/4 1 0 3/2 0 1 2 0 0

x4 x5 x6 Solución 3/2 5/4 0 1220 1/2 −1/4 0 100 0 1/2 0 230 1 1 20 −2

Los elementos que están en las celdas enmarcadas son las nuevas z j − c j para las variables no básicas x1 , x4 y x5 . Todos los elementos restantes de la tabla son iguales a los de la iteración original o´ptima. Entonces, la nueva soluci´ on o´ptima se determina haciendo entrar a x 1 y salir a x6 , con lo que se obtiene x 1 = 10, x 2 = 102.5, x3 = 215 y z = $1227.50 (¡compruébelo!). Intervalo de optimalidad de los coeficientes objetivo

Otra forma de investigar el efecto de los cambios en los coeficientes de la función ob jetivo es calcular el intervalo para el que cada coeficiente individual mantenga la solución óptima actual. Esto se hace reemplazando el c j actual con c j + d j donde d j representa la cantidad (positiva o negativa) de cambio.

11

Ejemplo 4.5-5

Suponga que la función objetivo del modelo de TOYCO cambia a Maximizar z = (3 + d1 )x1 + 2x2 + 5x3 Determinar el intervalo de optimalidad para el cambio d1 . Seguiremos el procedimiento que se describió arriba. Sin embargo, observe que, como x1 no es básica en la tabla o´ptima, los valores duales no se verán afectados por este cambio y en consecuencia permanecerán igual que en el modelo original (es decir, y1 = 1, y2 = 2, y3 = 0). En realidad, como x1 es no básica, sólo se afectará su coeficiente en la fila z , y todos los demás coeficientes de ese fila permanecen sin cambio (¿por qué?). Eso quiere decir que se necesita aplicar la fórmula 2, sección 4.2.4 a la restricción dual asociada s´ olo con x1, esto es, x1 :

y1 + 3y2 + y3 − (3 + d1 ) = 1 + 3 × 2 + 0 − (3 + d1 ) = 4 − d1

Como el modelo de TOYCO es un problema de maximización, la solución original permanecerá o´ptima siempre que 4 − d1 ≥ 0, o sea d1 ≤ 4 Esto equivale a decir que la solución actual permanece óptima siempre que el coeficiente objetivo c 1(= 3 + d1 ) de x 1 , no sea mayor que 3 + 4 = $7. Ahora se considerará el cambio d 2 en el coeficiente objetivo de x 2 : Maximizar z = 3x1 + (2 + d2 )x2 + 5x3 La diferencia en este caso es que x2 es básica y su cambio afectará los valores duales para después afectar todos los coeficientes de todas las variables no b´ asicas del fila z (recuerde que los coeficientes de las variables básicas en la fila z siempre son iguales a cero, independientemente de cualquier cambio en la función objetivo). Al aplicar el método 1, sección 4.2.3, para calcular los valores duales se obtiene:

12

 1/2 nueva (y , y , y ) = (2 + d , 5, 0)  0 1

2

3

2

−1/4 0 1/2 0 1 1 −2

  = (1 + d /2, 2 − d /4, 0) 2

2

Se pueden calcular los coeficientes de las variables no básicas en la fila z como sigue: x1 : x4 : x5 :

y1 + 3y2 + y3 − 3 = (1 + d2/2) + 3 × (2 − d2/4) + 0 − 3 = 4 − d2 /4 ≥ 0 (1) = (1 + d2/2) − 0 = 1 + d2/2 ≥ 0 (2) y1 − 0 = (2 − d2 /4) − 0 = 2 − d2 /4 ≥ 0 (3) y2 − 0

Las desigualdades (1), (2) y (3), respectivamente, dan como resultado d2 ≤ 16, d2 ≥ −2 y d 2 ≤ 8 o sea,

−2 ≤ d2 ≤ 8 Por lo tanto, dada c 2 = 2 + d2 , se obtiene 0 ≤ c2 ≤ 10 Adici´ on de una nueva actividad. La adici´ on de una nueva actividad en un modelo

de programación lineal equivale a agregar una nueva variable. En forma intuitiva, la adición de una nueva actividad sólo es deseable si es rentable, esto es, si mejora el valor óptimo de la función objetivo. Esta condición se puede verificar aplicando la fórmula 2, sección 4.2.4, a la nueva actividad. Como esa nueva actividad no es todav´ıa parte de la solución, se puede considerar como una variable no básica. Eso quiere decir que los valores duales asociados con la soluci´ on actual permanecen invariables. Si la fórmula 2 indica que la nueva actividad satisface la condición de optimalidad, la actividad no es rentable. En caso contrario, es mejor tener en cuenta la nueva actividad. Ejemplo 4.5-6

TOYCO reconoce que los trenes de juguete no se producen en la actualidad porque no son rentables. La empresa quiere reemplazar los trenes con un nuevo producto, un carro de bomberos de juguete, que se arme en las instalaciones existentes. TOYCO estima que la utilidad por carro de bomberos es $4 y que los tiempos de ensamble por 13

unidad son 1 minuto en cada una de las operaciones 1 y 2, y 2 minutos en la operación 3. Sea x7 el nuevo producto, el carro de bomberos. Como (y1 , y2 , y3 ) = (1, 2, 0) son los valores duales óptimos, el costo reducido de x 7 se puede calcular como sigue: 1y1 + 1y2 + 2y3 − 4 = 1 × 1 + 1 × 2 + 2 × 0 − 4 = −1 Seg´ un este resultado, conviene econ´ omicamente incluir a x7 , en la solución básica o´ptima. Para obtener el nuevo óptimo se calcula primero su columna de restricciones con la fórmula 1, sección 4.2.4, como sigue:

 1/2 Columna de restricción de x =  0 7

−1/4 0 1/2 0 1 1 −2

  1   1/4    1  =  1/2  2

1

As´ı, se debe modificar la tabla s´ımplex actual como sigue: Básica x1 x2 x3 x7 x4 x5 x6 Solución 4 0 0 −1 1 2 0 1350 z 100 x2 −1/4 1 0 1/4 1/2 −1/4 0 3/2 0 1 1/2 0 1/2 0 230 x3 2 0 0 1 −2 1 1 20 x6

Se determina el nuevo valor óptimo haciendo entrar x 7 a la solución básica, y en ese caso debe salir x 6 . La nueva solución es x 1 = 0, x2 = 0, x3 = 125, x7 = 210 y z = $1465 (¡compruebelo!) El caso de agregar una actividad nueva tambi´ en abarca al caso en que se hicieron cambios al uso de los recursos, en una actividad existente . En forma espec´ıfica se puede considerar a x7 como si al principio tuviera un coeficeinte objetivo cero y uso cero de sus tres recursos, y que esos valores cero se cambiaron a los nuevos valores para x 7 . Por esta razón, no es necesario describir por separado el caso de cambiar los coeficientes de restricción de una variable existente.

14

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