Semana 7 Teoria Ejercicios Evaluacion

UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO PREUNIVERSITARIO

Ciclo Extraordinario 2009-2010

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS Universidad del Perú ,

DECANA DE AMÉRICA

CENTRO PREUNIVERSITARIO

GEOMETRIA SEMANA Nº 07

SUPERFICIES DE REVOLUCIÓN CILINDRO CIRCULAR RECTO Llam Llamad ado o tamb tambié ién n cili cilind ndro ro de revo revolu luci ción ón,, es aque aquell sóli sólido do gene genera rado do por por una una regi región ón rectangular cuando gira 360° alrededor de uno sus lados. Elementos: •

• •

Bses: Son los los crc rculos ulos que limit imitan an al cilindro. Alt!" #$%: !istancia entre las bases. Segmen ento to que que une une dos dos &ene"t"'( #)%: Segm puntos de las circun"erencias de las bases # es paralelo al e$e.

DESARROLLO DE LA SUPERFICIE LATERAL *"e Lte"l AL + , R) *"e Totl AT + , R #R - )%

R

2

R g

g

Vol!men V + R,) CILINDROS RECTOS SEME.ANTES SEME.ANTES Son cilindros generados por regiones r egiones rectangulares seme$antes que giran alrededor de sus lados %omólogos.

Hailidad Mat!"#tica II II S!"ana N/ 

$Pro%iida &' r!(rod'cci)n r!(rod'cci)n * +!nta,

Pa. 1

UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO

• •


*l cilindro +- es seme$ante al cilindro +2-. Los volmenes de dos cilindros circulares rectos seme$antes son proporcionales a los cubos de las longitudes de sus radios o de sus alturas. 3

',

=

3

%

R,

',

,

3

'2

=

3

%2

CONO CIRCULAR RECTO O CONO DE REVOLUCIÓN *s el sólido generado al girar una región triangular rectangular un /ngulo de 360° alrededor de uno de sus catetos.

ELEMENTOS:

e je

'

•

'értice

 '

•

1eneratri



'(

(ltura



'&

g %

•

R

(

)

&

•

Radio de la base 

,

')

&( +&(

, etc.

=

R-

base

(L  πRg (4  πRg 5 πR2  πR+R 5 g' 

, 3

2

πR

!onde 

%

(L (4 '

 rea lateral del cono  rea 4otal del cono 

'olumen del cono

CONO E/UIL*TERO1 7n cono es equil/tero si la generatri es congruente con el di/metro de la base. DESARROLLO DE LA SUPERFICIE LATERAL DE UN CONO *l desarrollo de la super"icie lateral de un cono es un sector circular. '

!onde

g

rea lateral del cono  rea del sector circular →

πRg



2 πg α

360°

→

α 

g

360°R g

(

Hailidad Mat!"#tica II S!"ana N/ 

'

%

R

&

$Pro%iida &' r!(rod'cci)n * +!nta,

α

)

Pa. 2



ESFERA *s un sólido generado por un semicrculo que gira un /ngulo de 360° alrededor de su di/metro.

C2RCULO M*3IMO *s el crculo que se obtiene al traar un plano secante que contiene al centro de la es"era. &  centro de la es"era (S.*.  9πR2

R c ír c u lo m á x im o

&

'*  c írc u lo m e n o r

9 3

πR

3

!onde  (S.*. /rea de la super"icie es"érica '*  volumen de la es"era

4ONA ESF5RICA1 *s la porción de la super"icie es"érica comprendido entre dos planos paralelos. e je

(:.*.  2πR% %

R

&

CAS/UETE ESF5RICO1 *s la porción de la super"icie es"érica limitada por un plano. e je

(

%

8

(8.*.  2πR%

R

&

)

(l girar el arco 8( alrededor del di/metro es"érico.

()

un /ngulo de 360° se genera el casquete

(8.*.  π (82 Hailidad Mat!"#tica II S!"ana N/ 


Pa. 



SEMANA Nº 07 6

*n la "igura, & # ; son centros de las bases del cilindro circular recto cu#o di/metro () mide 6 cm. Si 6(;  <(), %allar el volumen del cilindro. (- 30 π cm3 ;

)- 32 π cm3 8- 39 π cm3 !- 36 π cm3 (

*- 3< π cm3

,

8- ?0 π cm2

)- 2 000 π cm2 *- 2 900 π cm2

8- 2 00 π cm2

*n un cono equil/tero, la distancia del centro de la base a la generatri es 3 m. >allar el volumen del cono. (- 26 π m3 !- ,20 2 π m3

9

)- ?6 π cm2 *- ?= π cm2

La altura de un cono circular recto mide 9 cm # la di"erencia de las longitudes de la generatri # el radio de la base es 2 cm. >allar el /rea lateral del cono. (-  =00 π cm2 !- 2 200 π cm2

8

)

La longitud de la circun"erencia de la base de un cilindro de revolución es = π cm # la medida de la generatri es igual a la longitud del di/metro de la base. >allar el /rea total del cilindro. (- ?9 π cm2 !- =6 π cm2



&

)- 29 π m3 *- 29 3 π m3

8-

,=

3

3

π m

*n la "igura, el volumen del cubo es 26 cm 3. >allar el /rea de la super"icie es"érica inscrita en dic%o cubo. (- 36 π cm2 )- 9< π cm2 8- 92 π cm2 !- 3= π cm2 *- 3? π cm2



Pa. 




>allar el /rea de la super"icie es"érica inscrita en un cilindro circular recto cu#a /rea total es 29 π m2. (- ,0

7


3

π

m2

)-

,9 π m 2

8- ,6 π m 2

!- ,9

2

π

m2

*- ,=

π

m2

*n la "igura, el volumen del cubo es 26 cm 3. >allar el /rea lateral del cilindro inscrito en dic%o cubo. (- 36 π cm2 )- 90 π cm2 8- 3= π cm2 !- 92 π cm2 *- 2? π cm2

;

*n la "igura, & es punto medio del di/metro el /rea total del cilindro circular recto. (-  000 π m2

)8

)

. Si 8*  6 m # *!  = m, %allar

8 &

)-  00 π m2 *

8-  09 π m2 !-  0 π m2 *-  20 π m2

<

(

!

*l desarrollo de la super"icie lateral de un cono de revolución es un sector circular de 26@ # su radio mide 30 cm. >allar el volumen del cono original. (- 2

)- 2 <00 π cm3 *- 2 <90 π cm3


8- 2 <=0 π cm3

Pa. 3



60 *n la "igura, la es"era de centro & es tangente en ( # ) a las caras del diedro )B*AB( que mide 60@. Si ;&  2 m, %allar el volumen de la es"era. (- 2?6 π m3 )- 2== π m3 )

8- 236 π m3 !- 22< π m3 *- 22 π m3

A

& ;

( *

66 *n la "igura, el volumen del cilindro circular recto es ?6 π cm3, el radio de la base del cono mide 2 cm # el radio de la base del cilindro mide 9 cm. >allar el /rea lateral del cono de revolución. (- C6 π cm2 )- C< π cm2 8- =2 π cm2

!- =0 π cm2 *- C= π cm2

6, *n la "igura, el /rea de la ona es"érica es igual a la suma de las /reas de los crculos congruentes de centros &  # &2. Si el radio de la es"era mide 2 + , m , %allar la medida de la altura de la ona. (-

m

)-

3m

&

,

8- 2,< m !-

2m

*- ,< m



Pa. 4



6 *n la "igura, el volumen del cilindro circular recto es 6 super"icie es"érica inscrita. (- 6 π cm2

&

π

cm3. >allar el /rea de la

2

)- = π cm2

&

2

8- < π cm

!- 20 π cm2 &

,

*- 9 π cm2

68 La sección de una es"era es un crculo menor de ? π cm2 de /rea. Si la distancia del centro de la es"era a dic%o crculo menor es 9 cm, %allar el volumen de la es"era. (!-

200 3 <00 3

π cm

3

π cm

3


)*-

2<0 3 260 3

π cm

3

π cm

3


8- 00 π cm3

Pa. 



UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS Universidad del Perú, DECANA DE AMERICA 8*D4R& ;R*7DE'*RSE4(RE&

G!o"!tr5a E.ERCICIOS DE EVALUACIÓN Nº 07 6

*n la "igura, la altura del cilindro circular recto mide 9 cm # la cuerda () mide = cm. Si la distancia del centro & a dic%a cuerda es 2 cm, %allar el /rea total del cilindro. (-

6π 9 <

+

< cm 2

)-

<π 3 <

+

< cm 2

8-

9π 3 <

+

< cm2

!-

=π 2 <

+

< cm 2

*-

6π 2 <

+

< cm 2

) 8

& (

,

*n un cono circular recto, la distancia del centro de la base a una generatri es 9 cm. Si el volumen del cono es 36 π cm2 , %allar el /rea lateral del cono. (- 20 π cm2



)- 30 π cm2

8- 2C π cm2

!- 2 π cm2

*- 29 π cm2

*l radio de una es"era mide 3 cm. 8alcular a qué distancia del centro %a de traarse un plano secante a dic%a es"era para que el /rea de la sección resultante sea /rea del crculo m/Fimo de la es"era. (-

<

cm

)-


6

cm

8-

C

cm

!-

2 2

cm


*-

2 <

, 3

del

cm

Pa. 6


8


*n la "igura, los radios de las es"eras tangentes eFteriores en 4 miden r # R. >allar la longitud de la altura del cono circunscrito a las es"eras +(, ), 8, ! # & son puntos de tangencia-. '

(-

3R2

)-

R + r

r 2 R + r

)

8

8-

R

2

!-

R + r

R

2

−

r

R r

4 !

*-

2R

(

2

R − r

*

9

*n un cono equil/tero, la distancia del centro de la base a una generatri es 6 cm. >allar el /rea de la super"icie lateral del cono. (- =2 π cm2



A

&

)- 02 π cm2

8- ?2 π cm2

!- =9 π cm2

*- ?6 π cm2

*n la "igura, (8  6 m, () di/metro # m8)  C9 °. >allar el /rea de la super"icie es"érica generada por la rotación en torno al di/metro () de 360@ del arco (). (- 920 π cm2

(

)- 900 π cm2 8- 90 π cm2 !- 3=0 π cm

8

2

) 2

*- 3?0 π cm



Pa. 9

Semana 7 Teoria Ejercicios Evaluacion

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