relatividad general - alonso sepulveda.

Elementos de relatividad general Alonso Sep´ ulveda S. Instituto de F´ısica Universidad de Antioquia Medell´ın, julio 2013

El espacio de Einstein no est´ a m´ as pr´ oximo a la realidad que un cielo de Van Gogh. La gloria de la ciencia no est´ a en una verdad “m´ as absoluta” que la verdad de Bach o Tolstoi, sino en el acto de la creaci´ on misma. Los descubrimientos de los cient´ıficos imponen su propio orden en el caos, como el compositor o el pintor impone el suyo; un orden que se refiere siempre a aspectos limitados de la realidad, influido por el marco de referencia del observador, que difiere de un per´ıodo a otro, de la misma manera que un desnudo de Rembrandt difiere de un desnudo de Manet. Arthur Koestler

Índice general Pr´ ologo 1.

2.

VI

Geometr´ıa diferencial 1.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Coordenadas curvil´ıneas generales . . . . . . . . 1.2.1. Base original y rec´ıproca . . . . . . . . . . 1.2.2. Teor´ıa de transformación . . . . . . . . . 1.3. Formas multilineales . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 1.4. Algebra tensorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5. El operador gradiente . . . . . . . . . . . . . . . 1.6. Geodésicas en N dimensiones . . . . . . . . . . . 1.6.1. S´ımbolos de Christoffel . . . . . . . . . . . 1.7. Derivada covariante . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.1. Diferencial covariante . . . . . . . . . . . 1.7.2. Derivación covariante de un producto y de 1.7.3. La conexión af´ın . . . . . . . . . . . . . . 1.7.4. Divergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.5. Rotacional . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.6. Laplaciano . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8. Tensor de Riemann-Christoffel . . . . . . . . . . 1.8.1. Tensor de Ricci-Einstein . . . . . . . . . . 1.8.2. Tensor de Einstein . . . . . . . . . . . . . 1.9. Densidad tensorial . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.9.1. Aplicaciones de la densidad tensorial . . . 1.10. Miscelánea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2 2 4 4 9 11 14 16 17 20 24 26 28 29 34 35 35 35 38 40 41 42 44

Gravitaci´ on 2.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Teor´ıa newtoniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1. Ley de Newton de la gravitación . . . . . . . . . . . . . . . .

51 51 52 52

iii

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . un . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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iv/ Relatividad general

2.2.2. Masa inercial y gravitacional . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3. Transformaciones galileanas . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Los principios de la relatividad general . . . . . . . . . . . . . 2.4. Gravitación y métrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1. El campo de mareas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2. Sistema rotante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.3. Coordenadas geodésicas y ca´ıda libre . . . . . . . . . . 2.5. Ecuaciones de campo en el espacio libre . . . . . . . . . . . . 2.6. Tensor de materia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7. La ecuación de Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.1. L´ımite newtoniano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8. La constante cosmológica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.9. Ley de inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.10. Invarianza gauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.10.1. Condición de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.10.2. Condiciones coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . 2.11. Campo débil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.11.1. Linealización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.11.2. Ondas métricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.11.3. Ondas electromagnéticas planas . . . . . . . . . . . . . 2.11.4. Ondas gravitacionales planas . . . . . . . . . . . . . . 2.12. Cálculos basados en el elemento de l´ınea . . . . . . . . . . . . 2.12.1. El elemento de l´ınea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.12.2. Clasificación de los 4-vectores . . . . . . . . . . . . . . 2.12.3. La 4-velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.12.4. Teorema 1: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.12.5. Teorema 2: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.12.6. Simultaneidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.12.7. Tiempo propio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.12.8. Efecto Doppler gravitacional . . . . . . . . . . . . . . 2.12.9. Constantes de movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . 2.12.10. Geodésicas y m´ınima acción . . . . . . . . . . . . . . 2.13. Solución de Schwarzschild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.13.1. El elemento de l´ınea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.13.2. Los s´ımbolos de Christoffel . . . . . . . . . . . . . . . 2.13.3. Componentes del tensor de Ricci-Einstein . . . . . . . 2.13.4. La métrica de Schwarzschild . . . . . . . . . . . . . . . 2.13.5. Teorema de Birkhoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.13.6. Componentes del tensor de Riemann-Christoffel . . . . 2.13.7. Componentes f´ısicas del tensor de Riemann-Christoffel

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55 55 59 61 64 66 68 69 71 75 76 78 80 82 82 83 85 85 86 87 89 94 94 96 96 97 97 98 100 100 102 104 105 105 107 107 108 110 111 111

´ Indice general /v

3.

2.14. El principio de equivalencia y la solución de Schwarzschild . . . . . . . . . . . . ´ 2.15. Orbitas en un campo de Schwarzschild . . . . . . . 2.15.1. Solución newtoniana al problema de Kepler 2.15.2. Precesión del perihelio . . . . . . . . . . . . 2.15.3. Deflexión de la luz . . . . . . . . . . . . . . 2.15.4. Ca´ıda libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.15.5. El radio de Schwarzschild . . . . . . . . . . 2.16. La gravitación y los sistemas f´ısicos . . . . . . . . . 2.17. El problema variacional . . . . . . . . . . . . . . . 2.17.1. Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.17.2. La acción gravitacional . . . . . . . . . . . 2.17.3. M´ınima acción gravitacional . . . . . . . . . 2.17.4. Momento-energ´ıa de la gravitación . . . . .

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112 114 116 118 121 124 125 126 127 127 128 131 133

Cosmolog´ıa relativista 3.1. Introducción . . . . . . . . . . . . 3.2. Espacios de curvatura constante 3.2.1. Espacio bidimensional . . 3.2.2. Espacio tridimensional . . 3.3. Coordenadas gaussianas . . . . . 3.4. La métrica cosmológica . . . . . 3.5. Ley de Hubble . . . . . . . . . . 3.5.1. La expansión del espacio . 3.6. Modelos cosmológicos . . . . . . 3.6.1. Modelos estáticos . . . . . 3.6.2. Modelos dinámicos . . . .

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139 139 141 141 142 145 146 150 151 153 155 156

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Bibliograf´ıa

161

´ Indice alfab´ etico

163

Pr´ ologo La teor´ıa general de la relatividad −propuesta por Einstein en su forma final el 24 de noviembre de 1915 en el seminario dirigido por David Hilbert en Gottinga− es una ampliación y continuación natural de la teor´ıa especial, en el sentido de que comienza buscando una generalización de la noción de relatividad del movimiento, concebida inicialmente en 1905 solo para el movimiento uniforme. En los a˜ nos sucesivos la b´ usqueda de Einstein se orienta hacia la extensión de la relatividad a los sistemas de referencia acelerados. Siguiendo este camino descubre en 1907 la identidad de los efectos f´ısicos en campos gravitacionales uniformes y sistemas de referencia que se mueven respecto a uno inercial con aceleración constante. Aparece aqu´ı el principio de equivalencia. El análisis de las consecuencias que de él provienen le condujeron en 1913 −con la asistencia de su amigo Marcel Grossmann− a la idea de la gravitación como un fenómeno asociado a la estructura del espacio-tiempo. Este nuevo concepto geométrico hab´ıa sido introducido en 1908 por Hermann Minkowski en el contexto de la relatividad especial y trajo a la luz un nuevo absoluto inmodificable, el escenario de los fenómenos f´ısicos. La noción que entra a comandar la construcción de la nueva teor´ıa es la de metrica de un espacio de Riemann de cuatro dimensiones. En este momento Einstein ha comprendido que la construcción de una teor´ıa general de relatividad exige a la vez la proposición de una nueva teor´ıa de la gravitación en la que las acciones gravitacionales deber´ıan propagarse con velocidad finita. Surge as´ı, en un intervalo que va desde 1907 a 1915, una de las teor´ıas con más estética constru´ıda en todos los tiempos. La relatividad general no tiene solo una amplia aplicación a nivel cosmológico; en ella se fundamenta la descripción de muy diversos fenómenos astrof´ısicos, deflexión gravitacional de la luz, agujeros negros, lentes gravitacionales, o´rbitas planetarias, ondas de gravitación, entre ellos. Este texto −surgido de cursos sobre el tema dictados por el autor en la Universidad de Antioquia y en la II Escuela Nacional de F´ısica Teórica en Pereira, 1982− pretende ser un programa m´ınimo y consistente de relatividad general, para 1 semestre. Esto significa que introduce, para comenzar, las nociones fundamentales de los espacios de Riemann: coordenadas curvil´ıneas generales, transformaciones de coordenadas, tensores de Riemann y de Ricci-Einstein; avanza introduciendo los principios de equivalencia y covarianza general, las ecuaciones de Einstein para el campo gravitacional, las ondas gravitacionales, entre otros, y culmina con el estudio de espacios de diferentes curvaturas y los modelos cosmológicos más simples.

********************************** Bernhard Riemann (1826-1866). Tomado de http://commons.wikimedia.org

1 Geometr´ıa diferencial

1.1.

Introducci´ on

La relatividad general es una teor´ıa sobre el espacio y el tiempo. Fué precedida por la relatividad especial, teor´ıa que permitió entender que el tiempo y las tres coordenadas del espacio son parte −como descubrió Minkowski− de un espaciotiempo de 4 dimensiones que es el escenario de los fenómenos f´ısicos. Resulta lógico por ello que una presentación de los fundamentos de la relatividad general comience por introducir temas geométricos, en particular sistemas de coordenadas, a partir de los cuales es posible definir puntos en espacios N dimensionales; uno de estos espacios podr´ıa describir el espacio-tiempo. Ninguna mención será hecha en este cap´ıtulo a la posibilidad de que la estructura de estos espacios, o de alguno de ellos, esté conectada con la existencia del mundo material que la f´ısica pretende describir. Por ello una idea simple anima el comienzo de esta exposición: proponer la noción de coordenadas curvil´ıneas no ortogonales en 3D, extensible sin dificultad a espacios multidimensionales, sin asumir que el espacio N dimensional es euclidiano, ni que las coordenadas cartesianas tienen alg´ un privilegio. Conviene entonces acentuar que en cada punto del N-espacio es posible construir una red coordenada, lo que no supone un conocimiento de la estructura f´ısica del espacio. Vale decir que la presentación que sigue se inicia desde un divorcio de principio entre la geometr´ıa y la f´ısica. Ning´ un argumento f´ısico inspirará la construcción matematica aqu´ı presentada. Por ello este cap´ıtulo bien puede hacer parte de un texto de geometr´ıa pura, de geometr´ıa diferencial. No serán pertinentes, ni necesarios por ahora los comentarios a las sugerencias de Leibniz o de Mach acerca de que el mundo de los fenómenos está inevitablemente asociado a un espacio y un tiempo determinados por el contenido material del mundo, punto de vista desde el cual cualquier discusión sobre la geometr´ıa f´ısica y la posibilidad de una medida de distancias y tiempos, habr´ıa de incluir el universo material entero.

2

1.

Geometr´ıa diferencial /3

En este sentido este no es un cap´ıtulo sobre geometr´ıa f´ısica sino sobre geometr´ıa matemática, sin compromiso alguno con la experiencia. Es un cap´ıtulo completamente aséptico, no contaminado con la presencia del mundo. Como se verá luego esta inicial asepsia tiene una consecuencia epistemológica fundamental que no es posible soslayar y que es una de las debilidades de la teor´ıa de Einstein y de todas las teor´ıas modernas sobre el espacio y el tiempo, pues si una discusión sobre el mundo de la materia comienza con una disquisición abstracta que no la involucra, entonces toda elaboración teórica posterior carecerá del elemento esencial que a él lo refiera. La “imagen del mundo” que de aqu´ı provenga será entonces, a su pesar, la base de un conocimiento incompleto sobre el universo real. En cierto sentido, entonces, las páginas que siguen, resultado de la geometr´ıa pura, serán, respecto al conocimiento del mundo material , una especie de metaf´ısica, de fundamento sin sustrato, no una parte de la f´ısica. Como se verá en el cap´ıtulo 2, la relatividad especial y general, las mejores teor´ıas de nuestra época sobre el espacio y el tiempo, comenzaron por asumirlos como una estructura que precede al mundo fenoménico. La noción matemática de espacio comienza su camino a partir de la creación de la geometr´ıa anal´ıtica, disciplina que, con Descartes algebrizó el espacio e hizo posible la descripción del movimiento a partir del cálculo diferencial. La noción de distancia entre dos puntos resultó ser tanto un objeto de la geometr´ıa algebraica como del cálculo diferencial. Se trata aqu´ı, dicho otra vez, de ampliar las nociones cartesianas, introduciendo las coordenadas curvil´ıneas N dimensionales. El desarrollo permitirá mostrar, introduciendo una notación conveniente, que es posible escribir ecuaciones cuya forma general es la misma para todos los sistemas coordenados curvil´ıneos en el N-espacio. La disciplina que permite esta invarianza es el cálculo tensorial, una forma elegante y poderosa de lograr esa sublimación algebraica de la geometr´ıa que es la geometr´ıa de Riemann, una estructura que −reinventando a Euclides− permitió una nueva descripción del mundo. El proyecto de escribir leyes invariantes es interesante, importante y de alta estética, pues la f´ısica pretende fabricar leyes del mundo que sean válidas en todos los sistemas de coordenadas o de referencia. Con estas ideas Einstein hizo su obra de arte, la relatividad general. De acuerdo con lo dicho, lo que aqu´ı se expondrá será una teor´ıa de espacios geométricos, no de espacios f´ısicos, pues en lo que sigue, y a pesar de que los geómetras ocasionalmente pensaron en el mundo f´ısico, ning´ un argumento surgido del mundo de los fenómenos impondrá condición alguna sobre la construcción de estos espacios. La relatividad general utiliza la teor´ıa geométrica aqu´ı descrita, asumiéndola como una teor´ıa f´ısica sobre el espacio (en nuestro caso el espacio-tiempo), seg´ un la cual su estructura depende de la materia, aunque el espacio persiste aun en ausencia de ella.

4 / Relatividad general

Conviene, para finalizar, hacer una reflexión sobre temas newtonianos. La solución a la ley de Gauss para la gravitación en el interior de un cascarón esférico de masa muestra que el campo de gravitación es nulo, vale decir que el potencial gravitacional es constante en un espacio y tiempo que ya estaban presentes, al igual que estaba presente la posibilidad de los infinitos sistemas inerciales. Puede sugerirse, sin embargo, alterando el orden de las ideas, que los sistemas inerciales están asociados a potenciales gravitacionales constantes generados por las grandes masas lejanas y que la ilusión de Newton es que el espacio y el tiempo estaban antes de ellas y que no era necesario f´ısicamente el cascarón. Seg´ un esto, podr´ıa pensarse que Newton supuso la existencia previa del espacio y el tiempo en el interior del cascarón cósmico que nos rodea sin sospechar que la estructura del espacio y el tiempo podr´ıa deberse por entero a la masa circundante. Es decir que Newton describe el problema a la inversa; primero asume el espacio y tiempo absolutos y luego descubre que en el interior del cascarón esférico que es el universo que nos circunda hay un potencial gravitacional constante. Esto significa que el espacio y el tiempo son ontológicamente diferentes del mundo y no lo implican. En estas l´ıneas se mueve la teor´ıa geométrica sin mundo que sigue a continuación. Como se verá, la noción se masa no aparece en parte alguna en este primer cap´ıtulo.

1.2.

Coordenadas curvil´ıneas generales

Los sistemas coordenados son invenciones destinadas a etiquetar los puntos del espacio. El n´ umero y la forma de los sistemas coordenados es en principio infinito. El origen de la noción se encuentra en las coordenadas cartesianas en dos dimensiones, construcción que extendida a las tres direcciones del espacio euclidiano permitió el desarrollo de la cinemática newtoniana. Los sistemas de coordenadas no han de ser por necesidad rectil´ıneos, ni ortogonales, ni tridimensionales. Es por ello conveniente comenzar por introducir coordenadas curvil´ıneas generales en el espacio 3D y generalizar luego a N dimensiones.

1.2.1.

Base original y rec´ıproca

Sean ui , con i = 1, 2, 3, tres funciones escalares continuas, independientes y univaluadas, correspondientes a tres superficies en el espacio tridimensional, cuya intersección determina un punto. Un punto en el espacio 3D se identifica con la tripleta (u1 , u2 , u3 ), y a (u1 , u2 , u3 ) le corresponde un punto (figura 1.1). El elemento diferencial de l´ınea se expresa como: dr =

3 3 X X ∂r i ai dui . du = i ∂u i=1 i=1

(1.1)

1.


u3

u3 a3

a3

a1

a2 a2

a1

u2 u1

u1

u2

Figura 1.1: Coordenadas curvil´ıneas generales

Las cantidades ai , definidas como ai = ∂r/∂ui , son vectores independientes asociados a cada punto del espacio, por lo que pueden ser considerados como una base; son tangentes a las curvas ui que son coordenadas generales, curvil´ıneas, no ortogonales y no coplanares. En este texto utilizaremos la convenci´ on suma: 1. A menos que se indique expl´ıcitamente lo contrario, ´ındices repetidos, uno sub y otro super, indican suma sobre on del espacio. Esto permite ignorar P ila dimensi´ el s´ımbolo de sumatoria. As´ı, ai b = ai bi . A los ´ındices repetidos se les llama también ´ındices mudos, pues no dan información acerca del caracter tensorial de las ecuaciones. 2. Una pareja de ´ındices repetidos puede reemplazarse por otra pareja diferente de ´ındices repetidos. As´ı: dr = ai dui =

∂r ∂r dui = duj . ∂ui ∂uj

Como se sigue de los dos u ´ltimos términos, un super´ındice en el denominador equivale a un sub´ındice en el numerador. Se verá después por qué una pareja de ´ındices repetidos constará siempre de uno super y otro sub. Ahora bien, sean ai los vectores de la base original, asociados a ui , y ai los vectores de la base rec´ıproca, asociados a ui . Los vectores ai y ai coinciden en dirección si la base ai es ortogonal. Los vectores base rec´ıprocos se definen como: a1 =

a2 × a 3 , a1 · a 2 × a 3

a2 =

a3 × a 1 , a1 · a 2 × a 3

a3 =

a1 × a 2 . a1 · a 2 × a 3

(1.2)

Nótese que ai y ai coinciden en dirección si la base ai es ortogonal. Se concluye fácilmente que: i· ai · aj = δ·j


i· El s´ımbolo δ·j se conoce como delta de Kronecker, en el que un ´ındice es super i· y el otro sub, y que se define como δ·j = 0 si i 6= j, δ·ii· = 1 (sin suma sobre i). Si el sistema coordenado (a1 , a2 , a3 ) es de mano derecha, lo será también (a1 , a2 , a3 ). De (1.2) es cierto, además, que:

a1 · a2 × a3 = (a1 · a2 × a3 )−1 . Las definiciones (1.2) para ai son válidas solo en 3D; para un espacio N-dimensional se asume como definici´ on de base rec´ıproca la relación: i· ai · aj = δ·j

i, j = 1, 2, ...N.

(1.3)

Lo que sigue será válido para N dimensiones. Teniendo en cuenta que el producto escalar es conmutativo, de (1.3) se sigue que: ·i i· ≡ δji . = aj · ai = δj· ai · aj = δ·j

(1.4)

Como se ve, los deltas de Kronecker tienen una simetr´ıa horizontal, seg´ un la cual, y sin alterar los valores, el ´ındice superior puede desplazarse a derecha (o izquierda) mientras el inferior se desplaza a izquierda (o derecha). Por esto, puede escribirse δji , sin importar si i está a la izquierda o derecha de j. Lo que s´ı debe conservarse es la posición arriba-abajo. Debido a la simetr´ıa horizontal, se dice que la delta de Kronecker es simétrica. En el sistema rec´ıproco el elemento diferencial de l´ınea se escribe: dr = ai dui y se postula que dr es el mismo en la base original y en la rec´ıproca, tal que: dr = ai dui = aj duj

.

(1.5)

Multiplicando escalarmente por ak : ak · ai dui = ak · aj duj .

(1.6)

Definiendo los coeficientes métricos (o métrica) como: g kj = ak · aj = g jk

.

(1.7)

puede escribirse (1.6) en la forma: δik dui = g kj duj ,

por lo cual :

duk = g kj duj .

En la u ´ltima ecuación, g kj puede considerarse como un operador que toma el sub´ındice j de duj , lo sube y lo convierte en k.

1.


Reemplazando dui = g ij duj en (1.5) se obtiene: ai g ij duj = aj duj , de donde, cancelando duj debido a que son diferenciales linealmente independientes, se sigue: aj = g ji ai .

(1.8)

También, multiplicando escalarmente (1.5) por ak se obtiene, análogamente: duk = gki dui

y

ai = gij aj

con

ak · ai = gki .

(1.9)

El coeficiente métrico gki puede considerarse como un operador que baja el ´ındice i de dui y lo convierte en k. De la segunda de las ecuaciones (1.9), multiplicando escalarmente por a k se sigue: ak · ai = gij ak · aj equivalente a: gij g jk = δik

(1.10)

Lo anterior significa que las matrices gij y g kj son rec´ıprocas. De (1.7) se sigue: |a | = g 11 , de donde p p p también |a2 | = g 22 y |a3 | = g 33 , (1.11) |a1 | = g 11 , 1 2

de modo que la base {ai } no está normalizada a la unidad. Tampoco la base {ai }. También de (1.7) con k = 2, j = 3 se obtiene el coseno del ańgulo entre la pareja (a2 , a3 ): g 23 g 23 cos(a2 , a3 ) = 2 3 = p . |a ||a | g 22 g 33 √ e1 | = 1, etc, Como a1 = ˆ e1 |a1 | = ˆ e1 g11 , con |ˆ √ √ |a1 · a2 × a3 | = |ˆ e1 · ˆ e2 × ˆ e3 | g11 g22 g33 = g11 g22 g33 p (1.12) = |a1 · a2 × a3 |−1 = 1/ g 11 g 22 g 33 .

El elemento de l´ınea en dirección a1 es dl1 = dr · a1 = ai · a1 dui = gi1 dui . El intervalo es la distancia infinitesimal entre dos puntos en el N -espacio: ds2 = dr·dr

= = =

(ai dui ) · (aj duj ) = gij dui duj

(ai dui ) · (aj duj ) = δij dui duj = dui dui (ai dui ) · (aj duj ) = g ij dui duj .

El escalar ds2 es invariante bajo escogencia de la base (original o rec´ıproca), lo que es consecuencia de la invarianza de dr. La importancia del tensor métrico gij está en que −como veremos− todas las propiedades métricas de un espacio N dimensional están determinadas por él. A este espacio se le llama también continuo métrico N dimensional o espacio de Riemann N dimensional. La función gij es el campo tensorial fundamental en la teor´ıa de la gravitación de Einstein.


Ejercicio: En coordenadas cartesianas ds2 = (dx)2 + (dy)2 + (dz)2 por lo que g 11 = g 22 = g 33 = 1, g 12 = g 23 = g 31 = 0. Esto es: gij = g ij = δij , por lo cual ai = ai , dxi = dxi , |ai | = |g ii | = 1: el sistema original y el rec´ıproco coinciden, no siendo entonces necesaria la diferencia entre sub y super ´ındices. Con base en los coeficientes m´ etricos cartesianos pueden calcularse los g ij en cualquier otro sistema coordenado si se asume la invarianza de ds2 bajo la transformaci´ on coordenada de una base cartesiana a otra curvil´ınea a i : ds2

=

3 X

dxk dxk = gij dui duj =

k=1

=

δlk dxk dxl = gij

∂xk ∂xk dui duj ∂ui ∂uj

∂ui ∂uj dxk dxl . ∂xk ∂xl

En consecuencia, eliminando dui duj en la primera l´ınea: gij =

∂xk ∂xk , ∂ui ∂uj

(1.13)

y eliminando dxk dxl en la segunda l´ınea: δlk = gij

∂ui ∂uj . ∂xk ∂xl

(1.14)

Consid´ erese como ejemplo espec´ıfico el paso de coordenadas cartesianas (x1 , x2 , x3 ) = (x, y, z), a esf´ ericas (u1 , u2 , u3 ) = (r, θ, ϕ). Como se sabe la regla de transformaci´ on es: x = r sen θ cos ϕ,

y = r sen θ sen ϕ,

z = r cos θ.

Entonces, de (1.13): ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z + + = 1, ∂r ∂r ∂r ∂r ∂r ∂r ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z = + + = r2 , ∂θ ∂θ ∂θ ∂θ ∂θ ∂θ ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z = + + = r 2 sen 2 θ. ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ

g11 = g22 g33

Puede demostrarse que gij = 0 para  1 {gij } =  0 0

i 6= j, tal que: 0 r2 0

 0 . 0 r 2 sen 2 θ

As´ı, ds2 = gij dui duj = dr 2 + r 2 dθ 2 + r 2 sen 2 θ dϕ2 . Adem´ as, de g ij gjk = δki y utilizando los gij que se acaban de calcular se obtiene:   1 0 0 ij 2  , 0 1/r 0 {g } = 0 0 1/r 2 sen 2 θ con g ij = 0 si i 6= j.

1.


P3 P3 √ Puesto que dr = ai dui = ei gii dui = ei dli , con |ˆ ei | = 1, el i=1 ˆ i=1 ˆ √ elemento de l´ınea en direcci´ on ai es dli = gii dui (sin suma), por lo que, en coordenadas esf´ ericas: dl1 = dlr = dr, dl2 = dlθ = r dθ, dl3 = dlϕ = r sen θ dϕ. De las expresiones ai = gij aj y con a0i = {ar , aθ , aϕ } = {ˆ er , r ˆ eθ , r sen θ ˆ eϕ } y ˆ se obtiene: ai = {ı, ˆj, k}, ˆ cos θ, ˆ er = sen θ cos ϕ + ˆj sen θ sen ϕ + k ˆ ˆ ˆ eθ = cos θ cos ϕ + j cos θ sen ϕ − k sen θ,

ˆ er = − sen θ + ˆj cos ϕ.

1.2.2.

Teor´ıa de transformaci´ on

El vector dr = ai dui = aj duj es el primer ejemplo de lo que es una forma lineal. Un vector es una forma lineal en los vectores de la base. Como un postulado básico, un vector es invariante bajo transformación de coordenadas; esto es, al pasar de una base (antigua) a otra (nueva) un vector permanece invariante, aunque no los vectores de la base ni las componentes. Sean las coordenadas ui , v j asociadas a los vectores de la base ai , bj respectivamente, pertenecientes a sistemas coordenados U y V (antiguo y nuevo). En el antiguo: ui , ai , ui , ai ; en el nuevo: v i , bi , vi , bi . Para que sea posible la transformación U ←→ V debe existir una relación entre las coordenadas, esto es ui = ui (v j ), o: dui =

∂ui j dv , ∂v j

(1.15)

∂v j i du . ∂ui

(1.16)

y también, v j = v j (ui ), equivalente a: dv j =

La invarianza de dr bajo el cambio U ←→ V se expresa como: dr = ai dui = bj dv j = ai dui = bj dvj . Reemplazando (1.15) en dr se obtiene: bj = a i

∂ui . ∂v j

(1.17)

∂v j . ∂ui

(1.18)

Reemplazando (1.16) en dr se obtiene: ai = b j


Ahora, substituyendo los ´ındices i en (1.16) por k y reemplazando dv j de esta ecuación en (1.15) se sigue: dui =

∂ui ∂v j duk , y como ∂v j ∂uk

∂ui ∂v j = δki ∂v j ∂uk

dui ≡ δki duk , entonces:

y es demostrable que:

∂v j ∂ui = δkj . ∂ui ∂v k

(1.19)

La conexión entre los diferenciales coordenados de las bases rec´ıprocas se obtiene en la forma siguiente: de ai dui = bj dvj , multiplicando escalarmente por ak : duk = bl

∂v l ∂v j ∂v l · bj dvj = δlj k dvj = dvj , k ∂u ∂u ∂uk duk =

de donde:

∂v j dvj . ∂uk

(1.20)

También, de ai dui = bj dvj , multiplicando escalarmente por bk se sigue: dvk =

∂ui dui . ∂v k

(1.21)

Reemplazando las relaciones entre dvj y duk en ai dui = bj dv j se obtiene: ai = b j

∂ui , ∂v j

y

b j = ai

∂v j . ∂ui

(1.22)

Las cantidades invariantes (dr, ds2 , etc) no tienen ´ındices flotantes, solo ´ındices repetidos, uno sub y el otro super. 1.2.2.1.

Cambio de notaci´ on

En esta sección se propone un cambio de notación para estar más de acuerdo con las convenciones usuales de los textos. La nueva notación x y x 0 de ning´ un modo se refiere a coordenadas cartesianas: xi , xi y x0i , x0i son coordenadas generales. Se proponen, entonces, los siguientes cambios: U ui ui ai ai

−→ S −→ xi −→ xi −→ ai −→ ai

V −→ S 0 v j −→ x0j vj −→ x0j bj −→ a0j bj −→ a0j

1.


En consecuencia, las reglas de transformación son ahora: dxi = g ij dxj

dx0i = g 0ij dx0j ,

dxi = gij dxj

0 dx0j , dx0i = gij

∂x0i j dx ∂xj ∂xi dxi = dx0j ∂x0j ∂xi ai = a0j 0j ∂x ∂x0i a0i = aj j ∂x dx0i =

∂xj dxj , ∂x0i ∂x0j 0 dxi = dxj , ∂xi ∂x0j ai = a0j , ∂xi ∂xj a0i = aj 0i . ∂x dx0i =

(1.23)

También es cierto que: dr ds2

= ai dui = bj dv j = ai dui = bj dvj , = gij dxi dxj = g ij dxi dxj = dxi dxi =

0 gij dx0i dx0j = g 0ij dx0i dx0j = dx0i dx0i .

(1.24)

Por convención, los super´ındices se llamarán contravariantes; T ij es completamente contravariante. Los sub´ındices se llamarán covariantes; Tij es completamente covariante. T.ji. es mixto. Con el uso de gij o g ij pueden convertirse ´ındices contra.j variantes en covariantes y rec´ıprocamente; por ejemplo: T ij = g ik Tk. .

1.3.

Formas multilineales

Hasta ahora se han introducido vectores base y diferenciales coordenados en los sistemas original y rec´ıproco. El elemento infinitesimal de distancia dr se expresa como una combinación lineal de vectores de la base. Se define un vector A como una combinación lineal A = ai Ai , en la que Ai son las componentes contravariantes del vector. También A = ai Ai , donde Ai son las componentes covariantes del vector. En general, las componentes de un vector son funciones de las coordenadas. De este modo, las componentes Ai (r) y Ai (r) pueden utilizarse para describir lo que en f´ısica se conoce como componentes de un campo vectorial. Estas componentes están sujetas a las mismas reglas de transformación (1.23) que los diferenciales coordenados. As´ı pues: ∂x0i j A ∂xj ∂xi 0j A Ai = ∂x0j A0i =

∂xj Aj ∂x0i ∂x0j 0 Ai = A . ∂xi j

A0i =

(1.25) (1.26)


Los vectores, o formas lineales, son invariantes bajo transformación coordenada y bajo cambio del sistema original al rec´ıproco, esto es: A = ai Ai = A0 = a0i A0i = ai Ai = a0i A0i . Ahora bien, una forma de introducir formas bilineales es a través del producto di´ adico de dos vectores A y B definido como: AB = (ai Ai )(aj B j ) = ai aj Ai B j . La cantidad T = AB es una d´ıada con componentes T ij = Ai B j . 1.3.0.2.

Productos

a. El producto punto (o escalar) entre dos vectores A y B produce un escalar: A · B = gij Ai B j = g ij Ai Bj = Ai Bi = Ai B i . b. El producto cruz entre A y B en 3D produce un vector: √ A × B = ai × aj Ai B j = ak |a1 · a2 × a3 |ijk Ai B j = ak g11 g22 g33 ijk Ai B j . Se ha tenido en cuenta la ecuación (1.2) escrita en la forma: ai × aj = |a1 · a2 × a3 | ijk ak , donde ijk es el s´ımbolo de Levi-Civita, antisimétrico en cada pareja de ´ındices contiguos y con 123 = 1. c. El producto di´ adico AB entre los vectores A y B es un tercer tipo de operación; no produce ni un escalar ni un vector, sino una base bilineal ai aj . 1.3.0.3.

D´ıadas

En forma general, la cantidad T = ai aj T ij es una forma bilineal o d´ıada o tensor de 2◦ orden, cantidad que es invariante bajo transformación coordenada, esto es: T = T0 , o también: T = ai aj T ij = T0 = a0k a0l T 0kl . (1.27) Es fácil comprobar que las siguientes formas son equivalentes: T = ai aj Tij = ai aj Ti··j = ai aj T·ji· = ai aj T ij . Los puntos, como en Ti··j , se colocan en los lugares vac´ıos para mantener memoria de las posiciones de los ´ındices. Con la práctica serán suprimidos.

1.


Aplicando a (1.27) las reglas (1.23) para ai y aj escritas en la forma: ai = a0k

∂x0k , ∂xi

aj = a0l

∂x0l , ∂xj

se obtiene la regla de transformación de las componentes de un tensor de segundo orden doblemente contravariante: T 0kl =

∂x0k ∂x0l ij T . ∂xi ∂xj

(1.28)

Aplicando a (1.27) la regla inversa de transformación se obtiene: T ij =

∂xi ∂xj 0kl T . ∂x0k ∂x0k

(1.29)

También, de T = T0 = ai aj T·ji· = a0k a0l T 0k· on ·l se obtiene la regla de transformaci´ de la forma mixta T·ji· : ∂x0k ∂xj i· T 0k· (1.30) T . ·l = ∂xi ∂x0l ·j También es cierto que: 0 = Tkl

1.3.0.4.

∂xi ∂xj Tij . ∂x0k ∂x0l

Tensores

Generalizando, un tensor de orden (o rango) r es una función r-lineal expresable en los vectores base, cuyos coeficientes son, en general, función de las coordenadas. El tensor es un invariante bajo transformación de coordenadas; esto es: M = ai aj ak . . . M ijk··· = a0l a0m a0n . . . M 0lmn··· La regla de transformación de las componentes de un tensor de rango r completamente contravariante es: T 0ijk··· =

∂x0i ∂x0j ∂x0k · · · T lmn··· ∂xl ∂xm ∂xn

(1.31)

T lmn··· =

∂xl ∂xm ∂xn · · · T 0ijk··· ∂x0i ∂x0j ∂x0k

(1.32)

rec´ıprocamente:

En particular: • Un escalar es una forma 0-lineal, o tensor de orden 0: Φ0 = Φ.


• Un vector es una forma 1-lineal o tensor de orden 1: A0i =

∂x0i l A. ∂xl

• Un tensor de segundo orden es una forma 2-lineal o tensor de orden 2: T 0ij =

∂x0i ∂x0j lm T . ∂xl ∂xm

Un tensor de orden 0,1,2,3, etc. en un espacio N-dimensional tiene, respectivamente, 1, N, N 2 , N 3 etc. componentes. No es solo el n´ umero de componentes lo que define un tensor sino, ante todo, la regla de transformación de sus componentes. Un tensor de segundo orden es simétrico si: T ij = T ji . Multiplicando por gik se obtiene: ·j j· Tk· = T·k . (1.33) También, multiplicando por gji se sigue: Tki = Tik . Por definición, un tensor de segundo orden es antisimétrico si: T ij = −T ji , que equivale a Tij = −Tji , o también: ·j j· Tk· = −T·k .

(1.34)

Obsérvese que las dos anteriores definiciones implican un “movimiento” horizontal de los ´ındices. Ejercicios: a. Demostrar que la delta de Kronecker δlk tiene el mismo valor en todos los sistemas coordenados. 0k Reemplazando T·i·j = δji y T 0k· · l = δ l en (1.30) se sigue: 0k T 0k· ·l = δ l =

∂x0k ∂xi ∂x0k ∂xj i δ = = δlk ; ∂xi ∂x0l j ∂xi ∂x0l

por tanto: δ kl = δl0k . La delta de Kronecker es un tensor isotr´ opico. b. Demostrar que gij es un tensor de segundo orden. 0 dx0k dx0l se sigue: Reemplazando dxi y dxj de (1.23) en ds2 = gij dxi dxj = gkl 0 gkl =

∂xi ∂xj gij . ∂x0k ∂x0l

(1.35)

Esta es, efectivamente, la regla de transformaci´ on de un tensor de segundo orden. El tensor gij contiene toda la informaci´ on sobre la estructura del espacio N-dimensional.

1.4.

´ Algebra tensorial

a. La suma o resta de tensores se define solo entre los que tengan el mismo rango y su resultado es un tensor del mismo rango. Los tensores a sumar o restar deben

1.


tener la misma estructura de ´ındices. Es decir, solo tensores con los mismos ´ındices superior e inferior pueden sumarse para formar tensores. Por ejemplo: T = A + B = ai aj Aij + ai aj B ij = ai aj (Aij + B ij ) = T ij . b. Producto externo: sean A = ai Ai y B = aj ak B jk ; su producto externo es: T = AB = ai aj ak Ai B jk = ai aj ak T ijk . El tensor obtenido del producto externo de dos tensores de rangos r y s tiene rango r+s. Ha de observarse que el producto externo es, en general, no conmutativo, incluso entre tensores del mismo rango. c. El producto escalar simple (o producto interno) de dos tensores F = a i aj F ij y G = al am an Glmn se define como: F · G = ai aj · al am an F ij Glmn , donde aj · al = gjl es el producto escalar entre los dos vectores contiguos. Al reemplazar se obtiene: F · G = ai am an F·li· Glmn . El resultado del producto escalar simple de dos tensores de rangos r y s es un tensor de rango r + s − 2. d. El producto escalar doble de los tensores F y G se define como: F:G

= ai aj : al am an F ij Glmn = (aj · al )(ai · am )an F ij Glmn = gjl gim an F ij Glmn = an F ij G·ji· n·

Como se ve, el producto se realiza desde dentro hacia afuera: primero los que contienen j y l, luego los que contienen i y m. El doble producto escalar genera un tensor de rango r + s − 4. Puede también definirse el producto escalar triple, etc. El producto externo de F = ai aj F ij y G = al am an Glmn da lugar a un tensor con componentes F ij Glmn . El producto escalar simple genera F·il· Glmn y el doble da · ·n lugar a F ij Gji ervese la aparición de ´ındices repetidos, operación que resulta · . Obs´ de lo que se conoce como contracci´ on de ´ındices. Cada vez que hay contracción el rango del tensor disminuye en 2. En F ijk Gjkn hay producto doble de dos tensores, por tanto hay contracción doble. El tensor resultante es de rango 3+3–2–2=2 y es de la forma Ai· n· . e. La división entre vectores A/B no está definida, ya que en principio no está definida la cantidad 1/ai . f. El tensor identidad o unidad se define como I = ai aj g ij = ai aj gij = ai ai = i a aj δij = ai ai = ai aj δji . El producto escalar simple de I con cualquier vector reproduce el vector: I · A = A · I = A.


i·· g. Regla del cociente. Puede demostrarse que si en la expresión Ai Bjk = C·jk se i·· sabe que Ai es un vector y C·jk es tensor de tercer rango, entonces Bjk es tensor de segundo rango.

1.5.

El operador gradiente

Un campo escalar es una función Φ(xi ) de las coordenadas xi del espacio N dimensional. Su diferencial se escribe: ∂Φ i dx . dΦ = ∂xi De dr = aj dxj , por multiplicación escalar con ai , se sigue: ai · dr = ai · aj dxj = dxi .

Reemplazando dxi en la expresión para dΦ: ∂Φ i i ∂Φ dΦ = · dr ≡ ∇Φ · dr. a · dr = a ∂xi ∂xi

Se ha definido aqu´ı el operador gradiente en la forma:

∂ . ∂xi El gradiente es un operador vectorial invariante, puesto que: i 0k ∂x 0j ∂x ∂ ∂ a ∇ = ai i = ∂x ∂x0j ∂xi ∂x0k ∇ = ai

(1.36)

∂xi ∂x0k ∂ ∂ ∂ = a0j δjk 0k = a0k 0k = ∇0 . ∂x0j ∂xi ∂x0k ∂x ∂x De la regla para derivadas parciales: =

a0j

∂x0k ∂ ∂ = i ∂x ∂xi ∂x0k as´ı ∂/∂xi transforma como las componentes de un vector covariante, ec (1.26): ∂x0k 0 A ; ∂xi k en consecuencia, introduciendo la notación: ∂i = ∂/∂xi se sigue: Ai =

∂x0k 0 ∂ . (1.37) ∂xi k En ∂i = ∂/∂xi ha de notarse que un super´ındice en el denominador equivale a un sub´ındice en el numerador. En ocasiones puede necesitarse ∂ i ; se le define como ∂ i = g ij ∂j ; obsérvese sin embargo que ∂ i Φ = g ij ∂j Φ 6= ∂j (g ij Φ). ∂i =

1.

1.6.


Geod´ esicas en N dimensiones

La distancia infinitesimal entre dos puntos puede calcularse de (1.24) conocido el coeficiente gµν que, en general, depende del sistema de coordenadas escogido y de las coordenadas del punto. A partir de los diferenciales ds es posible evaluar la distancia extrema entre dos puntos cualesquiera A y B. En un espacio euclidiano 2D o 3D es la recta usual, sobre una esfera es un arco del ecuador o de un meridiano. En general, ¿cómo evaluar la distancia extrema (la más corta o la más larga) entre dos puntos en un espacio del que, en alg´ un sistema coordenado, R se conocen sus coeficientes métricos? Vale decir ¿cómo se extremaliza la integral ds? Este problema es soluble en forma general desde el cálculo de variaciones, el que, en general, pretende extremalizar integrales del tipo: Z f (y(x), y(x), ˙ x) dx (1.38) donde y = y(x) es la curva que extremaliza la integral. Este problema conduce a la ecuación de Euler, la que aplicada a la dinámica da lugar a la ecuación de Lagrange. Es importante anotar que la solución de este problema no permite saber si el espacio del problema es o no curvo. Es conocido que la l´ınea más corta en el plano es la recta, pero si el plano se enrolla para formar un cilindro, la recta previa euclidiana, transformada ahora en curva, es también la distancia más corta entre los mismos dos puntos de la superficie cil´ındrica. Por lo demás, si sobre un plano se dibujan triángulos o c´ırculos, las relaciones de la geometr´ıa euclidiana se mantienen en el cilindro obtenido del plano, lo que sugiere que la superficie de un cilindro no es intr´ınsecamente curva. Algo diferente es dibujar triángulos o c´ırculos sobre la superficie de una esfera. Sobre ella no se satisfacen las reglas de la geometr´ıa euclidiana, luego tal superficie es intr´ınsecamente curva. El problema variacional que aqu´ı se propone no aspira a resolver el tema de la curvatura de los espacios, sino solo −dada la métrica− a escribir la ecuación de la trayectoria extrema. El problema de la curvatura será estudiado en la sección 1.8. Sean dos puntos A y B en el espacio N -dimensional, sea l la longitud de alguna curva que los conecta y ds un elemento diferencial de la curva. Entonces: l=

Z

B

ds.

(1.39)

A

RB Si la curva es una extremal, esto es, si δl = δ A ds = 0 (donde δ indica una variación) entonces la curva se llamará geodésica. Es la l´ınea más corta, o más larga, entre A y B. El plan de la presente sección es el de encontrar la ecuación diferencial satisfecha por una geodésica. Con este fin se propone ante todo el siguiente problema general:


Si f es una función dependiente de xi (s) y x˙ i ≡ dxi (s)/ds, es decir: f = f (xi (s), x˙ i ), ¿cuál ha de ser la ecuación diferencial de la curva paramétrica xi = xi (s), tal que: Z B δF = δ f (xi (s), x˙ i (s)) ds = 0 ? (1.40) A

Siguiendo los desarrollos de la sección 2.2 del libro de H. Goldstein, que permiten R R demostrar −en particular− que la variación y la integración conmutan, δ = δ, d d (δxi ) = δ ds (xi ), es posible escribir: y también la derivada y la variación, ds δF

= = = = =

Z B f (xi (s), x˙ i (s)) ds = δf (xi (s), x˙ i (s)) ds A A Z B Z B ∂f ∂f d ∂f ∂f i i i i δx + δ x˙ ds = δx + (δx ) ds ∂xi ∂ x˙ i ∂xi ∂ x˙ i ds A A Z B d ∂f ∂f d ∂f i i i ds − δx δx + δx ∂xi ds ∂ x˙ i ds ∂ x˙ i A Z B Z B ∂f d ∂f ∂f d i i ds δx ds + − δx ∂xi ds ∂ x˙ i ∂ x˙ i A A ds Z B B ∂f ∂f d ∂f δxi ds + − δxi A . i i i ∂x ds ∂ x ˙ ∂ x ˙ A

δ

Z

B

B

x

δxi A

s Figura 1.2: En el proceso de variaci´ on los extremos A y B de la curva permanecen fijos

Se asume que en el proceso de variación los extremos A y B de la curva permanecen fijos (figura 1.2), por lo cual δxi |B = δxi |A = 0, tal que: δF =

Z

B A

d ∂f − ∂xi ds

∂f ∂ x˙ i

δxi ds = 0.

1.


Para δxi arbitrario, la condición δF = 0 implica la ecuación de Euler-Lagrange: d ds

∂f ∂ x˙ i

−

∂f =0 ∂xi

.

(1.41)

Ejercicios: 1. En el plano euclidiano es cierto que: Z q Z q l= (dx)2 + (dy)2 = 1 + (dy/dx)2 dx Z Z p 1 + y˙ 2 dx = F (y, y, ˙ x) dx, de modo que la ecuaci´ on de Euler-Lagrange toma la forma: ∂f ∂f d = 0, por lo cual: − dx ∂ y˙ ∂y d y˙ p = 0, 2 dx 1 + y˙

de donde se obtiene y˙ =constante, que corresponde a la recta euclidiana y = ax + b. 2. En una superficie esf´ erica de radio r: p p 2 f = r dθ 2 + r 2 sen 2 θ dϕ2 = r 1 + r 2 sen 2 θ ϕ˙ 2 dθ, R con ϕ˙ = dϕ/dθ. En este caso l = f dϕ. Reemplazando en la ecuaci´ on de Euler-Lagrange d ∂f ∂f − = 0, se obtiene: dθ ∂ ϕ˙ ∂ϕ sen 2 θ ϕ˙ p = C. 1 + r 2 sen 2 θ ϕ˙ 2

Por integraci´ on y con las condiciones: ϕ = 0 en θ = π/2 y ϕ = π/2 en θ = α se obtiene la ecuaci´ on de un c´ırculo m´ aximo, cot θ tan α = sen ϕ, inclinado un a ńgulo α respecto al ecuador. Para α = 0 corresponde a un c´ırculo meridiano ϕ = 0 y para α = π/2 corresponde al c´ırculo ecuatorial θ = π/2.

Ahora bien, pretendemos en esta sección extremalizar l en (1.39), es decir, hacer: Z B δl = δ ds = 0. A

2

i

j

Puesto que ds = gij dx dx , entonces: dxi dxj = gij x˙ i x˙ j , por tanto: ds ds Z B Z B Z B Z δ ds = δ 1 · ds = δ gij x˙ i x˙ j ds = δ 1 = gij

A

A

A

B

f ds, A


donde f = gij x˙ i x˙ j . Con este valor de f reemplazado en (1.41) se obtiene la ecuación de la geodésica. Basta evaluar separadamente las cantidades: ∂f d ∂f y ; se sigue, entonces: ∂xk ds ∂ x˙ k ∂f ∂xk ∂f ∂ x˙ k

= = =

de donde se sigue: d ∂f ds ∂ x˙ k

∂gij i j x˙ x˙ ∂xk ∂ (gij x˙ i x˙ j ) = gij [δki x˙ j + δkj x˙ i ] ∂ x˙ k gkj x˙ j + gik x˙ i = gkj x˙ j + gkj x˙ j = 2gkj x˙ j

= = =

d dgkj j dx˙ j j 2 (gkj x˙ ) = 2 gkj + x˙ ds ds ds ∂gkj 2gkj x ¨j + 2 i x˙ i x˙ j ∂x ∂gkj ∂gki j 2gkj x ¨ + x˙ i x˙ j . + ∂xi ∂xj

Reemplazando (1.42) y (1.43) en (1.41) puede escribirse: ∂gki ∂gij 1 ∂gkj x˙ i x˙ j = 0. + − gkj x ¨j + 2 ∂xi ∂xj ∂xk

(1.42)

(1.43)

(1.44)

[Ha de notarse que gkj x ¨j 6= x ¨k .] Multiplicando por g kl aparece en el primer kl l término g gkj = δj lo que conduce a: g kl ∂gkj ∂gki ∂gij l x ¨ + + − x˙ i x˙ j = 0. (1.45) 2 ∂xi ∂xj ∂xk La anterior es la ecuación diferencial de la geodésica. En el N -espacio esta ecuación equivale a N ecuaciones diferenciales de segundo orden. Cuando se integre dará las ecuaciones paramétricas, en términos de s, de la geodésica. Será necesario proveer 2N constantes de integración, que pueden ser las coordenadas de los puntos extremos A y B, o las coordenadas de un punto y la tangente x˙ i en ese punto.

1.6.1.

S´ımbolos de Christoffel

El paréntesis (incluido el factor 1/2) que aparece en (1.45) estará a menudo presente en la geometr´ıa diferencial; se le asigna el s´ımbolo [ij, k]: 1 ∂gkj ∂gki ∂gij + − . (1.46) [ij, k] = 2 ∂xi ∂xj ∂xk

1.


y se conoce como s´ımbolo de Christoffel de primera clase. Se define, además, el s´ımbolo de Christoffel de segunda clase como: l ij

= g kl [ij, k].

(1.47)

Con esta definición la ecuación de la geodésica se escribe: x ¨l +

l ij

x˙ i x˙ j = 0

.

(1.48)

Dada la simetr´ıa en ij de los s´ımbolos de Christoffel, en (1.46) hay solo N (N + 1)/2 combinaciones posibles entre estos dos ´ındices, como si fueran los elementos de una matriz simétrica; y como el ´ındice k tiene N opciones, resulta que el n´ umero de componentes distintas es N 2 (N + 1)/2. Conviene anotar que en el espacio euclidiano tridimensional y en coordenadas cartesianas es cierto que g ij = δ ij , tal que ambos s´ımbolos de Christoffel son cero, por lo que x ¨l = 0, cuya solución paramétrica es la l´ınea recta euclidiana xl = al s+bl . Las cantidades al y bl son constantes de integración. Si bl = xl0 corresponde a las cooordenadas de un punto sobre la recta, entonces, eliminando s, con (x 1 , x2 , x3 ) = (x, y, z) y (a1 , a2 , a3 ) = (a, b, c) se obtiene la t´ıpica ecuación de la recta: y − y0 z − z0 x − x0 = = = s. a b c 1.6.1.1.

Propiedades de los s´ımbolos de Christoffel

a. Simetr´ıa en ij: [ij, k] = [ji, k]. b. Simetr´ıa en ij:

l ij

=

l ji

.

c. De (1.47) multiplicando por glm se sigue: [ij, m] = glm d. De (1.49) se concluye que:

l . ij

[ij, k] + [kj, i] =

(1.49)

∂gki . ∂xj

e. De la ecuación anterior es fácil demostrar que: gkl

l ij

+ gli

l kj

=

∂gki . ∂xj

(1.50)


f. Multiplicando la anterior por g kn y con g kn ∂gki /∂xj = −gki ∂g kn /∂xj , resulta: −gki

l l ∂g kn = δln ij + g kn gli kj , j ∂x

y multiplicando por g mi : −

m n ∂g mn = g mk kj + g kn kj . j ∂x

g. Multiplicando (1.50) por g ik se obtiene: i ij

=

1 ki ∂gki g . 2 ∂xj

(1.51)

h. Ahora bien, en la condición gjk g ki = δji el factor g ki puede interpretarse como el inverso matricial de gjk . Esto es: g ki =

∆ki , |g|

(1.52)

donde |g| es el determinante de la métrica y ∆ki es la matriz de cofactores. Puesto que el determinante puede escribirse |g| = ∆11 g11 + ∆12 g12 + · · · , es cierto que: ∂|g| ∂|g| = ∆12 , o en general: = ∆ik . (1.53) ∂g12 ∂gik Eliminando ∆ik entre (1.52) y (1.53) se obtiene: ∂|g| = |g|g ki , ∂gik y de esta ecuación reemplazando g ki en (1.51): l lj

=

p p 1 ∂|g| ∂gik 1 ∂|g| 1 ∂ |g| ∂ p = = = ln |g|. j j j j 2|g| ∂gik ∂x 2|g| ∂x ∂x |g| ∂x

(1.54)

La identidad (1.54) será u ´til en la evaluaci´ p on de la divergencia de un tensor. Si |g| es negativo, el radical se escribe −|g|.

1.

1.6.1.2.


Los s´ımbolos de Christoffel no son tensores

La ecuación de la geodésica fue obtenida de una forma tal que la hace válida para todos los sistemas de coordenadas. Es por tanto invariante bajo transformación de coordenadas. En consecuencia, en los sistemas coordenados S y S 0 puede escribirse: i 0 i (1.55) x ¨0i + jk x˙ 0j x˙ 0k = 0. x ï + jk x˙ j x˙ j = 0 ,

Si de la segunda se pretende obtener la primera, en el camino se obtendrá la regla de transformación de los s´ımbolos de Christoffel. Ante todo conviene demostrar que x˙ i es un vector y que x ï no lo es. Para x˙ i : x˙ 0i =

dx0i ∂x0i dxα ∂x0i α = = x˙ , ds ∂xα ds ∂xα

(1.56)

coincidente con la regla de transformación (1.23) de un vector. Sin embargo, para la doble derivada x ï : d ∂x0i α ∂x0i α d ∂x0i d2 x i α 0i = x ˙ x ¨ x ˙ + = x ¨ = ds2 ds ∂xα ds ∂xα ∂xα 0i ∂ 2 x0i ∂x0i α ∂ ∂x ∂x0i α β α β α x ¨ = x ˙ x ˙ + x ¨ . (1.57) = x ˙ x ˙ + ∂xβ ∂xα ∂xα ∂xβ ∂xα ∂xα La cantidad x ï no se transforma como un vector; solo lo har´ıa si el término inhomogéneo (el que contiene x˙ β x˙ α ) no existiera, lo que solo ocurre si la transformación es lineal. Puesto que se trata aqu´ı de transformaciones generales, entonces x ¨ i no es vector. En consecuencia, el segundo término en la ecuación (1.55) de la geodésica tampoco lo es. Substituyendo x ¨0i , x˙ 0j y x˙ 0k de (1.56) y (1.57) en la ecuación de la 0 geodésica en S se sigue: ∂x0i α i 0 ∂x0j 0α ∂x0k 0β ∂ 2 x0i β α x ˙ x ˙ + x ¨ + jk x˙ x˙ = 0. ∂xβ ∂xα ∂xα ∂xα ∂xβ

Multiplicando por ∂xσ /∂x0i se obtiene: i 0 ∂x0j ∂x0k ∂xσ ∂ 2 x0i ∂xσ σ x ¨ + + x˙ α x˙ β = 0 , jk ∂xα ∂xβ ∂x0i ∂xβ ∂xα ∂x0i σ x ¨σ + αβ x˙ α x˙ β = 0,

es decir :

que es la ecuación de la geodésica en el sistema coordenado S, si el s´ımbolo de Cristoffel de segunda clase se transforma como: σ αβ

=

i 0 ∂x0j ∂x0k ∂xσ ∂ 2 x0i ∂xσ + jk ∂xα ∂xβ ∂x0i ∂xβ ∂xα ∂x0i

.

(1.58)


σ El u ´ltimo término, el que contiene la segunda derivada, hace que αβ no se transforme como un tensor de tercer orden. Es importante tener en cuenta que la regla de transformación de un tensor es tal que si en un sistema coordenado todas las componentes del tensor soncero, también lo serán en cualquier otro sistema σ coordenado. Esto no ocurre con αβ , ni con x ï , ya que sus reglas de transformación son inhomogéneas, es decir, no contienen un “tensor” en cada sumando. Si se hubiese partido de la ecuación de la geodésica en S para llegar a la correspondiente en S 0 se hubiera obtenido la regla rec´ıproca: σ 0 αβ

=

i ∂xj ∂xk ∂x0σ ∂ 2 xi ∂x0σ + jk ∂x0α ∂x0β ∂xi ∂x0β ∂x0α ∂xi

.

(1.59)

Si −con el debido cambio de ´ındices− se reemplaza el s´ımbolo de Christoffel de (1.58) en (1.59) puede demostrarse que: ∂xi ∂xj ∂ 2 x0σ ∂x0σ ∂ 2 xi + = 0. i 0α 0β ∂x ∂x ∂x ∂x0α ∂x0β ∂xi ∂xj

(1.60)

Esta ecuación puede escribirse: ∂xi ∂ 2 x0σ ∂x0σ ∂ 2 xi + = 0. i 0α 0β ∂x ∂x ∂x ∂x0β ∂x0α ∂xi y equivale a: ∂ ∂x0α

∂x0σ ∂xi ∂xi ∂x0β

=

∂ δ σ = 0, ∂x0α β

lo que significa que la derivada parcial de δβσ es cero, as´ı pues: la delta de Kronecker tiene el mismo valor en todos los sistemas coordenados. Sus elementos pueden considerarse como las componentes de la matriz identidad. La identidad (1.60) puede utilizarse para escribir la regla de transformación (1.59) en la forma equivalente: σ 0 αβ

1.7.

=

i ∂xj ∂xk ∂x0σ ∂ 2 x0σ ∂xi ∂xj − . jk ∂x0α ∂x0β ∂xi ∂xi ∂xj ∂x0α ∂x0β

Derivada covariante

La regla de transformación de un vector covariante es: A0i =

∂xα Aα ; ∂x0i

derivando respecto a x0j se sigue:

1.

∂A0i ∂x0j

= =


∂Aα ∂xα ∂ 2 xα + Aα 0i 0j 0j 0i ∂x ∂x ∂x ∂x ∂ 2 xα ∂Aα ∂xk ∂xα + A . α ∂xk ∂x0j ∂x0i ∂x0i ∂x0j

(1.61) (1.62)

En consecuencia ∂A0i /∂x0j no se transforma como un tensor de segundo orden. La derivada parcial de un vector no es un tensor de segundo orden. Por esta razón, en lo que sigue, se generaliza la derivada de modo que la nueva derivada de un vector (a la que se llamará derivada covariante) se transforme como un tensor de segundo orden, y que −en general− la derivada de un tensor de orden n genere un tensor de orden n + 1. Con este fin, de la regla de transformación (1.59) del s´ımbolo de Christoffel: l 0 ρ ∂x0l ∂xσ ∂xτ ∂ 2 xm ∂x0l + , = στ ρ 0i 0j ij ∂x ∂x ∂x ∂x0i ∂x0j ∂xm multiplicando por ∂xα /∂x0l se obtiene:

∂ 2 xα ∂xα l 0 ∂xσ ∂xτ α = ; − ∂x0i ∂x0j ∂x0l ij ∂x0i ∂x0j στ

reemplazando esta segunda derivada en (1.62):

α ∂x l 0 ∂xσ ∂xτ α ∂Aα ∂xk ∂xα ∂A0i = + A − ; α ∂x0j ∂xk ∂x0j ∂x0i ∂x0l ij ∂x0i ∂x0j στ reorganizando, y con un apropiado cambio de ´ındices repetidos en el u ´ltimo término, se sigue: m ∂xα l 0 ∂xα ∂xk ∂Aα ∂A0i − A = − A . α m αk ∂x0j ∂x0l ij ∂x0i ∂x0j ∂xk l 0 Puesto que el segundo término de la izquierda es A0l ij la anterior ecuación puede escribirse: 0 m ∂xα ∂xk ∂Aα ∂A0i 0 l − Al ij − Am αk , = ∂x0j ∂x0i ∂x0j ∂xk tal que, simbólicamente:

[ ]0ij =

∂xα ∂xk [ ]αk . ∂x0i ∂x0j

(1.63)

El corchete que se acaba de definir se transforma como un tensor de segundo orden y es la generalización covariante de la derivada parcial. As´ı pues, m ∂Aα − Am αk k ∂x


es la derivada covariante del vector Aα respecto a xk . Introduciendo la notación Aα,k = ∂Aα /∂xk para la derivada parcial y Aα;k para la derivada covariante, se tiene entonces: m . (1.64) Aα;k = Aα,k − Am αk m En el espacio euclidiano y en coordenadas cartesianas αk = 0 por lo que en tal caso no hay diferencia entre derivada parcial y derivada covariante: Aα;k = mA α,k . En cualquier otro sistema coordenado en el espacio euclidiano no todos los αk se anulan. La ecuación (1.63) es equivalente a la forma estandar de la regla de transformación de un tensor de segundo orden: A0i;j =

∂xα ∂xk Aα;k . ∂x0i ∂x0j

(1.65)

Un procedimiento similar realizado derivando un vector contravariante conduce a la regla: ∂x0i ∂xβ α A0i;j = A , (1.66) ∂xα ∂x0j ;β donde la derivada covariante de un vector contravariante se define en la forma: Ai;β = Ai,β + Aα

1.7.1.

i αβ

.

(1.67)

Diferencial covariante

Multiplicando (1.65) por dx0j : A0i;j dx0j

= =

∂xα ∂xk ∂xα ∂xk 0j A dx = Aα;k α;k ∂x0i ∂x0j ∂x0i ∂x0j ∂xα Aα;k dxk . ∂x0i

∂x0j l dx ∂xl

(1.68)

dAi = Ai,j dxj = (∂Ai /∂xj )dxj es el diferencial ordinario, mientras que DAα = Aα;k dxk es el diferencial covariante. Entonces, de (1.64) y (1.68): DA0i = dA0i − A0α

α 0 ij

dx0j =

∂xα DAα . ∂x0i

(1.69)

Los tres primeros términos definen el diferencial covariante, en tanto que el primero y el u ´ltimo proveen su regla de transformación. El diferencial DAα (pero no dAα ) se transforma como un vector. En Ai;j la derivación se realiza respecto a un super´ındice j en el denominador, que corresponde a un sub-j en el numerador; por esta razón, y porque su regla de transformación es la de un tensor, a esta derivada se la llama

1.


covariante. Al diferencial DAi se le llama covariante, ante todo porque su regla de transformación es la de un vector. Puede demostrarse que la regla de transformación del diferencial covariante de un vector contravariante es: ∂x0i DAj . DA0i = ∂xj As´ı pues, suprimiendo primas en (1.69): DAi = dAi −

k

(1.70)

i i j k i j ∂A A dx = A dxk = Ai;k dxk . + jk jk ∂xk

(1.71)

Ak dxj

y

DAi = dAi +

De acá es facil concluir que: DAi = dAi +

i

Aj dxk .

ij

jk

En general, para un campo tensorial Aij··· se cumple que DAij··· = Aij···;k dxk . De las anteriores expresiones puede evaluarse el diferencial covariante a lo largo de una curva parametrizada por su longitud s. De (1.70), dividiendo por Ds (que es igual a ds): dxj DAi dAi k = − ij Ak Ds ds ds

y

DAi dAi i j dxk = + jk A . Ds ds ds

(1.72)

En el espacio euclidiano una l´ınea recta se caracteriza por la propiedad de que un vector A tangente a ella no cambia cuando se le desplaza paralelamente, esto es dA = 0. Esta regla de transporte paralelo puede usarse para definir la recta generalizada, es decir, la geodésica en un espacio N -dimensional. De acuerdo con esta regla un vector es trasladado paralelamente a s´ı mismo a lo largo de una curva si DAi /Ds = 0; esto es, si su diferencial covariante a lo largo de la curva es cero; en consecuencia, de (1.72): dAi i j dxk + jk A = 0. ds ds La ecuación de la geodésica puede obtenerse con facilidad si se toma en cuenta que el vector Ai más simple asociado a cualquier curva es su tangente, escrita como Ai = dxi /ds = x˙ i . La pregunta por la geodésica tiene entonces el siguiente tono: ¿cuál es la curva cuya tangente tiene diferencial covariante nulo? La respuesta se consigue reemplazando la tangente x˙ i en la anterior ecuación: dx˙ i i dxj dxk + jk = 0, ds ds ds

coincidente con la ecuación de la geodésica (1.48).


1.7.2.

Derivaci´ on covariante de un producto y de un tensor

Ante todo, no es dif´ıcil demostrar que la derivada covariante de una suma es la suma de las derivadas covariantes. La derivación parcial de un producto satisface la regla de Leibniz: (Ai Bj ),k = Ai,k Bj + Ai Bj,k . La derivación covariante puede definirse en una forma análoga: (Ai Bj );k = Ai;k Bj + Ai Bj;k . Reemplazando (1.64) y (1.67) en la anterior ecuación es directo concluir que: (Ai Bj );k = (Ai Bj ),k + (Aα Bj )

i αk

− (Ai Bα )

α jk

.

Este resultado permite definir la derivada covariante de un tensor mixto. En efecto, si T ij = Ai Bj se sigue: T ij ;k = T ij,k + T αj

i αk

− T iα

α . jk

(1.73)

De un modo análogo, desarrollando las derivadas covariantes (Ai B j );k , (Ai Bj );k y (Ai B j );k puede demostrarse que: j i T ij;k = T ij,k + T iα αk + T αj αk , α α Tij;k = Tij,k − Tiα jk − Tαj ik , j β Ti j ;k = Ti j ,k − Tβ j ik + Ti β βk .

(1.74)

A partir de lo anterior es posible extender la derivación covariante a tensores de rango arbitrario, teniendo en cuenta que cada ´ındice de un tensor se transforma independientemente. La regla es como sigue: la derivada covariante respecto a σ de un tensor T i...k... es la derivada parcial T i...k...,σ m´ as –para cada ´ındice contrai variante i– un aσ multiplicado por el tensor con i reemplazado por a, quedando inalterados m los restantes ´ındices del tensor; o menos, para cada ´ındice covariante k un kσ multiplicado por el tensor con k reemplazado por m, los demás ´ındices permaneciendo sin cambio. Por ejemplo: T ijkl;σ = T ijkl,σ + T ajkl

i aσ

+ T ibkl

j bσ

− T ijcl

c kσ

− T ijkd

d . lσ

1.

1.7.2.1.


Lema de Ricci

La derivada covariante del tensor métrico es cero. De la segunda de las ecuaciones (1.74) con Tij = gij se sigue: gij;k = gij ,k + giα

α jk

− gαj

α ; ik

de la propiedad e de los s´ımbolos de Christoffel (sección 1.6.1.1) se sigue que: gij;k = 0.

(1.75)

Es decir, bajo derivación covariante gij es una constante, aunque en general gij,k 6= 0. También, de (gij g jk );l = (δik );l = 0 se sigue g jk;l = 0. Como consecuencia gij Al,m 6= (gij Al ),m pero gij Al;m = (gij Al );m .

1.7.3.

La conexi´ on af´ın

En un espacio euclidiano y en coordenadas cartesianas dos vectores en puntos diferentes del espacio, xi y xi + dxi , son iguales si sus componentes cartesianas en ambos puntos son iguales. Por ejemplo, dos fuerzas pueden ser iguales aunque se apliquen en puntos distintos. Por extensión, un campo vectorial A en un espacio euclidiano es constante si sus componentes cartesianas son las mismas en cada punto. Si las componentes son iguales, también lo será el módulo del vector. En el caso general no euclidiano ni las componentes ni los módulos son iguales, pues la métrica depende de la posición. En espacios no euclidianos es necesario definir el trasplante de un vector de un punto a otro cercano para poder comparar las componentes del vector en los dos puntos. Esto hace posible no solo revisar la noción de campo constante, sino también construir la resta entre vectores que define el diferencial. Resultará que la definición de campo vectorial constante en términos de la constancia de sus componentes no es aplicable en espacios generales. En lo que sigue se quiere definir la constancia de un vector de modo independiente del sistema de coordenadas, y tal que se reduzca a la usual definición euclidiana. La forma más simple es partir de un sistema coordenado cartesiano en un espacio euclidiano, donde para un campo vectorial constante es cierto que dAi = 0, y pasar a un sistema coordenado curvil´ıneo. As´ı, de: A0i =

∂x0i j A , ∂xj

cuando se pasa de xi a xi + dxi , a lo largo de una curva parametrizada con s, se


obtiene: dA0i ds

= = =

∂ 2 x0i dxk j ∂x0i j A A = ∂xj ∂xk ∂xj ds 2 0i ∂xj 0n ∂xk ∂xj dx0m 0n ∂xk dx0m ∂ x ∂ 2 x0i = A A ∂xk ∂xj ∂x0m ds ∂x0n ∂xk ∂xj ∂x0m ∂x0n ds 0m i dx Γ0 mn A0n . ds d ds

i . As´ı, la constancia de las componentes de un El u ´ltimo paréntesis define Γ0 mn i i vector en S (dA = 0) implica dA0n 6= 0 en S 0 , pues en general Γ0 mn 6= 0, excepto para transformaciones lineales. En general, e independientemente de su procedencia, se define (suprimiendo ‘primas’) el cambio de las componentes de un vector bajo trasplante de x i a xi + dxi de la siguiente manera: i dAi = Γmn dxm An .

(1.76)

i serán Esta expresión se llamará ley de trasplante vectorial, y los coeficientes Γ mn i i funciones no restringidas a que en el S original dA = 0. La función Γmn se llama conexi´ on af´ın. Un continuo donde esta regla se aplica se llama un espacio af´ın. Ha de observarse que en (1.76) no es necesario utilizar la noción de métrica, vale decir que Γklj es caracter´ıstico de un espacio af´ın y que no es una noción métrica. Se exigirá que la ecuación (1.76) sea invariante bajo transformaciones generales de coordenadas y que si Ai (x) es un vector, también lo sea Ai (x+dx). Esto traerá resi tricciones sobre la regla de transformación de Γmn . La ley de trasplante en un sistema de coordenadas curvil´ıneo es tal que el vector trasplantado se escribe: i dxm An A˜i (x + dx) = Ai (x) + Γmn

(1.77)

y la condición de invarianza de (1.77) exige que en otro S 0 : i A˜0i (x0 + dx0 ) = A0i (x0 ) + Γ0 mn dx0m A0n .

Además, las reglas de transformación de Ai (x) y A˜i (x + dx) son: 0i 0i ∂x ∂x j 0i 0 0 0i 0 ˜ A (x) y A (x + dx ) = A˜j (x + dx). A (x ) = j ∂x x ∂xj x+dx

(1.78)

(1.79)

As´ı, de (1.75), expandiendo el paréntesis en serie de Taylor, y usando (1.78): A˜0i (x0 + dx0 )

i A0i (x0 ) + Γ0 mn dx0m A0n 0i ∂x ∂ 2 x0i p + dx + · · · ; = (Aj (x) + Γklj dxk Al ) ∂xj ∂xj ∂xp

=

1.


de donde se sigue, despreciando diferenciales de segundo orden: i dx0m A0n Γ0 mn

= =

∂x0i ∂ 2 x0i + dxp Aj ∂xj ∂xj ∂xp ∂xk ∂xl ∂x0i 0m 0n ∂ 2 x0i ∂xp ∂xj Γklj 0m 0n dx A + dx0m A0n ; j ∂x ∂x ∂x ∂xj ∂xp ∂x0m ∂x0n Γklj dxk Al

se obtiene, entonces, la regla de transformación de la conexión af´ın: i Γ0 mn = Γklj

∂xk ∂xl ∂x0i ∂ 2 x0i ∂xp ∂xj + , ∂x0m ∂x0n ∂xj ∂xj ∂xp ∂x0m ∂x0n

(1.80)

j que indica que Γklj no es un tensor y que la regla es la misma para kl . Aunque nada en el desarrollo anterior exige que la conexión af´ın sea simétrica, se asumirá en lo sucesivo que lo es. De (1.80) se sigue que, si Γklj es simétrico en kl en un cierto S, lo será en todos los demás. Esto es, la simetr´ıa de la conexión af´ın es invariante bajo transformaciones generales. Es posible demostrar (ver Adler, pag. 47) que si Γklj no es simétrico en kl entonces no existen coordenadas geodésicas (aquellas donde los Γ klj son cero en un punto. Véase sección 1.10 numeral c.). Puede también demostrarse (ver Adler pag. 48) que la condición necesaria y suficiente para que existan sistemas de coordenadas en los que las componentes de un vector no cambien bajo trasplante es que Γ klj sea simétrico. La conexión entre Γklj y gij puede establecerse si sobre (1.76) se impone la condición de que el producto escalar entre dos vectores sea invariante bajo el transplante. Entonces, por derivación del producto escalar y reemplazando (1.76) se sigue: j dAi j d ∂gij dxk i j i dB A A B + g + B gij Ai B j = ij ds ∂xk ds ds ds k dx dxk i j dxk l j = gij,k A B + gij Ai Γklj B l + Γkli AB ds ds ds i dxk h j Al B m = 0, por tanto: = glm,k + glj Γkm + gim Γkli ds i glm,k + gli Γkm + gim Γkli = 0;

(1.81)

por cambio c´ıclico de ´ındices es también cierto que: i = 0, gmk,l + gmi Γlki + gik Γlm

(1.82)

i i gkl,m + gki Γml + gil Γmk = 0,

(1.83)

de (1.81), (1.82), (1.83) se obtiene finalmente: i i = −Γjk . jk

(1.84)


Si no se impone la condición de invarianza bajo el trasplante sobre el producto escalar, no se cumple (1.84). Esto ocurre en la geometr´ıa de Weyl, que es una generalización de la geometr´ıa de Riemann en la que el producto escalar de dos vectores tiene una ley de trasplante de la forma: ˜ i (x + dx) = (1 + ϕj dxj )Ai (x)B i (x), A˜i (x + dx)B donde ϕj es un campo vectorial nuevo (ver también Adler, sección 15.2). Esta geometr´ıa fue la base de la primera teor´ıa unificada de la gravitación y el electromagnetismo, propuesta por Weyl en 1918. En ella ϕj es el 4-potencial electrodinámico. Notas: a. Conviene volver −desde un punto de vista más cercano al cálculo diferencial− sobre el hecho de que el diferencial de un vector no se transforma como un vector. Considérese el campo vectorial Ai en los puntos xk y xk + dxk , en los que el vector toma los valores Ai (x) y Ai (x + dx), como se muestra en la figura 1.3. Si se cambia a un nuevo sistema de coordenadas, el vector se transforma seg´ un las reglas: 0i 0i ∂x ∂x Aj (x) y A0i (x0 + dx0 ) = Aj (x + dx). (1.85) A0i (x0 ) = j ∂x x ∂xj x+dx ˜i (x + dx) A

Ai (x)

Ai (x + dx)

xj + dxj xj

Figura 1.3: Trasplante de un vector para definir el diferencial covariante

En cada sistema coordenado el vector se eval´ ua en dos puntos distintos. Es fácil comprobar que la resta A0i (x0 + dx0 ) − A0i (x) no se transforma como un vector. La razón esencial es que los vectores se han restado en dos puntos distintos, donde las reglas de transformación son distintas. Lo que se necesita para que el resultado sea un vector es restar los vectores en el mismo punto. Por tanto se requiere ante todo trasladar Aj desde x hasta x + dx, para obtener el vector trasplantado A˜i (x + dx). A continuación pueden entonces restarse, en el mismo punto los vectores A i (x + dx) y A˜i (x + dx). Esta resta es un vector.

1.


El vector trasplantado es: i dxj . A˜i (x + dx) = Ai (x) + Ak (x)Γkj

(1.86)

Expandiendo Ai (x + dx) en serie de Taylor se obtiene, para la resta: ∂Ai j i Ai (x + dx) − A˜i (x + dx) = Ai (x) + dx dxj − Ai (x) + Ak (x)Γkj j ∂x i ∂A j k i = − A (x)Γ kj dx . ∂xj Esta resta es un diferencial covariante que es un vector y que se escribe DA i (x). Por tanto, con (1.84): i i i ∂A ∂A k i k j i dxj . − A (x)Γkj dx = + A (x) kj DA (x) = ∂xj ∂xj

b. Finalmente, conviene retornar a la noción de derivación, considerando esta vez el comportamiento del vector completo A = aj Aj , no solo de sus componentes Aj . Derivando respecto a s, que es el parámetro de la curva: dA daj j dAj = aj + A . ds ds ds Como se ve, el cambio en el vector proviene de la variación intr´ınseca de las componentes Aj y del cambio de magnitud y dirección de los vectores de la base aj . Reemplazando dAj de (1.70): dA ds

= =

Es decir:

dAj daj j dal l DAj j l dxk aj + A = aj − lk A A + ds ds Ds ds ds j dxk dal DAj Daj DAj + Al − aj lk + Aj . = aj aj Ds ds ds Ds Ds

(1.87)

dA D = (aj Aj ). ds Ds

De modo que la derivada ordinaria del vector completo es idéntica a su derivada covariante. Bajo trasplante paralelo dA = DAj = Daj = 0, de modo que de (1.87) los cambios daj y dAj , en un vector de la base y en la componente de un vector, bajo trasplante son: dal = aj

j lk

dxk

y

dAj = −

j lk

Al dxk


c. Si se modifica la u ´ltima ecuación escribiendo: j dAj = − lk Al dxk + φj l dxl ,

se sigue, dividiendo por ds y con Al = x˙ l : j x ¨j + lk x˙ l dxk − φj l x˙ l = 0,

coincidente con la trayectoria de una part´ıcula cargada en un campo electromagnético si φj l es el tensor de campo electromagnético. ¿Qué implicaciones tiene esta modificación?

1.7.4.

Divergencia

• La divergencia covariante de un vector contravariante puede calcularse a partir de (1.67), mediante la contracción de los ´ındices i y β: i Ai;i = Ai,i + Aα αi . Reemplazando (1.54) en el u ´ltimo término se obtiene: p p i α Aα ∂ |g| Ai ∂ |g| i i i i A ;i = A ,i + αi A = A ,i + p = A ,i + p |g| ∂xα |g| ∂xi # " p p ∂Ai ∂ |g| 1 , = p |g| i + Ai ∂x ∂xi |g|

que se sintetiza en:

1 ∂ p Ai;i = p ( |g|Ai ) |g| ∂xi

.

(1.88)

Fácilmente se demuestra que Ai;i es un invariante escalar; en efecto, de la regla de transformación (1.66) con i = j : A0i;i =

∂x0i ∂xβ α A = δαβ Aα;β = (δαβ Aα );β = Aα;α . ∂xα ∂x0i ;β

• La divergencia de un tensor de segundo orden, doblemente contravariante, se eval´ ua de la primera de las ecuaciones (1.74) con j = k: j i T ij;j = T ij,j + T iα αj − T αj αj . Tomando en cuenta (1.54) se sigue:

i 1 ∂ p T ij;j = p (| |g|T ij ) + T αj αj j |g| ∂x

.

1.

Si el tensor es antisimétrico: T αj = −T jα y como i T αj αj es idénticamente cero, de modo que :


i αj

=

i jα

resulta que

1 ∂ p (| |g|T ij ). T ij;j = p |g| ∂xj

• La derivada covariante de un escalar coincide con su derivada parcial. Esto es, si Φ0 = Φ, entonces: ∂Φ0 ∂Φ ∂xj = 0i ∂x ∂xj ∂x0i

o también:

Φ0,i =

∂xj Φ,j , ∂x0i

que es la regla de transformación de un vector covariante. As´ı pues, Φ;j = Φ,j .

1.7.5.

Rotacional

El rotacional de un vector covariante Ai se define como (Rot A)ij = Ai;j − Aj;i , siendo, por tanto, un tensor antisimétrico de segundo orden. Reemplazando (1.64): α α (Rot A)ij = Ai;j − Aj;i = Ai,j − Aα ij − Aj,i − Aα ji = Ai,j − Aj,i . El rotacional se realiza solo sobre componentes covariantes de un vector. Además, si Ai = Φ,i entonces: Rot grad Φ = Ai,j − Aj,i = Φ,ij − Φ,ji = 0. Puede también demostrarse que Div Rot A = 0

1.7.6.

Laplaciano

Si en (1.88) se hace Ai = g ij Φ,j se obtiene el Laplaciano de la función escalar Φ, esto es: 1 ∂ p ( |g|g ij Φ,j ) = Lapaciano Φ. (1.89) Ai;i = p i ∂x |g|

1.8.

Tensor de Riemann-Christoffel

Dado un N-espacio con métrica conocida ¿cómo obtener información que permita saber si la ecuación de la l´ınea que conecta dos puntos corresponde a una recta en un espacio euclidiano? Es sabido que la ecuación de una recta en un espacio euclidiano puede tomar formas tan complejas en alg´ un sistema de coordenadas que sea dif´ıcil reconocer en ella la recta.


Dicho de otro modo ¿cómo reconocer un espacio donde en principio no existe la recta euclidiana? “En principio” quiere decir: descontando la presencia de una curvatura aparente como en el cilindro o el cono; es decir ¿cómo saber si un espacio es intr´ınsecamente no euclidiano? La geometr´ıa diferencial tiene para ello una respuesta elaborada por Riemann a mitad del siglo XIX, basada en la definición de un tensor de curvatura que permite saber si un espacio es o no euclidiano, independientemente del sistema de coordenadas espec´ıfico. Es un logro sin igual para la geometr´ıa y además provee los criterios de los que Einstein parte para elaborar su teor´ıa del espacio-tiempo curvado por la materia. Los teoremas usuales del cálculo diferencial aseguran que la doble derivación parcial de una función de las coordenadas es conmutativa, es decir Ai,jk = Ai,kj . La existencia y la continuidad de Ai,jk y Ai,kj son suficientes para que sean iguales. Aqu´ı nos importa saber si la conmutación se aplica también a la doble derivación covariante. Si en (1.73) se hace T ij = B i;j y usando primero (1.73) y luego (1.67) se obtiene: T ij;k

α i = (B i;j );k = (B i;j ),k + (B α;j ) αk − (B i;α ) jk α i i α i β i + B α,j + B β βj + B − B . = B i,j + B β βj ,α βα αk jk ,k

Realizando la derivación indicada en k se sigue: B i;jk

= +

i i i B i,jk + B β,k βj + B β βj + B α,j α,k i α α α i B β βj αk − B i,α jk − B β βα jk .

Intercambiando j y k en la expresión anterior y restándolas: h i α i α i i i B i;jk − B i;kj = B β βj − βk + βj αk − βk αj ,k

=

,j

B β Riβjk .

(1.90)

La doble derivación covariante, en consecuencia, no es conmutativa. De acuerdo con la regla del cociente, aplicada a (1.90), Riβjk es un tensor de cuarto orden; se le conoce como tensor de Riemann-Christoffel y se define mediante la expresión: Riβjk =

i

βj ,k

−

i

βk ,j

+

α i βj

αk

−

α i βk

αj

.

(1.91)

En un sistema de coordenadas cartesiano (gij = δij ) todas las derivadas del tensor métrico son nulas, por lo que también lo son todos los s´ımbolos de Christoffel. En consecuencia todas las componentes del tensor de Riemann-Christoffel son nulas

1.


en un espacio euclidiano, que es el u ńico que admite un sistema de coordenadas cartesiano en todo el espacio. Todas las componentes de este tensor serán cero en cualquier otro sistema coordenado obtenido del cartesiano mediante una transfori mación y la derivación covariante será conmutativa en todos ellos. Puesto que jk no es un tensor, si todas sus componentes son cero en coordenadas cartesianas en un espacio euclidiano, no todas lo serán en otros sistemas coordenados en el mismo espacio. La condición necesaria y suficiente para que un espacio sea euclidiano es Riβjk = 0. El siguiente teorema resume lo anterior: “Si para un cierto espacio las componentes del tensor métrico gij asociados a un i sistema de coordenadas dado son tales que los s´ımbolos de Christoffel jk pueden expandirse en serie de Taylor alrededor de un punto, entonces la condición necesaria y suficiente para que el espacio sea intr´ınsecamente plano en alguna región vecina al punto es que el tensor de Riemann-Christoffel se anule en la región que contiene el punto.”(Craig, pag 317). Puede demostrarse (ver Weinberg, pag. 133) que Rijkl es el u ńico tensor que puede construirse con gij y sus primeras y segundas derivadas que es lineal en la segunda derivada. Si al menos algunas Riβjk son diferentes de cero en alg´ un sistema coordenado, se dirá que el espacio es curvo. En este caso no es posible una transformación de coordenadas que permita pasar a un sistema cartesiano; R iβjk es, entonces, un tensor que revela la curvatura intr´ınseca del espacio N -dimensional. As´ı pues, la ecuaci´ on de campo que describe un espacio plano, euclidiano, en cualquier sistema de coordenadas, es: Riβjk = 0.

(1.92)

El tensor de Riemann-Christoffel completamente covariante se define como: Rαβjk = gαi Riβjk . Este tensor satisface las siguientes condiciones (véase Adler, sección 5.3): •

Antisimetr´ıa en cada una de las parejas αβ y jk: Rαβjk = −Rβαjk = −Rαβkj = Rβαkj .

•

Simetr´ıa bajo intercambio de la primera y segunda pareja de ´ındices: Rαβjk = Rjkαβ .

•

(1.93)

(1.94)

Condición c´ıclica para los tres u ´ltimos ´ındices: Rαβjk + Rαjkβ + Rαkβj = 0.

(1.95)


Obsérvese que α es el primer ´ındice en cada uno de los sumandos. • Identidad de Bianchi: Rαβjk;γ + Rαβkγ;j + Rαβγj;k = 0

.

(1.96)

Obsérvese que la posición de αβ en cada uno de los sumandos de la identidad de Bianchi aparece inmodificada y que el orden de los ´ındices γjk es c´ıclico. El n´ umero de componentes de Rαβjk puede calcularse con facilidad: los dos primeros ´ındices son antisimétricos de modo que dan lugar a (N 2 − N )/2 combinaciones distintas, si N es la dimensión del espacio. Lo mismo ocurre con los dos u ´ltimos ´ındices. En consecuencia, reducidos los dos primeros a un solo ´ındice a con el anterior n´ umero de valores, y los dos finales a un ´ındice b con el mismo n´ umero de posibilidades (b = a), el tensor de Riemann se reduce a una matriz cuadrada simétrica de dimensión a × a = [(N 2 − N )/2] × [(N 2 − N )/2]. As´ı pues, el numero de elementos independientes es N (N − 1)(N 2 − N + 2)/8. Pero además, para N ≥ 3, Rαβjk satisface N (N − 1)(N − 2)(N − 3)/4! condiciones c´ıclicas (1.95), lo que disminuye a N 2 (N 2 − 1)/12 el n´ umero de componentes independientes. La ecuación (1.96) no es una condición sobre el tensor de Riemann-Christoffel sino sobre sus derivadas y por ello no se incluye en la anterior contabilidad. Para ilustrar la razón por la cual la doble derivación covariante no es conmutativa podemos tomar en cuenta que cuando se traslada diferencialmente una función, la operación se realiza a lo largo de una geodésica. Esto significa que para trasladar diferencialmente una función dos veces, con un diferencial dxi y luego otro dxi , con i 6= j, el resultado depende del orden de la operación. Esto se ilustra en forma clara en la superficie de una esfera, en la que la operación que comienza en el punto O da lugar a dos funciones distintas en los puntos B y D, si se siguen los caminos OAB u OCD (correspondientes a porciones de c´ırculo máximo), en vez de una sola función final. Este resultado se debe a la curvatura intr´ınseca de la superficie esférica. En el caso de un plano, los dos caminos dan lugar a una figura cuadrada (cerrada), lo que indica que el resultado de la traslación por los dos caminos es el mismo.

1.8.1.

Tensor de Ricci-Einstein

Se obtiene como resultado de la siguiente contracción del tensor de RiemannChristoffel: Rβδ = Riβiδ . (1.97) Expl´ıcitamente: Rβδ =

α

βα ,δ

−

α

βδ ,α

+

α τ τδ

βα

−

α τ τα

βδ

.

(1.98)

1.


C B D O A

Figura 1.4: La doble derivaci´ on covariante no es conmutativa

El tensor de Ricci-Einstein es simétrico: Rβδ = Rδβ . El escalar de curvatura se define como: (1.99) R = g βδ Rβδ = Rββ = Rββ . El tensor de Ricci-Einstein puede visualizarse como una matriz cuadrada N × N simétrica. Los elementos distintos son (N 2 + N )/2. En el espacio-tiempo son 10. 1.8.1.1.

Superficies curvas

Para N = 2 es directo ver que hay un solo elemento distinto del tensor de Riemann-Christoffel: R1212 . Es fácil demostrar que el tensor de Riemann-Christoffel se escribe en este caso como: RRC = ai aj ak al Rijkl = (a1 a2 − a2 a1 )(a1 a2 − a2 a1 )R1212 . El tensor de Ricci-Einstein, obtenido de Rβδ = Riβiδ , tiene la forma: RRE = (g11 a2 a2 − g12 a2 a1 − g21 a1 a2 + g22 a1 a1 )R1212 . y el escalar de curvatura es: 2 )R1212 . R = (g11 a2 · a2 − g12 a2 · a1 − g21 a1 · a2 + g22 a1 · a1 )R1212 = 2(g11 g22 − g12

El desarrollo siguiente se restringe a superficies en las que existen coordenadas curvil´ıneas ortogonales, es decir, donde g12 = g 12 = 0, g11 = 1/g 11 , g22 = 1/g 22 . Puede demostrarse que: 1 11

=

g11,1 , 2g11

1 12

=

g11,2 , 2g11

1 22

=−

g22,1 , 2g11


2 11

=−

2

g11,2 , 2g22

12

=

g22,1 , 2g22

2 22

=

g22,2 , 2g22

y en consecuencia: " # g11,2 g11 g22,1 R1212 = + 2 g11 ,2 g11 ,1 2 2 (g22,1 ) g11,1 g22,1 g22,2 g11,2 1 (g11,2 ) − + − + 4 g11 g22 g11 g22 2 2 (g22,1 ) g11,1 g22,1 g22,2 g11,2 1 (g11,2 ) , − − − = 2(g11,22 + g22,11 ) − 4 g11 g22 g11 g22 R11 =

R1212 , g22

R22 =

R1212 , g11

R=2

R1212 . g11 g22

Para una superficie esférica de radio a con coordenadas angulares (u1 , u2 ) = (θ, ϕ), es cierto que dl2 = a2 (dθ2 + sen 2 θ dϕ2 ), por lo cual g11 = a2 y g22 = a2 sen 2 θ, de donde se sigue que R1212 = −a2 sen 2 θ, R11 = −1, R22 = − sen 2 θ y R = −2/a2 . La curvatura gaussiana de la superficie se define como K = −R/2, por lo que K = 1/a2 . Para una superficie cil´ındrica de radio a con coordenadas (u1 , u2 ) = (ϕ, z), y puesto que dl2 = a2 dϕ2 + dz 2 , se sigue que g11 = a2 y g22 = 1, de donde R1212 = 0, R11 = R22 = R = 0. La curvatura intr´ınseca es nula. Vale decir que la geometr´ıa sobre la superficie de un cilindro es euclidiana.

1.8.2.

Tensor de Einstein

De la identidad de Bianchi (1.96), multiplicando por g αj , teniendo en cuenta ´ltimo término en la identidad de Bianchi, que g αj;m = 0 y la antisimetr´ıa en γj del u se sigue: (g αj Rαβjk );γ + (g αj Rαβkγ );j − (g αj Rαβjγ );k = 0. El primer y tercer paréntesis corresponden al tensor de Ricci-Einstein, de modo que se obtiene: Rβk;γ + Rjβkγ;j − Rβγ;k = 0 y multiplicando por g βk : (g βk Rβk );γ + (g βk Rjβkγ );j − (g βk Rβγ );k = 0, R;γ + Rjkkγ;j − Rkγ;k = 0; Rjkkγ;j = −Rkjkγ;j = −Rjγ;j = −Rkγ;k ,

además:

esto es: (1.100)

por lo cual (1.100) toma la forma :

1.


R;γ − 2Rkγ;k = 0; multiplicando porg γβ : 1 kβ 1 kβ kβ kβ R ;k − (g R);k = 0 o: R − g R = 0. 2 2 ;k En consecuencia, el tensor de Einstein, definido como: 1 Gkβ = Rkβ − g kβ R 2

.

(1.101)

tiene divergencia covariante nula: Gkβ;k = 0 .

1.9.

(1.102)

Densidad tensorial

La definición de tensor permite una generalización hacia la noción de densidad tensorial. Para motivarla puede recordarse que la regla (1.35) de transformación de gij puede expresarse en la forma: 0 = gkl

∂xi ∂xj gij 0l . 0k ∂x ∂x

˜ En forma matricial: g 0 = JgJ, donde J es la matriz con elementos ∂xi /∂x0k y J˜ su ˜ traspuesta. Tomando el determinante y teniendo en cuenta que |J| = |J|: 0 −2 ∂x ∂x 2 |g|, o también: (1.103) |g 0 | = 0 |g| = ∂x ∂x 0 2 ∂x −2 0 ∂x 0 |g |. |g| = 0 |g | = ∂x ∂x

Se ha tenido en cuenta que de la expresión: ∂xi ∂xj = δli ∂x0j ∂x0l

se sigue:

∂x ∂x0 ∂x0 ∂x = 1.

En consecuencia, el determinante (1.103) del tensor métrico no es un escalar, sino que sigue una regla de transformación que contiene J. Por definición, una densidad escalar de peso −2 es la que se transforma como |g| en (1.103). En forma más general, una densidad escalar Φ de peso W se transforma como: 0 W W/2 ∂x Φ = |g| Φ0 = Φ. (1.104) ∂x |g 0 |


En general, una densidad tensorial T αβγ··· de peso W se transforma de acuerdo con la regla: 0 W ∂x ∂x0µ ∂x0ν ∂x0σ · · · T αβγ··· (1.105) T 0µνσ··· = ∂x ∂xα ∂xβ ∂xγ

Resulta as´ı que un tensor ordinario es una densidad tensorial de peso cero. Teniendo en cuenta (1.103), la anterior definición puede escribirse: T

0µνσ···

=

|g| |g 0 |

o también: [|g 0 |W/2 T 0µνσ··· ] =

W/2

∂x0µ ∂x0ν ∂x0σ · · · T αβγ··· ∂xα ∂xβ ∂xγ

(1.106)

∂x0µ ∂x0ν ∂x0σ · · · [|g|W/2 T αβγ··· ] ∂xα ∂xβ ∂xγ

De modo que si T αβγ··· es una densidad tensorial de peso W , entonces g W/2 T αβγ··· es un tensor de peso cero. Las reglas de suma, producto, contracción, etc, son directamente extensibles a densidades tensoriales.

1.9.1.

Aplicaciones de la densidad tensorial

• El s´ımbolo de Levi-Civita tiene tantos ´ındices como la dimensión del espacio y es completamente antisimétrico. El desarrollo siguiente se propone para un 4espacio aunque los resultados tienen validez en el N -espacio. Se asumirá que este s´ımbolo tiene la siguiente regla de transformación: 0 ∂x µνσρ ∂x0µ ∂x0ν ∂x0σ ∂x0ρ αβγδ . 0µνσρ = b = b ∂x α β γ δ ∂x ∂x ∂x ∂x El u ´ltimo término proviene de la definición del determinante en 4 dimensiones de una matriz A con elementos aµν en téminos del s´ımbolo de Levi-Civita: |A|µνσρ = αβγδ aµα aνβ aσγ aρδ . Para que este s´ımbolo sea isotrópico, p esto es: 0µνσρ = µνσρ , es necesario que 0 0 −1 b|∂x /∂x| = 1, es decir, b = |∂x /∂x| = |g 0 |/|g|, de acuerdo con (1.103). As´ı, en la ecuación: ! ! 0µνσρ ∂x0µ ∂x0ν ∂x0σ ∂x0ρ αβγδ p p , = ∂xα ∂xβ ∂xγ ∂xδ |g 0 | |g| p resulta que αβγδ es una densidad tensorial de peso −1 y αβγδ / |g| es un tensor de peso cero. Puede definirse αβγδ = gαa gβb gγc gδd abcd donde αβγδ es una densidad tensorial p de peso 1 y |g|abcd es un tensor de peso cero.

1.

•


El volumen N -dimensional se define como: dV = ijk··· dai dbj dck · · ·

donde dai son las componentes de la primera arista, dbj de la segunda, etc, en el sistema coordenado S. En el sistema coordenado S 0 : 0ijk··· da0i db0j dc0k · · · 0 a ∂x ∂x ∂xb ∂xc ∂x0i ∂x0j ∂x0k · · · · · · abc··· da0l db0m dc0n · · · = ∂x ∂x0i ∂x0j ∂x0k ∂xl ∂xm ∂xn 0 0 p ∂x ∂x 0l 0m 0n dV = |g|/|g 0 |dV. lmn··· da db dc · · · = = ∂x ∂x p p Por lo tanto el invariante de volumen (escalar) es |g 0 |dV 0 = |g|dV . El volumen dV es una densidad escalar de orden 1. • El teorema de Gauss (o teorema de la divergencia) para un tensor Ai··· en el N -espacio es: Z p Z p |g|Ai··· dV = |g|Ai··· dσi . ;i dV 0

=

donde dσi es el elemento diferencial de superficie, una cantidad (N −1)-dimensional. Para un campo vectorial Ai , en acuerdo con (1.88), el teorema de la divergencia toma la forma: Z p Z p Z p |g|Ai;j dV = |g|Ai |g|Ai dσi . dV = ,i

Ejercicio: Evaluar la derivada covariante de un campo escalar de peso W . La regla de transformaci´ on (1.104) de un campo escalar de peso W puede expresarse como Φ0 g 0W/2 = Φg W/2 . Es cierto, adem´ as, que ∂ ∂xα ∂ (Φ0 g 0W/2 ) = (Φg W/2 ). 0i ∂x ∂x0i ∂xα l Realizando las derivaciones y con ∂|g|/∂xα = 2|g| lj se obtiene:

0 W ∂x l ∂xα ∂Φ ∂Φ0 0 l 0 + W Φ + W Φ . = lα li ∂x0i ∂x ∂xα ∂x0i La anterior es la regla de transformaci´ on de una densidad vectorial de peso W , deducible de (1.105), si la derivada covariante de la densidad escalar Φ de peso W es: l Φ;i = Φ,i + W Φ li . (1.107)

La regla de transformaci´ on de Φ;i es, entonces: 0 W ∂x ∂xα Φ0;i = Φ;α . ∂x ∂x0i

¿Cu´ al es la regla de transformaci´ on de una densidad vectorial, la de una densidad tensorial?


1.10.

Miscel´ anea

a. La transformaci´ on entre sistemas cartesianos es lineal. Para sistemas cartesianos los coeficientes métricos son constantes, por lo que los s´ımbolos de Christoffel son nulos. En la regla de transformación (1.58) esto implica que: ∂ 2 x0i = 0, ∂xα ∂xβ cuya solución es lineal: x0i = ai + bij xj . b. La derivada covariante del determinante |g| es cero. De acuerdo con (1.103), |g| es una densidad escalar de peso −2; as´ı, de (1.107) con Φ = |g| y W = −2: l |g|;i = |g|,i − 2|g| li , y esta cantidad es cero de acuerdo con (1.54). c. Coordenadas geod´ esicas Supóngase que en un cierto sistema coordenado S los s´ımbolos de Christoffel son diferentes de cero en todo el espacio. ¿Existe alg´ un S 0 donde estos s´ımbolos 0i i sean cero en un punto x = p ? S´ı. Lo que no es posible es que sean cero en todo el espacio, si este es curvo. Para demostrarlo consideremos como regla de transformación entre S y S 0 la siguiente expansión hasta segundo orden: x0i = pi + (xi − q i ) +

1 i a (xα − q α )(xβ − q β ). 2 αβ

(1.108)

El punto xi = q i en S corresponde a x0i = pi en S 0 . La constante aiαβ es simétrica en los ´ındices αβ. Derivando (1.108) respecto a xj y evaluando en xi = q i se obtiene: 0i ∂x = δji . (1.109) ∂xj q Derivando (1.108) respecto a x0j : δji =

β ∂xi i α α ∂x + a . (x − q ) αβ ∂x0j ∂x0j

(1.110)

Evaluando (1.110) en xi = q i :

∂xi ∂x0j

= δji . q

(1.111)

1.


Derivando (1.110) respecto a x0k : ∂ 2 xi ∂xβ ∂xα ∂ 2 xβ i α α 0= + a αβ (x − q ) 0j 0k + . ∂x0j ∂x0k ∂x ∂x ∂x0j ∂x0k

(1.112)

Evaluando (1.112) en xi = q i :

∂ 2 xi ∂x0j ∂x0k

+ aiαβ q

∂xβ ∂x0j

q

∂xα ∂x0k

= 0; q

utilizando (1.111) se sigue que: aijk = −

∂ 2 xi ∂x0j ∂x0k

.

(1.113)

q

Ahora bien, la regla de transformación (1.59) de los s´ımbolos de Christoffel evaluada en el punto xi = q i en S (correspondiente a x0i = pi en S 0 ), y con la ayuda de (1.109), (1.111) y (1.113), da lugar a: i 0 jk

p

=

i

jk q

− aijk .

i As´ı, si jk 6= 0, es siempre posible encontrar una transformación coordenada i i 0 q sea cero. Basta con escoger aijk = jk . tal que jk p

q

La regla de transformación (1.108) es entonces: xi = pi + (xi − q i ) +

1i α (x − q α )(xβ − q β ). 2 αβ q

El sistema de coordenadas donde todos los

i 0

jk p

(1.114)

son cero en un punto se llama

geodésico. Nótese que, de (1.31), se concluye que en tal punto xi = q i no cambia el 0 valor de las componentes de ning´ un tensor: (Tijk··· )q = (Tijk··· )p . d. Componentes f´ısicas de tensores En este apartado no se utiliza la convención suma para ´ındices repetidos. √ De acuerdo con (1.11) los vectores de la base ai tienen la propiedad |ai | = gii , de modo que los vectores ai ni son unitarios, ni tienen todos las mismas dimensiones (en coordenadas esféricas, por ejemplo, g11 = 1, g22 = r2 , g33 = r2 sen 2 θ); esto trae como consecuencia que las componentes covariantes y contravariantes de un vector no tienen todas las mismas dimensiones, es decir, no son dimensionalmente homogéneas.


Cuando se piensa en aplicaciones f´ısicas del análisis tensorial conviene introducir √ vectores unitarios ˆ ei en la forma ai = ˆ ei |ai | = ˆ ei gii donde |ˆ ei | = 1. De este modo P √ P P i ei ; ei gii Ai = i ˆ ei A el vector A puede expandirse en la forma: A = i ai A = i ˆ ei , a las que se llamarán componentes f´ısicas tienen todas las mismas las cantidades A dimensiones como es lo usual, por ejemplo, en la teor´ıa de campos vectoriales. En ei = √gii Ai . En una la u ´ltima expresión, las componentes f´ısicas se definen como A forma análoga, para un tensor contravariante de segundo orden X X X √ ˆ ei ˆ ej Teij , T= ai aj T ij = ˆ ei ˆ ej gii gjj T ij = ij

ij

ij

√ donde Teij = gii gjj T ij son las componentes f´ısicas del tensor. Ha de observarse que las componentes f´ısicas de vectores y tensores pueden calcularse en la base original ai utilizando las componentes contravariantes, de modo que las componentes f´ısicas “residen” en este caso en la base original. Las componentes f´ısicas en la base original pueden expresarse también en términos de componentes covariantes; por ejemplo X√ ei = √gii Ai = gii g ij Aj . A j

Los ´ındices de las componentes f´ısicas, aunque se escriban como sub´ındices, no tienen valor covariante ni contravariante, pues la definición de componentes f´ısicas rompe la covarianza de la teor´ıa. Por convención se usarán sub´ındices para las componentes f´ısicas de vectores y tensores. Las componentes f´ısicas pueden también definirse en la base rec´ıproca unitaria ˆ ei . En este caso y para un tensor de segundo orden se escribe: X X X p ˆ ei ˆ ej T˘ij , ˆ ei ˆ ej g ii g jj Tij = ai aj Tij = T= ij

ij

ij

con las componentes f´ısicas en la base rec´ıproca definidas como: p T˘ij = g ii g jj Tij

Si el sistema coordenado es ortogonal, las bases unitarias original y rec´ıproca coinciden, esto es ˆ ei = ˆ ei , y es cierto que Teij = T˘ij . (Otros detalles en Weinberg, pag. 108 y McConnell, pag. 304.) En lo que sigue se realiza una aplicación del análisis tensorial a coordenadas curvil´ıneas ortogonales en espacios euclidianos en 3D. Es cierto, entonces, que g ij = 0 para i 6= j. Sea gii = h2i , por lo que de (1.10) puede escribirse gii g ii = 1; se concluye que g ii = 1/h2ip . Los coeficientes hi se conocen como factores de escala. Teniendo √ en cuenta que |g| = g11 g22 g33 = h1 h2 h3 = h, el gradiente, la divergencia, y el laplaciano pueden obtenerse respectivamente de (1.36),(1.88) y (1.89).

1.

•


Gradiente. De la ecuación (1.36): ∇Φ =

X i

ai

X √ ∂Φ ∂Φ = ej i , g ij gjj ˆ i ∂x ∂x ij

y como el sistema coordenado es ortogonal puede escribirse: ∇Φ =

X i

•

Divergencia. De la ecuación (1.88): Ai,i

•

X ˆ Xˆ ∂Φ ei ∂Φ ei ∂Φ √ g ii gii ˆ ei i = = . √ i i ∂x g ∂x h ii i ∂x i i

1X ∂ = DivA = h i ∂xi

Laplaciano. De la ecuación (1.89): 1X ∂ ∇ Φ= h i ∂xi 2

h e Ai hi

h ∂Φ h2i ∂xi

= ∇ · A.

.

El elemento diferencial de volumen se escribe p dV = |g| dx1 dx2 dx3 = h dx1 dx2 dx3 e. Desviaci´ on geod´ esica

¿Si δxi representa la distancia entre dos puntos infinitesimalmente cercanos, cuál es la aceleración relativa entre estos dos puntos? Ante todo, de (1.72) con Ai = DB i /Ds se sigue: D DB i d DB i DB j i dxk D2 B i = = + Ds2 Ds Ds ds Ds Ds jk ds i j k i j dx j l dxm i dxk d dB dB + jk B + lm B . + = jk ds ds ds ds ds ds

Efectuando las derivaciones indicadas, haciendo uso de la ecuación de la geodésica para eliminar d2 xk /ds2 , factorizando y utilizando la definición (1.91): i k i k i i Rimjl = mj − ml ,j + kl jm − kj lm ,l

se obtiene la segunda derivada covariante de B i a lo largo de una geodésica: i m j i dB m k D2 B i d2 B i i l m j = + R x ˙ x ˙ B + x ˙ B + 2 x˙ . mjl mk ,j mk Ds2 ds2 ds

(1.115)


Si se consideran dos geodésicas cercanas separadas δxi , entonces, con B i = δxi en la ecuación de la geodésica: d2 δxi ds2

= =

y reemplazando en (1.115):

i d2 x i = δ[− mk x˙ m x˙ k ] 2 ds i i d − mk ,j δxj x˙ m x˙ k − 2 mk δxm x˙ k , ds

δ

D2 δxi = Rimjl x˙ m x˙ l δxj ; Ds2

(1.116)

F´ısicamente, δxi corresponde a la separación relativa entre dos part´ıculas que se mueven libremente a lo largo de dos geodésicas infinitesimalmente cercanas, y se le conoce como desviaci´ on geodésica. D 2 δxi /Ds2 es la aceleración covariante relativa. En el caso particular de un espacio euclidiano, es cierto que R imjl = 0, por lo que D 2 δxi /Ds2 = 0. En coordenadas cartesianas: D2 δxi d2 δxi = = 0, Ds2 ds2 de donde, por integración: δxi = ai + bi s. As´ı, la distancia entre dos puntos ubicados en geodésicas cercanas en un espacio plano aumenta linealmente con s, o permanece constante si bi = 0. Esta conclusión concuerda con la ley de inercia si se considera s como el tiempo. Pero una pareja cercana de part´ıculas en movimiento geodésico exhibe una aceleración relativa que revela la curvatura del espacio, si Rimjl 6= 0. f. Gravitaci´ on y geometr´ıa de Riemann Los siguientes argumentos, bastante simples en su enunciado, permiten establecer un puente entre la gravitación newtoniana y la curvatura de un espacio de Riemann. Supóngase que xµ , con µ = 0, 1, 2, 3, son las coordenadas de un punto material en el espacio-tiempo de la relatividad especial. Esto es: xµ = (ct, x, y, z). Para bajas velocidades es cierto que x˙ α = dxα /ds = dxα /c dτ ' (1, 0, 0, 0), siendo τ el tiempo propio. As´ı, para dos part´ıculas que caen libremente pueden hacerse, en (1.116), las siguientes aproximaciones: D2 δxν = Rναησ x˙ α x˙ σ δxη ' Rν0η0 δxη = Rν0l0 δ x˙ l ; Ds2 se ha asumido que los ´ındices griegos van de 0 a 3, que los latinos van de 1 a 3, que 0 es el ´ındice temporal y que Rν000 = 0, lo que supone que el tensor de Riemann-Christoffel es independiente del tiempo.

1.


Entonces, con s = cτ la aceleración relativa toma la forma: D2 δxi = c2 Ri0l0 δxl Dτ 2

(1.117)

Aunque una part´ıcula esté en reposo en un sistema en ca´ıda libre, un par de part´ıculas no interactuantes que cae libremente exhibe un movimiento relativo que revela la presencia de un campo gravitacional para un observador que cae con una de ellas. Esta conclusión no invalida el principio de equivalencia (sección 2.3), de acuerdo con el cual, el campo de gravedad desaparece para un observador en ca´ıda libre, ya que en este caso las dos part´ıculas no ocupan el mismo punto; además, el efecto para una pareja de masas es despreciable cuando la separación δxµ entre ellas es mucho menor que las dimensiones t´ıpicas del campo. A campos de este tipo se les llama campos de mareas. La ecuación (1.117) tiene su análoga en mecánica clásica: considérense dos part´ıculas que caen en un campo de gravedad g. Su aceleración relativa es: d2 δxi ∂g i l = g i (x + δx) − g i (x) ' δx . 2 dt ∂xl

(1.118)

Comparando (1.117) con (1.118) puede establecerse la correspondencia: Ri0l0 ←→

1 ∂g i , c2 ∂xl

(1.119)

o, con g i = −∂φ/∂xi , donde φ es el potencial gravitacional: Ri0l0 ←→ −

1 ∂2φ . c2 ∂xi ∂xl

Por contracción de i y l: −

1 2 ∇ φ ←→ Ri0i0 = R00 , c2

(1.120)

de modo que el laplaciano del potencial gravitacional newtoniano puede asociarse a la componente 00 del tensor de Ricci-Einstein. Esta conclusión sugiere la posibilidad de una teor´ıa geométrica de la gravitación y será explorada en el próximo cap´ıtulo. La ecuación (1.120) anticipa, en s´ıntesis, que la gravitación es un fenómeno geométrico.

********************************** Albert Einstein (1879-1955). Tomado de http://commons.wikimedia.org

2 Gravitaci´ on

2.1.

Introducci´ on

De acuerdo con Newton, el espacio f´ısico es euclidiano y la trayectoria inercial es rectil´ınea y recorrida con movimiento uniforme. La trayectoria inercial la realiza cualquier cuerpo −o más bien su centro de masa, si el cuerpo es extenso− en ausencia de fuerzas. Seg´ un Kepler los planetas se mueven alrededor del Sol en o´rbitas el´ıpticas, por lo cual, seg´ un Newton, siendo curva su trayectoria, alguna fuerza −que seguramente proviene del Sol− altera su movimiento inercial. Esto significa que la aceptación por Newton de la geometr´ıa de Euclides, con su recta inercial que es la l´ınea más corta entre dos puntos, exige asumir que el Sol ejerce una fuerza sobre los planetas, ya que en la época de Newton no hay alternativas a la geometr´ıa; hay solo una, la euclidiana. Y el principio de razón suficiente no ve cómo, en ausencia de acciones, el movimiento de un cuerpo entre dos puntos pueda ser algo diferente a la l´ınea más simple, la recta euclidiana. En un mundo euclidiano, si el movimiento inercial es el más simple y además u ńico, entonces debe ser rectil´ıneo. Resulta as´ı una conclusión sorprendente: la noción de fuerza gravitacional surge de un prejuicio matem´ atico sobre la estructura f´ısica del mundo; si el mundo es euclidiano y los planetas se mueven en forma curvil´ınea, entonces el Sol act´ ua sobre los planetas, razonamiento que solo es posible poner en duda con el surgimiento de las nuevas geometr´ıas, las que permiten asegurar que la geometr´ıa de Euclides no es solo una rama de la geometr´ıa sino una rama de la f´ısica, porque en ella se basa la idea de Newton de la gravitación. Que el espacio tenga una estructura euclidiana es una afirmación f´ısica. En la teor´ıa de Einstein el Sol no act´ ua sobre los planetas sino sobre el espaciotiempo. Como revelará Einstein, basta con renunciar a la geometr´ıa de Euclides para ver

51


con claridad que la gravedad como fuerza no fué un descubrimiento sino una invención, y que es suficiente acceder a geometr´ıas más amplias, como la de Riemann, para caer en la cuenta de que la gravedad es un fenómeno geométrico. Con esta nueva idea la gravitación entró en otra esfera de comprensión.

2.2.

Teor´ıa newtoniana

En las siguientes subsecciones se exponen los fundamentos de la teor´ıa newtoniana de la gravitación, las nociones de masa inercial y gravitacional y la teor´ıa de transformación galileana entre sistemas inerciales y acelerados.

2.2.1.

Ley de Newton de la gravitaci´ on

En la tercera parte del libro de 1687 Principios matem´ aticos de la filosof´ıa natural Newton propone su teor´ıa de la gravitación universal, de acuerdo con la cual cualquier pareja cuerpos, de tama˜ nos mucho menores que la distancia que los separa −en principio puntuales−, y de masas m1 y m2 se atraen en una forma proporcional al producto de las masas e inversa al cuadrado de la distancia entre sus centros. Para ser más precisos, la fuerza que una masa puntual m1 ejerce sobre otra puntual m2 tiene la forma (figura 2.1a): F1→2 = −G

mg1 mg2 (r2 − r1 ) . |r2 − r1 |3

(2.1)

El origen de coordenadas en la figura 2.1a está en reposo en un sistema de referencia inercial. La constante G, asociada al nombre de Cavendish quien la midió por primera vez en 1798 usando una balanza de su propia invención, tiene en unidades MKS un valor de 6,673 × 10−11 N m2 /kg2 . En la ley de gravitación se ha escrito mg1 y mg2 en vez de m1 y m2 puesto que la noción de masa introducida por Newton en su teor´ıa de la gravitación no corresponde a la noción de masa inercial que aparece en la segunda ley del movimiento F = ma. Mientras la masa inercial se asocia al comportamiento de un cuerpo bajo la acción de fuerzas, la masa gravitacional corresponde a la medida de la capacidad de ese cuerpo para atraer gravitacionalmente a otros. Dicho en otra forma, la resistencia que un cuerpo presenta a la aceleración nada tiene en com´ un con su carga gravitacional. Sobre este punto se harán en la subsección siguiente algunas consideraciones. Ahora bien, la fuerza gravitacional que una distribución volumétrica de masa de densidad ρ(r0 ) ejerce sobre una masa puntual m localizada en r es (figura 2.1b): Z Z ρ(r0 )(r − r0 ) dM g (r0 )(r − r0 ) g = −Gm dV 0 . FM →m = −Gmg 0 3 0 |3 |r − r | |r − r V M

2.

M •

r − r0

m • r

r

r0

O

a

dM

r − r0

m •

Gravitaci´ on /53

r0

b

O

Figura 2.1: Fuerzas gravitacionales, a. entre masas puntuales, b. entre una masa puntual m y una distribuci´ on volumétrica

Teniendo en cuenta que: ∇

1 |r − r0 |

=−

r − r0

|r − r0 |

3

puede escribirse: FM →m

= =

1 dV 0 ρ(r0 )∇ 0| |r − r V Z ρ(r0 ) 0 g −m ∇ −G dV = −mg ∇G, 0| |r − r V Gmg

Z

donde se ha definido el potencial gravitacional de la masa M en la forma: Z ρ(r0 ) G = −G dV 0 . 0| |r − r V El cociente Fm→m /m define el campo gravitacional de M : Z ρ(r0 )(r − r0 ) dV 0 . g(r) = −∇G(r) = −G 0 |3 |r − r M

(2.2)

(2.3)

También: FM →m = −mg ∇G = mg g.

(2.4)

Ahora bien, volviendo a (2.2), tomando su laplaciano: Z Z 1 ρ(r0 ) 2 2 0 0 2 dV = −G ρ(r )∇ ∇ G(r) = −G∇ dV 0 , y como: 0 |r − r0 | V V |r − r | 1 = −4πδ(r − r0 ), ∇2 |r − r0 |


donde δ(r − r0 ) es la delta de Dirac, es cierto que: Z ∇2 G(r) = 4πG ρ(r0 )δ(r − r0 ) dV 0 = 4πGρ(r), V

de donde se sigue que en el interior de las masas el potencial gravitacional satisface la ecuación de Poisson: (2.5) ∇2 G(r) = 4πGρ(r) y en el exterior satisface la ecuación de Laplace, ∇2 G(r) = 0. De otro lado, tomando la divergencia de (2.3): ∇ · g(r) = −∇ · ∇G(r) = −∇2 G(r) = −4πGρ(r),

(2.6)

que es la ley de Gauss para el campo g(r). Finalmente, el rotacional de (2.3) permite asegurar que el campo gravitacional es conservativo: ∇ × g = 0,

(2.7)

ya que, utilizando el teorema de Stokes, es posible escribir: I g · dl = 0, que cumple la definición de un campo conservativo. Es importante tener en cuenta que el campo gravitacional newtoniano es de acci´ on a distancia, es decir tiene una velocidad de propagación infinita. Esto puede entenderse con claridad si en vez de la ecuación de Poisson (2.5) se escribe la ecuación de ondas: 1 ∂ 2 G(r, t) = 4πGρ(r, t). ∇2 G(r, t) − 2 v ∂t2 Esta ecuación se reduce, en efecto, a la ecuación de Poisson si v → ∞, lo que revela que cuando ρ cambia con el tiempo, el campo cambia instantáneamente en todos los puntos del espacio lejanos o cercanos. Esta conclusión está en desacuerdo con uno de los resultados de la relatividad especial, el que impone una velocidad finita a la propagación de se˜ nales, por lo que se hace necesario escribir una nueva ecuación para el campo gravitacional que incluya su propagación con velocidad finita. La teor´ıa de Newton no incluye entidad f´ısica alguna en el espacio que separa dos cuerpos gravitantes, a diferencia −por ejemplo− de la teor´ıa de Maxwell en la que el campo electromagnético es el que transmite la interacción entre dos cargas. Es decir, el espacio entre dos masas está vac´ıo y sin embargo dos masas separadas interact´ uan.

2.

2.2.2.

Gravitaci´ on /55

Masa inercial y gravitacional

De acuerdo con la ecuación newtoniana (2.4), la fuerza sobre una part´ıcula de masa m cuando se sit´ ua en el campo gravitacional g de otra masa M es: F = mg g. mg es la masa gravitacional de la part´ıcula de prueba y g está dado por (2.3). Si la masa de prueba se deja en libertad se moverá de acuerdo a la segunda ley de Newton: F = mi a. Esta ecuación describe la respuesta inercial de la masa m. Igualando las dos u ´ltimas ecuaciones puede calcularse la aceleración de ca´ıda libre: a=

mg mg g = − ∇G. mi mi

Los experimentos realizados por Galileo, Newton, Eötvos, entre otros, y que han logrado una exactitud mayor de una parte en 1011 , demuestran que la aceleración de ca´ıda libre es independiente de la masa de la part´ıcula de prueba, por lo que el cociente mg /mi es una constante universal, independiente del tipo de material y de su ubicación en el campo. Puesto que las dos cantidades en el cociente son masas conviene escoger un mismo patrón para ambas, aunque no sea absolutamente necesario. La escogencia más simple es medir ambas masas en kilogramos, lo que conduce entonces a afirmar que la aceleración de ca´ıda libre es igual a la intensidad del campo de gravedad en el punto donde se realiza el experimento; as´ı pues la aceleración de ca´ıda libre es local. Sobre la superficie terrestre y a nivel del mar tiene un valor de 9.8 m/s2 . Lo anterior indica que, después de adoptar el mismo patrón para ambas masas, los valores numéricos de la masa inercial y gravitacional del mismo cuerpo son idénticos. Sin embargo ambos conceptos son distintos. Este problema permaneció sin mayor claridad que la que aqu´ı se ha hecho, hasta la proposición por Einstein en 1911 del principio de equivalencia. Dada la identidad numérica entre los dos tipos de masas, en lo sucesivo se hablará solo de masa m, suprimiendo los super´ındices que las caracterizaron en esta sección.

2.2.3.

Transformaciones galileanas

Un sistema de referencia inercial es aquel donde, en ausencia de fuerzas, un cuerpo permanece en reposo o en movimiento rectil´ıneo y uniforme, y donde, en presencia de fuerzas aplicadas sobre él el cuerpo se mueve de acuerdo con la segunda ley de Newton.


Todos los sistemas de referencia en movimiento uniforme respecto a un sistema inercial son inerciales. Todos los que respecto a uno inercial se muevan aceleradamente son no inerciales; en estos un cuerpo en ausencia de fuerzas se mueve con aceleración. Si se quiere mantener la validez de la segunda ley de Newton en los sistemas no inerciales es necesario definir un nuevo tipo de fuerzas, no debidas a influencias f´ısicas identificables, sino al movimiento acelerado del sistema de referencia. Por esta razón se las llama fuerzas ficticias o inerciales. En el caso de aceleración rectil´ınea del sistema de referencia la fuerza ficticia se escribe Ff = −ma, donde a es la aceleración lineal del sistema de referencia; en los sistemas rotantes con velocidad angular ω la aceleración tiene tres componentes, centr´ıfuga, Coriolis y una asociada a la variación temporal de la velocidad angular; as´ı: ∂ F = −ma = m −ω × (ω × r) + 2v × ω − (ω × v) . ∂t Las siguientes consideraciones se referirán solo a aceleración rectil´ınea constante.

S

a0

S0 r0

R

•P

r

Figura 2.2: S es un sistema inercial, S 0 tiene aceleraci´ on constante a0 respecto a S

Considérese un sistema inercial S respecto al cual se mueve otro sistema S 0 con aceleración constante a0 . Seg´ un la figura 2.2 es cierto que las posiciones de una part´ıcula P observadas desde S y S 0 están conectadas por la expresión: 1 r = r 0 + R = r 0 + v 0 t + a0 t 2 . 2 Por derivación temporal se sigue la regla galileana de adición de velocidades, donde v y v0 son las velocidades de la part´ıcula en S y S 0 , y v0 la velocidad inicial medida en S: v = v0 + v0 + a0 t; derivando nuevamente se obtiene la regla de transformación de la aceleración: a = a0 + a0 .

(2.8)

2.

Gravitaci´ on /57

Si en S la part´ıcula experimenta una fuerza F entonces F = ma. Si el observador en el sistema acelerado asume válida la segunda ley de Newton entonces F 0 = ma0 . As´ı pues, reemplazando en (2.8): F = F0 + ma0 ,

(2.9)

que es la regla que permite comparar las fuerzas en un sistema inercial y otro acelerado. Considérense ahora las dos siguientes situaciones: A. Si en el sistema inercial la part´ıcula no experimenta fuerza alguna entonces F = ma = 0 por lo cual permanece en reposo o en movimiento rectil´ıneo y uniforme. Entonces, de (2.9): F0 = −ma0 ,

o también :

a0 = −a0 .

En consecuencia y como se esperaba, el movimiento de la part´ıcula, visto desde S 0 , será acelerado; la causa de la aceleración es la fuerza ficticia −ma0 . En S 0 ocurrirá que cuerpos no interactuantes de diversas masas, dejados en libertad, se mueven todos con la misma aceleración independientemente de su masa, una conclusión experimental análoga a la discutida en la sección 2.2.2 para campos de gravitación. Parece, as´ı, que en los sistemas no inerciales puede hablarse de un campo de fuerzas ficticias o campo de aceleraci´ on que es, desde el punto de vista mecánico, equivalente a un campo gravitacional de l´ıneas paralelas existente en un sistema inercial. B. Si en el sistema inercial hay un campo gravitacional estático de l´ıneas paralelas, como el que con alta aproximación existe en un laboratorio terrestre y una masa m, puede afirmarse que F = mg y como F = ma entonces a = g. Como se ha visto, esto corresponde al resultado obtenido por Galileo: todos los cuerpos en un campo de gravedad estático y uniforme caen con la misma aceleración, independientemente de su masa. Ahora bien, supóngase que una caja del tama˜ no de un laboratorio terrestre cae libremente en este campo gravitacional, con todo lo que hay en su interior (figura 2.3). De (2.9) se sigue que para la masa m es cierto que: mg = F0 + ma0 . La fuerza observada desde el sistema S 0 es: F0 = m(g − a0 ) Puesto que para el laboratorio en ca´ıda libre a0 = g, se concluye que F0 = 0, lo que significa: 1. que el sistema S 0 es inercial, 2. que un campo gravitacional de l´ıneas paralelas se anula para un observador que cae libremente en él, 3. que S y S 0 son ambos inerciales a pesar de que uno de ellos está acelerado.


Si dos sistemas de referencia están relativamente acelerados y uno es inercial, el otro no lo será. Pero si en uno de ellos hay un campo gravitacional de l´ıneas paralelas y el otro cae libremente, ambos serán inerciales.

S

S0

a0 = g

Figura 2.3: S 0 es un sistema de referencia en ca´ıda libre en un campo de gravedad g de l´ıneas paralelas existente en el sistema de referencia S

Este es un resultado singular que entrelaza los sistemas de referencia con las fuerzas ficticias y de gravitación. El observador S 0 en el caso A considera que el movimiento acelerado de cuerpos en su sistema de referencia es debido a fuerzas ficticias, aunque también S 0 puede pensar que está en reposo en un sistema inercial y que en él ha aparecido un campo de gravitación de l´ıneas paralelas. De otro lado, el observador S en el caso B constata que hay en su sistema inercial un campo gravitacional de l´ıneas paralelas, pero también puede afirmar que en su sistema no hay campo gravitacional alguno sino que se encuentra en un sistema acelerado respecto a la Tierra. Ahora bien, de acuerdo con el libro de Fock, citado en la bibliograf´ıa, la transformación entre un sistema inercial S y otro S 0 con aceleración g tiene la forma: c2 [cosh(gt/c) − 1] g c x t0 = senh (gt/c) + senh (gt/c) g c 0 0 y = y, z = z x0 = x cosh(gt/c) +

Estas expresiones se reducen en el l´ımite gt/c 1 a las relaciones galileanas: 1 x0 = x + gt2 2 y 0 = y, z 0 = z, t = t

2.

2.3.

Gravitaci´ on /59

Los principios de la relatividad general

Dejando part´ıculas en libertad no puede distinguirse entre un sistema uniformemente acelerado sin gravitación y uno inercial con campo gravitacional estático de l´ıneas paralelas. Mecánicamente son indistinguibles. Seg´ un Einstein, la distinción no puede hacerse de modo alguno, ni mecánico, ni o´ptico, ni de otras formas. Es decir que, en general, el campo de fuerzas ficticias que existe en el interior de un sistema de referencia con aceleración constante es idéntico a un campo gravitacional estático de l´ıneas paralelas. Esta es una primera forma del principio de equivalencia, que revela la razón profunda de la igualdad entre masas inercial y gravitacional; esta masas no son idénticas solo numérica sino también conceptualmente dada la indistinguibilidad entre fuerzas ficticias y gravitacionales, al menos −repitamos− para campos gravitacionales de l´ıneas paralelas. El valor heur´ıstico del principio de equivalencia puede apreciarse en el siguiente caso: un observador inercial (en un referencial donde no hay campo de gravitación) puede verificar que un rayo de luz se mueve rectil´ıneamente. Un observador acelerado respecto al anterior puede constatar que la trayectoria de la luz es curvil´ınea; y como el interior de un sistema acelerado es idéntico a un campo gravitacional resultará que la luz sigue una trayectoria curva en un campo de gravitación. En general será cierto, seg´ un el principio de equivalencia, que los fenómenos afectados por la aceleración lo serán de igual modo por la gravitación. Como lo veremos, el principio de equivalencia pasa por la identificación de los campos de fuerzas ficticios y los gravitacionales, la identidad de las masas inercial y gravitacional y va −como lo veremos−hasta el descubrimiento del caracter geométrico de estos campos, anticipado al final de la sección 1.10 numeral f. Es cierto que los campos gravitacionales no son en general de l´ıneas paralelas. El campo gravitacional de una masa esférica homogénea tiene l´ıneas radiales que convergen a su centro, aunque en un entorno peque˜ no este campo es, prácticamente, de l´ıneas paralelas como lo revela el trabajo usual en un laboratorio fijo en la superficie terrestre. Por ello hay que refinar el principio de equivalencia para afirmar que la indistinguibilidad entre campos de fuerzas ficticias y de gravitación tiene un caracter local. Esto permite involucrar campos de gravitación generales, lo que equivale a afirmar, como en el caso B de la sección 2.2.2, que el campo gravitacional es anulable localmente cayendo libremente en él. Estrictamente, como lo veremos, el campo de gravedad g es anulable en un punto, no en una región amplia. Puede as´ı decirse que en cada punto de un campo gravitacional existe un sistema de referencia en ca´ıda libre donde, en una región diferencial, todas las leyes f´ısicas tienen la forma enunciada por la relatividad especial. Tal región diferencial es lo suficientemente peque˜ na para que se puedan despreciar las variaciones espacio-temporales del campo de gravedad. Seg´ un lo anterior, si el campo de gravedad depende de r o de t, no se le puede


eliminar completamente cayendo en él. As´ı, por ejemplo, cuando se cae en el campo radial terrestre, una gran parte de él desaparece pero quedan peque˜ nas componentes horizontales que hacen que los cuerpos en ca´ıda libre se acerquen. Puede demostrarse que la fuerza gravitacional remanente corresponde al gradiente del campo de gravedad g. Se le conoce como campo de mareas. De hecho, el gradiente del campo de gravitación lunar es el responsable de las mareas terrestres. Véase también la sección 1.10 numeral f. En el sistema en ca´ıda libre, que no es otro que el sistema geodésico de la sección 1.10 numeral c., las primeras derivadas de gij se anulan en un punto, pero no las segundas derivadas. Esto significa que en un referencial en ca´ıda libre se anulan en un punto los s´ımbolos de Christoffel análogos al campo g (véase, por ejemplo, ecuación (2.19) pero no el tensor de Riemann. Ha de notarse que cuando hay campos gravitacionales de l´ıneas paralelas la clasificación de los sistemas de referencia en inerciales y acelerados no es simple; se anula localmente un campo de gravitación cayendo en él y se genera uno de l´ıneas paralelas por aceleración. ¿Quién está en reposo? La respuesta es simple: todos pueden asumirse en reposo, si introducen campos de fuerzas ficticias apropiados. Vale decir que no es afirmable, sin más, que los sistemas no inerciales están absolutamente acelerados; esto sugiere pasar a un nuevo nivel de la idea de relatividad del movimiento. No solo el movimiento uniforme es relativo, también el acelerado; esto sugiere expresar las leyes f´ısicas en una forma matemática que sea válida para todos los observadores independientemente de su movimiento, ya sea uniforme o acelerado. Esta sugerencia se hace expl´ıcita en el principio de covarianza general que exige que las ecuaciones f´ısicas sean escritas en forma tensorial invariante, vale decir que han de ser válidas bajo transformaciones generales entre sistemas de referencia, independientemente de su estado de movimiento. Como consecuencia del principio de equivalencia, los campos gravitacionales son de la familia de los sistemas acelerados y las leyes que los describen son invariantes bajo transformaciones generales de coordenadas. Resultará finalmente que las leyes f´ısicas que involucran la gravitación y las acciones inerciales son parte de la geometr´ıa. As´ı pues, Einstein propone los siguientes dos principios como base de su relatividad general: Principio de equivalencia. En cada punto en un campo gravitacional arbitrario es posible escoger un sistema de referencia donde el campo se anule en un punto. No hay, en general, transformaciones entre sistemas de referencia que anulen globalmente el campo de gravitación. Principio de covarianza. Las leyes f´ısicas han de tener la misma forma matem´ atica para todos los observadores. Puesto que los sistemas de referencia en movimiento arbitrario están conectados por transformaciones (en general no lineales) y como estas dan lugar a fuerzas

2.

Gravitaci´ on /61

ficticias, equivalentes a fuerzas gravitacionales, entonces una teor´ıa general de relatividad del movimiento ha de ser a la vez una teor´ıa de la gravitaci´ on. Véase también el ar´ıculo de Ohanian citado en la bibliograf´ıa.

2.4.

Gravitaci´ on y m´ etrica

En esta sección se pretende demostrar que el movimiento de una part´ıcula en un campo de gravitación independiente del tiempo puede describirse utilizando un diferencial de l´ınea en un espacio-tiempo no minkowskiano con su correspondiente ecuación de la geodésica, y sin utilizar el concepto “fuerza gravitacional”. La convención sobre ´ındices utilizada en esta sección es como sigue: los griegos van de 0 a 3, los latinos de 1 a 3. Los ´ındices de 1 a 3 indican componentes espaciales, el ´ındice cero es temporal. Esta es la notación usual en la relatividad especial. En el espacio-tiempo de la relatividad especial el intervalo se escribe: ds2 = ηµν dxµ dxν = c2 (dt)2 − (dx)2 − (dy)2 − (dz)2 , donde ηµν = diag(1, −1, −1, −1, ), xµ = (x0 , x1 , x2 , x3 ) = (ct, x, y, z); ηµν es la métrica de Minkowski. En espacios curvos el cuadrado del elemento diferencial de l´ınea tiene la forma: ds2 = gµν dxµ dxν . Las medidas geométricas y topográficas realizadas a diario en el entorno terrestre revelan que con muy buena aproximación el espacio es euclidiano y el tiempo transcurre de modo uniforme, por lo que el caracter curvo del espacio-tiempo puede describirse como una perturbación del espacio de Minkowski: gµν = ηµν + γµν .

(2.10)

En esta expresión γµν es una cantidad peque˜ na, lo que hace que el u ´ltimo sumando sea una perturbación, y (cuyo valor es 1) indica que γµν es una perturbación de primer orden; 2 indica una perturbación de segundo orden. La función γµν describe la distorsión de la euclidianidad del espacio y del flujo uniforme del tiempo. Puesto que gµν g νσ = δµσ se sigue, a primer orden en perturbaciones, que: g µν = η µν − γµν .

(2.11)

Puesto que se trata de elaborar un argumento simple, se asumirá que el campo métrico, es decir, la no euclidianidad, es independiente del tiempo, lo que significa que las derivadas temporales parciales de las diversas cantidades son nulas. El elemento de l´ınea es entonces: ds2 = gµν dxµ dxν = (ηµν + γµν )dxµ dxν .


Con x0 = ct, v i = dxi /dt, y β i = v i /c, se sigue, separando en espacio y tiempo la ecuación anterior, que: (ds/dt)

2

= =

c2 − v 2 + γ00 c2 + 2γ0i v i c + γij v i v j

c2 [1 − β 2 + γ00 + 2γ0i β i + γij β i β j ].

Para bajas velocidades y baja distorsión de la euclidianidad son despreciables términos de segundo orden (2 , β 2 , β i , β i β j ) y superiores, por lo cual: 2

(ds/dt) ' c2 (1 + γ00 ). Ahora bien, una geodésica en el espacio-tiempo se describe con: µ x ¨µ + νσ x˙ ν x˙ σ = 0

(2.12)

(2.13)

µ

contiene derivadas de la métrica, luego es proporcional a ; además, exνσ √ i i 0 0 pandiendo √ ν y σ, y con √x˙ = dx /ds = c dt/ds = 1/ 1 + γ00 , x˙ = dx /ds = i dx /c dt 1 + γ00 = vi /c 1 + γ00 , se sigue: µ µ µ µ ν σ x˙ x˙ = 2 0i x˙ 0 x˙ i + 00 x˙ 0 x˙ 0 + ij x˙ i x˙ j νσ µ 0 0 µ 1 x˙ x˙ ' 00 = . 00 1 + γ00

El u ´ltimo renglón se obtiene al desechar cantidades de segundo orden o más alto y con x0 = ct. Al reemplazar en la ecuación de la geodésica se sigue: µ d2 x µ 00 + = 0. ds2 1 + γ00 Reemplazando (ds)2 de (2.12): µ d2 x µ + c2 00 = 0. 2 dt

(2.14)

Con µ = 1 en (2.14) se obtienen las componentes espaciales que describen la aceleración de una part´ıcula en el campo de Christoffel: i 00

=

1 iσ 1 ∂γ00 g [00, σ] = (η iσ − γ iσ )(2g0σ,0 − g00,σ ) = − η iσ γ00,σ = . 2 2 2 2 ∂xi

Se ha tenido en cuenta que g0σ,0 = 0. Al reemplazar en (2.14), con µ = i, y escribir el resultado en forma vectorial se llega a: ¨r = −∇ c2 γ00 . (2.15) 2

2.

Gravitaci´ on /63

Este u ´ltimo resultado da la aceleración experimentada por una part´ıcula en movimiento en un espacio-tiempo levemente curvo. De acuerdo con la teor´ıa newtoniana de la gravitación, la aceleración experimentada por una part´ıcula en movimiento en un campo de potencial gravitacional G es: ¨r = g = −∇G.

(2.16)

Por comparación de (2.15) y (2.16) puede anticiparse que el potencial gravitacional está asociado a la geometr´ıa, vale decir que el potencial gravitacional puede interpretarse como un potencial métrico: γ00 =

2G , c2

en consecuencia:

g00 = η00 + γ00 = 1 + con lo cual el s´ımbolo de Christoffel i 00

=

i 00

2G , c2

(2.17) (2.18)

toma la forma:

∂γ00 1 ∂G gi = 2 i = − 2. i 2 ∂x c ∂x c

(2.19)

Para campos cuasi-euclidianos y bajas velocidades la u ńica componente diferente de ±1 que persiste del tensor métrico es g00 , por lo que: gµν = ηµν + γµν = ηµν +

2G δµ0 δν0 . c2

(2.20)

De acuerdo con (2.18) el potencial gravitacional newtoniano equivale a g 00 . En consecuencia gµν puede ser llamado potencial métrico. Y lo que en la teor´ıa newtoi niana se conoce como campo de gravedad gi es aqu´ı el campo de Christoffel 00 . i El campo gi , al igual que 00 , que no es un tensor, puede ser anulado al menos en un punto mediante una transformación de coordenadas en el espacio-tiempo que permita pasar a un sistema geodésico (véase sección 1.10 numeral c). Queda entonces por obtener una cantidad que sea un tensor y que describa el campo de gravitación. Como se verá, esta cantidad es el tensor de Riemann. Si la identificación entre potencial gravitacional y potencial métrico propuesta por (2.18) es correcta dependerá de las ecuaciones del campo de gravitación, es decir, de si en primera aproximaci´ on γ00 satisface la misma ecuación que G en la teor´ıa de Newton, esto es, si ∇2 γ00 ∝ ρ. As´ı pues, ignorando términos de segundo orden, la ecuación de la geodésica, que describe la cinem´ atica en el espacio-tiempo no-minkowskiano, equivale a la ecuación de Newton de movimiento en un campo gravitacional, es decir equivale a una din´ amica en un espacio euclidiano, si G = c2 γ00 /2.


Puede concluirse de lo anterior que gµν tiene un caracter dual, pues sus 10 componentes independientes pueden verse como los elementos del tensor métrico que determinan el elemento de l´ınea, pero también como los potenciales gravitacionales de la teor´ıa de Einstein, a los que se ha llamado potenciales métricos. La primera versión se centra en la geometr´ıa del espacio-tiempo, mientras la segunda lo hace en la estructura geométrica de la gravitación y en la forma como la métrica determina el movimiento de las part´ıculas. Con facilidad puede probarse que si µ = 0 la ecuación (2.14) se satisface idénticamente. En primer lugar porque, con x0 = ct: d2 (ct) d2 x 0 = = 0, 2 dt dt2 y en segundo lugar porque: 0 00

=

1 1 0σ g [00, σ] = g 00 [00, 0] = 0, 2 2

ya que las derivadas temporales de g00 que aparecen en [00, 0] son cero.

2.4.1.

El campo de mareas

La Tierra es atra´ıda gravitacionalmente por la Luna, y rec´ıprocamente. Con el propósito de estudiar el campo se mareas provocado en la Tierra por la Luna se asume que la Tierra y la Luna tienen forma esférica y por simplicidad no se considera la rotación terrestre.

r

m

dM r0

θ

R

Figura 2.4: Geometr´ıa para el estudio de las mareas

Debido a la gravitación lunar el centro de masa de la Tierra se acelera hacia la Luna; tal aceleración centr´ıpeta tiene la forma (figura 2.4): a=

Gm ˆ F = − 2 R, M R

2.

Gravitaci´ on /65

ˆ es unitario. M y m son respectivamente las masas de la Tierra y la Luna. donde R Debido a su aceleración la Tierra no es un sistema inercial. En ella un observador ˆ experimenta fuerzas ficticias en dirección de −R. Un elemento de masa terrestre dM , visto desde un sistema de referencia asociado a la Tierra, experimenta dos fuerzas, la gravitación de la luna y la fuerza ficticia, tal que la gravedad efectiva es de la forma: ˆ R ˆ r gef = g(r) − a = Gm − 2 + 2 . r R En r = R resulta gef = 0, por lo que el centro de masa terrestre, que cae libremente en el campo de gravedad de la Luna, es un sistema inercial. Dadas las formas de los sumandos en el paréntesis anterior puede escribirse: gef = g(r) − g(R).

(2.21)

Expandiendo g(r) en serie de Taylor alrededor de R se sigue: g(r) = g(R) + (r − R) · (∇g(r))r=R + · · · Reemplazando en (2.21) y teniendo en cuenta que r0 = r − R: g(r) = r0 · (∇g(r))r=R + · · ·

(2.22)

• TIERRA LUNA

Figura 2.5: Acci´ on del campo de mareas sobre la superficie terrestre

Las mareas, descritas por la ecuación 2.22, son debidas no al campo g de gravitación de la Luna en la posición de la Tierra, sino a su gradiente. En forma expl´ıcita, despreciando términos de orden superior en r0 y con la notación de la figura 2.4: gef (r) = r0 · (∇g(r))r=R = −Gmr0 · (∇ r/r3 )r=R =

−Gm

r0 Gmr0 ˆ 2 · [R I − 3RR] = [3R cos θ − ˆ r0 ]. R5 R3


De acuerdo con esta ecuación hay dos mareas altas diarias, una en la cara terrestre que da a la Luna (θ = π) y otra en la opuesta (θ = 0), ver figura 2.5. En ˆ =ˆ efecto, en θ = 0 con R r0 : g= ˆ y en θ = π, con ˆ r0 = −R: g=

0 Gmr0 ˆ ˆ = 2 Gmr R, ˆ [3R − R] 3 3 R R

0 Gmr0 ˆ − R] ˆ = 2 Gmr (−R). ˆ [−3R 3 3 R R

Obsérvese que la intensidad del campo de mareas es proporcional a 1/R 3 . El gradiente de g contiene términos de la forma ∂gi /∂xj cantidad que de acuerdo con (1.119) está asociada a la componente Ri0l0 del tensor de Riemann. En la teor´ıa de Einstein el tensor de Riemann Rµνσρ −vale decir, la generalización del campo de mareas− describe el campo de gravitación.

2.4.2.

Sistema rotante

De acuerdo con el principio de equivalencia los campos de fuerzas ficticias son f´ısicamente equivalentes a campos gravitacionales. En particular, entonces, los movimientos de part´ıculas en los campos de fuerzas centr´ıfugas y de Coriolis presentes en un sistema rotante podr´ıan describirse como un movimiento geodésico, vale decir inercial, en un campo métrico asociado a la rotación del sistema de referencia. Conviene por ello realizar una transformación de un sistema inercial a uno rotante con el propósito inicial de evaluar la métrica en el sistema rotante. En el sistema inercial S el elemento de l´ınea en las coordenadas cil´ındricas (r, ϕ, z) se escribe: ds2 = c2 dt2 − (dr 2 + r2 dϕ2 + dz 2 ).

Considérese ahora un sistema S 0 en rotación alrededor del eje z con velocidad angular constante ω. La transformación de S a S 0 puede realizarse utilizando r 0 = r, ϕ0 = ϕ + ωt y z 0 = z. Reemplazando en el elemento de l´ınea, asumido como un invariante, se obtiene: (2.23) ds2 = c2 1 − ω 2 r2 /c2 dt2 − dr2 − r2 dϕ02 − 2ωr 2 dϕ0 dt − dz 2 ,

de modo que los elementos no nulos de la métrica en el sistema rotante son: g00 = 1 − ω 2 r2 /c2 ,

g11 = −1 ,

g22 = −r 2 ,

g33 = −1 ,

g02 = −ωr 2 /c. (2.24)

Debido a los términos que contienen ω la geometr´ıa es no euclidiana. Las ecuaciones de movimiento de una part´ıcula en tal geometr´ıa pueden obtenerse del principio variacional: Z δ

f ds = 0,

2.

Gravitaci´ on /67

del cual se obtiene la ecuación de Euler-Lagrange: d ∂f ∂f = 0. − ds ∂ x˙ µ ∂xµ

(2.25)

Ignorando las ‘primas’ la función f se obtiene de (2.23) dividiendo por ds 2 : f = c2 1 − ω 2 r2 /c2 (x˙ 0 )2 − r˙ 2 − r2 ϕ˙ 2 − 2ωr 2 ϕ˙ x˙ 0 /c − z˙ 2 . Reemplazando f en (2.25) para µ = 1, 2, 3, 0 se obtienen, respectivamente: ωr ω2 r 0 2 (x˙ ) − rϕ˙ 2 − 2 ϕ˙ x˙ 0 = 0, c2 c 2 ω ω 0 ϕ¨ + r˙ ϕ˙ + 2 r˙ x˙ 0 + x ¨ = 0, r cr c z¨ = 0, ω2 r2 ω2 r ωr ωr2 1− 2 x ¨0 − 2 2 r˙ x˙ 0 − 2 r˙ ϕ˙ − ϕ¨ = 0, c c c c r¨ −

(2.26) (2.27) (2.28) (2.29)

Reemplazando ϕ¨ de (2.27) en (2.29) se obtiene: x ¨0 = 0,

(2.30)

de donde x˙ 0 = cte = 1. Reemplazando este u ´ltimo valor en (2.26) y (2.27) se obtienen las ecuaciones: ωr ω2 r − rϕ˙ 2 − 2 ϕ˙ = 0, 2 c c ω 2 ϕ¨ + r˙ ϕ˙ + 2 r˙ = 0. r cr

(2.31)

r¨ −

(2.32)

Comparando las ecuaciones (2.28), (2.30), (2.31) y (2.32) con (2.13) se obtienen los siguientes s´ımbolos de Christoffel no nulos: 1 00

=−

ω2 r , c2

1 22

= −r ,

1 20

=−

ωr , c

2 12

=

1 , r

2 01

=

ωr . (2.33) c

Ahora bien, con ds = c dτ , (2.31) y (2.32) dan lugar a las ecuaciones de movimiento radial y angular de una part´ıcula libre en el sistema rotante: dϕ dϕ d2 r (2.34) −r = ω 2 r + 2ωr , dτ 2 dτ dτ d2 ϕ dr dϕ dr r 2 +2 = −2ω . (2.35) dτ dτ dτ dτ


Estas expresiones coinciden con las que la mecánica clásica provee para el movimiento de part´ıculas en un sistema de referencia rotante (Goldstein, pag. 177). Los términos a la izquierda de la igualdad corresponden a las aceleraciones radial y angular, mientras los de la derecha corresponden al efecto de las fuerzas centr´ıfuga y de Coriolis. La versión que aqu´ı se ha propuesto considera que el movimiento en el sistema rotante es geodésico, inercial. No hay fuerzas ficticias, sino movimiento libre en una geometr´ıa no euclidiana. El campo de fuerzas ficticias equivale a un campo de gravitación. Todos los elementos del tensor de Riemann Rµνσρ son cero en el sistema inercial y es directo probar, utilizando (2.33) que también son cero en el sistema rotante, como se espera, pues Rµνσρ es un tensor. Esto prueba que el espacio-tiempo en S 0 es plano, aunque el espacio 3D sea curvo y el tiempo sea inhomogéneo. En lo que sigue se renunciará a la idea de que la gravitación es una fuerza; se adoptará la idea de que es un fenómeno asociado a la no euclidianidad del espacio y a la no uniformidad del flujo del tiempo. La gravitación es entonces más un fenómeno geométrico que uno mecánico. Renunciar a la idea de fuerza gravitacional exige, seg´ un lo visto atrás, acudir a la geometr´ıa de Riemann. En particular, la ecuación de la geodésica en el espacio-tiempo se adoptará como la ecuación que describe el movimiento inercial (véase la sección 2.9). La geodésica en el espacio-tiempo es la forma matemática de la ley generalizada de inercia, de acuerdo con la cual un cuerpo que se deja en libertad en un espacio-tiempo curvo se mueve inercialmente, a lo largo de una geodésica. Queda entonces por descubrir una ecuación de campo que describa la forma como el espacio-tiempo de Minkowski logra convertirse en un espacio-tiempo curvo.

2.4.3.

Coordenadas geod´ esicas y ca´ıda libre

Dentro de las aproximaciones utilizadas en la sección anterior (campo débil y bajas velocidades) las coordenadas geodésicas, que son aquellas en las que los s´ımbolos de Christoffel se anulan en un punto, pueden ser calculadas con facilidad. De acuerdo a (1.114), aplicada al espacio-tiempo: xν = pν + (xν − q ν ) +

1ν (xσ − q σ )(xρ − q ρ ). 2 σρ (x,y,z)

Teniendo en cuenta (2.20) y que G = gz es el potencial gravitacional cercano a la superficie terrestre, puede probarse que los u ńicos s´ımbolos de Christoffel [µν, ρ] diferentes de cero en un punto (x, y, z), en un sistema de referencia asociado a la superficie terrestre, son: 0 g g dG 1 = 2 , de donde = 2 y 03 dz c2 c c 0 dG 1 g g [00, 3] = − = − 2 , de donde = 2. 2 03 dz c c c

[03, 0] =

2.

Gravitaci´ on /69

Para ν = 0 la regla de transformación es: t0 = t00 + (t − t0 ) +

g (t − t0 )(z − z0 ), c2

y el tercer término de la derecha es despreciable en la aproximación presente, por lo que t0 − t00 = t − t0 , como es cierto en la f´ısica newtoniana. Para ν = 3 es cierto que: g z 0 = z00 + z − z0 + (t − t0 )2 , 2 ∆z 0 = ∆z +

as´ı pues:

g (∆t)2 . 2

Para ν = 1 y ν = 2 se obtiene: ∆x0 = ∆x y ∆y 0 = ∆y. En consecuencia, el sistema de referencia geodésico, donde se anulan en un punto los s´ımbolos de Christoffel (y por tanto el campo newtoniano de gravitación g), es aquel que cae libremente. En general, g no puede eliminarse en una región finita por escogencia de alg´ un sistema coordenado en 4D.

2.5.

Ecuaciones de campo en el espacio libre

Las nuevas ecuaciones del campo gravitacional, concebido como campo métrico, no como campo de fuerzas: • deben ser escritas en forma tensorial. De este modo son válidas bajo transformaciones generales, • deben contener derivadas de gµν de segundo orden, pues han de contener como l´ımite de campo débil la ecuación de Poisson, • en ausencia de materia han de admitir como solución la métrica de Minkowski ηµν = diag(1, −1, −1, −1). Esto significa que el espacio-tiempo de la relatividad especial es la solución más simple de las ecuaciones del campo métrico, • han de contener términos no lineales en gµν o sus derivadas. El argumento que soporta esta exigencia es como sigue: el campo de gravitación newtoniano es generado por masas, por lo cual de acuerdo a la relatividad especial la masa-energ´ıa en cualquiera de sus formas es fuente de gravitación. En cada volumen del espacio, alrededor o en el interior de los cuerpos hay un contenido de energ´ıa gravitacional que a su vez genera más campo gravitacional. As´ı, el campo gravitacional es parte de su propia fuente. Esto hace que las ecuaciones de campo deban ser no lineales. En el espacio-tiempo plano, cuya métrica es la de Minkowski, el tensor de Riemann es cero. Es decir, Rµνσρ = 0 es la ecuación que describe un espacio de Minkowski. La ecuación que describe un espacio tiempo curvo, es decir un campo gravitacional, ha de ser alguna generalización de esta ecuación. Hay que debilitar


la condición de espacio tiempo plano, Rµνσρ = 0, permitiendo −por ejemplo− que algunas de las componentes del tensor de Riemann no se anulen. Una sugerencia viene de la ecuación de Laplace ∇2 G = 0 que seg´ un (2.18) puede P3 escribirse como i=1 g00,ii = 0, lo que insin´ ua una contracción de ´ındices. Véase también (1.120), donde expl´ıcitamente aparece R00 . Puede entonces proponerse, como lo hizo Einstein, el anulamiento del tensor de Ricci-Einstein como la ecuación de campo en el espacio libre: Rµν = 0 Como se sabe, el tensor de Ricci-Einstein viene de una contracción del tensor de Riemann: Rµν = Rρµρν . Ha de observarse que Rρµσν = 0 implica Rµν = 0, tal que esta u ´ltima también tiene el espacio-tiempo plano como una de sus soluciones; pero Rµν = 0 no implica necesariamente un espacio tiempo plano, pues no exige el anulamiento de todos los Rρµσν . Esto es, Rµν = 0 puede tener como solución un espacio-tiempo curvo. Es en este sentido que la condición de espacio-tiempo plano se ha debilitado. As´ı, la ecuación del campo métrico en el espacio libre tiene la forma: α α α τ α τ (2.36) Rµν = µα − µν + τ ν µα − τ α µν = 0. ,ν

,α

Esta ecuación admite la métrica de Minkowski gµν = ηµν como solución, lo que se debe a que en este caso los s´ımbolos de Christoffel son idénticamente cero. La ecuación (2.36) contiene derivadas de segundo orden del tensor métrico, contenidas en las derivadas de los s´ımbolos de Christoffel; los dos u ´ltimos sumandos contienen el tensor métrico en forma no lineal. Se demostrará luego que de (2.36) se obtiene la ecuación de Laplace como aproximación de campo débil. La ecuación de espacio libre puede escribirse en una forma más conveniente teniendo en cuenta que del tensor de Einstein (1.101) escrito en la forma: Gµν = Rµν −

1 µ δ R, 2 ν

se sigue, por contracción de los ´ındices µν y con δµµ = 4: G = R − 12 4R = −R tal que: 1 Gµν = Rµν + gµν G. 2 As´ı pues, si Rµν = 0 entonces R = 0 y por tanto Gµν = 0. Rec´ıprocamente, si Gµν = 0 entonces G = 0 y por tanto Rµν = 0. En consecuencia, Rµν = 0 en (2.36) es equivalente a: Gµν = 0 . (2.37) La ecuación (2.37) describe la estructura del espacio-tiempo en el espacio vac´ıo, esto es, en el exterior de las masas y en particular afirma que en un universo sin

2.

Gravitaci´ on /71

materia el espacio-tiempo existe como un absoluto y su métrica es la de Minkowski. El espacio-tiempo preexiste a la materia. Esta conclusión está en claro desacuerdo con las ideas que en su momento fueron expresadas por Leibniz y Mach de acuerdo con las cuales solo hay espacio y tiempo si existe la materia. Este desacuerdo persistirá a lo largo de todos los desarrollos siguientes y dará lugar a una teor´ıa dual sobre el espacio-tiempo como será claro en las secciones que siguen. Ahora bien, si (2.37) es aplicable en los lugares donde no hay materia, ¿cuál es la estructura del espacio-tiempo en presencia de materia? Dicho de otro modo, ¿cómo afecta la materia a la geometr´ıa? Seg´ un Newton, las masas generan fuerzas gravitacionales; en términos del potencial gravitacional esto se expresa con la ecuación de Poisson (2.5). De otro lado, de acuerdo con los resultados de la relatividad especial hay una conexión entre masa y energ´ıa. La masa m de un cuerpo equivale a una energ´ıa de reposo mc2 y cualquier adición de energ´ıa a un cuerpo aumenta su masa. Aceptada la equivalencia masa-energ´ıa es necesario imponer en la teor´ıa de Einstein la condición de que la estructura geométrica del espacio-tiempo depende de su contenido de energ´ıa. Esto significa que no solo las masas en su acepción corriente sino cualquier forma de energ´ıa, y en particular los campos, contribuyen a deformar el espacio de Minkowski. La noción de materia incluye masas, campos de cualquier tipo y cualquier otra forma de energ´ıa, como el calor, la presión o los esfuerzos. En el exterior de la materia Gµν = 0 y este tensor es simétrico. Si se aspira a una generalización de la ecuación de Poisson, a la derecha de Gµν en (2.37) es necesario reemplazar el cero por un tensor simétrico de segundo orden Tµν que describa el contenido de materia del espacio. Puesto que, seg´ un (1.102) la divergencia covariante del tensor de Ricci-Einstein Gµν es cero, también deberá ser cero la divergencia del que se llamará tensor de materia, esto es T µν;ν = 0. ¿Cómo escribir, entonces, Tµν para part´ıculas, para fluidos, para campos electromagnéticos?

2.6.

Tensor de materia

a. Considérese un caso simple: un fluido en movimiento libre, no viscoso, y en el que −por simplicidad− las partes no interact´ uan entre s´ı. El fluido se especifica en la hidrodinámica relativista mediante las siguientes cantidades: • La densidad volumétrica de masa ρ0 en el punto xµ , corresponde a la densidad medida por un observador en reposo respecto a un elemento de volumen de fluido localizado en ese punto. Se le llama densidad propia y es un campo escalar, vale decir que ρ0 no cambia bajo transformación a otro sistema de referencia. • uµ correspondiente a la 4-velocidad de un elemento de fluido. Es un campo vectorial de la forma: dxµ , uµ = ds


donde ds es un elemento diferencial de l´ınea en el espacio-tiempo. Puesto que (ds)2 = gµν dxµ dxν , y dividiendo por (ds)2 se sigue gµν uµ uν = 1 o también uµ uµ = 1. El tensor de segundo orden más simple que puede formarse con estas dos cantidades es: (2.38) T µν = ρ0 uµ uν . Este tensor tiene unidades de densidad volumétrica de masa y se conoce como tensor de momento-energ´ıa del fluido. Sus componentes pueden ser analizadas en una forma simple si el estudio se restringe a la relatividad especial, donde ds 2 = c2 dt2 − dl2 = c2 dt2 (1 − β 2 ) = c2 dt2 /γ 2 . Se sigue que dt/ds = γ/c. As´ı, • con u0 = dx0 /ds = γ: T 00 = ρ0 u0 u0 = ρ0

dx0 dx0 = ρ0 γ 2 = ρ, ds ds

de modo que la componente 00 del tensor contiene la densidad ρ del fluido en movimiento que, a diferencia de ρ0 , cambia con la velocidad y representa la densidad volumétrica de energ´ıa E del fluido medida en unidades de masa/volumen: T 00 =

E = ρ, c2

por lo cual E = ρc2 . • Además, con u0 = γ, v i = dxi /dt y ui = dxi /ds = γv i /c: T i0 = ρ0 ui u0 = ρ0

dxi dx0 vi vi = ρ0 γ 2 = ρ . ds ds c c

Las tres componentes T i0 representan la densidad de flujo de energ´ıa expresada por el vector de Poynting S, de componentes S i : T i0 = • Finalmente:

Si . c3

vi vj 2 vi vj γ = ρ , c2 c2 representa la densidad de flujo de momento lineal. ¿A qué corresponde la divergencia covariante nula de T µν ? En relatividad especial (donde gµν = ηµν ) tal operación se reduce a T µν,ν = 0 y corresponde a la conservación del momento-energ´ıa del fluido, que a la vez incluye su ecuación de movimiento. En efecto, de (2.38) se sigue: T ij = ρ0 ui uj = ρ0

T µν,ν = (ρ0 uν uµ ),ν = (ρ0 uν ),ν uµ + ρ0 uν uµ,ν = 0.

(2.39)

2.

Gravitaci´ on /73

Multiplicando por uµ y con uµ uµ = 1 (de donde uµ,ν uµ = 0) se obtiene: (ρ0 uν ),ν = 0,

(2.40)

de modo que reemplazando (2.40) en (2.39): T µν,ν = ρ0 uν uµ,ν uµ = 0. Con ui = γv i /c y u0 = γ, la u ´ltima expresión conduce a las dos ecuaciones: v · ∇γ +

∂γ = 0, ∂t

v · ∇(γv) +

∂ (γv) = 0. ∂t

(2.41)

Desarrollando las derivadas de la segunda ecuación y reemplazando en ella la primera se obtiene: ∂v v · ∇v + = 0. (2.42) ∂t Esta expresión corresponde a la ecuación de movimiento de un flu´ıdo en ausencia de fuerzas. La ecuación de continuidad (2.40) se expande como: ∂ ρ ρv + = 0. ∇· γ ∂t γ que en vista de la primera de las ecuaciones (2.41) se transforma en: ∇ · (ρv) +

∂ρ = 0, ∂t

(2.43)

que es la forma estandar de la conservación de la masa. Ha de observarse que, con γ = (1 − v 2 /c2 )−1/2 , la primera de las ecuaciones (2.41) conduce a: ∂v = 0, v · v · ∇v + ∂t que se satisface idénticamente, de acuerdo con (2.42). La derivada euleriana de una función Q(r, t) escalar, vectorial o diádica, es: DQ ∂Q X ∂Q dxi ∂Q = + = + v · ∇Q. i dt Dt ∂t ∂x ∂t i Si Q = v se obtiene de (2.42) y (2.44): Dv = 0, Dt

(2.44)


que es la ley de inercia para una porción de fluido. En presencia de fuerzas: ρ

Dv = f. Dt

(2.45)

Si la fuerza es debida a la presión, es decir si f = −∇P , hay un tensor de esfuerzos newtonianos de la forma TPij = P δ ij , con TP00 = 0 y TPi0 = 0 y cuya generalización covariante permite escribir el tensor momento-energ´ıa del fluido en la forma: T µν = ρ0 uµ uν +

P µ ν (u u − g µν ) = ρ0 uµ uν + TPµν = T νµ c2

.

(2.46)

El tensor de presión TPµν = P (uµ uν − g µν /c2 ha sido construido con P , uµ y g de modo tal que genere las ecuaciones no relativistas correctas y se reduzca a TPi0 = 0, TP00 = 0 y TPij = P δ ij en el l´ımite newtoniano. A bajas velocidades T 00 ' ρ0 , T ij ' (ρ0 v i v j + P δ ij )/c2 y ρDv/Dt = −∇P , o de (2.45): ∂v + ρv · (∇v) + ∇P = 0, ρ ∂t que es la ecuación de Euler. Esta es no solo es la ecuación de movimiento sino también la expresión de conservación del momento lineal del fluido; lo dicho toma una forma clara si con la ayuda de (2.43) la anterior ecuación se escribe: µν

∂ (ρv) + ∇ · [ρvv + IP ] = 0, ∂t que tiene la forma de una ley de conservación, la correspondiente al momento lineal. b. De otro lado, el tensor momento-energ´ıa para el campo electromagnético tiene la forma (ver Jackson, ec. 12.113): 1 1 µν µσ ν ρσ T µν = − φ φ − g φ φ , (2.47) ρσ σ 4πc2 4 donde φi0 = Ei y φij = −Bk (c´ıclico) establecen la conexión entre el tensor antisimétrico de campo electromagnético φµν y las componentes Ei y Bi de los campos eléctrico y magnético. Es cierto que T µν,ν = 0, en ausencia de part´ıculas cargadas, es decir si la ecuación de Maxwell de fuentes se reduce a φµν,ν = 0. Para un fluido en presencia de fuerzas (2.39) ha de reemplazarse por: T µν,ν = −

Kµ , c2

(2.48)

donde Kµ es la densidad volumétrica de 4-fuerza. c. En general, toda forma de momento-energ´ıa debe estar incluida en el tensor T µν , excepto la gravitación, pues a la manera de Einstein la gravedad no es un

2.

Gravitaci´ on /75

campo en el espacio-tiempo, es el espacio-tiempo. En relatividad especial la suma de todos los T µν debe satisfacer la condición: T µν,ν = 0, equivalente a la conservación del momento-energ´ıa total. Esto significa que cada una de las fuerzas externas conservativas K µ tiene asociado un tensor T µν .

2.7.

La ecuaci´ on de Einstein

El 25 de noviembre de 1915 en el seminario dirigido por Hilbert en la Universidad de Gottinga, Einstein presentó la forma final de la ecuación que expresa cómo la materia gobierna la estructura del espacio-tiempo, cómo le confiere un caracter riemaniano. Tal ecuación conecta el tensor de Einstein Gµν con el tensor de materia: Gµν = KTµν

(2.49)

En forma del todo equivalente, y de acuerdo con (1.101) puede escribirse: 1 Rµν − gµν R = KTµν . 2

(2.50)

Esta ecuación hab´ıa sido obtenida unos d´ıas antes por Hilbert utilizando el principio de m´ınima acción (ver sección 2.16). • El valor de K, la constante de gravitación de Einstein, puede ser calculado tomando el l´ımite newtoniano de (2.49). • Tanto Gµν como Tµν son tensores simétricos. • En ausencia o en el exterior de materia la ecuación se reduce a Gµν = 0, que permite como solución particular la métrica de Minkowski, aunque también admite métricas no minkowskianas. • Puesto que Gµν;ν = 0, seg´ un (1.102), se sigue que T µν;ν = 0. En la relatividad µν especial la condición T ,ν = 0 representa la conservación del momento-energ´ıa. Pero en la forma covariante general T µν;ν = 0 no se refiere a una ley de conservación (véase también la sección 2.16.3). Lo que T µν;ν = 0 representa es la ecuación de movimiento de un elemento de masa inmerso en el campo métrico. • La ecuación (2.49) contiene términos no lineales y segundas derivadas de g µν . • Se reduce a la ecuación de Poisson en el l´ımite newtoniano, como demostraremos. Esta ecuación, enga˜ nosa como ninguna por su concisión y su estética, encierra detalles hermosos. En principio, dada la simetr´ıa de los tensores que la conforman, son 10 ecuaciones con las que se describirá el campo de gravitación como un campo métrico. Contiene 10 potenciales métricos gµν . En contraste, la ecuación de Poisson para la gravitación newtoniana contiene un solo potencial gravitacional escalar G que


es la primera aproximación del potencial métrico g00 . En efecto, como se verá en la sección siguiente, el mundo gravitacional cotidiano, incluida la ca´ıda de la manzana de Newton y el movimiento de la luna y los planetas puede describirse con muy buena aproximación utilizando el potencial g00 . Los potenciales gµν son la base de la nueva teor´ıa de la gravitación; con ellos se construyen los s´ımbolos de Christoffel, correspondientes en la f´ısica newtoniana a las componentes de la aceleración de gravedad, aunque en la teor´ıa de Einstein su n´ umero sube a 40. En primera aproximación sobreviven tres s´ımbolos de Christoffel. Estos s´ımbolos, como se demostró en la sección 1.6.12 no son tensores, por lo que pueden anularse localmente, caracter´ıstica conocida de la aceleración de gravedad, que desaparece en los laboratorios en ca´ıda libre. El campo de gravedad de Einstein, un objeto tensorial de 20 componentes distintas, es el tensor de Riemann-Christoffel; es él quien porta la información sobre la curvatura del espacio-tiempo. La ecuación que rige el campo de gravitación es no lineal, es decir, la materia deforma el espacio-tiempo en una forma tal que la gravitación producida por ella genera más gravitación, lo que no ocurre con el campo electromagnético EB. La explicación es que mientras el campo EB, producido por cargas eléctricas y por su movimiento, no tiene carga, el campo gravitacional tiene energ´ıa y la energ´ıa gravita; es ella la que deforma el espacio-tiempo. Una vez deformado el espaciotiempo por alguna masa, la densidad de energ´ıa del campo de gravedad es a su vez fuente de gravitación. A su izquierda la ecuación de Einstein (2.49) dice cómo es la geometr´ıa del espacio-tiempo, a su derecha contiene la materia que genera el carácter no minkowskiano del espacio-tiempo. Si el término de la derecha es nulo entonces la ecuación describe la geometr´ıa 4D por fuera de las distribuciones de masa; si es diferente de cero la describe en el interior. En cualquiera de los dos casos la geometr´ıa es no minkowskiana, es decir, el espacio-tiempo es curvo. Sin embargo la ecuación incluye un caso extremo, un universo sin materia, vac´ıo; en tal caso la solución es un espacio de Minkowski. Esto significa, como se anticipó en el cap´ıtulo 1 que hay un trasfondo espacio-temporal por el que la materia no responde. El espacio de Minkowski es previo al mundo material, de un modo enteramente análogo a como el espacio y el tiempo newtonianos preceden ontológicamente a la materia. En s´ıntesis, entonces, la materia solo distorsiona el caracter minkowskiano original y preexistente del espacio-tiempo. Esto hace que la teor´ıa de Einstein introduzca una concepción dual del espacio-tiempo.

2.7.1.

L´ımite newtoniano

La f´ısica newtoniana permite hacer descripciones bastante precisas de los fenómenos mecánicos a nivel cotidiano; su validez sin embargo está restringida a movimientos con baja velocidad, es decir aquellos donde v/c 1. La teor´ıa newto-

2.

Gravitaci´ on /77

niana de la gravitación −por su parte− fue lo bastante precisa como para predecir la existencia del planeta Neptuno. Por otra parte, era conocido desde el siglo XIX que Mercurio presentaba un movimiento de precesión del perihelio no descriptible con exactitud en el contexto de la gravitación newtoniana. Una de las formas en que se intentó remediar esta deficiencia fué cambiando la potencia en la ley de gravitación de 2 a 2,00000016, solución que por su falta de elegancia y su caracter ad-hoc no convenció en su momento. El principio de correspondencia enunciado por Bohr sugiere que cualquier teor´ıa que pretenda reemplazar, ampliar o mejorar a una anterior debe contenerla en alg´ un l´ımite apropiado, aunque esto no suponga que la estructura conceptual de la antigua teor´ıa sea una forma reducida o ingenua recuperable desde la nueva. De este modo la relatividad especial se reduce a la estructura matem´ atica de la f´ısica newtoniana en el l´ımite de bajas velocidades v/c 1. Ahora bien, en las situaciones ordinarias encontradas en los fenómenos gravitacionales no solo las velocidades son bastante peque˜ nas en comparación con la de la luz sino, además, los campos de gravitación son lo suficientemente débiles para hacer que la geometr´ıa del mundo cotidiano sea casi euclidiana. Puede entonces asumirse que la métrica en el entorno del sistema solar difiere de ηµν en una peque˜ na cantidad, lo que equivale a asumir que la ecuación de Einstein puede ser resuelta perturbativamente. As´ı: gµν = ηµν + γµν ,

de donde

g µν = η µν − γ µν ,

como se hizo en la sección 2.4. Multiplicando (2.50) por g µν , con δµµ = 4, se obtiene R = −KT , con T = Tµµ , lo que permite escribir (2.50) en la forma equivalente: 1 (2.51) Rµν = K Tµν − gµν T . 2 En forma expl´ıcita: Rµν =

σ

µσ ,ν

−

σ

µν ,σ

+

ρ σ µσ

ρν

−

ρ σ µν

ρσ

= K Tµν

1 − T 2

.

µ Con gµν = ηµν + γµν es cierto que νσ en su aproximación más baja es de ρ σ orden , por tanto µσ ρν es de orden 2 . Desechando términos de segundo orden y más alto, se sigue que: σ σ Rµν ' µσ − µν . ,ν

,σ

Si se considera la métrica independiente del tiempo, entonces: 3 X σ i 1 R00 = − 00 ,σ = − 00 ,i = − γ00 = − ∇2 γ00 . 2 2 ,ii i=1


Con la ayuda de (2.17) se concluye que: 1 2 ∇ G. (2.52) c2 La anterior es la aproximación de campo débil a la componente 00 de (2.51). El término derecho de la componente √ 00 de (2.51) se evaluará para una masa en reposo; con dx0 = c dt y ds = c dt 1 + γ00 ' c dt de (2.12), se sigue uν = (dx0 /ds, 0, 0, 0) ' (1, 0, 0, 0)). De uν uν = g µν uµ uν = g 00 (u0 )2 = 1, de donde (u0 )2 = (g 00 )−1 = g00 ' 1 + γ00 ' 1. As´ı: R00 = −

T00 = ρ0 (u0 )2 ' ρ0

y

T = T µµ = g µν Tµν = g 00 T00 ' g 00 (ρ0 g00 ) ' ρ0 .

Por tanto:

1 1 K T00 − g00 T ' Kρ0 . (2.53) 2 2 tal que reemplazando (2.52) y (2.53) en (2.51) se obtiene una ecuación de Poisson: 1 (2.54) ∇2 G = − Kρ0 c2 2 Puesto que esta ecuación ha de coincidir con la ecuación (2.5) para el potencial gravitacional newtoniano, entonces K = −8πG/c2 . En unidades MKS la constante K de Einstein tiene el valor 1.86×10−26 m/kg. La ecuación (2.49) tiene entonces la forma: Gµν = −

8πG Tµν c2

(2.55)

equivalentemente: Rµν − 12 gµν R = − 8πG en, de acuerdo con (2.51): c2 Tµν , o tambi´ 8πG 1 (2.56) Rµν = − 2 Tµν − gµν T c 2 Es importante notar que de acuerdo con (2.55) la fuente del campo Gµν es Tµν , mientras de acuerdo con (2.56) la fuente del campo Rµν es Tµν − 21 gµν T . El tensor Rµν , es el responsable de la curvatura del espacio-tiempo, pues es el que determina el escalar de curvatura R en cada punto y en cada instante.

2.8.

La constante cosmol´ ogica

Teniendo en cuenta que seg´ un (1.75) la derivada covariante de gµν es cero, puede adicionarse a la ecuación de Einstein (2.55) el término Λgµν : Gµν + Λgµν = −

8πG Tµν . c2

(2.57)

2.

Gravitaci´ on /79

Tomando la derivada covariante de g σµ Gµν respecto a σ se sigue, como antes, que T σν;σ = 0. La cantidad Λ, conocida como constante cosmol´ ogica, con unidades de m −2 , fue introducida por Einstein en 1917 con el propósito de lograr un modelo estacionario del universo, pues en ese momento supon´ıa –como todo el mundo en su época– que visto a gran escala, es decir cosmológicamente, el universo no presenta variación temporal alguna. El término cosmológico Λgµν puede entenderse como energ´ıa del vac´ıo. Esta interpretación surge de escribir (2.57) en la forma: 8πG 8πG Λc2 8πG v ) = − 2 Teµν . gµν = − 2 (Tµν + Tµν (2.58) Tµν + Gµν = − 2 c 8πG c c

v Escrito en esta forma, Tµν = (Λc2 /8πG) gµν es un tensor de momento-energ´ıa no asociado con la materia sino con el espacio vac´ıo. El tensor Teµν es fuente del campo Gµν , del mismo modo que Teµν − 21 gµν Te es fuente del campo Rµν . Puede también escribirse: 8πG eµν 1 T − gµν Te . (2.59) Rµν = − 2 c 2 En el l´ımite newtoniano la adición del término cosmológico Λgµν modifica la ecuación de Poisson. Teniendo en cuenta que R00 es proporcional a Te00 − 12 g00 Te, que T00 − 21 g00 T ' ρ0 /2 y que de las ecuaciones: v ' Tv00

Λc2 8πG

y

µν v T v = T vµ µ = g Tµν = 4

Λc2 , 8πG

se sigue:

Λc2 1 v ; Tv00 − g00 T v ' − 2 8πG puede concluirse que:

Λc2 ∇2 G = 4πG ρ0 − , 4πG por lo que el vac´ıo tiene una densidad de masa efectiva: ρef = −

Λc2 , 8πG

(2.60)

que es negativa si Λ es positiva. La solución más simple para el potencial, no divergente en el infinito, correspondiente a una masa puntual M , tiene la forma: G=−

GM Λc2 2 − r . r 6


Sobre una part´ıcula de masa m act´ ua entonces, seg´ un la ecuación (2.4), una fuerza gravitacional: F = −m∇G =

GmM mΛc2 r− 3 r3

r,

de modo que, además de la fuerza gravitacional newtoniana, atractiva, hay una fuerza cósmica adicional repulsiva si Λ > 0, y atractiva si Λ < 0. La constante cosmológica ha de ser un n´ umero bastante peque˜ no para que no tenga influencia en la cinemática del sistema solar. La astrof´ısica de galaxias, de c´ umulos globulares y de lentes gravitacionales pone un l´ımite al valor de la constante cosmológica (ver Ohanian-Ruffini, pag. 389): Λ < 4 × 10−35 cm−2 . Conviene anotar que de acuerdo con la expresión para el tensor momento energ´ıa v = (Λc2 /8πG) gµν , este tiene una presión negativa. Esto puede verse del vac´ıo, Tµν v con facilidad si se escribe el tensor en un sistema inercial, caso en el cual T µν = 2 2 2 (Λc /8πG) ηµν , de modo que Tij = P δij = (Λc /8πG)ηij = −(Λc /8πG)δij . Einstein escribió: “Si se hubiese conocido la expansión de Hubble en la época de la creación de la teor´ıa general de la relatividad, jamás se hubiese introducido el término cosmológico”. Sin embargo, la constante cosmológica ha sido reintroducida para intentar dar cuenta de la expansión acelerada del universo descubierta al final del siglo XX.

2.9.

Ley de inercia

En ausencia de fuerzas un punto material se mueve en l´ınea recta con velocidad constante respecto a un sistema de referencia −seg´ un Mach− fijado por la distribución de la materia en el universo; este es un sistema inercial. Siguiendo a Mach, es la materia del universo la que determina una geometr´ıa euclidiana responsable de que un punto material libre se mueva inercialmente. Este mismo movimiento, de acuerdo con Einstein, observado desde un sistema de referencia acelerado sigue siendo inercial; y en acuerdo con el principio de equivalencia, el movimiento en un campo de gravitación es también inercial. En ambos casos se trata de movimiento inercial en un espacio-tiempo curvo. En relatividad general la ley de inercia, vale decir, la ecuación de la geodésica, es una consecuencia de la ecuación del campo métrico. Es decir, la ecuación de campo determina el movimiento de las part´ıculas de prueba. Este comportamiento no ocurre en la teor´ıa newtoniana de la gravitación, ni en la teor´ıa maxwelliana del campo electromagnético, pues de las ecuaciones de Maxwell no se deduce la ecuación de fuerza de Lorentz. En la teor´ıa de Einstein si el tensor T µν contiene solo materia de densidad propia

2.

Gravitaci´ on /81

ρ0 , en forma de polvo de presión nula, entonces: Gµν;ν

= =

T µν;ν = (ρ0 uµ uν );ν = (ρ0 uν );ν uµ + ρ0 uν uµ;ν Duµ = 0. (ρ0 uν );ν uµ + ρ0 Ds

(2.61)

En la segunda l´ınea se ha tenido en cuenta la conexión (1.71) entre el diferencial covariante y la derivada covariante: Duµ = uµ;ν dxν . Ahora, tomando la derivada covariante del producto uµ uµ = 1, se sigue: Duµ µ u = 0. Ds

(2.62)

Esto significa que, al multiplicar (2.61) por uµ , el u ´ltimo sumando se anula, y en consecuencia: (ρ0 uν );ν uµ uµ = (ρ0 uν );ν = 0. De acuerdo con la u ´ltima ecuación ρuν , que puede interpretarse como densidad de momento-energ´ıa, es una cantidad conservada. Al reemplazar este resultado en (2.61) se concluye que: Duµ = 0, (2.63) Ds que, seg´ un (1.71) con Aµ = uµ equivale a: duµ µ ν dxσ + νσ u = 0, ds ds

(2.64)

que es la ecuación de la geodésica (2.13). As´ı pues, un elemento de masa en movimiento en un campo métrico se mueve seg´ un la regla de inercia (2.63). Esto es, en presencia de gravitación −vale decir, en un espacio-tiempo deformado por la materia− una part´ıcula se mueve libremente: la gravitaci´ on no es una fuerza, es un fenómeno métrico. En el espacio-tiempo de Minkowski la expresión T µν;ν = 0 es interpretable como una ley de conservación. En tal caso es posible utilizar un sistema coordenado 4D en el que los s´ımbolos de Christoffel se anulan en todos los puntos. En un espacio-tiempo curvo, en contraste, este interact´ ua con el T µν de los otros campos de modo que puede esperarse que solo una cierta combinación de T µν y del tensor momento-energ´ıa del campo de gravitación se conserve. Estas consideraciones serán desarrolladas en la sección 2.16.3. De acuerdo con Einstein, “ la unidad de la inercia y la gravitación está expresada formalmente por el hecho de que todo el primer miembro de (2.64) tiene un caracter tensorial (respecto a cualquier transformación de coordenadas), pero los dos términos de dicho miembro considerados separadamente no tienen tal carácter.


Análogamente a lo que sucede en las ecuaciones de Newton, el primer término deber´ıa considerarse como la expresión de la inercia y el segundo como la expresión de la gravitación.” Si hay fuerzas presentes sobre una part´ıcula de masa m, la segunda ley de Newton toma la forma: D (muµ ) = K µ . (2.65) Ds Si −en particular− un corp´ usculo de masa m y carga q se mueve en un espacio de Riemann bajo la acción de un campo electromagnético φµν entonces la segunda ley de Newton de movimiento se escribe: D (muµ ) = qφµν uν . Ds Al multiplicar por uµ y como φµν uν uµ = 0, se sigue que ??2.27a) se cumple idénticamente. En forma general: T µν = ρ0 uµ uν +T 0µν donde T 0µν representa el tensor momentoenerg´ıa asociado a todas la fuerzas que act´ uen sobre ρ, exceptuando la gravitación. No hay un tensor T µν para la gravitación pues esta no es una fuerza, aunque como se verá en la sección 2.16.3 es posible construir un seudo-tensor. La expresión T µν;ν = 0 se escribe: T µν;ν = (ρ0 uµ uν );ν + T 0µν;ν = 0. Si Kµ es la densidad volumétrica de fuerza, asociada a T 0µν seg´ un la expresión: Kµ = −T 0µν;ν , la segunda ley de Newton toma la forma: ρ0

2.10.

Duµ = Kµ . Ds

Invarianza gauge

En esta sección se introduce la recalibración en las teor´ıas de Maxwell y Einstein, que da lugar a la condición de Lorentz en electrodinámica y a las condiciones coordenadas en relatividad general.

2.10.1.

Condici´ on de Lorentz

Como estudio previo consideremos el caso electrodinámico en relatividad especial. La conexión entre el tensor de campo electromagnético φµν y el 4-vector potencial Aν tiene la forma: φµν = ∂ µ Aν − ∂ ν Aµ .

(2.66)

2.

Gravitaci´ on /83

De esta expresión se sigue que el campo φµν es invariante bajo la siguiente recalibración del 4-potencial: A0µ = Aµ + ∂ µ η. (2.67) De la ecuación de Maxwell para fuentes, ∂µ φµν = 4πJ ν , reemplazando (2.66) se obtiene la siguiente forma de la ecuación de ondas para potenciales: 2 Aν − ∂ ν (∂µ Aµ ) = 4πJ ν ,

(2.68)

donde 2 ≡ ∂ µ ∂µ es el D’Alembertiano. Aν en (2.67) tiene una indeterminación en ∂ ν η, que puede removerse escogiendo una recalibración particular. Es usual asumir la condición covariante: ∂µ Aµ = 0, (2.69) conocida como gauge de Lorentz. De este modo, dada una solución A µ , con ∂µ Aµ 6= 0, puede construirse otra A0µ = Aµ + ∂µ η tal que ∂µ A0µ = 0. As´ı: ∂µ A0µ = ∂µ Aµ + 2 η = 0.

(2.70)

Puede siempre obtenerse un A0µ que satisfaga ∂µ A0µ = 0 si η es escogido de modo tal que 2 η = ∂µ Aµ . Por tanto, es siempre posible escribir (2.68) en la forma: 2 Aν = 4πJ ν .

(2.71)

La condición de Lorentz restringida corresponde a 2 η = 0 en (2.70), es decir a ∂µ A0µ = ∂µ Aµ = 0.

2.10.2.

Condiciones coordenadas

Ahora bien, en la teor´ıa de gravitación la expresión Gµν = KTµν consta de 10 ecuaciones, dada la simetr´ıa de los tensores de Einstein y de materia. Son ecuaciones diferenciales no lineales para los coeficientes métricos gµν . Estas 10 ecuaciones están ligadas por las 4 condiciones Gµν;ν = 0, lo que hace que haya solo 6 ecuaciones de campo independientes con 10 incógnitas. Hay entonces 4 grados de libertad que 0 corresponden al hecho de que si gµν es solución también lo será otro gµν obtenido por µ 0µ una transformación coordenada general x → x . Esta transformación involucra 4 funciones arbitrarias x0µ = x0µ (xν ). Para eliminar la ambiguedad en la métrica se adopta un sistema de coordenadas particular, imponiendo 4 condiciones coordenadas. La escogencia de De Donder (1921) y Lanczos (1923) es: g µν

λ µν

= 0,

cantidad definida como Γλ . Estas 4 condiciones coordenadas no tienen forma coλ variante, pues µν no es un tensor.


Puede demostrarse que es siempre posible escoger un sistema de coordenadas en el que esta condición se cumpla. En efecto, de la regla de transformación (1.6.1.2): λ 0 µν

=

α ∂xλ ∂xβ ∂x0γ ∂ 2 x0λ ∂xρ ∂xσ + , βγ ∂x0α ∂x0µ ∂xν ∂xσ ∂xρ ∂x0ν ∂x0µ

multiplicando a la izquierda por g 0µν y a la derecha por términos son iguales) se obtiene: Γ0λ =

∂x0µ ∂x0ν σρ ∂xσ ∂xρ g

(ambos

2 0λ ∂x0λ ρ ρσ ∂ x Γ + g , ∂xρ ∂xσ ∂xρ

tal que, si Γρ 6= 0, puede encontrarse un sistema coordenado x0µ en el que Γ0λ = 0, 0λ ρ ρσ ∂ 2 x0λ si la regla de transformación satisface: ∂x ∂xρ Γ = −g ∂xσ ∂xρ . La condición coordenada puede expresarse en una forma más conveniente. Ante todo: λ 1 Γλ = g µν µν = g µν g λσ [µν, σ] = 0. (2.72) 2 Reemplazandop(1.46),p teniendo en cuenta que g µν g λσ gνσ,µ = g νµ g λσ gµσ,ν y que g µν gµν,σ = 2( |g|),σ / |g|, podemos escribir: # " 1 p λ λσ µν Γ = g g gµσ,ν − p ( |g|),σ |g| " # 1 p µν µν λσ (g gµσ ),ν − gµσ g ,ν p ( |g|),σ = g |g| # " p 1 p 1 ν = g λσ (δσ,ν |g|g λν ),ν − gµσ g µν,ν p ( |g|),σ = p . ,ν |g| |g| p |g|g λν = 0. El nombre de arm´ onica En consecuencia, Γλ = 0 equivale a ,ν

para esta condición proviene de que si Γλ = 0, la solución a la ecuación de Laplace para una función escalar será una función armónica. En efecto, de (1.89) se sigue: i p 1 hp 1 λ ( |g|g νλ ),ν φ,λ + |g|g νλ φ,λν = p −Γ φ,λ + g νλ φ,λν , 2 φ = p |g| |g|

de modo que si Γλ = 0 entonces:

1 2 φ = p g νλ φ,λν . |g|

Nótese que el lado derecho de esta ecuación es el laplaciano no covariante. La métrica de Minkowski gµν = ηµν satisface trivialmente la condición Γλ = 0, es decir, las

2.

Gravitaci´ on /85

coordenadas del espacio-tiempo de Minkowski son armónicas. En forma más general, en un sistema de coordenadas armónicas las xµ son soluciones de la ecuación 2 φ = 0 y las cantidades Γλ se anulan.

2.11.

Campo d´ ebil

En la presente sección se obtiene la aproximación lineal del tensor de RicciEinstein que conduce a la existencia de ondas gravitacionales y se estudian los estados de polarización de ondas electromagnéticas y gravitacionales. La sección termina con el estudio del movimiento de part´ıculas en un campo gravitacional ondulante.

2.11.1.

Linealizaci´ on

Para una métrica poco alejada de la minkowskiana es válido asumir, de acuerdo con (2.10) y (2.11), la siguiente expansión perturbativa: gµν = ηµν + γµν

y

g µν = η µν − γ µν .

(2.73)

Teniendo en cuenta que en (1.98) los productos de s´ımbolos de Christoffel son del orden de 2 , y por tanto despreciables en primera aproximación, puede escribirse: µ µ Rνρ = − νρ ,µ = η µν {[νµ, α],ρ − [νρ, α],µ }, νµ ,ρ

donde se ha hecho la aproximación: g µα [νµ, α] ' η µα [νµ, α], puesto que [νµ, α] es de orden . Se sigue: Rνρ

= =

α − γνα,α ρ − γρα,ν α + 2 γνρ } {γ 2 ( α,νρ ) 1 α 1 α α 2 α − γρα, − γ α,ρ + γνρ .(2.74) − γνα, − γ α,ν 2 2 2 ,ρ ,ν

En la anterior ecuación se han subido ´ındices con η µα , no con g µα . Además: 1 1 K Tνρ − gνρ T ' K Tνρ − ηνρ T . 2 2 Reemplazando las dos u ´ltimas expresiones en la ecuación de Einstein (2.51): ( ) 1 α 1 1 α α α 2 − γνα, − γ α,ν − γρα, − γ α,ρ + γνρ ' K Tνρ − ηνρ T . 2 2 2 2 ,ρ ,ν (2.75)


La ecuación de Einstein ha perdido su covarianza general. Habiendo desechado los términos no lineales, es ahora la ecuación linealizada del campo de gravitación. La solución que esta ecuación provee para γµν no es u ńica puesto que pueden todav´ıa realizarse transformaciones de coordenadas en el espacio-tiempo. Estas transformaciones deberán ser infinitesimales ya que transformaciones finitas equivalen a la introducción de campos ficticios finitos, equivalentes a campos gravitacionales, que alteran el caracter perturbativo de (2.73). La transformación más general que mantiene débil el campo es: xµ → xµ + µ (x), donde µ (x) es infinitesimal. Se sigue entonces que: ∂x0µ = δσµ + µ,σ , ∂xσ g 0µν

= '

por lo cual:

∂x0µ ∂x0ν σρ g = (δσµ + µ,σ )(δρν + ν,ρ )(η σρ − γ σρ ) ∂xσ ∂ρ g µν + µ,ν + ν,µ .

(2.76)

Reemplazando (2.73) se concluye que: γ 0µν = γ µν − µ,ν − ν,µ .

(2.77)

Esta transformación mantiene invariante la ecuación linealizada del campo métrico.

2.11.2.

Ondas m´ etricas

Utilizando (2.73) en la condición coordenada (2.72) puede escribirse: (η µν − γ µν )(η λσ − γ λσ )[γµσ,ν + γνσ,µ − γµν,σ ] = 0, de donde se sigue, a primer orden en , que: 1 γ νλ,ν − γ νν,λ = 0. 2

(2.78)

A partir de esta ecuación es fácil ver que los dos paréntesis al lado izquierdo de (2.75) son nulos tal que esta expresión se convierte en una ecuación de ondas para la métrica γνρ ;esto es 2 (γνρ ) = 2KSνρ , o también: 2 gνρ = 2KSνρ ,

(2.79)

donde Sνρ = Tνρ − 21 ηνρ T describe las fuentes del campo. As´ı pues, la métrica gνρ para campo débil satisface la ecuación de ondas, siendo c su velocidad de propagación.

2.

Gravitaci´ on /87

La solución a la ecuación de ondas para una fuente localizada en espacio-tiempo con fronteras lejanas es: Z Sνρ (r0 , t − |r − r0 |/c) K dV 0 . gνρ (x) = 2π |r − r0 |

A esta puede a˜ nad´ırsele la solución a la ecuación homogénea. Como se sigue de esta ecuación, a´ un en primera aproximación la estructura del campo de gravitación de Einstein difiere de la newtoniana. No solo porque el potencial gravitacional no es un escalar sino un tensor, sino también porque el campo métrico se propaga a la velocidad de la luz. La teor´ıa newtoniana se reproduce con g00 . Ahora bien, en el exterior, o en ausencia de fuentes, es cierto que 2 gνρ = 0, de modo que, aparentemente, la métrica del espacio-tiempo ondula y su ondulación se propaga a la misma velocidad que la luz en el vac´ıo, al menos cuando el alejamiento de la métrica minkowskiana es peque˜ no. Hay que tener en cuenta, sin embargo, que gνρ está asociado, por la condición de recalibración (2.78) a un cierto sistema coordenado, de modo que la ecuación (2.79) no es invariante bajo una transformación general de coordenadas; esto implica entonces que tal vez gνρ pueda reducirse en algunos casos a la métrica de Minkowski, lo que demostrar´ıa que no se trata entonces de un espacio-tiempo ondulante, de una onda gravitacional genuina, sino solo de un “fenómeno matemático” asociado a una particular escogencia de coordenadas. Las cantidades γνρ y gνρ dependen del gauge escogido, es decir, de la condición coordenada, lo que no ocurre con Rµνσρ . En la aproximación de campo débil: µ µ Rµνσρ = νσ ,ρ − νρ ,σ = {γ µσ,νρ − γνσ, µ ρ − γρσ,ν µ + γνρ,σ µ }. 2 Tomando el D’Alembertiano y recordando que 2 gνρ = 0 en espacio libre, puede concluirse que: 2 Rµνσρ = 0. (2.80)

De modo que el tensor de Riemann-Christoffel, que provee un criterio absoluto para la existencia de un espacio-tiempo curvo −vale decir de un campo gravitacional− satisface la ecuación de ondas. No hay que confiar en una métrica que ondule, pues bien podr´ıa la ondulación anularse con un simple cambio de sistema coordenado en el espacio-tiempo, es decir con una recalibración. Por esto, si al menos algunas componentes de Rµνσρ son diferentes de cero y satisfacen (2.80) entonces la onda de espacio-tiempo (la onda gravitacional) es un objeto f´ısico. En un espacio-tiempo plano como el de Minkowski no hay ondas gravitacionales en ning´ un sistema de referencia.

2.11.3.

Ondas electromagn´ eticas planas

Antes de realizar un estudio detallado de las ondas gravitacionales, conviene estudiar las ondas electromagnéticas planas. De acuerdo con la sección 2.10.1, en el


gauge de Lorentz (∂µ Aµ = 0) la ecuación de ondas para potenciales en el exterior de fuentes o en ausencia de cargas y corrientes se escribe: 2 Aν = 0. Este es un σ campo de radiación. Reemplazando la solución de onda plana Aν = aν eikσ x en ν (2.69) y (2.71) con J = 0 se obtiene, respectivamente: kν a ν = 0

kν k ν = 0.

y

En principio hay 4 componentes aν . La condición kν aν = 0 hace que solo tres sean independientes. Pero puede probarse que después de una transformación gauge restringida quedan solo dos independientes. En efecto, sea la recalibración A 0ν = σ Aν + ∂ν η, con η = η0 eikσ x , que satisface 2 η = 0. Resulta entonces: σ

σ

A0ν = (aν + ikν η0 )eikσ x = a0ν eikσ x .

(2.81)

En particular, considérese una onda plana que viaja en dirección z. Esto es k µ = (k 0 , 0, 0, k) o kµ = (k0 , 0, 0, −k). Como kµ k µ = 0 se sigue k 0 = k0 = k. De otro lado, de k ν aν = 0 y k ν a0ν = 0 se sigue: a0 = −a3 y a00 = −a03 . Y puesto que a0ν = aν + ikν η0 , es cierto que: a03 = a3 − ikη0 ,

a00 = a0 + ikη0 , a01 = a1

y

a02 = a2 ,

como η0 es arbitrario puede escogerse η0 = a3 /ik, con lo cual: a03 = a00 = 0, a01 = a1 y a02 = a2 . Esto muestra que a1 y a2 no son modificados por la transformación gauge restringida y solo ellos portan significado f´ısico; corresponden a la amplitud de una onda transversa. La onda longitudinal asociada a a3 no tiene sentido f´ısico, pues es eliminable por recalibración, la que permite escoger a03 = 0. Entonces, de (2.81): σ

σ

A0ν = (aν + ikν η0 )eikσ x = (aν + kν a3 /k) eikσ x ; en componentes: σ

A00 = (a0 + a3 )eikσ x = 0, σ A01 = a1 eikσ x , σ

A02 = a2 eikσ x , σ A03 = (a3 − a3 )eikσ x = 0. La componente A01 se convierte en A02 por rotación de 90◦ alrededor del eje z. Una rotación por un ańgulo θ alrededor de la dirección de propagación transforma los ejes en la forma: x0 = x cos θ + y sen θ y y 0 = −x sen θ + y cos θ. Si se define el vector de polarización circular ˆ e± en la forma: ˆ e± = ˆ e1 ∓ ˆ e2 , donde ˆ e1 y ˆ e2 van a lo largo de los ejes x y y, bajo rotación se convierte en: ˆ e0± = e±iθ ˆ e± ,

(2.82)

2.

Gravitaci´ on /89

e3 . mientras ˆ e3 se mantiene inalterado bajo la rotación: ˆ e03 = ˆ En forma general, si una función de onda ψ se transforma bajo rotación por un ańgulo θ −alrededor de la dirección de propagación− en la forma: ψ 0 = eihθ ψ, se dice que la onda tiene helicidad h. As´ı, las ondas electromagnéticas pueden descomponerse en partes con helicidades ±1 y 0. Sólo las de helicidad ±1 son significativas f´ısicamente, las de helicidad cero son eliminables por recalibración. 2.11.3.1.

Onda potencial ficticia σ

Como consecuencia de lo anterior se sigue que la onda de potencial Aν = aν eikσ x con aν = (a0 , 0, 0, a3 ) y k ν = (k 0 , 0, 0, k 3 ) es anulable por transformación gauge. Vale decir que asociada a esta onda no hay un campo electromagnético. En efecto, de (2.81) con η0 = −a0 /ik 0 se sigue A0ν = 0.

2.11.4.

Ondas gravitacionales planas

La ecuación de ondas libres de espacio-tiempo, en la aproximación de campo débil, es 2 γ µν = 0 y la condición coordenada se escribe 2γ µν,µ −γ µµ,ν = 0. Para una σ onda gravitacional plana γ µν = aµν eikσ x , con aµν = aνµ . Se sigue, reemplazando en las dos anteriores: kµ k µ = 0

y

2kµ aµν − kν aµµ = 0.

(2.83)

Hay en principio 10 componentes de aµν ; la condición coordenada provee 4 condiciones entre ellas, de modo que quedan 6 independientes que se reducen a 2 por transformación gauge. Sea entonces la transformación de coordenadas x0µ = xµ + µ (x); la métrica es entonces, de acuerdo con (2.73) y haciendo = 1: γ 0µν = γ µν − µ,ν − ν,µ . Si se σ escoge µ = aµ eikσ x , que satisface 2 µ = 0 se obtiene: σ

σ

γ 0µν = (aµν − iaµ k ν − iaν k µ )eikσ x = a0µν eikσ x , que satisface 2 γ 0µν = 0. Se sigue: a0µν = aµν − i(aµ k ν + aν k µ ),

(2.84)

a0µν = aµν − i(aµ kν + k µ aν );

(2.85)

o también: reemplazando a

µν

de (2.85) en la condición coordenada (2.83) se obtiene:

2kµ (a0µν + iaµ kν + ik µ aν ) − kν (a0µµ + 2iaµ kµ ) = 0, que da lugar a:


2kµ a0µν − kν a0µµ = 0,

(2.86)

expresión que tiene la forma (2.83), con primas. Para una onda que viaja en dirección z es cierto que k µ = (k 0 , 0, 0, k) y k 0 = k0 = k, de modo que reemplazando en (2.83) escrita como 2kµ η µσ aσν − kν η µσ aσµ = 0 se sigue, para ν =0,1,2,3, respectivamente y con aµµ = a00 − a11 − a22 − a33 : 2a00 + 2a30 = η µσ aµσ a10 = −a31

−2a30 − 2a33 = η µσ aµσ a20 = −a32

.

restando las dos primeras se obtiene 2a03 = −a33 − a00 , y reemplazando en la primera se concluye que a22 = −a11 . As´ı, los cuatro coeficientes ai0 y a22 se expresan en función de los demás, quedando hasta ahora 6 independientes. Una recalibración espec´ıfica basada en la escogencia de algunos valores de aν reduce este n´ umero a dos. Basta escribir expl´ıcitamente (2.84), después de bajar los sub´ındices: a011 a012 a023 a022 a020

= a11 = a12 = a23 + ia2 k0 = −a11 =0

a000 a013 a033 a010 a030

= a00 − 2ia0 k0 = a13 + ia1 k0 = a33 + 2ia3 k0 =0 =0

Es fácil verificar que los 4 coeficientes a000 , a013 , a023 y a033 se anulan si se escogen a0 = a00 /2ik0 y ai = −ai3 /ik0 . En s´ıntesis, después de la transformación son diferentes de cero solo a011 , a012 (= a021 ) y a022 (= −a11 = a011 ), que son entonces los u ńicos que tienen significado f´ısico, pues son invariantes bajo la transformación gauge. Hay solo dos coeficientes diferentes: a011 y a012 . Entonces, los elementos de la 0 0 métrica gµν = ηµν + γµν (z, t) de una onda plana de espacio-tiempo son: 

0  0 0 {gµν (z, t)} =   0 0

0 −1 0 0

0 0 −1 0

  1 0  0 0  + 0   0 0 −1

0 a011 a012 0

0 a012 −a011 0

 0 0   eik(ct−z) 0  0

Obsérvese que las componentes de la métrica que tienen ´ındices temporales, (g00 , g0i ), no ondulan. La parte espacial de la anterior ecuación puede escribirse como la d´ıada: G = −I + [γ11ˆ e1 ˆ e1 + γ12ˆ e1 ˆ e2 + γ21ˆ e2 ˆ e1 + γ22ˆ e2 ˆ e2 ]eik(ct−z) , y como γ22 = −γ11 y γ21 = γ12 : G = −I + [γ11 (ˆ e1 ˆ e1 − ˆ e2 ˆ e2 ) + γ12 (ˆ e1 ˆ e2 + ˆ e2 ˆ e1 )]eik(ct−z) .

2.

Gravitaci´ on /91

Si se definen γ+ = γ11 − iγ12 y γ− = γ11 + iγ12 , se sigue: G = −I + [γ+ ˆ e+ ˆ e+ + γ− ˆ e− ˆ e− ]eik(ct−z), donde ˆ e± = ˆ e1 ± iˆ e2 . Utilizando (2.82) es fácil ver que ˆ e± ˆ e± se transforma de acuerdo a la regla: ˆ e0± ˆ e0± = ˆ e± ˆ e± e∓2iθ , lo que implica que una onda gravitacional tiene helicidad ±2. Las demás componentes, que tienen helicidades ±1 y 0, se han eliminado por transformación coordenada. Se dice entonces que las ondas de gravedad tienen spin 2. 2.11.4.1.

Elemento de l´ınea ondulante

El elemento diferencial de l´ınea en un campo métrico débil tiene la forma: ds2 = gµν dxµ dxν = (ηµν + γµν )dxµ dxν . Si el campo métrico ondula y la onda viaja en dirección z, entonces, en acuerdo con la subsección anterior: ds2 = c2 dt2 − dx2 (1 − γ11 ) − dy 2 (1 + γ11 ) − dz 2 + 2γ12 dx dy. En este elemento de l´ınea se observa que los coeficientes γij ondulan pero no los elementos diferenciales de coordenadas. Vale decir, que la red coordenada es est´ atica y que el cambio en ds se debe al cambio con el tiempo de los coeficientes g µν . Dos casos importantes pueden ser analizados aqu´ı: • Si γ12 = 0 entonces: ds2 = c2 dt2 − dx2 (1 − γ11 ) − dy 2 (1 + γ11 ) − dz 2 . • Si γ11 = 0 entonces: ds2 = c2 dt2 − dx2 − dy 2 − dz 2 + 2γ12 dx dy. Si se impone sobre el segundo ds la transformación: x = x0 cos θ − y 0 sen θ, y = x0 sen θ + y 0 cos θ, se puede probar con facilidad que, si θ = 45◦ , entonces: ds2 = c2 dt2 − dx2 (1 − γ12 ) − dy 2 (1 + γ12 ) − dz 2 . que tiene la forma del primer ds. Ambos ds coinciden si las amplitudes γ 11 y γ12 son iguales. Esto significa que una onda gravitacional tiene simetr´ıa de 45 ◦ bajo rotación respecto a la dirección de propagación z (véanse las figuras 2.6 y 2.7).


•

• •

•

•

•

• •

• •

• •

•

•

•

•

•

• a

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

× •

•

•

+ •

•

•

•

•

b

•

Figura 2.6: Ciclo completo de deformaciones experimentadas por un anillo de part´ıculas en reposo cuando es alcanzado perpendicularmente por una onda gravitacional plana, para a. polarizaci´ on +, b, polarizaci´ on ×

a

b

Figura 2.7: Campo de mareas para una onda gravitacional en el modo + con a. ωt = 0, b. ωt = π/2. El modo × se obtiene girando las anteriores gr´ aficas 45 o

2.11.4.2.

Movimiento de una part´ıcula de prueba

Supóngase ahora que una part´ıcula de prueba se coloca en el campo de una onda métrica que viaja en z. Teniendo en cuenta que solo γ11 (= γ22 ) y γ12 son diferentes de cero, es directo evaluar la geodésica. De (2.13): µ x ¨µ + νσ x˙ ν x˙ σ = 0. (2.87) y en el l´ımite de bajas velocidades se sigue, para µ = 0 y µ = i, respectivamente: 0 x ¨0 + 2 νσ x˙ ν x˙ σ = 0 y i x ï + 2 νσ x˙ ν x˙ σ = 0;

2.

Gravitaci´ on /93

i con γ0µ,σ = γσµ,0 = 0, se sigue: 0σ = 21 γσ i, 0 . Los demás s´ımbolos de Christoffel son cero. As´ı pues x ¨0 = 0, de donde x˙ 0 = 1, y: ï + γj i ,0 x˙ j = 0, x ï + γσ i ,0 x˙ σ = x y como x˙ j = dxj /ds ' dxj /c dt = v j /c y x ¨j ' aj /c2 se sigue entonces que j la aceleración a de la part´ıcula de prueba es: aj = −cγj i ,0 v j = c η ik γjk,0 v j . En componentes: a3 = 0 ∂γ11 ∂γ12 ∂γ11 1 ∂γ12 2 v + v = ˆ e1 + ˆ e2 · v a1 = ∂t ∂t ∂t ∂t ∂γ12 1 ∂γ11 2 ∂γ12 ∂γ11 a2 = v − v = ˆ e1 − ˆ e2 · v. ∂t ∂t ∂t ∂t En forma vectorial: a

∂γ11 ∂γ12 (ˆ e1 ˆ e1 − ˆ e2 ˆ e2 ) + (ˆ e1 ˆ e2 + ˆ e2 ˆ e1 ) · v = ˆ e 1 a1 + ˆ e 2 a2 = ∂t ∂t ∂γ11 ∂γ12 = E1 + E2 · v. ∂t ∂t

E1 y E2 son d´ıadas de polarización lineal; satisfacen E1 : E2 = 0. Hay dos estados de polarización lineal independientes. De otro lado, E+ = ˆ e+ ˆ e+ y E− = ˆ e− ˆ e− son d´ıadas de polarización circular. Es cierto que E+ = E1 +iE2 y E− = E1 −iE2 = E∗+ . 2.11.4.3.

Ondas gravitacionales genuinas y ficticias

Para la onda gravitacional plana de la sección 2.11.4 es interesante estudiar la posibilidad de la existencia de una transformación x0µ = xµ + µ (x) que convierta la métrica en la de Minkowski. Lo que se pretende con este ensayo es saber si es posible anular un campo gravitacional débil ondulante con una transformación coordenada débil; dicho de otro modo, se quiere que una fuerza “ficticia” anule una gravitacional, lo que, en principio y al menos localmente, es factible de acuerdo con el principio de equivalencia. Si en (2.76) el coeficiente métrico g 0µν en el nuevo sistema es minkowskiano 0µν (g = η µν ), mientras la métrica en el sistema original es ondulatoria (g µν = σ µν η − aµν eikσ x ), se obtiene: σ

aµν eikσ x = µ,ν + ν,µ , σ

lo que indica que µ ondula, esto es, µ = aµ eikσ x . As´ı pues, la condición que debe satisfacerse para que una onda gravitacional plana sea convertible en métrica de Minkowski es: aµν = i(aµ k ν + aν k µ ), (2.88)


que equivale a (2.84) con a0µν = 0. Las ondas gravitacionales anulables por transformaciones coordenadas son ficticias, las no anulables son genuinas. Ejemplos: a. La onda analizada en la secci´ on 2.11.4 con componentes no nulas a 11 = −a22 , a12 = a21 y que viaja en direcci´ on z, no satisface la condici´ on (2.88), de modo que es una onda gravitacional genuina, no eliminable por transformaci´ on. Esto puede verse m´ as claro si se calcula el tensor de Riemann para la onda en el l´ımite de campo d´ ebil. Resulta que: σ 1 Rµνσρ = − [aσµ kν kρ − aνσ kµ kρ − aρµ kν kσ + aνρ kµ kσ ]eikσ x , 2

de donde, en particular: R0120 =

σ 1 a12 k0 k0 eikσ x 2

y

R3120 =

σ 1 a12 k3 k0 eikσ x . 2

Puesto que Rµνσρ es un tensor, y por lo menos algunas de sus componentes son diferentes de cero, no existe un sistema coordenado en 4D donde todas sus componentes se anulen. En consecuencia el campo m´ etrico de esta onda es curvo y ondula. Es una onda gravitacional genuina. b. Para una onda que viaja a lo largo del eje z es cierto que k µ = (k, 0, 0, k). Si aµ = (a, 0, 0, a), entonces, reemplazando en (2.88) se obtiene:   00 a 0 0 a03   0 0 0 0 . {aµν } =    0 0 0 0 a30 0 0 a00

Puesto que se satisface (2.88) es posible una transformaci´ on que aplane la σ m´ etrica. Esta transformaci´ on es: x0µ = xµ + aµ eikσ x . Como se ve, la ondulaci´ on de la m´ etrica ha sido cancelada pasando a coordenadas ondulantes. F´ acilmente se comprueba que en el nuevo sistema Rµνσρ = 0. La onda que ha sido analizada es ficticia, eliminable por tanto, como los campos ficticios, por una transformaci´ on coordenada en 4D. Esta onda es el an´ alogo gravitacional de la onda electromagn´ etica ficticia estudiada en la subsecci´ on 2.11.3.1.

2.12.

C´ alculos basados en el elemento de l´ınea

En las siguientes subsecciones diversos cálculos son realizados utilizando solo el elemento de l´ınea sin el auxilio de la ecuación de Einstein para el campo métrico.

2.12.1.

El elemento de l´ınea

El elemento de l´ınea en el espacio-tiempo puede expandirse en sus componentes espaciales, temporal y espacio-temporales; un simple reagrupamiento permite aislar

2.

Gravitaci´ on /95

la coordenada temporal y definir el elemento de l´ınea espacial. As´ı: ds2

= g00 (dx0 ) + 2gi0 dxi dx0 + gij dxi dxj 2gi0 i 0 0 2 = g00 (dx ) + dx dx + gij dxi dxj g00 2 gi0 gj0 gi0 i + gij − dx dxi dxj . = g00 dx0 + g00 g00

Si se define un nuevo diferencial temporal dx∗0 , nuevos coeficientes métricos ∗ espaciales gij y el elemento de l´ınea espacial dl en la forma: gi0 i dx , g00 gi0 gj0 ∗ , = gij − gij g00 ∗ dxi dxj , dl2 = −gij dx∗0 = dx0 +

(2.89)

el elemento de l´ınea puede escribirse: ∗ ds2 = g00 (dx∗0 )2 + gij dxi dxj = g00 (dx∗0 )2 − dl2 .

(2.90)

La velocidad 3D se define en la forma: vi = √

c dxi g00 dx∗0

o

cgij dxi vi = gij v j = √ . g00 dx∗0

(2.91)

Ha de notarse con cuidado que la definición de velocidad tridimensional contiene dx∗0 y no la coordenada temporal original dx0 , y también a g00 ; esto hace que la definición no sea covariante, aunque se reduce a la definición usual de la cinemática newtoniana para campos débiles. El elemento ds2 en (2.90) se escribe ahora: ∗ i j gij dxi dxj ∗0 2 ∗ v v ds2 = g00 (dx∗0 )2 1 + = g (dx ) 1 + g . 00 ij g00 dx∗0 dx∗0 c2 ∗ i j 2 Se tendrá en cuenta a continuación que 1+(gij v )v /c = 1+vj v j /c2 = 1−v 2 /c2 , donde el signo “menos” anticipa el hecho de que el corchete debe reducirse a 1−v 2 /c2 ∗ en el l´ımite de bajas velocidades, pues gij se reduce a −δij ; entonces: g00 v2 (2.92) ds2 = g00 (dx∗0 )2 1 − 2 = 2 (dx∗0 )2 . c γ

En lo anterior, se ha definido γ = (1 − v 2 /c2 )−1/2 . De (2.92) se concluye que, para la luz, ds = 0 equivale a v = c. Este u ´ltimo resultado depende crucialmente de la definición (2.91).


2.12.2.

Clasificaci´ on de los 4-vectores

En perfecta analog´ıa con la descomposición del elemento de l´ınea realizada en la sección anterior es cierto que: ∗ i j AA , A2 = gµν Aµ Aν = g00 (A∗0 )2 + gij

A∗0 = A0 +

gi0 i A g00

y

∗ gij = gij −

donde:

gi0 gj0 . g00

Un 4-vector se llama luminoide si A2 = 0, caso en el cual sus partes espacial y ∗ i j temporal son iguales: g00 (A∗0 )2 = −gij AA 2 ∗ i j Se llama espacialoide si A < 0. En este caso g00 (A∗0 )2 < gij A A y puede ∗0 encontrarse un sistema de coordenadas en 4D donde A = 0, reduciéndose as´ı el 4-vector a su parte espacial. ∗ i j Y se llama temporaloide si g00 (A∗0 )2 > gij A A ; existe un sistema de coordenadas en 4D en el que el 4-vector se reduce a su parte temporal, es decir, donde dxi = 0.

2.12.3.

La 4-velocidad

La velocidad de un punto en el espacio-tiempo curvo se define como: uν = x˙ ν =

γ dxν dxν =√ , ds g00 dx∗0

donde se ha tenido en cuenta la forma de ds dada por (2.92); también: u ν = gνµ uµ . Las componentes espaciales y temporal de la 4-velocidad son: ui u0

γ dxi vi = x˙ i = √ = γ, ∗0 g00 dx c γ dx0 gi0 i γ 1 ∗0 = x˙ 0 = √ = dx − dx √ g00 dx∗0 g00 g00 dx∗0 1 v i gi0 . = γ √ − g00 c g00

As´ı pues, en componentes, la 4-velocidad se escribe: 1 v i gi0 v uν = γ √ − , . g00 c g00 c Partiendo de uν = gνµ uµ es directo concluir que: j gi0 √ ∗ v uν = γ g00 , √ . + gij g00 c

(2.93)

(2.94)

2.

Gravitaci´ on /97

Fácilmente se comprueba que uν uν = 1.

2.12.4.

Teorema 1:

∗ ∗ jk Para los coeficientes gij y g jk (véase ecuación (2.89)) es cierto que: gij g = δik . νσ σ En efecto, de gµν g = δµ se sigue, con µ, σ = i, k y µ, σ = 0, k, respectivamente:

giν g νk = gi0 g 0k + gij g jk = δik , g0ν g νk = g00 g 0k + g0j g jk = 0. De la segunda ecuación: g 0k = −g0j g jk /g00 , y reemplazando en la primera se sigue, haciendo uso de (2.89): gi0 gj0 ∗ = δik . g jk gij − = g jk gij g00

2.12.5.

Teorema 2:

Mediante la redefinición de la coordenada temporal propuesta en (2.89) es siem∗ pre posible pasar de S a un sistema de referencia S ∗ donde gi0 = 0. Se demuestra a continuación que las siguientes relaciones corresponden a una transformación de coordenadas en 4-D: gi0 i dx∗0 = dx0 + dx , g00 dx∗i = dxi , ∗ = g00 , (2.95) g00 gi0 gj0 ∗ gij = gij − , g00 ∗ = 0. gi0 De la regla de transformación entre los sistemas S y S ∗ : ∂x∗µ ν dx se sigue: ∂xν ∂x∗0 0 ∂x∗0 i dx∗0 = dx + dx y ∂x0 ∂xi ∂x∗i 0 ∂x∗i j dx + dx . dx∗i = ∂x0 ∂xj dx∗µ =

Comparando con las dos primeras ecuaciones (2.95) se obtiene: ∂x∗0 = 1, ∂x0

∂x∗0 gi0 , = ∂xi g00

∂x∗i = 0, ∂x0

∂x∗i = δji . ∂xj


Si en verdad estos son los coeficientes de la transformación entonces de ellos deben obtenerse las tres u ´ltimas ecuaciones de (2.95). As´ı pues, de la regla de transformación para los coeficientes métricos: ∂x∗σ ∂x∗ρ ∗ g puede concluirse que: ∂xµ ∂xν σρ ∗ g00 = g00 , gi0 ∗ ∗ ∗ ∗ g0i = g + g0i = g0i + g0i , por lo cual: g0i = 0, g00 00 gi0 gj0 gi0 gj0 ∗ ∗ = gij − , de donde: gij + gij . gij = g00 g00 gµν =

coincidentes con las tres u ´ltimas ecuaciones de (2.95), lo que demuestra que la redefinición propuesta para el diferencial temporal, con dx∗i = dxi , es una transformación coordenada en 4D.

2.12.6.

Simultaneidad

De acuerdo con la transformación de Lorentz, para un intervalo temporal medido en dos sistemas de referencia S y S 0 en movimiento relativo uniforme, es cierto que: v∆x 1 0 ∆t − 2 . ∆t = p c 1 − v 2 /c2

Si la simultaneidad de dos eventos se define como separación temporal nula entre ellos, de esta expresión puede concluirse que dos eventos p que son simultáneos en S (∆t = 0) no lo son en S 0 , pues ∆t0 = −(v∆x/c2 )/ 1 − v 2 /c2 . En relatividad especial la simultaneidad no es una noción invariante. En relatividad general −por definición− de dos eventos que ocurren en puntos diferentes del espacio y en el mismo sistema de referencia, se dice que son simultáneos si dx∗0 = 0, esto es, de la primera ecuación en (2.89), si dx0 = −

gi0 i dx . g00

Para justificar esta definición basta observar que en el elemento de l´ınea (2.90) los dos extremos de una varilla espacial han de ser determinados simult´ aneamente para obtener su longitud dl. As´ı, el intervalo es puramente espacial (ds 2 = −dl2 ) si dx∗0 = 0. La distancia infinitesimal entre dos puntos espaciales, determinados simultáneamente, se define consecuentemente como: gi0 gj0 ∗ dxi dxj . dl2 = −gij dxi dxj = − gij − g00

2.

Gravitaci´ on /99

∗ ∗ gij es la métrica del espacio, gµν es la métrica del espacio-tiempo; la métrica gij permite obtener las caracter´ısticas de la geometr´ıa espacial. De ella puede concluirse la euclidianidad o curvatura del espacio f´ısico tridimensional. Una aplicación interesante se refiere al sistema rotante de la sección 2.4.2. Utilizando la métrica (2.24) es posible reescribir el elemento de l´ınea en la forma: ∗2 r2 dϕ2 2 2 2 2 2 2 ds = 1 − ω r /c dt − dr + dz + = 1 − ω 2 r2 /c2 dt∗2 − dl2 , 2 2 2 1 − ω r /c

donde, de la ecuación (2.95):

dt∗ = dt −

ωr2 dϕ . c2 (1 − ω 2 r2 /c2 )

Del elemento de l´ınea se sigue que la longitud de una circunferencia en el sistema rotante es: Z Z 2πr rdϕ p =p , C = dlϕ = 1 − ω 2 r2 /c2 1 − ω 2 r2 /c2 y su diámetro es D = 2r, de modo que:

π C =p > π, D 1 − ω 2 r2 /c2

lo que significa que la geometr´ıa del espacio 3D en un sistema rotante es hiperbólica. En este disco rotante la suma de los ańgulos de un triángulo es menor de 180 ◦ . El tensor de Riemann para el espacio 3D es: R∗ijkl =

i ∗

jk ,l

i ∗ jk

−

i ∗

jl ,k

+

m ∗ i ∗ jk

= g ∗im [jk, m]∗ =

ml

−

m ∗ i ∗ jl

mk

,

de donde:

1 ∗im ∗ ∗ ∗ ). − gjk,m g (gjm,k + gkm,j 2

∗jk ∗ ∗ A partir de R∗ijkl puede evaluarse Rjk = R∗ijil y R∗ = gjk Rjk . El n´ umero de ∗i 2 2 componentes distintas de R jkl es n (n − 1)/12 = 6, donde n = 3. Es posible que aunque un espacio-tiempo sea plano, la geometr´ıa del espacio 3D sea curva. Es lo que ocurre con el sistema rotante. En el espacio de Minkowski todas las componentes del tensor de Riemann Rµνσρ son cero, y permanecen cero cuando se realiza una transformación a un sistema rotante, en el cual, sin embargo, la geometr´ıa espacial es curva, esto es R∗ijkl 6= 0. De la expresión variacional: Z Z ∗ δ dl = δ gij dxi dxj = 0,


se obtiene la ecuación de las geodésicas en un subespacio 3D del espacio-tiempo, constituido por puntos simultáneos: i ∗ x ï + jk x˙ j x˙ k = 0.

2.12.7.

Tiempo propio

En relatividad general no hay restricción sobre la escogencia de sistema de coordenadas, por lo cual conviene preguntarse sobre la relación entre coordenadas, distancia y tiempo. El elemento de l´ınea provee la separación espacio-temporal coordenada entre dos eventos separados infinitesimalmente. Si estos eventos, para cierto observador, tienen lugar en el mismo punto del espacio (dxi = 0), entonces el intervalo ds da el tiempo propio. As´ı, entre dos puntos cuya separación espacial es nula, y de acuerdo con (2.90) y la primera de las ecuaciones (2.89), el elemento de l´ınea toma la forma: ds2 = g00 (dx∗0 )2 = g00 (dx0 )2 = c2 dτ 2 , de modo que el intervalo de tiempo propio dτ es: dτ =

1√ g00 dx0 . c

(2.96)

dx0 puede interpretarse fácilmente si se piensa en relojes colocados en lugares lejanos a las masas, donde se espera que la métrica sea cercana a la de Minkowski (g 00 = 1). Esto es: dτ = dx0 /c, de modo que el tiempo coordenado dx0 es el tiempo propio medido por observadores lejos de las masas gravitantes.

2.12.8.

Efecto Doppler gravitacional

De acuerdo con la teor´ıa, ds2 es invariante local bajo transformaciones coordenadas en el espacio-tiempo. También lo es, en consecuencia, el tiempo propio. La dependencia de dτ respecto a la posici´ on se encuentra en el g00 de (2.96). En contraste, dx0 tiene un significado independiente de la posición espacial como se ve del papel de variables independientes que juegan las coordenadas xµ al describir el continuo espacio-temporal. As´ı pues, en puntos diferentes en el mismo sistema coordenado, ds(1) y ds(2) no son iguales puesto que, para el mismo dx0 , el coeficiente g00 depende de la localización. As´ı como dos arcos de la misma abertura dθ tienen diferente medida si el radio es diferente, as´ı dτ (1) 6= dτ (2) para el mismo dx 0 . La medida de arcos de la misma p abertura depende de p su radio. As´ı pues, de dτ (1) = g00 (1) dx0 y dτ (2) = g00 (2) dx0 se sigue: p g00 (1) dτ (1) =p . (2.97) dτ (2) g00 (2)

2.

Gravitaci´ on /101

Si dτ es el intervalo entre el “tic” y el “tac” de un reloj, entonces su frecuencia se define como ν = 1/dτ , con lo cual: ν(2) dτ (1) = = ν(1) dτ (2)

s

ν(2) = ν(1)

g00 (1) , g00 (2)

s

g00 (1) g00 (2)

y as´ı :

.

(2.98)

Esta frecuencia bien puede corresponder a la de ondas luminosas, caso en el cual se genera el efecto Doppler gravitacional. Ejemplos: 1. Un rayo de luz viaja desde la superficie de una estrella de radio R hasta un observador terrestre (v´ ease figura 2.8). Sea ν(2) la frecuencia detectada en la superficie terrestre y ν(1) la emitida; de (2.18) se sigue: g00 (1) ' 1 +

2GM 2G =1− 2 , c2 c R

y se asume que g00 (2) ' 1, pues el campo terrestre es muy d´ ebil en comparaci´ on con el de la estrella; de (2.98) puede escribirse: r 2GM GM . ' ν(1) 1 − 2 ν(2) = ν(1) 1 − 2 c R c R As´ı, ν(2) < ν(1), lo que implica que hay un corrimiento al rojo en la luz detectada. En el caso de la compa˜ nera densa de Sirio el valor medido del cambio fraccional en la longitud de onda es ∆λ/λ ' 6 × 10−6 , coincidente con la previsi´ on de la relatividad general.

ν(1) M

ν(2)

Figura 2.8: Un rayo de luz viaja desde la superficie de una estrella hacia un observador lejano. A medida que viaja su longitud de onda aumenta


2. Un rayo de luz “cae” en el campo gravitacional terrestre, considerado constante, desde una altura h respecto a la superficie. Con g00 (1) ' 1 + 2G/c2 = 1 + 2gh/c2 y g00 (2) = 1, se sigue de (2.98): r gh 2gh ν(2) = ν(1) 1 + 2 ' ν(1) 1 + 2 ; c c de acuerdo con este resultado, la frecuencia de la luz aumenta a medida que cae en el campo gravitacional. El cambio fraccional en la frecuencia de la luz recibida es: ν(2) − ν(1) ∆ν gh = = 2. ν(1) ν c El experimento fu´ e realizado en 1960 por Pound y Rebka lanzando un rayo de luz desde una altura de 22.6 metros. La predicci´ on de la teor´ıa es ∆ν/ν = 2,46 × 10−15 , mientras el valor experimental result´ o ser (2,57 ± 0,26) × 10−15 , en excelente acuerdo con la predicci´ on de la teor´ıa: 1,04 % de aproximaci´ on. En este caso el efecto Doppler gravitacional puede describirse en una forma simple utilizando el siguiente argumento: un fot´ on de energ´ıa hν cae hacia la tierra recorriendo una altura H = H1 − H2 . La conservaci´ on de la energ´ıa se escribe: m1 gH1 + hν1 = m2 gH2 + hν2 . y puesto que la masa equivalente del fot´ on es m = E/c2 = hν/c2 , se obtiene: hν2 hν1 gH1 + hν1 = 2 gH2 + hν2 . c2 c Factorizando las frecuencias y despejando ν2 se obtiene como aproximaci´ on: gH ν2 = ν 1 1 + 2 > ν1 . c En consecuencia, el fot´ on que cae utiliza su energ´ıa potencial para aumentar su frecuencia. Si el fot´ on se lanza hacia arriba en el campo, su frecuencia disminuye mientras gana energ´ıa potencial gravitacional.

2.12.9.

Constantes de movimiento

Seg´ un la sección 1.6 el problema variacional para una función f (xµ , x˙ µ , s), donde el elemento de l´ınea ds provee la variable de integración tiene la forma: Z δ f (xµ (s), x˙ µ (s), s) ds = 0, (2.99) de donde se obtiene la ecuación de Euler: ∂f ∂f d = 0. − µ ds ∂ x˙ ∂xµ

(2.100)

De esta ecuación se deduce la ecuación (1.48) de la geodésica. Si en (2.100) se reemplaza mc f= gµν x˙ µ x˙ ν 2

2.

Gravitaci´ on /103

donde m, es la masa de una part´ıcula de prueba, se obtiene la ecuación: d mc (mcgµν x˙ ν ) − gνσ,µ x˙ ν x˙ σ = 0. ds 2

(2.101)

Por definición, el 4-vector momento can´ onico covariante es: pµ = mcgµν x˙ ν ,

(2.102)

dpµ mc = gνσ,µ x˙ ν x˙ σ , ds 2

(2.103)

de modo que (2.101) se escribe:

que es la ecuación de movimiento para la part´ıcula m en el campo métrico g νσ . Si alguna de las componentes del tensor métrico no depende de la coordenada µ, entonces el momento canónico asociado a esa coordenada es una constante del movimiento. De (2.102), con µ = i, la componente espacial del 4-momento canónico es: pi = mcgiν x˙ ν = mc(gi0 x˙ 0 + gij x˙ j ). Reemplazando (2.93) y (2.94) y reorganizando términos: gi0 gj0 v j gi0 pi = mcγ gij − +√ . g00 c g00 Como se demostró en el teorema 2 de la sección 2.12.4, es siempre posible pasar a un sistema coordenado en el que gi0 se anula, tal que, por transformación puede siempre obtenerse pi = mγgij v j de la que se obtiene la conocida expresión de la relatividad especial si gij = −ηij = −δij . Es cierto entonces que pi = −mγv i y pi = mγv i . De (2.102), con µ = 0, la componente temporal del 4-momento canónico se escribe: p 0 = mcg0ν x˙ ν = mc(g00 x˙ 0 + g0i x˙ i ) = mcg00 x˙ ∗0 , donde se ha utilizado la primera de las ecuaciones (2.89). Reemplazando (2.93) y (2.94) y cancelando un par de términos se obtiene: √ p 0 = mcγ g00 . En el espacio de Minkowski se reduce a p 0 = mcγ coincidente con la expresión E/c, de modo que: √ E = p 0 c = mc2 γ g00 . (2.104)


Para campo débil, con g00 ' 1 + 2G/c2 y expandiendo en binomio: s 2 1 + 2G/c2 2 1 + G/c 2 p ' mc E ' mc , 1 − v 2 /c2 1 − v 2 /c2

y para campos débiles y bajas velocidades y expandiendo el otro binomio: 1 E = mc2 (1 + G/c2 )(1 + v 2 /2c2 ) ' mc2 + mv 2 + mG, 2 correspondiente a la energ´ıa total de una part´ıcula de masa m en un campo de gravitación. La energ´ıa contiene la contribución de reposo mc2 . De (2.103) se concluye que si la métrica no depende del tiempo la energ´ıa (2.104) es una constante del movimiento. Puede demostrarse que: p2

= =

g µσ pµ pσ = g µσ (mcgµν x˙ ν )(mcgσρ x˙ ρ ) m2 c2 = g 00 E 2 /c2 + 2g 0i Epi /c + g ij pi pj ,

que en relatividad especial se reduce a: E 2 = p 2 c2 + m2 c4 . Como p2 > 0, puede encontrarse un sistema de referencia donde pi = 0.

2.12.10.

Geod´ esicas y m´ınima acci´ on

De (2.92) se sigue que en el l´ımite de campos débiles y bajas velocidades: ds

= ' =

1/2 1/2 √ g00 2G v2 v2 G 1− 2 1− 2 ' dx∗0 1 + 2 ' dx∗0 1 + 2 γ c c c 2c 2 ∗0 v G dx 1 dx∗0 1 − 2 + 2 = mv 2 − mG mc2 − 2c c mc2 2 dx∗0 dx∗0 [mc2 − (Ec − Ep )] = [mc2 − L]. 2 mc mc2

dx∗0

donde L es el lagrangiano clásico. Puesto que siempre es posible lograr que g i0 ' 0, se sigue que dx∗0 ' dx0 = c dt, por lo que: Z Z δ ds = 0 es equivalente a δ L dt = 0. De este modo, el principio variacional que da lugar a las geodésicas en relatividad general es equivalente al principio de m´ınima acción en la mecánica newtoniana que da lugar a la ecuación de movimiento en un campo de gravitación.

2.

2.13.

Gravitaci´ on /105

Soluci´ on de Schwarzschild

En las siguientes secciones se explora la solución de Schwarzschild a las ecuaciones de Einstein y sus aplicaciones más simples como el movimiento planetario con su nuevo efecto de precesión del perihelio, y la deflexión gravitacional de la luz. Karl Schwarzschild (1837-1916) presentó su solución en una carta a Einstein del 22 de diciembre de 1915, escrita mientras serv´ıa en el ejército alemán −asignado al frente ruso− durante la primera guerra mundial. Murió al a˜ no siguiente el 11 de mayo. Sobre su solución escribió Einstein a Schrödinger: “No esperé que se pudiera formular la solución exacta del problema en forma tan simple”.

2.13.1.

El elemento de l´ınea

En vista de la no linealidad de las ecuaciones de Einstein, encontrar sus soluciones no es un trabajo simple. A´ un hoy −casi 100 a˜ nos después− el estudio de las soluciones es un tema abierto. El primer y más simple problema de la teor´ıa newtoniana de la gravitación es el cálculo del campo gravitacional de una masa puntual. En la teor´ıa de Einstein el problema equivalente es el del cálculo del campo métrico alrededor de una masa puntual. En esta sección se estudia la métrica asociada a una masa puntual o al exterior de un cuerpo de simetr´ıa esférica en reposo en el origen coordenado. Dada la simetr´ıa, conviene escoger coordenadas espaciales esféricas. As´ı: x µ = (ct, r, θ, ϕ). Las siguientes restricciones sobre la métrica son consecuencia de las simetr´ıas espacial y temporal: • Hay invarianza bajo inversión temporal, es decir, bajo la operación dt → −dt. Como consecuencia, en ds2 solo puede aparecer dt2 , y no dt dr, dt dθ o dt dϕ. Por tanto gi0 = 0. Que la métrica sea est´ atica significa en general gi0 = 0. En una métrica estacionaria, la correspondiente por ejemplo a un sistema rotante, no hay invarianza bajo dt → −dt, ni bajo dϕ → −dϕ. • Como la situación es estática, g00 y gij son independientes del tiempo. • Por la simetr´ıa esférica hay invarianza bajo θ → π − θ (y por tanto bajo dθ → −dθ), por lo que no aparecen dr dθ y dθ dϕ. As´ı: g12 = g23 = 0 y la métrica no depende de θ. • Por la simetr´ıa esférica hay invarianza bajo ϕ → −ϕ (y por tanto bajo dϕ → −dϕ), lo que hace que desaparezcan dr dϕ y dθ dϕ. Por tanto g13 = g23 = 0 y la métrica no depende de ϕ.


El elemento de l´ınea se escribe, entonces: ds2 = g00 (r)(dx0 )2 + g11 dr2 + g22 dθ2 + g33 dϕ2 , o, adoptando el mejor parecido con las coordenadas esféricas: ds2 = g00 (r)(dx0 )2 − [B(r)dr 2 + C(r)r 2 dθ2 + D(r)r 2 sen 2 θ dϕ2 ]. Un elemento diferencial de arco meridiano es ds2 = −C(r)r 2 dθ2 y sobre el ecuador (θ = π/2) un arco diferencial es ds2 = −D(r)r 2 dϕ2 . Puesto que el ecuador es intercambiable con un arco meridiano, es cierto que para arcos de igual tama˜ no angular, dθ = dϕ, se sigue C = D. Por tanto: ds2 = g00 (dx0 )2 − B(r)dr 2 − C(r)r 2 (dθ2 + sen 2 θ dϕ2 ). Conviene ahora redefinir la derivada radial de modo que Cr 2 = rˇ2 , de donde se sigue: r dC √ √ + C . dˇ r = dr 2 C dr Si se define:

ˇ=B B C

r dC +1 2C dr

el elemento de l´ınea toma la forma:

−2

y

g00 = A(r)

ˇ ds2 = A(r)c2 dt2 − B(r)dˇ r 2 + rˇ2 (dθ2 + sen 2 θ dϕ2 )

ˇ son positivos puede escribirse: Como A y B A(r) = eν(r)

y

ˇ B(r) = eλ(r)

con lo cual, prescindiendo del s´ımbolo ˇ sobre r, puede escribirse: ds2 = c2 eν(r) dt2 − eλ(r) dr2 + r2 (dθ2 + sen 2 θ dϕ2 ).

(2.105)

La anterior es la forma más simple que adopta el elemento de l´ınea estático y con simetr´ıa esférica. Como se ha visto, el espacio-tiempo en ausencia de materia tiene la métrica de Minkowski gµν = ηµν . La presencia de la masa puntual distorsiona el espacio-tiempo en los alrededores de la masa y la distorsión es cada vez más tenue a mayores distancias, de modo que a distancias muy grandes la métrica es del tipo de Minkowski. La imposición de esta condición acent´ ua obviamente la distancia entre Einstein y Mach, puesto que la condición que se impone a continuación asegura que el espacio-tiempo minkowskiano preexiste a la materia. As´ı, para r → ∞: l´ım A −→ 1

r→∞

l´ım ν(r) −→ 0

r→∞

ˇ −→ 1 l´ım B

y

r→∞

y

por lo cual:

l´ım λ(r) −→ 0.

r→∞

(2.106)

2.

2.13.2.

Gravitaci´ on /107

Los s´ımbolos de Christoffel

Aunque los s´ımbolos de Christoffel pueden evaluarse a partir de los coeficientes métricos presentes en (2.105), una forma más directa es identificarlos comparando la ecuación de Euler con la ecuación de la geodésica. Es decir, el problema variacional para la geodésica tiene la forma: δ

Z

ds

=

δ

=

δ

Z

Z

ds ds

2

ds = δ

Z

f ds

[eν(r) (x˙ 0 )2 − eλ(r) r˙ 2 + r2 (dθ˙2 + sen 2 θ dϕ˙ 2 )] ds,

donde f = (ds/ds)2 viene de (2.105) y satisface la ecuación de Euler (2.100), de la que se sigue: • Con µ = 0: x ¨0 + ν 0 r˙ x˙ 0 = 0 , donde ν 0 ≡ dν/dr. Comparando con la componente µ = 0 de la ecuación de la geodésica (1.48): x ¨0 +

0 ν σ x˙ x˙ = 0 νσ

se sigue:

• Con µ = 1 en (2.100): r¨ +

0 10

=

0 01

eν−λ 0 0 2 λ0 r˙ 2 + ν (x˙ ) − re−λ (θ˙2 + sen 2 θ ϕ˙ 2 ) = 0 , 2 2

=

con

ν0 . 2

λ0 ≡ dλ/dr,

comparando con la componente µ = 0 de (2.88) se sigue: 1 11

=

1 λ0 1 eν−λ 0 1 , 00 = ν , 22 = −re−λ , 33 = −r sen 2 θ e−λ . 2 2

˙ − sen θ cos θ ϕ˙ 2 = 0, • Con µ = 2: θ¨2 + 2r˙ θ/r de donde, comparando con la geodésica para µ = 2 se concluye: 2 12

• Con µ = 3:

=

1 2 , 33 = − sen θ cos θ. r

ϕ¨ + 2r˙ ϕ/r ˙ + 2 cot θ θ˙ ϕ˙ = 0 , 3 13

2.13.3.

=

de donde:

1 3 , 23 = cot θ. r

Componentes del tensor de Ricci-Einstein

Ahora bien, los elementos del tensor de Ricci-Einstein, calculados a partir de (1.98) para el entorno de una masa puntual son Rµν = 0. As´ı,

108 / Relatividad general 02

0 0

0

• de R00 = 0 se sigue: ν 00 + ν2 − λ 2ν + 2νr = 0, 02 0 0 0 • de R11 = 0 se sigue: ν 00 + ν2 − λ 2ν − 2λr = 0. Las dos anteriores son ecuaciones diferenciales acopladadas para ν y λ. Restándolas se obtiene ν 0 + λ0 = 0, de donde ν + λ = cte. Puesto que para r → ∞, los valores de ν y λ tienden a cero seg´ un (2.106) se sigue que ν = −λ. Substituyendo en la ecuación para R00 se obtiene: λ00 − λ02 +

2λ0 , r

equivalente a

d2 (re−λ ) = 0 , dr2

de donde:

d (re−λ ) = E = cte; dr • de R22 = 0 se sigue: 2

− csc θ + (re

−λ

),1 − 2e

−λ

2

+ cot θ +

ν0 λ0 2 + + 2 2 r

(2.107)

re−λ = 0,

que da lugar a: 1 −1 + (re−λ ),1 + (ν 0 + λ0 )re−λ = −1 + (re−λ ),1 = 0 , 2

por lo cual:

d (re−λ ) = 1 = E , en acuerdo con (2.107). dr Entonces: re−λ = r − α, donde α es una constante de integración. As´ı pues: e−λ = eν = 1 −

α ; r

(2.108)

• de R33 = 0 se sigue: 1 sen 2 θ[(re−λ ),1 − 1] + (ν 0 + λ0 )r sen 2 θ e−λ = 0, 2 que se satisface idénticamente si se toman en cuenta (2.107) y (2.108). Es directo comprobar que Rµν = 0 para µ 6= ν. De este modo quedan conocidos los elementos del tensor de Ricci-Einstein.

2.13.4.

La m´ etrica de Schwarzschild

En consecuencia, el elemento de l´ınea de Schwarzschild es: α 2 2 α −1 2 ds2 = 1 − c dt − 1 − dr − r2 (dθ2 + sen 2 θ dϕ2 ). r r

(2.109)

2.

Gravitaci´ on /109

La constante α puede evaluarse teniendo en cuenta que g00 = eν = 1 − α/r y que en la aproximación de campo débil g00 = 1 + 2G/c2 = 1 − 2GM/c2 r, donde M es la masa de la part´ıcula puntual. Se obtiene entonces α=

2GM . c2

(2.110)

Utilizando este valor, la métrica de Schwarzschild, para el espacio-tiempo curvado por una masa puntual M toma la forma: 2

ds =

2GM 1− 2 c r

2GM c dt − 1 − 2 c r 2

2

−1

dr2 − r2 (dθ2 + sen 2 θ dϕ2 )

(2.111)

Es claro que el elemento de l´ınea se reduce al de Minkowski si r → ∞; también si M = 0, que es la u ńica masa del problema. El coeficiente α se conoce como radio de Schwarzschild, en el que la métrica parece tener una singularidad. Para el Sol α =2,96 km, radio que queda muy en el interior de su superficie, donde esta solución no es válida. Si se piensa en el efecto métrico del Sol (M =1,9×1030 kg) a la distancia a la que se encuentra la Tierra (r=1,5×1011 m) se obtiene α/r = 2 × 10−8 , lo que indica que el espacio alrededor del Sol es bastante plano, de modo que las coordenadas r, θ, ϕ usadas aqu´ı, no se distinguen apreciablemente de sus valores euclidianos. También el tiempo es bastante uniforme. Esto significa que las variaciones de g µν respecto a sus valores euclidianos son peque˜ nas desde el punto de vista métrico, a pesar de lo cual son importantes desde el punto de vista gravitacional. El factor 2 × 10−8 , a pesar de su peque˜ nez, es responsable del movimiento de los planetas, de la deflexión de la luz y del efecto Doppler gravitacional. Es interesante evaluar el l´ımite i newtoniano de los s´ımbolos de Christoffel. De (2.19) se sabe que los s´ımbolos 00 están asociados a las componentes gi del campo de gravitación newtoniano; as´ı pues: 1 αc2 α GM 2GM c2 =− 2 1− 2 , g1 = −c2 00 = − eν−λ ν 0 = − 2 1 − 2 2r r r c r 2 3 g2 = −c2 00 = 0 , g3 = −c2 00 = 0. En consecuencia, el campo de gravitación newtoniano g toma la forma: g=−

GM r2

1−

2GM c2 r

ˆ r=−

2 GM ˆ r+ 3 r2 r

GM c2

2

ˆ r.

Esto significa que en la aproximación de campo débil es suficiente a˜ nadir al campo newtoniano del tipo 1/r 2 un nuevo campo repulsivo proporcional a 1/r 3 .


Este u ´ltimo es suficiente para describir la llamada precesión anómala del perihelio de Mercurio, como se demuestra en el problema 14 del cap´ıtulo 3 del libro de Goldstein referenciado en la bibliograf´ıa.

Problema: Demuestre que en presencia del t´ ermino cosmol´ ogico el elemento de l´ınea toma la forma: −1 2GM Λr 2 Λr 2 2GM dr 2 −r 2 (dθ 2 + sen 2 θ dϕ2 ). c2 dt2 − 1 − 2 − ds2 = 1 − 2 − c r 3 c r 3 N´ otese que en este caso la m´ etrica no se reduce asint´ oticamente en el infinito a la m´ etrica de Minkowski.

2.13.5.

Teorema de Birkhoff

El enunciado de este teorema es como sigue: “Un campo gravitacional de simetr´ıa central en el vac´ıo debe ser independiente del tiempo.” La distribución de masa puede ser estática como una masa puntual o como el exterior de una masa esférica cuya densidad sea función solo radial. Pero puede haber movimiento radial, como contracción, expansión u oscilación. En cualquiera de estos casos el campo es central y estático. En consecuencia, una masa esféricamente pulsante puede producir campo gravitacional pulsante en su interior, pero no sale radiación hacia el espacio vac´ıo. Este resultado está ligado a la naturaleza de la interacción gravitacional. Como se verá más tarde, las ondas gravitacionales son transversas, por lo que una onda gravitacional generada por una masa esférica oscilante radialmente −lo que mantiene la simetr´ıa esférica− romper´ıa la simetr´ıa; en consecuencia un cuerpo pulsante de simetr´ıa esférica no puede emitir radiación gravitacional. El teorema de Birkhoff aplicado al caso de un cascarón esférico hueco asegura que la constante α en (2.110) tiene un valor cero, pues de otro modo habr´ıa en r = 0 una singularidad. En consecuencia, el espacio-tiempo en el interior del cascarón de masa M es minkowskiano, mientras en el exterior está regido por (2.111). Este resultado, conocido en la gravitación newtoniana, asegura que en el interior del cascarón el potencial gravitacional es constante, es decir, el campo gravitacional es nulo. El teorema de Birkhoff es local, es decir, no depende de condiciones en r → ∞, de modo que la métrica en el interior del cascarón es ηµν a´ un si el radio del cascarón se extiende hasta convertirse en el universo entero.

2.

2.13.6.

Gravitaci´ on /111

Componentes del tensor de Riemann-Christoffel

El siguiente resultado puede obtenerse3 sin dificultad: −3

R0101 = −2R3131 = −2R2121 = α (1 − α/r) , 1 R0202 = − R3232 = α/2r, 2 1 0 1 R 303 = R 313 = − R2323 = α/2r sen 2 θ, 2 R1010 = −2R2020 = −2R3030 = (α/r 3 ) (1 − α/r) . El que existan componentes no nulas del tensor de Riemann indica que se trata de un espacio-tiempo intr´ınsecamente curvo. Puesto que es un tensor, no hay sistema coordenado en el que el espacio-tiempo sea plano. De otro lado, de la forma (2.109) del elemento de l´ınea y de la forma de las componentes del tensor de Riemann se sigue que hay singularidades, es decir infinitos, en r = α y r = 0. Sin embargo es necesario preguntar si en verdad son singularidades f´ısicas o si solo tienen que ver con la escogencia espec´ıfica del sistema coordenado. Para dilucidar este punto conviene estudiar las componentes f´ısicas del tensor de Riemann.

2.13.7.

Componentes f´ısicas del tensor de Riemann-Christoffel

Las que se han estudiado hasta ahora son componentes con ´ındices covariantes y contravariantes, vale decir, componentes tensoriales. Las componentes f´ısicas se eval´ uan teniendo en cuenta lo propuesto en el numeral d de la sección 1.9, de acuerdo a lo cual, y suspendiendo la convención suma sobre ´ındices repetidos, el tensor de Riemann-Christoffel en la base original puede escribirse: X X √ ˆ eµ ˆ eν ˆ eσ ˆ eρ g µµ g νν g σσ g ρρ Rµνσρ aµ aν aσ aρ Rµνσρ = R = µνσρ

µνσρ

=

X

µνσρ

eµνσρ , ˆ eµ ˆ eν ˆ eσ ˆ eρ R

(2.112)

eµνσρ = √g µµ g νν g σσ g ρρ Rµνσρ son las componentes f´ısicas en la base origidonde R nal. As´ı pues, teniendo en cuenta que Rµνσρ = gµα Rανσρ , las componentes f´ısicas del tensor de Riemann en la base original son: e0101 = − 1 R e0202 = 1 R e0303 = 1 R e1212 = − 1 R e1313 = α . R 2 2 2 2 r3

Es también cierto que en la base rec´ıproca:

˘ 0101 = − 1 R ˘ 0202 = 1 R ˘ 0303 = 1 R ˘ 1212 = − 1 R ˘ 1313 = α . R 2 2 2 2 r3

(2.113)


Las coordenadas de Schwarszchild son ortogonales por lo cual, como se ha visto, eµνσρ = R ˘ µνσρ . R En consecuencia el campo de Riemann f´ısico presenta singularidad solo en r = 0. Una conclusión idéntica puede lograrse escogiendo otros sistemas de coordenadas, resultando que solo aparecen infinitos en r = 0. Puede asegurarse entonces que las “verdaderas” propiedades del espacio-tiempo están dadas por las componentes f´ısicas del tensor de Riemann que son las que proveen las componentes del campo de gravitación que pueden medirse. Solo las singularidades de estos son reales, es decir, certificables por todos los observadores. Una observación adicional: los vectores de la √ base aµ utilizados en (2.112) no son unitarios como los ˆ eµ , (en efecto aµ = ˆ eµ g µµ ) lo que significa que las singularidades en las componentes tensoriales están asociadas con las singularidades en los vectores de la base aµ , con las que se combinan para dar las singularidades eµνσρ . Esto es lo que de modo genuinas del objeto tensorial R que se revelan en R directo hacen las componentes f´ısicas que, trabajando con vectores de la base ˆ eµ sin singularidades, concentran estas en las componentes medibles.

2.14.

El principio de equivalencia y la soluci´ on de Schwarzschild

Esta sección está basada en el art´ıculo de Moreau y Neutze citado en la bibliograf´ıa al final del libro. El elemento de l´ınea de Schwarzschild puede ser expresada en un sistema de coordenadas desplazado desplazado respecto a r = 0 que permite, en una peque˜ na región, escribirla en dos partes: una que corresponde al elemento de l´ınea en un sistema uniformemente acelerado en un espacio-tiempo plano y otra que contiene curvatura y está relacionado a una desviación geodésica. El elemento de l´ınea de Schwarzschild (2.111) puede escribirse en la forma: −1 2m 2m 2 2 2 dr2 − r2 (dθ2 + sen 2 θ dϕ2 ), (2.114) c dt − 1 − ds = 1 − r r donde m = GM/c2 es la masa geométrica. Sobre este elemento diferencial realicemos una transformación de coordenadas hacia un sistema de coordenadas rectangular con el origen desplazado una distancia R respecto al centro de la masa puntual, y con el eje z apuntando en dirección radial. As´ı: x = r sen θ cos ϕ, y = r sen θ sen ϕ, z = r cos θ − R. De estas ecuaciones, despejando r se obtiene: p r = x2 + y 2 + (z + R)2 ,

(2.115)

(2.116)

2.

Gravitaci´ on /113

cuyo diferencial tiene la forma: dr2

= + +

−1 2 2z x2 + y 2 + z 2 y2 x + dx2 + 2 dy 2 2 2 R R R R 2x z 2 2 2xy z dz + 2 dx dy + 1+ 1+ dx dz R R R R 2y z 1+ dy dz. R R 1+

(2.117)

También es cierto que: r2 (dθ2 + sen 2 θdϕ2 ) = dx2 + dy 2 + dz 2 − dr2 ,

(2.118)

donde el término dr 2 está dado por (2.117). Realizamos la substitución de (2.116), (2.117), (2.118) en (2.114); nos interesaremos en una peque˜ na región alrededor del origen del nuevo sistema coordenado, y con la aproximación |xi /R| 1, i = 1, 2, 3, que nos permite despreciar términos de segundo orden; no asumiremos, sin embargo, que el campo es debil. Se obtiene entonces: 2m 2mz 2 + 2 c2 dt2 − dx2 − dy 2 ds = 1− R R −1 2m 2mz − 1− + 2 dz 2 R R −1 2m 2mz y 4m x 1− + 2 dx dz + dy dz . (2.119) − R R R R R El anterior es el elemento de l´ınea en el nuevo sistema de coordenadas, a primer orden en |xi /R| 1. Debemos, ahora, escribir el elemento de l´ınea en un sistema de referencia con aceleración uniforme en el espacio-tiempo plano. La aceleración de ca´ıda libre se escribe: GM d2 r =− 2 , (2.120) dτ 2 R correspondiente a un elemento de l´ınea: ds2 = c2 dτ 2 = α(z)2 c2 dt2 − dx2 − dy 2 − β(z)2 dz 2 .

(2.121)

donde las funciones α(z) y β(z) han de evaluarse exigiendo que se cumpla la ecuación (2.120). Del elemento de l´ınea (2.121) se obtiene la ecuación de la geodésica: 2 d2 z 1 dα 1 dβ c2 dα dz − + = − , dτ 2 αβ 2 dz α dz β dz dτ

(2.122)


cuya compatibilidad con (2.120) requiere que se cumplan las dos condiciones: 1 dα mβ 2 1 dα 1 β = , + = 0. α dz R2 α dz β dz

(2.123)

Estas dos ecuaciones proveen la solución para α y β: α2 = β −2 = k +

2mz ; R2

(2.124)

en la anterior ecuación k es una constante de integración. Por substitución de (2.124) en (2.121) se obtiene: 2

ds =

2mz k+ 2 R

2mz c dt − dx − dy − k + 2 R 2

2

2

2

−1

dz 2 .

(2.125)

Si k = 1 − 2m/R la anterior solución corresponde a los dos primeros renglones de la ecuación (2.119). As´ı, reemplazando este valor de k en (2.125) se obiene: 2

ds =

2m 2mz 1− + 2 R R

2m 2mz c dt − dx − dy − 1 − + 2 R R 2

2

2

2

−1

dz 2 .

Esta es la parte del elemento de l´ınea de Schwarzschild que corresponde a un sistema acelerado; el tensor de Riemann asociado a este elemento de l´ınea es cero, lo que corresponde en efecto a espacio-tiempo plano. La parte restante en la ecuación (2.119) tiene tensor de Riemann no nulo y está relacionado a desviación geodésica. Este es un término de marea. Uno de los elementos del tensor de Riemann es como sigue: 2m 2mz 4m2 + 2 . R0 101 = − 4 1 − R R R La forma del elemento de l´ınea (2.119) es una muestra de cómo el principio de equivalencia está incorporado a la relatividad general.

2.15.

´ Orbitas en un campo de Schwarzschild

La trayectoria que una part´ıcula de prueba describe en un campo de Schwarszchild puede calcularse partiendo de la ecuación de la geodésica o de la ecuación de Euler (2.100) aplicada a la función f definida por: f = 1 = eν(r) (x˙ 0 )2 − eλ(r) r˙ 2 + r2 (θ˙2 + sen 2 θ ϕ˙ 2 ). Para x0 , θ, ϕ, respectivamente, se sigue:

(2.126)

2.

•

d ds

Gravitaci´ on /115

(1 − α/r) t˙ = 0, con α = 2GM/c2 , de donde: (1 − α/r)t˙ = cte = l .

(2.127)

Escribiendo la expresión anterior como (1 − α/r) x˙ ∗0 = cl, pues en esta métrica dx0 = dx∗0 , y reemplazando (2.104) resulta la siguiente conexión entre l y E: E cl = , (2.128) mc2 de modo que la ecuación para µ = 0 corresponde a la conservación de la energ´ıa de una part´ıcula en un campo de Schwarszchild. •

d 2˙ ds (r θ)

− r 2 sen θ cos θ ϕ˙ 2 = 0, equivalente a: r2 θ¨ + 2rr˙ θ˙ − r 2 sen θ cos θ ϕ˙ 2 = 0.

(2.129)

De esta ecuación se sigue que si en alg´ un momento en θ = π/2 ocurre que θ˙ = 0, entonces θ¨ = 0 para cualquier ϕ y ϕ, ˙ de modo que el plano θ = π/2 se mantiene invariable. Este es el plano de la o´rbita. •

d 2 ds (r

sen 2 θ ϕ) ˙ = 0, de donde se sigue la conservación del momento angular por unidad de masa: r2 sen 2 θ ϕ˙ = cte = h . (2.130)

• Para la coordenada r, en vez de la ecuación de Euler conviene utilizar (2.126) con x0 = ct, de modo que reemplazando en ella (2.127) y (2.130) con θ = π/2 y θ˙ = 0 se sigue: h2 c2 l2 − r˙ 2 − 2. (2.131) 1= 1 − α/r r Se tiene, entonces, el siguiente conjunto de ecuaciones: (1 − α/r) t˙ = l ,

r 2 ϕ˙ = h ,

1=

c2 l2 − r˙ 2 h2 − 2 1 − α/r r

,

(2.132)

a partir de las cuales se obtiene la ecuación r = r(ϕ) de las o´rbitas. De: r0 =

dr/ds r˙ r2 dr = = = r˙ , dϕ dϕ/ds ϕ˙ h

de donde se sigue: r˙ = hr 0 /r2 . Reemplazando este valor de r˙ en la tercera de las ecuaciones (2.132) se obtiene: α h2 r02 h2 α 1 − = c2 l 2 − 2 − 2 1 − ; r r r r


introduciendo la nueva variable u = 1/r, de donde r 0 = dr/dϕ = −u0 /u2 , la anterior ecuación toma la forma: h2 u02 = c2 l2 − 1 + αu − h2 u2 (1 − αu). Derivando esta ecuación respecto a ϕ y factorizando: α u0 2u00 − 2 + 2u − 3αu2 = 0. h

(2.133)

Esta ecuación tiene dos soluciones posibles. La primera de ellas, u0 = 0, corresponde a u0 = 1/r0 = cte, que describe una o´rbita circular. Una part´ıcula de prueba puede describir c´ırculos en un campo de Schwarszchild alrededor de la masa central. También c´ırculos anulan el paréntesis en la anterior ecuación con u 00 = 0; basta que: α 3 2 αu − u + 2 = 0 2 2h cuya solución es:

" # r 1 1 3α2 1 ± 1 + 2 = cte. u= = r 3α h

Puesto que r > 0 solo es válida la raiz positiva. En consecuencia, para cada valor de h (momento angular por unidad de masa) hay una o´rbita circular permitida. Una segunda solución a (2.133) corresponde a: u00 + u =

3 α + αu2 2 2h 2

(2.134)

Una forma, ligeramente diferente, de esta ecuación puede encontrarse en el tratamiento newtoniano del problema gravitacional, por lo que es pertinente revisar este u ´ltimo.

2.15.1.

Soluci´ on newtoniana al problema de Kepler

El movimiento de los planetas alrededor del Sol puede describirse partiendo del siguiente lagrangiano para un potencial central V (r): L=

1 1 mv 2 − V (r) = m(r˙ 2 + r2 θ˙2 + r2 sen 2 θ ϕ˙ 2 ) − V (r), 2 2

donde r˙ = dr/dt, etc. De acuerdo con la ecuación de Euler-Lagrange: d ∂L ∂L = 0, − dt ∂ x˙ i ∂xi con (x1 , x2 , x3 ) = (r, θ, ϕ) se sigue:

2.

• Para θ:

d dt

mr2 θ˙ − mr2 sen θ cos θ ϕ˙ 2 = 0 ,

Gravitaci´ on /117

que equivale a:

r2 θ¨ + 2rr˙ θ˙ − r 2 sen θ cos θ ϕ˙ 2 = 0.

Por un argumento idéntico al empleado en la subsección anterior se sigue que si en θ = π/2 ocurre que θ˙ = 0, esto implica θ¨ = 0. En consecuencia, el plano de la o´rbita se mantiene invariable. • Para ϕ:

d 2 dt (mr

sen 2 θ ϕ) ˙ = 0,

de donde se obtiene la conservación del momento angular por unidad de masa, r2 sen 2 θ ϕ˙ = H = cte. Puesto que θ = π/2, se sigue que: H = r2 ϕ. ˙

(2.135)

• Para r, con θ = π/2, θ˙ = 0 se sigue: m(¨ r − rϕ˙ 2 ) = −

∂V . ∂r

Reemplazando ϕ˙ = H/r 2 , y multiplicando por r, ˙ se obtiene: d 1 2 mH 2 mr˙ + + V = 0, dt 2 2r2 de donde se obtiene una de las integrales de movimiento, correspondiente a la energ´ıa total E de la part´ıcula de prueba: E=

1 2 mH 2 mr˙ + + V. 2 2r2

(2.136)

Que en verdad esta es la energ´ıa puede comprobarse reemplazando H de (2.135); se obtiene la expresión estandar: E=

1 1 m(r˙ 2 + r2 ϕ˙ 2 ) + V = mv 2 + V. 2 2

Ahora bien, la ecuación diferencial de la o´rbita puede obtenerse de (2.136) reemplazando, como en la subsección anterior r˙ = Hr 0 /r2 y luego r = 1/u con r0 = −u0 /u2 , con lo cual: u02 + u2 −

2E 2V + . mH mH 2


Por derivación de esta ecuación respecto a ϕ se obtienen dos soluciones: u = cte y: u00 + u +

1 dV = 0. mH 2 du

(2.137)

En el caso del campo gravitacional newtoniano la energ´ıa potencial es V = GmM/r, de modo que (2.137) toma la forma: u00 + u = GM /H 2

.

(2.138)

que es la ecuación de la o´rbita. Esta ecuación puede escribirse como: (u − GM /H 2 )00 + (u − GM /H 2 ) = 0 ,

cuya solución es:

GM = a cos(ϕ + δ). H2 Si se asume que ϕ = 0 corresponde al valor máximo de u, el resultado final es que la o´rbita es una cónica dada por: u−

GM 1 = + a cos ϕ r H2

.

As´ı pues, un cuerpo que se mueve en las cercan´ıas del Sol describe una c´ onica. En particular, la trayectoria de los planetas es el´ıptica.

2.15.2.

Precesi´ on del perihelio

El potencial newtoniano G = −GM/r describe con bastante precisión el movimiento planetario, excepto por una discrepancia conocida desde el siglo XIX, consistente en una porción de la precesión de Mercurio no descriptible con el potencial newtoniano original. Diversos fueron los intentos de describir esta “precesión anómala”. Como se verá en esta sección, el efecto es fácilmente explicable desde el punto de vista de Einstein. El término α/2h2 en (2.134), de acuerdo con (2.110) es igual a GM/c4 h2 y es el análogo del término GM/H 2 en (2.138). Un cálculo simple muestra que en la aproximación newtoniana son coincidentes. En efecto, (2.132) se escribe h = r 2 dϕ/ds, en aproximación de orden cero ds ' c dt, y como seg´ un (2.135) H = r 2 dϕ/dt se sigue que h ' H/c. Esta aproximación hace entonces idénticos los primeros términos de la derecha de (2.134) y (2.138). La diferencia entre las dos ecuaciones radica entonces en el término extra en (2.134). Conviene ahora comparar los términos de la derecha en (2.134); el cociente entre ellos es: 3αu2 /2 = 3u2 h2 , y α/2h2

2.

h'

r2 dϕ r = c dt c

r

dϕ dt

=

Gravitaci´ on /119

r vt , c

donde vt es la velocidad tangencial del cuerpo de prueba; se sigue entonces que 3u2 h2 /c2 ' 3vt2 /c2 . En particular, para Mercurio, que es el planeta más veloz, esta fracción tiene un valor de 7.7×10−8 , lo que revela que el segundo término a la derecha de (2.134) es bastante más peque˜ no que el que lo precede. En consecuencia, es posible resolver (2.134) considerando 32 αu2 como una perturbación. En ausencia de este término la o´rbita es una cónica. Aplicada a este problema, la teor´ıa de perturbaciones sugiere considerar u 0 como la solución al problema no perturbado, vale decir como solución a la ecuación (2.134) excluyendo el u ´ltimo término. Ha de escribirse entonces, como solución: u = u0 + v,

(2.139)

donde tiene valor 1, y v es una función desconocida que solo afecta en primer orden de perturbación. El coeficiente tiene la misión de distinguir entre los diversos o´rdenes de la perturbación. As´ı, (2.134) puede escribirse: u00 + u =

3 α + αu2 . 2h2 2

En forma concisa: u00 + u = A + Cu2 ,

(2.140)

con A = α/2h2 y C = 3α/2. Reemplazando (2.139) en (2.140) se obtiene: u000 + v 00 + u0 + v = A + C(u20 + 2 v 2 + 2u0 v), desechando términos en 2 y 3 y reagrupando se sigue: u000 + u0 − A + (v 00 + v − Cu20 ) = 0. A orden cero la ecuación es: u000 + u0 − A = 0.

(2.141)

A primer orden de perturbación la ecuación es cierto que: v 00 + v − Cu20 = 0.

(2.142)

La solución a (2.141), coincidente en su forma con (2.138), es: u0 = A + B cos ϕ,

(2.143)


si u0 asume su valor máximo en ϕ = 0. Reemplazando la solución para u0 en (2.142): v 00 + v

C[A2 + B 2 cos2 ϕ + 2AB cos ϕ] B2 B2 = C A2 + + cos 2ϕ + 2AB cos ϕ , 2 2

=

cuya solución es:

B2 B2 v=C A + + ABϕ sen ϕ − cos 2ϕ . 2 6 2

En consecuencia la solución completa tiene la forma: B2 B2 u = u0 + v = A + B cos ϕ + C A2 + + ABϕ sen ϕ − cos 2ϕ . 2 6 Puesto que B(cos ϕ + ACϕ sen ϕ) ' B cos(ϕ − ACϕ), la solución puede aproximarse a: B2 B2 1 2 u = = A + B cos[(1 − AC)ϕ] + C A + − cos 2ϕ . r 2 6 El corchete que acompa˜ na a genera perturbaciones periódicas que no cambian la posición del afelio y el perihelio. Demostraremos que el término B cos[(1−AC)ϕ] genera la precesión del perihelio. En primer lugar, el perihelio corresponde a r m´ınimo, lo que implica cos[(1 − AC)ϕ] máximo, correspondiente a (1 − AC)ϕ = 2πn, con n entero. As´ı: ϕ=

2πn ' 2πn(1 + AC) = ϕn , 1 − AC

tal que dos perihelios consecutivos están separados un ańgulo: ∆ϕ = ϕn+1 − ϕn = 2π(n + 1)(1 + AC) − 2πn(1 + AC) = 2π(1 + AC), cantidad que es mayor que 2π. Esto significa que la precesión del perihelio se realiza en la misma dirección que el recorrido del planeta en su o´rbita. El exceso sobre 2π es ∆ϕ − 2π = δϕ = 2πAC. Puesto que AC = 3G2 M 2 /c2 h2 , se sigue que la precesión del perihelio, por cada revolución, tiene un valor de: 2 2 G M . (2.144) δϕ = 2π 3 4 2 c h La teor´ıa newtoniana da un valor ∆ϕN =5557,62±0,2000 por siglo para la precesión de Mercurio, de la cual 502500 se deben al movimiento de la tierra y 53200

2.

Gravitaci´ on /121

a perturbaciones debidas a los otros planetas, ante todo Venus, Tierra y J´ upiter. La precesión observada es ∆φo =5600,73±0,4100 . Restando las precesiones calculada y observada se obtiene 43,11±0,4500 por siglo. La relatividad general, utilizando (2.144), y teniendo en cuenta que Mercurio realiza 415 revoluciones por siglo, predice para este planeta una precesión de 43,0300 de arco por siglo. Para Venus la precesión calculada por la relatividad general es de 8,600 por siglo, mientras la observada es 8,4± 4,800 . Para la Tierra la predicha es 3,800 mientras la observada es 5,0± 1,200 . Para el asteroide Ícaro la predicha y la observada son, respectivamente, 10,300 y 9,8± 0,800 . Como se ve, estos corrimientos son descritos con muy buena precisión por la relatividad general.

2.15.3.

Deflexi´ on de la luz

Una notable predicción de Einstein en 1915 concierne al movimiento de la luz en un campo métrico. De acuerdo con la relatividad especial el elemento de l´ınea tiene la forma: ds2 = ηµν dxµ dxν . (2.145) Para un rayo de luz, es decir para part´ıculas de masa cero el elemento de l´ınea es nulo, tal que la luz recorre tanta distancia en el espacio como en el tiempo. De acuerdo con la relatividad general la forma (2.145) es válida en un sistema en ca´ıda libre en un campo de gravedad, y basta reemplazar ηµν por gµν para tener su versión covariante. Por lo mismo, ds = 0 conserva en relatividad general su validez para part´ıculas de masa cero, como también se sigue de (2.92). Ocurre, sin embargo, que en el caso de la luz no es posible utilizar el principio variacional para las geodésicas en la forma (2.99) debido al anulamiento de ds, por lo que se propone: Z dxµ dxν dq = 0. (2.146) δ gµν dq dq La forma más simple de definir el nuevo parámetro q es ds = m dq, siendo m la masa de la part´ıcula de prueba. Resulta as´ı que para part´ıculas de masa diferente de cero el diferencial dq en (2.146) es enteramente equivalente al elemento de l´ınea ds, y para la luz, aunque m y ds son nulos no lo es dq. Este es el parámetro que se usará para estudiar la trayectoria de la luz en un campo de Schwarszchild. El desarrollo que comienza en (2.146), usando la métrica de Schwarszchild, es formalmente el mismo de la sección 2.4.1 con t˙ = dt/dq, ϕ˙ = dϕ/dq. El cálculo permite concluir, como antes, que la o´rbita se sit´ ua sobre un plano invariable (que puede escogerse como θ = π/2) y que:

1−

α ˙ t = cte = e l, r

r2 ϕ˙ = cte = e h,

1−

α −1 α 2 ˙2 c t − r˙ 2 1 − − r2 ϕ˙ 2 = 0. r r (2.147)


Reemplazando las dos primeras en la tercera, y con r 0 = r/ ˙ ϕ˙ = r 2 r/ ˙ e h2 , se sigue: c2 e l2 − e h2 u02 − e h2 u 2 + e h2 αu3 = 0.

Por derivación respecto a ϕ:

3 u u00 + u − αu2 = 0 2

.

Una primera solución, como antes es u = u0 = cte, correspondiente a una o´rbita circular. Esta circunferencia anula el paréntesis si u0 = 2/3α, de modo que la luz puede orbitar una masa puntual M en c´ırculos de radio r0 = 3α/2. Pero también el paréntesis admite o´rbitas no circulares si: u00 + u =

3 2 αu . 2

El término a la derecha de la igualdad es mucho menor que el segundo de la izquierda. Esto es (3αu2 /2)/(u) = 3αu/2 cantidad que para el caso del Sol es mucho menor que 1. As´ı, el término de la derecha puede tratarse como una perturbación. Puede escribirse entonces: u = u0 + v, (2.148) que será reemplazada en u00 + u − Cu2 = 0 con C = 3α/2. El coeficiente tiene valor 1 y es un indicador del orden de la perturbación. As´ı: u000 + u0 + (v 00 + v − Cu20 ) = 0. A orden cero la ecuación tiene la forma u000 + u0 = 0 y su solución es u0 = u∗0 sen (ϕ − ϕ0 ) =

1 sen (ϕ − ϕ0 ) = 1/r0 , r0∗

de donde r0∗ = r0 sen (ϕ − ϕ0 ) = cte. El valor m´ınimo de r0 se consigue en ϕ = π/2 si ϕ0 = 0, de modo que r0 sen ϕ = r0∗ , con u∗0 = 1/r0∗ . La figura 2.9 muestra que la trayectoria a orden cero es una recta horizontal, es decir que no hay deflexión. A primer orden en perturbaciones: v 00 + v = Cu20 . Reemplazando u0 se obtiene: v 00 + v = Cu∗0 sen 2 ϕ = cuya solución es: v=

Cu∗2 0 2

1+

C ∗ u (1 − cos 2ϕ), 2 0 1 cos 2ϕ . 3

2.

Gravitaci´ on /123

y LUZ

r0 r0∗ ϕ

x

Figura 2.9: Diagrama para movimiento de la luz con deflexi´ on nula, correspondiente a aproximaci´ on de orden cero en la ecuaci´ on de la geodésica

y 2δ i

d r0∗

LUZ

ϕ

a

δ

x δ

b

Figura 2.10: As´ıntotas para deflexi´ on de la luz. b es la as´ıntota de la direcci´ on de incidencia i de la luz, mientras a es la as´ıntota de la direcci´ on d de alejamiento de la luz.

Como = 1 la solución u = u0 + v es, entonces (figura 2.10): 1 1 C 1 u = = ∗ sen ϕ + ∗2 1 + cos 2ϕ . r r0 2r0 3

(2.149)

Esta ecuación es bastante cercana a la recta horizontal de la figura 2.9. Las as´ıntotas, correspondientes a r → ∞, deben ser cercanas a 0 y π y son simétricas alrededor del eje vertical en la figura 2.10. Si δ es un peque˜ no ańgulo ϕ medido respecto a la horizontal, y con cos δ ' 1 y sen δ ' δ la ecuación (2.149), con r → ∞, da lugar a: 2C 0 ' δ + ∗, 3r0 de donde δ ' −2C/3r0∗ . El signo “menos” significa que el ańgulo se mide por debajo del eje x, luego la luz (trayectoria punteada en la figura 2.10) se curva hacia abajo. La simetr´ıa de la figura implica que la diferencia angular entre el rayo incidente i y


el deflectado d en la figura 2.10 es ∆ = 2δ, esto es, que ∆ = 4C/3r0∗ , o también: ∆=

4GM . c2 r0∗

Para un rayo de luz que pasa rasante a la superficie del Sol (r0∗ es el radio solar) y en segundos de arco: ∆ = 1,7500 . Dos expediciones fueron organizadas en 1919, por Arthur Eddington y Frank W. Dyson, para estudiar desde Brasil y Nueva Guinea el eclipse total de Sol del 29 de mayo. La deflexión, calculada para luz rasante al disco solar (r0∗ = Rsol ) fue de 1,98±0,16 y 1,16±0,40. Las medidas de deflexión de luz de quasares están comprendidas entre 1,57±0,08” y 1,87±0,3”. A pesar de más de 50 a˜ nos de observaciones los errores en las medidas siguen siendo tan altos como al principio. Resultados más precisos han sido logrados con microondas, caso en el cual es suficiente con esperar que una radiofuente pase cerca al limbo solar.

2.15.4.

Ca´ıda libre

La tercera ecuación (2.132), reemplazando l de la primera, y con x0∗ = x0 para el campo de Schwarszchild, puede escribirse: α −1 h2 α ∗0 2 − 2. (x˙ ) − r˙ 2 1 − 1= 1− r r r

Si se reemplaza x∗0 de (2.104) y ϕ˙ = h/r 2 se sigue: r˙ 2 =

α E2 h2 − 1 − 1 − . m2 c 4 r r

(2.150)

Si un cuerpo cae en el campo de Schwarszchild desde el reposo en r0 > α, y puesto que h = 0, se tendrá, de (2.150), con E = mc2 (1 − α/r0 ): 1 1 − , r˙ 2 = α r r0 de modo que la part´ıcula comienza su movimiento desde el reposo, aumentando su velocidad mientras se acerca a la masa central; atraviesa la esfera de Schwarszchild r = α con una velocidad r˙ 2 = 1 − α/r0 , y se dirige hacia el origen coordenado. Si la part´ıcula comienza su movimiento desde el interior de la esfera r = α, resultará que r˙ 2 es mayor que cero solo si r < α para todo r, en otras palabras si la part´ıcula se dirige al centro. As´ı, un cuerpo no puede salir del interior de la esfera de Schwarzschild, la que seg´ un lo anterior se comporta como un agujero negro.

2.

2.15.5.

Gravitaci´ on /125

El radio de Schwarzschild

El elemento de l´ınea (2.111) tiene singularidades en r = α y r = 0. Sin embargo el cálculo de las componentes f´ısicas del tensor de Riemann-Christoffel expresadas en (2.113) demuestran que la u ńica singularidad f´ısica es r = 0. Aunque el campo de Schwarzschild es perfectamente regular, excepto para r = 0, no obstante presenta propiedades notables en las cercan´ıas de r = α. En (2.97), dτ (1) y dτ (2) son intervalos de tiempo propio medidos por observadores en reposo en los puntos r1 y r2 . Supóngase que r2 → ∞, de modo que: s dτ (1) g00 (2) =p dτ (2) = dτ (1) , g00 (1) 1 − α/r

lo que indica que a un intervalo de tiempo propio dτ (1) le corresponde un intervalo de tiempo propio dτ (2) tanto mayor cuanto más cerca esté r1 de α: cuando r1 → α, dτ (2) → ∞. Por lo tanto, las velocidades de las part´ıculas de prueba, medidas por observadores en reposo en r2 son tanto más peque˜ nas cuanto más cerca se encuentren al radio de Schwarszchild. Esto es cierto incluso para la luz, que “se queda quieta” en el radio r = α. En consecuencia, ninguna part´ıcula puede escapar del radio de Schwarszchild. Rec´ıprocamente, para un observador cercano al radio de Schwarzschild todas las part´ıculas que se le acerquen desde puntos lejanos se mueven con velocidades tanto más cercanas a la de la luz cuanto más cerca a r = α se encuentren, y a cada intervalo de tiempo propio dτ (2) corresponderá un intervalo dτ (1) tanto menor cuanto más cerca se encuentre r1 a α. En términos de (2.98), un rayo de luz emitida por una fuente cercana a r = α tendrá una frecuencia menor para un observador lejano, es decir, que la luz experimenta un corrimiento al rojo. En este sentido la superficie r = α es de corrimiento infinito al rojo. Rec´ıprocamente, un observador cercano al radio r = α encontrará que la luz que viene de lejos experimenta corrimiento al azul, hasta el punto de ser infinito si el observador está en reposo en r = α. El radio de una estrella ordinaria es muchas veces mayor que α. Sin embargo es posible por colapso gravitacional, a partir de estrellas supermasivas, la formación de objetos en los que su masa entera queda en el interior de la superficie r = α. Ellos son los agujeros negros. A continuación se muestran la masa, el radio y el radio de Sschwarzschild (R s ) para algunos cuerpos. Objeto

M asa

Sol Tierra Protón

1, 98×1030 kg 5, 98×1024 kg 1, 67×10−27 kg

Radio

Rs

6,96×105 km 2, 94 km, 6, 37×103 km 8, 86 mm, −−− 2, 48×10−54 m.


2.16.

La gravitaci´ on y los sistemas f´ısicos

Supóngase un sistema f´ısico en ausencia de gravitación, del cual se conocen sus ecuaciones básicas en forma tensorial. Vale decir que las ecuaciones que lo describen contienen los tensores de la relatividad especial. Puesto que el principio de covarianza exige escribir las ecuaciones en forma tensorial general, es decir, invariante bajo transformaciones generales de coordenadas, entonces los tensores deberán reemplazarse por tensores generales y las derivadas parciales por derivadas covariantes; los ´ındices tensoriales se subirán con g µν en vez de η µν . Este procedimiento equivale a conocer las ecuaciones del sistema f´ısico en un peque˜ no entorno de un sistema geodésico, donde vale la relatividad especial, y a reemplazarlas por ecuaciones covariantes generales. Los tensores generales deberán reducirse a sus formas conocidas en relatividad especial cuando se eval´ uen en un sistema geodésico. Esta es la forma de introducir la gravitación en los sistemas f´ısicos. Como un ejemplo simple de escritura de ecuaciones en forma covariante general considérese el campo electromagnético. Ante todo recuérdese que en relatividad especial las ecuaciones de Maxwell tienen la forma: 4π ν J c φνρ,µ + φµ,ν,ρ + φρµ,ν = 0, φµν,µ =

con φi0 = Ei y φij = −Bk (c´ıclico). El campo electromagnético φµν puede obtenerse del potencial electrodinámico Aµ mediante la regla: φµν = Aν,µ − Aµ,ν Estas ecuaciones son invariantes bajo transformaciones de Lorentz. Para obtener las ecuaciones de Maxwell en un campo de gravitación basta exigir que sean invariantes bajo transformaciones generales de coordenadas y reemplazarlas por: 4π ν J , c φνρ;µ + φµν;ρ + φρµ;ν = 0, φµν = Aν;µ − Aµ;ν . φµν;µ =

(2.151)

Estas son las ecuaciones de Maxwell en un campo gravitacional. Otro ejemplo simple es la conversión de la ley de conservación del momentoenerg´ıa que en relatividad especial tiene la forma T µν,ν = 0, y que en relatividad general se escribe se escribe T µν;ν = 0. En un sistema geodésico la ley de inercia se escribe dx˙ ν /ds = 0 y en coordenadas generales toma la forma Dx˙ ν /Ds = 0 = ν dx˙ ν /ds + σρ x˙ σ x˙ ρ , donde D indica un diferencial covariante.

2.

Gravitaci´ on /127

Problema: La ley de Gauss para el campo electromagn´ etico en relatividad general tiene la forma 2.151. Expresada en t´ erminos de la derivada ordinaria es: 1 ∂ √ µν 4π ν ( gφ ) = J . √ g ∂xµ c H´ agala espec´ıfica para campo d´ ebil; deseche t´ erminos en 1/c4 ; utilice φi0 = Ei , φ12 = B3 , g = −∇φ, y demuestre que las leyes de Gauss y Amp` ereMaxwell se escriben: 1 g · E = 4πρ c2 4π 1 ∂E 1 J+ . ∇×B− 2 g×B= c c c ∂t

∇·E−

2.17.

El problema variacional

En las l´ıneas que siguen se desarrolla la formulación variacional de la teor´ıa de Einstein del campo métrico.

2.17.1.

Preliminares

La densidad escalar de curvatura, en la que pproblema variacional en p se basa el relatividad general, se define en la forma R = −|g|R = −|g|g µν Rµν , donde R es el escalar de curvatura y |g| es el determinante del tensor métrico. El signo ‘menos’ dentro del radical logra que la ra´ız cuadrada sea real, ya que la signatura de g µν es (1, −1, −1, −1). As´ı: R

= = =

h p σ ρ σ ρ σ i σ −|g|g µν Rµν = −|g|g µν µσ − µν + µσ νρ − µν σρ ,ν ,σ h h i p σ i p σ ρ σ σ ρ µν µν − µν σρ + −|g|g − µν −|g|g νρ µσ ,ν µσ ,σ h p σ i σ −|g|g µν µσ − µν − L,

p

,ν

,σ

donde se ha definido L en la forma: L=

h i p σ ρ σ ρ −|g|g µν − µσ νρ + µν σρ .

(2.152)

La función L no es una densidad escalar (pues no tiene las propiedades correctas de transformación), como s´ı lo es R, pero es más conveniente ya que no contiene segundas derivadas de gµν , y tiene una forma análoga al lagrangiano de la dinámica, µν pues en (2.152) σ g tiene el papel de las coordenadas, mientras las derivadas que aparecen en σρ tienen el papel de velocidades y aparecen al cuadrado.


Entonces, R puede escribirse: h hp p i i µν σ µν σ − R = −|g|g −|g|g µσ µν ,ν ,σ h i i h p σ p σ µν µν + − µσ −|g|g −|g|g + µν −L ,ν

,σ

= {C} + {B} − L.

El corchete superior es {B}, el inferior es {C}. En lo que sigue tomamos en cuenta las identidades: µ ν g µν;α = g µν,α + αβ g βν + αβ g µβ = 0, de donde: µ ν g µν,α = − αβ g βν − αβ g µβ ; también: (2.153) p p β −|g| αβ = ( −|g|),α , y (2.154) p p α µν −|g| µν g = ( −|g|g αν ),ν . (2.155)

Realizando las derivaciones en ν y σ en el corchete {B} y reemplazando las p derivadas de g µν y −|g| se sigue: h i p ρ σ ρ σ {B} = 2 −|g|g µν µν σρ − ρν σµ = 2L ; as´ı: R = {C} + {B} − L = {C} + L hp hp σ i ν i = −|g|g µν µσ −|g|g µσ µσ − +L ,ν

= E ν,ν − F ν,ν + L.

Z

,ν

(2.156)

Integrando en el 4-volumen y teniendo en cuenta el teorema de la divergencia: Z Z Z Z R d4 x = L d4 x + [E ν,ν − F ν ,ν ] d4 x = L d4 x + [E ν − F ν ] dσν . (2.157)

La integral de hipersuperficie dσα se anula si la integral se extiende sobre todo el espacio-tiempo, tal que: Z Z 4 R d x = L d4 x. (2.158)

2.17.2.

La acci´ on gravitacional

La variación de la integral de acción para el campo gravitacional, de acuerdo con (2.158), se escribe en la forma: Z Z Z p (2.159) δSg = δ R d4 x = δ R −|g| d4 x = δ L d4 x.

2.

Gravitaci´ on /129

p donde R y −|g| d4 x son funciones escalares, y por tanto Sg es un escalar. La variación δ será realizada teniendo en cuenta que δgµν y δgµν,σ se anulan en la frontera del volumen 4D; tal frontera es un volumen 3D con 4-vectores de hipersuperficie dσµ . Ahora bien, reorganizando (2.152) puede escribirse:

L=

p

−|g|g µν

h σ ρ µν

σρ

−

ρ σ i µσ

νρ

= U − V.

(2.160)

Hemos de calcular δU y δV , definidos en la ecuación anterior. Para evaluar δU , cambiando ρ por α y σ por β: δU

p p p α β α β α β = δ µν αβ g µν −|g| = µν δ αβ g µν −|g| + αβ g µν −|g|δ µν p p α µν p β β α α −|g|,α + αβ δ µν g µν −|g| − αβ µν δ(g µν −|g|) = δ g µν p p α µν p β α β αν = −|g| −|g| δ g − δ g − αβ µν δ(g µν −|g|). ,α µν αβ ,ν

Para pasar del primer renglón al segundo se ha utilizado la identidad (2.154), y para pasar del segundo al tercero la identidad (2.155). Ahora bien, para evaluar δV de (2.160), cambiamos σ por α y ρ por β: δV

p p β α µν p α β α β µν g g δ δ µα νβ g µν −|g| = δ µα −|g| + −|g| νβ νβ µα p p β α µν p α β β α µν µν −|g| + δ νβ −|g| + µα νβ δ(g −|g|) = δ µα g g µα νβ p p p β α β β α α = δ µα g µν −|g| + δ µα g µν −|g| + µα νβ δ(g µν −|g|) νβ νβ p p β α β α = 2 δ µα g µν −|g| + µα νβ δ(g µν −|g|). νβ

=

El segundo sumando de la primera l´ınea, por cambio de ´ındices repetidos, se ha convertido en el segundo de la segunda l´ınea, que es igual al primero de la segunda. Se sigue: δV

h p i p β α β α 2 δ µα g µν −|g| νβ − µα νβ δ(g µν −|g|) β α µν p + δ(g −|g|) µα νβ p p α β β α = 2δ µα g µν −|g| νβ − µα νβ δ(g µν −|g|).

=


El primer término a la derecha de la igualdad es: δ = = =

p 1 βσ α µν δ g [µα, σ]g −|g| νβ νβ 2 p α + g βσ gασ,µ g µν − g βσ gµα,σ g µν ) −|g|] νβ

β µν p g −|g| µα

α

=

1 δ[(g βσ gµσ,α g µν 2 p p α 1 α 1 δ[g βσ gµσ,α g µν −|g|] νβ = δ[g βσ ((g µν gµσ ),α − gµσ g µν,α ) −|g|] νβ 2 2 p p α α 1 1 βσ µν − δ[g gµσ g ,α −|g|] νβ = − δ(g βν,α −|g|) νβ . 2 2

En el segundo renglón los dos u ´ltimos términos son idénticos, como puede demostrarse por intercambio de ´ındices mudos. Entonces: δV =

− −

En consecuencia: δL

= = + = +

p β α α βν p δ(g ,α −|g|) − µα νβ δ(g µν −|g|) νβ p β α α µν p δ(g ,α −|g|) − µα νβ δ(g µν −|g|). νµ

δU − δV p p α µν p β β α δ(g −|g|,α ) − αβ δ(g αν −|g|),ν ) − αβ µν δ(g µν −|g|) µν p α µν p β α δ(g ,α −|g|) + µα νβ δ(g µν −|g|) νµ p α β − µβ δνα δ(g µν −|g|),α µν p α β β α µν δ(g − −|g|). (2.161) µν αβ µα νβ

El cuarto renglón puede escribirse: i h p α β − µβ δνα δ(g µν −|g|) µν

por lo que:

δL

= + =

h α h

µν

β µβ ,ν

− −

β µβ

,α

−

α µν

−

i p δνα δ(g µν −|g|)

α

α β

β µβ

δνα

,α

δ(g µν

p

−|g|),

,α

β α i

+ νβ µα − µν ,α h i p α β µν α δ(g −|g|) − δ ν µν µβ

p µν −|g|) δ(g αβ µν p + Rµν δ(g µν −|g|),

,α

donde se ha introducido la definición (1.98) del tensor de Ricci-Einstein.

2.

2.17.3.

Gravitaci´ on /131

M´ınima acci´ on gravitacional

Entonces, reemplazando en (2.159), y teniendo en cuenta que la integral de [ ] ,α en el 4-volumen es nula, se obtiene: Z Z Z p δSg = δ L d4 x = δL d4 x = Rµν δ(g µν −|g|) d4 x Z i hp p −|g|δg µν + g µν δ −|g| d4 x. (2.162) = Rµν La variación δ cando por δxα : g σρ

p −|g| se obtiene del siguiente modo: de (1.51) y (1.54) multipli-

∂gσρ α δx ∂xα

=

g σρ δgσρ = −gσρ δg σρ =

=

δ ln(−|g|) =

∂ ln(−|g|) δxα ∂xα

1 δ(−|g|), (−|g|)

de donde: δ(−|g|) = |g| gσρ δg σρ y por tanto: δ

p

1 1p −|g| = p −|g| gσρ δg σρ . δ(−|g|) = − 2 2 −|g|

(2.163)

As´ı pues, de (2.162): δSg

= = =

p 1 −|g|δg µν − g µν −|g|gσρ δg σρ d4 x 2 Z p 1 −|g| Rµν − Rgµν δg µν d4 x 2 Z p −|g|Gµν δg µν d4 x,

Z

Rµν

p

(2.164)

donde Gµν , de acuerdo con (1.101), es el tensor de Einstein. Si no hay otros campos, y si la variación de la acción es nula (δSg = 0) se obtiene la ecuación de Einstein: Gµν = 0. Si hay otros campos cuya acción se representa por Sc puede escribirse: Z p (2.165) Sc = −K Q −|g| d4 x

donde Q es una función de los otros campos. En este caso la variación de la acción total es: Z p (2.166) δS = δ(Sg + Sc ) = δ [R − KQ] −|g| d4 x = 0.


La variación de la acción gravitacional está dada por (2.164), mientras la variación de la acción de los demás campos es: # p Z " p ∂( −|g|Q) µν ∂( −|g|Q) µν δg + δg ,α d4 x δSc = −K ∂g µν ∂g µν,α  p  ! p Z ∂( −|g|Q) ∂( −|g|Q) µν = −K  δg − δg µν  d4 x. ∂g µν ∂g µν,α ,α

La diferencia entre el primer y segundo renglón es un término de la forma ( ) ,α cuya integral en d4 x se anula, de modo que de (2.164) y (2.166):  p  !  p Z p ∂( −|g|Q) −|g|Q) ∂(  δg µν d4 x = 0. − δS =  −|g|Gµν − K  ∂g µν ∂g µν,α ,α

Si el paréntesis que acompa˜ na a K se escribe como: ! p p p ∂( −|g|Q) ∂( −|g|Q) = −|g|Aµν , − µν µν ∂g ∂g ,α

(2.167)

,α

la integral de acción toma la forma: Z p δ(Sg + Sc ) = [Gµν − KAµν ] −|g| δg µν d4 x = 0, de la que se sigue la ecuación del campo métrico: Gµν = KAµν . En forma más general, si la acción se escribe: Z p δS = δ [R + Λ − KQ] −|g| d4 x = 0,

donde Λ es una constante, se obtiene la ecuación del campo métrico con constante cosmológica: Gµν + Λgµν = KAµν . Excepto por la aparición de Aµν definido por (2.167) en vez del tensor momentoenerg´ıa Tµν , esta es la ecuación de Einstein (2.57). En lo que sigue se demuestra que, en el caso del campo electromagnético, Aµν es el tensor Tµν , aunque la igualdad

2.

Gravitaci´ on /133

es válida en general. En tal caso Q en (2.165), que es el lagrangiano del campo electromagnético, es: 1 1 1 1 Q = − 2 φµν φµν + Aµ J µ = − 2 φµν φαβ g µα g νβ + Aµ J µ . c 8π c 8π

Si se consideran φµν , Aµ y J µ independientes de g µν , entonces, reemplazando Q en (2.167), con: p ∂ −|g| 1p −|g| gσρ que se obtiene de (2.163), se sigue: =− σρ ∂g 2 1 1 β µν φ φρβ − φµν φ gσρ = Tσρ , Aσρ = − 4πc2 σ 4

donde Tσρ es el tensor momento-energ´ıa del campo electromagnético (2.47). As´ı pues, en general, la ecuación de Einstein tiene la forma: Gµν + Λgµν = KTµν .

2.17.4.

Momento-energ´ıa de la gravitaci´ on

De acuerdo a la ecuación de Einstein (2.49), la derivada covariante del tensor momento energ´ıa es nula, esto es: α β Tµ ν ;ν = Tµ ν ,ν − Tµ ν νβ − Tα β µβ p α 1 = Tµ ν ,ν − Tµ ν p ( −|g|),ν − Tα β µβ −|g| p α 1 ( −|g|Tµ ν ),ν − Tα β µβ = p −|g| p 1 1 ( −|g|Tµ ν ),ν − gβσ,µ T σβ = 0. = p 2 −|g|

Reemplazando T σρ = Gσρ /K de la ecuación de Einstein: p p 1 ( −|g|Tµ ν ),ν − gβσ,µ −|g|Gσβ = 0. (2.168) 2K ¿Es posible escribir el segundo sumando de esta ecuación como una divergencia? Con este propósito, de (2.152) se ve que L = L(gµν , gµν,σ ), de modo que: Z Z ∂L ∂L µν µν 4 δg + µν δg ,α d4 x δ Ld x = ∂g µν ∂g ,α # Z " ∂L ∂L ∂L µν µν µν = d4 x. δg + δg δg − µν ∂g µν ∂g µν,α ∂g ,α ,α ,α


El término intermedio, el que contiene la derivada en α, da lugar a una integral de hipersuperficie, la que se anula pues sobre ella la variación de g µν y su derivada es cero, por tanto: # Z Z " ∂L ∂L 4 − δg µν d4 x. (2.169) δ Ld x = ∂g µν ∂g µν,α ,α Reemplazando (2.164) y (2.169) en la variación de (2.157), y teniendo en cuenta el anulamiento de las integrales de hipersuperficie en (2.157) se obtiene una expresión para Gµν en términos de L: # Z "p ∂L ∂L −|g|Gµν − µν + δg µν d4 x = 0. ∂g ∂g µν,α ,α Si la acción es solo la del campo gravitacional, entonces, dado que la variación δg µν es arbitraria aunque infinitesimal, puede concluirse que: p ∂L ∂L . −|g|Gµν = µν − ∂g ∂g µν,α ,α Con un ligero cambio de ´ındices repetidos y multiplicando por g σν,µ puede escribirse: p

−|g|g σν,µ Gσν

= =

Pero también: p −|g|g σν,µ Gσν

= =

∂L ∂L ∂L σν σν − g ,µ σν g + ∂g σν ∂g ,α ,α ∂g σν,α ,µα ∂L ∂L + L,µ = Lδµα − g σν,µ σν (2.170) . − g σν,µ σν ∂g ,α ,α ∂g ,α ,α g σν,µ

p

p −|g|g σν,µ gασ gβν Gαβ = − −|g|g σν gαµ,σ gβν Gαβ p p (2.171) − −|g|gασ,µ Gασ = − −|g|gβσ,µ Gβσ .

Entonces, de (2.170) y (2.171):

p ∂L βσ α σν , − −|g|gβσ,µ G = Lδµ − g ,µ σν ∂g ,α ,α y reemplazando en (2.168): p ∂L 1 −|g| Tµ α + Lδµα − g σν,µ σν = 0, 2K ∂g ,α ,α

2.

Gravitaci´ on /135

que puede escribirse como: hp

donde se ha definido: p

−|g|(Tµ α + tµα )

−|g|tµα =

1 2K

i

,α

= 0,

Lδµα − g σν,µ

∂L ∂g σν,α

(2.172)

.

(2.173)

As´ı pues, se ha logrado expresar (2.168) en la forma (2.172) como una cantidad con divergencia nula. La cantidad tµα se conoce como pseudo-tensor momentoenerg´ıa del campo de gravitación. Este nombre viene en primer lugar del hecho de que la cantidad L definida en (2.152) y que aparece en (2.173) no es estrictamente un escalar, y de que el segundo sumando en (2.173) no se transforma como un tensor de segundo orden; es decir, desde el punto de vista matemático tµα no es un tensor, como s´ı lo es Tµ α . Hay que observar que L se anula en un punto de un sistema geodésico, tal que en tal punto tµα = 0. Puesto que esta cantidad no es un tensor, carece de sentido preguntar por la localización de la energ´ıa del campo gravitacional. Basta pensar en que de acuerdo con un observador situado en las cercan´ıas de la superficie terrestre una masa que cae libremente tiene energ´ıa cinética y potencial, pero no tiene ninguna de las dos para un observador en ca´ıda libre. Es decir, la conservaci´ on de la energ´ıa en un campo gravitacional no es un concepto covariante. La ecuación (2.172) es una ley de conservación en el sentido ordinario, lo que implica la conservación del momento-energ´ıa de la materia más el campo gravitacional. As´ı pues, puede decirse que el campo gravitacional porta momento-energ´ıa, solo que, como tµν no es un tensor general, su identificación con el momento-energ´ıa del campo gravitacional no es un procedimiento invariante, es decir, independiente del sistema de coordenadas 4D. Este resultado era de esperarse pues el principio de equivalencia asegura que el campo de gravitación puede eliminarse al menos en un punto en un sistema en ca´ıda libre. Puesto que tµα acompa˜ na a Tµ α resulta que el campo gravitacional contribuye a su propia fuente, lo que es la ra´ız f´ısica de la no linealidad de las ecuaciones de Einstein. Por integración de (2.172) sobre el 4-volumen: Z p Z p −|g|(Tµ α + tµα ) dσα2 [ −|g|(Tµ α + tµα )],α d4 x = σ Z 2p −|g|(Tµ α ) + tµα ) dσα1 − σ1

=

Pµ =

Z p

Pµ (2) − Pµ (1) ,

−|g|(Tµ α + tµα ) dσα

donde:


es el 4-pseudo vector de momento-energ´ıa. Cuando el “volumen” dσν tiende a infinito, puede asumirse que la integral provee el momento-energ´ıa total, si la integral converge y si el flujo a través de la superficie bidimensional cerrada tiende a cero. De este modo se obtiene una expresión definida y conservada para el 4-vector momentoenerg´ıa. Forma expl´ıcita de tµα

2.17.4.1.

De (2.173) puede escribirse: p ∂L ∂L 1 1 Lδµα − g σν,µ σν Lδµα − qn,µ −|g|tµα = = 2K ∂g ,α 2K ∂qn,α ∂L 1 Lδµα − Qm,µ = . (2.174) 2K ∂Qm,α En la primera l´ınea, en vez de g σν se ha introducido la notación qn . La suma sobre n de 1 a 10 equivale a la suma sobre los ´ındices σν. En la segunda l´ınea Q m es una función arbitraria de qm . La validez del segundo renglón se demuestra as´ı: Qm,σ =

∂Qm ∂Qm = qn,σ , ∂xσ ∂qn

de donde

∂Qm,σ ∂Qm ν = δ , ∂qn,ν ∂qn σ

∂L ∂Qm,σ ∂L ∂Qm ν ∂L ∂Qm ∂L = = δ = , ∂qn,ν ∂Qm,σ ∂qn,ν ∂Qm,σ ∂qn σ ∂Qm,ν ∂qn

entonces:

as´ı pues:

∂L ∂Qm ∂L ∂L qn,µ = qn,µ = Qm,µ , ∂qn,ν ∂Qm,ν ∂qn ∂Qm,ν como se quer´ıa demostrar. p Ahora bien, de (2.161) escogiendo Qm = −|g|g σν : δL

=

+ =

p β α δν δ(g σν −|g|),α − σβ σν p α β β α − αβ µν δ(g µν −|g|) νβ µα α β α β β α α − δ δQ + − αβ µν δQm , m,α ν σν σβ νβ µα

α

de donde se sigue: ∂L ∂Qm,ρ

= =

α σν

ρ σν

−

−

β σβ

β σβ

δνα

δνρ .

∂Q

m,α

∂Qm,ρ

=

α σν

−

β σβ

δνα δαρ

2.

Gravitaci´ on /137

As´ı, con un ligero cambio de ´ındices: α β ∂L = ρν − σβ δνα ; ∂Qm,α

reemplazando en (2.174) junto con L de (2.152), se obtiene finalmente la forma expl´ıcita del pseudotensor momento-energ´ıa del campo gravitacional: tµα =

1 h α βν ρ σ ρ σ α β α σν i δ g − βσ νρ + βν σρ − σν − σβ δν g ,µ . 2K µ

Es obvio, que esta cantidad se anula en un sistema geodésico.

********************************** Edwin Hubble (1889-1953). Tomado de http://www.edwinhubble.com/

3 Cosmolog´ıa relativista

3.1.

Introducci´ on

La relatividad general es una teor´ıa que describe la gravitación como un fen´ omeno geométrico en el que el espacio-tiempo es una entidad cuya estructura está determinada por la materia. A su vez, el espacio-tiempo determina el movimiento de los cuerpos que en él se ubican. El espacio-tiempo es un escenario cambiante, es parte de la acción del mundo. Es un campo dinámico. Y puesto que el espacio y el tiempo han de ser elementos básicos en la descripción del mundo a todos los niveles, entonces la nueva dinámica de la geometr´ıa ha de gobernar también el mundo cosmológico, la totalidad del universo. Esto significa que las más antiguas preguntas de la cosmolog´ıa podr´ıan plantearse desde la relatividad general con una nueva perspectiva. La cosmolog´ıa es una disciplina bastante antigua que está animada por una ambición de totalidad. No le importan a ella los detalles del mundo, es decir, la descripción de los fenómenos particulares que revelan la diversidad de lo sensible. Puesto que solo preguntas ambiciosas son el objeto de su indagación resulta ser entonces la hermana gemela de la metaf´ısica y la hermana menor de la ontolog´ıa. Su ambición no es el ser sino los fenómenos; basa su acción en el pensamiento matemático y en su adhesión a la observación. ¿Hasta dónde se extiende el universo visible? Es decir ¿hay l´ımite alguno en el espacio y el tiempo? ¿Cuál es su estructura? ¿Han tenido ellos alg´ un origen, o simplemente persisten desde siempre? ¿Son accesibles al esfuerzo del pensamiento abstracto, o exigen otro método para su comprensión? ¿El espacio y el tiempo mismos, supuesto sustrato de lo fenoménico, son susceptibles al rigor del método cient´ıfico? Hubo una cosmolog´ıa aristotélica, hubo una incipiente cosmolog´ıa matemática newtoniana que no alcanzó profundidad. La f´ısica de Einstein es, en este sentido, una

139


novedad. Es cosmolog´ıa cient´ıfica. Anuncia que el espacio y el tiempo son comprensibles desde una mirada matemática. Mirada vigilada por las exigencias de precisión que vienen del método, intención animada por imágenes controladas por peticiones de rigor y por afanes filosóficos de unidad, impelida por las sutiles imposiciones que la estética hace al pensamiento cient´ıfico, constre˜ nida por el compromiso con lo emp´ırico que a cada paso le evita caer en la pura abstracción, en la enso˜ nación sin soporte o en los profundos y a veces inoficiosos y estériles laberintos de la razón pura. Ciertamente la cosmolog´ıa es un acto de la imaginación, solo que debe ella responder por el orden interno de los hechos observados; y ante la ocasional ausencia de datos emp´ıricos debe responder –al menos– con la coherencia y la simplicidad de sus principios, pues el pensamiento preciso sobre el mundo quiere describirlo con armon´ıa, encontrar en su acontecer lo más parecido a un plan racional. La cosmolog´ıa relativista es un sue˜ no de la limitada razón humana que matematiza el mundo. El primer modelo cosmológico moderno, el descrito por Einstein como universo estático, es ya una revelación de l´ımites, pues en su base, casi sicológica, anida la idea ingenua de un universo inalterado en el tiempo, de un universo eterno. La introducción por Einstein de la constante cosmológica, enteramente compatible con la relatividad general, fue la concreción matemática de una idea milenaria: nada hay nuevo bajo el Sol. Poco tiempo después, el descubrimiento de Hubble de la recesión de las galaxias y el surgimiento de los modelos relativistas dinámicos llevar´ıan a la idea del origen del universo. La cosmolog´ıa −que no aspira a describir los detalles− supone que en promedio cada punto del universo es equivalente a cualquier otro, que el universo, en suma, es homogéneo, y que, mirado al menos desde alg´ un sistema de referencia particular, es el mismo en todas las direcciones; es decir, es también isotrópico. La implementación en la teor´ıa de Einstein de esta idea estética y de simplicidad toma el nombre de principio cosmol´ ogico, a partir del cual es posible plantear la forma más simple de la métrica del cosmos, la que se asocia a los nombres de Robertson y Walker. De ella surge una de las más hermosas ideas de la cosmolog´ıa moderna, la que sugiere que la recesión de las galaxias descubierta por Hubble, puede describirse diciendo que las galaxias en verdad no se alejan, que permanecen fijas en sus coordenadas; solo que como la métrica cosmológica cambia con el tiempo genera la ilusión observacional de la expansión del universo. Las galaxias no se mueven en el promedio del universo, es el espacio el que cambia: la expansi´ on del universo, en realidad, es expansi´ on del espacio. Las sistemáticas observaciones astronómicas de Hubble permitieron probar que la luz que viene de las galaxias es tanto más roja cuanto mayor es su distancia. Si el corrimiento hacia el rojo se interpreta como un efecto del movimiento, vale decir, como un efecto Doppler, entonces el universo se expande. Solo que seg´ un la versión cosmológica de la relatividad general el corrimiento Doppler puede entenderse como

3.

Cosmolog´ıa relativista /141

el resultado de una dilatación de la métrica sin cambio de coordenadas. Partiendo de la métrica cosmológica es posible dise˜ nar modelos del universo. Desde el modelo estático de Einstein, hacia otros que incluyen o ignoran la constante cosmológica y en los que el espacio se expande indefinidamente o se expande para luego contraerse, dependiendo de la constante de curvatura k que se introduce usando los modelos elementales con los que comienza este cap´ıtulo. Los modelos aqu´ı presentados tienen un rasgo com´ un: la materia cosmológica no responde por la existencia del espacio-tiempo. En un universo desprovisto de materia persiste el espacio-tiempo de Minkowski, lo que muestra que la relatividad general no implementa las ideas de Leibniz o Mach. Ni la relatividad general, ni la cosmolog´ıa de Einstein confirman que la estructura del espacio-tiempo se debe por entero a la materia: ni a las masas locales, ni a la materia cósmica que genera la métrica cosmológica. Es una teor´ıa donde el espacio-tiempo precede al mundo material, y goza por tanto del mismo caracter de absoluto que en la f´ısica de Newton tienen el espacio y el tiempo.

3.2. 3.2.1.

Espacios de curvatura constante Espacio bidimensional

¿Qué forma tiene el elemento de l´ınea en un espacio tridimensional euclidiano que satisface la condición x2 + y 2 + z 2 = a2 ? La ecuación x2 +y 2 +z 2 = a2 describe la superficie de una esfera. Por derivación: 2z dz = −d(x2 + y 2 ) , es decir:

dz = −

d(x2 + y 2 ) . 2(a2 − x2 − y 2 )1/2

Reemplazando dz en la expresión para el elemento de l´ınea dl 2 = dx2 +dy 2 +dz 2 se sigue: [d(x2 + y 2 )]2 dl2 = dx2 + dy 2 + . (3.1) 4(a2 − x2 − y 2 ) Puesto que la superficie es esférica conviene cambiar a las nuevas coordenadas x = a sen θ cos ϕ y y = a sen θ sen ϕ, con lo cual (3.1) se convierte en: dl2 = a2 [ sen 2 θ dϕ2 + cos2 θ dθ2 ] +

[d(a2 sen 2 θ)]2 , 4(a2 − a2 sen 2 θ)

de donde se obtiene: dl2 = a2 [dθ2 + sen 2 θ dϕ2 ],

(3.2)

que corresponde al elemento de l´ınea sobre una esfera, un subespacio 2D de curvatura constante positiva.


La curvatura de un espacio 2D es positiva si las curvaturas evaluadas sobre dos direcciones perpendiculares van en la misma dirección; en el caso de la esfera, la convexidad a lo largo de dos c´ırculos máximos perpendiculares va hacia afuera. La superficie de una esfera es un espacio 2D curvo, pues sobre ella no se cumplen las reglas de la geometr´ıa euclidiana; por ejemplo, la suma de los ańgulos de un triángulo dibujado sobre la esfera es mayor de 180◦ y la relación entre circunferencia y diámetro es menor que π. Nótese que en (3.2) solo aparecen dos dimensiones. La tercera, la radial, no es expl´ıcita; aparece solo mediante a2 , el radio de la esfera. 1 2 2 2 2 1 Con a lo largo R √ de u es R √(u , u ) = (θ, ϕ), g11 = a y g22 = a sen θ, la distancia 2 g11 dθ = a θ, y su valor máximo es πa; a lo largo de u es l2 = g22 dϕ = l1 = aϕ sen θ. Una circunferencia dibujada sobre la esfera, con centro en θ = 0, mide 2πa sen θ, de modo que la relación circunferencia/diámetro es (2πa sen θ)/(2aθ) = (R sen θ/θ)π = π e < π. REl a´rea total de la superficie esférica es finita e igual a A = √ g11 g22 dθ dϕ = a2 sen θ dθ dϕ = 4πa2 . El elemento de l´ınea (3.1), con a, b, c = 1, 2 y con convención suma sobre ´ındices repetidos, puede escribirse: xa xb [d(xa xa )]2 ∗ 2 = dxa dxb δab + 2 = gab dxa dxb , dl = dxa dxa + 4(a2 − xc xc ) a − x c xc ∗ expresión en la que gab es la métrica sobre la superficie esférica expresada en coordenadas cartesianas.

3.2.2.

Espacio tridimensional

3.2.2.1.

Espacio 3D de curvatura positiva

Dado un espacio euclidiano 4D, ¿cuál es el elemento de l´ınea que satisface la condición: x21 + x22 + x23 + x24 = xi xi + x4 x4 = a2 , (3.3) con i = 1, 2, 3 y convención suma? Por analog´ıa con el caso 2D, y dado que la ecuación anterior es la de una esfera en 4D, este espacio es de curvatura constante positiva. Se trata entonces de un espacio 3D esférico sumergido en un espacio 4D euclidiano. De (3.3) se sigue: xi dxi + x4 dx4 = 0, de donde dx4 = −xi dxi /(a2 − xk xk )1/2 . Reemplazando dx4 en la expresión para el elemento de l´ınea en 4D: dl2

xi xj dxi dxj dxi dxi + dx4 dx4 = dxi dxi + 2 (a − xk xk ) xi xj ∗ = gij dxi dxj . = dxi dxj δij + 2 a − x k xk

=

3.


Con x1 = r sen θ cos ϕ, x2 = r sen θ sen ϕ, x3 = r cos θ el elemento de l´ınea puede también escribirse: dl2 = dr2 + r2 (dθ2 + sen 2 θ dϕ2 ) +

[d(r2 )]2 , 4(a2 − r2 )

que conduce al elemento de l´ınea para un espacio 3D esférico: dl2 =

dr2 + r2 (dθ2 + sen 2 θ dϕ2 ). 1 − r 2 /a2

(3.4)

Obsérvese que no hay referencia directa a la cuarta dimensión (x4 ), la que aparece solo en el radio a de la hiperesfera. (3.4) describe el espacio interior r < a, por lo que r puede reparametrizarse en la forma r = a sen χ, de donde se sigue que r = 0 corresponde a χ = 0 y r = a a χ = π/2. En las coordenadas angulares (χ, θ, ϕ) el elemento de l´ınea se escribe, entonces: dl2 = a2 [dχ2 + sen 2 χ(dθ2 + sen 2 θ dϕ2 )].

(3.5)

Por lo cual gχχ = a2 , gθθ = a2 sen 2 χ, gϕϕ = a2 sen 2 χ sen 2 θ. Es fácil comprobar que la ecuación (3.3) se satisface si, además, se escribe x4 = a cos χ. Se llaman coordenadas isotr´ opicas (ρ, θ, ϕ) aquellas en las que dl 2 es proporcional al elemento de l´ınea euclidiano. Esto es: dl2 = λ(ρ)[dρ2 + ρ2 dθ2 + ρ2 sen 2 θ dϕ2 ].

(3.6)

Igualando (3.4) y (3.6) se obtienen las dos ecuaciones:

de donde, dr/

p

p

dr 1 − r 2 /a2

=

p λ(ρ) dρ

y

λ(ρ)ρ2 = r2 ,

1 − r 2 /a2 = rρ. /ρ; integrando en r y ρ se obtiene: " # p a + a 1 − r 2 /a2 ln =0 rρ/ρ0

es decir, r = 2aρ/ρ0 (1 + ρ2 /ρ20 ), de donde: λ(ρ) =

ρ20 (1

4a2 . + ρ2 /ρ20 )2

Si para ρ → 0 y r → 0 se sigue que λ → 1, se obtiene ρ0 → 2a. En consecuencia: λ(ρ) =

1 . (1 + ρ2 /4a2 )2


El elemento de l´ınea isotrópico se escribe, entonces: dl2 =

1 (1 +

ρ2 /4a2 )2

[dρ2 + ρ2 dθ2 + ρ2 sen 2 θ dϕ2 ] =

dσ 2 , (1 + ρ2 /4a2 )

donde dσ es el elemento euclidiano de l´ınea en 3D expresado en las coordenadas (ρ, θ, ϕ). Una variable radial adimensional u puede definirse como ρ = au, lo que permite escribir: dl2 =

a2 de σ2 a2 2 2 2 2 2 2 [du + u dθ + u sen θ dϕ ] = , (1 + u2 /4)2 )2 (1 + u2 /4)2

(3.7)

donde ahora de σ es el elemento de l´ınea adimensional en 3D. La distancia que puede recorrerse en dirección radial es: Z r Z r dr √ p D = grr dr = = a sen −1 (r/a) 1 − r 2 /a2 0 0 Z χ Z √ gχχ dχ = a = dχ = aχ = a sen −1 (r/a). 0

Avanzando en dirección radial, la distancia máxima que puede recorrerse corresponde a la coordenada r = a, esto es Dmax = aπ/2. Si se contin´ ua viajando en r, no se irá más lejos, sino que se retornará al punto de partida. Este espacio 3D es por tanto finito, y as´ı como la superficie de una esfera, no tiene l´ımites. El volumen total de este espacio 3D esférico es: Z 2π Z π Z π/2 Z √ gχχ gθθ gϕϕ dχ dθ dϕ = a3 V = sen 2 χ sen θ dχ dθ dϕ = π 2 a3 0

0

0

En este espacio el valor del cociente entre la medida de una circunferencia en la superficie (θ, ϕ) y el diámetro es: rπ =π e. a sen −1 (r/a) 3.2.2.2.

Espacio 3D de curvatura negativa

Para un espacio 3D de curvatura constante negativa las fórmulas correspondientes se obtienen de (3.4) cambiando a por ia: dl2 =

dr2 + r2 (dθ2 + sen 2 θ dϕ2 ). 1 + r 2 /a2

Introduciendo en vez de r la variable χ definida por r = a senh χ, puede escribirse, para r > 0: dl2 = a2 [dχ2 + senh 2 χ(dθ2 + sen 2 θ dϕ2 )]. (3.8) Es fácil verificar que la distancia en dirección radial es D = a senh −1 (r/a), de modo que para este espacio el volumen total es infinito.

3.

3.2.2.3.


S´ıntesis

En forma compacta los tres casos anteriores se expresan: dl2 =

dσ 2 dr2 + r2 (dθ2 + sen 2 θ dϕ2 ) = 2 2 1 − kr /a (1 + kρ2 /4a2 )2

.

(3.9)

Para k = 1 el espacio 3D es esférico y de curvatura constante positiva; este caso fué estudiado por Riemann. Para k = 0 el espacio es euclidiano, y para k = −1 es pseudoesférico, de curvatura constante negativa, y fué estudiado por Bolyai y Lobachevski. En el caso bidimensional una superficie de curvatura constante positiva es la de un balón. No existe, sin embargo en el espacio 3D una superficie de curvatura constante negativa; lo que más puede parecérsele es la superficie de una silla de montar (que es una porción de un cilindro hiperbólico), la que sin embargo tiene curvatura variable.

3.3.

Coordenadas gaussianas

La noción de simultaneidad, que implica la idea de un conjunto de puntos en el espacio 3D con la misma coordenada x∗0 (ver sección 2.14), no es una noción covariante. Como se verá en esta sección, tal noción puede generalizarse al concepto de “superficie espacialoide”. Por definición, una superficie espacialoide es un continuo espacial tridimensional del espacio-tiempo construido de tal modo que la separación entre cualquier dos puntos en él es espacialoide, esto es ds2 < 0. En la figura 3.1a la superficie σ es espacialoide, el 4-vector nσ es temporaloide y tσ es espacialoide. Esto significa que tσ tσ < 0 y nσ nσ > 0. Estos 4-vectores son ortogonales: nσ tσ = 0. En los puntos a y b de la figura 3.1a se muestran también dos conos de luz. La figura 3.1b muestra dos superficies S y S 0 , espacialoides, correspondientes a tiempos x0 y x0 + dx0 . A través de cada punto P en S puede trazarse una geodésica perpendicular a S que se extiende hasta cortar S 0 en P 0 . Los puntos P y P 0 tienen las mismas coordenadas espaciales, es decir, son el mismo punto del espacio en tiempos infinitesimalmente separados. Por definici´ on, en un sistema de coordenadas gaussianas dx0 es la longitud del 0 arco P P , esto es ds = dx0 , y las coordenadas espaciales se trazan sobre superficies espacialoides. A lo largo de la geodésica ds2 = g00 (dx0 )2 , por lo cual: g00 = 1. Una forma de satisfacer la condición nσ tσ = 0 es escribir nσ = (1, 0) y tσ = (0, a). As´ı pues: nσ tσ = gσν tσ nν = g00 t0 n0 + gi0 ti n0 + g0i t0 ni + gij ti nj = 0,


nσ

tα

a

σ

P 0 (x0 + dx0 , xi )

b P (x0 , xi )

a

b

Figura 3.1: a. El 4-vector nσ normal a la superficie espacialoide es temporaloide y el tangencial tα es espacialoide. b. Dos superficies espacialoides cercanas con las mismas coordenadas espaciales

de donde se concluye que gi0 = 0. As´ı, hasta ahora, el elemento de l´ınea toma la forma: ds2 = (dx0 )2 + gij dxi dxj . Ahora bien, de la ecuación de la geodésica (2.87) con µ = i y a lo largo de x 0 , esto es, con x˙ i = x ï = 0: i dx0 dx0 =0 00 ds ds i por lo cual 00 = 0, de donde se sigue: [00, i] = 0. De aqu´ı se sigue g0i = cte, y como g0i = 0 sobre S, entonces g0i = 0 en todos los puntos del espacio-tiempo. As´ı, para todo el espacio-tiempo es posible escribir el elemento de l´ınea en coordenadas gaussianas: ds2 = (dx0 )2 + gij dxi dxj . (3.10) Estas coordenadas separan espacio y tiempo e introducen un tiempo universal aunque no covariante.

3.4.

La m´ etrica cosmol´ ogica La cuesti´ on de si el universo en conjunto es euclidiano o no, fue muy discutida desde el punto de vista geom´ etrico antes del desarrollo de la teor´ıa de la relatividad, pero con la aparici´ on de esta el problema ha entrado en una nueva etapa, pues de acuerdo con la teor´ıa, las propiedades geom´ etricas de los cuerpos no son independientes de la distribuci´ on de las masas, sino que, por el contrario, dependen de ella. Einstein

En el primer cuarto del siglo XX la observación indicaba que la distribución de materia a gran escala es homogénea e isotrópica. Aceptando que la estructura geométrica del espacio-tiempo está condicionada por ella es aceptable postular que

3.


a escala cosmológica el espacio-tiempo es también homogéneo e isotrópico. Este se conoce como el principio cosmol´ ogico. Puede elegirse un tiempo cósmico tal que en cada instante la métrica espacial sea la misma en todo punto y dirección. Existe entonces un sistema de referencia desde el cual el universo aparece homogéneo e isotrópico. Desde otros sistemas de referencia estas simetr´ıas se ocultan, como en un sistema en movimiento respecto al primero. Este sistema privilegiado se conoce como sistema acompa˜ nante, y es un sistema referencial en reposo en cada instante respecto a la materia en ese punto, está unido a lo que se llamará el fluido cosmológico y viaja con él. As´ı, la red coordenada es arrastrada por el fluido cósmico. Seg´ un la condición de isotrop´ıa espacial las coordenadas deben aparecer como dσ 2 = dx2 + dy 2 + dz 2 o su equivalente esférico, es decir: ds2 = (dx0 )2 − dl2 = (dx0 )2 − eG(x

0

,r)

dσ 2

Debido a la isotrop´ıa, el coeficiente G(x0 , r) no tiene dependencia angular. Debido a la homogeneidad todos los puntos son equivalentes. En cualquier dos puntos la f´ısica es la misma y lo u ńico en que pueden diferir es la escala. As´ı, el cociente entre dos longitudes medidas en dos puntos diferentes debe ser constante en el tiempo, esto es: 0

eG(x ,r1 ) dl1 = f (r1 , r2 ) = G(x0 ,r ) = eF (r1 ,r2 ) , 2 dl2 e donde G(x0 , r1 ) = G(x0 , r2 ) + F (r1 , r2 ). Para que esto sea cierto G(x0 , r) ha de contener aditivamente funciones de x0 y r: G(x0 , r) = g(x0 ) + f (r), por lo cual F (r1 , r2 ) = f (r1 ) − f (r2 ). El elemento de l´ınea se escribe ahora: ds2 = (dx0 )2 − eg(x

0

)+f (r)

dσ 2 ,

(3.11)

y será conveniente usar coordenadas esféricas. Los s´ımbolos de Christoffel pueden evaluarse a partir de: δ

Z

ds = δ

Z

[(x˙ 0 )2 − eG (r˙ 2 + r2 θ˙2 + r2 sen 2 θ ϕ˙ 2 )]ds = 0.

Realizandoel problema variacional y comparando con la ecuación de la geodésica µ se obtiene νσ en términos de f (r) y g(x0 ). Pueden luego evaluarse Rµν y R. Con f 0 = df /dr y g 0 = dg/dx0 la ecuación de Einstein (2.57) que incluye la constante


cosmológica, toma la forma: 8πG • − 2 T 00 c 8πG 1 • − 2 T 1 c 8πG 2 • − 2 T 2 c

= = = =

• −

8πG µ T ν c2

=

2f 0 3 02 f 02 G 0+Λ= e + − g + Λ (3.12) f + 4 r 4 02 0 3 f f 00 1 −G 02 − g − g + Λ (3.13) G 1+Λ= e + 4 r 4 8πG 3 − 2 T 3 = G2 2 + Λ = G 3 3 + Λ c 00 f 3 f0 e−G − g 00 − g 02 + Λ + (3.14) 2 2r 4 0

0

para

−G

00

µ 6= ν.

(3.15)

Debido a la isotrop´ıa espacial, las componentes espaciales de Gµν no deben cambiar bajo rotación de coordenadas. De: T 0ij = ai k aj l T kl , e y con AA e = I, se sigue que T0 = T si T escrito en forma matricial como T0 = ATA, es diagonal (T = αI), con lo cual: e = αAIA e = αI. T0 = ATA

As´ı, con = T 11 = T 22 = T 33 , reemplazando en la resta de (3.13) y (3.14): 1 1 f 00 − f 02 − f 0 = 0, 2 r de donde f 0 = ar ef /2 . Por integración: ef =

b2 [1 − (ab/4)r 2 ]2

con a y b constantes. El elemento de l´ınea (3.11) es ahora: 0

ds2 = (dx0 )2 − eg(x

0

)+f (r)

dσ 2 = (dx0 )2 −

b2 eg(x ) dσ 2 . [1 − (ab/4)r 2 ]2

El coeficiente ab puede reemplazarse por otro de dimensión inversa a la longitud: ab = −k/r02 , con k = 0, ±1. De modo que el elemento de l´ınea en coordenadas espaciales isotrópicas, que toman en cuenta la isotrop´ıa de las componentes espaciales del tensor momento-energ´ıa tiene la forma: 0

ds2 = (dx0 )2 −

b2 eg(x ) dσ 2 . [1 + kr 2 /4r02 ]2

(3.16)

3.


Cambiando a la coordenada adimensional u = r/r0 , el elemento de l´ınea espacial se escribe: dσ 2 = r02 [du2 + u2 (dθ2 + sen 2 θ dϕ2 )] = r02 dχ2 , 0

y con x0 = ct y la definición del factor de escala R2 (t) = b2 r02 eg(x ) , (3.16) toma la forma conocida como métrica de Robertson-Walker, propuesta en 1935: ds2 = c2 dt2 −

R2 (t) dχ2 [1 + ku2 /4]2

.

(3.17)

En el sistema acompa˜ nante la materia está en reposo, lo que significa que las coordenadas de cada elemento del fluido cósmico son fijas en el tiempo; sin embargo la distancia espacial entre dos puntos es función del tiempo. Como se verá luego, después del estudio de la recesión de las galaxias descubierto por Hubble, R(t) es una función creciente del tiempo, con lo que la expansión del universo es interpretable como expansión del espacio. Es fácil comprobar que los elementos espaciales del tensor de Ricci-Einstein son independientes de la posición, como lo exige la homogeneidad e isotrop´ıa del espacio. En efecto, de (3.13), (3.14) y (3.15): 3 1 02 1 0 −g f + f e − g 00 − g 02 , (3.18) G1 1 = G2 2 = G3 3 = e−f 4 r 4 y como f 00 − 12 f 02 − 1r f 0 = 0 se sigue: 1 02 1 0 1 1 a f + f = f 00 + f 0 = ef , 4 r 2 2 b 1 a 1 e−f f 02 + f 0 = = cte. 4 r b

de donde:

La u ´ltima ecuación permite escribir (3.18) en la forma: G1 1 = G 2 2 = G 3 3 =

3 a −g e − g 00 − g 02 , b 4

que solo depende del tiempo, como se quer´ıa demostrar. La métrica de Robertson-Walker corresponde a un sistema acompa˜ nante. Para i probarlo basta verificar de (3.17) que 00 = 0; en consecuencia, si x˙ i = 0 en alg´ un instante: i x ï + 00 x˙ 0 x˙ 0 = 0, de donde se sigue que en cada instante la aceleración es nula: x ¨ i = 0. Esto significa que el fluido viaja con la red coordenada.


3.5.

Ley de Hubble

Las observaciones realizadas en los a˜ nos 20 del siglo pasado por Edwin Hubble revelaron que hay un corrimiento al rojo de la luz que viene de las galaxias y que este es tanto mayor cuanta mayor es la distancia L a la que se encuentran. El dezplazamiento al rojo, medido como el cambio fraccional en la longitud de onda, tiene la forma: ∆λ ∝ L. λ En forma de una igualdad: ∆λ L =H , λ c conocida como ley de Hubble. H se conoce como constante de Hubble; su inverso H −1 , conocido como tiempo de Hubble tiene un valor cercano a (5.6± 0.6)×10 17 seg, o en a˜ nos: (1.8± 0.2)×1010 . Es usual definir el par´ ametro de corrimiento al rojo z como: ∆λ , (3.19) z= λ tal que la ley de Hubble es también: cz = HL.

(3.20)

Si el corrimiento al rojo se interpreta como efecto Doppler debido al alejamiento de las galaxias, entonces, en aproximación no relativista β 1: s β 1+β β 0 1+ ' λ(1 + β), de donde: 'λ 1+ λ =λ 1−β 2 2 λ0 − λ v L ∆λ ' = =H , λ λ c c

por lo cual:

v = LH

O

•

to

E te

Figura 3.2: La luz emitida por una galaxia en E es recibida por un observador O

3.

3.5.1.


La expansi´ on del espacio

De la métrica de Robertson-Walker (3.17) es posible demostrar que existe un corrimiento en la frecuencia de la luz emitida por objetos distantes, aunque sus coordenadas permanezcan sin cambio con el tiempo. Tal corrimiento se debe a la presencia del factor R(t). En la figura 3.2 se muestra una galaxia E desde la que viaja una se˜ nal luminosa emitida en el instante te , se˜ nal que alcanza al observador O en el instante to , con to > te . Las coordenadas de la galaxia y el observador permanecen invariables, esto es, se mueven junto con el fluido cósmico. Puesto que la se˜ nal que viaja entre ellos es luminosa es cierto que ds = 0. As´ı, de (3.17): c2 dt2 =

R2 (t) dχ2 = R2 (t) dˆ σ2 [1 + ku2 /4]2

dˆ σ es una distancia coordenada adimensional definida como dχ/(1 + ku 2 /4), que es independiente del tiempo, mientras R(t) dˆ σ es una distancia f´ısica, dependiente del tiempo. Esto significa que la red coordenada espacial permanece inalterada pero la distancia f´ıısica puede cambiar dependiendo del valor de la métrica R(t). Por tanto: σ ˆ=c

Z

to te

dt , R(t)

(3.21)

que corresponde a la distancia coordenada entre emisión y recepción de la se˜ nal luminosa, permanece inalterada en el tiempo. Esto trae la consecuencia de que la luz emitida en el instante te + ∆te y recibida en te + ∆te recorre la misma distancia coordenada: Z to +∆to dt . (3.22) σ ˆ=c R(t) te +∆te De (3.22) restando (3.21) y puesto que: Z

to +∆to

= te +∆te

Z

to

+ te

Z

to +∆to

−

to

Z

te +∆te

, te

puede escribirse: Z

to +∆to te +∆te

dt − R(t)

Z

to te

dt =0= R(t)

Z

to +∆to t0

dt − R(t)

Z

te +∆te te

dt . R(t)

Como las integrales se realizan sobre un intervalo diferencial ∆t es cierto que: ∆t0 ∆te = . R(t0 ) R(te )


Si el intervalo temporal es el que separa dos máximos de una onda monocromática, entonces la frecuencia es ν = 1/∆t, de modo que: νe 1/∆te Ro λo = = = , νo 1/∆to Re λe con R(t0 ) = R0 , R(te ) = Re . As´ı pues, con la definición de z dada en (3.19): z=

λo − λ e ∆λ = , λ λe

de modo que:

Ro − 1. (3.23) Re La observación de Hubble revela que hay corrimiento al rojo de la luz de las galaxias, esto es λo > λe , lo que implica Ro > Re . Puesto que R(t) es un término métrico, esto significa que las distancias f´ısicas entre cada pareja de puntos aumentan con el tiempo, aunque las galaxias mantengan invariables sus coordenadas. As´ı pues, la recesión de las galaxias puede interpretarse en relatividad general como expansi´ on del espacio. Ahora bien, el factor 1/R(t) que aparece en (3.21) y (3.23) puede expandirse en una serie de Taylor alrededor de R0 : 2 1 d 1 1 1 1 d + (t − to )2 + ··· = + (t − to ) 2 R(t) Ro dt R to 2 dt R to 2 0 2 Ro c(t − to ) Ro0 1 c(t − to ) Ro00 1 − + 2 − = + · · ·(3.24) . Ro Ro cRo c Ro Ro 2 z=

Esta expansión es convergente para c(t − to )/Ro 1. Dos cálculos simples son entonces posibles: A. Reemplazando (3.24) en (3.21) e integrando se obtiene: σ ˆ=

c(to − te ) cRo0 (te − to )2 R 0 h2 + + ··· = h + o + ··· , 2 Ro 2Ro 2c

(3.25)

donde se ha definido: h = c(to − te )/Ro que es una cantidad mayor que cero. As´ı, en primera aproximación es cierto que: σ ˆ ' h.

(3.26)

B. De otro lado, si se hace t = te en (3.24) y se reemplaza en (3.23), haciendo uso de la definición de h, se obtiene: R00 R0 h Ro h2 Ro0 2 − o + ··· z= o + 2 (3.27) c c Ro 2

3.


y con h ' σ de (3.26): cz = Ro0 σ ˆ+

1 02 2 R σ ˆ (1 + qo ) + · · · 2c o

(3.28)

El factor qo se conoce como par´ ametro de desaceleraci´ on y ha sido definido en (3.28) la forma: R00 Ro (3.29) qo = − o 0 2 . Ro En primera aproximación, y como L = R0 σ ˆ la ecuación (3.28) reproduce la ley de Hubble (3.20): Ro0 R0 (Ro σ ˆ ) = o L = HL. Ro Ro si se define la “constante” de Hubble en la forma: cz ' Ro0 σ ˆ=

H=

Ro0 . Ro

(3.30)

En general, R0 es una función del tiempo como lo es R, tal que H no es una constante. El valor de H escrito como Ro0 /Ro está evaluado en el instante de observación, vale decir, en el universo actual. As´ı pues, seg´ un (3.28), la ley de Hubble admite una forma más general que incluye la desaceleración de las galaxias, efecto que newtonianamente es atribuible a la gravitación del universo sobre s´ı mismo. Entonces: HL H 2 L2 1 Ro0 2 L2 (1 + qo ) = HL 1 + (1 + qo ) . (1 + qo ) = HL + cz ' HL + 2c Ro2 2c 2c De la definición (3.30) fácilmente puede probarse que: 1 1 HL d d = 1 + q0 y que, por tanto cz ' HL 1 + . dt H 2c dt H

3.6.

Modelos cosmol´ ogicos

De acuerdo con el principio cosmológico, la presión y la densidad del fluido cósmico dependen del tiempo, pero no de la posición. En el sistema acompa˜ nante es cierto que x˙ 0 = 1, x˙ i = ui = 0, tal que de (2.46) con g00 = 1 y u0 = u0 se sigue:   ρ 0 0 0  0 −P/c2  0 0 . T µν =  2  0  0 −P/c 0 2 0 0 0 −P/c


Insertando las componentes de este tensor, y los valores de f y g dados por: ef =

b2 , [1 + kr 2 /4r02 ]2

eg =

R2 (t) b2 r02

en las ecuaciones de (3.12) a (3.15) se obtiene: 3k 3R02 8πG ρ = −Λ + + 2 2 c2 R2 c R k 8πG P R02 2R00 =Λ− + 2 2+ 2 . c2 c2 R2 c R c R

(3.31) (3.32)

Combinando las dos anteriores ecuaciones se sigue: 4πG ρ+ c2 4πG ρ+ c2

3P 3R00 = Λ − c2 c2 R R02 − RR00 k 1 d R0 P k . = 2− 2 = 2− c2 R c2 R 2 R c dt R

(3.33) (3.34)

Eliminando el u ´ltimo término de (3.34) con el que se obtiene derivando (3.31) respecto al tiempo, puede escribirse: P dR3 d ρR3 + 2 = 0, dt c dt

que equivale a:

dR dρ + = 0. R 3[ρ + P/c2 ]

(3.35)

(3.36)

Esta ecuación puede resolverse si se provee la ecuación de estado P = P (ρ); puede entonces obtenerse ρ = ρ(R). Dos casos simples son como sigue: A.

P = 0, de donde: ρR3 = cte.

B.

Gas ideal: P = αρ, de donde: ρR3(1+α/c

2

)

= cte.

De las anteriores consideraciones surgen diversos modelos.

3.

3.6.1.


Modelos est´ aticos

En estos casos ρ, P y R son independientes del tiempo, por lo cual, en particular no contienen corrimiento al rojo. Las ecuaciones (3.31) a (3.34) toman la forma: 8πG 3k ρ = −Λ + 2 , c2 R 8πG P k = Λ − 2, c2 c2 R 3P 8πG ρ + = Λ, c2 c2 P k 8πG ρ + = 2. 2 2 c c R 3.6.1.1.

(3.37) (3.38) (3.39) (3.40)

A. El universo de Minkowski

Si Λ = 0, de (3.39) se sigue: ρ + 3P/c2 = 0. Puesto que ρ ≥ 0 y P ≥ 0 se concluye que ρ = P = 0, y en consecuencia, de (3.40): k = 0. Este es un universo vac´ıo, plano en el espacio y uniforme en el tiempo. En este universo es válida la relatividad especial. Como se ve, la relatividad general admite el espacio-tiempo puro, sin materia. 3.6.1.2.

B. El universo de Einstein

Este modelo fue propuesto por Einstein en 1917, a˜ nos antes del descubrimiento de Hubble, y está fundamentado en su creencia, en esos a˜ nos, en un universo estacionario. Esto precisamente fue lo que motivó la introducción de la constante cosmológica. De (3.37) y (3.38), con ρ > 0 y P > 0: −Λ +

3k >0 R2

y

Λ−

k > 0, R2

de donde:

k 3k < Λ < 2, R2 R de modo que Λ es proporcional al inverso del “radio” al cuadrado del universo, lo que asegura que la constante cosmológica ha de ser sumamente peque˜ na y no importante a nivel del sistema solar. De (3.40) se sigue que: R2 =

kc2 , 4πG(ρ + P/c2 )


cantidad que es mayor que cero, luego k = 1. Este, entonces, es un universo esférico, finito e ilimitado. Como ρ P/c2 es cierto que el radio del universo de Einstein es: p R ' c/ 4πGρ, que da un n´ umero cercano a 1026 m.

3.6.2.

Modelos din´ amicos

En los modelos que siguen ρ, P y R dependen del tiempo. 3.6.2.1.

A. Sin constante cosmol´ ogica

De (3.31) con Λ = 0: 3kc2 3R02 = . (3.41) 2 8πGR 8πGR2 Si esta expresión se eval´ ua en el universo presente, con densidad ρ0 y R00 /R0 = H se obtiene: 3H 2 3c2 ρ0 − , (3.42) =k 8πG 8πGR02 ρ−

que puede escribirse:

ρ0 = ρ C + k

3c2 8πGR02

,

donde:

3H 2 8πG define la densidad cr´ıtica, valor cercano a (2,1 ± 0,5) × 10−29 gr/cm3 . De (3.33) con Λ = 0: 4πG 3P 3R00 ρ + =− 2 . 2 2 c c c R ρC =

(3.43) (3.44)

(3.45)

Puesto que ρ > 0 y P > 0 es cierto que R00 < 0, lo que significa que hay desaceleración, la que se debe a la atracción que el universo ejerce sobre s´ı mismo. Además, como aproximación, la presión puede suponerse muy débil (P/c 2 ρ); eliminando ρ entre (3.41) y (3.45): 2R00 R + R02 + kc2 = 0,

(3.46)

que puede escribirse como (RR02 )0 + kR0 c2 = 0 y cuya integral es: R02 =

D0 − kR 2 c . R

(3.47)

3.


De (3.46), en la que R00 < 0, y con (3.47) puede concluirse que D0 > 0: R00 = −

kc2 + R02 D0 c 2 =− < 0. 2R 2R2

(3.48)

De (3.45) y (3.48) con P ' 0: R00 = −

D0 c 2 4πG ρR = − , 3 2R2

(3.49)

de donde se concluye que ρR3 es constante: 2G 4π 3 D0 = 2 ρR c 3 A continuación se analizan los tres casos posibles para k. A1. Espacio 3D esf´ erico Un espacio 3D esférico corresponde al caso k = 1, en el cual, de (3.47): √ R dR √ = c dt. D0 − R Introduciendo el cambio de variable R = D0 sen 2 τ (t) e integrando se obtienen las ecuaciones paramétricas de una cicloide: D0 (2τ − sen 2τ ) 2 D0 (1 − cos 2τ ). R= 2 ct =

Esta ecuación se representa en la figura 3.3, de acuerdo con la cual se trata de un universo que comienza su expansión desde R = 0 en τ = t = 0; alcanza su máximo radio Rm = D0 en t = D0 π/2c y luego se contrae hasta alcanzar un radio cero en t = D0 π/c. Se le llama “universo cerrado”. En los cálculos anteriores el instante t = 0 no puede sin embargo considerarse correctamente descrito pues se ha supuesto P = 0 en todo t, lo que no es cierto para t → 0. Reemplazando R02 y R00 de (3.47) y (3.49) en (3.29) se obtiene 1 R = D0 1 − . (3.50) 2q Los valores extremos de R que son 0 y Rm corresponden a valores extremos de q iguales a 1/2 e ∞, de modo que en este modelo q > 1/2. Reemplazando R 0 de


R(t) D0

t t = D0 π/c

t=τ =0

Figura 3.3: Cambio con el tiempo del radio del universo en un modelo esférico

(3.47) en H = R0 /R y utilizando el valor obtenido de D0 en (3.50) se obtiene el radio actual del universo en el modelo esférico: R0 =

c . H(2q0 − 1)

Con q0 = 1,0 ± 0,5 y H −1 = (5,6 ± 0,6) × 1017 seg se obtiene R0 ' 1026 m. Reemplazando en (3.43): 3c2 . ρ0 = ρ C + 8πGR2 De modo que en un universo esférico la densidad promedia es mayor que la cr´ıtica, lo que también se concluye de (3.49), (3.29) y la definición de H: q0 =

1 ρ0 . 2 ρC

(3.51)

Puesto que q0 > 1/2 se sigue que ρ0 > ρC . A2. Modelo de Friedmann Para este modelo, propuesto en 1922, k = 0, tal que seg´ un (3.47): R 02 = D0 c2 /R, cuya integración conduce a: R3/2 =

3 D0 ct + C. 2

Si R = 0 en t = 0 sera cierto entonces que: R = A t2/3 , √

(3.52)

con A = (3c D0 /2)2/3 . Este modelo, representado en la figura 3.4, corresponde a un universo euclidiano en expansión continua a partir de un origen explosivo, como en el caso k = 1. Es un “universo abierto”. De (3.47) y (3.49) se obtiene q0 = 1/2; y de (3.51): ρ0 = ρC .

3.


A3. Espacio 3D pseudoesf´ erico Corresponde a k = −1. De (3.47): R02 =

D0 + R 2 c , R

cantidad que es mayor que cero, lo que implica una expasión continua sin fase de contracción como en el caso k = 1. Es también un “universo abierto”. Escogiendo el cambio de variable R = D0 senh 2 τ la solución a la ecuación para R02 conduce a: ct =

D0 ( senh 2τ − 2τ ). 2

(3.53)

Los modelos sin constante cosmológica A1, A2 y A3 se muestran en la figura 3.4. En todos ellos hay un corrimiento al rojo y un origen en el tiempo al que se conoce como Big-Bang, la gran explosión.

c

R(t)

b a O

t

Figura 3.4: Modelos de universo. La curva a corresponde a k = 1 (universo cerrado), modelo A1 en el texto; la curva b a k = 0 (universo abierto, modelo A2, y la curva c a k = −1 (universo abierto), modelo A3

3.6.2.2.

B. El universo de De Sitter

Este modelo, propuesto en 1917, tiene una constante cosmológica no nula y asume que H es una constante. De acuerdo con la definición (3.30), si H = R 0 /R es una constante, entonces: R = R0 eHt . (3.54) En este modelo, representado en la figura 3.5, no hay singularidad en el origen, y describe un universo en expansión continua con corrimiento al rojo como en los modelos con Big-Bang. De (3.33), (3.34) y (3.54): 4πG 3P 3H 2 (3.55) ρ + = Λ − 2 = cte 2 2 c c c 4πG P k ρ + = 2 e−2Ht . (3.56) c2 c2 R0


R(t)

R0

t

Figura 3.5: Evoluci´ on del radio del universo seg´ un el modelo de De Sitter

De (3.56) se sigue que ρ + P/c2 → 0 en t → ∞ de modo que ρ = ρ0 e−2Ht y P = P0 e−2Ht . Sin embargo, de (3.55): ρ + 3P/c2 = cte, lo que implica ρ0 = P0 = 0 y por tanto Λ = 3H 2 /c2 . En consecuencia este es un universo vac´ıo y sin embargo en expansión. El valor de la constante cosmológica es: Λ=

3H 2 1 −2 = (a˜ nos luz) . 2 c (1,8 × 1010 )2

De la ecuación de Einstein con constante cosmológica, (2.57), multiplicando por gνσ , igualando ´ındices y teniendo en cuenta que T = T σσ = 0 se sigue: R = 4Λ, de modo que R 6= 0. Esto significa que el espacio-tiempo de De Sitter es curvo. La expansión del universo de De Sitter proviene exclusivamente de Λ positivo, que da lugar a una acción repulsiva (véase el final de la sección 2.8).

***************************************** ***************************** ****************

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Índice alfab´ etico Aceleración ca´ıda libre, de, 55 Base bilineal, 12 original, 5 rec´ıproca, 5, 6 Bianchi, identidad de, 38 Big-Bang, 159 Birkhoff, teorema de, 110 Cálculo, variaciones, de, 17 Ca´ıda libre, 49, 124 aceleración de, 55 Campo Christoffel, de, 62 cuasi-euclidiano, 63 débil, 85 gravedad, de, 49 gravitacional, 53 newtoniano, 49 mareas, de, 49, 60, 64 vectorial, 11 Carga, gravitacional, 52 Cavendish, 52 Christoffel s´ımbolo de, 21 s´ımbolos de, 67, 107 Cociente,regla del, 16 Coeficientes, métricos, 6 Componentes covariantes, 46

f´ısicas, 46 Condición(es) armónica, 84 coordenadas, 83 Conexión af´ın, 30 Constante cosmológica, 79 Einstein, de, 75 Contracción de ´ındices, 15 Convención suma, 5 Coordenadas cartesianas, 8 curvil´ıneas, 4 esféricas, 9 gaussianas, 145 geodésicas, 68 Correspondencia principio de, 77 Corrimiento al rojo, 101, 125, 150, 155 De Sitter universo de, 159 Deflexión de la luz, 121 Delta Dirac, de, 54 Kronecker, de, 6, 14 Densidad tensorial, 41 Derivada covariante, 25 producto, de un, 28 D´ıada, 12 Diferencial covariante, 26 Dirac, Delta de, 54

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Divergencia, 47 covariante, 34 teorema de la, 43 Doppler gravitacional, 101 gravitacional, 102 Dyson, 124 Ecuación Einstein, de, 75 Euler, de, 17 Euler-Lagrange, de, 67 Lagrange, de, 17 ondas, de, 54 Poisson, de, 54 Eddington, 124 Einstein, 55, 60 constante de, 75, 78 ecuación de, 75 tensor de, 41 universo de, 155 Elemento de l´ınea, 4 Elemento diferencial l´ınea, de, 61 Eötvos, 55 Equivalencia principio de, 59 Escalar, 7, 12, 13 curvatura, de, 39 Espacialoide, 96 Espacio 3D esférico, 157 af´ın, 30 curvatura negativa, de, 144 curvatura positiva, de, 141, 142 euclidiano, 37 expansión del, 152 Minkowski, de, 61 Riemann, de, 7 Euler ecuación de, 17 Euler-Lagrange

ecuación de, 67 Expansión acelerada, 80 Expansión del espacio, 152 Forma(s) bilineal, 12 bilineales, 12 lineales, 12 Friedmann, 158 Fuerza(s) centr´ıfuga, 56 Coriolis, de, 56 ficticia, 65 ficticias, 56 inerciales, 56 Galileo, 55 Gauge Lorentz, de, 83 Gauss, teorema de, 43 Geodésica, 17, 27, 62, 104 Geometr´ıa diferencial, 20 Gradiente, 16, 47 Gravitación ley de, 52 Gravitacional campo, 49, 53 carga, 52 masa, 52 potencial, 49, 54, 63 Helicidad, 89, 91 Hilbert, 75 Hubble constante de, 150 ley de, 150 Índice(s) contravariantes, 11 covariantes, 11

´ Indice alfabético /165

flotantes, 10 mudos, 5 repetidos, 5 sub, 5 super, 5 Inercia, ley de, 80 Intervalo, 7 Invariante(s), 9, 10 volumen, de, 43 Kronecker delta de, 14 Kronecker, delta de, 6 Lagrange, ecuación de, 17 Laplaciano, 35, 47 Leibniz regla de, 28 Levi-Civita s´ımbolo de, 12 Ley de Hubble, 150 Lorentz gauge de, 83 Luminoide, 96 Métrica, 6 Mareas campo de, 64 Masa gravitacional, 52, 55 inercial, 52 Minkowski espacio de, 61 Movimiento inercial, 51 Newton, 52, 55 Onda(s) ecuación de, 54 electromagnéticas, 87 gravitacional, 89, 91

ficticia, 93 genuina, 93 longitudinal, 88 métricas, 86 potencial ficticia, 89 transversa, 88 Operador gradiente, 16 Parámetro de desaceleración, 153 Perihelio precesión del, 118 Perturbaciones teor´ıa de, 119 Poisson ecuación de, 54 Potencial gravitacional, 49, 54, 63 métrico, 63 Pound, 102 Precesión perihelio, del, 118 Principia, 52 Principio correspondencia, 77 cosmológico, 153 covarianza, de, 60 equivalencia, de, 59, 60, 66 variacional, 66 Producto cruz, 12 diádico, 12 escalar, 12 doble, 15 externo, 15 interno, 15 punto, 12 vectorial, 12 Rebka, 102 Recalibración, 87 Regla


cociente, del, 16 Ricci-Einstein tensor de, 38 Riemann espacio de, 7 tensor de, 68 Riemann-Christoffel tensor de, 36 Robertson-Walker métrica de, 151 Rotacional, 35 Schwarzschild métrica de, 108 radio de, 109, 125 Simultaneidad, 98 Sistema acompa˜ nante, 147 acelerado, 57 coordenado, 4 geodésico, 45, 60 mano derecha, de, 6 ortogonal, 47 inercial, 56 rotante, 66 Temporaloide, 96 Tensor, 12, 13 antisimétrico, 14 componentes f´ısicas, 111 Einstein, de, 41 identidad, 15 isotrópico, 14 momento-energ´ıa del campo electromagnético, 74 del fluido, 72 Ricci-Einstein, de, 38 Riemann, de, 66 Riemann-Christoffel, de, 36 simétrico, 14 unidad, 15 Teor´ıa unificada, 32

Teorema de Gauss, 43 Teorema de la divergencia, 43 Tiempo propio, 100 Transformación reglas de, 11, 13 Trasplante vectorial, 30 Universo 3D pseudoesférico, 159 abierto, 158 cerrado, 157 De Sitter, de, 159 en expansión, 158–160 vac´ıo, 160 Variaciónes, 18 cálculo de, 17

relatividad general - alonso sepulveda.

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