Introducción Algunos problemas de aplicación
7. Ecuaciones
7.1 Introducción Una ecuación ecuación se forma forma a partir partir de la igualdad igualdad entre dos expresio expresiones nes algebraicas. algebraicas. Las ecuaciones ecuaciones son importantes pues con estas se modela matemáticamente situaciones en diversas disciplinas de las ciencias e ingeniería. Por ejemplo: La velocidad del flujo sanguíneo se define como la tasa de desplazamiento de sangre por unidad de tiempo. La relación entre el flujo sanguíneo v (velocidad lineal [ cm/s]), el flujo Q (flujo de volumen por unidad de tiempo [ ml /s]) y el área de la sección transversal (área de la sección transversal de
Q . Si observas, este problema en el área de la salud requiere A la comprensión y manejo de ecuaciones. En particular, si un hombre tiene un gasto cardíaco de 3.2 L/min, el diámetro de la aorta es 18mm y el área total de la superficie de sus capilares sistémicos de 2400cm2 ,
un vaso sanguíneo [ cm2 ], está dada por v =
nos interesa hallar la velocidad de flujo sanguíneo en la aorta respecto la velocidad de flujo sanguíneo en los capilares. Aquí, la situación requiere una mejor comprensión de los datos y su solución requiere completamente completamente del análisis de datos, sustitución sustitución de valores valores en la ecuación, solución, solución, etc. En este sentido sentido es importante abordar el concepto de ecuación y la forma como puedes resolverla. Veremos algunos problemas en otras área de conocimiento que obliga el uso de ecuaciones. Definición 7.1.1 Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas. A las expresiones
algebraicas que intervienen en una ecuación se les conoce como términos de la ecuación.
ecuaciones en una, dos, tres o cuatro variables son: Ejemplo 7.1 Algunas ecuaciones
• √ 3 x2 − 2 x = 8 • x + 1 2+ 5 =3 √ x − y • xyz = x + y + z
• 2 z x++w3 y = 4 x + y5 • 2 x = 5 • x = 5
Aunque en los términos de una ecuación puede aparecer mas de una variable, a nosotros nos interesan en
Capítulo 7. Ecuaciones
2 esta sección ecuaciones de una sola variable. Ejercicio 7.1 Para consultar:
1. 2. 3. 4. 5.
¿Qué es resolver una ecuación? ¿Qué es el conjunto solución de una ecuación? ¿Cuándo un valor numérico satisface una ecuación? Decide si es verdadero o falso: El valor x = 5 satisface la ecuación x2 5 x = ¿Qué valores satisfacen o son solución de la ecuación x2 4 = 0? x 1 5 x 1 6. ¿Es x = 1 solución de la ecuación 2 = ? x 1 x 2 4 7. Verifica que el conjunto solución de la ecuación 3 x2 2 x = 8 es 2, 43 . 8. ¿Es x = 3, y = 52 solución de la ecuación x + 1 + 5 = x y?
−
− − − − √
−
−
− √ { } −−
−25.
Por el momento solo nos interesa solucionar dos tipos de ecuaciones de una variable. Estas son lineales (donde el grado de los términos que participan es a lo mas 1) y donde el número máximo de soluciones será una; y cuadráticas; (donde el grado de los términos que participan es a lo mas 2) donde tendrá máximo dos soluciones. Esta sección la dedicamos al estudio de ecuaciones lineales y problemas de aplicación.
Ejemplo 7.2 Una ecuación lineal y una cuadrática:
1. x + 4 = 7( x
2. x + 1 = 2 x2 x + 5
− 8)
−
Para resolver una ecuación sea lineal o cuadrática haremos uso de reglas que nos permita transformar la ecuación original en una mas sencilla. Estas reglas han sido conocidas como reglas de transposición de términos. Observación 7.1 Esta reglas se derivan de la ley uniforme de la igualdad para la suma y el producto de
los números reales. T1 Todo término que suma pasa a restar y todo término que resta pasa a sumar. Por ejemplo, en la ecuación x + 2 = 3 , podemos pasar a restar el 2 (pues está sumando en el término izquierdo) y quedará x = 3 2 y así, x = 1 . Si tenemos y 2 = 3 entonces pasando a sumar el 2 (pues está restando) quedará y = 3 + 2 = 5 siendo y = 5 la solución y único elemento en el conjunto solución de la ecuación. T2 Todo lo que multiplica y no es cero pasa a dividir y todo lo que está dividiendo pasa a multiplicar. Por ejemplo, si tenemos la ecuación 2 x + 4 = 1, tenemos 2 x = 1 4 o 2 x = 3. Como observas, 3 el 2 multiplica a la variable x y para despejarla, debemos pasar a dividir el 2 , quedando x = . 2 x + 1 También podemos tener la ecuación = 8. El 5 está dividiendo TODO el término izquierdo, 5 entonces lo pasamos a multiplicar todo el término derecho, quedando x + 1 = 40. Pasamos el 1 a restar y así x = 39. Además de tener en cuenta las reglas establecidas anteriormente, debes tener en cuenta la jerarquía de las operaciones, pues esta es necesaria para despejar la variable en una ecuación.
−
−
−
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Área de Matemáticas
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−
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7.2 Algunos problemas de aplicación
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Definición 7.1.2 Una ecuación es lineal es de la forma
bx + c = 0 donde b, c
∈ R y b = 0.
Observación 7.2 Toda ecuación lineal se resuelve usando (T1) o (T2)
Ejemplo 7.3 Usos de las reglas de transposición.
−5 x − 3 3(−5 x − 3) −15 x − 9 −15 x −15 x −15 x − 4 x −19 x
= = = = = = =
x = x =
−5 + 4 x −5 +3 4 x −5 + 4 x −5 + 4 x + 9
4 + 4 x 4 4 4 19 4 19
− −
(T2) "3 esta dividiendo pasa a multiplicar" "Recuerde usar ley distributiva" (T1) "9 esta restando pasa a sumar" Sumando términos independientes (T1) "4 x esta sumando pasa a restar" Sumando términos semejantes (T2) " 19 esta multiplicado pasa a dividir"
−
finalmente por la ley de los signos
Ejercicio 7.2 Resuelve las siguientes ecuaciones.
1. 5( y + 1) 4 = 4( y + 12) 3 2. 2[3 x 5(2 x + 3)] = 2 x 3 1 3. x + = 2 5 2 1 3 1 5 4. a + = a 3 7 2 7 5. x( x + 4) 2 x + 1 = ( x + 1)2 2 2 1 6. 3 + = 5
− − − − − − − − t t
7. 8.
1
x − 2 1
= +
−
−
10. 11.
6 − = 1 w − 3 w2 − 2w − 3 1 2 5 √ √ − = √ x x 2 2 3
12.
+
4
=
2
x + 1 x2 − 1 x − 1 13. −2 x − 3(5 − 3 x) = 2( x + 4) + 5 14. −[2 x − (5 x + 2)] = 2 − (2 x + 6) 15. 2[−( x − 1) + 4] = 5 + [−(6 x − 7) + 9 x] 16. (3 x − 4) − (5 x − 8) = −( x + 12) − 6 x + 1 3 x 5 x
−
3
x + 5 3
w
+ = 13 4 2 4 x + 1 x + 5 x 3 18. = + 3 6 4 x 8 8 x 19. + = 5 5 3 17.
= 0
x − 2 x + 3 x 2 9. = 3 + x − 2 x − 2
−
−
−
7.2
Algunos problemas de aplicación Emplearás las técnicas presentadas para resolver los problemas que a continuación se proponen. Además, debes leer y analizar los datos para determinar la información que te brinda el modelo (ecuación) que se propone con cada problema.
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Capítulo 7. Ecuaciones
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Ejercicio 7.3 Sobre ecuaciones lineales: 1. La relación entre la temperatura medida en grados Celsius (T C ) y en grados Fahrenheit (T F ) está
5 (T F 32). Si la temperatura dada es grados Celsius y desea hallar en grados 9 Fahrenheit, ¿cómo emplea esta expresión para realizar tal cálculo? Si es correcto lo anterior, a qué equivale en T F lo correspondiente a 5oC ? ¿A qué equivale 40F ? 2. La velocidad en metros por segundo de un móvil que va en un camino recto está dada por la expresión v = 4t + 20. ¿Cuánto tiempo ha transcurrido cuando la velocidad es de 2m/s y también cuando la velocidad es de 0m/s? 3. Un agente de ventas quiere calcular el costo de un producto con impuesto de venta de 2 .50%. Escriba una ecuación que permita al agente hallar el costo total c del producto que cuesta x dólares. 4. El ingreso semanal por el cuidado de n niños en una guardería vienen dado por la expresión r = 370 x [en miles de pesos] y sus costos mensuales por c = 340 x + 7500. Halle la cantidad de niños que deben inscribirse para llegar al punto de equilibrio, es decir, para que los ingresos sean igual a los costos. 5. Una compañía de telefonía celular cobra un cargo básico de $54000 que incluye 240 minutos y 20 mensajes de texto. Además, cobra $150 pesos por cada minuto adicional. La cuenta de Lali para el mes de junio es de $120000. ¿Cuántos minutos adicionales consumió? 6. En un rectángulo de base b y altura a, el perímetro viene dado por P = 2a + 2b. Resuelva la ecuación para b. Halle este valor si P = 28 y a = 4. 7. La ecuación C = 25 x + 70 da el costo de producción [en millones de pesos] de x cantidad de unidades. Halle el número de unidades que se pueden producir sabiendo que el costo ascendió a 220 [en millones de pesos]. 8. El ingreso de ventas por cierto producto viene dado por I = 250 q, donde q es el número de unidades vendidas. Halle el ingreso por vender 350 unidades. Halle el número de unidades que deben venderse para obtener ingresos de 1250. 9. Un proyecto de costura requiere de tres piezas de tela. La pieza mas larga debe tener el doble de la longitud de la pieza mediana y la pieza mas corta debe ser 10 metros mas corta que la pieza mediana. Las tres piezas se cortarán de un trozo lineal de tela de 70 metros de largo. Halle la longitud de cada pieza. 10. Se invierte 2500 millones de pesos al 2% anual de interés simple. Determine la ganancia por inteses en un año. Escriba una expresión que permita resolver este problema. 11. Si se suma 2 a cinco veces un número, el resultado es igual a 5 mas cuatro veces el número. Halle el número. 12. Un químico debe mezclar 8 litros de una solución ácida al 40% con una solución al 70%, para obtener una solución al 50%. Halle la cantidad de la solución al 70% que debe usar. 13. Una persona desea invertir $40000 en dos entidades financieras, una de las cuales le paga el 4% de interés anual y la otra le paga 6% de interés anual. Esta persona sabe que el ingreso total anual por este par de inversiones debe ser igual a $2040. Determine la cantidad que debe invertir en cada entidad financiera. 14. Dos artistas X e Y realizaron dos giras de conciertos. Se conoce que ambos generaron $560 millones en venta de boletas. Se sabe también que Y obtuvo $5.6 millones menos que X . Determine lo que generó cada gira. dada por T C =
−
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