CURSO : CÁLCULO I Tema :
Funciones : definición, dominio y rango
FUNCIONES La clave para el análisis matemático de una situación geométrica o científica es por lo general el reconocimiento de las relaciones entre las variables que describen la situación. Tal relación puede ser una fórmula que exprese a una variable en función de otra. Por ejemplo, el área A de un círculo de radio r está está dada por A = π r 2 . El volumen V y y el área de la superficie S de de una esfera de radio r están están dados por
V =
4 3
π
r 3
S = 4π r 2
respectivamente.
Definición.- Sean A y B dos conjuntos de números reales. Una función real
f de variable
real x es una regla de correspondencia que asocia a cada elemento x de A un solo valor f ( x ) de B.
La función f de A en B se denota con y = f ( x) , donde y (variable dependiente) es la imagen de x (variable independiente).
Dominio.- Es el conjunto formado por los
Dom ( f )
= { x ∈ A
/ f ( x ) existe}
elementos que tienen imagen
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Rango.- Es el conjunto formado por las
Rang ( f )
= { y ∈ B / y = f ( x ) para x ∈ Dom (
imágenes
Ejemplo 1. En los siguientes diagramas,
f es una función y g no lo es.
Con frecuencia, una función queda descrita mediante una fórmula que especifica la forma de calcular el número f ( x ) en términos del número x. El símbolo f ( ) se puede considerar como una operación a realizar siempre que se inserte un número o expresión dentro de los paréntesis.
Ejemplo 2. La fórmula f ( x) = x 2 + x − 3 es la regla de una función f cuyo dominio es toda la recta real R. Algunos valores de f son 2
f (−2) = (− 2 ) f (0) = −3 f (4) = 4 2
ordenados
)
+ 4 − 3 = 17
Gráfica de una función.- Si f : R todos los pares Simbólicamente:
(
+ − 2 − 3 = −1
es una función, la gráfica de f es el conjunto de pueden representarse en el plano cartesiano.
→ R
que
G ( f ) = {( x, y ) / x ∈ Dom ( f )
∧
y ∈ Rang ( f )}
Gráfica de f
Rango de f
Dominio de f
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f )}
OBSERVACIÓN: f es una función si y solo si toda recta vertical corta a la gráfica de f en un solo punto.
Si es función
No es función
FUNCIONES ESPECIALES FUNCIÓN LINEAL: Una función de la forma f ( x) = mx + b , para m y b constantes, es llamada una función lineal. La figura (a) muestra un arreglo de lineas f ( x) = mx donde b = 0 , observar que estas líneas pasan por el origen. Las funciones constantes resultan cuando la pendiente m = 0 , ver figura (b) .
Figura (a)
Dominio: R Rango: R
Y cuando m y b son diferentes de cero, se tiene Dominio: Rango:
R R
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Figura (b)
Y
Dominio: R Rango: b
Y = mx+b
0
X
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FUNCIÓN CUADRÁTICA: A la función f le llamaremos función cuadrática, si su regla de correspondencia es f ( x) = ax 2 + bx + c, a ≠ 0 donde
La gráfica de la función cuadrática es una parábola con eje perpendicular al eje X en el cual se presenta dos casos: • •
Si a > 0 la gráfica se abre hacia arriba. Si a < 0 la gráfica se abre hacia abajo.
El dominio de la función cuadrática es R. El rango se determina completando cuadrados f ( x) = ax 2 • •
+ bx + c
⇒
2
f ( x ) = a ( x − h )
+ k
Donde el vértice es ( h, k )
Si a > 0 la parábola se abre hacia arriba, entonces el rango es Ran( f ) = [k ;+∞ > Si a < 0 la parábola se abre hacia abajo, entonces el rango es Ran( f ) =< −∞; k ]
FUNCIÓN RAÍZ CUADRADA:
Y
Es la función f : R → R, definida por f ( x ) = x ∀ x ∈ R Se debe cumplir que x ≥ 0 , entonces:
y
x
=
Dominio: [0,+∞ > Rango: [0,+∞ > 0
X
CÁLCULO DE DOMINIOS Y RANGOS. Para calcular el dominio de una función de variable real se escribir la función dada en la forma y = f ( x), usar como referentes los dominios de las funciones elementales. Resolver las inecuaciones que se formen a partir del paso anterior.
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Para calcular el rango de una función de variable real, seguir el siguiente procedimiento: 1- Escribir la función dad en la forma x = f ( y) 2- Seguir un procedimiento similar al de dominio 3- Un método alternativo es reconstruir la función a partir del dominio obtenido
EJERCICIOS DESARROLLADOS 1. Determine
f (0), f ( −3), f (2) para las siguientes funciones:
a) f ( x) = 3 x + x 2 b) f ( x) =
x
2
+ 12
+3
Solución: a) f (0) = 3(0) + (0) 2
+ 12 = 12
f (−3) = 3(−3) + (−3) 2 f (2) = 3(2) + (2) 2
b) f (0) = f ( −3) = f ( 2)
=
( 0) 2
( 2) 2
+ 12 =
+3 =
( −3) 2
+ 12 = −9 + 9 + 12 = 12
3
+3 =
+3 =
6 + 4 + 12 = 22
9+3 4+3
=
12
=
7
2. Determine el dominio de las siguientes funciones: f ( x) = − 9 + x 2 Solución: Para evitar la raíz cuadrada de un número negativo debemos elegir x de modo que 2 2 −9+ x ≥ 0 ( x − 3)( x + 3) ≥ 0 ⇒ x − 9 ≥ 0 ⇒
-3
3
Dom( f ) =< −∞;−3] ∪ [3;+∞ >
⇒
3. Determine el dominio y rango de la función f ( x) = x 2 + 6 x − 2 Solución Como es una función cuadrática, el dominio es todo R. Para calcular el rango completamos cuadrados a la expresión: f ( x) = x 2 + 6 x − 2 = x 2 + 6 x +9 – 9 – 2 =
( x + 3) 2
− 11 .
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Luego el vértice de la parábola es: V=(-3,-11) Además el coeficiente de x 2 es positivo, esto indica que la parábola se abre hacia arriba, luego: Rang ( f ) = [−11;+∞ >
4. Halle el dominio y rango de
y
− 2 + 3 x −
=
x2
(a) Dominio y =
−2 +
3x − x
2
2
existe ⇔ − 2 + 3x − x ≥ 0 ⇔ (x − 1)(x − 2) ≤ 0
–
+
1
−∞
Por lo tanto, Df
=
+
2
+∞
[1,2]
(b) Rango y=
−2 +
2
3x − x ,
y≥0
Despejar x en función de y . Es decir: 2
2
2
2
y = −2 + 3x − x
⇔
32 9 2 2 2 x − 3x + 2 + y = 0 ⇔ (x − ) − + 2 + y = 0 2 4 3
1
2
2
y = −2 + 3x − x ⇔ (x − ) = − y = 0 ⇔ x = 2 4
1 − 4y2
3±
2
x existe si: 2
1 − 4y ≥ 0
⇔
2
4y − 1 ≤ 0 ⇔ (2y − 1)(2y + 1) ≤ 0
–
+
Pero como y
≥
0
–0,5
– ∞
+
0,5
+∞
0 , entonces R f = [ 0 ; 0,5]
5. Hallar el domino y rango de
y
=
0
⇔
2 x x
2
−4
(a) Dominio 2x x
2
−
≥
4
– – ∞
2x (x
−
+ –2
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2)(x
≥ +
2)
– 0
0
+ 2
+∞
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Por tanto, el dominio de la función es Do(f) =! − 2;0! ∪ !2; +∞ " (b) Rango Despejar la variable x en función de la variable y 2x
y =
2
x −4
•
•
x=
≥
⇒
2
2x
2
x −4 2x
y =
2
y =
2±
0
2
x −4
4 + 1#y 2y
2
Por lo tanto,
2
y =
2x
≥
2
x −4
=
0⇔ y=0
>
0 ⇔ x2y2
4y
−
2x
2
0⇔ y =
2
=
2x
⇔
>
2
x −4
2 2
x y
−
2x
2
0 ∨
4y
−
2
y =
=
2x 2
x −4
=
0
0
4
, y>0
⇒
4 + 1#y 4 ≥ 0
∧
y>0
⇒
y>0
Ran(f) = " 0; +∞" = R 0
+
6. Halle el área de un rectángulo de base “x” y perímetro “2a” (a>0). Exprese el área como una función que dependa de la base del rectángulo. Según los datos se construye la gráfica x
Área del rectángulo 2a –x
2a –x
'(x) x (2a–x)
x
EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Para
f ( x ) = x 2
− 2 x
y g ( x ) = 1 − x encuentre y simplifique:
a) f (3) + g ( −1) $) f (1).g ( −2)
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%) f ( a ) + g (0) 2
&) f ( − a ) − g ( a )
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2. Sea f una función real de variable real definida por 2 f (1) − f (2) = −1,
f ( x) = mx + b tal que
f ( −2) + f ( −3) = −12
1 Hallar el valor de 3 f (5)
3. Hallar el domino de las siguientes funciones. a) f ( x) = 1 − 4 x 2
*)
f ( x) =
b) f ( x) = 9 − x 2 %)
f ( x) = 2 x 2
) f ( x) =
− 4x + 3
&) f ( x) = (4 x − 2 ) / 5 e)
f ( x ) =
f)
f ( x) =
x
2
x − 1 x
2
− 5 x + 6
3x 2
+4
i)
f ( x) = x 2
)
f ( x) =
f)
f ( x) =
*)
f ( x) = 7 + 3 x + 6
− 3 x +
−1
x − x
2
+
1 2 x − x 2
4 − x2
2x + 3
4. Hallar el rango de las siguientes funciones. a) f ( x) = 7 x − 4 $) f ( x) = 3 − x %)
f ( x) = 2 x
2
−
x2
+ 16
2
+ 5x − 6
2
) f ( x) = x − 9 − 2, − 5 < x ≤ −3
2
&) f ( x) = x − x − 12 e)
f ( x) =
2 + x
5. Dadas las funciones
f ( x) = − x 2
+ 3x + 1 y
6. Hallar analíticamente el rango de la función 7. Dado f ( x) = 4 − ( x + 6)2 − 9 ,
g ( x ) = 3 x 2
+ 2 x + 1.
Hallar R f ∩ Rg
f ( x) = 4 x − x 2 − 1 , x ∈ [0 ; 10]
x ∈< −∞ ;−11 > . Hallar R f
8. Si se lanza una pelota hacia arriba con una velocidad inicial de 96 pies/segundo, entonces su altura después de t segundos es y = 96t − 16t 2 (pies). Determine la altura máxima que alcanza la pelota.
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9. Muestre que si un rectángulo tiene base x y perímetro 100, entonces su área A está dada por la función A( x) = x(50 − x ) . Encuentre su dominio, rango y el área máxima posible del rectángulo.
10. Un granjero quiere cercar el perímetro de un lote rectangular con un área de 1600m2. Si el lote mide “x” metros de longitud, exprese la cantidad L de cerca necesaria como una función de “x”.
11. Si 20m3 es el volumen de una caja cerrada de base rectangular cuyo largo es el doble del ancho, expresar el área total de la caja en términos del ancho de la base.
12. Un granjero dispone de 200 m de valla para cercar dos corrales adyacentes. Expresar el área A encerrada como función de x.
13. Se corta un alambre de 24 pulgadas de longitud en cuatro trozos para formar un rectángulo cuyo lado más corto mida x. Exprese el área A del rectángulo en función de x.
14. Un cordel de 10 m de largo se corta en dos partes (no necesariamente iguales); con una de ellas se forma un cuadrado y con la otra se forma un triángulo equilátero. Si x es la longitud del lado del triángulo, exprese la suma de las áreas del cuadrado y del triángulo (área total encerrada) en función de x.
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