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Tabla de contenidos 1 Pr Propor oporcion ciones es
3
1.1 Texto resu resumen men . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Banco de preg preguntas untas y respue respuestas stas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Ecu Ecuacione aciones s lineal lineales es
3 4 9
2.1 Texto resu resumen men . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.2 Banco de preg preguntas untas y respue respuestas stas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 3 Funcion unciones es lineal lineales es
16
3.1 Texto resu resumen men . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3.2 Banco de preg preguntas untas y respue respuestas stas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 4 Funcion unciones es cuadr cuadrática áticas s
20
4.1 Texto resu resumen men . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 4.2 Banco de preg preguntas untas y respue respuestas stas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 5 Funcion unciones es expone exponenciale nciales s
27
5.1 Texto resu resumen men . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 5.2 Banco de preg preguntas untas y respue respuestas stas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 6 Me Medi dida da
31
6.1 Texto resu resumen men . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 6.2 Banco de preg preguntas untas y respue respuestas stas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 7 Inter Interpreta pretaciones ciones de gráfico gráficos s
36
7.1 Texto resu resumen men . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 7.2 Bano de preg preguntas untas y resp respuesta uestass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 8 Pr Probab obabili ilidade dades s y con conteo teo
8.1 Texto resu resumen men . . . . . . . . . . . . 8.1.1 8.1. 1 Pr Proba obabil bilidad idad . . . . . . . . . 8.1.2 8. 1.2 Co Cont nteo eo . . . . . . . . . . . . 8.2 Banco de preg preguntas untas y respue respuestas stas
41
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
9 Est Estadís adístic tica a
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
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. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
41 41 42 43 49
9.1 Texto resu resumen men . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 9.2 Banco de preg preguntas untas y respue respuestas stas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 10 Progresiones
50
10.1 Texto resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 10.2 Banco de preguntas y respuestas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 11 Patrones numéricos
52
11.1 Texto resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 11.2 Banco de preguntas y respuestas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
1
12 Vectores
54
12.1 Texto resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 12.2 Banco de preguntas y respuestas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2
1 Prop Propor orci cion ones es 1.1 Texto exto resume resumen n 1. Una razón entr entre e dos núme número ross es el cocie cocient ntee entr entree esto estoss númer números: os: si a y b son son los los núme número ross (b 0), se escribe a o a b
÷
b para indicar la razón entre a y b , y se lee “ a es a b ”. ”.
2. Una proporción es la igualdad entre dos razones: a c = . b d
Esta proporción suele también expresarse de la siguiente manera: = c : : d . a : b = Y se lee: " a es a b como como c es es a d ". Las cantid cantidade adess a y d se se denomi denominan nan extremos de la proporción; las cant cantida idade dess b y y c , medios de la proporción. 3. Dos variables son directamente proporcionales si las razones entre los respectivos valores de cada una de las variables es constante. Dicho de otra manera, las variables x y y son directamente proporcionales si existe un número constante k tal tal que x = k y
para todos los valores que x y y y pueden pueden tomar. Puesto que = k y , x = entonces si x y y y son son directamente proporcionales: • Si x crece, crece, y también también lo hace; y viceversa; • Si x decrece, decrece, y también también lo hace; y viceversa. 4. Dos variables son inversamente proporcionales si una de ellas y la inversa de la otra son proporcionales directamente; es decir, si existe una constante k tal tal que x 1
= k ,
y
de donde = k . x y = En otras otras pal palabr abras, as, x y y y son invers inversame amente nte propo proporci rcional onales es si su produc producto to es consta constante nte.. Se deduce deduce,, entonces, que: • Si la una aumenta, aumenta, la otra otra disminuye. disminuye. • Si la una disminuye, la otra aumenta. 3
5. El porcentaje es una proporción donde el denominador es el número 100 y el numerador es un numero menor o igual que 100. Por ello, el porcentaje es un número menor que 1. Si p es un porcentaje, este se simboliza así: p %
y si x es una cantidad, el p porcient de x es p
100
x .
6. Una regla de tres simple es un mecanismo didáctico para encontrar proporciones entre cuatro cantidades correspondientes a dos variables. Si la proporción entre las variables es directa, la regla de tres se llama directa y si la proporción es inversa, la regla de tres es denominada inversa. Supón que V 1 y V 2 son dos variables directamente proporcionales, y que a es un valor conocido de la variable V 1 y b es su valor correspondiente de la variable V 2 ; si c es otro valor conocido de la variable V 1 , ¿cuál es el valor de la variable V 2 que le corresponde a c ? Si nombras con x a este valor, como la relación entre las variables es directamente proporcional, tienes que a c = , b x
de donde puedes despejar x ; x =
b bc c = . a a
Este cálculo puede llevarse mediante el siguiente esquema, denominado regla de tres simple directa: V 1 V 2 a c b
x
=
bc . a
Bajo las mismas condiciones, supón que la relación entre las variables es inversamente proporcional; en ese caso, para encontrar x , tienes que a x = , b c
de donde puedes despejar x : x =
a ac c = . b b
Este cálculo se puede expresar con el siguiente esquema, denominado regla de tres simple inversa: V 1 V 2 a c b
x
=
ac . b
1.2 Banco de preguntas y respuestas 1. Para recorrer dos puntos que distan entre sí 150 metros, un móvil se desplaza a una velocidad constante de 25 metros por segundo. Si se duplica su rapidez para cubrir la 4
misma distancia, ¿cuántos segundos utilizará? (a) 3 (b) 6 (c) 8 (d) 12 Retroalimentación. La opción correcta es (a) .
En efecto, en primer lugar el móvil se desplazará ahora al doble de la rapidez anterior; es decir, si antes recorría 25 metros en un segundo, ahora recorrerá 50 metros en un segundo. En segundo lugar, el supuesto de que el móvil se desplaza a una velocidad constante significa que la proporción entre los 50 metros que se mueve en 1 segundo es la misma que hay entre los 150 metros y el tiempo t segundos que le tomará en hacerlo: 50 m 150 m = . 1s t s Por tanto, si despejas t de esta igualdad, tienes que t =
150 1 150 = = 3. 50 50
·
Es decir, el móvil recorrerá la distancia de 150 metros en 3 segundos.
2. Tres obreros cavan en 24 horas una zanja de 12 metros. ¿Cuántos metros cavarán en 12 horas 9 obreros? (a) 2 (b) 6 (c) 18 (d) 72 Retroalimentación. La respuesta correcta es la opción (c). En efecto, primeramente vas a calcular el número de metros que cavan 3 obreros trabajando juntos durante 12 horas. Para ello, utiliza una regla de tres simple directa (menos tiempo de trabajo, menos metros cavados):
Obreros Horas Metros
3
24
12
3
12
x
=
12 horas 12 metros 24 horas
×
= 6 metros.
Ahora solo te falta calcular el número de metros que cavarán 9 obreros trabajando 12 horas juntos. Una vez más utiliza una regla de tres simple directa (más obreros, más metros cavados): Obreros Horas Metros
3 9
12 12
6 x
9 obreros 6 metros = 3 obreros
×
En resumen,
5
= 18 metros.
Los 9 obreros trabajando juntos durante 12 horas cavarán 18 metros.
3. Un taller automotriz cuenta con 6 técnicos especializados que realizan 6 mantenimientos de distintos autos en 4 horas. Si el dueño del taller decide contratar 4 técnicos más, ¿cuántos mantenimientos se podrían realizar ahora en 8 horas? (a) 9 (b) 12 (c) 18 (d) 20 Retroalimentación. La opción correcta es la (d). En efecto, primerament vas a calcular el número de mantenimientos que realizan 6 técnicos especializados en 8 horas. Para ello utiliza una regla de tres simple directa (a más horas, más mantenimientos):
Técnicos Horas Mantenimientos
6
4
6
6
8
x
=
8 horas 6 mantenimientos = 12 mantenimientos. 4 horas
×
Ahora, con la contratación de 4 técnicos más, solo te falta calcular el número de mantenimientos que realizarán 10 técnicos trabajando 8 horas. Una vez más utiliza una regla de tres simple directa (más técnicos, más mantenimientos): Técnicos Horas Mantenimientos
6
8
10
8
12 10 técnicos 12 mantenimientos = = 20 mantenimientos. 6 técnicos
×
x
En resumen, los 10 técnicos especializados realizarán 20 mantenimientos en 8 horas.
4. En una industria de producción de cosméticos, 10 operadoras producen 1000 unidades en 2 días, trabajando 4 horas cada día. Si se aumenta el número de operadoras en un 50 %, ¿cuántas horas deben trabajar diariamente todas las operadoras para que la producción se triplique al cabo de 8 días de trabajo? (a) 1 (b) 2 (c) 8 (d) 12 Retroalimentación. La opción correcta es la (b). En efecto, este es un problema que se resuelve fácilmente a través de una regla de tres compuesta. Para ello, en primer lugar vas a calcular el número de horas diarias que deberían trabajar las 10 operadoras, durante 2 días para triplicar la producción
(recuerda que la producción inicial es de 1000 unidades); es decir, para producir 3000 unidades. Para ello, utiliza la siguiente regla de tres simple directa (más producción, más horas): Operadoras Producción Días Horas
10
1 000
2
4
10
3 000
2
x
6
=
3000 unidades 4 horas = 12 horas. 1000 unidades
×
Ahora calcula el el número de horas diarias que deberían trabajar 15 operadoras (recuerda que el número de operadoras se incrementa en el 50%); es decir, si habían 10 inicialmente, ahora trabajarán 5 más; en otras palabras, trabajarán 15 operadoras durante 2 días. Para esto, requieres de una regla de tres simple inversa (más operadoras, menos horas): Operadoras Producción Días Horas
10
3 000
2
12
15
3 000
2
x
=
12 horas 10 operadoras = 8 horas. 15 operadoras
×
Finalmente, te resta por calcular el número de horas diarias que deberán trabajar las 15 horas para producir las 3000 unidades en 8 días; en este caso, es una regla de tres simple inversa (más días, menos horas): Operadoras Producción Días Horas
15
3000
2
8
15
3000
8
x
8 horas 2 días = 2 horas. 8 días
×
En resumen, si se aumenta el 50 por ciento de las operarias, se requerirán 2 horas diarias de trabajo durante 8 días para triplicar la producción.
5. En el cuerpo humano habitan aproximadamente 100000000 de bacterias por metro cuadrado. Cuando una persona toma un baño, pierde el 10 % de las bacterias y, si utiliza jabón antibacteriano, pierde un 10 % de bacterias adicionalmente. ¿Qué porcentaje de bacterias se conserva en el cuerpo? (a) 19 (b) 20 (c) 80 (d) 81 Retroalimentación. La opción correcta es la (d). En efecto, el agua elimina el 10 por ciento de las bac-
terias, dejando en el cuerpo 90 por ciento de estas. Luego, si se utiliza además jabón anti bacteriano, se perderá un 10 por ciento de ese 90 por ciento; es decir, 0. 1 9 0 = 9
×
por ciento del total de bacterias adicionalmente. Así, el cuerpo perderá 10+9=19 por ciento de bacterias, dejando en él 100 19=81
−
por ciento de estas. En resumen, en el cuerpo se conservan el 81 % de las bacterias tras un baño con jabón anti bacteriano.
7
6. Una persona gasta 2 / 3 del saldo de su celular en llamadas; de lo que le sobra, gasta la mitad en mensajes y le quedan 3.50 dólares de saldo. ¿Cuánto era su saldo inicial? (a) 10.50 (b) 21.00 (c) 24.50 (d) 28.00 Retroalimentación. La opción correcta es la (b). En efecto, si nombras con la letra x el saldo inicial,
la información dada sobre los gastos y el saldo final se puede representar de la sigiuente manera: Saldo inicial x
Gasto llamadas Gasto mensajes Saldo final 2 1 1 3.5 3 x 2 3 x
Por una parte, sabes que el saldo es igual a 3 .5 dólares; pero por otra parte, el saldo también puede ser representado como la diferencia entre el saldo inicial (la primera columna de la tabla) y la de los consumos en llamadas y mensajes (segunda y tercera columnas): x
−
2 1 1 x + x = 3.5. 3 2 3
Por tanto, para encontrar el saldo inicial, solamente tienes que resolver esta ecuación de primer grado en la incógnita x : x
−
2 1 1 x + x = 3.5 3 2 3
⇔ ⇔ ⇔ ⇔
2 1 x x + x = 3.5 3 6 5 x x = 3.5 6 1 x = 3.5 6
−
−
x = 21.
En resumen, el saldo inicial fue de 21 dólares.
7. La importación de un equipo tiene un costo de 600 dólares; adicionalmente, por ser transportado al lugar de instalación del mismo se paga el 20 % de su valor de importación. Finalmente, el valor de seguro por el transporte del equipo es equivalente al 5 % de su valor de importación. Identifique el valor total, en dólares, que se paga por este equipo. (a) 625 (b) 700 (c) 750 (d) 756 Retroalimentación. La opción correcta es la (d) . En efecto, en la siguiente tabla están consignados
los datos sobre los diferentes costos del equipo en cuestión: Costo importación Costo transporte
600
0.2 600 = 120
·
8
Costo seguro
0.05 (600+120)
·
Por tanto, el valor total que se paga por el equipo es: 600+72+0.05 720 = 672 + 36
·
= 756.
En resumen, el valor total del equipo importado es 756 dólares.
8. En una oferta de zapatos, cuyo precio normal es de 50 dólares, se hace un descuento del 12 % en cada par. ¿Cuál será el descuento porcentual que recibe un cliente si compra tres pares? (a) 6 (b) 12 (c) 24 (d) 36 Retroalimentación. La opción correcta es la (b). En efecto, el descuento porcentual es exactamente
el mismo, porque el descuento se aplica al precio de cada par de zapatos y no al número de pares que se adquieran, pues al comprar tres pares de zapatos, el valor normal sería 3 50=150
×
dólares. El 12 % de este valor es 0.12 150=18
×
dólares. Por otra parte, el 12% de 50 dólares (el precio de cada par de zapatos) es 0.12 5 0 = 6
×
dólares; luego, como se compran tres pares, el descuento sería igual a 3 6=18
×
dólares. En resumen, el descuento porcentual es el mismo: 12 %.
2 Ecuaciones lineales 2.1 Texto resumen 1. Una ecuación es lineal cuando las incógnitas tienen exponente igual a 1. Por ejemplo, las siguientes son ecuaciones lineales: 3x + 2 = x + 1,
−
6t 1 2 = 4s + 1,
−
9
3 1 t
−
=
2 . 2 + t
Las siguientes ecuaciones no son lineales: x 2
1 3t = , 2 + t 1 + t 2
− x + 1 = 0,
u2
− v 2 = 3(u + v ).
2. Una ecuación lineal con una sola incógnita es resuelta mediante la aplicación de las siguientes reglas: (a) Un término puede “pasar” de un lado al otro de la igualdad con el signo contrario: 3x 6 = 2x + 8
−
3x 2x = 6 + 8.
⇔
−
(b) Un factor puede “pasar” de un lado al otro de la igualdad como divisor: 2x = 6
x =
⇔
6 . 2
(c) Un divisor puede “pasar” de un lado al otro de la igualdad como factor: t
4
= 5
−
⇔
t = ( 5)(4).
−
3. Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas son dos ecuaciones lineales con dos incógnitas: ax + by = c d x + ey = f .
Resolver un sistema de dos ecuaciones consiste en encontrar los valores para las incógnitas x y y que satisfagan las dos ecuaciones simultáneamente. Por ejemplo, el sistema
tiene solución:
x y = 2 x + y = 0
−
x = 1,
y = 1
−
No todos los sistemas de ecuaciones tienen solución; por ejemplo,
− −
x y = 2 2x + 2 y = 0.
−
En cambio, otros sistemas tienen un número infinito de soluciones: x y = 2x + 2 y =
−
2 4.
−
4. Si el sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas ax + by = c d x + ey = f .
el método de sustitución consiste en:
(a) Despejar una de las incógnitas en una de las ecuaciones. 10
(b) Sustituir, en la otra ecuación, la expresión obtenida en la incógnita despejada. (c) Resolver la ecuación lineal en la otra incógnita que se obtuvo en el paso anterior. (d) Sustituir el valor de la incógnita encontrada en la otra incógnita, en cualquiera de las ecuaciones originales. (e) Resolver la ecuación lineal en la primera incógnita obtenida en el paso anterior. Si el sistema es
2x 3x
3 y = 5 2 y = 5,
− −
el método de sustitución se aplica de la siguiente manera: (a) Se despeja la incógnita x de la primera ecuación: x =
3 y + 5 . 2
(b) Se sustituye x de la segunda ecuación por la expresión para x obtenida en el paso anterior: 3
3 y + 5 2
−
2 y = 5.
(c) Se resuelve la ecuación en la incógnita y obtenida en el paso anterior: 3
3 y + 5 2
−
2 y = 5
9 y + 15 = 2 y + 5 2
⇔ ⇔ ⇔ ⇔
9 y + 1 5 = 4 y + 10 5 y = 5
− y = −1.
(d) Se sustituye el valor de y encontrado en el paso anterior en la primera ecuación: 2x 3( 1 ) = 5.
− −
(e) Se resuelve la ecuación lineal en la incógnita x encontrada en el paso anterior: 2x 3( 1 ) = 5
− −
⇔ ⇔ ⇔
2x + 3 = 5 2x = 2 x = 1.
Por tanto, la solución del sistema es x = 1
y y = 1.
−
5. Si el sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas
el método de igualación consiste en:
ax + by = c d x + ey = f .
11
(a) Despejar una de las incógnitas en las dos ecuaciones. (b) Igualar las expresiones obtenidas en el paso anterior. (c) Resolver la ecuación lineal en la otra incógnita obtenida en el paso anterior. (d) Sustituir el valor de la incógnita encontrada en la otra incógnita, en cualquiera de las expresiones obtenidas en el primer paso. Si el sistema es
2x 3x
3 y = 5 2 y = 5,
− −
el método de igualación se aplica de la siguiente manera: (a) Se despeja la incógnita x de las dos ecuaciones: x =
3 y + 5 2
y x =
2 y + 5 . 3
(b) Se igualan las dos expresiones obtenidas en el paso anterior: 3 y + 5 2 y + 5 = . 2 3 (c) Se resuelve la ecuación en la incógnita y obtenida en el paso anterior: 3 y + 5 2 y + 5 = 2 3
⇔ ⇔
9 y + 1 5 = 4 y + 10 5 y = 5
−
⇔
y = 1.
−
(d) Se sustituye el valor de y encontrado en la primera expresión obtenida en el primer paso: 3 y + 5 2 3( 1 ) + 5 = 2 3+5 = 2 2 = = 1. 2
x =
−
−
Por tanto, la solución del sistema es x = 1
y y = 1.
−
2.2 Banco de preguntas y respuestas 1. Hace 6 años, la edad de José era el cuádruplo de la de su hijo y, después de 4 años, será el triple. Actualmente, ¿cuál es la edad de José y la de su hijo? (a) 72 y 24 (b) 80 y 20
12
(c) 86 y 26 (d) 90 y 30 La opción correcta es (c). En efecto, hay varias maneras de resolver este problema. Vas a
conocer dos de ellas. Retroalimentación I. Utiliza un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. Para ello, designa con las letras j y h las edades actuales de José y su hijo, respectivamente.
El dato de que hace 6 años, la edad de José era el cuádruplo de la de su hijo, se expresa a través de la siguiente ecuación: (1) j 6 = 4 (h 6).
−
−
Y el dato de que después de 4 años la edad del padre será únicamente el triple de la de su hijo, se representa mediante la ecuación: (2) j + 4 = 3(h + 4). Por tanto, para encontrar las edades de José y de su hijo, debes resolver el siguiente sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas:
−
j 6 = j + 4 =
4(h 6) 3(h + 4)
−
Ahora bien, para resolver este sistema, despeja la incógnita j en cada una de las ecuaciones: j = 6 + 4(h 6)
y j = 4 + 3(h +4);
−
por tanto, los lados derechos de estas igualdades son iguales: 6+4( h 6 ) = 4 + 3 (h + 4).
−
Acabas de obtener una ecuación de primer grado en la incógnita h . Ahora solo te falta despejar esta incóngita: 6+4( h 6 ) = 4 + 3 (h + 4)
−
≡ 6 + 4h − 24 = −4 + 3h + 12 ≡ 4h − 1 8 = 3 h + 8 ≡ 4h − 3h = 18 + 8 ≡ h = 18 + 8 ≡ h = 26.
Ahora te falta encontrar el valor de la incógnita j ; para ello, utiliza la primera ecuación: j = 6 + 4(h 6)
− =6+4(26 − 6) = 6 + 4(20) = 86.
En resumen, Las edades actuales de José y de su hijo son 86 y 26 años, respectivamente. Retroalimentación II. Vas a revisar qué opción satisface los dos datos sobre las edades de José y su
hijo. Recuerda que
13
Hace 6 años, la edad de José hace era el cuádruplo de la de su hijo; y después de 4, la edad del padré será el triple de la edad del hijo. La primera opción es: 72 años de José y 24 años del hijo. Si esta opción fuera válida, significaría que hace 6 años las edades hubieran sido 72 6 = 66 y 24 6 = 1 8.
−
−
Como 66 no es el cuádruplo de 18, esta opción no satisface el primer dato y, por tanto, no es la opción correcta. Si aplicas el mismo razonamiento para la segunda opción: 80 6 = 74 y 20 6 = 1 4,
−
−
encuentras que tampoco es válida ya que 74 no es el cuádruplo de 14. Para la tercera opción: 86 6 = 80 y 26 6 = 2 0,
−
−
el razonamiento te dice que esta satisface el primer dato ya que 80 sí es el cuádruplo de 20; con respecto del segundo dato: 86 + 4 = 90 y 26 + 4 = 30, ya que 90 sí es el triple de 30, esta opción también satisface este dato y, por tanto, es la opción correcta: José tiene 86 años y su hijo, 26.
2. Hace 3 años la edad de Lucía era el cuádruplo que la de su hijo y después de 7 años será el doble. ¿Cuál es la edad de Lucía y de su hijo actualmente? (a) 20 y 5 (b) 23 y 8 (c) 29 y 11 (d) 33 y 6 La opción correcta es (b) . En efecto, vas a conocer dos maneras de resolver este problema. Retroalimentación I. Utiliza un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. Para ello, designa con las letras l y h las edades actuales de Lucía y su hijo, respectivamente.
El dato de que hace 3 años, la edad de Lucía era el cuádruplo de la de su hijo, se expresa a través de la siguiente ecuación: (3) l 3 = 4 (h 3).
−
−
Y el dato de que después de 7 años la edad de la madre será únicamente el doble de la de su hijo, se representa mediante la ecuación: (4) l + 7 = 2 (h + 7). Por tanto, para encontrar las edades de Lucía y de su hijo, debes resolver el siguiente sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas:
−
l 3 = l+7 =
14
4(h 3) 2(h + 7)
−
Ahora bien, para resolver este sistema, “resta” la primera ecuación de la segunda con el fin de “eliminar” la incógnita l ; obtienes lo siguiente: (l + 7) (l 3 ) = 2 (h + 7) 4(h 3)
− −
−
−
⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔
l + 7 l + 3 = 2 h + 14 4h + 12
− 10 = −2h + 26 2h = 26 − 10
−
2h = 16 h = 8.
Ahora te falta encontrar el valor de la incógnita l ; para ello, utiliza la primera ecuación: l = 3 + 4(h 3)
− =3+4(8 − 3) =3+4(5) = 23.
En resumen, Las edades actuales de Lucía y de su hijo son 23 y 8 años, respectivamente. Retroalimentación II. Vas a revisar qué opción satisface los dos datos sobre las edades de Lucía y su
hijo. Recuerda que Hace 3 años, la edad de Lucía hace era el cuádruplo de la de su hijo; y después de 7, la edad de la madré será el doble de la edad del hijo. La primera opción es: 20 años de Lucía y 5 años del hijo. Si esta opción fuera válida, significaría que hace 3 años las edades hubieran sido 20 3 = 17 y 5 3 = 2.
−
−
Como 17 no es el cuádruplo de 2, esta opción no satisface el primer dato y, por tanto, no es la opción correcta. Si aplicas el mismo razonamiento para la segunda opción: 23 3 = 20 y 8 3 = 5,
−
−
encuentras que esta sí satisface el primer dato; respecto del segundo: 23 + 7 = 30 y 8 + 7 = 15, también satisface el segundo dato ya que 30 es el doble de 15. Dado que solo hay una respuesta correcta, no hay propósito de investigar las otras opciones. En resumen, Las edades actuales de Lucía y de su hijo son 23 y 8 años, respectivamente.
15
3 Funciones lineales 3.1 Texto resumen 1. Si A es un subconjunto de números reales, cualquier función del tipo f : A x
−→ R −→ mx + b ,
donde m y b son números reales y m 0 se denomina afín. 2. Sif es una función lineal tal que f (x ) = mx
para todo x en el dominio de f , la función se denomina lineal. 3. Si
f :
−→ R x −→ mx + b ,
R
donde m 0, el gráfico de f es una línea recta cuya pendiente es m y el corte de la recta con el eje vertical es el punto (0 , b ):
Si b = 0, la gráfica es una recta que pasa por el origen de coordenadas. 4. Si f es una función afín, entonces se sabe que para todo x en su dominio, se verifica la igualdad f (x ) = mx + b .
Si x 1 y x 2 son dos elementos del dominio de f de manera que son conocidos f (x 1 ) y f (x 2 ), entonces se pueden hallar los valores de m y b . En efecto, digamos que y 1 = f (x 1 ) y
16
y 2 = f (x 2 ).
Entonces y 1 = mx 1 + b y
y 2 = mx 2 + b .
Luego, se tiene un sistema de dos ecuaciones lineales con las incógnitas m y b . Por ejemplo, si la función f toma en 1 y en 1 los valores 2 y 2, respectivamente, entonces
−
−2 = m(1)+ b
−
y 2 = m ( 1) + b
−
que te da el siguiente sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas:
−
m + b = 2 m + b = 2.
−
Si restas la segunda ecuación de la primera, “eliminas” b y obtienes la ecuación 2m = 4;
−
luego m = 2
−
y, por tanto,
−2 + b = −2, de donde b = 0.
En resumen, la función f afín es: f :
5. Si
f :
−→ R x − → −2x
R
−→ R x −→ mx + b ,
R
donde m 0, la función f es creciente estrictamente si m > 0:
y es estrictamente decreciente si m < 0: 17
3.2 Banco de preguntas y respuestas 1. Un fabricante de juguetes tiene costos fijos mensuales de 1500 dólares y el costo de fabricación de cada unidad es de 10 dólares. Si una gran cadena de juguetes solicita 500 juguetes, determine el costo de producción en dólares de esos 500 juguetes. (a) 5000 (b) 3500 (c) 6500 (d) 7500 Retroalimentación. La opción correcta es (c) . En efecto, Recuerda que el costo de producción mensual en la producción de juguetes es igual a la suma del costo fijo y el costo de fabricación de cada juguete.
Para saber cómo utilizar estos conceptos, te será de utilidad que los puedas expresar en términos matemáticos utilizando la notación de funciones. Para ello, (a) Utiliza la letra x para indicar el número de juguetes que se producen en un mes; (b) representa con C p (x ) el costo de producción en dólares de x juguetes en un mes; (c) simboliza con C f (x ) el costo de fabricación en dólares de x juguetes en un mes; y (d) utiliza C 0 el costo fijo en dólares en un mes, que no depende de cuántos juguetes se elaboren (por ello no lleva la letra x ). Entonces, la relación entre estas cantidades es la siguiente: C p (x ) = C 0 + C f (x ),
Ahora solo tienes que determinar a qué son iguales C 0 y C f (x ). Con ese fin, revisa la información dada: (a) El costo fijo es igual a 1 500 dólares; por tanto, C 0 = 1500. (b) El costo de fabricación de x juguetes es el resultado de multiplicar el costo de fabricar cada uno de los juguetes por los x juguetes que se fabricarán; así, tendrás que C f (x ) = 1 0x .
18
(c) Finalmente, el costo de producción será C p (x ) = 1 5 0 0 + 1 0x . Ya puedes obtener la solución del problema: aplica la fórmula encontrada para C p (x ) con el valor de x igual a 500, ya que se fabricarán 500 juguetes: C p (500) = 1500 + 10(500) = 1500 + 5000 = 6500.
En resumen, el costo de producción de los 500 juguetes es igual a 6 500 dólares.
2. A una persona le regalaron un vehículo nuevo. A los 4 años de haberlo recibido, el carro fue avaluado en 15000 dólares; a los 7 años el avalúo fue de 12000 dólares. Si la relación entre el avalúo y el tiempo es lineal, determine el valor inicial del vehículo. (a) 19000 (b) 18000 (c) 20000 (d) 21000 Retroalimentación. La opción correcta es la (a). En efecto, Para resolver este problema, tienes que tener claro que significa que la devaluación del vehículo cada año sea lineal. Al respecto, debes saber
que: (a) devaluación de un vehículo cada año es la disminución del valor del vehículo cada año; y (b) la devaluación anual es lineal si cada vez que transcurre un año desde que fue comprado, el valor que disminuye la misma cantidad que en el año anterior. La información que tienes sobre el vehículo es: (a) El valor del vehículo transcurridos 4 años es 15 000 dólares. (b) El valor del vehículo transcurridos 7 años es 12 000 dólares. Esto quiere decir que en 3 años, el valor del vehículo disminuyó en 3000 dólares. Cada año el valor del vehículo disminuye en la misma cantidad; por tanto, en cada año la disminución del valor es de 1000. Esto quiere decir que durante los primeros cuatro años, el vehículo disminuyó en 4000 dólares. Por tanto, si en ese momento su valor era de 15000 dólares, cuatro años antes era de 15000 + 4000 = 19000 dólares. En resumen, el valor inicial del vehículo fue de 19000 dólares.
19
4 Funciones cuadráticas 4.1 Texto resumen 1. Si A es un subconjunto de números reales, cualquier función del tipo f : A x
−→ R −→ ax 2 + bx + c ,
donde a , b y c son números reales y a 0, se denomina cuadrática. 2. Si f es la función cuadrática tal que f (x ) = ax 2 + bx + c ,
el gráfico de f es una parábola cuyo eje es paralelo al eje vertical de coordenadas y cuyas características quedan determinadas totalmente por los parámetros a , b y c : (a) Si a > 0, la parábola “abre” sus ramas hacia arriba y su vértice es el punto de coordenadas V =
Si, además, el polinomio
b , f 2a
b 2a
− −
.
ax 2 + bx + c
tiene dos raíces reales, a saber, x 1 y x 2 , entonces la parábola corta en el eje horizontal en los puntos (x 1 , 0) y ( x 2 , 0). Además, el corte con el eje vertical siempre es en (0 , c ):
20
Si el polinomio no tiene raíces reales, es decir, si su discriminante
= b 2 4ac < 0,
−
entonces la parábola está enteramente sobre el eje horizontal:
(b) Si a < 0, la parábola “abre” sus ramas hacia abajo y su vértice es el punto de coordenadas V =
Si, además, el polinomio
b , f 2a
b 2a
− −
.
ax 2 + bx + c
tiene dos raíces reales, a saber, x 1 y x 2 , entonces la parábola corta en el eje horizontal en los puntos (x 1 , 0) y ( x 2 , 0). Además, el corte con el eje vertical siempre es en (0 , c ):
21
Si el polinomio no tiene raíces reales, es decir, si su discriminante
= b 2 4ac < 0,
−
entonces la parábola está enteramente bajo el eje horizontal:
(c) Si a > 0, la función f alcanza su valor mínimo en x =
y ese mínimo es igual a f
Esto quiere decir que f (x )
− 2b a b . 2a
− ≥ − f
b 2a
para todo x en el dominio de f . Si, además, el discriminante de f (x ) es negativo, la función f toma únicamente valores ma yores que 0; es decir, ax 2 + bx + c > 0. (d) Si a < 0, la función f alcanza su valor máximo en x =
y ese máximo es igual a f
Esto quiere decir que f (x )
− 2b a b . 2a
− ≤ − f
b 2a
para todo x en el dominio de f . Si, además, el discriminante de f (x ) es negativo, la función f toma únicamente valores me22
nores que 0; es decir, ax 2 + bx + c < 0.
4.2 Banco de preguntas y respuestas 1. Si el costo de producir x centenas de pares de zapatos en miles de dólares viene dado por la función C (x ) = x 2 4x + 5,
−
determine el número de pares de zapatos que deben fabricarse para que el costo sea mínimo. (a) 100 (b) 200 (c) 400 (d) 500 Retroalimentación. La opción (b) es la correcta. En efecto, La función C es una función cuadrática
de la forma C (x ) = ax 2 + bx + c
donde a = 1, b = 4 y c = 5. Recuerda que si a > 0, C alcanza el valor mínimo en
−
x =
− 2b a .
Puesto que 1 > 0, C toma el valor mínimo en x =
4 − − = 2 2(1)
y ese valor mínimo es igual a C (2) = (2)2
− 4(2)+5
= 4 8 + 5 = 1.
−
Por tanto, la función C alcanza el valor mínimo 1 en 2 .
Esto significa que si se producen 2 centenas (200) pares de zapatos, el costo de producción mínimo es de 1000 dólares.
La solución de este problema puede ilustrarse mediante la gráfica de la función C ; recuerda que es una parábola convexa (porque el coeficiente de x 2 es positivo). Esto quiere decir que la “parábola abre sus ramas hacia arriba” y que su vértice es, justamente, el punto donde C alcanza el valor mínimo. Por tanto, las coordenadas del vértice son: V = (2, 1). Por otra parte, como el discriminante del polinomio cuadrático x 2 4x + 5
−
23
es
= ( 4)2 4(1)(5) = 16 20 = 4 < 0,
− −
−
−
la ecuación cuadrática x 2
− 4x + 5 = 0
no tiene raíces reales y, por tanto, se verifica la desigualdad x 2
− 4x + 5 > 0
para todos los números reales x . Esto quiere decir que la gráfica de C es una parábola que: (a) no corta el eje horizontal en ningún punto; (b) está sobre el eje horizontal; (c) el vértice es el punto de coordenadas (2, 1); y (d) como c = 5, el corte de C con el eje vertical es 5. Con esta información, puedes esbozar la gráfica de C :
Y también puedes ver que si se producen 2 centenas de pares (200 pares), el costo de producción mínimo es igual a 1 000 dólares.
2. La altura que alcanza un “volador” en función del tiempo está representada por la función: h(t ) = 5t 2 + 40t ,
−
donde la altura se mide en metros y el tiempo en segundos (está representación no se considera la resistencia del aire). ¿Cuál es la altura máxima que alcanzará el volador y en qué tiempo lo hará? (a) 140 metros en 4 segundos (b) 4 metros en 80 segundos (c) 80 metros en 4 segundos (d) 4 metros en 140 segundos Retroalimentación. La opción correcta es la (c) . En efecto, la función h es una función cuadrática de
la forma h(t ) = at 2 + bt + c ,
24
donde a = 5, b = 40 y c = 0. Puesto que a < 0, la función h alcanza el máximo en
−
x =
− 2b a = − 2(40 −5) = 4
y el máximo es igual a h(4) = 5(4)2 + 40(4)
− = −80+160 = 80.
Por tanto, el volador alcanzará la altura máxima de 80 metros luego de 4 segundos después de haber sido lanzado.
La solución de este problema puede ilustrarse a través de la gráfica de la función cuadrática h , que es una parábola cóncava (sus ramas se . abren hacia abajo") porque el coeficiente de x 2 es negativo y el vértice es el punto donde h alcanza el valor máximo: V = (4, 80).
Por otra parte, tienes que h(t ) = 5t 2 + 40t = 5t (t 8),
−
−
−
de donde concluyes que la gráfica de h es la parábola que corta el eje horizontal en los puntos (0, 0) y (8, 0). Así, el gráfico de h se verá de la siguiente manera:
Aquí también puedes interpretar directamente que el volador alcanza la altura máxima de 80 metros en 4 segundos.
3. La consistencia de un helado cambia cuando su temperatura no está en el rango definido por la desigualdad
2x 2 + x + 8
≥ (x − 2)2,
donde x representa la temperatura en grados centígrados. Determine los rangos de temperatura en los cuales la consistencia del helado cambia.
25
(a) Menores que 4 grados centígrados
−
(b) Entre 4 y 1 grados centígrados
− −
(c) Menores que 1 grados centígrados
−
(d) O mayores que 1 grado centígrado o menores que 4 grados centígrados
−
−
Retroalimentación. La opción correcta es la (b) . En efecto, para encontrar este intervalo, en primer lugar vas a resolver la inecuación :
2x 2 + x + 8
≥ x 2 − 4x + 4;
es decir, vas a encontrar los números reales x que satisfacen y que no satisfacen esta desigualdad; la solución del problema será el conjuntos de valores x que no la satisfagan. Ahora bien, esta es una inecuación cuadrática, pues puede ser reescrita de la siguiente manera: 2x 2 + x + 8
≥ x 2 − 4x + 4 ⇔ ⇔
(2x 2 x 2 ) + (x + 4x ) +(8 4)
−
x 2 + 5x + 4
− ≥0
≥ 0.
El lado derecho de esta inecuación es un polinomio de segundo grado, cuya gráfica es una parábola. A través de este dibujo puedes determinar de manera sencilla la solución de la inecuación. Para dibujar la parábola, define f (x ) = x 2 + 5x + 4
y utiliza la siguiente información a partir de los coeficientes de f (x ): (a) El coeficiente de x 2 es 1, un número mayor que 0; esto significa, que la parábola es convexa (es decir, sus ramas se abren “hacia arriba”) y, por tanto, tiene un mínimo. Aunque en este caso, no es relevante conocer el valor de este mínimo. (b) Lo que sí es necesario conocer es los puntos donde la parábola corta el eje horizontal; en otras palabras, aquellos puntos donde f (x ) = 0. Para ello, es suficiente con que expreses el polinomio como el producto de dos factores: x 2 + 5x + 4 = (x +4)(x + 1).
Por tanto, tienes que f (x ) = (x +4)(x + 1 ) = 0 ;
es decir, f (x ) = 0
⇔
x = 4
−
o x = 1.
−
Luego, la parábola corta el eje horizontal en x = 4 y x = 1.
−
−
Así el gráfico de la parábola será aproximadamente el siguiente:
26
Recuerda que la solución del problema está constituida por los valores de la temperatura dados por todos los x en los que la parábola está bajo el eje horizontal (es decir, los valores de x para los que f (x ) toma valores negativos); y es para estas temperaturas que el helado no perderá su consistencia); por tanto, los valores de x en los cuales x 2 + 5x + 4 < 0 son los que están en el intervalo ( 4, 1) como se puede ver fácilmente en el dibujo. En resumen,
− −
la consistencia del helado no cambia a una temperatura entre grados.
−4 y −1 grados centí-
5 Funciones exponenciales 5.1 Texto resumen 1. Las funciones exponenciales tiene una ley de asignación del tipo ax ,
donde a es un número mayor que 0. 2. Varias de las propiedades de las funciones exponenciales se determinan de modo general por las propiedades de los exponentes, como las siguientes: (a) Si a > 0, para todo x , se verifica la desigualdad ax > 0.
(b) Si a > 0, entonces a x + y = a x a y .
Es decir, la potencia de una suma es el producto de las respectivas potencias. (c) Si a > 0, entonces a
− = ax . y
x y
a
Es decir, la potencia de una resta es el cociente de las respectivas potencias.
27
(d) Si a > 0, entonces (ax ) y = a xy . Es decir, la potencia de una potencia es la potencia del producto de los exponentes. (e) Si a > 0, entonces a−x =
1 ax
.
Es decir, la potencia del inverso aditivo de un número es el recíproco de la potencia de dicho número. (f) Si a > 0, entonces a0 = 1.
(g) Si a > 0, entonces a1 = a.
(h) Si a > 0 y si a x = a y ,
entonces x = y .
Es decir, la función potencia es inyectiva.
5.2 Banco de preguntas y respuestas 1. En un laboratorio se lleva el registro del número de millones de bacterias que crecen en función del tiempo para dos muestras diferentes. Si el número de millones de bacterias en la primera muestra se expresa por 24t y el número de millones de bacterias en la segunda mediante 4t (161−3t ), donde t representa el tiempo medido en minutos, determine el tiempo en el que las muestras son iguales (es decir, determine en cuántos minutos ambas muestran tienen el mismo número de millones de bacterias).
2 7 1 (b) 6 2 (c) 9 5 (d) 2
(a)
Retroalimentación. La opción correcta es la (a). En efecto, la información dada indica que el número
de millones de bacterias en cada una de las muestras son funciones del tiempo; de manera más precisa, si llamas m1 y m2 a estas funciones, tienes que m1 : [0, + ) t
∞ −→ −→
R
24t
y
m2 : [0, + ) t
∞ −→ −→
R
4t
· − 161
3t .
El problema de encontrar el tiempo (el número de minutos) que deben transcurrir para que en ambas muestras haya el mismo número de millones de bacterias consiste en el problema de hallar el número real t elemento del conjunto [0, + ), de modo que se verifique la igualdad
∞
m1 (t ) = m2 (t );
28
es decir, el número real t que sea solución de la ecuación 24t = 4t (16(1−3t ) ).
·
Esta es una ecuación exponencial cuya incógnita es t . Para hallar su solución, es decir, para resolver esta ecuación, un procedimiento adecuado es escribir todas las potencias con la misma base. En este caso, escribe los números 4 y 16 como potencias del número 2: 4 = 22 y 16 = 24 . Por tanto, puedes expresar la ecuación de la siguiente manera: 4t
t
1 3t
−
2 = 4 16
⇔
t
1 3t
· −
4t
2 = 22
24
.
Y ahora, para encontrar t , aplica la propiedad de la potencia de una potencia: (am )n = a mn . Y así la ecuación se transforma de la siguiente manera: 24t =
t
1 3t
· − 22
24
24t = 22t 24(1−3t )
⇔
·
A continuación, utiliza la propiedad del producto de dos potencias de igual base: am an = a m+n .
·
La ecuación ahora se expresa así: 24t = 22t 24(1−3t )
·
⇔
24t = 22t +4(1−3t ) .
Finalmente, como las bases son iguales, los exponentes también: 4t = 2t +4(1 3t ).
−
Para encontrar t , solo te resta resolver esta sencilla ecuación de primer grado: 4t = 2t +4(1 3t )
−
⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ↔
4t = 2t + 4 12t
−
4t 2t + 12t = 4
−
14t = 4 4 14 2 t = . 7 t =
En resumen, 2 7
el tiempo donde las muestras tienen el mismo número de bacterias es minutos.
2. El aumento en el número de artículos que se venden en una tienda en los primeros días del mes de diciembre se representan mediante la expresión:
3x , donde x representa el número de día del mes. Determine el día en el que el incremento
29
de las ventas es igual a 243 artículos. (a) 2 (b) 3 (c) 4 (d) 5 Retroalimentación. La opción correcta es la (d) . En efecto, la información dada indica que el incre-
mento en el número de artículos que se venden en un mes es una función del número del día del mes; de manera más precisa, si nombras con la letra v a esta función, tienes que v : [0, 31] x
−→ −→
R
3x
El problema de encontrar el número de día x en el que el incremento de ventas sea igual a 243 artículos consiste en el problema matemático de encontrar el número x [0 , 30] (elemento del dominio de la función v ) tal que v (x ) =243;
∈
es decir, tal que 3x = 243. Para resolver este problema, tienes que resolver la ecuación exponencial anterior; y para ello, recuerda que el número 243 es una potencia del número 3: 2 4 3 = 35 ; luego, la ecuación que debes resolver es 3x = 35 . Como la función exponencial es inyectiva, los exponentes deben ser iguales (ya que las bases son iguales): x = 5. En resumen, el incremento en ventas de 243 artículos ocurre en el quinto día.
3. Un banco ofrece un plan de inversión en el cual la ganancia se calcula mediante la siguiente fórmula:
−
C (t ) = C 0 k t 1 ,
donde C o es la inversión inicial, k es la tasa de rendimiento y t el tiempo medido en años durante el cual se invierte el dinero. El banco indica que el tiempo mínimo de inversión es de 2 años al cabo del cuál, si la inversión fuera de 10000 dólares, la ganancia sería de 2100 dólares. Una persona decide invertir 20 000 dólares por un período de 4 años, ¿cuánto dinero, en dólares, ganará? (a) 9282 (b) 4200
30
(c) 8400 (d) 6620 Retroalimentación. La opción correcta es la (a). En efecto, Para encontrar la ganancia de esa persona
después de 5 años, debes a utilizar la fórmula
−
C (t ) = C 0 k t 1
con t = 4 y C 0 = 20000.
No obstante, para poder utilizar la fórmula aún debes conocer el valor de k . Para ello, recuerda que si se invierte 10 000 dólares por 2 años, la ganancia sería igual a 2100 dólares. Esto quiere decir que la fórmula debe ser verdadera para t = 2,
C 0 = 10 000
y C (2) = 2100;
es decir, debe verificarse la igualdad 2100 = 10000 k 2 1 ;
−
es decir, k debe satisfacer la igualdad
2100 = 10000 k 2 10000;
−
de donde, 10000 k 2 = 2100 + 10000 = 12100. Entonces, obtienes que k =
12100 10000
121 100 11 = ; 10 =
por tanto, k =
11 . 10
Ahora ya puedes utilizar la fórmula para encontrar la ganancia al cabo de 4 años; es decir, puedes 11 . Así, tienes que hallar C (4), con los siguientes "datos’": t = 4, C 0 = 20000 y k = 10 4
−
11 C ( 4) = 20000 10
1
= 9282. En resumen, La ganancia por la inversión de 20000 dólares al cabo de 4 años es 9 282 dólares.
6 Medida 6.1 Texto resumen 1. El perímetro de cualquier figura plana es la suma de las longitudes de sus lados. 31
2. Un triángulo equilátero es aquel cuyos lados tienen la misma longitud. Así, si L es la longitud de cada lado, el perímetro del triángulo equilátero es P = 3L.
3. Un rectángulo es un cuadrilátero que tiene dos pares de lados paralelos y congruentes entre sí. Si L y M son las medidas de dos de los lados no opuestos, entonces el perímetro del rectángulo es: P = 2(L + M ). 4. Un cuadrado es un cuadrilátero es un rectánglo cuyos lados tienen la misma longitud. Luego, si L es la longitud de cada lado, el perímetro del cuadrado es: P = 4L.
5. El área de un triángulo es igual a la mitad del producto de la longitud de un lado y la longitud de la altura correspondiente: A =
ah
,
2 donde a es la medida de un lado y h la medida de la altura correspondiente:
6. El área de un rectángulo es igual al producto de las longitudes de los lados no opuestos; así, si L y M son esas longitudes, entonces el área del rectángulo es A = L M .
×
32
7. El área de un cuadrado es igual al cuadrado de la longitud de su lado; así, si L es la longitud de cada lado, entonces el área del cuadrado es A = L2 .
6.2 Banco de preguntas y respuestas 1. Si Fernanda quiere cambiar su alfombra antigua en su habitación de 6 metros de largo por 6 metros de ancho por una nueva, ¿cuántos metros cuadrados de alfombra deberá comprar? (a) 12 (b) 24 (c) 36 (d) 72 Retroalimentación. En efecto, para averiguar cuántos metros cuadrados de alfombra deberá comprar
Fernanda, calcula el área de su habitación que tiene la forma de un cuadreado. Para ello, recuerda que el área de un cuadrado se calcula mediante la fórmula: A = lado del cuadrado2 .
33
Como cada lado de la habitación de Fernanda mide 6 metros, la fórmula te da lo siguiente: A = 66 = 36
metros cuadrados. En resumen, Fernanda debe comprar 36 metros cuadrados de alfombra.
2. Si Daniel cambia su alfombra antigua por una nueva en su habitación de 2 metros de largo por 11 metros de ancho, ¿cuántos metros cuadraos de alfombra deberá comprar? (a) 11 (b) 13 (c) 22 (d) 26 Retroalimentación. La opción correcta es la (c) . En efecto, el piso de la habitación de Daniel tiene la
forma de un rectángulo cuyas dimensiones son 2 metros de ancho y 11 metros de largo. Recuerda que el área de un rectángulo es igual al producto de las longitudes del largo y ancho. Luego, el área de la habitación de Daniel es 2 11=22
×
metros cuadrados. Por tanto, Daniel deberá comprar 22 metros cuadrados de alfombra.
3. Un grupo de arqueólogos ha delimitado un área triangular de 150 metros cuadrados para sus estudios sobre una civilización antigua. Determine en metros la medida de la base a delimitar si se establece que la misma tiene que ser el cuádruplo de la altura.
√ √ (b) 10 3 √ (c) 15 3 √
(a) 5 3
(d) 20 3 Retroalimentación. La opción correcta es la (d). En efecto, representa con b la medida en metros de la base del área triangular y con a la medida de su altura. Recuerda que el área de un triángulo se
calcula mediante la fórmula A =
b a
× 2
.
Debes encontrar el valor de b sabiendo que A = 150
y que la longitud de la base es el cuádruplo de la longitud de la altura; es decir, sabiendo que b = 4a;
34
es decir, sabiendo que la altura es la cuarta parte de la base: b
a =
4
.
En otras palabras, debes hallar el valor de b de manera que se verifique la igualdad
150 =
b
× b 4 2
.
Si realizas las operaciones indicadas, esta igualdad se reduce a la siguiente: 150 =
b 2
8
,
de donde puedes despejar b :
√ 150 · 8 √ = 1200 √ = 3 · 400 √
b =
= 20 3. En resumen,
√
la base del área triangular es igual a 20 3 metros.
4. La tabla muestra el largo y el perímetro de diferentes rollos de tela: Tipo de tela Largo (m) 72 Batista 60 Brocado 40 Seda 60 Mezclilla 45 Damasco 50 Gabardina
Perímetro (m)
212 166 110 180 158 136
Si se conoce que todas las telas son rectangulares y que el perímetro de un rectángulo es igual a la suma de sus lados, ¿cuál de las afirmaciones es correcta? (a) La tela “Damasco” y la tela “Batista” tienen el mismo ancho (b) El rollo de tela “Brocado” tiene el mismo ancho que el de “Gabardina” (c) El rollo de tela “Mezclilla” tiene el mismo ancho que el de la “Brocado” (d) La tela “Seda” y la tela “Mezclilla” tienen el mismo ancho Retroalimentación. La opción correcta es la (a). En efecto, en primer lugar observa que todas las
opciones son afirmaciones que comparan los anchos de dos tipos de tela. Por ello, antes de determinar qué proposición es correcta, calcula el ancho de cada tela. Para ello, recuerda que cada tela tiene forma de un rectángulo, y la información que posees sobre cada una es su largo y su perímetro. A partir de estos datos, vas a encontrar los respectivos anchos. Con este fin, nombra con las letras L, A y P el largo, ancho y perímetro de un un rectángulo. Sabes que el perímetro de un rectángulo es igual a la suma de las longitudes de sus lados;
35
entonces, tienes que P = L + A + L + A = 2L + 2A).
Para calcular el ancho de cada tela, despeja la A de esta igualdad: A =
P 2L
−
2
=
P
2
− L
es decir, el ancho de cada tela es la diferencia entre la mitad de su perímetro y su largo. Procede ahora con el cálculo de el ancho de cada tela; obtendrás lo siguiente: Tipo de tela
P
L
Batista
212
72
Brocado
166
60
Seda
110
40
Mezclilla
180
60
Damasco
158
45
Gabardina
136
50
A 212 2 166 2 110 2 180 2 158 2 136 2
− 72=34 − 60=23 − 40=15 − 60=30 − 45=34 − 50=18
Es claro, entonces, que el enunciado ’La tela “Damasco” y la tela “Batista” tienen el mismo ancho’ es correcto.
En cambio, los enunciados • ‘El rollo de tela “Brocado” tiene el mismo ancho que el de “Gabardina”’, • ‘El rollo de tela “Mezclilla” tiene el mismo ancho que el de “Brocado”’, y • ‘La tela “Seda” y la tela “Mezclilla” tienen el mismo ancho’ no son correctos.
7 Interpretaciones de gráficos 7.1 Texto resumen 1. La interpretación de un gráfico depende de la figuras geométricas que estén involucradas. Generalmente, si son rectas (o segmentos de recta), es importante recordar la siguiente información: (a) Una recta viene representada por una ecuación del tipo Ax + B y + C = 0,
donde nunca A y B son iguales a 0 al mismo tiempo. (b) Si B es diferente de 0, la ecuación de la recta puede ser escrita de la siguiente manera: y = ax + b .
Si a 0, la recta tiene pendiente a y corta el eje vertical en b .
36
(c) Si B es diferente de 0, la ecuación de la recta puede ser escrita de la siguiente manera: y = ax + b .
Si a = 0, entonces la recta es paralela al eje horizontal. (d) Si A es diferente de 0 y B = 0, la ecuación de la recta puede ser escrita de la siguiente manera: x = a . En este caso, la recta es paralela al eje vertical y pasa por el punto ( a, 0). (e) Si una recta tiene por ecuación y = ax + b
con a 0, esta divide al plano en tres regiones: i. La de aquellos puntos que están en la recta. Si P = (u , v ) es uno de estos puntos, entonces se debe verificar la igualdad: v = au + b . ii. La de aquellos puntos que están de uno de los lados de la recta. Si uno de ellos, a saber, P = (u , v ) está en ese lado y se verifica la desigualdad v < au + b ,
todos los puntos de ese lado de la recta cumplen con la misma desigualdad. iii. iv. La de aquellos puntos que están el otro lado de la recta. Si uno de ellos, a saber, P = (u , v ) está en ese lado, entonces se verifica la desigualdad v > au + b .
7.2 Bano de preguntas y respuestas 1. Paúl tiene 25 dólares para comprar comida para una reunión con sus amigos. Decide comprar gaseosas que cuestan 2 dólares cada una y chocolates (a un precio de 3 dólares cada uno). Si Paúl decide comprar más gaseosas que chocolates, determine cuál gráfico representa (a través de la región rayada) el conjunto de opciones que Paúl tiene para efectuar la compra.
(a)
37
(b)
(c)
(d) Retroalimentación. La opción correcta es la (d) . En efecto, en primer lugar debes tener claro el sig-
nificado de los componentes de los gráficos; cada uno de estos consiste del primer cuadrante de un sistema de coordenadas rectangulares, en el cual: (a) El eje horizontal indica el número de gaseosas que podría comprar Paúl. (b) El eje vertical muestra el número de chocolates que Paúl podría adquirir. (c) Una recta que une los puntos (12, 0)y(0, 8). Esta recta es la que establece el límite del gasto total de Paúl. (d) Si Paúl decidiera comprar únicamente gaseosas, solo podría comprar 12, pues si comprará 13 o más, como el precio de cada una es de 2 dólares, gastaría 26 dólares o más, lo que no sería posible, ya que Paúl tiene únicamente 25 dólares para la compra de comida. (e) En cambio, si decidiera comprar únicamente chocolates, el mayor número de ellos sería 8, como podrás constatarlo tú mediante el razonamiento utilizado en el punto anterior.
38
(f) Hay otra recta, la de la “comida”. Las coordenadas de cada punto de ella son iguales e indican el número de gaseosas y chocolates que Paúl podría comprar. (g) Hay una región “rayada”. Si P = (g , ch ) es un punto de esta región, g indica el número de gaseosas que Paúl compraría y ch el número de chocolates comprados. Por ello, esta región representa lo que Paúl compraría para la reunión con sus amigos. Ahora repasemos cada uno de los gráficos y veamos por qué sí o por qué no representan las opciones de compra de Paúl. Pero antes, el punto E , la intersección entre las rectas de la çomida 2de ÜSD", tiene coordenadas (5, 5):
El significado de este punto es Paúl compra 5 gaseosas y 5 chocolates. El total de la compra es, por tanto, 5 2+ 5 3=10+15=25
×
×
dólares. Esto significa que, si Paúl mantiene el número de chocolates pero aumenta el número de gaseosas, el valor de la compra superará los 25 dólares; es decir, todos los puntos que estén a la derecha de E y sobre el segmento E F representan opciones de compra que superan los 25 dólares:
39
También significa que, si Paúl mantiene el número de gaseosas pero incrementa el número de chocolates, el total de la compra superará los 25 dólares; esto quiere decir que todos los puntos sobre el segmento E F representan opciones de compras que superan los 25 dólares, porque el número de chocolates es mayor que 5:
Luego, cualquier punto del rectángulo E F H G y “más allá” representa una opción de compras cuyo costo es mayor que los 25 dólares. Por tanto, los gráficos
no representan completamente las opciones de compra de Paúl porque en ambos hay una parte de zona E F H G . Por otra parte, el gráfico
40
tampoco representa las opciones de compra de Paúl, porque la región rayada que está sobre la recta “comida” indica opciones en las que la cantidad de chocolates es mayor que la cantidad de gaseosas (y Paúl decidió que la mayor parte sería de gaseosas). Finalmente, el gráfico
muestra solo opciones quedo superan los 25 dólares en el costo y la cantidad de gaseosas es mayor que la de chocolates. En resumen, La opción correcta es la (d).
8 Probabilidades y conteo 8.1 Texto resumen 8.1.1 Probabilidad
Cuando se realiza un experimento, surge el problema del cálculo de probabilidad de que ocurra o no un evento . Pueden haber diferentes resultados del experimento. Al conjunto de todos los posibles resultados se lo denomina espacio muestral y, generalmente, se lo representa con la letra . Y a esos posibles resultados (es decir, a los elementos del espacio muestral) se les llama sucesos elementales del experimento. Cuando todos los sucesos elementales tienen la misma probabilidad de ocurrir, se les denomina sucesos equiprobables. 41
Si el espacio muestral es un conjunto finito y los sucesos elementales son equiprobables, se utiliza el siguiente procedimiento para resolver un problema de cálculo de probabilidades: 1. Identificación del experimento y del correspondiente espacio muestral . 2. Determinación del número de elementos del espacio muestral ; este número se representa con .
| |
3. Identificación del evento A cuya probabilidad se va a calcular y de su número de elementos; a este número se lo representa con A .
||
4. Cálculo de la probabilidad del evento A a través de la fórmula P ( A) =
| A| | |
o
Casos posibles . Casos totales
5. Interpretación de la probabilidad obtenida como generalización de la frecuencia relativa de ocurrencia del evento correspondiente. 8.1.2 Conteo
1. Las técnicas de conteo se basan en principios simples de la aritmética. Uno de ellos es el denominado principio de la suma: Si A y B son dos conjuntos finitos disjuntos (es decir, no tienen elementos en común), m es el número de elementos de A y n el número de elementos de B, entonces el número de elementos de A B, la unión de A y B (es decir, el conjunto que tienen tanto los elementos de A como los de B) es igual a la suma de m y n.
∪
2. El principio de la suma también puede formularse de la siguiente manera: Si una tarea A puede realizarse de m maneras diferentes y una tarea B puede hacerse de n formas distintas; entonces realizar una de las dos tareas puede llevarse a cabo de m + n formas diferentes.
3. El principio de la multiplicación puede expresarse de la siguiente manera: Si A y B son dos conjuntos finitos, m y n son el número de elementos de A y B, respectivamente, entonces el número de elementos del producto cartesiano de A y B, representado por A B (y cuyos elementos son todos los pares ordenados cuya primer componente es un elemento de A y cuyo segundo componente es un elemento de B), es igual al producto de m y de n.
×
4. El principio de la multiplicación también se enuncia de la siguiente manera: Si una tearea X puede descomponerse en dos subtareas secuenciales, A y B (en ese orden), y si la subtarea A se puede realizar de m formas distintas y, por cada una de estas, la subtarea B puede ejecutarse de n maneras diferentes, entonces la tarea X puede ejecutarse de mn maneras diferentes.
42
5. Si se tienen n objetos, el número total de permutaciones(es decir, de disposiciones lineales de ellos) es igual al factorial de n , representado por n !, y que es igual a n ! = n (n 1)(n 2)
− ··· 3 · 2 · 1.
−
6. Si se tienen n objetos diferentes, cada selección de m de esos objetos sin reposición y con orden es denominada varia- ción. El número total de las variaciones de los m objetos de un total de los n objetos, representado por V mn , se calcula de la siguiente manera: V mn = n (n 1)(n 2)
− ··· (n − m + 1).
−
7. Si se tienen n objetos diferentes, cada selección de m de esos objetos sin reposición y sin orden es denominada com- binación . El número total de las combinaciones de los m objetos de un total de los n n , se calcula de la siguiente manera: objetos, representado por C m n = C m
n! . m!(n m)!
−
8.2 Banco de preguntas y respuestas 1. En la tabla se observan las prendas que tiene Nancy en su armario. Si se escoge una prenda al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea una blusa de color rojo? Número
5 2 4 3 1 6
Prenda Blusas Blusas Pantalones Pantalones Falda Chaquetas
Color Rojo Azul Negro Plomo Rosado Negro
1 21 2 (b) 21 5 (c) 21 6 (d) 21
(a)
Retroalimentación. La opción correcta es la (c) . En efecto, vas ha aplicar el procedimiento para el cálculo de la probabilidad de ocurrencia de un evento. En este caso el experimento consiste en elegir
una prenda al azar de todas las prendas que Nancy tiene en su clóset. Es decir tienes que sumar las cantidades de cada prenda que hay: 5+2+4+3+1+6=21 Así el experimento consiste en:
43
Elegir una prenda al azar de un total de 21 prendas.
En este caso, entonces, tenemos que el espacio muestral es el conjunto de todas las prendas que Nancy tiene en su clóset. Y, por tanto, el número de elementos de es 21:
| | = 21. Por otra parte, el evento cuya probabilidad queremos calcular es: A: la prenda seleccionada es una blusa de color rojo.
Puesto que Nancy tiene 5 blusas de ese color, tenemos que el número de elementos de A es 5:
|A| = 5. Ya podemos, entonces, calcular la probabilidad de que ocurra el evento A : P (A) =
| A| = 5 . | | 21
Es decir, La probabilidad de que al seleccionar una prenda al azar del clóset de Nancy esta prenda 5 . sea una blusa de color rojo es 21 ¿Cuál es el significado de esta probabilidad? El siguiente: Si el experimento se repitiera 21 veces, entonces esperaríamos que 5 de esas 21 veces la prenda seleccionada sea una blusa de color rojo. También podemos interpretar la probabilidad encontrada en términos de porcentajes y frecuencia relativa. En efecto, puesto que 5 0.2381, 21 se dice que:
≈
La probabilidad de que la prenda seleccionada sea una blusa de color color es 23 .81%. Y este porcentaje se expresa en términos de frecuencia relativa de la siguiente manera: Si se repitiera el experimento 100 veces, entonces esperaríamos que aproximadamente 23 de esas 100 veces la prenda seleccionada sea una blusa de color rojo. En resumen, 5 . la probabilidad de que la prenda elegida sea una blusa de color rojo es 21
2. En la tabla se observan las prendas que Nancy tiene en su clóset: Número
5 2 4 3 1 6
Prenda Blusas Blusas Pantalones Pantalones Falda Chaquetas
44
Color Rojo Azul Negro Plomo Rosado Negro
Si se escoge una prenda al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea un pantalón de color plomo? (a) 1
1 7 (c) 0.5
(b)
(d) 0.9 Retroalimentación. La opción correcta es la (b) . En efecto, vas ha aplicar el procedimiento para el cálculo de la probabilidad de ocurrencia de un evento. En este caso el experimento consiste en elegir
una prenda al azar de todas las prendas que Nancy tiene en su clóset. Es decir tienes que sumar las cantidades de cada prenda que hay: 5+2+4+3+1+6=21 Así el experimento consiste en: Elegir una prenda al azar de un total de 21 prendas.
En este caso, entonces, tenemos que el espacio muestral es el conjunto de todas las prendas que Nancy tiene en su clóset. Y, por tanto, el número de elementos de es 21:
| | = 21. Por otra parte, el evento cuya probabilidad queremos calcular es: A: la prenda seleccionada es un pantalón de color plomo.
Puesto que Nancy tiene 3 pantalones de ese color, tenemos que el número de elementos de A es 3:
|A| = 3. Ya podemos, entonces, calcular la probabilidad de que ocurra el evento A : P (A) =
| A| = 3 = 1 . | | 21 7
Es decir, La probabilidad de que al seleccionar una prenda al azar del clóset de Nancy esta prenda sea un pantalón de color plomo es 73 . ¿Cuál es el significado de esta probabilidad? El siguiente: Si el experimento se repitiera 7 veces, entonces esperaríamos que 1 de esas 7 veces la prenda seleccionada sea una blusa de color rojo. También podemos interpretar la probabilidad encontrada en términos de porcentajes y frecuencia relativa. En efecto, puesto que 1 0.1429, 7 se dice que:
≈
La probabilidad de que la prenda seleccionada sea un pantalón de color plomo es 14 .29%. Y este porcentaje se expresa en términos de frecuencia relativa de la siguiente manera:
45
Si se repitiera el experimento 100 veces, entonces esperaríamos que aproximadamente 14 de esas 100 veces la prenda seleccionada sea un pantalón de color plomo. En resumen, la probabilidad de que la prenda elegida sea un pantalón de color plomo es 71 .
3. En un barrio se identifican 12 puntos estratégicos que las autoridades han decidido vigilar, para lo cual se colocan cámaras de seguridad. Si se consideran que se instalan a lo más 2 cámaras en una misma línea de observación, ¿cuántas líneas de observación pueden ser trazadas? (a) 12 (b) 15 (c) 24 (d) 66 Retroalimentación. La opción correcta es la (d). En efecto, antes de abordar la solución del problema
general (donde hay 12 puntos estratégicos), considera la situación “más sencilla” en la que hay únicamente 4. En el siguiente dibujo, puedes observar varias “soluciones”; es decir, se han dibujado tres situaciones (en las que se han colocado dos cámaras en los extremos de cada línea de observación):
En la primera “solución” se han considerado cuatro líneas de observación. En este caso, se requirieron 8 cámaras y cada punto estratégico es vigilado únicamente por dos cámaras. En la segunda “solución”, hay únicamente dos líneas de observación. En este caso se han utilizado únicamente 4 cámaras e, igual que en la solución anterior, cada punto estratégico es vigilado por dos cámaras. En la tercera "solución", hay 6 líneas de observación, 12 cámaras pero cada punto estratégico es vigilado con 6 cámaras. Parece bastante evidente que la tercera solución es mejor que las otras. ¿Cómo se eligió el número de líneas de observación? Simplemente considerando todas las rectas que pasan por dos puntos. Así, una recta es vista como un par de puntos. Por ello, el total de rectas posibles que podemos trazar con esos cuatro puntos es el siguiente problema de conteo: seleccionar sin orden y sin reposición 2 puntos de un total de 4.
La selección es sin orden porque la recta es la misma independientemente del orden en que se seleccionen los puntos y es sin reposición porque, una vez elegido un punto, la selección del siguiente ya no considera al punto elegido en primer lugar.
46
Ahora recuerda que el número de selecciones sin orden y sin reposición de m objetos tomados de un total de n , también llamadas combinaciones de un total de n objetos tomados en grupos de tamaño m , se calcula mediante la siguiente fórmula n
Cm =
n! . m!( n m)!
−
El caso del ejemplo, n = 4 y m = 2; por tanto, el número total de líneas de observación que pueden colocarse es 4
4! 2!2! 4 3 = = 6, 2
C2 =
·
como se ilustró en el dibujo. En el caso propuesto, como hay 12 puntos estratégicos, n = 12; aquí también m = 2; por tanto, 12
C2
12! 2!10! 12 11 = = 66; 2 =
·
es decir, se pueden trazar 66 líneas de observación.
Es importante que tomes en cuenta que en la solución ofrecida se ha supuesto que en los 12 puntos considerados, no hay tres que sean colineales. Si ese fuera el caso, habrían menos rectas y, por tanto, menos líneas de observación.
4. ¿Cuántos códigos de dos dígitos distintos para una tienda de ropa se pueden formar con los números del 1 al 5? (a) 10 (b) 20 (c) 60 (d) 120 Retroalimentación. La opción correcta es la (b) . En efecto, el siguiente dibujo muestra todas
los códigos posibles que puedes crear, tomando en cuenta que los dígitos de cada código deben ser diferentes:
Observa que los siguientes pares de números no pueden ser aceptados como códigos: 11, 22, 33, 44, 55. 47
Para determinar el total de códigos que se pueden formar, nota que con cada uno de los cinco dígitos puedes formar 4 códigos con las características solicitadas; luego, gracias al Principio de la Multiplicación, el número total de códigos se calcula es: 4 5 = 2 0.
×
En resumen, el número total de coordenadas es igual a 20.
Una manera alternativa de resolver este problema es utilizando la técnica de conteo variaciones. En efecto, cada código de dos dígitos puede ser visto como una variación de 5 elementos tomados de 2 en 2 (los 5 elementos son 1, 2, 3, 4 y 5); por tanto, en este caso: m = 5
y n = 2.
Luego, por la fórmula de la definición, tienes que: 5
V 2 =
5 (5 1 ) = 2 0.
× −
Una vez más, puedes concluir que el número total de códigos de dos dígitos distintos es igual a 20.
5. ¿Cuántos puntos de dos coordenadas (x , y ) se pueden generar con los dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 6, teniendo en cuenta que no es posible repetir los números? (a) 12 (b) 15 (c) 30 (d) 36 Retroalimentación. La opción correcta es la (c) . En efecto, si dibujas un diagrama de los posibles
pares que se pueden formar, teniendo como primer componente el mismo dígito:
puedes observar que con cada dígito puedes formar 5 pares de coordenadas; luego, como tienes 6 dígitos, el número total de pares ordenados, gracias al Principio de la Multiplicación , por: 6 5 = 3 0.
×
En resumen, el número total de códigos es igual a 30.
48
Una manera alternativa de resolver este problema es utilizando la técnica de conteo variaciones. En efecto, cada par ordenado de dos dígitos puede ser visto como una variación de 6 elementos tomados de 2 en 2 (los 6 elementos son 1, 2, 3, 4, 5 y 6); por tanto, en este caso: m = 6
y n = 2.
Luego, por la fórmula de la definición, obtienes que: 6
V 2 =
6 (6 1 ) = 3 0.
× −
Una vez más, puedes concluir que el número total de pares ordenados, cuyos componentes son distintos, es igual a 30.
9 Estadística 9.1 Texto resumen 1. Dado un conjunto de datos x 1 , x 2, . . . , x n ,
la media o el promedio de estos datos, representado generalmente por x , es igual a x =
1 n
n
x i .
i =1
La media es una medida de tendencia central en el sentido de que indica donde está “el centro” de todos los datos. 2. Dado un conjunto de datos x 1 , x 2, . . . , x n ,
la desviación estándar de estos datos, representado generalmente por , es igual a =
1 n 1
−
n
(x i x ).
i =1
−
La desviación estándar es una medida de dispersión en el sentido de que indica que tan dispersos están los datos de la media; es decir, qué porcentaje de los datos están “alrededor” de la media.
49
9.2 Banco de preguntas y respuestas 1. Se han tabulado las notas de 4 grupos de estudiantes de un colegio en 5 materias distintas: Grupo 1 Grupo 2 Grupo 3 Grupo 4 Materia 1 Materia 2 Materia 3 Materia 4 Materia 5 Promedio Desviación estándar
5.00 6.00 5.00 6.00 5.00 5.40 0.49
10.00 8.00 10.00 4.00 5.00 7.40 2.50
10.00 9.00 10.00 8.00 9.00 9.20 0.75
8.00 9.00 9.00 9.00 8.00 8.60 0.40
¿Qué grupo tiene la menor dispersión en sus notas? (a) Grupo 1 (b) Grupo 2 (c) Grupo 3 (d) Grupo 4 Retroalimentación. La opción correcta es la (d). En efecto, la dispersión de datos es una medida del
tamaño del rango en el que se encuentran los datos en torno de su promedio. La dispersión se mide a través de la desviación estándar; por ello, mientras más pequeña sea la desviación estándar, menor será la dispersión de datos. Como el grupo 4 tiene la dispersión menor, 0 .40, este es el grupo con menor dispersión en sus notas.
10 Progresiones 10.1 Texto resumen 1. Una sucesión de números a1 , a2 , a3 . . . , a n , ...
es una progresión aritmética si cada término de la sucesión, excepto el primero, es la suma del término anterior y un mismo número d , llamado la diferencia de la sucesión. En otras palabras, si a2 = a1 + d , a3 = a2 + d , a4 = a3 + d , . . . 2. Si a1 , a2 , a3 , . . . es una progresión aritmética, entonces cualquier término a n de la progresión puede calcularse por la siguiente fórmula: an = a1 + (n 1)d .
−
3. i a 1 , a2 , a3 , . . . es una progresión aritmética, entonces la suma de los primeros n términos puede calcularse mediante la fórmula: n (n 1) S = na1 + d . 2
−
50
10.2 Banco de preguntas y respuestas 1. Tatiana debe pagar su préstamo en 8 cuotas mensuales; el valor de cada cuota aumenta 6 dólares cada mes. Si la cuota inicial es de 6 dólares, ¿cuánto dinero pagará al final de las ocho cuotas? (a) 156 (b) 180 (c) 216 (d) 432 Retroalimentación. La opción correcta es la (c). En efecto, las cuotas que Tatiana pagará forman una
progresión aritmética en la que el primer término es 6 (la cuota inicial) y la diferencia (es decir, el valor en el que aumenta cada cuota) es también 6. Así, si (a) c n indica la cuota en el mes n , (b) c 1 la cuota inicial ), y (c) d la diferencia, el valor total que Tatiana ha pagado hasta el mes n es la suma de todos los términos de la progresión entre el primero y el número n : S n = c 1 + c 2 + c 3 + + c n .
···
Recuerda que esta suma puede calcularse a partir de n , c 1 y d mediante la siguiente fórmula: S n = c 1 +
( n 1)n d . 2
−
Por tanto, para determinar la cantidad de dinero que Tatiana pagará al final de las 8 cuotas, solo debes calcular S n cuando n = 8; no olvides que c 1 = 6 y que d = 6; luego tienes que: S 8 = 6 +
(8 1)(8) 6 2
−
=6+4 6 7
· ·
= 216. En resumen, al final de la octava cuota, Tatiana habrá pagado un total de 216 dólares.
Observa que en este problema pudiste haber resuelto el problema de manera directa, sumando los valores de las ocho cuotas: 6 + 12 + 18 + 2 4 + 30 + 3 6 + 42 + 4 8 = 6(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 7 + 8 ) 8 9 =6 = 6 36=216. 2
× ×
×
Observa que se ha utilizado la fórmula 1+2+3+
··· + n = n(n2+ 1)
para que la suma sea fácil de obtener. En este caso, 8 es un número pequeño. Sin esta última fórmula, la operación sería más difícil de hacerla sin ayuda de una calculadora si el préstamo hubiera terminado en 20 años, en cuyo caso el número de cuotas sería 240.
51
11 Patrones numéricos 11.1 Texto resumen Los patrones numéricos depeden, en general, de las propiedades de los números enteros como: paridad (si un número es par o impar), primalidad (si un número es primo), si puede ser escrito como una cierta potencia (por ejemplo, cuadrados, cubos), etcétera. A continuación, encontrarás algunos consejos a seguir para determinar un patrón numérico. 1. Identifica claramente el número de término que corresponde cada término en la sucesión de números. Por ejemplo, puedes realizar una tabla en la que una fila (o columna) se colocan los términos de la sucesión y en otra el número de término. 2. Observa si dentro de la sucesión hay otras sucesiones; por ejemplo, aquellas formadas solo por los términos de índice par o solo por los términos de índice impar. 3. Observa si existen relaciones entre dos o más términos consecutivos. Por ejemplo, un término es la suma del término anterior y un número constante (como en el caso de las progresiones aritméticas); o es el producto del término anterior y un número constante (como en el caso de las progresiones geométricas); o es la suma de los dos términos anteriores, etcétera.
11.2 Banco de preguntas y respuestas 1. La serie representa el número diario de hojas que caen sobre una piscina, provenientes de un árbol cercano al iniciar la estación de otoño. ¿Cuántas hojas caerán sobre la piscina el décimo día?
1, 5, 4, 8, 7, 11, 10, ... (a) 14 (b) 15 (c) 16 (d) 17 Retroalimentación. La opción correcta es la (d). En efecto, para resolver este problema, debes buscar
un “patrón” en la relación entre los distintos números de la serie. En este caso, puesto que te piden que encuentres cuántas hojas caerán sobre la posicina en el día décimo, una buena idea es indicar, sobre cada número de la serie, el número de día al que corresponde: Día 1 Hojas 1
2
3 4
5
6
7
5
4 8
7 11 10
Como puedes observar, exceptuando el primer día, puedes agrupar los números de hojas que caen de “dos en dos”: (5, 4), (8, 7), (11, 10). Observa que los primeros componentes forman una progresión aritmética que empieza en 1 y cada término es la suma del anterior y el número 3: 5, 8 = 5 + 3, 1 1 = 8 + 3 . El último término corresponde al sexto día, entonces 11+3=14
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corresponderá al octavo día y, por tanto 14+3=17 corresponderá al décimo día. En resumen, el décimo día caerán 17 hojas sobre la piscina.
2. Un concurso en una feria consiste en predecir el siguiente número que aparecerá en la ruleta. Si x es el próximo número en aparecer, ¿cuál es su valor?
(a) 64 (b) 56 (c) 48 (d) 1 Retroalimentación. La opción correcta es (d) . En efecto, Los números que aparecen en la ruleta son
4,
9,
16,
25,
36.
Como puedes observar, son los cuadrados de los números 2,
3,
4,
5,
6,
respectivamente. Esto significa que el número x podría ser tanto el 1 como el 49, porque los números de la segunda serie podría completarse así: 1,
2,
3,
4,
5,
6,
2,
3,
4,
5,
6,
7
o así: y, por tanto, las correspondientes series de sus cuadrados serían 1,
4,
9,
16,
25,
36
16,
25,
36,
49,
y 4,
9,
respectivamente. El primer caso sería la solución si consideras que x es el “primer” término de la serie; El segundo caso, si consideras que x es el “último”. En principio, las dos soluciones son viables; no obstante, entre las opciones de respuesta de este ejercicio, aparece el 1 y no el 49; luego, la primera serie es la solución y la respuesta correcta es 1.
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En resumen, el valor de x es 1.
12 Vectores 12.1 Texto resumen 1. El concepto de vector se utiliza para representar una variedad de situaciones, principalmente en la Física. Su importancia radica en el hecho de que es capaz de representar varios tipos de información mediante un solo objeto. 2. Uno de los usos del concepto de vector es el de representar la posición de un objeto respecto de otro en un sistema de coordendas. De manera más general, dados dos puntos en un plano cartesiano, A = ( a1 , a2 ) y B = (b 1 , b 2 ), hablamos del vector de punto inicial A y punto final B como una flecha con origen en A y término en B :
←−−
El vector se suele representar por AB . 3. Cada punto P del plano se identifica con el vector cuyo inicial es el origen de coordenadas y el punto final es punto P :
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4. Todos los vectores en el plano pueden representar únicamente mediante dos vectores, llamados unitarios; estos vectores son los que se corresponden con los puntos (1 , 0) y (0, 1), y se los , respectivamente. representa con i y j i = (1, 0)
= (0, 1) : y j
Así, todo vector cuyo punto inicial está en el origen de coordenadas y punto final es P = ( u , v ), se representa por . u i + v j 5. Dados dos puntos arbitrarios A = (a1 , a2 ) y B = (b 1 , b 2 ), el vector con punto inicial A y con punto final B es : (b 1 a1 ) i + (b 2 a2 ) j
−
−
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