1. Los siguientes datos son mediciones de la resistencia a la ruptura (en onzas) de una muestra de 60 hilos de cáñamo:
32.5
15.2
35.4
21.3
28.4
26.9
34.6
29.3
24.5
31
21.2
28.3
27.1
25
32.7
29.5
30.2
23.9
23
26.4
27.3
33.7
29.4
21.9
29.3
17.3
29
36.8
29.2
23.5
20.6
29.5
21.8
37.5
33.5
29.6
26.8
28.7
34.8
18.6
25.4
34.1
27.5
29.6
22.2
22.7
31.3
33.2
37
28.3
36.9
24.6
28.9
24.8
28.1
25.4
34.5
23.6
38.4
24
a) Representar gráficamente la información. Valor mayor = 38.40 Valor menor = 15.20 Rango : 38.40-15.20 = 23.20 Formula de sturges. K= 1+3.30 long (60) = 6.86 6.86 numero de clase. Longitud de intervalo de clase TC = 23.20/6.86 = 3.38
Intervalos Frecuencia
14-17.38
17.38-20.76 2
2
20.76-24.14 24.14-27.52 11
12
27.52-30.90 30.90-34.28 8
8
37.66-41.04 1
2.- Se sabe que un grupo de cuatro componentes contiene dos defectuosos. Un inspector prueba los componentes uno por uno hasta encontrar los dos defectuosos. Una vez encontrado el segundo defectuoso, se concluye la prueba, pero se prueba el segundo defectuoso como comprobación. Sea Y el número de pruebas necesarias hasta encontrar el segundo defectuoso. Encontrar la distribución de probabilidad para Y.
Solución: 2
D
3 D D
B
4 D
B
Y
2
3
4
P(y)
1/6
2/6
3/6
3.-Los alambres que se utilizan en cierto equipo deben d eben tener una resistencia entre 0.12 y 0.14 ohm. Las resistencias reales de los alambres producidos por la compañía A tienen una distribución de probabilidad normal con una media de 0.13 ohm y una desviación estándar de 0.005 ohm. a) Cual es la probabilidad de que un alambre a lambre seleccionado seleccionado al azar de la producción de la compañía A satisfaga las especificaciones? b) Si se utilizan cuatro de estos alambres en el equipo y los seleccionan seleccionan de la compañía A ¿Cuál es la probabilidad de que satisfagan las especificaciones?
a).- datos: x1= 0.12 x2= 0.14 estandarizamos z = ((x- µ)/ ɚ)) z1= ((0.12-0.13)/0.005) ((0.12-0.13)/0. 005) = -2 z2= ((0.14-0.13)/0.005) = 2 se busca z en la tabla para z= 2 tenemos q nos da un valor de 0.4772 para z = -2 nos da el valor de 0.4772 z1 + z2 = .9544 la probabilidad de que un alambre seleccionado al azar de la producción de la compañía A satisfaga las especificaciones es de 0.9544
4.- Cinco pelotas numeradas, 1, 2, 3, 4 y5 se encuentran en una urna. Se sacan dos pelotas al azar de las cinco, y se anotan sus números. Encontrar la distribución de probabilidad para lo siguiente: a) El mayor de los dos números seleccionados. b) La suma de los dos números seleccionados.
Solución: a) 2 3 4 5 x p(x) Mediana
2,1 3,1 4,1 5,1
3,2 4,2 5,2
2 1/10
4,3 5,3
3 2/10
5,4
4 3/10
5 4/10
µ x = (p(x))(x)=(2+6+12+20)/10 = 40/10 = 4 σx
2
= (µ x-x)2 (p(x))= (4+2+4)/10 = 1
Desviación estándar
σx = 1
b) 3 4 5 6 7 8 9
1,2 1,3 1,4 1,5 2,5 3,5 4,5
2,5 2,4 3,4
x 3 4 5 6 7 8 9 p(x) 1/10 1/10 2/10 2/10 2/10 1/10 1/10 Media µ x = (p(x))(x)= (3+4+10+12+14+8+9)/10 = 6 σx
2
= (µ x-x)2 (p(x))= (9+4+2+2+4+9)/10 =30/10 =3
Desviación estándar
σx = 1.732
5.- Con el propósito de verificar la exactitud de sus estados financieros, las compañías tienen auditores permanentes para verificar los asientos contables. Suponer que los empleados de una compañía efectúan asientos erróneos en el 5% de las veces. Si un auditor verifica tres asientos al azar: a) Encontrar la distribución de probabilidad para Y, el numero de errores detectado por el auditor. b) Construir un histograma de probabilidad para p (y). c) Encontrar la probabilidad de que el auditor detecte más de un error.
Solución: (a): 5% 5% 95% 5%
5% 95% 95% 5%
5%
95% 95% 5%
95%
95%
Errores detectados por el auditor: Y 0 1 2 3
F(Y) (0.95) = 0.857375 3 (0.05) (0.95)2 = 0.135375 3 (0.05)2(0.95) = 0.007125 (0.05)3 = 0.000125 3
(b): construir un histograma (errores detectados por el auditor) 1
Función distributiva
0.857375
0.8 0.6 0.4 0.135375
0.2
0.007125
0.000125
2
3
0 0
1
Función acumulativa 1 0.5 0 1
2
3
4
Axis Title
(c): encontrar la probabilidad de que el auditor detecte más de un error.
P (X>1) =?
Distribución de Bernoulli
n=3 p = 0.05 q = 0.95 P (X>1) = 1 – P (X≤1)
P (X=0) = P (X=1) =
0.9926 P (X>1) = 1 – 0.9926 = 0.0074
6.- El número de errores tipográficos cometidos por una mecanógrafa en particular tiene una distribución de poisson con una media de cuatro errores por página. Si una pagina dada tiene más de cuatro errores, la mecanógrafa tendrá que repetir la pagina entera. ¿Cuál es la probabilidad de que no se tenga que repetir cierta página?
Solución: Formula de poisson:
Datos: λ= 4.
= 0.0183 = 0.07326 = 0.14525 =0.19536 =0.19536
7.- PROBLEMA 8 Un estacionamiento tiene dos entradas. Los coches llegan a la entrada 1 de acuerdo con una distribución de Poisson con una media de 3 por hora, y a la entrada 2 de acuerdo con una distribución de Poisson con una media de 4 por hora. ¿Cuál es la probabilidad de que 3 coches lleguen al estacionamiento durante una hora dada? (Se supone que los números de coches que llegan a las 2 entradas son independientes)
SOLUCION Por medio de la distribución de Poisson se tiene:
ESTACIONAMIENTO Entrada 1
Entrada 2
0 1 2 3
3 2 1 0
Se calculan las probabilidades de acuerdo al diagrama: Cuando λ= 3
Cuando λ= 4
Se multiplican las probabilidades de acuerdo a como se relacionan en el diagrama y se hace la sumatoria:
( ( ( (
RESPUESTA Por lo tanto la probabilidad es de 0.05206
8.- Un estacionamiento tiene dos entradas. Los coches llegan a la entrada 1 de acuerdo con una distribución de Poisson con una media de 3 por hora, y a la entrada 2 de acuerdo con una distribución de Poisson con una media de 4 por hora. ¿Cuál es la probabilidad de que 3 coches lleguen al estacionamiento durante una hora dada? (Se supone que los números de coches que llegan a las 2 entradas son independientes)
Solución: Por medio de la distribución de Poisson se tiene:
ESTACIONAMIENTO
Entrada 1
Entrada 2
4 5 6 7
3 2 1 0
Se calculan las probabilidades de acuerdo al diagrama: Cuando λ= 3
Cuando λ= 4
Se multiplican las probabilidades de acuerdo a como se relacionan en el diagrama y se hace la sumatoria:
( ( ( (
9.-En un juego, una persona recibe $15 cuando saca una jota o una reina y recibe $5 si saca un rey o un as de una baraja de 52 cartas. Si saca cualquier otra carta tiene que pagar $4, ¿Cuál es la ganancia esperada para una persona que entra en el juego?
Solución El problema en si nos esta pidiendo la ganancia total de una carta solo con el simple hecho de sacar una sola carta de la baraja. Entonces procedemos a lo siguiente: 4 cartas de jotas ganamos: 4 cartas de reinas ganamos: 4 cartas de reyes ganamos: 4 cartas de as ganamos:
$60 $60 $20 $20
Total ganado con 16 cartas: $160
Pero también perdemos $4 por cualquier otra carta que no sean ninguna de las mencionadas anteriormente Como el resto de las demás cartas sumas 36 entonces tendremos una perdida total de $144
Entonces tenemos que encontrar la ganancia total por jugar las 52 cartas incluyendo ganancia de las 16 y perdidas de las otras 36 Ganancia total por las 52 cartas es de: $160-$144= $16 Entonces lo único que falta es dividir los $16, que representa la ganancia por las 52 cartas; entre 52 para saber cual es la ganancia individual por carta. $16/52 = $0.307 Respuesta $0.31
10.- Tenemos tres urnas: A con 3 bolas rojas y 5 negras, B con 2 bolas rojas y 1 negra y C con 2 bolas rojas y 3 negras. Escogemos una urna al azar y extraemos una bola. Si la bola ha sido roja, ¿cuál es la probabilidad de haber sido extraída de la urna A?
11.- Se observo durante un largo periodo que la cantidad semanal gastada en el mantenimiento y en las reparaciones en cierta fabrica tienen aproximadamente una distribución normal con una media de $400 y una desviación estándar de $20. Si el presupuesto para la próxima semana es de $450, ¿cual es la probabilidad de que los costos reales sean mayores que la cantidad presupuestada?
Solución: La media (µ) = 400 Desviación estándar ( σ )= 20 X= es el valor del presupuesto que se dará (450) Z= x- µ σ
z= 450-400 =2.5 20 Z= 2.5 (se busca el área bajo la curva en las tablas) Y el áreas es = 0.4938 Z= 2.5 Área bajo la curva = 0.4930
Por tanto: 0.5-0.4938 = 0.0062 que seria el área al lado derecho del área encontrada ya que esa es la probabilidad de que sea mayor la cantidad presupuestada.
12.- En el ejercicio 11, ¿De cuánto tendría que ser el presupuesto para reparaciones semanales y mantenimiento, para que la cantidad presupuestada solamente se rebasara con una probabilidad de 0.1?
f(z
f(x
0.1 0.4 z 1.29 Solución:
En la tabla, áreas bajo la curva normal estándar.
Por fórmula: x= σ(z)+ µ
x 426
13.- Se supone que los resultados de un examen tienen una distribución normal con una
media de 78 y una varianza de 36. a) ¿ Cuál es la probabilidad de que una persona que presenta examen obtenga una calificación mayor que 72? b) Calcular aproximadamente la proporción de estudiantes que tienen calificaciones que exceden por lo menos en 5 puntos a la calificación reprobatoria del 25 %(de calificaciones inferiores). c) Si se sabe que la calificación de un estudiante es mayor que 72, ¿cuál es la probabilidad de que su calificación sea mayor que 84?
Comparando con las tablas El valor para z es igual a 0.3413 + 0.5 Resultado X=0.8413
Calculamos el valor z tal que P(Z
X=78-0.6745*6 X=73.9531 Es decir el 25% de los alumnos con calificaciones más bajas tienen una calificación inferior a 73.9531
No piden la probabilidad que los estudiantes tengas 5 puntos más que la anterior 73.9531 + 5 = 78.9531 Debemos calcular P(X>78.9531) Estandarizamos con Z=(X - μ)/σ Z=(78.9531-78)/6 = 0.1589 P(X>78.9531) = P(Z>0.1589) = 1 - P(Z<0.1589) = (según las tablas) 1 - 0.5631 =0.4369 Por lo tanto la probabilidad buscada es 0.4369 (43.69%) b) Debemos calcular la probabilidad condicionada P(X>84 | X>72) = P(X>84 y X> 72) / P(X>72) = La probabilidad que X sea mayor que 72 y a la vez mayor de 84 es la misma que sea mayor que 84, por lo que: P(X>84) / P(X>72) Estandarizamos con Z=(X - μ)/σ X=84 ---> Z=(84-78)/6 = 1 X=72 ---> Z=(72-78)/6 = -1 Por lo tanto
P(X>84) / P(X>72) = P(Z>1) / P(Z>-1) = (1-P(Z<1) / (1-P(Z<-1)) = (según las tablas P(Z<1) = 0.8413 y P(Z<-1) = 0.1587) (1 - 0.8413) / (1- 0.1587) = 0.1587 / 0.8413 = 0.1886 Por lo tanto la probabilidad buscada es P(X>84 | X>72) =0.1886
14.- En un examen de matemáticas, la calificación promedio fue 82 y la desviación estándar fue 5. Todos los estudiantes con calificación de 88 a 94 recibieron una B. Si las calificaciones están distribuidas en forma normal y 8 estudiantes recibieron una B, ¿cuántos estudiantes presentaron el examen?
Solución:
Estandarizando
Área bajo la curva normal: Entre 0 y 1.2= 0.3849 Entre 0 y 2.4=0.4918 -Área entre 1.2 Y 2.4= 0.4918-0.3849= 0.1069 Si
0.1069 : 1
:
8 x
15.- Un sexto de los estudiantes que entran a una gran escuela del estado provienen de otros estados. Si los estudiantes se asignan aleatoriamente a los dormitorios, 180 en un edificio, ¿cuál es la probabilidad de que en un dormitorio determinado al menos una quinta parte de los estudiantes sea de otros estados?
Solución.
()
=5 Y Para mayor exactitud quitamos 0.5 a x, por lo que tenemos x= 35.5 Estandarizando:
Área debajo de la normal, entre 0 y 1.1=.3643 Como se busca la probabilidad de que al menos 1/5 sea de otro estado entonces se buscará el área de la región >z=1.1
16.- Una variable aleatoria continua X puede asumir únicamente valores entre X = 2 y 8 inclusive, tiene una función densidad dada por a(x +3) donde a es una constante. a) Calcular a. b) Calcular P[x≥ 4] c) Calcular P[ 3< X <5 ]
Solución: a)
∫
∫
[ ] [ ] b)
∫
[ ] [ ]
c)
∫
[ ] [ ]
17.- Un examen de opción múltiple esta compuesto de 15 preguntas con cinco respuestas posibles cada una, de las cuales solo una es correcta. Supóngase que uno de los estudiantes que realiza el examen contesta las preguntas al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que conteste correctamente al menos 10 preguntas?
Solución: p= 0.2 q=0.8
Cuando λ= np=15(0.2)=3
18.- Se puede ajustar una máquina de refrescos de tal manera que llene los vasos con un promedio de µ onzas por vaso. Si el número de onzas por vaso tiene una distribución normal con una desviación estándar igual a 0.3 onzas, encontrar el valor de µ de tal manera que los vasos de 8 onzas solamente derramarán el 1% del tiempo.
Solución:
Donde: z=1
x=7 Despejo a
El valor de
19.- Considere un sistema de agua que fluye a travez de unas válvulas de A a B. las válvulas 1,2 y 3 funcionan independientemente y cada una se abre correctamente mediante una señal con una probabilidad de 0.8 . en contrar la distribución de probabilidad para y, el num de vías abiertas de A a B después de haber mandado la señal ( observa que y puede tomar los valores de 0,1 y 2).
1 A
B
2
3
P(0) = p(1) u ((p(2) n p(3)) = p(1) u (p(2).p(3)) = p(1) + (p(2).p(3)) – (p(1) n p(2) n p (3)) = p(1) + (p(2).p(3)) -- p(1). (p(2).p(3)) = (0.8) + (o.8)(0.8) – (0.8)(0.8)(0.8) = 0.928 por tanto 1-- .928 = ,072 Cuando p(0) = 0.072
A A
AAA
C
A
AAC
A C
ACA
C
ACC
A C
CAA
A
C
CAC
C
A
CCA
C
CCC
P(0) = 3/8 = o.375 P( ) = 4/8 = 0.5 P(2) = 1/8 = 0.125
Válvulas a partir de la señal
P(0) = 3C0 = (0.8) 0 (0.2)3
= 0.008
P(0) = 3C1 = (0.8) 1 (0.2)2
= 0.096
P(0) = 3C2 = (0.8) 2 (0.2)1
= 0.384
P(0) = 3C3 = (0.8) 3 (0.2)0
= 0.512
20.- La calificación media de un examen final fue de 72 y la desviación estándar fue de 9. El 10% de las calificaciones superiores recibieron distinción con A ¿cual debe ser la calificación máxima de un estudiante para que le distinga con una A?
Solución:
Media µ x = 72
desviación estándar σx = 9
El valor de z lo obtenemos por medio de la tabla de aéreas bajo la curva normal estándar entre 0 y z Z= 1.28
Para que un estudiante pueda obtener una A la calificación debe de ser de 83.52
21.- Encontrar la probabilidad de que en 200 lanzamientos de una moneda p udieran resultar: a) entre 80 y 120 cruces. b) menos de 90 caras. c) menos de 85 y más de 115 caras.
Solución: (a):
µ = n p = (200) (0.5) = 100 p = 50% q= 50%
√ Z1 = (80-100) / 7.07 = -2.83 Z2 = (120-100) / 7.07 = 2.83 P (120
(b):
P (X<90) Z3 = (90 – 100) / 7.07 = -1.414 0.5 - 0.4207 = 0.0793
(c):
P (115
22.- Encontrar la probabilidad de que salgan mas de 25 sietes en 100 lanzamientos de un par de dados.
Solución:
Datos: n= 100, p= .
µ=np=(100)( )= 16.66
= = 3.73
σ=
Estandarizamos:
==2.23
Z=
El area de 2.23 (según tabla de areas bajo la curva normal estándar entre 0 y z ) es de 0.4871. Por lo tanto: (.5 - .4871) = 0.0129
23.-
24.- El 10% de las herramientas producidas por un proceso de manufactura salen defectuosos. Encontrar la probabilidad de que en una muestra de 10 herramientas seleccionadas al azar, exactamente 2 puedan ser defectuosos usando: a) La distribución binomial b) La distribución de Poisson
Solución: Datos n = 10 p = 0.10 q = 0.90 A) Por la distribución binomial se tiene: x
n-x
f(x) = n C x p q
2
f(2) = 10 C 2 (0.10) (0.90) f(2) = 4.304 x 10
8
-3
f(2) = 0.19368
B) Por la distribución de Poisson se tiene:
25.-Un ingeniero en seguridad de automóviles afirma que uno de 10 accidente automovilísticos se debe a la fatiga del conductor. Utilizando la fórmula de la distribución binomial y redondeando a cuatro espacios decimales, ¿Cuál es la probabilidad de que cuando menos tres de cinco accidentes de automóviles se deban a fatiga del conductor?
Lo que necesitamos es calcular la probabilidad
de x≥3; de un total de 5 accidentes
automovilísticos sean causados por fatiga P(X≥3)=p(X=3)+ p(X=4)+ p(X=5)
Podemos hacer lo siguiente
Csx pxqn-x
P(x)= n
donde:
nCx =
P= probabilidad de éxito q=probabilidad de fracaso x=numero de éxito deseado n=numero de sucesos
C C C3
p(X=3)= 5
= 0.2907
p(X=3)= 5
4
=0.12828
p(X=3)= 5
5
=0.0226
Sumas todas las probabilidades y obtenemos el resultado Respuesta: 0.4416
