SEMANA 5
Tema:
Ecuaciones Logarítmicas. Aplicaciones de Ecuaciones Exponenciales y Logarítmicas
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ECUACIONES LOGARITMICAS Definición: Si N y y b son números positivos y si b 1 entonces: L
l og N L b
N b
Vemos que el concepto de un exponente y el de un logaritmo son simplemente dos formas diferentes de ver exactamente la misma cosa.
Ejemplo: l og 2 8
23
3
8
PROPIEDADES: log x a x ,
1.
a
2.
log b 1 b
3.
log 1 0 b
x0
8.
m log ( x m ) log ( x ) b n bn
9. Cambio de base de un sistema a otro:
log x b log x a log a b
4.
log ( x n ) n log x b b
5.
log ( xy ) log x log y b b b
6.
x log ( ) log ( x ) log ( y ) b y b b
7.
1 log ( x ) log ( x ) b n bn
10. log ( x ).log ( b ) 1
b
x
1 log ( x ) b log ( b ) x
lo gar ítmi tm i ca . La ecuación con la incógnita bajo el símbolo de logaritmo se llama ecuaci ón logar Cuando se resuelve una ecuación logarítmica en la que aparecen una o varias expresiones de la forma
log [ f ( x )] b
1) Se debe
considerar
las siguientes condiciones:
a) Base sea positiva y diferente de uno, es decir: b 0 b)
f ( x )
b 1
0
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2) Utilizar las propiedades de logaritmos 3) Aplicar que log
f ( x ) b
L b
L
f ( x )
4) Resolver la ecuación resultante. 5) Se sustituyen en la ecuación original los valores obtenidos en el paso anterior y se determinan las raíces extrañas.
Ejemplos 1 Resolver: log( x 1) 2 Solución:
log( x 1)
2
x 1 102
x 1 100 x 101 Como x 101 satisface la ecuación, entonces él: C.S. = 101
x Ejemplos 2 Resolver: 2 log x 3 log 10 Solución:
x 10
2 log x 3 log
2log x 3 log x log10 2log x 3 log x 1 2log x log x 2 log x 2 2 x 10 100
Como x 100 satisface la ecuación, entonces él: C.S. = 100
Ejemplos 3 Resolver: l og 12 3 l og 4 l og 6 x
2 x
x
4
Solución:
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x 0
Primero debemos de tener en cuenta que:
x 1
3 log 12 log 4 log 6 4 x x x 2
(por proposición 7)
log 12 log 43 / 2 log 6 4 x x x
12.6 4 3 / 2 4
log x
log 9 4 x x 4 9 x 2 3 x 2
3
2
0
x 3 x 3 0 x
3
x
3
(no se toma porque x 0
x 1)
Pero x 3 . Por lo tanto C.S = { 3 }
Ejemplos 4: Resolver: log2 (log 2 x 2 ) 2 Solución:
log 2 (log 2 x 2 ) 2 Aplicando la definición de logaritmo
log 2 x 2 22 log 2 x 2 4 x 2 24 x 2 16 x 2 16 0
( x 4)( x 4) 0
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x 4 x 4 Las dos cumplen en la ecuación. Pon tanto el C.S = 4, 4
Ejemplos 5 Resolver: log 2 log 11 x 2 2 log(5 x ) Solución:
log 2. 11 x 2 log(5 x )2
log 22 2 x 2 log(25 10x x 2 )
22 2 x 2 25 10 x x2 0 3 10 x 3x2 0 ( x 3)(3x 1) x 3
x
1
3
1 2
Las dos cumplen en la ecuación. Por tanto el C.S = , 3
EJERCICIOS PROPUESTOS I. Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas 1.
log3 ( x 4) 2
13. log 6 (2 x 3) log 6 12 log 6 3
2.
log 2 (2 x 5) 4
14. 3log 5 x 9
3.
2log3 ( x) 3log3 5
15. log
4.
log x log( x 3) 2log( x 1)
x 625 5. 4log log 2log x 5 4 6. log3 (2 x 3) log( x 3) 4 7.
1 2
log2 x log8 x 4 log5 ( x 2) 4 log5 2
3 2
log5 (x 2)
8.
log(25 x ) 3log(4 x) 0
9.
log 4 2log( x 3) log x
3
10. 2log x log(10 3 x) 11. log( x 2) log( x 1) 1 12. log(7 x 15) log 5 1
10 x
2 2log x
2 x 4 2 5 3 17. log x log 6 2log x 16. log
18. 3log x 2log x 19. log
x 2
2
log128
1 log(21 x )
log(5 x 2 14 x 1) log(4 x2 4 x 20) 20. log 2 x log 2 ( x 2) 3 21. log( x 2) log(4 x 3) log x 0
1 1 x log log x 2 2
22. log
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23.
24.
log(16 x2 ) log(3 x 4)
a 2 loga x 1 x
2
log x 2 log 10 5 x 10
29. l og ax
5
25. log3 x 3 log9 x 1 1 26. log x 4 3log4 x
x 1
27. log 2 9 28.
7 2
log 1 x 1 30.
31.
log 3 x 40 100log x 1 log x
10
3
4 3
32. Resolver el sistema:
7 2 log 3x1 1
log2 x 6 log6 x 0.5 log x 2
log a log b ax by log x loy b a
APLICACIONES DE LAS ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS 1.
Óptica Si un cristal obstruye 3% de la luz que pasa a través de él, el porcentaje p de la luz
que pasa por n cristales sucesivos está dado aproximadamente por la siguiente ecuación:
p 100e0.03n . ¿Qué porcentaje de la luz pasará a través de 10 cristales? ¿y a través de 25? 2.
Presión atmosférica La presión atmosférica p sobre un globo o un avión disminuye al
aumentar al aumentar la altura. Esta presión, medida en milímetros de mercurio, se relaciona con el número de kilómetros h sobre el nivel del mar mediante la fórmula p 760e
0.145 h
.
Determine la presión atmosférica a una altura de 2km. ¿Cuál es la presión a una altura de 10km?
Satélites espaciales El número de vatios w proporcionados por la fuente de energía de un 0.004 d satélite espacial después de un periodo de d días está dado por la fórmula: w 50e 3.
¿Cuánta energía estará disponible después de 30 días? ¿Cuánta energía estará disponible después de un año (365 días)? 4. Corriente alterna en un circuito RL La ecuación que gobierna la cantidad de corriente I (en amperios) después de un tiempo t (en segundos) en un circuito RL individual, el cual consta de una resistencia R (en ohms), una inductancia L (en henrios) y una fuerza electromotriz E (en voltios), es I
E
1 e( R / L )t . Si E =120voltios, R = 10 ohms, y L =5 henrios, ¿Cuánta R
corriente I 1 está disponible después de 0.30 segundos? ¿Después de 0.5 segundos? ¿y luego de 1 segundo? ¿Cuál es la corriente máxima?. Si E =120 voltios, R = 5 ohms, y L = 10 henrios, ¿cuánta corriente I 2 está disponible después de 0.3 segundos? ¿Después de 0.5 segundos? ¿Y luego de un segundo? ¿Cuál es la corriente máxima? 5. La tragedia del Challenger Después de la tragedia del Challenger en 1986, se realizó un estudio de 23 lanzamientos anteriores al vuelo fatal. Se desarrolló un modelo matemático para la relación entre la temperatura Fahrenheit x en torno a los anillos O y el número de anillos O principales desgastados o con fugas. El modelo establecía que: y 6 1 e
5.085 0.1156x
1
. 5
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Donde 6 indica los 6 anillos principales de la nave espacial. ¿Cuál es el número pronosticado de anillos O principales desgastados o con fugas a una temperatura de 100ºF? ¿Cuál es el número pronosticado de dichos anillos O a una temperatura de 60ºF? ¿y cuál para una temperatura de 30ºF? 6. Óptica Si un solo cristal obstruye el 10% de la luz que pasa por él, entonces el porcentaje de luz que pasa a través de n cristales consecutivos está dado aproximadamente por la ecuación:
p 100e0.1n . ¿Cuántos cristales son necesarios para bloquear al menos un 50% de la luz? ¿Y para bloquear al menos el 75% de la luz?
Satélites espaciales El número de vatios w proporcionados por la fuente de energía de un 0.004 d satélite espacial después de un periodo d de días está dado por la fórmula w 50e . 7.
Cuanto tiempo transcurre hasta que la energía disponible llega a 30 vatios? ¿Y hasta que desciende solamente a 5 vatios? 8.
Corriente alterna en un circuito RL La ecuación que gobierna la cantidad de corriente I
(en amperios) después de un tiempo t (en segundos) en un circuito R1 individual, el cual consta de una resistencia R
(en ohmios), una inductancia L (en henrios) y una fuerza
electromotriz E (en voltios) es I
E
1 e ( R / L ) . Si E =12 voltios, R =10 ohmios y R
L =5henrios, ¿Cuánto tiempo transcurre antes de obtener una corriente de 0.5 amperios? ¿Y de 1 amperio? 9.
Alcohol y manejo Es posible medir la concentración de alcohol en la sangre de una persona.
Supongamos que el riesgo R (dado como porcentaje) de tener un accidente de automóvil se modela según la siguiente ecuación R 3e . Donde x es la concentración de la variable de kx
alcohol y k es una constante. Suponga que una concentración del 0.06 en la sangre produce un riesgo del 10% ( R =10) de sufrir un accidente. Determine la constante k de la ecuación. Utilice ese valor de k e indique cual es el riesgo si la concentración es de 0.17. Con el mismo valor de
k indique cual es la concentración de alcohol correspondiente a un riesgo del 100%. Si la ley establece que las personas con riesgo de sufrir un accidente del 15% o mayor no deben manejar ¿Con cuál concentración de alcohol en la sangre debe un conductor ser arrestado y multado? 10. Crecimiento de una función exponencial Suponga que se le ofrece un trabajo de un mes, donde se le pagara bien. ¿Cuál de las formas de pago siguientes resultan más redituables para usted?. Un millón de dólares al final del mes. Dos centavos el primer día del mes, 4 centavos el n
segundo día, 8 centavos el tercero y, en general, 2 centavos el día n ?
Bacterias El número de bacterias en un cultivo está dado por la fórmula n(t ) 500e0.45t donde t se mide horas. ¿Cuál es la población inicial del cultivo? ¿Cuántas bacterias contendrá el cultivo al tiempo t 5 ? 11.
12. Velocidad Un paracaidista deportivo desde una altura razonable. La resistencia del aire que experimenta es proporcional a su velocidad, y la constante de proporcionalidad es 0.2. Se
demuestra que la velocidad del paracaidista en el tiempo t está dada por v(t ) 80 e
0.2t
1 ,
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donde t se mide en segundos y v(t ) se mide en pies por segundo (pies/seg.). Determinar la velocidad inicial del paracaidista. Determinar la velocidad después de 5 y 10 segundos. 13. Mezcla Un barril de 50 galones está lleno de agua pura. Entonces se bombea en el barril agua salada con una concentración de 0.3 lb/gal, y la mezcla resultante se derrama a la misma
velocidad. La cantidad de sal en el barril en el tiempo t está dada por Q(t ) 15 1 e
0.04t
,
donde t se mide en minutos y Q(t ) se mide en libras. ¿Cuánta sal hay en el barril después de 5 segundos? ¿Cuánta sal hay en el barril después de 10 segundos? 14.
Población de conejos Suponga que la población de conejos se comporta de acuerdo con la
formula de crecimiento logístico n(t )
300
300 0.55t 0.05 e n 0.05 0
, donde n0 es la población
inicial de conejos. Si la población inicial es de 50 conejos, ¿Cuál será la población después de 12 años? 15. Población de aves La población de una especie de ave está limitada por el tipo de habitad necesario para la anidación. La población esta modelada por la formula de crecimiento logístico
n(t )
5600 0.5 27.5e0.044t
, donde t se mide en años. Determine la población inicial de aves.
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