SEPTIEMBRE - ALGEBRA - 4TO.doc

I . E. P.“ Leonar do de Vi Vi nci ” – Si st em a Pr eu un ni versi t ari o

NÚMERO NÚM EROS S COM COM PLEJOS I CAMP MPO DE DE LOS NÚME MEROS COMP MPLEJOS Dentro del campo de los números reales (IR) podemos siempre hallar números “x” tales que: x2 – 1 =  x 2 $ 1 = 

!ero que so"re la ecuaci#n:

%o existe nin&ún número real “x” que satis'a&a esta ecuaci#n puesto que el cuadrado de todo número real es positio cero (x 2  ) * en consecuencia: consecuencia: x 2 $ 1   +e hace necesaria la ampliaci#n de IR a un con,unto en el cual pueda resolerse situaciones del tipo anterior- tal con,unto es el de los números comple,os en la que de'inimos un nueo número “i”- tal que: i2 = .1

NÚME MEROS COMP MPLEJOS DEFINICIÓN +e llama número comple,o a todo par ordenado (a- ") de componentes reales/ reales/ Notación:

0 = (a- ") donde “a” * “"” ∈ IR

l número “a” se le llama parte real real de 0/ (Re(0) = a) l número “"” se le llama parte ima&inaria ima&inaria de 0/ (Im(0) = ") 3n el sistema de los números comple,os se de'ine dos operaciones: •

dici#n (a ") $ (c d) = (a $ c " $ d)

•

4ultiplicaci#n (a ") / (c d) = (ac – "d ad $ "c) Observación

•

l número comple,o (x- ) se le identi'ica con el número real “x”- lo cual se puede escri"ir: x = (x- )

•

l par ( 1) se le llama unidad ima&inaria ima&inaria * se le representa por el s5m"olo “i” i

+u" – 6rea: 6l&e"ra

=

(  1)

=

−

1

1

78 +ecundaria

I . E. P.“ Leonar do de Vi nci ” – Si st em a Pr euni versi t ari o

TEOREMA

i2 = . 1 Demostraci#n:

i 2 = i/ i = ( 1) ( 1)

3'ectuando la multiplicaci#n:

= (/.1/1 /1 $ 1/) = (.1 ) = .1

9inalmente:

i2 = .1

FORMACARTESI ANA O BI NÓMI CADEUN COMPLEJO 3l número comple,o 0 = (a ") lo podemos expresar: Z

= ( a b ) = a(1  ) + b( 1) 1

→ 0

i

= a $ "i

REPRESENTACI ÓN GEOMÉTRI CA ( PLANO DE GAUSS) 3n el plano cartesiano denominaremos al e,e “*” como eje imaginario * al e,e “x” como eje real/ +ea:

0 = a $ "i  a ;  ∧ "  

+u representaci#n en el plano de
* !

(e,e ima&inario)

Donde OP es el radio ector del comple,o/

"

0 = a $ "i a



x (e,e real)

3,emplo: 01- 02 * 0> estn u"icados en el plano de

2

78 +ecundaria


01

> 02

2

7

.7 0>

?ue&o:

01 = (7 >) = 7 $ >i 

02 = (.7 2) = .7 $ 2i

0> = ( .2) = 2i

Cantidades imaginaries +on aquellos números que resultan de extraer una ra5@ de 5ndice par a un número real ne&atio/

− 1A =

1A( − 1)

=

1A



− 1 = 7i i

−B =

B( − 1)

=

B −1

=

B i

i

Relación de igualdad ?os comple,os son i&uales- si * s#lo si- sus partes reales * sus partes ima&inarias son i&uales respectiamente/ s5: a $ "i = c di ↔ a = c ∧ " = d

TI POSDE NÚMEROSCOMPLEJOS Complejo real o puramente real 3s aquel número comple,o que carece de la parte ima&inaria es decir su parte ima&inaria es cero/ %otaci#n: 0 = a $ oi = a ∀ a ∈ IR Complejo imaginario puro 3s aquel número comple,o que carece de la parte real es decir su parte real es cero- adems su parte ima&inaria es di'erente de cero/ %otaci#n: 0 =  $ "i ∀ " ∈ IR . C Complejo nulo 3s aquel número comple,o que presenta la parte real e ima&inaria i&ual al número cero- es decir las dos componentes son nulas/ %otaci#n: 0 =  $ i =  +u" – 6rea: 6l&e"ra

3

78 +ecundaria


3,emplo: EFul es la relaci#n existente entre “m” * “x” para que el producto: (m $ ix) (2 $ >i) sea un número ima&inario puroG +oluci#n: 3'ectuando la operaci#n dada: (m $ ix) (2 $ >i) = 2m $ >mi $ 2ix $ >xi2 &rupando terminos: (2m . >x) $ (>m $ 2x)i para que la expresi#n sea ima&inario puro se de"e cumplir que: 2m – >x =  → 2m = >x → m =

> 2

x

∴ ?a relaci#n pedida es: m = 1-Bx

otencias enteras de la unidad imaginaria 3studiaremos el comportamiento del número: in  ∀ n ∈ 0- teniendo en cuenta la si&uiente de'inici#n: i1 = 1 i2 = .1 i> = . i2/i = .i i7 = i2/i2=(.1)(.1)=1

iB = i7/i=1 iA = i7/i2 = .1 iJ = i7/i> = . i i = i7/ i7 = 1

iH = i/ i = i i1 = i / i2 = .1 i11 = . i / i> = .i I.12 = i / i7 = 1

+e o"sera que las potencias de “i” se repiten cada cuatro eces * s#lo toman uno de los cuatro alores/ ropiedades: 1/ +e o"sera: i7 = 1 i = 1 i12 = 1 KK// esto implica que la unidad ima&inaria eleada a un múltiplo de cuatro es i&ual a la unidad/ 

i

±7

= 1

tam"iLn: 

i ±7 +1



=

i 

i ±7 +2



i ±7 +>

= − 1

= − i

Falcular: i >AI2


+

4

i 1JI>

+

i −217

78 +ecundaria


+oluci#n: +e o"sera: 

> A2 =

7 

1 J> =

7

$ 2 $ >



.217 = (. 7 $2) =



7

. 2 



→ i >AI2 + i 1JI> + i −217 = i 7 + 2 + i 7 +> + = i 2 + i > + i −2 = − 1 − i − 1 = − 2 − i i

+

+

i 2

+ //// +

i >

i 7 n

=

 n



i 7 −2

∈ IN

3,emplo: Falcule: 1

1 + i

2

>

1HHH

+ i + i + ////// + i 2

1 + i + i

+oluci#n: Fomo: 1 = i 2 entonces el numerador ser: i2 $ i $ i2 $ i> $ K// $ i1HHH

Mrdenando: 1

2

3

i  +  i  + i  +  i

7

B

A

J

I

+ i  + i  + i +i + ///////// + i



2



+e o"sera que cada cuatro tLrminos se o"tiene cero- lue&o el numerador ser cero- entonces se tiene:  1 + i + i

2

=

2/ !ropiedades de potenciaci#n:

(1$i)2 = 2i (1 $ i)> = 2i(1 $ i) (1 $ i)7 = .7 1 + i 1 − i

(1 – i)2 = .2i (1 – i)> = .2i(1 – i) (1 – i)7 = .7 1 − i

=

=

1 + i

CONJUGANDO DE UN COMPLEJO Dado el con,unto 0 = a $ "i se de'ine el comple,o con,u&ado de 0- denotado por Z =

3,emplo:

Z

como:

a − bi

Z = > + Bi

→ Z = > − Bi

OPUESTO DE UN COMPLEJO 3l opuesto de un comple,o 0 = a $ "i- es: 0N = –a – "i ?a representaci#n &eomLtrica de 0 = a $ "i (a   ∧ "  ) de su con,u&ado * su opuesto/ 0=a$"i

" +u" – 6rea: 6l&e"ra

5

78 +ecundaria


.a

(3,e real)

a

."

0N = .a . "i

0 = a . "i

ROIEDADE! 0 01 02 ∈ F 1) 2) >) 7) B) A) J)

0 = Z ↔ 0 es comple,o real/ Z = 0 . Z = .0 = 0N ↔ es comple,o ima&inario puro/ 0 $ Z = 2 IRe (0) 0 . Z = 2 IIm(0) Z 1 ± Z 2

= Z 1 +

=

Z 1/Z 2

Z 2

Z 1 / Z 2

 Z 1  Z 1   = Z  ∀ Z 2 ≠ (    ) Z 2 2   H) (Z = ( Z )  ∀ n ∈ I% ) 

n

n

 1)  

n

Z

  = 

n

Z 1

∀

n

∈ IN

MÓDULO O VALOR ABSOLUTO DE UN COMPLEJO +ea el 0 = (a- ") lue&o: O0O = a + b - ser su m#dulo/ 2

a/ "/

z

≥ -

@1

∀ @∈ @1

=

@2

@2

2

e/

C

'/

 @2 ≠ (-)

&/

c/

z

=

d/

z n

=

z n

2

z

=

=n

z 1/ z 2

@/@

z

=

z 1 / z 1

. @

@

h/

n

z 1

+ z 2 ≥

z 1

+

z 2

ACTIVIDADES EN AULA 1/ +ean los números comple,os:


6

78 +ecundaria

I . E. P.“ Leonar do de Vi nci ” – Si st em a Pr euni versi t ari o m i

=

=

n

=

1

+

d) 2 

yi

1

u

+

B/ Pn alor de “n” que eri'ica la i&ualdad: (1 $ i)n $ ( 2i ) = A7i

vi

n

tal que- C*- u-  ⊂ 0$ cumpliLndose adems: m $ n = a $ Ji mn = .J $ 11i

a) 1 d) Bi

+iendo: 2 ; a ;  Falcule: a2 $ *2 $ u2 $ 2 a) 7 d) B7

e) 2 i

") B e) >

c) 1

A/ Qallar el modulo del número comple,o “@” 0 = (>$7i) (B.12i)(2 2 $i)(1$ > i)

") B e) BA

c) B2 a) 1J d) 72

2/ +i “@” es un número comple,o * satis'ace:

") 2B e) B1

c) >H

J/ +i la &r'ica del número comple,o: 1 − Z

=1

1 + Z

Z

entonces: a) Re(0)   ") Im(0)   c) “@” es un número real/ d) “@” es un número ima&inario puro/ e) Re(@) ; 

=

1 + ai 1 − ai



a

∈ IR +

en el que se muestra en la 'i&ura- el alor de “a” es: Im @

>/ 3n “F” los alores de “x” e “*” al resoler la ecuaci#n: xi > x + 7i = 1 + yi x + > y



Re

") –2 e) 2

c) 1

son: a) x = ± 1 * = ± ") x = ± 2 * = ± c) x = ± > * = ± d) x = ± > * = ± e) x = ± 2 * = ±

a) 2 2

7 >

a) 7 d) –1

2

7

/  partir de:

> 2

(1$i)2 $(1$i) 7$(1$i) A$(1$i)  = x $ *

>

B

Falcular:

7

x + y x − y

7/ Reducir: W

>

=

1 + 2i 2

− i

+

+ 7i + 7 − > i

>

donde: i =

+ Ai + ///// A − B i

B

a)

$ 2 2 tLrminos ") 2 2i c) –2 2i

d)

1 2 1 A

−1

") e)

1 7 1

c)

1 B

>

ACTIVIDADES 1/. Falcular: 3 = i.1 $ i.2 $ i.> $ K/ $ i.HH $ i.11 +u" – 6rea: 6l&e"ra

a) i 7

") –1

c) .i 78 +ecundaria


d) 

e) 1 $ i

2/. Qallar el alor de: a) i d) 7i

E

c) − 1 − e) 1 2i

=

−

") 2i e) %//

7/. 3'ectuar:

H/. Falcular:

1

i =

") 1 e) – i

a) 1 $ c) –1 . e) i

− 1/

! = iB> $ i27 $ i>7 $ i2J

−1

a) 1 c)  e) .2

c) –1

") –1 d) 2

1/. Falcular: W

B/. Falcular: S =

−1 +

− 2 /

a) 1 c)  e) –2

− >

") 1 $ d) 1 $

A A

P = i

+ i

a) 1 d) –2

+ i + i >7

2J

i =



") –1 e) I

11/. Falcular:

2

−1

c)

c) 

1+

c) > – 2i

− 1/ − 1 + − 2 / − >

") 1 −

A

+

1H

2H 2H 7 1 >

−

>

i

")

− > i  i = − 1 B + 2i

2

7 2H

−

d)

i

1Hi

2H 1 1

>

+

i

>

12/. +ea el comple,o 0 = a $ "i- tal que: I − Ai = z / Qallar O@O 1 − i

/. Qallar: a)

i −>2I

e) i

") –> – 2i e) > $ Bi S =

7

a)

J/. Qallar el con,u&ado de: > $ 2i a) > $ 7i d) > $ Ai

+

B

A/. Falcular: 27

i −272

=

") –1 d) 2

Z =

B>

2

c) >i

4 = i.>B $ i.72 $ i.BJ

a)  d) i

d) 1 +

A

B

a)

>

") 2

c)

B

d)

e)

A

2

1 B

Práctica Dirigida

1/ Falcular: M =

I −/

−2 −

− 2J /

Rpta: B

−>

>/ Dar el alor de erdad en: I/ − 7 / − 7 = 7 II/ odo número comple,o es un número real/

Rpta: B

2/ 3aluar:  = (1 $ 2i) (1 – 2i) +u" – 6rea: 6l&e"ra

8

78 +ecundaria


III/ odo número real es comple,o/ IS/ 3l opuesto de

Z

>

=

− 7i es

2 >

− Z =

11/ 3aluar: A

=

1 + i 1 − i

+ 7i

2

+

1 − i 1 + i

Rpta:  12/ 3'ectuar:

7/ +ea el comple,o : T = >(7i – B) – 2i ( 2i $ B)

B

Qallar:

7 1 + i 1 − i  =  −     1 − i 1 + i 

U = VOR∈(W)X Im (W)

Rpta: 1A 1>/ Qallar el m#dulo del si&uiente comple,o: 0 = 7 – >i

Rpta: 121 B/ 3aluar:

Rpta: B R

=

( 2 + i ) 2 + ( 2 − i ) 2

17/ Qallar el comple,o @- si:

>

Z

Rpta: 2

> − 2i

=

1 + i

A/  quL es equialente:  = (2 – i)2 . (> – i) (1 – i)

Rpta: 1B/ Dado el comple,o :

Rpta: 1

w =

J/ Reducir:

Qallar el m#dulo de 77

B

=

i

−7A

+ i

i − 77

+ i

− j

7B

7

1A/ Falcular

a + b

J + i > − i

- tal que se eri'ica:

= ( a − b ) + ( 7b − a ) i

1J/ Qallar “"” para que el equialente de: 7 + >bi sea un número real/ 2 − i

2B

Rpta: .2> 1/ Falcular “n” para que 0 sea un número ima&inario puro- si:

Rpta: i 1/ Reducir:

Z

P =

1

+ i

1J

+ i

2A 21

=

A + Ini 2 − >i

Rpta: 12

72JH

i

1H/ Dado:

Rpta: .> +u" – 6rea: 6l&e"ra

2

Rpta: 2

H/ Falcular el alor de:

1A 17

i

w

Rpta:

Rpta: 

1>

2

+ i 2 − i

 = i27 . i2B $ i2A – i2J

11 1

B

>

7

/ Qallar el alor equialente de:

H

2

−

− i

Rpta: 1

M = i H

1

W = 21 $ 2i / Qallar 9

w

78 +ecundaria


Rpta: B $ 2i 2/ +ea: Z 2 = Qallar O02O

I + Ai

+ 1 − Ai

2

>

 = i $ i $ i $ K// $ i

   7 

π

−

Rpta: 2n(7n$1) > i

7

+ isen

2B/ Qallar la 'orma polar del comple,o: 0 = . .  > i  1= i

2B

22/ Falcular: + = (1 $ i)$(2 $ i 2)$(>$i>) $K/$(7n$i7n)

2>/ 3xpresar el comple,o 0 1=1$ tri&onomLtrica/

π

71

Rpta: i

 Rpta: 1ACos 

7π >

+ iSen

7π  >

 

2 ( 2 + >i ) 2A/ l reducir: A =  se o"tiene una 2 + i

expresi#n de la 'orma: m $ ni- se&ún esto hallar:

en 'orma

B

Rpta: 2 (cosA8 $ isenA8)


 

2  Cos

Rpta: Rpta:

21/ 3'ectuar:

27/ Qallar la 'orma polar del comple,o: 02 = (1- 1)

=

1

m2

+ n2

Rpta:

10

2A

B

78 +ecundaria



11

78 +ecundaria



12

78 +ecundaria



13

78 +ecundaria


INEC"ACIONE! DE RIMER #RADO +on aquellas que presentan la si&uiente 'orma: ax $ " ;  (a ≠ ) para o"tener el interalo al que pertenece la inc#&nita de tal manera que eri'ique la desi&ualdad propuesta ser su'iciente despe,ar la inc#&nita aplicando los teoremas de desi&ualdades/

ACTIVIDAD EN AULA

1)

!ara los pares de interalos mostrados&ra'icar * dar el interalo soluci#n de: -

-

 = ; > A U = ; B 12X

c) x ∈ V1 $ ∞ d) x ∈ IR e) x ∈ φ B)

Resoler:

 = V 1 HX U = V A 12X

x

+2 >

x

+>

≤B

J

indicando el interalo no soluci#n/

-

 = ; .∞ 2 U = ;  $∞X

a) ; 7 $∞ ") ;1 7 d) ;.∞ 7 e) %//

-

 = V .2 2  U = V >  $ ∞ 

A)

")  e) H

a) x  1 d) x  B J)

−2

+

x

+1

A

+

x

+7

≥>

H

") x  2 e) %//

c) x  >

Resoler: x

c) J

−2 >

+

x

+7 B

≥A

indicando su interalo soluci#n:

Resoler:

a) x ∈ V11 $∞ c) x ∈ V2 >X e) x ∈ φ

2 – V7 – (x – 1) $ 2(x – >)X  x – V2 – >xX a) x ; 1 d) x  7

c) ;.1 1

Resoler: x

Resoler: 2(x – >) $ >(x – 2)  7(x – 1)

a) 1 d) 1

") x  1 e) %//

c) x   )

7)

B

+

 = ; .> 2 U = ; .1 

indicando el menor alor entero que adopta “x”/

>)

+A

x

-

> 2)

+

Resoler: x + 1 2

+

x − 1 >

+i: a ; " a- " ∈ IR$ Resoler:

≥A

a b

Indicando el interalo soluci#n/ a) x ∈ VJ $ ∞ ") x ∈ V.1 1X +u" – 6rea: 6l&e"ra

a) x  1 14

") x ∈ V.11 11X d) x ∈ IR

x

+

b a

") x  1

x

≥

b a

+

a b

c) x ; 1 78 +ecundaria


d) x  2 H)

e) x ; 2

d) ;.J $∞ e) ;1 $∞

+i: a  " " ∈ IR$ Resoler:

1B)

Resoler: > x − 2

a b

a) x  1 d) x ∈ IR

x +

b a

x <

b a

+

a

7

") x ; 1 e) x ; 1

Resoler:

a) ; .∞ 1 c) ;.1 $∞ e) ;.∞ 1>

c) x ∈ φ

c) x ;

7

ab a

e) %// 11)

+b

ab a

+b

") x  7 e) x ∈ φ

1J)

2

+

−2

x

>

≤

x

−> 7

x

+

B

−7

ax

B

2

x

+

>

−

x

B

≥I+

2 x + 1 >

") V1 $∞ d) V.1 $∞

+ 2b >

(a ; ")

a) 2 d) –1

a) ; .∞ B c) ; .∞ .B e) ; .B B

c) 

≤

Resoler:

hallar el ma*or alor que satis'ace la desi&ualdad/ ") 1 e) –2

> x − 2

a) ; .∞ 1X c) ;.∞ .1X e) V.1 1X

+b <

bx

+ 2a >

+a

") ; B $∞ ") ; .B $∞

Resoler: 1H)

2 ; 2x – 1 ; 2 a) x ∈ VA 1BX c) x ∈ V.1 1X e) %// 17)

B

Resoler: 2

1)

−1

>

") V.> $∞ d) V> $∞

> x + 7

c) x  A

Resoler: x

1>)

+b

Resoler: (x $1) (x$2) (x$>)  x> $ Ax2 $ 1x $ 12 a) x  1 d) x ; A

12)

a

−

a) ; .∞ .>X c) ;.∞ >X e) V>J $∞

ab

d) x ;

x

< 1+

") ; . ∞ .1 d) ;1 $∞

B x − 1

si: a $ " ;  ") x 

+2

Resoler:

(x $1) (x $ ")  x 2 $ 2a"

a) x  1

x

b

1A) 1)

−

hallar el ma*or alor de “a” e indique como respuesta:

") x ∈ VA 1X d) x ∈ IR

a >

Resoler: x + B 7

a) ;.∞ J

+ean “m”- “n”- “p” ∈ IR$ que eri'ican: (m $ n $ p) (m .1 $ n.1 $ p.1)  a

+

x − > 2

") ;J $∞


>

a) 1 d) A

B

") 2 e) H

a −1

c) >2

c) ;.∞ .J 15

78 +ecundaria



16

78 +ecundaria

SEPTIEMBRE - ALGEBRA - 4TO.doc

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