Universidad de San Carlos de Guatemala Facultad de Ingeniería Maestría en Estructuras Matemática Aplicada a la Ingeniería Estructural MSc. Fernando Ajiatás Pinto
INVESTIGACIÓN: PRODUCTO ESCALAR Y PRODUCTO INTERNO ORTOGONALIDAD RESPECTO A LA MASA
Grupo No. 7: Gilberto de Jesús Guerra Flores, 200946235 Raúl Alonzo Ramírez Méndez, 200615123 Henry David López Rodríguez, 223485934
Índice
I.
Resumen ...................................................................................................................................... 3
II.
Contenido .................................................................................................................................... 4 A.
Producto Escalar y Producto Interno ...................................................................................... 4
B.
Ortogonalidad ....................................................................................................................... 10
III.
Conclusiones.......................................................................................................................... 15
IV.
Bibliografía ............................................................................................................................ 16
I.
Resumen
El producto escalar o producto interno, es una operación entre dos vectores en un mismo espacio geométrico, donde se satisfacen los axiomas de Euclides (Espacio Euclídeo). Esta operación sirve para analizar algunas propiedades de la geometría euclídea, como: longitudes, ángulos, perpendicularidad y ortogonalidad. Es comúnmente utilizado en espacios vectoriales de dos y tres dimensiones, aunque el mismo está definido en cualquier dimensión. Su resultado se expresa como un solo número o escalar.
La ortogonalidad en espacios vectoriales es un sinónimo de perpendicularidad, sin embargo fuera de este contexto pierde significado geométrico. En espacios vectoriales de dos o tres dimensiones, dos vectores son ortogonales cuando producto interno es igual a cero. De forma similar, se puede decir que dos funciones distintas son ortogonales si su producto interno es cero, siendo en este caso una integral definida la que representa al producto interno. Este concepto tiene particular importancia en la matemática diferencial y en el análisis dinámico de estructuras, en donde el significado se extiende hasta a llegar al concepto de ortogonalidad con respecto a la masa, el cual es considerado como la base para la realización de un análisis modal en una estructura.
3
II.
Contenido
A. Producto Escalar y Producto Interno
Si
y
son vectores en
, entonces
y
se consideran como matrices de n x 1. La transpuesta
es una matriz de 1 x n y el producto matricial escribe como
Si los vectores
se le llama producto interior de
y
, y se
, también se conoce como producto punto.
y
son:
Entonces el producto interior de
y
es:
En matemáticas, se considera que una función es la generalización de un vector. Y los conceptos vectoriales de producto interno (punto) y ortogonalidad se pueden ampliar para abarcar las funciones.
Bajo la suposición de que
y
son vectores en el espacio tridimensional. El producto interno
de los vectores, que también se escribe
posee las siguientes propiedades (Zill, 1997):
i.
Propiedad Conmutativa :
ii.
Propiedad asociativa respecto al producto por un escalar
4
iii.
Propiedad distributiva respecto al producto por un escalar w
iv.
Ejemplo 1:
Suponiendo ahora que del producto
son funciones definidas en un intervalo
. Como una integral
definida en el intervalo también posee las propiedades anteriores,
siempre y cuando existan las integrales, entonces Zill (1997) expresa la definición del producto interno de la siguiente manera:
El producto interno de dos funciones
en un intervalo
es el número:
(
Teorema Sean
y
vectores en
,y
un escalar. Entonces,
Las propiedades b) y c) se pueden combinar varias veces para obtener la siguiente regla útil:
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Longitud de un vector Si
está en
, con entradas
,…,
, entonces la raíz cuadrada de
está definida, ya que
es no negativo.
Suponga que v está en
, es decir
geométrico en el plano, entonces
. Como es usual, si se identifica a
con un punto
coincide con el concepto estándar de la longitud del
segmento de recta que va del origen a . Esto se deduce a partir del teorema de Pitágoras aplicado a un triángulo como el de la figura 1.
Un cálculo similar con la diagonal de una caja rectangular demuestra que la definición de longitud de un vector
en
coincide con el concepto habitual de longitud.
Para cualquier escalar , la longitud de
es
veces la longitud de . Es decir,
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Vector unitario Un vector unitario es un vector cuya longitud es 1. Si un vector entre su longitud —es decir, se multiplica por la longitud de
es
, se obtiene un vector unitario
—
. El proceso de crear
, y se dice que
distinto de cero se divide
a partir de
ya que
en ocasiones se llama
está en la misma dirección que .
El ejemplo que se presentan a continuación emplea notación de vectores (columnas), para ahorrar espacio.
Ejemplo 2: Sea
Encuentre un vector unitario
en la misma dirección que .
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Distancia en Ahora ya estamos listos para describir qué tan cerca está un vector de otro. Recuerde que si son números reales, la distancia sobre la recta numérica entre . En la figura 3 se ilustran dos ejemplos. Esta definición de distancia en
es el número tiene una analogía
directa en
Productos interiores definidos en espacios Vectoriales usuales: Estos productos también llamados canónicos son solo algunos de los infinitos productos interiores que se pueden definir en sus respectivos e spacios.
n
En el espacio vectorial R se suele definir el producto interior llamado producto punto
n
En el espacio vectorial C se define el producto interior por:
En el espacio vectorial de las matrices de m x n con elementos reales B) donde tr(A) es la traza o la suma de los elementos de la diagonal principal de la T
matriz A y A es la matriz transpuesta de A
En el espacio vectorial de las matrices de mxn , con elementos complejos *
Donde tr(A) es la traza de la matriz B y A es la matriz transpuesta conjugada de A
En el espacio vectorial de las funciones continuas sobre el intervalo C[a,b], acotadas por a yb 8
En el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual a n: Dado
є R tal que
]
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B. Ortogonalidad
El concepto de líneas perpendiculares en la geometría euclidiana ordinaria tiene un análogo en . Si se considera vectores
y
o
y dos líneas que pasen por el origen determinadas mediante los
. Las dos líneas que se muestran en la siguiente figura son geométricamente
perpendiculares si, y sólo si, la distancia desde
hasta
es igual a la distancia desde
hasta – .
Esto es análogo a pedir que los cuadrados de las distancias sean iguales (Lay, 2007).
Los mismos cálculos con
y – intercambiados muestran que
Las dos distancias elevadas al cuadrado son iguales si, y sólo si,
, lo cual sucede si,
y sólo si,
Estos cálculos muestran que cuando los vectores
y
se identifican con puntos geométricos, las
líneas correspondientes que pasan por los puntos y el origen son perpendiculares si, y sólo si, La siguiente definición generaliza a
esta noción de perpendicularidad (u
ortogonalidad , como se le llama comúnmente en álgebra lineal).
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Dos vectores
y
en
son ortogonales (entre sí) si
Así también, el teorema de Pitágoras establece una relación de ortogonalidad entre dos vectores y
en la siguiente definición:
Dos vectores
y
son ortogonales si, y sólo si,
Zill (1997) se expresa con respecto a las funciones ortogonales de la siguiente manera:
Dos funciones
son ortogonales en un intervalo
si cumplen con la siguiente condición
(1): (
A diferencia del análisis vectorial, en donde la palabra ortogonal es sinónimo de “perpendicular”, en el presente contexto el término ortogonal y la condición (1) no tienen significado geométrico.
Ejemplo 3: Las funciones
y
son ortogonales en el intervalo
porque
(
Una vez explicado el concepto de las funciones ortogonales, es de interés presentar e l concepto de un “conjunto ortogonal”, el cual es un con junto infinito de funciones ortogonales. Zill (1997) lo define como:
Un conjunto de funciones de valor real
11
Es ortogonal en un intervalo
si
Así también, la norma o longitud
, de un vector
producto interno; concretamente, generalizada, de una función
se puede expresar en términos del
, o bien
, es
. La norma, o longitud ; es decir,
El número
Se llama norma cuadrada de
. Si
y
tiene se dice que
es un conjunto ortogonal de funciones en el intervalo la
propiedad
que
es un conjunto ortonormal en el intervalo.
Ejemplo 4:
Demuestre que el conjunto
Si se define
es ortogonal en el intervalo
y
, debemos demostrar que
y que
En el primer caso,
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Y en el segundo caso,
Proyección ortogonal El Departamento de Matemáticas de ITESM, ofrece el siguiente teorema para definir la proyección ortogonal:
Teorema: Sea espacio lineal
una matriz
y un espacio lineal
. Entonces, existe una única matriz
Si
Si
entonces
sobre
tal que (
si y sólo si
y cumple que
.
entonces
se puede expresar como
forman una base ortonormal de
Además,
en
de dimensión , ambos dentro de un
, donde
y
.
. La matriz para toda
se llamará la proyección ortogonal de en
y hay igualdad si y sólo si
.
Ortogonalidad con respecto a la masa en Dinámica de Estructuras Dentro del campo de la Dinámica de Estructuras, se aplica el concepto de ortogonalidad con respecto a la masa, el cual se refiere a una propiedad de las estructuras, en donde se verifica que la masa de la estructura esté distribuida de una manera que permita discretizar los modos de vibración que pueda tener al momento de re sponder frente a una fuerza externa.
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Esta propiedad de ortogonalidad con respecto a la masa es utilizada en el análisis modal, donde sirve para verificar la correcta distribución de la masa de la estructura. Esta condición, es utilizada además, para realizar comprobación de los cálculos realizados en un análisis modal.
Paz (1992), define esta propiedad como: “la base de uno de los métodos más atractivos para resolver problemas dinámicos de multigrados de libertad”.
Goicoela (2001), propone la siguiente demostración de la condición de ortogonalidad:
Suponga dos modos de vibración
y
, correspondientes a autovalores distintos
son ortogonales respecto a la matriz de masa
,
:
La expresión anterior se puede interpretar como la anulación del producto interior de los vectores y
, en la métrica definida por
.
En efecto, debe cumplirse:
Donde
representa la matriz de rigidez de la estructura.
Premultiplicando la primera igualdad por gracias a la simetría de
Al ser
y de
, la segunda por
y restando ambas entre sí,
obtenemos
, queda demostrada la ortogonalidad.
La ortogonalidad con respecto a
implica también ortogonalidad con respecto a
.
14
III. -
Conclusiones
El producto interno, escalar, interior o punto, es una función que relaciona un par de vectores u y v, en un espacio vectorial definido. El concepto en este procedimiento matemático es multiplicar cada elemento de cada vector por su correspondiente elemento en el otro vector transpuesto, siendo su resultado un número real o escalar, este concepto se puede ampliar para evaluar de una forma análoga el producto interno de funciones. Su aplicación, permite examinar algunas importantes propiedades geométricas del espacio vectorial bajo análisis. Se trata de una de las operaciones esenciales del algebra lineal y matricial, definido en un espacio vectorial
-
.
Matemáticamente, una matriz es ortogonal, cuando su matriz inversa concuerda con la matriz transpuesta. Su representación geométrica, se interpreta como transformaciones isométricas en espacios vectoriales reales. Debido a sus propiedades, son utilizadas en múltiples áreas de la física, entre las cuales destaca, el movimiento de cuerpos rígidos.
-
La ortogonalidad con respecto a la masa, es una propiedad sumamente importante en la Dinámica de estructuras, siendo la base de un análisis modal. Sirve para verificar que la masa, en una estructura sometida a cargas externas, se encuentre debidamente distribuida y de esta manera discretizar los modos de vibración. Además, suele utilizarse como una comprobación de los cálculos realizados luego de un análisis de este t ipo.
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IV.
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Bibliografía
Departamento de Matemáticas ITESM. Álgebra Matricial y Optimización Ma130 Producto
Interno y Ortogonalidad.
-
Goicolea Ruigómez, José María (2001) Curso Breve de Dinámica. 1ª edición. Colegio de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos Servicio de Publicaciones - Colección Escuelas.
-
Lay, David C. (2007) Álgebra lineal y sus aplicaciones 3ª edición. Pearson Educación, México. 584p.
-
Paz, Mario (1992) Dinámica Estructural, Teoría y Cálculo. 3ª edición. Editorial Reverté. España.
-
Zill, Dennis. G. (1997) Ecuaciones diferenciales, con aplicaciones del modelado . 6ª edición. International Thomson Editores. México.
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