PROGRAMACIÓN ENTERA BINARIA FORMULACIÓN Pregunta 1: Problema de expansión de capacidad: Una compañía de servicio eléctrico esta esta planea planeando ndo ampli ampliar ar su capacid capacidad ad de generac generación ión durante durante los próximos próximos 5 años. años. Su capacidad actual es de 800 megavatios (MW! pero de acuerdo con sus propios pronósticos de la demanda! va "a re#uerir la capacidad adicional #ue muestra la siguiente ta$la%
AÑO
CAPACIDAD CAPACIDAD MINIMA (MW)
1 ! " #
880 &'0 050 '0 )80
*a compañía de servicio eléctrico podr+ aumentar su capacidad de generación con la inst instal alac ació ión n de unid unidad ades es gener generado adora ras s adic adicio iona nale les s de 0! 0! 50 ó 00 00 MW. MW. ,l cost costo o de instalación de un generador depende de su tamaño - del año en el cual entre en servicio. *a siguiente ta$la muestra el costo de ad#uisición de cada generador en el año i.
Ca$a%&'a' 'e Genera'r (MW) 1* #* 1**
AÑO ! "
1
#
00 '/0 &50
)50 )08 / 5 558 '5 8/ )) /& '5& 5& 58
Una ve1 #ue un generador entra en servicio! su capacidad esta disponi$le para satis2acer la demanda demanda en los años su$sig su$siguie uientes ntes.. 3ormul 3ormule e el modelo modelo de program programaci ación ón lineal lineal #ue minimi minimice ce los costos costos de poner poner en servic servicio io los generado generadores res necesar necesarios ios!! satis2 satis2aci aciendo endo al mismo tiempo los re#uisitos de capacidad mínima.
Pregunta : Fr+ua%&,n u-an' .ar&a/e- /&nar&a- (# $unt-) Un modelo #ue una compañía de servicio eléctrico re#uiere para sus operaciones diarias consiste en una guía para decidir #ue generadores de$e poner en marc"a en cada ocasión. ,l servicio en cuestión cuenta con tres generadores con las características #ue aparecen en la ta$la in2erior. ,l día esta dividido en dos periodos - en el primero de ellos se necesitan )!&00 megavatios. ,n el segundo periodo se re#uieren !&00 megavatios. Un generador puesto en marc"a en el primer periodo puede usarse en el segundo sin incurrir en un costo adicional de puesta en marc"a. 4odos los generadores principales ! 6 - 7 se apagan al 2inal de cada día! 2ormule el modelo correspondiente para este caso.
Genera'r
C-t 0& 'e arran2ue (3)
C-t $r $er&' $r +ega.at& u-a' (3)
Ca$a%&'a' +45&+a en %a'a $er&' (MW)
6 7
000 )000 000
5 /
)00 800 000
Investigación Operacional – Profesor: Luis Ulfe / Gustavo Solis
PREGUNTA !: Fr+ua%&,n ,l departamento central de la policía esta pensando en reu$icar varias su$estaciones de la policía para o$tener una me9or vigilancia en +reas de alta criminalidad. *as u$icaciones $a9o consideración! 9unto con las +reas #ue pueden ser cu$iertas a partir de dic"as u$icaciones se dan en la ta$la anexa. 3ormule un modelo de programación de enteros #ue se pudiera utili1ar para encontrar el n:mero mínimo de locali1aciones necesarias a 2in de proporcionar la co$ertura para todas las +reas.
U/&%a%&,n $ten%&a De a- -u/8e-ta%&neA B C D E F G
9reaCu/&erta! 5! / ! )! 5! / ! ! 5 )! ! 5 ! ! ' ! 5! ' ! 5! '! /
PREGUNTA ": Fr+ua%&,n 6 $rgra+a%&,n entera /&nar&a *a gerencia general esta estudiando el con9unto de inversiones a e9ecutar #ue aparecen en el cuadro in2erior! adem+s de los rendimientos - costos asociados a cada inversión! la gerencia desea maximi1ar el rendimiento total invirtiendo no mas de 0 millones de dólares en total! 2ormule el modelo respectivo.
In.er-&ne ) 5 ' /
Cn'&%&ne-
Ren'&+&ent C-t
;inguna Solo si es seleccionada Solo si ) es seleccionada Se "ar+ si - ) son seleccionadas ;o se selecciona si ) son seleccionadas ;o se selecciona si ) 7 son seleccionadas Solo si se selecciona ) - no se selecciona
0 8 / 8 &
/ 8 / 5 '
PROBLEMA # Una competencia de relevos de 00 metros inclu-e a cuatro di2erentes nadadores! #uienes nadan sucesivamente )5 metros de dorso! pec"o! mariposa - li$re. ,l entrenador tiene seis nadadores mu- veloces! cu-os tiempos esperados en segundo para los eventos esperados individuales se dan en la ta$la.
<=>S= ;adador ;adador ) ;adador ;adador ;adador 5 ;adador '
?,7@=
M>A?=S
*A6>,
'5 '/ '8 '/ '& /5
/ /0 /) /5 '& /0
' '5 '& /0 /5 ''
5/ 58 55 5& 5/ 5&
7omo de$er+ el entrenador asignar! los nadadores a los relevos a 2in de minimi1ar la suma de sus tiempos.
Investigación Operacional – Profesor: Luis Ulfe / Gustavo Solis
PROBLEMA Una empresa dedicada a la 2a$ricación de pinturas para 2usela9e de aviones posee ma#uinas con di2erentes capacidades. ?oner en operación un día cada ma#uina! tiene costos 2i9os - un costo de precio por galón. *as capacidades de cada ma#uina! son como sigue%
Ma#uina
7ostos 3i9os
)
C00 C)00 C00
7osto del proceso por Balón. C5 C C
7apacidad M+xima diaria en Balones. )000 000 000
*a empresa espera una demanda diaria de 500 galones. ,l pro$lema consiste en determinar cual de las tres ma#uinas utili1ar - cuantos galones de$e producir cada ma#uina de tal manera #ue la demanda #uede satis2ec"a - el costo total sea el mas pe#ueño posi$le.
PROBLEMA ; *a Mc
4>;! ,nsam$lador! 7=6=* - ?*. *a compañía tiene tres programadores #ue reali1an esta la$or - existen cinco tra$a9os de programación #ue de$en terminarse lo m+s pronto posi$le. ;o todos los programadores tra$a9an a la misma velocidad en todos los lengua9es - se les paga en 2orma di2erente con $ase en su experiencia. 7ada uno de los tra$a9os de$e ela$orarlo un solo programador. *os costos de terminación de cada tarea por programador se muestran a continuación% ?rogramador Doe Sue Susan
4ra$a9o C00 80 )00
4ra$a9o ) C50 )00 )50
4ra$a9o C)00 00 )50
4ra$a9o C00 00 50
4ra$a9o 5 C50 80 00
continuación! se muestran el tiempo #ue necesita cada programador para terminar cada tra$a9o - el tiempo de #ue dispone después de reali1ar sus dem+s tareas. ?rog.
4ra$a9o
4ra$a9o )
4ra$a9o
4ra$a9o
4ra$a9o 5
Doe Sue Susan
0 )0
5 0 )5
)0 5 )5
0 5 5
5 0
4iempo disponi$le 5 )0 0
PROBLEMA < Una compañía manu2actura ca9as de "erramientas en tres plantas - la manda después por $arco a tres centros de distri$ución (los cuales son propiedad de la compañía. *os costos de producción - distri$ución varia$le por unidad transportada entre las plantas - los centros de distri$ución! así como la capacidad de producción mensual de las plantas! la demanda mensual de cada centro de distri$ución! - los costos 2i9os mensuales por operar las plantas - centros de distri$ución se muestran en la siguiente ta$la%
Investigación Operacional – Profesor: Luis Ulfe / Gustavo Solis
?lanta
7entro de distri$ución C)5 C)/ C0 500 C500
)
7entro de distri$ución 6 C0 C)5 C)/ 500 C00
7entro de distri$ución 7 C)/ C)& C)' 500 C'00
7apacidad '00 '00 '00
7ostos 2i9os /00 )000 &00
*a compañía est+ pasando por momentos económicos di2íciles - la administración "a decidido cerrar una planta - un centro de distri$ución.
PROBLEMA = Un comerciante de e#uipos industriales se encuentra en una ciudad en la cual puede comprar siete tipos de e#uipos! los pesos! utilidades! - cantidades mínimas - m+ximas a comprar de los e#uipos se muestran en la siguiente ta$la. ,#uipo ) 5 ' /
?eso (EgFunidad )0 00 50 00 00 '0 80
Utilidad (CFunidad )500 /00 )'00 )800 &00 000 )/00
Mínimo a comprar 0 ) 0 0
M+ximo a comprar )
Suponga #ue el comerciante dispone de un camión con capacidad de '00 Gg. dem+s! para los productos ) - 5! existe un costo 2i9o de em$ar#ue (este costo es independiente de la cantidad em$arcada! solo en caso de no em$arcar dic"o producto el costo 2i9o ser+ ceroH el costo 2i9o para el producto ) es de C )80 - para el producto 5 es de C 50. ?ara el producto ' el costo 2i9o es de C)0! pero solo se aplica este costo si se em$arcan o m+s unidades de este producto. 3ormule un modelo adecuado para esta situación.
PROBLEMA 1* @emos reci$ido las o2ertas de tres compañías de telé2onos para suscri$irnos a su servicio de larga distancia "acia ,stados Unidos! 4ele2ónica co$rar+ una tari2a 2i9a de ' dólares al mes m+s 0.)5 centavos por minuto! 4elmex co$rar+ )5 dólares al mes! pero reducir+ el costo por minuto a 0.) centavos! en tanto #ue ;extel o2rece co$rar una tari2a 2i9a mensual de 8 dólares - el costo por minuto es de 0.)) centavos. Beneralmente "acemos un promedio de )00 minutos de llamadas de larga distancia al mes. ISuponiendo #ue no se pague la tari2a 2i9a a menos #ue "aga las llamadas - de #ue pueda dividir mis llamadas entre las tres compañías seg:n nos pare1ca o nos convenga! 2ormular un modelo #ue nos a-ude a determinar cómo de$o utili1ar los servicios de las tres compañías para minimi1ar nuestra cuenta mensual de telé2onoJ
PROBLEMA 11 Una línea aérea piensa comprar Det de pasa9eros grandes! medianos - c"icos. ,l precio de compra ser+ de C'/ millones cada avión grande! C50 millones por cada uno mediano! C5 millones por cada avión c"ico. ,l conse9o directivo "a autori1ado un compromiso m+ximo
Investigación Operacional – Profesor: Luis Ulfe / Gustavo Solis
de C500 millones para estas compras. Sin importar #ue aviones se compren! se espera #ue las distancias de via9es aéreos sean lo su2icientemente grandes como para #ue los aviones se utilicen! en esencia! a su capacidad m+xima. Se estima #ue la ganancia neta anual (después de restar los costos de recuperación de capital ser+ C.) millones para un avión grande! C millones si se trata de un avión mediano - C). millones por cada avión c"ico. Se piensa #ue la compañía podr+ disponer de su2icientes pilotos entrenados para operar 0 aviones nuevos. Si solo se comprar aviones c"icos! las instalaciones de mantenimiento podrían mane9ar 0 aviones! pero cada avión mediano e#uivale a F aviones c"icos cada avión grande e#uivale a )F aviones c"icos! en términos de la utili1ación de las instalaciones de mantenimiento. ,sta in2ormación se o$tuvo en un an+lisis preliminar del pro$lema. M+s adelante se llevar+ a ca$o un estudio mas detallado. Si se toman estos datos como una primera aproximación la gerencia desea sa$er cuantos aviones de cada tipo de$e comprar a 2in de maximi1ar la ganancia.
PROBLEMA 1 Una compañía opera una planta en *ima con una capacidad anual de 0!000 unidades. ,l producto se em$arca a centros regionales de distri$ución locali1ados en re#uipa! 4ru9illo! A#uitos.
Panta $r$ue-ta
C-t 0& anua
?iura 7"icla-o 4acna 4arapoto
Ca$a%&'a' anua
USC /5!000 USC 00!000 USC /5!000 USC 500!000
0!000 )0!000 0!000 0!000
,l grupo de planeación a largo pla1o de la empresa a desarrollado pronostico de la demanda prevista anual en los centros de distri$ución como sigue%
Centr 'e '&-tr&/u%&,n re#uipa 4ru9illo A#uitos
De+an'a anua 0!000 )0!000 )0!000
,l costo de em$ar#ue por unidad de cada una de las plantas a cada uno de los centros de distri$ución aparece en la siguiente ta$la%
L%a&>a%&,n 'e a $anta ?iura 7"icla-o 4acna 4arapoto *ima
Are2u&$a
Tru&
5 & 0 8
) /
I2u&t 5 )
3ormule un modelo de programación lineal entera #ue determine las nuevas plantas #ue de$er+n construir.
Investigación Operacional – Profesor: Luis Ulfe / Gustavo Solis
PREGUNTA 1!: Fr+ua%&,n 6 $rgra+a%&,n entera /&nar&a *a municipalidad de una ciudad! est+ pensando en reu$icar varias su$estaciones de serena1go para o$tener una me9or vigilancia en +reas de alta criminalidad. *as u$icaciones $a9o consideración 9unto con las +reas #ue pueden ser cu$iertas a partir de dic"as u$icaciones se dan en la ta$la siguiente.
U/&%a%&,n $ten%&a 'e a- -u/e-ta%&ne-
9rea- %u/&erta-
C-t &+$e+enta%&,n 'e a- -u/e-ta%&ne-
6 7 < , 3 B
! 5! / ! )! 5! / ! ! 5 )! ! 5 ! ! ' ! 5! ' ! 5! '! /
)00 00 50 00 )5' )/0 80
3ormule un modelo de programación con varia$les $inarias #ue se pudiera utili1ar para encontrar el costo mínimo de implementación de su$estaciones necesarias a 2in de proporcionar co$ertura para todas las +reas.
Investigación Operacional – Profesor: Luis Ulfe / Gustavo Solis
