Desarrolle la función indicada en una serie de Laurent que sea válida para el dominio anular propuesto. 1. 2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
= − , < < ||;: ! ! ! ! ⋯ z 1 1 z z = , < ||;: z 2! 3! 4! 5! ⋯ 1 1 1 1 ⋯ = , , < ||; : : 1 2!z 2! z 4!z 4! z 6!z 6! z 8!z 8! z 1 = , || > ; ; :: 3 3 3 3 3 ⋯ = , || > ;: 1 3 7 15 ⋯ , | | > ; = : z 1 1 z 211 z 611 z 1811 z 5411 z162 11 ⋯ = , || > ;: z2 z5 z8 1z1 1z4 ⋯ , < | | < ; = 1 1 1 : z 1 z 1 Z 1 1 1 z 1 1 z 1 ⋯ , < | || > ; = 4 : z 1 3 33z 11 33z 11 33z 11 33z 11 ⋯ = , < | |;: z 2 2 zz 22 = , = ; : : z ⁄2i 14 18 z i ⋯ = , = ; : : 1 2 2 z 3 1
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21. 22.
23.
24.
25.
1 3 2 1 28 1 024 ⋯ = , = ; ; : : 3 15 315 = , = ;; : : 1z z ⋯ = , = ;; : : 1 1z 12 16 ⋯ 1 2z 2 4 ⋯ = , = ;: ; : z 3 45 = , = ; ; : : z1 i 1 z ii ⋯ , = ; = 1 1 : 2! 2! 4! 6! ⋯ = , || < ;; :1 :1 ⋯ = , < || < ; 2 1 1 1 1 : z 2 4 8 16 ⋯ , < ||;: ⋯ = − z 1 z = , < ||;: z 2! 4! 6! ⋯ 1 1 1 ⋯ = −/, < < ||; : : 1 1! 1! 2!z 2! z 3!z 3! z 1 1 = , || > ; ; :: 1 1! 2! 3! ⋯ = , < | | < ; : 4 1 3 14 163 33 18 3 ⋯
26.
27.
28.
29.
30.
, < || < ; 1 9 9z 9 ⋯ = ; : : z = , < | || < ; 1 1 1 1 1 2 2 2 :… z 22 z 22 z 2 2 2 2 z 2 2 2 2 ⋯ 2 = / 3 , <3 ||; 3 : : 1 z 2! 2! 3! 3! ⋯ = , || > ; : 2 8 26 ⋯ 5 1 5 5 = ; || > ;: 2 3 4 ⋯
1.
2.
3.
4.
= − , < || = 1 1 1 = 3! 5! 7! 9! ⋯ ⋯ 1 1 1 1 = 3! 5! 7! 9! ⋯ 3! 1 1 = 3! 3! 5! 7! 9! ⋯ = − , < || 1 = 1 1 = 1 2! 3! 4! 5! ⋯ ⋯ 1 1 1 1 = 2! 3! 4! 5! ⋯ 1 1 = 2! 3! 4! 5! ⋯ ⋯ = , , < || 1 1 1 1 ⋯ = 1 2! ⋯ 2! 4! 4! 6! 6! 8! 8! 1 1 1 1 ⋯ = 1 2! 2! 4! 4! 6! 6! 8! 8! = , || > = 1 3 = 3 1 = 33 1= =33 333 = 01 3 1= 1 = 3 = 3 1 = 1 1 33 13 31 33 = 3 3 33
1 31 3 1 3 = 31 31 3 1 3 = 31 31 1 ⋯ ⋯ 1 1 1 = 3 3 3 3 3 3 3 ⋯ 1 = 3 3 3 3 3 ⋯ = , || > 1 = 1 1 1 22 21 2 1 11= 2 = 2 12 ==01 2 =1 = 1 1 = 1 1 1 1|| >221 || > 21 2 = 11 1 11 2 = 1 1 1 1 1 1 1 … 1 1 2 4 8 16 32 … = 1 1 1 1 1 ⋯ ⋯ 1 2 4 8 16 … = 1 3 7 15 ⋯ , | || > = = 1 ⇒1= 1 = 33 1 = 1 33 3 3 13= = 33 = 1 3 = 1 5.
6.
= 13 = 23 1 = 1 2 33 > >3 |3| 3> 0 33 2 = 31 31 3 1 3 = 31 32 1 3 9 27 81 243 ⋯ ⋯ = 31 32 2 6 18 54 162 ⋯ = 1 2 6 18 54 162 ⋯ = 1 1 21 61 181 541 162 1 1 ⋯ 7.
= , || > 1 = 11 1 1 11 11=1 = 22 1 1 = == 1 ,, = 0 2 2 = 0 1 = 1, 1, 1 = 1,11, = 3 3 1 = |1| >1 1 = 1 11 1 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 1 = 1 … 1 … = 1 1 1 1 1 1 1 1 … 3 1 2 3 4 5 6 … = 1 1 1 1 1 1 1 ⋯ ⋯ 3 6 9 12 15 ⋯ ⋯ = 2 5 8 11 14 ⋯ , < | | < = 8.
= 1 1 ⇒ = 1 = 11 0 < || < 1 1 = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1=11 = 1 1 11 1 = 0 1 = = = 1, 1, =1, = 0, 0, = 0 = 0 1, = 1 , , = 1 = 1 1 1 1 1 1 = 11 1 1 1 1 1 = 1 = 1 1 1 1 ⋯ ⋯ = 1 1 1 1 ⋯ 1 1 1 1 1 ⋯ = 1 1 1 1 1 11 1 9.
, < | | < = = 71 ⇒1 = 1 = 11 3 4 , 0 < || < 1 = 7 741 7 4 1 = 11 1 7 114 = == 11 = =4 4 = =3 7 7 4 = 4 3 11 4 3 1 = 1 = 4 31 ⋯ = 4 1 3 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 ⋯
10.
11.
12.
= , < | | 2 = 2 ⇒ = 2 = 2 22 22 2 , 0 < 2 4 2 4 2 = = 2 , 0 < = 2 2 2 = 2 2 = + = == 1 1 1 2 21 1 1 1 1 2 2 1 = 1 1 ⋯ ⋯ 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 = 2 2.2 2 . 2 2 . 2 2 . 2 ⋯ 2 2 2 ∴ = ⋯ = −− = == 11 11 4 2 1 4
13.
14.
15.
16.
2 3 3 2 ∴ = = = 4 4 1 1 4 4 = 3! 5! 7! ⋯ ⋯ 4 1 4 = 1 4 4 4 ⋯ 3! 3! 5! 7! ⋯ ∴ = ⋯ = + = 1 = 1 1= 1 1 = ; ;1 = ; ; = 1 1 1 = 1 1 ⋯ 11 1 1 1 = 1 ⋯ ⋯ ∴ = ⋯ = = 1 = 1 1 ⋯ 1 11 1 12! 3! 4! ⋯ = ⋯ 1 1 1 2!1 3! 4! = ⋯ 2 6 24 = = 1 cosh cosh2 2 2 2 1 ℎ2 = 1 1 2 ⋯ 1 2! 4! 6! ⋯
17.
18.
19.
1 ℎ2 = 1 1 2 2 4 ⋯ 3 45 ⋯ ∴ = ⋯ = +−+ = == 1 1 1 1 1 = 1 1 ⋯ 1 1 1 = 1 ⋯ = ⋯ ∴ = − = == 1 1 ( ) 1 1 ⋯ = 1 2! 4! 6! ⋯ 1 = 1 1 ⋯ 2! 2! 4! 6! ∴ = ⋯ = − | || < 1 = 1 1 =11 1 1 1 1 = ; = 1 1 21 21 21 21
1 = 1 1 ⋯ ⋯ 21 211 12 ⋯ 21 21 = 21 1 1 ⋯ 21 2 1 = 12 1 … 12 1 1 … ∴ = ⋯ = −−+ < || < + < 3 6 2 3 36 222 2 1 3 6 2 = 2 1 2 1 3 6 2 = 2= =1 = 1 2 1 1 1 2 1 || > 1 1 1 1 = 1 1 1 1 1 ⋯ ⋯ 1 1 || < 2 1 1 2 2 2 1 1 = 1 1 ⋯ 2 1 2 2 2 4 8 ⋯ 1 1 1 2 1 = 1 1 1 1 1 1 ⋯ 1 1 ⋯ 2 2 4 8 ⋯ ∴ = ⋯ , < ||; = − 20.
21.
Hallamos las fracciones parciales:
1 = 1 1 1 1 = 1
Resolviendo por coeficientes. A = -1; B=1
1 = 1 1 11 1 1 1 < ||; 1 = 1 = 1 1 1 1 1 ⋯ 1 1 1 ⋯ = 1 1 1 1 ⋯ 1 = 1 1 1 1 1 ⋯ 1 = 1 1 1 1 ⋯ ≠0 . = , < ||; Para
Para la resolución sumamos el otro factor:
Lo que da como resultado:
Converge para todo
; Y posee singularidad esencial en z=0.
Para la resolución de este problema separamos los factores y desarrollamos la serie de cos(z):
1 cos = 1 1 ⋯ 1 2! 4! 6! ⋯ 1 = 2! 4! 6! ⋯ ≠0 La serie converge para todo
23.
; y Posee una singularidad de polo simple en z=0.
= − , < < ||.
Para la resolución de este problema Rrealizamos un cambio de variable:
= 1 = 1 1! 2! 3! 4! ⋯
Reemplazamos por:
1 1 1 1 ⋯ 1! 1! 2! 2! 3! 3! 4! 4! ≠ 0; . = , || > ; +− +− − 1 1 1 = 1 = 1 = 1 1 1! 2! 3! ⋯ ⋯ − = 1
Converge para todo
Y posee una singularidad esencial en z=0.
Le agregamos a
Si multiplicamos:
1 1 1 = 1 1! 2! 3! ⋯ ≠ 1; = −− , < < | || < ;
Converge para todo
y posee una singularidad de polo Simple en z=1.
25.
Para obtener potencias de z-3 se escribe z-1=2 + (z-3) y
= 11 3 = 1 3 2 3− = 4 1 3 1 1 2 3− − − 1 1 1 2 3 23 3 3 = 4 3 1 1! 2 2! 2 234 3 ⋯ 3! 2 − < 1; | | 1; 3| 3 < 2 0 < | 3| < 2: − = 4 1 3 14 163 3 18 3 ⋯ = + − − , < || < ; En este punto se expande
en una serie de potencias utilizando el teorema
general de binomios:
La serie binomial es válida para
se tiene una serie de Laurent válida para
26.
Aplicando la fórmula. Se escribe:
. Multiplicando esta serie por
8 1 = 8 1 1 = 8 1 1 z ⋯ = 1 ⋯ 1 1 8 = 1 9 9z 9 ⋯ | | 0 < < 1. , < | | < ; = − −
Posteriormente, se multiplica la serie por
La serie de Laurent resultante es válida para 27.
Descomponemos en fracciones parciales
= 1 1 1 = z z.
A continuación,
= 1 = 2 1 2 = 12 1 1 2 2 2 1 2 2 2 = 2 1 2 2 2 ⋯ 2 1 2 2 = 2 2 2 2 ⋯
Esta serie converge en:
2 2 < 1 | 2| < 2 1 = 1 = 1 1 = 1 1 2 1 1 2 2 1 2 1 [1 1 1 1 ⋯] = 2 2 2 2 2 ⋯ ] = 1 2 122 122 122 ⋯ Sustituyendo estos dos resultados se obtiene:
1 1 1 1 1 2 2 = ⋯ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ⋯ 1 < | 2| < 2
Esta representación es válida para
= /, < ||;
28.
Realizamos un cambio de variable: u = 3/z
= 1 1 ⋯
2! 3! 3 3 3 = 1 2! 2! 3! 3! ⋯ ≠0 , || > ; = −+ Reemplazamos la variable:
Converge para todo
; Y posee una singularidad esencial en z=0.
29.
Resolvemos las fracciones parciales:
2 2 = = 4 3 3 1 3 1 2 = 1 3
Si z= 1
2 = 2; = 1 Si z= 3
2 = 2; 2; = 1 2 = 1 1 3 3 1 3 3 1 Para z>3
3 1 = 1 = 1 1 3 3 3 3 1 3 1 ⋯ 3 1 3 3 = ⋯ Para z>1
1 = 1 = 1 1 1 1 1 ⋯ 1 1 1 1 1 = 1 1 1 1 ⋯ Lo que da como resultado:
≠ 0; = − ; || > ;
Converge para todo
30.
= 2 8 26 ⋯
Y posee una singularidad esencial en z=0.
Ubicamos a f(z) así: Para z>5:
− 5 − − 5 = 1
234 5 1 5 2 3 5 = 1 2 2! 3! ⋯ ⋯
Lo que da como resultado:
Converge para todo
5 1 5 5 = 2 3 4 ⋯ ≠ 0;
Y posee una singularidad esencial en z=0.
