I . E. P.“ Leonar do de Vi Vi nci ” – Si st em a Pr eu un ni versi t ari o
NÚMERO NÚM EROS S COM COM PLEJOS I CAMP MPO DE DE LOS NÚME MEROS COMP MPLEJOS Dentro del campo de los números reales (IR) podemos siempre hallar números “x” tales que: x2 – 1 = x 2 $ 1 =
!ero que so"re la ecuaci#n:
%o existe nin&ún número real “x” que satis'a&a esta ecuaci#n puesto que el cuadrado de todo número real es positio cero (x 2 ) * en consecuencia: consecuencia: x 2 $ 1 +e hace necesaria la ampliaci#n de IR a un con,unto en el cual pueda resolerse situaciones del tipo anterior- tal con,unto es el de los números comple,os en la que de'inimos un nueo número “i”- tal que: i2 = .1
NÚME MEROS COMP MPLEJOS DEFINICIÓN +e llama número comple,o a todo par ordenado (a- ") de componentes reales/ reales/ Notación:
0 = (a- ") donde “a” * “"” ∈ IR
l número “a” se le llama parte real real de 0/ (Re(0) = a) l número “"” se le llama parte ima&inaria ima&inaria de 0/ (Im(0) = ") 3n el sistema de los números comple,os se de'ine dos operaciones: •
dici#n (a ") $ (c d) = (a $ c " $ d)
•
4ultiplicaci#n (a ") / (c d) = (ac – "d ad $ "c) Observación
•
l número comple,o (x- ) se le identi'ica con el número real “x”- lo cual se puede escri"ir: x = (x- )
•
l par ( 1) se le llama unidad ima&inaria ima&inaria * se le representa por el s5m"olo “i” i
+u" – 6rea: 6l&e"ra
=
( 1)
=
−
1
1
78 +ecundaria
I . E. P.“ Leonar do de Vi nci ” – Si st em a Pr euni versi t ari o
TEOREMA
i2 = . 1 Demostraci#n:
i 2 = i/ i = ( 1) ( 1)
3'ectuando la multiplicaci#n:
= (/.1/1 /1 $ 1/) = (.1 ) = .1
9inalmente:
i2 = .1
FORMACARTESI ANA O BI NÓMI CADEUN COMPLEJO 3l número comple,o 0 = (a ") lo podemos expresar: Z
= ( a b ) = a(1 ) + b( 1) 1
→ 0
i
= a $ "i
REPRESENTACI ÓN GEOMÉTRI CA ( PLANO DE GAUSS) 3n el plano cartesiano denominaremos al e,e “*” como eje imaginario * al e,e “x” como eje real/ +ea:
0 = a $ "i a ; ∧ "
+u representaci#n en el plano de
* !
(e,e ima&inario)
Donde OP es el radio ector del comple,o/
"
0 = a $ "i a
x (e,e real)
3,emplo: 01- 02 * 0> estn u"icados en el plano de
+u" – 6rea: 6l&e"ra
2
78 +ecundaria
I . E. P.“ Leonar do de Vi nci ” – Si st em a Pr euni versi t ari o
01
> 02
2
7
.7 0>
?ue&o:
01 = (7 >) = 7 $ >i
02 = (.7 2) = .7 $ 2i
0> = ( .2) = 2i
Cantidades imaginaries +on aquellos números que resultan de extraer una ra5@ de 5ndice par a un número real ne&atio/
− 1A =
1A( − 1)
=
1A
− 1 = 7i i
−B =
B( − 1)
=
B −1
=
B i
i
Relación de igualdad ?os comple,os son i&uales- si * s#lo si- sus partes reales * sus partes ima&inarias son i&uales respectiamente/ s5: a $ "i = c di ↔ a = c ∧ " = d
TI POSDE NÚMEROSCOMPLEJOS Complejo real o puramente real 3s aquel número comple,o que carece de la parte ima&inaria es decir su parte ima&inaria es cero/ %otaci#n: 0 = a $ oi = a ∀ a ∈ IR Complejo imaginario puro 3s aquel número comple,o que carece de la parte real es decir su parte real es cero- adems su parte ima&inaria es di'erente de cero/ %otaci#n: 0 = $ "i ∀ " ∈ IR . C Complejo nulo 3s aquel número comple,o que presenta la parte real e ima&inaria i&ual al número cero- es decir las dos componentes son nulas/ %otaci#n: 0 = $ i = +u" – 6rea: 6l&e"ra
3
78 +ecundaria
I . E. P.“ Leonar do de Vi nci ” – Si st em a Pr euni versi t ari o
3,emplo: EFul es la relaci#n existente entre “m” * “x” para que el producto: (m $ ix) (2 $ >i) sea un número ima&inario puroG +oluci#n: 3'ectuando la operaci#n dada: (m $ ix) (2 $ >i) = 2m $ >mi $ 2ix $ >xi2 &rupando terminos: (2m . >x) $ (>m $ 2x)i para que la expresi#n sea ima&inario puro se de"e cumplir que: 2m – >x = → 2m = >x → m =
> 2
x
∴ ?a relaci#n pedida es: m = 1-Bx
otencias enteras de la unidad imaginaria 3studiaremos el comportamiento del número: in ∀ n ∈ 0- teniendo en cuenta la si&uiente de'inici#n: i1 = 1 i2 = .1 i> = . i2/i = .i i7 = i2/i2=(.1)(.1)=1
iB = i7/i=1 iA = i7/i2 = .1 iJ = i7/i> = . i i = i7/ i7 = 1
iH = i/ i = i i1 = i / i2 = .1 i11 = . i / i> = .i I.12 = i / i7 = 1
+e o"sera que las potencias de “i” se repiten cada cuatro eces * s#lo toman uno de los cuatro alores/ ropiedades: 1/ +e o"sera: i7 = 1 i = 1 i12 = 1 KK// esto implica que la unidad ima&inaria eleada a un múltiplo de cuatro es i&ual a la unidad/
i
±7
= 1
tam"iLn:
i ±7 +1
=
i
i ±7 +2
i ±7 +>
= − 1
= − i
Falcular: i >AI2
+u" – 6rea: 6l&e"ra
+
4
i 1JI>
+
i −217
78 +ecundaria
I . E. P.“ Leonar do de Vi nci ” – Si st em a Pr euni versi t ari o
+oluci#n: +e o"sera:
> A2 =
7
1 J> =
7
$ 2 $ >
.217 = (. 7 $2) =
7
. 2
→ i >AI2 + i 1JI> + i −217 = i 7 + 2 + i 7 +> + = i 2 + i > + i −2 = − 1 − i − 1 = − 2 − i i
+
+
i 2
+ //// +
i >
i 7 n
=
n
i 7 −2
∈ IN
3,emplo: Falcule: 1
1 + i
2
>
1HHH
+ i + i + ////// + i 2
1 + i + i
+oluci#n: Fomo: 1 = i 2 entonces el numerador ser: i2 $ i $ i2 $ i> $ K// $ i1HHH
Mrdenando: 1
2
3
i + i + i + i
7
B
A
J
I
+ i + i + i +i + ///////// + i
2
+e o"sera que cada cuatro tLrminos se o"tiene cero- lue&o el numerador ser cero- entonces se tiene: 1 + i + i
2
=
2/ !ropiedades de potenciaci#n:
(1$i)2 = 2i (1 $ i)> = 2i(1 $ i) (1 $ i)7 = .7 1 + i 1 − i
(1 – i)2 = .2i (1 – i)> = .2i(1 – i) (1 – i)7 = .7 1 − i
=
=
1 + i
CONJUGANDO DE UN COMPLEJO Dado el con,unto 0 = a $ "i se de'ine el comple,o con,u&ado de 0- denotado por Z =
3,emplo:
Z
como:
a − bi
Z = > + Bi
→ Z = > − Bi
OPUESTO DE UN COMPLEJO 3l opuesto de un comple,o 0 = a $ "i- es: 0N = –a – "i ?a representaci#n &eomLtrica de 0 = a $ "i (a ∧ " ) de su con,u&ado * su opuesto/ 0=a$"i
" +u" – 6rea: 6l&e"ra
5
78 +ecundaria
I . E. P.“ Leonar do de Vi nci ” – Si st em a Pr euni versi t ari o
.a
(3,e real)
a
."
0N = .a . "i
0 = a . "i
ROIEDADE! 0 01 02 ∈ F 1) 2) >) 7) B) A) J)
0 = Z ↔ 0 es comple,o real/ Z = 0 . Z = .0 = 0N ↔ es comple,o ima&inario puro/ 0 $ Z = 2 IRe (0) 0 . Z = 2 IIm(0) Z 1 ± Z 2
= Z 1 +
=
Z 1/Z 2
Z 2
Z 1 / Z 2
Z 1 Z 1 = Z ∀ Z 2 ≠ ( ) Z 2 2 H) (Z = ( Z ) ∀ n ∈ I% )
n
n
1)
n
Z
=
n
Z 1
∀
n
∈ IN
MÓDULO O VALOR ABSOLUTO DE UN COMPLEJO +ea el 0 = (a- ") lue&o: O0O = a + b - ser su m#dulo/ 2
a/ "/
z
≥ -
@1
∀ @∈ @1
=
@2
@2
2
e/
C
'/
@2 ≠ (-)
&/
c/
z
=
d/
z n
=
z n
2
z
=
=n
z 1/ z 2
@/@
z
=
z 1 / z 1
. @
@
h/
n
z 1
+ z 2 ≥
z 1
+
z 2
ACTIVIDADES EN AULA 1/ +ean los números comple,os:
+u" – 6rea: 6l&e"ra
6
78 +ecundaria
I . E. P.“ Leonar do de Vi nci ” – Si st em a Pr euni versi t ari o m i
=
=
n
=
1
+
d) 2
yi
1
u
+
B/ Pn alor de “n” que eri'ica la i&ualdad: (1 $ i)n $ ( 2i ) = A7i
vi
n
tal que- C*- u- ⊂ 0$ cumpliLndose adems: m $ n = a $ Ji mn = .J $ 11i
a) 1 d) Bi
+iendo: 2 ; a ; Falcule: a2 $ *2 $ u2 $ 2 a) 7 d) B7
e) 2 i
") B e) >
c) 1
A/ Qallar el modulo del número comple,o “@” 0 = (>$7i) (B.12i)(2 2 $i)(1$ > i)
") B e) BA
c) B2 a) 1J d) 72
2/ +i “@” es un número comple,o * satis'ace:
") 2B e) B1
c) >H
J/ +i la &r'ica del número comple,o: 1 − Z
=1
1 + Z
Z
entonces: a) Re(0) ") Im(0) c) “@” es un número real/ d) “@” es un número ima&inario puro/ e) Re(@) ;
=
1 + ai 1 − ai
a
∈ IR +
en el que se muestra en la 'i&ura- el alor de “a” es: Im @
>/ 3n “F” los alores de “x” e “*” al resoler la ecuaci#n: xi > x + 7i = 1 + yi x + > y
Re
") –2 e) 2
c) 1
son: a) x = ± 1 * = ± ") x = ± 2 * = ± c) x = ± > * = ± d) x = ± > * = ± e) x = ± 2 * = ±
a) 2 2
7 >
a) 7 d) –1
2
7
/ partir de:
> 2
(1$i)2 $(1$i) 7$(1$i) A$(1$i) = x $ *
>
B
Falcular:
7
x + y x − y
7/ Reducir: W
>
=
1 + 2i 2
− i
+
+ 7i + 7 − > i
>
donde: i =
+ Ai + ///// A − B i
B
a)
$ 2 2 tLrminos ") 2 2i c) –2 2i
d)
1 2 1 A
−1
") e)
1 7 1
c)
1 B
>
ACTIVIDADES 1/. Falcular: 3 = i.1 $ i.2 $ i.> $ K/ $ i.HH $ i.11 +u" – 6rea: 6l&e"ra
a) i 7
") –1
c) .i 78 +ecundaria
I . E. P.“ Leonar do de Vi nci ” – Si st em a Pr euni versi t ari o
d)
e) 1 $ i
2/. Qallar el alor de: a) i d) 7i
E
c) − 1 − e) 1 2i
=
−
") 2i e) %//
7/. 3'ectuar:
H/. Falcular:
1
i =
") 1 e) – i
a) 1 $ c) –1 . e) i
− 1/
! = iB> $ i27 $ i>7 $ i2J
−1
a) 1 c) e) .2
c) –1
") –1 d) 2
1/. Falcular: W
B/. Falcular: S =
−1 +
− 2 /
a) 1 c) e) –2
− >
") 1 $ d) 1 $
A A
P = i
+ i
a) 1 d) –2
+ i + i >7
2J
i =
") –1 e) I
11/. Falcular:
2
−1
c)
c)
1+
c) > – 2i
− 1/ − 1 + − 2 / − >
") 1 −
A
+
1H
2H 2H 7 1 >
−
>
i
")
− > i i = − 1 B + 2i
2
7 2H
−
d)
i
1Hi
2H 1 1
>
+
i
>
12/. +ea el comple,o 0 = a $ "i- tal que: I − Ai = z / Qallar O@O 1 − i
/. Qallar: a)
i −>2I
e) i
") –> – 2i e) > $ Bi S =
7
a)
J/. Qallar el con,u&ado de: > $ 2i a) > $ 7i d) > $ Ai
+
B
A/. Falcular: 27
i −272
=
") –1 d) 2
Z =
B>
2
c) >i
4 = i.>B $ i.72 $ i.BJ
a) d) i
d) 1 +
A
B
a)
>
") 2
c)
B
d)
e)
A
2
1 B
Práctica Dirigida
1/ Falcular: M =
I −/
−2 −
− 2J /
Rpta: B
−>
>/ Dar el alor de erdad en: I/ − 7 / − 7 = 7 II/ odo número comple,o es un número real/
Rpta: B
2/ 3aluar: = (1 $ 2i) (1 – 2i) +u" – 6rea: 6l&e"ra
8
78 +ecundaria
I . E. P.“ Leonar do de Vi nci ” – Si st em a Pr euni versi t ari o
III/ odo número real es comple,o/ IS/ 3l opuesto de
Z
>
=
− 7i es
2 >
− Z =
11/ 3aluar: A
=
1 + i 1 − i
+ 7i
2
+
1 − i 1 + i
Rpta: 12/ 3'ectuar:
7/ +ea el comple,o : T = >(7i – B) – 2i ( 2i $ B)
B
Qallar:
7 1 + i 1 − i = − 1 − i 1 + i
U = VOR∈(W)X Im (W)
Rpta: 1A 1>/ Qallar el m#dulo del si&uiente comple,o: 0 = 7 – >i
Rpta: 121 B/ 3aluar:
Rpta: B R
=
( 2 + i ) 2 + ( 2 − i ) 2
17/ Qallar el comple,o @- si:
>
Z
Rpta: 2
> − 2i
=
1 + i
A/ quL es equialente: = (2 – i)2 . (> – i) (1 – i)
Rpta: 1B/ Dado el comple,o :
Rpta: 1
w =
J/ Reducir:
Qallar el m#dulo de 77
B
=
i
−7A
+ i
i − 77
+ i
− j
7B
7
1A/ Falcular
a + b
J + i > − i
- tal que se eri'ica:
= ( a − b ) + ( 7b − a ) i
1J/ Qallar “"” para que el equialente de: 7 + >bi sea un número real/ 2 − i
2B
Rpta: .2> 1/ Falcular “n” para que 0 sea un número ima&inario puro- si:
Rpta: i 1/ Reducir:
Z
P =
1
+ i
1J
+ i
2A 21
=
A + Ini 2 − >i
Rpta: 12
72JH
i
1H/ Dado:
Rpta: .> +u" – 6rea: 6l&e"ra
2
Rpta: 2
H/ Falcular el alor de:
1A 17
i
w
Rpta:
Rpta:
1>
2
+ i 2 − i
= i27 . i2B $ i2A – i2J
11 1
B
>
7
/ Qallar el alor equialente de:
H
2
−
− i
Rpta: 1
M = i H
1
W = 21 $ 2i / Qallar 9
w
78 +ecundaria
I . E. P.“ Leonar do de Vi nci ” – Si st em a Pr euni versi t ari o
Rpta: B $ 2i 2/ +ea: Z 2 = Qallar O02O
I + Ai
+ 1 − Ai
2
>
= i $ i $ i $ K// $ i
7
π
−
Rpta: 2n(7n$1) > i
7
+ isen
2B/ Qallar la 'orma polar del comple,o: 0 = . . > i 1= i
2B
22/ Falcular: + = (1 $ i)$(2 $ i 2)$(>$i>) $K/$(7n$i7n)
2>/ 3xpresar el comple,o 0 1=1$ tri&onomLtrica/
π
71
Rpta: i
Rpta: 1ACos
7π >
+ iSen
7π >
2 ( 2 + >i ) 2A/ l reducir: A = se o"tiene una 2 + i
expresi#n de la 'orma: m $ ni- se&ún esto hallar:
en 'orma
B
Rpta: 2 (cosA8 $ isenA8)
+u" – 6rea: 6l&e"ra
2 Cos
Rpta: Rpta:
21/ 3'ectuar:
27/ Qallar la 'orma polar del comple,o: 02 = (1- 1)
=
1
m2
+ n2
Rpta:
10
2A
B
78 +ecundaria
I . E. P.“ Leonar do de Vi nci ” – Si st em a Pr euni versi t ari o
+u" – 6rea: 6l&e"ra
11
78 +ecundaria
I . E. P.“ Leonar do de Vi nci ” – Si st em a Pr euni versi t ari o
+u" – 6rea: 6l&e"ra
12
78 +ecundaria
I . E. P.“ Leonar do de Vi nci ” – Si st em a Pr euni versi t ari o
+u" – 6rea: 6l&e"ra
13
78 +ecundaria
I . E. P.“ Leonar do de Vi nci ” – Si st em a Pr euni versi t ari o
INEC"ACIONE! DE RIMER #RADO +on aquellas que presentan la si&uiente 'orma: ax $ " ; (a ≠ ) para o"tener el interalo al que pertenece la inc#&nita de tal manera que eri'ique la desi&ualdad propuesta ser su'iciente despe,ar la inc#&nita aplicando los teoremas de desi&ualdades/
ACTIVIDAD EN AULA
1)
!ara los pares de interalos mostrados&ra'icar * dar el interalo soluci#n de: -
-
= ; > A U = ; B 12X
c) x ∈ V1 $ ∞ d) x ∈ IR e) x ∈ φ B)
Resoler:
= V 1 HX U = V A 12X
x
+2 >
x
+>
≤B
J
indicando el interalo no soluci#n/
-
= ; .∞ 2 U = ; $∞X
a) ; 7 $∞ ") ;1 7 d) ;.∞ 7 e) %//
-
= V .2 2 U = V > $ ∞
A)
") e) H
a) x 1 d) x B J)
−2
+
x
+1
A
+
x
+7
≥>
H
") x 2 e) %//
c) x >
Resoler: x
c) J
−2 >
+
x
+7 B
≥A
indicando su interalo soluci#n:
Resoler:
a) x ∈ V11 $∞ c) x ∈ V2 >X e) x ∈ φ
2 – V7 – (x – 1) $ 2(x – >)X x – V2 – >xX a) x ; 1 d) x 7
c) ;.1 1
Resoler: x
Resoler: 2(x – >) $ >(x – 2) 7(x – 1)
a) 1 d) 1
") x 1 e) %//
c) x )
7)
B
+
= ; .> 2 U = ; .1
indicando el menor alor entero que adopta “x”/
>)
+A
x
-
> 2)
+
Resoler: x + 1 2
+
x − 1 >
+i: a ; " a- " ∈ IR$ Resoler:
≥A
a b
Indicando el interalo soluci#n/ a) x ∈ VJ $ ∞ ") x ∈ V.1 1X +u" – 6rea: 6l&e"ra
a) x 1 14
") x ∈ V.11 11X d) x ∈ IR
x
+
b a
") x 1
x
≥
b a
+
a b
c) x ; 1 78 +ecundaria
I . E. P.“ Leonar do de Vi nci ” – Si st em a Pr euni versi t ari o
d) x 2 H)
e) x ; 2
d) ;.J $∞ e) ;1 $∞
+i: a " " ∈ IR$ Resoler:
1B)
Resoler: > x − 2
a b
a) x 1 d) x ∈ IR
x +
b a
x <
b a
+
a
7
") x ; 1 e) x ; 1
Resoler:
a) ; .∞ 1 c) ;.1 $∞ e) ;.∞ 1>
c) x ∈ φ
c) x ;
7
ab a
e) %// 11)
+b
ab a
+b
") x 7 e) x ∈ φ
1J)
2
+
−2
x
>
≤
x
−> 7
x
+
B
−7
ax
B
2
x
+
>
−
x
B
≥I+
2 x + 1 >
") V1 $∞ d) V.1 $∞
+ 2b >
(a ; ")
a) 2 d) –1
a) ; .∞ B c) ; .∞ .B e) ; .B B
c)
≤
Resoler:
hallar el ma*or alor que satis'ace la desi&ualdad/ ") 1 e) –2
> x − 2
a) ; .∞ 1X c) ;.∞ .1X e) V.1 1X
+b <
bx
+ 2a >
+a
") ; B $∞ ") ; .B $∞
Resoler: 1H)
2 ; 2x – 1 ; 2 a) x ∈ VA 1BX c) x ∈ V.1 1X e) %// 17)
B
Resoler: 2
1)
−1
>
") V.> $∞ d) V> $∞
> x + 7
c) x A
Resoler: x
1>)
+b
Resoler: (x $1) (x$2) (x$>) x> $ Ax2 $ 1x $ 12 a) x 1 d) x ; A
12)
a
−
a) ; .∞ .>X c) ;.∞ >X e) V>J $∞
ab
d) x ;
x
< 1+
") ; . ∞ .1 d) ;1 $∞
B x − 1
si: a $ " ; ") x
+2
Resoler:
(x $1) (x $ ") x 2 $ 2a"
a) x 1
x
b
1A) 1)
−
hallar el ma*or alor de “a” e indique como respuesta:
") x ∈ VA 1X d) x ∈ IR
a >
Resoler: x + B 7
a) ;.∞ J
+ean “m”- “n”- “p” ∈ IR$ que eri'ican: (m $ n $ p) (m .1 $ n.1 $ p.1) a
+
x − > 2
") ;J $∞
+u" – 6rea: 6l&e"ra
>
a) 1 d) A
B
") 2 e) H
a −1
c) >2
c) ;.∞ .J 15
78 +ecundaria
I . E. P.“ Leonar do de Vi nci ” – Si st em a Pr euni versi t ari o
+u" – 6rea: 6l&e"ra
16
78 +ecundaria