Índice: Tema
Página.
Unidad I. Operaciones fundamentales del algebra ----------------------------- 15 1. Traducción del lenguaje común al lenguaje algebraico -------------------- 15 2. Notación algebraica. -------------------------------------------------------------- 18 3. Valor numérico de una expresión algebraica --------------------------------- 23 4. Leyes de los exponentes enteros positivos. ---------------------------------- 24 5. Suma y restas de polinomios ---------------------------------------------------- 26 6. Multiplicaciones de monomios ---------------------------------------------------30 7. Multiplicaciones de polinomios por polinomios. --------------------------- 33 8. División de monomios. ------- ---------------------------------------------------- 36 9. División de polinomios por monomios. --------------------------------------- 38 10. Productos notables. --------------------------------------------------------------- 43 11. Factorización de polinomios. --------------------------------------------------- 47 12. Ejercicios. --------------------------------------------------------------------------- 51
Unidad II. Fracciones algebraicas. -----------------------------------------------------53 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
Simplificación de fracciones algebraicas. ------------------------------------53 Adicción de fracciones algebraicas. -------------------------------------------58 Mínimo común múltiplo de polinomios. ------- ---------------------------- 61 Fracciones con denominadores distintos. -----------------------------------64 Multiplicación de fracciones. ------------------------------------------68 División de fracciones. ---------------------------------------------------------71 Operaciones combinadas y fracciones complejas. -----------------------73
Unidad III. Exponentes y radicales. ---------------------------------------------------77 1. 2. 3. 4. 5. 6.
Leyes de los exponentes. ------------------------------------------------------77 Exponentes enteros negativos y cero. --------------------------------------78 Exponentes fraccionarios. -----------------------------------------------------81 Leyes de los radicales. ---------------------------------------------------------85 Adición y sustracción de radicales. -----------------------------------------89 Multiplicación y división de radicales. ---------------------------------------91
Unidad IV. Ecuaciones lineales. -------------------------------------------------------95
13
1. 2. 3. 4.
Ecuaciones de primer grado. --------------------------------------------------95 Ecuaciones de primer grado con una incógnita. --------------------------97 Ecuaciones que contienen quebrados. ----- -------------------------------103 Solución de problemas mediante las ecuaciones de primer grado------104
5. Ejercicios.
-----------------------------------------------------------------------108
Unidad V. Sistemas de ecuaciones. --------------------------------------------------110 1. 2. 3. 4.
Resolución de sistemas lineales. ---------------------------------------------110 Resolución de ecuaciones simultáneas con más de dos incógnitas. ----117 Resolución de ecuaciones simultáneas por determinantes. ----------118 Problemas que dan lugar a un sistema de ecuaciones con dos o más incógnitas.-----------------------------------------------------------------121 5. Ejercicios. ------------------------------------------------------------------------124
Unidad VI. Ecuaciones cuadráticas. ------------------------------------------------127 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
Forma general de la ecuación de segundo grado. ----------------------127 Resolución de las ecuaciones cuadráticas puras. ----------------------128 Resolución de las ecuaciones cuadráticas mixtas incompletas. -----128 Resolución de las ecuaciones cuadráticas completas. ------------------129 Ecuaciones que comprenden radicales de segundo orden. ------------135 Ecuaciones reducibles a una de segundo grado.------------------------- 137 Problemas que implican ecuaciones de segundo grado.----------------138 Ejercicios.----------------------------------------------------------------------- 139
Unidad VII. Inecuaciones. ------------------------------------------------------------- 142 1. 2. 3. 4. 5.
Generalidades sobre desigualdades. -------------------------------------142 Propiedades de las desigualdades. -------------------------------------- 143 Resolución de las inecuaciones. ------------------------------------------ 144 Inecuaciones simultáneas. -------------------------------------------------- 146 Ejercicios. ---------------------------------------------------------------------- 147
14
UNIDAD I OPERACIONES FUNDAMENTALES DEL ALGEBRA. 1. Traducción del lenguaje común al lenguaje algebraico. Notación y terminología algebraica.
Introducción al álgebra. El álgebra es una rama de las matemáticas que generaliza los métodos y procedimientos para efectuar cálculos y resolver problemas. Siendo el álgebra una rama de las matemáticas, sus operaciones son las mismas que las de la aritmética, es decir: suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación. El álgebra es una generalización de la aritmética. En el desarrollo del álgebra, el uso de una letra para representar un numero fijo pero desconocido proviene de los griegos; sin embargo, el uso de una o varias letras para representar toda una clase de números no se concibió sino basta finales del siglo XVI. Durante todos los siglos en que los babilonios, egipcios, griegos, hindúes y árabes trabajaron en álgebra, no se les ocurrió la idea de usar letras en lugar de números. Estos pueblos hicieron su álgebra trabajando con expresiones concretas pero no usaron un símbolo como la "x" para la incógnita. LITERALES E INCOGNITAS.- Sabiendo que las letras son los símbolos más conocidos el ser humano, estas fueron tomados para representar valores numéricos, siendo su empleo convencional a determinadas condiciones o principios de los problemas razón que las divide en: LITERALES.- Son letras del abecedario que se utilizan para representar aquellos valores que son conocidos o que pueden obtenerse directamente, es decir, los datos dados en un problema se representan par medio de literales.
15
INCOGNITAS.- Son letras del abecedario que se utilizan para representar aquellos valores numéricos que se desconocen y que, para ser conocidos, deberán efectuarse operaciones matemáticas.
VARlABLES Y CONSTANTES.- Todas las cantidades conocidas se expresan por las primeras tras del abecedario: a, b, c, d, e..., etc., se denominan también LITERALES ". Todas las cantidades desconocidas se expresan por las ultimas letras del abecedario: s, t, u, v, w, x, y, z...se denominan '"INCOGNITAS". De lo anterior hacemos la siguiente observación: VARIABLE.- Es una letra o símbolo que puede tomar cualquier valor de un conjunto de números, es decir, puede cambiar de valor. EJEMPLO: Si tenemos la función y= 2x, Y si Ie asignamos valores a "x", resulta que el valor de "y" cambiara conforme "Varia" el valor de X", por ejemplo: Sí x = 1
sí x = 2
Y =2(1)
Y = 2(2)
Y=2
sí x = 3 Y = 2(3)
y=4
y=6
CONSTANTE.- Es cualquier letra o símbolo con un valor numérico fijo, es decir, no pueden cambiar de valor. EJEMPLO: Cualquier numero, por ejemplo "9" siempre será nueve; π = 3.1416 es una constante que representa la razón de la circunferencia de un circulo al diámetro.
TRADUCCIÓN DE EXPRESIONES DEL LENGUAJE COMUN AL LENGUAJE ALGEBRAICO Y VICEVERSA. Comenzaremos por traducir el lenguaje cotidiano a expresiones algebraicas. Estas expresiones algebraicas muestran situaciones concretas del mundo real de una manera abstracta. Tal vez te parezca muy simple lo que vamos a traducir, pero esta sencillez te clara confianza para iniciar nuestro estudio algebraico. 16
En el lenguaje común o "verbal, se emplean palabras, mientras que en el lenguaje algebraico se emplean letras y símbolos, que permiten reducir las proposiciones verbales en proposiciones algebraicas muy simples y fáciles de comprender. EJEMPLOS: LENGUAJE ALGEBRAICO: I.-
LENGUAJE COMUN: Tres objetos cualesquiera.
x .y, z.
a+b 2
2.- La semisuma de dos números 3.- La suma de dos veces un numero mas
2n + 3n = 5n
tres veces el mismo numero es igual a cinco veces dicho número. 4.- El cubo de un numero menos el
w³ - 2w
del mismo numero.
m p ÷ n p
5.- El cociente de dos Fracciones comunes
LENGUAJE COMUN:
LENGUAJE ALGEBRAICO:
5n –2n = 3n
Cinco veces un numero restado
dos
veces el mismo numero es igual a tres veces dicho numero. a² + b²
Suma de los cuadrados de dos números. 2πr
EI doble producto de π por r(radio). 2 (u -v)
El doble de la diferencia de dos números.
A = (l)(a)
El área de un rectángulo es igual al producto de su largo par su ancho.
17
2. NOTACIÓN ALGEBRAICA. Identificación de los elementos de una expresión algebraica.
En la notación algebraica el medio que nos permite conocer los elementos que conforman una representaci6n matemática; por ejemplo: EXPRESIÓN ALGEBRAICA.- Es una representación que se aplica a un conjunto de
literales y números que conforman una 0 más operaciones algebraicas. EJEMPLOS: X ; 7z² ; 2ª + 5b; √8x;
x2 + a2 ; etc. x+a
En las expresiones algebraicas, las partes que aparecen separadas por el signo (+) o (-) reciben el nombre de Términos algebraicos. TERMINO ALGEBRAICO.- Es cualesquiera de las partes de uno expresión que consta de
uno o vario símbolos no separados entre si por el signo ( +) o (-). EJEMPLOS: 3x² ; 2mn; u/3; ,√5y³ ; 4x²y; etc. ELEMENTOS DE UN TERMINO.- Los elementos que constituyen un termino son: el
signo, el coeficiente, la parte literal y el grado. Términos POR EL SIGNO.- Los términos que van precedidos del signo ( + ), se de
nominan "POSITIVOS"; los que van precedidos del signo (-), se denominan "Negativos". EJEMPLOS : 8x²y; 2x/3y; 5x; 7uvw } TERMINOS POSITIVOS -6xy²; -3m/n; -ax ; -8mn } TERMINOS NEGATIVOS. Cuando un termino no es afectado por ningún signo, se considera positivo, ya que el signo (+ ) suele no escribirse en términos positivos:
18
COEFIClENTE.- Es generalmente el primero de los factores que conforman un termino; el
coeficiente puede ser de dos clases, por ejemplo: COEFICIENTE Numérico.- Es el factor numérico de un termino.
EJEMPLO: "El coeficiente numérico del termino 5ax es 5" COEFICIENTE LITERAL.- Es el factor literal de un termino.
EJEMPLO: "El coeficiente literal del termino mby es m”. Es importante señalar que el coeficiente siempre va acompañado del signo del término. EJEMPLO: " -2by el coeficiente numérico es -2 .. Cuando un termino no tiene coeficiente numérico indicado, se sobreentiende que su coeficiente es la unidad. EJEMPLO: "axy = 1 axy "
Monomios Clases de monomios (términos)
Termino entero es el que no tiene denominador con literal como: 5a, Termino fraccionario es el que tiene denominador literal como: -
4
3
ab,
2 a 5
3a b
Termino radical es el que no tiene radical, como los ejemplos anteriores, e irracional el que
tiene radical, como:
ab ,
3
3b . 2a
Términos homogéneos son los que tienen el mismo grado absoluto. Así,
6x y 2
3
son homogéneos porque ambos son de quinto grado. 19
4 4x y
,y
Términos heterogéneos son los de distinto grado absoluto, como 5a, que es de primer grado, y 3a², que es de segundo grado. Polinomios
Son aquellos que constan de más de un término, es decir, es la suma algebraica de dos o más monomios. Son polinomios en varias variables:
6x + 7 y 2
3
8 xy − 7 x + y − 3 No son polinomios porque la variable: −2
6x + 7x + 8 9x + 8x +
tiene exponente negativo. tiene un radical.
y
y
2/3
tiene exponente fraccionario.
10xy z
la variable esta en el denominador.
EI polinomio esta constituido por términos
El término es la parte de un polinomio o expresión algebraica separada por los signos mas o menos. Ejemplo
4x² -5xy-√2y² son términos 4 x² ,5 xy, √2 y² E1 termino esta formado par coeficiente (parte numérica), variables (literales o letras), multiplicados entre sí, llamados factores.
20
Coeficiente
7
Exponente
x
2
y
Literales Generalmente se considera que el signo del término pertenece al coeficiente, que es el 5 -5x²y³ A cada uno de los elementos del termino se le conoce como "factor".
Clases de polinomios
Un polinomio es entero cuando ninguno de sus términos tiene denominador literal, por ejemplo: 2x³ + 7x – 8 ,
5x 3
2
+
x 3 + 5 8
Un polinomio es fraccionario, cuando algunos de sus términos tienen literales como denominadores, por ejemplo: 2a c + −7 b d Un polinomio es racional cuando ninguno de sus términos contienen radicales, par ejemplo: 2x² + 2xy + y² Un polinomio es irracional cuando alguno de sus términos contiene algún radical, por Ejemplo:
3x + 2 y − 8
21
Un polinomio será completo cuando sus términos contienen exponentes sucesivos en relación a una literal, por ejemplo:
x
5
+ 3x − 8x
3
Los polinomios se ordenan alfabéticamente y se agrupan de exponente mayor a exponente menor, los números constantes se escriben hasta lo último. Ordenar el siguiente polinomio:
− 3 y + 2 x − 7 x y + 18 − 5xy = 2 x − 7 x y − 5 xy − 3 y + 18 2
3
3
2
2
2
Grado de los polinomios
E1 grado de un término en una sola variable es la potencia de la variable. Si dos o mas variables se hallan en un termino, el grado de término es la suma de las potencias de las variables. Ejemplo:
Grado de un término en una sola variable: 6x³
3er grado.
2x
1er grado.
3³x
1er grado.
-3
grado cero porque -3x°
Grado de un término en varias variables: 72 x³ y³
6to grado
4 x² y³
5to grado
√3 x y²
3er grado
22
3. VALOR NUMÉRICO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA
Es una identidad sabemos que la incógnita puede adoptar cualquier valor y la igualdad siempre se cumplirá. Mientras que en una ecuación es necesario encontrar las solución, ya que la incógnita tiene un valor específico. La cantidad de soluciones para la incógnita en una ecuación está dada por el grado absoluto de la expresión algebraica.
Si es de primer grado sólo tiene una solución.
Si es de segundo grado tendrá a lo más, dos soluciones reales; es decir, la incógnita puede adoptar dos valores diferentes y la igualdad se cumple.
Si es de tercer grado, tendrá a lo más tres soluciones... y así sucesivamente.
Dentro de este tema todavía no estudiaremos el procedimiento para encontrar el valor de la incógnita; ese tema es abordado en los capítulos posteriores. Lo que por el momento haremos es practicar un sencillo procedimiento: si conocemos el valor de las incógnitas para una expresión algebraica, lo sustituimos en ésta y encontramos el valor numérico o comprobamos la igualdad. Encontrar el valor numérico
¿Cuánto vale la siguiente expresión? 2x²- 3y Cuando x = 2 Y y = 4 2(2) ² - 3 (4) = 2(4) – 12 = 8 – 12 = -4
Podemos afirmar que el valor numérico para 2x² - 3y = -4, si sólo si 23
x =2 Y у = 4. Es decir, si el valor numérico de 2x² - 3y = -4, entonces x = 2 Y y = 4, y si x = 2 Y y =4, entonces 2x² - 3y = -4. Debemos saber, sin embargo, que si los valores de x y de y cambian, también cambiará el valor numérico de la expresión algebraica.
4. LEYES DE LOS EXPONENTES ENTEROS POSITIVOS Exponente.- Indica el número de veces que un término deberá aparecer como factor de si
mismo; por ejemplo: a5 = (a) (a) (a) (a) (a)
La expresión a5 se llama potencia y se lee “a quinta”. La representación general es: N n – ésima potencia
a
Exponente (Entero positivo) Base
de a. Leyes de los exponentes.- Se establecen cinco leyes fundamentales de los exponentes
enteros y positivos, dichas leyes son: Ley I.- “Cuando dos potencias de la misma base, se multiplican, su resultado es un término
de la misma base y con un exponente igual a la suma de los exponentes de las potencias multiplicadas; Es decir:
n
n
(a ) (a ) = a Ley II.- “Cuando dos potencias de la misma base, se dividen, su cociente es un término de
la misma base y con un exponente igual a su diferencia de los exponentes de las potencias divididas”; Es decir:
am m−n =a n a
1 am = an an−m
(Si m > n)
24
(Si n>m)
am m−n 0 = a = a =1 n a
(Si m = n)
Ley III.- “Cuando una potencia base se eleva a un expo9nente, su resultado es un termino
de la misma base y con una exponente al que se elevo la potencia”; Es decir:
(a ) = a m n
mn
Ley IV.- “cuando un producto de uno o mas factores se elevan todos ala vez un exponente,
su resultado es un producto donde cada factor se eleva al exponente de dicho producto”;Es decir:
(ab) = a b m
m m
Ley V.- “cuando un cociente se eleva aun exponente su resultado es la potencia del
dividendo (numerador) y la potencia del divisor (denominador), realizándose finalmente la división”; Es decir:
m
am ⎛a⎞ ⎜ ⎟ = m b ⎝b⎠ a) (u 2 )(u 3 ) = u 2 + 3 = u 5
b)
m4 = m4− 2 = m2 2 m
c) (c 2 )3 = c ( 2 )(3) = c 6 3
23.a 3 8a 3 ⎛ 2a ⎞ d) ⎜ 2 ⎟ = ( 2 )(3) = 6 b b ⎝b ⎠
25
5. SUMA Y RESTAS DE POLINOMIOS: SUMA O ADICIONES.- Operación que consiste en reunir dos o mas expresiones
algebraicas de una sola. Para efectuar adiciones con polinomios, se realizan sumandos solo términos semejantes. EJEMPLOS:
SUMANDO <--------------- 3a 2 + 5a 2 + 7a 2 = 15 a 2 --------------------Æ SUMA
2mn + 3mn = 5mn 4mx 3 + 2 x 3 + x 3 = 7 x 3 ax 2 + 2ax 3 + 3ax 2 = 6ax 2 En aritmética se suman los números positivos, en álgebra la suma puede ser con cantidades positivas y negativas, proceso que se denomina “suma o adición algebraica”. Al realizar sumas algebraicas de términos semejantes, se recomienda, sumar los términos positivos y los negativos primeramente y finalmente se calcula su diferencia. si existen términos no semejantes, la operación que da indicando.
EJEMPLOS: 6 X − 7Y + 3 X − 4Y + 8Y + X = 6 X + 3 X + X + 8Y − 7Y − 4Y = 10 X − 11Y
5a + 2b + 6c − 3a + b − 2c + 4a − 5b + c = 5a + 4a − 3a + 2b + b − 5b + 6c + c − 2c = 9a − 3a + 3b − 35b + 7c − 2c = 6a − 2b + 5c 3ax + 5bx = 3ax + 5bx 2m + 3 = 2m + 3
26
En la suma de polinomios en forma práctica se colocan verticalmente los términos semejantes, es decir, en forma de columna, al igual que en la aritmética, para facilitar la operación. 1.- suma las expresiones: 3a 2 + 5b + 2a 2 − 3ab + 4b + 7 ab − b. acomodando los términos
semejantes, tenemos: 3a 2 − 3ab + 5b 2a 2 + 7 ab + 4b __________ − b
5a 2 + 4ab + 8b Resta o Sustracción.- Restar una cantidad “m” de otra cantidad “l”, significado determinar
la cantidad a “m”, de cómo resultado “l”. l − m = r ya que
r+m=l
La sustracción con polinomios, se realiza utilizando términos semejantes. En aritmética la resta indica “disminución”, en el álgebra puede indicar “aumento “ o “disminución”. Para restar polinomios, es necesario restar del “minuendo“ cada uno de los términos del “sustraendo “, combinándole el signo a todos sus términos.
EJEMPLOS:
1.- Restar 7 x − 4 y + 2 z
de 11x + 9 y − 5 z.
MINUENDO --------------Æ 11X + 9Y − 5Z }
11X + 9Y − 5Z − 7 X + 4Y − 2Z
SUSTRAONA ----------Æ − (7 X − 4Y + 2 Z )
--------------------4 X + 13Y − 7 Z Å----- RESULTADO
27
2.- Resta 15a + 7 ac − 8bc + 4
11a + 3ac − 6bc − 1
de
11a − 6bs + 3ac − 1
11a + 3ac − 6bc − 1 − 15a + 7ac − 8bc + 4
− (15a + 7 ac − 8bc + 4)
----------------------------− 4a − ac + 2bc − 5
Signos de agrupación
Cuando una expresión algebraica contiene uno o mas partes del símbolo de la agrupación en cerrados en otro par, siempre se elimina el de mas dentro. Para suprimir los signos de agrupación se procede como se indica a continuación: Los lo que están precedidos del signo + se quita el signó de agrupación y se pone su termino sin cambiar sus signos interiores + o de – . Los signos de agrupación presididos del signo del signo – se quitan de agrupación y se pone el simétrico (signo contrario) de cada término.
EJEMPLOS: 4 − {3 x + [2 x − (5 x + 2 )]
}
35a − 8{3a − [2b −(5b + 29 ) ]} − 12 + a = 35a − 8{3a − [2b − 5b − 29]} − 12 + a
4 − {3 x + [2 x − 5 x − 2
}]
= 32a − 8{3a − 2b + 5b − 29} − 12a
4 − {3 x + 2 x − 5 x − 2
}
= 32a − 24a + 16b − 40b + 232 − 12 + a
4 − 3x − 2 x + 5 x − 2 = 2
= 12a − 24b + 220
28
Ejercicios 1. Sume las tres expresiones en cada uno de los siguientes ejercicios. Sustraiga luego la tercera expresión de la suma de las dos primeras.
a) 7 a − 3b + 11c; −14a + 10b + 10c;8a + 8b + 13c
Resp: a + 15b + 34c; −15a − b + 8c
b) 3 xy + 4 yz − x; 2 x − 4 xy + 7 yz;3 yz − x + 5 xy
Resp: 4 xy + 6 yz; −6 xy + 2 x
c) 2r − 3rs + 7 s; −4 s − 3r + 5rs; 2rs + 3s − 8r
Resp: −9r + 4rs + 6s;7r
2. Quite los símbolos de agrupación y simplifique combinando términos semejantes
a) 4 x + ( y − 3) − (3 x + 1)
Resp: x + y − 4
b) ( x − y ) − (2 x − 3 y ) − (− x + y )
Resp: y
c) 1 − [ a − 2b − (3 − a ) + 3]
Resp: 1 − 2a + 2b
d) − [ x + (3 − x) − (4 + 3 x) ]
Resp: 3 x + 1
{
e) − a − 2ab + b − ⎡⎣3a + 5ab + 6b − (a − b) + 5
{
f) 10 + x − ⎡⎣ y + ( x − 3) − ( y − 6)
]}
Resp: 6 xy + 5 x − 3 y
]}
Resp: 7
3. Evalúe las expresiones siguientes, dado que a = 2, b = −3, c = 1 y d = −2
a) a − 2b + c
b) a − b − 2d
d) a − b + 2c + 3d
e) b − (c − 2d )
g)
a+d a−d
Respuestas: a) 9; b) 9;
h)
c) 6a − 5b − d f) 2c − 2(3a − 2b)
ab − 3cd c
c) 29;
d) 1;
i)
e) -8 ;
29
3b − 2ad 4a
f) -22; g) 0; h) 0; i) −
1 8
6. MULTIPLICACIONES DE MONOMIOS
Regla Se multiplica el coeficiente y a continuación de ese producto se escribe letras de los factores en orden alfabético, poniéndole a cada letra un exponente que tenga en los factores. El signo del producto vendrá dado por la ley de los signos. Ejemplos: (1) Multiplicar 2a 2 por 3a 3 .
2a 2 X 3a 3 = 2 X 3a 2 + 3 = 6a 5 R. El signo del producto es +porque + por + es +.
(2) Multiplicar − xy 2 por − 5mx 4 y 3 (− xy 2 ) X (−5mx 4 y 3 ) = 5mx1+ 4 y 2 + 3 = 5mx5 y 5 R. El signo de producto es +porque- por – da +
(3) Multiplicar 3a 2bpor − 4b 2 x 3a 2bX (−ab 2 x) = −3x 4a 2b1+ 2 x = −12a 3b3 x R. El signo del producto es - porque + por - da –
(4) Multiplicar − ab 2 por 4a mb n c 3 (− ab 2 ) X 4a mb n c 3 = −1X 4a1+ mb n + 2c 3 = 4a m +1b n + 2c 3 R. El signo es producto es – porque + da –
I . Ejercicios:
1.- ab por − ab
Resp: −a 2b 2
2.- 2x 2 por − 3x
Resp: −6x3
3.- − 4a 2b por − ab 2
Resp: 4a 3b3
4.- a 2b3 por 3a 2 x
Resp: 3a 4b3 x
30
II . Efectúe las operaciones indicadas y simplifique:
1) (a 3b)(b 2 )
2) (a 2b 2 )(a 3 )
3) (2 x 2 )(3 xy 2 )
4) −3x 2 y 3 (2 x 4 y )
5) 3x(4 x 2 y )(− x 4 y 2 )
6) − x 3 y (3 x 2 y 3 )(− x 2 )
7) −3a 2b 2 (4ab3 )(−9a 3b)
8) a 2b(ab3 ) 2
9) 6a 2b(2ab 2 ) 2
10) (a 2b) 2 (2ab 2 )3
11) (4ab) 2 (ab 2 )3
12) (− x 2 y )3 (−8 x 3 y ) 2
13) (− xy 2 )3 (2 x 2 yz 2 ) 2 (−5 xz 3 )
15) −2a 2 (b 2 ) − a 2 (−b)3
14) (− a 2b 2 )3 (8abc 2 ) 2 (−3b 4c 5 ) 4
16) (−2ax) 2 − (−a) 2 ( x 2 )
17) 2a 2 (−b 2 ) + (4a 2 )(−b) 2
Respuestas: 1) a 3b3 ; 2) a 5b 2 ; 3) 6x 3 y 2 ; 4) −6x 6 y 4 ; 5) −12x 7 y 3 ; 6) 3x 7 y 4 ;
7) 108a 6b6 ; 8) a 4b7 ; 9) 24a 4b5 ; 10) 8a 7b8 ; 11) 16a 5b8 ; 12) −64x12 y 5 ; 13) 20x8 y 8 z 7 14) −5184a8b 24 c 24 ; 15) −2a 2b 2 + a 2b3 ; 16) 5a 2 x 2 ; 17) 2a 2b 2
Multiplicación de Polinomios por Monomios Sea el producto (a + b)c Multiplicar (a + b) porc equivale a tomar la suma (a + b) como sumando c veces; luego: (a + b)c = (a + b) + (a + b).....cveces = (a + a + a...........c, veces) + (b + b + b...c, veces) = ac + bc.
Sea el producto (a-b)c. 31
(a − b)c = (a − b) + (a − b) + (a − b)............c, veces
Tendremos: = (a + a + a.........c, veces ) + (b + b + b..c, veces) = ac − bc Podemos, pues , anunciar lo siguiente:
Reglas para Multiplicar un Monomio por un Polinomio
Se multiplican el monomio por cada uno de los términos del polinomio, teniendo en cuenta en cada caso las reglas del signo, y se separan los productos parciales con sus propios signos. En esta Ley Distributiva de la multiplicación Ejemplos:
Multiplicar 3x 2 − 6 x + 7 por 4ax 2 Tendremos (3 x 2 − 6 x + 7) X 4ax 2 = 3 x 2 (4ax" ) + 7(4ax 2 )
= 12ax 4 − 24ax3 + 28ax 2 ç 3x 2 − 6 x + 7 4ax 2 ----------------------La operación suele disponerse a si
12ax 4 − 24ax 3 + 28ax 2
I. Ejercicios:
(1) 3 x 3 − x 2 por − 2 x
Resp: −6 x 4 + 2 x 3
(2) 8 x 2 y − 3 y 2 por − 2ax 3
Resp: −16ax 5 y + 6ax3 y 2
(3) x 2 − 4 x + 3 por − 2 x
Resp: −2 x 3 + 8 x 2 − 6 x
(4) a 3 − 4a 2 + 6apor 3ab
Resp: 3a 4b − 12a 3b + 18a 2b
32
II. Efectúe las multiplicaciones indicadas:
1) 6( x + 7)
2) 7( x − 4)
3) x( y + 3)
4) 5 x(2 y − 3)
5) −4 x( y − 3)
6) 2 x(3 x 2 − 2 x)
7) −6 x( x 2 − 4 x)
8) −3x(3 − 5 x − x 2 )
9) 2 x3 (3x 2 + x − 5)
10) 2ab(− a 2 + 3ab − b 2 )
11) −2a 2b(a 3 + 5a 2b 2 − 3b 4 )
12) 5a 3b 2 (ab 2 − b + 4a )
13) −2ab3 (2a 2 − 3b 2 − 2)
14) 2 x(5 x − 6) − 3 x( x − 4)
15) 4x(x −4) −2x(2x −3)
16) 2 x(3 x 2 − 4 x + 6) − x 2 ( x − 8)
17) x 2 (2 x 2 − 3 x − 4) − x( x 3 − 3 x 2 − 4 x)
Respuestas: 1) 6 x + 42 ; 2) 7 x − 28 ; 3) xy + 3x ; 4) 10 xy − 15 x ; 5) −4 xy + 12 x
6) 6 x3 − 4 x 2 ; 7) −6 x 3 + 24 x 2 ; 8) −9 x + 15 x 2 + 3x 3 ;
9) 6 x 5 + 2 x 4 − 10 x3 ;
10) −2a 3b + 6a 2b 2 − 2ab3 ; 11) −2a 5b − 10a 4b3 + 6a 2b5 ; 12) 5a 4b 4 − 5a3b3 + 20a 4b2 ; 13) −4a 3b3 + 6ab5 + 4ab3 ; 14) 7x 2 ; 15) −10x ; 16) 5 x 3 + 12 x ; 17) x 4
7. MULTIPLICACIONES DE POLINOMIOS POR POLINOMIOS
Sea el producto (a+b-c)(m+n). Haciendo m+n=y tendremos: (a + b − c)(m + n) = (a + b − c) y = ay + by − c
33
= a ( m + n ) + b( m + n) − c ( m + n) = am + na + bn + bm − cm − cn = am + bm − cm + an + bn − cn
(sustituyendo y por su valor m+n) Podemos enunciar lo siguiente:
Regla para Multiplicar dos Polinomios
Se multiplican todos los términos del multiplicador por cada uno de los términos del multiplicador, teniendo en cuenta la ley de los signos, y se reducen los términos semejantes.
Ejemplos: (1) múltiplos a-4 por 3 + a Tendremos:
a−4 a+3
a−4 a+3
a(a ) − 4(a )
o sea
a 2 − 4a
+ 3(a ) − 3(4 )
3a − 12
a 2 − a − 12 Hemos multiplicado el primer término del multiplicador a por los dos término del multiplicador y el segundo término del multiplicador 3 por los dos termino del multiplicador escribiendo los productos
parciales de modo que los términos
semejantes quedan en columnas y hemos reducido los términos semejantes. (2) Multiplicador 4 x − 3 y. por. − 2 y + 5 x Ordenando en orden descendente con relación a la x tendremos:
34
4x − 3y
4x − 3y
5x − 2 y
5x − 2 y 20 x 2 − 15 y − 8 xy + 6 y 2
4 x(5 x) − 3 y (5 y )
20 x 2 − 23xy + 6 y 2
− 4 x(2 y ) + 3 y (2 y )
I. Ejercicios:
1. a + 3. por.a − 1
Resp: a 2 + 2a − 3
2. 8 x − 2 y. por. y + 2 x
Resp: 16 x 2 − 2 y 2 + 4 xy
3. − 4 y + 5 x. por. − 3x + 2 y
Resp: −15 x 2 + 22 xy − 8 y 2
4. − a + b. por. − 4b + 8a
Resp: −8a 2 + 12ab − 4b 2
II. Efectué las operaciones indicadas y simplifique:
1) ( x − 7)( x + 4)
9) ( x + 1)((2 x 2 − 2 x + 3)
2) ( x − 6)( x + 6)
10) ( x − 2)( x 2 + 2 x − 4)
3) ( x − 1)( x − 6)
11) (2 x − 1)(4 x 2 + 2 x + 1)
4) (3 x − 1)(4 x − 3)
12) ( x − 2 y )( x 2 + 2 xy + 4 y 2 )
5) (3 − 2 x)(3 + 4 x)
13) ( x 2 + 2 x − 1)( x 2 − 2 x + 1)
6) (7 + 3 x)(8 − 5 x)
14) ( x + 1)( x + 3) + x( x − 4)
7) ( x − 4 y )(3 x − 4 y )
15) (2x+1)(x-2)+ x(x+3)
8) ( xy + 3)( xy − 4)
16) ( x + 2)( x − 4) − x( x − 2)
Respuestas: 1) x 2 − 3x − 28 ; 2) x 2 − 36 ; 3) x 2 − 7 x + 6 ; 4) 12 x 2 − 13x + 3 ; 5)
5) 9 + 6 x − 8 x 2 ; 6) 56 − 11x − 15 x 2 ; 7) 3x 2 − 16 xy + 16 y 2 ; 8) x 2 y 2 − xy − 12 ; 9) 2 x 3 + x + 3 ; 10) x3 − 8 x + 8 ; 11) 8 x 3 − 1 ; 12) x3 − 8 y 3 ; 13) x 4 − 4 x 2 + 4 x − 1 14) 2 x 2 + 3 ; 15) 3x 2 − 2 ; 16) −8
35
8. DIVISIÓN DE MONOMIOS. Regla para dividir dos Monomios
Se divide el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor y a continuación se escriben en orden alfabético las letras, poniéndole a cada letra un exponente que tiene en el dividendo y el exponente que tiene el divisor. El signo de la Ley de los signos. Ejemplos: (1) Dividir 4a 3b 2entre − 2ab
4a 3b 2 / − 2ab =
(
4a 3b 2 = 2a 2b R. − 2ab
)
Porque (− 2ab )x − a 2b = 4a 3b = 4a 3b 2
(2) Dividir − 5 a 4 b 3 c . entre
. − a 2b
− 5a 4 b 3 c / − a 2 b =
2 2 − 5a 4 b 3 c = 5a b c R. 2 −a b
Porque − 5a 4b3c * (− a 2b) = −5a 4b3c Obsérvese que cuando el dividendo hay una letra que no existe en el divisor, en este caso c, dicha letra letras a párese en el cociente. Sucede lo mismo que si la c estuviera en el divisor con exponente cero por que tendríamos. 1− 0
c / c 0 =c = c (3) Dividir − 20mx 2 y 3 / 4 xy 3
− 20mx 2 y 3 / 4 xy 3 =
− 20mx 2 y 3 = −5mx R 4 xy 3
Porque 4 xy 3 * (−5mx) = −20mx 2 y 3
Obsérvese que letras iguales en el dividendo y el divisor se cancela por que su cociente es 1.Así, en es te caso y 3 del dividendo se cancela con y 3 del divisor, igual que en. Aritmética suprimimos los factores comunes en el numerador y denominador de un quebrado.
36
También de acuerdo con la ley de los exponentes y 3 / y 3 = y 3− 3 = y 0 y veremos mas adelante que y 0 =1y1 como factor puede suprimirse en el cociente.
Ejemplo (4) Al aplicar las leyes de los exponentes, simplificar la expresión:
⎛ 2 x 4 yz ⎞ ⎜ 2 ⎟ ⎝ 6 xy ⎠
3
Solución: Podemos simplificar la fracción primeramente antes de aplicar el exponente exterior. 3
3
⎛ 2 x 4 yz ⎞ ⎛ x3 z ⎞ x9 z 3 x9 z 3 = = = ⎜ ⎜ ⎟ 2 ⎟ 3 3 27 y 3 ⎝ 6 xy ⎠ ⎝ 3 y ⎠ 3 y
I. Ejercicios:
(1) 14a 3b 4entre − 2ab 2
Resp: −7a 2b 2
(2) − a 3b 4c entre a 3b 4
Resp: −c
(3) − 5m 2 n entre m 2 n
Resp: −5
(4) − 8a 2 x 3entre − 8a 2 x 3
Resp: 1
II. Simplifique aplicando las leyes de los exponentes.
a5 1) 2 a
x3 2) x
( x − y )6 10) ( x − y )9
( x + 1)8 9) ( x + 1) 4
⎛ 2a 2 ⎞ 15) ⎜ 5 ⎟ ⎝ a ⎠
a6 3) 12 a
6
x2 4) 8 x
3bx x6 y 4 12) 3 2 11) 3b x y
⎛ 2 x2 y5 ⎞ 16) ⎜ 6 ⎟ ⎝ 4 xy ⎠
3
Respuestas: 1) a 3 ; 2) x 2 ; 3)
9) ( x + 1) 4 ; 10)
x10 5) 10 x
b10 6) −b6
( − a )8 (−a 7 ) 8) 7) −a10 −a 7
9a 2 b 5 13) 36a 6b10
⎛ x4 y 2 z 7 ⎞ 17) ⎜ 3 4 7 ⎟ ⎝ 2x y z ⎠
3
−6a8b 7 14) 18a 4b9
⎛ 12 x3 y 2 z 4 ⎞ 18) ⎜ 2 3 ⎟ ⎝ 18 xy z ⎠
4
1 1 1 ; 4) 6 ; 5) 1 ; 6) −b 4 ; 7) − 2 ; 8) 1 ; 6 a a x
1 1 64 a4 3 2 x ; 14) ; 11) − ; 15) 18 ; 12) x y ; 13) 3 2 4 5 ( x − y) 4a b a 3b
37
16)
x3 x3 16 x8 z 4 ; 17) ; 18) 81 8 y3 8 y6
9. DIVISIÓN DE POLINOMIOS POR MONOMIOS. Regla para dividir un polinomio por un monomio.
Se divide cada uno de los términos del polinomio por el monomio separando los cocientes parciales con sus propios signos. Esta es la ley distributiva de la división.
Ejemplos Ejemplo 1) Dividir 3a 3 − 6a 2b + 9ab 2 entre 3a.
(3a 3 − 6a 2b + 9ab 2 ) ÷ 3a =
3a 3 − 6a 2b + 9ab 2 3a 3 6a 2b 9ab 2 = − + 3a 3a 3a 3a
Resultado: a 2 − 2ab + 3b 2
Ejemplo 2) Dividir
Solución:
3a 3 − 2a 2b − ab 2 −ab
3a 3 − 2a 2b − ab 2 3a 3 −2ab 2 − ab 2 3a 2 = + + =− + 2a + b b −ab − ab − ab −ab
Ejemplo 3) Dividir
(3 x + a ) 2 − a (3 x + a ) (3 x + a)
y simplificar
(3 x + a ) 2 − a (3 x + a ) (3 x + a ) 2 a(3 x + a) − = (3 x + a) − a = 3 x + a − a = 3 x = (3 x + a) (3 x + a) (3 x + a)
Ejercicios: Efectué las operaciones indicadas y simplifique:
1)
2x + 2 2
2)
10 x − 5 5
3)
6 x 2 + 3x 3x
38
4)
x3 − 3x 2 + x x
5)
6ax + 3a 3a
7 x 3 − 14 x 2 6) 7 x2
10 x 2 y + 15 x3 7) −5 x 2
10)
4 x3 + 6 x 2 − 8 x 2 x2
13)
(2 x + a ) 2 − x(2 x + a ) (2 x + a )
11)
12 x 5 + 18 x 4 − 6 x3 8) −6 x 3
x6 − 2 x 4 y 2 − 3x 2 y 4 −3 x 3 y 3
14)
12)
−36 x 3 y 2 − 24 x 2 y 3 9) −12 x 2 y 2
6( x − a ) 2 + 3( x − a ) 3( x − a )
(2 x − a )3 − (2 x − a ) 2 (2 x − a )
Respuestas: 1) x + 1 ; 2) 2 x − 1 ; 3) 2 x + 1 ; 4) x 2 − 3x + 1 ; 5) 2 x + 1 ; 6) x − 2 ;
7) −2 y − 3 x ; 8) −2 x 2 − 3x + 1 ; 9) 3x + 2 y ; 10) 2 x + 3 −
4 x3 2 x y ; 11) − 3 + + 3y 3y x x
12) 2( x − a) + 1 ; 13) x + a ; 14) (2 x − a) 2 − (2 x − a )
. DIVISIÓN DE POLINOMIOS
La división se define como la operación inversa de la multiplicación; así que empezamos con un problema de multiplicación y luego deducimos la operación de división.
39
( x 2 + 3x − 5)(2 x − 7) = x 2 (2 x − 7) + 3x(2 x − 7) + (−5)(2 x − 7) = (2 x3 − 7 x 2 ) + (6 x 2 − 21x) + (−10 x + 35)
= 2 x3 − x 2 − 31x + 35 Por consiguiente si (2 x3 − x 2 − 31x + 35) se divide por (2 x − 7) , el resultado es ( x 2 + 3x − 5) , es decir, el primer polinomio del problema de multiplicación. El polinomio (2 x3 − x 2 − 31x + 35) se llama dividendo, (2 x − 7) es el divisor, y ( x 2 + 3x − 5) , el cociente. El primer término del dividendo, 2 x3 , proviene de multiplicar el primer término del cociente, x 2 , por el primer término del divisor, 2x . De modo que para obtener el primer término del cociente, x 2 , dividimos el primer término del dividendo, 2x 3 , por el primer término del divisor, 2x . Multiplicando todo el divisor (2 x − 7) por ese primer término del cociente, x 2 , obtenemos 2 x3 − 7 x 2 . Al restar 2 x3 − 7 x 2 del dividendo, resulta (2 x 3 − x 2 − 31x + 35) − (2 x3 − 7 x 2 ) = 6 x 2 − 31x + 35 La cantidad 6 x 2 − 31x + 35 es el nuevo dividendo. El primer término, 6x 2 , del nuevo dividendo proviene de multiplicar el segundo término del cociente, 3 x , por el primero del divisor, 2x . Así que para obtener el segundo término del cociente, 3x , se divide el primero del nuevo dividendo, 6x 2 , por el primer término del divisor, 2 x . Multiplicando el divisor (2 x − 7) por el segundo término del cociente, 3x , se obtiene 6 x 2 − 21x . Restando 6 x 2 − 21x del nuevo dividendo, resulta (6 x 2 − 31x + 35) − (6 x 2 − 21x) = −10 x + 35 La cantidad −10 x + 35 es ahora el nuevo dividendo. Al dividir el primer término, (−10 x), de este nuevo dividendo por el primero del divisor, 2 x , se obtiene el tercer término, (-5), del cociente. Multiplicando el divisor (2 x − 7) por el tercer término del cociente, (-5), se obtiene −10 x + 35. Restando (−10 x + 35) del dividendo (−10 x + 35) , resulta cero. Iniciemos nuevamente el problema disponiéndolo de una manera semejante a la división larga en aritmética.
+ x 2 + 3x - 5 El primer término del cociente es
Divisor
2x − 7
cociente
2 x3 - x 2 - 31x + 35 dividendo − + 40
x 2 (2 x − 7) =
2 x3 / 2 x = x 2 El segundo 6 x 2 / 2 x = +3 x
3x(2 x − 7) =
2 x3 - 7 x 2 6 x 2 −31x + 35 − + 2 6 x −21x −10x + 35 − + −10 x +35
El tercero −10 x / 2 x = −5
−5(2 x − 7) =
0 Por consiguiente
Ejemplo 2.
restar
restar restar residuo
2 x3 − x 2 − 31x + 35 = x 2 + 3x − 5 2x − 7
Dividir (6 x 3 − 17 x 2 + 16) por (3x − 4)
Solución: Escribimos el dividendo como 6 x3 − 17 x 2 + 0 x + 16
+2x 2 −3x 3x − 4
6 x 3 / 3x = +2 x 2
−9x2 /3x =−3x
−12 x / 3 x = −4
Por consiguiente
2 x 2 (3 x − 4) =
−3 x(3x − 4) =
−4
6 x3 − 17 x 2 +0x + 16 − + 3 6x −8x 2 −9x 2 +
+ 0 x +16 −
−9 x 2
+12x −12x +16 − + −12 x +16 0 residuo
−4(3x − 4) =
6 x 3 − 17 x 2 + 16 = 2 x 2 − 3x − 4 3x − 4
41
Ejercicios: Efectúe las divisiones entre polinomios siguientes:
1)
x 2 + 3x + 2 x +1
5)
9x2 + 6x + 1 3x + 1
9)
x3 − 4 x − 2 x 2 + 8 x2 − 4
2)
6)
x2 + x − 6 x−2
3)
12 x 2 + 25 x + 12 4x + 3
10)
x 2 − 14 x + 48 x −8
7)
16 x 2 − 8 x + 1 4x −1
3x 4 + 2 x3 − 6 x 2 + 3x − 2 x2 + x − 2
12)
4 x 3 − 7 x 2 − 21 x + 9 4x − 3
15)
2 x 4 + 3 x 3 y + 3 x 2 y 2 − 5 xy 3 − 3 y 4 2 x 2 − xy − y 2
4)
6 x3 − 11x 2 − 14 x − 2 13) 2x − 5
13) 3x 2 + 2 x − 2 −
8)
11)
3x3 − x − 4 x 2 + 6 2 + 3x
3x + 1 ;
6) 3 x + 4 ; 7) 4 x − 1
4 9 ; 12) x 2 − x − 6 − 3x + 2 4x − 3
12 ; 14) 2 x 2 − 6 x − 3 ; 15) x 2 + 2 xy + 3 y 2 2x − 5
42
22 x + 8 x 2 − 21 4x − 3
2 x 4 − 11x 2 − 39 x − 15 14) x 2 + 3x + 5
Respuestas: 1) x + 2 ; 2) x + 3 ; 3) x − 6 ; 4) 4 x + 6 ; 5)
8) 2 x + 7 ; 9) x − 2 ; 10) 3x 2 − x + 1 ; 11) x 2 − 2 x + 1 +
8 x 2 + 16 x + 6 2x +1
10. PRODUCTOS NOTABLES.
Se llama productos notables a ciertos productos que cumplen reglas fijas y cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, es decir, sin verificar la multiplicación.
Binomio al cuadrado
Un binomio al cuadrado es un producto notable, ya que podemos generalizar el proceso para obtener su resultado. El cuadrado de la suma de dos términos es igual: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
Cuadrado del primer término más Doble producto del primero por el segundo, más El cuadrado del segundo término. La solución de un binomio al cuadrado es un trinomio que recibe el nombre de trinomio cuadrado perfecto. Cuando se trata de una diferencia lo único que cambia es el signo del segundo término del trinomio. El cuadrado de la diferencia de dos términos es igual: (a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2
Cuadrado del primer término, menos Doble producto del primero por el segundo, más El cuadrado del segundo término. Debemos entender que para encontrar el resultado de un binomio al cuadrado tenemos que aplicar la siguiente regla:
•
Elevar al cuadrado el primer termino (todo: signo, coeficiente y literales).
•
Mas el doble producto del primer termino por el segundo termino (todo: signo, coeficiente y literales).
•
Mas el cuadrado del segundo termino (todo: signo, coeficiente y literales). Ejemplos: Desarrollar los siguientes binomios al cuadrado
43
2 2 2 2 2 1. (3a − 8b) = (3a ) − 2(3a )(8b) + (8b) = 9a − 48ab + 64b
2. (4 x + 2 y + 3) 2 = [ (4 x + 2 y ) + 3]2 = (4 x + 2 y ) 2 + 2(4 x + 2 y )(3) + (3) 2
= 16 x 2 + 16 xy + 4 y 2 + 24 x + 12 y + 9
Binomios conjugados
El producto de la suma de dos números (a + b) por su diferencia (a – b) es un producto notable que recibe el nombre de binomios conjugados, y su producto recibe el nombre de diferencia de cuadrados.
( a + b )( a − b ) = a 2 − b2 Binomios conjugados = Diferencia de cuadrados
( a + b )( a − b ) = a 2 − b2 Los binomios conjugados son iguales a: El cuadrado del primer termino del binomio Menos El cuadrado del segundo termino del binomio. Ejemplos: Desarrollar los siguientes binomios conjugados: 2 2 2 2 1. (8b − 3c)(8b + 3c) = (8b) − (3c) = 64b − 9c
2 2 2 2 2 2 4 2. (5 p − 6q )(5 p + 6q ) = (5 p ) − (6q ) = 25 p − 36q
2
2
3 ⎞⎛ 5 3 ⎞ ⎛5 ⎞ ⎛3 ⎞ 25 2 9 2 ⎛5 m n m n m n m − n − + = − = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 3. ⎝ 9 4 ⎠⎝ 9 4 ⎠ ⎝9 ⎠ ⎝4 ⎠ 81 16
Binomios al cubo
44
Un binomio al cubo es un producto notable ya que podemos generalizar el proceso para su solución. Esto significa que el binomio esta multiplicándose por si mismo tres veces:
( a + b)
3
= ( a + b )( a + b )( a + b )
Primero multiplicaremos dos binomios ya que como son tres términos, la multiplicación debemos realizarla por partes:
( a + b )( a + b ) = ( a + b )
2
= a 2 + 2ab + b 2 .
Este resultado lo multiplicamos otra vez por el binomio:
(a
2
+ 2ab + b 2 ) ( a + b ) = a 3 + 3a 2b + 3ab 2 + b3 Binomio al cubo = Cubo perfecto
( a + b)
3
=
a 3 + 3a 2b + 3ab 2 + b3
El cubo de un binomio es igual a: Cubo del primer termino más El triple producto del cuadrado del primer termino por el segundo mas El triple producto del Primer termino por el cuadrado del segundo mas Cubo del segundo termino. Si el cubo es la diferencia de dos números el resultado quedaría:
( a − b)
3
a 3 − 3a 2b + 3ab 2 − b3
=
Ejercicios:
(2 x + 5 y )3 = (2 x)3 − 3(2 x) 2 (5 y ) + 3(2 x)(5 y )2 − (5 y )3 = 8 x3 − 60 x 2 y + 150 xy 2 − 125 y 3
(3a − 2b)3 = (3a )3 − 3(3a) 2 (2b) + 3(3a)(2b) 2 − (2b)3 = 27 a 3 − 54a 2b + 36ab 2 − 8b3
45
Resumen de productos notables:
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
Binomio al cuadrado
(a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2
Binomio al cuadrado
( a + b )( a − b ) = a 2 − b2
Binomios conjugados
( a + b) ( a − b)
3
= a 3 + 3a 2b + 3ab 2 + b3
Binomios al cubo
3
= a 3 − 3a 2b + 3ab 2 − b3
Binomios al cubo
Ejercicios: Desarrolle los siguientes productos notables:
1. (5 x − 3 y ) 2
Resp 25 x 2 − 30 xy + 9 y 2
2. (2x + 3y)2
Resp: 4 x 2 + 12 xy + 9 y 2
3. (m + 4)2
Resp: m 2 + 8m + 16
4. (a3 - b3)2
Resp: a 6 − 2a 3b3 + b6
5. (2m – 3n)2
Resp: 4m 2 − 12mn + 9n 2
6. (2 x − 3 y + 2 z ) 2
Re sp : 4 x 2 + 9 y 2 + 4 z 2 − 12 xy + 8 xz − 12 yz
7. (3x + 2 y )(3x − 2 y )
2 2 Resp: 9 x − 4 y
2 4 2 4 8. (6a − 4b )(6a + 4b )
4 8 Resp: 36a − 16b
9. (x2 + a2)( x2 - a2)
Resp: x 4 − a 4 9 2 4 2 Resp: 16 x − 49 y
⎛ 3 2 ⎞⎛ 3 2 ⎞ 10. ⎜ x − y ⎟⎜ x + y ⎟ ⎝ 4 7 ⎠⎝ 4 7 ⎠
3 11. (2 x − 7 y )
3 2 2 3 Resp: 8 x − 84 x y + 294 xy − 343 y
12. (2 + y2)3
Resp: 8 + 12 y 2 + 6 y 4 + y 6
13. (1 – 3y)3
Resp: 1 − 9 y + 27 y 2 + 27 y 3
46
11. FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS.
La factorización es un proceso contrario a la multiplicación y su objetivo es simplificarlas expresiones algebraicas. Factorizar significa encontrar los factores que pueden originar una cantidad.
I. Factor común.
En este proceso se transforma una suma algebraica en un producto de factores, aplicando la propiedad distributiva. Para llevar a cabo este proceso es necesario identificar el factor común en el polinomio. El factor común puede ser un numero o un monomio, o bien un polinomio. Ejemplos: 1)
5 x + 5 y = 5( x + y )
El numero 5 es el que se repite en ambos términos, es decir, es el factor común. Y los factores son 5 y (x + y).
2)
ax − bx + cx = x(a − b + c)
X es la que se repite en todos los términos, es decir, es el factor común, y los factores son x y (a – b + c). 3)
4 x 2 y − 8 xy + 2 y = 2 y (2 x 2 − 4 x + 1)
El numero 2 y la letra y son los términos que se repiten en todos los términos, por lo tanto, son comunes, es decir, 2y. Para encontrar el otro factor dividimos el termino común y la expresión original
4 x 2 y − 8 xy + 2 y entre 2y, dando como resultado, 2 x 2 − 4 x + 1 que
representa al segundo factor. 4) Factorizar el polinomio 6 x3 y 2 + 12 x 2 y 2 − 24 xy 2
Solución: El máximo factor común es 6xy 2 .
⎛ 6 x 3 y 2 12 x 2 y 2 24 xy 2 ⎞ = 6 xy 2 ( x 2 + 2 x − 4) + − 6 x3 y 2 + 12 x 2 y 2 − 24 xy 2 = 6 xy 2 ⎜ 2 2 2 ⎟ 6 6 6 xy xy xy ⎝ ⎠
II. Diferencia de cuadrados
47
El producto de los factores (a + b) y (a − b) es a 2 − b 2 , es decir, la diferencia de dos términos cuadrados perfectos. Los factores de una diferencia de cuadrados son la suma y diferencia de raíces cuadradas respectivas de dichos cuadrados. Ejemplo 1) Factorizar 9a 2 − 4 .
Solución: La raíz cuadrada de 9a 2 es 3a y la de 4 es 2. Por consiguiente,
9a 2 − 4 = (3a + 2)(3a − 2)
Ejemplo 2) Factorizar completamente x 4 − 81y 4 .
Solución:
x 4 − 81y 4 = ( x 2 + 9 y 2 )( x 2 − 9 y 2 ) = ( x 2 + 9 y 2 )( x + 3 y )( x − 3 y )
Ejemplo 3) Factorizar completamente 6 x 4 − 6 .
Solución:
6 x 4 − 6 = 6( x 4 − 1) = 6( x 2 + 1)( x 2 − 1) = 6( x 2 + 1)( x + 1)( x − 1)
Ejemplo 4) Factorizar completamente x 2 − 4( y − 3) 2
Solución:
x 2 − 4( y − 3) 2 = [ x + 2( y − 3)][ x − 2( y − 3)] = ( x + 2 y − 6)( x − 2 y + 6)
III. Factorización de un trinomio de la forma x2 + bx + c.
Cuando desarrollamos el producto de binomios con término común obtenemos como resultado un trinomio de la forma x2 + bx + c. Para factorizar el trinomio, tenemos que encontrar el par de binomios que lo originaron, siguiendo el siguiente procedimiento: 1. El primer término de ambos factores será la raíz cuadrada del primer término. 2. Los otros dos términos deberán cumplir las siguientes condiciones: •
Dos números que multiplicados den el valor del tercer termino del trinomio (c). 48
•
Y sumados deben ser igual al coeficiente del segundo término del trinomio (b).
Ejemplo: x2 + 5x + 6.
Dos números que multiplicados nos den x2, es decir,
x 2 ;. (x
) (x
).
Dos números que multiplicados nos den el tercer termino (6) y sumados nos den el coeficiente del segundo termino (5). (x + 3) (x + 2). Entonces la factorización del trinomio x2 + 5x + 6 = (x + 3) (x + 2). Ejemplo: a2 + 9a + 20.
Dos números que multiplicados nos den a2, es decir,
a2 ;. (a
) (a
).
Dos números que multiplicados nos den el tercer termino (20) y sumados nos den el coeficiente del segundo termino (9). (a + 5) (a + 4). Entonces la factorización del trinomio a2 + 9a + 20 = (a + 5) (a + 4). IV. Factorización de un trinomio de la forma ax2 + bx + c.
Para factorizar trinomios de la forma ax2 + bx + c, aplicamos la siguiente regla: El trinomio se factoriza en dos factores binomios cuyos primeros términos son aquellos que multiplicados den como producto el primer termino del trinomio dado; los segundos términos de los binomios son aquellos que multiplicados den lugar al tercer termino del trinomio, pero que el producto de los términos extremos e interiores de los binomios factores, al sumarse algebraicamente den como resultado el termino central del trinomio. Ejemplos: Factorizar los siguientes trinomios de la forma ax2 + bx + c.
a) 3x2 + 14x + 8 = Se determinan los primeros términos de los factores binomios, siendo aquellos que multiplicados resulte (3x2) el primer termino del trinomio, dichos términos son (3x)(x); los segundos términos de los binomios son aquellos que multiplicados den (8) el tercer termino del trinomio, dichos términos pueden ser (1)(8) y (2)(4), siendo la ultima proposición la que cumple la condición de que la suma algebraica del producto de los términos extremos e interiores de los binomios factores resulte (14x) el termino central del trinomio dado. Por lo que su factorización es: 49
3x2 + 14x + 8 = (3x + 2) (x + 4) b) 5x2 - 11x - 36 = Se determinan los primeros términos de los factores binomios, siendo aquellos que multiplicados resulte (5x2) el primer termino del trinomio, dichos términos son (5x)(x); los segundos términos de los binomios son aquellos que multiplicados den (-36) el tercer termino del trinomio, dichos términos pueden ser (-36)(1), (-18)(2), (-12)(3), (-9)(4), (-6,6), (36)(-1), (18)(-2), (12)(-3), (6)(-6) y (9)(-4), siendo la ultima proposición la que cumple la condición de que la suma algebraica del producto de los términos extremos e interiores de los binomios factores resulte (-11x) el termino central del trinomio dado. Por lo que su factorización es: 5x2 - 11x - 36 = (5x + 9) (x - 4)
V. Factorización por agrupación.
Cuando tenemos polinomios que no tienen un solo factor común pero algunas literales se repiten en él, podemos aplicar la propiedad asociativa y conmutativa a estos términos semejantes y después factorizar. Por ejemplo, si queremos factorizar el polinomio ax + by – cx + dx – ey; tenemos que realizar la siguiente operación: juntamos todos los términos que tienen x en común y los que tienen y en común. ax + by – cx + dx – ey = (ax – cx + dx) + (by-ey); = x(a – c + d) + y(b – e). se escribe el signo de la suma porque este no cambia el signo de los términos que le siguen.
Ejemplo 1: Factoriza −5a 2 + 3ax − 10a + 6 x .
Asociando
−5a 2 + 3ax − 10a + 6 x = ( −5a 2 − 10a ) + ( 3ax + 6 x ) . 50
Para facilitar las operaciones algebraicas, el primer término de un polinomio debe ser positivo, si es posible. En este caso, el segundo binomio es positivo; entonces aplicamos la propiedad conmutativa. = − ( 5a 2 + 10a ) + ( 3ax + 6 x ) = ( 3ax + 6 x ) − ( 5a 2 + 10a ) = 3 x ( a + 2 ) − 5a ( a + 2 )
Factorizando:
= ( a + 2 )( 3 x − 5a )
Y de nuevo factorizando:
Ejemplo 2: Factorizar 12ax − 20bx − 9ay + 15by
12ax − 20bx − 9ay + 15by = (12ax − 20bx) − (9ay − 15by ) 12ax − 20bx − 9ay + 15by = 4 x(3a − 5b) − 3 y (3a − 5b) = (3a − 5b)(4 x − 3 y )
12. EJERCICIOS:
I. Factorizar por factor común
a) 4 x + 4 e) xy + x 2 y 2
b) 12 x + 6
c) 18 x − 27
c) 9 x3 − 6 x 2
f) 4 xy − 8 x 2 y 2 g) 4 x 2 y 2 + 12 x 2 y
i) x3 − x 2 y + 2 xy 3 l) 3(a + 3) + x(a + 3)
h) 6 x 2 y − 4 xy 2 + 10 xy k) x(a + b) + y (a + b)
j) 4 x3 y 2 + 2 x 2 y 3 − 6 x 2 y 2 m)
d) 3bx + 3b
4(2 x − 1) + x(2 x − 1)
II Factorice completamente las siguientes diferencias de cuadrados a) x 2 − 16
b) x 2 − 36
c) 9 x 2 − 25
d) 81 − x 2
f) 4 x 2 − 81
g) 9 x 2 − 16 y 2
h) 9 x 2 − 4 y 4
i) 4a 4 − 9b 2 c 2 j) a 6 − b 4
k) 9x 2 y 2 − y 4 l) 36a8b12 − 9c10 m) 16 x 4 − 81 y 4
e) 36 x 2 − 1
n) ( x + 1) 2 − y 2
III. Factorizar los trinomios de las forma x 2 + bx + c siguientes:
51
a) x 2 + 3x + 2
b) x 2 + 7 x + 12
c) x 2 − 8 x + 15
e) x 2 + 4 x − 21
f) x 2 + 12 x − 45
i) x 2 − 9 xy + 14 y 2
j) x 2 − 11xy + 28 y 2 k) x 4 − 3x 2 − 10 l) x 4 + 7 x 2 − 8
g) x 2 − 3x − 18
d) x 2 − 9 x + 20 h) x 2 − 8 x + 12
IV Factorizar los trinomios de la forma ax 2 + bx + c siguientes: a) 2 x 2 + 3 x + 1
b) 3x 2 + 7 x + 2
c) 2 x 2 + 7 x + 6
d) 2 x 2 − 11x + 5
3x 2 − 4 x + 1
f) 4 x 2 − 9 x + 2
g) 2 x 2 − 5 x + 2
h) 3x 2 − 11x + 6
i) 4 x 2 − 8 x + 6
j) 2 x 2 + 15 x − 8
k) 3x 2 + 7 x − 6
l) 4 x 2 − 5 x − 6
m) 2 x 2 − 7 x − 4
n) 4 x 2 − 15 x − 4
ñ) 4 x 2 + 19 x + 12
o) 6 x 2 − 5 x − 4
p) 6 x 2 + 23x − 18
q) 6 x 2 − 7 x + 2
r) 6 x 2 + 11x − 4
s) 6 x 2 + 31x + 18
e)
t) 3x 2 − 16 xy − 12 y 2 u) 3x 2 − 7 xy − 6 y 2
v) 4 x 2 − 8 xy − 5 y 2 w) 6 x 2 − 5 xy − 6 y 2
x) 5 x 4 + 8 x 2 − 4
z) 8 x 4 − 29 x 2 − 12
y) 2 x 4 − 5 x 2 − 12
V. Factorizar por agrupación
a) 3x + 3 y + ax + ay
Resp: ( x + y )(3 + a )
b) ax − ay + 2cx − 2cy
Resp: ( x − y )(a + 2c)
c) 3xy + 9ax − ay − 3a 2
Resp: ( y + 3a )(3x − a )
d) x 2 − y 2 − 2 x + 2 y
Resp: ( x − y )( x + y − 2)
e) ax + ay + bx + by
Resp: ( x + y )(a + b)
52
UNIDAD II FRACCIONES ALGEBRAICAS 1. SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS.
De las propiedades de fracciones estudiadas, se tiene que Las fracciones algebraicas
a ac = . b bc
ac a se llaman equivalentes. Dos fracciones algebraicas y bc b
son equivalentes, si tienen el mismo valor cuando se asignan valores específicos a sus números literales. Una fracción esta expresada en términos mínimos, o reducida, cuando el numerador y el denominador no poseen factor común. ac a sus términos mínimos, dividimos bc a tanto el numerador como el denominador por su factor común c, para obtener . b Para reducir o simplificar la fracción algebraica
ac son factores del numerador, no términos como bc en a + c. También los números b y c son factores del denominador, no términos. a+c a La fracción no se puede reducir a ninguna forma más simple; no es igual a b+c b
Nota: Los números a y c en la expresión
ni a
a +1 . Análogamente, b +1 5a + b 5 + b ≠ 6a 6
Pero
5a + b 5a b 5 b = + = + 6a 6a 6a 6 6a
Para encontrar el máximo factor común, M.F.C., de un conjunto de polinomios, se factorizan los polinomios completamente y se toman todos los factores comunes, cada uno con el mínimo exponente con que aparece en los polinomios dados. Para reducir a sus términos mínimos una fracción cuyo numerador y denominador son monomios, se dividen tanto el denominador entre su máximo factor común.
53
Ejemplo:
Reducir Solución.
36a 3 b 2 c a sus términos mínimos. 54abc 3
El máximo factor común de los monomios 36a 3 b 2 c y 54abc 3 es 18abc .
Dividiendo numerador y denominador entre 18abc, se obtiene.
Ejemplo: Reducir a su mínima expresión.
36 x 3 y 6 ( x − 2) 20 xy 2 ( x − 2 )
4
36a 3 b 2 c 2a 2 b = . 54abc 3 3c 2
.
Solución. El máximo factor común es 4 xy 2 ( x − 2) . Al dividir el numerador y denominador entre 4 xy 2 ( x − 2) , obtenemos 36 x 3 y 6 ( x − 2) 20 xy 2 ( x − 2 )
4
=
9x 2 y 4
5( x − 2)
3
Para reducir a sus términos mínimos una fracción cuyo numerador o denominador o ambos son polinomios, se factorizan completamente, se determina su máximo factor común y luego se dividen por este.
Ejemplo
Reducir
30 x 2 y 3 − 18 xy 2 a sus términos mínimos. 12 x 2 y 2 30 x 2 y 3 − 18 xy 2 6 xy 2 (5 xy − 3) = 12 x 2 y 2 12 x 2 y 2
Solución.
Dividiendo el numerador y denominador por 6xy 2 , se obtiene 30 x 2 y 3 − 18 xy 2 6 xy 2 (5 xy − 3) 5 xy − 3 = . = 2x 12 x 2 y 2 12 x 2 y 2
Ejemplo
Reducir
24 x 3 y a su mínima expresión. 36 x 3 y 2 + 48 x 4 y
54
24 x 3 y 24 x 3 y = 36 x 3 y 2 + 48 x 4 y 12 x 3 y (3 y + 4 x )
Solución.
Se dividen numerador y denominador entre 12x3 y para obtener 24 x 3 y 24 x 3 y 2 = = . 3 2 4 3 36 x y + 48 x y 12 x y (3 y + 4 x ) 3 y + 4 x
2x 2 + x − 3 Ejemplo Reducir a su mínima expresión. x2 −1 Solución. Al factorizar el numerador y denominador, obtenemos 2 x 2 + x − 3 (2 x + 3)( x − 1) = (x + 1)(x − 1) x2 −1 Dividiendo el numerador y el denominador, entre su máximo factor común, (x − 1) , 1 resulta
(2 x + 3)(x − 1) = 2 x + 3 2x 2 + x − 3 = 2 (x + 1)(x − 1) x +1 x −1 1
Nota La fracción
2x + 3 esta reducida; el numerador y el denominador no poseen ningún x +1
factor común. Notas: 1. a − b = −b + a = −(b − a ) 2.
(a − b )2 = [− (b − a )]2 = (b − a )2
3.
(a − b )3 = [− (b − a )]3 = −(b − a )3
Ejemplo
a − b − (b − a ) = = −1 (b − a ) b−a
55
Ejemplo
( a − 1) 2 (1 − a ) 3
=
− (1 − a )
(1 − a )
2
Nota: La fracción
3
= −(1 − a) = a − 1
o bien,
(a − 1)3 (1 − a )2
=
(a − 1)3 (a − 1)2
= a −1
a+b no puede reducirse a una forma mas simple, ya que a + b no se a −b
puede escribir como múltiplo de a + b. Hay que observar también que
Ejemplo
Solución.
Reducir
a −a +a = =− . +b −b b
8 x 2 − 14 x + 3 . 2 − 7x − 4x 2
8 x 2 − 14 x + 3 (4 x − 1)(2 x − 3) − (1 − 4 x )(2 x − 3) 2x − 3 = = =− 2 (2 + x )(1 − 4 x ) (2 + x )(1 − 4 x ) x−2 2 − 7x − 4x
[(4 x − 1) = −(1 − 4 x )] Ejemplo
Solución.
Reducir
x 2 − 5x + 6 2 − 3x + x 2 x 2 − 5 x + 6 ( x − 3)( x − 2) − ( x − 3) 3 − x = = = 1− x 1− x 2 − 3 x + x 2 (2 − x )(1 − x )
56
o bien
x−3 . x −1
EJERCICIOS 1
Reducir las siguientes fracciones a sus términos mínimos:
1.
x6 x3
2.
5.
54a 4 b 3 c 63a 2 b 5 c 2
64 x 8 y 4 z 5 6. 80 x 6 y 8 z 3
(2a b) (6a b )
10.
3
9.
2
3
2 2
x2 x7
8x 5 12 x 2
3.
(− 3a b ) (6ab ) 2
13.
14 x 3 y 2 (x − y ) 4 21xy 2 ( x − y )
17.
x2 − 1 x2 + 4x + 3
18.
x 2 − 11x + 24 x2 − 6x + 9
21.
2x2 + x − 1 3x 2 + 4 x + 1
22.
4x2 + 7 x − 2 4 x 2 + 11x − 3
2
14.
8 x + 16 x 2 16 x 2 + 32 x 3
9x3 24 x 6
⎛ − a 4b5 ⎞ 8. ⎜ 7 ⎟ ⎝ 3ab ⎠
20abc 3 7. − 15a 2 b
4
3x 3 (a + b ) 2 6 x(a + b )
12.
12 x 2 ( x − 2) 3 16 x( x − 2)
15.
2a 2 b − 2ab 2 4a 3 − 4 a 2 b
16.
a 2 − 9b 2 (a + 3b) 2
19.
x 2 − 10 x + 24 x 2 − 3x − 4
3
3 2
4.
3
11.
2
20.
2 x 2 − 11x + 12 4x2 − 9
Respuestas a los ejercicios anteriores 1. x 3 ; 2.
3 1 2 x3 6a 2 4x2 z 2 4c 3 a12 2a 5 ; 3. ; 4. ; 5. ; 6. ; 7. − ; 8. ; 9. x5 3 8x3 7b 2c 5 y4 3a 81b8 9b
3x 1 b a − 3b 3a 4 2x2 x 2 ( a + b) 10. − 3 ; 11. ; 12. ; 13. ; 14. ; 15. ; 16. 2 4b 2 4( x − 2) 3( x − y ) 2x 2a a + 3b 17.
2x − 1 x −1 x −8 x−6 x−4 ; 18. ; 19. ; 20. ; 21. x+3 x−3 x +1 2x + 3 3x + 1
57
2. ADICCIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS.
La adicción de fracciones algebraicas es semejante a la de fracciones aritméticas. Empezaremos tratando la suma de fracciones algebraicas con denominadores iguales, y luego, extenderemos el análisis a la suma de fracciones algebraicas con denominadores distintos.
FRACCIONES CON DENOMINADORES IGUALES.
Se define la suma de fracciones con denominadores iguales mediante la relación. a b a+b + = c c c Esto muestra que la suma de dos fracciones con el mismo denominador es una fracción cuyo numerador es la suma de los numeradores, y cuyo denominador es el denominador común.
Ejemplo
Solución.
Efectuar
3 2 + x x 3 2 3+ 2 5 + = = x x x x
Observación. Para evitar errores al sumar los numeradores, es necesario encerrarlos entre paréntesis, aplicar la ley distributiva y luego efectuar operaciones. Después de combinar las dos fracciones en una sola, se reducen términos semejantes y la nueva fracción a su mínima expresión.
58
Ejemplo
Efectuar
x + x − 3 ( x + 3) + ( x − 3) x + 3 + x − 3 2 x 1 = = = 2 = + x 2x 2 2x 2 2x 2 2x 2 2x
Solución.
Ejemplo
Solución.
Ejemplo
x+ x−3 + 2x 2 2x 2
Efectuar
4 2x + x+2 x+2
4 + 2 x 2(2 + x ) 4 2x = = = 2. + x+2 x+2 x+2 x+2
Efectuar
x2 − 2 x 2 − 2x − x2 + x − 2 x2 + x − 2
Solución.
(x 2 − 2) − (x 2 − 2 x ) = x 2 − 2 − x 2 + 2 x = 2 x − 2 x2 − 2 x 2 − 2x − = x2 + x − 2 x2 + x − 2 x2 + x − 2 x2 + x − 2 x2 + x − 2 =
Ejemplo
Solución.
Efectuar
5 x 2 − 3x x 2 + 9x − 4 x 2 − 11x − 3 4 x 2 − 11x − 3
(x 2 + 9 x ) − (5x 2 − 3x ) = x 2 + 9 x − 5x 2 + 3x 5 x 2 − 3x x 2 + 9x − = 4 x 2 − 11x − 3 4 x 2 − 11x − 3 4 x 2 − 11x − 3 4 x 2 − 11x − 3 =
Observación.
2( x − 1) 2 . = (x + 2)(x − 1) x + 2
12 x − 4 x 2 4 x(3 − x ) − 4 x( x − 3) 4x = = . =− 2 4x + 1 4 x − 11x − 3 (4 x − 1)( x − 3) (4 x + 1)(x − 3)
La regla para sumar fracciones se puede extender a cualquier número de
ellas. a1 a 2 a3 + + +L c c c
+
a n a1 + a 2 a3 a + + +L c c c c
59
a1 + a 2 + a3 + L + a n c
EJERCICIOS 2 1.
6 2 5 + − x x x
2.
7 3 1 − − 2x 2x 2x
3.
20 15 5 − − x2 x2 x2
4.
2x 5 + 3x − 5 3x − 5
5.
x +1 x − x−2 x−2
6.
3x + 2 x − 2 + 2x + 3 2x + 3
7.
14 x 7x − 2 − 7x + 2 7x + 2
8.
2x 2 − x −1 x −1
9.
4 x 2 + 3x x 2 − x + 5x + 2 5x + 2
10.
3x + 1 x +1 − 4x − 2 4x − 2
11.
3x − 4 x − 6 + 2x − 5 2x − 5
12.
x+4 x−4 − 2 2 4 x − 8x 4 x − 8x
2x − 1 3 13. 2 + 2 x − 3x − 4 x − 3x − 4
15.
2 x 2 − 3x x 2 + 3x − 2 x 2 − 11x − 6 2 x 2 − 11x − 6
2x 2 x 14. − 2 2 2 x + 5x − 3 2 x + 5x − 3
16.
x 2 − 3x x2 − x + x 2 − 3x + 2 x 2 − 3x + 2
Respuesta a los ejercicios anteriores 1.
3 2x + 5 1 4x 3 x ; 2. ; 3. 0 ; 4. ; 5. ; 6. ; 7. 1 ; 8. 2 ; 9. x ; 10. x 2x 3x − 5 x−2 2x + 3 2x − 1
11. 2 ; 12.
2 2 2x x x ; 13. ; 14. ; 15. ; 16. x( x − 2) x−4 x+3 2x + 1 x −1
60
3. MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO DE POLINOMIOS.
Para obtener el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de un conjunto de números, se descomponen éstos en sus factores primos y se escriben con sus exponentes respectivos. Luego se toman todas las bases, cada una a su potencia mayor. Definición. Un polinomio p es el mínimo común múltiplo (m.c.m.), de un conjunto de polinomios, si: 1. Cada polinomio del conjunto divide a p y 2. Cualquier polinomio divisible por todos los polinomios del conjunto, es también divisible por p. Para encontrar el m.c.m. de un conjunto de polinomios, se factorizan los polinomios completamente y se toman todos los factores distintos, cada uno a la máxima potencia que aparezca en los polinomios dados. Ejemplo
Determinar el m.c.m. de x2y, xy3 y y2z.
Solución.
Los factores literales son x, y y z.
3, y la de z es 1.
Ejemplo
Solución.
La potencia máxima de x es 2, la de y es
Por consiguiente, m.c.m. = x2y3z.
Hallar el m.c.m. de 60x3, 72y2 y 80xy. 60 = 2 2 ⋅ 3 ⋅ 5
72 = 2 3 ⋅ 3 2 80 = 2 4 ⋅ 5 Por lo tanto, el m.c.m. de los coeficientes = 2 4 ⋅ 3 2 ⋅ 5 = 720. El m.c.m. de los monomios = 720 x 3 y 2 .
Ejemplo
Determinar el m.c.m. de x(-2), (x-3)(x-2) y (x-2)2.
Solución.
Los factores distintos son x, (x-2) y (x-3).
La mayor potencia de x es 1, la de (x-2) es 2, y la de (x-3) es 1. Por consiguiente, m.c.m. = x(x-2)2 (x-3). 61
Obsérvese que el m.c.m. de (x-3) y (x-5) es (x-3)(x-5).
Ejemplo
Encontrar el m.c.m. de x2-x y
x2-1.
Solución.
Primeramente se factoriza cada polinomio completamente. x 2 − x = x( x − 1) x 2 − 1 = ( x + 1)( x − 1) Por lo tanto, m.c.m. =
Ejemplo
x( x − 1)( x + 1) .
Hallar el m.c.m. de 2x2 + 3x-2 y 2x2-7x+3.
Solución. 2 x 2 + 3x − 2 = (2 x − 1)( x + 2) 2 x 2 − 7 x + 3 = (2 x − 1)( x − 3) Entonces, m.c.m. = (2 x − 1)( x + 2 )( x − 3) .
Ejemplo
Obtener el m.c.m. 2 x 2 − 3x + 1 , 1 − x 2 y
2x 2 + x − 1 .
Solución. 2 x 2 − 3x + 1 = (2 x − 1)( x − 1) 1 − x 2 = (1 + x )(1 − x ) 2 x 2 + x − 1 = (2 x − 1)( x + 1)
Puesto que (1 − x ) = −( x − 1) , podemos escribir (1 − x ) como − (x − 1) o bien, (x − 1) como − (1 − x ) .
Reacuérdese que 1 + x = x + 1. Por lo tanto, 2 x 2 − 3x + 1 = (2 x − 1)( x − 1) 1 − x 2 = −( x + 1)( x − 1) 2 x 2 + x − 1 = (2 x − 1)( x + 1)
A si que, m.c.m. = (2 x − 1)( x − 1)( x + 1) .
62
EJERCICIOS 3 1. 8, 12 Y 18
2. x, x2 y 4x
3. 9x, 12x y 4x2
4. xy, xy2, y xy3
5. 4xy, 14xy2 y 8x2y
6. 9xy, 12x3y y 15x2y
7. x( x + 3),4 x 2
y
2( x = 1)
8.
(x − 1)2 , x(x − 1)
9. 2 x − 1,2 x − 3 y (2 x − 1)(2 x − 3)
10. (x + 2 ) , x + 5
11. (3 x + 1)( x + 3) y (3x + 1)
12. x 2 + 1, x + 1,
2
13. (x − 2), x 2 + 4, y x − 2
15. 4 x 2 − 9,12 x − 18, y
y
x 2 ( x − 1)
y
(x + 2)(x + 5)
(x + 1)2
14. x 2 − x, x 3 − x 2 , y 2 x − 2
18 x − 27
17. x 2 − 1, x 2 + 4 x + 3, y x 2 + 2 x − 3
19. 8 x 2 + 6 x − 9,2 x 2 + 15 x + 18, y
20.
2
y
24 x 2 − 7 x − 6,8 x 2 + 11x + 3, y
16. x 2 − 12 x, x 2 − 16 x + 48, y x 2 − 4 x
18. x 2 − 8 x + 12, x 2 − 6 x + 8, y x 2 − 10 x + 24
4 x 2 + 21x − 18
2 − x − 3x 2 .
63
4. FRACCIONES CON DENOMINADORES DISTINTOS.
Las fracciones se pueden sumar solamente cuando sus denominadores son iguales. Si los denominadores no lo son, se obtienen su mínimo común múltiplo, llamado mínimo común denominador, m.c.d. (no confundir con M.C.D. que significa máximo común divisor). Se
cambia cada fracción a una equivalente que tenga el m.c.d. Como denominador mediante la regla,
a ac = y luego se efectúan operaciones. La suma de fracciones algebraicas con b bc
denominadores distintos es, por lo tanto, una fracción cuyo numerador es la suma de los denominadores de las fracciones equivalentes, y cuyo denominador es el mínimo común denominador (m.c.d.). La fracción final debe conducirse a sus términos mínimos. Ejemplo
7 6 2 + 2 − 2x x 3x
Efectuar
Solución. El m.c.d. =6x2. Escribimos fracciones equivalentes con denominador 6x2 y luego se realizan operaciones. 7 6 2 7(3x ) 6(6) 2(2 x ) 7(3x ) 6(6) 2(2 x ) + 2 − = + 2 − = + 2 − 2x x 3x 2 x(3x ) x (6 ) 3x(2 x ) 6 x 2 6x 6x 2
=
Ejemplo
7(3 x ) + 6(6) − 2(2) 21x + 36 − 4 x 17 x + 36 = = . 6x 2 6x 2 6x 2
Efectuar la operación y simplificar
x 2 + x+3 x−2
Solución. El m.c.d. = (x + 3)( x − 2 ) . Al escribir fracciones equivalentes con denominador ( x + 3)( x − 2 ) y efectuar luego la suma, obtenemos. x( x − 2) + 2(x + 3) x 2 − 2 x + 2 x + 6 x( x − 2 ) x 2 2( x + 3) = = = + + (x + 3)(x − 2) (x + 3)(x − 2) x + 3 x − 2 ( x + 3)( x − 2 ) ( x − 2)( x + 3)
=
x+6 . (x + 3)(x − 2) 64
En vez de escribir fracciones equivalentes con denominador igual al m.c.d. y luego combinar los numeradores de las fracciones, escribimos una sola fracción con el m.c.d. como denominador. Se divide el m.c.d. por el denominador de la primera fracción y luego se multiplica el cociente resultante por el numerador de esa fracción para obtener la primera expresión del numerador. Se repite el procedimiento con cada fracción y se relaciona con los resultados mediante los signos de las fracciones correspondientes.
(9 x − 20) − (6 x − 13) = (x + 2)(9 x − 20) − (x + 4)(6 x − 13) (x + 4)(x − 3) (x − 3)(x + 2) (x + 4)(x − 3)(x + 2)
⊗
÷ El numerador no se encuentra factorizado; así no es posible efectuar reducción. Hay que asegurarse de poner el producto entre paréntesis procedió por el signo adecuado.
=
=
(9 x
2
− 2 x − 40) − (6 x 2 + 11x − 52 ) (x + 4)(x − 3)(x + 2)
9 x 2 − 2 x − 40 − 6 x 2 − 11x + 52 (x + 4)(x − 3)(x + 2)
(3x − 4)(x − 3) 3 x 2 − 13 x + 12 = = (x + 4)(x − 3)(x + 2) (x + 4)(x − 3)(x + 2) =
3x − 4 . (x + 4)(x + 2)
65
Efectuar la operación y simplificar.
Ejemplo
3x − 2 5 x+2 − 2 + 2 x − x − 1 2 x + 9 x + 4 4 − 3x − x 2 2
Solución. 3x − 2 5 3x − 2 5 x+2 x+2 = − + − 2 + 2 (2 x + 1)(x − 1) (2 x − 1)(x + 4) (4 + x )(1 − x ) 2 x − x − 1 2 x + 9 x + 4 4 − 3x − x 2
Tomamos el m.c.d. = (2 x + 1)( x − 1)( x + 4 )
=
x+2 3x − 2 5 − + (2 x + 1)(x − 1) (2 x − 1)(x + 4) − (4 + x )(1 − x )
=
x+2 3x − 2 5 − − (2 x + 1)(x − 1) (2 x − 1)(x + 4) (4 + x )(1 − x )
=
(x + 4)(x + 2) − (x − 1)(3x − 2) − 5(2 x + 1) (2 x + 1)(x − 1)(x + 4)
=
=
(x
2
) (
)
+ 6 x + 8 − 3 x 2 − 5 x + 2 − 10 x − 5 (2 x + 1)(x − 1)(x + 4)
x 2 + 6 x + 8 − 3 x 2 + 5 x − 2 − 10 x − 5 (2 x + 1)(x − 1)(x + 4)
(1 + 2 x )(1 − x ) 1 + x − 2x 2 = = (2 x + 1)(x − 1)(x + 4) (2 x + 1)(x − 1)(x + 4) =
− (1 + 2 x )( x − 1) 1 =− . (2 x + 1)(x − 1)(x + 4) x + 4
66
EJERCICIOS 4
Reducir a una sola fracción y simplificar:
1.
3 7 6 − + x 2 x 5x
2.
x 3x 2 x − + y 2y 5y
3.
2 4 6 − 2+ 3x x 5x
4.
3 13 1 + − 2 2 x 3x 2 x
5.
3x + 1 x − 2 + 5x 2x
6.
x−2 x+5 + 4x 10 x
7.
7x − 6 x − 3 − 14 x 7x
8.
x + 3 5x − 1 − 3x 5x2
9. x + 4 +
5 x−2
10.
3 5 + x+3 x−4
11.
3 x + x + 2 2x − 3
12.
1 x + 2x + 3 x − 2
14.
2x 1 − 2x − 1 x + 1
15.
6x x + x −9 x+3
16.
3x x + x +x−2 x+2
13.
2 1 − 2x − 3 x + 1
17.
3x − 8 2 − 2x − 7 x − 4 2x + 1
20.
4x − 4 3 4 − + 2 x −4 x+2 x−2
2
18.
21.
2
7x 18 + 2 x − x − 12 x − 9 2
19.
3x − 2 x+2 − 2 x − 3x − 4 x − 5 x − 4 2
2x − 7 1 x − 11 + 2 − x − 7 x + 12 x + 2 x − 15 x − 4 2
67
2
Respuesta a los ejercicios anteriores
7 x 28 x − 60 15 + 26 x 7 5 5x2 + 3 11x − 8 1. ; 2. − ; 3. ; 4. ; 5. ; 6. ; 7. ; 8. 10 x 10 y 15 x 2 6x2 20 14 15 x 2 10 x
( x + 3)( x + 1) 8x + 3 2x2 + 6 x2 + 3 9. ; 10. ; 11. ; 12. x−2 ( x + 3)( x − 4) ( x + 2)(2 x − 3) (2 x + 3)( x − 2)
13.
5 2x2 + 1 x x x ; 14. ; 15. ; 16. ; 17. (2 x − 3)( x + 1) (2 x − 1)( x + 1) x−3 x −1 (2 x + 1)( x − 4)
18.
7 x − 24 2x 5 2 ; 19. ; 20. ; 21. ( x − 4)( x − 3) ( x + 1)( x − 1) x−2 x+5
5. MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES.
El producto de las fracciones
a b
y
c ac se definió en el capitulo 2 como ; o sea d bd
a c ac × = . b d bd Así que el producto de dos fracciones es una fracción cuyo numerador es el producto de los numeradores, y cuyo denominador es de los denominadores. En general, a1 a 2 a3 a n a1 a 2 a3 a 4 a n ⋅ ⋅ L = ⋅ ⋅ L b1 b2 b3 bn b1b2 b3 b4 bn =
a1 a 2 a3 a 4 a n ⋅ L b1b2 b3 b4 bn
=
a1 a 2 a3 L a n b1b2 b3 L bn
Nota: Redúzcase siempre la fracción resultante a sus mínimos términos.
68
Ejemplo
27a 3 b 2 8x 2 y
Encontrar el producto
16 x 2 y . 81a 2 b 2
y
27a 3b 2 16 x 3 y 27 ⋅ 16a 3 b 2 x 3 y 2ax ⋅ = = 3b 8 x 2 y 81a 2 b 3 8 ⋅ 81x 2 ya 2 b 3
Solución.
Nota: Es más fácil reducir
27 ⋅ 16 432 que , que es el resultado de los productos de los 8 ⋅ 81 648
coeficientes. Es decir, no se puede multiplicar los números hasta que la fracción haya sido simplificada.
(− 3 x y ) ⋅ (4 x y ) . (2 x y ) (9 x y ) (− 3 x y ) ⋅ (4 x y ) = (− 3 x y ) ⋅ (2 (2 x y ) (9 x y ) (2 x y ) (3 2
Ejemplo
Simplificar 2
Solución.
3
2
2
4 3
3 2
3
2
2
3
2 2
3
3 3
4 3
3 2
2
3
3
2 2
3
3 3
4 3
2
2
3 2
2 2
x3 y 2 )
2
x3 y3 )
=
− 36 x 6 y 12 2 4 x 6 y 4 ⋅ 2 6 x 4 y 6 36 x 9 y 9
=
36 ⋅ 2 4 x12 y 16 2 6 ⋅ 36 x13 y 15
=
y 2
2 x
=−
3
.
y 4x
Para multiplicar fracciones cuyos numeradores o denominadores son polinomios, primeramente se factorizan estos completamente. Se consideran las fracciones como una sola, y se dividen los numeradores y denominadores por su máximo factor común para obtener una fracción equivalente ya reducida.
Ejemplo
Simplificar
6x 2 + x − 1 x 2 − 3x ⋅ . 2 x 2 + 11x + 5 3x 2 − 10 x + 3 1
Solución.
1
1
(3x − 1)(2 x + 1) = x . x(x − 3) 6x 2 + x − 1 x 2 − 3x = ⋅ ⋅ 2 2 2 x + 11x + 5 3x − 10 x + 3 (2 x + 1)( x + 5) ( x − 3)(3 x − 1) x + 5 1
69
1
1
EJERCICIOS 5
Efectué las siguientes multiplicaciones y simplifique: 36 39 20 ⋅ ⋅ 65 32 27
1.
(4 x y ) ⋅ (3x y ) (9 xy ) (2 x y ) 2
7.
2 3
3.
35 x 3 y 26a 5b3 16 xy8 5. ⋅ ⋅ 39a 3b 60 x8 y 6 28a 7b 2
4a 2 b 3 7 x 2 y 8 4. ⋅ 21x 2 y 4 a 3b 6 2
64 58 15 ⋅ ⋅ 87 125 128
2.
(6 x y ) ⋅ (− 5xy ) (10 xy ) (3x y )
3 3
2
3
3
3
8.
2 3
⎛ − x2 6. ⎜⎜ 2 ⎝ y
2 2
4 2
2
3 4
9x 2 2 y 2 ⋅ 4y3 x
9.
3
⎞ ⎛− y⎞ ⎟⎟ ⎜ 3 ⎟ ⎠ ⎝ x ⎠
2
6 x 3 − 30 x 3 x 2 + x ⋅ 6 x 2 + 2 x 4 x 2 − 20
10.
x 2 − 2x + 1 x2 y4 ⋅ x4 y3 x 2 + 2x − 3
11.
x 2 + 6 x + 9 x 2 + 9 x + 20 ⋅ x 2 + 7 x + 12 x 2 + 8 x + 15
12.
x 2 − 10 x + 21 x 2 − 10 x + 16 ⋅ x 2 − 9 x + 14 x 2 + 2 x − 15
13.
x 2 + 20 − 9 x x 2 + 42 − 13x ⋅ x 2 + 40 − 13 x x 2 + 28 − 11x
14.
7 x 2 − 36 xy + 5 y 2 3x 2 + 7 xy − 6 y 2 ⋅ 7 x 2 + 20 xy − 3 y 2 3x 2 − 19 xy + 20 y 2
Respuesta a los ejercicios anteriores
1.
1 ; 2
8.
2x ; 3
2.
1 ; 25
9.
3.
9x ; 2y
4.
4 y4 ; 3ab3
5.
2 y3 ; 9a 5 x 4
6. −
1 ; y4
7.
4 xy 3 27
3x y ( x − 1) 3x − 2 y x −8 x−6 ; 10. 2 ; 11. 1 ; 12. ; 13. ; 14. 4 x ( x + 3) x+5 x −8 3x − 4 y
70
6. DIVISIÓN DE FRACCIONES
De la definición de división de fracciones, considerada en el capitulo 2, tenemos que a c a d ÷ = ⋅ . b d b c El resultado anterior muestra como transformar la división de fracciones en una multiplicación de fracciones. c d y se llaman inversas multiplicativas o reciprocas. d c
Las fracciones
Nota: La reciproca de la expresión a + b es 1 1 + es a b
La reciproca de
1 1 1 + a b
1
1 1 + a b
o en forma simplificada,
ab 1 1 ab + a b
=
Ejemplo
Solución. Nota:
1
1 1 1 , no + . a+b a b
⋅
=
ab . b+a
ab ab ab = = ab ⎛ 1 1 ⎞ ab ab b + a + ⎜ + ⎟ a b 1 ⎝a b⎠
3a 3 9a 2 ÷ . 5b 2 20b
Simplificar
3a 3 9a 2 3a 3 20b 4a ÷ = × = 5b 2 20b 5b 2 9a 2 3b
Obsérvese la diferencia entre
a c e a d e ade ÷ ⋅ = ⋅ ⋅ = b d f b c f bcf
y
a ⎛ c e ⎞ a ce a df adf = ⋅ = ÷⎜ ⋅ ⎟ = ÷ . b ⎜⎝ d f ⎟⎠ b df b ce bce
8 x 2 + 2 x − 3 12 x 2 − 20 x + 7 ÷ . 4 x 2 − 17 x − 15 6 x 2 − 37 x + 35
Ejemplo
Simplificar
Solución.
8 x 2 + 2 x − 3 12 x 2 − 20 x + 7 (2 x − 1)(4 x + 3) (2 x − 1)(6 x − 7 ) = ÷ ÷ 4 x 2 − 17 x − 15 6 x 2 − 37 x + 35 (4 x + 3)( x − 5) ( x − 5)(6 x − 7 ) 1
=
1
1
1
( 2 x − 1)( 4 x + 3) ⋅ ( x − 5) ( 6 x − 7 ) = 1 ( 4 x + 3)( x − 5) (2 x − 1) ( 6 x − 7 ) 1
1
1
71
1
Ejemplo
24 x 2 + 49 x − 40 36 x 2 + 63x − 88 72 x 2 + 18 x − 77 ÷ × 54 x 2 + 51x − 14 27 x 2 + 30 x − 8 8 x 2 − 37 x + 20 Solución: 24 x 2 + 49 x − 40 36 x 2 + 63x − 88 72 x 2 + 18 x − 77 ÷ × 54 x 2 + 51x − 14 27 x 2 + 30 x − 8 8 x 2 − 37 x + 20 Es mejor ponerla toda como un producto
=
(8 x − 5)(3x + 8) (3x + 4)(9 x − 2) (6 x + 7)(12 x − 11) × × (6 x + 7)(9 x − 2) (12 x − 11)(3x + 8) (8 x − 5)( x − 4)
=
3x + 4 x−4
EJERCICIOS
1.
15 45 ÷ 26 39
2.
6a 2b3 15a 4b 5. 2 6 ÷ 8 x y 12 xy 3
8.
14a 2 4b 2 b6 ÷ × 25b3 10a a 3
11.
56 63 27 ÷ × 38 57 16
3.
10 x 2 4 x 3 ÷ 9 y 27 y 2
4 a 2 b 4 8a 4 b 9 6. ÷ 9 x 4 y 2 27 x3 y 6
9.
10.
12.
72
17a 2b3 51a 3b ÷ 26 x 2 13x 4
x 3 y a 4b3 b 2 7. 2 × 2 2 ÷ 2 ab x y y
4 x3 x2 ÷ 3x2 − 3xy x2 − y 2
x2 + 9 x2 − 6 x − 27 ÷ x2 + 2 x − 3 x2 −10 x + 9
4.
x3 + x x3 − x 2 ÷ x2 − x x2 − 2x + 1
x2 + 2x − 8 x2 − 4 x + 4 ÷ x 2 − 3x − 4 x 2 − 6 x + 8
x2 − 4 x − 12 x2 + 10 x + 6 ÷ 13. 2 x − 7 x + 6 x2 + 7 x − 8
15.
x2 − 3x + 2 x2 + 6 x + 16 ÷ 14. 2 x − 5x + 4 x2 + x − 20
12 x2 − 35x + 18 6 x2 − 23x − 18 4 x2 − 19 x + 12 ÷ × 2 x2 − 17 x + 36 6 x2 − 19 x − 36 12 x2 − 11x − 36
Respuesta e los ejercicios anteriores
1. 1 ; 2
9 15 y 3y4 7b b2 x 2 3b 2 2. ; 3. ; 4. ; 5. ; 6. ; 7. a2 xy ; 8. 2 5 2 3 4 2x 2a b x 5 6a 5 a xy
4( x + y) 9. ; 3 15.
x2 + 1 10. ; x2
x2 + 9 11. ; ( x + 3)2
12.
x+4 ; x +1
13. 1;
14.
x+5 ; x +8
(3x − 2)(4 x − 3) (2 x − 9)(3x + 2)
7. OPERACIONES COMBINADAS Y FRACCIONES COMPLEJAS.
En las secciones anteriores tratamos la adición y sustracción de fracciones, así como su multiplicación y división. En todos los casos la respuesta final fue una fracción en forma reducida. En esta sección se usaran las cuatro operaciones en un solo problema y también se requerirá que la respuesta final sea una fracción reducida. Cuando no hay símbolos de agrupación en el problema, primero se efectuaran las multiplicaciones y divisiones en el orden en que aparecen. Solamente después de que todas las multiplicaciones y divisiones se han realizado, se efectúan las adiciones y sustracciones. Ejemplo Efectuar las operaciones indicadas y simplificar:
5 2x + 6 2x 2 + 5x − 3 − ÷ 2 x + 1 x 2 − 4 x + 3 2 x 2 − 3x + 1
73
Solución.
(2 x − 1)(x + 3) 5 2x + 6 2x 2 + 5x − 3 5 2( x + 3) = − ÷ − 2 ÷ 2 2 x + 1 x − 4 x + 3 2 x − 3 x + 1 2 x + 1 ( x − 3)( x − 1) (2 x − 1)( x − 1) 1
=
1
(2 x − 1)(x + 3) 5 2( x + 3) − ÷ 2 x + 1 ( x − 3)( x − 1) (2 x − 1)( x − 1) 1
=
1
1
1
x − 17 5 2 5( x − 3) − 2(2 x + 1) 5 x − 15 − 4 x − 2 = . = − = (2 x + 1)(x − 3) (2 x + 1)(x − 3) (2 x + 1)(x − 3) 2x + 1 x − 3
Cuando hay símbolos de agrupación, como en el problema 4 x ⎞⎛ 12 ⎞ ⎛ ⎜x − ⎟⎜ 3 + ⎟ x + 2 ⎠⎝ x −2⎠ ⎝ se tiene la opción de efectuar primero la multiplicación o bien las operaciones de los términos, dentro de los paréntesis. Este último es mas sencillo como se ilustra en los ejemplos siguientes:
Ejemplo Realizar las operaciones indicadas y simplificar:
4 x ⎞⎛ 12 ⎞ ⎛ ⎜x − ⎟⎜ 3 + ⎟ x + 2 ⎠⎝ x −2⎠ ⎝ Solución. 4 x ⎞⎛ 12 ⎞ x( x + 2 ) − 4 x 3( x − 2) + 12 x 2 + 2 x − 4 x 3 x − 6 + 12 ⎛ x − 3 + ⋅ = ⋅ ⎜ ⎟⎜ ⎟= (x + 2) (x − 2) (x − 2) x + 2 ⎠⎝ x −2⎠ ( x + 2) ⎝ =
x 2 − 2 x 3 x + 6 x( x − 2 ) 3( x + 2 ) ⋅ = ⋅ = 3x . (x + 2) (x − 2) (x + 2) x − 2
Ejemplo Realizar las operaciones indicadas y simplificar:
9 ⎞ ⎛ 9 ⎞ ⎛ ⎜x − ⎟+⎜x+ ⎟ 2x − 3 ⎠ ⎝ 2x + 9 ⎠ ⎝
74
Solución. 9 ⎞ ⎛ 9 ⎞ x(2 x − 3) − 9 x(2 x + 9) + 9 ⎛ ÷ ⎜x − ⎟+⎜x+ ⎟= (2 x − 3) (2 x + 9) 2x − 3 ⎠ ⎝ 2x + 9 ⎠ ⎝ =
(2 x + 9) = (x − 3)(2 x + 9) 2 x 2 − 3x − 9 2 x 2 + 9 x + 9 (2 x + 3)( x − 3) ÷ = ⋅ (2 x − 3) (2 x + 9) (2 x − 3) (2 x + 3)(x + 3) (2 x + 3)(x + 3)
Nota: Puesto que (a + b ) ÷ (c + d ) se puede escribir como
a+b , podemos c+d
11 6 3− + 2 11 6 4 4 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ x x la cual se llama fracción expresar ⎜ 3 − + 2 ⎟ ÷ ⎜ 3 + − 2 ⎟ en la forma 4 4 x x ⎠ ⎝ x x ⎠ ⎝ 3+ − 2 x x
compleja.
Dada una fracción compleja, es posible simplificar el problema como está, en forma de fracción, o escribirlo en forma de división, y simplificar. A veces puede simplificarse fácilmente una fracción compleja multiplicando numerador y denominador por el mínimo común múltiplo de todos los denominadores que intervienen.
Ejemplo
Simplificar
4 3 − 9 8 . 7 11 − 12 18
Solución. 72 ⎛ 4 3 ⎞ 4 3 ⎜ − ⎟ − 9 8 = 1 ⎝ 9 8 ⎠ = 32 − 27 = 5 = − 5 7 11 72 ⎛ 7 11 ⎞ 42 − 44 − 2 2 − ⎜ − ⎟ 12 18 1 ⎝ 12 18 ⎠ 13 3x + 1 12 3x + 2 + 3x − 5 x−5+
Ejemplo
Simplificar
75
Solución.
(3x + 1)(3x − 5) ⎡(x − 5) + 13 ⎤ 13 ⎢ (3x − 5)[(3x + 1)(x − 5) + 13] 1 3 x + 1⎥⎦ ⎣ 3x + 1 = 12 (3x + 1)(3 x − 5) ⎡ 3x + 2 + (3x + 2) + 12 ⎤⎥ (3x + 1)[(3x − 5)(3x + 2) + 12] ⎢ 3x − 5 1 3x − 5 ⎦ ⎣ x−5+
(3x − 5)[3x 2 − 14 x − 5 + 13] = (3x − 5)(3x 2 − 14 x + 8) = (3x − 5)(3x − 2)(x − 4) = (3x − 5)(x − 4) (3x + 1)[9 x 2 − 9 x − 10 + 12] (3x + 1)(9 x 2 − 9 x + 2) (3x + 1)(3x − 2)(3x − 1) (3x + 1)(3x − 1)
EJERCICIOS 7
2 3x + 3 x2 + x − 2 + 2 ⋅ x + 3 x − 2x − 8 x2 −1
1.
2.
3x + 12 x x + 8 x + 16 + 2 + 2 2 x − 3 x − 4 x − 12 x + 6 x + 8
x ⎛ 1⎞ 3. ⎜1 − ⎟ ⋅ 2 ⎝ x ⎠ x −1
⎛ 4. ⎜ 6 + ⎝
2⎞ x ⎟⋅ 2 x ⎠ 9x − 1
4 ⎞⎛ 2 ⎞ ⎛ 6. ⎜ x − ⎟⎜1 + ⎟ x ⎠⎝ x −2⎠ ⎝
4 ⎞⎛ 2x ⎞ ⎛ 7. ⎜ 3x − ⎟⎜ x − ⎟ 3x ⎠⎝ 3x + 2 ⎠ ⎝
1 ⎞⎛ 1 ⎞ ⎛ 5. ⎜ 3 + ⎟⎜1 − ⎟ x ⎠⎝ 3x + 1 ⎠ ⎝ 1 ⎞⎛ 1 ⎞ ⎛ 8. ⎜ x − ⎟⎜ x − ⎟ 2 x − 1 ⎠⎝ 2x + 1 ⎠ ⎝
3 ⎞⎛ 9 ⎞ ⎛ 9. ⎜ x − 1 − ⎟⎜ 2 x + 5 + ⎟ x + 1 ⎠⎝ x −2⎠ ⎝
1 ⎞ ⎛ x 4 ⎞⎛ 1 + 10. ⎜ − ⎟⎜ ⎟ ⎝ 4 x ⎠⎝ x + 4 x − 4 ⎠
3 ⎞ ⎛ 9 ⎞ ⎛ 11. ⎜ 2 − ⎟ ÷ ⎜7 − ⎟ 2x + 1 ⎠ ⎝ 2x + 1 ⎠ ⎝
12.
3 1 − 13. 4 2 2 1− 3
11 ⎞ ⎛ 33 ⎞ ⎛ ⎜ 3x − 4 + ⎟ ÷ ⎜ 3x − 10 + ⎟ 2x + 3 ⎠ ⎝ 2x + 3 ⎠ ⎝
12 1 − −1 2 x 15. x 11 3 4− − 2 x x
7 3 − 14. 8 4 1 1 + 36 18
Respuesta a los ejercicios impares anteriores: 1.
5x + 1 ; ( x + 3)( x − 4)
11.
4x −1 ; 14 x − 2
13.
3.
3 ; 4
1 ; x +1
15. −
5. 3 ;
7. x(3 x − 2) ;
x+4 4x +1
76
9. ( x + 2)(2 x − 1)
UNIDAD III EXPONENTES Y RADICALES 1. LEYES DE LOS EXPONENTES
Sea
an = a . a . a … a ( n factores)
La cantidad an es llamada la n-ésima potencia de la base a, y n es llamado el
exponente. En este capitulo extenderemos la definición de exponentes para incluir a todos los números racionales. Antes de pasar a nuevos exponentes, sin embargo enunciamos cinco leyes de los exponentes y demostrado que tales leyes son validas para los exponentes enteros positivos. La base a y b en el enunciado de las leyes pueden ser cualquier números reales para los cuales no se anule ninguno de los denominadores en consideración. Las demostraciones de las leyes I y II están dadas en la unidad 1. Ley I aman = am+ n
Ley II
am = a m− n n a
=
Si m > n
= 1
Si m = n
1
Si m< n
a n−m
Ley III
(am)n = amn
Demostración.
Por definición, (am)n significa am tomando n veces como factor.
Pero cada am tiene a a como factor m veces repetido. Por tanto, aparece a, en total, mn veces repetido como factor del producto, dando así ambm. 77
Ley IV
(ab)m = ambm Demostración. Por definición (ab)m significa el producto obtenido tomando ab como factor m veces repetido. Por tanto, el factor a ocurre m veces y el factor b ocurre m veces. Por los axiomas de conmutatividad y asociatividad podemos reordenar los factores de tal modo que todos los factores a aparezcan inicialmente y todos los factores b sigan. Así podemos escribir (ab)m =ambm. Ley V
(a/b)m = am / bm Si b ≠ 0
Demostración. Por definición ( ab)m significa el producto de m factores iguales a la fracción a/b. Recordando la definición que dimos para el producto de fracciones, tenemos
am como numerador de él producto de las fracciones y bm como denominador de tal producto. Ejemplos. (a2)3 = a2. 3 =a6 ⎛ x2 ⎜ ⎜2 ⎝ y
(4a)3 = 43 a3 = 64a3
( )
⎞ x2 4 x8 ⎟= = ⎟ (2 )4 16 y 4 y ⎠
2 n+2 x 2m = 22 x m = 4x m n m 2 x
2. EXPONENTES ENTEROS NEGATIVOS Y CERO
Hemos definido los exponentes enteros exponentes que se aplican a ellos.
positivo y establecido cinco leyes de
Nuestro siguiente paso es el extender la idea de
exponentes para incluir al cero y a los enteros negativos. Los nuevos exponentes se definen de modo tal que satisfagan las cinco leyes de exponentes. Primero determinaremos qué significado hay que darle al símbolo a0. Si la Ley II ha de ser válida cuando m = n, tenemos
an = a n−n = a 0 an
(a ≠ 0 )
78
Esta división nos dará, de acuerdo con la Ley II, un exponente nulo. Pero cualquier número distinto de cero dividido por sí mismo tiene como cociente a 1. Esto nos conduce a definir el exponente cero de la siguiente manera: Definición 7-1.Si a es un número no nulo, entonces
a0 = 1 A continuación, y de manera semejante, determinamos el significado que ha de darse a -n
a
cuando –n es un entero negativo. Si la Ley I ha de ser válida cuando m = -n, entonces
a-n a n = a0 =1 Dividiendo ambos miembros de esta ecuación por an, tenemos
a −n =
1 an
(a ≠ 0 )
De este modo hacemos la siguiente definición. Definición 7-2. Si n es un entero positivo y a ≠ 0, entonces
a −n =
1 an
Las definiciones de a0 y a-n ha sido consecuencia de las leyes de los exponentes. De haberse dado las definiciones sin referencia a dichas leyes hubiera sido fácil verificar que satisfacen a las leyes de los exponentes. EJEMPLOS.
(− 3)2 (− 3)−2 = (− 3)0 = 1 ⎛a⎞ ⎜ ⎟ ⎝b⎠
−3
⎛b⎞ =⎜ ⎟ ⎝a⎠
a 5 a −3 = a 5 − 3 = a 2
ax −2 ay 5 = by −5 bx 2
3
Como lo ilustra la última ecuación, se puede pasar un factor del numerador al denominador o viceversa, si se altera el signo del exponente de dicho factor. Sin embargo, los sumandos del numerador o del denominador no puede manejarse de esta manera. Así por ejemplo,
79
1 1 x2 y2 = = 2 1 1 x −2 + y −2 x + y2 + x2 y2 que no es igual a x2+ y2.
EJERCICIOS
Encuentre el valor de cada una de las expresiones, usando las leyes de los exponentes. 1. 22 . 23
2.
(23)2
3. 4-1
4. (- 4)0
5.
(2a)0
6.
3-3
7. 52 . 5-3
8.
(52)-2
9.
(2 . 3)-2
10. (4-2)-2
11. (-3)-2
⎛1⎞ 13. ⎜ ⎟ ⎝7⎠
−1
⎛2⎞ 14. ⎜ ⎟ ⎝3⎠
12. (3 . 8)0
−1
15. (2 . 70)-4
Simplifique cada expresión realizando las operaciones indicadas y dejando el resultado sin exponentes negativos o nulos. 16. (2xy)-2(3xy3)
17. (x2y-2)-1(x3y0)2
18. (a b-3)(a-1b-1)-1
a −2 b −1 19. − 2 − 2 a b
3 −1 a −2 b 2 20. 2 −1 a − 4 b
5 −2 a 2 b 3 21. −1 0 − 2 10 a b
2
⎛ 7x3 ⎞ ⎛ z ⎞ ⎟⎟ ⎜ 2 ⎟ 22. ⎜⎜ ⎝ 3 yz ⎠ ⎝ 7 x ⎠ ⎛ p −3 q −2 25. ⎜⎜ 0 −1 ⎝ 2 r
⎞ ⎟⎟ ⎠
−2
2
23.
(8x y ) (4 x y ) 4
5 3
3
6 3
⎛ p2q 4 26. ⎜⎜ −1 ⎝ pq
⎞ ⎟⎟ ⎠
(10 xy ) (5 x y )
3 2
24.
−3
2
⎛ p 3q 0 27. ⎜⎜ 2 ⎝ r
3
⎞ ⎟⎟ ⎠
−1
28.
2 −1 + 3 −1 2 −1
29.
2 −1 + 1−1 2 −1 − 1−1
30.
3 −1 − 5 −1 3 −1
31.
x −2 y −2 x −1 + y −1
32.
y −2 x −2 − y −2
33.
x −2 + y −2 ( xy ) −2
80
Solución a los ejercicios impares anteriores:
1 ; 4
1. 32 ;
3.
19. b ;
21.
5. 1 ;
2a 2b 5 ; 5
7. 23.
1 ; 5
8x 3 ; y3
9.
1 ; 36
25.
11.
1 ; 9
p6q4 ; r2
27.
1 ; 16
13. 7 ;
15.
r2 ; p3
29. −3 ;
17. x 4 y 2 31.
1 xy + x 2 y 2
33. x 2 + y 2
3. EXPONENTES FRACCIONARIOS
En esta sección vamos a extender la idea de exponentes para incluir todos los números racionales.
Sin embargo, antes de introducir los exponentes fraccionarios, necesitamos
considerar la siguiente definición.
Definición 7-3.
Si a y b son dos números tales que la n-ésima potencia de a
(siendo n un entero positivo) es igual a b, entonces a es llamada la n-ésima raíz de
b. De acuerdo con esta definición, las ecuaciones 22 = 4,
(-2)2 = 4,
33 = 27,
(-3)3 = -27
muestran que +2 y - 2 son raíces cuadradas de 4, que 3 es una raíz cúbica de 27. Puesto que cuatro tiene dos raíces cuadradas, podría uno preguntarse cuántas raíces
n-ésimas
tiene un número. Aunque la demostración aparece posteriormente, enunciamos ahora que todo número no nulo tiene dos raíces cuadradas, tres raíces cúbicas, cuatro raíces cuartas, a y así sucesivamente. Pero algunas de estas raíces se refieren a un nuevo sistema numérico. Este nuevo sistema numérico, que introduciremos después, no es naturalmente el sistema de
81
los números reales. Vemos de inmediato que un numero negativo no tiene raíz real de orden par (cuadrada, cuarta, sexta y así sucesivamente). Esto es cierto porque cualquier potencia par de un nuecero positivo o negativo es número positivo. ahora deseamos concentrar nuestra atención solamente en los números reales. Diferiremos para después, por tanto, la consideración de números y raíces de números que son reales. En lo que se refiere a las raíces de los números, escribimos los siguientes enunciados, pero sin demostración: 1. Un numero positivo tiene exactamente dos raíces pares reales, siendo una de ellas positiva y la otra negativa. 2. Un número positivo o negativo tiene exactamente una raíz de orden impar, siendo el signo de la raíz igual al signo del número. 3. Un número negativo no tiene raíces reales de orden par. Si n es un número entero positivo, par, la raíz positiva n-ésima principal de a. Cuando n es impar, la raíz n-ésima real de un numero positivo o negativo a es llamada la raíz n-ésima principal. La raíz n-ésima principal de un numero se denota por símbolo
n
n
a . El
a es llamado un radical, a es llamado el radicando y n es llamado el índice,
u orden del radical. Estamos excluyendo de nuestra consideración el caso en que el radicando es negativo y el índice es un número par. Tenemos a continuación algunos ejemplos de raíces principales 36 = 6,
3
8 = 2,
4
81 = 3,
5
− 32 = −2
Observamos que -6 es raíz cuadrada de 36 y de -3 es una raíz cuarta de 81, pero ninguna es raíz principal. El negativo de la n-ésima raíz principal de un numero a se denota por − n a . Por tanto, − 4 81 = −3 .
82
Estamos ahora en posición de de considerar exponentes de la forma m/n, donde m es un entero positivo o negativo y n es un entero positivo. Tomamos en primer lugar m = 1 y buscamos una interpretación de a 1
n
. Si la Ley III ha de ser valida, tenemos
(a )
1n n
= an n = a
En esta ecuación muestra la n-ésima potencia de de a 1 n es igual a a, o bien, que a 1 n es una n-ésima raíz de a. Especificando esta raíz como la
n-ésima raíz principal de a,
tenemos por definición
(a )
1n n
=n a
En esta definición a puede ser cualquier numero real cuando n es impar, pero excluimos los valores negativos de a cuando n es par. Aplicando la Ley III nuevamente, con el entero m ≠ 1, tenemos
a m n = (a m )
1n
= n am
y, además,
a m n = (a 1 n ) = m
( a)
m
n
Resumiendo, tenemos la siguiente definición: Si m/n es un número racional con n positivo, entonces
Definición 7-4.
am n = n am = La forma significa la
n
am
significa la
( a) n
m
n-ésima raíz principal de am, y la forma
m-ésima potencia de la raíz n-ésima
principal de a.
( a) n
m
En cada forma el
denominador n del exponente indica una raíz y el numerador m indica una potencia. Sin embargo, nuevamente notamos, que n representa aquí a cualquier entero positivo y m representa a cualquier entero positivo o negativo. Iniciamos nuestro estudio de exponentes definiendo exponentes enteros positivos y estableciendo las cinco leyes de operación. Extendemos entonces las definiciones para incluir a todos los números racionales. Aunque demostraciones completas de las leyes de los exponentes se hicieron tan solo para los exponentes enteros de positivos, es puede demostrar que las leyes son validas para todos los exponentes racionales.
83
Suponiendo que la Ley III es valida para los exponentes racionales, podemos demostrar que un exponente fraccionario puede reducirse a términos mínimos. Así si m, n y c son enteros, n y c son no nulos, tenemos
a cm cn = (a m n )
cc
82 3 =
Ejemplo 1.
( 8) 3
2
= am n
2
= 22 = 4
8 2 3 = 3 8 = 3 64 = 4 .
Ejemplo 2.
81−3 4 =
1
=
( 81) 4
3
1 1 = . 3 27 3
Ejemplo 3.
(− 32)3 5 = (5
− 32
)
3
= (− 2) = −8 . 3
Ejemplo 4.
(x
53
y 3 4 )(x1 3 y 5 4 ) = x 5 3+1 3 y 3 4+ 5 4 = x 2 y 2 .
Ejemplo 5.
⎛ 4 a −4 3 ⎜⎜ 2 3 − 2 ⎝b c
⎞ ⎟⎟ ⎠
−1 2
=
4 −1 2 a 2 3 a 2 3b1 3 = . 2c b −1 3 c
EJERCICIOS
Encuentre el valor de cada expresión. 1. 16 −1 2
⎛ 8 ⎞ 4. ⎜ ⎟ ⎝ 27 ⎠
3. 64 −1 3
2. 4 5 2 23
7. (− 32)
45
⎛4⎞ 5. ⎜ ⎟ ⎝9⎠
−3 2
⎛ 16 ⎞ 6. ⎜ ⎟ ⎝ 81 ⎠
( )
8. 51 4
(
−4
9. 5 −1 4
84
14
)
−4
Simplifique cada expresión, dejando los resultados libres de exponentes negativos o nulos. 10. x 2 3 x 4 3
11. x 4 5 x −3 5
12. x −2 3 x −4 3
13. 5 3 2 ÷ 5 2 3
14. x1 4 ÷ x1 6
15. x 2 y −1
(
16. 2 y −5 8
)
(
−4
17. x −1 y −3 4
(
)
−4
⎛ x1 2 y −3 5 ⎞ 20. ⎜ 0 −2 5 ⎟ ⎝ x y ⎠
271 3 a 3 4 b 2 3 19. 161 2 a −1 4 b1 2
18.
−5
)
−1
93/ 2 a −1b3/ 2 45/ 2 a −5/ 2b1/ 2
4 3 2 x1 2 y 2 3 21. 1 3 −1 3 5 3 8 x y
Respuesta a los ejercicios impares anteriores 1.
1 ; 4
3.
17. x 4 y 3 ;
1 ; 4 19.
5.
27 ; 8
3ab1/ 6 ; 4
7. 16 ;
21.
11. x1/ 5 ;
9. 5 ;
13. 55/ 6 ;
15.
y ; x2
4x 5/ 6 y
4. LEYES DE LOS RADICALES
De los reyes de los exponentes pueden obtenerse ciertas leyes útiles de radicales. Damos aquí una lista de 6 leyes para radicales que son consecuencia inmediata de las leyes correspondientes para exponentes, que aparecen en la columna de la derecha. en estas formulas imponemos la restricción de que c, m y n sean enteros positivos, e imponemos la restricción d que a y b, sean tales que no se anule dominador alguno y tales que ningún radical de orden par tenga radicándoos positivos. I.
II.
n
n
an =
( a) n
n
ab = n a n b
=a
(a )
= a1 n
(ab )1 n
= a 1 n b1 n
n 1n
85
( )
n
=a
III.
n
a = b
n
a
n
b
⎛a⎞ ⎜ ⎟ ⎝b⎠
m
(a )
1m 1n
a = nm a
q
VI. n a m a p =
=
nq
a1 n b1 n
a cm cn = a m n
IV. cn a cm = n a m
V. n
1n
= a 1 mn
a m n a p q = a (mq + np ) / nq
a mq + np
Estas leyes pueden emplearse para hacer cambios necesarios en los radicales, de los cuales los más comunes son: 1. Remover factores del radicando. 2. Remover el denominador de un radicando. 3. Expresar un radical dentro de un signo radical. 4. Incluir a un factor dentro de un signo radical. Un radical se dice que esta en su forma más simple cuando se han llevado a cabo, y hasta donde es posible, las operaciones 1,2 y 3. La operación 2 es llamada racionalizando
el denominador. En los ejemplos ilustrativos y ejercicios siguientes, supondremos que todos los números literales son positivos. Ejemplo 1. Simplifiquemos los radicales
75a 3 b 2 y
3
8( x + y ) . 7
Solución, 75a 3 b 2 = 25a 2 b 2 (3a ) = 3
(5ab )2 (3a ) = 5ab
8( x + y ) = 3 2 3 ( x + y ) ( x + y ) = 2( x + y ) 7
6
Ejemplo 2. Racionalicemos los denominadores de
86
23
3a
x+ y.
2 5
y
3
b 2x 2
Solución, 2 10 10 10 1 = = = = 10 5 25 5 5 25 3
Ejemplo 3.
4bx 3 4bx 3 4bx 1 3 b 3 = = = = 4bx . 2 3 3 2x 2x 2x 8x 8x 3
Reduzcamos el orden de los radicales 25a 2
4
y
6
8x 3 y 9
Solución, 4
6
Ejemplo
4.
25a 2 = 4 (5a ) = 5a 2
(
8 x 3 y 9 = 6 2 xy 3
)
3
= 2 xy 3 = y 2 xy .
Incluyamos el coeficiente de 2x 1 −
1 , 4x 2
con la potencia apropiada, dentro del signo radical.
Solución. 2x 1 −
1 1 ⎞ ⎛ = 4 x 2 ⎜1 − 2 ⎟ = 4 x 2−1 . 2 4x ⎝ 4x ⎠
EJERCICIOS
Exprese cada uno de los siguientes radicales en su forma más simple. 1. 4. 7.
3
12
2.
3
− 16
3.
48 x 2 y 4
5.
3
64 x 4 y 5
6.
4
32 x 4 y 5
2 3
8.
3 5a
9.
3
8 9
87
20a 4 b 2
10.
3
−
3 4
11.
4
2 27
12.
13.
3
2x 3y
14.
3
− 2x 4 9y4
15.
4
b 4c 3
16.
4
3 8a 3
17.
4
9
18.
4
81x 4
19.
6
8x6 y9
20.
81x8 y 4
21.
4
9 x2
6
2 3x 3
Dando el coeficiente el exponente apropiado, inclúyalo dentro del signo radical. 23.
2 3
24. 2x y
26.
3a 2 x 5 ; x 2 9a
27.
a 3b3 b a
25. 2 x
4− x 4 x2
28. 2a
1 1 − 4 a2
Emplee las leyes de radicales adecuadas para expresar cada uno de los radicales repetidos como un radical único. 29.
3
3
30.
3
a3
31. 2 3 16
Respuesta a los ejercicios impares anteriores:
1. 2 3 ; 13.
3. 2a 2b 5 ; 5. 4 xy 3 xy 2 ;
1 3 18 xy 2 ; 3y
23. 12 ;
25.
15.
1 4 4bc ; 2c
4− x ;
27.
17.
3ab ;
7.
1 6; 3
88
23 3; 3
19. xy 2 y ;
3;
29.
9.
6
3 ;
31. 2 6 2
11.
14 6; 3
21.
1 3x x
5. ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE RADICALES
Radicales del mismo orden y mismo radicando son llamados radicales semejantes. Una suma algebraica de radicales semejantes puede ser expresada como un radical sencillo usando la ley distributiva.
Radicales no semejantes se transforman en radicales
equivalentes que son semejantes mediante las simplificaciones pertinentes. Radicales que no se pueden expresar como radicales semejantes pueden sumarse interponiendo entre ellos un signo de ( + ), pero su suma no puede escribirse como un radical único.
Ejemplo 1. 2 18 − 6
1 4 2 4 2 + 4 = 2 (9)(2) − 6 = 2 2 4 = 6 2 −3 2 + 2 =4 2.
Ejemplo 2. 3
2a 4 − 33 16a − 2a = a 3 2a − 63 2a − 2a
= (a − 6)3 2a − 2a , Los radicales no semejantes
3
2a
y
2a no pueden combinarse en un radical
único. Ejemplo 3.
a b 1 1 ⎛1 1⎞ ab − ab = ⎜ − ⎟ ab . − = b a b a ⎝b a⎠
89
EJERCICIOS
Simplifique los radicales en cada uno de los siguientes problemas y combine entonces todos los radicales semejantes.
1.
50 − 32 + 18
2.
75 − 27 − 12
3.
4.
20 + 2 75 − 4 12
5.
50 + 63 28
6.
7.
1 1 −3 + 12 3 27
8. 3
10.
3
12. 14.
3
5 3 +5 − 60 3 5
28 + 3 63 − 112 1 1 +2 2− 2 8
9. 2 3 16 + 3 54 + 3 50
16 + 3 81 + 3 54
11.
8 x 3 − 3 18 x + 2 x
4 xy 3 − 16 x 3 y − xy
13.
3 x 2 y + 12 x 4 y − 3 75 x 6 y 3
2ab − 3 54ab 4 + 3 16a 4 b 4
15.
3a 2 + 3 24a 5 b 3 − 3 81a 2 b 6
3
16. 3 16a + 3 54a 4 + 3 24a
17.
25a2 + 20a3 + 5a
19.
3a 2 − 4 9a 2 + 6 27 a 3
20. 3 2a + 4 4 4a 6 + 6 6 8a 3
21.
x 1 2 − − x 2 2x
18.
4
3
2ab 2 + 3 2a 4b 2 + 3 16ab5
Respuesta a los ejercicios impares anteriores: 1. 4 2 ;
3. 7 7 ;
5. 5 2 + 5 7 ;
13. (2 x 2 + x − 15 x 3 y ) 3 y ; 19. a 3 ;
21.
7. 2 3 ; 9. 7 3 2 + 3 50 ;
15. (1 + 2ab − 3b 2 ) 3 3a 2 ;
x−3 2x 2x
90
17.
11. (2 x − 8) 2 x
(1 + a + 2b) 3 2ab 2
6. MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE RADICALES.
Para multiplicar radicales de órdenes distintos, es necesario explicarlos como radicales equivalentes del mismo orden. El orden de los nuevos radicales deberá ser el M.C.M. de los órdenes de los radicales originales. El orden de un radical puede elevarse (formula IV. Sec. 7-4) multiplicando el orden del radical y el exponente del radicando por el mismo entero positivo mayor que 1.
Ejemplo 1. Multipliquemos 23 2a por 53 3a 2 b .
Solución. 23 2a ⋅ 53 3a 2 b = 103 6a 3 b = 10a 3 6b .
(2
Ejemplo 2. Encontremos el producto
Solución. usual.
)(
)
3+3 5 4 3− 5 .
Los binomios tienen cantidades semejantes, y multiplicamos de la manera
(2
)(
)
3 + 3 5 4 3 − 5 = 8 ⋅ 3 + 10 15 − 3 ⋅ 5 = 9 + 10 15 .
Ejemplo 3. Encontramos el producto de 5 3 y
Solución.
63 2 .
Expresamos primero cada radical como un radical de orden 6, que es el
mínimo común múltiplo de los órdenes de los radicales dados. Así, 5 3 ⋅ 63 2 = 306 33 ⋅ 6 2 2 = 306 33 ⋅ 2 2 = 306 108
La formula III de la Sec. 7-4 muestra como expresar el cociente de dos radicales del mismo orden como un radical único.
Como en la multiplicación, sin embargo, los
radicales de dos órdenes distintos deben ser primero convertidos en radicales del mismo orden. Consideramos la división de dos radicales como completa cuando el cociente no tenga radicales en el denominador y el radical del numerador, si lo hay, esta expresado en su forma más simple. El proceso de quitar radicales de un denominador es llamado
racionalización del denominador.
91
Ejemplo
4.
Encontremos el cociente de 63 6 dividido por
5.
Solución. 6 5
=
6 = 5
6⋅5 1 = 30 , 5⋅5 5
5
30 1 = 30 . 5 5
o, alternativamente, 6 5
⋅
5
=
Ejemplo 5. Encontramos el cociente de 63 5 dividido por 2 2 .
Solución. 66 5 2 ⋅ 6 2 3 3 6 . = ⋅ = = 200 4 2 2 2 2 2 2 63 5
63 5
2
De otro modo, convirtiendo a exponentes fraccionarios, tenemos 6 ⋅ 51 3 6 ⋅ 51 3 ⋅ 21 2 6 ⋅ 5 2 6 ⋅ 2 3 6 3 6 2 3 3 6 = = = 5 ⋅2 = 200 . 4 2 2 2 ⋅ 21 2 2 ⋅ 21 2 ⋅ 21 2 Cuando el divisor es un binomio que contiene un radical de segundo orden en uno o ambos términos, racionalizamos el denominador multiplicando el dividendo y divisor por expresión adecuadamente elegida. Para este propósito, observamos que el producto de
a+ b
y
a− b
es una expresión radical a – b.
Por tanto, un factor de
racionalización del tipo en consideración se obtiene cambiando el signo de uno de los términos del divisor. Ejemplo 6.
(
Dividamos 3 2 − 2 3
)
por
(4
)
2 −3 3 .
Solución. 3 2 −2 3 4 2 −3 3
=
3 2 − 2 3 4 2 + 3 3 24 + 6 − 18 6 + 6 = = ⋅ 32 − 27 5 4 2 −3 3 4 2 +3 3
92
EJERCICIOS
Multiplique como se indica y simplifique el resultado.
1.
2⋅ 7
2.
4.
18 x 2 y ⋅ 2 xy 3
5.
16a 2 ⋅ 3 4ab
8.
10.
2 ⋅4 8
11.
13.
2 ⋅3 3 ⋅ 4 4
14. 2 3 + 4 2 3 − 3
7.
3
3
2 ⋅ 7 ⋅ 28
3.
6 ⋅3 9
6.
3 ⋅3 2
9.
2 ⋅3 3
12.
2 ⋅3 2 ⋅3 3
15.
3− a ⋅ 3+ a
x ⋅3 x ⋅4 x
(
)(
)
16. Encuentre el valor de
x 2 − 6 x + 7 si x = 3 + 2
17. Encuentre el valor de
2 x 2 + x + 1 si x = 2 − 1
18. Encuentre el valor de
x 2 + x − 5 si
3 ⋅ 5 ⋅ 30 3a ⋅ 3 4a 2
3
3+ 2
Efectué las divisiones y exprese cada resultado en su forma más simple.
19.
63 ÷ 7
20.
11 ÷ 33
21.
22.
15a 4 ÷ 3a
23.
20 x ÷ 2 5 x 3
24.
25. 23 7a ÷ 3 2a 2
26.
15 x 4 ÷ 3 4 x
27.
28. 30.
34.
3
3
9÷ 3
15 + 35 5 7+ 5 7− 5
29. 31.
1 3− 5 35.
32.
4 5− 3
93
3
108 ÷ 3 4 3 ÷3 3
ab 2 ÷ 3 a 2 b
1 3− 2 36.
2 3+ 5
7 x 2 ÷ 28 x
33.
3 7 +2 2 2 7 −3 2
2 5+ 2
Respuesta a los ejercicios impares anteriores:
1. 14 ;
3. 15 2 ;
13. 2 3 3 ;
15.
25.
13 28a 2 ; a
35.
9 15 − 26 7
5. 3 3 2 ;
17. 6 − 3 2 ;
9−a ;
27.
7. 4a 3 b ;
6
3;
29.
9.
19. 3 ;
16 5 4 ab ; a
94
31.
6
72 ;
21.
11. x12 x
1 x; 2
3+ 5 ; 4
33.
23.
1 x
5 2 −2 23
Unidad IV. ECUACIONES LINEALES. 1. ECUACIONES DE PRIMER GRADO.
Objetivo especifico: El alumno resolverá ejercicios y problemas que impliquen ecuaciones lineales con una incógnita.
Ecuación:
Es una
igualdad que solo se verifica para un valor determinado (o valores
determinados) de la incógnita; es decir, una ecuación es una igualdad condicional. Al conjunto de términos situados a la izquierda de signos iguales se le llama primer
miembro de la ecuación y al conjunto de términos que están a la derecha se le llama segundo miembro. Esto es una ecuación: 2x – 5
=
x+3
Primer
segundo
Miembro
Miembro
Propiedades de las ecuaciones
1.- Si a cada miembro de una ecuación se le suma o resta una misma cantidad, la ecuación sigue siendo cierta. 2.- Si cada miembro de una ecuación se multiplica por un mismo numero, la ecuación sigue siendo cierta. 3.- Si cada miembro de una ecuación se divide entre un mismo numero (excepto cero) la ecuación sigue siendo cierta.
95
Identidad
Es una igualdad que es cierta para cualquier valor numérico que se le asigne a la literal (o literales); es una igualdad absoluta. Se escribe: 4a + 6a ≡ 10a
Raíz o solución de una ecuación
Es el valor o valores de la incógnita que hacen cierta la ecuación. Así la raíz de Porque:
3x – 9 = 5x – 23
es x = 7
3(7) – 9 = 5(7) – 23 12 = 12
De igual manera las raíces de x2 – 7x + 10 = 0 son x1 = 2 x2 = 5 porque: (2)2 – 7 (2) + 10 = 0
(5)2 – 7(5) + 10 = 0
4 – 14 + 10 = 0
25 – 35 + 10 = 0
- 14 + 14 = 0
- 35 + 35 = 0
0=0
0=0
Ecuación Literal
Es aquella en la que algunas o todas las cantidades conocidas están representadas por letras. ax + bx – c = 0
a =0 x
son ecuaciones literales
96
a -1+b=0 x
Ventajas de las ecuaciones literales
Con las ecuaciones literales, se obtienen formulas aplicadas no solo a un problema determinado si no a todos los de su misma especie; generalizan por tanto los problemas, lo cual es una finalidad del álgebra. Así, por ejemplo, en la formula del interés: i = Art en donde: i = interés A = capital r = rédito anual t = tiempo en años Esta ecuación se puede resolver con respecto a cualquier de las literales, obteniéndose:
A=
i rt
r=
i At
t=
i Ar
2. ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA
Ecuación de primer grado es aquella en que, después de efectuadas todas las reducciones posibles, el exponente de la incógnita es igual a la unidad.
Ejemplos de resolución
Haciendo uso de las propiedades de las ecuaciones, resolver la siguiente ecuación:
97
Súmese 3 a cada miembro
5x – 3 = 2x + 12 +3=
Réstese 2x a cada miembro
5x
+3
= 2x + 15 - 2x = - 2x 3x
=
15
Divídase entre 3 x =
5 raíz
Comprobación: sustituimos el valor de la raíz en la ecuación original y si se verifica la igualdad, entonces el problema esta bien resuelto, se no se verifica, habrá que revisar nuevamente el procedimiento seguido. 5(5) – 3 = 2(5) + 12 25 – 3 = 10 + 12 22 = 22
Ejemplo
Resuelve:
5x + 4 = x + 13 2
Multiplicamos por 2:
2
Restamos 2x:
5x + 8 = 2x + 26 -2x
Restamos 8:
5x + 4 = 2(x + 13) 2
= -2x
3x + 8 =
3x
26
-8 =
-8
=
+18 98
Divídase entre 3: x
=
6
5*6 + 4 = 6 + 13 2
Comprobación:
15 + 4 = 6 + 13; 19 ≡ 19 19 = 19 Transposición de términos
Por los ejemplos anteriores se ve que puede suprimir un término cualquiera en un miembro, siempre que se agregue al otro su simétrico. Esto equivale a afirmar que puede pasarse un término de un miembro a otro respetando la siguiente regla: +
-
Si el término esta restando pasa sumando
-
+
Si el término multiplicando pasa dividiendo
X
÷
Si el término esta dividiendo pasa multiplicando
÷
X
Si el término esta sumando pasa restando
A esto se le llama transposición de términos.
Intercambio de miembros
Es recomendable que los términos que contengan la incógnita se pongan siempre en el primer miembro de la ecuación: Así, las ecuaciones
25 = 3x - 4
y
Conviene escríbelas 3x – 4 = 35
y
Cambio de signo
99
12 = 2x + 3 12x + 3 = 12
En una ocasión cualquiera se puede cambiar los signos de todos sus términos, lo que equivale a multiplicarlos por (- 1), con lo cual la igualdad no se altera. Esto es de gran utilidad según se ve continuación: Forma original
Forma preferible
-2x + 5 = - 25
2x – 5 = 25
- 8x - 3 = x – 6
8x + 3 = -x + 6
Ecuación con raíz negativa
Existen ecuaciones cuya raíz es un número negativo; esto no implica ningún problema, se resuelve como ecuaciones que tienen por raíz un número positivo: Así:
Comprobación: 7x – 5 = 3x – 25
7(-5) -5 = 3(-5) -25
7x – 3x = -25 + 5
-35 -5 = -15 - 25
4x = -20
x=−
-40 = -40
20 4
x = -5
Ejemplo
Resuelve:
Comprobación:
16x – 192 = 0
16 (12) – 192 = 0
16x = 192
x=
192 - 192 = 0
192 16
0=0
x = 12
100
Ejemplo:
Resuelve:
Comprobación:
a = 12a – 44
(4) = 12(4) – 44
a – 12a = - 44
4 = 48 – 44
- 11a = -44
4=4
11a = 44 44
a=
11 a=4
Ejemplo
Resuelve:
Comprobación:
X=300+11x
(-30) = 300 + 11 (-30)
X - 11x =300
-30 = 300 - 330
-10x = 300
-30 = -30
10x = -300
x=−
300 10
X= -30
Ejemplo
Resuelve:
comprobación:
2z + 96 = 15z – 8 - 5z 2z + 96 = 10z – 8 2z - 10z= -8 – 96
2(13) + 96 = 15 (13) – 8 – 5 (13) 26 + 96 = 195 – 8 - 65 122 = 122
-8z = -104 8z = 104
z=
104 8
Z = 13
101
Ejemplo
Resuelve: 5c – 9 + c = 2x – 73 6c – 9 = 2c – 73 6c - 2c = - 73 + 9
comprobación: 5(-16) – 9 + (-16) = 2(-16) -73 -80 – 9 – 16 = -32 - 73 105 = 105
4c = -64
c=−
64 4
C = -16
Ejemplo
Resuelve:
Comprobación:
y – 2 = -5(39 - y)- 3
49 - 2 = -5 (39-49) -3
y – 2 = -195 + 5y - 3
47 = -5 (-10) -3
y – 2 = - 198 + 5y
47 = 50 - 3
y- 5y = - 198 + 2
47 = 47
-4y = -196 4y = 196
y=
196 4
y=49
Ejemplo
Resuelve: 84 - 19y = - 7 (60 + y) 84 - 19y = - 420 - 7y
Comprobación: 84 – 19 (42) = -7 (60+42) 84 – 798 = -7 (102)
-19y + 7y = - 420 – 84
-714 = -714
-12y = 504
102
504 12 y = 42
y=
Ejemplo:
Resuelve:
comprobación:
5(4x - 7) - (3x - 1) 2 = -5
5 (4 (2) – 7) - (3 (2 ) – 1) 2 = -5
20x – 35 - 6x + 2 = -5
5 (8 – 7) – (6 – 1) 2 = -5
14x – 33 = -5
5(1) – 2(5) = -5
14x = 28
5 - 10 = -5 -5 = -5
x=
28 14
x=2
3. ECUACIONES QUE CONTIENEN QUEBRADOS
Cuando una ecuación contiene quebrados, se transforman en otra equivalencia que tenga forma entera, multiplicando ambos miembros de la ecuación por el m.c.m. de los denominadores.
Ejemplo
Resuelve la siguiente ecuación: 3x 3x − 35 = 100 − 4 5
m.c.m. de 4 y 5 = 20
3x ⎤ ⎡ 3x ⎤ ⎡ 20 ⎢ − 35⎥ = 20 ⎢100 − ⎥ 5⎦ ⎣4 ⎦ ⎣
Comprobación: 3*100 3*100 − 35 = 100 − 4 5
15x – 700 = 2000 – 12x 15x + 12x = 2000 + 700
75 – 35 = 100 -60 40 ≡ 40
27x = 2700 X = 100 103
Ejemplo
Resuelve la siguiente ecuación:
x 5x 3x − = −54 + 2 7 4
m.c.m. de 2,7 y 4 = 28
3x ⎤ ⎡ x 5x ⎤ ⎡ 28 ⎢ − ⎥ = 28 ⎢ −54 + ⎥ 4⎦ ⎣2 7 ⎦ ⎣
Comprobación: 56 5*56 3*56 − = −54 + 2 7 4
14x – 20x = -1512 + 21x 15x - 20x - 21x = -1512
28 – 40 = -54 + 42 -12 ≡ -12
-27x = -1512 27x = 1512 X = 56
4. SOLUCIÓN DE PROBLEMAS MEDIANTE EL USO DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO
Un problema que se puede resolver mediante una ecuación comprende varias cantidades desconocidas (incógnitas), relacionadas con otros que se conocen (datos). En el enunciado de un problema se indican como se relacionan los datos con las incógnitas. El procedimiento general para resolver este tipo de problemas es designar por x la incógnita y luego expresar la relación matemática que hay entre los datos y las incógnitas por medio de una ecuación. La solución de esta ecuación es, evidentemente, la solución del problema. Cuales son los tres números consecutivos cuya suma es igual a 48? Primer número: x Segundo numero: x + 1 104
Tercer número: x + 2 Condición: (x) + (x+1) + (x+2) = 48 x + x + 1 + x + 2 = 48 3x + 3 = 48
Los tres números
3x = 48 – 3
son 15, 16 y 17.
3x = 45 x = 45 / 3 x = 15 Cuál es el número que aumentando en 20 se triplica? Número pedido a condición: X + 20 = 3x X – 3x = -20 -2x = -20 2x = 20 x= 20 / 2 x = 10 Como se paga una deuda de $700.00 con 52 monedas, unas de $20.00 y otras de $10.00 Numero de monedas de $ 20.00: x Numero de monedas de $ 10.00: 52 – x Valor de las monedas de $ 20.00: 20x Valor de las monedas de $ 10.00: 10(52 – x) Condición:
20x + 10(52 – x) = 700 20x + 520 – 10x = 700 10x + 520 = 700 10x = 700 – 520 10x = 180
x=
180 10
x = 18 18 monedas de $ 20.00
105
34 monedas de $ 10.00 1. Un padre de familia tiene 45 años y su hijo 20. ¿Dentro de cuanto tiempo será la edad del padre el doble de la del hijo? Número de años pedido = x Edad del padre pasados x años: 45+x Edad del hijo pasados x años: 20+x Condición:
(45+x) = 2(20+x) 45+x = 40+2x x - 2x = 40-45 -x =-5 x=5
Dentro de cinco años la edad del padre será el doble de la del hijo. 2. Un recipiente, alimentado por 3 llaves, puede ser llenado en 30 minutos por la primera, en 20 minutos por la segunda y en 40 minutos por la tercera, ¿en cuánto tiempo llenarán el recipiente las 3 llaves juntas? Tiempo que tardan las 3 llaves juntas: x La primera llena en x minutos:
1 x * (x) = 30 30
La segunda llena en x minutos
1 x *(x) = 20 20
La tercera llena en x minutos:
1 x *(x) = 40 40
Condición:
x x x + + 30 20 40 4x + 6x + 3x = 120 13x = 120
x=
120 13
106
=1
x = 9.23 minutos 3. Un agricultor puede arar un terreno empleando un tractor en cuatro días, un ayudante suyo puede hacer el mismo trabajo con un tractor más pequeño en seis días, ¿en cuántos días pueden arar el campo si trabajan conjuntamente? Tiempo que tardan juntos = x El agricultor ara en x días =
x 4
el ayudante ara en x días =
x 6
Conducción:
x x + =1 4 6
3x + 2x = 12 5x = 12 x=
12 2 = 2 días. 5 5
Ejemplos
¿Cuantos litros de un líquido que contiene 74% de alcohol se debe mezclar con 5 litros de otro liquido que contiene 90% de alcohol, se desea una mezcla de 84% de alcohol? Numero de litros de la solución de 74% de alcohol que debe emplearse = x Numero de litros de alcohol aportados por la solución al 74% = 0.74x Numero de litros de alcohol aportados por la solución al 90% = 0.90 (5)=4.5 Numero de litros en la mezcla = x + 5 Numero de litros de alcohol en la mezcla = 0.84(x+5) 0.74x + 4.5 = 0.84( x+5) 0.74x + 4.5 = 0.84x + 4.2 0.74x – 0.84 = 4.2 – 4.5 - 0.10x = -0.3
x=
0.3 0.10
x = 3 litros.
107
5. EJERCICIOS. Resuelve las siguientes ecuaciones y compruébala cada una. 1. 8 x − 8 + x = 4 + 5 x
2. 720 x − 2157 = x
3. 7 x + 2 − 9 x = 6 + 4 x − 3
4. 12m + 22 − 3m = 2m − 13
5. 2(7 x − 8) + 7(2 − x) = 26
6. 5(4 x − 7) − 20(3x − 1) − 5
7. 3(7 − 2 x) = 11 − 4(2 x − 3)
8. 9( x + 1) + 7(3 − x) − 38 = 0
9. 5(8 x − 3) = 3 − 2(4 x − 3)
10. 6 x − 17 = 13( x − 1) − 4
11. (5 − x)(2 − x) − x( x − 3) = 0
12. 4(4 x − 3) + 3(7 − 6 x) = 16 x
13.
3x 1 2 x 2 + = − 2 6 3 3
14.
x 1 1 x − = − 3 4 3 4
15.
3x 4 x 1 − = − 4 3 2 3
16.
5x 1 2 x 1 + = − 4 12 3 2
17.
3x + 1 2 x + =6 6 3
18.
x x+5 + =1 4 8
19.
3x − 1 2 x + 3 − =1 2 3
20.
x − 4 2x + 3 1 − = 3 4 12
Respuesta a los ejercicios impares anteriores: 1. x = 3 ; 13. x = −1 ;
3. x = −
1 ; 6
15. x = 4
5. x = 4 ; 17. x = 5
7. x = 1 ;
9. x =
19. x = 3
108
1 2
11. x =
5 2
Resolver los siguientes problemas en palabras:
El tercio de un número, sumado con su cuarta parte da 35, ¿cual será ese número? Resp: 60 Los 5/6 del precio de una fabrica, disminuidos en $ 300 000.00, valen $ 56 300 000.00 ¿cual será el precio de la fabrica?
Un padre deja 2/3 de sus bienes a uno de sus hijos, los 5/16 al segundo, y los $ 640 restantes al tercero. Encontrar la suma repartida.
Resp: $30720
Hace dos años la edad de Juan era la mitad de lo que será dentro de nueve años, ¿qué edad tiene actualmente Juan?
¿Cuántos alumnos hay en una clase si la tercera parte de ellos están leyendo, la cuarta parte escribiendo y los otros 20 resolviendo problemas?
Resp: 48
La diferencia de dos números es 565, su cociente es 5 y el residuo de la división es 85, ¿cuales son esos números?
Una llave llenaría un tanque en 10 horas, y otra llave lo llenaría en 15 horas. Estando el tanque vació, ¿en cuanto tiempo se llenara, si se abren las dos llaves a la vez? Resp: 6 horas
109
Unidad V SISTEMAS DE ECUACIONES. DEFINICIÓN DE SISTEMA DE ECUACIONES:
Se le llama sistema de ecuaciones al conjunto de ecuaciones independientes que tienen una o mas soluciones comunes. También se llaman ecuaciones simultáneas.
1. RESOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES
Resolver un sistema de ecuaciones simultáneas es hallar el conjunto de valores que satisfagan simultáneamente cada una de las ecuaciones.
1.
Solución gráfica Por suma 2.
o resta 3.
Por igualación Por 4.
sustitución
Solución grafica
Si se trata de resolver el siguiente sistema:
2x + y = 16………………..1 x + y = 10………………..2 Se procede como sigue: En la ecuación (1) despejamos el valor de (y), colocando esta incógnita es función de (x) como a continuación se indica: y = 16 – 2x
110
Ahora efectuamos una tabulación (damos valores a x y vemos que valores adopta y). En la ecuación (2) también despejamos a (y) y tabulamos: Tabulaciones
A continuación, graficamos ambas ecuaciones (ambos lugares geométricos) en un sistema de ejes coordenados:
La solución grafica del sistema de ecuaciones simultaneas esta dada por el punto de intersección entre ambas rectas. Solución:
x=6
111
y=4 Comprobación:
2(6) + (4) = 16 16 = 16 (6) + (4) = 10 10 = 10
Solución por suma o resta
Para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas por el método de eliminación por suma o resta, se aplica el siguiente procedimiento: 1. Multiplicamos los dos miembros de una ecuación, o de ambas, por factores tales que igualen los coeficientes de una misma incógnita. 2. Sumamos las ecuaciones si dichos coeficientes son de signos contrarios, y las restamos si son del mismo signo. 3. Resolvemos la ecuación resultante del paso anterior, con lo cual obtenemos el valor de una incógnita. 4. Sustituimos este valor en cualquiera de las ecuaciones originales y resolvemos para la otra incógnita.
Resuelve el siguiente sistema de operaciones: x + y = 4…………….1 +
x – y = 2…………….2
Sumamos ambas ecuaciones 2x = 6
x=
6 , 2
x=3
Sustituimos en 1: (3) + y = 4 y=4–3
x=3 y=1
y=1 Comprobación:
112
(3) + (1) = 4 4=4 (3) – (1) = 2 2=2
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones simultaneas: X + 2y = 5………………….1 X + y = 4………………….2 Multiplicamos la ecuación 2 por (- 1) y la sumamos a la ecuación 1 X + 2y = 5 + -x –y = -4 y=1 Sustituimos en 1: x + 2(1) = 5 x+2=5 x = 5 –2 x=3 x=3 y=1
113
Solución por igualación
Para resolver un sistema de dos ecuaciones simultaneas, eliminando por el método de igualación, aplicamos el siguiente procedimiento: 1. Despejamos en cada ecuación la incógnita que se quiere eliminar. 2. Igualamos las dos expresiones del paso anterior. 3. Resolvemos la ecuación resultante de la igualación, con lo cual obtenemos el valor de una de las incógnitas. 4. Sustituimos el valor hallado en una de las expresiones que representa el valor de la otra incógnita y resolvemos para ella. Resuelve: X + y = 12
(1
X–y=8
(2
Despejamos a x en ambas ecuaciones e igualamos: De 1: x = 12 – y
de
2: x = 8 +y
Por lo tanto: 12 –y = 8 + y -y –y = 8 – 12 -2y = - 4 2y = 4 y=2 Como: x =12 – y
Comprobación: (10) + (2) = 12
x = 12 – (2)
12 = 12
x = 10
(10) - (2) = 8
x = 10
8=8
y=2
114
Resuelve las siguientes ecuaciones simultáneas: 15x = 10 – 20y………………….1 25x = 30y + 80…………………..2 Multiplicamos la ecuación 1 por 3 y la ecuación 2 por 2 y luego las sumamos: 45x = 30 – 60y 50x = 60y + 160 95x = 190
x=
190 95
x=2 Sustituimos en 1:
Comprobación:
15(2) = 10 – 20y
15(2) = 10 –20(-1)
30 = 10 – 20y
30 = 10 +20
20y = 10 – 30
30 = 30
20y = -20
25(2) = 30(-1) + 80
y=-1
50 = - 30 + 80
x=2
50 = 50
y = -1
Solución por sustitución:
El procedimiento es el siguiente: 1. Despejamos una incógnita en una de las ecuaciones. 2. Sustituimos la ecuación que representa su valor en la otra ecuación. 3. Resolvemos la nueva ecuación con lo cual se obtiene el valor de la incógnita no eliminada. 4. Sustituimos el valor así hallado en la expresión que representa el valor de la otra incógnita, y resolvemos la ecuación resultante.
115
Resuelve: x + y = 23………………… (1 x – y = 7………………… (2 Despejamos el valor de y en la ecuación 1: y = 23 – x………. (3 El valor de y obtenido en la ecuación 3 se sustituye en la ecuación 2: x – (23 – x) = 7 x – 23 + x = 7 2x = 7 + 23 2x = 30 x = 15 Sustituimos en 3: y = 23 – (15) y=8 x = 15 y=8 Comprobación: (15) + (8) = 23 23 = 23 (15) – (8) = 7 7=7
116
2. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES SIMULTÁNEAS CON MÁS DE DOS INCÓGNITAS
Para resolver estos sistemas se pueden escoger cualquiera de los métodos vistos anteriormente. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones simultáneas: 2x – 6y – 5z = -11…………………. (1 10x + 9y – 3z = 50………………… (2 4x – 8y + z = 15…………………. (3 Para eliminar a (y) de las ecuaciones 1 y 2, multiplicamos la ecuación 1 por 9 y la ecuación 2 por 6 y sumamos ambas expresiones: + 18x – 54y – 45z = - 99 60x + 54y – 18z = 300 78x
- 63z = 201…………….. (4
Ahora multiplicamos la ecuación 2 por 8 y la ecuación 3 por 9 y las sumamos: 80x + 72y – 24z = 400 + 36x – 72y + 9z = 135 116x
- 15z = 535………. (5
Ahora hagamos simultáneas las ecuaciones 4 y 5. Eliminemos a z multiplicando la ecuación 4 por (- 15) y la ecuación 5 por 63 y luego sumemos: -1170x + 945z = - 3015 7308x – 945z = 33705 6138x
= 30690
x=
30690 6138 x=5
Sustituimos en 5:
117
116(5) –15z = 535 580 – 15z = 535 -
15z = 535 – 580
-
15z = - 45 15z = 45 z=3
Sustituimos en 1: 2(5) – 6y – 5(3) = -11 10 – 6y – 15 = - 11 6y – 5 = - 11 6y = - 11 + 5 6y = - 6 y=-1
X=5 Y = -1 Z=3
3. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES SIMULTÁNEAS POR DETERMINANTES
Antes de entrar a la resolución de ecuaciones simultaneas por determinantes, veamos que es un determinante y como se resuelve. Determinante de segundo orden. Es la ordenación cuadricular de 4 números y se desarrolla de la manera siguiente. a
b
c
d
= ad – bc
118
Calcula el valor del siguiente determinante: 3
5
-2
7
= (3)(7) – (5)(- 20) = 21 + 10 = 41 Determinante del tercer orden. Es una ordenación cuadricular de números, que consta de 3 columnas y 3 renglones y se desarrolla de la manera siguiente:
A1 b1 c1 A2 b2 c2
=
A3 b3 c3
a1
b1
c1
a1
b1
a2
b2
c2
a2
b2
a3
b3
c3
a3
b3
= a1b2c3 + a3b1c2 + a2b3c1 – a3b2c1 – a1b3c2 – a2b1c3 Calcula el valor del siguiente determinante: 3 2 4 3 2 4 3 -5
0
7
1
3
5
=
2
-5
0
7
-5
0
1
3
5
1
5
= (3)(0)(5) + (2)(7)(1) + (4)(-5)(5) – (1)(0)(4) – (3)(7)(3) -(5)(-5)(2) = 0 + 14 – 100 – 0 - 63 + 50 = - 99 Veamos ahora la aplicación de los determinantes a la resolución de sistemas de ecuaciones simultáneas. El procedimiento es el siguiente: 1. Se ordenan las ecuaciones de tal modo que las constantes aparezcan en el miembro de la derecha y las variables en el de la izquierda. 2. Calculamos el valor del determinante formado por la ordenación cuadricular de los coeficientes de las incógnitas; a dicho determinante le llamaremos ∆ (delta). 3. En el determinante ∆ sustituimos la primer columna (correspondiente a los coeficientes de la primer incógnita por la columna de las constantes de las ecuaciones y calculamos el valor de este nuevo determinante al cual le llamaremos ∆x (delta equis).
119
Si sustituimos la segunda columna en delta por la columna de las constantes, entonces tendremos a ∆y (delta ye) y así sucesivamente Aplicando la siguiente formula
x=
Δx Δx Δz ,y= ,z = Δ Δ Δ
Nota: Si en lugar de x, y, z las incógnitas tuvieran otras literales, únicamente haremos las modificaciones pertinentes. Resuelve por determinantes: 2X + 3Y = 8 3X - Y = 1 2
3
∆=
= (2)(-1) – (3)(3) = -2 –9 = -11 3
-1 8
3
∆x =
= (8)(-1) – (1)(3) = -8 –3 = -11 1
-1 2
8
∆y =
= (2)(1) – (3)(8) = 2 – 24 = -22 3
1
x=
Δx −11 = =1 Δ −11
y=
Δy −22 = =2 Δ −11
X=1 Y=2
120
4. PROBLEMAS QUE DAN LUGAR A UN SISTEMA DE ECUACIONES CON DOS O MÁS INCÓGNITAS
1. Dividir el número 132 en dos partes tales que los 5/7 de la una y los 3/5 de la otra, sumen 88 Primera parte: x Segunda parte: y Condiciones: x + y = 132… (1 5 3 x + y = 88... (2 7 5 Multiplicamos la ecuación 1 por (-3/5) y luego sumamos con la ecuación 2: 3 3 396 − x− y =− 5 5 5 5 3 x + y = 88 7 5 5 3 396 x − x = 88 − 7 5 5 25 x − 21x = 3080 − 2772 4 x = 308 x = 77 y = 132 − 77 y = 55
x =77 y =55
2. Tres personas pueden hacer un trabajo en 3 días; la primera y la segunda lo harían en 16/5 de día, la segunda y la tercera juntas pueden hacerlo en 12 días. ¿En cuantos días lo haría cada persona sola?
121
Numero de días que emplearía la primera: x Numero de días que emplearía la segunda: y Numero de días que emplearía la tercera: z
En un día la primera hace
1 1 1 la segunda en el mismo tiempo hace y la tercera . y x; z
Condiciones: 1 1 1 1 + + = L (1 x y z 3 1 1 5 + = …(2 x y 16 1 1 1 + = L (3 y z 12
Multiplicamos la ecuación 2 por (-1) y la sumamos a la ecuación 1 1 1 1 1 + + = x y z 3 1 1 5 − − =− x y 16
1 1 5 = − z 3 16 1 16 − 15 = z 48 1 1 = z 48 z = 48 Sustitución en 3: 1 y 1 y 1 y y
1 1 = 48 12 1 1 = − 12 48 3 = 48 = 16 +
122
Sustituimos en 2: 1 1 5 + = x 16 16 1 5 1 = − x 16 16 1 4 = x 16 x=4
X=4 Y = 16 Z = 48 3. Una caja registradora contiene 50.00 en monedas de 5 centavos y 25 centavos. En total son 802 monedas, siendo 10 veces mayor el número de las de 5 centavos que el de las de 10 centavos. Encontrar cuantas monedas hay de cada valor. Numero de monedas de 5 c = x Numero de monedas de 10c = y Numero de monedas de 25 c = z Condiciones: .05x + .1y + .25z = 50 … 1 x + y + z = 802… 2 x = 10y… 3
.05
.1
.25 .05
.1
1
1 1
1
1
− 10
0 1
− 10
50
.1
.25 50
Δ= 1
Δx = 802 1 0 − 10
= 0 + .1 − 2.5 − .25 + .5 − 0 = −2.15
.1
1 802 1 0 0 − 10
= 0 + 0 − 2005 − 0 + 500 − 0 = −1505
123
Por lo tanto, x =
Δx − 1505 = 700 = − 2.15 Δ
Sustituimos en 3: 10y = 700 ∴ y = 70 Sustituimos en 2: (700) + (70) + z = 802 ∴ z = 32 700 monedas de 5 c 70 monedas de 10c 32 monedas de 25 c
EJERCICIOS Resuelve por método grafico los siguientes sistemas de ecuaciones simultáneas: 1.
x+ y =4 x− y =2
2.
x+ y =3 x − y =1
3.
x+ y =5 x − y =1
4.
3x + 2 y = 7
5.
3x + y = 5
3x − y = 4 x + 3 y = −2
Resuelve por el método de eliminación por suma o resta los siguientes sistemas de ecuaciones simultáneas: 6.
x+ y =2 2x − y = 1
11.
7.
4x − y = 6 3x + y = 1
8.
x + 2y = 6
9.
x + 3y = 8
x + 3 y = −2 2 x − 7 y = −26 12. 3 x + 5 y = −6 5x + y = 9
13.
6 x − 7 y = 10 8 x − 13 y = 6
5x + 2 y = 3 7 x − 3 y = 10
14.
10.
2x − y = 3 3x + 2 y = 8
4x + 3y = 6 3x − 5 y = 19
Resuelve por método de eliminación por igualación los siguientes sistemas de ecuaciones simultáneas: 15.
5x − y = 1 3x + y = 7
16.
x − 2y = 2 x + 3y = 7
17.
x − y = −5 x + 4 y = 10
124
18.
4x − 5 y = 2 5 x + 3 y = 21
19.
2 y − 11x = 67
20.
2 x + 5 y = 20
3x + 7 y = 2
21.
7 x + 8 y = −2
4x + 3y = 5 3x + 2 y = 3
22.
2x − 3y = 5 3x + 4 y = −18
Resuelve por el método de eliminación por sustitución los siguientes sistemas de ecuaciones simultáneas:
23.
27.
3x − y = 0 2x + y = 5
24.
7 x − 6 y = 17
28.
3x + y = 18
x + 4y = 5 3x − 4 y = −17
25.
5y + x = 7 5x − 3 y = 3 + 2 x
x − y = 37 2 x + 3 y = 31x + 13 y
29.
26.
x + 3 y = −2 3 x + 5 y = −6
2x − y = y + 6 x + 2y = 4y + 3
Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones por cualquiera de los métodos de eliminación:
x + y + z = 12
2x − 4 y + 2z = 0
30. 2 x + 2 y + 2 z = 3
x − 3y + z = 7 x− y+ z =7 33. x + y − z = 1
31. 3 x + 5 y − 3 z = 4 x − 7 y + 2 z = −7 x+ y = z
34. 2 x + z = y + 9 5x − 2 y = z − 6
y+z−x=3
−3 x + y − 2 z = − 9 32. 4 x − 3 y − z = 19 − x + 2 y + z = −8
x + y = z + 14 35. x − y = 6 − z y − x = −(4 + z )
Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones simultáneas por el método de determinantes.
36.
2x − y = 4 3x − 4 y = 1
37.
3x + y = 5 2x − 3y = 7
38.
4 x + 3 y = −2 x− y+4=0
125
3x − 2 y + 4 z = 1 39. 4 x + y − 5 z = 2 2 x − 3 y + Z = −6
Solución a los ejercicios impares anteriores: 1. x = 3, y = 1 ; 3. x = 3, y = 2 ; 5. x = 1, y = −1 ; 11. x = −2, y = 0 ;
13. x = 1, y = −1 ;
19. x = −5, y = 6 ;
21. x = −1, y = 3 ;
27. x = 5, y = 3 ;
29. x = 3, y = 0 ;
35. x = 10, y = 5, z = 1 ;
7. x = 1, y = −2 ;
15. x = 1, y = 4 ;
9. x = 4, y = 2 17. x = −2, y = 3 ;
23. x = 1, y = 3 ;
25. x = 2, y = 1 ;
31. x = 1, y = 2, z = 3 ;
33. x = 4, y = 2, z = 5
37. x = 2, y = −1 ;
39. x = 1, y = 3, z = 1
Resuelve los siguientes problemas:
1. Dividir el número 1000 en dos partes tales que si de los 5/6 de la primera restamos un cuarto de la segunda, se obtiene 10.
Resp: 240, 760
2. Hallar tres números A.B.C. tales que A con la mitad de B, B, con el tercio de C y C con el cuarto de a, sea cada uno igual a 1000.
3. El perímetro de un rectángulo es de 300 m. La base tiene 30 m más que la altura. Hallar las dimensiones del rectángulo.
Resp: 90 m, 60m
4. Dos fuentes que emanan agua, una durante 3 días y 5 días la otra, han llenado un tanque de 1 200 m3; durante 2 y 4 días, respectivamente, han llenado otro tanque de 840 m3. ¿Cuánta agua proporciona cada fuente por día?
126
Unidad VI ECUACIONES CUADRÁTICAS. Objetivo especifico El alumno resolverá ejercicios y problemas que impliquen ecuaciones de segundo grado y reducibles a segundo grado.
Definición Una ecuación con una sola incógnita es de segundo grado o cuadrática cuando después de reducida a su más simple expresión, el más alto grado de la incógnita es 2. 1. FORMA GENERAL DE LA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO
Toda ecuación de segundo grado con una incógnita puede reducirse en forma general: ax2 + bx + c = 0 En donde a es el coeficiente de la incógnita al cuadrado, b es el coeficiente de la incógnita a la primera potencia y c es el termino independiente.
Ecuación cuadrática completa Una ecuación de segundo grado es completa cuando consta de 3 términos: uno en que aparece la incógnita al cuadrado, en otro en que aparece la incógnita a la primera potencia y en un término independiente.
Ecuación cuadrática incompleta:
Una ecuación de segundo grado es incompleta cuando carece del término independiente o del término con la incógnita a la primera potencia.
Cuadráticas puras y cuadráticas mixtas
ax2 + c = 0
Es cuadrática pura
ax2 + bx = 0
127
Son cuadráticas mixtas ax2 + bx + c = 0
2. RESOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES CUADRÁTICAS PURAS
En todas las cuadráticas puras, la incógnita es igual a más menos la raíz cuadrada del cociente del termino independiente entre el coeficiente de x2 con el signo cambiado. ax2 + c = 0 ax2 = -c x2 = −
x=± −
c a
x=± −
− 48 = ± 16 = ±4 3
c a
Ejemplo: Resuelve la siguiente ecuación: 5x 2 2x + 7 = + 19 4 2
8x2+ 28 = 5x2 + 76 8x2- 5x2 + 28 – 76 = 0 3x2-48 = 0
∴
X1= 4 X2 = -4
3. RESOLUCIÓN DE LAS CUADRÁTICAS MIXTAS INCOMPLETA
La ecuación de segundo grado en que falta el término independiente tiene una raíz nula (igual a cero), y la otra es igual al cociente formado por el coeficiente del termino en x con signo contrario entre el coeficiente de x2. ax2 + bx = 0 x(ax + b) = 0
∴
x1 = 0
∴
x=−
x=0 (ax + b) = 0
b a
Ejemplo:
128
Resuelve la siguiente ecuación: x2 – 9x = 0 x(x – 9) = 0 x1 = 0 x–9=0 x2 = 9 x1 = 0 x2 = 9
4. RESOLUCIÓN DE LAS CUADRÁTICAS MIXTAS COMPLETAS.
Métodos para resolver cuadráticas mixtas incompletas Método grafico Factorización completando el cuadrado Por formula
Resolución de cuadráticas mixtas completas por el método grafico
Procedimiento: 1. Igualamos la cuadrática a una nueva variable (y) 2. Tabulamos: dando valores a x calculamos los valores que adopta y. 3. Graficamos. 4. los valores de x para los cuales y valedero, serán las raíces solución de la ecuación.
129
Ejemplo:
Resuelve la siguiente ecuación x2 + x – 2 = 0. y = x2 + x - 2
x
y
-3
4
-2
0
-1
-2
0
-2
1
0
2
4
3
10
Tabulación X1 = -2 X2 = 1
130
Resolución de cuadráticas mixtas completas por factorización
Procedimiento: 1. Factorizamos la ecuación. 2. Igualamos cada sector a cero y resolviendo para la incógnita en cada caso obtenemos las raíces de la ecuación. Ejemplo:
x2 + x – 20 = 0 x2 + x – 20 = 0 (x + 5) (x – 4) = 0 x+5=0
∴
x1 = −5
x–4=0
∴
x2 = 4
Ejemplo:
Resuelve la siguiente ecuación: 2 x 2 − 5x − 3
2 x 2 − 5x − 3 = 0 2x2 – 6x + x – 3 = 0 2x(x – 3) + 1(x -3) = 0 (x – 3) (2x + 1) = 0
∴
x1 = 3
x–3=0
∴
x2 = −
1 2
2x + 1 = 0 Resolución de cuadráticas mixtas completando el cuadro Ejemplo:
Resuelve la siguiente ecuación: x2 + 6x – 16 = 0 1. Cambiar el término independiente al segundo miembro: x2 + 6x = 16
131
2. Agregar a cada miembro de la ecuación la mitad del coeficiente de x elevado al cuadrado (la mitad de 6 es 3, que el cuadrado de 9), por lo tanto, x2 + 6x + 9 = 16 + 9 x2 + 6x + 9 = 25 3. Como el primer miembro es un trinomio cuadrado perfecto, lo sustituimos por un binomio al cuadrado: ( x + 3) 2 = 25 4. Extraemos raíz cuadrada en ambos miembros de la ecuación. 5. Ejemplo:
Resuelve la siguiente ecuación: 2x2 + 9x – 5 = 0 En este caso, primero dividimos la ecuación entre 2 para que el coeficiente de x2 sea la unidad. Ejemplo:
x2 + x – 20 = 0 x2 + x – 20 = 0 (x + 5) (x – 4) = 0 x+5=0
∴
x1 = −5
x–4=0
∴
x2 = 4
Ejemplo:
Resuelve la siguiente ecuación: 2 x 2 − 5x − 3
2 x 2 − 5x − 3 = 0 2x2 – 6x + x – 3 = 0 2x(x – 3) + 1(x -3) = 0 (x – 3) (2x + 1) = 0 2x+1 = 0
x – 3 =0
∴
x1 = 3
∴
x2 = −
132
1 2
Resolución de cuadráticas mixtas completas por formula general
Deducción de la formula general. La formula general se deduce al resolver la ecuación literal. ax 2 + bx + c = 0 Por el método de completar cuadrado: b c x+ =0 a a b c x2 + x = − a a 2 b b c b2 x2 + x + = − + 4a 2 a a 4a 2 x2 +
2
b ⎞ − 4 ac + b 2 ⎛ x + = ⎜ ⎟ 2a ⎠ 4a 2 ⎝ x+
b b 2 − 4 ac =± 2a 4a 2
x+
b =± 2a
b 2 − 4 ac 2a
b ± 2a
b 2 − 4 ac 2a
x=−
Formula general
x=
− b ± b 2 − 4ac 2a
La naturaleza de las raíces puede deducirse a partir del valor numérico del radicando (b2- 4ac), también llamado discriminante, de acuerdo con las siguientes reglas: 1.
Si (b2 -4ac) > 0. y además cuadrado perfecto,
b 2 − 4ac
Es racional: las raíces son reales, desiguales y racionales. 2.
Si b2 -4ac)> 0, ser cuadrado perfecto,
b 2 − 4ac
Es irracional; las raíces son reales, desiguales e irracionales 3.
Si (b2 -4ac) = 0, las raíces son reales e iguales y cada raíz vale –b/2a.
133
4.
Si (b2
–
4ac) < 0, entonces
b 2 − 4ac es imaginario: las raíces son
complejas.
Ejemplo: x2 – 8x + 15 = 0
X=
− b ± b 2 − 4ac 2a
− (−8) ± (−8) 2 − 4(1)(15) 2(1)
X=
8 ± 64 − 60 2 8± 4 x= 2 8±2 x= 2 x=
∴
10 =5 2 6 x2 = = 3 2 x1 =
X1 = 5 X2 = 3
Ejemplo:
1 1 5 + = x − 1 x + 1 12 Multiplicamos ambos miembros por el m.c.m. de los denominadores (x2-1) 12: 12(x + 1)1+12(x-1)1=5(x2-1) 12x +12 +12x -12 = 5x2 – 5 24x = 5x2 -5 5x2 + 24x + 5 = 0 5x2 – 24x -5 = 0
134
x=
− ( −24 ) ± ( −24 ) 2 − 4(5)( −5) 2 ( 5)
x=
24 ± 576 + 100 10
24 ± 676 10 24 ± 26 x= 10 x=
X1 = 5 X2
1 5
5. ECUACIONES QUE COMPRENDEN RADICALES DE SEGUNDO ORDEN
2x 2 − 9 = x Elevamos al cuadrado ambos miembros: 2x2 -9 = x2 2x2-x2 = 9 x2 = 9 x= ± 9
X1 = 3
∴
X2 = -3
Resuelve la siguiente ecuación:
2x 2 − 2x + 1 − 2x + 3 = 0 Cambiamos el segundo miembro de la ecuación a los términos que no tienen radical. 2 x 2 − 2 x + 1 = 2x -3 Elevamos ambos miembros al cuadrado: 2x2- 2x +1 = (2x -3)2 2x2 -2x +1 = 4x2 -12 +9 2x2- 2x +1 - 4x2 +12x -9 = 0
135
2x2 +10x -8 = 0 x2-5x +4 = 0 (x-4)(x-1) = 0 x -4 = 0 x-1=0
X1 = 4 ∴ ∴
X2 = 1
¡ Muy importante!
Los valores obtenidos no significan que sean las soluciones pedidas. Tenemos que comprobar estos valores sustituyéndolos en la ecuación original, debido a que se pudieron ver introducido raíces extrañas.
Comprobación: Al sustituir el valor de x = 4 en la ecuación original nos da: 2(4) 2 − 2(4) + 1 − 2(4) + 3 = 0 32 − 8 + 1 − 8 + 3 = 0 25 − 5 = 0 0=0 Podemos ver que si se cumple la igualdad, por lo tanto x = 4 si es solución. Al sustituir el valor de x = 1 en la ecuación original nos da: 2(1) 2 − 2(1) + 1 − 2(1) + 3 = 0 2 − 2 +1 − 2 + 3 = 0 1 +1 = 0 2=0 Podemos ver que obtenemos un absurdo, por lo tanto x = 1 no es solución.
136
6. ECUACIONES REDUCIBLES A UNA DE SEGUNDO GRADO Resuelve:
3x4 = 2x2 + 1 Hacemos la sustitución z = x2 quedando: 3z2 = 2z + 1 3z2 - 2z – 1 = 0 z=
− ( −2) ± (−2) 2 − 4(3)(−1) 2 ± 4 + 12 = 2(3) 6 2± 4 ∴ 16
z =
z1 = 1 z2 =
1 3
Pero, x2 = z, por lo tanto: x=± 1
x1 = 1
1 3
x3 = −
x=±
x2 = 1 1 i 3
x4 = −
Resuelve:
8x6 = 19x3 +27 Sustitución: x3 = z 8z2 = 19z +27 8z2 -19z – 27 = 0 z = − (−19) + (−19) 2 − 4(8)(−27)
=
2(8) 19 + 35 16
z=
∴
19 + 361 + 864 16
z1=
54 7 = 16 8
z2= -1
x=3 z =
3
27 / 8 =3/2 X =3/2
x = 3 z = 3 −1 = −1
X = -1
137
1 i 3
7. PROBLEMAS QUE IMPLICAN ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
Hallar un número tal que sumado con su cuadrado de 2550 Número pedido: x Condición:
x + x2 =2550 X2+ x -2550 = 0 − 1(1) ± (1) 2 − 4(1)(−2550) − 1 ± 1 + 10200 x= = 2(1) 2
x=
− 1 ± 101 2
∴
X1 = 50 X2 = -51
Ejemplo:
Se va a fabricar una caja de base cuadrada sin tapa, con una hoja cuadrada de cartón, cortando cuadrados de 3cm de las esquinas y doblando los lados. Si la caja debe tener 48 cm3, ¿Qué tamaño debe tener la hoja que se va a usar?
Condición: largo. Ancho. Alto = 48 (x – 6) (x- 6) (3) = 48
138
( x-6)2 = 16 x1 = +4 +6 = +10 x2 = - 4 +6 = + 2 Como x es la medida del lado de la hoja de cartón, el valor de x= 2 es inaceptable, por lo tanto, la raíz aceptable es: X= 10
cm
Dimensiones de la caja: 4cm * 4cm *3cm Volumen de la caja: 48 cm3
8. EJERCICIOS PROPUESTOS Resuelve las siguientes ecuaciones: 1. 8x2
–
2x = 0
2. 7x2 + 21x = 0 3. 11x2 – 44x = 0
Resuelve las siguientes ecuaciones por el método gráfico: 4. x2- 5x+ 6 =0 5. x2 + 4x + 3 = 0 6. x2 -6x +8 = 0
Resuelve las siguientes ecuaciones por el método de factorización: 7. x2+6x -7 =0 8. x2 – 4x -32 =0 9. x2 + 11x = -18 10. x2- 13x = -30 11. x2+2x -8 = 0
Resuelve las siguientes ecuaciones por método de completar cuadrados: 12. x2 + x4 – 21 = 0
139
13. x2 – 7x + 12 = 0 14. 8x2 = 6x – 1 15. 3x2 – 5x -8 = 0 16. 5x2 + 500 = 100x
Resuelve las siguientes ecuaciones por la fórmula general: 17. x2 = 2x +35 18. x2 +3x -54 = 0 19. 3x2 +8x – 35 = 0 20. x2 + a2 – b2 = 2ax 21. a2bx2 = 2ax +4b +4
Resuelve las siguientes ecuaciones:
22.
x 2 − 3x + 5 = 2 x − 1
23. 2 x = 2 x + 5 + 1 24.
5x − 1 − x + 6 = 3
Respuesta a los ejercicios impares anteriores: 1. x1 = 0, x2 =
1 ; 4
9. x1 = −2, x2 = −9 ; 17. x1 = 7, x2 = −5 ;
3. x1 = 0, x2 = 4 ;
5. x1 = −1, x2 = −3 ;
11. x1 = 2, x2 = −4 ;
7. x1 = 1, x2 = −7
8 13. x1 = 4, x2 = 3 ; 15. x1 = , x2 = −1 3
7 2 + 2b 2 3 19. x1 = , x2 = −5 ; 21. x1 = , x2 = − ; 23. x = ; 2 3 ab a
140
Resuelve los siguientes problemas que implican ecuaciones cuadráticas:
1. Si el cuadrado de un número le agregamos el quíntuplo de dicho número se obtiene 36. Hallar el número. Resp: 4 2. Un campo rectangular es tal que su longitud es el triple de la anchura. Si se aumenta la longitud en 20 m, y la anchura en 8 m, el área resulta triplicada. ¿Cuál es la superficie del campo? 3. El producto de dos números naturales consecutivos supera en 2 al séxtuplo del siguiente número consecutivo. Encuentre los dos primeros números. Resp: 7 y 8 4. ¿Cuál es el numero que sumado con su raíz cuadrada da por resultado 1640? 5. Si cada uno de los lados opuestos de un cuadrado se duplica y cada uno de los otros lados opuestos se disminuye 2 pies, el área del rectángulo supera en 32 pies cuadrados al área del rectángulo original. Encuentre la longitud del lado del cuadrado. Resp: 8 pies. 6. La capacidad de una alberca es de 300 m3 y puede drenarse con una rapidez de ½ m3 por minuto mayor que la rapidez con que puede llenarse. Calcúlese la rapidez de drenado si se necesitan 20 minutos mas para llenarla que para drenarla.
141
Unidad VII INECUACIONES. Objetivo especifico:
El alumno aplicara las leyes que rigen a las desigualdades en la resolución de cuestiones dadas. Definición
Una desigualdad es una proposición de acuerdo con la cual una cantidad real es mayor o menor que otra. Simbología
a = b Significa que a es diferente de b. a > b Significa que a es mayor que b. a < b Significa que a es menor que b.
1. GENERALIDADES SOBRE DESIGUALDADES
Los términos a la izquierda de la desigualdad constituyen el primer miembro, y los que están a la derecha, el segundo miembro. De la definición de desigualdad se deducen las siguientes consecuencias: 1. Todo número real positivo es mayor que cero. 5 > 0, 7 > 0, 3 > 0 2. Todo numero real negativo es menor que cero. -
3 < 0, - 2 < 0, -10 < 0
3. De dos números reales negativos es mayor el que tiene menor valor absoluto. -20 > -25, -5 > -7 , -3 > -7
Desigualdades absolutas y condicionales
Una desigualdad valida para todos los valores reales de la variable es una Desigualdad absoluta. Una desigualdad valida para algunos valores reales de la variable es una desigualdad Condicional. Desigualdad absoluta:
x2 + 2 > x
Desigualdad condicional:
3x – 5 > 0
142
Las desigualdades condicionales también se llaman Inecuaciones
2. PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES
1. Una desigualdad no se afecta cuando se le suma o resta un mismo numero a cada miembro Sea:
x>b
Entonces:
x+a>b+a
También:
x–a>b–a
x mayor que b
2. Una desigualdad no se afecta cuando sus miembros se multiplican o dividen por un mimo número positivo. Sea:
x
Entonces: ax < ab También: 3.
x a < b a
Una desigualdad cambia de sentido cuando se multiplican o se dividen sus dos
Miembros por un mismo número negativo Sea: Entonces: También: 4.
x> b - ax < - ab -
x a
Si ambos miembros de una desigualdad son positivos y se elevan a la misma
Potencia, la desigualdad no se afecta. Sea:
x> b
Entonces:
x2 > b2
5. Si ambos miembros de una desigualdad son negativos y se elevan a potencia impar la desigualdad no se afecta, pero hay cambio de sentido en la desigualdad si el grado de la potencia es par. Sea: Entonces:
-x >-b - x3 > - b3
Sea:
-x >-b
Entonces:
x 2 < b2
143
6.
Si se suman miembro a miembro varias desigualdades del mismo sentido, resulta
una desigualdad del mismo sentido que aquellas. Sean:
x > a, y > b, z > c
Resulta:
x+ y+ z > a+b+c
7. Si se restan miembro a miembro dos desigualdades de sentido contrario, resulta una desigualdad de igual sentido que el minuendo. ( a > b) − (c < d )
Sea:
a−c > b−d
Resulta:
3. RESOLUCIÓN DE LAS INECUACIONES
La solución de una desigualdad consiste en encontrar los valores de la variable para los cuales la desigualdad es valida. En el procedimiento para resolver inecuaciones utilizaremos las propiedades vistas anteriormente. El método algebraico para resolver inecuaciones es muy semejante al de las ecuaciones y consta de los siguientes pasos. 1.
Cambiamos el miembro de la izquierda los términos que contienen a la variable, y al miembro de la derecha los términos constantes.
2.
Sumamos los términos en cada miembro
3.
Dividimos ambos miembros de la desigualdad obtenida en el paso anterior entre el coeficiente de la variable, teniendo cuidado de que dicho coeficiente negativo, debe cambiarse el signo de la inecuación.
Ejemplo:
Resuelve: 4x + 5 > 2x -3 4x – 2x > -3 – 5 2x > -8 x > -4 La inecuación se verifica para cualquier valor mayor que -4. Comprobación: 4(-3) + 5 > 2(-3) -3 -12 + 5 > -6 -3 -7 > -9
144
Ejemplo:
Resuelve:
x + 4 > 5x – 8
x – 5x > -8 – 4 -4x > -12 4x < 12 x<3 La inecuación se verifica para cualquier valor menor que 3. Comprobación: (2) + 4 > 5(2) – 8 2 + 4 > 10 – 8 6>2 Ejemplo:
Resuelve: 8 + x 3x − 2 < 3 5 5( 8 + x ) < 3( 3x – 2 ) 40 + 5x < 9x – 6 5x -9x < -6 – 40 -4x < -46 x > 46/4 La inecuación se verifica para cualquier x mayor que
23
/2
8 + 12 < 3(12) -2
Comprobación:
5
3 20 < 36 – 2 3
5
20 < 34 3 Ejemplo:
5 |
Resuelve:
x + 2| < 4 3
La inecuación se satisface las dos siguientes desiguales: x +2<4 3
y
x + 2 > -4 3
145
x <2 3
y
x > -6 3
x<6
y
x > -18
Entonces la solución es: -18 < x < 6 Ejemplo:
|x - 4| < 2
Resuelve:
x-4> 2 x< 6 x – 4 > -2 x> 2 2
Son las que satisfacen para los mismos valores de la variable. Ejemplo: Resuelve:
8x – 5 > 2x − 3 >
En 1:
15 x − 8 … (1 2
20 x − 3 … (2 8
16x – 10 > 15x - 8 16x – 15x > -8 + 10 x> 2
En 2:
16x – 24 > 20x – 3 16x – 20x > -3 + 24 -4x > 21 4x < -21 − 21 4
x<
Solución: Las inecuaciones se satisfacen para valores comprendidos entre -21/4 y 2.
Ecuaciones e inecuaciones combinadas Ejemplo
Resuelve:
x + 2y < 10… (1
3x – 5y = 8… (2 Multiplicamos la ecuación 1 por 5 y la ecuación 2 por dos y sumamos: 5x + 10y < 50 146
6x + 10y = 16 11x
< 66 x<6
Multiplicamos la ecuación 1 por (-3) y la sumamos a la ecuación 2: -3x – 6y > -30 3x -5y = 8 -11y > -22 11y < 22 y< 2 Si (x) y (y) son respectivamente que 6 y 2 la inecuación (1) se verifica, y cuando x = 6 y (y) = 2 entonces se verifica la ecuación (2). EJERCICIOS. Resolver las siguientes inecuaciones:
1. (x + 5) > 3 – 3x 2.
3 + 5x > 7 x + 4 2
3. 3x + 5 < 7x – 1 4 |x–1|<2 5 | 5x + 3 | > 2
Resolver los siguientes sistemas de inecuaciones simultáneas.
5 f 4x + 7 7 6. 2 4 x + p 2 x + 25 3 5x +
7.
1 15 x − f 2( x + 1) 3 4( x − 4) p 3 x − 14
Resuelve los siguientes sistemas:
8. 3x + 2y > 37 2x + 3y = 33 9. 7x + 2y > 25 3x + 5y = 19 147
148
