MATEMÁTICA BÁSICA SEMANA 3: APLICACIONES DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 1. El día del estreno de una película se vendieron 1 200 entradas y se recaudó S/. 16 000. Si los adultos pagaron S/. 15 y los niños S/. 10. ¿Cuál es el número de adultos y niños que asistieron al estreno de la película?
Solución Sea x el el número de entradas de los adultos “
” ”
Sea “y el el número de entradas de los niños ” ”
Luego, del enunciado se tiene:
se vendieron 1 200 entradas : x + + y = = 150
se recaudó S/. 16 000. Si los adultos pagaron S/. 15 y los niños S/. 10: 15 x + + 10y = = 16 000
Entonces, el sistema de ecuaciones es
15 0 x y 150 00 0 15 x 10 y 16 000 Calculemos el determinante de la matriz de coeficientes coeficientes delsistema y los determinantes respecto respecto de x e e y .
S
1
1
15 10
5,
x
1200
1
16000 10
4000,
y
1
1200
15 16000
2000
Usando la regla de Cramer se tiene
x
x 4000 800, S 5
y
y 2000 400 S 5
POR TANTO: asistieron800adultos y 400niños.
2. Se dispone de dos mezclas diferentes de combustibles. Una de ellas contiene 4% de alcohol y la otra 12%. ¿Qué cantidad de cada mezcla tendría que usarse para obtener 20,000 litros de combustible que contenga 9% de alcohol?
Solución Sea “ x ” la cantidad de la mezcla 1 Sea “y” la cantidad de la mezcla 2 Del enunciado se tiene las siguientes ecuaciones
La cantidad de mezcla a obtener es de 20 000 litros. Es decir:
x y 20 000 00 0
La mezcla final tiene el 9% de alcohol la cual está conformada por el 4% de alcohol de la mezcla 1 y el 12% de alcohol de la mezcla 2.
4% x 12% y 9%(20 000) Simplificando se tiene
4 x 12 y 180 000 Entonces, el sistema de ecuaciones es
x y 20 000 4 x 12 y 180 000 Calculemos el determinante de la matriz de coeficientes delsistema y los determinantes respecto de x e y . 1 1 20000 1 1 20000 S 8, x 60000, y 100000 4 12 180000 12 4 180000 Usando la regla de Cramer se tiene
x
x 60000 7500, 8 S
y
y 100000 12500 8 S
POR TANTO: tendrá que usarse 7500 litros de la mezcla 1 y 12500 de la mezcla 2.
3. La edad de un padre es el doble de la suma de las edades de sus dos hijos, mientras que hace unos años (exactamente la diferencia de las edades actuales de sus hijos), la edad del padre era el triple que la suma de las edades, en aquel tiempo, de sus hijos. Cuando pasen tantos años como la suma de las edades actuales de los hijos, la suma de las edades de las tres personas será 150 años. ¿Qué edad tenía el padre al momento de nacer sus hijos?
Solución Sean las edades en los tres tiempos como se indica en el siguiente cuadro PASADO hace exactamente la diferencia de las edades actuales de sus hijos ( y – z ) x ( y z ) x y z
PADRE
FUTURO PRESENTE
x
Dentro de tantos años como la suma de las edades actuales de los hijos ( y + z ) x ( y z )
HIJO MAYOR
y ( y z ) z
y
y ( y z ) 2 y z
HIJO MENOR
z ( y z ) 2 z y
z
z ( y z ) y 2 z
En el presente se cumple:
x 2( y z ) x 2 y 2 z 0 En el pasado se cumple:
x y z 3( z 2 z y ) x 2 y 8 z 0 En el futuro se cumple
x y z 2 y z y 2 z 150 x 4 y 4 z 150
Entonces el sistema de ecuaciones lineales es:
x y z 0 x 2 y 8 z 0 x 4 y 4 z 150 Calculemos el determinante de la matriz de coeficientes delsistema y los determinantes respecto de x , y y z.
2 2 S 1 2 8 60 1
1
4
1
0
y 1
0
1 150
2 2 8 3 000 2
0
, x 0
4
150
1 2 2 8 900 , z 1 2 4
1
4
4
4 0 0 600
150
Usando la regla de Cramer se tiene x
x 3000 50, S 60
y
y 900 15, S 60
z
z 600 10 S 60
POR TANTO: tenía 35 años cuando nació el hijo mayor y 40 cuando nació el menor.
4. El dueño de un bar a comprado gaseosa, cerveza y vino por un importe total de S/. 500 (sin impuestos). El valor del vino es S/. 60 menos que el de la gaseosa y de la cerveza conjuntamente. Teniendo en cuenta que las gaseosas deben pagar un impuesto del 6%, por la cerveza 12% y por el vino 30%, lo que hace que la factura total con impuesto resulte en S/. 592.40, calcula la cantidad invertida en cada bebida.
Solución Sea “ x ” la cantidad de dinero invertido en gaseosa Sea “y ” la cantidad de dinero invertido en cerveza Sea “z” la cantidad de dinero invertido en vino Según elenunciado del problema se tiene el siguiente sistema de ecuaciones El dueño de un bar a comprado gaseosa, cerveza y vino por un importe total de S/. 500 (sin impuestos) x y z 500
El valor del vino es S/. 60 menos que el de la gaseosa y de la cerveza conjuntamente
x y z 60
Teniendo en cuenta que las gaseosas deben pagar un impuesto del 6%, por la cerveza 12% y por el vino 30%, lo que hace que la factura total con impuesto resulte en S/. 592,40. Entonces sólo impuestos es S/. 92,40. 6 x 12 y 30 z 92.4 6 x 12 y 30 z 9240 100 100 100
Por lo tanto, el sistema de ecuaciones lineales es
x y z 500 x y z 60 6 x 12 y 30 z 92.4 100 100 100
x y z 500 x y z 60 6 x 12 y 30 z 9240
Calculemos el determinante de la matriz de coeficientes delsistema y los determinantes respecto de x , y y z. 1 1 1 500 1 1
S 1
1
1 12, x 60
6 12 30
1
1 1440,
9240 12 30
1
500
1
1
1
500
y 1
60
1 1920, z 1
1
60
6 9240 30
2640
6 12 9240
Usando la regla de Cramer se tiene
x
x 1440 y 1920 z 2640 120, y 160, z 220 S S S 12 12 12
POR TANTO: se invierte S/. 120 en gaseosa, S/. 160 en cerveza y S/. 220 en vino.
5. Una agencia que alquila autos, cobra una tarifa diaria más una tarifa por distancia en kilómetros. El señor Leyva pagó $ 85 por dos días y 100 km, y al señor Guzmán le cobraron $ 165 por 3 días y 400 km. ¿Cuál es la tarifa diaria de la agencia y cuál es su tarifa por kilómetro?
Solución Sea “ x la tarifa por día ”
Sea “y la tarifa por kilómetro ”
Del enunciado del problema se tiene
“El señor Leyva pagó $ 85 por dos días y 100 km”
2 x 100 y 85
“Al señor Guzmán le cobraron $ 165 por 3 días y 400 km”
3 x 400 y 165 Entonces el sistema de ecuaciones líneas es
2 x 100 y 85 3 x 400 y 165 Calculemos el determinante de la matriz de coeficientes delsistema y los determinantes respecto de x e y .
S
2 100 3
400
500, x
Usando la regla de Cramer se tiene
85
100
165 400
17500, y
2
85
3 165
75
x
x 17500 y 75 35, y 1.5 S S 50 500
POR TANTO: la tarifa diaria es $ 35 y la tarifa por kilómetro es $ 1.5.
6. Se tiene tres denominaciones de billetes de dólar. Un paquete de 4 del primero, 1 del segundo y 2 del tercero hacen un total de $ 70. Otro paquete de 2 del primero, 4 del segundo y 3 del tercero hacen un total de $ 110 y un tercer grupo de 6 del primero, 8 del segundo y uno del tercero hacen un total de $ 130. ¿Cuál es el valor de cada billete?
Solución Sea “ x ” valor del primer billete Sea “ x ” valor del segundo billete Sea “ x ” valor del tercer billete Según el enunciado del problema se tiene las siguientes ecuaciones
“Un paquete de 4 del primero, 1 del segundo y 2 del tercero hacen un total de $ 70”
4 x y 2 z 70
“Otro paquete de 2 del primero, 4 del segundo y 3 del tercero hacen un total de $ 110”
2 x 4 y 3 z 110
“Un tercer grupo de 6 del primero, 8 del segundo y uno del tercero hacen un total de $ 130”
6 x 8 y z 130 Entonces el sistema de ecuaciones lineales es
4 x y 2 z 70 2 x 4 y 3 z 110 6 x 8 y z 130 Cambiemos la fila 1 por la fila 2 y usemos el método de eliminación gaussiana para encontrar la solución del sistema de ecuaciones lineales. Es decir:
2 4 3 6 8 1 4 1 2 2
f 2
1
110
4
3 2 4 130 f 2 3 f 1 f 2 0 4 8 70 f 3 2 f 1 f 3 0 7 4
3
0 1 2 4 0 7 4
110
10 z 200 z 20
De la segunda fila:
y 2 z 50 y 2(20) 50 y 10 De la primera fila:
200 150
2 4 3 0 1 2 50 f 3 7 f 1 f 3 0 0 10 150
De la matriz aumentada anterior se tiene lo siguiente De la tercera fila:
110
110
200 50
2 x 4 y 3 z 110 2 x 4(10) 3( 20) 110 x 5
Entonces, la solución del sistema es
x 5; y 10 z 20 POR TANTO: el valor del primer billete es S/.5, el del segundo billete S/.10 y el tercer billete S/. 20.
7. Un fabricante produce tres artículos, A, B y C. la utilidad por cada unidad vendida de A, B y C es $1, $2 y $3, respectivamente. Los costos fijos son de $17 000 por año y los costos de producción por cada unidad son $4, $5 y $7, respectivamente. El año siguiente se producirán y venderán un total de 11 000 unidades entre los tres productos, y se obtendrá una utilidad total de $25 000. Si el costo total será de $80 000. ¿Cuántas unidades de cada producto deberán producirse el año siguiente?
Solución Sea “ x ” el número de unidades producidas del articulo A Sea “y ” el número de unidades producidas del articulo B Sea “z” el número de unidades producidas del articulo C Del enunciado del problema se tiene las siguientes ecuaciones lineales
“La utilidad por cada unidad vendida de A, B y C es $1, $2 y $3, respectivamente… y se obtendrá una utilidad total de $25 000” x 2 y 3 z 25 00 0
“Los costos fijos son de $17 000 por año y los costos de producción por cada unidad son $4, $5 y $7, respectivamente… Si el costo total será de $80 000” 4 x 5 y 7 z 80 000 17 000
(Recordar CT=CF+CV)
4 x 5 y 7 z 63 000
“El año siguiente se producirán y venderán un total de 11 000 unidades entre los tres productos” x y z 11 000
Entonces el sistema de ecuaciones lineales es
x y z 11 00 0 x 2 y 3 z 25 000 4 x 5 y 7 z 63 00 0 Usando el método de eliminación gaussiana
1 1 1 1 2 3 4 5 7
11000
1 1 1 25000 f 2 f 1 f 2 0 1 2 f 3 4 f 1 f 3 0 1 3 63000
11000
11000
14000
1 1 1 0 1 2 14000 19000 f 3 f 2 f 3 0 0 1
De la matriz aumentada anterior se puede representar como el siguiente sistema
x y z 11000 y 2 z 14000 z 5000
5000
Por sustitución hacia atrás obtenemos la solución del sistema
x 2000; y 4000
z 5000
POR TANTO: deberá producir 2 000 unidades del artículo A, 4 000 unidades del artículo B y 5 000 unidades del artículo C
8.
Una empresa minera tiene tres campamentos mineros con la siguiente información:
Níquel (%)
Cobre (%)
Hierro (%)
1 2 1
2 5 3
3 7 1
Campamento A Campamento B Campamento C
¿Cuántas toneladas de cada campamento deben utilizar para obtener 7 toneladas de níquel, 18 toneladas de cobre y 16 toneladas de hierro?
Solución Sea “ x ” las toneladas del campamento A Sea “y ” las toneladas del campamento B Sea “z” las toneladas del campamento C De cada columna del cuadro se obtiene una ecuación lineal, entonces el sistema de ecuaciones es
1% x 2% y 1% z 7 1 x 2 y 1 z 700 2% x 5% y 3% z 18 2 x 5 y 3 z 1800 3% x 7% y 1% z 16 3 x 7 y 1 z 1600 Usando el método de eliminación gaussiana
1 2 1 2 5 3 3 7 1
700
1 2 1 1800 f 2 2 f 1 f 2 0 1 1 f 3 3 f 1 f 3 0 1 2 1600
700
1 1 1 0 1 1 400 500 f 3 f 2 f 3 0 0 3
700
900 400
De la matriz aumentada anterior podemos representar el sistema como
x y z 70 0 y z 40 0 3 z 90 0 Por sustitución hacia atrás obtenemos la solución del sistema
x 200; y 100
z 300
POR TANTO: deben utilizar 200 toneladas del campamento A, 100 del campamento B y 300 del campamento C.
9.
Se venden tres especies de cereales: trigo, cebada y alpiste. Cada kilo de trigo se vende por S/. 4, El de cebada por S/. 2 y el de alpiste por S/. 0.50. Si se vende 100 kilos en total y el número de kilos de alpiste excede en 36 kilos al trigo y la cebada juntos, obteniendo por la venta S/. 100, ¿Cuántos kilos de cada cereal se venden?
Solución
Sea “ x ” la cantidad de kilos de trigo Sea “y ” la cantidad de kilos de cebada Sea “z” la cantidad de kilos de alpiste Del enunciado del problema se tiene las siguientes ecuaciones lineales
“Se vende 100 kilos en total”
x y z 100
“El número de kilos de alpiste excede en 36 kilos al trigo y la cebada juntos”
z ( x y ) 36 x y z 36
“Cada kilo de trigo se vende por S/. 4, El de cebada por S/. 2 y el de alpiste por S/. 0.50 … obteniendo por la venta S/. 100”
4 x 2 y 0.5 z 100 Entonces, se tiene el siguiente sistema de ecuaciones lineales
x y z 100 x y z 36 4 x 2 y 0.5 z 100 Usando el método de eliminación gaussiana 1 1 1 1 1 1 4 2 0.5
100
1 1 1 36 f 2 f 1 f 2 0 0 2 100 f 3 4 f 1 f 3 0 2 3.5
136 f 2 f 3 300 100
1 1 1 0 2 3.5 0 0 2
100
300 136
De la matriz aumentada anterior podemos representar el sistema como sigue
x y z 100 2 y 3.5 z 300 2 z 136 Por sustitución hacia atrás obtenemos la solución del sistema
x 1; y 31;
z 68
POR TANTO: se venden 1 kilo de trigo, 31 kilos de cebada y 68 kilos de alpiste.
10. Una empresa juguetera produce tres tipos de carritos, el modelo a pilas con un precio de 100 pesos, el modelo a fricción con un precio de 200 pesos y el modelo a control remoto con un precio de 300 pesos. Cierto día se vendieron un total de 47 carritos por un total de 11100 pesos, por falta de tiempo no detallaron en la guía de remisión las cantidades de los diferentes tipos de carritos vendidos la cual es necesaria para llevar la contabilidad en la empresa. Si solo recordaron que la cantidad de carritos a fricción vendida superaba en una unidad a la cantidad llevada de los otros dos tipos de carritos. ¿Es posible saber cuántos carritos de cada tipo se vendieron?
Solución
x y z 47
100 x 200 y 300 z 11100 x y z 1 F2 F2 100 F1
F3 F2 50 F3
1 1 47 1 100 200 300 11100 1 1 1 1
1 47 1 1 0 100 200 6400 0 2 0 48
1 47 1 1 0 100 200 6400 0 0 200 4000
F3 F1 F 2
200 z 4000 z 20 100 y 200(20) 640 0 y 24 x 24 20 47 x 3 11. Un videoclub está especializado en películas de tres tipos: infantiles, oeste americano y terror. Se sabe que: El 60% de las películas infantiles más el 50% de las del oeste representan el 30% del total de las películas. El 20% de las infantiles más el 60% de las del oeste más del 60% de las de terror al representan la mitad del total de las películas. Hay 100 películas más del oeste que de infantiles. Halla el número de películas de cada tipo.
Solución: Infantiles: x Oeste: y Terror: z Del enunciado 50 30 60 ( x y z ) x y 100 100 100 20 60 60 1 x y z ( x y z ) 100 100 2 100 y x 100
3 x 2 y 3 z 0 3 x y z 0 x y 100
Por el método de Eliminación Gaussiana, tenemos la matriz aumentada del sistema anterior es
1 1 0 3 2 .3 3 1 1
0 1 1 0 0 5 .3 0 2 1 0
100
1 1 0 300 0 5 .3 0 0 1 300 100
100
900 300
Luego podemos deducir que z 900
y 600 x 500
Respuesta: El número de películas: infantiles 500, oeste 600 y de terror 900 películas 12. Disponemos de tres lingotes de distintas aleaciones de tres metales A, B y C . El primer lingote contiene 20 g del metal A, 20 g del B y 60 del C . El segundo contiene 10 g de A, 40 g de B y 50 g de C . El tercero contiene 20 g de A, 40 g de B y 40 g de C . Queremos elaborar, a partir de estos lingotes, uno nuevo que contenga 15 g de A, 35 g de B y 50 g de C .
¿Cuántos gramos hay que coger de cada uno de los tres lingotes?
Solución LINGOTE I II III
A 20 g 10 g 20 g
B 20 g 40 g 40 g
C 60 g 50 g 40 g
TOTAL 100 g 100 g 100 g
x cantidad en gramos del lingote I Sea y cantidad en gramos del lingote II z cantidad en gramos del lingote III
Entonces LINGOTE I (x g) II (y g) III (z g) TOTAL
A 0,2x g O,1y g 0,2z g 15 g
B 0,2x g 0,4y g 0,4z g 35 g
C 0,6x g 0,5y g 0,4z g 50 g
TOTAL xg yg zg 100 g
El sistema que se forma es:
0 2 x 0 1y 0 2 z 15 2 x y 2z 150 0 2 x 0 4 y 0 4 z 35 que es equivalente a 2 x 4y 4z 350 resolviendo 0 6 x 0 5 y 0 4 z 50 6 x 5y 4z 500 ,
,
,
,
,
,
,
,
,
Rpta.: De cada lingote se debe tomar 25 g, 50 g y 25 g respectivamente.
x 25 y 50 z 25
