Módulo: I
Unidad:: II Unidad
Semana:: 3 Semana
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES I
CHAMBERGO GARCIA, ALEJANDRO
Planteamiento de Problemas
1. Mezcla de Productos • Una empresa produce 2 tipos de Televisores, el LED y el LCD. • Hay 2 líneas de producción, uno para cada tipo de televisor, televisor, y 2 departamentos que intervienen ambos en la producción de cada aparato. • La capacidad de la línea de producción LED es de 70 televisores diarios y la línea de LCD es de 50 televisores por día. • En el departamento A se fabrican los cinescopios. En este departamento los televisores LED requieren 1 hora de trabajo y los de LCD 2. Actualmente, en el departamento A se puede asignar un máximo de 120 horas de trabajo por día a la producción de ambos tipos de televisor. • En el departamento B se construye el chasis. En este departamento, los televisores LED requieren 1 hora de trabajo, igual que los LCD. • En la actualidad se puede asignar un máximo de 90 horas de trabajo diarias al departamento de B para la producción de ambos tipos de televisores.
1. Mezcla de Productos La utilidad por cada tipo de televisor es de US$ 20 y US$ 10 respectivamente, para cada LED y LCD. Ver cuadro. Sí la empresa puede vender todos los televisores que se produzcan, ¿Cuál debe ser el plan de producción diaria de cada tipo de televisor? Plantear este problema como un programa lineal Uso de trabajo por tipo (horas) Disponibilidad diaria
Dpto. A
Dpto. B
Utilidad
LED
70
1
1
$ 20
LCD
50
2
1
$ 10
TOTAL TOTAL
120
90
1. Mezcla de Productos Solución X1 = Producción diaria de TV LED (aparatos por día) X2 = Producción diaria de TV LCD (aparatos por día) Maximizar 20 X1 + 10 X2 Sujeto a : ≤ 70 Línea1) X1 ≤ 50 Línea2) X2 DptoA) X1 + 2 X2 ≤ 120 ≤ 90 DptoB) X1 + X2 NoNegat)
X1, X2 ≥ 0
2. Mezcla de Productos • Una bolsa de 16 onzas de alimentos para perros debe contener proteínas, carbohidratos y grasas en las siguientes cantidades mínimas: proteínas, 3 onzas; carbohidratos, 5 onzas; grasas, 4 onzas. • Se van a mezclar cuatro tipos t ipos de alimento en diversas proporciones para producir una bolsa de alimento para perro que satisfaga los requerimientos. • Los contenidos y precios de 16 onzas de cada alimento se pueden ver el cuadro siguiente (datos en onzas) • Formule este problema como un programa lineal. Alimento
1 2 3 4
Contenido Proteínas
3 5 2 3
Contenido Contenido Carbohidratos Grasas
7 4 2 8
5 6 6 2
Precio
$4 $6 $3 $2
2. Mezcla de Productos Solución Xi la proporción del alimento i que habrá en una bolsa de 16 onzas de alimento para perro, i = 1,2,3,4 Minimizar 4X1 + 6X2 + 3X3 + 2X4 Sujeto a: Proteina) 3 X1 + 5 X2 + 2 X3 + 3 X4 ≥ 3 Carbohi) 7 X1 + 4 X2 + 2 X3 + 8 X4 ≥ 5 Grasas) 5 X1 + 6 X2 + 6 X3 + 2 X4 ≥ 4 Total) X1 + X2 + X3 + X4 = 1 X1, X2, X3, X4 ≥ 0
3. Mezcla de Productos •
•
•
•
La Pro-Shaft Company fabrica y vende tres líneas de raquetas de tenis: A, B y C: A es una raqueta “estándar”, B y C son raquetas “profesionales”. El proceso de manufactura de las raquetas hace que se requieran dos operaciones de producción; todas las raquetas pasan a través de ambas operaciones. Cada raqueta requiere 3 horas de tiempo de producción en la operación 1. En la operación 2 la raqueta A requiere 2 horas de tiempo de producción; la raqueta B requiere 4 horas y la C, 5. La operación 1 tiene 50 horas de tiempo semanal de producción y la operación 2 tiene suficiente mano de obra para operar 80 horas a la semana.
3. Mezcla de Productos • •
•
•
El grupo de mercadotecnia de la Pro-Shaft ha proyectado que la demanda de la raqueta estándar no será de más de 25 por semana. Debido a que las raquetas B y C son de calidad similar, similar, se ha pronosticado que la demanda combinada para éstas será, en total, de diez o más, pero no más de 30 por semana. La venta de la raqueta A da como resultado $7 de utilidades, en tanto que las raquetas B y C proporcionan utilidades de $8.00 y $8.50, respectivamente, ¿Cuántas raquetas del tipo A, B y C deben fabricarse por semana, si la compañía busca maximizar sus utilidades? Plantee el problema como un problema estándar de PL. PL .
3. Mezcla de Productos Objetivo (verbal) El objetivo es determinar cuántas raquetas del tipo A, B y C deben fabricarse por semana, si la compañía busca maximizar sus utilidades.
Variables (estructura matemática) Se requieren tres variables, puesto que existen tres clases de raquetas. X1 = número de raquetas tipo A (estándar) a producir X2 = número de raquetas tipo B a producir X3 = número de raquetas tipo C a producir.
3. Mezcla de Productos Función objetivo (estructura matemática) La función objetivo debe expresarse en dólares ya que se desea maximizar las utilidades. Los coeficientes de la misma deben ser el aporte de las utilidades de cada una de las raquetas. c A = 7,0 ; cB = 8,0 ; cC = 8,5 De donde la función objetivo será. MAXIMIZAR Z = 7 X A + 8 XB + 8.5 XC
3. Mezcla de Productos Restricciones (estructura matemática)
1. Rest Restric ricci cion ones es por por tie tiemp mpoo de de pro produ ducc cció iónn La operación 1 tiene 50 horas de tiempo semanal de producción 3 x A + 3 xB + 3 xC ≤50 y la operación 2 tiene suficiente mano de obra para operar 80 horas a la semana. 2 x A+ 4 xB + 5 xC ≤80 2. Restricción por el departamento de mercadotecnia El grupo de mercadotecnia de la Pro-Shaft ha proyectado que la demanda de la raqueta estándar no será de mas de 25 por semana. x A ≤25 Debido a que las raquetas B y C son de calidad similar, similar, se ha pronosticado que la demanda combinada para éstas será, en total, de diez o mas, pero no mas de 30 por semana xB + xC ≥ 10 ≤30
3. Mezcla de Productos Planteamiento MAX Z = 7 x A + 8 xB + 8.5 xC Sujeto a 3 x A + 3 xB + 3 xC ≤ 50 2 x A+ 4 xB + 5 xC ≤ 80 x A ≤ 25 xB + xC ≥ 10 xB + xC ≤ 30 x A , xB , xC ≥ 0
4. Empresa de Muebles • La empresa de muebles de oficina, produce dos tipos de escritorios: ejecutivos y secretariales. • La empresa tiene dos plantas en las que fabrica los escritorios. La planta 1, que es una planta antigua, opera con doble turno 80 horas por semana. La planta 2 es una planta más nueva y no opera a su capacidad total. • Sin embargo, y dado que los administradores planean operar la segunda planta con base en un turno doble como el de la planta 1, se ha encontrado operadores para que trabajen los dos turnos. • En estos momentos, cada turno de la planta 2 trabaja 25 horas por semana. • No se paga ninguna prima adicional a los trabajadores del segundo turno.
4. Empresa de Muebles • La empresa ha competido con éxito en el pasado asignado un precio de US$ 350 a los escritorios ejecutivos. Sin embargo, parece que la empresa tendrá que reducir el precio de los escritorios secretariales a US$ 275 con el objeto de estar en posición competitiva. • La empresa ha estado experimentando excesos de costos en las últimas ocho o diez semanas; por lo tanto, los administradores han fijado una restricción presupuestaria semanal sobre los costos de producción. El presupuesto semanal para la producción total de escritorios ejecutivos es de US$ 2,000, en tanto que el presupuesto para los escritorios secretariales es de US$ 2,200. • A los administradores les gustaría determinar cuál es el número de cada clase de escritorios que deben fabricarse en cada planta con el objeto de maximizar las utilidades.
4. Empresa de Muebles • La tabla siguiente, muestra el tiempo de producción (en horas por unidad) y los costos estándar (en US$ por unidad) en cada planta. Tiempo de producción (hrs/unidad) Planta 1
Planta 2
Costo Estándar ($/unidad) Planta 1
Planta 2
Escritorios ejecutivos
7
6
250
260
Escritorios Secretariales
4
5
200
180
4. Empresa de Muebles Objetivo (Verbal)
La empresa necesita determinar el número de escritorios ejecutivos y secretariales que deben fabricarse en la planta 1 y los que deben fabricarse en la planta 2 con el objeto de maximizar las utilidades. La utilidad por unidad en las respectivas plantas es la diferencia entre el precio de venta y los costos estándar Variables (Estructura matemática)
Dado que es necesario determinar la cantidad de cada tipo de escritorio que va a fabricarse en la planta 1 y en la planta 2, se requieren cuatro variables: X1 : número de escritorios ejecutivos que se fabrican en la planta 1 X2 : número de escritorios secretariales que se fabrican en la planta 1 X3 : número de escritorios ejecutivos que se fabrican en la planta 2 X4 : número de escritorios secretariales que se fabrican en la planta 2
4. Empresa de Muebles Coeficientes de la función objetivo (estructura matemática)
La función objetivo se expresará en US$, puesto que el objetivo es maximizar las utilidades; por lo tanto, los coeficientes C j se expresarán en US$ por unidad, dado que las X j están expresadas en unidades. Los coeficientes C j se determinan encontrando la diferencia entre el precio de venta de un determinado tipo ti po de escritorio y los costos estándar implicados en la fabricación de ese escritorio en la planta específica. Por lo tanto: C1 = 350 – 350 – 250 250 = $100 / escritorio ejecutivo fabricado en la planta 1 C2 = 275 – 275 – 200 200 = $75 / escritorio secretarial fabricado en la planta 1 C3 = 350 – 350 – 260 260 = $90 / escritorio ejecutivo fabricado en la planta 2 C4 = 275 – 275 – 180 180 = $95 / escritorio secretarial fabricado en la planta 2 Función Objetivo (Estructura matemática)
Maximizar Z = 100 X 1 + 75 X2 + 90 X3 + 95 X4
4. Empresa de Muebles Restricciones (Estructura matemática)
Puesto que las unidades de medición pueden diferir de una restricción a otra, se considera cada una de ellas en forma separada. 1. Límite del tiempo de producción en la planta 1 ( 80 horas) (7.0 horas por unidad) x ( X1 unidades) + (4.0 horas unidad) x (X 2 unidades) ≤ 80 horas
2. Límite del tiempo de producción en la planta 2 ( 50 horas) (6.0 horas por unidad) x ( X3 unidades) + (5.0 horas unidad) x (X 4 unidades) ≤ 50 horas
3. Restricción de costos de los escritorios ejecutivos ( US$ 2,000) (250 US$ por unidad) x ( X 1 unidades) + (260 US$ unidad) x (X 3 unidades) ≤ US$ 2,000
4. Restricción de costos de los escritorios secretariales ( US$ 2,200) (200 US$ por unidad) x ( X 2 unidades) + (180 US$ unidad) x (X 4 unidades) ≤ US$ 2,200
4. Empresa de Muebles Planteamiento Matemático Maximizar Z = 100 X 1 + 75 X2 + 90 X3 + 95 X4 Sujeto a 7.0 X1 + 4.0 X2 ≤ 80 horas 6.0 X3 + 5.0 X4 ≤ 50 horas 250 X1 + 260 X3 ≤ US$ 2,000 200 X2 + 180 X4 ≤ US$ 2,200 X1, X2, X3, X4 ≥ 0
5. Distribuidores de combustibles • La Distribuidora comercializa gasolina de dos grados: la extra y la normal. • Cada gasolina debe satisfacer ciertas especificaciones, tales como la presión máxima de vapor aceptable y el octanaje mínimo. • Los requerimientos de manufactura para las gasolinas y el precio por barril se muestran en la tabla que sigue: Octanaje mínimo
Presión máxima de vapor
Precio de venta (por barril)
Normal
80
9
$ 21
Extra
100
6
$ 24
Gasolina
5. Distribuidores de combustibles • Se utilizan 3 tipos de gasolinas para fabricar las gasolinas normal y extra. Las características de las gasolinas se muestran en la tabla: Gasolina base Tipo 1 Tipo 2 Tipo 3
Octanaje
Presión de vapor
Precio de venta (por barril)
Costo por barril
108 90 73
4 10 5
32 000 20 000 38 000
$ 22 $ 20 $ 19
• La Empresa se ha comprometido con un comprador a proporcionarle 30,000 barriles de gasolina normal por semana. No se tienen compromisos con respecto a la gasolina extra. • A la compañía le gustaría determinar el plan de manufactura para las 2 clases de gasolina que maximice las utilidades.
5. Distribuidores de combustibles Objetivo (Verbal)
A la Empresa le gustaría mezclar las dos gasolinas base (tipos 1,2 y 3) para fabricar gasolinas extra y normal, de manera que las utilidades totales de las ventas de las cantidades (barriles) sean máximas. Restricciones
1. La dispon disponibilida ibilidadd semanal semanal máxima máxima de gasoli gasolina na base tipo 1 es 32,000 32,000 barriles. El tipo 1 puede utilizarse para fabricar ambos productos. 2. La dispon disponibilid ibilidad ad semanal semanal máxima máxima de la gasolina gasolina base base tipo 2 es 20,00 20,0000 barriles. El tipo 2 puede usarse en la fabricación de ambos productos finales. 3. La dispon disponibilida ibilidadd semanal semanal máxima máxima de gasoli gasolina na base tipo 3 es 38,000 38,000 barriles. El tipo 3 puede emplearse en la fabricación de ambos productos finales. 4. La presión presión de de vapor vapor de la gasolin gasolinaa normal mezclada mezclada no debe exced exceder er 9 unidades por barril.
5. Distribuidores de combustibles Restricciones
[En este caso, las unidades podrían ser libras por pulgada cuadrada, es decir, decir, 9 psi (de sus iníciales en inglés); sin embargo, puede utilizarse el término unidades.] 5. El octanaj octanajee de la gasol gasolina ina normal normal mezclada mezclada debe debe ser ser cuando cuando menos menos de 80 unidades por barril. 6. La presión presión de de vapor vapor para para la gasoli gasolina na extra mezclada mezclada no debe exced exceder er 6 unidades por barril. 7. El octanaj octanajee de la gasol gasolina ina extra extra mezclada mezclada debe debe ser ser cuando cuando menos menos de 100 unidades por barril. 8. Deben Deben fabricarse fabricarse cuand cuandoo menos menos 30,000 30,000 barriles barriles de de gasolina gasolina normal normal para satisfacer los pedidos que se han comprometido.
5. Distribuidores de combustibles Variables (estructura matemática)
• Este problema requiere el uso de seis variables, puesto que hay que determinar la cantidad de cada una de las gasolinas base que debe mezclarse para fabricar los dos productos finales. fi nales. • Puede parecer que el uso de tantas variables es algo desorientador, desorientador, puesto que el objetivo del problema es determinar las cantidades de los dos productos finales que deben fabricarse, pero si no se sigue este método, no habría manera de identificar cómo es que se fabricarán los productos finales. • Por tanto, sea Xi = número de barriles de gasolina base tipo i que debe utilizarse para fabricar gasolina normal
5. Distribuidores de combustibles X1 = número de barriles de gasolina base tipo 1 que debe utilizarse para fabricar gasolina normal X2 = número de barriles de gasolina base tipo 2 que debe utilizarse para fabricar gasolina normal X3 = número de barriles de gasolina base tipo 3 que debe utilizarse para fabricar gasolina normal X4 = número de barriles de gasolina base tipo 1 que debe utilizarse para fabricar gasolina extra X5 = número de barriles de gasolina base tipo 2 que 3 debe utilizarse para fabricar gasolina extra X6 = número de barriles de gasolina base tipo 3 que debe utilizarse para fabricar gasolina extra Las cantidades de gasolina normal y extra que se requieren para maximizar las utilidades pueden determinarse sumando X 1, X2, y X3 por una parte, y X4, X5 y X6 por la otra, respectivamente, a la solución óptima para el problema.
5. Distribuidores de combustibles Coeficientes de la función objetivo (estructura matemática) • La función objetivo (Z) se expresará en dólares, puesto que el objetivo es maximizar utilidades. • Por tanto, los coeficientes c j se expresarán en dólares por barril, puesto que las x j se expresan en barriles. • Para determinar la contribución a las utilidades para las respectivas gasolinas básicas, simplemente se determina la diferencia entre el precio de venta por barril y el costo por barril: C1 = 21 - 22 = -1 dólar por barril de gasolina base 1 utilizada en la normal C2 = 21 - 20 = 1 dólar por barril de gasolina base 2 usada en la normal C3 = 21 - 19 = 2 dólares por barril de gasolina base 3 empleada en la normal C4 = 24 - 22 = 2 dólares por barril de gasolina base 1 utilizada en la extra C5 = 24 - 20 = 4 dólares por barril de gasolina base 2 usada en la extra C6 = 24 - 19 = 5 dólares por barril de gasolina base 3 empleada en la extra
5. Distribuidores de combustibles Función objetivo (estructura matemática) MAXIMIZAR: Z = - 1 X1 + 1 X2 + 2 X3 + 2.X4 + 4 X5 + 5 X6 Restricciones (estructura matemática) 1. Restricción de la disponibilidad de gasolina base tipo 1: 1: (X1 barriles de gasolina base 1 utilizada en la normal) + (X 4 barriles de gasolina base 1 utilizada en la extra) ≤ 32,000 barriles de gasolina base 1 2. Restricción de la disponibilidad de gasolina base tipo 2: 2: (X2 barriles de gasolina base 2 utilizada en la normal) + (X 5 barriles de gasolina base 2 utilizada en la extra) ≤ 20,000 barriles de gasolina base 2 3. Restricción de la disponibilidad de gasolina base tipo 3: 3: (X3 barriles de gasolina base 3 utilizada 3 utilizada en la normal) + (X 6 barriles de gasolina base 3 utilizada en la extra) ≤ 38,000 barriles de gasolina base 3
5. Distribuidores de combustibles 4. Presión de vapor para la gasolina normal:
•Se estructura esta restricción reconociendo que la presión de vapor de la gasolina normal se determina a través de la proporción de gasolina que es atribuible a la base respectiva y el vapor asociado con cada una de las gasolinas base específicas. La proporción de base en un barril de gasolina normal se determina dividiendo la cantidad (barriles) de cada gasolina base que se usa en la gasolina normal entre el número total de barriles de ésta.
• Si se multiplican las proporciones respectivas por la presión de vapor asociada con cada gasolina base, los resultados serán la presión de vapor que cada base introduce en cada uno de los barriles de gasolina normal. Los valores de estas presiones de vapor se expresan de la siguiente manera:
5. Distribuidores de combustibles 4. Presión de vapor para la gasolina normal:
•Dado que la presión de vapor para la gasolina regular no debe ser mayor que 9 unidades por barril, la restricción es:
5. Octanaje de la gasolina normal:
•Esta restricción se estructura de la misma manera que la restricción para la presión de vapor, excepto que se utilizan octanajes en vez de presiones de vapor
5. Distribuidores de combustibles 6. Presión de vapor para la gasolina extra:
7. Octanaje para la gasolina extra:
•Se puede verificar las unidades de medición de las restricciones 4, 5, 6 y 7. •Es fácil ver que las restricciones se equilibran si reconocemos que los cocientes X1 / (X1+ X2 + X3) son proporciones proporciones y no tienen t ienen unidades de medición.
5. Distribuidores de combustibles 8. Pedidos comprometidos:
•El número total de barriles de gasolina normal que se fabrica es la suma de X1, X2, y X3 (es decir, X1 + X2 + X3). Dado que la Empresa se ha comprometido a vender 30,000 barriles de gasolina normal, la restricción es
• Antes Antes de poder expresar el modelo en forma general de PL, es necesario transformar algebraicamente algebraicamente las ecuaciones 4 a 7. La restricción 4 se expresa
•Multiplicando ambos términos de la desigualdad por X1 + X2 + X3, se tiene
5. Distribuidores de combustibles Planteamiento Matemático MAXIMIZAR: Z = - l X1 + 1 X2 + 2 X3 + 2.X4 + 4 X5 + 5 X6
SUJETO A:
X1
X2
+ X4 X3
-5 X1 + X2 - 4 X3 28 X1 + 10 X2 - 7 X3 X1
+ X2
+ X3
+ X5
+ X6
- 2 X4 + 4 X5 - X6
X1, X2, X3, X4, X5, X6 ≥ 0
≤ 32,000 ≤ 20,000 ≤ 38,000 ≤0 ≥0 ≤0 ≥ 30,000
6. La Ware Farms del Valle Schoharie • •
•
•
La Ware Farms del Valle Schoharie, cerca de Albany, N.Y., cultiva brócoli y coliflor en 500 acres de terreno en el valle Un acre de brócoli produce $500 de contribución a las utilidades y la contribución de un acre de coliflor es de $1000. Debido a reglamentos gubernamentales, no pueden cultivarse mas de 200 acres de brócoli. Durante la temporada de plantación, habrá disponibles 1200 horashombre de tiempo de plantadores. Cada acre de brócoli requiere 2.5 horas-hombre y cada acre de coliflor requiere 5.5 horas-hombre. Plantee un problema de PL para determinar cuántos acres de brócoli y cuántos de coliflor deben plantarse para maximizar la contribución a las utilidades.
6. La Ware Farms del Valle Schoharie Solución Objetivo (verbal) •
El objetivo es determinar cuántos acres de brócoli y cuántos de coliflor deben cultivarse para maximizar las utilidades
Restricciones (verbales) 1. Se tiene un terreno de 500 acres . 2. Debido a reglamentos reglamentos gubernamentales, no pueden pueden cultivarse mas de 200 acres de brócoli 3. Durante la temporada de plantación, plantación, habrá disponibles 1200 1200 horas-hombre de tiempo de plantadores
Variables (estructura matemática) •
Se requieren dos variables, puesto que existen dos clases de cultivos. X1 = acres de terreno sembrado de brócoli X2 = acres de terreno sembrado de coliflor
6. La Ware Farms del Valle Schoharie Función objetivo (estructura matemática) •
Con base en el planteamiento planteamiento verbal del problema, se concluye que la función objetivo debe expresarse en dólares, puesto que el objetivo consiste en maximizar los ingresos esperados; Los coeficientes c j para el problema son los rendimientos esperados por acre sembrado c1 = 500 y c2 = 1000 Por lo que la función objetivo será MAXIMIZAR Z = 500 X1 + 1000 X2
6. La Ware Farms del Valle Schoharie Restricciones (estructura matemática) 1. Rest Restriricc cció iónn del del ár área ea de cu cultltiv ivoo Se tiene un terreno de 500 acres para sembrar brócoli y coliflor X1 + X2 ≤ 500 2. Restricción por reglamentos gubernamentales Debido a reglamentos gubernamentales, no pueden cultivarse mas de 200 acres de brócoli X1 ≤ 200 3. Re Rest striricc cció iónn de de la ma mano no de ob obra ra Se tiene disponibles 1200 horas-hombre de tiempo de plantadores 2.5 X1 + 5.5 X2 ≤ 1200
6. La Ware Farms del Valle Schoharie Planteamiento matemático MAXIMIZAR Z = 500 X 1 + 1000 X2 Sujeto a: X1 + X2 X1 2.5 X1 + 5.5 X2 X1, X2 ≥ 0
≤ 500 ≤ 200 ≤ 1200
7. La Higgins Company •
• • • • •
La Higgins Company fabrica piezas de metal de alta precisión que se utilizan en los motores de automóviles de carreras. La pieza se fabrica en un proceso de forjado y refinación y son necesarias cantidades mínimas de diversos metales. Cada pieza requiere 40 onzas de plomo, 48 de cobre y 60 de acero colado. Existen 4 tipos de mineral disponible para el proceso de acero forjado y refinación. El mineral de tipo 1 contiene 4 onzas de plomo, 2 de cobre y 2 de acero colado por libra. Una libra de mineral de tipo 2 contiene 2 onzas de plomo, 6 de cobre y 6 de acero colado.
7. La Higgins Company • • •
•
•
Una libra de mineral de tipo 3 contiene 1 onza de plomo, 4 de cobre y 4 de acero colado. Por ultimo, el mineral de tipo 4 contiene ½ onza de plomo, 1 de cobre y 8 onzas de acero colado por libra. El costo por libra para los cuatro minerales es $ 20, $ 30, $ 60 y $ 50, respectivamente. A Higgins le gustaría mezclar los minerales de manera que se satisfagan las especificaciones de las piezas y se minimice el costo de fabricarlas. Defina las variables de decisión y plantee el apropiado modelo de PL.
7. La Higgins Company SOLUCION Objetivo (verbal) •
Fabricar piezas de metal de alta precisión que se usan en los motores de automóviles de carreras, mezclando los minerales de manera que satisfagan las especificaciones de las piezas y se minimice el costo de fabricarlas.
Restricciones (verbales) •
Cada pieza requiere 40 onzas de plomo, 48 de cobre y 60 de acero colado
Variables (estructura matemática) •
Se requieren seis variables. X1 = libras del mineral del tipo 1 X2 = libras del mineral del tipo 2 X3 = libras del mineral del tipo 3 X4 = libras del mineral del tipo 4
7. La Higgins Company Función objetivo (estructura matemática) •
•
•
Con base en el planteamiento verbal del problema, se concluye que la función objetivo debe expresarse en dólares, puesto que el objetivo consiste en minimizar los egresos esperados. Los coeficientes c j para el problema es el costo por libra de los 4 tipos de mineral c1 = 20 ; c2 = 30 ; c3 = 60 y c4 = 50 La función objetivo es: MINIMIZAR Z = 20 X1 + 30 X2 + 60 X3 + 50 X4
7. La Higgins Company Restricciones (estructura matemática) 1. Restri Restricc cció ión n de de requer requerimi imient ento o de de metal metal 2. Cada Cada pieza pieza requi requiere ere 40 40 onzas onzas de de plomo plomo,, 48 de cobr cobre e y 60 de acero colado 4 X1 + 2 X2 + X3 + 0.5 X4 ≥ 40 2 X1 + 6 X2 + 4 X3 + X4 ≥ 48 2 X1 + 6 X2 + 4 X3 + 8 X4 ≥ 60
7. La Higgins Company Planteamiento matemático
MINIMIZAR Z = 20 X1 + 30 X2 + 60 X3 + 50 X4 Sujeto a: 4 X1 + 2 X2 + X3 + 0.5 X4 ≥ 40 ≥ 48 2 X1 + 6 X2 + 4 X3 + X4 2 X1 + 6 X2 + 4 X3 + 8 X4 ≥ 60 X1, X2 , X3 , X4 ≥ 0
8. Asignación Asignación de personal El hospital María Auxiliadora ha decidido ampliar su servicio de urgencias (abierto las 24 horas) con la consiguiente necesidad de nuevo personal de enfermería. • La gerencia del hospital ha estimado las necesidades mínimas de personal por tramos horarios para poder cubrir las urgencias que se presenten. Se definieron 6 turnos o tramos de 4 horas. La necesidad mínima de personal en cada turno se indica en el Cuadro 1. • Por otro lado, el departamento de recursos humanos ha informado a la gerencia, que los contratos laborales han de ser de ocho horas seguidas, según el Convenio firmado con los sindicatos, independientemente de los horarios de entrada y salida del personal. •
8. Asignación Asignación de personal El problema es encontrar el número mínimo de personal necesario para cubrir la demanda. • Cuadro 1: Necesidades de personal por turnos o tramos horarios. •
Tramos Horarios J
1
2
3
4
5
6
Turno
0:00 a 4:00
4:00 a 8:00
8:00 a 12:00
12:00 a 16:00
16:00 a 20:00
20:00 a 24:00
Personal
9
5
3
7
5
6
8. Asignación Asignación de personal SOLUCION Formulación del Problema •
En primer lugar, se tienen que definir las variables del modelo que queremos desarrollar. Como hemos de controlar en número de personal en cada turno, definimos Xj como la cantidad de personal personal que entra a trabajar en el turno j, en donde j=1,...,6. Es decir, hay una variable para cada turno.
•
Las restricciones del modelo tienen que reflejar la necesidad de que la cantidad de personal que entren en el periodo j más el número número de personas que entraron entraron a trabajar en el turno j-1 sean suficientes para cubrir las necesidades del turno j (Nj). Esta situación queda reflejada en el Cuadro 2.
8. Asignación Asignación de personal •
•
•
•
En esta tabla, un trabajador que entra a trabajar, por ejemplo, a las 4:00, trabajará en los turnos 2 y 3, y por tanto, contribuirá a cubrir las necesidades de estos dos turnos. En otras palabras, el turno j estará siendo siendo atendido por X j-1 y X j . En consecuencia, tendremos que X j-1 + X j (el personal que trabaja durante el turno j) tiene que ser, como mínimo, igual a N j , que es el número mínimo de personal de enfermería enfermería necesario para este este turno. En términos matemáticos la restricción es la siguiente: X j-1 + X j ≥ N j
Habrá una restricción para cada horario de entrada.
8. Asignación Asignación de personal Tramos Horarios J
1
2
3
4
5
6
Turno
0:00 a 4:00
4:00 a 8:00
8:00 a 12:00
12:00 a 16:00
16:00 a 20:00
20:00 a 24:00
0:00
X1
X1
4:00
X2
8:00
X2 X3
12:00
X3 X4
16:00
X4 X5
20:00
X6
Personal
9
X5 X6
5
3
7
Cuadro 2: Necesidades de personal
5
6
8. Asignación Asignación de personal •
El objetivo de la gerencia consiste en la minimización del número total de personal de enfermería necesario para cubrir las necesidades diarias. Este número será igual a X 1 +X 2 +X 3 +X 4 +X 5 +X 6 que representa la suma del número de personal que entra en cada periodo.
•
Minimizar Z= X 1 +X 2 +X 3 +X 4 +X 5 +X 6
8. Asignación Asignación de personal Planteamiento matemático
Minimizar Z= X1 +X2 +X3 +X4 +X5 +X6 Sujeto a X1 + X6 ≥ 9 X1 + X2 ≥5 ≥3 X2 + X3 X3 + X4 ≥7 ≥5 X4 + X5 X5+ X6 ≥ 6 X1, X2, X3, X4, X5, X6 ≥ 0
GRACIAS
