Simetrias , Leyes de Conservaci´on y no localizaci´on de la Energ´ıa Gravitacional en Relatividad General Teor´ıa Clasica de Campos Luis Giraldo Durand Bernald Resumen Hacemos una revisi´ on a la formulacion Lagrangeana de la Relatividad General para encontrar las ecuaciones de campo de la teor´ıa. Analizamos el concepto de Diffeomorfismos desde el punto de vista de la geometr´ıa moderna y su papel en la Relatividad General. Finalmente discutimos el concepto de la no localizaci´ on de la energ´ıa gravitacional
1
Indice de Notaci´ on 1. M, N Variedades Diferenciales 2. Tp (M ) Espacio Tangente a la variedad M en el punto p 3. T M = ∪p Tp (M ) Fibrado Tangente 4. Tsr (M ) Producto Tensorial de Espacios Tangentes de la variedad M r
5. Tsr Componetes de un campo tensorial de rango (s ) 6. T o h−1 Representacion coordenada de un campo tensorial , usualmente denotado T (x) 7. x(i) i-´esima funci´ on coordenada ∈ F(M ) 8. xi i-´esima componente de las coordenadas locales de un punto p ∈ M en el sistema coordenado {x} 9. F(M ) Conjunto de las funciones de M a < 10. X, Y, K Campos vectoriales definidos en TM 11. X (i) i-´esimo campo vectorial (de igual forma para los duales) 12. X i i-´esima componente del campo vectorial X (de igual forma para los duales) 13. h, hα , hβ Homeomorfismos 14. (V, h); (Vα , hα ); (Vβ , hβ ) Cartas o sistemas coordenados locales 15. Uα Imagen de Vα v´ıa hα ∂ ∂ 16. , Base can´ onica asociado a los sistemas coordenados {x} y {y} de los ∂xµ p ∂y µ p campos vectoriales X y Y en el punto p 17. ω 1-formas 18. (dxµ )p , (dy µ )p Base dual a la base can´onica 19. ψ A Campos de materia (Pertenecen a Tsr (M )) 20. φ, φt Diffeomorfismos 21. Diff(M) Grupo de Diffeomorfismos de M a si mismo 22. φ∗ Pullback 23. φ∗ Aplicaci´ on Tangente 24. LX Derivada de Lie con respecto al campo vectorial X
2
1.
Formulacion lagrangeana de la Relatividad General
En el formalismo Lagrangeano obtenemos las ecuaciones de campo de Einstein a partir de un principio variacional, esto nos permite dar una f´ ormula general para el tensor de energia-momento y mostrar que su divergencia covariante se anula como consecuencia de las ecuaciones para los campos de materia
1.1.
Medida Can´ onica
Para poder formular nuestro principio variacional necesitamos construir una integral de acci´on que sea independiente del sistema coordenado Sea f ∈ F(M ) una funci´ on cont´ınua y cuyo dominio de definicion est´a contenido en V ⊂ M Z Z f dΩ = f (x)[W (x)d4 x] (1) M
hoV
La medida dΩ es naturalmente definida como sigue: Sea g la metrica de la variedad M , entonces en coordenadas locales tenemos , gµν (x, ) =
∂xα ∂xβ gαβ (x) ∂x, µ ∂x,ν
(2)
al tomar determinante a esta ecuaci´ on tenemos
∂x g = det ∂x, ,
Donde g denota el determinante de la metrica. Por otro lado tenemos: 4 ,
d x = det
2
∂x, ∂x
g
(3)
d4 x
(4)
p Luego se ve f´ acilmete que el producto −g(x)d4 x es invariante y da la definici´on de la medida can´ onica de una variedad M en una representaci´on local , es decir p ´ (dΩ) = −g(x)d4 x REPRESENTACION (5) COORDENADA
1.2.
La Acci´ on de Einstein-Hilbert
Definimos la accion de Einstien-Hilbert por Z √ SEH [g] = R(g) −g d4 x
R : escalar de Riemann
(6)
U
Ahora encontremos la ecuaciones de campo por medio de una variaci´on de S inducida por variaciones de la m´etrica √ √ l m R −g = −gg ik [ Γlik,l − Γlil,k +Γlik Γm lm − Γkm Γil ] | {z } (∗∗)
(∗∗) : Notemos que este termino contiene derivadas de la metrica de segundo orden , sin embargo mediante una manipulaci´ on adecuada de la expresion pueden eliminarse.
√ √ −gg ik Γlik,l = ( −gg ik Γlik ),l − Γlik ( −gg ik ), l √ √ √ −gg ik Γlil,k = ( −gg ik Γlil ),k − Γlil ( −gg ik ), k
√
Trabajemos en la ultima parte de ambas expresiones: √ ik m √ i kl Γm im ( −gg ),k = −Γim −gΓkl g √ √ −Γlik ( −gg ik ),l = −g(2Γlik Γiml g mk − g ik Γlik Γm lm )
3
Con esto encontramos; √
−gR =
√
√ l m s −gg ik (Γlmk Γm il − Γki Γlm ) + ( −gω ), s
Entonces el u ´ltimo t´ermino no contribuye a la acci´on . Luego tenemos que hallar la variaci´on: Z √ 4 l m δS = δ −gg ik (Γlmk Γm il − Γki Γlm ) d x | {z }
(7)
F
l l ik √ lk √ l ik √ −gg ik Γm −g , l ) − Γm −g)], k − Γm −g)...(1) lm Γki = Γki δ(g lm [δ(g lm Γki δ(g √ ik l m l ik √ m m l ik √ δ −gg Γmk Γil = 2δ(Γmk g −g)Γil − Γil Γmk δ(g −g)...(2) δ
√
Ahora (2) − (1) √ √ √ l m l ik m lk l ik δF = (Γm lm Γki − Γil Γkm )δ( −gg ) + Γlm [δ( −gg )], k − Γki [δ( −gg )], l √ √ √ l m l ik l ik m ik = (Γm lm Γki − Γil Γkm )δ( −gg ) + Γki ,l δ( −gg ) − Γim ,k δ( −gg ) √ m l m l ik = Γlki, l − Γm im, k + Γlm Γki − Γil Γkm δ( −gg ) √ = −Rik δ( −gg ik ) Finalmente Z √ δS = − Rik δ( −gg ik )d4 x Z √ 1 = Rik (g il g ks − g ik g ls ) −gδgls d4 x 2 Z √ 1 ik ik = R − g R −gδgik d4 x = 0 2 Puesto que estamos considerando variaciones arbitrarias de la m´etrica : 1 Rµν − g µν R = 0 2
(8)
Que es la ecuaci´ on de Einstein en el vac´ıo
1.3.
El Tensor de Energ´ıa-Momento
Sea L la densidad Lagrangeana para un conjunto de N campos ψ (i) i = 1, ..., N en ausencia de un campo gravitacional y donde por simplicidad vamos a considerar campos tensoriales. Asumamos que conocemos la forma de L en este espacio plano, entonces el principio de equivalencia nos muestra c´omo debemos implementar este sistema a un espacio que posee un campo gravitaqcional. Para esto debemos escribir gµν en lugar de ηµν y reemplazar las derivadas ordinarias por la derivada covariante
:
L(ψ, ∂µ ψ) −→ L(ψ, ∇µ ψ, g) F´ısica Local Relatividad General Luego las ecuaciones para los campos de materia se obtienen a partir de un principio variacional para Z √ (9) Smat [ψ, g] = Lmat (ψ A , ∇µ ψ A , gµν ) −gd4 x
Donde el caracter tensorial de los campos est´a denotado en forma compacta por un solo ´ındice A. La variaci´ on de Smat con respecto a los campos es: δS mat = δψ =
Z δ Z
√
−gLmat d4 x √ √ ∂( −gLmat ) A ∂( −gLmat ) A δψ + δ∇µ ψ d4 x ∂ψ A ∂∇µ ψ A 4
Es f´ acil ver que la derivada covariante conmuta con la variaci´on: δ∇ν ψ A = ∇ν δψ A Para reducir esta expresi´ on trabajaremos en el segundo t´ermino del par´entesis √ √ √ ∂( −gLmat ) ∂( −gLmat ) A ∂( −gLmat ) A ∇ δψ δψ δψ A = ∇ − ∇ µ µ µ ∂∇µ ψ A ∂∇µ ψ A ∂∇µ ψ A
(10)
A continuaci´ on vamos a probar que el primer t´ermino en esta expresi´on es realmente un t´ermino de divergencia y por lo tanto no contribuye a la acci´on √ √ ∂( −gLmat ) A ∂Lmat A √ ∂Lmat A ∇µ δψ = (∇µ −g) δψ + −g∇µ δψ (11) ∂∇µ ψ A ∂∇µ ψ A ∂∇µ ψ A √ El primer t´ermino se anula debido a que ∇µ −g es cero (lo cual es una consecuencia de que la derivada covariante de la metrica sea nula). Para probar que el t´ermino restante sea en verdad un t´ermino de divergencia bastar´ a probar que la expresi´ on entre par´entesis se transforme como un vector contravariante. Veamos: 0
∂Lmat ∂Lmat ∂Lmat ∇ν ψ A 0 0 A = 0 0 A = ∂∇µ ψ ∂∇µ ψ ∂∇ν ψ A ∇0µ ψ 0 A
(12)
Ahora vamos a utilizar una notaci´ on compacta para la ley de transformacion de los campos ψ A ψ δψ 0
∇µ ψ
0
A
= ... ψ
0
0
A
0
A
= ... δψ A 0 ∂xν A = 0 µ ... ∇ν ψ ∂x
A 0
Reemplazando todo esto en la expresi´ on anterior tenemos 0
0
∂Lmat ∂Lmat 0 ... A × = δψ A 0 0 A δψ ν A ∂x ∂(∇µ ψ ) ∂(∇ν ψ ) ... ∂x0 µ Por lo tanto
∂Lmat se transforma de la siguiente manera: ∂(∇µ ψ A ) ! 0 0 ∂Lmat 0 ∂Lmat ∂x µ A A δψ = δψ × ∂(∇0µ ψ 0 A ) ∂(∇ν ψ A ) ∂xν
Que es la ley de transformaci´ on de un vector contravarinate, entonces: √ √ √ ∂Lmat A −g∇µ δψ = −g∇µ B µ = ( −gB µ )µ ∂(∇µ ψ A )
(13)
(14)
es un t´ermino de divergencia y no aporta a la acci´on. Finalmente la expresi´ on para las ecuaciones de Euler-Lagrange de los campos de materia queda: ∂Lmat ∂Lmat =0 (15) − ∇ µ ∂ψ A ∂(∇µ ψ A ) Por otro lado si consideramos la variaci´on de la integral inducida por una variaci´on de la m´etrica definimos una expresi´ on para el tensor de enregia momento de la materia: Z √ 1 mat δS δg = T µν δgµν −gd4 x (16) 2 Es decir T
µν
√ 2 δ(Lmat −g) =√ −g δgµν 5
(17)
En componentes covariantes tiene la siguinete expresi´on: Z Z √ 1 1 µν √ T µν δgµν −gd4 x = T −g(−gαµ gβν δg αβ )d4 x 2 2 Z √ 1 Tαβ −gδg αβ d4 x =− 2 √ Z δ(Lmat −g) = δg αβ d4 x δg µν Entonces
√ 2 δ(Lmat −g) Tµν = − √ −g δg µν
(18)
Ejemplo 1.1 En algunos casos luego de implementar el langrageano a un espacio curvo ´este tiene la siguiente forma: Lmat = Lmat (ψ, ∂µ , gµν ) por lo que la expresion del tensor energia-momento queda: √ 2 δ(Lmat −g) T µν = √ −g δgµν √ √ δLmat 2 δ( −g) =√ −g + Lmat −g δgµν δgµν δLmat + g µν Lmat =2 δgµν Y en componentes covariantes: Tµν = gµν Lmat − 2
1.4.
δLmat δg µν
(19)
Ejemplo 1.2
Sea
1 Fµν Fαβ g µα g νβ 16π el lagrangeano del campo electromagn´etico, el tensor de energ´ıa momento es: L=−
T ργ = gργ L − 2[−
1 ∂(g µα g νβ ) Fµν Fαβ ] 16π g ργ
1 = gργ L + Fµν Fαβ (δρµ δγα g νβ + δρν δγβ g µα ) 8π 1 1 = Fρµ Fγ ν − gργ Fµν F µν 4π 4
1.5.
Principio Variacional para sistemas acoplados
Para un sistema acoplado la accion total es : Z √ R Stotal [ψ, g] = + Lmat −gd4 x 16πG R Donde al variar la m´etrica obtenemos: Z δStotal =
µν
4
Z
−G δgµν d x + R
R
1 µν T δgµν d4 x 2
Finalmente Gµν = 8πGTµν
6
(20)
2.
El concepto de Diffeomorfismo Sea φ una aplicaci´ on entre dos variedades M y N φ :M → N p 7→ φ(p)
Si tomamos una carta (Uα , hα ) en M y otra (Uβ , hβ ) en N , φ tiene la siguiente representaci´on coordenada: m n hβ o φ o h−1 α :< →< ∞ Si hβ o φ o h−1 , entonces φ es llamdo un diffeoα es invertible y tanto ella como su inversa son de clase C morfismo, adem´ as M se dice que es diffeomorfo a N y ambas representan la misma variedad abstracta. Tambien se muestra que ambas variedades deben de tener la misma dimensi´on
Figura 1: Representaci´on coordenada de un diffeomorfismo
Si M = N , entonces el conjunto de Diffeomorfismos φ : M → M forman un grupo denotado por Diff(M ) Tomemos un punto p en una carta (Vα , hα ), tal que hα (p) = (x), bajo la acci´on de φ ∈ Diff(M ), p es mapeado a φ(p) cuyas coordenadas son hα (φ(p)) = (x, ). Podemos luego ver a x, como una funci´ on diferenciable de x. Este enfoque es conocido como una transformaci´on de cooordenas activa.
Figura 2: Transformaci´on de coordenadas activa
Por otro lado si (Vα , hα ) y (Vβ , hβ ) son dos cartas que se intersectan tenemos dos valores para las coordenadas de un mismo punto p (que pertenece a Vα ∪ Vβ ): hα (p) = (x) y hβ (p) = (y). Luego la aplicaci´ on xµ = xµ (y) es diferenciable por el car´acter suave de la variedad. A este enfoque se le conoce como una transformaci´ on de coordenada pasiva.
7
Figura 3: Transformaci´on de coordenadas pasiva
3.
Aplicaciones Inducidas: El Pullback y la Aplicaci´ on Tangente
Consideremos dos variedades M y N , si tenemos un diffeomorfismo φ : M → N y una aplicaci´ on f ∈ F(N ) , el conjunto de todas las funciones que van de N a los reales, φ induce naturalmente la aplicaci´ on φ∗ : F(N ) → F(M ), φ∗ f es denominado el pullback de f definido por : φ∗ f = f oφ
(21)
Figura 4: El pullback de una funci´on f
La aplicaci´ on φ no solo induce el pullback, sino tambi´en la aplicaci´on lineal φ∗ : Tp M → Tφ(p) N denominada la aplicaci´ on tangente (o aplicaci´on diferencial) y definida por : φ∗ : Tp M → Tφ(p) N X → φ∗ X = Xoφ
(22) ∗
(23)
Por lo tanto la accion de la aplicaci´ on tangente sobre una funci´on f ∈ F(N ) es: (φ∗ X)φ(p) [f ] = X(p) oφ∗ [f ]
(24)
(φ∗ X)φ(p) [f ] = X(p) [f oφ]
(25)
8
∂ ∂ φ∗ [f ] = [f oφ] ∂xµ φ(p) ∂xµ (p) = Deˆµx [f o φ o ψα−1 ](ψα (p)) = Deˆµx [f o φ o ψα−1 ](x) = Deˆµx [f o ψβ−1 o ψβ o φ o ψα−1 ](x)
Pero: ψβ o φ o ψα−1 : Uα ⊂
o ψβ−1
n
(26)
i
i
: Uβ ⊂ < → < ≡ F = F (y ) = F (φ (x))
(27)
luego tenemos: ∂φν ∂y ν ∂ φ∗ [f ] = Deˆµx F (φi (x)) = Deˆνy F µ = Deˆνy F µ µ ∂x ∂x ∂x φ(p) ν ∂y ∂ ∂ [f ] = [f ] φ∗ µ µ ∂x ∂x ∂y ν φ(p) φ(p) Por lo tanto encontramos que ∂ ∂y ν ∂ φ∗ = ∂xµ φ(p) ∂xµ ∂y ν φ(p)
(28)
Ahora si V ∈ Tp M , entonces "
(φ∗ V )νφ(p)
∂ ∂y ν
∂ µ µ ∂y = V(p) φ∗ = V(p) µ ∂x ∂xµ φ(p)
∂ ∂y ν
φ(p)
∂ ∂xµ
#
φ∗ Vφ(p) = φ∗
µ V(p)
Finalmente: µ (φ∗ V )νφ(p) = V(p)
µ = V(p) φ∗
(p)
∂y ν ∂xµ
Figura 5: la aplicaci´on tangente
Tambien es posible definir el pullback de una 1−forma por: ∗ φ∗ : Tφ(p) N → Tp∗ M
ω → φ∗ ω 9
∂ ∂xµ ν
(p)
φ(p)
(29)
donde la acci´ on del pullback sobre un vector es: (φ∗ ω)(p) [V(p) ] = ωφ(p) [(φ∗ V )φ(p) ] = hω , φ∗ V i
(30)
En particular si ω = (dy µ )φ(p) y V = ( ∂x∂ ν )(p) tenemos: ∂ ∂ µ ] = hdy , φ i (φ∗ dy µ )(p) [ ∗ ∂xµ (p) ∂xν ∂ ∂y ρ ∂ ∂y µ ∗ µ ν µ ∗ µ (φ dy )ν (dx )(p) [ ] = hdy , i(φ dy ) = ν ∂xµ (p) ∂xµ6 ∂y ρ ∂xν Entonces φ∗ ω = φ∗ (ωα φ(p) (dy α )φ(p) ) = ωα
φ(p) φ
= ωα
φ(p)
∗
α ) (dyφ(p)
∂y µ (p)(dxν )(p) ∂xν
Por otro lado φ∗ ω = (φ∗ ω)µ (p) (dxν(p) )
Por lo tanto encontramos
∂y µ ων φ(p) (31) ∂xν Finalmente podemos extender la definici´on de pullback a un campo tensorial arbitrario(Esto solo puede hacertse cuando φ es un diffeomorfismo, en general si φ fuera una aplicaci´on entre variedades podemos generalizar el pullback a tensores del tipo Tl0 mas no a un tensor mixto). (φ∗ ω)µ
(p)
=
Sea T ∈ Tsr (N ) un campo tensorial arbitrario ,la aplicaci´on φ∗ : Tsr (N ) → Tsr (M ) t → (φ∗ T ) es denominada el pullback y se define mediante : (φ∗ T )(p) (X (1) , ... , X (s) , ω (1) , ... , ω (r) ) = Tφ(p) (φ∗ X (1) , ... , φ∗ X (s) , [φ−1 ]∗ ω (1) , ... , [φ−1 ]∗ ω (r) )
(32)
En particular , si: X
(i)
=
∂ ∂xµi
→ φ∗ X (p)
(i)
∂y κi = ∂xµi
→ [φ−1 ]∗ ω (i)
ω (i) = (dxνi )(p)
∂ ∂y κi
φ(p)
∂xνi = (dy λi )φ(p) ∂y λi
Entonces tenemos: [campos] = ∗
(φ T )(p) [campos] = (φ
∂ ∂xµ1
∗
, ... ,
∂ ∂xµs
ν1
νr
, (dx ), ... , (dx )
β1 1 ,... ,αr T )α β1 ,... ,βs (p) (dx )(p)
βs
⊗ ... ⊗ (dx )(p) ⊗
∂ ∂xµi
β1 βs ν1 νr ∗ ν1 ,... ,νr 1 ,... ,αr = (φ∗ T )α β1 ,... ,βs (p)δµ1 ...δµs δα1 ...δαr = (φ T )µ1 ,... ,µs (p)
10
⊗ ... ⊗
(p)
∂ ∂xµi
[campos] (p)
Por otro lado , de la definici´ on tambi´en se tiene: κ1 ∂ ∂y κs ∂ ∂xν1 ∂xνr ∂y λ1 λr [campos∗ ] = , ... , , ... , (dy ), ... (dy ) ∂xµ1 ∂y κ1 ∂xµs ∂y κs ∂y λ1 ∂y λr ∂ ∂ ...γr ρ1 ρs (φ∗ T )(p) [campos] = Tργ11...ρ (φ(p))(dy ) ⊗ ... ⊗ (dy ) ⊗ ⊗ ... ⊗ [campos∗ ] (p) (p) s ∂y γi (p) ∂y γi (p) ∂y κ1 ∂y κs ∂xν1 ∂xνr ... ... × δκρ11 ...δκρss δγλ11 ...δγλrr ∂xµ1 ∂xµs ∂y λ1 ∂y λr ∂y κ1 ∂y κs ∂xν1 ∂xνr ...λr = Tκλ11...κ (φ(p)) × ... ... s µ µ λ ∂x 1 ∂x s ∂y 1 ∂y λr
...γr = Tργ11...ρ (φ(p)) × s
Finalmente las componentes del pullback quedan: ,νr λ1 ...λr (φ∗ T )νµ11,... ,... ,µs (p) = Tκ1 ...κs (φ(p)) ×
∂y κ1 ∂y κs ∂xν1 ∂xνr ... ... ∂xµ1 ∂xµs ∂y λ1 ∂y λr
(33)
De forma similar es posible generalizar la aplicaci´on tangente de la siguiente manera: φ∗ : Trs (M ) → Trs (N ) verifica (φ∗ T )φ(p) (X (1) , ... , X (s) , ω (1) , ... , ω (r) ) = T(p) ([φ−1 ]∗ X (1) , ... , [φ−1 ]∗ X (s) , φ∗ ω (1) , ... , φ∗ ω (r) ) Si en particular tenemos: X (i) =
∂ ∂y µ1
→ [φ−1 ]∗ X (i) = φ(p)
ω (i) = (dy νi )φ(p)
→ φ∗ ω (i)
∂xθi ∂y µ1
∂ ∂xθi
(p)
∂y νi = (dxλi )(p) ∂xλi
Y por un procedimiento an´ alogo al anterior encontramos las componentes de la aplicaci´on tangente: ,νr λ1 ...λr (φ∗ T )νµ11,... ,... ,µs (φ(p)) = Tκ1 ...κs (p) ×
∂xκ1 ∂xκs ∂y ν1 ∂xνr ... ... µ µ λ ∂y 1 ∂y s ∂x 1 ∂y λr
(34)
Ahora si φ ∈ Diff(M ), entonces la inversa φ−1 tambien pertenece al grupo de diffeomorfismos e induce una aplicacion tangente que act´ ua en los campos tensoriales de M , en particular para un punto q = φ(p) tenemos ν1 ...νr −1 ...λr ([φ]−1 (q) = p] = T (q = φ(p))λκ11 ...κ × ∗ T )µ1 ...µs [φ s
∂xκ1 ∂xκs ∂y ν1 ∂xνr r ... ... = (φ∗ T )µν11...ν ...µs (p) µ µ λ ∂y 1 ∂y s ∂x 1 ∂y λr
Lo cual muestra que si φ ∈ Diff(M ) entonces φ∗ = [φ−1 ]∗
Figura 6: Ilustraci´on gr´afica de la relaci´on φ∗ = [φ−1 ]∗
11
(35)
Un aspecto importante del grupo Diff(M ) es que nos permite comparar campos tensoriales en cada punto de la variedad. Dado un diffeomorfismo φ ∈ Diff(M ) y un campo tensorial T podemos tomar la diferencia entre el valor del tensor en alg´ un punto p y φ∗ [Tφ(p) ] = (φ∗ T )(p) , es decir el valor del campo tensorial en φ(p) y llevado hacia atras hasta el punto p. Esto sugiere que podemos definir otra clase de operador derivada, el cual categoriza la taza de cambio de un campo tensorial bajo la acci´ on de diffeomorfismos. Sin embargo para que esta operaci´on est´e bien definida un diffeomorfismo discreto es insuficiente .En su lugar vamos a requerir una familia uniparam´etrica de diffeomorfismos la cual definiremos a continuaci´ on
4.
Flujo y curvas integrales
Una curva en una variedad diferenciable M es una aplicaci´on γ : J(0) ⊂ < → M . Para dicha curva existe un vector tangente en cada punto γ(t) , ∀t ∈ J(0) definido por : γ(t)[f ˙ ]=
d (f oγ)(t) , f ∈ F(M ) dt
(36)
Adem´ as si X es un campo vectorial entonces γ es llamada una curva integral de X con punto de partida p ∈ M si verifica : γ(t) ˙ = X(γ(t)) para ∀ t ∈ J(0) y γ(0) = p (37) Los teoremas de existencia y unicidad para ecuaciones diferenciales ordinarias nos garantizan que para cualquier p ∈ M , existe una u ´nica curva integral(inextensible) que pasa por p y que vamos a denotar por φp : J(0) → M . Si adem´ as cosideramos variedades compactas la curva integral existe para todo t , es decir J(0) = <. La aplicaci´ on φ definida por: φ:<×M →M (t, p) → φ(t, p) = φp (t) es llamada el flujo de X y tiene las siguientes propiedades: 1. Si mantemos fijo p formamos la aplicaci´on φp : < → M , es decir la curva integral de X con punto de partida p , entonces: φ˙ p (t) = X(φp (t)) (38) 2. Ahora si mantenemos fijo t formamos la aplicaci´on φt : M → M p → φt (p) la cual es un diffeomorfismo. 3. Si t, s ∈ < y p ∈ M entonces se cumple : φs+t (p) = φs (φt (p)) es decir φs+t = φs o φt Esta u ´ltima afirmacion puede probarse de la siguiente forma: φt o φs (p) = φ(t, φ(s, t))
y por definici´on verfica:
d φ(t, φ(s, p)) = X(φ(t, φ(s, p))) ...(∗) dt Con la condici´ on inicial φ(0, φ(s, p)) = φ(s, p) Por otro lado : φs+t (p) = φ(t + s, p) y por definici´on verfica:
12
(39)
d d φ(t + s, p) = φ(t + s, p) = X(φ(t + s, p)) ...(∗∗) dt d(t + s) Con la condici´ on inicial φ(0 + s, p)) = φ(s, p) Tanto (∗) y (∗∗) cumplen la misma ecuaci´on diferencial con la misma condici´on inicial, luego por la unicidad de la soluci´ on se sigue: φt o φs = φt+s (40)
Figura 7: El flujo de un campo vectorial X
Es f´ acil ver que los diffeomorfismos φt forman un grupo denomindado grupo uniparam´ etrico de diffeomorfismos φs o φt = φ(s+t) φ(0) = Id (elemento neutro) φs o φ−s = φ(0) entonces [φs ]−1 = φ−s
Figura 8: Acci´ on de un diffeomorfismo infinitesimal Ahora sea x(µ) la µ-esima funci´ on coordenada, es decir x(µ) (p) = xµ donde xµ es la µ-esima componete de la coordenada de p en un sistema coordenado local {x}. Vamos a estudiar la acci´on de un diffeomorfismo infinitesimal φ ( par´ ametro infinetesimal) 13
x(µ) o φ (p) = x(µ) o φ(, p) = x(µ) o φp () donde x(µ) o φp : < → < Dado que x(µ) o φp es una funci´ on real de variable real podemos realizar una expansion de taylor para ella alrededor de cero: d (µ) x o φp (0) dt x(µ) [φ (p)] = x(µ) (p) + X(φp (0))[x(µ) ] ∂ µ entonces X(p)[x(µ) ] = X ν (p) δνµ recordemos que X(p) = X (p) ∂xµ p
x(µ) o φp () = x(µ) o φp (0) +
x(µ) [φ (p)] = x(µ) (p) + X µ (p) Por esta raz´ on el campo vectorial X es llamado el generador de φt Con esto hemos completado todas las herramientas necesarias par podr definir un nuevo operador de derivada el cual veremos a continuaci´ on
5.
La Derivada de Lie
Sea X un campo vectorial y φ el flujo de X, definimos la derivada de Lie del campo tensorial T con respecto a X como: φ∗ T − T (41) LX T = l´ım t t→0 t
Figura 9: Derivada de Lie Veamos ahora la expresi´ on de las componentes de la derivada de Lie. De la definici´on tenemos: λ1 ...λr r l´ım (φ∗t T )νµ11...ν ...µs (p) = Tκ1 ...κs (φ(p))
t→0
∂y ν1 ∂y νs ∂xν1 ∂xνr ... ... ∂xµ1 ∂xµs ∂y λ1 ∂y λr
Donde y µ = xµ +tX µ o h−1 (x), debido a que estamos tomando l´ımite para t. En adelante vamos a cometer un abuso de notaci´ on y omitiremos escribir h para las representaciones coordenadas de los campos. Como y µ = xµ + X µ (x) , tenemos las expresiones para las derivads parciales: ∂y µ ∂xµ µ ν = δ + tX y = δµν − tX,νµ µ ,ν ∂xν ∂y ν
14
(42)
Luego las componentes del pullback de T (en el l´ımite) quedan: ν1 νr λ1 ...λr κ1 κr r (φ∗t T )νµ11...ν δλν11 − tX,νλ11 ... δλνrr − tX,νλr r ...µs (x) = Tκ1 ...κs (x + tX) δµ1 + tX, λ1 ... δµr + tX, λr h κ1 κ2 ν ...λr ...λr s−1 δµ1 δµ2 ... δµκs−1 δµκss δλν11 δλν22 ... δλr−1 δλνrr + = Tκλ11...κ (x) + tTκλ11...κ (x)X ρ s s ,ρ r−1 ν
s−1 t X,κµ11 δµκ22 ... δµκs−1 δµκss δλν11 δλν22 ... δλr−1 δλνrr + r−1
ν
s−1 t δµκ11 X,κµ22 ... δµκs−1 δµκss δλν11 δλν22 ... δλr−1 δλνrr + r−1
.. .
.. .
.. .
.. .. . .
.. .
.. .
.. . ν
s−1 t δµκ11 δµκ22 ... δµκs−1 X,κµss δλν11 δλν22 ... X, λr−1 δλνrr − r−1
ν
s−1 t δµκ11 Xµκ22 ... δµκs−1 δµκss X,νλ11 δλν22 ... δλr−1 X,νλr r − r−1
.. .
.. .
.. .
.. .. . .
.. .
.. .
.. . ν
s−1 t X,κµ11 δµκ22 ... δµκs−1 δµκss δλν11 δλν22 ... X, λr−1 δλνrr − r−1
i ν νr 2 s−1 t δµκ11 Xµκ22 ... δµκs−1 δµκss δλν11 δλν22 ... δλr−1 X + O(t ) , λr r−1 Finalmente las componentes de la derivada de Lie quedan: ∗ ν1 ...νs ...νs (φt T )µ1 ...µr (x) − Tµν11...µ (x) r ...νs LX Tµν11...µ (x) = l´ ım r t→0 t ν1 ...νs ...νs = Tµν11...µ (x)X ρ + Tλ...µ (x)X,λµ1 + (todos los ´ındices inferiores de T) r ,ρ r s − Tµλ...ν (x)X,νλ1 − (todos los ´ındices superiores de T) 1 ...µr
Ejemplo 5.1 1. Campo Escalar φ(x) LX φ(x) = ∂µ φ(x)X µ (x) 2. Campo Vectorial Aµ (x) LX Aµ (x) = ∂ν Aµ (x)X ν (x) − Aν (x)∂ν X µ (x) 3. Campo Tensorial covariante de rango 2 (por ejemplo la m´etrica) LX gµν (x) = ∂λ gµν (x)X λ (x) + gλν (x)∂µ X λ (x) + gµλ (x)∂ν X λ (x)
5.1.
Propiedades de la derivada de Lie
1. LX (T1 + T2 ) = LX T1 + LX T2 2. LX (T ⊗ S) = (LX T ) ⊗ S + T ⊗ (LX S) 3. LX f = X[f ] , si f ∈ F(M ) = T00 (M ) 4. L(X1 +X2 ) = LX1 + LX2 5. LX Y = [X, Y ] donde [X, Y ] es el bracket de Lie definido por: [X, Y ] = X o Y − Y o X 6. L[X,Y ] = LX o LY − LY o LX
15
6.
Simetr´ıas y Cantidades Conservadas
Diremos que φ ∈ Diff(M ) es una simetr´ıa de algun campo tensorial T si el campo es invariante bajo la acci´ on del pullback de φ, es decir : φ∗ T = T (43) Aunque las simetr´ıas puden ser discretas , es mas com´ un tener una familia uniparam´etrica de simetr´ıas φt . Si la familia es generada por un campo vectorial X esto implica : LX T = 0
(44)
Esto implica que si T posee una simetr´ıa bajo alguna familia de diffeomorfismos siempre podemos hallar un sistema coordenado local(ver secci´on 6.2) en el cual las componentes de la representaci´on coordenada de T son todas independientes de una de las coordenadas (la cual es el par´ametro de la curva integral definida por el campo vectorial X). Lo inverso tambi´en es verdadero , si todas las componentes son independientes de una de las coordenadas entonces el campo vectorial asociado a esa coordenada genera una simetr´ıa. De todas las simetr´ıas, la m´ as importante es la de la m´etrica y motiva la siguiente definici´on. Sea (M, g) una variedad , un diffeomorfismo φ es una isometr´ıa si preserva la m´etrica , es decir: φ∗ [gφ(p) ] = (φ∗ g)(p) = g(p)
(45)
Esto es , si X (1) , X (2) ∈ Tp M tenemos gφ(p) (φ∗ X (1) , φ∗ X (2) ) = g(p) (X (1) , X (2) ) y si en particular X, Y son elementos de la base can´ onica la expresi´on en componentes queda: ∂y α ∂y β gαβ (φ(p)) = gµν (p) ∂xµ ∂xν
(46)
Donde {x} y {y} son las coordenadas de p y φ(p) respectivamente. La aplicacion identidad , la composici´on de isometr´ıas y la inversa de una isometr´ıa son todas isometr´ıas, entonces las isometr´ıas forman un grupo
6.1.
Ecuacion de Killing
Si la isometr´ıa φ es el flujo de un campo vectorial K entonces la ecuaci´on (41) adopta la forma LK gµν = ∂λ gµν K λ + gλν ∂µ K λ + gµλ ∂ν K λ = Kµ;ν + Kν;µ = 0
Esta u ´ltima ecuaci´ on es conocida como la ecuaci´on de Killing y muestra que la geometr´ıa local no cambia mientras nos movamos a lo largo de las l´ıneas del flujo φ. En este sentido los vectores K (denominados vectores Killing) representan la dirrecci´on de la simetr´ıa en una variedad Una de las aplicaciones de los campos Killing es que implican cantidades conservadas asociadas con el movimiento de particulas libres. Si γ(t) es una geod´esica vamos a mostrar que la cantidad γ.K ˙ se conserva a lo largo de la geod´esica ∇γ˙ (K · γ) ˙ = (∇γ˙ γ) ˙ · K + γ˙ · (∇γ˙ K) = γ˙ · (∇γ˙ X) = γ˙ · ∇(x˙µ ( = x˙ ν x˙ µ Kν; µ = 2x˙ ν x˙ µ K(ν; µ) = 0
16
∂ ∂xµ
∂ ν K ( ) )) ∂xµ
Otra importante aplicaci´ on es la siguiente: Si K es un campo Killing T es el tensor de Energ´ıa-Momento entonces J µ = T µν Kν es una cantidad conservada J µ = T µν Kν → J;µµ = (T µν Kν ),µ µν = T ;µ Kν +T µν Kν;µ | {z } 0
1 = T µν X(µ ; ν) = 0 2
Ejemplo 6.1: Vectores Killing en el espacio de Minkoski La ecuaci´ on de Killing en el espacio-tiempo de Minkowsky , es: ∂µ Xν + ∂ν Xµ = 0
(47)
∂ , cuyas componentes son X (i) µ = δiµ , cumplen la ecuaci´on de ∂xi Killing y generan las traslaciones espacios temporales. Es facil ver que los campos X (i) =
Para estos campos las correspondientes cantidades conservadas son P µ (i) = T µν Xν(i) = T µi
(48)
Esto corresponde a la conservaci´ on del tensor de energ´ıa momento. Ahora sea Xµ = aµν xν , entonces la ecuaci´on de Killing implica que aµν es antisim´etrica, por lo tanto existen 6 soluciones independientes de esta forma, tres de las cuales son (j)
Y0
= 0 ; Ym(j) = jmn xn
(j, m, n = 1, 2, 3)
(49)
Las cuales generan las rotaciones espaciales alrededor del eje xj , mientras las otras tres son: (k)
Z0
(k) = xk , Z m = −δkm x0 (k, m = 1, 2, 3)
que son los que generan los lorentz boost. Estos seis vectores Killing se pueden escribir en forma compacta como: ∂ ∂ (αβ) γ γ M = ηαγ x − ηβγ x ∂xβ ∂xα
(50)
(51)
Que generan las transformaciones homog´eneas de Lorent, y las correspondientes cantidades conservadas son: J µ(αβ) = T µν Mν(αβ) = T µβ ηαγ xγ − T µα ηβγ xγ = T µβ xα − T µα xβ Que corresponden a la bien conocida densidad de momento angular. Los vectores Killing tambien nos permiten clasificar los espacio-tiempos como veremos enseguida.
6.2.
Espacio-tiempos Estacionarios y Est´ aticos
Un espacio-tiempo es estacionario si y solo si admite un campo vectorial Killing K el cual es tipo∂ tiempo (la direcci´ on temporal es ∂t ) Esta definici´ on implica la existencia de coordenadas locales para las cuales las componentes de la m´etrica son independientes del tiempo . La construcci´on de este sistema es como sigue: Elijamos una hypersuperficie tipo-espacio S de M y consideremos las curvas integrales de K que pasan a trav´es de S e introducimos 17
Figura 10: Sistema coordenado adaptado a un campo Killing K
coordenadas locales en M de la siguiente manera: Si p = φt (p0 ) donde p0 ∈ S y φt es el flujo de K las coordenadas para p son: h−1 o p = (t, l(1) (p) = x0 , l(2) (p) = y0 , l(3) (p) = z0 ). Debemos mencionar que aqu´ı no estamos interesados en la forma de la funci´ on l ya que lo importante es que las coordenadas espaciales para todos los puntos que se encuentran en una misma curva integral son constantes (ver gr´afico). Sabemos que : φ˙ po (t) = K(φpo (t)) −→
φ˙ po (t)[x(µ) ] = K(φpo (t))[x(µ) ] d (µ) [x o φpo (t)] = K µ (φpo (t)) dt
Pero por construcci´ on tenemos: x(0) o φpo (t) = t x(i) o φpo (t) = l(i) (po ) = cte Por lo tanto
d (µ) [x o φpo ] = δ0µ luego K = dt
∂ ∂t
que como vemos es un vector tipo-tiempo. Ahora , dado que K es un campo Killing encontramos que las componentes de la m´etrica son todas independientes del tiempo. LK gµν , = K ρ gµν , ρ + gµρ K,ρν + gνρ K,ρµ = gµν ,0 = 0 Un espacio-tiempo se denomina est´ atico si es estacionario y adem´as cumple algunas de las siguientes condiciones(las cuales son todas equivalentes) ∂ ∂ 1. Es invariante bajo inversion temporal ∂t → − ∂t ∂ 2. K = ∂t es ortogonal a una familia de hipersuperficies tipo-espacio. 3. g0i = 0 i = 1, 2, 3
18
6.3.
Invariancia de la Relatividad General bajo Diffeomorfismos
La Relatividad general es una teor´ıa invariante bajo diffeomorfismos , esto significa que si los elementos de nuestro universo est´ an representados por una variedad (M, gµν ) y campos de materia ψ, entonces si φ ∈ diff(M ) los conjuntos (M, gµν , ψ) y (M, φ∗ gµν , φ∗ ψ) son f´ısicamentes equivalentes. Esto trae como consecuencia el siguiente hecho importante: Si Stotal denota la accion total del sistema entonces ´esta debe ser invariante bajo diffeomorfismos, ahora si consideramos el caso de ausencia de materia la acci´ on de Einstein-Hilbert debe ser invariante. Esto u ´ltimo es verdad puesto que la variaci´on de la acci´on EH con respecto a cualquier variaci´ on arbitraria de la m´etrica es id´enticamente nula y por lo tanto v´alido para δg = φ∗ g − g. Entonces por consistencia necesariamente la acci´on de la materia Smat debe ser por s´ı sola invariante bajo diffeomorfismos tambi´en. Esto significa que: Smat [gµν , ψ] = Smat [φ∗ gµν , φ∗ ψ] Z δSmat =
R
(52)
Z p √ Lmat [gµν , ψ] −gd4 x Lmat [φ∗ gµν , φ∗ ψ] φ∗ (−g)d4 x − R
Obs: La regi´ on de integraci´ on R no cambia ya que los diffeomorfismos no tocan el sistema coordenado en el cual estamos representando los campos. En particular si φ puede ser el flujo de alg´ un campo vectorial X (el cual es arbitrario), por lo tanto es l´ıcito escribir: √ √ Z Lmat −g[φ∗ gµν , φ∗ ψ] − Lmat −g[gµν , ψ] 4 δSmat = l´ım d x t→0 R t Z √ = LX (Lmat −g)d4 x √ √ ZR δ(Lmat −g) (δLmat −g) = LX ψ + LX gµν d4 x δψ δgµν R Z 1 µν √ −g)LX gµν d4 x (T = 2 ZR Z √ 1 µν √ = (T −g)(Xµ;ν + Xν;µ )d4 x = T µν −gXµ;ν d4 x 2 R Z ZR √ √ −g(T µν Xµ ;ν )d4 x − −gXµ T;νµν d4 x = R R Z Z √ √ = [ −gT µν Xµ ], ν d4 x − −gXµ T;νµν d4 x R {z } |R 0 Z √ −gXµ T;νµν d4 x = 0 =− R
Y debido a la arbitrariedad de X finalmente hallamos: T µν;ν = 0
(53)
Luego el hecho de que la ”conservacion covariante” del tensor energia-momento de la materia es m´as que una simple consecuencia del principio de equivalencia ya que descansa en la invariancia de la teoria bajo diffeomorfismos.
6.4.
No localizaci´ on de la Energ´ıa Gravitacional
Sin embargo T µν;ν = 0 en verdad no expresa una ley de conservaci´on y a menos que nuestro espaciotiempo admita vectores Killing, no podemos formar cantidades conservadas conservadas a partir de esta relaci´ on .
19
En ausencia de un campo gravitacional (Relatividad Restringida) , La ley de conservaci´on del tensor de Energia-Momento es expresado por la ecuaci´on T µν,ν y es consecuencia de la invariancia con respecto a traslaciones en el tiempo y espacio. Excepto para soluciones especiales, las traslaciones no act´ uan como isometr´ıas en una variedad y por esta raz´ on una ley general de conservaci´on para la energ´ıa y momento no existe en relatividad general. Una forma de atacar este problema es introducir cantidades τ µν [1] de tal manera que √ ∂Ψµνλ −g(T µν + τ µν ) = (54) ∂λ De esta definicion se ve que la cantidad τ µν no se transforma como un tensor por esta raz´on es denominado pseudotensor. Landau mostro que es posible encontrar una cantidad τ µν sim´etrica [ver 1] Sin embargo no hay una forma u ´nica de definir estas cantidades pero son u ´tiles porque nos permiten construir cantidades conservadas Z p (−g)(T µν + τ µν )dSν (55) Pµ = R µν
Estas cantidades τ tienen una interpretaci´on asociadas a la energ´ıa del campo gravitacional y se habla de una conservaci´ on total de la energ´ıa de la materia y el campo gravitacional. Si el tensor T µν es cero en algun punto del espacio tiempo, entonces sigue siendo nulo para cualquier sistema de referencia y podemos hablar con seguridad que en este punto no existen campos de materia. ¿ Sucede lo mismo para τ µν ? La respuesta es no , puesto que τ µν no posee un caracter tensorial , esto es, si en cierto sistema de referencia τ µν se anula en alg´ un punto no implica que ´este siga siendo nulo en cualquier sistema arbitrario y por lo tanto no tiene significado el preguntarnos si en dicho punto existe o no energ´ıa gravitacional. Aunque esto parezca extra˜ no , es una consecuencia directa del principio de equivalencia ya que ´este nos permite siempre eliminar localmente (mediante una eleccion apropiada de coordenadas) el campo gravitacional (identificado con los s´ımbolos de Christoffel).Por lo tanto no existe un tensor de energ´ıamomento para el campo gravitacional y no hay manera de localizar su energ´ıa. Finalmente desde un enfoque matem´ atico debemos mencionar que esto esta relacionado con la identificaci´ on de los campos con entidades geometricas ya que de todos los campos el gravitacional( identificado ´nico que se interpreta distinto al resto (los campos de materia se identifican con campos con Γµνα ) es el u tensoriales de la variedad)
7.
bibliografia
1. The Classical Theory of Fields ; L.D. Landau, E.M.Lifshitz ;4ta Ed. Pergamon Press 2. Geometry, Topology and Physics ; M. Nakahara; Graduate Student Series in Physics 3. Problem Book in Relativity and Gravitation ; Alan P. Lightman, Willian H. Press, Richard H. Price, Saul A. Teukolsky 4. Classical Fields: General Relativity and Gauge Theory ; M.Carmelli ; Willey-Intersciencie Publication 5. General Theory of Relativity ; P.A.M. Dirac ;Willey-Intersciencie Publication 6. General Relativity: With Applications to Astrophysics ; N. Straumann 7. Tensors and Manifolds ; Wasserman 8. Lectures Notes on General Relativity ; Sean M. Carroll ; http://itp.ucsb.edu/ carroll/notes/.
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Ap´ endice Relaciones u ´ tiles 1. δg = gg µρ δgµρ = −ggµρ δg µρ 2. g,κ = gg µρ gµρ, κ √ 3. δ( −g) = − 12 √δg −g √ 4. Γµαµ = 21 g µγ gµγ , α = (ln −g),α √ ωρ √1 5. g µγ Γω µγ = − −g ( −g)g ,ρ √ 6. Aµ; µ = Aµµ + (ln −g)µ,µ √ √ 7. (Aµ −g), µ = −gAµµ R√ R √ 8. −gAµ; µ d4 x = Aµ −gdSµ
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