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Segundo de Bachillerato

Antonio Jesús López López Compañia de María Almería

· TEMA 0· Repaso de Aspectos Generales

La experiencia de otros años demuestra que resulta conveniente, antes de abordar de lleno el contenido de la física de este curso, hacer un breve repaso de los aspectos más importantes de los del curso anterior, ya que muchos de ellos se nos volverán a repetir en este, sobre todo los más fundamentales. Será un repaso breve que nos permitirá un progreso más efectivo en los contenidos de este segundo curso de física. Comenzamos.

R REPASO

0.1.

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CINEMÁ ÁTICA.

La a cinemática es esa parte de la física que q se encarga del estudio del movimien nto, pero sin atender a la causa a que lo produ uce. Para ese estudio cinem mático, es nece esario utilizar una serie de magnitudes que q ayudan a definirr conceptos fu undamentales en ese tema.

0.1.11. SISTEMA AS DE REFERENCIA. La a idea de quee el reposo y el movimiento o son conceptos relativos puede p ponersee fácilmente de d manifiesto media ante ejemplos claros que ya a se abordaro on en el curso pasado. Tam mbién allí se d dedujo que el mejor modo de eviitar ambigüed dades en el estudio, consistíía en prefijar un u SISTEMA DE D REFERENCIA, esto es, un n PUNTO DE VISTA A desde dondee realizar el esstudio. En esee punto de refferencia se situaría el observador, de mo odo que NO existen n sistemas de referencia especialmente privilegiados, p y que TODOS son igualmeente aceptable es, pudiendo variarr las ecuacion nes que desccriben el movvimiento, e incluso los reesultados, sien ndo éstos completamente equiva alentes. Es po or tanto el prrimer paso: decidir d un pun nto de referen ncia, que se considerará “en “ reposo”. Escrup pulosamente hablando, NO O puede deccirse que exista nada fijo, por lo que toda la eleccción de tales sistem mas de referencias serán siempre s aproximaciones. De D hecho, ess posible incluso elegir SISTEMAS DE REFER RENCIA EN MOVIMIENTO M O CONSTANTTE (Sistemas de d referencia inerciales) qu ue NO ofrece en diferencia dinám mica respecto de los que esstán en reposo o, como seguramente recorrdarás del currso pasado. Lo os SISTEMAS DE RE EFERENCIA NO N INERCIALE ES, son los qu ue están afecta ados de aceleeración y en eesos casos, las leyes de la física hay que “reinterpretarlas”.. Usaremos lo os sistemas de referencia inerciales, i rep presentados habitualmente media ante un sistema de ejes carteesianos.

0.1.22. POSICIÓ ÓN y VECTOR DE POSIC CIÓN. Elegido el sisttema de referencia, definimos la posicción como la distancia a la que está á el cuerpo móvil m respecto de al, la posición de un cuerpo aquél. En su forma más genera puedee conocerse mediante m las coordenadas cartesianas c (x, y , z) del cuerpo, de modo m que el módulo m del vector que une ese as, nos dará la punto (x,y,z) con el origen dee coordenada distan ncia a que se encuentra el cuerpo. A este vector se e le denom mina VECTOR R DE POSICIÓ ÓN. Evidentem mente, sabrem mos que un u cuerpo está á en movimien nto respecto de d un sistema de referencia elegido, cuando CAM MBIEN esas co oordenadas, esto e es, cu uando varíen con c el tiempo,, de modo que el resultado de unir las distintas posiciones del cuerpo o que se está e movim miento, nos da ará LA TRAYEC CTORIA. En estos téérminos, el qu ue hemos reco ordado como vector de possición del cuerpo móvil pue ede escribirse genérricamente com mo v v v v r (t ) = x(t )i + y (t ) j + z (t )k en do onde sus trees coordenad das varían co on el tiempo o, como corrresponde al objeto móvvil. Un caso particularmente interesante es cuando c el mó óvil se despla aza en el plan no, en cuyo caso es fácil obtener sus a ecuación de la trayectorria se puede ecuacciones paraméétricas y con ellas, la de la trayectoria. Sólo con la reconocer si el movvimiento es recctilíneo o no. (Recordar del curso pasado o cómo se haccía esta operacción). Es cierto que también puede hacerse el estudio del movimiento de d una forma ESCALAR. Para ello, suele hablarse de un PUN NTO de REFERENCIA, esto es, un punto sobre la mism ma trayectoria respecto del cual c medir la distan ncia y así la po osición. Se disstinguen posicciones positiva as para cuand do el móvil se sitúa a la derecha de ese punto, y negativas cuando está á al a izquierd da. Al ser este método menos general que el vecto orial, solo lo usarem mos cuando la a situación física admita una simplificació ón adicional.

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0.1.3. VELOCID DAD. Con ayuda a del vector deesplazamiento o (concepto de el curso pasad do) se define la a idea de velo ocidad media y, possteriormente –llevándolo – al límite- la dee velocidad in nstantánea y sus s características. A rema arcar, está el hecho o de que “la velocidad v es una magnitud d vectorial”, cuyo módulo puede p recono ocerse como “rapidez”. “ Ya que la a velocidad ess un vector, ha ay que recorda ar que a la ho ora de referirnos a él es preciso conocer, por lo tanto, su exp presión vectorrial. La velocid dad instantáneea se define como c la deriva ada matemática del vector de posición, según n

v v v v v Δr dr v v = lim m = = vx i + v y j + vz k Δt →0 → Δt dt

Por la prop pia definición anterior, y reccordando lo que q de esto see dijo en el curso pasado (e en el “salto al límite””) la velocida ad es un vector tangente en e cada punto a la trayecctoria del móvvil, y su sentido es el del movim miento del cueerpo. El módu ulo de este vector nos dará la rapidez, que q en el sistema internacio onal, se mide en m//s. Es posible que la expressión vectorial de d la velocida ad (vector) sea a una expresió ón dependiente e del tiempo. Ello nos indicará qu ue tal movimieento es un ejemplo de movimiento NO un niforme.

0.1.4 4. ACELERA ACIÓN Los CAMB BIOS en la velo ocidad se mid den mediante el e concepto dee ACELERACIÓ ÓN. Igual que e se hizo con la ideea de velocida ad, la de aceleración partee de la “aceleración media”” para tras lleevarlo al límite e, obtener la acelerración instantá ánea, definida a como la deriivada de la ve elocidad, del siguiente modo o: v v v v v Δ v dv v a = lim m = = axi + a y j + az k Δt → 0 Δ t dt Sin embarrgo, dado qu ue la aceleracción mide loss CAMBIOS del vector veelocidad, puede existir tal cambio con que “ssólo “ exista un u cambio en la dirección/ssentido de esee vector velocidad, por lo que q conviene record dar que la exxpresión anteerior nos calccula la ACELE ERACIÓN TO OTAL, existiend do lo que se e denominan componentes intrín nsecas de la aceleración que reflejan de forma separa ada los cam mbios que se s producen bien en la a rapidez (aceleeración tangencial) o en la dirección (aceleración ( centrípeta) c definid das del modo siguiente: ACELE ERACIÓN TA ANGENCIAL: Mide M los cam mbios en la ra apidez del movim miento.

v dv v at = u t dt rapideez.

Módulo:

derivada respecto del tiempo o de la

Dirección: Sentido:

tangen nte a la trayecctoria el del movimiento

nte el vector unitario u ut es un u vector tange ente a la trayeectoria. Precisamen ACELE ERACIÓN NO ORMAL o CEN NTRÍPTEA: Mid de los cambioss en la direcció ón del movimiento.

v v2 v an = u n R

Módulo: el cua adrado de la a rapidez entre el radio de giro. (No o se recuerdan aquí las demostraciones visttas el curso pa asado) Dirección:: perpen ndicular a la aceleración a tangencial. Sentido: Hacia el centro de la curvatura. De hecho un es un vector d dirigido hacia el centro de giro (V Ver figura).

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definido.

Por tanto la suma VECTORIAL de estas dos componentes da la ACELERACIÓN TOTAL que antes hemos v v v a = at + a n

a = at2 + an2

0.1.5. ECUACIÓN DEL MOVIMIENTO. Todas las magnitudes y conceptos anteriores se plasman en un “método” para analizar y estudiar el movimiento de los cuerpos. Tal análisis obedece a un planteamiento matemático a partir del cual es relativamente fácil obtener conclusiones de interés acerca de las propiedades del movimiento en cuestión. Esta operación parte del planteamiento de la que da en denominar ecuación del movimiento. En su forma más completa, la ecuación del movimiento es una ecuación VECTORIAL, que sin detenernos ahora en su “demostración” tiene de aspecto general, la expresión

1v v v v r = r0 + v0t + at 2 2 Es SUMAMENTE IMPORTANTE tener claro que la ecuación general anterior es UNA ECUACIÓN VECTORIAL. Con ella, es posible analizar movimientos que se producen en una, dos y tres dimensiones. A partir de esa ecuación, y mediante el uso de las derivadas, es posible obtener la velocidad y/o la aceleración, si bien hasta ahora los únicos movimientos analizados son aquellos con aceleración CONSTANTE. Un caso particular de interés de movimientos es el MOVIMIENTO CIRCULAR. Por sus propias características, todos los movimientos circulares son ACELERADOS, ya que en ellos existe un continuo cambio en la dirección del movimiento, y por tanto, existe aceleración centrípeta. Sin embargo, dadas las características tan peculiares de este tipo de movimiento, existen otras magnitudes que ayudan a describirlo mejor: son las magnitudes angulares. Resulta muy conveniente en aras de la simplicidad, abordar el estudio de los movimientos circulares con ecuaciones ESCALARES DEL MOVIMIENTO. Ya que todo cuerpo en movimiento circular “barre” un ángulo con el radio que lo une al centro de giro, resulta de suma utilidad recordar la magnitud “posición angular” en radianes (φ) definida como ΔS Δθ = R Si el movimiento circular se recorre con rapidez constante, el ángulo barrido en un mismo tiempo será siempre el mismo, por lo que la rapidez angular ( ) se define como

ω=

dθ dt

y de no ser así, hará falta definir la aceleración angular (α) como dω α= dt de modo que la ecuación general (escalar) de los movimientos circulares podía escribirse como

1 2

θ = θ 0 + ω0t + αt 2 pudiéndose deducir a partir de ella los casos más generales de movimientos circulares (“uniformes” o no), haciendo uso de las derivadas.

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Para finalizar este repaso, habrá que recordar las relaciones entre las magnitudes angulares y las lineales, que sin entrar en las demostraciones son:

S = θ ·R v = ω ·R at = α ·R a N = ω 2 ·R

0.2.

DINÁMICA.

Si la Cinemática estudia el movimiento sin atender a la causa que lo produce, parte de la Dinámica se encarga de ello. El concepto fundamental de la dinámica es el concepto de FUERZA (o interacción). Entendemos físicamente por Fuerza, la magnitud (vectorial) que nos mide la intensidad de una interacción entre DOS CUERPOS. Hay que entender que por interacción se quiere especificar ACCIÓN MUTUA de ahí que físicamente no tenga sentido hablar de “la fuerza de los cuerpos” ya que éstos NO tienen fuerza, sólo la ejercen. Así por tanto, cuando analicemos situaciones dinámicas habrá que buscar siempre un cuerpo que “ejerza” la fuerza y otro que “la padezca”. Entender este primer aspecto resulta crucial. Por otro lado, recordamos que esa acción-mutua a la que llamamos fuerza puede ejercerse bien a distancia o bien por “contacto” y que puede llegar a producir en los cuerpos que la padecen, DOS tipos de efectos: DEFORMACIONES (incluso a nivel microscópico) o VARIACIONES en el estado de movimiento de los cuerpos. De hecho, si un cuerpo NO experimenta variaciones en su estado de movimiento, se dirá que la RESULTANTE de las fuerzas que actúan sobre él es cero, y entonces bien estará en reposo (relativo) o en Movimiento Uniforme (Ley de Inercia). Puesto que existe una relación entre fuerza y VARIACIONES en el estado de movimiento de los cueros es fácil intuir la relación que ha de existir entre Fuerza (resultante) y esa variación de movimiento (medida mediante la aceleración). La magnitud que sirve de relación es la “masa inercial” de modo que la expresión más general de esa relación constituye la segunda ley de Newton que en seguida recordaremos.

Antes conviene hacer referencia a una importante magnitud con estos conceptos relacionados: EL MOMENTO LINEAL (o cantidad de movimiento). Es una MAGNITUD VECTORIAL definida por el producto de la masa por la velocidad

v v p = m·v

Por lo tanto, p posee la misma dirección y sentido que v. Las variaciones del movimiento de la que antes hablábamos quedan referidas, precisamente de forma más genérica, a variaciones en la cantidad de movimiento. Ya que esas variaciones son provocadas (“por definición”) por una o varias fuerzas sin contrarrestar, la segunda ley de Newton se expresa como una ecuación vectorial en el sentido

v dpv ΣF = dt

de modo que si la masa permanece constante esa expresión nos conduce a la conocida ∑ F = m a La Ley de Inercia a la que antes hemos aludido, de un modo general queda expresada en términos de cantidad de movimiento, de forma que si la resultante de las fuerzas que actúan sobre un cuerpo es cero, la derivada dp/dt = 0, esto es que p ha de ser constante. De este modo, (si m = constante) que p sea constante implica que lo sea v. No hay que olvidar que las ecuaciones y conceptos que aquí se recuerdan son de carácter vectorial, lo que supone tomar todas las precauciones necesarias que ello conlleva. La TERCERA LEY DE NEWTON es casi una consecuencia de la definición dada del concepto de fuerza y del desarrollo anterior. Si un cuerpo A ejerce una fuerza sobre otro cuerpo B (FAB) éste cuerpo B ejercerá otra fuerza exactamente igual en intensidad sobre el cuerpo A (FBA) de igual dirección y sentido contrario. Eso sí, hay que recordar que esas dos fuerzas nunca estarán contrarrestadas, pues se hallan aplicadas en cuerpos diferentes, y que para cada una de ellas se cumple la ley fundamental de la dinámica (segunda ley de Newton). De este

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modo, si dos cuerpos están sometidos a su mutua interacción, esta tercera ley conduce (no procedemos a su demostración que se hizo en el curso pasado) a la conocida LEY DE CONSERVACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO, en donde la cantidad de movimiento total de todo el conjunto ha de permanecer invariable (en ausencia de fuerzas exteriores). Ojo: pueden variar las p de cada cuerpo individual, lo que esta ley exige es que NO cambie la SUMA (vectorial, por supuesto) de estas magnitudes. Existen un grupo de fuerzas “de contacto” que se vieron el curso pasado y que merece recordar aunque sea de pasada.

0.2.1. FUERZAS DE ROZAMIENTO. Genéricamente (y en primera aproximación) se entienden por tales, a las fuerzas que surgen como consecuencia “del contacto” entre cuerpos en movimiento relativo. En las que nos centramos más son en las fuerzas de rozamiento entre superficies, recordando que el valor de esa fuerza depende de la naturaleza de esas superficies (NO del valor de esas superficies) y de la “fuerza que comprime” a ambos cuerpos. Su valor máximo queda calculado por la expresión

Fr ≤ µ N

0.2.2. FUERZAS ELÁSTICAS. Son las ejercidas por muelles o resortes, y tienen gran importancia en los modelos de física del estado sólido. La ley que permite conocer esta interacción es la conocida como “ley de Hooke”, según la cual esa fuerza ejercida por el resorte se opone a la deformación (x) con un valor proporcional a éste. La constante de proporcionalidad, depende de la naturaleza del resorte. Esta ley suele expresarse de modo matemático como:

v v F = − Kx u siendo u el vector unitario correspondiente.

0.3.

TRABAJO y ENERGÍA.

Vamos a finalizar este rápido repaso con uno de los conceptos más productivos de la física, el de Energía. Aunque no resulta fácil definir esta magnitud, podemos relacionarla con los cambios que se producen en la Naturaleza, lo que nos permite hacer una amplia clasificación y definir (recordar) unos conceptos y magnitudes que nos permiten evaluar las VARIACIONES de energía (transferencias) entre cuerpos, de modo que una característica fundamental de esos intercambios es que en ellos, la cantidad de energía permanece constante. Dependiendo de la existencia o no de “fuerzas disipativas” las transferencias de energía ocurren sin “degradación en calor” o con presencia de éste en un valor igual a las diferencias energéticas “recibida y transferida”. La primera magnitud que nos permite evaluar las transferencias energéticas debidas a la existencia de fuerzas, es al TRABAJO MECÁNICO (W, escalar), que sin entrar en las demostraciones que ya se vieron en el curso pasado, y cuando la fuerza que actúa sobre el cuerpo es constante, se puede escribir:

v v 1 W = F · dr = F · dr · cosα = ΔEc = Ec F − EcI = m · (v F2 − v I2 ) 2 si bien conviene recordar que en la ecuación anterior (conocida como el Teorema de las Fuerzas Vivas) la expresión Ec = ½ m· v2 recibe el nombre de ENERGÍA CINÉTICA. A propósito del concepto de trabajo conviene remarcar que éste NO es una forma de energía, sino que es una magnitud que sirve para medir LAS ENERGÍAS TRANSFERIDAS entre sistemas, de modo que si un sistema está “ganando” energía es porque hay otro “que la está perdiendo”, y así un W > 0 indica que el sistema está

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“ganando” energía, mientras que si W < 0 significará que lo está perdiendo. Dicho de otro modo: un cuerpo NO tiene trabajo (del mismo modo que tampoco tiene CALOR: el calor –recordémoslo de paso- es un proceso, igual que W, de intercambio de energía entre dos cuerpos como consecuencia de sus diferencias de energía interna) Dentro de poco veremos “cómo hay que retocar” esta expresión para el caso de fuerzas variables. Existe un grupo importante de fuerzas (llamadas FUERZAS CONSERVATIVAS) que tienen la característica principal de que el trabajo que realizan NO depende del camino que sigan, sino sólo del valor que tiene una función matemática en la posición inicial y en la posición final. A esa función se la denomina ENERGÍA POTENCIAL. La fuerza gravitatoria es un ejemplo (no el único) de este tipo de fuerzas tan fundamentales en la física. Matemáticamente expresado, el trabajo realizado por estas fuerzas puede escribirse como (sin demostración, vista el curso pasado) W = U1 – U2 = - ∆U Esto es, el trabajo que realizan estas fuerzas se invierte en DISMINUIR la energía potencial. En su primera aproximación (y para la fuerza gravitatoria) la energía potencial gravitatoria debida a los cuerpos a pequeñas alturas, tiene de valor U = mgh, si previamente se ha señalado una referencia para “h”. Veremos en otro tema cómo se altera esta ecuación. Entendemos por energía mecánica como la suma de la energía potencial y cinética de un cuerpo, E = U + Ec. Recuerda que tanto trabajo mecánico, como energía son magnitudes escalares. Así, cuando un cuerpo está sometido a la acción de este tipo de fuerzas tan peculiares, LA ENERGÍA MECÁNICA SE CONSERVA, es decir que Ei = Ef. Por ello, a este tipo de fuerzas se las denomina FUERZAS CONSERVATIVAS precisamente por ello, porque hacen que bajo su acción la energía mecánica del sistema (aislado) se mantenga constante. Bajo su acción, como es fácil demostrar (ya se hizo el curso pasado) el trabajo total en un ciclo cerrado es nulo. Evidentemente, las únicas fuerzas que actúan sobre los cuerpos NO son sólo fuerzas de este tipo, sino que hay otras (disipativas, p.e. rozamiento) para las que no se cumple el principio anterior, y exige una generalización. En estos casos donde las fuerzas que actúan sobre un cuerpo son conservativas y NO conservativas, el trabajo realizado por las fuerzas NO CONSERVATIVAS se invierte en variar la energía mecánica: Wnc = ∆E Esto es tanto como decir que bajo la existencia de fuerzas NO conservativas, la Energía mecánica Inicial de un sistema se “reparte” en calor y en “energía mecánica final”. En otros términos: la transferencia energética NO es íntegra de un sistema al otro, sino que existe una fracción más o menos importante de esa energía mecánica inicial que “se pierde” en calor. Precisamente la cuantía de ese calor viene dado por el valor del trabajo mecánico realizado por esas fuerzas NO conservativas.

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PROBLEMAS DE REPASO DE SELECTIVIDAD. 1. Se lanza hacia arriba un bloque de 1 kg, a lo largo de la recta de máxima pendiente de un plano inclinado 30º con el plano horizontal. La rapidez inicial es 2 m/s y el coeficiente de rozamiento tiene de valor µ= 0,30. Determinar: a) la distancia recorrida sobre el plano hasta que se detiene; b) la velocidad cuando se encuentra a la mitad de su recorrido; c) la energía “mecánica perdida” cuando ha llegado a dicho punto intermedio. Dato: g= 9,8 m/s2 Solución: a) 0,269 m; b) 1,41 m/s; c) 0,342 J 2. Un cuerpo de 3 kg que descansa sobre el suelo se eleva verticalmente. Para ello se le aplica una fuerza vertical constante. A 40 metros del suelo su rapidez es 4 m/s; a) ¿cuál es el valor de esa fuerza?; b) ¿Qué trabajo realiza esta fuerza hasta que el cuerpo alcanza los 40 metros? Solución: a) 30 N; b) 1200 Julios 3. Un disco de radio R gira con velocidad angular ω alrededor de un eje perpendicular a él que pasa por su centro. A) ¿Cómo varía el módulo de la velocidad de las partículas del disco en función de la distancia al eje de giro?; b) Si se duplica la velocidad angular, ¿cómo cambia la frecuencia del movimiento? ¿Y el período? Solución: a) aumenta a medida que nos alejemos del centro; b) el período se reduce a la mitad y la frecuencia se duplica. 4. Un bloque de masa m = 2 kg se lanza con una rapidez de 6 m/s por una superficie horizontal rugosa, en donde el coeficiente de rozamiento es 0,2. Después de recorrer una distancia de 4 metros, choca con el extremo libre de un resorte, de masa despreciable y de constante elástica k=200 N/m , colocado horizontalmente y fijo por el otro extremo. Calcular: a) la compresión máxima del resorte y el trabajo total realizado en dicha compresión; b) la altura desde la que debería dejarse caer el bloque sobre el extremo del resorte, colocado verticalmente para que la compresión fuera la misma que en 2 el apartado anterior. Dato g= 10 m/s Solución: a) 0,43 metros; b) 0,49 metros 5. Una partícula de 2 kg se mueve sobre una línea recta horizontal a 3 m/s. Una segunda partícula de 1 kg se mueve a 4 m/s en la misma dirección y sentido, de forma que colisionan. Tras la colisión ambas permanecen unidas. Una tercera partícula de 1,5 kg se mueve en sentido opuesto sobre la misma recta. A) Deducir la rapidez de la tercera partícula para que las tres partículas queden en reposo tras la segunda colisión. B) ¿Son elásticas las colisiones? Solución: a) 6,67 m/s; b) No 6. Se lanza verticalmente hacia arriba una pelota con una rapidez de 30 m/s; a) ¿Cuál es la velocidad y la posición de la pelota después de 2 s y de 4 s?; b) ¿Qué velocidad y aceleración tiene en el punto más alto de su trayectoria? Dato g= 10 m/s2 2 Solución: a) 10 m/s(hacia arriba) ; 40 m; 10 m/s(hacia abajo) ; 40 m; b) 0; 10 m/s 7. Un proyectil de 10 gramos de masa se mueve horizontalmente y en línea recta con una rapidez de 200 m/s y se incrusta en un bloque de 290 gramos de masa, inicialmente en reposo sobre una mesa sin rozamiento; a) ¿Cuál es la velocidad final del proyectil y del bloque?;b) Al cabo de 10 segundos, el conjunto proyectil‐bloque choca contra un muelle y lo comprime 20 cm, ¿cuál es la constante elástica del muelle?; c) en el caso de que el bloque rozase con la mesa, con coeficiente de rozamiento dinámico de 0,02, ¿cuánto tiempo habría transcurrido hasta chocar con el muelle desde el momento del impacto con el proyectil? Solución: a) 6,6 m/s; b) 333,3 N/m; c) 12,25 s. 8. Una papelera de 40 cm de altura se encuentra en un rincón de la habitación. Desde nuestro escritorio, situado a 3,0 metros de distancia lanzamos con la mano, situada a 1,40 metro del suelo, una bola e papel, con la intención de encestar limpiamente. ¿Con qué velocidad (rapidez) debemos lanzar la bola hacia la papelera si el ángulo de disparo es de 30º? Solución: 4,6 m/s 9. Un objeto se mueve con una velocidad v = 2ti – 5j; calcula: a) la aceleración instantánea; b) la aceleración media entre los instante 2 y 3 segundos; c) las aceleraciones tangencial y normal a los 2 segundos. Solución: 2i, 2i, 1,25, 156 (SI) 10. ¿Qué velocidad angular debería tener la Tierra para que un objeto en el Ecuador no tenga peso? ¿Cuántas horas 6 ‐2 debería tener el día para ello? Datos: Radio de la Tierra 6,37∙10 metros y tomar el valor de g igual a 9,8 ms ‐3 Solución: a) 1,240∙10 rad/s; b) 1,41 horas

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11. ¿Qué velocidad inicial habría de tener un proyectil para lograr el mismo alcance que otro con mitad de masa, siendo iguales los ángulos de lanzamiento? Solución: la misma velocidad inicial, pues el alcance no depende de la masa. 12. Un cuerpo de 4 kg de masa viene deslizando por una superficie horizontal que se continúa con otra superficie inclinada 30º con respecto a la horizontal. El coeficiente de rozamiento dinámico (cinético) entre el cuerpo y las superficies es 0,15. Cuando el cuerpo se encuentra a 3 metros del punto donde comienza el plano inclinado lleva una rapidez de 5 m/s. Se pide: a) módulo de la fuerza de rozamiento en el plano horizontal y en el plano inclinado; b) rapidez con que inicia el ascenso por el plano inclinado; c) altura máxima que alcanza. Solución: a) 6 N; 5,2 N; b) 4 m/s; c) 0,635 m 13. Un bloque de 50 kg asciende una distancia de 6 metros por la superficie de un plano inclinado 37º respecto la horizontal, aplicándole una fuerza de 490 N, paralela al plano. Siendo el coeficiente de rozamiento, calcular: a) la variación de energía cinética del bloque; b) la variación de su energía potencial ;c) el trabajo realizado contra la fuerza de rozamiento; d) ¿A qué tiene que corresponder la suma de los términos calculados en los apartados a, b y c? Solución: a) 655,4 J; b) 1805,45 J; c) 479,16 J; d) a la energía comunicada por la fuerza F. 14. Un proyectil de 0,01 kg con una rapidez de 60 m/s en dirección horizontal, se incrusta en un bloque de 4 kg suspendido en un punto fijo mediante una cuerda de 1 metro de longitud. Calcular: a) altura a la que asciende el bloque tras el impacto; b) rapidez mínima del proyectil para que el bloque describa una circunferencia completa. Solución: a) 1,12∙10‐3 metros; b) 2835,5 m/s 15. (JUNIO 2003) Un bloque de 0,2 kg inicialmente en reposo se deja deslizar por un plano inclinado 30º sobre la horizontal ‐1 con rozamiento (µ = 0,2). Tras recorrer 2 m queda unido al extremo libre de un resorte (K = 200 Nm ) paralelo al plano y fijo al otro extremo. A) Diseñar en un esquema todas las fuerzas que actúan sobre el bloque cuando comienza el descenso e indique el valor de cada una de ellas; ¿con qué aceleración desciende el bloque?; B) Explicar los cambios de energía del bloque desde que inicia el descenso hasta que comprime el resorte, calculando la máxima compresión de éste. 16. Se deja caer un bloque de masa m, inicialmente en reposo, desde una altura h sobre un resorte sin masa apreciable, cuya constante recuperadora es k. Hallar la máxima distancia "y" que se comprimirá el resorte. 17. (JUNIO 1999) Un bloque de 5 kg desliza con velocidad constante por una superficie horizontal mientras se aplica una fuerza de 10 N, paralela a la superficie. A) Dibujar un esquema de todas las fuerzas que actúan sobre el bloque y explicar el balance trabajo‐energía en un desplazamiento del bloque de 5 m; B) Dibujar en otro esquema las fuerzas que actuarían sobre el bloque si la fuerza que se le aplica fuera de 30 N en una dirección que forma 60º con la horizontal, e indicar el valor de cada fuerza. Calcular la variación de energía cinética en un desplazamiento de 0,5 m. Repetir las cuestiones para el caso de existir un coeficiente de rozamiento μ con la superficie de deslizamiento.

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Ejercicios Tema 0

A

O

C h

B

1. El péndulo simple de la figura consta de una masa puntual m1 = 20 kg, atada a una cuerda sin masa de longitud 1,5 m. Se deja caer desde la posición A. Al llegar al punto más bajo de su trayectoria, punto B, se produce un choque perfectamente elástico con otra masa m2 = 25 kg, que se encuentra en reposo en esa posición sobre una superficie horizontal sin rozamiento. Como consecuencia del choque, la masa m1 rebota hasta alcanzar la posición C a altura h del suelo. Determinar: a) La rapidez de m1 al llegar a la posición B antes del choque y la tensión de la cuerda en ese instante. b) Las velocidades de m1 y m2 después del choque. c) La energía cinética que pierde m1 en el choque. d) La altura h al que asciende la masa m1 después del choque. (Tomar g=9,8 m/s2) Solución: a) 5,4 ms-1; b) 0,6 y 4,82 ms-1; c) 290 J; d) 0,02m

2. Una bala de masa 0,3 kg y velocidad desconocida choca contra un saco de 4 kg suspendido de una cuerda de 0,5 m de larga y en reposo. Después del choque el saco se eleva hasta que la cuerda hace un ángulo de 30º con la vertical, mientras tanto la bala describe una parábola, estando el punto de impacto a 20 m de distancia horizontal y 1,5 m por debajo. Calcular: a) La rapidez del saco y de la bala inmediatamente después del choque; b) La rapidez de la bala antes del choque y la energía perdida en el mismo; c) La tensión de la cuerda cuando esta hace 10º con la vertical.

30º

0,5 m

4 kg

0,3 kg

1,5 m 20 m

Solución: a) 1,14 y 36,15 ms-1; b) 51,4 ms-1; 197,6 J c) 47,92 N

3. Las agujas horaria y del minutero de un reloj coinciden exactamente a las 12:00 h en punto. ¿A qué hora volverán a coincidir? Sol.: a las 13h 05 min 27,3 s

4. Un ascensor de 3 m de altura sube desde el reposo con una aceleración de 1 m/s2. Cuando se encuentra a una cierta altura se desprende la lámpara del techo. Calcular el tiempo que tarda en llegar al suelo del ascensor. Tomar g como 9,8 m/s2. Sol.: 0,71 s 5. Nos encontramos en la antigua Suiza, donde Guillermo Tell va a intentar ensartar con una flecha una manzana dispuesta en la cabeza de su hijo a cierta distancia d del punto de disparo (la manzana está 5 m por debajo del punto de lanzamiento de la flecha). La flecha sale con una velocidad inicial de 50 m/s haciendo una inclinación de 30º con la horizontal y el viento produce una aceleración horizontal opuesta a su velocidad de 2 m/s2. Calcular la distancia horizontal d a la que deberá estar el hijo para que pueda ensartar la manzana. Hállese la altura máxima que alcanza la flecha medida desde el punto de lanzamiento. (g = 9,8 m/s2) Sol. 201,23 m; 31,89 m

6. Un bloque de 0.5 kg de masa comienza a descender por una pendiente inclinada 30º respecto de la horizontal (μ = 0,2) hasta el vértice O en el que deja de tener contacto con el plano. A) Determinar la velocidad del bloque en dicha posición. B) Hallar el punto de impacto del cuerpo en el plano inclinado 45º, situado 2 m por debajo de O, tal como se indica en la figura; C) Hallar el tiempo de vuelo T del bloque (desde que abandona el plano inclinado hasta el punto de impacto). Sol.: 11,43 m/s; (11’65, -13’65); 1,18 s

7. Un resorte vertical de constante K=1000 N/m sostiene un plato de 2 kg de masa. Desde 5 m de altura respecto al plato se deja caer un cuerpo de 4 kg que se adhiere a él. Calcular la máxima compresión del resorte.

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REPASO

INICIAL. Tema 0

8. Una pista de patinaje tiene la forma indicada en la figura. El primer tramo lo constituye un arco de 60º de una circunferencia de 30 m de radio. El segundo tramo discurre por un plano inclinado tangente a la circunferencia en el punto inferior del arco. En el tramo plano se coloca un muelle (parachoques) de constante k = 40 N/m cuyo extremo libre coincide exactamente con el final del tramo circular. Un patinador de 70 kg de masa se deja deslizar con velocidad inicial nula desde el extremo superior del primer tramo circular siendo detenido finalmente por la acción del resorte. A lo largo de la pista no hay rozamiento. Determinar: A) La reacción de la pista en A y B. El punto A hace un ángulo de 30º con la horizontal, y B es un punto del plano inclinado; B) La distancia que habrá comprimido el muelle cuando el patinador se detiene por completo. Sol: 1029 y 594,1 N; 39,63 m

9. Enganchamos una partícula de 1 kg a un resorte de masa despreciable cuya longitud natural es de 48 cm y la constante recuperadora 10 N/cm. Lo hacemos girar como un péndulo cónico con una velocidad angular constante de 60 r.p.m. Calcular: a) El alargamiento del resorte; b) El ángulo que forma la altura del cono con la generatriz. Sol.: 0,02 m; 60.2 º

10. Un bloque de 200 g permanece en reposo en A cuando el muelle de constante 500 N/m está comprimido 7.5 cm. Se suelta el dispositivo de sujeción y el bloque recorre el camino ABCD sin rozamiento. Calcular: a) La velocidad del bloque cuando pasa por B, C y D; b)La reacción del raíl cuando pasa por el punto más alto, C. Sol.: 2,86 m/s; 2,29 m/s; 2,86 m/s; 5 N

11. Un vagón que dispone de un contenedor abierto por la parte superior tiene una masa total de 1250 kg y se mueve a una velocidad de 30 km/h sobre una vía recta. En cierto momento comienza a llover y el contenedor se llena a razón de 5 L/min. A) ¿Con qué velocidad se moverá al cabo de una hora y media de incesante lluvia (se desprecia el rozamiento). B) Expresa la rapidez del vagón en función del tiempo. Solución: a) 22 km/h

12. En un partido de pelota vasca, un pelotari golpea desde 20 metros una pelota de 200 gramos que sale despedida de su mano (a 1 metro sobre el suelo) formando un ángulo de 30º sobre la horizontal. La pelota golpea horizontalmente contra la pared y, tras rebotar, cae a 15 metros de ella. ¿Qué impulso ha ejercido la pared sobre la pelota? Solución: 6,23 kg m/s

13. En la posición A de la figura, un objeto de 1 kg está comprimiendo 2 C cm un muelle (K = 520 N/cm) de modo que desde ahí se suelta y recorre el tramo rugoso AB de 30 cm de longitud (μ = 0,12) para completar el tramo curvo y liso BC sin rozamiento (distancia BC = 0,6 m) al final del cual el cuerpo queda libre y escapa del circuito. Calcular a) ¿con qué rapidez llega el objeto al punto B?; b) ¿con qué rapidez llegará al punto C?; c) Una vez que sale de la pista por el punto C ¿cuál es la ecuación de la Α Β trayectoria que sigue el objeto hasta que llega al suelo?; d) ¿Qué tiempo empleó en caer al suelo desde C? 14. Un cuerpo de masa M = 9 kg forma parte de un péndulo que está O sujeto al punto O de la figura. La longitud de la cuerda son 140 cm. 15º Se lo separa 15º de la vertical y se lo suelta, de modo que en su punto C más bajo de la trayectoria (punto A) impacta (sin que rebote y M quedando en reposo) sobre otro cuerpo de masa m = 1 kg que se m mueve hasta B con rozamiento (μ = 0,12) y sube hasta C sin A rozamiento, donde existe un muelle de constante K = 770 N/m con B el que choca. Calcular cuánto se comprime el muelle si se sabe que el ángulo del plano es de 10º, la distancia BC son 4 m y AB = 2,5 m. (Admitir que el choque Mm es perfectamente elástico)

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· TE EM MA 1· 1 Inteeraccción G Gravitaatoriaa "Entre vuestra merced,...en n este paraíso, qu ue aquí hallaráá estrellas y solees que acompañ ñan al cielo...; aquí ha allará las armass en su punto y la hermosura en e su extremo" (Miguel de d Cervantes (154 47-1616). EL QUIJ JOTE. Cap. XLII)

D Desde el com mienzo de la civilización, uno u de los temass que más ha intrigado al hombre ha sido o el estudio y cono ocimiento de los cielos, loss movimientoss estelares y planettarios, la suceesión del día y la noche, lo os ciclos de las estaciones, etcc.. En esta línea, los grriegos, que consid deraban al ho ombre como el e eje de todo,, supusieron que la a tierra era el centro geométrico del Universo y que todos los cuerposs celestes see movían alrrededor de nuestrro planeta. La a primera hip pótesis relacionada con el movimiento planettario consistió en suponer que los planetas describían círculos concéntricos,, teniendo a la tierra en su ceentro. Sin embargo, esta suposición s no o explicaba satisfa actoriamente el movimien nto observad do de los planettas, y la geom metría del movvimiento planeetario se hizo más y más compleja. H Hasta entrado o el siglo XV VI, las ideas predominante es en este terreno eran las mismas que las del siglo II: la as debidas al astrónomo alejan ndrino Ptolomeeo (teoría de los epiciclos). No fue hasta la llegada de Niccolás Copérniico, cuando la a situación com menzó a varia ar. N Nicolás Copérnico (1473--1543) busca aba una solu ución más simplee al movimien nto planetario o y llegó a proponer el so ol, y no la tierra,, como el ceentro de giro.. En realidad, esta idea había h sido propu uesta mucho antes a por el astrónomo a grieego Aristarco de Samos alredeedor del siglo o tercero anttes de Cristo o. Estas “nuevvas ideas” coperrnicanas, alteeraban el ord den de colo ocación de las órbitas planettarias con resspecto al sol. Lo que en realidad r propu uso Copérnico o fue Epiciclos de Ptolom meo otro sistema de refeerencia situado en el sol, reespecto al cua al el movimiento de los pla anetas tenía una u descripción más simple. Elipse Lo o propuesto por p Copérnico o, ayudó al asttrónomo Johannes Kepler (1571-1630) en el descubrim miento de lass leyes del movimiento A planettario, como resultado r del análisis cuida adoso de las mediciones astron nómicas de Tyycho Brahe (1546-1601). Estas E leyes, de enominadas leyes de Kepler, son una desscripción cineemática del movimiento planettario y se enun ncian del siguiente modo: I.

Los planetas describen órbitas elípticas, e estan ndo el sol en uno de d sus focos.

Esta primera ley supuso un u primer cambio en el esquema del funcio onamiento de los cielos, ya a que se consideraba el círculo la figura

F

F'

B

O

excentrici dad d

e=

e ≈ 0 ⇒ órbita

OF ' OB

=

OF OA

circuular

≤1

G R A V I T A C I Ó N. Tema 1

geométrica “perfecta” y que por tanto esa habría de ser la órbita que describieran los objetos en el cielo. Esta fue una herencia de Platón y Aristóteles que al propio Kepler le costó esfuerzo desterrar. II.

El vector de posición de cualquier planeta con respecto al sol, barre áreas iguales de la elipse en tiempos iguales. (Esta proposición se denomina la ley de las áreas)

Esta ley “obligaba” a que los planetas NO se movían con la misma rapidez alrededor del Sol, y que por lo tanto, las estaciones NO duraran lo mismo en ambos hemisferios. Evidentemente, el planeta, para desplazarse de P1 a P2 va más despacio que para hacerlo de P3 a P4 para que las áreas barridas sean iguales. III.

Los cuadrados de los periodos de revolución de los planetas son proporcionales a los cubos de las distancias promedio de los planetas al sol (r). (Esta ley puede expresarse por la ecuación matemática T2 = K · r3, siendo K una constante de proporcionalidad, o expresado de otro modo: “para cada planeta que orbita alrededor del sol el cociente T2/r3 permanece constante”.

La siguiente etapa en la historia de la Astronomía fue una discusión de la dinámica del movimiento planetario y un esfuerzo por determinar la interacción responsable de tal movimiento. Es aquí donde Sir Isaac Newton (1642-1727) llevó a cabo su grandiosa contribución: la ley de gravitación universal; a partir de entonces, el pensamiento de la Humanidad, ya no sería el mismo de antes. Esta ley, determina y permite calcular la interacción entre dos cuerpos masivos separados una cierta distancia. Aplicada al movimiento planetario, las conclusiones que de ella se derivan cambiaron por completo la visión de los cielos. De hecho, se debe al mismo Newton el genio de encontrar una ley matemática exacta que rige el movimiento de los planetas. La secuencia de su razonamiento era el siguiente: I. Sobre los planetas, deben actuar una fuerza resultante neta NO equilibrada, ya que si no, los planetas seguirían una trayectoria rectilínea (ley de inercia) II. La anterior fuerza, cualquiera que sea su magnitud o su naturaleza, debe tener una dirección constantemente dirigida hacia el centro de la trayectoria (fuerza central). La razón que dio Newton fue que de este modo, se cumple la 2ª ley de Kepler.

“La gravedad es una de las cuatro interacciones fundamentales en la Naturaleza. Aunque su importancia es despreciable entre las interacciones entre partículas elementales, la gravedad tiene una importancia fundamental en las interacciones de objetos grandes. La fuerza gravitatoria juega un papel importante en la evolución de las estrellas y en el comportamiento de las galaxias. En cierto sentido, la gravedad es la que mantiene reunido todo el Universo”

Veamos esta afirmación utilizando terminología matemática moderna.

m V

L

Se define la magnitud MOMENTO ANGULAR, L , de una partícula como el Momento de su cantidad de movimiento: v v v v v L = r ∧ p = r ∧ mv

r O

La segunda ley de Newton establecía que: ∑ F = dp/dt para los movimientos de traslación. De modo similar hay una ley parecida para las rotaciones (como la de los planetas), pero que implica al Momento Angular y que vamos a deducir ahora.

Para hallarla derivamos L: v v v dL d v v dr v v dp = (r ∧ p) = ∧ p+r ∧ dt dt dt dt

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pero como

v dr v =v dt

y la velocidad y el momento lineal tienen la misma dirección y sentido, nos quedará sólo que:

A1. ¿Cuáles serán las unidades del módulo del momento angular? A2. Una partícula de 2 kg de masa, situada en la posición (3,2,0) referido a cierto observador, se mueve con velocidad

v v v v = 2i − j (SI). Determina el momento angular con

v dL v v v =r ∧F =M dt que es una expresión equivalente a

v dpv F= dt

muy útil para la rotación, y una de las ecuaciones más importantes de la física clásica.

respecto a ese observador. A3. Una partícula de masa m realiza un movimiento circular uniforme de radio r, con rapidez angular w. Determinar su momento angular. A4.Si el radio de la órbita circular de un planeta A es cuatro veces mayor que la de otro B, ¿en qué relación están sus periodos? ¿Y sus rapideces medias?

Lógicamente, de la última ecuación obtenida, se deduce que si el Momento de las fuerzas es nulo, la derivada del Momento angular ha de ser cero, y por lo tanto, el momento angular ha de conservarse. Esto es, si M = 0

v v dL v v v = r ∧ F = M = 0 ⇒ L = cte. dt En efecto, si admitimos que las órbitas son circulares (o elípticas) y ya que la fuerza que actúa sobre el planeta es central, se concluye que M ha de ser cero (ya que lo es el producto vectorial que lo define al ser el vector de posición y la fuerza que mueve al planeta de igual dirección). Por lo tanto, L se ha de conservar tanto en módulo como en dirección. •

Que la dirección y sentido del Momento Angular se conserve, significa que la trayectoria planetaria ha de ser plana (esto es, en un mismo plano).

•

Que el módulo del Momento Angular se conserve, acarrea la demostración de “la ley de las áreas” de Kepler.

En efecto, si la partícula se mueve desde la posición 1 a la 2, recorre en un intervalo de tiempo dt, un arco de tramo dr. El área barrida por el radio vector será:

dS =

1 v v r ∧ dr 2

r+dr

O

2 dr

r 1

y por otro lado:

1 v v 1 v v 1 v 1 v v dS L dS = r ∧dr = r ∧v dt = r ∧v dt⇒ dS = r ∧mv dt⇒ = =cte. 2 2 2 2m dt 2m es decir, “el área barrida por el radio vector en cada unidad de tiempo (velocidad areolar) es constante"; esto es, el planeta barre áreas iguales en tiempos iguales. En realidad, una demostración más purista de esta ley de Kepler de las áreas exige la utilización de las llamadas coordenadas polares y su inclusión en la conservación del momento angular, que aunque no es complicado, lo evitamos para no alargar en exceso este tema. (Demostrar que la conservación de L, exige que la velocidad de un planeta es diferente en el afelio y en el perihelio)

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G R A V I T A C I Ó N. Tema 1.

Q1. El sol, visto desde la Tierra, se mueve más rápidamente contra el fondo de estrellas en invierno que en verano. Sobre la base de este hecho y de las leyes de Kepler, ¿qué puede decirse acerca de la distancia relativa de la Tierra al Sol durante estas estaciones? ¿Y de la duración de las estaciones en los distintos hemisferios de la Tierra? Q2. Marte posee un satélite con un periodo de 460 min y que describe una órbita con un semieje mayor de 9,4 Megametros. ¿Cuál es la masa de Marte?

La que se denominó ley de la gravitación universal de Newton, suponía que la fuerza gravitatoria era atractiva, pero eso NO significaba que tal fuerza fuese la responsable del movimiento planetario observado y de las leyes de Kepler. Simplificando el método usado por Newton, éste usó las leyes de Kepler para obtener su ley de la gravitación. Supongamos ahora un planeta (de masa m) girando alrededor del Sol (de masa M). Para él podríamos plantear las siguientes ecuaciones: 4π 2 F = m.ac = m.ω 2 R = m 2 R T T 2 = K .R 3

o sea:

F=

4π 2 1 ⋅m⋅ 2 K R

esto es, la fuerza gravitatoria debería variar con el inverso del cuadrado de las distancias, siendo m la masa del planeta. Por otro lado, según la tercera ley de Newton, podremos escribir que

m M 4π 2 1 4π 2 1 ⋅m ⋅ 2 = ⋅M ⋅ 2 ⇒ = = cte. ⇒ m ⋅ K 2 = M ⋅ K1 = cte' K1 K2 K1 K 2 R R por lo que

F=

4π 2 M m M ⋅m ⋅ ⋅ 2 =G⋅ K M R R2

ya que K · M = cte. Siendo G = 6,67·10-11 N·m/Kg2 la conocida como “constante de la gravitación Universal”. La expresión anterior nos da EL MÓDULO de la fuerza gravitatoria, la cual, es siempre atractiva ente dos masas cualesquiera situada a una cierta distancia. Además es una fuerza central (y como veremos, conservativa), esto es su dirección pasa por el centro que une ambos cuerpos. De forma más general, si consideramos dos cuerpos de masas m1 y m2 cuyos centros C1 y C2 están separados una distancia r y suponemos que u es un vector unitario en la dirección de la recta que pasa por C1 y C2 y cuyo sentido es de C1 hacia C2, la fuerza con que el cuerpo de masa m1 atrae al de masa m2 la podemos escribir:

v m ·m v F = −G 1 2 2 u r

La fuerza gravitatoria es una FUERZA CENTRAL, es decir, la fuerza actúa a lo largo de la línea que une los dos cuerpos. Depende de la distancia entre ambos cuerpos. Es una fuerza conservativa.

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1.

CONCEPTO FÍSICO DE CAMPO

Si se empuja un objeto con la mano, no es difícil de entender cómo tiene lugar la interacción entre la mano y el objeto, ya que ambos “están en contacto”. Sin embargo, ¿cómo puede explicarse la interacción entre la Tierra y el Sol, separados una distancia de 150 millones de kilómetros? ¿Son diferentes la interacción mano-objeto y la interacción Tierra-Sol? En realidad, si analizamos de verdad el término “contacto”, descubriremos que en verdad no hay diferencias entre ambos tipos de interacciones. El término “contacto”, entendido como distancia nula, NO EXISTE. Cuando, por ejemplo, empujamos una mesa, los electrones más externos de los átomos situados en la superficie de nuestra mano, no llegan nunca a estar en contacto con los electrones más externos de la mesa, ya que ello requeriría, según la ley de Coulomb: F = KQ1Q2/d2 ejercer una fuerza infinita (d = 0). Por ello, utilizamos el término contacto como una sensación fisiológica, ya que nuestro “TODAS las interacciones que se producen entre sentido del tacto “nota” el “contacto” a cierta distancia”. Por lo los cuerpos, son realmente interacciones a tanto, TODAS las interacciones que se producen entre los cuerpos, distancia. Queda en pié la cuestión relativa a son realmente interacciones a distancia. Queda en pié la cuestión cómo se transmite la interacción, y no sólo eso, relativa a cómo se transmite la interacción, y no sólo eso, ¿se ¿se transmiten “instantáneamente” las transmiten “instantáneamente” las interacciones? Todas estas interacciones?” dificultades no pasaron desapercibidas al propio Newton cuando formuló su ley de la gravitación, sin embargo, no pudieron superarse hasta que a mediados del siglo XIX, Michael Faraday, en sus estudios sobre electricidad, introdujo el concepto de campo y éste pasó a generalizarse.

•

A qué se llama CAMPO de fuerzas.

Supongamos dos cuerpos que están interaccionando entre sí, ejerciendo cada uno de ellos fuerza sobre el otro. Si vamos situando el segundo cuerpo en distintas posiciones alrededor del primero, actuará en cada caso una fuerza distinta sobre él. Esto puede interpretarse admitiendo que cada punto del espacio alrededor del primer cuerpo está dotado de cierta propiedad, creada por éste, que hace que, al colocar allí un segundo cuerpo, actúe sobre él una fuerza. A esa propiedad la denominamos campo. La existencia del campo en cada punto hace que, al colocar otro cuerpo en uno de esos puntos, aparezca sobre él una fuerza. De este modo, la fuerza que actúa sobre el segundo cuerpo se debe al campo que crea en ese punto el primer cuerpo. Así, al crear el cuerpo un campo de fuerzas que actúa sobre los cuerpos colocados a su alrededor, evitamos las dificultades que entraña admitir una acción a distancia, ya que en cada punto del espacio existe un valor del campo. Cálculo del CAMPO Si queremos determinar el campo gravitatorio creado por una masa M en puntos situados a su alrededor, colocamos una masa m en esos puntos y medimos la fuerza que actúa sobre esa masa. La expresión vectorial de esa fuerza, sobre la masa m será:

* La Tierra crea a su alrededor cierta propiedad, denominada campo gravitatorio, que hace que, al situar un cuerpo en sus proximidades, actúa sobre él una fuerza de atracción. * Una carga eléctrica crea a su alrededor un campo eléctrico, de tal modo que, al colocar una nueva carga en las proximidades de la 1ª, medimos sobre ella una fuerza.

v M ·m v F = −G 2 u r r

m

para lo que se ha definido el vector unitario ur en la dirección que une las masas y sentido contrario a F, de ahí el signo negativo que aparece en la expresión anterior (ver figura).

Ur

Se define el campo gravitatorio creado por M como la

m F

M

fuerza que se ejerce en cada punto sobre la unidad de masa, al colocarla en dicho punto:

v M v v F g = = −G 2 u r m r

r

m

m

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De esta forma, a cada punto alrededor de M se lo puede caracterizar por un valor de g. A este g se lo suele también denominar INTENSIDAD DE CAMPO.

Según esto, la intensidad del campo es un vector de la misma dirección y sentido que la fuerza por ser el cociente de un vector por un escalar. Y la fuerza ejercida por el campo sobre una masa m’ situada en un punto del campo será m’ veces mayor:

v v m v v F = −G 2 u r · m' ⇒ F = m'⋅g r Este es el peso del cuerpo (de masa m’) en el punto considerado. El campo gravitatorio es un ejemplo de campo vectorial o Si suponemos que la masa m se coloca en el punto A y se le deja moverse libremente, la atracción que sobre ella campo de fuerzas porque a cada punto del campo va unido un vector o fuerza, que es su intensidad. ejerce M hará que ocupe una serie de posiciones sucesivas B,C,D... que en conjunto constituye una de las líneas de fuerza del campo gravitatorio creado por la masa M.

Los campos de fuerza se representan por líneas de fuerza, o líneas de campo, e indican la trayectoria que seguiría la unidad de masa abandonada en un punto cualquiera del campo gravitatorio. Dichas líneas de fuerza se caracterizan por ser curvas tangentes al vector campo en todos sus puntos. Las líneas del campo gravitatorio, tienen dirección radial y están dirigidas hacia el centro de la masa que crea el campo. Se dice que son sumideros. Dado que la fuerza que actúa sobre una masa m situada en un punto del campo gravitatorio creado por otra partícula material es única, las líneas de fuerza del campo gravitatorio no se cortan, excepto en el punto donde se encuentra la masa que crea el campo, en el que convergen todas las líneas de fuerza (consideraremos, por lo tanto, que una masa puntual no está sometida a los efectos de su propio campo) Q3. Por analogía con lo anterior, ¿cuál sería la expresión para el campo eléctrico? ¿Cuáles serían sus unidades? ¿Y las del campo gravitatorio? Q4. Determinar el valor del campo gravitatorio creado por la Tierra (considerada como masa puntual) en puntos situados a 6500 km de distancia de ella. Indicar su dirección y sentido. Q5. A.‐En un punto del espacio existe un campo gravitatorio cuya intensidad es 6,7 N/kg. Calcular el módulo de la fuerza que aparece sobre una masa de 10 kg al situarla en ese punto. ¿Cuál es la dirección y sentido de esa fuerza? B.‐Determina el campo eléctrico que crea una carga puntual de 1 C, en puntos del vacío situados a 1 m de distancia. Analiza su dirección y sentido. Q6. Tres masas iguales, de 100 kg cada una están situadas en los siguientes puntos: M1(0,0); M2(6,0); M3(3,2). Determinar el campo gravitatorio que crean estas masas en el punto (3,1). ¿Cuál será el valor de la fuerza resultante que actúa sobre una masa de 100 kg situada en ese punto?

(Realizar el esquema de líneas de fuerza para el caso de 2 masas separadas una cierta distancia)

No hay que olvidar que el campo gravitatorio es una magnitud vectorial, por lo que determinar su valor en un punto del espacio bajo la influencia de varias masas, requiere hacer uso del cálculo vectorial. De este modo, el campo gravitatorio total en un punto, debido a la acción de varias masas, se corresponderá con la suma vectorial de cada uno de los campos individuales en ese punto (Principio de superposición)

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Además conviene recordar aquí que el campo gravitatorio es conservativo, porque el trabajo para trasladar una masa de un punto a otro no depende de la trayectoria seguida. Ya se estudió algo de ello en el curso anterior. Con todo, nos volveremos a referir con más detalle al abordar los aspectos energéticos del campo gravitatorio.

g

Puede demostrarse que una esfera sólida homogénea de radio “a” produce, en puntos externos a ella, un campo gravitacional idéntico al que crea una partícula de igual masa situada en el centro de esa esfera, de modo que gráficamente puede mostrarse esta variación como se ve seguidamente en la representación.

2.

ENERGÍA POTENCIAL POTENCIAL

r

a

O lineal

Inverso con el cuadrado

GRAVITATORIA

CONCEPTO

Ya en otro curso se ha visto que la fuerza de la gravedad es una fuerza conservativa. Como todas las fuerzas de estas características, llevará asociada una “Energía Potencial”, de modo que el trabajo entre dos puntos sea igual a menos la variación de energía entre esos dos puntos:

DE

2 dr F

W12 = − ΔU = − (U 2 − U 1 ) = U 1 − U 2

m

1

Vamos a determinar el trabajo realizado por la fuerza gravitatoria al mover una masa desde un punto 1 a otro punto distinto 2. Realmente, cualquier desplazamiento se puede considerar como la composición de dos: uno paralelo a la dirección del campo y otro perpendicular a la dirección del mismo. Ahora “el problema” para ese cálculo del trabajo reside en que la fuerza que actúa sobre la masa “m” NO es constante, pues depende de la distancias, y éstas cambian. Sólo se realiza trabajo en el tramo que es paralelo al campo, mientras que el trabajo es nulo en el trayecto en el que el desplazamiento es perpendicular al campo. De este modo, el trabajo podemos calcularlo así:

W=

∫

2

1

v v F .dr =

∫

2

1

2

−G

m ⋅ MT 1 m ⋅ MT =G dr = − Gm ⋅ M T − 2 r1 r2 r U1 = − G

m ⋅ MT + cte. r1

U2 = − G

m ⋅ MT + cte. r2

− G

m ⋅ MT r1

Hay que tener presente, que la primera expresión nos determina la VARIACIÓN de energía potencial entre dos puntos, por lo que si se quiere asignar valores absolutos a la energía potencial de un cuerpo en un determinado punto del campo, será necesario establecer un valor de referencia. Este valor de referencia PUEDE SER CUALQUIERA. Hasta este momento (en el curso pasado) se usaba el criterio de que la energía potencial de un cuerpo era cero en la superficie de la Tierra. Vamos a llamar a éste el criterio 1.

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Criterio 1: La energía potencial de un cuerpo sobre la superficie de la Tierra es nulo. En este caso, si consideramos el punto 1 en la superficie de la Tierra, el convenio anterior nos lleva a escribir que: U1 = 0 cuando r1 = RT ⇒

0=−G

m ⋅ MT m⋅ MT + cte ⇒ cte = G RT RT

Con lo que la energía potencial de un cuerpo a una distancia r del centro de la Tierra será:

Ur = − G

Teniendo en cuenta el convenio 1, demostrar que la energía potencial gravitatoria de un cuerpo de masa m situado en el infinito es U = m∙g0∙RT

m⋅ MT m ⋅ MT r − RT +G = G ⋅m⋅ MT r RT r ⋅ RT

sustituyendo r = RT + h y G· MT = g0· R2 queda: Ur = m⋅ g ⋅h⋅

RT RT + h

Criterio 2: La energía potencial gravitatoria de un cuerpo situado en el infinito es nula. En este caso, escribiremos: U1 = 0 cuando r1 = ∞ esto es: 0 = −G

y en este caso:

m ⋅ MT + cte. ⇒ cte = 0 ∞

m ⋅ MT +0 r esto es

Ur = − G

Ur =− G

m ⋅ MT r

El último criterio es el que generalmente se adopta, y se hace extensivo a dos masas cualesquiera, siendo entonces la expresión de la energía potencial gravitatoria del tipo:

U (r ) = −G De esta expresión, y del criterio seguido para ella, se deducen algunas cosas interesantes: •

•

Que a cada posición relativa de dos masas • corresponde una energía potencial:

U (r ) = −G

m1m2 r

•

m1m2 r Cuando dos cuerpos se acercan, la energía potencial disminuye. El trabajo de acercamiento lo realiza la fuerza gravitatoria a costa de la energía potencial. Cuando separamos dos masas, hay que aplicar una fuerza exterior al sistema. Esta fuerza se emplea para aumentar la energía potencial, la cual tomará su valor máximo en el infinito. La energía potencial de un sistema formado por más de dos partículas se obtiene sumando las energías correspondientes a los sistemas que se pueden formar con las partículas tomadas dos a dos.

•

Que a la posición infinito corresponde una energía potencial nula

•

Que la energía potencial gravitatoria es siempre negativa. El sentido físico de este signo negativo es simple: según el teorema de la energía potencial, el trabajo realizado por una fuerza conservativa es igual a la disminución de la energía potencial. Por consiguiente, conforme la fuerza gravitatoria realiza el trabajo de acercamiento de las dos masas, la energía potencial disminuye. Si inicialmente la energía potencial era cero, forzosamente al final del desplazamiento, será negativo.

⊕ (¿Qué unidades poseerá la Energía potencial gravitatoria?)

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Según todo lo anterior, cabe preguntarse cómo varía la energía potencial entre dos puntos cualesquiera. Lógicamente, si las posiciones de los cuerpos cambian, también lo hace la energía potencial, pero ¿de qué modo?. Supongamos que la partícula m2 se traslada del punto A al punto B. Para la variación de energía potencial, podremos escribir que:

ΔU = U ( B ) − U ( A) = −G

⎛1 1⎞ m m ⎞ Gm1m2 Gm1m2 m1m2 ⎛ − ⎜⎜ − G 1 2 ⎟⎟ = − = Gm1m2 ⎜⎜ − ⎟⎟ rA ⎠ rA rB rB ⎝ ⎝ rA rB ⎠

Vemos que si rB = rA = r (constante), la partícula m2 se desplaza sobre una superficie esférica cuyo centro está en m1 y cuyo radio vale r. En este caso, la energía potencial permanece constante. Esta superficie se denomina superficie equipotencial. Podemos decir, que en principio, hay tres formas equivalentes de definir un campo de fuerzas conservativo: Cuando el trabajo realizado por las fuerzas DEL CAMPO No depende de la trayectoria seguida. Cuando el trabajo de las fuerzas DEL CAMPO a lo largo de un camino cerrado vale cero. Cuando existe una función Energía potencial tal que el trabajo realizado por las fuerzas del campo entre dos puntos A y B puede expresarse como diferencia WA‐B = U(A) – U(B)

Usando “el criterio del infinito” también se llega a una conclusión conocida. Para ello, en las ecuaciones anteriores basta hacer m1 = M (masa de la Tierra) y m2 = m (masa del cuerpo). Así, cuando un cuerpo está a una distancia r del centro de la Tierra, su energía potencial es: U = −G

Mm m1m2 = −G ( R + h) r

siendo R el radio de la Tierra.

La VARIACIÓN de energía potencial que experimenta el cuerpo al elevarlo una determinada altura h (con R >> h), puede obtenerse así: (admitiendo que si h<
⎛1 1⎞ ⎛1 h R+h−R 1 ⎞ ⎟⎟ = GMm = GMm = ΔU = Gm1m2 ⎜⎜ − ⎟⎟ = GMm⎜⎜ − R R R h R r r R R h ( ) ( ) ( + + h) + ⎠ ⎝ B ⎠ ⎝ A gm

h Rh R 2h = gm = gm = mgh = mg ( hB − hA ) h R+h R ( R + h) 1+ R

Ahora podemos ver, de nuevo, que la ‘antigua’ expresión U = mgh que utilizábamos en el curso pasado, representa variaciones de energía potencial. Por lo tanto, sólo tiene sentido cuando se establece un nivel de referencia. Este nivel de referencia se toma arbitrariamente, pero es preciso especificarlo en cada caso. Igualmente, la variación de energía potencial, puede ser positiva o negativa, teniendo presente las variaciones que con la altura experimenta g.

•

Un nuevo concepto: el POTENCIAL.

Lo anteriormente expuesto a propósito del campo gravitatorio terrestre, es aplicable, por supuesto a dos masas cualesquiera. De este modo, la existencia de M hace que, al situar una masa m en un punto a su alrededor, adquiera cierta energía potencial. Por tanto, podemos suponer que M “crea” en cada punto del espacio a su alrededor cierta propiedad, a la que denominaremos potencial gravitatorio, V. En realidad, el potencial gravitatorio, no es más que la energía potencial que adquiriría la unidad de masa situada en ese punto: (¿En qué unidades se medirá V?)

U (r ) M ⋅m M V= =− G =− G m r⋅m r

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De esta forma, cada punto alrededor de M posee cierto potencial, siendo nulo el potencial a distancias infinitas de la masa que crea el campo. Al situar una masa m en uno de esos puntos, la energía potencial que adquiere es: U(r) = m · V Así, tenemos en cada punto del espacio alrededor de M un valor para el campo gravitatorio, g, que nos proporciona la fuerza que actúa sobre una masa m, situada en ese punto, y un valor para el potencial (magnitud escalar), V, que nos permite conocer la energía potencial que adquiere m al situarla allí.1 Q7. Determina el potencial gravitatorio en el punto (3,1) de la distribución de masas de Q6. Q8. Calcula el potencial gravitatorio que crea la Tierra, considerada como masa puntual, en puntos situados a 6500 km de distancia de ella. “Así, tenemos en cada punto del espacio alrededor de M un valor para el campo Q9. ¿Puede ser nulo el potencial gravitatorio que crea un conjunto de masas Mi en algún punto que no esté infinitamente alejado del sistema? ¿Puede serlo el gravitatorio, g, que nos proporciona la fuerza que actúa sobre una masa m, situada en ese campo? punto, y un valor para el potencial V, que nos permite conocer la energía potencial que Q10. ¿Cómo varía el potencial gravitatorio creado por una masa M, según nos adquiere m al situarla allí.” alejemos o nos acerquemos a ella, de acuerdo con los criterios expuestos en las explicaciones?

Significado Físico del potencial. Si asignamos el valor cero de energía potencial para dos masas cuando éstas están infinitamente alejadas, el potencial gravitatorio en un punto representa el trabajo realizado por el campo para trasladar la unidad de masa desde el infinito (o sea, desde fuera del campo) hasta ese punto. En este caso, el potencial en un punto es siempre negativo:

V = −G

M r

Q11. Una masa de 5 kg tiene en cierto punto una energía potencial de ‐100 J. ¿Cuánto vale en ese punto el potencial gravitatorio? Q12. El potencial gravitatorio en un punto es ‐100 J/kg. Halla el trabajo externo que hay que realizar para situar en dicho punto una masa de 10 kg traída desde el infinito. ¿Cómo se interpreta el signo obtenido? ¿Cómo varía la energía potencial de esta masa?

M

2 V2

1 m V1

Según este criterio, el potencial mayor, en un campo gravitatorio, es el del infinito, que vale cero. A medida que penetramos en el campo, el potencial disminuye (es negativo). Como sabemos, el CAMPO va dirigido hacia la masa que lo crea, esto es, hacia los potenciales gravitatorios DECRECIENTES. Esto significa que el proceso de “acercamiento” hacia la masa que crea el campo, puede ser espontáneo. En efecto, dado que V1 > V2, y como W podemos escribirlo como W1,2 = m(V1-V2), en el proceso "de acercamiento" las fuerzas del campo realizarán un trabajo positivo que hace disminuir la energía potencial del sistema.

En cambio, para ALEJAR dos masas hay que aplicar una fuerza externa que realizará un trabajo CONTRA el campo que se emplea en aumentar la energía potencial: W2,1 = m(V2-V1) ⇒ negativo. Este proceso, lógicamente, NO es espontáneo.

1

En realidad, existe una relación matemática precisa entre el campo y el potencial. Tal relación involucra un nuevo concepto matemático: el gradiente, que se estudiará en otros niveles.

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3.

ALGUNOS ASPECTOS DE INTERÉS RELACIONADOS CON EL CAMPO GRAVITATORIO TERRESTRE. MOVIMIENTO DE SATÉLITES.

Conocemos que para valores de r no muy alejados de la superficie terrestre, admitiendo a nuestro planeta como una esfera perfecta y homogénea, el módulo de la intensidad de campo gravitatorio tiene un valor cercano a 9,8 N/kg. Sin embargo, este valor se modifica al elevarnos o al profundizar en el interior de la Tierra. Cuando nos elevamos una distancia h sobre la superficie terrestre, el módulo del campo gravitatorio en ese punto será: M M 1 g =G =G 2 ⋅ ( R+ H ) R (1 + h / R) 2 y si h <
h⎞ h h ⎛ −2 ⎜1 + ⎟ ≈ 1 + 2 • ⇒ g = g 0 (1 + h / R ) ≈ g 0 (1 − 2 ) R R ⎝ R⎠

siendo g0 = G · M/R2 el valor de la gravedad en la superficie terrestre.

•

Q13. Calcula cómo varía g al elevarnos 1000 m sobre la superficie terrestre. ¿Hasta dónde habría que subir para que g se redujera en un 10 %?

Movimiento de Satélites.

Lanzar un objeto de masa m desde la superficie de la Tierra, de modo que pueda escapar del campo gravitatorio que ésta crea (esto es, energía potencial cero), es una tarea que requiere un determinado aporte energético, a suministrar desde el lugar del lanzamiento, por ejemplo desde la Tierra. El balance energético quedaría del modo:

−G

Mm 1 2 Mm + mv = −G =0 R r 2 Mm 1 2 G = mv R 2 M 2 v = 2G R como M 2 R queda

g=G

v = 2gR De todo lo anterior, pueden extraerse algunas consecuencias importantes. Así, por ejemplo, vemos que si la energía cinética que en la Tierra se suministra al cuerpo es menor que GMm/R, el cuerpo volverá a caer a la Tierra después de elevarse a una cierta altura. Sin embargo, si se lanza con una energía cinética mayor que GMm/R, la masa no volverá a caer sobre la Tierra. La velocidad correspondiente a una energía cinética igual a G · MT m/RT es independiente de la masa de la partícula y recibe el nombre de velocidad de escape. El valor de la velocidad antes deducido para el lanzamiento desde la superficie terrestre tiene un valor de unos 11 km/s, y también se la denomina segunda velocidad cósmica, llamándose primera velocidad cósmica a la que debemos darle a un satélite para que gire alrededor de la superficie terrestre. La energía GMm/R recibe el nombre de energía de ligamiento. Así, podemos decir que si la energía cinética es menor que la energía de ligamiento en la superficie terrestre, la masa no abandonará la Tierra sino que se elevará hasta una altura máxima rm y luego volverá a caer sobre la Tierra. Si la energía cinética es mayor que la energía de ligamiento, el objeto continuará su movimiento indefinidamente y no volverá a la Tierra. La velocidad

Si la distancia h es pequeña comparada con R (como aquí se supone), puede utilizarse la aproximación matemática que si x <<1, entonces (1+x)n ≈ (1 + nx), y en nuestro caso, al ser h/R << 1, esto puede aplicarse y poner que (1 + h/R)-2 ≈ (1 - 2h/R) 2

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de escape se corresponde justo con la velocidad correspondiente a una energía cinética igual a la energía de ligamiento. Pensemos ahora en un satélite (o cualquier otro cuerpo de masa m) en órbita alrededor de la Tierra. En ese lugar, la energía que le corresponde, será, igualmente cinética y potencial, de valores:

1 Mm E = mv 2 − G 2 r Al moverse en una órbita circular, la fuerza gravitatoria hace las veces de fuerza centrípeta, con lo que m

v2 Mm 1 1 Mm = G 2 ⇒ mv 2 = G r r 2 2 r deducimos : Mm E = −G 2r

La última expresión nos indica que la energía total es negativa. ¿Cómo se interpreta esto? Este resultado es más general de lo que podría parecer al principio: todas las órbitas elípticas (o cerradas) tienen una energía total negativa (E<0) cuando definimos la energía potencial como cero en el infinito. Una órbita cerrada significa que la energía cinética no es suficiente en ningún punto de la órbita para llevar la partícula al infinito, para lo cual cambiaría su energía cinética en potencial y vencería la atracción gravitacional. Esto puede verse porque, a una separación infinita, el segundo término de la primera ecuación de la energía del satélite en órbita vale cero, y debemos tener E = ½ mv2, ecuación que es imposible satisfacer si E es negativa. Por supuesto que si E >0, la partícula puede llegar al infinito y tener aún energía cinética. En el caso de E = 0 la partícula llega al infinito, pero allí se detiene. Estrictamente hablando, en los lanzamientos de satélites se aprovecha la velocidad de rotación de la Tierra en los puntos donde ésta es máxima, esto es, en el Ecuador; de ahí que lugares como la Guayana Francesa o cabo Cañaveral sean lugares idóneos para los lanzamientos. En aquéllos casos donde se considere, bastará incluir en los balances de energía la Ec de rotación terrestre, en cuyo caso, la Ec a suministrar en el lanzamiento será menor. La puesta en órbita de un satélite a una distancia “r” tiene lugar en varias etapas. La primera de ellas lanza desde la Tierra el satélite hasta que éste alcance una altura MÁXIMA “r” (con Ec = 0 en ese punto) y acto seguido el satélite recibe un empuje final justo en ese punto. Dependiendo del valor de ese empuje, el satélite quedará en órbita, caerá en la Tierra o escapará de la acción gravitatoria, tal y como se recoge en la figura. A la velocidad que se necesita imprimir al satélite para que quede en órbita circular, se la denomina órbita de inserción. Para el caso de una órbita elíptica estable alrededor de la Tierra, el satélite es lanzado desde un transbordador espacial o lanzadera con la velocidad necesaria para mantenerse en una órbita de transferencia, que NO es la órbita definitiva del satélite. En el apogeo de esa órbita el satélite es inyectado en su órbita definitiva mediante motores propulsores, y una vez situado en esa órbita definitiva, el satélite puede corregir las desviaciones que se produzcan gracias a sus motores. En realidad y hablando en términos generales, cuando el movimiento es bajo la acción de una fuerza central como es el caso de la gravitatoria, la conservación de la energía no es suficiente para resolver el problema, y se hace necesario usar también la conservación del momento angular, L.

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Q14. Calcular la altura a la que se ha de colocar un satélite geoestacionario de 400 kg, sobre el Ecuador, para que en todo momento esté situado sobre el mismo punto de la superficie terrestre. Calcula también la velocidad con que se mueve. Suponer que Rt = 6500 km. Calcula la cantidad de gasolina (poder calorífico 10.000 kcal/kg) necesaria para poner en órbita el satélite anterior suponiendo un rendimiento del 5 % (suponer que el lanzamiento se realiza desde el ecuador, y que la velocidad de rotación allí es de 465 m/s) Q15. Calcular la velocidad con que llegará un cuerpo a la superficie de la Tierra, al soltarlo desde una distancia r del centro de la Tierra. Despreciar los efectos del rozamiento y aplicar el principio de conservación de la energía.

Un apunte más sobre la Energía Potencial Gravitatoria y Satélites. Cuando una masa se halla a pequeñas alturas respecto de la superficie terrestre, es conveniente elegir como nivel cero de referencia para la energía potencial, la propia superficie terrestre, y en estos casos, como ya sabemos, la función energía potencial adquiere el valor mgh. Sin embargo, en los casos en que la separación sea ya muy grande en comparación con el radio terrestre, esta función energía potencial puede simplificarse eligiendo el valor cero de la misma en el infinito, tal y como hemos visto. Esta es una elección que suele hacerse ya por costumbre, de modo que para cualquier otro sitio U(r) “diferente del infinito” la energía potencial gravitatoria adquiere valores negativos.

Rt

E2 > 0

rm

Ec = E2 - U(r)

r

Puede parecer extraño disponer de una función energía potencial que es siempre negativa, pero esto tiene varias ventajas. Como en realidad lo que tiene relevancia son las VARIACIONES de energía potencial, no es muy importante conocer el valor real de la función energía potencial.

La figura adjunta muestra una representación gráfica de U(r) en función de la distancia r para el caso de U = 0 para r = ∞. En E1 < 0 la superficie terrestre esta función toma el valor negativo U = GM·m/RT incrementándose luego según aumenta r y acercándose a cero cuando r = ∞. Los dos valores posibles de U(r) = - G M m/r la energía TOTAL de la partícula son los indicados en la figura: E1, que es negativo, y E2 que es positivo. El hecho de que la energía total sea negativa solo significa (como ya se ha visto anteriormente) que la energía cinética en la superficie terrestre es menor que G M · m/RT de modo que su magnitud nunca es mayor que la magnitud de la energía potencial negativa. De la figura se deduce que si la energía TOTAL es negativa, la recta correspondiente a esta energía total corta a la curva de la energía potencial en algún punto de separación máxima rm y el sistema es un sistema ligado. Por otro lado, si la energía TOTAL de la partícula es positiva, esa interacción NO se produce y el sistema NO está ligado. En este caso, el criterio para que haya escape es que la energía TOTAL sea igual o mayor que cero. Por tanto, para este criterio de U = 0 para r = ∞, las condiciones para que un sistema sea ligado o no pueden resumirse en Si E ≤ 0, el sistema es ligado Si E ≥ 0, el sistema es NO ligado

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U(r)

U(r)

E<0 O

O

U(r)

Ec

E>0

E=0 O

Ec

E

Ec

parábola

hipérbola elipse

Por supuesto, la energía de ligamiento es la misma independientemente de la elección hecha de energía potencial cero.

U(r)

Para terminar, habría que indicar brevemente que un análisis más completo de las curvas de energía potencial para el caso importante (2) C de fuerzas centrales (no solo las gravitatorias, también las eléctricas), E incluyen algunos factores que NO se han tenido aquí en cuenta por limitaciones de tiempo, y limitaciones de tipo matemático. La primera limitación nos impide profundizar en la importante ley de la r1 r0 r2 conservación del momento angular, y la segunda nos impide (1) B A A desarrollar lo anterior usando E coordenadas polares. Cuando se r1 hace así, nace un concepto que O (3) complementa la gráfica anterior y E M que se denomina “Energía potencial Efectiva” (que es pequeña a grandes distancias, pero importante a r2 distancias cortas, sobre todo cuando –por ejemplo- se analizan las interacciones entre átomos) y que dan como resultado una curva diferente a B (A) la anterior y que se expone adjunta. Con ella por delante pueden explicarse multitud de movimientos y comportamientos, no solo “del tipo planetario” sino incluso los relativos a las interacciones entre átomos para formar (o disociar) moléculas. Si la energía total de la partícula corresponde, por ejemplo, a la línea horizontal (1) de la gráfica anterior, el radio de la órbita podrá oscilar entre rmin (B) O los valores máximo y mínimo r1 y r2 y la órbita podrá tener la forma que se C indica en el dibujo (A) de abajo. Pero si la energía corresponde a un valor como el indicado por la línea horizontal (2) de la gráfica, la órbita NO está limitada, y la partícula viene del infinito hasta el punto C de acercamiento mínimo y luego se aleja (dibujo B) sin volver a regresar. Si la energía corresponde al mínimo M de la línea (3), entonces existe UNA sola intersección y la distancia al centro permanece constante, dando como resultado que la partícula describa una trayectoria circular de radio r0.

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UN EJEMPLO en el VUELO DEL APOLO XI en 1969 a la LUNA. La nave Apolo XI que llevó a hombres a la Luna por primera vez, fue lanzada desde la Tierra hasta alcanzar una órbita casi circular alrededor de la Tierra a una altura de 191 km y con una velocidad de 28 000 km/h (órbita de transferencia). A partir de esa órbita se disparó el motor de la nave para darle una velocidad de 39 000 km/h. Esta velocidad, que casi duplica la energía cinética de la nave, es menor que la velocidad de escape que se ha calculado antes, debido a a que la Luna ejerce una atracción gravitatoria que entonces habíamos despreciado. La nave espacial entonces se movió hacia la Luna, disminuyendo su velocidad hasta un punto distante 38 000 km de nuestro satélite, en donde la atracción de la Luna es igual a la atracción de la Tierra (punto de Lagrange). A partir de ese punto, la nave se aceleró hacia la Luna. Cuando la nave pasó la Luna, su energía cinética era mayor que la necesaria para escapar de este astro. En la parte más alejada de la Luna, se dispararon los cohetes retardadores para disminuir la velocidad del mismo y ponerlo en órbita alrededor del satélite. (Esta órbita era elíptica con una altura máxima de 314 km y mínima de 113 km). A partir de esta órbita, el módulo lunar Águila, que contenía a los astronautas Armstrong y Aldrin, se separó de la nave principal y descendió hasta una órbita de unos 15 km de altura. A partir de esa órbita el módulo fue dirigido hasta su alunizaje en la superficie lunar.

OTRO EJEMPLO DE INTERÉS: Las órbitas de transferencia de Hohman. Supongamos que queremos enviar una nave espacial desde la órbita de un planeta a la de otro o bien, elevar un satélite de comunicaciones desde una órbita circular ecuatorial de baja altura a otra órbita coplanar y circular de mayor altura. Para economizar el combustible, es necesario que la nave espacial siga una trayectoria semielíptica denominada órbita de transferencia de Hohmann para lo que es necesario proporcionarle dos impulsos: En el punto A cuando la nave espacial pasa de la órbita circular interior a la órbita de transferencia. En la posición B, cuando la nave espacial pasa de la órbita de transferencia a la órbita circular exterior. Para resolver el problema propuesto, solamente es necesario hacer uso de las propiedades central y conservativa de la fuerza de atracción gravitatoria que hemos estudiado en páginas anteriores, y de la dinámica del movimiento circular.

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Órbita a circular interrior Cuand do la nave espacial describe un na órbita circular de radio rA, el módulo de lla velocidad vA A se puede calcu ular aplicando la dináámica del movimiento circularr que ya hemoss usado dondee M es la masa de la Tierra, G es la constantee de la gravitacción universal, y m ess la masa de la nave que se sim mplifica en las eecuaciones del movimiento. Como sabemos, la en nergía E1 de la nave espacial een la órbita circular inicial es

la mitaad de la energíaa potencial

Órbita a semielíptica de transferencia Para ccalcular la veloccidad que debee llevar la navee espacial en el punto A para que alcance laa órbita exterio or en B, basta aplicarr la conservació ón del momento angular, que también hemo os visto al comieenzo del tema yy escribir

Y dado o que la energíaa se conserva, éésta ha de ser iggual en A y en B B, por lo que Conoccidos rA y rB podemos calcularr en este par dee ecuaciones lass incógnitas v’A A y vB. La eneergía de la navee espacial es con nstante en todo os los puntos de la trayectoriaa e igual a La eneergía que hemo os de suministrar al satélite en e la posición A para que paase de la órbitaa circular a la trayectoria t de transfeerencia será la diferencia E2‐EE1 o bien,

Órbita a circular exterior Una veez que la nave espacial llega aal punto B, ha d de cambiar su vvelocidad para sseguir la trayecctoria circular de radio rB. De nuevo o, aplicando la d dinámica del mo ovimiento circu ular tenemos

La eneergía E3 de la naave espacial en la órbita circullar final es

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La eneergía que hemo os de suministrar al satélite paara que pase d de la órbita de ttransferencia eelíptica a la órbita circular de radio rrB es la diferencia E3‐E2 o bien n,

Por último, el tiemp po que tarda laa nave espacial en pasar del punto A al pu unto B principiio y fin de la trayectoria t de transfeerencia, es la m mitad del period do P.

siendo o a, el semieje m mayor de la elip pse.

PR ROBLE EMAS 1. 2. 3. 4.

5.

6.

8.

9.

L es 1/81 de d la de la Tierrra, y su radio es ¼ del terreestre, calcular el valor de la Sabiendo que laa masa de la Luna gravedad en la ssuperficie de la Luna. Calcular la aceleeración de la Tierra hacia el So C ol, sabiendo qu ue la Tierra desscribe una órbitta casi circular de 1,5.108 km de radio y lleva u una rapidez de 30 km/s. A parrtir de esta acelleración, determ minar la masa d del Sol. Determina la disstancia a la Tierrra, en la línea TTierra‐Sol del p D punto en el quee se equilibra la fuerza de atraccción del Sol y laa de la Tierra so obre un cuerpo o de masa m. D DATOS: distanciia Tierra‐Sol: 1,,5.108 km; masa del Sol: 1,98..1030 kg; masa del la Tierra: 5,9 98.1024 kg. Si la masa de la Luna es, aproxximadamente, 6 6,7.1022 kg y su radio 16.105 m m, a) ¿Qué distaancia recorrerá un cuerpo en un segundo, en caída libre haciia la Luna, si se abandona en u un punto cercano a la superficcie de aquélla?;; b) ¿Cuál será el periodo de osscilación de un p péndulo en la ssuperficie lunarr, si en la Tierra esta magnitud es de 1 segund do? ¿Cuál sería el peeriodo de revolución de un saatélite artificial de masa m qu ue circunda a laa Tierra siguien ndo una órbita ciircular de 8000 0 km de radio? M Masa de la Tierrra: 5,98.1024 kgg. Determina la acceleración del p D punto P1 si estáá sometido únicamente a laa atracción de las dos esferass iguales de laa figura. (Masass esferas: 3200 g)

P1

Hallar el peso de una persona en la Luna sab H biendo que 24 en la Tierra pessa 60 kp. Datoss: MT = 5,98.10 0 kg; RT = 6 6 6,37.10 m; ML == MT/81; RL = 1,,74.10 m.

3 cm

7.

Si un cuerpo en la superficie teerrestre pesa P kp, ¿a qué altura pesará la mittad? Radio de la Tierra, R.

Calcula la inten C nsidad del cam mpo gravitatorio sobre la su uperficie del planeta Marte.

10. Hallar el potenc H ial gravitatorio sobre la superfficie terrestre.

4 cm DATOS: MM == 6,38.1023 kg; R RM = 3332 km. DATOS: MT == 5975.1024 kg; RT = 6370 km.

11. D Dos masas, m1 == 800 kg y m2 = 600 kg están = separadas 0,35 5 m entre sí. ¿C Cuál es la intenssidad del camp po gravitatorio en un punto situ uado a 0,2 m dee m1 y 0,15 de m m2? ¿Cuál es el potencial graviitatorio en ese punto? 12. En una órbita de d 3.103 m so obre el nivel del mar, gira un satélite en órbita circular.. a) ¿Cuál es el e periodo de dez? c) ¿Cuánto o vale su acelerración centrípetta? reevolución? b) ¿Cuál es su rapid

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6 cm

13. Deseamos colocar en órbita alrededor de la Tierra una cápsula espacial a la que hemos de comunicar una rapidez de unos 10 km/s y en la que viajarán seres vivos que no soportan aceleraciones superiores a “7g”. a) Julio Verne propuso emplear un cañón gigante. ¿Resistirán los seres vivos la aceleración en el cañón, suponiendo que éste tuviera 1 km de largo?; b) Si para lanzar la cápsula empleamos un cohete animado de una aceleración constante e igual a “6g”, ¿cuánto tiempo tardará en alcanzar los 10 km/s?; c) Si el cohete sigue vertical, ¿cuánto aumentará el peso aparente de los objetos que hay en la cápsula? 14. Dos masas esféricas iguales, de 6,4 kg cada una, están fijadas a dos puntos A separadas 16 cm. Una tercera masa se suelta en un punto A equidistante de las masas anteriores y a una distancia de 6 cm de la línea que los une. Si suponemos que la masa móvil es de 100 g, determinar: a) la aceleración de dicha masa cuando está en las posiciones A y B; b) rapidez que llevará cuando pase por B. DATOS: G = 6,67.10‐8 dinas.cm2/g2 m m B 16 cm 15. Desde una altura de 1000 km sobre Vo la superficie de la Tierra, se lanza un cuerpo con cierta velocidad v0, tal y como aparece en la figura. Determinar para qué valores de la velocidad, el cuerpo quedará en órbita alrededor de la Tierra y para cuáles escapará de la atracción terrestre. Considerar en todos los casos que la órbita es circular y que el radio terrestre es el Tierra dado en Q14. Sol.: si v0 > 10,313 km/s, el cuerpo escapa; en caso contrario, queda atrapado. 16. (DE SELECTIVIDAD) Un planeta hipotético describe una órbita circular alrededor del Sol con un radio 3 veces mayor que el de la órbita terrestre; a) ¿Cuántos años terrestres tardaría en recorrer su órbita? B) ¿Cuál sería su velocidad angular? ‐8 ‐1 (Sol.: 5,2 años terrestres; 3,83.10 rad.s ) 17. Un satélite de masa m se mueve en su órbita circular alrededor de un planeta de masa M. Dar la expresión de la energía total de ese satélite en su órbita. (Sol.: ‐GMm/(2(R+h))) 18. Si las relaciones aproximadas entre las masas y los radios de la Tierra y la Luna son, respectivamente, Mt = 81 Ml y Rt = 3,7 Rl: a) ¿Cuánto vale la aceleración de la gravedad en la superficie de la Luna?; b) ¿A qué altura sobre la superficie de la Luna, la energía potencial gravitatoria de un cuerpo de masa m es la cuarta parte del valor que tiene en la superficie? DATO: Rl = 1740 km; No considerar los efectos de la atracción gravitatoria terrestre. 2 19. En la superficie de un planeta de 1000 km de radio, la aceleración de la gravedad es de 2 m/s . Calcular: a) La energía potencial gravitatoria de un objeto de 50 kg de masa situado en la superficie del planeta; b) La velocidad de escape desde la superficie del planeta; c) La masa del planeta. 20. Un astronauta se encuentra en un satélite que describe una órbita circular de radio 2 Rt y, en un instante dado, ve pasar un objeto de 60 kg en dirección a la Tierra con una velocidad de 40 m/s. Calcular: a) velocidad del objeto al llegar a la superficie de la Tierra (no considerar rozamientos); b) velocidad y aceleración del satélite en su órbita (Sol.: 7981 m/s; 5644 m/s, 2,5 m/s2) (DATO: Rt = 6500 km) 21. (DE SELECTIVIDAD) Un satélite de 250 kg de masa se lanza desde la superficie de la Tierra hasta situarlo en una órbita circular a una altura de 500 km de la superficie. A) Realice un análisis energético del proceso, desde el lanzamiento hasta que se encuentra en órbita. B) Calcule la velocidad orbital y la energía mecánica del satélite. C) Si el radio de la órbita fuera más pequeño, explique cómo cambiaría la velocidad del satélite. ‐11 2 ‐2 DATOS: G = 6.63.10 N m kg ; MT = 6.1024 Kg; RT = 6370 km 22. Un astronauta, cuyo peso en la Tierra es de 700 N, aterriza en el planeta Venus y mide allí su peso, que resulta ser de 600 N. El diámetro de Venus puede admitirse igual que el de la Tierra. A) Explique por qué sucede lo indicado; B) Calcule la relación entre las masas de Venus y de la Tierra; C) ¿Qué relación existe entre las masas de los dos planetas y su periodos de revolución alrededor del Sol? 23. Razonar: Si el cero de energía potencial gravitatoria de una partícula de masa m se sitúa en la superficie de la Tierra, ¿cuál es el valor de la energía potencial de la partícula cuando ésta se halla a una distancia infinita de la Tierra? ¿Puede ser negativo el trabajo realizado por una fuerza gravitatoria? ¿Puede ser negativa la energía potencial gravitatoria?

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24. Un cuerpo de 10 kg se lanza con una velocidad de 30 m s‐1 por una superficie lisa y horizontal hacia el extremo libre de un resorte horizontal, de constante elástica 200 N/m, fijo por el otro extremo. a) Analizar las variaciones de energía que tienen lugar a partir del instante anterior al impacto con el resorte y calcular la máxima compresión del resorte. b) Discutir en términos energéticos las modificaciones relativas al anterior apartado si la superficie horizontal tuviera rozamiento. 25. DE SELECTIVIDAD. JUNIO 2001. Suponga que la Tierra redujese su radio a la mitad manteniendo su misma masa. A) ¿Aumentaría la intensidad del campo gravitatorio en su nueva superficie? B) ¿Se modificaría sustancialmente su órbita alrededor del Sol? Justifique las respuestas. 26. DE SELECTIVIDAD. JUNIO 2001. El satélite de investigación europeo (ERS‐2) sobrevuela la Tierra a 800 km de altura. Suponga su trayectoria circular y su masa de 1000 kg. A) Calcule de forma razonada la velocidad orbital del satélite; B) Si suponemos que el satélite está sometido solamente a la fuerza de gravitación terrestre, ¿por qué no cae sobre la superficie? Razone las respuestas. Astronomical Units/Data SYMBOL NUMBER EXP NAME CGS UNITS ----------------------------------------------------------Astronomical unit AU 1.496 13 cm Parsec pc 3.086 18 cm Light year ly 9.463 17 cm Solar mass Mo 1.99 33 g 6.96 10 cm Solar radius Ro Solar luminosity Lo 3.9 33 erg s-1 Solar Temperature To 5.780 3 K ----------------------------------------------------------NAME MASS (g) RADIUS (cm) SEMI-MAJOR (AU) ECCENTRICITY ----------------------------------------------------------Mercury 3.303 26 2.439 8 3.87096 -1 0.205622 Venus 4.870 27 6.050 8 7.23342 -1 0.006783 Earth 5.976 27 6.378 8 9.99987 -1 0.016684 Mars 6.418 26 3.397 8 1.523705 0 0.093404 Jupiter 1.899 30 7.140 9 5.204529 0 0.047826

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ENTRE EVISTA: JUA AN GARCÍA A-BELLIDO Cosmólogo "L La energía osscura es repulssión gravitato oria" Los coosmólogos esttán intentandoo comprobar una u idea feliz,, que el universo creció tremeendamente naada más naccer, alcanzanndo un tama año de fraccciones de centím metro. Juan García-Bellid G do investiga lo l que pudo pasar en esse cosmos primittivo. Pero tam mbién aborda la misteriosaa energía oscu ura que, al parecer, se traducce en aceleracción del Big Bang. B ALICIA A RIVERA - Madrid M EL PAÍS P - 20-07--2005 Juan García-Bellido Capdevila reccuerda exacta amente cuándo o surgió su fasscinación por el universo y decidió que su s vocación era investig garlo. Fue a loss 14 años -aho ora tiene 39-, cuando c leyó el libro Universo, de Isaac Asim mov. Al optar po or la físicca, se convirtió ó en "la oveja negra", dice, en una familia a de biólogos -su padre, su madre y sus tres t hermanoss-. Professor de la Unive ersidad Autóno oma de Madrid d, físico de parttículas, García a-Bellido es cossmólogo teóric co y se dedica a explorrar en el Big Ba ang aquel insta ante del universso primitivo en que una ignotta energía inicia al se convirtió en radiación. Pregunta. ¿Puede co ontarme la histo oria del universo o a los científicos? según lo que saben ahora uesta. Podría ha aber un momen nto inicial regido o Respu por la gravedad cuánttica en el que se e originó el d ese inicio, assí universso. Pero no tenemos pruebas de que so on especulacion nes. De lo que pasó p inmediiatamente, y estamos hablando o de las primera as fraccio ones minúsculass de segundo, podríamos p tenerr hoy día a algunos indiciios: la época infflacionaria. P. ¿Có ómo sería? R. La idea i es que una a cierta densida ad de energía, cuyo origen o y naturale eza no conocem mos aún, provoccó una tre emenda expanssión del universo o, y en una fracció ón de segundo pasó p de ser un objeto o microsscópico dominad do por la mecán nica cuántica a tener una u escala maccroscópica, del orden o de centím metros. P. ¿La a inflación es la frontera a partirr de la cual se convie erte en el cosmo os que vemos? R. Sí. Sería la fase inttermedia entre un u origen cuánttico r regida fundamentalme ente por la física a y una realidad clásica a. P. El Big B Bang no es una u gran explossión dentro de un u espaciio preexistente. R. No es una explosió ón y, desde lueg go, no es nada e el propio dentro del espacio-tiempo, sino que es e se va creando o al expandirse. espaciio-tiempo el que P. La inflación se ideó ó hace 20 años.. ¿Sigue sin comprobarse? e en el universo o muy primitivo R. Hayy indicios de que ocurrió ó un crecimiento o exponencial. Pero P dentro de este essquema genera al hay muchos modelos m posible es de infla ación, aunque cada c uno hace predicciones p concre etas que podem mos comprobar experim mentalmente. Creo C que se logrrará probar la inflació ón con la deteccción de las onda as gravitacionales que ge enera; en unos diez d años habrá á equipos capacces de haccerlo.

P. ¿Seguimos con la historia del universo? a inflación, el cossmos ya tiene un u R.. Después de la tamaño respetablle, aunque sigue e siendo muy equeño: algunass fracciones de centímetro. La pe infflación es algo equivalente e a qu ue una canica crezca c de e repente hasta el tamaño de to odo el universo ob bservable hoy día. Cuando el cosmos tiene ya tamaño macroscó ópico, la energía a se convierte en e radiación, en parttículas elementa ales. En realidad, la teo oría del Big Ban ng desarrollada en los últimos 60 6 añ ños empieza en ese momento, al final de la infflación. P. ¿De dónde salle toda esa energía inicial? R.. No lo sabemoss, es un nivel de e energía muy su uperior al que po odemos ahora e explorar con nue estros ac celeradores de partículas. p P. Estábamos en el universo ya macroscópico. R.. Así es, y se va a enfriando a me edida que se ex xpande -ya a normalmente,, no de modo inflacionario-. Se forman los quarkss (las partículass fundamentales s del nú úcleo atómico), los gluones, loss fotones... Desd de ese mo omento hasta ahora a tenemos la historia basta ante cla ara, desde el prrimer segundo d de un universo que q tie ene 13.600 millo ones de años. E En aquel tiempo las temperaturas eran muy altas y la as reacciones ucleares muy acctivas, pero poco después se nu em mpezaron a unirr neutrones y prrotones formand do los prrimeros núcleos atómicos de los elementos lige eros, cu uya abundancia relativa se ha m medido con bas stante prrecisión. Más tarde el universo se enfría lo sufiiciente co omo para que lo os electrones se e unan a los núc cleos formando átomoss; ya no hay elecctrones libres y el un niverso, que tenía unos 400.000 0 años, se hace e tra ansparente. Loss fotones emitido os entonces nos lle egan ahora como radiación de ffondo. P. ¿Y las estrellass y galaxias? R.. En el momento o de emisión de e esa radiación de d fondo había unoss ligerísimos gru umos de materia a que au umentaron de de ensidad y dieron lugar a las priimeras es strellas, hace un nos 13.000 millo ones de años. Es E po osible que surgie eran también ag gujeros negros su upermasivos, y se s formaran lass galaxias, que luego

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se fueron agrupando en cúmulos. El universo siguió expandiéndose. Pero hay algo más: sabemos, por la distribución de materia en los cúmulos y por las velocidades de rotación de las galaxias, que algo invisible está actuando gravitacionalmente.

teoría de la relatividad para ajustarla y obtener un universo estático, respondiendo así a sus prejuicios clásicos de un cosmos estable. Pero luego se descubrió que está en expansión, y ya no hacía falta.

P. ¿La materia oscura?

P. ¿Qué sería esa energía oscura o constante cosmológica?

R. Sí. Es todo un dilema porque no conocemos su naturaleza. Podría tratarse de partículas exóticas que se crearon al final de la inflación... La materia oscura supone un 25% de todo lo que existe, y sólo un 5% es materia normal, de la que están hechas estrellas y planetas y nosotros...

R. Una repulsión gravitacional, en lugar de atracción; por eso acelera la expansión. Tiene una densidad de energía constante, por lo que se hace evidente en el universo a partir de un cierto momento, cuando ha aumentado su volumen, y no antes. Entonces se aprecia la aceleración.

P. ¿Y el resto del universo?

P. ¿La energía oscura es el 70% del cosmos, que se añade a la materia común y a la materia oscura?

R. Todo lo que he descrito hasta ahora se está expandiendo, y creíamos que debería hacerlo cada vez más despacio, por la atracción gravitatoria, igual que al lanzar una pelota al aire sube, cada vez más despacio, hasta que se para y empieza a caer. Pero en 1998, dos grupos independientes observaron que objetos luminosos muy intensos, las supernovas de tipo Ia, situadas a cientos de millones de años luz de nosotros, se veían con menos luminosidad de lo que deberían dada su distancia, si la expansión del universo estuviera frenándose. Por ello dedujeron que estaba acelerándose. P. Se planteó que podía haber polvo debilitando su luz. R. Sí, pero se estudiaron otras supernovas mucho más lejanas y se comprobó que a distancias mayores, que corresponden al universo algo más joven, la expansión era decelerada. En resumen: la expansión del universo iba frenándose, pero en un momento algo empezó a ser dominante y se aceleró. Y se ha medido cuándo: ese cambio se produjo hace unos 5.000 o 6.000 millones de años. P. ¿Por qué esa aceleración? R. Todavía no lo sabemos. Es la llamada energía oscura. La hipótesis más sencilla es que se trata de la constante cosmológica que Einstein introdujo en su

R. Cierto. Pero con esto no estamos más que etiquetando nuestra ignorancia, aunque cada día tenemos mayor precisión en las medidas. No conocemos la naturaleza de la energía oscura, lo único que podemos hacer por ahora es estudiar sus consecuencias. P. ¿Se han hecho más observaciones de la aceleración? R. Sí, en la radiación de fondo, donde quedaron plasmadas pequeñas inhomogeneidades, cuya evolución en el tiempo informa acerca de esa energía oscura. Y ahora hay dos proyectos para observarla mejor. Uno es un satélite para estudiar varios miles de supernovas. Otro es el Dark Energy Survey, una propuesta en la que participa un grupo español, para observar supernovas, pero también la radiación de fondo y la distribución de materia en el universo. P. ¿Cuánto tardarán en descifrar la energía oscura, 10 años? R. Es posible que mucho más, que tengamos que esperar a tener nuevos conocimientos fundamentales de gravitación cuántica para desvelar su naturaleza.

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Problemas de Selectividad 1) Un cuerpo se lanza hacia arriba por un plano inclinado de 30º, con una rapidez inicial de 10 m/s. Se pide: a) explica cualitativamente como varían las energías cinética, potencial y mecánica del cuerpo durante la subida; b) ¿Cómo variaría la longitud recorrida si se duplica la velocidad inicial? ¿y si se duplica el ángulo del plano? Tomar g=10 m/s2. 2) a) Explique el concepto de velocidad de escape y deduzca razonadamente su expresión; b) ¿Qué ocurriría en la realidad si lanzamos un cohete desde la superficie de la Tierra con una velocidad igual a la de escape? 3) Un muelle de constante elástica 250 N/m horizontal y con un extremo fijo, está comprimido 10 cm. Un cuerpo de 0,5 kg situado en su extremo libre, sale despedido al liberarse el muelle. A) Explica las variaciones de energía del muelle y del cuerpo mientras se estira el muelle. B) Calcula la velocidad del cuerpo en el instante de abandonar el muelle. 4) Una masa de 250 gramos que parte del reposo desde una posición situada a 0,5 metros de altura sobre el suelo se deja caer deslizando por un plano inclinado, llegando al suelo con una rapidez de 2 m/s. ¿cuál ha sido el trabajo realizado por la fuerza de gravedad y cuál el efectuado por la fuerza de rozamiento? Sol: a) 1,225 J ; b) ‐0,725 J. 5) Un satélite describe una órbita en torno a la Tierra con un período de revolución igual al terrestre. A) Explica cuántas órbitas son posibles y calcule su(s) radio. B) Determine la relación entre la velocidad de escape en un punto de la superficie terrestre y la velocidad orbital del satélite. 6) En una región del espacio existe un campo gravitatorio uniforme de intensidad g, representado en la figura por sus líneas de campo. A) Razona el valor del trabajo que se realiza al trasladar la unidad de masa desde el punto A al B y desde el B al C. B) Analiza las analogías y diferencias entre el campo descrito y el campo gravitatorio terrestre. g = 6 N/Kg 7) Sean A y B dos puntos de la órbita elíptica de un cometa alrededor del Sol, estando A más alejado del Sol que B. A) Haga un C análisis energético del movimiento del cometa y compare los valores de la energía cinética y potencial en A y en B. B) ¿En cuál de los puntos es mayor el módulo de la velocidad' ¿Y el de la AB = AC = 2 m aceleración?. Otros problemas... B A 8) Dos partículas puntuales de masa m, se encuentran fijas en los puntos (a,0) y (‐a,0). Calcular: a) campo gravitatorio en un punto de la mediatriz del segmento que une ambas masas, en función de la ordenada del punto; b) velocidad de una tercera masa puntual m, inicialmente en reposo en el punto (0,b), al pasar por el origen. 9) Una masa puntual de 8 kg está situada en el punto (0,0). Calcular: a) punto del eje OY en el que habría que colocar otra masa puntual de 6 kg para que una partícula libre, de 2 kg, se encuentre en reposo en el punto (0,2) m; b) energía potencial gravitatoria de la partícula. Sol.: 3,71 m; ‐9,96∙10‐10 J 10) Calcular: a) la altura sobre la superficie terrestre a la que el valor de g se ha reducido a la mitad; b) potencial gravitatorio terrestre en un punto situado a 6370 km de distancia de la superficie de la Tierra. (Tomar el radio terrestre como 6370 km y su masa como 6∙1024 kg) Sol.: 2638 km; ‐31,21∙106 J/kg 11) Un cuerpo se lanza verticalmente hacia arriba desde la superficie terrestre con una rapidez de 1000 m/s. a) Calcular la altura máxima que alcanzará. b) repetir el cálculo despreciando la variación de g con la altura y comparar el resultado con el del apartado anterior.(Usar los datos del ejercicio 10). Sol.: 51,43 km ; 51,02 km 12) Calcular: a) el trabajo que hay que realizar para trasladar un cuerpo de 20 kg desde la superficie terrestre hasta una altura igual al radio de la Tierra; b) rapidez con que habría que lanzarlo para que alcanzara dicha altura. (Usar los datos del ejercicio 9). Sol.: 6,24∙108 J ; 7,9 km/s 13) Un satélite artificial describe una órbita circular a una altura igual a tres radios terrestres sobre la superficie de la Tierra. Calcular: a) rapidez orbital del satélite; b) aceleración del satélite (Usar los datos del ejercicio 9) Sol.: 3,95 km/s ; 0,6125 m/s2

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14) Un satélite se encuentra en órbita geoestacionaria. Calcular: a) rapidez del satélite; b) radio de la órbita. (Usar los datos del ejercicio 9). Sol.: 3,07 km/s ; 42208 km 15) Calcular la velocidad de escape para un cuerpo situado en: a) la superficie terrestre; b) a una altura de 2000 km sobre dicha superficie. (Usar los datos del ejercicio 9). Sol.: 11,2 km/s ; 9,74 km/s 16) Un objeto que tiene una masa de 70 kg en la superficie de la Tierra se encuentra en la superficie e un planeta cuyo radio es el doble del terrestre y cuya masa es 8 veces la de la Tierra. Calcular: a) el peso del objeto en dicho lugar; b) tiempo de caída desde una altura de 20 metros sobre la superficie del planeta. (Usar los datos del ejercicio 9). Sol.: 140 kp; 1,43 s. 17) Estimar la masa de un planeta de 70000 km de radio si un cuerpo que se deja caer desde 50 metros de altura tarda 2 segundos en llegar al suelo. Sol.: Aprox. 18,3∙1026 18) Desde la superficie de la Luna se lanza verticalmente hacia arriba un cuerpo con una rapidez de 500 m/s. Calcular la altura que alcanza. La masa de la Luna es de 7∙1022 kg y su radio de 1700 km. Sol.: 81,3 km 19) Si en cada uno de los vértices de un cuadrado de 1 metro de lado hay una masa de 1 kg, calcula el valor del potencial gravitatorio y la intensidad del campo gravitatorio en el centro de ese cuadrado. Sol.: ‐37,7∙10‐11 J/kg ; nulo 20) Dos masas puntuales de 4 kg y 5 kg están separadas 1 metro. Si al soltarlas se mueven ambas bajo la única acción de su atracción gravitatoria, calcular sus respectivas aceleraciones. Sol.: 3,3∙10‐10m/s2; 2,7∙10‐10m/s2 21) Un meteorito se encuentra inicialmente en reposo a una distancia sobre la superficie terrestre igual a 6 veces el radio de la Tierra. Calcular la velocidad con que llegaría a la superficie terrestre si en su caída prescindimos del rozamiento con la atmósfera. Sol.: Aprox 10 km/s 22) Uno de los satélites de Júpiter describe una órbita de 2∙106 km de radio en 400 horas. Calcular la intensidad del campo gravitatorio en la superficie de Júpiter sabiendo que su radio es de 74000 km Sol Aprox. 27 m/s2 23) Desde la superficie terrestre se lanza un cuerpo para que se ponga en órbita de radio doble del terrestre. Calcular: a) la velocidad de lanzamiento; b) la velocidad orbital; c) el periodo de la órbita. Sol.: 9,68 km/s; 5,59 km/s; 14380 s. 24) Sabiendo que en la superficie terrestre el módulo de la intensidad del campo gravitatorio es de 9,8 m/s2, calcular la intensidad del campo gravitatorio en la superficie de Marte, sabiendo que su masa es 10 veces menor que la de la Tierra y su radio es la mitad del terrestre. Sol.: 3,92 m/s2 25) Con los datos del ejercicio anterior, determinar la velocidad de escape de la superficie de Marte. Sol.: Aprox 5 km/s 26) Consideremos la Tierra como un cuerpo aislado y de radio 6380 km. Se desea lanzar un satélite de 65 kg de masa que describa una órbita ecuatorial de radio tres veces el radio terrestre desde un punto del ecuador en el que la g = 9,8 m/s² y hacia el este. Calcula la energía necesaria para poner en órbita el satélite. Si una vez puesto en órbita pierde energía por rozamiento, ¿qué ocurrirá?. 9 Sol: 3,379∙10 Julios; caerá a una órbita más baja. 27) Un automóvil de 1000 kg de masa pasa del reposo a una velocidad de 100 km/h en 9 segundos. Si no existe el rozamiento, ¿qué potencia desarrolla?. En ese instante pasa a circular por una superficie de coeficiente de rozamiento 0,2 y se desconecta el motor. Determina la distancia recorrida antes de pararse. ¿Dónde va a parar la energía que tenía el coche? 28) Un dispositivo de arrastre utiliza un cable de acero para tirar de una vagoneta de carbón de 2500 kg de masa, a lo largo de un plano inclinado de 30º de inclinación salvando un desnivel de 15 metros. Sabiendo que el movimiento de la vagoneta es uniforme y que el coeficiente de rozamiento con los rieles es de 0,4, se pide: a) Esquema de las fuerzas que actúan sobre la

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vagoneta, calculando la fuerza que cada una de las cuatro ruedas aplica sobre el raíl. B) La tensión que soporta el cable. C) La potencia desarrollada por el dispositivo elevador, teniendo en cuenta que la elevación se produce en 30 segundos. 29) Una bala de masa m y velocidad v, pasa a través de la esfera de un péndulo, de masa M y longitud l, saliendo con una velocidad v/2. ¿Cuál es el menor valor de v para el cual el péndulo completa una circunferencia? 30) En lo alto de un balón de radio R se coloca una moneda de masa m. Si se le da a la moneda un ligero empujón horizontal y ésta se desliza a lo largo de la superficie del balón sin rozamiento, calcula: el punto en el que abandona la superficie esférica, la velocidad en ese punto y la velocidad con la que llega al suelo.

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· TEMA 2 · Interacción Eléctrica y Magnética "La ignorancia de las causas hace atribuir a los dioses el imperio de la Naturaleza” (Lucrecio. “De rerum natura”, libro VI)

Las interacciones en la Naturaleza pueden clasificarse en cuatro tipos: gravitatoria, electromagnética, nuclear fuerte y nuclear débil; de modo que todas las que se estudian obedecen, al fin y al cabo a algunos de estos tipos. Hasta no hace demasiado tiempo, las interacciones eléctricas y magnéticas se creían independientes, hasta que gracias a los trabajos de J. Clerck Maxwell y otros, se pudo demostrar que en el fondo “eran dos caras de la misma moneda”. Hasta llegar en este curso a ese punto, es necesario –primeramente- estudiar las interacciones eléctricas y magnéticas por separado, para algo más adelante verlas en conjunto como interacción electromagnética. El deseo de “unir todas las interacciones” de la Naturaleza en una sola (al estilo de lo que sucedió con la electricidad y el magnetismo) es el sueño de los físicos de hoy. Para investigar en esa dirección y encontrar lo que se ha dado en llamar la “Teoría Unificada de Campos”, los científicos creen que en los primerísimos instantes de vida del Universo, todas las fuerzas que hoy se nos manifiestan debieron estar unidas en una sola, y que posteriormente “se separaron”. La física de hoy ha sido capaz de estudiar lo que se cree que fue el Universo hasta los 10-43 segundos de vida (tiempo de Planck) pero es incapaz de estudiar lo que sucedió en el Universo para tiempos menores de vida que ese: la física a partir de ese instante tan extremadamente pequeño “no funciona”, al menos tal y como la conocemos hoy. Es este un tema de investigación muy candente y apasionante en la actualidad. Vamos a comenzar recordando brevemente algunos aspectos generales de la INTERACCIÓN ELÉCTRICA. Al igual que la masa, la carga eléctrica es una propiedad más de la materia que no siempre se manifiesta. Tiene su origen en la estructura íntima de la materia: protones y electrones de los átomos que la forman, de modo que a igualdad de estas partículas en los átomos que forman la sustancia, no se muestra esta interacción. La que denominamos interacción eléctrica se caracteriza por ser una interacción a distancia, de doble naturaleza (atractiva o repulsiva) que la diferencia (entre otros factores más como veremos) de la interacción gravitatoria. Sólo se manifiesta entre cuerpos en los que NO se da la igualdad entre protones y electrones en los átomos que forman su estructura (se dice entonces que los cuerpos están cargados) de modo que cuerpos con “igual tipo de carga” se repelen, mientras que las de “signos contrarios” se atraen. Es relativamente fácil “romper la igualdad protones/electrones” en ALGUNOS cuerpos, y por tanto “suministrarles carga”. Evidentemente NO todos los cuerpos responden igualmente ante esos procesos, lo que los permite clasificarlos en cuerpos CONDUCTORES y AISLANTES. Por tanto, es requisito indispensable para que aparezca esta interacción, que los objetos (al menos uno de ellos) “pose carga eléctrica”. •

La carga eléctrica es una propiedad fundamental de la materia, y está presente en cualquier porción de la misma.

•

Existen dos tipos de cargas de propiedades opuestas que arbitrariamente se denominan positiva y negativa. La materia contiene generalmente el mismo número de unas que de otras, por lo que no manifiesta propiedades eléctricas. Al decir que un cuerpo está cargado, en realidad se quiere decir que contiene un exceso de uno de los dos signos.

•

Los fenómenos de electrización por frotamiento evidencian la existencia de las cargas y de las acciones que tienen lugar entre ellas; en concreto, cargas del mismo signo se repelen y cargas de diferente signo se atraen.

•

La unidad de carga en el S.I. es el culombio (C).

•

La cantidad de carga total permanece invariable.

E L E C T R O E S T Á T I C A y M A G N E T I S M O. Tema 2.

La electrización por frotamiento no se presenta en todos los cuerpos. Hay algunos, como los metales, en los que NO se aprecia, y esto nos permite clasificar las sustancias, como se ha dicho, en dos tipos: eléctricas (las electrizables por frotamiento) y no eléctricas. Actualmente esto se interpreta diciendo que los metales son conductores de la electricidad: al frotarlos, el exceso de carga circula fácilmente hasta nuestras manos, y por tanto se descargan con la misma facilidad con que se cargaron. Las sustancias que se electrizan por frotamiento NO SON conductoras y retienen el exceso de carga, impidiendo que ésta circule. En realidad, lo que ha sucedido ha sido un intercambio de electrones entre los materiales, con la diferencia de que en algunos, esos electrones pueden "circular" por el material.

1. La ley de Coulomb. Joseph Priestley (1773-1804), científico inglés emigrado a Norteamérica al haber sido perseguido en Inglaterra por sus ideas liberales, fue el primero en hacer una hipótesis mediante analogía con la ley de gravitación de Newton acerca de la relación existente entre las fuerzas que se ejercen dos cuerpos cargados eléctricamente y la distancia que los separa. Esta hipótesis consistió en suponer que la fuerza que se ejercen dos cuerpos cargados es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa. Aunque Priestley formuló la hipótesis, no la contrastó mediante ningún experimento. Esto lo hizo el francés Charles Coulomb (1738-1806) mediante un dispositivo conocido como balanza de torsión que él mismo inventó (ambos en la foto). Además de confirmar la hipótesis de Priestley, Coulomb demostró que la fuerza eléctrica era directamente proporcional a la magnitud de las cargas. Como no existía en su época ningún método para medir las cargas, tuvo que inventar una técnica para obtener cargas variables de valor relativo conocido. Situando el Sistema de Referencia en una de las cargas, la ley de Coulomb puede expresarse matemáticamente como:

r Q1 . Q 2 r F = K. 2 u r r siendo F la fuerza que actúa sobre la otra carga, ur un vector unitario en la dirección de la línea que une ambas cargas, cuyo sentido es el que se indica en la figura, y K una constante de la que ahora hablaremos (Deduce su unidad en el S.I.)

Valor de la constante K. En realidad, el valor de K depende de las características del medio en el que se encuentran las cargas. K es constante para un medio determinado, pero su valor varía al cambiar de medio. En la interacción eléctrica, el medio en que se hallan las cargas afecta al valor de la fuerza ejercida. Todo sucede como si el medio fuese realmente responsable de transmitir la interacción. Precisamente, en el vacío, el valor de K es, aproximadamente, el comentado anteriormente. Para cualquier otro medio material su valor es siempre menor. Esto supone que el medio material disminuye la interacción eléctrica entre cargas. Con el fin de simplificar las expresiones, la constante K se expresa del siguiente modo: K =

1 4.π . ε

donde ε es una nueva constante denominada permitividad del medio.

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E L E C T R O E S T Á T I C A y M A G N E T I S M O. Tema 2

Para el vacío, ε0 = 8,85.10-12 C2/N.m2. Cualquier medio material ofrece una constante de permitividad mayor que la del vacío. Cuanto más alta es esa constante, menor es la fuerza que resulta de la interacción (¿Por qué?). Esto significa que el medio transmite la interacción menos eficazmente. De ahí el nombre de constante dieléctrica (no eléctrica).

Q1. Dos cargas eléctricas se encuentran separadas una cierta distancia. ¿A qué distancia habrá que colocarlas para que la fuerza entre ellas se reduzca a la cuarta parte?

El cociente de la fuerza con que se atraen gravitacionalmente dos protones, y la fuerza con que se repelen debido a su carga eléctrica, es crucial para la determinación de la estructura de las estrellas. El valor de este cociente da lugar a que exista un equilibrio de fuerzas dentro de las estrellas que hace que casi todas ellas, en cuanto a sus masas y luminosidades, se encuentren alejadas de los dos extremos que corresponden a las enanas rojas (frías, convectivas y pequeñas) y las gigantes azules (calientes, radiativas y grandes). Una ligerísima alteración en ese valor, por ejemplo, la que se produciría si la constante de la gravitación ‐38 fuese distinta de la que es en sólo un 10 %, sería suficiente para que todas las estrellas tuvieran que ser gigantes azules o enanas rojas. No existirían estrellas como el Sol, ni ninguna forma de vida que dependa de estrellas del tipo solar para su sustento. Esto es, no estaríamos aquí para narrarlo.

2. CAMPO ELÉCTRICO. LÍNEAS DE FUERZA La ley de Coulomb, cuya similitud con la ley de la gravitación de Newton es patente, presenta el mismo problema que presentaba aquélla: cómo explicar la acción a distancia. Históricamente este problema se superó a partir de los estudios sobre los fenómenos eléctricos realizados por el autodidacta M. Faraday, utilizando, para ello, el concepto de campo eléctrico. Luego, se generalizaron sus conclusiones para la interacción gravitatoria. Por ello, introduciremos el campo eléctrico del mismo modo a como lo hicimos con el campo gravitatorio: supondremos que se dispone una carga Q, alrededor de la cual situamos, en diferentes lugares otra carga q de igual o de diferente signo que la anterior. Cada vez que situemos la carga q en una posición, aparecerá sobre ella una fuerza, atractiva o repulsiva (según los respectivos signos de las cargas) y cuyo valor viene dado por la ley de Coulomb. Todo sucede como si la carga Q produjera en el espacio que la rodea una modificación que denominaremos Campo Eléctrico. El campo eléctrico hace que al situar allí otra carga, actúe sobre ella una fuerza F. Definimos el campo eléctrico (o intensidad de campo eléctrico) creado por una carga Q, como la fuerza que se ejerce en cada punto sobre la unidad de carga positiva, q, al situarla en ese punto:

v v F Q v E = = K 2 ur r q

“No debemos confundir la carga (o cargas) que crean el campo con la carga testigo (o de prueba) que nos permite detectarlo”

Lógicamente, dependiendo del signo que posea Q, el sentido del campo eléctrico será uno u otro. Por ello, se dice que el campo eléctrico presenta “manantiales” y “sumideros”. Si conocemos el valor del campo en los distintos puntos del espacio, podemos olvidar la carga que lo produce y afirmar que al situar una carga q en un punto del espacio en donde el valor del campo es E, sobre ésta actuará la fuerza: F = q · E. Tal y como ha sido definido, el campo eléctrico es una magnitud vectorial, cuyo módulo, dirección y sentido dependen únicamente de la posición que ocupan las cargas que crean el campo. Su unidad en el S.I. es el N/C.

Q2. En los vértices de un cuadrado de 2 m de lado, situamos cuatro cargas de 3, ‐2, 1 y 5 mC. Calcula el valor del campo eléctrico en el centro del cuadrado y la fuerza que actuaría sobre una quinta carga de 4 mC que allí se depositara.

Al ser el campo eléctrico una magnitud vectorial, cabe la posibilidad de calcularlo cuando es producido por varias cargas. En tales situaciones, el campo eléctrico total, se obtendrá como suma vectorial de cada uno de los campos eléctricos individuales. (Principio de superposición) n v v E T = ∑ Ei i =1

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1.1. Representación del campo eléctrico: líneas de fuerza. Ya que alrededor de una carga eléctrica Q se crea un campo eléctrico, en cada punto del espacio de su entorno, la magnitud E tiene un valor que se debilita con la distancia. Por ello, más que representar multitud de vectores (uno para cada punto del espacio con un valor de campo eléctrico) es conveniente hacer uso de un artificio geométrico muy útil: las líneas de fuerza. Una línea de fuerza se dibuja de tal modo que en cada punto de la misma, el vector campo eléctrico sea tangente a ella. De este modo, las líneas de fuerza que corresponden al campo eléctrico creado por cargas eléctricas puntuales, son radiales; esto es, “entrando” o “saliendo” de la carga, según el signo de la misma (manantiales y sumideros). Sin embargo, la situación más interesante se presenta en regiones del espacio en donde existen dos o más cargas eléctricas, (de igual o diferente signo) ya que entonces esas regiones del espacio se ven sometidas a la acción conjunta de los campos eléctricos individuales, y por lo tanto, de sus líneas de fuerza. La representación de tales líneas varía según la disposición, valor y signo de las cargas que crean el campo. Algunas situaciones simples son las que aparecen en la figura, en donde en cada punto de las líneas de fuerza (sólo se han representado algunas) el vector campo eléctrico es en ellos tangente.

Q3. ¿Hacia dónde se moverá una carga eléctrica negativa al abandonarla en una región en que el campo eléctrico apunta hacia el Norte? ¿Pueden cruzarse las líneas de fuerza en algún punto diferente a aquél en que se halla el cuerpo que crea el campo? Q4. Una carga eléctrica que se mueve dirigiéndose al Norte, penetra en una región en la que existe un campo eléctrico uniforme dirigido hacia el Este. ¿Qué le sucede a la carga? ¿Y si fuera negativa?

1.2. Analogías y Diferencias entre el campo gravitatorio y el campo eléctrico Al comparar las expresiones que nos permiten calcular el campo gravitatorio y el campo eléctrico a una distancia r del cuerpo que lo crea: M v v g = −G 2 ur r v Q v E = K 2 ur r encontramos una serie de analogías y de diferencias interesantes que se irán viendo conforme se progrese en el estudio de la Física.

Q.5 Se introduce una carga de 10‐6 C en un campo eléctrico uniforme de 0,4 N/C. Si su masa es de 10‐2 g, calcular la energía cinética a los 3 s.

Sin embargo, ya podemos señalar algunas. • •

En primer lugar, ambos campos resultan ser campos centrales, ya que su dirección es la de la línea que une un punto con el lugar donde se encuentra la carga o la masa que crea el campo. Asimismo, su valor es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que existe entre ambos. En segundo lugar, al ser G una constante universal, el campo gravitatorio creado por un cuerpo, es independiente del medio que rodea al cuerpo. En cambio, dado que la constante K varía de un medio

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• •

a otro, el campo eléctrico creado por un cuerpo toma distintos valores según el medio. En general, la presencia de un medio material debilita la interacción eléctrica, cosa que no sucede con la gravitatoria. En tercer lugar, como hemos visto, el campo gravitatorio que crea un cuerpo tiene siempre el mismo sentido, estando dirigido hacia el cuerpo que lo crea. En cambio, el campo eléctrico tiene sentidos distintos, según la carga que lo crea. El campo gravitatorio creado por una masa en movimiento no se altera por ese hecho. Sin embargo, como veremos, en el caso de cargas en movimiento, aparece una nueva interacción: la interacción magnética, además de la eléctrica.

... Entre dos placas planas paralelas hay un campo eléctrico de 104 N/C. Su longitud es de 5.10‐2 m y la separación es de 2.10‐2 m. En la dirección del eje se manda un electrón que penetra entre las dos placas con la velocidad de 107 m/seg. Calcular: A) Cuánto ha descendido el electrón cuando sale de las placas; B) Ángulo que forma con el eje la velocidad a la salida de las placas; C) Distancia por debajo del eje con que chocará contra una pantalla situada a 2.10‐1 m del final de las placas. DATOS: masa electrón = 9,1.10‐31 Kg; Carga del electrón 1,6.10‐19 C. Despreciar efectos gravitatorios.

1.3. Complemento: Concepto de Flujo Eléctrico. Teorema de Gauss

3

Ya hemos deducido que el campo eléctrico se debilita con la distancia a la carga que lo produce. Lógicamente, en la misma medida el número de líneas de fuerza también se va haciendo menor. Supongamos que disponemos de una carga positiva. El campo que crea a su alrededor sabemos que es radial. Si consideramos ahora una superficie de área constante S, situada a diferentes distancias de q+, se observa que esa superficie, en la región 1 es cruzada por mayor número de líneas de fuerza que en la región 2 y en ésta por mayor número que en la región 3.

2 1 q+

Por lo tanto, “la densidad de líneas de fuerza” (número de líneas de fuerza por unidad de superficie) disminuye al alejarnos de la carga q+ que crea el campo. Igual sucede con el módulo del campo eléctrico. Se puede afirmar, entonces, que el módulo del campo eléctrico en una cierta región del espacio es proporcional a la densidad de líneas de fuerza que hay en esa región: E = ∝ n/S. Siguiendo este criterio, “cuanto más apretadas estén las líneas de fuerza en una región del espacio, más intenso será el campo eléctrico”. Una idea de gran importancia en el estudio de campos es la que se conoce con el nombre de flujo, que está relacionado con el número de líneas de fuerza que cruzan determinada zona del espacio. En una región del espacio en la que existe un campo eléctrico determinado, se define el flujo del campo a través de una superficie S, como el producto escalar de los vectores campo y superficie:

v v Φ = E. S Φ = E . S .cos α Q.6. Una superficie de 20 cm2 forma un ángulo de 60º con la dirección de un campo eléctrico uniforme cuya intensidad es de 20 N/C. Calcular el flujo que atraviesa la superficie. ¿Qué unidad posee?.

Si analizamos la expresión del flujo, podremos concluir que la unidad en el S.I. deberá ser Voltio x metro (V.m)

El vector superficie, S, es un vector perpendicular a la superficie a la que representa y tiene por módulo el valor de ella misma. Su sentido, viene determinado por la parte convexa de la superficie. Si la superficie es cerrada, este vector superficie apunta hacia el exterior de la misma. El ángulo α es el que forman el vector campo con el de superficie. Si el campo no es uniforme y varía de un punto a otro, tendremos que recurrir a tomar áreas elementales (infinitesimales) de modo que, sobre ellas, la intensidad del campo permanezca constante. Evidentemente, el flujo que atraviese un área elemental, también será “elemental”, con lo que escribiremos:

v v dΦ = E . dS

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Para calcular el flujo total a través de la superficie S habrá que hallar la suma de los infinitos flujos elementales, es decir, habrá que hallar la integral a través de toda la superficie:

v v Φ = ∫ E.dS = ∫ E.dS . cos α S

S

El significado del concepto flujo debe quedar ahora claro: Si el módulo del campo es proporcional a la densidad de líneas de fuerza, el producto escalar E · S ha de estar relacionado con el número de líneas de fuerza que cruzan la superficie, ya que si E ∝ n/x, entonces ese producto escalar E.S ∝ n. Por supuesto que este número depende de cómo se oriente la superficie en el interior del campo. E

Q+

dS

Supongamos ahora que una carga Q+ que crea un campo eléctrico a su alrededor, está encerrada en el interior de una superficie esférica de radio r. Vamos a calcular el flujo que atraviesa dicha superficie.

Una superficie infinitesimal dS será siempre paralela campo E, por lo que el flujo total a través de toda la obtendrá multiplicando el valor del campo eléctrico punto por la superficie total de la misma. Si la esfera tiene un radio r, el campo en todos sus puntos módulo:

E=

al vector esfera se en cada tiene por

1 Q 4πε r 2

y como la superficie de la esfera es S = 4πr2, el flujo total a través de la esfera será:

Φ=

Q 1 Q 2 2 • 4πr = ε 4πε r

Lo interesante de este resultado es que siempre es el mismo, aunque la superficie que encierre la carga NO sea una esfera, ya que siempre podemos imaginar una esfera interior a esa superficie, y dado que el flujo representa el número de líneas de fuerza, las mismas que cruzan la esfera, atravesarán la otra superficie. De igual modo, el signo de la carga encerrada sólo cambiará la dirección de los vectores, pero no el resultado. Si en lugar de una carga hubiese varias en el interior, el resultado seguiría siendo el mismo, siendo ahora Q la suma de todas las cargas encerradas.

Q7. Determinar el valor del campo eléctrico creado por una esfera conductora cargada, en cualquier punto situado a una distancia r del centro de la esfera. Aplicar el teorema de Gauss. Q8. Por analogía con el campo gravitatorio, demostrar que el flujo neto a través de una superficie esférica de radio R que encierra a una masa M vale ‐4πGM

El resultado que acabamos de obtener es de gran TEOREMA DE GAUSS: importancia, y se utiliza mucho más que la ley de Coulomb. “el flujo del campo eléctrico a través de una Ese resultado se conoce con el nombre de teorema de superficie cerrada es igual a la carga neta que existe Gauss: “el flujo del campo eléctrico a través de una en el interior de la superficie, dividido por la superficie cerrada es igual a la carga neta que existe en el constante dieléctrica del medio”. interior de la superficie, dividido por la constante dieléctrica del medio”. La máxima utilidad de este teorema se verá en estudios más profundos de Física, aunque podemos adelantar que es el mejor procedimiento para calcular campos eléctricos debidos a distribuciones continuas de carga eléctrica.

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1.4. AMPLIACIÓN: Algunas aplicaciones del teorema de Gauss •

Distribución de carga en los conductores.

Sea un conductor en equilibrio electrostático, es decir, con sus cargas en reposo. En estas condiciones, el campo eléctrico en el interior del conductor debe ser nulo, ya que de no serlo, las cargas no estarían en reposo, en contra de lo que se ha supuesto. Por tanto, el flujo que atraviesa de dentro a fuera una superficie gaussiana como la de la figura (a trazos) es nulo, por serlo la intensidad de campo en el interior. Por lo tanto:

v v q Φ = ∫ E . dS = 0 =

ε

S

Por lo tanto, dentro del conductor no hay carga, pero ya que ésta no puede haber desaparecido, necesariamente debe estar sobre la superficie de dicho conductor. Esto obliga a definir una “densidad superficial de carga, σ = Q/S” En los conductores de forma irregular, la carga tiende a acumularse en las zonas de mayor curvatura, sobre todo en las puntas, donde la concentración de cargas puede ser tan grande que la repulsión mutua entre ellas las haga saltar fuera del conductor. Todo conductor provisto de partes aguzadas se descarga rápidamente. Este fenómeno se conoce como “efecto punta”. El blindaje o protección electrostática se funda en el hecho de que la carga de un conductor se halla en la parte más externa de él. Cuando se desea proteger de cualquier perturbación electrostática externa un aparato delicado, basta rodearlo de una pantalla metálica conectada a tierra (jaula de Faraday). De este modo, el campo en el interior es siempre nulo, por muy intensos que sean los campos eléctricos externos.

•

Intensidad de Campo producido por una esfera cargada.

El campo producido por una esfera cargada con una carga q en un punto exterior es el mismo que el creado por esa misma carga considerada puntual y situada en el centro de la esfera. Para hallar la intensidad de campo en P, trazamos una superficie esférica gaussiana concéntrica con la esfera dada. Por simetría, el campo creado por la esfera en todos los puntos situados a una distancia r debe ser constante y en dirección radial, es decir que E · S = E · dS. El flujo que pasa a través de esta segunda superficie esférica, vale, por el teorema de Gauss Φ=q/ε. Por otro lado

v v 4 πr 2 Φ = ∫ E . dS = ∫ E . dS = E ∫ dS = E [ S ]0 E .4πr 2 =

que era lo que se quería demostrar.

•

q

ε

⇒E=

q 4πε r 2 1

Campo creado por una lámina conductora infinita, cargada uniformemente, en un punto P exterior a ella.

Una lámina cargada tiene distribuida uniformemente una determinada carga por ambas caras. En el interior no hay cargas, y por lo tanto el campo eléctrico en su interior es nulo. Si denominamos σ a la densidad de carga en una de sus caras, σ = dq/dS, la carga correspondiente a la superficie dS será: dq = σ.dS

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S

E

E E

S

S

Para calcular el valor del campo eléctrico en el punto P, aplicamos el teorema de Gauss del siguiente modo: consideramos una superficie gausiana cilíndrica con área de base A y calculamos el flujo a través de esa superficie.

+

El campo en el punto P es radial. Esto es fácil de comprobar, ya que las partes del plano situadas por encima del cilindro verán compensado su efecto por las partes situadas por debajo de éste.

P

E2

E

E1

+ El flujo a través de las caras laterales del cilindro es nulo, por ser perpendicular el campo al vector superficie. Por lo tanto, deberemos calcular el flujo a través de las bases de área A. El campo eléctrico toma el mismo valor en todos los puntos de la superficie, de modo que el flujo a través de UNA de las bases será: v v Φ = ∫ E . dS = E ∫ ds = E . A De esta forma, el flujo total a través de la superficie será: Φ = 2· E · A, ya que el cilindro posee dos bases iguales. En virtud del teorema de Gauss, ha de ser igual a la carga encerrada dividida por ε. Esta carga es σ.A, por lo que: 2·E·A = σ A/ε ⇒ E = σ/(2ε)

3. ENERGÍA POTENCIAL ELÉCTRICA Conviene ahora seguir nuestro estudio del campo eléctrico con lo relativo a los aspectos energéticos del mismo. Lo mismo que sucede con el campo gravitatorio, el campo eléctrico también es conservativo. En efecto. Supongamos que acercamos una carga positiva a otra que también lo es. Para conseguirlo, es necesario realizar un trabajo externo realizado por nosotros. Este trabajo, no se pierde, ya que si una vez acercada la carga, la abandonamos, ésta regresa, de nuevo, a su posición original. Es decir, nuestro trabajo es devuelto por el campo. Por lo tanto, nuestro trabajo realizado CONTRA las fuerzas puede ser recuperado. Por ello, no habrá más que recordar lo visto para el campo gravitatorio y reemplazar las masas por cargas. Para encontrar el valor de la energía potencial eléctrica comenzaremos determinando el trabajo que realizan las fuerzas del campo cuando una carga q se desplaza de un punto a otro del mismo. Consideraremos una carga Q, fija, y sobre la que situaremos el sistema de referencia, de modo que, por comodidad, supondremos uno de sus ejes sobre la línea de unión entre Q y la carga q, situada a una distancia R1. El trabajo para mover esa carga q desde R1 a R2 vendrá dado por la expresión:

W=∫

R2

R1

R R2 v v Q. q Q. q Q. q ⎡ Q. q ⎤ 2 dr = ⎢− F . dr = ∫ = − ⎥ R1 4πε . r 2 r R . . . R2 4 πε 4 πε 4 πε ⎦ R1 ⎣ 1

Como se ve, esta expresión sólo depende de las posiciones R1 y R2 (inicial y final), y no de la trayectoria (como corresponde a las fuerzas conservativas). Por lo tanto, si recordamos que W = - Δ U = U(1) - U(2) podremos concluir que la expresión de la energía potencial asociada a una carga q situada a una distancia r de la carga Q viene dada por la expresión:

U (r ) =

Q.q 4πε .r

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y su signo dependerá del signo de las cargas. Como se deduce de la propia expresión de energía potencial, ésta será nula para una separación infinita, por lo que cabe interpretar la energía potencial como el trabajo que es necesario realizar para acercar hasta una distancia r a dos cargas que en un principio están infinitamente alejadas. Sin embargo, a propósito de esta misma expresión conviene aclarar algunos aspectos: •

Para acercar hasta una distancia r dos cargas de igual signo, se requiere que realicemos sobre ellas cierto trabajo. Este trabajo, no se pierde, sino que se almacena en forma de energía potencial y es devuelta por el sistema en cuanto quede libre. Si un sistema de cargas tiene una energía potencial positiva, significará que al dejarlo en libertad, evolucionará espontáneamente, separándose las cargas y disminuyendo al tiempo su energía potencial.

•

Si por el contrario, las cargas son de diferente signo, para acercarlas hasta la distancia r no es preciso realizar trabajo, ya que el proceso es espontáneo y en él disminuye la energía del sistema (es cero en el infinito). Por tanto, el signo negativo de la energía potencial significa que debemos realizar un trabajo SOBRE el sistema para volver las cargas a su posición original. El sistema es incapaz, por sí mismo, de conseguirlo; se trata de un sistema ligado. Si dejamos en libertad el sistema, éste evolucionará de modo espontáneo, acercándose cada vez más las cargas.

3.1. Concepto de Potencial Eléctrico. Al igual que se hizo con el campo gravitatorio, en el campo eléctrico conviene definir la magnitud Potencial. De igual modo que una carga Q crea a su alrededor un campo eléctrico, podemos suponer que la presencia de Q permita que haya a su alrededor una propiedad, denominada potencial eléctrico, de tal forma que al situar en ese punto una carga q, ésta adquiera una energía potencial Ep tal que: U=q.V donde V es el potencial eléctrico. Igual que para el campo gravitatorio, definimos el potencial eléctrico en un punto, como la energía potencial por unidad de carga positiva de carga colocada en ese punto: V = U(r) /q Desde luego, el potencial ha de ser creado por alguna carga, o conjunto de ellas, pero una vez conocido el valor de V en cada punto, podremos olvidar la(s) carga(s) que lo origina. Ni que decir tiene que tanto el potencial eléctrico como la energía potencial, son magnitudes ESCALARES. La unidad de potencial es el voltio (V) y equivale a J/C. Siguiendo con el criterio de situar el origen de energía potencial en el infinito, el concepto de potencial adquiere un significado claro: el potencial en un punto es el trabajo necesario para trasladar la unidad de carga positiva desde el infinito hasta ese punto. Recordando que W = - ΔU = U(1) - U(2), podemos reescribirlo como W = q(V1 - V2) de modo que la diferencia de potencial entre los puntos P1 y P2 será V1 – V2 = W/q

o bien

ΔV = -W/q

De este modo podrá definirse la diferencia de potencial eléctrico entre dos puntos como el trabajo hecho por el campo eléctrico al mover una carga unitaria positiva de un punto a otro. Entonces, podemos obtener el potencial eléctrico en un punto midiendo el trabajo hecho por el campo eléctrico al mover una carga unitaria positiva desde ese punto a otro donde el potencial es cero, que como hemos visto, se escoge en el infinito. Esta es otra interpretación del potencial eléctrico y de la diferencia de potencial, usada con mucha frecuencia.

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Precisamente por esta última expresión, y considerando una carga eléctrica fundamental (la del electrón) se define la unidad de energía denominada electronvoltio, eV. Un electronvoltio es igual al trabajo realizado sobre una carga elemental e cuando se la mueve a través de una diferencia de potencial de un voltio, es decir que 1 eV = 1,609 · 10-19 C · 1 V = 1,602 · 10-19 J

3.2. Potencial creado por cargas puntuales. Superficies Equipotenciales. Si es Q la carga que crea a su alrededor el campo eléctrico y el potencial, bastará sustituir en la expresión de definición de V anteriormente dado los valores de U y q para ver con detalle el valor del potencial creado por esa carga Q a una cierta distancia r:

V=

Q 4πε . r

El signo del potencial será positivo o negativo según el signo de la carga que lo crea. Como en el campo gravitatorio, no debemos confundir la carga que crea el campo, Q, con la carga de prueba, q, que se usa para su estudio. De la última expresión se deduce con facilidad que todos los puntos que se encuentran a igual distancia r de Q tendrán el mismo potencial. Tales puntos pertenecen a una superficie esférica de radio r con centro en Q. A tal superficie se la denomina superficie equipotencial. Ya que el potencial es una magnitud escalar, si tenemos una agrupación discreta de cargas, el valor de aquél en un punto podrá obtenerse por suma algebraica de los potenciales individuales debidos a cada carga. Si la carga está repartida de forma continua en el espacio, dividiremos esa carga en infinitas cargas infinitesimales dq. El potencial producido en un punto P a una distancia r de dq será: dV =

1 dq 4πε r

Q9. En un vértice de un rectángulo de 3 y el potencial total lo calcularemos sumando los potenciales debidos a 4 cm de lado, se sitúa una carga de ‐20 pC cada una de las infinitas cargas dq, operación que realizaremos y en los dos vértices contiguos, sendas integrando la expresión anterior: cargas de 10 pC. Hallar el potencial 1 dq eléctrico en el cuarto vértice.

V=

Para una distribución discreta de cargas, bastará hacer

V =

4πε

∫

r

Qi

1 4πε 0

∑r i

i

3.3. Relación Campo‐Potencial: una relación importante. Las descripciones dadas del campo eléctrico y del potencial eléctrico son complementarias, ya que conocido uno de ellos, puede determinarse el otro. Ahora nos ocuparemos de tal relación.

2 dr α

Vamos a suponer que en cierta región del espacio hay un campo 1 eléctrico uniforme paralelo al eje OX. Si deseamos trasladar una carga desde un punto 1 al otro 2, como se observa en la figura, el trabajo realizado por la fuerza eléctrica sobre la carga será:

v v v v W = F . dr = q. E . dr = q. E . dr .cos α y este trabajo ha de ser: W = - ΔU = -q dV, con lo que E.cosα dr = -dV ⇒ E.cos α = -dV/dr

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La expresión anterior puede generalizarse para cualquier tipo de campo (uniforme o no), y escribir de modo general: v dV Er = − v dr

“La componente del campo eléctrico en la dirección del desplazamiento puede obtenerse dividiendo el valor de la diferencia de potencial entre dos puntos por la distancia que los separa”

Si observamos, la última expresión también sugiere que el campo eléctrico puede medirse en V/m (Demostrar que es equivalente a N/C) Lo anterior también implica que • A. Si no hay variación de potencial en determinada dirección, la componente del campo en esa dirección es nula. • B. Conocido el valor del potencial en cada punto, puede determinarse el valor del campo eléctrico. El sentido de éste es hacia potenciales DECRECIENTES, como indica el signo negativo de la ecuación. • C. Si se conoce el valor del campo en cada punto, puede obtenerse el valor del potencial integrando. Precisamente, unos puntos del espacio en los que no existe variación de potencial son las que hemos denominado SUPERFICIES EQUIPOTENCIALES. Por ello, estas superficies equipotenciales, cumplen una serie de propiedades: •

Por un punto sólo pasa una superficie equipotencial: Si pasara más de una superficie equipotencial, el punto tendría que tener más de un potencial, lo cual es imposible ya que el potencial depende del punto considerado y es único.

•

El trabajo para transportar una carga q0 de un punto a otro de una superficie equipotencial, es nulo. Wab = q0(Vb - Va) Por ser a y b puntos de una superficie equipotencial, Vb = Va ⇒ Vb - Va = 0 y por lo tanto: Wab = q0(Vb - Va) = q0.0 = 0

•

Las líneas de fuerza son normales (perpendiculares) a las superficies equipotenciales. Por lo tanto, los vectores intensidad de campo serán perpendiculares a las superficies equipotenciales. Si movemos una carga q0 sobre una superficie equipotencial, realizaremos un trabajo: dW = q0.E.dS.cos α

como dW = 0 ⇒ q0.E.dS. cos α = 0, uno de los factores debe ser 0, y el único que puede serlo es cos α por lo que el ángulo deberá ser de 90º.

Q10. Calcula la diferencia de potencial que existe entre dos puntos situados en el interior de un campo eléctrico uniforme de 10 N/C, si están separados una distancia de 2 m y la línea que los une está orientada en la dirección del campo Q11. Una carga puntual positiva de 10‐9 C está situada en el origen de coordenadas, y otra puntual negativa de 2.10‐8 C está en el punto (0,1) m. Determina a) el vector intensidad de campo en el punto A(2,0); b) el trabajo realizado por las fuerzas del campo para trasladar una carga de 3 C desde A(2,0) a B(2,4) Q12. Tenemos un campo eléctrico uniforme dirigido verticalmente de abajo hacia arriba, cuya intensidad es de 104 N/C. A)Calcular la fuerza ejercida por ese campo sobre un electrón; B) Calcula la velocidad que adquirirá el electrón en el campo anterior cuando haya recorrido 1 cm partiendo del reposo. Buscar los datos de masa y carga del electrón.

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Q13. Se tienen dos cargas eléctricas puntuales de +2 y ‐5 mC, colocadas a una distancia de 10 cm. Calcular el campo y el potencial en los siguientes puntos: a) a 20 cm de la carga positiva, tomados en la dirección recta que une a las cargas y en el sentido de la carga negativa a la positiva; b) A 20 cm de la negativa, contados en la misma dirección, pero de sentido contrario a la anterior. c) ¿En qué punto de dicha recta el potencial es nulo? Q14. Determinar, en la figura, la ddp Vd ‐ Vb y el trabajo necesario para mover una carga de 2 C desde el punto D al punto B. Intensidad del campo, 4 N/C. Longitud del lado, 20 cm.

A

D

B

C

PROBLEMAS. DE SELECTIVIDAD 1. (JUNIO 2001). Dos partículas de 10 g se encuentran suspendidas por dos hilos de 30 cm desde un mismo punto. Si se les suministra a ambas partículas la misma carga, se separan de modo que los hilos forman entre sí un ángulo de 60º. A) Dibujar en un diagrama las fuerzas que actúan sobre las partículas y analice la energía del sistema en esa situación; B) Calcule el valor de la carga que se suministra a cada partícula. 2. Dos cargas puntuales iguales están separadas por una distancia d. a) ¿Es nulo el campo eléctrico total en algún punto?. Si es así, ¿cuál es la posición de dicho punto?. B) Repetir el apartado a) si las cargas fueran opuestas. 3. Una carga puntual Q crea un campo electrostático. Al trasladar una carga q desde un punto A al infinito, se realiza un trabajo de 5 J. Si se traslada desde el infinito a otro punto C, el trabajo es de ‐10 J. A)¿Qué trabajo se realiza al llevar la carga desde el punto C al punto A? ¿En qué propiedad del campo electrostático se basa la respuesta? B) Si q = ‐2C ¿cuánto vale el potencial en los puntos A y C? Si el punto C es el más próximo a la carga Q, ¿cuál es el signo de Q? ¿por qué? 4. En una experiencia similar a la de Rutherford, un protón se dirige directamente contra un núcleo de la lámina de oro con 6 ‐27 ‐ una rapidez de 10 m/s. ¿A qué distancia del núcleo se volverá? Datos: Masa protón: 1,67∙10 kg; carga del protón: 1,6∙10 19 ‐12 2 2 C.; ε0=8,85 10 C /Nm (El número atómico del oro es 79) Sol: 2,2∙10‐11 metros. Otros problemas... 5. Dos cargas negativas iguales de 1μC cada una se encuentran sobre una mesa horizontal separadas 20 cm. A 50 cm sobre la mesa y en la vertical del punto medio de la línea que une las dos cargas se coloca otra carga de 1μC cuya masa es de 1 gramo y se suelta. Determinar la velocidad con que llegará a la mesa. Sol: 17,3m/s 6. La diferencia de potencial entre dos placas paralelas es de 100 V, la separación entre ellas es de 1 cm y su longitud es de 2 cm. Se lanza un haz de electrones con una rapidez de 107 m/s en dirección perpendicular al campo entre las placas. Determinar la desviación de la dirección del haz de electrones, a la salida de la zona entre las placas, respecto de la dirección de entrada de dicho haz (ángulo de deflexión del haz). Sol: aprox 19º 7. ¿Qué relación debe haber entre la carga y la masa de dos partículas idénticas para que la atracción gravitatoria entre ellas se compense con la repulsión electrostática? 8. En cierta experiencia se colgaron dos esferitas conductoras de 120 mg cada una de dos hilos aislantes muy delgados, de 82 cm de longitud cada uno.. Cuando se suministró a cada esferita la misma carga se separaron y quedaron en equilibrio a una distancia de 10 cm entre sus centros; ¿cuál fue la carga comunicada a cada esferita? 9. Entre dos placas paralelas distantes 1 cm existe una diferencia de potencial de 100 V. Determinar la rapidez de un electrón liberado en la placa negativa: a) en el punto medio entre las placas; b) al llegar a la placa positiva. Sol: a) 4200 km/s; b) 5900 km/s

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10. Calcula la energía potencial eléctrica asociada a un pequeño cuerpo de 0,05 gramos de masa que porta una carga eléctrica de 10‐6 C situado en el vacío a 20 cm de una segunda carga puntual fija de ‐4∙10‐6 C. Si la primera carga se libera, ¿qué rapidez llevará cuando se encuentre a 10 cm de la primera? Sol: 85 m/s 11. En un sistema de ejes coordenados tenemos dos cargas puntuales fijas, una de ellas tiene un valor de 2 μC y está situada en el punto (0,0) m, la segunda de las cargas cuyo valor es ‐3μC se encuentra en el punto (4,0) m. Calcula el trabajo de la fuerza electrostática para trasladar una carga de ‐1 μC del punto A(0,2) al punto B(4,2). Sol: ‐1,244∙10‐2 julios. 12. Un protón que parte del reposo se acelera en un ciclotrón hasta alcanzar la velocidad de 2,5∙107 m/s, en un tiempo de 0,01 segundos. Determina la potencia media desarrollada por el acelerador en el proceso. (masa del protón: 1,67∙10‐27 kg) 13. Entre dos placas planas y paralelas separadas 5 cm se establece una d.d.p. de 1500 voltios. Un protón se libera de la plaza positiva en el mismo instante en que un electrón se libera de la placa negativa. Determina: a. La distancia de la placa positiva en la que se cruzan. b. La velocidad y la energía cinética con la que llega cada uno de ellos a la respectiva placa opuesta. (masa del electrón: 9,109∙10‐31 kg; carga del electrón: ‐1.6∙10‐19 C; masa del protón: 1,672∙10‐27 kg) 14. Dos cargas puntuales iguales están separadas por una distancia d. a) ¿Es nulo el campo eléctrico total en algún punto?. Si es así, ¿cuál es la posición de dicho punto?. B) Repetir el apartado a) si las cargas fueran opuestas. 15. Dos partículas de 10 gramos de masa y una carga Q cada una se suspenden de un punto común mediante dos hilos iguales de 50 cm de longitud cada uno. Se alcanza el equilibrio para un ángulo de 10º cada hilo con la vertical. Se pide: a. Determina el valor de Q. b. Calcula la tensión de la cuerda. 16. En los vértices de un cuadrado de lado 1 metro, se colocan cargas idénticas de valor 1, 2, 3 y 4 µC. Hallar el valor del campo eléctrico y el potencial en el centro del cuadrado.

4. CARGAS ELÉCTRICAS MAGNÉTICOS

EN

MOVIMIENTO.

CAMPOS

Los antiguos griegos observaron que ciertos minerales de hierro, como la magnetita, tienen la propiedad de atraer pequeños trozos de hierro. En estado natural, la propiedad la muestran el hierro, el cobalto, el manganeso y muchos compuestos de estos metales. NO está relacionada con la gravedad, ya que NO la poseen todos los cuerpos, y parece concentrarse en ciertos lugares del mineral. Aparentemente tampoco está relacionada con la interacción eléctrica, ya que ni las bolas de corcho ni los trozos de papel son atraídos por tales minerales. Por tanto, a esta propiedad física se la denominó magnetismo. El nombre se deriva de la antigua ciudad del Asia Menor, Magnesia, en donde según la tradición, fue observado por primera vez el fenómeno por un pastor. Las regiones de un cuerpo donde parece concentrarse el magnetismo se conocen como polos magnéticos, y un cuerpo magnetizado se conoce como imán. La Tierra misma es un imán.

• •

Las propiedades de los polos magnéticos eran semejantes a las de las cargas eléctricas. Así, → Existen polos magnéticos de DOS clases. Arbitrariamente se los designa como norte y sur. Éstos se atraen entre sí si son de distinto tipo, y se repelen al serlo de signo contrario → La fuerza de interacción entre los polos varía con el cuadrado de la distancia que los separa.

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No eexisten los “mo onopolos” magn néticos: es d decir, los polos m magnéticos no pueden aislaarse: si partimos un imán en trrozos, cada uno o de ellos se con nvierte en un nuevo imán con ssus DOS polos o opuestos. La bú úsqueda del posible monopolo magnético es ttarea de la física actual.

Sin embargo,, existe una principal p diferrencia entre la a interacción eléctrica y la magnética, y es que si ya sabemos que e existen dos hablar individualmente de clases de carrgas eléctricass, pudiendo h cada una de ellas (positiva a/negativa), n no existen lo “monopolos” “ e decir, los polos p magnéticos no puede en aislarse: si magnéticos: es partimos un imán en trozoss, cada uno d de ellos se con nvierte en un nuevo imán con c sus DOS polos opuesttos. Sin embargo, a pesar de estta diferencia, para describirr las acciones que se ponen n de manifiestto entre imanees, seguiremos un proceso análogo al llevado o a cabo con las cargas elléctricas: imag ginaremos que todo imán “crea” a su alrededor a un á de manifiestto al situar allíí otro imán. campo magnético, que se pondrá

En el año 1 1600, William G Gilbert descubriió la razón dee que la aguja d de una brújula sse oriente porr sí misma en diirección definid da: la Tierra es un n imán permanente. Puesto qu ue el polo nortee de la aguja dee una brújula se e ve atraído haacia el polo geoggráfico norte de la Tierra, este polo norte geo ográfico de la Tiierra, es en reealidad, un polo o magnético surr.

4.1. L Los fenómeno os magnéticoss NO son inde ependientes d de la carga elé éctrica. La primera evidencia que señaló la idea de qu ue el magnetissmo debía esttar íntimamentte relacio onado con lo os fenómenos eléctricos fuee realizada po or el físico dan nés Oersted een 1919 (en la foto). ductor. Al haccer circular un na Oersteed situó una brújula en lass cercanías dee un hilo cond corriente eléctrica continua c por el e hilo, la brújula se orientó ó perpendicula armente al hilo o. Cuand do cesaba la corriente, la brújula b volvía a su posición original. Esta experiencia e pu uso de manifieesto que las co orrientes eléctricas (cargas en e movimiento o) produ ucen sobre la brújula los mismos m efecto os que se obsservan al aceercar a ésta u un imán. Parece, por tanto, t que las cargas eléctricas en movim miento produceen los mismoss efectos que los imanes, o dicho de otro mod do: las cargass eléctricas en n movimiento o crean un ca ampo magnétitico a su alred dedor. Otras prueb bas experimenttales a favor de d esta idea están e en la observación de que q al situar d dos hilos para alelos y hacer circula ar por ellos una corriente de d elevada in ntensidad, apa arecen fuerzass de atracción n o de repulsión, según el sentido de la corriente que circcula por ellos. Esta fuerza entre los con nductores sólo o aparece cuando circula corriente por ellos. La inteeracción magnética, por lo tanto, es el resultado r de la a existencia dee una propiedad p de la materia ya explicada: la carga. Sin n embargo, ess necesario que esass cargas estén n en movimien nto para que tal interacción n magnética aparezcca. Según esto, los imanes naturaless se explican n admitiendo que en n su interior see producen co orrientes elécttricas, debidass al mo ovimiento de lo os electrones, orientados deel mismo modo en todos loss átomo os. La suma de d sus efectos da como resultado el cam mpo magnético o que see observa en las l cercanías del d imán. Como o el campo eléctrico, el campo magnético tambié én puede ser descrito con la ayu uda de las lín neas de fuerza. Las líneas de fuerza deel campo magnético pueden visuallizarse de un modo muy sim mple: basta po oner sobre un n papel unas limaduras l de hierro o, y debajo dee él, un imán. Rápidamentee, las limadura as se orientan n según las lín neas de fuerza a. Esas líneas de fueerza magnéticcas, son cerradas (a diferen ncia de las lín neas de fuerza a del campo eléctrico): parrten del polo norte y terminan en n el sur (por co onvenio), y en cada punto de d esas líneas magnéticas, eel vector camp po magnético ngente a él. es tan

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5. INTERACCIÓN MAGNÉTICO.

MAGNÉTICA.

ESTUDIO

DEL

CAMPO

Sin tener presente por ahora, el origen del campo magnético, vamos a imaginar una zona del espacio en donde existe un campo magnético uniforme que representaremos por el vector B. Si la carga q está en reposo, el campo magnético no ejerce ninguna acción sobre ella. Sin embargo, si se mueve con cierta velocidad, aparece sobre ella una fuerza F. EXPERIMENTALMENTE se observa que: F es proporcional a la carga, y su sentido se invierte si cambiamos el signo de la carga. F es proporcional al módulo de la velocidad con que la carga se mueve. F es perpendicular al vector velocidad, y su módulo depende de la dirección de la velocidad, de forma que: A) existe una dirección del movimiento para la que la fuerza es nula. B) la fuerza alcanza su valor máximo cuando la carga se mueve en una dirección perpendicular a la anterior. • • •

La fuerza magnética es siempre perpendicular a la velocidad de la carga.

La interacción magnética, caracterizada por la fuerza, resulta ser siempre perpendicular a la velocidad, esto es, transversal al movimiento de la carga y, por lo tanto, modifica sólo el sentido de la velocidad, dejando inalterado el módulo de la misma.

Sin embargo, es necesario recordar el carácter relativo del movimiento. En efecto, dependiendo del sistema de referencia, los movimientos pueden ser percibidos, o no, de modo diferente según los observadores. Si este hecho lo trasladamos a las cargas móviles, es fácil entender que “los campos magnéticos, y sus efectos, sean relativos”. Igual que hicimos con el campo eléctrico, podemos asignar a cada punto del espacio un valor del campo magnético; su acción sobre la carga testigo será la fuerza que acabamos de estudiar. Por convenio, se admite que la dirección del campo magnético es aquélla en que la fuerza que actúa sobre la carga resulta ser nula. Se define el módulo del campo magnético como

B=

F q. v

siendo F el módulo de la fuerza máxima medida sobre la partícula. De acuerdo con la anterior definición, la unidad en que se mide B en el SI es el N.s/(C.m) y se denomina TESLA (T), en honor de Nicolai Tesla (en la foto), de los grandes pioneros en el estudio del magnetismo. Con alguna frecuencia se utiliza otra unidad denominada GAUSS con la equivalencia: 1 tesla = 104 gauss Las observaciones anteriores pueden englobarse en una sola con ayuda del concepto de producto vectorial. Así, diremos que en un punto de una región del espacio existe un campo magnético B si al situar en ese punto una carga que se mueve con velocidad v, aparece sobre ella una fuerza que viene dada por:

v v v F = q.(v ∧ B ) Si además de estar sometida la carga a la influencia de un campo magnético, lo está a la de un campo eléctrico (a la vez) la fuerza total que padecerá vendrá dada por la suma (vectorial) de ambas fuerzas, es decir F = q(E + v x B) Esta expresión se conoce como fuerza de Lorentz.

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Hay varias diferencias importantes entre las fuerzas eléctrica y magnética, como ya puede intuirse tras esta definición: • La fuerza eléctrica está siempre en la dirección del campo eléctrico, mientras que la magnética es perpendicular al campo. • La fuerza eléctrica actúa sobre una partícula cargada en todo momento, mientras que la magnética sólo aparece cuando la carga se mueve de determinada manera. • La fuerza eléctrica efectúa trabajo al desplazar la carga, mientras que la magnética asociada a un campo magnético estable NO trabaja cuando se desplaza la partícula. B Precisamente, gracias a la definición del producto vectorial que nos ayuda a definir la fuerza magnética, pueden deducirse las características vectoriales de fuerza, campo y velocidad que aparecen en la ecuación anterior relacionados (recordar la “regla F v del tornillo”). De este modo, resultan de sumo interés los casos en r que una carga eléctrica penetra en el interior de un campo O magnético uniforme (o no) y estudiar las trayectorias posibles en función del ángulo de entrada. El caso “más favorable” y fácil de interpretar es aquél en que la dirección de entrada de la carga es perpendicular a las líneas de fuerza del campo magnético (uniforme), ya que en esos casos aparecerá una fuerza perpendicular a esa trayectoria que provocará un giro de radio definido y determinable (una aceleración centrípeta). En función del signo de la carga, ésta rotará en un sentido u otro. Es decir, para este caso puede escribirse que mv v2 qvB = m ⇒ r = qB r

y como v = ω · r, al sustituir en lo anterior y despejar la rapidez angular de giro ω se tendrá que

ω =

q B m

expresión que se conoce como frecuencia ciclotrónica. Si la dirección de entrada NO es perpendicular a las líneas de fuerza del campo, podrá descomponerse la velocidad en sus dos componentes: una perpendicular y otra alineada con el campo, de modo que cada una producirá en efecto distinto: la componente perpendicular al campo hará que se gire el movimiento, pues aparecerá una fuera magnética como antes, mientras que la otra componente, al estar alineada con las líneas de fuerza, no habrá aceleración (ni fuerza) de ningún tipo en esa dirección y la partícula avanzará a velocidad constante.

B

F vy

v

vx

El resultado conjunto será un movimiento “compuesto” dando una trayectoria helicoidal según el signo, como se ve en el dibujo. Por tanto, la curvatura de la trayectoria de un ión en un campo magnético proporciona un medio para determinar el signo de la carga. Si además de todo esto, el campo magnético NO fuera uniforme, el movimiento de la partícula sería bastante más caótico que los anteriores. Este tipo de situaciones es la que se produce cuando el viento solar (partículas cargadas lanzadas por el sol a gran velocidad en todas las direcciones, incluidas las de la Tierra) alcanza la magnetosfera terrestre, que en estos casos actúa de auténtico escudo protector. La zona más desprotegida del campo magnético terrestre se halla en los polos y es por ahí por donde penetran esas partículas cargadas que al chocar con las moléculas de oxígeno y nitrógeno del aire, provocan las famosas auroras boreales.

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CINTURONES DE RADIACIÓN DE Van Allen. Estos cinturones de radiación son un ejemplo de partículas cósmicas cargadas que interactúan con el campo magnético terrestre. Estos cinturones están compuestos de partículas cargadas que se mueven con rapidez, principalmente electrones y protones, que están ATRAPADOS en el campo magnético terrestre. El cinturón interior se extiende de 800 a 4000 km sobre la superficie terrestre, mientras que el otro se extiende hasta unos 60 000 km de la Tierra. Hay pruebas de que el cinturón interior está compuesto de protones y electrones que proceden de la desintegración de los neutrones producidos en la atmósfera por la acción de los rayos cósmicos. El cinturón exterior está formado principalmente por partículas cargadas que han sido proyectadas por el Sol. La variación del número de estas partículas está asociada con la actividad solar. Su salida del cinturón de radiación es lo que causa las auroras boreales y pueden interrumpir las transmisiones de radio.

Q1. Comprobar cómo la definición de Lorentz del campo magnético cumple las observaciones experimentales anteriormente dadas. Q2. ¿Cómo podremos saber si la fuerza que actúa sobre una carga en movimiento es de origen eléctrico o magnético? Q3. ¿Qué trayectoria seguirá una carga al penetrar en un campo magnético uniforme si se mueve con una velocidad que es perpendicular al campo? Hacer un análisis de la trayectoria seguida por esta misma partícula si penetrara en un campo uniforme con una dirección NO perpendicular, y otro análisis de entrada NO v v perpendicular en un campo NO uniforme. v Q4. Dibujar el vector campo magnético existente en cada uno de los F siguientes casos, sabiendo que la fuerza representada es la máxima F F que puede actuar sobre la carga (positiva) ‐19 Q5. Un electrón, de carga q = ‐1.6.10 C, penetra en una región donde existe un campo magnético con una velocidad de 105 m/s. Calcula el valor del campo magnético si la dirección inicial del movimiento del electrón es perpendicular al campo y sobre él se ejerce una fuerza de 1 N. Q6. Un electrón se mueve en la dirección que se indica en la figura, en el seno de un campo magnético. Señala la dirección de la fuerza que actuará sobre él y dibuja electron la trayectoria que seguirá. Calcula el trabajo que realiza la fuerza magnética sobre v ele electrón en el interior del campo. ¿Cómo se modificará el resultado si en lugar de un electrón se considera un protón? B

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E L E C T R O E S T Á T I C A y M M A G N E T I S M M O. Tema 2.

6 CAMP 6. POS MA AGNÉTICO OS ELÉCT TRICA

CRE EADOS

POR

UN NA

COR RRIENTE

6.1. C Campo magné ético creado p por una corriente RECTILÍN NEA La pro opia experiencia de Oersteed nos proporciona una primera idea sobre s la dirección y sentido o del campo magnético que crea a una corriente rectilínea1. Imaginemos que colocamo os alrededor d de una corriente rectilínea una serie de pequeeñas brújulas. Estas brújulass se alinearán n en la direcciión del campo o magnético que q crea esa corriente: perpendiicular a ella. El resultado que se obtie ene permite enunciar e la lla amada regla de la mano derecha, o mejor aún: a la regla del d tornillo, sittuando un torrnillo sobre "el cable" de mo odo que gire en el sentido de ava ance de la corriente. Su giro o nos dará el sentido del ve ector campo en e el (los) puntto(s) considera ados En cua anto a la mag gnitud del cam mpo magnético o, experimenta almente se comprueba que: • • •

Es proporccional a la inteensidad de la corriente que circula. Depende del d medio en el e que se realiiza la experien ncia. Disminuye proporcionalmente con la distancia al co onductor.

Esto se traduce en la l expresión

B=K

I r

dondee K es una co onstante caraccterística del medio m que tien ne como unidad en el SI el tesla.m/amperio, aunque se preefiere escribir k como k = μ/2π, denominando μ com mo permeabilidad magnéticca, que en el vacío, posee un valor μ0 = 4π.10-7 T.m/ampeerio. De esta forma, la anterior expresión puede esccribirse como

B=

μ I 2π r

que reecibe el nomb bre de ley de Biot-Savart, B en n donde r representa la disttancia al pun nto en donde se quiere deteerminar el cam mpo magnéticco producido por la corriente Y. Si en lugar de exisstir una sola corriente recttilínea hubiese e varias, el campo c ante sería la suma VECTOR RIAL del campo o que crea cada una de ella as. resulta agnético perpendicular al p papel y que penetra en él. Normalmente, se suele representar con un ⊕ el campo ma do el campo magnético que se quiere reepresentar es perpendicular p , pero saliend do del papel, se escoge el Cuand símbo olo ~ Si se ha observado el pié de página anterrior, o simple emente record damos que lass cargas eléctricas producen campos eléctricos y un campo c magnéético si ADEM MÁS están en movimiento, m es e fácil repara ar en el hecho de que am mbos campos son una prop piedad fundamental de la a materia, y resulta más apropiado usar u el términ no de campo o electromagn nético para deescribir la situ uación física que implica las cargas en e movimientto. Otra prop piedad ue dos obserrvadores en movimiento m re elativo fundamental es qu

Q7. U Un cable conducctor, recto e ind definido, por el que circula c una corrriente de 20 A, A está situado sobree el eje OY, en eel vacío. La corriente circula en el sentido de las YY positivas. Calccula el campo magn nético creado por este cond ductor en los punto os (2,2,0), (0,0,5 5) y (3,0,3) adm mitiendo que se trabaaja en el S.I.

1

En reallidad este estudio requiere, r para un traatamiento riguroso,, del cálculo integraal. Aquí vamos a exponer, e fundamenttalmente, un desarro ollo experimental, aunque fueron los trabajos de Ampère y Laplaace los que permitieeron definir el camp po magnético que “ccrea” una carga Q een movimiento med diante la expresión

v Q. v v v B = K m 2 ut ∧ ur r

en donde ut y ur son s DOS vectores unitarios u en la direccción de la velociddad y en la direccióón de la posición deel punto en el que

calculam mos el campo, respeectivamente, y Km es e una constante quee en el SI vale 10-7 7 U.I. Frecuentemennte se la suele escribbir como Km = μ/4 4π donde μ es otra

r v μ Q.v v v v B = 0 • 2 u t ∧ u r = μ 0 · ε 0 ·vu r ∧ E 4π r

constantte, denominada perm meabilidad magnétiica del medio, y en el vacío, μ0 = 4π.1 10-7 U.I., con lo que que nos estaablece una relación sumamente s interesaante entre los campoos eléctrico y magnéético creados por unna carga en movimiiento para una v << c (velocidad de la luz)

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miden n velocidades diferentes dee la carga elééctrica en mo ovimiento y, por p lo tanto, también mide en diferentes campos magnéticoss. En otras palabras, los campos magnétticos dependen del movimieento relativo entre la carga o Es importante reseñar que a medida qu ue la partícula a se mueve llleva consigo sus campos y el observador. eléctriico y magnéticco. Así, un ob bservador que ve la partícula en movimieento mide cam mpos eléctrico y magnético que cambian con el e tiempo a medida que la partícula se acerca a y se aleeja del observvador, pero un n observador c sólo mide m un camp po eléctrico constante. c (Reelatividad de los campos en reposo con resspecto a la carga magnéticos)

6.2 Ca ampo magnéttico creado po or una espira.. Acaba amos de imag ginar y calcular el campo magnético prod ducido por una a corriente recctilínea. Pero, ¿qué sucede si tal corriente c no es e recta, esto es, e ¿qué sucederá con el campo magnéttico si “doblamos” el hilo hasta h hacerlo circula ar y formar así una espira? Si tenemos presentee las líneas de fuerza del campo c que crea un conducctor rectilíneo (y deducibles por la regla del tornillo) e imagiinamos ahora “doblado” el conductor ha asta obtener la a espira, cabe suponer que en el interior de éstta habrá una mayor densida ad de líneas de d fuerza que en el exterior,, por lo que cabe esperar que q el campo magnético se refuerrce en el interior y se debilitte en puntos externos de la espira. De estta forma, podrremos utilizar espira as para genera ar en su interio or un campo magnético m inte enso. c del va alor del camp po en cualqu uier punto alrrededor de la a espira es un u problema Sin embargo, el cálculo excesiivamente complejo para estte curso y aceptaremos los siguientes s resu ultados: • •

La direcció ón y sentido del campo magnético que crea una espira a en su interio or, depende del sentido de circulación n de la corrien nte y se obtiene aplicando la a regla del torrnillo. El valor deel módulo del campo en un punto P situado en el eje de d la espira ressulta ser

μ

r2 2 R3 dondee r es el radio o de la espira a y R la distan ncia desde cu ualquier elemeento de corrieente de la esp pira al punto consid derado. B=

I

Por lo o tanto, en el punto p central de d la espira, R = r, y queda ará que

B=

μI 2 r

6.3. C Campo magné ético creado p por un solenoiide o bobina.

Q8. Calcular el veector campo magnético producido por una esp pira de corriente e situada en el vacío por la que circu ula una intensidad de 10 A y cuyo centro está situad do en el punto (0,0,0) en los puntos A A(0,3,0); B(0,0,0 0) y C(0,‐2,0) si e el radio de la espira ees de 1 m

Un so olenoide es, simplemente, s un conjunto de d espiras. Ess de espera ar que si en lugar de una sola s espira, situamos varias, el campo magnético resultante dee todas ellas sea la suma a de cada uno de los campos c indiviiduales, con lo que el cam mpo magnético se refueerza. Ademáss, cuanto más apretadas (esto es, mayyor número d de espiras po or unidad de longitud) se hallen las espiras, más intenso será el campo en n el interior deel solenoide. En un punto inteerior del solenoide situado sobre su u eje y lo suficieentemente alejado de los exxtremos, el campo magnéticco adquiere el módulo N B = μ. I L dondee N representa a el número de espiras, y L la longitud de el solenoide. Esta expresión e noss confirma el hecho antess comentado de que el campo magnético aumenta “conforme má ás apretadass estén las espira as”.

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E L E C T R O E S T Á T I C A y M M A G N E T I S M M O. Tema 2.

El asp pecto que ado opta el campo o magnético que crea un so olenoide coinccide con el campo creado por p un imán, por lo o que en cierto o sentido, pueede incluso ha ablarse de carra norte y cara a sur de un so olenoide o inccluso de cara norte y cara sur de una espira. Un so olenoide, por lo tanto, nos proporciona p campos magné éticos intensoss y prácticameente uniformess. Ese campo magnético en el in nterior del solenoide puedee modificarse alterando el medio (ya qu ue depende de d μ). Así, si introducimos una barra b de hierro entre las esspiras del sole enoide, al ser la permeabilidad magnéticca del hierro unas 2000 2 veces superior a la del d vacío, el ca ampo en el in nterior del soleenoide será 2000 veces má ás intenso. El dispossitivo que perm mite esto se deenomina electtroimán. Al com mparar las líneeas de fuerza a del campo magnéttico producido por un imá án y por un solenoide (o bob bina) se ob bserva que, cualitattivamente, son iguales. Essta analogía, junto con los rresultados anteriormente a comenttados sobre a atracción y rep pulsión entre espiras e imanes, n nos hace pen nsar que los algún modo, igual i que las imaness poseen, de a bobinas, numerosas corrientes circculares en su interiorr. Teniendo presente lo os modelos atómico os clásicos, en que loss electrones circula an alrededor del d núcleo, po odríamos imag ginar que esass son las corrientes circularees a las que nos referimos. Pero hay h otra posib bilidad: consid derar el espín de giro de lass partículas atómicas cargadas. Hay susta ancias en las que podemos p adm mitir que el mo ovimiento con njunto orbital de los electro ones de sus m muchos átomos, están de alguna manera, accoplados. De este e modo, sig gue en pié la idea de que las cargas elééctricas en mo ovimiento son las creeadoras de los campos mag gnéticos. Q9. Un U solenoide de 20 cm de lo ongitud y 20 cm m2 de sección está formaado por 100 esspiras y es reco orrido por una corriente de 10 1 A. Deterrminar: A) El cam mpo magnético creado por cad da una de las esp piras en su centro; B) El campo creado p por el solenoide en un punto d de su eje su uficientemente aalejado de los extremos; C) El ccampo creado por el solenoide si se introd duce en su interrior una barra de hierro dulce, ccuya ‐3 permeabilidad magnética es 10 T.m m/A Q10. ¿Cómo se orieenta una brújula al situarla en el interior de e un solenoide?

7 ACCIÓ 7. ÓN DEL ELÉCT TRICAS

CAMPO

MAG GNÉTICO

SOBRE E

CORR RIENTES

Hasta aquí hemoss estudiado la as características del cam mpo magnético creado po or corrientes o cargas en movim miento. Ahora nos ocuparemos de estudiar el efecto que q esos camp pos magnético os pueden pro oducir en las corrientes o en las cargas c móviles. Algunas situ uaciones ya la as hemos aborrdado.

7.1. A Acción del cam mpo magnéticco sobre una c carga en movimiento. Es rep pasar lo que ya a se ha dicho. Ya qu ue la corrien nte más simple que podemos considerrar consiste en e una carga a en movimie ento, hemos comenzado nuestro o estudio por aquí y nos ayudó a definir el propio cam mpo magnético o al hablar y establecer la denom minada Fuerza a de Lorentz, como fuerza que actúa so obre una carg ga móvil que penetra en ell seno de un campo magnético:

v v v F = q. v ∧ B .

La priincipal conseccuencia que se s deriva de este e hecho ess que al ser la fuerza de LLorentz perpen ndicular a la velocidad con se mueve m la carga, no modificca el módulo de la misma, sino sólo su dirección. Por lo tanto, la trayecctoria de la ca arga, cuando penetra en el interior del campo c magnéético, se verá curvada, dep pendiendo tal curvattura del valor del campo y de d la velocidad de la partícula, como ya se ha venido comentado an nteriormente. En general, para esstas situacionees de trayectorria curva cerra ada podremos escribir que sse cumple:

m

m. v v2 = q. v. B ⇒ r = q. B r

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El sentido de giro dependerá del signo de la carga, y dado que F es perpendicular a v, esa fuerza NO realiza trabajo, ni introduce variaciones en la energía cinética de la carga, sólo la cambia de dirección. Las aplicaciones prácticas de la fuerza de Lorentz son muy numerosas. Entre ellas hay que destacar el espectrógrafo de masas, las experiencias de Thomson para determinar la relación carga/masa del electrón, el acelerador de partículas, denominado ciclotrón, etc..

ESPECTRÓGRAFO DE MASAS. Una aplicación importante. El espectrógrafo fue ideado por Aston en 1919. Se utiliza para medir la relación carga/masa de los distintos iones de los diferentes elementos químicos. Consiste en un dispositivo como el representado en la figura. Los iones emitidos por la fuente son acelerados, debido a la diferencia de potencial V que existe entre la fuente y la zona del campo magnético, de modo que penetran en la región del campo con cierta velocidad. Esta velocidad depende de la ddp (V), ya que es el campo eléctrico el que aporta la energía cinética del ión:

1 2 mv = q.V 2 Una vez ha penetrado el ión en la región del campo magnético, su trayectoria se curvará debido a la fuerza de Lorentz, e impactará en el punto P, situado a una distancia x del lugar de entrada, tras describir una semicircunferencia cuyo radio será r = x/2. Se cumplirá por lo tanto que:

r=

m. v m B 2 .r 2 ⇒ = q. B q 2.V

que nos permite determinar la relación carga/masa del ión si se conoce el campo magnético, la ddp y el radio de la curvatura. En todos los casos citados, la carga se mueve inicialmente en dirección perpendicular al campo. Si esto no fuera así, podríamos descomponer el vector velocidad en dos componentes: una paralela al campo y otra perpendicular a él, tal y como ya se ha comentado antes. La componente paralela de la velocidad no se ve afectada por la fuerza de Lorentz, por lo que el movimiento en esa dirección será rectilíneo y uniforme, en cambio, la componente perpendicular se verá curvada. El efecto conjunto de la trayectoria será una “espiral de rizos uniformes”. Si además el campo magnético no fuera uniforme, sino que, por ejemplo, aumenta en la dirección en que se mueve la carga, la curvatura de la trayectoria será más pequeña (según aumenta el campo) describiendo entonces la partícula una trayectoria helicoidal, de forma que el radio de la hélice va decreciendo.

Q11. Un electrón se mueve en una órbita circular de 50 cm de radio, sometido a la acción de un campo magnético uniforme, perpendicular al vector velocidad y de 10‐3 T de intensidad. A) Calcular la velocidad del electrón y su energía cinética, expresada en eV (1 eV = 1,6.10‐19 J) B) Determinar el periodo de su movimiento orbital y la variación de energía cinética al cabo de ese periodo (me = 9,1.10‐31 kg, q = ‐1,6.10‐19 C) Q12. A. Un electrón y un protón se mueven con la misma velocidad. Al penetrar en un campo magnético, ambos curvan su trayectoria en sentidos opuestos. ¿Quién curvará más su trayectoria? ¿Por qué? B. Determinar la fuerza magnética ejercida por el campo magnético terrestre sobre un protón de los rayos cósmicos que se mueve en el plano ecuatorial (perpendicular al campo magnético terrestre) y compararla con su peso. Datos: B cerca del ‐5 7 ‐27 ecuador = 1,3 ∙ 10 T; vp = 10 m/s; mp = 1,6 ∙ 10 kg

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7.2. Acción del campo magnético sobre una corriente rectilínea Una corriente eléctrica no es más que un conjunto de cargas en movimiento, por lo que podremos ampliar nuestro estudio anterior para el caso de la acción del campo magnético sobre una corriente. Vamos a suponer una corriente I que circula por un conductor de cierta longitud que se halla en el seno de un campo magnético uniforme B. Originalmente, el conductor forma un determinado ángulo con las líneas paralelas del campo magnético. Como sabemos, sobre cada una de las cargas que se mueven por el conductor, actúa una fuerza cuyo módulo viene dado por F = q.v.B sen α, donde α es el ángulo que forman la velocidad de las cargas y el campo magnético. Vamos a admitir que el conductor posee una sección S y una longitud L y en donde hay localizadas un

v

determinado número de cargas por unidad de volumen, n, las cuales se mueven con igual velocidad v . El número total de cargas que existen en un tramo del conductor de esa longitud L será: N = n.S.L. por lo que la fuerza total que actúa sobre ellas tendrá, de módulo: FT = N.F = N.q.v.B.sen α = n.S.L.q.v.B.senα Por otro lado, recordaremos que la intensidad de corriente quedaba definida como I = Q/t, por lo que Q = I.t. Sin embargo, si seguimos considerando nuestro elemento de conductor que posee un número n de cargas por unidad de volumen, la carga total, Q, podrá escribirse como Q = q.x.S.n siendo x.S el volumen elemental en donde están localizadas las n cargas. De esta forma,

q. n. S . x = q. n. S . v t pues x/t representa la velocidad (rapidez) con que se mueven las cargas en el conductor. I=

Así las cosas, la fuerza que actúa sobre el conductor tiene de módulo: F = I.L.B sen α, pero esta expresión se corresponde con el módulo del producto vectorial:

v v v F = I. L ∧ B donde el vector L tiene el mismo sentido que la intensidad de corriente. Esta última expresión se conoce con el nombre de ley de Laplace. Una consecuencia interesante de la expresión anterior es la atracción o repulsión que existe entre dos líneas de corriente paralelas. Ello se debe a que, como sabemos, cada una crea un campo magnético que actuará sobre la otra, y como consecuencia de la ley de Laplace, aparezca una fuerza entre ambas (sobre cada una de ellas: acción/reacción). Como resultado de estas fuerzas, las líneas se atraen o repelen según el sentido de la corriente que circula por ellas. Volveremos sobre esto un poco más adelante.

Q13. ¿Es posible que sobre un conductor rectilíneo por el que circula una corriente, situado en el interior de un campo magnético, no actúe ninguna fuerza? Q14. Un conductor de 10 cm de longitud está situado sobre el eje OX. Por el mismo circula una corriente de 5 A, dirigida hacia las x negativas. En la región en la que se sitúa el conductor existe un campo magnético uniforme de módulo 0,01 T, dirigido según OZ, en el sentido de las z crecientes. A) Hallar el valor de la fuerza que actúa sobre el conductor. B) Igual si el campo es paralelo al plano XZ y forma un ángulo de 60º con OZ. C) Lo mismo si el campo tiene la dirección del eje X

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7.3. Acción de un campo magnético uniforme sobre una espira rectangular de corriente. Momento magnético. Imaginemos una espira rectangular inserta en un campo magnético uniforme y por la que circula una corriente de intensidad I. Supongamos que dos de los lados, bc y da tienen de longitud l1 y su dirección es perpendicular a la de las líneas de fuerza del campo magnético; los otros dos lados ab y cd tienen de longitud l2 y su dirección forma un ángulo β con una dirección perpendicular a la de las líneas del campo (ver figura). La fuerza magnética sobre cada uno de los lados de la espira puede obtenerse aplicado la ley de Laplace por tratarse de corrientes rectilíneas. De esa forma, las fuerzas Fab y Fcd sobre los lados ab y cd son del mismo módulo y dirección, pero de sentidos opuestos, por lo que su resultante es nula. Del mismo modo, las fuerzas Fcd y Fda sobre los lados bc y da también poseen el mismo módulo y opuestos sentidos, por lo que igualmente su resultante también es cero. Pero hay una diferencia muy importante con respecto a las otras dos y es que las direcciones de Fbc y Fda son paralelas por lo que constituyen un par de fuerzas.2 Representado por /F/ el módulo de cualquiera de estas dos fuerzas, el momento de dicho par vale, en módulo:

v v M = F l2 sen β

La dirección y sentido de M vienen dados por la regla del “sacacorchos” (en el caso de la figura, la dirección sería vertical y el sentido hacia arriba). Como la dirección de la corriente que circula por los lados bc y da es perpendicular a la dirección del campo, el módulo de la fuerza magnética sobre cualquiera de esos lados será:

Vist a superior

Fda a

v v F = Il1 B

que sustituyendo en la expresión anterior:

β

v v v v M = I . l1l2 B sen β ⇒ M = IS B sen β donde S representa la superficie de la espira. Este momento, tiende a girar la espira de modo que su plano resulta perpendicular al campo.

b Fbc

S

Si representamos la superficie S mediante un vector perpendicular a la superficie, de módulo su valor y sentido dado por la regla de la mano derecha aplicada a la corriente circulante, podremos escribir que:

v v v M = I ( S ∧ B)

Dado que el vector IS se lo conoce con el nombre de momento dipolar magnético, m, podemos escribir que

v v v M =m∧ B

Así, el efecto del par de fuerzas de momento M sobre la espira de corriente, es provocar un giro que tiende a orientarla de modo que se coloque perpendicularmente a la dirección de las líneas del campo magnético. En esa posición, el momento dipolar tiene la misma dirección que el campo, por lo que el momento M es cero, y como la fuerza total sobre la espira también es nula, se habrá alcanzado el equilibrio. Aunque las ecuaciones anteriores se han obtenido para una espira rectangular, también son aplicables para espiras de cualquier otra forma. Si se trata de n espiras iguales, superpuestas y con el mismo sentido e intensidad de la corriente, los momentos de cada una de las espiras tienen el mismo módulo, dirección y sentido, por lo que el momento total se obtiene como suma de los momentos de cada una de las espiras, es decir:

v v v M = n( m ∧ B )

2 Cuando sobre un cuerpo actúan dos fuerzas iguales en módulo, de opuestos sentidos y direcciones paralelas, ese cuerpo tiende a girar. Esta situación frecuente se estudia en física mediante la magnitud MOMENTO. El momento, de un par de fuerzas queda definido como el producto vectorial de una de ellas por la distancia que las separa. En realidad, esta magnitud es un caso particular del MOMENTO de una fuerza respecto de un punto.

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PROBLEMAS DE SÍNTESIS 1. ¿En qué dirección ha de moverse un electrón en el interior de un campo magnético para que la fuerza que éste ejerce sobre él sea nula? ¿Y un protón? 2. Determinar la rapidez con que se mueve un electrón en el interior de un campo magnético de 1 T dirigido hacia las X crecientes, si sobre el mismo actúa una fuerza que resulta ser la máxima posible, de módulo 10‐10 N. Tal fuerza está dirigida hacia las Z decrecientes. 3. Por un conductor recto y muy largo circula una corriente de 100 A. Calcula el campo magnético que crea en puntos situados a 10, 20, y 100 cm de distancia del centro del conductor. 4. Determinar el campo magnético que crea en su centro una espira cuadrada de 3 m de lado, (situada en el vacío) por la que circula una corriente de 1 A. La espira está situada en el vacío. Considerar cada lado como un conductor recto e indefinido. 5. Un alambre recto e indefinido, situado en el vacío y por el que circula una corriente, crea en un punto a 10 cm del mismo, un campo magnético de 6.10‐5 T. Calcular la intensidad de corriente que circula por el alambre. 6. SELECTIVIDAD, JUNIO DE 1996 (Andalucía) Dada la ecuación F = q ∙ E , a) indicar qué fenómeno físico representa y qué significa cada símbolo. b) escribir una ecuación análoga para el campo gravitatorio, indicando también el significado de cada símbolo. 7. Con intención de determinar el campo magnético (uniforme) que existe en una zona del espacio, se lanza un electrón con una velocidad de 2.108 m/s en diferentes direcciones, observándose lo siguiente: * Cuando se mueve en el sentido de las Y crecientes, el electrón no se desvía. * Cuando se mueve en el sentido de las Z crecientes, la fuerza sobre el electrón es de 10‐9 N dirigida hacia las X positivas. Determina: A) el valor del campo magnético, indicando su dirección y sentido; B) El valor de la fuerza que actúa sobre el electrón, cuando se mueva en el sentido de las X crecientes. 8. Un electrón se mueve en una órbita circular de 50 cm de radio, sometido a la acción de un campo magnético uniforme, perpendicular al vector velocidad y de 10‐3 T de intensidad. Calcula: A) la velocidad del electrón y su energía cinética, ‐19 expresada en eV; B) el periodo de su movimiento orbital. (1 eV = 1,6.10 J) 9. Un electrón que se mueve en el sentido positivo del eje OX con una velocidad de 25000 m/s penetra en una región en la que existe un campo magnético de 5 T dirigido en el sentido negativo del eje OZ. Calcular: a) aceleración (vector) del electrón; b) radio de la órbita descrita y periodo orbital. (Buscar los datos necesarios) 4 ‐1 10. Un electrón con velocidad de 10 ms en el sentido positivo del eje OX penetra en una región en la que existe un campo magnético de 0,5 T en el sentido positivo del eje OZ. Calcular: a) la ddp necesaria para que el electrón adquiera la energía cinética inicial; b) campo eléctrico que hay que aplicar para que el electrón mantenga rectilínea su trayectoria (Sol.: a) 284 μ V; b) 5000 j N/C) 11. Por una espira rectangular de 10 x 20 cm, situada en el plano XY, circula una corriente de 5 A en el sentido horario. Se aplica un campo magnético de 2 T dirigido en el sentido positivo del eje OY. Calcular: a) la fuerza magnética sobre cada lado de la espira; b) momento sobre la espira. 235 238 12. Uno de los procedimientos para separar los isótopos U y U se basa en la diferencia en el radio de sus trayectorias en un campo magnético. Suponer que átomos de U simplemente ionizados parten de una fuente común y se mueven perpendicularmente a un campo magnético uniforme. Encontrar la máxima separación de los haces cuando el radio de 235 curvatura del haz de U es de 0,5 m en un campo de 1,5 T: a) si las energías son las mismas; b) si las velocidades son las mismas (Suponer que las masas atómicas, expresadas en uma, coinciden con sus respectivos números másicos). 13. Un electrón parte del reposo y es acelerado por una ddp de 100 V. Si, con la velocidad que adquiere, penetra en un campo magnético perpendicularmente a la dirección del campo, ¿qué radio de órbita describirá? El campo magnético es de 5 gauss.

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14. Una carga positiva de 5 mC se mueve con una velocidad dada por la expresión

v v v v = 5i − 5k

en el interior de un campo magnético

v v v v B=i +2j −k Deducir la fuerza que actúa sobre dicha carga.

15. Calcular la fuerza que ejerce sobre un conductor rectilíneo de 0,15 m de longitud, un campo magnético perpendicular a él, de 1,2.10‐4 T, siendo 5 A la intensidad de corriente que lo recorre. 16. Por un conductor recto, dirigido a lo largo del eje OY, circula en el sentido positivo de ese eje, una intensidad de corriente de 20 A. Calcular la fuerza que el campo magnético

v v v B = 2i + 3k

ejerce, por unidad de longitud, sobre dicho conductor. 17. La energía cinética de un electrón vale 6.10‐16 J. Ese electrón penetra perpendicularmente a las líneas de inducción de un campo magnético de 0,004 T. Determina el radio de la trayectoria que describe el electrón. 18. En un mismo punto de un campo magnético dejamos en libertad un protón y un electrón, dotados con la misma velocidad, perpendicular a las líneas del campo. Deducir la relación que existe A) entre los radios de las órbitas que describen; B) entre los periodos de las mismas. 19. Una bobina está formada por 100 espiras de alambre, cada una de 3 cm de radio. Por ella circula una corriente de 2 A y está situada en el interior de un campo magnético uniforme de 0,01 T. Determinar el valor del momento del par de fuerzas que actuará sobre la bobina en los siguientes casos: A) cuando el momento magnético de la bobina forme un ángulo de 0° con la dirección del campo; B) cuando el ángulo sea de 60°; C) cuando forme 90°. 20. Calcula el valor del par máximo que se ejerce sobre una bobina formada por 1000 espiras de 0,5 cm de radio, por la que circula una corriente de 1 A, al situarla en el interior de un campo magnético uniforme de 0,1 T. 21. (SELECTIVIDAD LOGSE. JUNIO DE 1999) Dos partículas cargadas se mueven con la misma velocidad y, al aplicarles un campo magnético perpendicular a esa velocidad, se desvían en sentidos contrarios y describen trayectorias circulares de radios distintos. A) ¿Qué se puede decir de las características de estas partículas? B) Si en vez de aplicarles un campo magnético se les aplica un campo eléctrico paralelo a su trayectoria, indica razonadamente, cómo se mueven las partículas. 22. DE SELECTIVIDAD. JUNIO 2001. Una partícula cargada penetra en un campo eléctrico uniforme con una velocidad perpendicular al campo. A) Describa la trayectoria seguida por la partícula y explique cómo cambia su energía; B) Repita el apartado anterior si en vez de ser un campo eléctrico fuera un campo magnético.

8. FUERZA MAGNÉTICA ENTRE DOS CORRIENTES RECTILÍNEAS INDEFINIDAS

I1 I2 ut

ut

F2,1

En una ocasión se señaló que una de las experiencias que confirma que el magnetismo tiene su origen en cargas eléctricas en movimiento, era el de hacer circular corrientes conductoras paralelas y observar el efecto de atracción o repulsión que se produce entre ellos. Ahora vamos a conocer más a fondo ese efecto en el caso de

B 1 corrientes rectilíneas. Para ello, consideremos dos conductores F1,2

B2

rectilíneos muy largos y paralelos, de longitudes L1 y L2 y por los que circulan corrientes de intensidades I1 e I2 , respectivamente y separadas una distancia a. Como por el conductor rectilíneo L1 circula una corriente de intensidad I1, ese conductor crea un campo magnético cuya intensidad en un punto situado a cierta distancia a viene dada, según vimos, por la expresión

a

B1 =

μ0 I 2π a

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cuya dirección es, como sabemos, tangente a la circunferencia de radio a y cuyo sentido es el que indica la punta de los dedos de la mano derecha. Este campo magnético ejerce una fuerza sobre la corriente I2 que circula por el conductor L2 cuyo valor, como sabemos, es:

v v v v v F21 = I 2 L2 ∧ B1 = I 2 L2 (ut ∧ B1 )

cuya dirección es perpendicular tanto a B1 como a L2, que a su vez, son perpendiculares entre sí, y su sentido es hacia el conductor L1. (Ver figura anterior). El módulo de esta fuerza vale, por lo tanto, F = I2L2B1, y sustituyendo el valor del módulo del campo:

v v μ0 I 1 F = I 2 L2 B1 = I 2 L2 2πa El valor de la fuerza por unidad de longitud f21 = F21/L2 para ese conductor es: μI I 2 L2 0 1 v v 2πa = μ 0 I1 I 2 ( N / m) f 21 = F21 / L2 = L2 2πa Resulta fácil deducir que, por cada unidad de longitud del conductor L1, actúa otra fuerza f12 cuyo módulo y dirección coinciden con los de f21 pero en sentido opuesto. El resultado obtenido indica que dos corrientes rectilíneas paralelas del mismo sentido se atraen con una fuerza que, por unidad de longitud, es directamente proporcional al producto de sus intensidades e inversamente proporcional a la distancia que las separa. Si las corrientes son “antiparalelas”, tal fuerza será de repulsión (estudiar esta situación).

Q15. Por un cable de longitud indefinida y horizontal, circula una corriente de 100 A. Se coloca paralelamente a él y por encima, un alambre de densidad lineal 8 g/m por el que circula una corriente de 20 A ¿A qué altura quedará suspendido este alambre por la repulsión magnética? (Despreciar la sección de los alambres). Q16. Un topógrafo está utilizando una brújula 7 m por debajo de una línea de alta tensión que lleva una corriente de 100 A. 1) ¿Alterará esta corriente la lectura de la brújula? ¿En qué caso?; 2) En el supuesto de que la alterara, determinar el ángulo que desviará la brújula, suponiendo que la línea de corriente tuviera dirección NS y que la componente horizontal del campo magnético terrestre sea 0,2 gauss aproximadamente. (Suponer la experiencia en el vacío) Q17. Calcula la fuerza que se ejercen entre sí dos cables de conducción eléctrica que transportan 1500 A, (a una ddp cte. de 105 V), entre dos postes separados 50 m si la distancia entre los cables es de 1 m.

8.1. Definición Internacional de Amperio. Suele ser bastante frecuente definir las distintas magnitudes eléctricas tomando como base la carga. Sin embargo, en el Sistema Internacional de unidades, la carga eléctrica NO es magnitud fundamental, sino la intensidad de corriente. La definición de amperio, que es la unidad de intensidad de corriente en el S.I., se basa en el efecto de atracción (o repulsión) entre corrientes rectilíneas paralelas: Amperio es la intensidad de una corriente eléctrica rectilínea e indefinida que ejerce una fuerza de 2.10-7 N sobre cada metro de otra corriente igual y paralela, situadas ambas en el vacío y separadas 1 metro. Si en la última ecuación despejamos la permeabilidad magnética μ0 y tomamos I1 = I2 = 1A, la distancia a = 1 metro y f = 2.10-7 N/m, resultará: v 2π .2.10 − 7 m N 2πa f m = 4π 10 − 7 N / A 2 μ0 = = I1 I 2 1A 2 que es el valor ya conocido para la permeabilidad magnética en el vacío.

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9. FLUJO MAGNÉTICO y CORRIENTES ALTERNAS. De la misma manera a como se hizo con el campo eléctrico (e incluso con el gravitatorio) podemos definir el concepto de flujo de un campo magnético a través de una superficie, que de acuerdo con lo entonces hablado, quedará definido como:

v v Φ = ∫ B. dS S

La unidad de flujo magnético es el weber (wb). Un weber es el flujo de un campo magnético uniforme de un Tesla a través de una superficie de un metro cuadrado colocada perpendicularmente a la dirección de las líneas del campo. Wb = T · m2 = kg.m2.s-1 C-1 = kg.m2.s-2.A-1 De esta definición resulta claro que 1 T = 1wb/1m2 con lo que la intensidad del campo magnético se puede expresar también en Wb/m2 en lugar de T. Según el teorema de Gauss visto para el campo eléctrico, el flujo de un campo eléctrico a través de una superficie cerrada era igual al cociente q/ε. Sin embargo, en el campo magnético no “hay unidades magnéticas individuales”, por lo que se admite como postulado fundamental que el flujo del campo magnético a través de cualquier superficie CERRADA es siempre nulo. Por lo tanto, la ecuación para el flujo magnético puede terminarse así:

v v Φ = ∫ B. dS = 0 S

que será la ecuación equivalente al teorema de Gauss del campo eléctrico. Siguiendo con nuestro desarrollo, ya se ha apuntado que el magnetismo tiene su causa en corrientes eléctricas en movimiento. Podremos ahora preguntarnos si es posible generar una corriente eléctrica a partir de un campo magnético. Hacia 1830, el inglés Michael Faraday (1791-1867) y el norteamericano Joseph Henry (1797-1878) descubrieron casi simultáneamente y de forma independiente el fenómeno de la inducción electromagnética: los campos magnéticos, bajo ciertas condiciones, son capaces de generar corrientes eléctricas, por lo tanto, campos eléctricos. En principio, todo el trabajo de Henry y Faraday iba dirigido a detectar corrientes eléctricas en un circuito. El aparato que se utiliza para ello es el galvanómetro3. Si en las cercanías de un imán en reposo hay una espira (o una bobina) a la que se la ha conectado un galvanómetro, éste no detecta el paso de corriente mientras se mantienen inmóviles ambos elementos: espira e imán; y esto independientemente de la superficie de la espira, de la “potencia” del imán y de las distancias relativas entre ambos. Esto indica, por lo tanto, que la mera presencia de un campo magnético estático NO genera corriente eléctrica. En cambio, si manteniendo en reposo la espira acercamos el imán, el galvanómetro registra una corriente en la espira al desviarse su aguja del cero; si ahora alejamos el imán, la aguja del galvanómetro vuelve a desviarse pero ahora hacia el otro lado de la escala. Esto significa que la corriente que circula por la espira al mover el imán tiene un sentido que depende de que lo acerquemos o lo alejemos de la espira (En realidad, también depende de que el polo del imán que acerquemos sea el N ó el S). 3

El fundamento del galvanómetro tiene también su orígen en el efecto magnético sobre muchas espiras superpuestas (bobina). En esencia, consiste en una bobina que se enrrolla alrededor de un núcleo de hierro que puede girar sobre un eje y que se encuentra en el seno de un campo magnético. Unida al eje hay una aguja que puede señalar sobre una escala y un resorte elástico, que cuando no circula corriente por la bobina, mantiene la aguja sobre una determinada posición de la escala (cero). Cuando la bobina es recorrida por una corriente, el momento producido por el campo magnético, tiende, como sabemos, a situarla perpendicularmente a la dirección de las líneas del campo, pero eso significa que el resorte se retuerce. Cuando se igualan el momento magnético de la bobina con el momento elástico del resorte, se alcanza la situación de equilibrio y la aguja señala la correspondiente posición en la escala.

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Si mantenemos en reposo el imán y movemos la espira, se registra también una corriente, en forma análoga a la que se producía al mover el imán. Si sustituimos el imán por otra bobina recorrida por una corriente y la dejamos en reposo respecto a la espira detectora (la conectada al galvanómetro), NO se registra corriente alguna, pero si acercamos o alejamos la bobina con corriente, igual que antes, el galvanómetro registra paso de corriente. Estos efectos de corriente en el galvanómetro, no se producen si estando móviles los elementos participantes (espira e imán o bobina) éstos mantienen fijas sus distancias relativas (recordar el carácter relativo del movimiento). Si mantenemos fijas las distancias relativas entre los elementos, hacemos rotar la espira detectora, el imán, la bobina con corriente, o ambos, también se genera corriente. Hay otro caso interesante en donde se detecta paso de corriente en el galvanómetro que la controla. Es aquél en que estando ambos elementos en reposo (bobina conectada al galvanómetro y bobina productora del campo), la intensidad de la corriente que recorre la bobina varía con el tiempo (por ejemplo, al conectar o desconectar el generador). En ese caso, se genera una corriente en la espira detectora, sin que haya sido preciso ningún tipo de movimiento. A las corrientes que se generan debido a las condiciones anteriores, se les conoce con el nombre de corrientes inducidas, y al conjunto de estos fenómenos que acabamos de ver, se los denomina fenómenos de inducción, que demuestran que los campos magnéticos, bajo ciertas circunstancias son capaces de generar corrientes eléctricas.

9.1. Origen de la corriente inducida. Ley de Henry‐Faraday. La genialidad de los trabajos de Henry-Faraday consistió, en parte, en percatarse del hecho común a todas las experiencias anteriores. No es sólo el hecho de la existencia del campo magnético para explicar la existencia de la corriente inducida, sino que en todos los casos anteriores, hay una variación del flujo magnético con el tiempo, a través del circuito en el que aparecen esas corrientes. En nuestro caso, si consideramos como superficie la de la espira detectora, podemos apreciar, cómo en todas las situaciones antes comentadas, se produce una variación del número de líneas que cruzan la espira, y por lo tanto, una variación del flujo a su través. Cuando no existe el movimiento relativo entre el campo y la espira detectora, la variación del flujo se produce al conectar o desconectar el circuito que genera el campo. De este modo, el flujo se altera por modificarse el campo B. Cualitativamente, la ley de Henry Faraday puede enunciarse diciendo que siempre que el flujo magnético a través de un circuito varíe con el tiempo, aparecerán en él corrientes inducidas. Para cuantificar la ley de Henry-Faraday, ha de conocerse el valor de la corriente inducida, la cual varía dependiendo de la resistencia eléctrica de la espira. Por ese motivo, resulta más conveniente caracterizar la corriente por la fuerza electromotriz. De esta forma, la ley de Henry-Faraday (también conocida a veces como ley de Lenz-Faraday) para la inducción electromagnética puede enunciarse de la siguiente forma: “En todo circuito cerrado atravesado por un flujo de campo magnético variable con el tiempo, se induce una fuerza electromotriz cuyo valor es igual y de signo opuesto a la derivada del flujo con respecto al tiempo”

ε =−

]

dΦ dt

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9.2. Sobre el sentido de la fem inducida: ley de Lenz. El estudio cuidadoso de las experiencias de inducción anteriores, llevadas a cabo por Henry y Faraday, pone de manifiesto que el valor de la corriente inducida depende de la rapidez con que se varíe le flujo, y que el sentido en que esa corriente recorre la espira es diferente si el flujo del campo magnético a través de esa espira crece o disminuye. En todos los casos, se observa que el sentido de la corriente inducida es tal que se opone siempre a la variación del flujo del campo inductor a través de la espira; por tanto, si la variación del flujo es positiva, el sentido de la corriente es negativa y a la inversa. El propio signo negativo de la ley de Faraday indica cuál debe ser el sentido de la corriente inducida. Sin embargo, fue Lenz quien en 1834 describió dicho sentido de otro modo al enunciar la ley que lleva su nombre: “El sentido de la corriente inducida es tal, que se opone a la causa que la produce” Así sin más, la definición es demasiado concisa y precisa aclararse. Para ello imaginemos una situación como la representada en la última figura. Al acercar el imán a la espira, el flujo a través de ésta aumenta, ya que es mayor el número de líneas de fuerza que la cruzan. La ley de Lenz viene a decirnos que la corriente inducida en la espira ha de tener un sentido tal que se oponga a ese aumento de flujo. Como sabemos, al circular la corriente inducida por la La genialidad de los trabajos de Henry‐Faraday consistió, en percatarse del hecho común a espira detectora, ésta crea a su vez un campo magnético. Bien, todas las experiencias de inducción. No es sólo pues ese campo magnético creado ha de ser de tal naturaleza que SU FLUJO contrarreste el aumento de flujo debido al el hecho de la existencia del campo magnético para explicar la existencia de la corriente acercamiento del imán. Así pues, la ley de Lenz se reduce a afirmar que la corriente inducida tiende a mantener la situación establecida. Si intentamos aumentar el flujo a través de un circuito, se induce una corriente que tiende a hacer disminuir el flujo.

inducida, sino que en todos los casos, hay una variación del flujo magnético con el tiempo, a través del circuito en el que aparecen esas corrientes.

Q18. En la figura, se ha representado una espira rectangular con un lado móvil situada en el interior de un campo magnético uniforme como se ve en la figura. Deduce el sentido de la corriente inducida cuando se desplaza el lado móvil en la forma indicada.

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9.3. Autoinducción Hasta aquí hemos venido contemplando situaciones en las que existían dos circuitos (o un imán y un circuito): uno genera el campo magnético y en el otro se inducen las corrientes al variar el flujo que lo cruza. Sin embargo, es posible detectar fenómenos de inducción utilizando un único circuito. Veamos qué sucede en un circuito como el representado en la figura. La corriente que circula por el circuito, genera un campo magnético en la zona de su alrededor. Si por alguna razón variamos la intensidad de corriente (p.e. al encenderlo o apagarlo) también se modificará el campo magnético y consiguientemente el flujo que cruza la espira, según la ley de Faraday, lo que induce una corriente en el propio circuito. A esa corriente se la denomina corriente autoinducida y al fenómeno causante de ella, AUTOINDUCCIÓN. Supongamos que el circuito de nuestro ejemplo está provisto de un interruptor que inicialmente se halla abierto, por lo que no circula ninguna corriente por el mismo. En el momento en que cerramos el interruptor, el valor de la corriente varía hasta alcanzar cierto valor I que de acuerdo con la ley de Ohm, resulta valer I = ε /R, donde ε es la fem de la pila (de resistencia interna despreciable). Ahora bien, mientras la corriente varía desde cero hasta que alcanza su valor máximo dado por ε/R, el campo magnético que crea varía, por lo que se autoinduce una corriente que, según la ley de Lenz, ha de oponerse a la causa que la origina. Ya que esa causa es un aumento de la intensidad, la corriente autoinducida se opondrá a ese aumento y será, por lo tanto, de sentido opuesto a I; por lo tanto, deberá transcurrir cierto tiempo hasta que la corriente que circula alcance el valor ε/R previsto por la ley de Ohm. Si una vez estabilizada la corriente por el circuito, se abre el interruptor (desconectamos) la intensidad cae bruscamente hasta cero. Nuevamente la variación de intensidad se traduce en la aparición de una corriente autoinducida que se opone a ese cambio; sin embargo, al estar abierto el circuito, esa corriente NO circula, sino que origina una ddp entre los extremos del interruptor que, dependiendo del valor de la intensidad que circulaba y de la proximidad de dichos extremos, se manifiesta en forma de chispa eléctrica más o menos violenta. Por el circuito, al circular la intensidad I, sabemos que el campo magnético asociado es proporcional a esa intensidad. Por tanto, el flujo magnético también será proporcional a la intensidad de corriente, de modo que puede escribirse: Φ = L.I, siendo L el coeficiente de proporcionalidad. Este coeficiente depende sólo de las características geométricas del circuito y se denomina coeficiente de autoinducción (L). En el S.I. este coeficiente se mide en Henrios (H). Todo circuito posee cierto coeficiente de autoinducción, L, que depende de sus características geométricas.

Q19. Un circuito está formado por una lámpara conectada en paralelo a una bobina. Basándote en los fenómenos de autoinducción descritos anteriormente, indica qué sucederá con la luminosidad de la bombilla en los siguientes casos: A) el interruptor está abierto y se cierra; B) el interruptor está cerrado y se abre; C) El interruptor está cerrado y se introduce un núcleo de hierro en el interior de la bobina.

A partir de ahora, la autoinducción será otra característica más a considerar en los circuitos eléctricos que manejamos siempre que en ellos se produzcan variaciones en la intensidad de corriente. En esos casos (la intensidad varía con el tiempo), el flujo a través del circuito también variará y podrá escribirse según la ley de Henry-Faraday:

ε=−

dΦ d ( L. I ) dI =− = −L dt dt dt

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Q20. Calcula el coeficiente de autoinducción de una bobina de N espiras y longitud l. Q21. Calcular para una bobina de 400 espiras de 5 cm2 de área y 10 cm de longitud, cuánto debe variar la corriente para que aparezca una fem autoinducida de 10 V. (Sol.: unos ‐10 000 A/s) Q22. Dos bobinas con la misma sección y longitud, y construidas con el mismo tipo de conductor, sólo se diferencian en el número de espiras. A) ¿Cuál de las dos tiene mayor coeficiente de autoinducción?; B) Si una tiene el doble número de espiras que la otra, ¿cómo son sus respectivos coeficientes de autoinducción? Q23. El coeficiente de autoinducción de una bobina de 400 vueltas es de 8 mH. ¿Cuál es el flujo magnético que pasa por una espira de la bobina cuando la corriente es de 5 mA? Q24. La autoinducción de una bobina de 100 espiras muy próximas es de 0,01 H. Calcula el flujo magnético total a través de la bobina cuando la corriente es de 0,5 mA.

10. CAMPO comparaciones.

MAGNÉTICO

y

CAMPO

ELÉCTRICO:

A lo largo de este tema hemos venido presentando las principales características del campo magnético. Vamos a recordarlas al tiempo que las compararemos con las del campo electrostático estudiadas con anterioridad: •

La fuerza que ejerce un campo electrostático sobre una carga Q depende sólo de la intensidad de ese campo y del valor de la carga (recordar F = Q.E); en cambio, la fuerza que ejerce un campo magnético sobre una carga Q depende de la intensidad del campo, del valor de la carga y de la velocidad con que se mueva esa carga (recordar la ley de Lorentz). Un campo electrostático ejerce una fuerza sobre una carga tanto si ésta en reposo como si se mueve; pero el campo magnético sólo la ejerce si la carga está en movimiento y, aunque se mueva, puede que esa fuerza sea nula.

•

El campo electrostático realiza trabajo si una carga Q se desplaza entre dos puntos que estén a distinto potencial. En cambio, el campo magnético NO realiza trabajo ya que la fuerza magnética sobre una carga es perpendicular a la velocidad (o al desplazamiento), en cuyo caso el trabajo es nulo (recordar la definición física de trabajo). Como consecuencia de esto, si una carga se desplaza entre dos puntos de un campo eléctrico que están a diferente potencial, su energía cinética varía; por el contrario, la energía cinética de una carga que se mueve en un campo magnético permanece constante.

•

El hecho de que el campo electrostático sea conservativo, nos permitía asociar a la carga una energía potencial electrostática; sin embargo, no tiene sentido hablar de energía potencial magnética asociada a una carga, puesto que EL CAMPO MAGNÉTICO NO ES CONSERVATIVO.

•

El campo electrostático creado por una carga puntual en reposo tiene simetría esférica en torno a la carga, en cambio, el campo magnético creado por una carga en movimiento tiene “simetría de rotación” respecto de la dirección de movimiento de la carga. Las líneas de fuerza del campo electrostático son radiales y las superficies equipotenciales son esféricas y centradas en la posición de la carga. Las líneas del campo magnético son circunferencias perpendiculares a la dirección de movimiento de la carga y centradas en la recta correspondiente a esa dirección.

•

Las líneas del campo electrostático son abiertas, mientras que las del campo magnético son cerradas.

•

El flujo del campo electrostático a través de una superficie cerrada sólo es nulo sin la carga total contenida en el interior de esa superficie lo es; pero el flujo del campo magnético a través de una superficie cerrada SIEMPRE es nulo.

•

El campo magnético carece de “fuentes escalares”: no se conocen cargas magnéticas o monopolos magnéticos.

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11.

ELECTROMAGNETISMO y CORRIENTE ALTERNA

Una de las mayores y mejores aplicaciones del electromagnetismo reside en la posibilidad de generar corrientes eléctricas de uso habitual. Algo ya de esto se ha venido comentando indirectamente en las páginas anteriores. Vamos ahora a acercarnos un poco más a su estudio. Supongamos una espira en el seno de un campo magnético uniforme (ver figura). Puede girar, y al hacerlo, el flujo que la cruza variará con el tiempo, por lo que de acuerdo con la ley de Faraday, se inducirá en la espira una corriente que vendrá caracterizada por una fem

ε=−

dΦ dt

Que podremos escribir:

v v dΦ d ( B. S ) d ( B. S .cos α ) d (cos α ) ε=− =− =− = − B. S . dt dt dt dt Si suponemos que la espira gira con rapidez angular constante, ω, e inicialmente los vectores campo y superficie están orientados en el mismo sentido (α = 0), el ángulo que formarán esos vectores tras un cierto tiempo, será α = ω.t y por lo tanto:

ε = − B. S .

d (cos α ) = B. S .ω .sen ωt dt

que podremos escribir del modo:

ε = ε0 · sen ωt donde ε0 = B.S.ω A la rapidez angular ω se la denomina también frecuencia angular y no ha de confundirse con la frecuencia del giro, f = 1/T. Si analizamos la última ecuación vemos: • la fem inducida en la bobina (espira) varía con el tiempo. Al valor de ε en cualquier instante se lo denomina fem instantánea. • el valor de la fem varía periódicamente. El periodo es T = 2π/ω y por tanto, la frecuencia será f = ω/2π • el valor máximo de la fem es ε0 = B.S.ω que resulta ser directamente proporcional a la rapidez angular de giro. • al ser la fem una función sinusoidal, su signo cambia dos veces a lo largo de un periodo; por tanto, la corriente inducida cambia de sentido 2.f veces por segundo. Por ello, a partir de ahora, una corriente la llamaremos corriente alterna si posee las anteriores características, es decir, cuando su fem varía sinusoidalmente con el tiempo bajo la forma

ε = ε0 · sen ωt

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Q25. Una bobina formada por 100 espiras circulares de 5 cm de radio gira en el interior de un campo magnético horizontal uniforme de 0,2 T alrededor de un eje vertical que pasa por su centro, a razón de 1000 rpm. A) Calcula el valor de la fem inducida en cualquier instante; B) Valor máximo de la fem. Q26. ¿Con qué velocidad angular debe girar la bobina de un alternador formado por 100 espiras cuadrangulares de 5 cm de lado, situada en un campo magnético uniforme de 0,5 T, perpendicular al eje de rotación, para obtener una fem inducida de 220 V de valor máximo? ¿Cuál es la frecuencia de dicha corriente?

Lógicamente, con los elementos hasta aquí estudiados es posible “fabricar circuitos” con una serie de características notablemente diferentes a los montados con corriente continua. Por lo pronto, ahora, los generadores no suministran una fem uniforme, sino variable, representados con el símbolo ~, a ello, se une la presencia de una serie de características más, como son los nuevos elementos: bobinas, espiras, autoinducciones, etc... que dan otro enfoque a la electricidad. Pero eso ya es otro tema que lamentablemente no podemos ver aquí.

11.1 UN CASO IMPORTANTE: Transformadores. Un transformador está constituido por DOS circuitos acoplados, conocidos como primario y secundario. Cuando se aplica al circuito primario una fem variable, se produce una fem, también variable en el secundario. Normalmente el primario y el secundario están enrollados alrededor de un núcleo de hierro con el fin de conectar el flujo magnético (ver figura). Cuando se aplica la fem variable V1 al primario (de N1 vueltas de cable) se produce una corriente en este circuito, que produce un campo magnético localizado casi por completo dentro del núcleo de hierro. Si φ es el flujo magnético a través de una vuelta del primario, el flujo total será N1· φ y escribiremos que V1 = - N1 d φ/dt El mismo flujo pasará por las N2 vueltas del secundario. Por lo tanto, la fem que aparece en el secundario es V2 = - N2 d φ/dt El cociente de las dos fems es V2/V1 = N2/N1 lo que significa que la fem que se obtiene en el secundario guarda una proporción N2/N1 con la fem aplicada en el primario. Así, cuando N2/N1 > 1 hablamos de un transformador de aumento de voltaje, y cuando es < 1 se trata de un transformador de disminución del voltaje. En realidad este análisis es un tanto simple, ya que no considera varios factores como pérdidas de flujo y de energía, o las diferencias de fase y el efecto del circuito externo conectado al secundario.

V2

V1

N1

N2

PROBLEMAS DE SÍNTESIS NIVEL 1. 1. DE SELECTIVIDAD. Sobre dos railes paralelos al eje OX, situados en un plano horizontal y separados 30 cm, se apoya una barra de cobre de 0,1 kg. Se hace circular de un rail a otro, a través de la barra de cobre, una corriente de 30 A. Calcular el campo magnético que habría que aplicar para que la barra deslice sobre los railes a velocidad constante, si el coeficiente de rozamiento barra‐railes vale µ = 0,2. (Sol.: 21,8 mT en dirección vertical) 2. DE SELECTIVIDAD. Dos conductores rectilíneos paralelos, recorridos por corrientes del mismo sentido de 10 y 20 A respectivamente, están separados entre sí 10 cm. Calcular: a) el campo magnético en un punto situado a 10 cm del primer conductor y a 20 cm del segundo; B) fuerza por unidad de longitud sobre un conductor rectilíneo situado en el mismo plano, paralelo y equidistante de ambos. (Dar el resultado en función de I)

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3. DE SELECTIVIDAD. Por una espira rectangular de 10x20 cm, situada en el plano XY, circula una corriente de 5 A en el sentido horario. Se aplica un campo magnético B de 2 T dirigido en el sentido positivo del eje OY. Calcular: a) fuerza magnética sobre cada lado de la espira; b) momento sobre la espira. 4. Un alternador está formado por una bobina de 1000 espiras circulares de 3 cm de radio, que gira alrededor de un eje vertical que pasa por su centro, en el interior de un campo magnético de 0,2 T, uniforme y horizontal, a 1000 rpm. Determinar: A) el valor de la fem inducida en cualquier instante; B) el máximo valor de la fem inducida; C) la frecuencia de la corriente inducida; D) el número de veces que cambia de sentido la corriente en un segundo. 5. Sea un circuito formado por N espiras, cada una de ellas de área S, colocado perpendicularmente a un campo magnético, cuyo módulo varía con el tiempo según la expresión B = B0.senω.t. Determinar la fem inducida en el circuito y el valor máximo de dicha fem. 6. DE SELECTIVIDAD: Junio de 1996 (Andalucía, distrito único) a) Inducción electromagnética; ley de Lenz‐Faraday. b) Explicar el significado físico de la citada ley y, en particular, el signo menos que aparece en ella. Y 7. Una espira rectangular se mueve en una región en la que el campo magnético está dado por Bx = 0; By = 0; Bz = 6 T. Suponiendo que en el instante inicial, t = 0, la espira se encuentra en la posición dibujada y que gira a razón de 10 rpm en el sentido dibujado, hallar: a) la fem inducida en la espira en cualquier instante; b) el valor máximo de esa fem y en qué instante se produce; c) la frecuencia de la corriente 0,5 m inducida; d) la intensidad que recorre la espira, si su resistencia es de S 0,2 Ω. 2 8. Una espira de alambre de 0,25 cm de área se halla en un campo x magnético uniforme de 0,05 T. A) ¿Cómo ha de situarse la espira de 0,2 m modo que no exista flujo magnético a su través? B) ¿Cuánto vale el flujo a través de la espira cuando se coloca de forma que su plano sea Z perpendicular al campo? 9. Por un hilo horizontal circula una corriente rectilínea de 50 A en el sentido positivo del eje OX. A 0,5 metros de él, hay una espira rectangular de modo que su lado mayor (de 4 m) es paralelo al hilo (ancho 1 m). Hallar a) el valor del flujo magnético creado por la corriente a través de la espira rectangular; b) ¿se inducirá corriente al mover la espira paralelamente al hilo? ¿Y al alejarla o acercarla al hilo? 10. Los raíles de una vía férrea están a 1 metro de distancia, eléctricamente aislados uno del otro. Un tren, que pasa por los rieles a 100 km/h (cte.), establece una conexión eléctrica entre ellos. Si el campo magnético terrestre tiene una componente vertical de 0,15 gauss, ¿cuál será la ddp que surge entre los extremos de la conexión de los raíles? (Sol.: 4,1.10‐4 V) 11. Al penetrar un electrón en un campo magnético, actúa sobre él una fuerza que le obliga a describir una trayectoria circular. ¿Qué velocidad deberá poseer un electrón para que al penetrar perpendicularmente a las líneas de un campo magnético de 0,001 mgauss describa una circunferencia de 2 cm de radio? 12. Una bobina circular plana, de 20 espiras, tiene un radio de 10 cm. ¿Qué intensidad de corriente debe circular por ella ‐4 para que la inducción magnética en su centro (campo magnético) valga 2.10 T? 13. Calcular la fuerza que ejerce sobre un conductor rectilíneo de 0,15 m de longitud un campo magnético perpendicular a ‐4 él, de inducción 1,2.10 T, siendo 5 A la intensidad de corriente que circula por el conductor. 14. Dos conductores rectilíneos y paralelos transportan una corriente de 2 y 6 A, respectivamente, y están separados una distancia de 4 cm. ¿Qué fuerza por unidad de longitud actúa sobre ellos si a) las corrientes son del mismo sentido; b) son de sentido contrario. 15. Un generador de corriente alterna proporciona una fem máxima de 250 V con una frecuencia de 50 Hz. Al generador se conecta una resistencia de 50 ohmios y se cierra el circuito. Calcular: a) la fem en cualquier instante; b) la intensidad instantánea que circula; c) intensidad y fem en el instante t = 10 s; d) valor máximo de la intensidad. 16. SELECTIVIDAD LOGSE. Ley de Lorentz. ¿En qué dirección debe moverse una carga en el seno de un campo magnético para que no aparezca fuerza sobre ella?

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17. Aplica la ley de Lenz para determinar el sentido de la corriente inducida en cada una de las situaciones de la figura, donde se sabe que el polo norte del imán está a la izquierda. 18. A. ¿De qué factores depende el coeficiente de autoinducción de un solenoide? B. ¿Qué le sucede a un anillo metálico si lo haces girar encima de una mesa? ¿Por qué? C. El flujo magnético que atraviesa una espira varía con el tiempo, de acuerdo con la expresión: φ= 20t4 ‐ 6t2 (SI). Determina el valor de la fem inducida al cabo de 2 segundos. D. ¿Por qué salta una chispa en un interruptor al cortar la corriente en un circuito y, sin embargo, no salta al cerrarlo? 19. Una varilla de 2 m de longitud se desplaza, con velocidad cte. y perpendicular a su eje, sobre un plano horizontal. Si la velocidad de la varilla es de 25 m/s y la componente vertical del campo magnético terrestre en ese lugar es 4.10‐5 T, ¿cuál será la ddp que aparecerá entre los extremos de la varilla? 20. SELECTIVIDAD (Almería) A lo largo de dos conductores rectilíneos y paralelos, separados 3 m, circulan las intensidades I1 (2.10‐2 A) e I2 (4.10‐2 A) con la misma dirección y sentido. Determinar a qué distancia del conductor 1 el campo magnético vale 0. 21. SELECTIVIDAD (Burgos. 1995) A través de un conductor rectilíneo e indefinido pasa una corriente de intensidad I1. Una espira rectangular ABCD, cuyos lados BC y DA son paralelos al conductor rectilíneo, está recorrida por una intensidad I. Calcula la fuerza que ejerce el campo magnético creado por el conductor sobre cada lado de la espira. (DATOS: BC = DA = a; AB = DC = b; distancia del conductor al lado AD = b) 22. SELECTIVIDAD (Jaén, 1995) Un solenoide de 400 vueltas tiene una longitud de 2,5 cm y una sección de 2 cm2. Si por el solenoide circula una corriente de 3 A, calcular: a) el campo magnético en el interior del solenoide; b) su autoinducción. 23. SELECTIVIDAD (Madrid, 1995) Una carga eléctrica positiva, q, se mueve a velocidad constante v y entra en una región donde existe un campo magnético uniforme B, perpendicular a v. Determinar el módulo, dirección y sentido de un campo eléctrico E que, aplicado en la misma región del espacio, permita que la carga eléctrica siga en movimiento rectilíneo. 24. SELECTIVIDAD (Madrid, 1995) Por un conductor rectilíneo muy largo circula una corriente eléctrica I. Una espira cuadrada se mueve manteniéndose coplanaria con el conductor. Determinar el sentido de la corriente inducida en la espira cuando su movimiento es: a) paralelo al conductor; b) perpendicular al conductor y alejándose de él. 25. SELECTIVIDAD (Sevilla, 1995) Enunciar la ley de Lenz‐Faraday de la inducción electromagnética. ¿Puede inducirse fem en una espira en un campo magnético constante? 26. SELECTIVIDAD (Valladolid, 1995) Se deja caer un electrón en el campo magnético terrestre. ¿Podrías indicar cualitativamente cómo sería su trayectoria? Razona la respuesta. 27. SELECTIVIDAD LOGSE (Salamanca, 1994) CUESTIONES. A) ¿Qué se entiende por líneas de campo? B) Diferencia fundamental entre las líneas del campo eléctrico y las del campo magnético. C) Definir qué es el Amperio. D) Dibujar una espira en un campo magnético uniforme y suponer que la hacemos girar en un sentido determinado (indicarlo). a) Indicar las posiciones de la espira en que el flujo a su través será el máximo positivo, máximo negativo y nulo; b) Indicar las posiciones en que la fem inducida tomará valores máximo positivo, máximo negativo y nulo. 28. SELECTIVIDAD LOGSE (Septbre. 1994) Se tiene un solenoide de 1m de longitud (sin núcleo) que consta de 1330 espiras por las que circula una corriente de 2,5 A. Si el diámetro del solenoide es de 0,05 m, calcular: a) el campo de inducción magnética producido en el interior del solenoide; b) el flujo magnético que lo cruza; c) si tuviese un núcleo cuya permeabilidad magnética fuese 100 veces la del vacío, ¿cuál sería el nuevo campo? 29. SELECTIVIDAD (Sevilla, 1994) Dos conductores rectilíneos de gran longitud, paralelos, están situados en el plano XY. Uno de ellos coincide con el eje OY y el otro pasa por el punto (20,0) cm. Calcular el campo magnético en los puntos (10,0) y (‐10,0) cm si: a) por ambos conductores circula una corriente de 5 A en el sentido positivo del eje OY; b) se invierte el sentido de la corriente en el conductor situado sobre el eje OY.

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30. SELECTIVIDAD (Andalucía, Junio 1999) Dos hilos metálicos largos y paralelos por los que circulan corrientes de 10 A, pasan por dos vértices opuestos de un cuadrado de 1 m de lado situado en un plano horizontal. Ambas corrientes discurren perpendicularmente a dicho plano y hacia arriba. a) Dibuje un esquema en el que figuren las interacciones mutuas y el campo magnético resultante en uno de los otros dos vértices del cuadrado. b) Calcular los valores numéricos del campo magnético en ese vértice y de la fuerza por unidad de longitud ejercida sobre uno de los hilos. Nivel 2. 1. Un electrón que se mueve con una velocidad constante v, penetra en un campo magnético uniforme B , de tal modo que describe una trayectoria circular de radio R. Si la intensidad del campo magnético disminuye a la mitad y la velocidad aumenta al doble, determine. a) El radio de la órbita b) La velocidad angular. 2. Dos isótopos, de masas 19,92. 10‐27 Kg y 21,59.10‐27 Kg , respectivamente con la misma carga de ionización son 5 acelerados hasta que adquieren una velocidad constante de 6,7.10 m/s. Se les hace atravesar una región de campo magnético uniforme de 0,85 T cuyas líneas de campo son perpendiculares a la velocidad de las partículas. Determina la relación entre los radios de las trayectorias que describe cada isótopo, si han sido ionizados una sola vez, determine la separación entre los dos isótopos cuando han descrito una semicircunferencia. DATOS

m1= 19,92.10‐27 Kg

m2 =21,59.10‐27 Kg

v = 6,7.105 m/s

B = 0,85 T q = e

3. Dos alambres conductores paralelos de 25 m de longitud están separados por una distancia de 0,25 m y están recorridos por sendas corrientes de 160 A. Determine la fuerza que actúa entre los dos alambres cuando las dos corrientes: a) Llevan el mismo sentido. b) Llevan distinto sentido. DATOS I1= I2 = 160 A d = 0, 25 m L = 25 m

4. Un electrón pasa a través de un campo magnético sin que se altere su trayectoria. ¿Qué se puede afirmar sobre la dirección del campo magnético? 5. Un protón y un electrón se mueven perpendicularmente a un campo magnético uniforme, con igual velocidad ¿qué tipo de trayectoria realiza cada uno de ellos? ¿cómo es la trayectoria que realiza el protón en relación con la que realiza el electrón ?. Razona la respuesta. Datos: Se considera que la masa del protón es igual aproximadamente, a 1836 veces la masa del electrón. SOLUCIÓN Una trayectoria circular de distinto sentido Rp/Re = 1836

6. Una carga q = +1 C entra con una velocidad v = 3i – j + 2k en el campo magnético B = ‐j + 6 k. Determinar la fuerza que actúa sobre ella. 7. Un electrón se mueve en una región en la que están superpuestos un campo eléctrico E = (2i + 4j) V/m y un campo magnético B = 0,4 k (T) Determinar para el instante en el que la velocidad del electrón es v = 20 i m/s: (A) Las fuerzas que actúan sobre el electrón debidas al campo eléctrico y al campo magnético respectivamente; (B) La aceleración que adquiere el electrón. 8. Un protón y una partícula α (carga +2e) se mueven en un campo magnético uniforme según circunferencias de igual radio . Compara los valores de: a) Sus velocidades. b) Sus energías cinéticas c) Sus momentos angulares d) Se admite que la masa de la partícula α es igual a 4 veces la masa del protón. SOLUCIÓN a) vα =1/2 vp ; b) Ecp = Ecα ; c) Lα= 2Lp

9. Un hilo conductor, rectilíneo e indefinido, situado en el vacío sobre el eje OZ de un sistema de referencia cartesiano OXYZ , transporta una corriente eléctrica de intensidad I = 2A en el sentido positivo de dicho eje. Calcula la fuerza magnética que actuará sobre una partícula cargada con 5 C , en el instante que pasa por el punto (0, 4, 0) m con una velocidad v = 20 j 10. Dos partículas materiales P1 y P2, poseen cargas iguales y de signos contrarios, en tanto que la masa de P1 es mayor que la de P2. Ambas partículas, que se mueven con la misma velocidad, penetran en un campo magnético uniforme, con una dirección perpendicular al mismo. Al entrar en el campo, las dos partículas curvan sus trayectorias en sentidos contrarios. Da una explicación razonada de lo dicho y confecciona un diagrama al efecto. ¿Cuál de ellas tendrá la trayectoria de mayor radio de curvatura?. Razona tu respuesta.

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11. Un electrón penetra en una zona con un campo magnético uniforme de 10‐3 T y lleva una velocidad de 500 m/s perpendicular al campo magnético. Determina las siguientes magnitudes del electrón en la zona con campo magnético: a) Velocidad angular b) Módulo de la fuerza que experimenta. c) Módulo del momento angular respecto del centro de la circunferencia que describe el electrón 12. Sobre un electrón que se mueve con la velocidad de 5000 Km/s actúa en dirección normal a su velocidad un campo magnético en el que B = 8 T. Determinar: a) El valor de la fuerza centrifuga que actúa sobre el electrón. b) El radio de la órbita descrita. c) Tiempo que el electrón tarda en recorrer la circunferencia completa d) El número de vueltas que da en un segundo e) La energía del electrón a su entrada en el campo f) La variación de potencial que debe experimentar ese electrón para pasar del reposo a la citada velocidad (se supone invariable la masa) SOLUCIÓN a) 64.10‐13 N b) 3,5.10‐6 m c) 4,34.10‐12 s d) 2,3 .1011Hz

e) 1,125.10‐17 J

f) 70,31 V

13. Un protón, un electrón y una partícula α, acelerados por la misma diferencia de potencial, entran en una región del espacio donde el campo magnético es uniforme y se mueven perpendiculares a dicho campo. Encuentra: a) La relación entre sus energías cinéticas en el momento de penetrar en el campo magnético. b) La relación entre sus velocidades en el momento de penetrar en el campo magnético. c) Si el radio de la trayectoria del protón es de 0,1 m, ¿cuáles son los radios de las trayectorias del electrón y de la partícula? Datos : mp = 1u ; me = 5,45.10‐4u ; mα = 4 u

14. En una misma región del espacio existen un campo eléctrico uniforme de valor 0,5.104V m‐1 y un campo magnético uniforme de valor 0.3 T, siendo sus direcciones perpendiculares entre sí: a) ¿Cuál deberá ser la velocidad de una partícula cargada que penetra en esa región en dirección perpendicular a ambos campos para que pase a través de la misma sin ser desviada?. b) Si la partícula es un protón, ¿cuál deberá ser su energía cinética para no ser desviado? 15. En el seno de un campo magnético uniforme se sitúan tres partículas cargadas. Una de las partículas está en reposo y las otras dos en movimiento, siendo sus vectores velocidad perpendicular y paralelo respectivamente a la dirección del campo magnético. explica cuál es la acción del campo sobre cada una de las partículas y cómo será su movimiento en él 16. En cierta región del espacio hay un campo eléctrico E = Eok y un campo magnético B = ‐Boi ¿Qué velocidad y dirección debe tener un electrón que penetre en esta región para que su trayectoria sea rectilínea?

Datos : E0 = 1000 V /m ; B0 = 1 T. SOLUCIÓN V = ‐100 j

17. Explica si es posible que un electrón se mueva con velocidad v, paralelamente a dos conductores y equidistante entre ellos sin cambiar su trayectoria. 18. Efectuar un análisis cualitativo del movimiento que efectúa una carga eléctrica al penetrar en un campo magnético uniforme, considerando los casos posibles referente a la dirección de entrada y signo de la carga. ¿En qué dirección ha de entrar un electrón en ese campo para que no se ejerza fuerza sobre él? 19. Un hilo conductor transporta 2 A de corriente en el sentido positivo del eje OZ. Por el punto (0,4,0) pasa otro hilo (paralelo al eje OX) que porta una corriente de 1 A hacia la parte negativa del eje OX. Calcula y dibuja el vector campo magnético en el punto (‐6,0,0). En un segundo experimento, eliminamos el conductor de 2 A y fabricamos una espira rectangular con el cable de 1 A cuyas dimensiones son de 3x5 cm, de forma que situada sobre el plano XZ porta la corriente en sentido horario. Si aplicamos el campo magnético B = ‐1,5 j. Dibuja las fuerzas que actúan sobre cada lado de la espira y calcula su valor. ¿Girará la espira? En caso afirmativo, determina el valor del momento magnético a aplicar para que NO gire. 20. En cierta región del espacio, existe un campo magnético B = 6i (S.I.). Introducimos un protón con la velocidad v = –100 k. Se pide: a) Hacía dónde deberíamos aplicar un campo eléctrico para conseguir que el protón no se desvíe una vez dentro del campo magnético? ¿Cuál habría de ser su valor? b) En otro experimento distinto, dejamos el campo magnético anterior e introducimos un hilo de corriente en su interior, de modo que transporta 0,5 A en el sentido positivo del eje OY. Dibuja y calcula la fuerza que padece este hilo conductor (por unidad de longitud). c) Con el mismo hilo de antes, y el mismo campo magnético, nos fabricamos una espira de 2x6 cm, de modo que la corriente de 0,5 A circula en sentido horario. El plano de la espira así construida está sobre el plano XY. Dibuja las fuerzas que padece cada lado de la espira y determina el flujo que la atraviesa entonces.

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d) Eliminamos la corriente de la espira anterior y la hacemos girar a 800 rpm de modo que el eje de giro es paralelo al eje OY. Determina la fuerza electromotriz inducida en cualquier instante y cuándo alcanzará ésta su valor máximo por primera vez. 21. Por dos vértices opuestos de un cuadrado de 1 m de lado, y perpendicular a él, pasan dos hilos conductores que transportan, en el mismo sentido, corrientes de 2 y 5 amperios. Se pide: a) Calcular el campo magnético resultante en el centro del cuadrado. b) DIBUJAR (lo más claro posible) y CALCULAR, la fuerza magnética que se ejercen los conductores, especificando su naturaleza (repulsión‐atracción) c) Si en otra ocasión, con el cable de 5 A nos fabricamos una espira cuadrada de 20 cm de lado y lo introducimos en un campo magnético uniforme de 0,48 T, de modo que el plano de la espira sea paralelo a las líneas de fuerza del campo, ¿Qué fuerza magnética soportará I1 = 2 A cada lado de ese cuadrado y EXPLICAR qué efectos producirá en la espira así Z construida? (Decidir el sentido de circulación de la corriente de 5 Amperios) 22. Determina el VECTOR campo magnético en el punto P de la figura, sabiendo que éste se halla justo en medio de los conductores I1 e I3. 23. De uno de los platillos de una balanza pende un circuito rectangular, cuyo lado inferior es una varilla rígida; el otro platillo se equilibra por medio de pesas. En ausencia de campo magnético, el circuito está equilibrado con una masa m. P La varilla de la balanza, de 10 cm de longitud, recorrida por una corriente de 2 A, se introduce en el seno de un campo magnético horizontal y perpendicular a X Y ella. En estas circunstancias hay que añadir pesas hasta completar 12 g en el otro platillo para recuperar el equilibrio. Calcula el módulo del campo I3 = 1 A magnético (un dispositivo como el aquí descrito, recibe el nombre de Balanza de I2 = 0,5 A Cotton) 24. El campo eléctrico entre las placas del filtro de velocidades de un espectrómetro de masas es de 120000 V/m y el campo magnético que es contrarrestado por el anterior y que sigue actuando tras el filtro, es de 0,6 T. Un chorro de iones de neón, con una sola carga, describe una trayectoria circular de 7,28 cm de radio en el campo magnético. Determinar el número másico del isótopo de neón (1 u = 1,66.10‐27 kg) 25. Un solenoide de 20 cm de longitud formado por 600 espiras tiene una resistencia de 12 Ω. Determinar el valor del campo magnético en su interior cuando está conectado a una ddp de 100 V. 26. Una espira rectangular (de 8x6 cm) puede girar alrededor del eje OZ y transporta una corriente de 10 A en sentido horario. La espira está en una región del espacio donde hay un campo magnético paralelo al eje OX y dirigido hacia valores positivos de X y de magnitud 0,2 T. Calcula la fuerza sobre cada uno de los lados de la espira y el momento necesario para mantener la espira en su posición. 27. Dos hilos conductores de igual longitud (L) que transportan corrientes del mismo valor, cuelgan de una barra del techo mediante dos cuerdas iguales inextensibles (de longitud l) y de masa despreciable tal y como se ve en la 6ª figura. El ángulo que forman las cuerdas con la vertical es de 6º. Deducir el valor de la corriente que circula por esos cables (explicando su sentido) si se sabe que todo el conjunto está en equilibrio y que los cables tienen una densidad lineal ρ (kg/m). Ofrecer el resultado en función de los datos suministrados y/o de las constantes características. 28. Un topógrafo maneja una brújula a 4 m por debajo de una línea de corriente por la que circulan 150 A (supongamos que de corriente continua). Se sabe que en ese lugar, la componente horizontal del campo magnético ‐5 terrestre vale 2,5∙10 T y que el hilo conductor está orientado justo hacia el Sur, y dirigiendo hacia allí la corriente. Encontrar la nueva orientación de la brújula. 29. Un electrón de 104 eV de energía se mueve horizontalmente y penetra en una región donde hay un campo eléctrico E = 100 V/cm dirigido verticalmente hacia abajo. A) Hallar la magnitud y dirección del campo magnético capaz de lograr que el electrón conserve su movimiento horizontal en presencia de ambos campos; b) si fuera un protón, ¿cómo debe ser B para conseguir el mismo resultado? La acción de la fuerza de la gravedad se puede despreciar. 30. Análisis comparativo entre los campos gravitatorio, eléctrico y magnético.

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· TEMA 3 · Vibraciones y Ondas La vida es un raro estado de la materia inerte. La inteligencia es un raro estado de la materia viva. La cultura es un raro estado de la materia inteligente. La civilización es un raro estado de la materia culta. J. Wagensberg

Normalmente, el estudio del movimiento suele ser en los capítulos de física, uno de los temas más recurrentes. Al mismo tiempo, comprender ese fenómeno físico y las posibles consecuencias que de él se deriven permite abordar otras cuestiones que en principio poco parecen tener que ver entre sí. Casi siempre suele comenzarse el movimiento por el estudio de las variables involucradas y la clasificación posterior que se hace. Con todo, ese estudio no llega a ser nunca del todo completo. Así por ejemplo, en el curso pasado se estudiaron los casos más universales de movimiento de un modo más o menos pormenorizado, pero dejando atrás otros casos igual de interesantes. Uno de esos casos interesantes lo constituye el llamado “movimiento armónico” y posteriormente, el conocido como movimiento ondulatorio (armónico). De nuevo aquí volveremos a tropezarnos con conceptos vistos el curso pasado, que haremos extensivo a nuevas situaciones. Si recuerdas, todos los movimientos estudiados el curso pasado, bien eran uniformes o bien poseían aceleraciones constantes. Queda por tratar aquellos casos de movimientos con aceleración variable. Nuestra andadura se va a iniciar con un nuevo tipo de movimiento: el oscilatorio o armónico simple. Estudiaremos sus características y magnitudes fundamentales y lo completaremos abordando el movimiento ondulatorio.

1. MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE. El movimiento oscilatorio o vibratorio, es uno de los más “Un objeto oscila cuando se mueve de forma periódica importantes que existen en la Naturaleza. Por ejemplo, un alrededor de su posición de equilibrio” cuerpo colgado de un muelle oscila alrededor de su posición de equilibrio al separarlo de ésta y dejarlo en libertad, un péndulo al moverse realiza un movimiento oscilatorio; los átomos de un sólido vibran alrededor de su posición de equilibrio, etc. Además, este tipo de movimiento es la base de los fenómenos ondulatorios, que estudiaremos luego. Al dejar oscilar libremente al objeto de la figura, éste describe un movimiento de oscilación: un movimiento armónico simple (en adelante, MAS).

O A' A

A

Si O es la posición de equilibrio, al soltar el objeto desde la posición A, comenzará a moverse hacia O con cierta aceleración; rebasará la línea O, va disminuyendo su velocidad hasta llegar a A’, en donde se detendrá. Luego, volverá a moverse hacia O, y así sucesivamente. Si se desprecian los rozamientos, el objeto continuará oscilando indefinidamente, siendo los puntos A y A’ posiciones simétricas respecto de O.

M O V I M I E N T O S A R M Ó N I C O y O N D U L A T O R I O. Tema 3.

Antes de comenzar a describir matemáticamente el movimiento, conviene definir algunas de sus magnitudes importantes: •

la elongación (y) → es la distancia que separa en cada instante al cuerpo que oscila de su posición de equilibrio.

•

la amplitud (A) → es la elongación máxima (distancia de la posición de equilibrio al punto A, en la figura)

•

el periodo (T) → es el tiempo empleado en producirse una oscilación completa (es decir el tiempo en ir desde el punto A y regresar a él)

•

la frecuencia (f) → es la inversa del periodo. Representa, por lo tanto, el número de oscilaciones dadas en un segundo.

El movimiento vibratorio representado en la figura anterior, es un movimiento rectilíneo que se produce verticalmente. Por ello, podremos situar el origen del S.R. en el punto O. De este modo, la posición del objeto que vibra vendrá dada en cada momento, por la ordenada correspondiente. Así el movimiento quedará descrito cuando obtengamos una ecuación (ecuación del MAS) que nos permita conocer su posición en cada instante. Es decir, buscaremos una función del tipo y = y(t).

A y O

w.t

Q

Obtener matemáticamente la ecuación del movimiento armónico, es complicado para este curso. Sin embargo, nos valdremos de un procedimiento que nos dará buenos resultados. Para ello, (ver la figura), basta observar que el movimiento de “vaivén” del cuerpo que oscila del muelle, puede ser reproducido como “la sombra sobre el eje OY (o sobre el eje OX, es indistinto) de un cuerpo que rota en movimiento circular y uniforme con rapidez angular ω“. De esta forma, obtenemos sobre un diámetro un MAS cuyo periodo coincidirá con el del movimiento circular. Por lo tanto

ω=

2π T

Suponiendo que en el instante inicial el objeto que describe el MAS está en O (el objeto que describe el movimiento circular estaría en Q) su posición en un instante posterior vendrá dado, utilizando trigonometría elemental, por y = A sen (ω t) siendo A la amplitud. Si tenemos presente el valor de ω, podremos escribir que: ⎛ 2π y = Asen⎜ ⎝ T

⎞ t ⎟ = Asen(2πft ) ⎠

Así pues, la ecuación de un movimiento oscilatorio que describe un MAS de periodo T y amplitud A, viene dada por la expresión:

⎛ 2π ⎞ y = Asen⎜ t⎟ ⎝ T ⎠

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Hay que destacar un último aspecto importante antes de seguir; y es que EL MOVIMIENTO CIRCULAR SÓLO SE HA UTILIZADO COMO AYUDA para describir el MAS y que NADA TIENE QUE VER con él (“El MAS es un movimiento rectilíneo”) Como se puede apreciar de la ecuación del movimiento del MAS, la posición del objeto que se mueve así, va variando en función del tiempo de forma periódica sinusoidal. Como se recordará, a partir de la ecuación del movimiento, podremos obtener las expresiones para la rapidez y la aceleración con ayuda del cálculo de derivadas: •

Para la velocidad (rapidez): v=

y •

dy ⎛ 2π ⎞ ⎛ 2π ⎞ = A⎜ t⎟ ⎟ cos⎜ dt ⎝ T ⎠ ⎝ T ⎠

Para la aceleración: 2

a=

dv ⎛ 2π ⎞ ⎛ 2π ⎞ t ⎟ ⇒ a = −(2π / T ) 2 y ⇒ a = −ω 2 y = − A⎜ ⎟ sen⎜ dt ⎝T ⎠ ⎝ T ⎠

Hay que destacar que la aceleración es directamente proporcional a la elongación (y) y de sentido contrario; y que además por tanto, NO ES CONSTANTE. En general, todo movimiento cuya aceleración sea de la forma a = -ky donde K = cte, será un MAS.

Representaciones de la posición, rapidez y aceleración en un MAS. Observar sus relaciones.

Un ejemplo Interesante: “Un objeto colgado de un muelle describe un MAS de amplitud 10 cm y periodo 0,1 s. En el instante inicial, el muelle está estirado, ocupando el cuerpo la posición más baja de su oscilación. Determinar la ecuación del movimiento”. En este caso, las condiciones del problema no son las que se han utilizado en nuestro desarrollo para obtener la ecuación general. Es decir, según lo anterior, la ecuación debería ser, simplemente, y = 0,1 sen(2πt/0,1) = 0,1 sen (20πt). Sin embargo, esta expresión no cumple las condiciones iniciales impuestas: para t = 0, y = - 0,1 m. Para salvar este tipo de dificultad, ha de añadirse a la ecuación general una constante, ∂, denominada fase inicial, que se determina exigiendo que la nueva ecuación cumpla las condiciones del enunciado. Por ello, tendremos: y = 0,1 · sen(20πt +∂). Como para t = 0 debe ser que y = -0.1, se tendrá que: -0,1 = 0,1 · sen(0 +∂) ⇒ ∂ = 3/2 Por lo tanto, la ecuación del movimiento quedará como y = 0,1 sen(20πt + 3π/2)

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M O V I M I E N T O S A R M M Ó N I C O y O N D U L A T O R R I O. Tema 3.

Q1. Siguiendo con el ejemplo, deteermina A) la po osición que ocu upará el objeto o transcurridos 10 s desde qu ue se inició la oscilacción; B) La veloccidad y la acelerración en ese in nstante; C) Dem mostrar que la m máxima velocidaad se alcanza cu uando el móvil pasa p por la posición de equilibrio. Q2. Un n objeto descriibe un MAS qu ue responde a la l expresión y = = 0,2 sen (2πt + π/2). Determ minar: A) amplittud, periodo y frecuencia de ese movvimiento; B) possición inicial del objeto; C) punttos en los que laa aceleración es máxima. Q3. A partir de la ecuación de la veelocidad de un MAS, demostraar que ésta es nula en los puntos en que la elongación es máxim ma

1 1.1.

ASPE ECTOS ENERG GÉTICOS DEL L MAS.

En el caso dee un movimiento armónico o simple, el cuerpo que osscila experimeenta cambios de posición respeccto del equilib brio, y a lo largo de su reecorrido expe erimenta, tamb bién, variacio ones de energ gía cinética y potencial, pues hayy que recordar que la fuerza a elástica "reccuperadora" ess conservativa a. Veamos el valor v de esas energías y de la eneergía mecánicca total. P definición, la Energía cin Por nética es: Ec =

1

1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 c A ω (1 − sen ω t ) = ω t = mA m ⋅ v = m ⋅ ( A ⋅ ω ⋅ cos ω t ) = mA ω cos 2 2 2 2 =

1 2

1 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 mA ω − mA ω senn ω t = mA ω − mω y 2 2 2

P Pero por otro la ado, sabemoss que F = − K ⋅ y = m ⋅ a = −m ⋅ ω 2 ⋅ y ⇒ K = m ⋅ ω 2 y la expresión anterior a podem mos ponerla como: c Ec =

1 1 K ⋅ A2 − K ⋅ y 2 2 2

⊕ Según la expresión an nterior, estudiar los valores máxximos y mínimos de Ec y cuándo o se producen.

C Como ya se ha a estudiado en n un curso antterior, la energ gía potencial elástica e viene dada por la expresión e Epp =

1 2

2 1 2 K ⋅ y = K ( A ⋅ senω t ) 2

La a energía meccánica total, es e por definició ón, la suma de e ambos términos, por lo qu ue dará: E = Ec + Ep =

1 2

1 2 1 2 2 1 2 K ⋅ A − K ⋅ y + K ⋅ y = K ⋅ A = ctee. 2 2 2

⊕ Estudiar las variacionees energéticas d de un cuerpo qu ue oscila respectto de su posición n de equilibrio. A Ayúdate de la gráfica anterior. SELECTTIVIDAD JUNIO''99. Un bloquee de masa m cu uelga del extrem mo inferior de un n resorte de maasa despreciablee, vertical y fijo por su exttremo superior. a. Indiq que las fuerzas q que actúan sobrre la partícula exxplicando si son no conservativaas. b. Se tira del bloque hacia abajo y se suelta, de modo que oscila verticalmentte. Analice las variaaciones de energgía cinética y po otencial del bloq que y del resortee en una oscilación completa.

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1.2.

ESTUDIO DEL PÉNDULO SIMPLE COMO EJEMPLO DE M.A.S.

El movimiento de un péndulo simple es un ejemplo más de los movimientos armónicos, para pequeñas separaciones del cuerpo de su posición de equilibrio. Es un dispositivo formado por un objeto de cierta masa atado al extremo de una cuerda, de masa despreciable e inextensible, de cierta longitud L. Desde su posición de equilibrio se lo separa un cierto ángulo alfa y se lo deja oscilar libremente. En estas condiciones, el comportamiento de la masa puede describirse, en muy buena aproximación, como un ejemplo más de movimiento armónico. En efecto, comenzaremos haciendo un análisis de las fuerzas que actúan sobre la masa m cuando se la separa de su posición. Ese análisis está recogido en la figura. En este caso, la "fuerza recuperadora" es la titulada como px en el dibujo.

α

Para pequeñas variaciones de la posición de equilibrio, se ha de tener en cuenta que sen α ≈ α en radianes, por lo que:

senα =

x Px x = ⇒ Px = mg L mg L

para α → 0 se tiene que px es una fuerza que obedece la ley de Hooke mg

T

x mg = K⋅x⇒ K = = mω 2 L L

x Px

Py mg

es decir:

g 4π 2 L = 2 ⇒ T = 2π L T g que es la expresión del periodo para un péndulo simple. Para otros aquéllos casos en que no pueda hacerse la consideración de ángulos pequeños, la situación cambia. En cualquier caso, siempre que se habla de periodos de péndulos simples, se asume que las separaciones de la posición de equilibrio son pequeñas, por lo que la expresión para T sigue siendo válida. Para cuando α NO es despreciable frente a 0, la T es variable según el valor de ese ángulo, es decir, según la posición que adopta el péndulo. Ahora Py y T NO están contrarrestadas, sino que su resultante es responsable de una aceleración centrípeta. Aplicando la segunda ley de Newton, nos queda para T la expresión: T = m⋅(

v2 + g cosα ) ≠ cte. L

Θ Estudiar para qué posiciones de un péndulo, la tensión del hilo es mínima y máxima.

2. MOVIMIENTO ONDULATORIO Muchos de los fenómenos que se producen frecuentemente en nuestra vida diaria son de naturaleza ondulatoria. Así por ejemplo, el sonido que oímos tras poner en marcha un aparato de radio o televisión, la luz natural o artificial, las olas del mar o el rizado del agua de un estanque al dejar caer en él una piedra son ejemplos de fenómenos ondulatorio. La perturbación introducida en el punto en el que ha caído la piedra en el estanque produce en ese punto un movimiento vertical de vaivén (MAS) que, sucesivamente, se va transmitiendo a los puntos que lo rodean. Cualquiera de esos puntos, al ser alcanzado por la perturbación efectúa un movimiento de vaivén, pero sin desplazarse de la posición que ocupa (un corcho en el agua, se mantiene prácticamente en su sitio aunque realizando un movimiento vertical).

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M O V I M I E N T O S A R M Ó N I C O y O N D U L A T O R I O. Tema 3

Este hecho nos ayuda a comprender la definición de movimiento ondulatorio como un fenómeno consistente en la propagación de una perturbación en el espacio (en un medio elástico) en la que se produce una transmisión de energía, pero no hay transporte neto de materia.1 Cuando la perturbación consiste en un movimiento vibratorio armónico simple, la onda se llama ONDA ARMÓNICA (a veces, también sinusoidal o cosenoidal) Un aspecto importante a considerar es la diferencia entre ondas y partículas. Ya se ha señalado que en un movimiento ondulatorio, se produce un transporte de energía de unos puntos a otros sin transporte de materia. Igual puede decirse de la cantidad de movimiento: en el movimiento ondulatorio hay transmisión o propagación de cantidad de movimiento sin un desplazamiento neto de materia. Otro rasgo de interés es el relacionado con la localización espacial: una partícula en reposo o en movimiento ocupa en cada instante una determinada posición en el espacio (está “localizada”). En cambio, una onda se extiende por una región del espacio afectando a muchos puntos al mismo tiempo (esta “deslocalizada”). Precisamente, si unimos con una línea los puntos alcanzados por la perturbación, se obtiene una figura denominada frente de ondas. En principio, podemos diferenciar dos tipos de ondas: -

Ondas Mecánicas: son las que necesitan un medio para propagarse (sonido, ondas a través de un muelle, etc.) Ondas Electromagnéticas: no precisan de ningún medio para propagarse (la luz)

Otro criterio de clasificación de las ondas Todos estamos familiarizados con la idea de onda. Así, al dejar caer una atiende a la dirección en que se produce la piedra en un estanque, las ondas de agua marchan radialmente hacia perturbación. Por ejemplo, en el caso de las afuera; al tocar el piano, vibran las cuerdas y las ondas sonoras se extienden por la habitación; cuando una estación de radio está ondas que viajan por una cuerda, se observa transmitiendo, las ondas eléctricas se transmiten a través del espacio. que la perturbación original (desplazamiento) Todos estos son ejemplos de movimiento ondulatorio, de modo que tiene lugar verticalmente (le damos a la cuerda podemos decir: una onda es una perturbación que producida en un una sacudida vertical), mientras que la onda punto, llamado foco, se propaga en el espacio. avanza en sentido horizontal. En este caso, se dice que la onda producida es transversal. Sin embargo, si estudiamos las ondas producidas al comprimir y dilatar un muelle, se observa que la perturbación original (compresión-dilatación) tiene la misma dirección que la de avance de la onda. En este caso se dice que la onda es longitudinal.

2.1.

Magnitudes para describir el movimiento ondulatorio Armónico.

Imaginemos una trozo de cuerda sujeto por un extremo a la pared. El otro extremo está libre y lo tenemos sujeto con la mano de forma que mantenemos la cuerda en posición horizontal. Si damos una sola sacudida vertical, se produce una perturbación (onda) en la cuerda. Más correctamente: hemos producido un pulso. si en lugar de dar una sola sacudida, repetimos ésta de forma periódica, por la cuerda viajarán un conjunto de pulsos: en este caso, habremos generado un tren de ondas periódico. Todas las ondas que estudiaremos serán, en realidad, trenes de ondas periódicos, aunque por comodidad se los suele denominar, simplemente, ondas. Para esos trenes de ondas, se definen una serie de magnitudes fundamentales:

•

EL PERIODO de la onda es el tiempo que transcurre entre dos pulsos sucesivos. Suele representarse con la letra T y se mide en segundos.

1 Hay algunos datos para avalar esta última afirmación. Por ejemplo, cuando la membrana del altavoz de la radio vibra, produce compresiones y dilataciones en el aire que se halla en su cercanía. Esta perturbación es la que, al propagarse a través del aire constituye el sonido (que viaja a unos 340 m/s). Si hubiera transporte de materia, no tendríamos sonido, sino un “huracán” con vientos de gran velocidad. También resulta evidente que si antes de se alcanzados por la perturbación, el corcho del estanque o el tímpano del oído estaban en reposo y después se mueven, es porque el movimiento ondulatorio supone transmisión de energía.

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•

LA LONGITUD DE ONDA es la distancia que existe entre dos pulsos sucesivos. Genéricamente se suele representar por la letra λ y se mide en metros.

Si admitimos que los diferentes pulsos se propagan con la misma velocidad (denominada velocidad de propagación), la longitud de onda será la distancia que avanza la onda en un periodo. De esta forma se puede escribir que: v = λ/T

•

LA FRECUENCIA, f, es la inversa del periodo. Representa el número de pulsos producidos en la unidad de tiempo. Su unidad en el S.I. es el hertzio (hz). Se cumplirá que v = λ.f

Q4. Salvo excepciones, el oído humano es capaz de detectar sonidos cuya frecuencia está comprendida entre 20 y 20000 Hz. ¿Qué longitud de onda corresponde a cada una de estas frecuencias, cuando el sonido se propaga en el aire? Q5. Calcular la longitud de onda que corresponde a las ondas electromagnéticas que emite una emisora de radio, si la sintonizamos en 97.5 MHz?

3. VELOCIDAD DE PROPAGACIÓN DE LAS ONDAS y SU DEPENDENCIA DEL MEDIO La velocidad de propagación de una onda mecánica depende de las características del medio. Por ejemplo, el sonido, se propaga a una velocidad de unos 340 m/s en el aire, pero a unos 1500 m/s en el agua o a unos 5000 m/s en el acero. Pero además, cuando en el A mismo medio se propagan ondas transversales y longitudinales, lo hacen, en cada caso, con diferente B T velocidad. La obtención teórica y rigurosa de una expresión para la velocidad de propagación de una onda mecánica en un medio determinado, no es sencillo. Nosotros, vamos a hacerlo en forma elemental para el caso de una onda transversal que se propaga por una cuerda fina y homogénea cuya densidad lineal (masa por unidad de longitud) sea μ y sometida a una tensión T, que inicialmente la mantiene recta como en la figura de la página siguiente. Sean A y B dos puntos cercanos entre sí. Si la tensión es T, dado el equilibrio inicial del pequeño trozo de cuerda comprendido entre A y B, la tensión en B será T’, igual y opuesta a T.

Tv

T Th

A'

α

α

A

B

T'

Tv

T Th

T'

A'

α

c'

A

c

B

T'

v

Supongamos que tras sufrir una perturbación, el segmento AB se encuentra desviado de su posición inicial un pequeño ángulo α. Entonces, la componente vertical de la tensión T, vale T · sen α, y puesto que el ángulo es muy pequeño, se puede sustituir el seno del ángulo por la tangente: Tv = T · tag α.

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Vamos a fijarnos en “el centro de masa” del trozo de cuerda AB (punto c) de masa m. Por la ecuación fundamental de la dinámica se le podrá escribir que: Tv = m · a(cdm)

Con esa aceleración, el punto c se habrá desplazado hasta c’ en un cierto tiempo t, el mismo que ha empleado el punto A en desplazarse hasta A’, o cualquier punto del segmento AB en desplazarse desde su posición inicial hasta la nueva posición. Como todos los puntos del segmento AB se han visto afectados por la perturbación, podemos razonar que ese tiempo t es el empleado en la propagación de la perturbación desde el punto A hasta el punto B. La velocidad de propagación del movimiento ondulatorio en la cuerda, que es justo lo que buscamos, será, por lo tanto: AB v= t El desplazamiento entre las posiciones c y c’, que se ha producido con la aceleración a(cdm) en el tiempo t vale:

CC '=

1 acdnt 2 2

por lo que

2C C ' = acdm t 2 = A A ' pero como tagα =

2 A A ' a( cdm ) .t = AB vt

y como la masa del trozo de cuerda es μ · AB, podemos sustituir y tener que:

Tv = A B μa( cdm) = vtμa( cdm) = T

a(cdm) .t 2 vt

⇒v=

T

μ

que es la expresión de propagación de una onda transversal por una cuerda tensa, y cuyo valor concuerda con el que experimentalmente se obtiene. De la misma manera que para una cuerda tensa se ha obtenido que la velocidad de propagación depende de la tensión y de la densidad lineal, se puede deducir la velocidad de propagación de las demás ondas mecánicas. En cualquier caso, resulta dependiente de la densidad y de las constantes elásticas del medio. Así, a título de curiosidad, para una onda longitudinal en un sólido (una barra, por ejemplo), la velocidad es:

v=

ϕ ρ

donde ϕ es una constante del sólido, llamada módulo de elasticidad de Young, y ρ es la densidad de ese sólido. Las ondas elásticas transversales en una barra sólida, se propagan con una velocidad dada por la expresión: ζ v= ρ donde ζ es otra constante para el sólido denominada módulo de torsión. Dado que para un mismo sólido, los valores del módulo de Young y del módulo de torsión no son iguales, las velocidades de las ondas longitudinales y transversales que se propagan por ese sólido, es diferentes. En general, el valor del módulo de Young es mayor que el del módulo de torsión, por lo que, para el mismo sólido, la velocidad de propagación de las ondas longitudinales es superior a la de las transversales. Por ejemplo, para el cobre, los valores de ϕ y ζ son, respectivamente, 1,25.1011 Nm-2 y 0,46.1011 Nm-2, por lo que para este metal, la velocidad de las ondas longitudinales es casi dos veces mayor que la de las transversales. Aunque las ondas superficiales en la superficie de un líquido sean las más simples de observar, su tratamiento matemático es bastante complicado. En la superficie de un líquido actúan ciertas fuerzas. Entre ellas, la tensión superficial, que permiten los desplazamientos verticales de las moléculas cercanas a la superficie. La amplitud de estos desplazamientos verticales varía con la profundidad y, como es lógico, las moléculas del fondo del recipiente no los experimentan.

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La velocidad con que se propagan estas ondas superficiales es: gλ 2πξ v= + 2π ρλ donde λ es la longitud de onda y ξ es la tensión superficial. El aspecto más importante de esta ecuación (que no ha aparecido en los casos anteriores) es que la velocidad de propagación depende de la longitud de la onda. Como sabemos, la longitud de onda está relacionada con la frecuencia. Por lo tanto, la velocidad dada por esta ecuación depende de la frecuencia. Cuando sucede esto (la velocidad de propagación de una onda en un medio depende de la frecuencia) decimos que hay dispersión o que el medio es dispersivo. De este modo, si una onda que es resultante de la superposición de varias (como sucede, por ejemplo con la luz blanca) y penetra en un medio dispersivo, se produce una dispersión debida a que cada componente se propaga con diferente velocidad. Este fenómenos aparece con frecuencia en la propagación de las ondas electromagnéticas a través de la materia y es el que explica la producción del arco iris o el color azul del cielo (fenómeno conocido como scátering de Thomson)

4. ECUACIÓN DE LAS ONDAS ARMÓNICAS (o función de Onda) Ya hemos comentado con anterioridad qué es una onda armónica. Por otra parte, según el teorema de Fourier (que solo mencionamos aquí), cualquier

movimiento periódico se puede expresar como una superposición de movimientos armónicos simples, y por lo tanto, todo movimiento ondulatorio

periódico se puede expresar como una superposición de movimientos ondulatorios armónicos. Este teorema justifica el que consideremos sólo ondas armónicas, sin perder, por ello, generalidad. Describir matemáticamente el movimiento ondulatorio, requiere encontrar una ecuación que nos permita conocer, en cada punto, el valor de la perturbación introducida. Para encontrarla, vamos a volver a considerar el caso de las ondas armónicas producidas en una cuerda y que se propagan a una velocidad v. Esto supone admitir que cada punto de la cuerda describe un MAS; por lo que nos interesa poder determinar el estado de perturbación que tendrá cada punto P del entorno del foco de perturbación en cualquier instante. La perturbación tardará en llegar a P un tiempo t’ = x/v que dependerá de la velocidad de propagación (v) y de la distancia al punto P (x). Lo que sí sabemos es que si el foco tiene una perturbación tipo MAS, el punto P acabará teniendo la misma perturbación MAS sólo que t’ segundos más tarde. Es decir, que para un punto cualquiera P, tendremos que su estado de vibración, yP(t), será idéntico al estado que tenía el foco en el instante t-t’. Esto es: yP(t) = y0(t-t’) Ya que estamos suponiendo que la perturbación que se propaga es de tipo MAS, tendremos x ⎤ ⎡ y P (t ) = Asen ω (t − t ' ) = y0 (t − t ' ) = Asen ω (t − ) ⎢⎣ v ⎥⎦

[

]

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Si la perturbación se desplazara en el sentido negativo de las X tendríamos de la misma forma yP(t) = y0(t-t’) pero la expresión final, sería

[

⎡ ⎢⎣

]

y P (t ) = Asen ω (t − t ' ) = Asen ω (t +

x v

)

⎤ ⎥⎦

La expresión anterior nos da el estado de perturbación de cualquier punto en cualquier momento, por lo tanto, podemos escribir:

⎡ ⎢⎣

y ( x, t ) = Asen ω (t −

x ⎤ ) v ⎥⎦

que recibe el nombre de ECUACIÓN DE UNA ONDA ARMÓNICA, y en ellas se mantiene constante la amplitud. No todas las ondas son armónicas, pero sí todas las armónicas son, evidentemente, ondas. Nuestro estudio se centrará sólo en las que sí lo son. La particularidad más importante de la expresión anterior es que es doblemente periódica. En efecto, basta observar la ecuación para percatarse de que se trata de una función de dos variables. Así si se mantiene fija la variable x, es decir, si consideramos un punto determinado de la cuerda, la ecuación nos indica cómo varía la posición de ese punto con el tiempo. Si por el contrario, lo que fijamos es la variable t, la ecuación nos proporciona la posición, en un instante dado, de todos los puntos los puntos de la cuerda.

4.1.

Sobre la doble periodicidad del Movimiento Ondulatorio Armónico.

Es ésta una de sus características principales. En efecto. Sabemos que la función seno es una función periódica. Al estudiar el MAS, como la posición o elongación sólo dependía del tiempo, existía un periodo temporal, T. En este caso, hemos visto que el valor de la perturbación depende del instante, pero también del punto en que se analice la perturbación. Por lo tanto, habrá un segundo periodo ESPACIAL, λ, que se denomina longitud de onda. La longitud de onda, representa, por tanto, la distancia recorrida por la perturbación en un periodo T, es decir: λ= v.T. El significado físico de la longitud de onda es muy similar al del periodo temporal T. Sabíamos que el periodo T era el tiempo que transcurre para que se alcance de nuevo las mismas condiciones de movimiento (“el mismo estado de movimiento”). En nuestro caso, el periodo T representa el tiempo que ha de transcurrir para que un punto repita el mismo estado de perturbación. Es evidente que en un tiempo T, el valor de la perturbación se habrá trasladado una distancia igual a la longitud de onda. Por lo tanto, DOS PUNTOS DISTANCIADOS UNA LONGITUD DE ONDA POSEEN EL MISMO ESTADO DE PERTURBACIÓN. Es decir, la λ juega el papel de un periodo espacial, tal que todos los que se encuentren separados por esa distancia λ tienen el mismo valor de perturbación. Dicho de otro modo: y(x,t) = y(x+λ,t) = y(x+2λ,t) La amplitud, A, el periodo T y la longitud de onda, λ, son parámetros constantes y característicos de la onda, de ahí que la ecuación del movimiento ondulatorio, suela escribirse, también de otra forma:

t x ⎤ t x ⎤ x ⎤ ⎡ ⎡ ⎡ )⎥ = Asen ⎢2π ( − )⎥ y ( x, t ) = Asen ⎢ω (t − )⎥ = Asen ⎢2π ( − T λ ⎦ T vT ⎦ v ⎦ ⎣ ⎣ ⎣ ⎛ 2πt 2πx ⎞ y ( x, t ) = Asen⎜ − ⎟ = Asen(ωt − kx) λ ⎠ ⎝ T es decir: y = A sen(ωt – kx) donde k = 2π/λ recibe el nombre de número de ondas.

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Q6. Escribir la ecuación de una onda que se propaga por una cuerda, sabiendo que la amplitud es 2 cm, la velocidad de propagación 2 m/s y el periodo 0,1 s. Q7. La ecuación de ondas que corresponde a una onda que viaja por una cuerda es de la forma: y(x,t) = 0,03 sen 2(x‐0,1t) Determinar las magnitudes características de la onda (λ,ω,T y f)

Como en el caso del MAS, en ocasiones, a una onda puede exigírsele unas condiciones iniciales diferentes a las hasta aquí prefijadas: “Considerar una onda cuyas características son A = 2 cm; v = 2 m/s; T = 0,1 s. En el instante inicial, el punto cuya abcisa es nula, tiene una elongación de 1cm. ¿Cuál es la ecuación para esta onda?” En un principio, prescindiendo de la condición impuesta, la ecuación general del movimiento ondulatorio no satisface por completo las premisas iniciales, de ahí que (como en el MAS) haga falta agregar una nueva constate, δ, para que la ecuación recoja la situación para t = 0. Procediendo de igual modo a como se hizo en el MAS, resulta que en este caso, δ ha de ser igual a 0,52 rad. De esta forma, un modo más general de escribir la ecuación del movimiento ondulatorio, sería del modo: y = A sen (ωt - kx + δ)

OTRO CASO. “La ecuación de una onda que viaja por una cuerda es y = 0,02 sen 10π (x - 2t). A) Determinar la diferencia de fase que habrá entre dos puntos separados una distancia de 20 cm; B) Calcula la distancia que separa dos puntos de la cuerda si la diferencia de fase entre ellos es π radianes.” Si x1 y x2 son los puntos que se indican en el apartado A), para cada uno de ellos se podrá escribir que: y = 0,02 sen 10π(x1 - 2t) y’ = 0,02 sen 10π (x2 - 2t) La diferencia de fase entre ellos será: 10 π(x1 - 2t) - 10π(x2 - 2t) = 10 π(x1 - x2) Si los puntos están separados 20 cm se tendrá que 10π(0,2) = 2π rad. Cuando la diferencia de fase entre dos puntos es 2π decimos que los puntos están en fase y su estado de vibración es el mismo, ya que al ser periódica la función seno, y su periodo 2π, la elongación es la misma, esto es, : y = y’ (HACER EL APARTADO B. Sol.: 0,1 m) Q8. Una onda armónica se propaga con una velocidad de 3 m/s. Su frecuencia es 2 Hz y la amplitud 5 cm. Un punto que dista 10 cm del origen (foco) tiene una elongación nula en el instante inicial. Hallar su ecuación. Q9. Una onda se mueve hacia la derecha a lo largo de una cuerda con una velocidad de 5 m/s. Su frecuencia es de 60 Hz y su amplitud 0,2 m. A) Encontrar una función de onda adecuada para esta onda; B) ¿podrías hallar otra función diferente que describa este tipo de onda? ¿Cómo? Q10. La ecuación de cierta onda es ψ= 10 sen 2π (2x ‐ 100t) (SI). Hallar la amplitud, la longitud de onda, la frecuencia, y la velocidad de propagación de la onda. Q11. La ecuación de una onda plana es y = 1,5 cos π (0,55x ‐ 90t) (cgs). Determinar la longitud de onda, la frecuencia, el periodo y la velocidad de propagación de esta onda.

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Q12. En el centro de una piscina circular de 10 m de radio, dejamos caer una piedra que origina una onda sinusoidal en la superficie del agua. La longitud de onda de este movimiento es de 0,75 m y la onda tarda 10 s en llegar a la orilla. Calcula: A) el periodo y la frecuencia; B) la elongación máxima, sabiendo que al cabo de 0,25 s de producirse la perturbación, la elongación en el centro de la piscina es de 4 cm. C) Elongación de un punto a 6 cm del foco al cabo de 12 s; D) Velocidad de ese punto en ese momento.

OTRAS EXPRESIONES PARA LA ECUACIÓN DE ONDA. Es frecuente encontrarse en los libros expresiones para la función de ondas que no responden a la que ya conocemos. Es el caso de expresiones en las que hallamos la función coseno, o una constante dentro del argumento del seno. Estas ecuaciones, son igualmente válidas y representan una onda armónica. La razón por la que se elige la función seno o coseno para representar la ecuación de ondas depende de las condiciones iniciales que se establezcan, y por el mismo motivo podemos hallar una constante en el argumento del seno o del coseno. Con todo, conviene recordar que relaciones trigonométricas entre coseno y seno:

Q13. (DE SELECTIVIDAD. Año 1984) Una onda está expresada por la ecuación x ⎤ ⎡t Y = 2 cos 2π ⎢ + π π ⎥ sen( − α ) = cosα = − sen(α − ) ⎣ 4 160 ⎦ (CGS). 2 2 Determinar: Del mismo modo, en ocasiones la ecuación del movimiento a) El carácter de la onda y su velocidad de ondulatorio aparece de la forma y = A sen (kx ‐ ωt) propagación. c) La diferencia de fase para dos posiciones de la basta hacer un pequeño estudio para deducir las mismas misma partícula cuando el intervalo de tiempo transcurrido es características anteriores. de 2 segundos. d) La diferencia de fase, en un instante dado, de dos partículas separadas 120 cm en la dirección de avance de la onda. Q14. La ecuación de una onda es y(x,t) = 6.10‐6 cos(1900t + 5.72x) (CGS). Calcula la frecuencia, longitud de onda y la velocidad y sentido de propagación de la onda. Q15. Una onda armónica de 20 cm de amplitud y 0,5 s de periodo se propaga con una velocidad de 24 m/s en el sentido positivo del eje OX. Si para el instante t = 0,125 s es nula la elongación de un punto situado en x = 4 m, hallar la ecuación de esta onda. Q16. (DE SELECTIVIDAD) Una onda sinusoidal se propaga a lo largo de una cuerda. El tiempo que transcurre entre el instante de desplazamiento máximo y el de elongación nula de un punto de la cuerda es 0,17 s. Calcula: A) periodo y frecuencia de la onda; B) velocidad de propagación de la onda si su longitud de onda es de 1,4 m. Q17. Comprobar que la ecuación y = 0.2 sen 24π (x ‐ 5t) corresponde a una onda de 0,2 m de amplitud y 60 Hz de frecuencia que se mueve en el sentido positivo del eje OX con una velocidad de 5 m/s. Encontrar otra expresión distinta que describa a esta misma onda.

UNA BREVE CONSIDERACIÓN SOBRE LAS ONDAS y SU ECUACIÓN. La ecuación que aquí se ha deducido para las ondas es una “ecuación trigonométrica”, viendo en ello una manera de simplificar nuestro estudio y calificándolas de armónicas. En realidad, las ecuaciones de onda suelen ser a veces, mucho más complejas y no tienen por qué ser “de tipo trigonométrico”. En general, la ecuación de las ondas unidireccionales son del tipo y(x,t)= F(x +/‐ vt), donde F puede ser una función matemática cualquiera. Precisamente, según cuál sea esa F “la forma de la onda” será diferente. En los casos analizados, F ha sido una función seno ó coseno, de ahí la forma típica de ondas que hemos venido contemplando y por tanto, de la doble periodicidad de la que hemos estado hablando. Estrictamente, la ecuación y(x,t) = F(x +/‐ vt) es solución de una ecuación diferencial de segundo orden que no viene al caso comentar aquí, donde la fase (x +/‐ vt) nos informa de la velocidad de propagación de la onda y del sentido en que ésta se desplaza. Otra salvedad a tener presente es que aquí sólo hemos considerado “movimientos ondulatorios unidimensionales”, que como puede entenderse fácilmente, no es más que un caso particular de los que pueden existir.

5. ENERGÍA ASOCIADA AL MOVIMIENTO ONDULATORIO. Desde casi el comienzo de este tema se comentaba que, como característica a destacar del movimiento ondulatorio, en éste se transmitía energía sin transporte de materia. Si como venimos haciendo, consideramos ondas armónicas, cada partícula del medio describe un MAS y comunica a sus vecinas ese movimiento. Por lo tanto, una partícula que así vibra poseerá tanto energía cinética como energía potencial, ya que la fuerza que provoca el MAS es una fuerza elástica del tipo F = -kx, que es una fuerza conservativa. Por tanto, cada partícula, a una determinada distancia del foco, vibrará con valores de energía propio a los de un MAS, pues es éste tipo de movimiento el que se transmite en las ondas armónicas.

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Sin embargo, nuestro problema es determinar cuánta energía transporta o desplaza una onda. En este punto, hay que tener presente que cuando un punto del espacio comienza a vibrar, se convierte en foco emisor de energía que se va propagando con el frente de onda. Por lo tanto, el foco emitirá o irradiará energía en una cierta cantidad por unidad de tiempo (con una cierta potencia) dependiendo de su amplitud de oscilación y/o de su frecuencia. Como la energía “no se puede perder”, avanzará con el frente de onda y se repartirá entre todas las partículas que componen el frente de onda. Esto quiere decir que conforme nos alejamos del foco, el frente de onda será cada vez más grande mientras que la energía a repartir debe ser la misma, por ello, las partículas de ese frente vibrarán cada vez con menos energía y repartirán cada vez menos energía. Es decir, que la energía transportada por la onda decaerá con la distancia. A este fenómeno se lo denomina atenuación de la onda. Una magnitud adecuada para representar la rapidez con que se transfiere la energía es la denominada INTENSIDAD DE ONDA. La intensidad de onda en un punto, es la energía que atraviesa por unidad de tiempo, una superficie unidad colocada en ese punto, perpendicularmente a la dirección de propagación. Suele representarse por la letra I, y su unidad en el S.I. es el W/m2. Si admitimos que no hay pérdidas energéticas (por rozamiento2, por ejemplo) si el foco emisor emite una cierta cantidad de energía en un determinado tiempo (esto es, emite con una determinada potencia, Pe), a cierta distancia, r, de ese foco (para, por ejemplo, una onda esférica propagada en un medio homogéneo e isótropo) la Intensidad de onda vendrá dada por: I=

Pe 4πr 2

siendo 4πr2 la superficie de la esfera de radio r centrada en el foco. Si la distancia es r’, la intensidad de la onda será:

Pe 4πr '2 Como puede verse, la intensidad de la onda disminuye con el cuadrado de la distancia al foco emisor. Esto es lo que antes hemos comentado que se conoce como atenuación de la onda. I=

Ya que la Intensidad depende del cuadrado de la amplitud (por definición), podemos concluir que la amplitud de la onda es inversamente proporcional a la distancia al foco emisor. Por lo tanto, dos puntos situados a sendas distancias r1 y r2 del centro emisor, tendrán una amplitud de oscilación A1 y A2 tales que:

A1 r2 = A2 r1 Q18. Un foco sonoro emite con una potencia de 20 W. Calcula la intensidad sonora en dos puntos situados a 10 y 20 m respectivamente del foco emisor. ¿Cuál será la relación que existe entre las amplitudes de la onda sonora en esos puntos? Q19. Un altavoz emite el sonido con una potencia de 40 W. Determina A) La intensidad sonora a 10 m de distancia del altavoz; 3 B) Expresa el nivel que corresponde a esa intensidad sonora en decibelios

2

Una segunda causa por la que la intensidad de una onda disminuye a medida que se propaga es la pérdida energética ocasionada por rozamientos, viscosidad, etc. Esto supone que parte de la energía emitida por el foco va siendo absorbida por el medio y por tanto, la onda va debilitándose. A tal debilitamiento de la onda se le conoce con el nombre de ABSORCIÓN. 3 La intensidad sonora (variable, también con la frecuencia) posee un nivel a partir del cual produce dolor. En ocasiones, se habla del nivel de intensidad (B). Su unidad es el decibelio, que se define como

B = 10 log

I I0

donde I es el valor de la intensidad de un sonido e I0 el valor que corresponde a un nivel arbitrario de referencia. Para el aire I0 = 10‐12 W/m2

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ALGUNOS EJEMPLOS DE PROBLEMAS RESUELTOS

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PROBLEMAS PARA RESOLVER 1. 2.

3.

4.

5.

6. 7.

8.

9.

Un móvil describe un MAS de 5 cm de amplitud y 1,25 s de periodo. Escribir la ecuación de su elongación sabiendo que en el instante inicial la elongación es máxima y positiva. Un móvil describe un MAS entre los puntos P1 (1,0) y P2 (‐1,0). La frecuencia del movimiento es 0,5 s‐1 e inicialmente se encuentra en el punto P2. Hallar: (a) la pulsación del movimiento; (b) Ecuaciones de su elongación y rapidez; (c) Rapidez máxima La ecuación de un MAS es S = 2 ∙ cos (πt + π/4). Determinar: a) Amplitud, periodo y frecuencia de este movimiento; b) rapidez y aceleración instantáneas; c) Posición y velocidad en el instante t = 1; d) Desplazamiento del objeto entre los tiempos t = 0 y t = 1 segundos. El chasis de un automóvil de 1200 kg de masa está soportado por cuatro resortes de constante elástica 20000 N/m cada uno. Si en el coche viajan cuatro personas de 60 kg cada una, hallar la frecuencia de vibración del automóvil al pasar por un bache. Una masa de 200 gramos unida a un muelle de constante elástica K = 20 N/m oscila con una amplitud de 5 cm sobre una superficie horizontal sin rozamiento. (A) Calcular la energía total del sistema y la velocidad máxima; (B) Velocidad cuando la elongación sea de 3 cm; (C) Energía cinética y potencial cuando la elongación sea de 3 cm; (D) ¿Para qué valores de la elongación la velocidad del sistema es de 0,2 m/s? ¿En qué posiciones y en qué instantes se hacen iguales las energías cinética y potencial elástica de un cuerpo que describe un mas? Del extremo de un muelle cuelga una masa de 500 gramos. Si a continuación se le añade otra de 500 gramos el muelle se alarga 2 cm. Al retirar esta segunda masa, la primera comienza a oscilar con un mas. ¿Cuál será la frecuencia de estas oscilaciones? [Sol.: 3,5 Hz) Un péndulo está constituido por una masa puntual de 500 gramos suspendida de un hilo de 1 m de longitud. (A) Determinar el periodo de oscilación de este péndulo para pequeñas separaciones del equilibrio; (B) Velocidad con la que pasa por la posición de equilibrio si se lo separa 60º de la vertical. Si se duplica la pulsación de un MAS, indica cómo varía: (A) Su periodo; (B) Su frecuencia; (C) Su amplitud; (D) La fase inicial.

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10. Dos cuerpos de igual masa se cuelgan de dos resortes que poseen la misma constante elástica, pero tales que la longitud del primero es doble que la del segundo. ¿Cuál de ellos vibrará con mayor frecuencia? ¿Por qué? 11. Un móvil animado de un mas tiene una aceleración de 5 m/s2 cuando su elongación es 5 cm. ¿Cuánto vale su periodo? 12. Un muelle de constante K = 290 N/cm está situado en posición vertical sobre una superficie. Desde 80 cm sobre su vertical soltamos una masa de 3 kg de modo que al caer comprime el muelle quedando el conjunto en equilibrio. Determinar la compresión experimentada por el muelle. 13. Una partícula de 50 g vibra a lo largo del eje X, alejándose como máximo 10 cm a un lado y a otro de la posición de equilibrio (x = 0). El estudio de su movimiento ha revelado que existe una relación sencilla entre la aceleración y la posición que ocupa en cada instante: a = – 16 π² x. a) Escribe las expresiones de la posición y de la velocidad de la partícula en función del tiempo, sabiendo que este último se comenzó a medir cuando la partícula pasaba por la posición x = 10 cm. b) Calcula las energías cinética y potencial de la partícula cuando se encuentra a 5 cm de la posición de equilibrio. 14. Un diapasón, usual en los laboratorios de física, tiene una frecuencia de 440 Hz y oscila con una amplitud de 1mm. Identifica todas las magnitudes del movimiento vibratorio, supuesto que sea un MAS, así como las ecuaciones de su movimiento y rapidez, si sabemos que en t = 0 la elongación es +A. 15. (SELECTIVIDAD LOGSE) Una pelota está botando en el suelo. A) ¿Es un movimiento periódico? ¿Es armónico simple?; B) Repetir la anterior cuestión para el caso en que no hubiera pérdidas energéticas en los rebotes. 16. Un muelle colocado horizontalmente sobre una mesa sin rozamiento, lleva en su extremo una masa de 5 kg. Se sabe que una fuerza horizontal de 29,4 N alarga el muelle 2 cm. Determina la frecuencia del movimiento. 17. ¿Cuál es la relación entre la energía cinética y la energía potencial de un punto, de masa “m” que vibra armónicamente en los instantes en que la elongación es (a) x = A/2; (b) x = A/4; (c) x = A. [Sol: a) Ec = 3Ep; b) Ec = 15 Ep; c) Ec = 0 18. El pistón de un cilindro de un motor de combustión interna realiza un MAS. En un determinado régimen de funcionamiento, tiene una amplitud de recorrido de 10 cm y realiza 2400 oscilaciones en un minuto. Si para t = 0, el pistón está en y = 0 cm, determinar la ecuación del movimiento y su rapidez en cualquier instante. 19. Un objeto realiza un MAS de tal modo que entre las posiciones extremas del mismo la distancia es de 12 cm y realiza 24 oscilaciones en un tiempo de 6 s. Al pasar el objeto vibrante por la posición de equilibrio, comienza la cuenta del tiempo. Escribe las ecuaciones de este movimiento y determina la posición, rapidez y aceleración 1,5 s después de empezar a contar el tiempo, si sabemos que para t = 0 y = +A. `Sol.: y = 0; v = 48 π m/s; a = 0) 20. Escribe la ecuación MAS de un cuerpo que oscila colgado de un muelle, si se sabe que la separación máxima es de 8 cm y realiza 20 oscilaciones cada 9 segundos. 21. Un resorte lleva en un extremo una masa m y oscila con un período T = 2 s. Si se aumenta la masa en 2 Kg, el nuevo período es de 3 s. Calcular m. [Sol.: 1,6 kg] 22. El estudio experimental del movimiento armónico simple de una partícula de 250 g se hace tomando t = 0 en el instante en que pasa la partícula por el punto de equilibrio y de elongación negativa a positiva. Si tarda 1 mín. 20 s en describir 100 oscilaciones completas, y el valor máximo de la fuerza que produce el movimiento es F = 25 N, determinar: A, ω y jo en la ecuación del movimiento: x = A cos (ωt + j0). [Sol.: A = 1,6 m; w =2,5π rad/s; j0 = 1,5π rad. 23. Una bola de masa m = 20 g oscila con m.a.s. con período T = π s y amplitud de 10 cm. Calcular: a) la velocidad máxima de la bola; b) la velocidad cuando la fase es de 60º; c) la fuerza restauradora sobre la bola, cuando las fases son: 0º, 30º y 90º respectivamente. [Sol.: vmax = 0,20 m/s; v = 0,1 m/s; F1 = 0; F2 = ‐4∙10‐3] 24. Una partícula de masa 2 unidades SI se mueve a lo largo del eje X hacia el origen, por la acción de una fuerza F = ‐ 10 x i. Inicialmente está a 2 m del origen moviéndose con una velocidad de 10 m/s. Calcular: a) el período del movimiento; b) el instante que pasa por el origen la primera vez; c) la velocidad en dicho instante. [Sol.: T = 2,81 s; t = 0,19 s; v = ‐10,98 m/s] 25. Una partícula de masa 5 g oscila por la acción de un resorte cuyo movimiento es: x = 7 cos(3t + 1), siendo x, cm; t, segundos y 1 radianes. Determinar: a) la velocidad y la aceleración (máximas) de la partícula; b) el período de oscilación y la constante recuperadora del resorte; c) los instantes en los que v y a se hacen máximas; d) la representación gráfica de la aceleración instantánea en función de la velocidad v y la de la aceleración a en función de la posición x. [Sol.: vm = ‐0,21 m/s; am = ‐ 0,63 m/s2 ; T = 2,1 s; k = 45∙10‐3 N/m; t0 = 0,19 s; t1= 1,24 s...(v); t´1 = 0,71 s…(a) 26. Un muelle elástico de 10 cm (y 100 g de masa) tiene uno de sus extremos fijo en la pared vertical y descansa en una superficie horizontal sin rozamiento. Se le aplica una fuerza de 20 N para mantenerlo estirado una longitud de 15 cm. En esta posición se suelta y oscila libremente. Calcular: a) la constante de recuperación del resorte; b) la ecuación del movimiento vibratorio armónico resultante; c) las energías potencial y cinética cuando x = 2 cm; d) velocidad máxima y aceleración máxima en ese punto, indicando las elongaciones de cada una 27. En el centro de una piscina de 6 m de radio se produce una perturbación que origina un movimiento ondulatorio en la superficie del agua; la longitud de onda vale 3/4 m y tarda 12 s en llegar a la orilla; calcular: a) el período y la frecuencia del movimiento; b) la amplitud, si al cabo de 1/4 de segundo la elongación es de 4 cm; c) la elongación de un punto situado a 6 cm del foco emisor en el instante t = 12 s. [Sol.: T = 1,5 s; f = 0,67 Hz; A = 4,62 cm; y = ‐2,23 cm]

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28. Una cuerda de longitud L = 60 cm tiene el extremo S unido a un vibrador animado de movimiento vertical sinusoidal de amplitud A = 1,0 cm y frecuencia f = 100 Hz. El otro extremo está unido a un dispositivo que impide la reflexión de onda. Si en el instante t = 0 el extremo S está en su posición de equilibrio y considerando positivo el desplazamiento ascendente, deducir la ecuación de la elongación de S en función del tiempo. 2) Las vibraciones se propagan con velocidad v = 30,0 m/s. Determinar: a) la longitud de onda; b) el vector de onda (o número de ondas) k; c) la expresión de la elongación de un punto M situado a una distancia x = 45,0 cm del punto S. [Sol: 1) y = 1,0 sen 200πt cm; 2) l = 0,30 m; k = 20,9 m‐1; y = 1,0 sen (200πt – 9,4) cm] 29. Una onda de 10 cm de amplitud se propaga de izquierda a derecha y su período es de 12 s. Supuesta sinusoidal, hallar la elongación en el origen cuando el tiempo es 1 s, contado a partir de la iniciación del movimiento, desde la posición de equilibrio. En ese mismo instante, la elongación es nula en un punto distante 4 cm del origen hacia la derecha. Hallar la longitud de onda correspondiente. [Solución: y = 5 cm; λ= 0,48 m] 30. Una onda longitudinal se propaga por un resorte que tiene un extremo unido a una fuente vibrátil. Si la frecuencia de la vibración es f = 25 Hz y la longitud de onda, l = 0,24 m, calcular: a) la velocidad de propagación; b) la ecuación de la onda, si la elongación máxima es 0,3 cm y se propaga en sentido positivo en el eje OX. [Solución: v = 6 m/s ; y = 0,3∙10‐2 sen (50π ‐ 26,18x) m] 31. La ecuación del movimiento de una onda transversal por una cuerda tensa es: y = 0,25 cos (0,05 t ‐ 0,2 x) en unidades SI. Calcular: a) la velocidad de propagación de la onda por la cuerda; b) la velocidad del punto de la cuerda x = 2,5 m en el instante t = 10 s. [Solución: v = 0,25 m/s; v´ = 0] 32. Una onda unidimensional se propaga de derecha a izquierda con velocidad de 8 m/s, frecuencia f = 2 Hz y de amplitud 30 cm. Calcular: a) la longitud de onda; b) la ecuación de la onda; c) la velocidad de una partícula en x = 2 m en el instante t = 1s. [Solución:l = 4 m; y = 0,30 sen (4πt + 1,57x) m.; v = ‐3,77 m/s] 33. Una cuerda puesta en el eje OX vibra transversalmente según el eje 0 Y con movimiento ondulatorio de ecuación: y(x, t) = 0,002 sen (60 x + 300 t) en unidades SI. Se pide: a) dirección y velocidad con que se propaga la onda; b) longitud de onda y frecuencia del movimiento. [Solución: v = ‐5 m/s; l = 0,10 m; f = 47,75 Hz.] 34. El extremo de una cuerda x = 0, oscila según la ecuación: y = A sen ωt, siendo A = 0,1 m y ω = 20π rad/s. Por la cuerda se propaga una onda sinusoidal, y el punto x1 = 0,05 m vibra según la expresión y = A sen (ωt ‐ π/4). Calcular: a) la frecuencia de la onda; b) la velocidad de propagación; e) la longitud de onda; d) la ecuación de la onda. [Solución: f = 10 Hz; v = 4 m/s; l = 0,4 m; y = 0,1 sen 2π(t/0,1 ‐ 5x/2) m] ‐8 2 35. Una onda armónica esférica tiene de intensidad 6∙10 W/cm a 20 m del foco emisor. Si no hay absorción, calcular: a) la energía emitida por el foco emisor en un minuto; b) la amplitud de la onda a los 40 m, si a los 20 m es de 4 mm. [Solución: E = 180,96 J; A2 = 2 mm] 36. Una perturbación se propaga por un medio elástico, según la ecuación: y = 24 sen (1.987 t – 6 x) en unidades SI. Determinar: a) la frecuencia de las vibraciones; b) la velocidad de propagación de la onda; c) la ecuación de otra onda que se propaga en sentido contrario, e idéntica a la dada. [Solución: f = 316,2 Hz; v = 331 m/s; y = 24 sen (1.987t + 6x) m] 37. En una cuerda horizontal de longitud indefinida se produce una onda sinusoidal transversal en x = 0; el movimiento de la misma se produce dos veces cada segundo. Si la densidad lineal de la cuerda es de 0,25 kg/m y está sometida a una tensión de 10 N, calcular: a) la velocidad de propagación del movimiento ondulatorio en la cuerda; b) la frecuencia y longitud de onda del mismo; c) la ecuación del movimiento; d) la velocidad y aceleración de un punto situado a 3,16 m del origen de la perturbación. Dato: amplitud del movimiento, A = 0,5 m. [Solución: v = 6,32 m/s; f = 2 Hz; l = 3,16 m; y = 0,5 sen 2π (t/0,5 ‐ x/3,16)m; vx = 2π cos(4πt – 6,32) m/s; ax = ‐8 π 2 sen (4πt – 6,32) m/s2] 38. Dos masas de 0,80 y 1,0 kg penden de resortes idénticos de constante elástica k = 4,0∙π2 N/m. Ambos se sueltan para oscilar simultáneamente (desde sus desplazamientos máximos iguales) y describen m.a.s. Calcular: a) las frecuencias de oscilación de cada uno de ellos; b) el menor tiempo en que uno de ellos da exactamente una vibración más que el otro (período de las pulsaciones); c) la frecuencia con que ambos resortes alcanzan en el mismo instante la elongación máxima (frecuencia de las pulsaciones). [Solución: f1 = 1,12 Hz; f2 = 1 Hz; T = 8,3 s; fp = 0,12 Hz] 39. La ecuación de una onda en unidades SI es: y = 0,04 sen (30Oπt ‐ 3x) Calcular: a) la frecuencia de la onda y su velocidad; b) la diferencia de fase entre las posiciones de un punto en el intervalo de tiempo t = 1 s; e) la distancia entre dos puntos consecutivos cuya diferencia de fase es π/3 radianes; d) la diferencia de fase entre dos puntos, en un instante dado, cuya separación es de 0,5 m. [Solución: f = 150 Hz; v = 315 m/s; Dj = 300 π rad; Dx = 0,35 m; Dj = 1,5 rad] 40. La ecuación de una onda transversal es Y = 25 sen (0,4t ‐ 3.14x) (SI). Determina: (a) Los puntos que están en fase y en oposición de fase; (b) ¿Qué tiempo tiene que transcurrir para que un punto situado a 5 m del foco tenga velocidad máxima? 41. La ecuación de una onda transversal que se propaga en una cuerda es Y = 0,2 cos (0,5x ‐ 200t), (CGS). Calcula la velocidad transversal de la cuerda en x = 40 cm y t = 0,15 s e identifica las magnitudes propias de la onda. 42. (SELECTIVIDAD) Una onda está representada por la ecuación f(x,t) = cos π (0,5 t + 0,125 x) (CGS). A) Especifica las características de la onda, así como la rapidez de propagación; B) Dado un punto fijo y un instante cualquiera, determina la diferencia de fase tres segundos más tarde; C) velocidad con que vibra un punto cualquiera y su valor máximo.

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6. PROPAGACIÓN DE ONDAS. REFLEXIÓN y REFRACCIÓN. Como ya se ha dicho, la velocidad de propagación de las ondas, depende de las características del medio. Este hecho, trae como consecuencia, que cuando una onda Onda Incident e Onda reflejada (onda incidente) alcanza la superficie de separación θi (interfase) entre dos medios en los que se propaga con θ'r diferente velocidad, se produzcan fenómenos de reflexión y de refracción. * La ONDA REFLEJADA es la que, tras experimentar un cambio en su dirección, se propaga en el mismo medio en que se propagaba la onda incidente. * La ONDA REFRACTADA es la que se propaga en el segundo medio, habiendo sufrido también un cambio en su dirección respecto de la de incidencia.

medio 1 medio 2

Onda refract ada θr

El físico danés Christian Huygens (1629-1695), a finales del siglo XVII, propuso un mecanismo que explicaba satisfactoriamente la propagación de las ondas mecánicas. En el caso de las ondas electromagnéticas que se propagan en el vacío, la construcción de Huygens precisa una revisión, que fue llevada a cabo a finales del siglo pasado por el alemán Gustav Kirchhoff (1824-1887). La idea básica del mecanismo propuesto por Huygens se acostumbra a enunciar en forma de principio: cada punto de un frente de ondas, se convierte en un foco emisor de ondas secundarias, cuya envolvente es un nuevo frente de ondas. (La envolvente de una familia de curvas, es una curva tangente a todas ellas). Envolvent e

A B C

Conviene indicar que, por aplicación del principio de Huygens, se podrían producir nuevos frentes de onda en sentido contrario D al de avance de la perturbación. Fue también Kirchhoff quien eliminó esta dificultad al establecer que las “ondas de retroceso” no existían al poseer energía nula. La demostración de Kirchhoff de este resultado y la que permite la ampliación del principio de Huygens a ondas electromagnéticas, es muy complicada y no entraremos en ella. Como ejercicio de aplicación utilizaremos el principio de Huygens para deducir las leyes de la reflexión y de la refracción para una onda plana cuando la superficie de separación entre los dos medios, también es plana. (También siguen siendo válidas si estas premisas no se cumplen)

Estas leyes son:

•

Las direcciones de la onda incidente, de la reflejada y de la refractada, están en un mismo plano perpendicular a la superficie de separación entre los dos medios.

•

El ángulo de incidencia es igual al de reflexión (θi = θ‘r). El ángulo de incidencia está determinado por la dirección de la onda incidente y una dirección perpendicular a la superficie de separación en el punto de incidencia a la que se la denomina normal. De modo equivalente, se determinan los ángulos de reflexión y refracción.

•

El cociente entre el seno del ángulo de incidencia y el de refracción es constante. Esa constante es igual al cociente entre la velocidad de propagación de la onda en el medio en que viaja la onda incidente y la velocidad de propagación en el medio en que viaja la onda refractada. A esa constante se la conoce como índice de refracción relativo del medio de refracción respecto del medio de incidencia.

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Esta última ley, conocida como ley de Snell (o de Snell-Descartes) establece que:

n 2 sen θ i v = = 1 = n 21 n1 sen θr v2 de donde resulta claro que si v1 > v2 (n21 > 1) será sen θi > sen θr, es decir θi > θr, lo que significa que el rayo refractado (la dirección de la onda refractada) se acerca a la normal. Si sucede lo contrario, v1< v2 (n21 < 1), el rayo refractado se aleja de la normal. Estas leyes son conocidas desde muy antiguo, sin embargo, vamos a justificarlas utilizando el modelo de Huygens. Normal La primera ley puede justificarse simplemente por simetría, ya que el rayo incidente y la normal a la superficie determinan un plano, y no hay ninguna razón para que los rayos reflejados (y refractados) se i r aparten de ese plano.

A'

B

La segunda ley no es difícil de justificar.

Supongamos un frente de onda AB plano (ver figura) que llega con cierta inclinación y a la superficie de separación de los dos medios. i Cuando el punto A del frente de onda alcanza la superficie de Y X A C separación, el punto B dista un segmento BC de la misma. En ese instante, el punto alcanzado por A se convierte en foco emisor de nuevas ondas. A medida que transcurre el tiempo, sucede los mismo con los puntos X, Y y Z. De esta manera, cuando el punto B llegue a la superficie de separación, las ondas emitidas por A, X, Y, Z, habrán originado un nuevo frente de ondas, envolvente de las ondas secundarias, el A’C, que constituye la onda reflejada. r Z

Por simple geometría, se aprecia que sen i = BC/AC; sen r = AA’/AC Ya que la onda no cambia de medio EL MODULO DE LA VELOCIDAD NO SE MODIFICA, ya que la velocidad de propagación depende de las características del medio y por consiguiente, BC = AA’, ya que se emplea el mismo tiempo en recorrerlas. Por lo tanto, i = r. La ley de Snell puede justificarse de modo similar, pero teniendo presente que ahora, la velocidad de la onda cambia al penetrar en el medio 1; v1 segundo medio (ver esta segunda figura). Cuando el punto A es alcanzado por el frente de ondas, se comportará como foco emisor de ondas secundarias, en este caso hacia el segundo medio, y lo mismo sucederá con los puntos X,Y,Z a medida que son alcanzados por la onda. Durante el tiempo que emplea B en llegar hasta C, se ha generado en el segundo medio un nuevo frente de ondas, el A’C, como se ve en la figura. De ella se deduce que:

Normal

i

B

i

A

Y

X

A'

Zt

t

C medio 2; v2

sen i = BC/AC sen t = AA’/AC Si v1 y v2 son las respectivas velocidades de propagación en cada uno de los medios, se tendrá que: BC = v1.t AA’ = v2.t siendo t el tiempo que emplea la onda en pasar de A a A’, idéntico al que emplea en pasar de B a C.

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Sustituyendo:

sen i = v1.t/AC sen t = v2.t/AC

Q21. En ocasiones decimos que el rayo refractado se acerca o se aleja de la normal. Señala en qué condiciones se acerca el rayo a la normal y en qué condiciones se aleja de ésta. Q22. Cuando el rayo refractado se aleja de la normal aparece el fenómeno conocido como reflexión total que se produce a partir de cierto ángulo conocido como ángulo límite. Calcula el ángulo límite para un rayo de luz que pase del vidrio (n = 1,5) al aire (n = 1). Analiza qué sucede con ángulos mayores o menores que el ángulo límite. ¿Conoces alguna aplicación práctica de este fenómeno? (Sol.: 41,81º) Q23. La velocidad de propagación de la luz en el agua es 0,75 c (siendo c la velocidad de propagación de la luz en el aire). Considera un recipiente de agua en el que se coloca un espejo en el fondo. Un rayo de luz penetra en el agua con una inclinación de 30º. Calcula la inclinación con que saldrá del agua tras reflejarse en el espejo del fondo. ¿Hay algún ángulo de incidencia para el cual no emerge ningún rayo tras reflejarse en el espejo del fondo?

dividiendo: seni v1 = sent v2 que resulta ser la ley de Snell (expresada de otro modo).

Si utilizamos los índices de refracción absolutos (es decir, referidos a otro medio escogido como patrón): n = c/v (siendo c la velocidad en ese medio patrón), podemos expresar la ley anterior como:

seni n2 = sent n1

El hecho de que la velocidad de propagación de la onda sea diferente en los dos medios mientras que la frecuencia se mantiene constante trae como consecuencia que la longitud de onda de la onda refractada es diferente de la de la onda incidente. Dada la relación entre la longitud de onda, velocidad de propagación y frecuencia de la onda v 2πv λ = v.T = = f ω resulta claro que la longitud de onda es mayor en el medio en que se propaga la onda con mayor velocidad. Por otra parte, como ha de conservarse la energía transmitida por la onda, esa energía se debe repartir entre la onda reflejada y la refractada y como la energía en un movimiento ondulatorio depende del cuadrado de la amplitud, se comprende que las amplitudes de las ondas incidente, reflejada y refractada sean diferentes. En algunos casos, por ejemplo en los espejos, es la onda reflejada la de mayor energía. En otros, por contra, la mayor parte de la energía la transporta la onda refractada. Para conocer la relación entre las amplitudes de las ondas incidente, reflejada y refractada es necesario conocer las características de cada caso, lo que nos permitirá establecer las llamadas condiciones de contorno.

7. FENÓMENOS DE DIFRACCIÓN ¿Qué sucederá cuando una onda choca con una pared en la que se ha practicado una pequeña abertura? ¿Cómo se propaga la onda a partir de esa abertura? Al realizar la experiencia con ondas planas, se aprecia que si la abertura es suficientemente grande, las ondas que la atraviesan apenas si se distorsionan. Sin embargo, conforme se va reduciendo el tamaño de la abertura (o del obstáculo), llega un momento en que el movimiento que se propaga tras ésta es diferente al que existía ANTES de atravesarla. Este hecho se hace aún más notable cuando el tamaño de orificio se acerca al de la longitud de onda.(ver figura) Este fenómeno se conoce con el nombre de difracción, y es de los más característicos del movimiento ondulatorio, tanto, que permite discernir si determinado fenómeno es o no de naturaleza ondulatoria (por ejemplo, experimentos con difracción de electrones para determinar su naturaleza ondulatoria).

Podemos definir la difracción como el fenómeno que se produce cuando en la propagación de una onda ésta encuentra un obstáculo o una abertura de tamaño comparable al de su longitud de onda.

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Como vemos en la imagen, la distorsión aumenta a medida que se reducen las dimensiones de la abertura, siendo importante cuando la anchura de ésta se aproxima al valor de la longitud de onda. A este fenómeno se lo denomina difracción.

La difracción es el fenómeno que se produce cuando una onda encuentra un obstáculo o una apertura al propagarse cuyo tamaño es comparable a su longitud de onda.

La aparente ausencia de difracción en la luz es en realidad un problema de tamaño: las longitudes de onda de la luz visible son del orden de 10-7 m y por lo tanto sólo aparecen figuras de difracción cuando los obstáculos tienen un tamaño comparable con esa longitud de onda. En efecto, y este hecho marca una limitación al tamaño de los objetos que podemos ver, tanto a simple vista como con el microscopio óptico. Así, si nos fijamos en el último esquema, vemos que cuando el objeto a ver (por un microscopio óptico, por ejemplo) es de mayor tamaño que la longitud de onda, ese objeto se nos hace visible (tercer caso del dibujo). En cambio, si ese objeto a ver por el microscopio es de un tamaño muy reducido en comparación con la longitud de onda, se nos hace totalmente invisible por la difracción de la propia luz que usamos. Es necesario, por tanto usar “otra luz” que tenga una longitud de onda menor que el propio objeto. Así nacieron los microscopios electrónicos, que aprovechan una “propiedad de los electrones” (su carácter ondulatorio) para poder ver los objetos.

8. SUPERPOSICIÓN DE ONDAS ARMÓNICAS. INTERFERENCIAS Aunque no se ha dicho, puede suponerse que un punto del espacio puede ser alcanzado al mismo tiempo, por dos o más movimientos ondulatorios diferentes producidos en distintos focos. En ese punto se superponen las perturbaciones que producirían en él cada uno de los movimientos ondulatorios. Se dice entonces que en ese punto se ha producido una interferencia. En este sentido, existe una propiedad muy importante de las ondas, conocida con el nombre de PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN. Es uno de los principios más importantes en el estudio del movimiento ondulatorio, por el cual, dos movimientos ondulatorios que se encuentran en un punto, se superponen dando lugar a otro nuevo, pero solamente en ese punto, continuando independientemente uno del otro.

Aplicando este principio tenemos que la onda resultante se obtendrá (en cada instante) sumando, para cada punto, las elongaciones debidas a las ondas componentes. Precisamente por el principio de superposición se puede analizar cualquier tipo de movimiento ondulatorio periódico. Fourier demostró que toda función periódica no sinusoidal puede obtenerse como suma o superposición de movimientos ondulatorios armónicos sinusoidales.

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Este principio de superposición es similar al encontrado en otras situaciones similares ya estudiadas, como por ejemplo, la composición de movimientos. Conviene pensar, además, en lo característico de este principio: el hecho de que dos pulsos se crucen sin alterar su naturaleza es una propiedad fundamental de las ondas y caracterizan al movimiento ondulatorio. Pensemos en la enorme diferencia que existe entre este hecho y lo que sucede cuando chocan dos objetos: en ese caso desaparecen los movimientos originales. La generalización del principio de superposición, constituye la esencia de las INTERFERENCIAS. Para no complicar en exceso, supondremos dos ondas de igual frecuencia y amplitud generadas en focos independientes, y nos detendremos en observar los efectos de la superposición de estas ondas en un punto P situado a diferentes distancias de cada foco.

P

Estudiaremos analíticamente las condiciones que deben cumplir dos trenes de onda de igual frecuencia y amplitud, para que al interferir en un punto, se produzcan máximos y mínimos de interferencia. (Ver figura)

Debido al primer movimiento, que se produce en O1 y sigue la trayectoria (que llamaremos x1) el punto P tiene un estado de O2 vibración expresado por la ecuación

O1

t x y1 = Asen2π ( − 1 ) T λ y por la misma razón, debido al movimiento iniciado en O2 y de camino x2:

t x y2 = Asen2π ( − 2 ) . T λ Según el principio de superposición, el estado de P será4: y = y1 + y2 t x t x ⎤ ⎡ y = y1 + y 2 = A⎢ sen2π ( − 1 ) + sen 2π ( − 2 )⎥ = T λ T λ ⎦ ⎣ t x t x ) t x t x )⎤ ⎡ 2π ( − 1 ) + 2π ( − 2 2π ( − 1 ) − 2π ( − 2 ⎥ ⎢ λ λ λ λ = T T T T cos A⎢2 sen ⎥ 2 2 ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ t x1 t x2 t x1 t x 2π − 2π − 2π + 2π 2 2π − 2π + 2π − 2π λ λ λ λ = T T T T cos 2 Asen 2 2 x −x t x + x2 t x + x2 2 A cos 2π 2 1 sen2π ( − 1 ) = A0 sen 2π ( − 1 ) 2λ 2λ 2λ T T

donde A0 es la amplitud de la onda resultante en el punto del espacio en el que se produce la interferencia, y de valor x −x A0 = 2 A cos 2π 2 1 2λ

Vamos a ver qué condiciones deben de cumplir los valores x1 y x2 en esta expresión de la amplitud para que en P haya un máximo o un mínimo.

a.‐ Habrá un máximo cuando la amplitud de la onda resultante sea máxima. 4

recordar que sen a + sen b = 2 sen (a+b)/2.cos(a-b)/2

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M O V I M I E N T O S A R M M Ó N I C O y O N D U L A T O R I O. Tema 3.

Como o la amplitud es e A0 = 2A · cos c [2π(x2 – x1)/2λ] , ésta se erá máxima cu uando el cosen no tome valorres +/-1; por lo tanto, tenemos que

cos 2π

x2 − x1 x −x λ = ±1 ⇒ 2π 2 1 = 0 + kπ ⇒ x2 − x1 = 2k 2λ 2λ 2

Por lo o tanto, para que q haya un máximo m de intterferencia debe cumplirse que q la diferen ncia de caminos recorridos por lo os dos movimientos sea igu ual a un número par de se emilongitudes de onda. (o, si se prefiere e: un número entero o de longitud des de onda a). En estos puntos se dice d que se produce una a interferencia a totalmente CONSTRUCTIVA.

b b.‐ Para que se e anulen los dos movimientos en el puntto P, debe verrificarse que

co os 2π

x2 − x1 λ 2k + 1 x −x = 0 ⇒ 2π 2 1 = π + kπ = ⇒ x2 − x1 = ( 2k + 1) 2 2λ 2λ 2 2

Para que q se anulen n ambos trenees de onda en n el punto P, la diferencia de d caminos deebe ser igual a un número imparr de semilongitudes de onda a. En estos cassos, la interferrencia es DESTTRUCTIVA. A los puntos en los que la amplittud de la onda a resultante ess nula, se les denomina NO ODOS, y las lííneas que los unen, líneas nodalees. Tales punto os NO se ven afectados por la propagación de los mo ovimientos ond dulatorios. Se encueentran “en esta ado estacionario”. Si ana alizamos deteenidamente la ecuación qu ue nos da el movimiento resultante r de interferir dos movimientos ondulatorioss en un puntto cualquiera del medio, sacamos las siguientes co onclusiones: 1) El period do del movimiiento resultantte, es idéntico o al de cada uno de los movimientos m c componentes. 2) La ampllitud A0 del movimiento rresultante es una función cosenoidal de d la diferenciia x2 - x1, de caminos recorridos. Precisamentte, las condiciones de interferencia que hemos deducido, obedecen o en realidad a eecuaciones de e hipérbolas, que se haccen evidentes en una cub beta de onda as o en una representaciión de las mismas, como la que aquí se muestra. m m v vibratorios de igual periodo o y dirección Si los dos movimientos que se superponen, NO O poseen la misma amplittud, también existe interfe erencia, pero en los puntos de movimiento mínimo la amplitud no o se anula com mo en el caso expuesto. El fenómeno o de interferencia es muy general. Se observa o tanto en el dominio de las onda as mecánicas (ondas transvversales en la uerda, ondas superficie de un líquido o a lo largo de una cu sonoras en el aire, etc.) como en el dominio o de las ondas luminosas y eléctricas. A partir de su s estudio se puedeen determinar las longitudess de onda.

9 ONDA 9. AS ESTAC CIONARIA AS

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El fenómeno de interferencia de ondas presenta un interés especial cuando se superponen dos ondas de iguales características que se propagan en la misma dirección, pero en sentidos opuestos. El resultado de esta situación puede constituir un ejemplo de las denominadas ondas estacionarias. Un ejemplo de esta situación se presenta cuando disponemos de una cuerda, fija por un extremo, y por el otro avanza un tren de ondas armónico. Cuando el tren de ondas llega al extremo fijo, se “refleja”, y se propaga en sentido contrario, dirigiéndose ahora hacia el extremo libre. En realidad, las ondas estacionarias suelen estar asociadas a fenómenos de reflexión o rebote de una onda que avanza hasta llegar a un límite de separación con otro medio de características diferentes. Al observar esta figura que reproduce el fenómeno, se observa que:

•

unos puntos sobre la horizontal permanecen siempre en reposo.

•

los demás puntos sobre la cuerda presentan un movimiento oscilatorio armónico.

•

la situación de la cuerda permanece inalterable con el tiempo.

Nos interesa determinar cómo será la interferencia. Sean las ecuaciones de las ondas incidentes y reflejadas las siguientes: t x ⎤ ⎡ ψ 1 = A1sen ⎢2π ( + )⎥ T λ ⎦ ⎣ t x ⎤ ⎡ ψ 2 = A2 sen ⎢2π ( − )⎥ T λ ⎦ ⎣ Dado que suponemos que en el extremo fijo (llamémosle punto O) la onda resultante NO podrá vibrar, y teniendo presente el principio de superposición, se deberá cumplir que:

ψ (x =0, t) = ψ1(x =0, t) + ψ2(x =0, t) Haciendo x = 0 en las ecuaciones anteriores y sumando, se tiene que

⎡

t

⎤

⎡

t

⎤

t

ψ ( x=0,t ) = A1sen ⎢ 2π ⎥ + A2 sen ⎢2π ⎥ = 0 ⇒ ( A1 + A2 ) sen( 2π ) = 0 T ⎣ T⎦ ⎣ T⎦ ⇒ A1 = − A2

lo que nos indica que la onda reflejada (en un límite fijo) tiene igual amplitud que la onda incidente, pero de sentido contrario. Es decir, está desfasada con la incidente, π rad. Por lo tanto, la onda resultante será5:

⎧

⎡ ⎣

ψ = A⎨sen ⎢2π (

⎩

t T

+

x

λ

ψ = 2 Asen( 2π

) − sen2π ( x

λ

) cos(2π

t T t T

−

x ⎤⎫

) ⎬ λ ⎥⎦ ⎭

)

La última expresión es la correspondiente a la ecuación de la onda que se obtiene en este caso de interferencia. En ella observamos que no es una ecuación de ondas “ordinaria”. En efecto, si fijamos un punto a una distancia x0 observamos que la magnitud ψ oscila con amplitud 2A sen (2π x0/λ) 5

recordar que sen x - sen y = 2 sen (x - y)/2 cos (x + y)/2

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en ese punto con un periodo T igual al de las ondas confluyentes. Por lo tanto, la ecuación anterior lo que más bien representa es una sucesión espacial de vibraciones armónicas oscilando con el mismo periodo T pero cada uno con una amplitud que depende de su distancia al origen O. Pero NO tenemos una onda que se propaga, ya que la fase vale 2πt/T

que sólo depende del tiempo y NO del espacio. Por lo tanto, lo que tenemos es una onda estacionaria, esto es, quieta. También es fácil observar que la amplitud atraviesa por valores de máximos y mínimos.

•

NODOS (o amplitud nula).

La amplitud será nula cuando suceda que 2 Asen ( 2π

x

λ

) = 0 ⇔ 2π 2π

x

λ x

λ

= 0, π , 2π ,3π ,...nπ ⇒ ( n = 0,1, 2,3,...n ) = nπ ⇒ x = n

λ 2

Esto es, se producirán NODOS a unas distancias del origen iguales a números enteros de semilongitudes de onda. Lógicamente, si a lo largo de la cuerda existen puntos como estos NODOS que permanecen en reposo, es imposible transmitir energía más allá de esos nodos, por lo que la onda estacionaria no es “una onda viajera”; de ahí el nombre de estacionaria.

•

VIENTRES (o amplitud máxima).

La amplitud máxima resultante podrá ser ±2A que sucederá cuando

sen(2π

x

λ

) = ±1 ⇒ 2π

x

λ

= (2n + 1)

π 2

⇒ x = (2n + 1)

λ 4

.... → n = 0,1,2,3...

es decir, en aquellos puntos que estén situados a distancias del punto O iguales a número impares de cuartos de longitud de onda. Por lo tanto, los nodos y los vientres se suceden alternativamente a distancias de cuartos de longitud de onda.

9.1. Ondas estacionarias confinadas entre dos límites. Este caso puede ser el de, por ejemplo, una cuerda fija por sus dos extremos en la que se provoca una perturbación (por ejemplo, el hacer vibrar una cuerda de guitarra). Igual que antes se producen ondas estacionarias, ya que interfieren ondas idénticas que se propagan en sentidos opuestos. Al estar fijos ambos extremos, si la cuerda es de longitud L, los puntos de x = 0 y x = L han de ser nodos de las ondas estacionarias. Por tanto, aplicando esa condición para x = L tendremos que

L=n

λ 2

⇒λ =2

L n

Si recordamos la relación entre longitud de onda y frecuencia, tendremos que

f =

v

λ

=n

v 2L

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donde v es la velocidad de propagación. Denominamos frecuencia fundamental de vibración a f = v/2L con n = 1 Conviene observar que sólo son posibles aquellas ondas cuya frecuencia de vibración es un múltiplo de la frecuencia fundamental. Cada una de estas frecuencias va asociada a un movimiento; a cada uno de estos movimientos se les denomina modos de vibración. Habrá, por lo tanto, tantos modos de vibración como posibles valores de n, es decir, infinitos. En la figura, aparecen varios. fo = v/ 2 L

λ / 2 =L f=2fo

λ /2 =L/ 2 f=3 fo

λ /2 = L/ 3

Al mismo tiempo, conviene ver que la frecuencia NO varía de forma continua, sino que lo hace adquiriendo valores que se diferencian en v/(2L). Todas las demás frecuencias posibles (derivadas de la fundamental) reciben el nombre de armónicos. Q24. Se hace vibrar una cuerda de guitarra de 1 m de longitud, sujeta por los dos extremos, observando que presenta 9 nodos. Si la amplitud máxima es de 1 cm, y la velocidad de propagación de las ondas por la cuerda es de 8 m/s, determinar: A) la ecuación de la onda estacionaria; B) la frecuencia fundamental de vibración y la longitud de onda asociada. Q25. Una cuerda sujeta por ambos extremos, vibra según la ecuación (CGS)

y = 3sen

πx 3

cos 50πt

a) Determinar la amplitud y velocidad de las ondas cuya interferencia da lugar a la vibración anterior. b) Calcula la distancia que existe entre dos nodos sucesivos. c) Calcula la velocidad con que se mueve una partícula de la cuerda situada en x = 6 cm en el instante t = 2,5 s.

*** COMPLEMENTO. EFECTO DOPPLER y POLARIZACIÓN. El efecto Doppler consiste en la variación que experimenta la frecuencia que se observa cuando existe un movimiento relativo entre el foco y el observador, de manera que: La frecuencia aparente de un foco emisor aumenta cuando la distancia relativa entre el foco y el observador disminuye; lo contrario sucede cuando la distancia crece. Por ejemplo, cuando un observador que escucha se mueve hacia una fuente sonora en reposo, la altura (frecuencia) del sonido que se percibe es superior que cuando se halla en reposo. Si el observador se está alejando de la fuente fija, percibe un sonido más bajo que cuando está en reposo. Se obtienen resultados similares cuando la fuente se halla en movimiento, acercándose o alejándose de un observador en reposo. La

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altura del silbato de una locomotora es mayor cuando la fuente se acerca al observador que cuando lo ha pasado y se está alejando. El efecto Doppler se aplica a toda clase de ondas en general. Lo aplicaremos ahora a ondas sonoras. Consideraremos solamente el caso especial en que la fuente y el observador se mueven a lo largo de la línea que los unen. Consideremos un sistema de referencia en reposo en el medio por el que avanza el sonido. La figura muestra una fuente sonora S en reposo en ese marco y un observador O que se mueve hacia la fuente con velocidad Vo. Los círculos representan frentes de onda, que van avanzando por el medio. Si el observador estuviera en reposo en el medio, recibiría Vt/λ ondas en el tiempo t, siendo V la rapidez del sonido en el medio y λ la longitud de onda. Ahora bien, debido al movimiento del observador hacia la fuente, éste recibe Vot/λ ondas adicionales en ese mismo tiempo t. La frecuencia f' que percibe es el número de ondas que percibe por unidad de tiempo, esto es:

f '=

Vo S O

(vt / λ ) + (v0t / λ ) v + v0 v + v0 v + v0 v = = ⇒ f '= f = f (1 + 0 ) t v/ f v λ v

O sea, la frecuencia f' que percibe el observador es igual a la frecuencia ordinaria f que percibe en reposo mas el aumento fv0/v que procede del movimiento del observador. Cuando éste se encuentra en movimiento alejándose de la fuente sonora, hay una disminución de frecuencia fv0/v correspondientes a las ondas que no llegan al observador en cada unidad de tiempo debido a su movimiento de alejamiento. Entonces: v v − v0 f '= f = f (1 − 0 ) v v Por consiguiente, la relación general aplicable cuando la fuente se encuentra en reposo con respecto al medio pero el observador se está moviendo a través del medio es:

f '= f

Vs S

Vo = 0

v ± v0 v

en la cual, el signo + es aplicable al movimiento hacia la fuente y el signo - el movimiento de alejamiento de la fuente. Nótese que la causa del cambio es el hecho de que el observador intercepta más o menos ondas en cada segundo debido a su movimiento.

Cuando la fuente se encuentra en movimiento hacia un observador en reposo, el efecto es un acortamiento de la longitud de onda (ver figura) porque la fuente está avanzando detrás de las ondas que se acercan al observador. Si la frecuencia de la fuente es f y su velocidad vs durante cada vibración avanza una distancia vs/f y cada longitud de onda se reduce en esa cantidad. Por consiguiente, la longitud de onda del sonido que llega al observador no es λ = v/f, sino λ'=v/f vs/f. Por lo tanto, la frecuencia del sonido que percibe el observador aumenta: v v v f '= = = f λ ' (v − v s ) / f v − vs

O

Si la fuente se mueve alejándose del observador, la longitud de onda emitida es vs/f mayor que λ, de modo que el observador percibe una frecuencia reducida: f '=

v v = f (v + v s ) / f v + vs

Por consiguiente, la relación general aplicable cuando el observador se encuentra en reposo con respecto al medio, pero la fuente se está moviendo a través de él es:

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f '= f

v v ± vs

expresión en la que el signo - es aplicable cuando el movimiento es HACIA el observador, y el signo + cuando tal movimiento es alejándose del observador. Notar que la causa del cambio en este caso es el hecho de que el movimiento del foco a través del medio reduce o aumenta la longitud de onda transmitida a través del medio. Hay muchos casos en los que la fuente se mueve a través de un medio con una velocidad mayor que la velocidad de fase de la onda en ese medio. En tales casos, el frente de onda toma forma de cono, en cuyo vértice está el cuerpo en movimiento. Algunos ejemplos son la onda de proa de un bote veloz en el agua y la "onda de choque" de un avión o proyectil que se mueve con una velocidad mayor que la del sonido en ese medio (velocidades supersónicas).

POLARIZACIÓN. Es un fenómeno característico de las ondas transversales. Se forma una onda transversal siempre que un punto material realiza un movimiento periódico (vibratorio armónico, como caso particular) contenido en un plano perpendicular a la dirección en que se propaga el movimiento ondulatorio.

P

A

A'

R

R''

R'

En el caso más simple en que la partícula realice vibraciones lineales en la dirección AA' de la figura, las restantes partículas irán realizando vibraciones que también serán lineales y estarán contenidas todas en un mismo plano; se dice en este caso, que la onda transversal está polarizada rectilíneamente.

Cuando así sea, una rendija, R, colocada paralelamente a la dirección de vibración no perturbará el movimiento ondulatorio, pero si se dispone formando un ángulo α, tal como la R', con la dirección de vibración, actuará de filtro, reduciendo la amplitud de aquélla proporcionalmente al cos(α), de modo que si α = 90 grados (rendija R''), ésta interceptará totalmente la propagación del movimiento ondulatorio. Cuando el punto inicial, en lugar de realizar vibraciones rectilíneas, vibra circularmente, esto es, gira describiendo una circunferencia cuyo plano es perpendicular a la dirección de propagación del movimiento ondulatorio, los restantes irán realizando el mismo tipo de vibración; en este caso, se dice que la onda está polarizada circularmente. Recuérdese que un movimiento circular puede considerarse como el resultado de la composición de dos movimientos armónicos perpendiculares, de igual periodo y amplitud, entre los que existe una diferencia de fase de 90grados ó 270; por consiguiente, cuando en un cuerpo se originan simultáneamente dos ondas transversales polarizadas rectilíneamente que cumplan esas condiciones, el resultado será una onda transversal polarizada circularmente. Si la vibración inicial en lugar de ser circular, sobre el plano P, describe una elipse, diremos que la onda está polarizada elípticamente. Finalmente, cuando la vibración inicial no es ni circular ni elíptica, sino que tiene lugar según una curva arbitraria cualquiera situada en el plano P, en el medio se propagará una onda transversal NO POLARIZADA y en cada punto se reproducirán a su vez, con el consiguiente retraso, los movimientos periódicos del primero. Por consiguiente, si en la dirección de avance de una onda no polarizada interponemos una rendija, al otro lado de ésta, sólo se observará la onda correspondiente a la componente del movimiento según la dirección de la apertura, es decir, detrás de la rendija, la onda quedará polarizada rectilíneamente y el plano de polarización vendrá determinado por la rendija y la dirección de propagación; en consecuencia, dos rendijas situadas una tras otra y tales que sus direcciones sean normales entre sí, impedirán totalmente la propagación de cualquier onda transversal, puesto que la componente transmitida por una de ellas, es anulada por la siguiente.

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PROBLEMAS PARA RESOLVER 1. Una horquilla, colocada verticalmente, está dotada de un movimiento vibratorio perpendicular a la superficie de un líquido, de frecuencia 100 Hz y amplitud 2 mm. Las perturbaciones producidas en dos puntos O1 y O2 se propagan por la superficie con una velocidad de 1 m/s. Calcula la ecuación de vibración del punto P, situado a 8 cm de O1 y 9 cm de O2. 2. (DE SELECTIVIDAD. Andalucía, Junio de 1996) La expresión matemática de una onda en el SI es y = 3 sen 2π (0,05t ‐ 0,01x). a) Calcula la longitud de onda, el periodo y la velocidad de propagación. b) Explicar si se trata de una onda longitudinal o transversal e indicar en qué sentido se propaga. 3. En una onda se propaga un movimiento ondulatorio dado por (SI):

t x y = 12sen2π ( − ) 5 8 a) ¿Cuál es el valor de A, T, λ, ν, ω? b) Determinar la elongación de un punto que dista del foco 42 cm, a los 30 segundos de iniciado el movimiento. 4. Se hace vibrar el extremo de una cuerda tensa con una amplitud de 5 cm y una frecuencia de 60 Hz. Si la velocidad de propagación es de 1200 m/s: a) ¿Cuál es la longitud de la onda? b) Escribir la ecuación de este movimiento. c) Representarlo gráficamente. 5. ¿Cuál es la longitud de onda en el aire, para el sonido de la nota "la" de 435 Hz? (Velocidad de propagación del sonido en el aire, 340 m/s) 6. En un punto dado de una cuerda vibrante, es y = A = 20 cm. En el mismo momento, el punto más cercano en que y = 0, dista del anterior 40 cm. ¿Cuál es la longitud de onda del movimiento? 7. Un tren de ondas que se desplaza en un medio a la velocidad de 1500 m/s, incide en un segundo medio en el que la velocidad de propagación es de 2500 m/s. Si la frecuencia es de 500 Hz, calcular la longitud de onda en ambos medios. 8. (DE SELECTIVIDAD) Calcular la perturbación resultante al superponerse las ondas Y1 = 4 sen(2πt ‐ πx); Y2 = 4 sen(2πt ‐ 0,5πx + π/6) en el punto x = 4 m 9. (SELECTIVIDAD LOGSE. Universidad de Murcia) Una onda en una cuerda viene dada por la ecuación: y(x,t) = 0,2sen(πx)cos(100πt) (metros) en donde x está comprendido entre 0 y 6 metros. Calcule: a) la longitud de onda y la frecuencia angular; b) el número total de nodos (incluidos los extremos); c) la velocidad de propagación de las ondas de la cuerda. 10. En las ondas estacionarias de una cuerda, la distancia entre un nodo y un vientre consecutivos es de 1,5 cm. ¿Cuál es la longitud de onda? 11. La ecuación de una onda transversal que avanza por una cuerda viene dada por la expresión y = 60 sen{π/2(8t + 0,5x)}. Al llegar al extremo izquierdo de ésta, (el cual está fijo) se refleja completamente. Escribir: a) la ecuación de la onda reflejada; b) la ecuación de la onda estacionaria resultante. 12. La función de onda correspondiente a una onda estacionaria en una cuerda fija por ambos extremos, de longitud L, es del modo y = 0,5.sen 0,02x cos 30t (CGS). A) ¿Cuál es la longitud de onda y la frecuencia?; B) ¿Cuál es la velocidad de las ondas transversales en esta cuerda?; C) Si la ecuación anterior corresponde a la onda fundamental, ¿cuál es la longitud de la cuerda? 13. La función de una onda que se propaga por una cuerda sujeta por ambos extremos es y = 30 sen 0,0025x cos 50t (con x en milímetros y t en segundos). Determinar A) velocidad y amplitud de las ondas cuya combinación da como resultado la onda estacionaria; B) Distancia entre dos nodos sucesivos de la cuerda.

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14. La sección de un prisma de vidrio tiene forma de un triángulo equilátero. El rayo cae sobre una de las caras del primas perpendicularmente a ella. Hallar el ángulo B entre los rayos incidente y refractado por el prisma. El índice de refracción del vidrio es 1,5. (Sol.: 120°) 15. La ecuación de una onda transversal en una cuerda es y = 10 cos π(2x ‐ 10t) (CGS); A) Escribir la expresión de la onda que, al interferir con ella, produciría una onda estacionaria; B) Indicar la distancia entre nodos en esa onda estacionara y la amplitud en un vientre (o antinodo) (Sol.: y’ = 10 cos π(2x + 10 t); 0,5 cm; 20 cm) 16. Una onda está representada por la ecuación y = 2 cos 2π (t/4 + x/160) (CGS). Determinar: A) el carácter de la onda; B) su velocidad de propagación; C) la diferencia de fase para dos posiciones de la misma partícula cuando el intervalo de tiempo transcurrido es de 2 segundos; D) la diferencia de fase, en un instante dado, de dos partículas separadas 120 cm en la dirección de avance de la onda. (Sol.: Onda armónica que se propaga en el sentido del eje OX; 0,4 m/s; π rad; 3π/2 rad.) 17. Se hace vibrar una cuerda de guitarra de 1 m de longitud, sujeta por ambos extremos y observamos que presenta un total de 9 nodos. Si la amplitud máxima es de 1 cm y la velocidad de propagación de las ondas en esa cuerda es de 80 m/s, calcular: A) la ecuación de la onda estacionaria en la cuerda; B) la frecuencia fundamental de vibración y la longitud de onda correspondiente a esa frecuencia. (Sol.: y = 0,01 sen(8πx) cos(640πt); 40 Hz; 2 m) 18. La ecuación de una onda es y = 0,2 cos 0,5πx sen30πt (SI). Determinar: a) magnitudes características de la onda; b) ¿en qué instantes será máxima la velocidad del punto x = 0,5 m?; c) amplitud y velocidad de fase de las ondas cuya superposición podría producirla. (SELECTIVIDAD, Sevilla, Junio’92) (Sol.: ω = 30π s‐1, T = 1/15 s; ν = 15 Hz; k = 0,5 π m ‐1; λ = 4 m; b) t1 = 0s; t2 = 1/30 s; t3= 2/30 s...; c) A = 0,1 m; v = 60 m/s) 19. Dos focos A y B emiten ondas en fase que se superponen en el punto M. La distancia AM es 32 m y la distancia BM es 20 m. La velocidad de esas ondas es de 900 m/s y la frecuencia 150 Hz. La amplitud en M de la onda procedente de A es 0,4 m y la de la onda procedente de B es 0,3 m. Hallar la ecuación del movimiento del punto M. 20. Dos focos sonoros emiten ondas de la misma frecuencia, 100 Hz y amplitud, 4 cm; en fase. Si las distancias de cada uno de esos focos a un punto P son 75 m y 87,5 m, y la velocidad del sonido en el aire es 340 m/s, determinar la forma de vibración del punto P. 21 SELECTIVIDAD JUNIO 2001. Se hace vibrar transversalmente un extremo de una cuerda de gran longitud con un periodo de 0,5π segundos y una amplitud de 0,2 cm, propagándose a través de ella una onda con una velocidad de 0,1 m/s. A. Escriba la ecuación de la onda, indicando el razonamiento seguido; B. Explique qué características de la onda cambian si 1) se aumenta el periodo de la vibración en el extremo de la cuerda; 2) se varía la tensión de la cuerda. 22. Dos ondas de ecuaciones: y1 = 6 sen (1.500 t – 250 x) y2 = 6 sen (1.500 t + 250 x) en unidades SI, interfieren. Calcular: a) la ecuación de las ondas estacionarias resultantes; b) la amplitud de los nodos; c) la distancia entre dos vientres consecutivos. [Solución: a) y = 12 cos 250 x ∙ sen 1,500t; b) y = 0; c) d = 1,26∙10‐2 m] 23. Una cuerda vibra según la ecuación: y(x, t) = 5 sen (1/3)∙π ∙x cos 40π ∙t (estando x e y en cm, t en segundos) Calcular: a) la amplitud y velocidad de las ondas que originan la onda estacionaria; b) la velocidad en un punto que dista x = 1,5 cm del origen en el instante t = 1,25 s; c) la distancia entre dos nodos. 24. Un tren pasa por un puente a 105 km/h y emite un sonido de 530 Hz. Calcular la frecuencia que percibe un observador situado cerca de la vía, al acercarse el tren y al alejarse; velocidad del sonido, 340 m/s. [Solución: f1 = 580 Hz; f1` = 488 Hz.] 25. Consideremos dos focos generadores de ondas de 100 Hz y 1 cm de amplitud. Los dos vibran en fase y las ondas se propagan a 680 m/s. Ambas interfieren en el punto P, que dista 98 m de F1 y 30 cm de F2. Sabiendo que en t = 0 y d = 0 ambas perturbaciones son máximas, determinar: a) la perturbación que produce en el punto P y en el instante t = 1 cada foco por separado, suponiendo que se trata de ondas planas (prescindiendo de la atenuación); b) la amplitud de la perturbación resultante de la interferencia; c) La perturbación total en ese momento. 26. Dos focos vibratorios de 2 cm de amplitud y 50 Hz de frecuencia producen en la superficie de un líquido ondas que se propagan con una rapidez de 3 m/s. Determinar los puntos de interferencia constructiva y los de interferencia destructiva. 27. La ecuación de una onda estacionaria es y = 0,6 cos πx cos 50 πt (SI) Determinar: (a)Distancia entre dos nodos consecutivos; (b) Amplitud y longitud de onda de las ondas componentes; (c) Velocidad en función del tiempo de una partícula de abcisa x = 2m

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28. Los extremos de una cuerda de 2,4 m de longitud y 200 g de masa se fijan de modo que se mantiene estirada con una tensión de 12 N. ¿Qué frecuencia tendrá una onda estacionaria en la cuerda en la que haya cinco vientres? 29. SELECTIVIDAD. La ecuación de una onda es y = 0,4 sen π (3t – 12 x) (S.I.). Determinar: A) ¿Con qué onda debe interferir para producir una onda estacionaria?; B) Ecuación de la onda resultante. 30. Dos ondas de ecuaciones y1 = 2 sen (500 t – 10 x) e y2 = 2 sen (500 t + 10 x) interfieren en un punto. Calcular: A) la ecuación de la onda estacionaria resultante; B) La relación entre la amplitud y la distancia recorrida; C) La amplitud de los nodos; C) La distancia entre dos vientres consecutivos. 31. SELECTIVIDAD. La ecuación y = 2 cos (πt) sen (1,256 x) (S.I.) representa una onda estacionaria. ¿Cuáles son la longitud de onda y la frecuencia de las dos ondas, coherentes, viajando en sentidos contrarios, que al interferir dan lugar a esta onda? Razonar la respuesta.

PROBLEMAS CON SOLUCIONES INDICADAS

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· TEMA 4 · Luz y Ondas Electromagnéticas “Toda nuestra ciencia, comparada con la realidad, es primitiva e infantil... y sin embargo, es lo más preciado que tenemos.” (Albert Einstein)

Para la mayoría de los científicos de finales del siglo XIX, el mundo físico, a pesar de su complejidad superficial, aparecía dotado de una soberbia unidad. La mecánica de Galileo y Newton explicaba el movimiento de todos los cuerpos, ya fuesen de dimensiones corrientes o planetas. Además, la teoría cinético-molecular, había extendido triunfalmente sus dominios al mundo submicroscópico interpretando muchos fenómenos del calor, por el movimiento de sus átomos. También el sonido había llegado a formar una rama de la mecánica, considerado como una vibración que se propaga entre las moléculas, de acuerdo con las leyes clásicas del movimiento. En principio, se tuvo la esperanza de que los fenómenos de la luz, la electricidad y el magnetismo podían también explicarse mecánicamente, o bien postulando tipos especiales de partículas con leyes de fuerza apropiadas o bien como influencias propagadas a través del espacio por las vibraciones de un medio etéreo. Pero cuando los físicos teóricos pasaron de la primera explicación a la segunda, hallaron que mientras sus ecuaciones se hacían cada vez más exactas en la descripción y predicción de los fenómenos, las bases físicas de aquellas ecuaciones se hacían cada vez menos comprensibles. El gran triunfo de la teoría electromagnética de la luz del escocés Maxwell, el cual unificó, finalmente, una serie de sorprendentes fenómenos previamente considerados de modo independientes (en el caso de que fueran conocidos), fue conseguido sólo a base de levantar un modelo mecánico tan complejo y artificial que fue unánimemente descartado por imposible. Lo que vamos a estudiar en estos dos últimos temas del curso es “el crecimiento de un dinosaurio que engulle tanto alimento que se colapsa bajo su propio peso”. Pero esto no es del todo una metáfora exacta. Como veremos, el esqueleto de la teoría electromagnética es suficientemente fuerte para constituir el soporte de la relatividad y de la mecánica cuántica modernas.

1. LA LUZ: ¿PARTÍCULAS u ONDAS? La controversia sobre la naturaleza de la luz es una de las “La radiación electromagnética con longitudes de más interesantes en la historia de la Ciencia. Las teorías antiguas onda comprendidas entre los 400 y 700 nm consideraban la luz como un chorro de partículas emanadas de aproximadamente, a las que el ojo humano es sensible, recibe popularmente el nombre de luz.” una fuente y que producían una sensación de visión al entrar en el ojo. El preconizador de mayor influencia de esta teoría corpuscular de la luz fue I. Newton. Utilizándola, fue capaz de explicar las leyes de la reflexión y la refracción que ya se estudiaron en un tema anterior. Cuando la luz incide sobre una frontera que separa dos medios transparentes, por ejemplo, el aire y el agua o el aire y el vidrio, parte de la energía de la luz se refleja y parte se transmite. El rayo reflejado forma un ángulo con la normal a la superficie igual al ángulo del rayo incidente, mientras que el rayo transmitido se acerca a la normal. (Si la luz abandona el agua o el vidrio para entrar en el aire, el rayo transmitido se aleja de la normal, como ya sabemos).

O N D A S E L E C T R O M A G N É T I C A S y Ó P T I C A G E O M É T R I C A. Tema 4.

La ley de la reflexión de la luz en una superficie límite plana se explica fácilmente mediante la teoría corpuscular. La figura, muestra una partícula que rebota sobre una superficie plana y dura y donde no existe rozamiento. En tal caso, la componente de la cantidad de movimiento de la partícula paralela a la superficie no se ve modificada por el choque, pero la componente perpendicular a la pared se invierte. De este modo, el ángulo de reflexión es igual al de incidencia, según se observa en el caso de rayos luminosos reflejándose en un espejo plano. Esta otra figura ilustra la explicación de Newton de la refracción, en el caso de una superficie aire-vidrio o aire-agua. Newton suponía que las partículas luminosas eran fuertemente atraídas por el vidrio o el agua de modo que cuando se acercaban a la superficie, recibían un impulso momentáneo que hacía aumentar la componente de cantidad de movimiento perpendicular a la superficie. Así pues, la dirección de la cantidad de movimiento de las partículas luminosas variaba, viéndose obligado el haz luminoso a desviarse hacia la normal a la superficie de acuerdo con lo observado. Una característica importante de esta teoría es que la velocidad de la luz debía ser mayor en el agua o en el vidrio que en el aire, para poder explicar la tendencia a acercarse el haz hacia la normal cuando entra en el agua o en el vidrio o separase de la normal cuando entra en el aire desde cualquiera de los dos medios anteriores. Los defensores principales de la teoría ondulatoria de la propagación de la luz fueron Christian Huygens y Robert Hooke. Hugens, fue capaz de explicar la reflexión y refracción admitiendo que la luz se mueve más lentamente en un medio como el vidrio o el agua que en el aire. Newton conoció las virtudes de la teoría ondulatoria de la luz, en particular porque explicaba los colores formados por las láminas delgadas, que Newton estudió ampliamente. Sin embargo, rechazó la teoría ondulatoria debido a la propagación de la luz en línea recta de observación común. Debido a la gran reputación y categoría de Newton, éste rechazo de la teoría ondulatoria de la luz, basado en una carencia de pruebas de difracción, fue estrictamente aceptado por los seguidores de Newton. Incluso después de disponer de las pruebas de difracción, quisieron explicarla diciendo que era la dispersión de partículas luminosas en los bordes de la rendija. La teoría corpuscular de la luz fue aceptada durante más de un siglo. En el año 1801, Thomas Young reavivó la teoría ondulatoria de la luz. Fue uno de los primeros en introducir la idea de la interferencia como fenómeno ondulatorio, tanto en la luz como en el sonido. Su observación de interferencias con la luz fue una demostración clara de la naturaleza ondulatoria de ésta. Sin embargo, el trabajo de Young quedó desconocido por los científicos durante más de una década. Tal vez, el mayor avance en la aceptación general de la P teoría ondulatoria de la luz se debió al físico francés Agustín Fresnel (17881827), que realizó gran número de experimentos sobre interferencias y d1 difracción y apoyó la teoría ondulatoria en una base matemática. Demostró, por ejemplo, que la propagación rectilínea observada por la luz, es un y resultado de la longitud de onda muy corta de la luz visible. F1

α

1.1 El experimento de T. Young.

Después de hacer pasar un haz de luz monocromática (de una sola frecuencia) por un pequeño orificio y observar la figura de difracción obtenida sobre una pantalla, Young hizo atravesar este haz a través de DOS pequeños orificios muy juntos. Cada orificio actúa como una fuente de ondas –o lo que es lo mismo, la luz se difracta en los orificios- y esos haces procedentes de cada uno de los nuevos focos interfería en una zona común, observándose en una pantalla situada detrás de los orificios la figura de interferencia. En ella aparecía un máximo central de luz, alternando con zonas oscuras y zonas de luz.

d

d2

α

F2

D

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O N D A S E L E C T R O M A G N É T I C A S y Ó P T I C A G E O M É T R I C A. Tema 4

Para explicar el resultado de este experimento, pensó que las franjas luminosas se debían a que las ondas procedentes de cada orificio llegaban a la pantalla cresta con cresta, es decir, interferían constructivamente. Análogamente, las franjas oscuras se debían a que las crestas de las ondas de un foco coincidían con los valles de otros al llegar a la pantalla (interferían destructivamente). Actualmente el experimento de Young se realiza con dos rendijas muy juntas de modo que las franjas de interferencias son líneas rectas. Las figuras de interferencia NO se forman solo cuando la luz incide sobre dos rendijas. Un conjunto numeroso de rendijas muy juntas y paralelas forman una red de difracción, y de hecho, la mayor parte de los espectroscopios se construyen con red de difracción en lugar de prismas para descomponer la luz en sus colores. La diferencia está en que el prisma descompone la luz por refracción y la red de difracción lo hace por interferencia. Un notable triunfo de la teoría ondulatoria consistió en un experimento sugerido a Fresnel por Poisson, que intentaba desacreditar la teoría ondulatoria. Poisson señaló que si se ilumina un disco opaco por la luz de una fuente situada en su eje, la teoría ondulatoria de Fresnel predice que las ondas luminosas se “doblan” alrededor del borde del disco y que deberían encontrarse e interferir constructivamente en el eje, produciendo un punto brillante en el centro de la sombra del disco. Poisson consideraba esto como una contradicción ridícula, pero la inmediata demostración de Fresnel de que tal punto existe de hecho, convenció a otros muchos científicos dubitativos a favor de la teoría ondulatoria de la luz. En 1850, Foucault midió la velocidad de la luz en el agua y demostró que es menor que en el aire, destruyendo así la teoría corpuscular de Newton. Más tarde, en 1860, James Clerk Maxwell publicó su teoría matemática del electromagnetismo que predecía la existencia de ondas electromagnéticas que se propagan con la velocidad

c = 1 / (ε 0 μ 0 ) ≈ 310 . 8m / s la velocidad de la luz, y sugirió que este acuerdo no es casual, sino que indica que la luz es una onda electromagnética. Este estudio de la controversia sobre si la luz es onda o corpúsculo no sería completo si se omitiera el descubrimiento realizado durante el siglo XX de que la teoría ondulatoria generalmente correcta para explicar y describir la luz y otras ondas electromagnéticas, falla al intentar explicar TODAS sus propiedades observadas. Una de las mayores ironías en la historia de la Ciencia es que un famoso experimento realizado por Hertz para demostrar la existencia de tales ondas electromagnéticas, condujo, también, al descubrimiento del efecto fotoeléctrico, que Einstein, algunos años más tardes, demostró que sólo podía explicarse mediante ¡un modelo corpuscular de la luz!1, con lo que el modelo corpuscular quedaba, de nuevo, introducido en escena. La comprensión total de la naturaleza dual de la luz no llegó hasta la década de 1920, cuando los experimentos realizados por C.J. Davisson y L. Germer y G.P. Thompson demostraron que los electrones (y otras “partículas”) también poseían una naturaleza dual exhibiendo propiedades ondulatorias de interferencia y difracción al mismo tiempo que propiedades corpusculares perfectamente conocidas. El comportamiento de fenómenos fundamentales como la luz, los electrones y otras partículas subatómicas se describe correctamente mediante la teoría de la mecánica cuántica desarrollada por E. Schrödinger, W. Heisenberg, P.A. Dirac, y otros. Eso será objeto del siguiente capítulo.

2. ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS Y ÉTER Volvamos al trabajo realizado en la década de 1860 por el científico James Clerk Maxwell. La importancia de la teoría electromagnética de Maxwell para la física ha sido considerada como semejante al trabajo de Newton. La teoría de Maxwell sobre la propagación de las ondas luminosas se menciona ahora como “una teoría clásica”. Consideró primeramente lo que sucede cuando una corriente eléctrica oscila a lo largo de un hilo recto o circula por una espira. Su conclusión teórica era que la energía “se pierde”, irradiada por la corriente y se dispersa en forma de ondas en todas las direcciones. Esto significaba que cualquier carga eléctrica situada en un obstáculo distante de la trayectoria de la radiación (por ejemplo sobre un segundo hilo) 1

El estudio del efecto fotoeléctrico se realizará en profundidad en el tema siguiente.

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comenzaba a oscilar con la misma frecuencia que la fuente original, el primer hilo. También, cualquier polo magnético presente en el obstáculo sufría también variaciones semejantes y el propio obstáculo experimentaba una ligera presión mecánica. Técnicamente, podemos exponer estos hechos en un lenguaje diferente. Una carga E E eléctrica vibrante o circulante (transmisor u oscilador) engendra en la región existente a su B B P P B P P alrededor un campo magnético y eléctrico P P B P B B fluctuantes; cuando otras cargas eléctricas o polos magnéticos se introducen en este E E “campo electromagnético” fluctuante (como en una antena o receptor), actúan sobre ellos E fuerzas eléctricas y magnéticas que vibran con igual periodicidad que las oscilaciones originales del transmisor.

E

El dibujo de arriba muestra los vectores de intensidad de campo eléctrico y magnético en un punto P del campo electromagnético en instantes sucesivos. Si nos fijamos exclusivamente en el comportamiento del vector del campo eléctrico, se sugiere una útil analogía: si un receptor (tal vez un alambre metálico que posee electrones libres) se sitúa en el punto P, el campo eléctrico fluctuante actúa sobre estas cargas del mismo modo que una onda que se propaga por una cuerda agita las partículas de una sección de la misma. En realidad, es perfectamente correcto decir que una onda electromagnética pasa por este punto P del espacio y referirse a la energía responsable del E movimiento de las cargas llamándola energía o B radiación electromagnética. La teoría de Maxwell también predice que los objetos metálicos reflejarán un haz incidente de energía electromagnética, como lo haría un espejo; que al cruzar otros obstáculos tal como una lámina de vidrio, la trayectoria de los haces se desvía; y lo que es más sorprendente, que esta radiación debería viajar a través del vacío o el aire con unos 3.108 m/s.

E

B

La analogía entre el comportamiento conocido de la luz y el esperado (pero aún por entonces no probado) comportamiento de las ondas electromagnéticas previstas por Maxwell fue ciertamente exasperante. Además, surgía la cuestión de si la propagación de las perturbaciones de los campos eléctrico y magnético en el espacio no dependería también de la acción de un medio mecánico: un éter. Esta idea del éter, como soporte mecánico que permitiera la propagación de las ondas electromagnéticas, y su desesperada búsqueda física, (sin éxito alguno) constituyó, como se verá, uno de los toques que terminaría minando la física clásica y permitiendo el resurgimiento de nuevas ideas en la física, entre ellas la teoría de la relatividad, de A. Einstein, de la que se hablará en el tema siguiente.

3. ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS Entre las ondas electromagnéticas hemos de incluir la luz, las ondas de radio, de radar, los rayos X, los rayos gamma, las microondas y otras, en todas las cuales interviene la propagación ondulatoria de campos eléctricos y magnéticos a través del espacio con una velocidad c = 3.108 m/s (en el vacío). “Según la teoría electromagnética clásica, si una carga oscila con un movimiento armónico simple de frecuencia f, radia energía en forma de ondas electromagnéticas de igual frecuencia” Todas las ondas electromagnéticas se generan cuando se aceleran las cargas eléctricas. Las diferencias entre los diversos tipos de ondas electromagnéticas radican en su frecuencia y en su longitud de onda. El ojo humano es sensible a la radiación electromagnética de unos 400 a 700 nm de longitud de onda (espectro visible, o luz visible). A todo el amplio conjunto de estas ondas se las denomina espectro electromagnético.

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“La palabra luz se utiliza también para longitudes de onda un poco más allá del margen visible. La luz ultravioleta es radiación electromagnética que está un poco más allá de la parte de longitud de onda más corta del intervalo visible, y la infrarroja es la que posee longitudes de onda justo más largas que el visible”.

La que denominamos "luz blanca" es en realidad una "mezcla de colores que viajan en un único rayo". Cuando esa luz blanca se propaga en un medio natural, la FRECUENCIA NO VARÍA, lo que significa que si cambia de medio, se modifica la velocidad de la luz, y por lo tanto la longitud de onda. Sea λ0 la longitud de onda en el vacío de una determinada radiación, y λ' la longitud de onda de ésta en un medio diferente. Tendremos: c f v λ'= f

λ0 =

y como

n=

λ ⋅f λ c ⇒ 0 ⇒ n = 0 > 1 ⇒ λ0 > λ ' v λ λ⋅ f

Por lo tanto, en la luz blanca (conjunto de muchas longitudes de onda), NO todas se propagan con la misma velocidad en el interior de un prisma, por ejemplo, pero sí en el vacío. Lo anterior nos permite escribir la ecuación de Snell que ya hemos estudiado, de otro modo: λ0 sen i n2 λ 2 λ1 = = = sen r n1 λ0 λ 2 λ1 Consideremos un rayo de luz blanca que incide bajo un cierto ángulo i sobre la cara de un prisma. A la luz roja, de mayor longitud de onda, le corresponderá un índice n menor, por lo tanto, aplicando la ley de Snell: sen i n 2 sen i = ⇒ sen r = ⇒ n2 menor ⇒ r mayor sen r 1 n2

ya que el (sen i) es el mismo para todas las luces pues provienen del vacío. Esto explica que al cruzar un prisma, el color rojo sea el que MENOS se disperse (r mayor) y el color azul el que más se disperse ( r menor). Este hecho es fundamental para poder explicar, por ejemplo, el color azul del cielo.

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4. FENÓMENOS LUMINOSOS Al poderse considerar la luz como un fenómeno ondulatorio más, es aplicable todo lo anteriormente visto para los movimientos de este tipo. Así, también la luz participa de los fenómenos de reflexión y refracción, (debidos, como se vio, al cambio de medio) por lo que las leyes para esos fenómenos estudiados, siguen siendo válidos aquí. Sin embargo, ampliaremos algo más ese estudio con un par de sucesos más: la absorción y la dispersión de la luz, ambos relacionados con otro fenómeno anteriormente también apuntado como complemento: la Polarización de la luz, sobre el que ahora volveremos.

4.1. Polarización de la Luz. Si recordamos, la dirección de propagación de una onda, y la de vibración de los puntos, nos servía como criterio para clasificar en longitudinales o transversales, los diferentes tipos de movimiento ondulatorios.

Los ojos de un niño recién nacido son azules porque pequeñas partículas de materia de iris dispersan preferencialmente luz azul, como las moléculas en el aire. El color de los ojos de un niño pueden cambiar tras varios meses de su nacimiento cuando su cuerpo empieza a manufacturar el pigmento que finalmente coloreará sus ojos.

En las ondas longitudinales, sólo existe una posibilidad de vibración; sin embargo, no sucede lo mismo con las transversales, ya que existen numerosos planos perpendiculares a la dirección de propagación en los que puede tener lugar la vibración. Por tanto, cuando una onda transversal puede vibrar en cualquiera de los posibles planos perpendiculares a la dirección de propagación, se dice que la onda NO está polarizada. Ahora bien, si por medio de algún dispositivo, somos capaces de forzar las vibraciones en una sola dirección, decimos que hemos polarizado la onda. (ver dibujo del tema anterior). La polarización, por lo tanto, es una propiedad que sólo tiene sentido en las ondas transversales. El fenómeno de la polarización cobra especial importancia en el caso de la luz, y también sirvió para demostrar su carácter de onda transversal, con todas las implicaciones que ello supone sobre la existencia del “hipotético éter” por donde se pensaba que se debía propagar la luz. En las ondas electromagnéticas las vibraciones suponen la variación de los valores del campo eléctrico y magnético asociados, que son siempre perpendiculares a la dirección de propagación. Si la onda electromagnética fuese producida por una única carga acelerada, estaría polarizada linealmente, pero en general, son muchas las cargas que al ser aceleradas producen las ondas electromagnéticas. Como no están todas en fase, la luz no puede estar polarizada. Para polarizar la luz existen diferentes mecanismos. Algunos de ellos los veremos ahora.

4.2 Polarización por Absorción. Un método corriente de polarización es el de absorción en una lámina de un material comercial denominado polaroide, inventado en 1938 por E.H. Land. Este material contiene moléculas de hidrocarburo de cadena larga que se alinean cuando la lámina se deforma en una dirección durante el proceso de fabricación. De este modo, estos polaroides absorben cierta cantidad de luz y sólo transmiten aquella en que el campo eléctrico asociado tiene una cierta dirección. La luz que emerge del polaroide está polarizada linealmente. De hecho, si se colocan dos polaroides cruzados en direcciones perpendiculares, absorben totalmente la luz que les llega.

4.3 Polarización por reflexión. Cuando un rayo de luz incide sobre la superficie de separación de dos medios y se refleja y refracta en ella, la luz reflejada está parcialmente polarizada dependiendo su polarización del ángulo de incidencia. Si el ángulo de incidencia es tal que los rayos reflejados y refractados son perpendiculares, entonces la luz reflejada está totalmente polarizada. Este resultado fue descubierto experimentalmente por Sir David Brewster en 1812.

rayo incident e NOpolarizado

rayo reflejado polarizado

90º rayo refract ado (ligerament e polarizado)

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Debido a la polarización de la luz reflejada, los cristales de las gafas de sol, hechos de material polarizante, pueden ser muy eficaces para eliminar los deslumbramientos. Q1. El índice de refracción del vidrio es 1,5. Calcula los ángulos de incidencia y de refracción cuando la luz reflejada por una superficie de vidrio está completamente polarizada. (Sol.: 56,3º; 33,7º) Q2. ¿A qué altura por encima de la horizontal debe estar el Sol para que la luz reflejada por la superficie de un lago tranquilo esté totalmente polarizada? Dato: índice de refracción del agua, 1,33. (Sol.: 36,94º)

4.4 Polarización por Dispersión. El fenómeno de absorción y radiación de nuevo, se denomina dispersión. Muy a grosso modo, puede decirse que con ella, un haz de luz NO polarizado que se dirige a un centro de dispersión consigue dispersarse en direcciones perpendiculares a la inicial con direcciones de vibración del campo eléctrico (en cada una de ellas) perpendiculares a la dirección de propagación del rayo. Un ejemplo familiar de la dispersión de la luz es la que forman las agrupaciones de moléculas de aire (debidos a fluctuaciones aleatorias de su densidad) que tienen a dispersar las longitudes de onda cortas, más que las longitudes de onda largas, dando así al cielo su color azul.

¿POR QUÉ EL CIELO ES AZUL? La belleza del cielo no es más que el resultado de la interacción de la LUZ del Sol con la atmósfera. Una cantidad de humedad, relativamente pequeña, acompañada de partículas de polvo y de ceniza es suficiente para provocar en el cielo las múltiples manifestaciones de color. Cuando se dan condiciones atmosféricas especiales, pueden aparecer fenómenos atmosféricos cromáticos como son el Arco Iris, los Círculos de Ulloa, las Coronas solares y lunares, los Halos, Falsos Soles y Falsas Lunas y otros más "raros" (Espejismos, el Rayo Verde, la Luz Sagrada, Auroras Polares, Fuegos de San Telmo...), que son fenómenos ópticos completamente explicables. Aquí nos ocuparemos sólo del fenómeno óptico más común que es el color del cielo, en sus variadas posibles manifestaciones. El secreto del color azul del cielo esta relacionado con la composición de la luz solar ‐integrada por los distintos colores del arco iris‐ y con la humedad de la atmósfera. (El Sol es quien se encarga de procurar al aire su humedad. Con su calor, hace que parte del agua de la superficie terrestre se evapore. En corriente invisible pero incesante, la humedad se dirige hacia el cielo desde los océanos, mares, lagos y ríos; desde el suelo, las plantas y los cuerpos de los animales y del hombre). Para explicar el color azul del cielo, imaginemos que dejamos pasar un rayo de sol por un prisma de vidrio. La luz se abre en un abanico de colores (se dispersa) por refracción y como resultado de esta dispersión vemos una gama de colores: violeta, azul, verde, amarillo y rojo. El rayo violeta es el que se ha separado mas de la dirección del rayo blanco y ahí esta precisamente la explicación del color del cielo. La desviación es máxima para los rayos de longitud de onda corta (violeta y azul), y mínima para los de

espejo

ojo En el techo de una habitación completamente oscura, limpia, sin polvo y sin humo en el aire, hay un espejo plano. (Ver figura). Por un orificio penetra un rayo de luz. ¿Podríamos ver la luz que entra por el agujero?

longitud de onda larga (amarillos y rojos), que casi no son desviados. Los rayos violetas y azules, una vez desviados, chocan con otras partículas de aire y nuevamente varían su trayectoria, y así sucesivamente: realizan, pues, una danza en zigzag en el seno del aire antes de alcanzar el suelo terrestre. Cuando, al fin, llegan a nuestros ojos, no parecen venir directamente del Sol, sino que nos llegan de todas las regiones del cielo, como en forma de fina lluvia. De ahí que el cielo nos parezca azul, mientras el Sol aparece de color amarillo, pues los rayos amarillos y rojos son poco desviados y van casi directamente en línea recta desde el Sol hasta nuestros ojos. Si profundizamos un poco más, la explicación es más compleja. La luz es una onda electromagnética y las piezas fundamentales de la materia en su estado más frecuente en la Tierra, son los átomos. Si las partículas existentes en la atmósfera, tienen un tamaño igual o inferior al de la longitud de onda de la luz incidente (átomos aislados o pequeñas moléculas), la onda cede parte de su energía a la corteza atómica que comienza a oscilar, de manera que un primer efecto de la interacción de la luz con las partículas pequeñas del aire es que la radiación incidente se debilita al ceder parte de su energía, lo que le sucede a la luz del Sol cuando atraviesa la atmósfera. Evidentemente esta energía no se queda almacenada en el aire, pues cualquier átomo o partícula pequeña cuya corteza se agita, acaba radiando toda su energía en forma de onda electromagnética al entorno en cualquier dirección. El proceso completo de cesión y remisión de energía por partículas de tamaño atómico se denomina difusión de RAYLEIGH (en honor del físico inglés Lord Rayleigh que fue el primero en darle explicación) siendo la intensidad de la luz difundida inversamente proporcional a la cuarta potencia de la

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longitud de onda. La difusión será mayor por tanto, para las ondas más cortas: Como consecuencia de ello, llegamos a la misma conclusión, la luz violeta es la más difundida y la menos, la roja. El resultado neto es que parte de la luz que nos llega desde el Sol en línea recta, al alcanzar la atmósfera se difunde en todas direcciones y llena todo el cielo. El color del cielo, debería ser violeta por ser ésta la longitud de onda más corta, pero no lo es, por dos razones fundamentalmente: porque la luz solar contiene más luz azul que violeta y porque el ojo humano (que en definitiva es el que capta las imágenes ‐aunque el cerebro las interprete‐), es más sensible a la luz azul que a la violeta. El color azul del cielo se debe por tanto a la mayor difusión de las ondas cortas. El color del sol es amarillo‐rojizo y no blanco, porque si a la luz blanca procedente del Sol ‐que es suma de todos los colores‐ se le quita el color azul, se obtiene una luz de color amarillo‐roja. La difusión producida por los gases es muy débil, sin embargo, cuando el espesor de gas es muy grande, como sucede en la atmósfera, fácilmente se puede observar la luz difundida. El hecho de que la difusión sea mayor para las ondas más cortas, es la base de la utilización de los faros antiniebla. Independientemente de todas las posibilidades que se puedan presentar, puede afirmarse que, cuanto mayor sea el numero de partículas que enturbian el aire, tanto peores serán las condiciones de visibilidad a través de dicho aire. Si la niebla es "seca", debido a la presencia de humo, polvo o gotitas de agua muy pequeñas, la luz amarilla ‐ que parte de los faros antiniebla‐ apenas pierde intensidad a causa de la interposición de esta niebla, de manera que resulta visible a través de ella. Si la niebla es "húmeda", los mejores faros contra ella fracasan casi del todo, ya que la niebla húmeda esta formada por gotas grandes que dispersan, casi por igual, todos los colores de la luz blanca. El mismo Sol, visto a través de esta niebla de gotas grandes, aparece desdibujado y de color blanco lechoso, mientras que observado cuando la niebla se debe a polvo fino tiene el aspecto de disco rojo, como ocurre a menudo al ponerse el astro. Si la luz interactúa con una partícula grande, no funciona el mecanismo de Rayleigh, ocurre un proceso mucho más sencillo: la partícula simplemente absorbe parte de la luz y la otra parte la refleja. Cada partícula se comporta como un espejo pequeñito que reflejará más o menos luz según su composición química y que alterará el color de la luz reflejada si la partícula está formada por sustancias coloreadas. Si la luz se encuentra con una distribución de partículas grandes, parte de la luz se esparce y, además, puede cambiar de color. Este proceso se conoce como difusión de Mie, y el ejemplo más sencillo lo tenemos en las nubes, donde las gotas de agua incoloras, esparcen la luz en todas las direcciones pero sin alterar su color. ( El cielo del planeta Marte es otro ejemplo de difusión de Mie, provocado por partículas coloreadas de tamaño grande, por eso no es azul, porque el tamaño de las partículas no permite la difusión de Rayleigh).

atenuación de la luz blanca hacia grises cada vez más oscuros. Esta es la causa de que en los días muy nublados, cuando las nubes son muy gruesas, el cielo aparezca mas o menos gris, y a veces casi negro. Las salidas y puestas de sol nos brindan a diario hermosos espectáculos, los mas bellos que el aire puede ofrecer a nuestros ojos. Si el horizonte es amplio, los efectos se multiplican y el espectáculo es todo un poema. Al atardecer, el camino que la luz solar recorre dentro de la atmósfera es mas largo, los rebotes sucesivos en unas partículas y otras hacen crecer la probabilidad de que la luz acabe chocando con una partícula absorbente y desaparezca, de manera que incluso la parte amarilla es afectada y difundida y solo los rayos rojos, los más direccionales, siguen un camino casi rectilíneo. De ahí el color rojo del sol poniente. Los colores que nos ofrece el cielo en estos casos, se originan también gracias a la intervención de las moléculas existentes en el aire y de las partículas que éste tiene en suspensión "el aerosol atmosférico", que dispersan y desdoblan la luz solar de múltiples modos. Ya antes de que el Sol se hunda en el horizonte, vemos cómo el colorido del cielo se vuelve más intenso, mas saturado. Mientras la luz que aparece en los alrededores del disco solar vira hacia el amarillo‐rojizo y en el horizonte resulta verde‐amarillenta, el azul del cielo se vuelve más intenso en el cenit. Cuando el Sol se halla a una distancia angular del horizonte de 1 ó 2°, la luz crepuscular derrama sobre el borde del cielo su mágica luminosidad. Poco a poco, el resplandor amarillo se transforma en una luz rojo‐anaranjada, y, finalmente, en una luminosidad centelleante color fuego, que, algunas veces, llega a presentar el rojo color de la sangre. Cuando ya el astro diurno ha desaparecido bajo el horizonte, se observa en el oeste del cielo un resplandor purpúreo, que alcanza su máxima intensidad cuando el Sol ha descendido unos 5° por debajo del horizonte. Encima del lugar en donde se ha puesto el Sol, separado del horizonte por una estrecha franja rojo‐parda, suele verse un semicírculo cuyo color varia entre el púrpura y el rosa. Esta coloración se debe en esencia a la refracción de la luz solar en las partículas que enturbian el aire situado entre los 10 y los 20 km. de altura, y desaparece cuando ya el Sol ha llegado a los 7 ° por debajo del horizonte. Cuando existe una cantidad anormalmente elevada de aerosoles (polvo atmosférico), la luz del amanecer y del atardecer es especialmente roja. Sucede generalmente cuando existen presiones atmosféricas elevadas (anticiclón) ya que la concentración de partículas de polvo en el aire es mayor a altas presiones. Si la tierra no tuviera atmósfera, la luz solar alcanzaría nuestros ojos directamente desde el disco solar y no recibiríamos luz difundida y el cielo aparecería tan negro como por la noche (los astronautas pueden observar durante el día las estrellas, la luna y los planetas debido a que están fuera de la atmósfera).

Cuando la difusión de Mie actúa de forma masiva, si las partículas difusoras no son coloreadas, el resultado es la

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En casos excepcionales pueden aparecer coloraciones especiales debido a la contribución de los volcanes en actividad. Cuando se produjo la erupción del volcán Krakatoa (26 y 27 de agosto de 1883, ‐36000 muertos por la erupción‐) se presenció en la Tierra un notable ejemplo de ello. La erupción lanzó a los aires un volumen de masas rocosas de la pequeña Isla de Krakatoa (situada en el Estrecho de la Sonda, entre Sumatra y Java) que se estima 3 en unos 18 km . Trozos de roca del tamaño de una cabeza humana salieron despedidos hacia lo alto con velocidades iniciales de 600 a 1000 m/s, y el estruendo de la explosión se dejó oír en Rodríguez (Isla de Madagascar) a 4774 kilómetros de distancia. El cielo permaneció oscuro durante varios días. Las partículas mas finas de ceniza volcánica expulsadas por el volcán se esparcieron hasta los 80 km de altura, fueron arrastradas por las corrientes atmosféricas elevadas y dieron la vuelta a la Tierra por dos veces. Se produjeron en el aire fantásticos fenómenos cromáticos que continuaban aun meses después del cataclismo; entre

otros, se observaron asombrosas coloraciones durante las salidas y puestas de sol y se vieron soles de todos los colores, entre ellos rojo‐cobre y verde. También se vieron soles de color azul, como pueden asimismo verse en raras ocasiones en Europa, cuando en el Canadá, por ejemplo, se produce un gran incendio forestal y los vientos del Oeste arrastran hasta nuestro Continente partículas de ceniza finísimas. Debido a que al atardecer, el camino que la luz solar recorre dentro de la atmósfera es mas largo, como hemos indicado anteriormente, es por lo que el Sol se ve más achatado y ancho pues el efecto de refracción a través de la atmósfera es muy grande. Por último, el color negro de la noche, es debido a que a la atmósfera que rodea al observador, apenas llega luz y por tanto no se puede dar suficiente difusión.

Otro FENÓMENO FÍSICO ESPECTACULAR: EL ARCO IRIS Supongamos que el circulo de la primera figura represente una sección de una gota de agua esférica. Un rayo de luz solar S1M1 que puede considerarse como un pequeño haz de luz paralela, al llegar a la gota se desvía y sigue la dirección M1R1 reflejándose en R1 parte de la luz, según R1N1 y al llegar a N1 parte de esta luz deja la gota y sigue la dirección N1P1. En la figura solamente se han trazado los caminos de algunos rayos, para evitar confusión, pero si se trazaran infinidad de rayos paralelos a S1MI1se vería que el rayo que incide en el punto M2, cuyo radio forma un ángulo de 59° con la dirección de la luz incidente, es el que se desvía menos de su primitiva dirección después de experimentar las dos refracciones y la reflexión. También se ve en la figura que los rayos que inciden alrededor del punto M2 forman al dejar la gota un haz paralelo N2P2; y en cambio los que inciden en cualquier otro punto M3 salen de la gota divergentes. Cuando el haz de rayos sale de la gota en forma de haz paralelo, apenas disminuye la intensidad de iluminación con la distancia, y esta disminución es debida a la absorción del medio. Por tanto, si miramos esta gota desde distancia en la dirección P2N2, recibiremos una cantidad considerable de luz refractada y reflejada; en cambio, recibiremos muy poca luz si miramos la gota en cualquier otra dirección. Si se traza XX' paralelamente a la luz incidente, el ángulo N2P2X es de 138º y el ángulo N2P2X’ es de 42º. Tomando la posición del ojo del observador E como vértice (siguiente figura), y como eje la dirección SES’ de los rayos solares, podemos describir un cono cuyas generatrices formen con el eje un ángulo de 42º, y todas las gotas, P1, P2, P3….etc.‐, situadas sobre la superficie de ese cono estarán puestas de modo que el haz de rayos paralelos que experimenta la desviación mínima puede entrar en el ojo y verse como puntos luminosos brillantes. El fenómeno no es tan sencillo como se ha supuesto, porque la luz blanca no solamente se refracta al entrar y salir de la gota, sino que al mismo tiempo se dispersa, como se indica en A, figura 359. De modo que mientras el ángulo que forma el haz de rayos rojos que emerge con el haz incidente es de unos 42°, el que forma el haz violeta es de unos 40°. De suerte que las gotas situadas en un cono de ángulo de 40° se ven violeta, y exteriormente a este cono se encuentra el de los rayos rojizos, que abarca un ángulo de 42°

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Entre estos dos conos se ve una serie de arcos con los colores del. espectro, estando el rojo en la parte externa, y sucediéndose hacia dentro en el orden del espectro, llamando a esta banda formada de colores, el arco iris. Además del arco estudiado antes, y que se llama primario, se ve a veces otro exterior al primero, llamado arco secundario. Se forma por dos reflexiones internas sobre la superficie de la gota, como se representa en B siendo los ángulos de desviaci6n mínima de 54° en el violeta y de 51º en el rojo. De modo que en este segundo arco queda el violeta en la parte de fuera. La explicaci6n elemental que se ha dado aquí es incompleta y no da cuenta de una serie de bandas coloreadas que aparecen cerca del borde interno del arco primario y cerca del borde externo del arco secundario.

4.5. Principio de FERMAT e interpretación de R. Feynman. Cuando en 1657 P. Fermat estudiaba la reflexión y la refracción de la luz a través de medios transparentes le atribuyó a ésta un comportamiento “intencionado”: “De todos los caminos posibles que la luz puede tomar para ir de un punto a otro, elige siempre el que requiere un tiempo más corto”. Esta frase es lo que constituye el llamado principio de Fermat (o del tiempo mínimo). El premio Nobel de 1965 R. Feynman ofreció una explicación muy didáctica de este principio: “Imagina que estamos en la orilla de un río, en el punto A, en tierra, y en el punto B dentro del agua a cierta distancia de la orilla hay una persona ahogándose. v1 Acudimos en su ayuda. Podemos correr y nadar sin problemas. C v2 < v1 ¿Qué hacemos? ¿vamos en línea recta? (¡Sin duda!) Sin embargo, si usáramos un poco más la inteligencia nos daríamos cuenta que es ventajoso seguir una distancia mayor por tierra para disminuir la v2 B distancia por el agua, ya que nos movemos más lentamente por el agua que por la tierra. Es preferible recorrer un mayor camino para tardar el menor tiempo posible ya que éste es la magnitud que realmente interesa para salvar a la persona. En el dibujo, el camino es el ACB, distancia que invierte el menor tiempo posible; pues bien, esto es la refracción de un movimiento ondulatorio cuando cambia de medio de propagación”.

A

5. ÓPTICA GEOMÉTRICA. ESPEJOS y LENTES La longitud de onda de la luz suele ser muy pequeña en comparación con el tamaño de los obstáculos o aberturas que se encuentran a su paso y pueden despreciarse en general los efectos de la difracción. El estudio de estos casos, en los que es válida la aproximación de los rayos y en los que se propaga la luz en línea recta, se conoce como óptica geométrica. Ahora, aplicaremos las leyes de la reflexión y refracción deducidas en el tema anterior para estudiar la formación de imágenes por espejos y lentes.

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P

5.1. Espejos Planos. En la figura aparece un haz de rayos luminosos que proceden de un punto P y se refleja en un espejo plano. Después de la reflexión, los rayos divergen exactamente como si procediesen de un punto P’ detrás del espejo. El punto P’ se denomina imagen del punto P. Cuando estos rayos entran en el ojo, no pueden diferenciarse de los rayos que procederían de una fuente situada en P’ (como si no hubiera espejo alguno). La imagen se denomina virtual debido a que luz no procede realmente de la imagen, sino que sólo lo parece.

espejo plano

El punto P’ está en la línea que pasa por el objeto (P) y P' es perpendicular al plano del espejo, a una distancia detrás de dicho plano igual a la distancia a que el objeto está del mismo. La imagen podrá verse siempre que el ojo esté en algún lugar de la región indicada en el dibujo. En la figura se ve que el objeto no necesita estar directamente delante del espejo: una imagen pude verse siempre que el objeto esté por encima del plano del espejo.

Q3. ¿Qué longitud deberá tener un espejo plano para que una persona que se sitúe de pié frente a él, pueda verse entera al reflejarse en él? (El espejo está a la altura de la cabeza)

5.2. Espejos esféricos.

P'

P

Este dibujo muestra un haz de rayos que procede de un punto A O situado en el eje de un espejo esférico cóncavo y que después de reflejarse en el mismo convergen en el punto P’. Los rayos entonces divergen desde este punto como si hubiese un objeto en el mismo. Esta imagen se denomina real, debido a que la luz realmente emana del punto imagen. Puede verse por un ojo que mire hacia el espejo y situado a la izquierda de la imagen o incluso una película fotográfica situada en ese punto P’ quedaría impresionada. También en el dibujo se aprecia que sólo los rayos que inciden en el espejo en los puntos próximos al eje AO se reflejan Q4. ¿Quedaría impresionada una película pasando por el punto imagen. Estos rayos se denominan rayos fotográfica del modo descrito anteriormente para el caso de un espejo plano? paraxiales. Debido a que otros rayos convergen en otros sitios cercanos a P’, la imagen aparece borrosa, efecto denominado aberración esférica. La imagen puede conseguirse más nítida reduciendo el tamaño del espejo de forma que no incidan en él los rayos paraxiales. Aunque entonces la imagen es más nítida, se reduce su brillo, debido a que se refleja menos intensidad luminosa. Para este tipo de espejos (que supondremos de radio r) puede demostrarse que si el punto P está a una distancia s del punto O, y que la imagen P’ se forma a una distancia s’ respecto de ese mismo punto, se cumple que, para los rayos paraxiales

P'

P

s'

A

1 1 2 + = s s' r

O

s

Cuando la distancia del objeto es mucho mayor que el radio de curvatura del espejo, el término 1/s de la anterior ecuación puede despreciarse, dando como resultado que la distancia de la imagen es s’ = ½ r. Esta distancia se denomina distancia focal f del espejo y el punto imagen se denomina punto focal o simplemente foco F.

f =

1 r 2

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Con esto, la primera ecuación podrá escribirse como:

1 1 1 + = s s' f Es muy importante, a la hora de aplicar esta –y otras- ecuaciones de óptica geométrica atender y respetar un CRITERIO DE SIGNOS convencional. Aunque hay varios, tal vez el más lógico sea el que considera el vértice del espejo como el punto (0,0) de un sistema de ejes coordenados. De este modo, “todo” lo situado a la izquierda de ese vértice será negativo, lo mismo que lo que quede por debajo del eje óptico. Este mismo criterio se usará también en los dioptrios y lentes.

5.3 Formación de imágenes en espejos esféricos. Construcción geométrica.

P'

P

O

A

Para construir las imágenes que un espejo como los anteriormente vistos forma, es conveniente elegir una serie “representativa” de rayos luminosos que nos permitan formar la imagen en P’. Normalmente esta serie de rayos son los que se muestran en la figura siguiente, en donde se ha ejemplificado con una flecha el objeto a reflejar.

a) Un rayo procedente del extremo superior de la flecha, que sea paralelo al eje AO se refleja pasando por el punto focal a una distancia r/2 del espejo. b) Otro rayo, que pasa por el centro de curvatura del espejo, incide sobre éste perpendicularmente a su superficie y se refleja de nuevo a lo largo de la su trayectoria original. s

La intersección de los DOS rayos anteriores da como resultado la posición del punto imagen del extremo superior del objeto. Este punto podría comprobarse mediante un tercer rayo que pasara por el punto focal, el cual se refleja hacia atrás paralelamente el eje.

y α y'

Puede observarse que la imagen está invertida y que no es del mismo tamaño que el original. La amplificación o el aumento del sistema óptico (espejo esférico en este caso) se define como el cociente del tamaño de la imagen al tamaño del objeto, o lo que es lo mismo, menos el cociente de distancias s’ y s. En efecto, tal y como se observa en la figura

α

s'

tagα = Un caso especial es cuando la imagen “inicial” está situada entre el espejo y su punto focal. En tal caso, los rayos reflejados desde el espejo NO convergen sino que parecen diverger de un punto detrás del espejo. En tal caso, la imagen es virtual y derecha (como se ve en la figura).

A

y' s' y y' =− ⇒m= =− y s s s'

C

f

O

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Lógicamente, hay que tener presente que el criterio de signos anterior, afecta a TODAS las distancias (incluido radio de curvatura del espejo. Por tanto, la magnificación de la imagen puede resultar negativa o positiva.

f

C

Q5. ¿En qué condiciones producirá un espejo cóncavo una imagen derecha? ¿Una imagen virtual? ¿Una imagen menor que el objeto? ¿Una imagen mayor que el objeto?. Responder a las mismas cuestiones para el caso de un espejo convexo. Q6. Un objeto de 2 cm de alto está a 10 cm de un espejo convexo cuyo radio de curvatura es 10 cm. Localizar la imagen y hallar su altura.

5.3. DIOPTRIOS. Imágenes formadas por refracción. Lentes. Recibe el nombre de DIÓPTRIO un conjunto formado por DOS medios transparentes, isótropos y homogéneos, separados por una superficie. Según sea esa superficie, los dióptrios se clasifican en planos o esféricos. De hecho, los mismos espejos anteriormente vistos, también pueden considerarse dióptrios. Las imágenes que proporcionan los dioptrios pueden ser REALES o VIRTUALES. Decimos que una imagen es real cuando se forma por intersección de los rayos tras cruzar (o emerger) del sistema óptico. Pueden recogerse sobre una pantalla. Una imagen es virtual cuando se forma por intersección de las PROLONGACIONES de los rayos. No se pueden recoger en una pantalla.

s

s' P'

P

n2 n1

El dibujo anterior muestra la formación de una imagen por refracción en una superficie esférica (de radio r) que separa dos medios con índices de refracción n1 y n2. Como se ve, también en este caso los rayos paraxiales convergen en un punto único. Utilizando la ley de Snell puede deducirse que la ecuación que relaciona las variables señaladas. Para ello, nos fijaremos en uno de esos rayos tal que el ángulo que forma con el eje óptico sea muy pequeño, tal y como se recoge en el otro dibujo. En estas condiciones, puede admitirse que si α → 0 ⇒ sen α ≈ tag α ≈ α y que por tanto pueden escribirse las siguientes expresiones:

n1 ·sen i = n2 ·sen r

⇒ n1 · i

= n2 · r

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y por otro lado, por la geometría del diseño

β = 180 − (α + θ ) 180 = i + β

⇒ i =α +θ

n1

π = 180 − ( r + α ' ) 180 = π + θ ⇒ r = θ − α '

α P

con lo que nos queda

w

i

n2

β O

h

r

θ

s

π C

α' P'

s'

n1 ·(α + θ ) = n2 ·(θ − α ' ) y dado que h s h α ' ≈ tagα ' = s' h θ ≈ tagθ = R

α ≈ tagα =

podemos escribir que

⎛1 1⎞ ⎛1 1 ⎞ ⎛h h⎞ ⎛h h⎞ n1 ·⎜ + ⎟ = n2 ·⎜ − ⎟ ⇒ n1 ·⎜ + ⎟ = n2 ⎜ − ⎟ ⎝ R s' ⎠ ⎝s R⎠ ⎝ R s' ⎠ ⎝ s R⎠ pero dado que s < 0 nos quedará

n n n1 n1 n2 n2 n n − = − ⇒− 1 + 2 = 2 − 1 s s' R R R s R s' esto es

n1 n2 n1 − n2 − = s s' R que es la ecuación general del dioptrio esférico.

Q7. Determinar la profundidad aparente de un pez que está en reposo a 1 m por debajo de la superficie del agua, la cual posee un índice de refracción n = 4/3. (Sol.: ‐75 cm)

•

FOCOS OBJETO e IMAGEN.

Son dos puntos importantes en el dioptrio. Se denomina FOCO OBJETO al punto del eje óptico tal que los rayos que parten de él (/o cuyas prolongaciones pasan por él) se refractan paralelamente al eje, y por tanto la imagen se n2 forma en el infinito. Por tanto: n1

n1 n1 n2 n1 − n2 n n − n2 − = ⇒ 1 = 1 ⇒ f =− R ∞ n2 − n1 f R f R esto es, si R > 0 y n2 > n1 ⇒ f < 0 (está a la izqda. del vértice) R > 0 y n2 < n1 ⇒ f > 0 (está a la dcha. del vértice)

F

f

Casi del mismo modo se define el FOCO IMAGEN, como el punto del eje óptico tal que los rayos refractados de un objeto en s = infinito pasan por él. De este modo, repitiendo el mismo esquema anterior, nos encontramos que:

n1 n n − n2 − 2 = 1 ⇒ −∞ f' R

f'=

n2 R n2 − n1

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y del mismo modo: R > 0 y n2 > n1 ⇒ f’ > 0 (está a la dcha. del vértice) R > 0 y n2 < n1 ⇒ f’ < 0 (está a la izqda. del vértice, en cuyo caso, los rayos paralelos divergen y las prolongaciones pasan por F’) Si dividimos las dos expresiones de distancias focales objeto e imagen, tendremos:

n f =− 1 n2 f' es decir, los focos imagen y objeto están uno a cada lado. Otra forma útil de expresar la ecuación general del dioptrio es dividir por su segundo término(n1-n2)/R; esto es: n1

R R n2 n1 − n2 n1 − n2 − =1 ⇒ s s'

f f' + =1 s s'

que es la conocida como “Ecuación de Gauss” del dióptrio.

n1 x P

n2 f

F s

Otro modo de trabajar con esta ecuación es usando los parámetros especificados en el esquema, y de esta forma, escribir:

f'

x'

F'

P'

s=x+f ⇒ f=s–x s’= x’ + f’ ⇒ f’ = s’ – x’

s'

que sustituyendo en la anterior ecuación, queda f f' + =1 x + f x'+ f '

desarrollando y agrupando, al final, nos queda que f·f’ = x·x’ que es la ecuación de Newton para el dioptrio.

•

OBTENCIÓN DE IMÁGENES POR DIOPTRIOS.

Para hacer una representación del modo en cómo se forman las imágenes, se sigue un procedimiento gráfico como el de los espejos, pero a diferencia de ellos, ahora la imagen que se forma obedece a la refracción, y no a la reflexión. En principio, son suficientes 3 rayos: • • •

Un rayo paralelo al eje óptico, que tras refractarse y pasar al segundo medio, pasa por el foco imagen. Un rayo que pasando por el foco objeto, incide sobre la superficie del dióptrio y se refracta paralelamente al eje óptico. Un rayo que se dirige directamente, al centro del dioptrio, y que por tanto, no sufre refracción.

La intersección de estos 3 rayos (que parten de cada punto de la “figura” original) forman los puntos imágenes, tal y como se ve en la figura, que resulta una imagen REAL e INVERTIDA.

n1 F' F

n2

C

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SE PROPONE REALIZAR UN ESQUEMA SIMILAR A ESTE PARA EL CASO EN QUE EL ORIGINAL SE ENCUENTRE SITUADO ENTRE EL FOCO y EL VÉRTICE DEL DIÓPTRIO.

•

Aumento lateral del dioptrio.

Como ha debido quedar claro tras las últimas representaciones gráficas, las imágenes que proporcionan los dioptrios, pueden ver variado su tamaño respecto del original. Por ello, ha de definirse, también, el parámetro de “aumento lateral” del que ya hablamos para los espejos, pero ahora, el hecho de que la imagen se forme por refracción hace que esta expresión sea distinta. Consideremos la figura: n1 y

mL =

n2

i r

y' y

y −s − y' tag r = s'

tag i =

y'

y por la ley de Snell, podemos poner que: sen i n2 tag i = ≈ sen r n1 tag r

•

⇒

y n2 y · s' = s = y' y' · s n1 s'

esto es

mL =

y ' n1 ·s ' = y n 2 ·s

LENTES DELGADAS.

Llamaremos “lente” a un sistema óptico formado por 2 dioptrios del que al menos uno suele ser esférico. Normalmente, el espesor suele ser pequeño, y en una primera clasificación “geométrica”, las lentes pueden clasificarse en CONVEXAS, CONVERGENTES, PLANO CONVEXAS y de MENISCO CONVERGENTE.

ECUACIÓN DE LAS LENTES. El proceso total de formación de las imágenes, se puede analizar considerando que la imagen que forma el primer dioptrio sirve de objeto para el segundo, y aplicar la ecuación general del dioptrio anteriormente deducida. En estas condiciones, tendremos: R1 > 0 R2 < 0

n1 n2 n1 − n2 ⎫ − = s s'1 R1 ⎪⎪ ⎡1 n1 n1 1⎤ ⎬(+) ⇒ − = (n1 − n2 )·⎢ − ⎥ n2 n1 n2 − n1 ⎪ s s' ⎣ R1 R2 ⎦ − = s '1 s ' R2 ⎪⎭

n1

n1

y si n1 = 1 (aire) tendremos que

⎡1 1 1 1⎤ − = (1 − n)·⎢ − ⎥ s s' ⎣ R1 R2 ⎦

P

s

C1

s'

C2

P'1

n2 s'1

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•

FOCOS y DISTANCIAS FOCALES.

Igual que se hizo anteriormente, para las lentes, también cabe hablar de estos puntos ópticos significativos, y su deducción puede hacerse en base a la ecuación anteriormente deducida. Foco Imagen. Con el mismo significado que el caso general del dioptrio, su posición se halla haciendo s = infinito. Se tendrá, entonces:

−

⎡1 ⎡1 1 1 1⎤ 1 1⎤ = − = (1 − n)·⎢ − ⎥ ⇒ = (n − 1)·⎢ − ⎥ s' f' f' ⎣ R1 R2 ⎦ ⎣ R1 R2 ⎦

Foco Objeto. Igualmente, bastará hacer s' = infinito en la ecuación general de la lente, y tendremos finalmente:

⎡1 1 1⎤ = (1 − n)·⎢ − ⎥ f ⎣ R1 R2 ⎦ Esto es, que f = -f', por lo que si llevamos este hecho a la ecuación de Newton del dióptrio, se nos transforma: x·x' = -f2 = -f'2 y según esto:

1 1 1 1 − = =− s s' f f' que será la que llamaremos ecuación general de las lentes delgadas. Al hilo de las definiciones anteriores, usaremos el concepto de POTENCIA DE UNA LENTE (C), como la inversa de la distancia focal imagen. De modo, que su unidad es la DIOPTRIA, si esa distancia focal imagen se mide en metros. De este modo, la potencia de una lente convergente, será un número positivo, y negativo para las lentes divergentes. Por otro lado, el AUMENTO LATERAL será el producto de los aumentos que proporciona cada dioptrio:

mL1 = −

y1 ' n1 s '1 = y n2 s

mL 2 = −

y ' n2 s ' = y '1 n1 s '1

mL = mL1 ·mL 2 =

n1 s '1 n2 s ' s ' · = n2 s n1 s '1 s

5.3.1. Estudio de las imágenes formadas por las lentes.

P

C2

r1 r2

C1

P'

La figura muestra una lente BICONVEXA. Según el criterio de signos utilizado, r1 es positivo ya que el centro de curvatura está a la derecha de la superficie, pero r2 es negativo debido a que el centro de curvatura de la segunda superficie está en la parte izquierda. En este caso, ambas superficies tienden a desviar los rayos luminosos hacia el eje de la lente y entonces se la

denomina LENTE CONVERGENTE. Como cabría suponer, si un haz de rayos paralelos incide sobre una lente convergente desde “la derecha”, se verá enfocado en un punto a la izquierda situada a una distancia f de la lente. Los dos puntos a la izquierda y derecha de cualquier lente delgada a una distancia f de la misma son el primer y segundo punto focal de la lente, habitualmente designados por F y F’.

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El siguiente estudio corresponde a una lente BICÓNCAVA.

P

C2

r1

C1

P'

r2

Una LENTE CONVERGENTE tiene una distancia focal imagen positiva, y por tanto, se la suele denominar “lente positiva”. Una LENTE DIVERGENTE tiene una distancia focal imagen negativa y puede denominarse “lente negativa”.

Ambas superficies tienden a hacer diverger los rayos luminosos alejándolos del eje de la lente. Si tenemos dos o más lentes delgadas, podremos hallar la imagen final formada producida por el conjunto, averiguando cuál es la distancia imagen primera y utilizándola luego (junto con la distancia entre las lentes) para hallar la distancia del objeto correspondiente a la segunda lente. Es decir, consideraremos cada imagen (llegue a formarse o no) como el punto objeto para la siguiente lente, tal y como se ha hecho anteriormente.

Diagrama de rayos para las lentes. Igual que con los espejos, es conveniente localizar la imagen mediante métodos gráficos. Igual que allí, elegiremos convenientemente los rayos (ver figura).

LenteConvergente

LenteDivergente

s F'

y

y'

F

• Un rayo paralelo al eje, que se desvía hacia el punto focal a la derecha de la lente. • Un rayo que pasando por el centro de la lente (vértice) no se desvía. • Un rayo que pasa por el primer punto focal de la lente y emerge paralelo al eje. (Este tercero, a veces, no resulta necesario) Este mismo esquema de rayos puede aplicarse a diferentes situaciones (o para lentes divergentes), dando diferentes resultados. En la figura se representa uno de ellos.

s' y y'

F

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6. ALGO SOBRE INSTRUMENTOS ÓPTICOS * Lupa. Es simplemente una lente convergente de pequeña distancia focal (entre 5 y 10 cm). Se emplea para ampliar la imagen de pequeños objetos colocados dentro de la distancia focal. * Microscopio.

Para aumentos mayores a los que permite la lupa se recurre al microscopio. Consta de dos lentes convergentes. Una (llamada objeto) se sitúa muy próxima al objeto (de ahí su nombre) que deseamos observar. La imagen formada por esta lente cae dentro de la distancia focal de otra segunda lente (llamada ocular), cerca de la que se sitúa el ojo. La imagen real dada por la primera lente actúa como objeto de la segunda, obteniéndose una imagen final muy aumentada. * Telescopio.

Aunque para tareas distintas a las anteriores, existen telescopios tanto de lentes, como de espejos; e incluso, combinación de ambos. Los telescopios de espejos (denominados reflectores) en su modelo más simple (modelo Newtoniano) consta de un espejo cóncavo situado en la base de un cilindro. Los rayos paralelos que penetran por el tubo convergen tienden a converger en el foco del espejo, en donde se sitúa un espejo plano (espejo secundario) que dirige los rayos hacia el lateral del tubo, (ocular) en donde hay situado una lente (o conjunto de ellas). En este tipo de telescopios, se observa por uno de los laterales, en contra de otros modelos (Cassegrain) en donde la visión se realiza sobre el mismo eje del espejo mediante un sistema de espejos añadidos. En los telescopios refractores, existe una lente convergente (en su modelo más simple) de más o menos diámetro en un extremo del tubo del telescopio. En el otro extremo se sitúa el ocular, coincidiendo en distancia con la focal de la lente principal. De todos modos, existe un instrumento óptico fundamental, al que merece que le dediquemos unos párrafos: se trata del ojo.

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PROBLEMAS RESULETOS y PARA RESOLVER 1.

Un rayo de luz blanca incide desde el aire sobre una lámina de vidrio con un ángulo de incidencia de 30º. A) ¿Qué ángulo formarán entre sí en el interior del vidrio los rayos rojo y azul componentes de la luz blanca, si los valores de los índices de refracción del vidrio para estos colores son, respectivamente, nrojo = 1,612 y nazul = 1,671. B) ¿Cuáles serán los valores de la frecuencia y de la longitud de onda correspondientes a cada una de estas radiaciones en el vidrio, si las longitudes de onda en el vacío son, respectivamente, λ rojo= 656,3 nm y λ azul = 486,1 nm?

a) Aplicando la ley de Snell:

1 sen θi = n vidrio rojo sen θr ⇒ sen θ r =

sen 30 0 0,5 = = 0,31 ⇒ θ r = arcsen 0,31 = 18,07 0 n vidrio..rojo 1,612

1 sen θi = n vidrio azul sen θr ⇒ sen θ r =

sen 30 0 n vidrio...azul

=

0,5 = 0,299 ⇒ θ r = arcsen 0,299 = 17,410 1,671

Δθ = 18,070 – 17,410 = 0,660 Δθ = 0,660

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b) f0 rojo (vacío) = frojo (vidrio ) . La frecuencia es la misma en el aire que en el vidrio

c = λ 0 rojo f rojo ⇒ f rojo =

c λ 0 rojo

=

3.10 8 656,3.10 −9

= 4,57.1014 Hz

f rojo = 4,57.10 14 Hz c = λ 0azul f azul ⇒ f azul =

c λ 0azul

=

3.10 8 486,1.10 −9

= 6,17.1014 Hz

f azul = 6,17.10 14 Hz c = λ 0 rojo .f rojo v vidrio.rojo = λ vidrio.rojo f rojo Dividiendo. → n = n vidrio.rojo =

λ

vidrio.rojo

c v

c v vidrio.rojo

=

λ 0 rojo .f rojo λ vidrio.rojo f rojo

=

λ 0 rojo λ vidrio.rojo

⇒ λ vidrio.rojo =

λ 0 rojo n vidrio.rojo

=

656,3.10 −9 = 4,07.10 − 7 m 1,612

= 4,07.10 −7 m

c = λ 0.azul .f azul v vidrio.azul = λ vidrio.azul f azul Dividiendo. → n = n vidrio.rojo =

λ

2.

vidrio.azu l

c v

c v vidrio.azul

=

λ 0azul λ 0azul λ 0azul .f azul 486,1.10 −9 ⇒ λ vidrio.azul = = = 2,9.10 − 7 m = λ vidrio.azul f azul λ vidrio.azul n vidrio.azul 1,671

= 2,9.10 − 7 m

Un rayo luminoso que se propaga en al aire incide sobre el agua de un estanque con un ángulo de 30º ¿Qué ángulo forman entre sí los rayos reflejado y refractado? Si el rayo luminoso se propagase desde el agua hacia el aire ¿a partir de qué valor del ángulo de incidencia se presentará el fenómeno de reflexión total?. Dato: índice de refracción del agua = 4/3.

Por la Ley de Snell

) 1.sen 300 = 4/3 sen r

) sen 30 0 0,5.3 ) sen r = = = 0,375 ⇒ r = arcsen 0,375 = 22,02 0 4/3 4 El ángulo que incidente es igual que el reflejado ( 300 ) por tanto los rayos reflejado y refractado formarán un ángulo α = 1800 – 300 – 22,02 =127,98 α = 127,980 b) La reflexión total se presenta a partir de un ángulo de incidencia llamado límite para el cual el ángulo refractado tiene un valor de 90º. Esto sólo puede suceder cuando el rayo pasa de un medio más refringente a otro menos , en éste caso el rayo pasa del agua al aire, el primer medio es el agua y el segundo el aire. Aplicando la ley de Snell.

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4/3 sen

) l = 1 sen 900

) sen 90 0 3 ) = = 0,75 ⇒ l = arcsen 0,75 = 48,59 0 sen l = 4/3 4 ) l = 48,59 0

3.

Sobre la cara lateral de un prisma de vidrio de índice de refracción 1,4 y ángulo en el vértice 50º, incide un rayo de luz con un ángulo de 20º . Determina: El ángulo de desviación sufrido por el rayo. El ángulo de desviación mínima que corresponde a este prisma. El prisma se encuentra situado en el aire. a)

Aplicando la ley de Snell del aire al prisma

)

1 sen 200 = 1,4 sen r

) sen 20 0 0,342 ) sen r = = = 0,244 ⇒ r = arcsen 0,244 = 14,14 0 1,4 1,4 Como ϕ =

) ) ) r + r ′ ⇒ r ′ = 50 0 − 14,14 0 = 35,86 0

Aplicando la ley de Snell del prisma al aire

)

)

1,4 sen r ′ = 1 sen i ′

) ) sen i ′ = 1,4. sen 35,86 0 = 0,82 ⇒ i ′ = 55,10 0

Como δ = α + β

i =α+r ⇒α=i–r i′ = β + r′ ⇒ β = i′ - r′

δ = i – r + i′ - r′ δ = i + i′ -(r + r′) δ = i + i′ - ϕ δ = 200 + 55,10 –500 = 25,10 δ = 25,10

b) La desviación mínima ocurre cuando i = i’. Es decir dentro del prisma la trayectoria del rayo luminoso es paralela a la base del prisma. Se cumple : i = i′ ; r = r′ ; ϕ = r + r′ = 2r ⇒ r = 25º Aplicando la ley de Snell del aire al prisma 1 sen

) ) i = 1,4 sen 250⇒ i = arcsen 0,592 = 36,27º

Por tanto : δm = i + i′ -ϕ = 2i - ϕ = 2.36,270 –500= 22,55º δm = 22,55º

4.

Un espejo esférico , cóncavo, ha de formar una imagen invertida de un objeto en forma de flecha, sobre una pantalla situada a una distancia de 420 cm delante del espejo. El objeto mide 5 mm y la imagen ha de tener una altura de 30 cm. Determinar: A qué distancia del espejo debe colocarse el objeto. El radio de curvatura del espejo. Efectuar la construcción geométrica de la citada imagen.

a)

y′ − 30 − 420 420.0,5 s′ =− ⇒ =− ⇒s=− = −7cm 30 y s 0,5 s s = −7cm

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b)

1 1 1 + = s s′ f 1 1 1 + = − 7 − 420 f − 61 1 = 420 f f = −6,88cm ⇒ r = 2f = 2. − 6,88cm = −13,76cm r = −13,76cm

5.

Una lente convergente con radios de curvatura de sus caras iguales, y que suponemos delgada, tiene una distancia focal de 50 cm. Proyecta sobre una pantalla la imagen de un objeto de tamaño 5 cm. Calcula la distancia de la pantalla a la lente para que la imagen sea de tamaño 40 cm Si el índice de refracción de la lente es igual a 1,5. ¿Qué valor tienen los radios de la lente y cuál es la potencia de la misma ? a) Al proyectarse en una pantalla la imagen es real y por tanto invertida

s.y ′ −40.s y′ s′ = ⇒ s′ = = = −8.s y 5 y s s ′ = −8.s 1 1 1 1 1 1 9 1 450 − + = ⇒− + = ⇒− = ⇐s=− = −56,25cm s s′ f ′ s − 8.s 50 8.s 50 8 s ′ = −8.s = −8(−56,25) = 450cm s ′ = 450cm

b)

P=

2 1 1 1 1 1 = (n − 1)( − ) = (1,5 − 1)( − ) = 0,5( ) r r −r r1 r2 f′

1 0,5.2 = ⇒ r1 = 50cm 50 r r1 = 50cm r2 = −50cm

P=

1 1 = = 2 Dioptrías f ′ 0,5 P = 2 Dioptrías

6.

Un objeto luminoso está situado a 6 m de una pantalla. Una lente, cuya distancia focal es desconocida, forma sobre la pantalla una imagen real, invertida y cuatro veces mayor que el objeto. ¿Cuál es la naturaleza y la posición de la lente ?.¿ Cuál es el valor de la distancia focal de la lente ? Se desplaza la lente de manera que se obtenga sobre la misma pantalla una imagen nítida, pero de tamaño diferente al obtenido anteriormente. ¿Cuál es la nueva posición de la lente y el nuevo valor del aumento ?

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a)

Para que la imagen de un objeto sea real e invertida la lente tiene que ser CONVERGENTE (1)

-s + s′ = 6

− 4. y s ′ y′ s′ = ⇒ = ⇒ s ′ = −4.s y s y s y en (1) 6 − s + (−4.s ) = 6 ⇒ −5.s = 6 ⇒ s = − = −1,2m 5 s = −1,2m La distancia del objeto a la lente es de –1,2 cm

s′ = -4s = -4(-1,2) = 4,8 m s′ = 4,8 m ( Imagen real ,detrás de la lente ) La distancia de la imagen a la lente es 4,8 m

1 1 1 1 1 1 5 1 4,8 − + = ⇒− + = ⇒ = ⇒ f′ = = 0,96m s s′ f ′ − 1,2 4,8 f ′ 4,8 f ′ 5 f ′ = 0,96m b)

La pantalla está en la misma posición, lo que cambia es la posición de la lente. Por tanto se cumple:

-s + s′ = 6 ⇒ s′= 6 + s Como es la misma lente la distancia focal no cambia

f′ = 0,96 m Aplicando:

−6 − s + s 1 1 1 1 1 1 1 = − + = ⇒− + = ⇒ s s′ f ′ s 6 + s 0,96 (6 + s)s 0,96 ⇒ 6.s + s 2 = 0,96(−6) ⇒ s 2 + 6.s + 5,76 = 0

s=

− 6 ± 6 2 − 4.1.5,76 − 6 ± 3,6 = 2 2

→ s = −4,8m → s = −1,2m La solución s = -1,2 m coincide con la del apartado a). Por tanto la solución a éste nuevo apartado es s =-4,8 m s = - 4,8 m ⇒ s′ = 6 + s = 6 – 4,8 = 1,2 m ( Objeto 4,8 m delante de la lente ) s′ = 1,2 m ( Imagen 1,2 m detrás de la lente)

M

L

=

y′ s′ 1, 2 = = = − 0 , 25 y s − 4 ,8

ML= = 0,25 m Esto quiere decir que la imagen es más pequeña que el objeto ( La cuarta parte )

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PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Un faro sumergido en un lago dirige un haz de luz hacia la superficie del lago con î = 40º . Encontrar el ángulo refractado. ( nagua = 1,33 ) SOLUCIÓN 58,7º

2. Encontrar el ángulo límite para la reflexión total interna de la luz que pasa del hielo (n = 1,31 ) al aire. Haz un dibujo SOLUCIÓN 49,7º 3. Una capa de aceite (n = 1,45) flota sobre agua (n = 1,33). Un rayo de luz brilla dentro del aceite con un î = 40º. Encontrar el ángulo que forma el rayo con el agua. SOLUCIÓN 28,7º

4. ¿Cuál es la frecuencia de la luz que tiene una longitud de onda en el aire de 546 nm .? ¿Cuál es su frecuencia en el agua?. ¿Y su velocidad en el agua .? ¿ Y su longitud de onda en el agua .? nagua= 1,33 SOLUCIÓN f aire= fagua= 5,5 . 1014 Hz ; 2,25 . 108 m/ s ; 400 nm

5. Un haz de rayos de luz llega a la superficie plana de medio cilindro de un material transparente cuyo n = √2 formando un ángulo de 45º. Determinar con qué ángulo abandonará la superficie cilíndrica. SOLUCIÓN 30º

6. Un rayo luminoso incide en una cara lateral de un cubo de vidrio de n = 1,5, que está sumergido en agua, de n = 1,33. ¿Con qué ángulo debe incidir el rayo para que al salir la luz haya reflexión total en la cara superior horizontal del cubo?. SOLUCIÓN 31,43º 7. Si un rayo de luz monocromática se propaga del agua al aire ¿a partir de qué valor del ángulo de incidencia en la superficie de discontinuidad entre ambos medios se presentará el fenómeno de reflexión total?. ¿Qué nombre recibe ese ángulo?. El valor del índice de refracción absoluto del agua es na = 4/3. Razone la respuesta. SOLUCIÓN 48,6º. Se llama ángulo límite 8. Explica en qué condiciones un rayo de luz monocromática: a) Se refracta con un ángulo de refracción menor que el ángulo de incidencia b) Experimenta el fenómeno de reflexión total. SOLUCIÓN Cuando pasa de un medio menos refringente ( menor índice de refracción ) a otro más ( mayor índice de refracción ) ( n2 > n1) . Para ángulos de incidencia mayores que el ángulo límite ( n1>n2 )

9. Una fuente luminosa emite luz monocromática de longitud de onda en el vacío λ0 = 6 x 10‐7m (luz roja) que se propaga en el agua de índice de refracción n = 1,34 Determine: a) La velocidad de propagación de la luz en el agua. b) La frecuencia y la longitud de onda de la luz en el agua.

SOLUCIÓN: a) 2,24.108 m.s‐1 b) 5.1014 Hz ; 4,478.10‐7 m

10. Un rayo de luz monocromática que se propaga en el aire incide sobre una sustancia transparente con un ángulo de 58º respecto a la normal. Se observa que los rayos reflejado y refractado son mutuamente perpendiculares: a) ¿Cuál es el índice de refracción de la sustancia transparente para esta luz ? b) ¿Cuál es el ángulo límite para la reflexión total interna en esta sustancia , si la luz se propagase desde ésta hacia el aire?

SOLUCIÓN : a) 1,6 b) 38,670

‐9 11. Un rayo de luz amarilla , emitido por una lámpara de sodio, tiene una longitud de onda en el vacío de 589. 10 m. Determinar : a) Su frecuencia b) Su velocidad de propagación y su longitud de onda en el interior de una fibra de cuarzo, cuyo índice de refracción es n = 1,458. c) El ángulo de incidencia mínimo para el rayo de luz que, propagándose por el interior de la fibra de cuarzo, encuentra la superficie de discontinuidad entre el cuarzo y el aire y experimenta reflexión total. SOLUCIÓN: a) 1,96.10‐15 Hz

b) 2,06.108 m.s‐1 ; 4.04.10‐7 m c) 43,300

12. Sobre una lámina de vidrio de caras planas y paralelas, de espesor 2 cm y de índice de refracción n = 3/2, situada en el aire, incide un rayo de luz monocromática con un ángulo θi = 30º. a) Comprueba que el ángulo de emergencia es el mismo que el ángulo de incidencia. b) Determine la distancia recorrida por el rayo dentro de la lámina y el desplazamiento lateral del rayo emergente.

SOLUCIÓN: a) 1 sen 300 = 3/2 sen r 3/2 sen r = 1 sen i′ ⇒ i′= 300 b ) 2,12 cm ; 0,388 cm

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13. Una piscina tiene una profundidad aparente de 1,8 m. ¿Cuál será su profundidad real?. Haz un esquema con la marcha de los rayos luminosos. Datos. Índice de refracción absoluto del agua 4/3 SOLUCIÓN: 2,4 m 14. Un objeto de 10 cm., de altura está situado a 75 cm., de un espejo cóncavo de 50 cm., de radio. Halla la posición, naturaleza y tamaño de la imagen. SOLUCIÓN: Real e invertida, ‐37,5 cm 15. Las señales de radio de AM (de entre 200 y 600 m de longitud de onda) “pasan” mejor las montañas que las señales de FM (de unos 3 m de longitud de onda). Ofrecer una explicación a este hecho. 16.Es una noche oscura y en una casa que hay en la cima de una montaña, se enciende una luz. Una persona que se encuentra en el valle ve la luz, pero sin embargo, las personas que habitan la casa no ven a la persona del valle. Ofrecer una explicación a este hecho. 17. Un objeto de 3 cm., de alto está situado a 12 cm., de un espejo convexo, de r = 12 cm. Determinar la posición y altura de la imagen. SOLUCIÓN: Virtual, derecha, más pequeña ,4 cm 18. Con un espejo cóncavo se obtiene una imagen invertida tres veces mayor que el objeto. La distancia objeto imagen es igual a 28 cm. ¿ A qué distancia se halla el objeto y cuánto vale la focal del espejo? SOLUCIÓN: ‐14 cm ;‐10,5 cm 19. A 35 cm de un espejo cóncavo de 60 cm de radio se encuentra un objeto. Determinar a qué distancia hay que colocar un espejo plano perpendicular al eje del sistema para que la imagen formada después de reflejarse los rayos en este espejo quede situada en el centro de curvatura del espejo cóncavo? SOLUCIÓN: 135 cm

20. Sobre una pantalla se desea proyectar, mediante un espejo esférico cóncavo que distan de ella 10 m, la imagen de un objeto, de modo que resulte un aumento igual a ‐4. Determinar la distancia del espejo a la que se ha de colocar el objeto, así como el radio de curvatura del espejo. SOLUCIÓN: ‐2,5 m; R = 4 m

21. Un lápiz de 12 cm., se coloca en el centro de curvatura de un espejo cóncavo de 40 cm., de distancia focal. Halla : posición, tamaño y naturaleza de la imagen. SOLUCIÓN: Invertida, de igual tamaño y ‐ 80cm 22. ¿Dónde debes colocar un objeto para que un espejo cóncavo forme imágenes virtuales?. ¿Qué tamaño tienen estas imágenes?. Ayúdate de las construcciones geométricas necesarias para su explicación SOLUCIÓN: Un espejo cóncavo sólo forma imágenes virtuales cuando el objeto se coloca entre el foco y el espejo. Son derechas y de mayor tamaño que el objeto.

23. Un espejo cóncavo tiene un radio de 120 cm. ¿A qué distancia del espejo debe colocarse un rostro para que la imagen aparezca derecha y su tamaño sea el doble del natural?. La imagen es real o virtual? SOLUCIÓN: ‐ 30 cm ; Virtual 24. Cierto espejo colocado a 2 m de un objeto produce una imagen derecha y tres veces mayor que el objeto. ¿El espejo es convexo o cóncavo? ¿Cuánto mide el radio de curvatura del espejo? 25. Calcule a qué distancia debe colocarse un objeto a la izquierda del vértice de un espejo cóncavo cuyo radio de curvatura es de 12 cm para que su imagen sea tres veces mayor que el objeto. Interpreta los posibles resultados y efectúe las construcciones geométricas correspondientes SOLUCIÓN: ‐8 cm . Para que la imagen sea mayor que el objeto en un espejo cóncavo ,éste tiene que estar entre el centro de curvatura ( ‐12 cm ) y el foco ( ‐6 cm ) la imagen será entonces real , invertida y de mayor tamaño

26. Un espejo esférico cóncavo tiene una distancia focal de 0,8 m. Determinar las posiciones del objeto y de la imagen en los siguientes casos: a) La imagen es real, invertida y tres veces mayor que el objeto. b) La imagen es virtual, derecha y tres veces mayor que el objeto. c) Efectuar la construcción geométrica en ambos casos. SOLUCIÓN: a) –1,07 m ; ‐3,2 m

b) –0,53 m ; 1,6 m

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27. Se utiliza un espejo esférico para formar una imagen invertida, cinco veces mayor que el objeto sobre una pantalla situada a 5 m del objeto: a) Determinar la posición del objeto anterior respecto al espejo al espejo y el valor del radio de curvatura de dicho espejo. ¿ Qué tipo de espejo es ?. b) Utilizando el mismo espejo ¿ a qué distancia tendría que colocarse el objeto para que la imagen formada fuese virtual y de tamaño cinco veces mayor?. c) Efectuar la construcción geométrica en ambos casos. SOLUCIÓN: a) ‐1,25 m; ‐2,08 m ,cóncavo ‐0.83 m

28. Un espejo esférico, que actúa de retrovisor de un coche parado, proporciona una imagen virtual de un vehículo que se aproxima con velocidad constante. El tamaño de dicha imagen es 1\10 del tamaño real del vehículo cuando éste se encuentra a 8 m del espejo. a) ¿Cuál es el radio de curvatura del espejo? b) ¿A qué distancia del espejo se forma la correspondiente imagen virtual? c) Un segundo después la imagen observada en el espejo se ha duplicado. ¿A qué distancia del espejo se encuentra ahora el vehículo? d) ¿Cuál era su velocidad?.

SOLUCIÓN: a) 1,78 m b) 0,8 m c) –3,5 m d) 4,4 m/s

29. Un objeto de 2 cm de altura está situado a 25 cm de una lente convergente de 20 cm de distancia focal. Calcula la posición de la imagen y su tamaño. ¿Qué características tiene la imagen? SOLUCIÓN: 100 cm ; ‐8 cm. Imagen invertida y de mayor tamaño que el objeto

30. Un objeto de 4 cm., de alto está a 20 cm., frente a una lente convexa delgada con una f’′ = + 12 cm. Determinar la posición y la altura de la imagen. SOLUCIÓN: 30 cm ; invertida ; 1,5 más grande 31. Un objeto está a 5 cm, de una lente convexa de f = 7,5 cm. Determinar la posición y tamaño de la imagen. SOLUCIÓN: ‐ 15 cm ; 3 veces más grande, derecha

32. Calcular la posición y focal de una lente convergente que proyectará la imagen de una lámpara, amplificándola 4 diámetros, sobre una pantalla localizada a 10 m., de la lámpara. SOLUCIÓN: 8 cm ; 1,6 cm 33. Una pantalla está situada a 40 cm de un objeto que se quiere proyectar en la misma. ¿En qué puntos entre el objeto y la pantalla se puede colocar una lente convergente de 7,5 cm de distancia focal para que la imagen se forme sobre la pantalla?. ¿Cuál es el aumento lateral?. SOLUCIÓN: a 10 y 30 cm del objeto ; ‐3 y –1/3 respectivamente 34. ¿A qué distancia de una lente convergente debe situarse un objeto para que su imagen sea de igual tamaño? SOLUCIÓN: 2f 35. Un menisco convergente de vidrio (n = 1,5) tiene unos valores de r1 y r2 de 50 cm y 100 cm, respectivamente. Si un objeto se sitúa a 25 cm., de la lente, ¿cuál es la posición y naturaleza de la imagen? SOLUCIÓN: ‐ 28,57 cm ; derecha ; más grande

36. Si la imagen real de una objeto es doble e invertida y se forma a 20 cm, de la lente, determinar la Potencia de la lente. SOLUCIÓN: 15 dioptrías 37. Un objeto se sitúa a 50 cm del centro óptico de una lente convergente de 25 cm de distancia focal. Se coloca, a un metro de la lente, un espejo esférico convexo de 50 cm de radio formando un sistema centrado. Determinar : a) Posición y naturaleza de la imagen final. b) Aumento del sistema. SOLUCIÓN: Virtual a 1,67 m del objeto ; ‐0,33 38. Un objeto de 10 mm de altura , colocado perpendicularmente al eje óptico de una lente esférica delgada, está situado a una distancia de 30 cm delante de la misma. Si el valor absoluto de la distancia focal de la lente es 10 cm , calcular la posición , el tamaño y la naturaleza de la imagen formada en los siguientes casos: a) La lente es convergente. b) La lente es divergente. SOLUCIÓN: a) 15 cm ; ‐5 cm; real invertida y menor b) –7,5 cm ; 2,5 cm ; virtual, derecha y menor

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39. Un objeto luminoso de 2 mm de altura está situado a 4 m de distancia de una pantalla. Entre el objeto y la pantalla se coloca una lente esférica delgada L de distancia focal desconocida, que produce sobre la pantalla una imagen tres veces mayor que el objeto. a. Determina la naturaleza de la lente L, así como su posición respecto del objeto y de la pantalla. b. Calcule la distancia focal, la potencia de la lente al y efectúe la construcción geométrica de la imagen. SOLUCIÓN: Convergente ; El objeto está a –1 m y la pantalla (imagen) a 3 m de la lente. 0,75 ; 1,33 dioptrías.

40. Explica el funcionamiento de una lente biconvexa como lupa.. ¿Qué aumento se consigue con una lupa de distancia focal igual a 10 cm ? SOLUCIÓN: Usamos la lupa para ver con nuestros ojos un objeto aumentado . En una lente convergente se consigue colocando el objeto entre el foco objeto y la lente ( aproximadamente en dicho foco ) , así la imagen será virtual y aumentada. Para verlo con nitidez debemos situarlo a unos 25 cm del ojo ( punto próximo ). s′ = ‐25 cm y en éste caso s = –f = ‐10 cm .Por tanto el aumento conseguido es: ML= 2,5

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· TEMA 5 · Aproximación a la Física Moderna "Una mente crédula... encuentra el mayor deleite en creer cosas extrañas y, cuanto más extrañas son, más fácil le resulta creerlas; pero nunca toma en cuenta las que son más sencillas y posibles, porque todo el mundo puede creerlas". Samuel Butler

La evolución histórica de la física es una parte fascinante del desarrollo del conocimiento científico y muestra, principalmente, la provisionalidad de las teorías en cada época: no procede hablar nunca de “ciencia cerrada” o definitivamente completa. A finales del siglo XIX, la Mecánica Teórica y el Electromagnetismo eran los pilares maestros de lo que podríamos denominar ahora física clásica, construcción mental que asombraba por la perfección de sus razonamientos, contrastados siempre experimentalmente. Sin embargo, nuevos hechos, tales como el concepto del electrón como unidad natural de carga componente de la materia, el conocimiento del efecto fotoeléctrico, el descubrimiento de los rayos X, las series espectrales observadas en los espectros de emisión de los átomos, la radiación de incandescencia y especialmente el estudio de la radiactividad, preparan la revolución científica que tendrá lugar a partir de 1900. Igualmente se sucedieron toda una serie de nuevos descubrimientos que hacían impensable una explicación en base a los parámetros clásicos. Algunos de esos otros hechos fueron: • •

•

La retrogradación del perihelio de Mercurio El experimento negativo de Michelson-Morley Constancia de la velocidad de la luz y la “interconversión” masa-energía

En este tema vamos a realizar una visión de algunos de estos hechos y lo que los mismos supusieron para el avance del conocimiento científico y el renacer de la llamada MECÁNICA CUÁNTICA, con sus profundas implicaciones en el terreno no sólo de la física, sino también en el de la técnica o en el de la filosofía. Actualmente, la Relatividad de Einstein y la Mecánica Cuántica están consideradas las avanzadillas de la física en lo que a la nueva interpretación del mundo se refiere. Incluso, si apuramos, ambas teorías son consideradas ya como modelos “clásicos” dándonos así una idea del vertiginoso ritmo al que se suceden los hechos, modelos y teorías en el terreno de la ciencia, haciéndola un ente vivo. Comenzaremos nuestro estudio con los fenómenos de la Física Nuclear y Radiactividad.

1. FÍSICA NUCLEAR y de PARTÍCULAS El descubrimiento de la Radiactividad por el físico francés H. Becquerel (en la foto) en 1896 se produjo como consecuencia de una investigación sobre la posible emisión de rayos X por sustancias fosforescentes. Su procedimiento consistía en envolver una placa fotográfica con papel negro y grueso, de modo que solo pudiera ser atravesado por radiaciones muy energéticas y penetrantes, y colocar encima una sustancia fosforescente, exponiendo todo el conjunto a la luz solar. El resultado era que la sustancia fosforescente en cuestión emitía radiaciones que penetraban a través del papel opaco a la luz y marcaban su silueta sobre la placa fotográfica. Lo espectacular e inesperado era que esta situación se seguía produciendo incluso en ausencia de luz solar cuando se colocaba sobre ella una sal de uranio, aunque sólo aparecía marcada la zona que precisamente cubría el mineral de uranio.

F Í S I C A N U C L E A R y C U Á N T I C A. Tema 5.

Experimentos posteriores con diferentes minerales de Uranio, con o sin exposición a la luz solar, pusieron de manifiesto la emisión continua de algo que era capaz de penetrar el papel y otras sustancias como el vidrio. La intensidad de la radiación se vio que era proporcional a la cantidad de masa de uranio contenida en el compuesto. De igual modo, Becquerel hizo sus experimentos con el uranio en polvo, disuelto en ácidos, a baja temperatura... y siempre obtenía el mismo resultado de radiaciones. Estaba por tanto claro que la radiación era debida el Uranio y que las otras sustancias con las que éste se combinaba, no afectaban en absoluto al poder de radiación “En esa época estábamos completamente absorbidos por las perspectivas que se abrían ante nosotros, gracias a un descubrimiento inesperado. A pesar de las dificultades de nuestras condiciones de trabajo, nos sentíamos felices. Nuestros días transcurrían en el laboratorio. Vivíamos en una preocupación única, como en un sueño” (Marie Curie (1867‐1934). Cartas)

Estas investigaciones fueron continuadas por los esposos Curie, que descubrieron que otros elementos poseían también la misma propiedad que el uranio, e incluso con mayor intensidad, y en todos ellos se seguía cumpliendo que la intensidad de la radiación era proporcional a la masa del elemento activo presente. El paso siguiente era averiguar la naturaleza de esas emisiones. Placa Fotográfica alfa

Beta

-

+ Campo Eléctrico

Desde que se descubrieron las radiaciones, se hicieron experimentos para averiguar su naturaleza, y ver si estaban formadas por distintas componentes. Para ello, la radiación se hizo pasar por campos eléctricos y se observaron tres comportamientos distintos, lo que permitió hacer una clasificación de la radiación en alfa (α) beta (β) y gamma (γ).

•

Radiación alfa (α)

Consiste en átomos de helio ionizados, es decir, partículas formadas por dos protones y dos neutrones. Debido a su masa y a que son emitidas a gran velocidad (poseen entonces gran energía cinética) producen una elevada ionización pero, al cruzar la materia, son frenadas rápidamente, por tanto, son poco penetrantes; de hecho, no son capaces de atravesar la piel humana. Plomo

•

Radiación Beta β.

Consiste en electrones lanzados a gran velocidad. Debido a tener menor masa que las anteriores, son de POCO poder de ionización, pero muy penetrantes. Pueden atravesar la piel humana, aunque no el tejido subcutáneo.

•

Radiación Gamma γ

Es radiación electromagnética muy energética, de corta longitud de onda. Es mucho más penetrante que las radiaciones alfa y beta. Pueden atravesar el cuerpo humano, y para detenerlas se precisan espesores de varios centímetros de plomo y de decímetros de hormigón. Los resultados anteriores sugerían que los átomos NO eran como esferas macizas sino que poseían una estructura compleja, y se diseñaron experimentos para analizarla. Quizás Mancha original de la placa impresionada por la primera emisión radiactiva registrada por el experimento más famoso fue el realizado por E. Rutherford, H.Becquerel que dirigió sobre una delgada lámina de oro un haz de radiación alfa observando un triple comportamiento. Por un lado, la mayor parte de las radiaciones cruzaban sin más la lámina de oro. Un porcentaje sensiblemente menor lo hacía pero desviándose en su camino posterior, y un tercer tipo minoritario rebotaba en la lámina. Al principio, se consideró que este triple comportamiento era un error del experimento, pero por mucho que se repitió, los resultados fueron siempre los mismos.

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F Í S I C A N U C L E A R y C U Á N T I C A. Tema 5

El experimento de Rutherford permitió deducir que: • • •

La mayor parte del átomo habría de ser una estructura “hueca”, ya que la mayor parte de las partículas lanzadas lo cruzaban sin dificultad. Habría de contener una minúscula zona con carga positiva (los protones ya descubiertos) que explicara la desviación que se producía en la radiación alfa. Esa minúscula zona habría de ser muy masiva, ya que así podría explicarse las partículas que rebotaban.

Esa pequeña zona masiva donde habrían de concentrarse los protones, se la denominó núcleo. Orbitando en torno a ese núcleo y en igual número que los protones que albergaba, habrían de estar los electrones. Al número de protones que contiene cada átomo en su núcleo se lo denomina NÚMERO ATÓMICO (Z). Tras este hallazgo y propuesta de estructura, se pudo comprobar que la masa medida de los átomos NO coincidía con la suma de las masas de los protones que albergaba en su núcleo. La solución se produjo tras el descubrimiento de un nuevo tipo de partículas, los neutrones, de carga nula y de masa aproximadamente igual a la de los protones. De este modo, la masa de un átomo es prácticamente la de su núcleo. A la suma del número de los protones y de los neutrones se lo denominó NÚMERO MÁSICO (A). Ambas partículas reciben el nombre genérico de nucleones, Los núcleos que poseen el mismo Z y el mismo A se los denomina núclidos. Si es X el símbolo de un elemento químico, suele representarse esta información escribiendo A Z

X

Se dice que dos núcleos son ISÓTOPOS, si coinciden en el número atómico (Z1 = Z2) y difieren, por lo tanto, en el número de neutrones (N1 ≠ N2). Se denominan ISÓBAROS si poseen el mismo número másico (A1 = A2). El tamaño del núcleo de un átomo es proporcional al número de nucleones que lo forma. El radio nuclear viene dado por la expresión: R = r0 3 A -15 donde r0 = 1,2.10 m. Para expresar la masa de los átomos se utiliza la unidad de masa atómica que, por definición, corresponde a la doceava parte de la masa de un átomo de Carbono-12. Si la simbolizamos simplemente por u (o por uma, es indiferente), tendremos que 12 g 1u = = 1,66.10−24 g 12 • 6,023.1023 La masa (en reposo) del protón es mp = 1,00782 u; la del neutrón es mn = 1,00867 u, y la del electrón es me = 0,00055 u. Con todo, la masa atómica que aparece en la tabla periódica es una media ponderada de las masas de los distintos isótopos que posee.

2. INTERACCIÓN FUERTE Una vez que quedó claro que el interior del átomo albergaba protones, se planteó la cuestión de cómo era posible que éstos permanecieran unidos, ya que según las leyes de Coulomb, las cargas del mismo signo se repelen. ¿Cómo explicar la estabilidad nuclear? Estaba claro que en el interior del núcleo debería darse un tipo de interacción muy superior a la repulsión eléctrica. Se empezó a hablar de fuerza nuclear. Las características fundamentales de esta interacción pueden resumirse así: • •

1

Se manifiesta cuando la distancia entre nucleones es muy pequeña; es decir: son fuerzas “de corto alcance”. Alta Intensidad (mayor que la electromagnética, mucho mayor que la débil1 y extraordinariamente superior que la interacción gravitatoria).

La interacción nuclear débil (que se verá más adelante) es también de corto alcance

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• • •

Es atractiva a las distancias normales en el núcleo, pero se hace repulsiva a distancias muy cortas. Es independiente de la carga, por lo tanto, la intensidad es la misma en la interacción entre neutrones, que entre dos protones o que entre un protón y un neutrón. Saturación: cada nucleón interacciona con un cierto número de nucleones (los más próximos). Esto explica que la energía necesaria para arrancar un nucleón de un núcleo sea la misma para núcleos de pocos nucleones (ocho o diez) que para núcleos de muchos nucleones (ochenta o cien).

3. ESTABILIDAD NUCLEAR Existen alrededor de 400 núcleos estables; se han observado muchos más, pero éstos son inestables. Si se hace una representación gráfica de N (nº de neutrones) frente a Z (nº de protones) se observa que los núcleos ligeros (salvo el 1H) son más estables si contienen un número igual de protones que de neutrones (N = Z). En los núcleos masivos notamos que éstos son más estables si el número de neutrones excede al nº de protones. Esto indica que a medida que el número de protones aumenta, también lo hace el valor de la intensidad de la fuerza repulsiva eléctrica de Coulomb, lo que hace desestabilizar el núcleo. Por eso se necesitan más neutrones para mantener estable el núcleo ya que los neutrones sólo experimentan fuerzas nucleares atractivas. A partir del elemento Z = 83 las fuerzas repulsivas entre los protones no pueden ser compensadas por la adición de más neutrones y los núcleos correspondientes NO son suficientemente estables. LA estabilidad nuclear puede entenderse mediante las fuerzas nucleares, pero también desde el punto de vista energético. Así, es un hecho comprobado que la masa de la masa de los nucleones libres NO ES LA MISMA que la suma de las masas de protones y neutrones que ese núcleo contiene. A esa diferencia de masa se la denomina Defecto de Masa. Este defecto puede calcularse mediante la expresión

Δm = Z · mp + (A-Z) · mn - mx donde mx es la masa del núcleo considerado. Una de las consecuencias más sorprendentes de la teoría de la Relatividad de Albert Einstein está en el hecho de haber puesto de manifiesto la equivalencia entre masa y energía. Para Einstein, la masa es “otra forma en que se nos presenta la energía”2. La relación que existe entre ambas es una de las ecuaciones más famosas de toda la Física:

E = mc2 Por lo tanto, no tiene sentido hablar de conservación de la masa y/o de la conservación de la energía. Lo más prudente es hablar de la ley de conservación masa-energía. Precisamente, por tanto, es esa diferencia de masa entre “la que deberían tener los núcleos y la que realmente tienen” la que da origen a la que podemos llamar energía de enlace (o de ligadura) y que se calculará mediante la ecuación de Einstein anterior. Inversamente, podremos interpretar la energía de ligadura como la energía que habría que suministrar a un núcleo para separarlo completamente en sus componentes. A parte esto, se hace posible hablar de la masa de una partícula expresándola en unidades de energía, y poder escribir, como relación de interés que 1 uma = 931,48 MeV/c2 (demostrar la relación anterior usando los datos necesarios) Según esto, el defecto de masa (expresado en unidades de energía), es la energía necesaria para descomponer un núcleo en sus protones y neutrones por separado.3 2 3

Dicho esto con las mayores precauciones posibles. Recordemos que 1 eV = 1,6.10-19 J

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La energía de ligadura (o de enlace) por nucleón, es decir, E/A, representa la energía que hay que suministrar al núcleo para separar UNO de los nucleones, o lo que es igual, la energía que se libera cuando el núcleo captura un nucleón. Esta energía de ligadura E/A es función del número de nucleones en la forma indicada en la figura, y da idea de la estabilidad nuclear: los núcleos más estables son los que poseen los valores mayores de E/A. En la gráfica se observa que los valores alcanzan un máximo para los núcleos cuyos números másicos están comprendidos entre 50 y 100. Para valores pequeños de A, por lo tanto, el valor de E/A crece fuertemente conforme aumenta el valor de A, por lo tanto, la unión de dos de estos núcleos ligeros formando un núcleo más pesado (y por lo tanto más estable) liberará energía. En eso consiste la fusión nuclear. Para valores altos de A, a un aumento de dos mismos corresponde una disminución de los valores de E/A, por lo que se conseguirá una mayor estabilidad y la consiguiente liberación de energía mediante la fragmentación de estos núcleos pesados en otros más ligeros. Este fenómeno es el de fisión nuclear. Ambos fenómenos se estudiarán con algo de más detalle más adelante. Q1. Calcular la energía de enlace por nucleón que corresponde al núcleo 5626Fe (Masa atómica del hierro 56 = 55,9349) 24 25 26 Q2. El magnesio común es una mezcla de los isótopos Mg, Mg, Mg. La masa atómica del magnesio natural es 24,314 uma. ¿Qué porcentaje de cada isótopo está presente en el magnesio natural? (masas respectivas de cada isótopo: 23,9850; 24,9858; 25,9826 uma) El isótopo26 tiene un 10.2% de abundancia. 4 16 32 107 Q3. Calcula la energía total de ligadura y la energía de ligadura por nucleón para los siguientes isótopos: He; O; S; Ag; 202 Hg (DATOS: Masa He‐4 = 4,0026; O‐16 = 15,9949; S‐32 = 31,9721; Ag‐107 = 106,9051; Hg‐202 = 201,9706 umas)

4. REACCIONES NUCLEARES Un fenómeno producido al estudiar la difusión de partículas alfa en la materia, fue interpretado por E. Rutherford suponiendo que el choque de una partícula alfa contra un núcleo de nitrógeno daba lugar a la formación de un nuevo núcleo, de oxígeno, al tiempo que se produce la emisión de un protón. La transformación que se ha llevado a cabo se puede escribir así: 14 7N

+ α →178 O + protón

Estas transformaciones se denominan REACCIONES NUCLEARES. Otra forma usual de representar estas reacciones es X(a,b)Y en donde X sería el 147N; Y sería el 178O; a corresponde a la partícula alfa, y b al protón. Por ejemplo: 7 1 4 4 7 3 Li +1 H → 2 He + 2 He ⇔ 3 Li ( p,

α ) 42 He

α , n)126C

9 4 12 1 9 4 Be + 2 He→ 6 C + 0 n ⇔ 4 Be(

27 1 27 1 27 13 Al + 0 n→12 Mg +1 H ⇔13 Al ( n,

27 p )12 Mg

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En todas las reacciones nucleares se conserva la carga: Σ Z = cte. También se conserva el número másico: Σ A = cte Pero NO se conserva la masa Por ejemplo, en la reacción primera del ejemplo, 7Li3(p,α)4He2 se tiene que: masa del protón: 1,007825 masa del núcleo de litio: 7,016004

TOTAL: 8,023829

masa del la partícula alfa: 4,002603 masa del núcleo de helio: 4,002603

TOTAL: 8,005206

Pero como se conserva la masa-energía, a la diferencia de masa Δm = 0,018623 u, le corresponde una energía de 17,34 MeV. A parte de que en las reacciones químicas ordinarias no se ven afectados los núcleos atómicos, hay otro aspecto que las hace muy distintas; es el que se refiere a la liberación de energía. Por ejemplo, en la reacción de combustión del carbón (C + O2 → CO2) se libera una energía de 94 kcal/mol. En cambio, en la fisión del Uranio-235 se produce una pérdida de masa de 0,215 unidades que corresponden a unos 200 MeV por núcleo de Uranio escindido. Esto significa que la liberación de energía en las reacciones nucleares es muy superior a la que se produce en las reacciones químicas ordinarias. Si tenemos en cuenta que, por ejemplo, el poder calorífico de la gasolina es de unas 9800 cal/g, el equivalente a 1 kg de U-235 sería unas DOS MIL TONELADAS de gasolina. Por tanto, las reacciones nucleares son esencialmente procesos de choque en los que se conserva la energía, los momentos lineal y angular, el número de nucleones y la carga. Si el balance energético del tipo que se ha hecho en el ejemplo anterior arroja un resultado positivo, el sistema CEDE energía. Si por el contrario resulta negativo, el sistema ha de recibir un aporte externo de energía, y así la partícula proyectil ha de tener como mínimo una cierta energía cinética para producir la reacción, llamada “energía umbral” que ha de ser, precisamente igual al valor absoluto de esa energía negativa del balance de la reacción.

5. FISIÓN y FUSIÓN NUCLEAR La FISIÓN nuclear consiste en la fragmentación de núcleos pesados en otros más ligeros con liberación de energía. En 1938 los físicos Otto Hahan y Fritz Stassmann iniciaron una serie de experimentos consistentes en bombardear una muestra de uranio con neutrones, tratando de crear nuevos elementos. Entre los productos de la reacción nuclear se descubrieron dos elementos de masa media: el bario y el lantano. Este proceso fue interpretado como la rotura del núcleo de Uranio por el neutrón, originando así las denominadas desde entonces REACCIONES DE FISIÓN. La Fisión del Uranio-235 puede producirse por bombardeo con neutrones lentos (también llamados térmicos) según el esquema general: * 1 U + 01n → 235 92 U → X + Y + x ( 0 n )

235 92

Donde U* corresponde a un estado excitado que rápidamente se divide en los fragmentos de fisión X e Y, existiendo hasta 90 posibles “núcleos hijos” diferentes. El número x de neutrones generados puede ser de 2 ó 3 según la naturaleza de los fragmentos X e Y. Teóricamente cada uno de estos neutrones puede causar una NUEVA FISIÓN liberando más energía y dando lugar, nuevamente, a entre dos y tres neutrones. Y así sucesivamente, pudiendo ocurrir una reacción en cadena, con una rapidez cada vez mayor, liberándose en un corto intervalo de tiempo una enorme cantidad de

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energía. La clave del asunto está en poder controlar ese proceso y crear de este modo un uso pacífico de la energía nuclear, o por el contrario, dejarla sin control y crear así una bomba nuclear. Una reacción nuclear autosostenida requiere, en el caso del 235U que al menos UNO de los neutrones emitidos en la fisión de uno de sus átomos provoque una nueva fisión, y así sucesivamente. Sin embargo, una parte de los neutrones producidos en cada fisión puede escapar de la muestra de material fisible sin producir fisión alguna. Dicho efecto puede tener más o menos importancia dependiendo del TAMAÑO DE LA MUESTRA COMBUSTIBLE nuclear. Como los neutrones escapan por la superficie del material, la fracción de neutrones que pueden llegar a perderse dependerá en última instancia, de la relación existente entre el área y el volumen del material fisionable. Puede concluirse, por lo tanto que ha de existir un TAMAÑO CRÍTICO de muestra nuclear fisionable al que corresponderá obviamente una MASA CRÍTICA del mismo, por debajo de la cual la reacción en cadena terminará por extinguirse, mientras que por encima de la misma podría producirse una brutal liberación de energía, una explosión nuclear. Esta última posibilidad es, en esencia, el fundamento de la bomba atómica: dos porciones de material fisionable, el 235U por ejemplo, cada una de las cuales es subcrítica, se unen dando lugar a una masa combinada que supera la masa crítica, originándose una violenta explosión, cuyos efectos devastadores son conocidos desde 1945 en Hiroshima. La FUSIÓN nuclear es la unión de dos núcleos ligeros en otro más pesado con liberación de energía. La gráfica comentada en hojas anteriores indica que esto es posible si se trata de núcleos muy ligeros (para valores pequeños del número de nucleones, la energía de ligadura por nucleón aumenta cuando aumenta el número de nucleones). Son reacciones de fusión: 2 3 4 1 1 H +1 H → 2 He + 0 n

o también 2 3 4 1 1 H + 2 He→ 2 He +1 H

La fusión nuclear juega un papel fundamental en el Universo. Por ejemplo, la energía solar se debe a un proceso de fusión en el que se unen núcleos de hidrógeno para formar núcleos de helio (y creación de positrones). El proceso se lleva a cabo a través del llamado ciclo del carbono, en el que éste viene a jugar un papel como catalizador nuclear. El resultado del ciclo es, en definitiva:

4(11H )→ 24 He + 2 +10 e Al hacer el balance energético de esta reacción, se obtiene: * Defecto de masa Δm = 4·1,0078 - 4,0026 = 0,0296 u * Energía correspondiente ΔE = Δm·c2 = 26.6 MeV * Los dos positrones se aniquilan con dos electrones, con lo que se pierde una masa de 4.0,00055 u = 0,0022 u, lo que proporciona una energía (en forma de radiación γ) de unos 2 MeV, con lo que la energía total liberada es de unos 28,6 MeV. En la reacción 2 3 4 1 1 H +1 H → 2 He + 0 n

(la de la bomba de hidrógeno) la pérdida de masa vale 0,0199 u, y la energía liberada es de 18,5 MeV. Para iniciar una reacción de Fusión, se necesitan temperaturas de millones de grados (recientemente se está contemplando la posibilidad de la llamada fusión fría). Las condiciones de presión y temperatura en la bomba de hidrógeno se consiguen mediante la explosión de una bomba nuclear de fisión. En el laboratorio, mediante aceleradores de partículas. En la actualidad, la principal dificultad para la realización de estas reacciones está en su control, por lo que hoy día no se ve cercana la construcción de reactores nucleares de fusión. El interés, sin embargo, es muy grande, puesto que se puede liberar más energía que en la fisión y además más limpia.

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6. REACTORES NUCLEARES Los reactores nucleares pueden ser de varios tipos: Según la velocidad de los neutrones que producen las reacciones nucleares de fisión, se clasifican en reactores rápidos y reactores térmicos. • Según el combustible utilizado, en reactores de uranio natural o reactores de uranio enriquecido. • Según el “moderador”: de agua pesada, de agua ligera o de grafito. • Según el refrigerante: de agua, gas, aire, etc. En los reactores térmicos, los núcleos de U-235 son bombardeados por neutrones lentos experimentando la fisión. En la reacción se liberan dos o tres neutrones que producen a su vez nuevas fisiones. Se provoca así, la denominada reacción en cadena de la que ya hemos hablado antes. Por ejemplo 235 1 236 141 92 92 U + 0 n → 92 U → 56 Ba + 36 Kr

+ 3( 01n)

Esta reacción es una de entre las más de 30 que se pueden seguir en la fisión del Uranio. En los diferentes procesos, el defecto de masa es aproximadamente el mismo en todos ellos y la energía liberada, es de unos 200 MeV. En su mayor parte, esa energía aparece como energía cinética de los neutrones y de los fragmentos producidos en la fisión y también en forma de radiación γ. Esta energía produce el calentamiento de la masa de Uranio, de modo que mediante un refrigerante adecuado se puede obtener energía calorífica y de ella energía eléctrica. Con este tipo de reactores, los neutrones que producen la fisión del Uranio, deben ser lentos, por lo que es preciso frenar los que se producen. Esto se consigue mediante los moderadores que son sustancias como el agua o el grafito que contienen núcleos ligeros. Los neutrones se van frenando al chocar elásticamente con los núcleos del moderador. Por otro lado, para que el proceso de fisión se mantenga, es preciso que de los dos o tres neutrones producidos en cada fisión, sólo uno de ellos produzca una nueva. Esto se consigue mediante barras de control, construidas con un material, como el cadmio, de gran eficacia en la captura de neutrones. Si por contra, los neutrones producidos inducen más de una fisión, el proceso se hace supercrítico y nos hallamos con una bomba nuclear de fisión. Si por el contrario, en cada fisión se produce un solo neutrón capaz de producir una nueva fisión, el reactor funciona críticamente y genera energía de forma estable. Funciona en modo subcrítico cuando en la reacción se genera por término medio menos de un neutrón por núcleo capaz de inducir nuevas fisiones. Otro tipo de reactor nuclear es el llamado reproductor (o recuperador). Como el U235 aparece en una proporción pequeña en el uranio natural, se puede preferir como combustible, el plutonio, que es posible obtener a partir del U-238 (más abundante que el U-235, aunque no es fisionable). Por captura de un neutrón, el U-238 se transforma en Pu-239 fisionable según el proceso: 238 1 239 92 U + 0 n→ 92 U

239 239 0 92 U → 93 Np + −1 e

239 239 0 93 Np → 94 Pu + −1 e

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Como el plutonio fisiona con neutrones rápidos, no se precisa moderador, pero por otra parte, presenta mayores problemas de seguridad debido a su mayor dificultad en el control mecánico. Además, como refrigerante ha de utilizarse sodio líquido en vez de agua. Los reactores de fusión están todavía en fase de investigación, por lo que pese a las grandes esperanzas puestas para resolver definitivamente el problema energético, aún está lejos de poderse utilizar comercialmente. Recordemos que para lograr la fusión se necesitan temperaturas de millones de grados y que a esas temperaturas, los elementos a fusionar se ionizan constituyendo lo que se llama plasma. Este plasma es preciso confinarlo, y tanto la técnica de confinamiento magnético, como la de confinamiento inercial, que son las empleadas, presentan serias dificultades.

7. Leyes de la desintegración radiactiva. LEYES DE SODDY-FAJANS. No todos los núcleos que existen en la Naturaleza son estables, de modo que evolucionan espontáneamente hacia estados de menor energía. En ese proceso emiten partículas o radiación de las del tipo que ya hemos adelantado: alfa, beta y gamma. Esos núcleos se los denomina radiactivos y al proceso mediante el que consiguen la estabilización se conoce como RADIACTIVIDAD, decaimiento radiactivo o desintegración radiactiva.

•

Emisión alfa.

En los núcleos de los elementos muy masivos (Z ≥ 82), el número de neutrones es muy superior al de protones, y la posición del núclido se aleja de la curva de estabilidad que hemos estudiado. Estos núcleos alcanzan espontáneamente mayor estabilidad emitiendo partículas alfa o núcleos de helio según A A− 4 4 Z X → 2 He + Z − 2Y

238 4 234 92 U → 2 He + 90Th

“Cuando un núcleo emite una partícula alfa, se transforma en otro cuyo número atómico disminuye en DOS unidades y cuyo número másico disminuye en cuatro” Teniendo presente la asociación que hemos visto entre estabilidad y masa nuclear, la masa del núcleo inicial deberá ser mayor que la suma de las masas de las partículas formadas (incluida la alfa), ya que el proceso es espontáneo. Esta diferencia de masa la medimos como energía cinética, sobre todo de la partícula alfa.

•

Emisiones β‐ y β+

En los núcleos muy ricos en neutrones la desintegración espontánea se produce con emisión de partículas β(electrones). Cuando un núcleo emite un electrón, el número másico del nuevo núcleo NO experimenta cambio alguno, mientras que el número atómico aumenta en una unidad A 0 A Z X → −1 e + Z +1Y

234 0 234 90Th → −1 e + 91 Pa

La emisión de una partícula beta (electrón) desde el núcleo de un átomo donde NO los hay, requiere suponer que lo que sucede en el núcleo es la formación de un electrón y un protón a partir de un neutrón. El protón

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permanece en el núcleo (de ahí que aumente el Z) y el electrón es emitido como radiación beta. Sin embargo, el análisis cuidadoso del proceso de emisión beta llevó a resultados que NO verificaban el principio de conservación de la energía ni el principio de conservación del momento cinético y angular. Para hacer compatibles estos principios de conservación con la emisión beta, W. Pauli supuso que el resultado de la desintegración NO son dos partículas, sino tres. Esto es, que además del electrón se emitía una partícula muy difícil de detectar, sin carga ni masa en reposo, a la que se la denominó neutrino. Más tarde, y a consecuencia de otros experimentos, a esa partícula se la identificó con el antineutrino. Para explicar la emisión β- (o la inestabilidad del neutrón) E. Fermi postuló la existencia de una cuarta interacción fundamental, llamada débil, por ser de intensidad menor que las interacciones electromagnética y fuerte. Así, la emisión β- puede escribirse como A Z

X→

Y+

A Z +1

0 −1

e + 00ν

Veamos la desintegración β+. Este proceso, al contrario que el anterior, sucede en núcleos con deficiencia de neutrones. La ganancia en el número de neutrones se consigue mediante la transformación

p → 01n +

0 +1

e +ν

en la cual se emite un positrón y un neutrino electrónico. Globalmente puede escribirse A Z

X→

Y + β + +ν

A Z −1

Como se ve, el número atómico disminuye en una unidad conservándose A. Los núcleos con deficiencia de neutrones pueden adquirir mayor estabilidad mediante otro tipo de transformación denominado captura electrónica orbital que consiste en que el núcleo captura un electrón orbital, normalmente uno de la capa K que es la más cercana al núcleo. El núcleo resultante es idéntico al que se produce tras la emisión β+. La diferencia entre ambos procesos reside en que en la captura electrónica no existe emisión de positrones, pero sí una emisión de rayos X, debida a la ocupación de otros electrones exteriores de la vacante dejada en la capa K. En general estos dos procesos son competitivos.

•

Emisión Gamma.

Cuando un núclido se desintegra por emisión alfa o beta, normalmente queda excitado. La emisión de fotones muy energéticos, llamados rayos gamma, permite pasar al núclido del estado excitado a otro estado de energía más baja o al estado fundamental. La emisión de rayos gamma es el mecanismo por el que los productos de una desintegración radiactiva ceden el exceso de energía. Los fotones NO tienen carga ni masa, por lo que esta emisión gamma no supone modificaciones en Z y/o A.

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7.1 Leyes de la emisión Radiactiva. Ante una muestra de núcleos radiactivos NO es posible predecir cuándo se llevará a cabo la emisión radiactiva de uno de ellos en concreto. Todo lo más, se puede determinar la probabilidad de que alguno de los núcleos emita radiación en un cierto tiempo. Esto es así debido a que el proceso radiactivo es totalmente aleatorio, por lo que se rige por las leyes de la estadística. Se ha comprobado que si el número de núcleos de una muestra radiactiva es, en un determinado momento, N, transcurrido cierto tiempo ∆t, el numero de núcleos desintegrados es ∆N, cumpliéndose que

ΔN = −λ .N Δt donde λ es una constante característica del elemento radiactivo considerado, llamada constante de desintegración. El signo negativo que aparece en la expresión indica que a causa de la desintegración, el número de núcleos de la muestra decrece. La expresión anterior puede escribirse e integrarse del modo siguiente:

dN dN = −λ .dt ⇒ = − λdt ⇒ ln N = −λt + cte N N

∫

∫

Si consideramos que en el instante inicial, t = 0, el número de núcleos es N0, tendremos que lnN0 = cte, y con ello, lnN = -λ · t + lnN0 lo que significa que

ln

N = −λt N0

que expresado en forma exponencial, suele ponerse como

N = N 0 .e − λt expresión que nos permite conocer EL NÚMERO DE NÚCLEOS QUE QUEDAN en la muestra SIN desintegrar en cada instante t. Otra constante de interés en la radiactividad es la SEMIVIDA, o periodo de Semidesintegración, T, que es el tiempo al cabo del cual se han desintegrado la mitad de los núcleos iniciales. Como en ese instante T el número de núcleos que quedan sin desintegrar será N0/2, sustituyendo en la última ecuación, tendremos:

N0

2

= N 0 .e − λT ⇒ ln 2 = λT ⇒ T =

ln 2

λ

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Como puede observarse, T es otra constante característica del núcleo considerado, cuyo valor varía desde mucho miles de años a millonésimas de segundo. Por ejemplo, U-238 (T = 4,5.109 años); Th-230 (T = 8.104 años); Bi-210 (T = 5 días); At-218 (T = 2 segundos), Po-212 (T = 3.10-7 segundos); etc. A la inversa de la constante de desintegración se la denomina vida media y se simboliza por Γ = 1/λ, y representa el tiempo medio que tarda, probabilísticamente, en desintegrarse un núcleo. Es interesante observar que la vida media de un isótopo sólo depende de sus características propias y NO de la cantidad de isótopo de la que se disponga. Q4. Entre los materiales gaseosos que pueden escapar de un reactor nuclear, se encuentra el 131I, gas muy peligroso, ya que con mucha facilidad se fija el iodo en la glándula tiroides. A) Escribe la reacción de desintegración, sabiendo que se trata de un emisor beta; B) La emisión beta de este isótopo va acompañada de una emisión gamma. ¿Cuál de las dos emisiones es más perjudicial para el ser humano?; C) Determina la energía total liberada por el núcleo al desintegrarse. DATOS de masas atómicas en uma: 131I = 130,8772; 131Xe = 130,8756)

7.2. Las series radiactivas Una serie radiactiva es un conjunto de núclidos radiactivos que derivan del mismo núclido inicial y que por desintegración en cascada, conducen a un mismo núclido estable. Existen tres series naturales, que según el elemento que la inicia, se denominan serie del uranio, del torio y del actinio. Aquí se muestra la serie del Uranio, la cual finaliza en el núclido estable de Pb-206. Las representaciones de las otras series radiactivas son muy similares a esta. (Eje OY: N; eje OX: Z)

7.3. Actividad de una fuente radiactiva. Se denomina así al número de desintegraciones que se producen en esa fuente en un segundo. En el S.I. la unidad es el Becquerel (Bq) que, por definición, corresponde a una desintegración por segundo: 1 Bq = 1 desint/s. Un múltiplo del Bq es el Rutherford, que equivale a un millón de becquerel: 1 Rutherford = 106 Bq = 106 desint/s. Otro múltiplo es el curio (Ci) que por definición corresponde a la actividad de un gramo de radio puro. Equivale a 37000 Rutherford y por lo tanto, a 3,7.1010 Bq. En general, la actividad de N átomos será

A =λ · N

12

“El carbono C es un isótopo que se desintegra emitiendo una partícula β. Su vida media es de 5736 años. Se forma en las capas altas de la atmósfera, cuando chocan neutrones con átomos de 14 N. Las plantas, al asimilar el dióxido de carbono, asimilan el 14 12 isótopo radiactivo C a la vez que el isótopo estable C. La proporción entre ambos es, por lo tanto, la misma en la atmósfera que en los vegetales. Al morir la planta, el proceso de absorción de dióxido de carbono se detiene y va disminuyendo lentamente el 14 contenido de C que posee. Ello permite utilizar la cantidad de este isótopo que queda actualmente para establecer la fecha en que la planta fue cortada”

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8. EFECTOS DE LA RADIACIÓN Los efectos directos de la radiación (ionización y calentamiento) pueden producir, a su vez, otros efectos (perjudiciales o beneficiosos, según los casos) alterando la naturaleza de las sustancias, aumentando la velocidad de algunas reacciones, produciendo cambios en la composición química de los tejidos de los seres vivos, o mutaciones genéticas, etc. Los efectos suelen clasificarse en: • •

Fisico-Químicos Biológicos: > somáticos · a corto plazo · a largo plazo > genéticos

Los efectos biológicos a corto plazo tienen lugar como consecuencia de exposiciones agudas, y se manifiestan en quemaduras, vómitos, hemorragias y en último caso, con la muerte del afectado. Hay una proporcionalidad entre el daño causado y la dosis individual recibida. Los efectos a largo plazo se deben a la absorción de pequeñas dosis durante largos periodos y son de tipo cancerígeno. La probabilidad de aparición de cáncer es proporcional a la dosis colectiva recibida por la población. Los efectos genéticos se deben a alteraciones en los cromosomas. Como los anteriores, se habla de ellos en términos de probabilidad. Para medir los efectos producidos por la radiación (dosimetría) se consideran la “dosis absorbida” y la “dosis equivalente”. La unidad un gramo gramo de unidad es energía.

de dosis absorbida (en el CGS) es el rad, que por definición es aquélla dosis de radiación tal que si de materia la recibe, se disipan 100 ergios de energía, o sea, una rad libera 100 ergios por cada material absorbente. Es válido para cualquier tipo de radiación y cualquier material. En el S.I. la el gray. El gray corresponde a la dosis tal que recibida por un kg de materia, se disipa un Julio de 1 gray (Gy) = 1 J/Kg = 107 erg/103 g = 104 erg/g = 102 rad

Se habla de dosis equivalente puesto que las diferentes radiaciones causan diferentes daños biológicos en las distintas clases de tejidos. La unidad de dosis equivalente es el rem, que se define como el producto de un rad por un factor de calidad (QF) de cada radiación en cada tejido: 1 rem = 1 rad x QF Uno de los aparatos más utilizados en la detección de la radiación es el contador Geiger-Müller, que básicamente es un cilindro metálico (ver esquema de la figura) que contiene un gas a baja presión y en cuyo eje lleva un hilo metálico tenso que actúa de electrodo positivo (el cilindro actúa de electrodo negativo). Entre esos electrodos se establece la máxima ddp posible sin que llegue a saltar la chispa. Cuando una partícula cargada atraviesa el contador, se produce una descarga que, amplificada, es debidamente contada por un sistema de registro.

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9. APLICACIONES DE LOS RADIOISOTOPOS Agricultura y Alimentación a) Control de Plagas. Se sabe que algunos insectos pueden ser muy perjudiciales tanto para la calidad y productividad de cierto tipo de cosechas, como para la salud humana. En muchas regiones del planeta aún se les combate con la ayuda de gran variedad de productos químicos, muchos de ellos cuestionados o prohibidos por los efectos nocivos que producen en el organismo humano. Sin embargo, con la tecnología nuclear es posible aplicar la llamada "Técnica de los Insectos Estériles (TIE)", que consiste en suministrar altas emisiones de radiación ionizante a un cierto grupo de insectos machos mantenidos en laboratorio. Luego los machos estériles se dejan en libertad para facilitar su apareamiento con los insectos hembra. No se produce, por ende, la necesaria descendencia. De este modo, luego de sucesivas y rigurosas repeticiones del proceso, es posible controlar y disminuir su población en una determinada región geográfica. En Chile, se ha aplicado con éxito la técnica TIE para el control de la mosca de la fruta, lo que ha permitido la expansión de sus exportaciones agrícolas. b) Mutaciones. La irradiación aplicada a semillas, después de importantes y rigurosos estudios, permite cambiar la información genética de ciertas variedades de plantas y vegetales de consumo humano. El objetivo de la técnica, es la obtención de nuevas variedades de especies con características particulares que permitan el aumento de su resistencia y productividad. c) Conservación de Alimentos. Las radiaciones son utilizadas en muchos países para aumentar el período de conservación de muchos alimentos. Esta técnica despierta algunas polémicas ante los posibles efectos secundarios que pudiera tener, sin que existan pruebas contundentes al respecto. Es una técnica que es capaz de reducir en forma considerable el número de organismos y microorganismos patógenos presentes en variados alimentos de consumo masivo.

Hidrología Gracias al uso de las técnicas nucleares es posible desarrollar diversos estudios relacionados con recursos hídricos. En estudios de aguas superficiales es posible caracterizar y medir las corrientes de aguas lluvias y de nieve; caudales de ríos, fugas en embalses, lagos y canales y la dinámica de lagos y depósitos. En estudios de aguas subterráneas es posible medir los caudales de las napas, identificar el origen de las aguas subterráneas, su edad, velocidad, dirección, flujo, relación con aguas superficiales, conexiones entre acuíferos, porosidad y dispersión de acuíferos.

Medicina Vacunas Se han elaborado radiovacunas para combatir enfermedades parasitarias del ganado y que afectan la producción pecuaria en general. Los animales sometidos al tratamiento soportan durante un período más prolongado el peligro de reinfección siempre latente en su medio natural. Medicina Nuclear Se ha extendido con gran rapidez el uso de radiaciones y de radioisótopos en medicina como agentes terapéuticos y de diagnóstico. En el diagnóstico se utilizan radiofármacos para diversos estudios de: Tiroides. Hígado. Riñón. Metabolismo. Circulación sanguínea. Corazón. Pulmón. Trato gastroentestinales.

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En terapia médica con las técnicas nucleares se puede combatir ciertos tipos de cáncer. Con frecuencia se utilizan tratamientos en base a irradiaciones con rayos gamma provenientes de fuentes de Cobalto-60, así como también, esferas internas radiactivas, agujas e hilos de Cobalto radiactivo. Combinando el tratamiento con una adecuada y prematura detección del cáncer, se obtienen terapias con exitosos resultados. Radioinmunoanalisis Se trata de un método y procedimiento de gran sensibilidad utilizado para realizar mediciones de hormonas, enzimas, virus de la hepatitis, ciertas proteínas del suero, fármacos y variadas sustancias. El procedimiento consiste en tomar muestras de sangre del paciente, donde con posterioridad se añadirá algún radioisótopo específico, el cual permite obtener mediciones de gran precisión respecto de hormonas y otras sustancias de interés. Radiofármacos Se administra al paciente un cierto tipo de fármaco radiactivo que permite estudiar, mediante imágenes bidimensionales (centelleografía) o tridimensionales (tomografía), el estado de diversos órganos del cuerpo humano. De este modo se puede examinar el funcionamiento de la tiroides, el pulmón, el hígado y el riñón, así como el volumen y circulación sanguíneos. También, se utilizan radiofármacos como el Cromo - 51 para la exploración del bazo, el Selenio - 75 para el estudio del páncreas y el Cobalto - 57 para el diagnóstico de la anemia.

Medio Ambiente En esta área se utilizan técnicas nucleares para la detección y análisis de diversos contaminantes del medio ambiente. La técnica más conocida recibe el nombre de Análisis por Activación Neutrónica, basado en los trabajos desarrollados en 1936 por el científico húngaro J.G. Hevesy, Premio Nobel de Química en 1944. La técnica consiste en irradiar una muestra, de tal forma, de obtener a posteriori los espectros gamma que ella emite, para finalmente procesar la información con ayuda computacional. La información espectral identifica los elementos presentes en la muestra y las concentraciones de los mismos. Una serie de estudios se han podido aplicar a diversos problemas de contaminación como las causadas por el bióxido de azufre, las descargas gaseosas a nivel del suelo, en derrames de petróleo, en desechos agrícolas, en contaminación de aguas y en el smog generado por las ciudades.

Industria e Investigación Trazadores Se elaboran sustancias radiactivas que son introducidas en un determinado proceso. Luego se detecta la trayectoria de la sustancia gracias a su emisión radiactiva, lo que permite investigar diversas variables propias del proceso. Entre otras variables, se puede determinar caudales de fluidos, filtraciones, velocidades en tuberías, dinámica del transporte de materiales, cambios de fase de líquido a gas, velocidad de desgaste de materiales, etc.. Instrumentación Son instrumentos radioisótopicos que permiten realizar mediciones sin contacto físico directo. Se utilizan indicadores de nivel, de espesor o bien de densidad. Imágenes Es posible obtener imágenes de piezas con su estructura interna utilizando radiografías en base a rayos gamma o bien con un flujo de neutrones. Estas imágenes reciben el nombre de Gammagrafía y Neutrografía respectivamente, y son de gran utilidad en la industria como método no destructivo de control de calidad. Con estos métodos se puede comprobar la calidad en soldaduras estructurales, en piezas metálicas fundidas, en piezas cerámicas, para análisis de humedad en materiales de construcción, etc.. Datación Se emplean técnicas isotópicas para determinar la edad en formaciones geológicas y arqueológicas. Una de las técnicas utiliza el Carbono-14, que consiste en determinar la cantidad de dicho isótopo contenida en un cuerpo

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orgánico. La radiactividad existente, debida a la presencia de Carbono-14, disminuye a la mitad cada 5730 años, por lo tanto, al medir con precisión su actividad se puede inferir la edad de la muestra. Investigación Utilizando haces de neutrones generados por reactores, es posible llevar a cabo diversas investigaciones en el campo de las ciencias de los materiales. Por ejemplo, se puede obtener información respecto de estructuras cristalinas, defectos en sólidos, estudios de monocristales, distribuciones y concentraciones de elementos livianos en función de la profundidad en sólidos, etc.. En el ámbito de la biología, la introducción de compuestos radiactivos marcados ha permitido observar las actividades biológicas hasta en sus más mínimos detalles, dando un gran impulso a los trabajos de carácter genético.

PROBLEMAS 1. 2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

¿Qué energía se libera por núcleo en una reacción nuclear en la que se produce un defecto de masa de 0,1 u? (Sol.: 1,49∙10‐11 J) 3

3

Razonar por qué el tritio, H1 es más estable que el He2. Ten presente los siguientes datos: Masa He‐3: 3.016029 u; tritio = 3.016049 u; ‐27 ‐27 protón = 1.6726.10 kg; neutrón: 1,6749.10 kg ‐24 1 u = 1,66 ∙ 10 kg Una de las reacciones posibles de la fisión del U235 es la formación de Sr94 y Xe140, liberándose dos neutrones. A) Formular la reacción nuclear y hacer un análisis cualitativo de la misma con respecto a la conservación de la masa; B) Calcular la energía liberada por 50 g de uranio (DATOS: U = 234,9943 u; Sr = 93,9754 u; Xe = 139,9196 u; n = 1,0086 u) Una central nuclear de una potencia de 1000 MW utiliza como combustible uranio natural, que contiene un 0,7% del isótopo fisible 235U. ¿Cuántos kg de uranio natural se consumirán en un día de funcionamiento, si la energía total liberada con ocasión de la fisión de un átomo de U‐235 es de 200 MeV y se supone que no hay pérdidas de energía en la central. (Sol.: unos 152,5 kg) En la alta atmósfera, el 14N se transforma en 14C por efecto del bombardeo de neutrones. A) Escribe la reacción que tiene lugar; B) Si el 14C es radiactivo y se desintegra mediante β‐, ¿qué proceso tiene lugar? C) Las plantas vivas asimilan el carbono de la atmósfera mediante la fotosíntesis y a su muerte, el proceso de asimilación se detiene. En una muestra de un bosque prehistórico se detecta que hay 197 desintegraciones/minuto, mientras que en una muestra de la misma masa de un bosque reciente existen 1350 desintegraciones/minuto. Calcula la edad del bosque prehistórico, sabiendo que el periodo de semidesintegración del 14C es de 5590 años (Sol.: 15522 años) Una muestra de 131I radiactivo, cuyo periodo de semidesintegración es de 8 días, experimenta una desintegración β‐, y tiene una actividad media de 84 Bq. A) ¿Qué actividad registrará la muestra si se realiza la medida 32 días después? B) ¿Qué número de átomos de 131I hay inicialmente? Escribe la ecuación del proceso que tiene lugar y, para ello, consulta una tabla periódica. Los restos de un animal encontrados en un yacimiento arqueológico tienen una actividad radiactiva de 2,6 desintegraciones por minuto y gramo de carbono. Calcula el tiempo transcurrido, aproximadamente, desde la muerte del animal. (La actividad del C‐14 en los seres vivos es de 15 desintegraciones por minuto y gramo de carbono, y el periodo de semidesintegración del carbono‐14 es de 5730 años). Sol.: 14479 años. Un isótopo radiactivo tiene un periodo de semidesintegración de 10 años. Para una muestra de 80 mg de ese isótopo, establecer: a) su constante de semidesintegración radiactiva; b) la masa que se tendrá al cabo de 30 años; c) la masa que se tenía hace 30 años. Una muestra de madera de una caja de momia egipcia da 13536 desintegraciones en un día por cada gramo de carbono. Establecer la edad de la caja de la momia. (Dato: un gramo de una materia actual de carbono experimenta 920 desintegraciones por hora; periodo de semidesintegración del C‐14 = 5730 años) (Sol.: 4045 años)

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10. Cuando hace explosión una bomba de hidrógeno, se produce una reacción termonuclear en la que se forma He‐4 a partir de deuterio y de tritio. A) Escribir la reacción nuclear correspondiente; B) Calcular la energía liberada en la formación de un átomo de helio al producirse esa reacción, expresando el resultado en MeV; C) Expresar la energía liberada en la formación de 1 g de helio en kWh. (Buscar los datos que necesites) 11. Completa las siguientes reacciones de desintegración nuclear: 214 210 Po → Pb + 84 82 234 234 X→ Y+ 90 91 12. Cuando choca un electrón con un positrón en determinadas condiciones, la masa total de ambos se transforma en energía en forma de dos fotones o cuantos de luz, de igual energía. Calcular la energía total producida, expresada en eV 13. La reacción nuclear 12 H + 13H → 24He + 01n + 17.59 MeV podría utilizarse en un hipotético reactor nuclear de fusión. Si la eficacia global de la central fuera del 15%, ¿qué masa de tritio, por semana, es necesaria para producir una potencia eléctrica de 2000 MW? (Dato: masa atómica del tritio = 3,01700 u) (Sol.: 14,4 kg) 35 14. La energía de enlace del Cl17 es 289 MeV. Calcula su masa, en uma. (Busca los datos que necesites) 15. Se ha determinado que el contenido de C‐14 de una planta fosilizada es el 22,5% del que existe en las plantas actuales. ¿Cuánto tiempo hace que esa planta estuvo viva? (Dato: T = 5370 años) (Sol.: 1,23∙104 años) 16. El 226Ra88 emite una partícula alfa y da lugar al radon, el cual, a su vez, emite otra partícula alfa y da lugar a un isótopo del polonio. Escribe sus correspondientes desintegraciones. Sabiendo que el periodo de semidesintegración del radon es 3,82 días, ¿cuánto quedará después de 30 días en un recipiente en el que al adquirirlo había 30 g? 17. En el año 1898 Marie y Pierre Curie aislaron 200 mg de radio, cuyo periodo de semidesintegración es 1620 años. A) ¿A qué cantidad han quedado reducidos en la actualidad los 200 mg iniciales? B) ¿Qué % se habrá desintegrado dentro de 500 años? 18. La potencia radiada por el Sol es 4∙1025 W. Si esa potencia es consecuencia del proceso nuclear conocido por el ciclo protón‐protón, (4 p → α + 2e +1) determinar el ritmo con que disminuye la masa del Sol y el tiempo necesario para 30 8 12 que se produzca una disminución del 1%. Masa del Sol: 1,98∙10 Kg. (Sol.: unos 4,45∙10 kg/seg; 1,41∙10 años) 28 19. El Sol emite, cada minuto, una cantidad de energía igual a 2,34∙10 J. Hallar cuánto tiempo tardará la masa del Sol 30 12 en reducirse a la mitad, suponiendo que la radiación permanece constante. Masa del Sol: 1,98∙10 (Sol: 7,23∙10 años) 4 20. Determinar la energía mínima que ha de tener un rayo gamma para desintegrar un núcleo de He en un núcleo de 3 He y un neutrón. (Busca los datos que necesites) 21. El potasio es un elemento muy abundante en el mundo marino y su contenido en el agua del mar es 0,38 g/l. El 40 potasio natural tiene un 0,01112% de 19K . A partir de esos datos, calcular la actividad específica del agua del mar en milicurios/litro. (T = 1,28∙109 años) (Sol.: 3∙10‐10 Ci/l)

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CUÁNTICA Hacia finales del siglo XIX la mentalidad positivista de la época en el mundo occidental, había llevado a creer que la ciencia en general y la física en particular, darían respuesta a todas las necesidades materiales de la Humanidad, y que el pensamiento racional sería la herramienta para poder construir un mundo más justo e igualitario. La fe en la ciencia y en la física era tal que hubo físicos que se aventuraron a pensar que ya en el siglo XIX la ciencia había tocado su techo, que no quedaba más nada que descubrir y que sólo quedaba a la comunidad científica el afinar detalles en los modelos y teorías. La realidad se mostraría muy diferente a todas estas creencias, y a ello contribuyó el descubrimiento de nuevos fenómenos como el de la radiactividad y el estudio de la radiación electromagnética, frente a los que la mecánica clásica de Newton era del todo incapaz de ofrecer una explicación. El panorama se complicaría aún más con el descubrimiento e interpretación de los espectros atómicos y el renacer de toda una nueva manera de entender el mundo: LA MECÁNICA CUÁNTICA, aún hoy día no comprendida del todo en sus fundamentos conceptuales profundos.

El V Congreso de Solvay de 1927 puso los cimientos de la nueva física A. Piccard, E. Henriot, P. Ehrenfest, Ed. Herzen, Th. De Donder, E. Schrödinger, E. Verschaffelt, W. Pauli, W. Heisenberg, R.H. Fowler, L. Brillouin, P. Debye, M. Knudsen, W.L. Bragg, H.A. Kramers, P.A.M. Dirac, A.H. Compton, L. de Broglie, M. Born, N. Bohr, I. Langmuir, M. Planck, M. Curie, H.A. Lorentz, A. Einstein, P. Langevin, Ch. E. Guye, C.T.R. Wilson, O.W. Richardson

Nada queda hoy día de esa mentalidad positivista. A lo más un ridículo reducto de lo que fue. Hoy el mundo, el Universo, se nos muestra enigmático (tal vez algo menos, quizás, que a finales del siglo XIX), pero apasionante, estimulante y magnífico. Los avances en astrofísica o en biología están resituando a la especie Humana en el lugar de la Creación que le corresponde, apartada de todo el antropocentrismo de antaño. Hoy sabemos que los ecos del posible (y cuestionado) Big Bang que dio origen al Universo late en los átomos de que estamos hechos. El camino hasta llegar ahí no ha sido fácil, y aún queda mucho recorrido por hacer. Vamos a abordar ahora otro de los frentes abiertos en la física de comienzos del siglo XX: la radiación electromagnética y la estructura atómica.

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10.

TEORÍA CUÁNTICA DE LA LUZ

El estudio de la luz lleva a la física moderna por dos caminos diferentes: por un lado el de detectar el movimiento absoluto de la Tierra respecto del éter que proponían las teorías clásicas y que influyó decisivamente en el resurgimiento de la teoría de la relatividad de Einstein. Otro camino nos lleva de forma más indirecta a la teoría cuántica. Respecto al tema de la luz, a comienzos del siglo XX se disponía de gran cantidad de conocimientos experimentales. Newton había demostrado que la luz del Sol podía descomponerse mediante un prisma dando un espectro de varios colores; y justamente este espectro “de arco iris” había sido obtenido examinando la luz de todos los sólidos y líquidos incandescentes (metales fundidos). Muy posteriormente, las técnicas espectroscópicas mejoraron sustancialmente, y en la actualidad, cabe hacer una clasificación de las diferentes clases de espectros en dos grupos: espectros de emisión y espectros de absorción. Cuando una masa de gas recibe energía, los átomos que los constituyen quedan excitados energéticamente, de modo que al cesar la excitación, “devuelven” la energía absorbida. El registro espectroscópico de esa energía devuelta constituye el espectro de emisión. Por el contrario, cuando se dirige un haz energético sobre una masa de gas y se analiza ese mismo rayo tras cruzarla, se observan que “faltan” algunas líneas en el espectro de su “luz” (respecto de la radiación inicial). Ese análisis constituye el espectro de absorción. Precisamente, el estudio detallado de los espectros de las sustancias, constituyó la base en la que se iniciaría parte de la revolución que viviría la física de comienzos de este siglo. De hecho, fueron tres los acontecimientos fundamentales que obligaron a los físicos a remodelar las ideas de la física clásica con la que tan contentos estaban: la radiación térmica, el efecto fotoeléctrico y el carácter discontinuo de los espectros atómicos.

10.1 Radiación Térmica y Teoría de Planck. Cuando la luz incide sobre un cuerpo cualquiera, una parte es absorbida por él y otra parte o bien se refleja en la superficie o bien atraviesa el cuerpo. Los detalles particulares de este proceso para cada cuerpo concreto se manifiestan por ejemplo en su color. Un objeto de color blanco refleja casi toda la radiación que recibe, mientras que uno de color negro absorbe casi toda ella. Esta interacción entre los cuerpos y la luz NO se restringe a la luz visible, sino que se extiende a todo el espectro electromagnético. Color Rojo Naranja Amarillo Verde Azul Violeta (Infrarrojo) (Ultravioleta)

Intervalo de λ en angstroms 6100 a 7500 5900 a 6100 5700 a 5900 5900 a 5700 4500 a 5000 aproximadate. 4000 a 4500 Mayor de 7500 Menor de 4000

Por otra parte, los cuerpos NO sólo responden a la radiación que les llega. También ellos emiten. Lo que sucede es que, a las temperaturas ordinarias, la mayor parte de la energía que radian se emite en longitudes de onda propias del infrarrojo o más largas, es decir, NO ES VISIBLE. Las gafas de visión nocturna no son otra cosa que detectores de infrarrojos.

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Espectros de algunos elementos químicos

Para conseguir que un cuerpo emita luz visible es necesario elevar su temperatura por encima de los 600700ºC; es decir, llevarlo a incandescencia. Por ejemplo, un bloque de hierro de color negro adquiere un color rojizo a medida que aumenta su temperatura, pasando posteriormente a un rojo vivo, y para temperatura más alta, al llamado "rojo blanco". Ese mismo cambio de color se puede apreciar en el filamento de una bombilla. También el color de la luz de las mayores fuentes de radiación conocidas, las estrellas, está relacionado con la temperatura. La radiación que proviene de un cuerpo es la suma de la radiación propia y la que refleja. Si se desea estudiar únicamente la EMISIÓN propia es preciso aislar al cuerpo de algún modo. Esta dificultad desaparece si el cuerpo absorbe toda la radiación que recibe. Los objetos de color negro poseen en gran medida esa propiedad. Pero, ¿qué hay más negro que una habitación sin ventanas a oscuras? Éste es el modelo de cuerpo negro ideal: una cavidad de paredes muy absorbentes con una pequeña abertura en una de sus paredes. Cualquier radiación que entre en la cavidad será, casi con toda certeza, absorbida por las paredes antes de que pueda salir de ella. De este modo, se puede asegurar que la radiación que salga por la abertura tiene su origen en las paredes de la cavidad, esto es, se trata de emisión propia. El espectro y la cantidad de radiación que emite un cuerpo depende en general del material del que está hecho. Sin embargo, en los cuerpos negros ideales esto no es así: no importa cuál sea el material del que estén hechas las paredes ni la forma de la cavidad. La forma de describir la radiación emitida por un cuerpo es una función llamada distribución espectral. Esta función, para un valor fijo de la temperatura nos informa de cómo se reparte la intensidad de energía procedente del cuerpo entre las distintas longitudes de onda (ver figura adjunta). El área encerrada por la curva y el eje de abcisas es igual a la intensidad total de energía emitida por el cuerpo a esa temperatura. Variando la temperatura del cuerpo cambia la forma de distribución espectral, desplazándose el máximo (longitud de onda en la que se emite la mayor cantidad de energía) hacia longitudes de onda más cortas. Para intentar deducir, en base a un modelo teórico de comportamiento, la forma de estas curvas de distribución, se supuso que los "emisores" que constituyen la pared de la cavidad pueden oscilar con una energía cuyo valor puede ser cualquiera que esté comprendido entre 0 e ∞.

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Con esta hipótesis, se deduce una ley que se adapta bastante bien a la curva observada experimentalmente (ver figura), pero sólo en las zonas de BAJAS FRECUENCIAS (valores altos de λ) pero fracasa estrepitosamente en la zona de las altas frecuencias, donde prevé una emisión de energía infinita, lo que se llamó la catástrofe ultravioleta, ya que ningún cuerpo puede emitir infinita energía. En definitiva, las leyes y teorías físicas de finales del siglo XIX eran incapaces de explicar de modo completo y satisfactorio, la emisión de energía por radiación.

Los datos exactos de las curvas reales de distribución fueron resumidos, de forma experimental, por el físico alemán Wilhem Wien en 1893 en la denominada ley del desplazamiento que en parte establece que para un emisor perfecto de espectros continuos, el producto de la λ (en cm) correspondiente a un máximo por su temperatura absoluta (en K) es una constante con el valor empírico de 0,2897 cm · k: λmáx(cm) x T(K) = 0,0029 m.k Por ejemplo, λmáx para el Sol es, aproximadamente, 5,5.10-7. Así resulta que T = 500 K4 Dado que la ley de Wien es aproximadamente válida para los intervalos extremos de temperatura, podemos, en seguida, hacer algunos cálculos sorprendentes: se analiza la radiación de estrellas distantes para determinar el valor de λmáx. Así se determina, aproximadamente, la temperatura superficial de las estrellas. Para las estrellas “calientes”, cuyo valor de λmáx es pequeño y corresponde al extremo azul del espectro o incluso más allá, las temperaturas son más altas que la del Sol. Las estrellas “más frías” (rojizas) tienen valores mayores de λmáx y por tanto T es menor. Igualmente, para la radiación del cuerpo negro rige otra ley experimental, denominada ley de Stefan-Boltzman, que regula la energía total emitida por un cuerpo negro, por unidad de tiempo y superficie: Etotal = σ· T4 siendo σ = 5,67·10-8 Wm-2K-4 la denominada “constante de Boltzman”. Q5. ¿Qué longitud de onda corresponde al pico del espectro de la radiación emitida por un cuerpo negro a 300 K (temperatura ambiente)? ¿Sería visible? Q6. ¿Qué rango de temperatura tendrían estrellas como Vega o Antares? (Dato: λrojo: de 6100 a 7500 angstron; λazul: de 4500 a 500 angstron)

El problema de hallar qué mecanismo hace que los átomos radiantes produzcan la distribución de energía de la radiación del cuerpo negro lo resuelve en el año 1900 el físico alemán Max Planck en un trabajo que presenta a la Sociedad Alemana de Física de Berlín, y en donde anuncia haber hallado una ecuación empírica que se ajusta a las curvas experimentales. Sin embargo, Planck no estaba muy satisfecho con su trabajo, ya que para deducir su ecuación había tenido que hacer algunas hipótesis que chocaban frontalmente con la concepción física de la realidad en vigor en esos momentos: se inicia aquí la nueva física de nuestro siglo. 4 Sin embargo, esta cifra es algo baja, en parte porque la radiación del Sol es parcialmente absorbida por nuestra atmósfera, sobre todo en las longitudes de onda cortas, por lo que el valor real de λmáx es algo menor; y también porque el Sol no es una superficie negra ideal, a la que pueda aplicarse con toda precisión la ecuación de Wien.

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Planck admite que: • Cada átomo se comporta como un pequeño oscilador y que cada uno oscila con una frecuencia dada ν. • Cada átomo puede absorber o emitir energía de radiación en una cantidad proporcional a su frecuencia ν:

E = h ν

La constante (h ) de Planck es una constante universal, de valor 6,6256.10-34 J.s

El trabajo de Planck supone que la energía se emite o se absorbe en “paquetes” (a los que denominó “cuantos”). Es decir, la energía “está cuantizada”, no puede transferirse de modo aleatorio o continuo, sino como múltiplos enteros de esos “cuantos”, de valor individual h · ν.

Q7. Determina la frecuencia y el valor del cuanto de energía que corresponde a un oscilador que emite radiación en una longitud de onda en el vacío que corresponde a 4000 A

Una de las consecuencias que se derivan de las ideas de Planck es que la "luz está cuantizada", siendo emitida o absorbida por los osciladores en “paquetes” que son múltiplos enteros del cuanto de energía. Sin embargo, el reconocimiento de que la teoría clásica de la luz necesitaba un profunda revisión vino de la mano de una nueva experiencia: el efecto fotoeléctrico, que junto con el efecto Compton, contribuyeron a establecer la concepción actual de la luz, a la que se atribuye un comportamiento dual como onda y como corpúsculo. Cada uno de estos fenómenos nombrados, se estudiarán un poco más adelante en este tema.

11. “CUANDO LA MECÁNICA CLÁSICA YA NO SIRVE”: Fenómenos mecánicos que NO se explican con la física de Newton La mecánica clásica permite interpretar la mayor parte de los movimientos que realiza un cuerpo cuando sobre él actúa (o no) alguna fuerza, pudiendo prever, incluso, los efectos de esas fuerzas, posiciones, etc. Sin embargo, la mecánica de Newton no fue capaz de explicar ciertas experiencias que se desarrollaron a finales del siglo pasado y comienzos de este. Esas experiencias estaban velocidad relacionadas con el movimiento de las llamadas “partículas elementales”.

11.1. ¿Hay límites de velocidad? Según la mecánica clásica, no existe (en principio) ningún límite c para la velocidad que puede adquirir un cuerpo. Si se ejerce una fuerza constante sobre un objeto, conforme pasa el tiempo, su velocidad va en aumento, y nada en las ecuaciones que se conocen en la mecánica newtoniana, nos indica que esta velocidad no pueda seguir creciendo.

energía

Cuando se realizan experiencias con electrones, sometidos a diferencias de potencial y se les provocan aumentos de velocidad, cabe esperar un resultado como el aparecido en la gráfica (línea de trazos). Sin embargo, los resultados experimentales demuestran que la curva resultante es en realidad la que se indica en trazo continuo, donde se puede apreciar que la velocidad NO crece linealmente, sino que se estabiliza a medida que aumenta la energía, hasta alcanzar un valor cercano al de la velocidad de la luz. En principio, puede parecer que las ecuaciones de Newton son erróneas. No es eso: el principio de conservación de la energía mecánica sigue siendo perfectamente válido; lo que sucede es que toda la energía que se ha comunicado para acelerar a los electrones NO HA SIDO UTILIZADA para incrementar la velocidad

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de éstos. Se precisa establecer una nueva expresión para ese principio de conservación, encontrando asimismo la relación que existe entre energía y velocidad cuando esa velocidad sea muy alta.

11.2 Dos protones chocan entre sí. Lo anterior, no es lo único que pone de manifiesto la insuficiencia de la mecánica clásica para situaciones “límite” que rozan la velocidad de la luz. También el estudio de los choques evidencia ciertas contradicciones que la mecánica clásica no puede resolver. Estudiemos el choque entre dos protones5. Supondremos que, inicialmente, uno de ellos está en reposo. Podremos suponer que el choque que se produce es perfectamente elástico, pudiendo aplicar los principios de conservación que ya conocemos. Veamos cuáles son las previsiones de la mecánica clásica para un choque de estas características. Por un lado, ha de conservarse la energía cinética, esto es que Ec(i) = Ec(1) + Ec(2). Por otro lado, ha de conservarse la cantidad de movimiento:

v v v pi = p1 + p2

Como Ec = ½ m v2 y p = m · v se puede poner que Ec = p2/2m de donde pi2 p2 p2 = 1 + 2 ⇒ pi2 = p12 + p22 2m 2m 2m y como recordaremos que

v v v pi = p1 + p2

resulta que

v v v v v v v v pi2 = ( pi ⋅ pi ) = ( p1 + p2 ) ⋅ ( p1 + p2 ) = p12 + 2 ⋅ p1 ⋅ p2 + p22

Teniendo presente todo lo anterior, para que se verifique esta última ecuación, es necesario que el producto

v v p1 ⋅ p2 = 0

de donde concluimos que los vectores

v v p1 y p 2 son perpendiculares entre sí.

Sin embargo, estas previsiones teóricas sólo son ciertas cuando la velocidad con que incide el protón que penetra en la cámara de burbujas es relativamente baja. Cuando se trata de protones que se mueven a velocidades cercanas a la de la luz, el ángulo que forman los dos vectores es menor que 90º. Esto se debe, de nuevo, a que las expresiones de la mecánica clásica para los principios de conservación no son las adecuadas: hace falta una remodelación de la mecánica.

12. MECÁNICA RELATIVISTA: un nuevo punto de enfoque. Ya en su época, Galileo estableció que las leyes de la dinámica deben ser las mismas en todos los sistemas de referencia, si se mueven con velocidad constante unos con respecto a otros. Esto es lo que constituye la esencia del conocido “principio de relatividad de Galileo”. Sin embargo la luz es una excepción a este principio, ya que su velocidad de propagación es constante, independientemente del sistema de referencia elegido. En sistemas de referencia inerciales, como sabemos, la mecánica clásica sigue siendo válida. Sin embargo, a raíz de lo último que hemos estudiado, cuando se contemplan velocidad es cercanas a la de la luz, parece “que algo falla” y es necesaria una revisión. Esto es lo que hizo Albert Einstein. 5

Los choques entre protones ofrecen la facilidad de poderse visualizar muy fácilmente en cámaras de burbujas, lo que hace relativamente fácil su estudio”. Además, disponer de protones en un laboratorio de física no es ningún inconveniente.

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En el año 1905, el principio de relatividad especial de Einstein, enuncia como postulados, que

• •

Todas las leyes de la Naturaleza deben ser las mismas para observadores inercias, es decir, que se mueven con velocidad constante unos respecto de otros. Si lo anterior es así, resulta que NO es posible detectar el movimiento absoluto y uniforme. La velocidad de la luz es la misma, medida en cualquier sistema de referencia inercial.

Estos postulados van en contra de algunas conclusiones de la mecánica clásica y choca frontalmente con la relatividad de Galileo. Así, por ejemplo, una persona que midiera la velocidad de la luz de un foco de un tren que se moviera a, por ejemplo, 10 000 km/h, seguiría obteniendo el resultado de c = 3.105 km/s (la velocidad de la luz, c) y NO c + v.

12.1. Revisión de conceptos: Masa, energía y cantidad de movimiento. Las modificaciones que introduce la teoría de Einstein son importantes y relevantes cuando las velocidades de los objetos con los que se trabaja son cercanas a la de la luz. En “la vida práctica” la mecánica clásica siendo una excelente aproximación. Sin embargo, existe en física un extenso campo, el de las partículas elementales, en donde se consiguen con relativa facilidad las velocidades cercanas a las de la luz, ya que las partículas con las que se trabaja son de muy pequeña masa. Ahí las teorías de Einstein juegan un papel crucial. De hecho, ya en 1902 se observó que la masa del electrón cambia con su velocidad. Einstein observó que la ecuación fundamental de la mecánica

v dpv F= dt sólo era válida si se expresaba la cantidad de movimiento en la forma v m ⋅v v p= 0 v2 1− 2 c

donde mo representa la masa de la partícula en reposo. Para simplificar la escritura, lo anterior suele ponerse como v p=

o bien como

v p0 1− β 2

v v p = Γ ⋅ m0 ⋅ v

donde β = v/c y Γ=

1 1− β 2

Así, la expresión que nos proporciona la cantidad de movimiento puede escribirse como

v v p = m⋅v donde

m=

m0 1−

v2 c2

es la masa relativista.

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Con esta nueva reformulación de la cantidad de movimiento, la energía cinética ha de calcularse de otro modo. Ese modo, incluye cálculo integral, que da como resultado final que

Q8. Estudia la expresión de la masa relativista y observar para qué valores m ≈ m0 Q9. ¿Por qué para un electrón en un acelerador de partículas su masa varía. ¿Cuándo será mayor la masa del electrón, en reposo o en movimiento cercano a la de la luz? Q10. Para una partícula elemental, ¿en cuánto varía su masa al moverse a una velocidad v = 0.5 c? ¿Aumenta o disminuye?

Ec = (m - m0) c2

El primer término de la ecuación anterior, mc2, depende de la velocidad de la partícula. El segundo, no. Ese segundo término, m0c2 , recibe el nombre de energía en reposo (E0).

Si no tenemos presente la energía potencial que la partícula pudiera tener, la energía total que la partícula tendría sería la suma de la energía cinética ((m-m0)c2) y la energía en reposo (m0c2); esto es: E = Ec + m0c2 = mc2 = Γm0c2 Si la partícula se mueve a velocidad cercana a la de

Q11. ¿Con qué velocidad debe moverse una partícula para que la luz, β tiende al valor 1 y Γ tiende a crecer su momento lineal sea m0c? Determina la energía total de la indefinidamente. Por tanto, la energía cinética de la partícula en ese supuesto. crece indefinidamente, y ya que la Ec de un cuerpo es 1/2 2 Sol.: v = (2 /2)c; Et = √2 m0c

igual al trabajo realizado por las fuerzas exteriores sobre el mismo (teorema de las fuerzas vivas), será necesario comunicar una energía infinita para alcanzar la velocidad de la luz. Esto nos indica que cualquier partícula con masa, no podrá alcanzar jamás la velocidad de la luz. A partir de las ecuaciones anteriores, pueden deducirse algunas relaciones importantes. Veamos. Ya que

Γ=

1 1− β 2

⇒ Γ 2 ⋅ (1 − β 2 ) = 1

como

E = Γ ⋅ m0 ⋅ c 2 p = Γ ⋅ m0 ⋅ v = β ⋅ Γ ⋅ m0 ⋅ c Γ=

E m0 ⋅ c 2

resulta

β=

p E m0 c ⋅ m0 c 2

=

p⋅c E

sustituyendo estos valores

Γ 2 ⋅ (1 − β 2 ) = 1 E2 (m0 c 2 ) 2

⎛ p 2c 2 ⎞ ⋅ ⎜⎜1 − 2 ⎟⎟ = 1. E ⎠ ⎝

de donde resulta que

E = ( pc ) 2 + ( m0 c 2 ) 2 Esta última ecuación es fundamental en mecánica relativista, ya que en los experimentos con partículas elementales es más fácil medir la cantidad de movimiento de éstas que su velocidad, por lo menos en partículas cargadas, ya que ellas pueden ser desviadas por campos magnéticos. De este modo, el radio de curvatura nos proporciona una medida indirecta del valor de la cantidad de movimiento de la partícula.

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La última ecuación, también puede ponerse del modo

E 2 − ( pc) 2 = ( m0 c 2 ) = E 02 Según esto, la energía en reposo de una partícula E0 es constante, independientemente del sistema de referencia elegido. Por ello, la expresión

es igualmente constante.

E2 - (pc)2

Hay que observar que según lo anterior, si la partícula en estudio tiene masa nula (las veremos más adelante) resulta que E = pc y con ello

β=

p⋅c =1 E

Esto supone que una partícula de masa en reposo nula DEBE ESTAR SIEMPRE EN MOVIMIENTO, CON UNA VELOCIDAD IGUAL A LA DE LA LUZ. Q12. El bevatrón es un acelerador de protones que puede comunicar a éstos una energía cinética de 10‐9 J. Determina la variación de masa que experimentan estas partículas. Q13. Si se comunica a una partícula en reposo una energía cinética igual a n veces su energía en reposo, determina cuál será su velocidad y su cantidad de movimiento. (Sol.: v = c (1‐1/(n+1)2)1/2; p = (n+1)(1‐1/(n+1)2)1/2m0c

12.2. Otras unidades. Dadas las relaciones anteriores, para “el mundo de las partículas elementales” resulta más conveniente expresar la energía que la partícula lleva asociada. Una unidad habitual en estos terrenos del mundo cuántico es el electronvoltio6 (eV) y el MeV (megaelectronvoltio). De este modo, ya que la energía en reposo de una partícula viene dada por E0 = m0c2, para un protón, (de masa m0 = 1,673.10-27 kg) por ejemplo, tendremos que E0 = 1,504.10-10 J, o sea, 939 MeV. Según lo anterior, podemos expresar la masa en MeV/c2, en lugar de expresar la energía en MeV. Así, resulta que para el cálculo anterior que mp = 939 Q14. Comprobar que el MeV/c2 es una unidad de masa, mientras MeV/c2. Así, expresar la energía en reposo de una que el MeV/c es de cantidad de movimiento. partícula en MeV o su masa en MeV/c2 es Q15. La masa en reposo de un electrón es 9,109.10‐31 kg, y la del prácticamente equivalente. Esto nos evita el neutrón es 1,6784.10‐27 kg. Determina su energía en reposo en engorro de trabajar con kg y manejar julios y en MeV. exponenciales, donde es fácil errar.

13.

FOTONES: partículas sin masa. EFECTO FOTOELÉCTRICO

Por una ironía, el primer paso que condujo al descubrimiento del denominado efecto fotoeléctrico y al reconocimiento de que la teoría clásica de la luz necesitaba una revisión fundamental, fue una observación incidental recogida por Hertz durante la investigación experimental que proporcionó la prueba más contundente en favor de la teoría electromagnética clásica de Maxwell. En 1887, investigando la descarga eléctrica entre dos electrodos usada como fuentes de ondas electromagnéticas, Hertz observó que la intensidad de la descarga aumentaba cuando se iluminaba los electrodos con luz ultravioleta. Se vio también que la radiación ultravioleta tenía el efecto de arrancar cargas negativas de la superficie limpia de un metal y que eran esas cargas las que ayudaban a mantener una corriente transitoria adecuada entre los electrodos. De hecho, se vio un año después que ciertas sustancias (en particular los metales alcalinos) mostraban el mismo efecto con luz visible. Se pudo comprobar que el aire NO intervenía en el proceso.

6

Como recordarás, el electronvoltio es la energía que adquiere un electrón al someterlo a una ddp de un voltio. 1 eV = 1,6.10-19 J

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La figura muestra el esquema de una fotocélula. Consta esencialmente de un cátodo fotosensible (sensible a determinados “tipos de luz”, fabricado de metales alcalinos o sus óxidos) y de un ánodo o placa metálica dentro de una ampolla de vidrio con un elevado vacío. Al incidir luz sobre el cátodo, arranca electrones, que son atraídos por el ánodo positivo, originándose una corriente eléctrica que se detecta fácilmente. De experiencias de este estilo, se dedujeron una serie de leyes experimentales:

• • •

•

El efecto fotoeléctrico es prácticamente instantáneo, es decir, al iluminar el cátodo, se detecta instantáneamente la corriente, la cual cesa al suprimir la iluminación. La intensidad de corriente (carga de electrones emitidos por luz unidad de tiempo) es proporcional a la intensidad de la luz incidente. La energía (y velocidad) de los fotoelectrones sólo depende de la cát odo frecuencia de la luz, pero no de su intensidad. Los fotoelectrones de masa m extraídos del cátodo por efecto de la luz incidente poseen una energía cinética inicial. Para determinar la energía ánodo máxima, se aplica a los electrodos una ddp de signo opuesto fot océlula que se va incrementando hasta que anule por completo la corriente fotoeléctrica. En tales condiciones, se verifica que V0.e = ½ m v2máx, donde V0 es el “potencial de detención” (o potencial de frenado) Para cada metal del cátodo, hay una frecuencia mínima (denominada frecuencia umbral) por debajo de la cual NO se A produce emisión fotoeléctrica, cualquiera que sea la intensidad de la radiación.

Estas leyes experimentales (sobre todo la última) NO podían explicarse según la concepción ondulatoria de la luz. Fue A. Einstein quien, en 1905, estableció de modo contundente la hipótesis que permitió explicar el efecto fotoeléctrico. Por ello recibiría el Premio Nobel (y no por sus teorías de la relatividad)7. Los trabajos de A. Einstein sobre el efecto fotoeléctrico, establecen que en las interacciones con la materia, una onda electromagnética de frecuencia f puede ser considerada como un conjunto de partículas (a las que Einstein denominó fotones), cada uno de ellos “portadores” de una energía igual a E = h · f (siendo f la frecuencia de la radiación y h la cte. de Planck). El fotón así descrito, es una partícula sin masa y sin carga, que por lo tanto ha de moverse continuamente a la velocidad de la luz. Según las ideas de Einstein, una luz muy intensa es aquélla que posee muchos fotones. Sin embargo, cada fotón posee una energía determinada que sólo depende de la frecuencia de la radiación luminosa. Para explicar el efecto fotoeléctrico, admitía que cada fotón del haz choca con un electrón. Si la energía del fotón es suficiente, entonces arranca el electrón del átomo; en caso contrario, no podrá hacerlo. Por más que se aumente la intensidad del haz (y por tanto el número de fotones) si cada uno de ellos no posee por sí mismo la energía suficiente, NO se arrancarán electrones y no tendrá lugar el efecto fotoeléctrico. Este hecho (y su interpretación correspondiente) dieron por sentado definitivamente el carácter dual de la luz. La energía del fotón que incide, ha de emplearse de dos formas: extraer el electrón (venciendo la atracción del metal, trabajo de extracción, W) y dotarlo luego de velocidad (de energía cinética). Por ello, puede escribirse que h.f = Ec + W W es característico de cada metal.

7 A. Einstein era de origen judío. En su época, en los “preparatorios” de la 2ª guerra mundial, no era una “decisión acertada” otorgar el premio nobel a un científico judío que había dado a conocer unas teorías que buena parte de los “físicos ortodoxos” alemanes, fundamentalmente, no entendían. También en esto de los Premios Nobel, las presiones políticas y sociales están fuertemente presentes: “no es tan bonito como nos lo pintan”

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Teniendo presente que el efecto fotoeléctrico sólo tiene lugar para energías superiores a la frecuencia umbral, podemos escribir que W = h.f0 con lo que lo anterior nos queda del modo: Ec = h(f - f0) expresión que se conoce con el nombre de ecuación de Einstein del efecto fotoeléctrico.

V0

Teniendo presente la idea de “potencial de detención” anteriormente señalada, podremos escribir que: V0 · e = hf - W0 por lo que variando la frecuencia, podemos obtener una serie de valores del potencial V0. Si la última expresión es correcta, el gráfico de los valores de V0 frente a f debe ser una recta. Esto es exactamente lo que se obtiene.

fo=Wo/h

f

Wo/e

Si prolongamos la recta, corta al eje de ordenadas en un punto que corresponde con el valor W0/e (el cual se obtiene sin más que hacer cero la frecuencia en la ecuación anterior). Por tanto:

tagα =

W0 h h ⋅ = e W0 e

Midiendo α y utilizando el valor conocido de la carga e podemos volver a determinar la constante de Planck. El resultado es el mismo que el hallado para la radiación del cuerpo negro, lo cual constituye una justificación más de la hipótesis de Planck.

Q16. Un electrón arrancado al hierro, cuya energía de extracción es de 4,8 eV, posee una energía cinética de 4 eV. Calcula la frecuencia mínima capaz de extraer ese electrón y la de la radiación usada. Q17. Si se duplicara la frecuencia de la radiación que incide sobre una placa metálica, ¿se duplicaría la energía cinética de los electrones emitidos? Explicación. Q18. La energía que se necesita para extraer un electrón del sodio es de 2,4 eV. ¿Podemos producir el efecto fotoeléctrico para el sodio con luz anaranjada, cuya longitud de onda es 6700 A? Q19. Al incidir sobre el potasio un haz de luz de 3000 A, los electrones emitidos poseen una energía cinética máxima de 2,05 eV. Determina la energía del fotón incidente y la energía de extracción del potasio.

14.

EFECTO “COMPTON”

En el año 1923, el físico norteamericano A. H. Compton (1892-1962; foto) descubrió que un haz de rayos X de 0,71 A de longitud de onda era dispersado al cruzar una región en donde existían electrones. Este descubrimiento desencadenó nuevos conocimientos sobre los fotones. Los rayos X, como sabemos, son radiación electromagnética cuya frecuencia es más elevada que la de la radiación visible. La experiencia de Compton sólo se explica suponiendo que los FOTONES pueden “chocar” con los electrones, siendo dispersados por éstos. La particularidad de este fenómeno está en que la frecuencia de la radiación dispersada es MENOR que la de la radiación incidente.

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Radiación incident e

Si llamamos λ a la longitud de onda incidente y λ‘ la de la dispersada, Compton encontró experimentalmente que la diferencia λ’ - λ sólo depende del ángulo de dispersión θ formado por la dirección de la radiación incidente y la dirección en la que se observan las ondas dispersadas (ver figura) según la expresión

elect rón θ Det ect or

λ' - λ = λc (1-cos θ) donde λc es una constante cuyo valor, determinado experimentalmente, tiene un valor de λc = 2,42.10-12 m, y conocida con el nombre de longitud de onda de Compton para electrones.

Radiación dispersada

Por las características de las partículas que intervienen, está claro que el estudio de esta colisión ha de hacerse utilizando la mecánica relativista. A partir de esto, la dispersión de una onda electromagnética por un electrón se puede interpretar como el “choque” entre la onda y el electrón en donde se conservaran tanto la energía como el momento lineal. Además, de las ecuaciones relativistas que venimos utilizando se desprende que una de las partículas que colisionan tiene en reposo masa nula y se mueve con velocidad igual a c (recordar que en estos casos, vimos que E = pc). Analizando el choque, y teniendo presente los principios de conservación de la energía y cantidad de movimiento, escribiremos que (conservación de la energía):

E0 + h. f = E02 + p 2c 2 + hf ' donde E0 es la energía en reposo del electrón, hf es la energía correspondiente al fotón incidente, hf’ la que corresponde al fotón dispersado, y (E02 + p2c2)1/2 es la energía del electrón tras salir arrancado del blanco, debido a la interacción. Del mismo modo (conservación del momento lineal):

v v v p = pe + p '

donde p es la cantidad de movimiento del fotón inicial, p’ la del fotón dispersado y pe la correspondiente al electrón. Ya que para el fotón

E = pc ⇒ hf = pc ⇒ h

c

λ

= pc ⇒ p =

h

λ

si resolvemos el sistema formado por los principios de conservación de la energía y de la cantidad de movimiento, se obtiene que h 1 1 − = ⋅ (1 − cosθ ) f f ' me ⋅ c 2 Como recordamos que λ = c/f ⇒ c = λ · f se deduce de lo anterior que

λ '−λ =

h (1 − cos θ ) me ⋅ c

por lo que se deduce que necesariamente

λc =

h me c

Así, midiendo λc, me y c, se puede calcular el valor de h, obteniéndose el mismo valor encontrado para la constante de Planck. Por tanto, después de todo esto, se puede explicar la dispersión de la radiación electromagnética por un electrón libre si se identifica el proceso con un choque entre un electrón libre y una partícula de masa en reposo nula, el

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F Í S I C A A N U C L E A R y C U Á N T I C A. Tema 5

fotón,, que posee una energía E = h · f y un momento m linea al dado por p = E/c = h/λ antes de la colisión c y una energía E’ = h · f’ y un momento o p’ = h/λ‘ deespués de la co olisión. Como o se ha visto, las explicacion nes del efecto Compton han n requerido, la as siguientes suposiciones: • la radiación n electromag gnética hace las veces de d una partíccula de massa en reposo o nula, que denominamo os fotón. • la dispersión n de la radiaciión electromagnética por un electrón librre se puede co onsiderar como un choque entre el elecctrón y un fotón. • La energía y el momento lineal del fotó ón están relacionados con la a frecuencia y la longitud de onda de la radiación electromagnéti e ica por E = hf y p = h/λ; esto es, e asociamo os el fotón a una onda electromagn nética.

Q20. Raayos X de 1 A so on dispersados m mediante un blo oque de carbón. La radiación diispersada se obsserva a 90º del haz incidente. A) Deteerminar el desp plazamiento Co ompton Δλ; B) ¿Qué cantidad de energía cin nética se comun nica al electrón n que rebota? (Suponer tratamiento clásico con Eo == 0) Q21. Un fotón cuya en nergía es de 15 keV choca con un electrón librre en reposo y ssale dispersado. Si el ángulo de e dispersión es de 60º,, calcula cuánto varía la energíaa, frecuencia y lo ongitud de ondaa del fotón. Q22. Un fotón de 10‐ U 11 m de longitud de onda, exxperimenta la dispersión Comp pton en una mu uestra de silicio o. La radiación disperssada tras el procceso lo es en un na dirección perrpendicular a la dirección de inccidencia. Determ mina la longitud d de onda que corresp ponde a la radiaación dispersa del movimiento de los electrone es de retroceso. (Sol.: 1,243.10 0‐11 m; 2,4.104 eV V; 128º con la direcció ón del fotón dispersado)

1 15.

A ASOCIAC CIÓN “ON NDA-PAR RTÍCULA”

Los feenómenos de difracción d e in nterferencia (que ya se viero on en el tema de movimientto ondulatorio o) pueden ser aplica ados y explicados considera ando la luz co omo una onda a, con todas las l propiedades de éstas. Sin S embargo, para explicar e la rad diación del cu uerpo negro, el e efecto fotoe eléctrico o el efecto e Compto on, se necesitta una nueva teoría: la teoría corrpuscular de la a radiación. Cada una de estas interpretacion nes justifica un na serie de exp periencias y permite armoniizar, tras siglo os de disputa, las co oncepciones corpuscular c y ondulatorias de la luz, deffendidas, resp pectivamente p por Newton y Huygens en siglo XVII: X para long gitudes de ond da entre 10-3 3 y 103 m, la imagen i ondulatoria concueerda perfectam mente con los hecho os experimenta ales. En la reegión del visible, ambas descripciones d son posibles dependiendo o del tipo de fenóm meno observado. Cuando la longitud de d onda dism minuye hasta órdenes del amstrong o inferiores, la descripción fotónica a es la más ad decuada. Sin embargo, e con nforme las técn nicas experimeentales se fuerron haciendo p se comprobó c quee la naturalezza de la luz es e más sutil. Simultáneameente presenta la conducta más precisas, ondulatoria y corpu uscular, aunque en unos feenómenos pre edomina más una sobre otrra. El marco teórico t de la conexxión de ambass teorías lo con nstituye la meccánica cuánticca. Aceptando, por ta anto, el carrácter corpusccular de la radiación, ¿por ¿ qué no o pensar en un posible comportamiento on ndulatorio de la l materia?

15.1. Natu uraleza Ondullatoria de la M Materia. Luis de d Broglie (fo oto) se licencció en historiia en la Universidad de París. Sin embargo, mantenía a con su herm mano (que era a físico) profu undas discusio ones sobre os. Esto le hizzo plantearse adentrarse en n la física, y en e su tesis probleemas científico doctoral plantea ya a que al igua al que los fottones presentan un compo ortamiento dual, como ondas y como partícculas, la materria debía presentar también n el mismo comportamiento. De Brroglie establecció la hipótesiss de que las partículas p mate eriales tienen asociadas una onda; o y no sólo o eso, sino qu ue como pura especulación asignó una lo ongitud de onda a estas onda as hipotéticas. Supuso quee la longitud de onda de las ondas

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materiales debería venir dada por la misma relación aplicable a la luz, es decir, λ = h/p que relaciona la longitud de onda de una onda luminosa con el momento de los fotones asociados a ella. Predijo que:

λ=

h m⋅v

donde m es la masa de la partícula. Las ideas de De Broglie fueron posteriormente confirmadas experimentalmente, y hoy en día se acepta sin reservas el carácter dual de la materia y de las partículas elementales. La evidencia más directa de las ondas de materia lo dio la observación de la difracción de haces de partículas tales como los electrones y neutrones. Las figuras de la difracción coincidían con las que cabría esperar si se asocian a las partículas una onda con la longitud de onda de De Broglie. La naturaleza ondulatoria de la materia se pone de manifiesto cuando la longitud de onda de las partículas es un poco mayor que las dimensiones de los obstáculos con los que tropieza, ya que entonces las ondas asociadas a esas partículas se difractan en ellos con facilidad. Los electrones revelan su naturaleza ondulatoria si su longitud de onda es del orden de las dimensiones atómicas y los neutrones cuando es del orden del tamaño del núcleo. Podemos comprender, por tanto, por qué tardó tanto tiempo en descubrirse la naturaleza ondulatoria de la material. Se precisan las masas más pequeñas que existen, como las partículas atómicas, para que su longitud de onda asociada sea lo suficiente grande para que se puedan observar en la materia fenómenos derivados de su naturaleza ondulatoria.

Q23. ¿Qué longitud de onda debe tener un haz de electrones cuya energía cinética es de 100 eV? (Sol.: 1,2 A) Q24. Determina la longitud de onda de De Broglie correspondiente a una pelota de tenis que se mueve a 190 km/h (en un saque) si su masa es de 90 g. Calcula también la que corresponde a un tren de mercancías de 1000 toneladas que marcha a 150 km/h.

16.

ESPECTROS DISCONTÍNUOS

Como vimos unas páginas anteriores, el estudio de los espectros continuos de emisión, llevó a Planck a formular su hipótesis cuántica en el año 1900. Nos referimos entonces sólo a los espectros producidos por sólidos o líquidos incandescentes. Esos espectros dependían sólo de la temperatura de la fuente, pero no de su composición química. Y naturalmente, fue precisamente este carácter universal de los espectros de emisión el que atrajo la atención de Planck y le hizo sospechar la existencia de una ley fundamental de la física. Una vez identificadas las características generales de esta ley (al menos provisionalmente) y comprobado su éxito en la interpretación del efecto fotoeléctrico, veamos ahora cómo podía aplicarse a los problemas más específicos de la estructura atómica. Con este objeto, volvamos a otro tipo de espectro. Desde hacía tiempo, se sabía que los gases y vapores emiten luz cuando son “excitados” mediante una chispa o arco eléctrico. Además, resultaba que la luz así emitida, cuando se descomponía mediante un espectroscopio, daba un espectro notable y fundamentalmente diferente de los espectros continuos de emisión de los sólidos y líquidos incandescentes; los gases y vapores tienen espectros de emisión de rayas, discontinuos, es decir, en lugar de una banda de colores variables del tipo “arco iris”, sólo presentaban luz en algunas longitudes de onda bien definidas con espacios oscuros entre ellas. Visto con un espectroscopio, el espectro aparece como un conjunto de líneas irregularmente repartidas, muy brillantes unas, y otras menos.

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Otro punto de diferencia con respecto a los espectros continuos de emisión, es que los espectros de emisión de líneas SON MARCADAMENTE DIFERENTES PARA ELEMENTOS DISTINTOS. Cada sustancia tiene su propio sistema característico de longitudes de onda en toda la región observable. Algunos materiales revelan un espectro de emisión complejo, otros son mucho más simples: el vapor de hierro, por ejemplo, muestra unas seis mil líneas brillantes, mientras que el vapor de sodio tiene sólo dos rayas intensas amarillas próximas en la región visible. La gran variedad de sistemas de rayas y sus separaciones parecía completamente inexplicable: ¿por qué los gases emiten espectros de rayas y por qué elementos íntimamente relacionados presentan sistemas de líneas tan diferentes? Todo esto estaba destinado a permanecer como un auténtico enigma durante casi tres generaciones. De cualquier modo, cada material podía identificarse a partir de su espectro de emisión de rayas. De todos estos hechos, surgió inmediatamente, la necesidad de encontrar alguna regularidad entre las líneas que conforman.

16.1. Trabajos de Balmer. En 1884, el profesor suizo, Johann Balmer, estudiando la zona del espectro de emisión del hidrógeno correspondiente a la zona visible, halló una expresión que, sin ningún soporte teórico, permitía calcular las longitudes de onda de las líneas visibles del hidrógeno. Esa expresión es ya conocida de un curso anterior:

1⎤ ⎡1 = R⋅⎢ 2 − 2 ⎥ λ n ⎦ ⎣2 1

donde R es una constante, de valor 1,097.107 m-1 y n un número natural cuyo valor ha de ser superior a 2. Al perfeccionarse las técnicas espectroscópicas, se encontró que existían más series de líneas en el espectro del hidrógeno. Se hallaron nuevas series en el ultravioleta (serie de Lyman) y en el infrarrojo (serie de Paschen y Brackett). Todas las expresiones para determinar la posición (la longitud de onda) de esas líneas pueden ser sintetizadas en la ecuación final: ⎡1 1 1 ⎤ = R⋅⎢ 2 − 2 ⎥ λ ⎢⎣ ni n f ⎥⎦ donde ni < nf siendo ambos números enteros. Esta expresión (empírica) no justifica, en absoluto por qué los gases emiten espectros a rayas. De nuevo, las teorías clásicas sobre emisión de radiación son incapaces de explicar estos hechos, y mucho menos, demostrar la validez de las fórmulas anteriores. El hecho de que cada elemento químico presente una serie de líneas características, permitió sospechar más adelante, que tales espectros debían estar íntimamente relacionados con la estructura interna de la materia.

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De acuerdo con lo que sabemos a estas alturas del curso, el modelo atómico de Rutherford no era estable, ya que los electrones, al girar alrededor del núcleo poseen aceleración centrípeta y de acuerdo con las leyes del electromagnetismo, han de irradiar energía electromagnética. Si perdiese energía, el electrón perdería velocidad y terminaría cayendo en el interior del núcleo, lo que no sucede. Esto no lo explicaba Rutherford ni por qué el átomo emite sólo en determinadas longitudes de onda.

16.2. Primeros intentos de explicación: modelo de Bohr. El origen de los espectros era desconocido hasta que la teoría atómica asoció la emisión de radiación por parte de los átomos con el comportamiento de los electrones, y específicamente con la distancia a la que éstos se hallan del núcleo. Uno de los primeros intentos de armonizar los conocimientos sobre los espectros del átomo de hidrógeno y un modelo de átomo que fuera consistente con ellos, fue obra del danés N. Bohr. En un intento de solucionar el asunto, en 1913, Bohr propuesto un nuevo modelo atómico basado en tres postulados: 1º) Las órbitas (circulares) estables para el electrón tienen la propiedad de que cuando el electrón se encuentra en ellas, no emite ni absorbe energía. En ellas, “no se cumple la ley electromagnética” de que toda carga acelerada emite energía radiante.

k

e 2 mv 2 = r r2

2º) De todas las órbitas posibles para el electrón, sólo son estables aquéllas que cumplen la condición matemática

mvr = n

h 2π

el número n es un número natural (1,2,3...) y puesto que “cuantizaba” las órbitas, lo denominó número cuántico principal. En función de los valores de n, las diferentes “órbitas” a ellos correspondientes, fueron denominándose con las letras K, L, M, N, P, Q, ... 3º) El electrón excitado No emite energía de forma continua al regresar a su órbita estable, sino que lo hace a pequeños saltos, denominados “saltos en cascada”, en cada uno de estos saltos, se emite radiación que deja una huella en el espectro. Combinando las versiones matemáticas de estos tres postulados se llega fácilmente al hecho de la cuantización del radio

r = n2 ·

h2 4·π ·K ·m·e 2

Y por otro lado, dado que la energía del electrón en su órbita es la suma de la cinética y potencial (eléctrica) se llega a

1 K ·e 2 2·π ·K 2 ·m·e 4 1 E=− · · 2 =− 2 r h2 n Esto es, la energía del electrón en la órbita está cuantizada, y su valor depende de los posibles valores de n. El hecho de que sólo se observen determinadas longitudes de onda es otra prueba más de que la energía de los electrones está cuantizada, y que por lo tanto, el electrón sólo adquiere ciertos valores de energía, que se corresponden con las órbitas permitidas.

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F Í S I C A A N U C L E A R y C U Á N T I C A. Tema 5

En ca ada salto de nivel, el electtrón emite (o absorbe) un fotón de energía, de valorr h · f, preedicho por Planck. P De nuevo, n la conco ordancia entree perdición y experimento o, constituyó un firme soporrte de las ideas cuánticass de Planck y su aplicacción a la explicación de los espectros e disco ontínuos en ga ases. El modelo de Bohr sólo explica adecuadamente el comportamiento del átomo dee hidrógeno, e incluso cu uando las técniccas espectrosccópicas mejoraron, cada línea del espectro de hidróg geno, se veía desdoblada a (ver efecto os Zeeman y Zeeman anómalo del curso pasado). Las ideas de Boh hr se muestran n del todo insuficciente para áto omos de más de un electrón (Z > 1).

1 17.

G GENERAL LIZACIÓN N.

Los reesultados obteenidos por Dee Broglie dierron un rotund do vuelco a la concepción n física de la realidad. En 1926, el físico ausstríaco E. Schrrödinger desa arrolló una teo oría matemática de las pro opiedades ató ómicas, en la que la a cuantización n que corresp ponde a los niiveles de enerrgía está relaccionada con llos valores pe ermitidos que corressponden a lass longitudes de onda del electrón. Esta teoría, t conocida como “Meecánica Ondu ulatoria”, era en rea alidad, una geeneralización de d los postulados de N. Boh hr. Schrödinger (en la foto) establecía en su teoría a una serie de e postulados, de los que era posible ded ducir una ecu uación que exp plicaba el com mportamiento de los electro ones en cualquier átomo o molécula. Sin embargo o, esa ecuación es extrem madamente co ompleja de ressolver, y sólo se s ha hecho con c cierto éxito o en el caso de d átomos con n pocos electrrones. La principal dificultad, tanto dee esta teoría como de loss postulados de De Broglie, estriba preccisamente en determinar qu ué es lo que vibra. No se tra ata del electró ón, concebido o como una partícula p punttual, sino que hay que pen nsar en que el e electrón se dispersa porr la órbita, moviéndose m simultáneamentte con velocidades muy diiferentes. Com mpatibilizar essto con un ele ectrón puntuall, cuya

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carga y masa es posible medir experimentalmente, resulta verdaderamente complicado. Fue W. Heisemberg quien desarrolló una nueva teoría, conocida como “Mecánica de Matrices”, en la que ofrecía una serie de reglas para calcular las frecuencias y las intensidades de las líneas espectrales en las que sólo utilizaba relaciones entre magnitudes observables. Esa teoría era capaz de ofrecer los mismos resultados que la mecánica de Schrödinger. Sin embargo, pronto se vio que ambas teorías eran matemáticamente equivalentes. Actualmente, se consideran como dos formas alternativas de una única teoría: “La Mecánica Cuántica”. Un modo de caracterizar las consecuencias que la mecánica cuántica introduce en la física es el denominado principio de incertidumbre de Heisemberg. En el año 1927, Heisemberg postuló que ciertas propiedades de las partículas NO pueden ser medidas simultáneamente de forma exacta. Cuanto mayor sea la precisión en la medida de una de esas magnitudes, con menor precisión se medirá la otra, y viceversa. De hecho, es imposible medir con precisión simultáneamente la posición y la cantidad de movimiento de una partícula, ya que el producto de sus imprecisiones es siempre mayor que una cantidad constante, función de la constante de Planck:

δx ⋅ δp ≥

h 2π

Esta indeterminación es inherente a la propia realidad, por lo que en el mundo macroscópico también existe. Sin embargo, el pequeño valor de la constante de Planck explica que sólo deba ser tenido en cuenta en el mundo microscópico. A veces, se ha interpretado ERRÓNEAMENTE que el principio de incertidumbre es “una limitación experimental”, es decir, que debido a la parquedad de los instrumentos de medida, es imposible obtener datos con “exactitud”, libre de incertidumbre. Nada de eso: la indeterminación es algo propio, inherente, a la propia Naturaleza. Esto ha tenido profundas repercusiones en el terreno de la filosofía, y de hecho, hoy en día, “la filosofía se hace en los laboratorios y despachos de los físicos teóricos”. El principio de indeterminación también se aplica a la energía y al tiempo; es imposible determinar ambas magnitudes simultáneamente con precisión, debido a la restricción:

δE ⋅ δt ≥

h 2π

Ello hace de la física una ciencia mucho menos determinista de lo que cabría esperar, habituados a las “precisiones” del mundo macroscópico. Por lo mismo, es una ciencia mucho más sugestiva y mucho más hermosa.

PROBLEMAS RESUELTOS y PROPUESTOS 1. Una radiación monocromática que tiene una longitud de onda en el vacío de 600 nm y una potencia de 0,54 W, penetra en una célula fotoeléctrica de cátodo de cesio cuyo trabajo de extracción es de 2,0 eV. Determina : a) El número de fotones por segundo que viajan con la radiación. b) La longitud de onda umbral del efecto fotoeléctrico para el cesio. c) La energía cinética de los electrones emitidos. d) La velocidad con que llegan los electrones al ánodo si se aplica una diferencia de potencial de 100 V. Datos :

Velocidad de la luz en el vacío Valor absoluto de la carga del electrón Masa del electrón Constante de Planck

c = 3 x 108 m s –1 e = 1,6 x 10-19 C me = 9,1 x 10-31 Kg h = 6,63 x 10-34J s

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DATOS λ = 600 nm = 6.10-7m P = 0,54 W Wextr= 2,0 eV= 2. 1,6.10-19 J = 3,2.10-19 J a)

P = 0,54 W = 0,54

J s

J c 6,63.10 −34 .3.10 8 = = 3,315.10 −19 −7 λ fotón 6.10 J 0,54 fotones N º fotones s = = 1,63.1018 J s s 3,313.10 −19 fotón

E fotón = h

Nº fotones fotones = 1,63.10 18 s s b)

Wextr = h

c h.c 6,63.10 −34 .3.10 8 ⇒ λ0 = = = 6,21.10 − 7 m Wextr λ0 3,2.10 −19

Wextr = 6,21.10 − 7 m c)

c = Wextr + E c λ c 6,63.10 −34 .3.10 8 − 3,2.10 −19 = 1,15.10 − 20 J E c = h − Wextr = λ 6.10 −7

h

E c = 1,15.10 − 20 J d)

m 1 1 1 mv 2 + eΔV = mv ′ 2 ⇒ mv ′ 2 = 1,15.10 − 20 + 1,6.10 −17 ⇒ v ′ = 5,93.10 6 s 2 2 2 v ′ = 5,93.10 6

m s

2. Considere las longitudes de onda de De Broglie de un electrón y de un protón. Razone cuál es menor si tienen: a) El mismo módulo de la velocidad. b) La misma energía cinética. Suponga velocidades no relativistas. a)

λe =

h meve

λp =

h mpvp

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será

Si las velocidades son iguales ve = vp , la relación entre las longitudes de onda de de Broglie

λe mp = λp me Como mp > me ⇒

λe mp = > 1⇒ λe > λp λp me

λe > λp b) La misma energía cinética Ec e= Ec p= Ec

Ec =

1 1 m e v e2 = m p v 2p 2 2

v e2 =

2E c ⇒ ve = me

2E c h ⇒ λe = = me m e ve

2E c ⇒ vp = mp

2E c h ⇒ λp = = mp mp vp

v 2p =

h me

2E c me

=

h mp

2E c mp

=

h 2E c m e h 2E c m p

Como h mp > me ⇒

λe = λp

2E c m e = h

mp me

> 1 ⇒ λe > λ p

2E c m p λe > λp 3. Calcula el defecto de masa y la energía total del enlace del isótopo 15N7 de masa atómica 15,0001089 u. Calcula la energía de enlace por nucleón. Datos: Masa del protón m p = 1,007276 u ; Unidad de masa atómica 1 u = 1,66.10-27 Kg Masa del neutrón m n= 1,008665 u. ; Velocidad de la luz en el vacío c = 3.108 m s-1 DATOS 15 7N

Ma = 15,0001089 u. Z = Nº atómico = nº de protones = 7 A = nº de protones + nº de neutrones = nº de nucleones = 15 A- Z = nº de neutrones = 15-7= 8 15

a) El Nitrógeno 7 N contiene en el núcleo 7 protones y 8 neutrones. Para calcular el defecto de masa producido en el formación de ese núcleo, restaremos la masa del núcleo a la suma de las masas de todas las partículas que constituyen el núcleo por separado Δm = Z.mp + ( A –Z )mn - Ma Δm = 7. 1,007276 u + 8. 1,008665 u. -15,0001089 u.=0,120144 u . =1,99.10-12 Kg

1,66.10 -27 Kg 1u

Δm =1,99.10-12 Kg

Para calcular la energía equivalente aplicaremos la ecuación de Einstein

E = Δm . c2

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E = 1,99.10-12 Kg .( 3.108 m s-1)2 =1,79.10-11 J E =1,79.10-11 J

b)

Energía E 1,79.10 -11 J = = = 1,19.10 −12 J nucleón A 15 E = 1,19.10-12 J A 4. El período de semidesintegración del estroncio-90 es de 28 años. Calcula: a) Su constante de desintegración y la vida media. b) El tiempo que deberá transcurrir para que una muestra de 1,5 mg se reduzca un 90% DATOS t 1/ 2= 28 años Inicial =1,5 mg ⇒ N0 = nº de átomos iniciales Final = 0,1. 1,5 mg ⇒ N = nº de átomos finales = 0,1. N0 a)

t1/ 2 =

ln 2 ln 2 ln 2 ⇒k= = = 0,0247años −1 t1/ 2 28 k k = 0,0247 años-1

τ=

1 1 = = 40,39años k 0,0247 τ = 40,39 años

b) N = N0 e-kt 0,1 N0 = N0 e-40,39.t ln 0,1 =-40,39. t

t=

−40,39 = 17,54años ln 0,1 t = 17,54 años

5. El circuito de la figura se usa para estudiar el efecto fotoeléctrico.

El cátodo de cesio se ilumina con luz monocromática de diferentes longitudes de onda. El potencial de frenado Vo se ajusta hasta que la corriente medida se anula. Los resultados obtenidos son los que se ofrecen en la tabla

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Dibujar una gráfica en la que se aprecie cómo varía Vo en función de la frecuencia de la radiación incidente. A partir de la gráfica, obtener la frecuencia umbral del cesio, la constante de Planck y el trabajo de extracción de un electrón del cesio.

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PROBLEMAS CON SOLUCIONES PROPUESTAS (Buscar los datos de masas y constantes necesarias) 1. Para un metal la frecuencia umbral es de 4,5.1014 Hz . ¿Cuál es la energía mínima para arrancarle un electrón?. Si el metal se ilumina con una luz de 5.10‐7 m de longitud de onda . ¿Cuál es la energía de los electrones emitidos y su velocidad? SOLUCIÓN: 2,98.10‐19 J; 9,94.10‐20 J ; 4,67.105 m/s 2. El cátodo de una célula fotoeléctrica es iluminado con una radiación electromagnética de longitud de onda λ. La energía de extracción para un electrón del cátodo es 2,2 eV, siendo preciso establecer entre el cátodo y el ánodo una tensión de 0,4 V para anular la corriente fotoeléctrica. Calcular: A) La velocidad máxima de los electrones emitidos. b) Los valores de la longitud de onda de la radiación empleada λ y la longitud de onda umbral λ0

SOLUCIÓN: a) 3,75.105 m/s b) λ = 4,78.10‐7 m ; λ0 = 5,65.10‐7 m

3. Sobre la superficie del potasio incide luz de 6.10‐8 m de longitud de onda. Sabiendo que la longitud de onda umbral para el potasio es de 7,5 .10‐7 m. Calcula: a) El trabajo de extracción de los electrones en el potasio; b) La energía máxima de los electrones emitidos. SOLUCIÓN: a) 2,65.10‐19 J b) 3,05.10‐18J

4. Si en un cierto metal se produce el efecto fotoeléctrico con luz de frecuencia f0 ,¿se producirá también con luz de frecuencia 2 f0?. Razona la respuesta. SOLUCIÓN: Sí y además el electrón arrancado de la superficie del metal tendrá una energía cinética mayor

5. Si se ilumina con luz de λ = 300 nm la superficie de un material fotoeléctrico, el potencial de frenado vale 1,2 V. El potencial de frenado se reduce a 0.6 V por oxidación del material. Determina: A. La variación de la energía cinética máxima de los electrones emitidos. B. La variación de la función de trabajo del material y de la frecuencia umbral. SOLUCIÓN: a) – 9,6 . 10‐20 J b) 9,6 . 10‐20 J ; 1,45.1014 Hz

6. Los fotones de luz cuya frecuencia es la umbral para un cierto metal tienen luna energía de 2 eV. ¿ Cuál es la energía cinética máxima, expresada en eV, de los electrones emitidos por ese metal cuando se le ilumina con la luz cuyos fotones tiene 3 eV de energía ? SOLUCIÓN: 1 eV

7. Al iluminar una superficie metálica con una longitud de onda λ1 = 200.10‐9 m, el potencial de frenado de los fotoelectrones es de 2 V., mientras que sí la longitud de onda es λ2 = 2240.10‐9 m, el potencial de frenado se reduce a 1 V. Obtenga: A) El trabajo de extracción del metal B) El valor que resulta para la constante de Planck, h, a partir de esta experiencia.

SOLUCIÓN: a) 6,4 .10‐19 J b) 6,4 .10‐34 J.s

8. El cátodo metálico de una célula fotoeléctrica se ilumina simultáneamente con dos radiaciones monocromáticas : I1 = 228 nm y I2 = 524 nm. El trabajo de extracción de un electrón de éste cátodo es W = 3,40 eV. A) ¿Cuál de las radiaciones produce efecto fotoeléctrico. Razone la respuesta; B) Calcule la velocidad máxima de los electrones emitidos . ¿Cómo variaría dicha velocidad al duplicar la intensidad de la radiación luminosa incidente?. SOLUCIÓN: La I1 = 228 nm , la I2 no tiene suficiente energía. 8,5 .105 m/s . No variaría, sólo aumentaría el número de fotones incidentes.

9. En un experimento fotoeléctrico se iluminó la placa metálica con una radiación λ1 = 521,8 nm dando un potencial de detención de 0,596 V, mientras que al iluminarla con una radiación de λ2 = 656,6 nm, el potencial de detención era de 0,108 V. Calcula: A) La función trabajo del metal. B) La frecuencia umbral. C) La velocidad máxima de los fotoelectrones. SOLUCIÓN: a) 2,847.10‐19J b) 4,31.1014Hz c) Para λ1 la velocidad máxima es 4,58.105 m/s y para λ2 la velocidad máxima es 1,95.105m/s

10. Al iluminar un metal con luz de frecuencia 2,5.1015 Hz se observa que emite electrones que pueden detenerse al aplicar un potencial de frenado de 7,2 V . Si la luz que se emplea con el mismo fin es de longitud de onda en el vacío de 1,78.10‐7 m, dicho potencial pasa a ser de 3,8 V. Determine: a) El valor de la constante de Planck; b) La función trabajo (o trabajo de extracción) del metal. SOLUCIÓN: a) 6,68.10‐34 J.s; b) 5,17.10‐19 J

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11. a) ¿ Qué intervalo aproximado de energía (en eV ) corresponde a los fotones del espectro visible? b) ¿Qué intervalo aproximado de longitudes de onda de De Broglie tendrán los electrones en ese intervalo de energías?.Las longitudes de onda del espectro visible están comprendidas, aproximadamente, entre 390 nm en el violeta y 740 nm en el rojo.

SOLUCIÓN: a) 3,1875 eV y 1,68 eV b) 6,87.10‐10 m y 9,47.10‐10 m

12. Se acelera desde el reposo un haz de electrones sometiéndoles a una diferencia de potencial de 103 Voltios. Calcular: A) La energía cinética adquirida por los electrones. B) La longitud de onda de De Broglie asociadas a dichos electrones.

SOLUCIÓN: a) 1,6.10‐16 J b) 3,88 .10‐11 m

13. Un fotón posee una longitud de onda igual a 2,0.10‐11 m. Calcula la cantidad de movimiento y la energía que tiene. SOLUCIÓN: 3,31.10‐23 Kg.m.s‐1; 9,94.10‐15 J

14. a) Calcula la longitud de onda asociada a un electrón que se propaga con una velocidad de 5∙106 m s‐1. b) Halla la diferencia de potencial que hay que aplicar a un cañón de electrones para que la longitud de onda asociada a los electrones sea de 6∙10‐11 m. SOLUCIÓN: a) 1,45.10‐10 m; b) 418,4 V

15. Un núcleo radiactivo tiene una vida media de 1 segundo: A) ¿Cuál es su constante de desintegración?. B) Si en un instante dado una muestra de esta sustancia radiactiva tiene una actividad de 11,1.107 desintegraciones por segundo. C) ¿Cuál es el número medio de núcleos radiactivos en ese instante?. Justifica la respuesta.

SOLUCIÓN: a) 1 s‐1 b) 11,1.10 7núcleos

16. ¿A qué se llama vida media de un núcleo inestable? ¿Cuál es la ley de desintegración radiactiva? ¿Qué es una serie radiactiva? Cita una de ellas. SOLUCIÓN: Se llama vida media (τ = 1/ k ) ( k = cte de desintegración ) de un núcleo inestable al tiempo de vida promedio de todos los núcleos presentes en un muestra. La ley de desintegración radiactiva se puede expresar : A = A0. e‐kt. Siendo “A” la actividad de una sustancia radiactiva Una serie radiactiva es el conjunto de los núcleos radiactivos que proceden por desintegraciones sucesivas ( α ó β ) de un mismo núcleo inicial, llamado padre, hasta llegar a un núcleo estable. Por ejemplo la del

238

U92

17. El período de semidesintegración del polonio‐210 es de 138 días. Si disponemos inicialmente de 2 mg de polonio‐210. ¿Qué tiempo debe de transcurrir para que queden 0,5 mg? SOLUCIÓN: 276 días

18. El período de semidesintegración de un núcleo radiactivo es de 100 s. Una muestra que inicialmente contenía 109 núcleos posee en la actualidad 107 núcleos. Calcula: a) La antigüedad de la muestra. b) La vida media. c) La actividad de la muestra dentro de 1000 s. SOLUCIÓN: a) 664,5 s b) 144,3 s c) 67,8 núcleos que se desintegran por s

19. Si inicialmente tenemos 1 mol de átomos de radio ¿ Cuántos átomos se han desintegrado en 1995 años?. Datos : El período de semidesintegración del radio : 1840 años SOLUCIÓN: 3,181.1023átomos

20. ¿Cómo es posible afirmar que la energía de un fotón es, según Planck E = h.f si la presencia de la frecuencia, f, en la expresión, implica que la luz es una onda? 21. Un fotón de 2.10‐11 m de longitud de onda, ¿qué momento lineal posee? ¿Qué energía? 22. Una bombilla incandescente posee una temperatura de 2800 K. Calcula la potencia que irradia por unidad de superficie y la longitud de onda máxima de su espectro. 23. (SELECTIVIDAD) Una superficie de sodio iluminada con luz de 1 A emite fotoelectrones. El trabajo de extracción del sodio es de 2,46 eV. A) Indique el fenómeno físico que rige este proceso y haga un análisis de las transformaciones de energía que en él se producen; B) Calcule la energía cinética, longitud de onda y frecuencia de los fotoelectrones emitidos y la longitud de onda umbral. 24. (SELECTIVIDAD) Un material emite fotoelectrones cuando se ilumina con luz azul, pero no los emite cuando se ilumina con luz amarilla. Razone qué sucederá si se ilumina con: a) luz roja; b) luz ultravioleta

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25. (SELECTIVIDAD) Comente las siguientes afirmaciones indicando si son o no correctas: A) Una radiación que no sea monocromática no puede producir efecto fotoeléctrico; B) Cuanto más intensa sea la luz, mayor será la energía cinética de los electrones emitidos por efecto fotoeléctrico 26. (SELECTIVIDAD) Unas partícula de 2 mg de masa se deja caer al suelo desde una altura de 2 cm. La energía adquirida en la caída se emite como radiación visible de color verde (λ = 540 nm) A) Haga un análisis energético del problema; B) ¿Cuántos fotones serán emitidos? 27. (SELECTIVIDAD) Una antena emite una onda electromagnética de 50 kHz. A) Calcule su longitud de onda; B) Determine la frecuencia de una onda sonora de la misma longitud de onda. 28. (SELECTIVIDAD) A) ¿Qué se entiende por interferencia de la luz?; B) ¿Por qué no observamos la interferencia de la luz producida por dos faros de un coche? 29. (SELECTIVIDAD LOGSE) A) ¿Qué es una onda electromagnética? B) ¿Cambian las magnitudes características de una onda electromagnética que se propaga en el aire al penetrar en un bloque de vidrio? Si cambia alguna, ¿aumenta o disminuye? ¿Por qué? 30. (SELECTIVIDAD) Un metal, para el que la longitud de onda umbral de efecto fotoeléctrico es de 275 nm, se ilumina con luz de 180 nm. A) Explique el proceso en términos de energía; B) Calcule la longitud de onda, frecuencia y energía cinética de los fotoelectrones. 31. (DE SELECTIVIDAD) El cátodo metálico de una fotocélula se ilumina simultáneamente con dos radiaciones monocromáticas de 228 y 524 nm respectivamente. El trabajo de extracción de un electrón de este cátodo es 3,4 eV. A) ¿Cuál de las radiaciones produce efecto fotoeléctrico? Razone la respuesta.; B) Calcular la velocidad máxima de los electrones emitidos. ¿Cómo varía dicha velocidad al duplicar la intensidad de la radiación luminosa incidente? (Consulta los datos que necesites) 32. (DE SELECTIVIDAD) Dualidad onda‐corpúsculo. Ecuación de De Broglie y comentarios sobre su importancia física. Determinar la longitud de onda asociada a un electrón de 50 eV de energía cinética. 33. Determinar la longitud de onda de la radiación que ha de absorber un átomo de hidrógeno para pasar del estado fundamental (n = 1) al primer estado excitado (n = 2). DATO: R = 1,097.107 m‐1 34. Un átomo de hidrógeno está en un estado excitado 2 con una energía de E2 = ‐3.4 eV. Ocurre una transición hacia el estado 1 con una energía E1 = ‐13.6 eV y se emite un fotón. Determina la frecuencia de la radiación emitida. 35. Calcular la energía necesaria para disociar completamente en sus partículas constituyentes, 1 gramo del isótopo 40Ca20 si su masa atómica es 39,97545 uma (Sol.: 7,73 ∙ 1011 J) 36. Calcula la masa de deuterio que requeriría cada día una hipotética central de fusión de 500 MW de potencia eléctrica en la que la energía se obtuviese del proceso 2 Deuterio → Helio, suponiendo un rendimiento del 30%. (Sol.: 0,2518 kg) 37. Un neutrón incide sobre un núcleo de deuterio, formándose un núcleo de tritio. El proceso va acompañado de la emisión de un fotón de radiación gamma: a) Escribe la ecuación que corresponde al proceso de desintegración nuclear. b) Calcula la energía desprendida en el proceso, expresada en eV. c) ¿Cuántas reacciones de este tipo son necesarias para producir 1 J de energía? Datos: m(2H) = 2,014740 u m(3H) = 3,017005 u m(n) = 1,008986 u 38. El 210Bi83 se desintegra espontáneamente por emisión beta con un período de semidesintegración de 5 días. Inicialmente tenemos 16 g de dicho isótopo. Calcula: a) ¿Qué cantidad quedará al cabo de 15 días?; b) ¿Cuántos protones y neutrones tiene el núcleo que resulta después de dicha emisión? (Sol.: 1,99 g; 84 protones y 126 neutrones) 39. DE SELECTIVIDAD. Un átomo de sodio, inicialmente en reposo, emite un fotón de luz amarilla (λ=598.10‐9 m). ¿Cuál es la dirección y el módulo de la velocidad (rapidez) de retroceso del átomo, cuya masa es de 24.10‐26 kg? NOTA: el fotón posee una cantidad de movimiento dada por p = h/λ, siendo h (constante de Planck) = 6,61.10‐34 J.s (Sol.: 4,6.10‐2 m/s) 40. Un fotón de 0,951.10‐10 m de longitud de onda, interacciona con un electrón, que puede considerarse libre y que inicialmente estaba en reposo. El fotón sufre una dispersión de 180º y modifica su longitud de onda, que pasa a ser 10‐10 m. Calcula la cantidad de movimiento del electrón tras la interacción y la energía cinética que le corresponde. (Sol.: 1,35.10‐23 kg.m/s; 637,6 eV)

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41. En una experiencia de difusión de Compton, un fotón de 7,11.10‐11 m de longitud de onda interacciona con un electrón que se supone en reposo y libre. El fotón es dispersado en una dirección que forma 90º con la dirección incidente, siendo su nueva longitud de onda de 7,35.10‐10 m. Determina la dirección en la que sale el electrón, así como su energía y cantidad de movimiento. (Sol.: 44º con la inicial del fotón; 568,3 eV; 1,29.10‐23 kgm/s) 42. Sobre la Tierra incide la radiación solar a razón de 2 cal/cm2.min. ¿A cuántos fotones corresponde esa cifra, suponiendo para la luz solar una longitud de onda media de 5500 A? (Sol.: 2,4.1022 fotones/m2.s)

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El universo, desde una idea alternativa Medio millar de especialistas mundiales debaten en Madrid los avances de la Teoría de Cuerdas ALICIA RIVERA - Madrid - 04/07/2007 ¿Qué pasó antes del principio de todo, antes del Big Bang? Sí, es una pregunta perfectamente científica; de momento no podemos contestarla, pero es una de esas preguntas que antes era religiosa y que ahora es ciencia", comentaba el físico teórico y premio Nobel David Gross en Madrid, el pasado sábado, poco después de impartir una charla sobre La revolución que se avecina en física fundamental. Él es uno de los máximos expertos en la denominada Teoría de Cuerdas, un atrevido e influyente desarrollo científico que, al menos en el papel, permite profundizar en el conocimiento del universo tanto a la escala cósmica como a la de sus componentes más minúsculos, y avanzar ahí donde la física más convencional -y comprobada- choca con recalcitrantes barreras. Para muchos investigadores, ese antes del principio sería una pregunta científicamente imposible, una especulación fuera del alcance de cualquier experimento que verifique o descartar una respuesta. Para otros, la ciencia tiene que ser osada, al menos intelectualmente, para ser fructífera. De ideas atrevidas, razonamientos que parecen perturbar el sentido común y soluciones imprevisibles ha estado bien nutrido el congreso Strings 07, que reunió la semana pasada en la Universidad Autónoma de Madrid (UAM) a 500 físicos teóricos expertos en la denominada Teoría de Cuerdas, Gross entre ellos. "El Big Bang, la explosión inicial, es algo que no entendemos, porque al extrapolar todo hasta ese punto, hasta el mismo inicio, se pierde el control, la teoría de Einstein se rompe, y las cosas se hacen infinitas", explicó Gross. "Muchas veces en la historia de la física ha habido que cambiar nuestras ideas básicas para abordar preguntas que parecían imposibles. Uno de esos problemas ahora es el origen del universo, y sospecho que vamos a tener que cambiar nuestra comprensión del espaciotiempo; a lo mejor resulta que el antes del principio tiene así una respuesta simple". Tal vez muchas ideas de física van a cambiar en este siglo XXI, tal vez hayan empezado ya a cambiar. Al menos algo así se intuía en las sesiones de Strings 07, la edición de este año de la cita mundial de los especialistas en esa Teoría de Cuerdas, definida como la alternativa más desarrollada a las teorías establecidas y comprobadas que describen el universo a gran escala y sus componentes más pequeños. Un mayor énfasis en la cosmología por parte de estos especialistas que hasta hace pocos años parecían volcados más que nada en el ámbito de los componentes más minúsculos de la materia, y un creciente interés por los próximos resultados experimentales que ofrecerá el nuevo acelerador de partículas LHC, han sido rasgos distintivos de este congreso respecto a ediciones de otros años. No es que las cuerdas tiren por tierra lo que ahora se sabe -casi ninguna buena propuesta científica lo ha hecho en la historia-, sino que se pretende dar paso más lejos, o varios pasos, para profundizar y explicar lo inexplicable. Para unos es un formidable y atractivo desafío; para otros, esos pasos se alejan más de lo deseable de la comprobación experimental, del funcionamiento de la propia naturaleza. El punto de arranque es simple: las partículas fundamentales no serían puntos, como en la teoría de partículas convencional, sino objetos extensos, literalmente cuerdas. "La Teoría de Cuerdas no sólo hace compatible la mecánica cuántica con la gravitación de Einstein, sino que de forma automática tiene todos los ingredientes necesarios para entender el resto de las interacciones fundamentales de la naturaleza. Partículas familiares como el electrón o la radiación electromagnética corresponden a las vibraciones de menor energía de las cuerdas", explica Luis Ibáñez, catedrático de física teórica de la UAM y coordinador de Strings 07 a través del Instituto de Física Teórica UAM-CSIC. Gross, en su charla de divulgación impartida en la Fundación BBVA, resumió el estado de cosas actual en la física fundamental. "El avance en el conocimiento ha sido extraordinario en el siglo XX: ahora sabemos que hay átomos, que están hechos de núcleos y electrones a su alrededor, y que el núcleo es una estructura compleja formada por protones y neutrones, a su vez formados por diferentes quarks", explicó. Todo lo que nos rodea está hecho de esas partículas. La teoría vigente basada en la mecánica cuántica, el modelo estándar, que describe las partículas y las tres fuerzas de

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interacción entre ellas (el electromagnetismo, la fuerza débil y la fuerza nuclear fuerte), "se ha comprobado experimentalmente con una precisión extraordinaria, y con el modelo estándar más la relatividad general de Einstein, que describe la gravedad, abarcamos todas las fuerzas observadas en la naturaleza, así que... hemos terminado, los físicos podemos irnos a casa... Es evidente que no", exclamó Gross. El problema que todos los físicos reconocen es que la mecánica cuántica y la relatividad no encajan, y eso de tener dos modelos conceptuales incompatibles para describir y entender la naturaleza es incongruente. Sin embargo, la Teoría de Cuerdas combina de modo natural esos dos colosos teóricos de la ciencia, unificando la gravedad y la mecánica cuántica. Pero si parece simple esta idea básica de las partículas convertidas en cuerdas con efectos asombrosos de combinar lo que de otro modo resulta irreconciliable, la verdad es que la complejidad de la teoría está resultando enorme. Los mismos especialistas creen que esto se debe a que no es aún una teoría terminada. Por ejemplo, de las diferentes soluciones que encuentran a sus ecuaciones no saben cómo elegir la que realmente corresponde a nuestro universo. Una de sus características menos intuitivas es el hecho de que para que las cuerdas funcionen hace falta pensar y calcular en diez dimensiones, como mínimo, mientras que el universo a nuestro alrededor sólo muestra cuatro: las tres espaciales y el tiempo. ¿Dónde están las demás? El escenario teórico indica que están escondidas, y la estadounidense Lisa Randall, de Harvard, puso en su charla un ejemplo de cómo es posible tratar esas otras dimensiones. Si uno se pone en el lugar de un hipotético individuo bidimensional (plano) que intenta comprender qué es una esfera, la respuesta sería una pila de discos de tamaño creciente hasta el centro de la esfera y decreciente después. Las dimensiones extra, afirmó Randall, ofrecen muchas respuestas a preguntas que hasta ahora han resultado intratables para la física, y a la vez que se vislumbran con ellas efectos que de otro modo pasarían inadvertidos. "Las extradimensiones podrían ser el gran descubrimiento en los próximos cinco años", dijo Randall. "¿Cómo vamos a evitar explorar sus posibilidades?". Puede que el universo efectivamente tenga más dimensiones de las que se observan, y que estén como enrolladas, escondidas para nuestros sentidos. Pero los físicos de cuerdas han valorado cómo una aportación destacada en Strings 07, un estudio que hace justo lo contrario. Ha sido un trabajo desarrollado por el gran especialista en cuerdas estadounidense Edward Witten, sobre sólo tres dimensiones, dos espaciales y el tiempo, entendido como laboratorio para profundizar en el análisis de la gravitación. El atractivo de la idea y las soluciones que se encuentran en el contexto de las cuerdas han atraído.a centenares de físicos en todo el mundo hacia esta teoría, que, por otro lado, no ha podido despegarse de la principal crítica: la falta de experimentos en perspectiva que verifiquen si es correcta. El problema es que las cuerdas y sus efectos serían sólo apreciables en condiciones de energía altísimas, fuera del alcance de los laboratorios y aceleradores de partículas con los que se puede contar de modo realista. "La Teoría de Cuerdas es muy ambiciosa, pero es difícil comprobar si es correcta", comentó Antonio González Arroyo, director del IFT. "El componente especulativo es importante", dijo este físico, que no se dedica al desarrollo de esta teoría, pero que no por ello deja de reconocer su interés. "La verdad es que no conocemos otra teoría capaz de unir la mecánica cuántica y la gravedad, ambas muy bien establecidas por separado". Para otros muchos, la ausencia de predicciones experimentales de una teoría física después de 20 años de desarrollo, es un inconveniente que no se puede pasar por alto en modo alguno. También hay posturas diferentes entre quienes dedican todo su esfuerzo científico al desarrollo de la Teoría de Cuerdas. Para unos, los avances matemáticos que implica justifican por sí solos el interés. Otros especialistas reconocen que se sienten algo incómodos. "La mayoría de nosotros estamos deseando que haya experimentos [capaces de verificar la Teoría de Cuerdas], pero es muy difícil que haya una evidencia directa a corto plazo", dijo Enrique Álvarez, catedrático de Física Teórica de la UAM. Para un congreso de física teórica, fue chocante la charla inaugural de Strings07, impartida por un físico experimental: Gigi Rolandi, del Laboratorio Europeo de Física de Partículas (CERN). Él resumió la marcha del nuevo acelerador de partículas LHC, que debe empezar a funcionar en 2008. No es que nadie sueñe siquiera con la posibilidad de que en este acelerador se generen cuerdas, pero sí podrían descubrirse nuevas familias de partículas elementales, llamadas supersimétricas, con las que cuenta la Teoría de Cuerdas. "Tanto la línea de cuantizar la gravedad, como la de unificar las interacciones fundamentales, apuntan directamente en la dirección de la supersimetría", señalaba Álvarez.

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Palmada en la espalda Desde luego, no será nada definitivo como prueba porque, además, las partículas supersimétricas encajan en otros enfoques teóricos de partículas, sin tener que recurrir al marco de las cuerdas. Pero, desde luego, la posibilidad de que surja el rastro de la supersimetría en LHC aglutinó gran interés en el congreso de Madrid. La opinión unánime es que ese descubrimiento sería una buena palmada en la espalda a la Teoría de Cuerdas. "Strings 07 ha cubierto temas muy variados dentro del campo, desde la cosmología en la Teoría de Cuerdas, hasta posibles pistas experimentales en el LHC, pasando por la física de agujeros negros y el estudio de la Correspondencia de Maldacena. Quizá se ha notado menos énfasis matemático que en las dos últimas ediciones", resumió Ibáñez. "Otros temas importantes tratados incluyen aplicaciones de la Teoría de Cuerdas en otras áreas, como la física de iones pesados estudiada experimentalmente en el laboratorio de Brookhaven (EE UU). Ha sido una conferencia muy interesante".

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