Series de Laurent Ejercicios Fuertes XD

Desarrollo en serie de Laurent  Exponemos la forma de de desarrollar desarrollar en serie serie de Laurent Laurent una función función analítica en una corona abierta.

Teorema Sea una función analítica en la corona abierta con . Existen números complejos únicos tales que para todo , se expresa en la forma

Notas 1. A la igualdad

se la llama desarrollo en serie de Laurent  de

2. A la serie desarrollo de Laurent y a la serie

en

se la llama parte principal del principal  del  parte entera entera o analítica analítica..

3. Expresamos abreviadamente abreviadamen te en la forma 4. Se demuestra que para todo , siendo cualquier circunferenci circunferencia a de centro y contenida en la corona 5. Se demuestra que la convergencia de la serie de Laurent es uniforme en

lo cual implica que se puede derivar término a término.

Ejemplo 1 Desarrollar en serie de Laurent la función potencias enteras de

en

 Resolución La función es analítica en todo el plano complejo salvo  Resolución en . La función es pues analítica en las coronas abiertas y . Dividiendo el numerador y 

denominador de obtenemos:

entre

y usando la suma de la serie geométrica

Dividiendo el numerador y denominador de suma de la serie geométrica obtenemos:

entre

y usando la

Tenemos por tanto los desarrollos

Ejemplo 2 Desarrollar en serie de Laurent la función

en potencias enteras de

 Resolución (Esquemática) La función racional dada es analítica en todos los puntos del plano complejo salvo aquellos que anulan al denominador. Resolviendo obtenemos . La función es pues analítica en la tres coronas abiertas

Descomponiendo en fracciones simples:

.

Llamando , y procediendo como en el ejemplo anterior obtendríamos desarrollos de Laurent y :

Entonces,

Ejemplo 3 Desarrollar en serie de Laurent la función

en una corona abierta de centro

 Resolución Efectuando el cambio geométrica:

y usando la suma de la serie

Por tanto podemos expresar

Ejemplo 4 Desarrollar en serie de Laurent corona abierta de centro

en una

 Resolución Efectuando el cambio y usando el desarrollo en serie de la función exponencial obtenemos para :

Podemos por tanto expresar

Ejemplo 5 Hallar el desarrollo en serie de Laurent de la función

en un entorno de

.

 Resolución Un entorno de es una región de la forma La función no es analítica exactamente en , tenemos por tanto que desarrollar en la corona abierta . Consideremos la función . Entonces:

Derivando

Podemos por tanto expresar