= =
14.1 Las dimensiones del conductor exterior de un cable coaxial son b y c, c > b. Suponga que y sea . Encuentre la energía magnética almacenada por unidad de longitud en la región b
= 21 ∅ 1 = 2 ∅ 1 = + = 2 ∅ 1 = 2 = 8 / =∫∫∫ ∅ ∅ = ∫ 2 + 8 4 = 4 ln + 3/4 = . / ′ =.,/′ =. = =50 = 21 ′ ln′=50 ln = 2√ 377 5050 =1.245 = . = 3.50. = = 3.5 = 1.142142 = ln2′ = 10− ln =2 =22.2668.8.854∗4 10− =1.257 = . = 3.51 = 3.51 = 1.138138
14.2 Los conductores en línea de transmisión coaxial están hechos de cobre ( ), y el dieléctricos es polietileno ( ). Si el radio interior del conductor exterior es de 4mm, encuentre el radio del conductor interior, de tal forma que: a) Ω; b) C = 100pF/m; c) L = 0.2µH/m. Se puede suponer que la línea está libre de pérdidas.
a)
Ω:
b) C = 100pF/m:
c) L = 0.2µH/m
=2 ln220.=2∗0.210∗−1010− ln = 4∗10− = 1 = = 2.718 = 2.718 = 1.472472 = . × / / = ×
14.3. Dos conductores de acero con revestimiento de aluminio se utilizaron para construir una línea de transmisión bifilar. Sea , y El radio del alambre de acero es de 0.5 pulg, y el revestimiento de aluminio tiene un grosor de 0.05 pulg. El dieléctrico es el aire y la separación entre centro y centro de los alambres es de 4 pulg. Encuentre C , L , G y R de la línea a 10 MHz.
/ = / /..
1 − = 1 = 3. = 2. 58 5 8 x 10 1 0 − 3.8 ×10 10 4×10
Suponiendo el radio del Aluminio.
=0.5+0.05=0.55=0.014 = 1 = 0.0142.58 x 101 −3.8 ×10 =0.023/ = 0 / − ∈ 8. 8 5 x 10 = ℎ−/2 = ℎ− 20.4555 = 1.42x42x 10−/=14.2/ − 4 x 10 = ℎ2= = cosh2 x 40.55 = 7.8686 x 10− mH =0.786μH/m
14.4.- Cada uno de los conductores de una línea de transmisión bifilar tiene un radio de 0.5 mm; la separación entre los centros de ambos conductores es de 0.8 cm. Sea f = 150 MHz y suponga que σ y σ c son cero. Encuentre la constante dieléctrica del medio aislante si: a ) Z 0 = b ) C = 20 pF/m, c ) ν p p = 2.6 × 108 m/s. a)
=Ω: 8 − ′ 300= 1 ɛ′μ∗ɛ ℎ− 2 =>=> ɛ′ = 120 ∗ℎ =1. 1 07=>ɛ 300 2∗0. 5 =1.23
b) C=20 pF/m:
′ − ɛ 20 10 − ′ 20 10 = ℎ−/2 =>ɛ = ɛ ℎ−8=1.99 1 1 3. 0 10 ′ = √ = μɛɛ′ = ɛ′ =>ɛ =2.6 10 =1.33
c) ν p = 2.6 × 108 m/s.
14.5 Las dimensiones de una línea de transmisión son b=3mm y d=0.2mm. Los conductores y el dieléctrico son no magnéticos. a) Si la impedancia característica de la línea es 15 Ω. Encuentre dieléctrico sin pérdidas.
377 = =15 → = 15 .049 =2.8 2 ×10
′
. Suponga un
′
′
b) Suponga que los conductores son de cobre y operan a RC=GL, determine la tangente de pérdidas del dieléctrico.
rad/s. Si
=5. 8 ×10 = = ×× . × =1.2 ×10− = 2 = 5.8 ×101.22 ×10−.003 =0.98 / − 2. 8 8. 8 5×10 = = 0.2 3 =3. 7 ×10− / = = 4 ×103−0.2 =8. 4 ×10−/ = − . 9 83. 7 ×10 = = 8.4 ×10− =4. 4 ×10− /= =4.4 ×10−0.2/3=2.9×10−/ − 2. 9 ×10 .= = 2 ×102.88.85 ×10− =5.85 ×10− S/m,
m.
Ω
′
La tangent es:
′
14.6 Una línea de transmisión se construirá con conductores perfectos y un dieléctrico de aire tendrá un tamaño máximo de 8mm de sección transversal. La línea se utilizara a altas frecuencias. Especifique las dimensiones si es: a) Una línea bifilar con
=3001 − 82 = , cosh 2 =300 Ω
82 300 − =cosh =6. 1 3 2 120 =0. 5 6 =82=6. 8 8 =15 + =8 6 4+ √ = , 15 =15 =7.6 499 = 377 =0. 3 2 72 = 82 1=4 = 2 272 , ln =72 l= n =−.120 =1. 2 0 =4−. =1. 2 =4
b) Una línea plana con
c) Un coaxial de
Ω
Ω que tenga un conductor exterior de grosor igual a cero.
14.7 Una línea de microcinta se construirá utilizando un dieléctrico sin pérdidas ' r
para el que
7.0. Si la línea tendrá una impedancia característica de 50 Ω,
determine: a )
r , ef
r ,eff
7.0[0.96 7.0(0.109 0.004 x7.0) log10 (10 50) 1]
b ) w /d. ' ' 1 1 r r (0.1) r ,eff w 2 2
d
1
1 0.555
0.10
1
d w d w
(0.1) 3.0 (5.0 - 4.0) -1 1.60
0.555
0.10 0.624
1
5.0
14.8 Dos líneas de microcinta están fabricadas de extremo a extremo sobre un sustrato de 2mm de ancho de niobalto de litio (Є’r =4.8). La línea 1 es de 4mm de ancho; la línea 2 (desafortunadamente) ha sido fabricada con un grosor d e 5mm. Determine la perdida de potencia en dB en las ondas que se transmiten a través de la unión
Primero notamos que w1/d1=2.0 y w2/d2=2.5, entonces para la línea 1:
∈,= . + . 1 +10−. =3.60 ∈,= . + . 1 +10.−. =3.68 Para la línea 2
Luego encontramos las impedancias características: Para la línea 1:
=60412+ 1612 +2=89.6 ℎ Para la línea 2:
=6042.15+ 162.15 +2=79.1 ℎ = ∈,
La actual impendancia de la línea esta dada por
Usando nuestros resultados, tenemos:
= ∈, = √ 89.3.660 =47.2ℎ = ∈, = √ 79.3.16 =41.2ℎ 2 = + = 47.47.2241. +41.2 =0.068 =101||=10log0.995=0.02
El coeficiente de reflexión en la juntura es ahora
La pérdida de transmisión en dB es entonces
14.9 Se sabe que una guía de ondas de placas paralelas tiene una longitud de onda de corte para los modos TE y TM con m = 1 de λc 1 = 4.1 mm. La guía opera a una longitud de onda λ = 1.0 mm. ¿Cuántos modos se propagarán? La longitud de onda de corte para el modo m es λcm = 2nd/m donde n es el índice de refracción de la guía interior. Para el primer modo, se nos da:
= 21 =0.4 →= 0.24 = 0.2 ≤ 2 = 0.4 → ≤ 0.4 = 0.0.41 =4
Ahora. Para el modo m para propagar, se requiere:
Así, lo que representa 2 modos ( TE y TM ) para cada valor de m , y el modo TEM solo, lo haremos con un total de 9 modos.
14.10 Una guía de ondas de placas paralelas se construirá para operar solamente en el modo TEM en un rango de frecuencias de 0 < f < 3 GHz. El dieléctrico entre las placas va a ser de teflón ( = 2.1). Determine la separación máxima permisible, d .
∈, 3∗10 < 2 → = 2 = 2√ 2.13∗10 =3.45 = . 3∗10 = = 1∗10− =10 =10 3∗10 1∗10 − 3∗10 =∗10 =3 =9
14.11 Se sabe que una guía de ondas de placas paralelas sin perdidas propaga los modos TE y TM con a frecuncias de Si la separación entre placas es de 1 cm, determine la constante dieléctrica del medio entre las placas.
14.12. Una guía de placas paralelas en la que d=1 cm está fabricada con vidrio (n=1.45) entre las placas. Si la frecuencia de operación es de 32 GHz, ¿qué modos se propagarán?
Para el modo de propagación, requerimos que
> > 2 < 2 232∗10 = 3∗101.450.01 =3. 0 9
El valor máximo permito m en este caso por tanto es 3, y los modos de propagación serán TM1, TE1, TM2, TE2, TM3, y TE3.
14.13 Para la guía del problema 14.12, y a una frecuencia de 32 G Hz, determine la diferencia entre los retardos de grupo de los modos de más alto orden (TE o TM) y para el modo TEM. Suponga una distancia de propagación de 10 cm.
Datos del problemas 14.12
=3 =3 =3.110 =31 3= 1 3= . 3= . 1 10/ 310 . = = 1.45 2.0710/ 1 2.07101 =1.5 ∆=13 .1=105.1310 y
² en donde
² = 5.31x
TEM:
= . =. . = =2 =15 . = = . =20 15 2 10 = 1 = 1 20 =
=
14.14 Se sabe que la frecuencia de corte de los modos TE y TM con de una guía de placas paralelas leña con aire es La guía se opera a una longitud de onda, Encuentre la velocidad de grupo de los modos TE y TM con Sabemos que
Entonces
. Ahora usamos
No está especificada en el problema
14.15 Una guía de placas paralelas está parcialmente llena con dos dieléctricos sin pérdidas (Figura 14.31), donde ɛ’ r 1= 4.0, ɛ’ r 2= 2.1 y d = 1 cm. A una cierta frecuencia, se ha visto que el modo TM1 se propaga a través de la guía sin sufrir ninguna pérdida por reflexión en la interface dieléctrica. a ) Encuentre esta frecuencia. b ) ¿Está la guía funcionando en el modo único TM a la frecuencia que se encontró en la parte
= − . = 35.9∘ = 90 35.9 = 54.1∘ 3 × 10 1 = 2 √ 1 = 212 = 7.5 = 1/ = 7.5/ 54.1∘= 12.8 .
Es la guía operando a un único modo de TM en la frecuencia que se encuentra en la parte a? El punto de corte frecuencia para la siguiente modo superior, TM2 es fc2 = 2fc1 = 15 GHz . El operativo 12,8 GHz frecuencia está por debajo de este, por lo TM2 no se propagará, Así que la respuesta es sí
=
14.16. En la guía de la figura 14.31 se sabe que modos se propagan de izquierda a derecha totalmente reflejados sobre la interfase, por lo que no se transmite potencia en la región con constante dieléctrica ′ . a) Determine el rango de frecuencias en el que esto ocurrirá. b) ¿De alguna forma su respuesta de la parte (a) se relaciona con la frecuencia de corte de los modos en cualquier región? Pista: ¿Recuerda el ángulo crítico?
=
a) Para una reflexión total, el ángulo de rayo medido desde la normal hasta la interfase
/ =( / ) =90 90 =− =− 2√ 4=− 4 90 = = = 4
debería ser mayor o igual al ángulo crítico, ángulo de rayo es . °
, donde
′
′
. El mínimo
°
Ahora
′
°
Después
′
=10.35 GHz = 2√ 2.1 = 2√ 3×10 2.10.1 >10.35 GHz =/2√ 2 . 1 = =
El rango de frecuencias es
.
b) Puede notarse que . Para resumir, mientras la frecuencia se disminuye, el ángulo de rayo disminuye, lo que lleva a que el ángulo incidente en la interfase se incrementa hasta alcanzar y sobrepasar al ángulo crítico. En el ángulo crítico, el ángulo refractado es 90°, lo que corresponde a un ángulo de 0. Esto define la condición de corte. Por lo tanto tiene sentido que .
= =
14.17. Una guía de ondas rectangular tiene como dimensiones, y . a) ¿En que rango de frecuencias operara la guía en un solo modo? b) ?En que rango de frecuencias la guía solo soportara ambos modos, y ? a)
, = 2 + 3∗10 2. 5 ∗10 , = 2 = 20.06 = 3∗1004 = 3.75∗10 , = 2 = 20.
b)
2.5 << 3.75 1 1 30 4. 5 ∗10 , = 2 0.06 +0.04 = 2 = 3.75 << 4.5
14.18. Dos guías de onda rectangulares están unidas de extremo a extremo. Las guías tienen dimensiones idénticas donde a=2b. Una guía está llena con aire; la otra está llena con un dieléctrico sin perdidas caracterizado por .
a) Determinar el valor máximo permisible de tal manera que pueda asegurarse una operación es un solo modo, simultáneamente, de ambas guías a una frecuencia. b) Escriba una expresión para el rango de frecuencias en el que ocurría la operación en un solo modo en ambas guías; su respuesta deberá estar escrita en términos dimensiones de las guías y otras constantes conocidas
=2 = 4 +2 =1 = ∈ =2 2< 1 2<< 1 2 << √ =4 << √
14.19 Una guía de onda rectangular llena con aire se va a construir para que opere con un solo modo a 15 GHz. Especifique las dimensiones de la guía, a y b, tales que la frecuencia de diseño sea un 10 por ciento mayor que la frecuencia
de corte para el modo , mientras que sea un 10 por ciento menor que la frecuencia de corte para el modo de orden superior siguiente. Para una guía de onda aire, tenemos:
, = 2 +2 ⁄ =2 ⁄2 =1.1 =0.9 ⁄ =13.6 =150.9 ⁄ =16.7 =151.1 3 × 10 = 2 = 213.6 × 10 =1.1 3 × 10 = 2 = 216.7 × 10 =0.90 Para
tenemos , mientras que para el modo siguiente ( . Nuestros requisitos establecen que .
Así
y
= ),
.
Las dimensiones de guía serán
〈〉 =∗ 〈〉= = 12 ∗∗ = 2 = 12{ ∗∗} = 12{ ∗∗}= 2
14.20.- Utilizando la relación
y las ecuaciones (78) a (80).
Determine que la densidad de potencia promedio del modo
en una guía de
ondas rectangular está dada por:
14.21 Integre los resultados del problema 14.20 sobre la sección transversal de la guía, 0
= =
= / Donde .Interprete.
y
es el ángulo de la onda asociado con el modo
=∫∫ 2 . = 4 = = = / con
La dependencia demuestra el principio de velocidad de grupo como la velocidad de la energía (o potencia). 14.22 Demuestre que el parámetro de dispersión de grupo,
,
para un
determinado modo en una guía de ondas rectangular o de placas paralelas, está dado por
= −/ = 1−/ = 12 1− 2= 1−/
Donde es la frecuencia de corte en radianes del modo en cuestión [note que la forma de la primera derivada ya se calculó en la ecuación (57)].
Tomamos la derivada de esta ecuación con respecto a
14.23. Considere un pulso limitado por transformada con frecuencia central f = 10 GHz y de ancho total 2T = 1.0 ns. El pulso se propaga a través de una guía rectangular modo sin pérdidas llena con aire y en la que la frecuencia de operación de 10 GHz es 1.1 veces la frecuencia de corte del modo TE 10. Utilizando el resultado del problema 14.14, determine la longitud de la guía en la cual el pulso se ensancha el doble de su ancho inicial. ¿Qué medida se puede tomar con el fin de reducir la cantidad de ensanchamiento del pulso en esta guía, a la vez que se conserve el mismo ancho de pulso inicial?
′ = +∆ ∆= = =10= 2 x 1013 x 10 1.11 11.11 − 10 =6.1 0.61 =0.61/ ∆= 0.5 =1.2
′ =1 0.05 +1.2 =1 =0.72=72
14.24.- Una guía de ondas de placa dieléctrica simétrica tiene un grosor de placa, d = 10 μ m, con n 1= 1.48 y n 2 = 1.45. Si la longitud de onda de propagación es λ = 1.3 μ m, ¿qué modos se propagarán?
√1 2 ≥1 =2/ 2 1 2 ≥1=> 210 1.3 1.48 1.45 =4.56≥1 =5 =1, 2, 3, 4, 5 10 . desde
, las condiciones se convierten en:
Por lo tanto:
=. 2 < → < 2 + = 25 1.55 +3.30 =3.32 =., =., = = 3∗10 = = 1.45 =2.07∗10
14.25. Se sabe que una guía de ondas de placa simétrica únicamente soporta un solo par de nodos TE y TM a una longitud de onda . Si el grosor de la placa es . ¿Cuál es el valor máximo de si =3.30?
14.26 En una guía de ondas de placa simétrica
a) ¿Cuál es la velocidad de fase de los modos TE y TM con frecuencia de corte?
a la
b) ¿De qué forma cambiara el resultado de la parte a) l os modos de orden superior (si es que lo cambian)?
2.07∗10 .
El razonamiento de la parte a se aplica a todos los modos, por lo que la respuesta es la misma
tric a se muestra en la figura 14.32. En 14.27 Una guía de ondas de placa as im é este caso, las regiones por arriba y por debajo de la placa tienen diferentes índices de refracción, donde n 1 > n 3 > n 2.
a ) Escriba, en términos de los índices apropiados, una expresión para obtener el ángulo mínimo posible de la onda, θ 1, que un modo guiado puede tener.
Escriba, en términos de índices apropiados, una expresión para el ángulo de onda posible mínimo, θ1, que un modo dirigido puede tener: El ángulo de onda debe ser igual a o mayor que el ángulo crítico de la reflexión total en ambos interfaces. El ángulo de onda mínimo es así determinado por los mayores de los dos ángulos críticos. como n3 > n2, encontramos que θmin = θc,13= sin−1(n3 /n1).
b ) Escriba una expresión para la velocidad de fase máxima que puede tener un modo guiado en esta estructura, utilizando los parámetros dados o conocidos. Escriba una expresión para la velocidad de la fase máxima que puede tener un modo guiado en esta estructura, usando parámetros conocidos: tenemos vp, max = ω/βmin,donde βmin = n1k 0 sin θ 1,min = n1k 0n3 /n1 = n3k 0. Thus vp,max = ω / (n3k 0) = c/n3.
14.28 Se sabe que una fibra óptica con índice escalonado tiene un solo modo a longitudes de onda λ > 1.2 um. Se va a fabricar otra fibra con los mismos materiales; sin embargo, tendrá un solo modo a longitudes de onda λ > 0.63 um. ¿En que porcentaje deberá ser diferente el radio del nucleo de la nueva fibra con respecto a la otra? ¿Debera ser mayor o menor?
λ>λ = 2.2405 %= 1.20.1.2 63 ∗100=47.5%
Usamos la condición de corte:
λ
Con reducido, el radio, a, debe también ser reducido por la misma fracción. Despues, el porcentaje de reducción requerido en el radio será:
14.29 ¿El radio del campo modal es mayor o menor que el radio del núcleo de la fibra en las fibras con índice escalonado monomodal? La condición de operación monomodo en una fibra óptica de índice escalonado se encuentra que es V = 2.405
En el caso de las fibras de índice escalonado, el mejor ajuste entre la aproximación gaussiana y la intensidad modal real está dado por la fórmula de Marcuse:
≈0.65+ 1.619 + 2.879
Es evidente que el radio del campo modal disminuye con el aumento de V, por lo que podemos ver el caso extremo de V = 2,405, que es el límite superior a la operación de un solo modo . La ecuación se evalúa como
=0.65+ 2.1.405619 + 2.2.480579 =1.10
Por lo tanto, ρ0 es siempre mayor que dentro del régimen de modo único, V < 2,405
14.30 Se obtuvo una medición del radio del campo modal de una fibra con índice escalonado de 4.5 μ m a una longitud de onda en el espacio libre, λc = 1.20 μ m, encuentre el radio del campo modal esperado en λ = 1.55 μ m.
=0.65+0.434 +0.015 =1.30m =1.08 =1.55 =1.29 +0.0151.29 0. 6 5+0. 4 341. 2 9 1.55=4.5 0.65+0.4341.08 +0.0151.08=5.3m.
14.31 Un dipolo corto que transporta una corriente está ubicado en el origen en el espacio libre. a) Si
=,
= , =, =°, ∅ = en la dirección de
proporcione un vector unitario en componentew cartesianas que muestre la dirección instantánea de E. b) ¿Qué fracción dela potencia promedia total se radia en el cinturón ?
°<<100° = 2 − 1 + 2 − = 4 2 + 1 + 2
: =45°, : == √ 123 =1= , : =2 =1 + − = 12 1 + 1 + − =2 =14 18− = 14 1.12−.°. − = 14 + 18 + 16− = 14 0.90.°. − = + | |= √ ∗∗ = 14 1.12+0.90 =0.359 =0.780−.° +0.627−.° =( )=0.780141.2° +0.62758.3° 0=0.780141.2° +0.62758.3° =0.608 +0.330 0.608 +0.330 =0.692 0=0.879 +0.477 =0. =0.879∅+0.477∅= √ 12 0.879+0.477=0.284 =0. =0.879∅+0.477∅=0 =0. =0.8790.477= √ 12 0.8790.477=0.959 0=0.284 0.959 1 Γ ∗ = 2 [∅]= 8 sin / ° Γ = ∬° 8 sin ∅= πΓ4 ∫°°sin
Si:
Ahora con:
Ahora el vector total es:
Evaluando en t=0
b)
πΓ 1 πΓ 100 = 4 3 +2 80 =0.344 4 πΓ =1.333 4 = 0.1.334433 =0.258 =/ =/ |θ|= 2 |θ|= 12 2∗10 =2∗10 , = 12 ∗ 1 , = 2 4 1 1 , = 2 2 410 =√ 2 ∗10 =2∗10 = √ 2 ∗10
Potencia promedia total:
Fracción de la potencia total:
14.32. Prepare una curva, r frente a θ en coordenadas polares que muestre el lugar en el plano φ=0 donde: a) el campo de radiación | |sea la mitad de su 4 valor en r=10 m; ; b) la densidad de potencia radiada promedio {Sr } sea la mitad de su valor en r=104 m; . a).
b).
El diagrama polar de campo ( ) y fuente ( mostradas a continuación, ambas son círculos.
) son
= ,,=.,, =, =, = , , = ,, = =0, =1000, =0 =90° =0. 1 =2 = =120 =1000 1120 − =1.510−− = = 2 − = 50.41000 =1.510−− 0,0,1000 =1.510−− 1000,0,0 =1.510−( +) 1000,0,0 =0
14.33 Dos antenas cortas en el origen en el espacio libre llevan corrientes idénticas de A, una en dirección de y la otra en la dirección , sea m y m. encuentre a un punto distante: a) ; b) ; c) ; d) encuentre E en en ; e) encuentre ǀEǀ en en . Datos: a)
:
b)
:
c)
:
d)
en
:
=()= 1.510−sin1000 ( +) =0 0=1.510−sin1000 ( +)=1.2410−( +) 1000,0,0 =0 ǀEǀ =1.7510− =.. | |< = . | /. <| 0.25 . .<||<0.5 =80 =800.03 =0.711Ω = ..−| | 0.25 0.5 = 0.250.711=0. 178Ω0<||<0.25 0.5 0.25<||<0.5 0.75 0.75 =0.750.711=0.400Ω e) ǀEǀ en
en
:
14.34 un elemento corto de corriente tiene una Calcule la resistencia de radiación de cada una de las distribuciones de corriente siguientes: a) uniforme, ; b) lineal, ; c) escalonada, para y para . a) Uniforme: en este caso
b) lineal,
: Aquí, la corriente media es
, y así la potencia
media cae por un factor de . Por consiguiente, la resistencia a la radiación se debe a una cuarta parte del valor que se encuentra en el literal a, o
c) Escalonada , para y para : En este caso la corriente media en el alambre es . La potencia radiada (y resistencia a la radiación) se han reducido a un factor de veces sus valores para una corriente uniforme, y así
14.35 Una antena dipolo en el espacio libre tiene una distribución de corriente lineal. Si la longitud d es 0.02 λ, ¿qué valor de I 0 se necesita para: a ) obtener una amplitud de campo de radiación de 100 mV/m a una distancia de 1 milla en θ = 90°?; b ) radiar una potencia total de 1 W? a.
b.
||= 4 sin90 0.021200254 = 0.1 = 45280120. ⇒ = 85.4 = 14 12 = 10 0.02 = 1 ⇒ = 5.03 .
14.36. Una antena monopolo en el espacio libre, que se extiende en forma vertical sobre un plano perfectamente conductor, tiene una distribución de corriente lineal. Si la longitud de la antena es de , ¿qué valor de se necesita para: a) tener una amplitud de campo de radiación de 100 mV/m a una distancia de 1 milla en ; b) radiar una potencia total de 1 W?
.
a)
b)
=° − | 1 4| 4528912×0. 0 254100×10 ||= 2 2 → = / = 0.02377 =85.4 A / / 2 21 = =10/ = √ 100.√ 2 01 =7.1 A
14.37. Un campo de radiación de un cierto elemento de corriente vertical corto es
− / = =, =, ∅ =. =, = , ∅=, = =, ∅ = .,, .,, .,, si se ubica en el origen en el espacio libre. a)
Encuentre en
en b) Encuentre en si el elemento vertical está ubicado en . c) Encuentre si se coloca elementos verticales identicos en y .
a) Sustituyendo los valores en la formula se obtiene:
b)
=10020 90− =0.2−/ 0.1,90,90
Encuentre en P si el elemento vertical es localizado en : esto coloca el elemento en el eje y en y=0.1. Como resultado de mover la antena desde el origen hasta y = 0,1, el cambio en la distancia al punto P es insignificante cuando se considera el cambio en la amplitud del campo , pero no es hora de considerar el cambio de fase. Considere las líneas trazadas desde el origen hasta P y de y = 0,1 a P. Estas líneas pueden considerarse esencialmente paralelas, por lo que la diferencia en sus longitudes es L= . 0.1 sin ( 30 ), con la línea de y = 0,1.Lanconstrucción y argumentos son similares a los utilizados en la discusión del dipolo eléctrico en la Sec . 4.7. El campo eléctrico es ahora el resultado de la parte a, modificado por incluir una distancia más corta, r, en el término de fase única. Mostramos esto como un factor de fase adicional.
=0.2−. =0.2−./
c)
0,1 ,90 ,90 0,1 ,90 ,270 Encuentre
en
P
si elementos idénticos se encuentran en ): El elemento original de la parte b se encuentra todavía en su lugar, pero uno nuevo se ha añadido en y = -0.1. De nuevo, la construcción de una línea entre B y P, encontramos, utilizando los mismos argumentos que en la parte b ,la longitud de esta línea es de aproximadamente 0,1 sin ( 30 ) más larga que la distancia desde el origen P. El resultado de la parte b es así modificado para incluir la contribución del segundo elemento, cuyo campo se sumará a la de la primera.
=0.2−(. +−.)=0.2−2cos0.5=0
