UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA FACULTAD FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA
Gabriel Rivera Flores
SEGUNDA PRÁCTICA DE LABORATORIO ENUNCIADO DEL PROBLEMA Dada la siguiente placa trapezoidal de longitud L=10plg (254mm), de ancho superior w1=2plg (50.8mm), ancho inferior w 2=1plg (25.4mm), cuyo espesor es constante t=0.125plg (3.175mm), módulo de elasticidad E=10.4x10 6 PSI, el peso específico y P=1000lb. Calcular los esfuerzos en cada elemento finito y la
reacción en el apoyo. (E=71705.47584 (E=71705.47584 N/mm 2, 1pulg=25.4mm) y
, donde
“C” es el último dígito de tu código.
a) Utilizando (para el cálculo manual): 3elementos. b) Elaborar un script para automatizar el cálculo para cualquier número de elementos finitos “n”. (programa en MATLAB)
20091195 20091195I
= 105
(Acero)
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MODELADO DEL CUERPO REAL (3 elementos finitos) Consideramos 3 elementos finitos de longitudes de dos de 85 y una de 84.
Hallamos las bases para los 3 elementos finitos, así:
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Luego, el modelado del cuerpo sería el siguiente:
t=3.175
mm.
Luego las áreas se calculan de la siguiente relación: Ae = be x t Cuadro de conectividad:
Elemento finito 1
2
3
NODOS
GDL
Le (mm.)
Ae (mm2 )
(1) 1
(2) 2
1 Q1
2 Q2
85
147.7962
2
3
Q2
Q3
85
120.8087
3
4
Q3
Q4
84
93.98
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MATRIZ DE RIGIDEZ Calculamos la matriz de rigidez global para los 3 elementos finitos.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Reemplazando
Quedando
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VECTOR CARGA Analizando las fuerzas en cada elemento finito
Analizando las fuerzas en cada elemento finito:
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Ahora analizamos las fuerzas para todo el cuerpo:
Por efecto del incremento de temperatura
(N)
(N)
(N)
El total quedará
(N)
Entonces, F quedará así:
(N)
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GRADOS DE LIBERTAD NODALES (Vector Desplazamiento) A través del gráfico se muestran los grados de libertad nodales globales:
Luego el vector desplazamiento será:
Donde Q1=0 ya que la placa estáempotrada y los demásdesplazamientosson incógnitas quetendrán que sercalculadas. La matrizQ quedaría así:
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ECUACIÓN DE RIGIDEZ
Resolviendo el sistema:
[ ]
Q2 = 0.1401 mm Q3 = 0.2882 mm Q4 = 0.4468 mm R = - 4448.102 N
ESFUERZOS Aplicamos la siguiente ecuación para calcular los esfuerzos:
Reemplazando obtenemos:
()
() () ()
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SCRIPT EN MATLAB %Datos w1=50.8; w2=25.4; l=254; t=3.175; E=71705.47584; G=78.45*10^(-6); P=4448.2216; alfa=10.7*10^(-6); DT=105; % nef=input('Número de elementos finitos: '); %b=[]; for p=1:nef bp=(2*p-1)/(2*nef)*w2+(2*nef-(2*p-1))/(2*nef)*w1; b=[b bp]; end % A=b*t; %L=l/nef*ones(1,nef); % f=[]; F=zeros(1,nef+1)'; EAT=E*alfa*DT; for x=1:nef fi=G*A(x)*L(x)/2-EAT*A(x); f=[f fi]; f=[f fi]; end forct=1:nef f(2*ct)=(-1)*f(2*ct-1); end f(2*nef)=f(2*nef)+P; c=2; for y=2:2:2*nef-2 F(c)=f(y)+f(y+1); c=c+1; end F(1)=f(1); F(nef+1)=f(2*nef); % sub=[1 -1;-1 1]; M=[]; K=zeros(nef+1,nef+1); fori=1:nef Z=zeros(nef+1,nef+1); Z([i,i+1],[i,i+1])=sub; K=K+A(i)*E/L(i)*Z; end % Q1=K([2:nef+1],[2:nef+1])\F([2:nef+1]); Q=[0; Q1] R1=-F(1)+K(1,2)*Q(2)
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S=[]; for j=1:nef S1=E/L(j)*[-1 1]*[Q(j);Q(j+1)]-EAT; S=[S; S1]; end esf
Corriendo el programa en Matlab para 3 elementos finitos y comparando con cálculo manual:
CONCLUSIONES Matlab nos muestra resultados con porcentajes mínimos de error. La precisión de los resultados obtenidos es directamente proporcional al número de elementos finitos que se tomen, hasta que el número de elementos tomados se sature y ya no cambien los resultados. El aumento de la temperatura provoca que los desplazamientos de los nodos sean mayores que cuando solo había desplazamiento por acción de una fuerza.
BIBLIOGRAFÍA TIRUPATHI R. CHANDRUPATLA Introduction to finite elements in engineering, third edition, 2002
SAEED MOAVENI Finite element analysis; theory and application with ansys, second edition, 1999 LABORATORIO DE CÁLCULO POR ELEMENTOS FINITOS
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