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Segunda actividad Grupal

Situación y solución planteada:

Un sistema vibratorio que consiste en una masa unida a un resorte como se muestra en la figura

Se suelta desde el reposo a La masa es de

1 5

1 2

 unidades debajo de la posición de equilibrio.

 N   .  El movimiento es m y está está siendo siendo impul impulsad sado o por un una a fuerza fuerza per periód iódica ica

 Kg  y la constante constante elástica elástica es

amortigu amortiguado ado ( β =1,2 ¿ π  T = s ! come etern eterna a comenza nzando ndo en

(

2

)

k =2

t = 0. "ic#a fuerza está definida como

5cos 4 t  . $ara f  ( ( t )=5cos $ara esta esta situ situac ació ión! n! proc proced edem emos os a en enco cont ntra rarr la ecua ecuaci ción ón diferencial que describe el movimiento

En los sistem sistemas as f%sico f%sicos s aceler acelerado ados s la sumato sumatorio rio de fuer fuerzas zas se epre epresa sa de acuerdo a la formulación de la segunda ley de &e'ton  F =ma

∑

"e acue acuerd rdo o al prob proble lema ma plan plante tead ado o se tien tiene e un )ovi )ovimi mien ento to forz forzad ado o con con amortiguamiento. amortiguamiento. En concordancia concordancia con la ley anterior 2

 d  x  dx m 2 =−kx − β  + f  ( t ) dt  dt  2

"onde la aceleración y la velocidad están dadas por *ransponiendo t+rminos en la ecuación 2

m

 d  x  dx  +  β  + kx = f  ( t ) 2 dt  dt 

a=

d  x 2

dt 

 y

v=

dx dt 

, reemplazando los valores dados en esta se tiene 2

1 d  x

 + 1,2 2

5 dt 

 dx 1  + 2 x =5cos4 t x ( 0 )=  x´  ( 0 ) =0 2 dt  2

d  x  dx  + 4  + 5 x =25cos 4 t  2 dt  dt 

Equivalente a Se #ace

f  ( x )=0 para convertir la ecuación a una #omog+nea

2

d  x  + 4 dx + 5 x =0 2 dt  dt 

Se escribe la ecuación caracter%stica y se resuelve m

2

+ 4 m + 5 =0

Solucionándola por fórmula cuadrática se tienen las siguientes soluciones m1=−2+ i !

m2=−2−i

-uando las ra%ces son complejas! la solución se escribe como − 2 t 

 y c =e

( C  cos t + C  sin t ) 1

2

-on el )+todo de coeficientes indeterminados! se supone una solución particular de la forma  y p= A cos 4 t + B sin 4 t  4 t +¿ 4 B cos 4 t  ´ 

 y p =−4  A sin ¿  y p

´ ´ 

=−16  A cos 4 t −16 B sin 4 t  2

d  x  dx  + 4  + 5 x =0 2 dt  dt 

Sustituyendo en la E"

(

)

−16  A cos 4 t −16 B sin 4 t + 4 −4 A sin 4 t + 4 B cos 4 t  + 5

( A cos 4 t + B sin 4 t )=25cos 4 t 

perando

−16 A cos 4 t −16 B sin 4 t −16 A sin 4 t + 16 B cos4 t + 5  A cos 4 t + 5 B sin4 t =25cos 4 t  /euniendo t+rminos semejantes

−11 A cos 4 t −11 B sin 4 t −16  A sin4 t + 16 B cos4 t =25cos4 t  0actorizando

(−11 A + 16 B ) cos 4 t + (−16 A −11 B ) sin 4 t =25cos 4 t 

El sistema de ecuaciones resultante : −11 A + 16 B =25 −16  A −11 B=0

Para sustituir multiplicamos (1) por 11 y (2) por 16, así:

176 B −121 A =275

−176 B− 256 A =0 −377 A =275

Dada la ecuación anterior podemos despear 

 A =

B=

B=

B=

−275 −277

−16 A 

11 −16 A 

11

 (

−275 ¿ −277

400 377

Se cumple !ue:

 A =

"eescri#iendo:  yp = A cos t  4 + B sin4 t 

−275 −277

y

B=

400 377

 yp =

−275 400 cos4 t + sin 4 t  377 −277

$a solución sería:

 %  &  t  −2 t 

 y = e

275

400

( C  cos t + C  sin t )− 277 cos 4 t + 377 sin 4 t  1

2

'aciendo  %  − 20

 y ( 0 )= e 0=

275

400

( C  cos0 + C  sin 0 )− 277 cos4 ∗0 + 377 sin 4∗0 1

2

1 2

¿

e ( C 1 cos0 + C 2 sin 0 ) − 0

C 1   C 1  % C 1  %

275 277

1 2

 &

%

275 277

cos 0 +

400 377

sin ¿

1 2 275 277

927 754

Derivando la e*presión y +aciendo  %    () %

−2 e−2 t C 1 cos t −e−2 t C 2 sin t − 2 e−2 t C 2 sin t + 2 e−2 t  C 1 cos t +

  () % -2 ∗ C 1 &

C 2  &

  1600 377

%

1100 377

sin 4 t +

1600 377

cos 4 t 

-2 ∗ -

927 754

  1854 754

C 2  %

C 2 &

 &  &

754

 .

 % 

377

1600

C 2 &

1854

1600

377 1600 377

% %%-

673 377

Por lo tanto, la ecuación de movimiento es:

/%

− 2t 

e

(

927 754

cos t −

673 377

)

sin t  −

275 377

cos4 t +

400 377

sin 4 t