Aritmetica Entera y Modular Ejercicios

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO ESCUELA DE POST GRADO

PROBLEMAS RESUELTOS RESUELTOS DE ARITMÉTICA ARI TMÉTICA ENTERA Y MODULAR MODUL AR ARITMÉTICA ENTERA 1) Usar Usar el Algo rit mo de Euclides para calcular d = mcd (a, b), y encont encont rar x e y tales que d =ax +by. a) a =1312, b =800 Solución: Encontrando d =a x +b y → d =1312 x +800 y Por el algoritmo de Euclides tenemos: 1312 =800 +512 800 =512 +288 512 =288 +224 288 =224 +64 224 =64(3) +32 64 =32(2) +0 312 , 800) 800) = 32 → d = mcd(1312 ⇒ 32 = 224 − 64 (3) 32 = [512 − 288] − 3[288− 224] 32 = 512 − 4[288] + 3[224] 32 = [1312 − 800] − 4[800 − 512] + 3[512 − 288] 32 = 1312 − 5[800] + 7[512] − 3[288] 32 = 1312 − 5[1312 − 512] + 7[512] − 3[800 − 512] 32 = −4[1312] + 15[512] − 3[1312 − 512] 32 = −7[1312] + 18 [512] 32 = −7[1312] + 18[1312 − 800] 32 = 11[1312] − 18[800]

32 = 1312( 2(1 11) + 800(− 18) 







a

x0

b

y0

•

x =11, y =-18

Reem eemplazando plazando x e y en d =ax +by d =ax +by 32 =1312 (11) +800 (-18) 32 =14432 +(-14400) 32 =32 b) a =322, b =406 Solución: Encontrando d =ax +by → d =332x +406y Por el algoritmo de Euclides tenemos: 406 =322 +84 322 =84(3) +70 84 =70 +14 •

Lic. Li c. GUILLERMO MAS AZAHUANCHE

88


70 =14(5) +0 (322 , 406 406) = 14 → d = mcd(32 → 14 = 84 − 70 



14 =406-322-[322-(3)84] 14 =406-2(322)+(3)[406-322] 14 =406(4)+322(-5)

14 = 322(−5) + 406(4) 







a

x0

b

y0

•

x =-5 =-5

y =4

Reem eemplazando plazando x e y en d =ax +by d =ax +by 14 =322 (-5) +406 (4) 14 =-1610 - 1624 14 =14 c) a =721, b =448. Solución: Encontrando d =ax +by → d =721x +448y Por el algoritmo de Euclides tenemos: a =721, 721, b =448 Solución d =mcd (721,448) =7 •

•

Aplicando el Algoritmo de Euclides 721 =448 (1) +273 448 =273 (1) +175 273 =175 (1) +98 175 =98 (1) +77 98 =77 (1) +21 77 =21 (3) +14 21 =14 (1) +7 7 d

14 = (2) + 0 •

Proceso inverso del Algoritmo 7 =21 +(-1) 14 7 =21 +(-1) [77 +(-3) 21]


89


70 =14(5) +0 (322 , 406 406) = 14 → d = mcd(32 → 14 = 84 − 70 



14 =406-322-[322-(3)84] 14 =406-2(322)+(3)[406-322] 14 =406(4)+322(-5)

14 = 322(−5) + 406(4) 







a

x0

b

y0

•

x =-5 =-5

y =4

Reem eemplazando plazando x e y en d =ax +by d =ax +by 14 =322 (-5) +406 (4) 14 =-1610 - 1624 14 =14 c) a =721, b =448. Solución: Encontrando d =ax +by → d =721x +448y Por el algoritmo de Euclides tenemos: a =721, 721, b =448 Solución d =mcd (721,448) =7 •

•

Aplicando el Algoritmo de Euclides 721 =448 (1) +273 448 =273 (1) +175 273 =175 (1) +98 175 =98 (1) +77 98 =77 (1) +21 77 =21 (3) +14 21 =14 (1) +7 7 d

14 = (2) + 0 •

Proceso inverso del Algoritmo 7 =21 +(-1) 14 7 =21 +(-1) [77 +(-3) 21]


89


7 =(-1) 77 +(4) 21 7 =(-1) 77 +(4) [98 +(-1) 77] 7 =(4) 98 +(-5) 77 7 =(4) 95 +(-5) [ 175 +(-1) 98] 7 =(-5) 175 +(9) 98 7 =(-5) 175 +(9) [273 +(-1) 175] 7 =(9) 273 +(-14) 175 7 =(9) 273 +(-14) [448 +(-1) 273] 7 =(-14) 448 +(23) 273 7 =(-14) 448 +(23) [721 +(-1) 448] 7 =(23) 721 +(-37) 448 x =23, y =-37 •

Reem eemplazando plazando x e y

d =ax +by

7 =721 (23) +448 (-37) ⇒ 7 =16583 +16576 ⇒ 7 =7 2.

Se dispone dispone de un suminis suministro tro ilimitado ilimitado de agua, un gran cubo con un desagüe y dos garrafas que contienen 7 y 9 litros respectivamente. ¿ Cómo ómo podría podría ponerse un litro litro de agua en el el cubo?

Solución 7x + 9y 9y = 1 n x: Núm Número ero de garr garrafas afas de 7 litros tros vertidas vertidas o retirada retiradass del cubo cubo (+) vert vertiida y: Núm Núme ero degarr garra afas de 9 litros verti vertida dass o reti retirada radass del del cubo (-) (-) reti retirada rada d =mcd (7, 9) =1 •

Aplicando Algoritmo de Euclides 9 =7(1) +2

n 1 = =1 d 1

7 =2 (3) +1 1 d

2 = (2) + 0 •

Proceso inverso del Algoritmo 1 =7 +(-3) 2 1 =7 +(-3 +(-3) [9 +(-1) +(-1) 7] 1 =(=(-3) 9 +(4) +(4) 7


x =4 y =-3

90


7 (4) +9 (-3) =1 luego: 28 - 27 =1 entonces 1 =1 Luego se vierten 4 garrafas de 7 litros y se retiran 3 garrafas de 9 litros. 3. Calcular las soluciones enteras de las siguientes ecuaciones dionfáticas: a) 28x +36y =44 Solución n 44 = = 11 d 4

d =mcd (28,36) =4 36 =28 (1) +8 28 =8 (3) +4 4 d

8 = (2) + 0 4 =28 +8 (-3) 4 =28 +(-3) [36 +(-1) 28] 4 =(-3) 36 +(4) 28 28 (4) +36 (-3) =4 •

Multiplicando x 11 x e y, d 28 (44) +36 (-33) =44

b x = xo + t a x = 44+

-3

36 t 4

-2

yo =-33

a y = yo − t b y = −33−

x =44 +9t 44 +9t >0 t >-4.88

-4

xo =44,

28 t 4

y =-33 - 7t -33 - 7t <0 t >- 4.71 t -1

0

1

⇒

28x +36y =44 28(53) +36 (-40) =44

-4,88

2

3

…….. ∞

Satisface para ∀ t ∈ ℤ

Para: t =1 x =44 +9t x =44 +9

y =-33 - 7t y =-33 -7

Lic. GUILLERMO MAS AZAHUANCHE

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x =53 b)

y =-40

1484 - 1440 =44 44 =44

66x +550y =80 Solución d =md (60,550) =22 •

Aplicando Algoritmo de Euclides n 80 = = 3.636 d 22

550 =66(8) +22 66 =

22 (3) + 0 d

∴

no ∃ solución, x quea dividir n/d no da como resultado un número entero.

c)

966x +686y =70 d =mcd (966,686) =14 966 =686 (1) +280 686 =280 (2) +126 280 =126 (2) +28 126 =28 (4) +14 28 =14 (2) +0 n •

Proceso inverso del Algoritmo 14 =126 +(-4) 28 14 =126 +(-4) [280 +(-2) 126] 14 =(-4) 280 +(9) 126 14 =(-4) 280 +(9) [686 +(-2) 280] 14 =(9) 686 +(-22) 280 14 =(9) 686 +(-22) [966 +(-1) 686] 14 =(-22) 966 +(31) 686 966 (-22) +686 (31) =14 Multiplicando x 5 966 (-110) +686 (155) =70 xo =-110, yo =155 x = xo +

b t d


a y = yo − t d

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x = −110+

686 t 14

y = 155−

x =-110 +49t -110 +49t >0 49t >110 t >2.244

966 t 14

y =155 - 69t 155 - 69t >0 69t <155 t <2.246 t ∈ℤ

-∞

-2

-1

0

1

2 +∞ 2.244 2.246

t =-1 x =-110 +49t y =155 - 69t x =-110 +49(-1) y =155 - 69 (-1) x =-110 - 49 y =155 +69 x =-159 y =224 966x +686y =70 966 (-159) +686 (224) =70 -153594 +153664 =70 70 =70 4.

Determinar los valores de C ∈ ℤ+, 10

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6 =(-1) 66 +(4) [84 +(-1) 66] 6 =(4) 84 +(-5) 66 6 =(4) 84 +(-5) [990 +(-11) 84] 6 =(-5) 990 +(59) 84 84 (59) +990(-5) =6 x =59, 10
n 18 = =3 d 6

→

y =-5 con los demás números no existe un

x =2 →

número entero al dividir n/d. 84 (59) +990 (-5) =6

x =3 →

84 (118) +990 (-10) =12 9912 +990 =12 12 =12 84 (59) +990 (-5) =6

∴

84(177) +990(-15) =18 14868 - 14850 =18 18 =18 c =12 ó 18

 990 990  x = 118+ t,177+ t 12 18   5.

 84 84 y = − 10+ t,−15+ t 12 18  

Un turista tiene 1000 coronas checas y quiere cambiar ese dinero en una cantidad exacta de libras chipriotas y zlotys polacos. El cambio que ofrece una cierta oficina de cambio es el siguiente: Un zloty polaco = 13 coronas checas. Una libra =18 coronas checas. La oficina no proporciona fracciones de ninguna moneda, ¿ de cuántas formas diferentes puede hacerlo?. Describir una de dichas formas. Solución

El número de coronas Checas =1000 El número de libras chipriotas =x El número de zlotys polacos =y 18x +13y =1000 a =18, b =13, n =1000 18 =13(1) +5


9


13 =5(2) +3 5 =3(1) +2 d =mcd (13,18) =1 3 =2(1) +1 n/d =1000/1 =1000 2 =1(2) +0 Proceso inverso del Algoritmo 1 =3 +(-1) 2 1 =3 +(-1) [5 +(-1) 3] 1 =(-1) 5 +(2) 3 1 =(-1) 5 +(2) [13 +(-2) 5] 1 =(2) 13 +(-5) 5 1 =(2) 13 +(-5) [18 +(-1) 13] 1 =(-5) 18 +(7) 13 13(7) +18(-5) =1 18(-5000) +13(7000) =1000 yo =7,000 ⇒ xo =-5,000, ⇒

384,62 ⇒

x =-5000 +13 t >0 → y =7000 – 18 t >0 →

t >+384,62 t < 388,89

388,89 t ∈ { 385,386,387,388}

Una solución: t =386

→

x =-5000 +13 (386) =18 y =7000 – 18 (386) =52

Comprobando: 18 (18) +13 (52) =1000 6. ¿Existe algún múltiplo de 28 cuyas dos últimas cifras sean 16?. En caso afirmativo, hallar los múltiplos que cumplan esa condición?

Solución

Para 28a =16 +100b;

a, b≥ 0

⇒

28a - 100b =16

* Algoritmo de Euclides 100 =28(3) +16 28 =16 (1) +12 16 =12 (1) +4 12 =4 (3) +0 Lic. GUILLERMO MAS AZAHUANCHE

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* Proceso Inverso del Algoritmo 4 =16 - 12 4 =[100 - 28(3)] - [28 - 16] 4 =100 - 28 (4) +[100 - 28(3)] 4 = 100(2) - 28(7) * Multiplicando por 4 16 =100(8) - 28(28) 16 =28 (-28) +100 (8) ⇒ mcd(28,100) =4 x = xo +

b t d

xo =-28 ∧ yo =8 , a =28, b =100 a y = yo− t d

x =-28 +25 k ∧ y =8 – 7 k Así por ejemplo: k =2 en (x) Como es múltiplo de 28 se tiene: 28 (x) =28 (-28 +25.2) =28.22 =616 Para k =3 setiene que x =- 28 +75 = 47 Como es múltiplo de 28 se tiene: 28 (x) =28 (-28 +25.3) =28.47 =1316 Y así sucesivamente….. Para (y) no se cumple por que seria negativo Otra forma de solución Para que el número sea múltiplo de 28 debe cumplir con la condición de ser múltiplo de 4 y de 7, de la condición observamos que el número dado es :

abc……….16 entonces: Por la condición de multiplicidad por 4 se sabe que las dos últimas cifras deben ser múltiplo de 4 y esto el número lo cumple. Por lo tanto sólo debemos comprobar que el número sea múltiplo de 7 lo cual se comprueba por el criterio de la divisibilidad del 7. Analizando los números que terminan en 16 y son múltiplos de de 7:

616 =7 (88) 1316 =4 (188) 2016 =7 (288) 2716 =7 (388)


96


3416 =7 (488)……….etc. Se observa que el primer número que cumple con la condición es 616 y de allí se va aumentando de 700 en 700 lo que podemos concluir es: abc………..16 =616 mod 700.

7.

Estudiar si son o primos, los números 811, 476, 911 a) 811 →

b)

28 < 811 <29

28,4 Son primor menores: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23. 811 =405 (2) +1 811 =62 (13) +5 811 =270 (3) +1 811 =47 (17) +12 811 =162 (5) +1 811 =42 (19) +13 811 =115 (7) +6 811 =35 (23) +6 811 =73 (11) +8 ∴ 811 es primo 476 21 < 476 <22

c)

Son primos menores: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19. 476 =238 (2) +0 X 476 =43(11) +3 476 =158 (3) +2 √ 476 =36(13) +8 476 =95 (5) +1 476 =28(17) +0 √ 476 =68 (7) +0 X 476 =25(19) +1 ∴ 476 no es primo 911

√ √

X √

30 < 911<31 Son primos menores: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. 911 =455 (2) +1 911 =70 (13) +1 911 =303 (3) +2 911 =53 (17) +10 911 =182 (5) +1 911 =47 (19) +18 911 =130 (7) +1 911 =39 (23) +14


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911 =82 (11) +9 911 =31 (29) +12 ∴ 911 es primo

9) Demostrar que si p es primo distinto de 2 y 5 entonces, o bien p 2 − 1, o bien p2 + 1 es divisible por 10.

Nos piden demostrar lo siguiente: p2 − 1 ≡ (mod 10) → ( p2 − 1)( p2 + 1) ≡ (mod 10)

∨

p2 + 1 ≡ (mod 10)

Si p es primo siempre el cuadrado de este terminara en :

p2 = _______1

ó

p2 = _______9

Se puede ver que si se le resta o suma 1,la ultima cifra se convertirá en 0, con lo cual se confirma que cualquiera de los dos números es múltiplo de 10. 10. Un grupo de menos de 300 turistas, viajan en 5 autocares iguales completos y llega a un hotel. Las mesas del comedor del hotel son de 9 personas y de 4 personas. Los turistas de los 2 primeros autocares se sientan alrededor de las mesas de 9 personas resultando 3 personas sin acomodar; estás , junto con los turistas de los 3 autocares restantes completos, se sientan alrededor de las mesas de 4 personas, quedando todos acomodados para la cena. Al día siguiente, van a realizar una visita a un Museo donde deben de entrar en grupos de 24 personas. Si al hacer la distribución de grupos de 24 personas, el último grupo es de tan solo 15 personas, ¿Cuántos turistas viajan en total? Solución:

Comprender el problema Sea x= Nº de turistas de cada autocar entonces se tiene el sistema de congruencias:

⇒ 2 x = 12 mod9 ⇒ x = 6 mod9 2x = 3mod9  3x+ 3 = 0mod4 ⇒ 3x + 3 = 12mod4⇒ 3x = 9mod4 ⇒ x = 3mod4 5x = 15mod24 ⇒ x = 3mod 24  Relacionar sus variables De esto se tiene el siguiente sistema Lic. GUILLERMO MAS AZAHUANCHE

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 x = 6mod9   x = 3mod 4  x = 3mod24 

......... (1) ..........(2) ...........(3)

Resol ver el sist ema de variables: De (1) =(2) se tiene x = 6mod9 = 6 + 9 a …………….(*)

x = 6mod9 = 6 + 9 a = 3mod4 = 7mod 4 ⇒ 6 + 9 a = 7mod 4 ⇒ 9a = 1 mod 4 = 9 mod 4 ⇒ a = 1mod4 ⇒ a = 1 + 4 b reemplazo esto en (*) x = 6 + 9(1+ 4b ) = 15+ 36b o sea que

x = 15+ 36t ∀ t ∈ ℤ es la solución para las dos primeras ecuaciones. Solución de nuestro probl ema Para resolver nuestro problema se comprueba si dicha solución verifica la tercera ecuación para algún valor de t ∈ ℤ Para t =1 ⇒ se tiene x =15 + 36 =51 = 3mod24 ⇒ 5x = 255 < 300 cumple la condición del problema.

Verific ación de la solución Para t =2 ⇒ se tiene x = 15 +36 (2) =87 =15mod24 ⇒ esta ecuación no verifica la condición del problema. Para t =3 ⇒ se tiene x =15 +36 (3) = 123 = 3mod24 ⇒ 5x = 615 > 300 ⇒ Esta ecuación no verifica la condición del problema. Solución: en total viajan 255 turistas.

11. Un agente de Cambio y Bolsa tiene invertido dinero en acciones de Azucarera y Repsol. Las acciones de Azucarera se cotizan a 89 euros y las de Repsol a 614 euros cada una. Necesita hacer una transacción para disponer exactamente de 1000 euros en efectivo. ¿ Puede hacerlo comprando acciones de Repsol y vendiendo acciones de Azucarera, solamente? En caso afirmativo, decir cuántas acciones de cada tipo, como mínimo, comprará y venderá. Solución

Comprender el problema Sean x : Nº de acciones de Repsol Y: Nº de acciones de Azucarera

Relacionar sus variables

⇒ se formará la ecuación diofántica 614 x + 89 y = 1000 , el cual tiene soluciones enteras ya que el m.c.d. ( 614,89) =1 divide a 1000 Resolver la ecuación diófantica: Usando el algoritmo de Euclides ⇒ 614 = 89 × 6 +80 89 =80 × 1 +9 80 =9 (8 ) + 8 9 = 8 (1) + 1 Lic. GUILLERMO MAS AZAHUANCHE

99


1 = 1 (1) +0 En sentido inverso se tiene: 1 =9 - 8 1 =9 - [ 80 – 8 (9) ] 1 =9 (9) - 80 1 =9 [ 89 – 80] – 80 1 = 9 (89) – 10 (80) 1 =9 (89) – 10 [614 – 89 (6) ] 1 = 614 (- 10) + 89 (69) 1000 = 614 (-10000) + 89 (69000) d = a x0 + b y0

Solución de nuestro probl ema b t = − 10000+ 89t d a y = y0 − t = 69000− 614 d

x = x0 +

si x > 0 (compra Repsol) Si

y < 0 (Vende Azucarera)

− 10000+ 89 > 0 ⇒ 89 > 10000 ⇒ t > 112.34 ⇒ 69000− 614 < 0 ⇒ 614 > 69000 ⇒ t > 112.38

t > 112

⇒ Pata t = 113

Verific ación de la solución X =- 10000 + 89 (113) = -10000 +10 057 =57 Y = 69000 - 614 (113) =69000 - 69382 =- 382 Por lo tanto X = 57 o sea compra 57 acciones de Repsol Y = - 382 vende 382 acciones de Azucarera. 12. Se presentan 800 manuscritos a un concurso literario. Después de una primera selección, en las que se eliminan mas de 300 manuscritos, se pretende almacenar los manuscritos eliminados en cajas de la misma capacidad y que todas las cajas estén completas, para que no se extravíe ningún manuscrito. En principio, se preparan cajas con capacidad de 6 manuscritos, pero sobran 3, de modo que se agrandan las cajas para que contengan 7 manuscritos cada una; pero sobran 5, se agrandan todavía un poco más las cajas para que contengan 11 manuscritos cada una, en cuyo caso ya no sobra ningún manuscrito. ¿Cuántos manuscritos quedan en concurso después de la primera selección?

Solución

Sea x: Nº de manuscritos eliminados, después de la primera selección ⇒ x > 300 y se verifica el siguiente sistema de congruencias: ............. (1)  x = 3mod6   x = 5mod 7 ..............(2)  x = 0 mod11 ...............(3) 

El sistema anterior tiene solución ⇔ mcd (6,7) = mcd (6,11) = mcd(7,11) = 1

m= (6)(7)(11) = 462 Lic. GUILLERMO MAS AZAHUANCHE

100


De (1) =(2) se tiene:

x = 3mod6 = 3+ 6a

……..(1)

x = 3mod6 = 3+ 6a = 5mod7 ⇒ 6a = 2 mod7 = 9 mod 7

2a = 3mod7 = 10 mod7 ⇒ a = 5 mod7 = 5+ 7b ………(4) Ahora (4) en (1) se tiene:

x = 3+ 6 (5 + 7b ) = 33+ 42b, ………………………………….(5) esto lo igualamos a la ecuación (3)

x = 33+ 42 b = 0mod11= 33mod11 ⇒ 42b = 0 mod11= 44 mod11 ⇒ 21b = 22 mod11 = 33mod11 ⇒ 7 b = 11mod 11 = 77 mod11 ⇒

b = 11mod11= 0 mod11= 0 + 11c

⇒ b = 11c

……(6)

Ahora (6) en (5) se tiene: x = 33+ 42(11c) = 33+ 462c = 33+ 462t ; t ∈ ℤ Luego: x = 33+ 462t ; t ∈ ℤ

; para t =1

x = 33 +462 =495 ⇒ Entonces, después de la primera selección, quedan en el concurso: 800 – 495 =305 CANDIDATOS.

PROBLEMAS Aritmética modular 1 1.- Considera lo enteros 2, 7, 17, 23, 45, 67, 86, 124 y 132. ¿Cuáles de ellos son congruentes con2 módulo 3, cuáles lo son módulo 7 y cuáles lo son módulo 11? Sepáralos en clases de congruencia módulo 6. Solución En la siguiente tabla los tienes clasificados. Módulo 3 7 15

Números 2, 17, 23 y 86 2, 23 y 86 17

Módulo 6 se encuentran en las clases:


101


Clase 0 1 2 3 4 5

Números 132 7 y 67 2 y 86 45 124 17 y 23

2.- ¿Qué resto dará la división de124235 · 245761 entre3? Justifica la respuesta Solución Como 124235 de de resto 2 y 245761 da de resto 1, el producto dará de resto 2 · 1 =2. 3.-

Seax un entero que da de resto 3 cuando lo dividimos entre5.

¿Daráx2 el mismo resto que 32 cuando lo dividamos entre5? ¿Dará2x el mismo resto que 23 cuando lo dividamos entre5? Justifica las respuestas. Solución La primera es cierta ya que como x da de resto 3, x2 =x · x dará el mismo resto que 3 · 3 =32, es decir, resto 4. La segunda es falsa ya que, por ejemplo, 8 da de resto 3al dividirlo entre5 y, sin embargo, 28 =256 da de resto 1mientras que 23 =8da de resto 3. ¡ Se puede definir la potencia, pero no la exponencial ! 4.- Del número 2345_33hemos perdido la cifra de las centenas. Sabiendo que era congruente con 1 módulo 7, ¿se puede encontrar la cifra que habíamos perdido? Solución Nuestro número 2345x33 =2345000 +100 · x +33.


102


Como 2345000da de resto 0 al dividirlo entre7, 100 da de resto 2y 33 da de resto 5, nuestro número dará el mismo resto que2 · x +5 al dividirlo entre7. El único dígito x tal que2 · x +5 da de resto 1es el 5, por lo que nuestro número era el 2345533. 5.- Miramos el calendario y vemos que es jueves. ¿Qué día de la semana será dentro de un año y 20 días? Justifica la respuesta. Solución Un año y 20 días son385 días. Como 385da de resto 0al dividirlo entre7(días de la semana), volverá a ser jueves

ARITMÉTICA MODULAR 2 1) Encontrar el menor residuo no negativo mód 7 de los números: 23, 35, −48, −64.

a) 23 23 = r mod 7 ≡ 2 mod 7

∴ el menor residuo no negativo es 2.

b) 35 35 = r mod 7 ≡ 0 mod 7


c) -48 -48 = r mod 7 ≡ 1 mod 7


d) -64 - 64 = r mod 7 ≡ 6 mod 7

∴ el menor residuo no negativo es 6 2) Sabiendo que 1234567 ≡ 7(mód10), 90123 ≡ 3(mód10), 2468 ≡ 18(mód25) y que 13579 ≡ 4 (mód25) calcular el valor del menor residuo no negativo a tal que:


103


a) 1234567 × 90123 ≡ a (mód10). Se tiene que:

1234567

≡

7(mód10) , 90123 ≡ 3(mód10)

multiplicando:

1234567 × 90123

≡

21(mód10)

≡

1(mód10)


b) 2468 × 13579 ≡ a (mód25). Se tiene que: 2468

≡

18(mód25) , 13579 ≡ 4(mód25)

multiplicando: 2468 × 13579

≡

72(mód25)

≡

22(mód25)


5) Comprobar si 1213141516171819 y 192837465564738291 son divisibles por 11. ¿Qué cif ra falta en la iguald ad 871782_1200 = 14!? Para efectuar el desarrollo de esta pregunta usaremos los criterios de divisibilidad: 

1213141516171819                

−+−+−+−+−+−+ −+−+

→ -1+2-1+3-1+4-1+5-1+6-1+7-1+8-1+9 = 36 36 ≡ 3(mod 11) por lo que se llega a la conclusión que el número: 1213141516171819 no es divisible por 11 

19283746556738291                 

+− + −+ − + −+−+ −+−+ −+

→ 1-9+2-8+3-7+4-6+5-5+6-7+3-8+2-9+1 = -32 -32 ≡ 1(mod 11) por lo que se llega a la conclusión que el número: 19283746556738291 no es divisible por 11 

871782a1200 = 14!


10


En este caso como el número es igual a un factorial y se desea conocer una de sus cifras es necesario aplicar varios criterios de divisibilidad a la vez:

Criterio de divisibilidad por 3: 8+7+1+7+8+2+a+1+2 = 36 + a Como 36 es múltiplo de 3 entonces para que todo el numero sea divisible por 3 necesariamente: a ≡ mod 3 .....................(1) Criterio de divisibilidad por 7:

871782a12         

2 312 3 1 231

 

+

+

−

[8(2)+3(7)+1(1)]-[7(2)+8(3)+2(1)]+[a(2)+1(3)+2(1)]= 2a+3 2a +3 ≡ mod 7 .....................(2) Criterio de divisibilidad por 11: 871782a12         

+ − +− + − +− +

8-7+1-7+8-2+a-1+2=2+a 2 + a ≡ mod 11 .....................(3) De las ecuaciones (1), (2) y (3) a sólo puede tomar el valor de 9 ∴a = 9

6. Comprobar mediante un ejercicio que en Z6, Z8, Z15 existen x, y tales que xy=0 siendo x ≠ 0 ≠ y ¿Existe algún ejemplo en Z7? a)

En Z6:

* 0 1 2 3 4 5 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 4 5 2 0 2 4 0 2 4 3 0 3 0 3 0 3 4 0 4 2 0 4 2

xy = 0 2× 3 = 0 3× 2 = 0 3× 4 = 0 4× 3 = 0

5 0 5 4 3 2 1


105


b)

En Z8: * 0 1 2 3 4 5 6 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 4 5 6 7 2 0 2 4 6 0 2 4 2 3 0 3 6 1 4 7 2 5 4 0 4 0 4 0 4 0 4 5 0 5 2 7 4 1 6 3 6 0 6 4 2 0 6 4 2

xy = 0 2× 4 = 0 4× 2 = 0 4× 4 = 0 4× 6 = 0 6× 4 = 0

7 0 7 6 5 4 3 2 1

c)

En Z15:

* 0 1 2 3 4 5 . . . . . 1 d)

0 0 0 0 0 0 0 . . . . . 04

1 0 1 2 3 4 5 . . . . . .

2 0 2 4 6 8 10 . . . . . .

3 0 3 6 9 12 0 . . . . . .

4 0 4 8 12 1 5 . . . . . .

5 0 5 10 0 5 10 . . . . . .

6 0 6 12 3 9 0 . . . . . .

7 0 7 14 6 13 5 . . . . . .

... ... ... ... ... ... ... . . . . . .

... ... ... ... ... ... ... . . . . . .

... ... ... ... ... ... ... . . . . . .

14 0 14 13 12 11 10 . . . . . .

xy = 0 3× 5 = 0 3×10 = 0 5× 3 = 0 5× 6 = 0 5× 9 = 0 5× 12 = 0 6× 5 = 0

En Z7:

* 0 1 2 3 4 5 6 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 4 5 6 2 0 2 4 6 1 3 5 3 0 3 6 2 5 1 4

∴ No ∃ el caso X.Y =0 cuando X, Y ≠ 0 en Z7

4 0 4 1 5 2 6 3 5 0 5 3 1 6 3 2 6 0 6 5 4 3 2 1


106


7)

Hallar los elementos inversibles de Z6, Z7 y Z8.

De los cuadros utilizados en los ejercicios anteriores: •

•

Z6 : Elementos inversibles : {5.5 = 1 5 ∈ Z6 y son primos con 6. 3.3 = 1 Z8 : Electos inversibles : 5.5 = 1 7.7 = 1 

3, 5 y 7 ∈ Z8 y son primos con 8.

•

8)

2.4 = 1 3.5 = 1  Z7 : Electos inversibles : 4.2 = 1 5.3 = 1  6.6 = 1

2, 3, 4, 5 y 6 ∈ Z7 y son primos con 7. Hallar el inverso de: a)

6 en Z11 Por Euclides extendido:

11= 6.1+ 5 6 = 5.1− 1

1= 6− 5.(1) 1= 6− (11− 6.(1)) Luego: 1= 6.(2) − 11 1= 6.2(mód11) (6)−1 = 2enZ11 El inverso de 6 es 2 en Z11 b)


17 = 6.2+ 5 6 = 5.1+ 1

1= 6− 5.(1) 1= 6− (17 − 6.(2))

Luego: 1= 6.(3) − 17 1= 6.3(mód17) (6)−1 = 3enZ17

El inverso de 6 es 3 en Z17


107


c)


10 = 3.(3) + 1

1= 10− 3.(3)

Luego: 1= −3.3(mód10) (3)−1 = −3 = 10 − 3 = 7

El inverso de 6 es 7 en Z10 d)


12 = 5.2+ 2 5 = 2.2+ 1

1= 5− 2.(2) 1= 5− 2(12− 5.(2))

Luego: 1= 5.(5) − 12.2 1= 5.5(mód12) (5)−1 = 5enZ12

El inverso de 5 es 5 en Z12 e) 4 en Z11 11 =2 (4) +3 4 =1 (3) +1 3=3 (1) +0 Luego: 1 =4 – 3 =4 – [ 11 – 1 (4) ] 1 =3 (4) – 11 El inverso de 4 es 3 en Z11 f) 7 en Z15 15 =2 (7) +1 7 =7 (1) +0 Luego: 1 =15 – 2 (7) [7]-1 =- 2 =[13 - 15] =13 El inverso de 7 es 13 en Z15 g) 7en Z16 Por Euclides extendido:


16 = 7.2+ 2 7 = 2.3+ 1

108


1= 7 − 2.(3) 1= 7 − 3(16− 7.(2))

Luego: 1= 7.(7) − 16.3 1= 7.7(mód16) (7)−1 = 7enZ16

El inverso de 7 es 7 en Z16 h) 777en Z1009 1009 =777 +232 777 = 3(232) +81 232 =2 (81) +70 81 =1 (70) +11 70 =6(11) +4 11 =2 (4) +3 4 =1 (3) +1 3 =3 (1) +0 Luego: 1 =4 – 3 =4 – [11 -2 (4)] =3 (4) – 11 =3 [70- 6 (11) ] – 11 =3 [70] 19 (11) =3 (70) - 19 [81 -70] =22 (70) – 19 (81) =22 [232 – 2(81)] - 19 (81) =22 [232] – 63 (81) = 22 [232] - 63 [777- 3(232)] =211 (232) – 63 (777) =211 [1009 -777] – 63 (777) =- 274 (777) +211 (1009) Luego: [777]-1 =[ - 274] =[1009 – 274 ] =735 El inverso de 777 es 735 en Z1009 9) Si p es primo, demostrar que en Zp los únicos elementos que coinciden con su inverso son 1 y 1. Solución: Para demostrar esto sabemos que se cumple que: −

• (Zp + 1)(Zp + a) = Zp + 1 Zp + a = Zp + 1 → a=1 • (Zp − 1)(Zp + b) = Zp + 1 Zp − b = Zp + 1 → b = −1


109


10) a) Demostrar que los enteros menores que 11, excepto el 1 y el 10, pueden agruparse de dos en dos de manera que cada uno de ellos es el inverso del otro en Z11 . Solución: En el problema anterior demostramos que 1 y -1 son los únicos elementos que coinciden con sus inversos cuando la base es un primo. En este caso 11 es un primo y el 10 en esta base es equivalente a -1 en conclusión la misma demostración anterior seria para este problema. b) Demostrar que 10! 1(mód11). Solución: Para demostrar este ejemplo tenemos solo que demostrar la letra “c” debido que es el caso general. ≡ −

c) Demostrar, que si p es primo entonces (p 1)! 1(mód p), (Teorema de Wilson). Utilizar este resultado para encontrar el resto de dividir 15! por 17. Solución: Si p es un numero primo entonces para todo a, 1≤ a < p vale que el resto de dividir ap−1 por p es 1. En aritmética módulo p eso es que ap−1 ≡ 1 (módp). −

≡ −

Demostración: Como p es primo, entonces Zp es un cuerpo (cada elemento distinto de 0 es invertible puesto que en ZN, con N 2 IN, N >0 que a sea invertible equivale a MCD(a,N) =1 y si p es primo entonces todo numeró entre 1 y p− 1 cumple esa condición). Para J desde 1 hasta p − 1 hacemos variar J definiendo la función f(J) =a · J mód p. Esta función es inyectiva puesto que si f(J) =f(I) entonces a · J =a · I mód p de aquí resulta que a ·(J − I) =0 mód p. Como a 6=0 mód p es invertible, o sea que existe su inverso b tal que b · a =1 mód p (Este valor b puede calcularse con el AEE, por ejemplo). Multiplicando por b a ambos lados de a · (J − I) = 0 mód p obtenemos que b · a · (J − I) = b · 0 mód p o sea 1 ·(J −I) = J −I = 0 mód p. Se concluye que J = I por lo que f es inyectiva. Pero Zp es un conjunto finito y una función inyectiva en un conjunto finito también es sobreyectiva. Por lo tanto resulta queal J recorrer todos los valores posibles J =1, · · · , p− 1 de Zp también f(J ) hace lo mismo solo que posiblemente en un orden distinto. Multiplicando todos los valores deJ entre si tenemos: 1 ×2 ×3 ×· · · ×p − 1 mód p (*) Que será igual modulo p, por lo que dijimos recién, al producto f(1) ×f(2) ×f(3) ×· · · ×f(p − 1) mód p = a1 ×a2 ×a3 ×· · · ×a(p − 1) mód p = ap−1 × 1 × 2 × 3 × · · · × p − 1 mód p (X) Igualando (_) con (X) y simplificando obtenemos ap−1 = 1 mód p Esto es lo que querríamos demostrar. 9)

Usar el teorema de Fermat para calcular los restos de dividir


110


Pequeño teorema de Fermat

Si el cuerpo de trabajo es un primo p: mcd (a, p) =1 ⇒ aφ(p) mod p =1 Entonces a ∗ x mod p =1 y aφ(n) mod p =1 Además, en este caso φ(p) =p-1 por lo que igualando las dos ecuaciones de arriba tenemos: (p) -1 ∴ aφ ∗ a mod p =x mod p p-2 ∴ x =a mod p Luego x será e inverso de aen el primo p. a)

347 entre 23 47 3 ≡ x(mód23) p = 23→ p − 1= 22_;a = 3 Dado que 23 es primo y no divide a 3 p−1 ⇒ a = 1(módp) 47 = 2(22) + 3⇒ r 1 = 3 3 ≡ 3(mód23) 22

22

3 ≡ 3 (mód23) 3 (mód23) ≡ 1(mód23) 1(mód23) ≡ r = 1 x= r + r ⇒ x= 4 22

2

1

2

Sabemos que: 47

∴3 ≡ 4(mód23)

Otra forma de resolución Del teorema de Fermat se cumple que: 322 = 1(mod23)

Para llegar a la expresión original hacemos: ( )2 → 344 = 1(mod23) x33 → 344.33 = 1(mod23).33 347 = 1(mod23)4(mod23) 347 = 4(mod23)

∴ El residuo de dividir entre 23 es 4

b)

6592 entre 11 592 6 ≡ x(mód11) p = 11→ p− 1= 10 Dado que 11 es primo y no divide a 6 p−1 ⇒ a = 1(módp)


111


592 = 59(10) + 2 ⇒ r 1 = 2

6 ≡ 6(mód11) 10

10

≡ 6 (mód11)

6 6 (mód11) ≡ 1(mód11) 1(mód11) → r = 1 10

2

x = r1+ r 2 ⇒ x = 3

Sabemos que: ∴

592

6

≡ 3(mód11)

Otra forma de resolución Del teorema de Fermat se cumple que: 610 = 1(mod11) Para llegar a la expresión original hacemos: ( )59 → 6590 = 1(mod11) x62 → 6590.62 = 1(mod11).62 6592 = 1(mod11).3(mod11) 6592 = 3(mod11)


c)

315 entre 17 15 3 ≡ x(mód17) p = 17 → p − 1= 16 Dado que 17 es primo y no divide a 3 p−1 ⇒ a = 1(módp) 15 = 17(1) − 2 ⇒ r 1 = −2 3

3 ≡ 10(mód17) 3 ≡ 10 (mód17) 10 (mód17) ≡ −2(mód17) 10 (mód17) ≡ 4(mód17) 10 (mód17) ≡ 40(mód17) 15

5

2 4

5

40(mód17) ≡ 6(mód17) 15

∴3 ≡ 6(mód17) Otra forma de resolución Del teorema de Fermat se cumple que: 316 = 1(mod17) Para llegar a la expresión original hacemos:


112


→ 316 = 1(mod17) → 315.3 = 1(mod17) 315.3 = mod17 + 1+ 17 315.3= 18(mod17) 315 = 6(mod17)


d)

1590 entre 13 90 15 ≡ x(mód13) p = 13→ p − 1= 12 Dado que 13 es primo y no divide a 15 p−1 ⇒ a = 1(módp) 90 = 12(7) + 6 ⇒ r 1 = 6

15 ≡ 2(mód13) 12

12

15 ≡ 2 (mód13) 2 (mód13) ≡ 1(mód13) 1(mód23) ≡ r = 1 12

2

x = r1+ r 2 ⇒ x = 7

Sabemos que: 90

∴15 ≡ 7(mód13)

Otra forma de resolución También podemos representar la expresión de otra forma: 1590 = (2(mod13))90 1590 = mod13+ 290.........(1)

Del teorema de Fermat se cumple que: 212 = 1(mod13)

Para llegar a la expresión original hacemos: ( )7 → 284 = 1(mod13) x26 → 284.26 = 1(mod13).26 290 = 1(mod13).12(mod11) 290 = 12(mod13)............(2) Reemplazando (2) en (1): 1590 = mod13+ 290 1590 = mod13+ 12(mod13) 1590 = 12(mod13) ∴ El residuo de dividir entre 13 es 12 Comprobar Lic. GUILLERMO MAS AZAHUANCHE

113


e)

1254577 entre 13 4577 125 ≡ x(mód13) p = 13→ p− 1= 12 Dado que 13 es primo y no divide a 125 p−1 ⇒ a = 1(módp) 4577 = 12(381) + 5⇒ r 1 = 5

125 ≡ 8(mód13) 12

12

≡ 8 (mód13)

125 8 (mód13) ≡ 1(mód13) 1(mód13) ≡ r = 1 12

2

x = r1 + r 2 ⇒ x = 6

Sabemos que: 4577

∴125

≡ 6(mód13)

Otra forma de resolución También podemos representar la expresión de otra forma: 1254577 = (8(mod13))4577 1254577 = mod13+ (8)4577 ........(1)

Del teorema de Fermat se cumple que: 812 = 1(mod13) Para llegar a la expresión original hacemos: ( )381 → 84572 = 1(mod13) x85 → 84572.85 = 1(mod13).85 84577 = 1(mod13).8(mod13) 84577 = 8(mod13)............(2) Reemplazando (2) en (1): 1254577 = mod13+ (8)4577 ........(1) 1254577 = mod13+ 8(mod13) 1254577 = 8(mod13)


10)

a) ¿Cuál es la última cifra de la representación en base 10 de 793?


11

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO ESCUELA DE POST GRADO 93

7

≡ r (mód10); r = ??

7 ≡ 7(mód10) 2

7 ≡ 9(mód10) 7 ≡ −1(mód10) 2 7 ≡ (−1) (mód10) 2

46

92

7

46

≡ 1(mód10)

7 ≡ 7(mód10) 92

× 7 ≡ 7(mód10)

93

≡ 7(mód10) → r = 7

7 7

b) ¿Cuál es el último dígito de 23189? 23 ≡ 3(mód10) 2

23 ≡ 9(mód10) ≡ −1(mód10) 2 23 ≡ (−1) (mód10) 94

188

23

94

≡ 1(mód10)

23 ≡ 3(mód10)

11)

23

188

× 23 ≡ 3(mód10)

189

23

≡ 3(mód10) → último dígito=3

Un reloj analógico se pone en la hora a las 12 en punto del día terminado. ¿Qué hora marcaría de transcurridas 5100 horas exactas, si no se para nunca y es totalmente preciso? 100

5 ≡ x(mód12) 5 ≡ 1(mód12) → 52 (mód12) ≡ 1(mód12) 5 ≡ 1(mód12) 2

50

100

∴ Marcaría la 1 de la madrugada.

12)

Resolver las siguientes ecuaciones. a)


115


5x ≡ 1(mód11) 10 ≡ (−1)(mód11) 2.5x ≡ 2.1(mód11) − x ≡ 2(mód11) x ≡ (−2)(mód11) → x0 = −2 mcd = 1→ x = x0 + 11t ∴ x = −2 + 11t

b)

4x ≡ 3(mód7) 36 ≡ 1(mód7) 9.4x ≡ 9.3(mód7) x ≡ 27(mód7) ≡ (−1)(mód7) → x0 = −1 mcd = 1→ x = x0 + 7t

c)

∴ x = −1+ 7t

3x ≡ 9(mód15)

x ≡ 3(mód15) mcd = 3 ∴ x = 3+ 5t

d)

2x ≡ 5(mód7) 8 ≡ 1(mód7) 2.4x ≡ 4.5(mód7) x ≡ 20(mód7) ≡ (−1)(mód7) → x0 = −1 mcd = 1→ x = x0 + 7t ∴ x = −1+ 7t

e) 13)

5x ≡ 7(mód15) 5 no divide a 7; Resolver las ecuaciones

a)

∴ ∃ solución.

66x=42 en Z168


116


66x ≡ 42(mód168) 11x ≡ 7(mód168) 55 ≡ (−1)(mód28) 5.11x ≡ 5.7(mód28) (−1)x ≡ 35(mód28) 7(mód28) → x ≡ (− 7)(mód28)

∴ x0 = −7 mcd = 6 → mcd = 1⇒ x = x0 + 28t

b)

21x=18 en Z30 21x ≡ 18(mód30) 7x ≡ 6(mód10) 21≡ 1(mód10) 3.7x ≡ 3.6(mód10) x ≡ 18(mód10) ≡ −2(mód10) ∴ x0 = −2 mcd = 3→ mcd = 1⇒ x = x0 + 10t

c)

∴ x = −7 + 28t

∴ x = −2 + 10t

35x=42 en Z49 35x ≡ 42(mód49) 5x ≡ 6(mód7) 15 ≡ 1(mód7) 3.5x ≡ 3.6(mód7) x ≡ 18(mód7) ≡ −3(mód10) ∴ x0 = −3 mcd = 7 → mcd = 1⇒ x = x0 + 7t

∴ x = −3+ 7t

14) Lic. GUILLERMO MAS AZAHUANCHE

117


a)

¿Qué entero al dividirlo por 2 da deresto 1 y al dividirlo por 3 da también de resto 1? x ≡ 1(mód2)

x ≡ 1(mód3)

Usando el teorema chino del resto:

n=2 a =1

n =3 a =1

1

n = n1.n2 n = 2.3⇒ n = 6

2

1

2

c = nn = 6/2 → c = 3 c = nn = 6/3→ c = 2 a = 1 3x ≡ 1(mód2)  x ≡ 1(mód2) ⇒ c = 3  d =1 d = 1 1

1

1

2

1

2

1

1

1

1

2x ≡ 1(mód3)

− x ≡ 1(mód3) x ≡ (−1)(mód3)

d

2

= −1

Luego: x = x0 + nt

x = a .c .d + a .c .d 0

1

1

1

2

2

2

= 1.3.1+ 1.2.(−1) = 1

∴ x = 1+ 6t → (t∈ Z)

CRIPTOGRAFÍA Observación: Para los siguientes ejercicios, se numerarán las letras del alfabeto del siguiente modo: ABCDEFG0 1 2 3 4 5 6 HI J KLMN7 8 9 10 11 12 13 NOPQRS T14 15 16 17 18 19 20 UVWX YZ21 22 23 24 25 26 1) Codificar el mensaje "COM PLETO" aplicando las siguientes funciones código: a) (p +13)mód27 Lic. GUILLERMO MAS AZAHUANCHE

118


Solución: Como el mensaje a codificar es “COMPLETO” ubicamos los valores reales para luego encontrar su equivalencia:  C=2 → p = 2 → (2 + 13)mod27 → 15(mod27) → ahorap=15 → O  O=15 → p = 15 → (15+13)mod27 → 28(mod27) → 1(mod27) → ahora p=1 → B  M=12 → p = 12 → (12 + 13)mod27 → 27(mod27) → 0(mod27) → ahorap=0 → A  P=16 → p = 16 → (16 + 13)mod27 → 29(mod27) → 2(mod27) → ahorap=2 → C  L=11 → p = 11→ (11+13)mod27 → 24(mod27) → ahora p=24 → X  E=4 → p = 4 → (4 + 13)mod27 → 17(mod27) → ahora p=17 → Q  T=20 → p = 20 → (20 + 13)mod27 → 33(mod27) → 6(mod27) → ahorap=6 → G ∴"COMPLETO" codificado en (p+13)mod27 es "OBACXQGB"

b) (5p +7)mód27. Solución: Como el mensaje a codificar es “COMPLETO” ubicamos los valores reales para luego encontrar su equivalencia:  C=2 → p = 2 → (5(2) − 7)mod27 → 3(mod27) → ahora p=3 → D  O=15 → p = 15 → (5(15) − 7)mod27 → 68(mod27) → 14(mod27) → ahora p=14 → Ñ  M=12 → p = 12 → (5(12) − 7)mod27 → 53(mod27) → 26(mod27) → ahora p=26 → Z  P=16 → p = 16 → (5(16) − 7)mod27 → 83(mod27) → 2(mod27) → ahorap=2 → C  L=11 → p = 11→ (5(11) − 7)mod27 → 48(mod27) → 21(mod27) → ahora p=21 → U  E=4 → p = 4 → (5(4) − 7)mod27 → 13(mod27) → ahora p=13 → N  T=20 → p = 20 → (5(20) − 7)mod27 → 93(mod27) → 12(mod27) → ahora p=12 → M ∴"COMPLETO" codificado en (5p-7)mod27 es "DÑZCUNMÑ"

2) Descodificar los siguientes mensajes, que han sido codificados usando las funciones que se indican: a) CEBTUÑUPB QX CNFB (codificado por (p +13)mód27 ). Solución: Como hay que descubrir la palabra ubicaremos el mensaje codificado con los valores que por el momento esta adquiriendo:  C=2 → 2(mod27) = p + 13 → mod27 = p + 11→ p = 16 → P  E=4→ 4(mod27) = p + 13 → mod27 = p + 9 → p = 18 → R  B=1 → 1(mod27) = p + 13 → mod27 = p + 12 → p = 15 → O  T=20→ 20(mod27) = p + 13 → p = 7 → H


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Aritmetica Entera y Modular Ejercicios

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