EDWIN VILLAIZAN CUN
INVESTIGACION DE OPERACIONES Ejercicios semana 1
Cierta empresa pro!ce os art"c!#os $!e se procesan a partir e os epartamentos% ensame ' aca&ao( E# primer epartamento ispone e 1)* +oras semana#es ' e# se,!no -.( #a /a&ricaci0n e# pro!cto A1 re$!iere +oras e proceso e ensame ' 2 +oras e aca&ao3 en tanto $!e e# pro!cto A) necesita ) ' 4 +oras ras respecti5amente( La !ti#ia para A1 es e 61.(***3 mientras $!e para A) es e 61)(***( 78!9 cantia e caa pro!cto se e&e pro!cir an!a#mente para $!e #a !ti#ia sea m:;ima< 7C!:# es e# mar,en e !ti#ia< La so#!ci0n a# proema es para tiempo comercia# => semanas?( Ana#i@ano #a in/ormaci0n Procesos
Artic!#o A1 =?
Ensame Aca&ao Uti#ia
Restricci A) =B? 0n 1)* +oras ) +oras +oras 2 +oras 4 +oras -. +oras 6 1.(*** 6 1)(***
enimos 5ariaes No e pro!ctos pro!ctos A1 a pro!cir pro!cir !ti#ia1 6 1.*** 1.*** F UND( A1 pro!cia ' No e pro!ctos pro!ctos A) a pro!cir pro!cir !ti#ia1 6 1)*** F UND( A) pro!cia creaci0n e #as ec!aciones ; )' H 1)* 2; 4' H-. Resolvemos el sistema de ecuaciones: 4X + 2Y = 120 5X + 1Y = 96 Simplifiquemos el sistema: 2X + 1Y = 60 5X + 1Y = 96
ividi! 1"#sima ecuaci$n po! 2 % definamos & po! ot!as va!ia'les X = " 0(5Y + )0
5X + 1Y = 96 *n 2 ecuaci$n ponamos & X = " 0(5Y + )0
5, " 0(5Y + )0- + 1Y = 96
despu#s de la simplificaci$n simplificaci$n sacamos: X = " 0(5Y + )0
" 1(5Y = "54 ividi! 2"#sima ecuaci$n po! "1(5 % definamos Y po! ot!as va!ia'les X = " 0(5Y + )0 Y = + )6 ./o!a pasando desde la ltima ecuaci$n a la p!ime!a se puede calcula! el sinificado de ot!as va!ia'les( Resultado:
X = 12 Y = )6
Para poer o&tener #a ma'or Uti#ia e&emos Pro!cir A1 1) Uniaes F 1.(*** A) 4. UniaesF1)(*** UniaesF1)(*** tota# Uti#ia por semana Tota# Tota# !ti#ia por > semanas
6 1-)(***3** 6 4)(***3** 6 .)(***3** 6 )-(-2)(***3**
Ejercicio 2
Bimbo S.A. fabrica dos tipos de tortas T1 y T2, para lo que usa tres ingredientes A, B y C. Dispone de 15 !g. de A, " !g. de B y 15 !g. de C. #ara fabricar una torta T1 debe me$clar 1 !g. de A, 1 !g. de B y 2 !g. de C, mientras que para %acer una torta T2 se necesitan 5 !g. de A, 2 !g. de B y 1 !g. de C.
Denimos #as 5ariaes No e T1 B No e T) IOJO S(A Torta Torta 1 Torta Torta ) B Tota# Tota# in5entario Joe#amos #as ec!aciones con s!s restricciones 2BH 12* )BH-* )BH12*
In,reie In,reiente A nte In,reiente C 1 K, 1 K, 2 K, ) K, 12* K, -* K, 12* K,
) K, 1 K,
Resolvemos el sistema de ecuaciones: 1X + 5Y = 150 1X + 2Y = 90
X = " 5Y + 150 1X + 2Y = 90 *n 2 ecuaci$n ponamos & X = " 5Y + 150 1, " 5Y + 150+ 2Y = 90 despu#s de la simplificaci$n sacamos: X = " 5Y + 150 " )Y = "60 ividi! 2"#sima ecuaci$n po! ") % definamos % po! ot!as va!ia'les X = " 5Y + 150 Y = + 20 ./o!a pasando desde la ltima ecuaci$n a la p!ime!a se puede calcula! el sinificado de ot!as va!ia'les(
Resultado:
X = 50 Y = 20 Para #o,rar #a ma'or ecacia con #os in,reientes ' e# menor espericio e&emos
Pro!cir 2* UND e T1 ' )* UND e T) Recomenaa m:;ima proporci0n e caa !na O a#,!na e estas com&inaciones com&inaciones m:s T1
T) *
4*
2*
)*
*
1*
12
*
Ejercicio 3 &na f'brica de carrocer(as de autom)*iles y camiones tiene 2 $onas de ensamble. +n la $ona A, para %acer la carrocer(a de un cami)n, se in*ierten d(as-operario, para fabricar la de un auto se precisan 2 d(as-operario. +n la $ona B se in*ierten d(as-operario tanto en carrocer(as de cami)n como de auto. #or limitaciones de mano de obra y maquinaria, la $ona A dispone de d(as-operario, y la $ona B de 2 d(as-operario. Si los beneficios que se obtienen por cada cami)n son de 1/ millones de pesos y de " millones por cada auto.
Denamos #as 5ariaes No e camiones Ma&ricaos ' No e A!tom05i#es /a&ricaos D"as operario Cami0n Zona A Zona Tota# Tota# +oras isponies isponies operarios creamos ec!aciones )B H 4** 44BH)*
D"as operario A!to 4
) 4
4**
)*
Solución:
Resolvemos el sistema de ecuaciones: X + 2Y = )00 )X + )Y = 20 Simplifiquemos el sistema: X + 2Y = )00 1X + 1Y = 90 ividi! 1"#sima ecuaci$n po! % definamos &1 po! ot!as va!ia'les X = " ,2-Y + ,)001X + 1Y = 90 *n 2 ecuaci$n ponamos &1 X = " ,2-Y + ,)00-
1, " ,2-Y + ,)00-- + 1Y = 90 despu#s de la simplificaci$n simplificaci$n sacamos: X = " ,2-Y + ,)00,5-Y = ))0 ividi! 2"#sima ecuaci$n po! 5 % definamos &2 po! ot!as va!ia'les X = " ,2-Y + ,)00Y = + 66 ./o!a pasando desde la ltima ecuaci$n a la p!ime!a se puede calcula! el sinificado de ot!as va!ia'les( Resultado:
X = 24 Y = 66
Res!#tao e# an:#isis +a' $!e /a&ricar /a&ricar ) Camiones Camiones F 1. Ji##ones Ji##ones
4> mi##ones mi##ones
+a' $!e /a&ricar .. A!tos Tota# Tota# enecios
F -Ji##ones
2- mi##ones -> Ji##ones
Ejercicio 4
+n una f'brica de cer*e$a se produ producen cen dos tipos0 rubia y negra negra.. Su preci precio o de *enta es de 5 ptasl y ptasl, respecti*amente. Sus necesidades de mano de obra son de y 5 empleados, y de 5. y 2. ptas de materias primas por cada 1 l. a empresa dispone semanalmente de 15 empleados y 1. ptas para materias primas, y desea ma3imi$ar su beneficio. 4Cu'ntos litros debe producir
Morm!#aci0n Z Ja; 2*** 4***B restricciones 4 2B H 12 2*** )***B H1**** 3B *
Ejercicio 5
Una /:&rica e +am&!r,!esas compra carne a# )* e ,rasa a 6>* ' carne a# 4) e ,ras ,rasa a a 6.* 6.* e# i#o i#o33 7C!: 7C!:nt nta a carn carne e e caa caa !na !na e&e e&e !sar !sar #a /:&r /:&ric ica a e +am&!r,!esas si esea minimi@ar e# costo por i#o e +am&!r,!esa a# )2 e ,rasa Morm!#aci0n ZQ>*.* Restricciones Contenio e ,rasa no ma'or e )2 Contenio e carne mo#ia a pro!cir
5ariae Carne con )* e ,rasa B Carne con con 4) e ,rasa
Ejercicio 6
Un +errero con >* ,s( e acero ' 1)* ,s( e a#!minio $!iere +acer &icic#etas e paseo ' e montaa $!e $!iere 5ener3 respecti5amente a )*(*** ' 12(*** o#"5ares caa !na para sacar e# m:;imo &enecio( Para #a e paseo emp#ear: 1 ,( De acero ' 4 ,s e a#!minio3 ' para #a e montaa ) ,s( e am&os meta#es( 7C!:ntas &icic#etas e paseo ' e montaa 5ener:< Ana#i@amos #a in/ormaci0n ACERO ALUJINIO PASEO 1 4 JONTAA ) )
Variaes % Cantia &icic#etas paseo B Cantia &icic#etas &icic#etas montaa Zma; )****; 12***' Restricciones% )' H >* 4;)' H1)* Solución:
Resolvemos el sistema de ecuaciones: 1X + 2Y = 30 )X + 2Y = 120 efinamos &1 po! ot!as va!ia'les efinamos & po! ot!as va!ia'les X = " 2Y + 30 )X + 2Y = 120
*n 2 ecuaci$n ponamos & X = " 2Y + 30
), " 2Y + 30- + 2Y = 120 despu#s de la simplificaci$n simplificaci$n sacamos: X = " 2Y + 30 " 4Y = "120 ividi! 2"#sima ecuaci$n po! "4 % definamos Y po! ot!as va!ia'les X = " 2Y + 30 Y = + )0 ./o!a pasando desde la ltima ecuaci$n a la p!ime!a se puede calcula! el sinidicado de ot!as va!ia'les( Resultado:
X = 20 Y = )0
EL ERRERO Vener: )* &icic#etas e paseo 5ener: 4* &icic#etas e montaa
Ejercicio 7
Un cami0n p!ee transportar como m:;imo - Tm( por 5iaje( En !n 5iaje esea transportar a# menos Tm( e #a mercanc"a A ' !n peso e #a mercanc"a $!e no sea in/erior a #a mita e# peso $!e transporta e A( Sa&ieno $!e co&ra 4* pts(i#o e A ' )* pts(i#o e 3 7c0mo se e&e car,ar e# cami0n para o&tener #a ,anancia m:;ima< Morm!#aci0n Morm!#a% Morm!#a% Ja; =G?4****)****B =G?4****)****B Restricciones% B H - =Capacia m:;ima? Q)B H *
Variaes% TNS( $!e transportar: e# cami0n e mercanc"a A B TNS $!e transportar: transportar: e# cami0n e# e# mercanc"a G; ,anancia por TN e A G' Ganancia por TN( De
Ejercicio 8
Una /:&rica pro!ce os moe#os A ' e !n pro!cto( E# &enecio $!e arroja e# moe#o A es e *** pts(!nia ' e# e# .*** pts(!nia( La pro!cci0n iaria no p!ee s!perar ** !niaes e# moe#o A ni 4** e# ' en tota# no p!een s!perarse #as .** !niaes( 7C!:ntas !niaes e caa moe#o e&e pro!cir #a /:&rica para o&tener e# m:;imo &enecio<
ana#i@amos #a in/ormaci0n A ***
.***
O&jeti5o% Ja;imi@ar &enecio
Variaes% Cantia e moe#os A B Cantia e moe#os Z ma; *** .***B Restricciones% H ** 1 B H 4** ) B .** 4
Ejercicio 9
En !nos !nos ,rane ,raness a#mace a#macenes nes neces necesita itan n entre entre . ' 12 5i,i#a 5i,i#ante ntess c!ano c!ano est:n est:n a&iertos a# pico ' entre ' 5i,i#antes noct!rnos( Por ra@ones e se,!ria3 e&e +a&er m:s 5i,i#antes c!ano est:n a&iertos( Si e# sa#ario noct!rno es !n .* m:s a#to $!e e# i!rno3 7c0mo e&e or,ani@arse e# ser5icio para $!e res!#te #o m:s econ0mico posie<
DIURNO NOCTURNO Restricciones% . H12 B BH B 3 B X Nat!ra#es
Ana#i@amos #a in/ormaci0n in/ormaci0n No( Vi,i#antes ; '
Sa#ario ; 13. '
Se p!ee conc#!ir $!e #a so#!ci0n 0ptima es% . Di!rno B Noct!rno