UNIVERSIDAD CENTRAL DE ECUADOR FACULTAD DE INGENIERÍA EN GEOLOGÍA, MINAS, PETRÓLEO Y AMBIENTAL INGENIERÍA DE PETRÓLEO MATEMÁTICA
DEBER GRUPAL
AUTORES: Cuzco Nathaly Jácome Erick Tejena Diego Terán Massiel Valverde Andy
QUITO – ECUADOR ECUADOR 2017-2017
Pag. 18 (ejercicios 33 y 41) 33. a) Verifique que
– = = 3 = = 33 ′ = 12 3 − 6 ′ = √33 ′ = 3 33 ∗ √33 = 3 3=3 – = = ∅
es una familia de soluciones uniparamétricas
de la ecuación diferencial
b) Bosqueje, a mano, la gráfica de la solución implícita todas las soluciones explícitas
. Determine
de la ED del inciso a) definidas por esta
relación. Dé un intervalo I de definición de cada una de las soluciones explícitas.
3 =3 3 3= = 3 1 3 1=0 1= 03 =1 =√ 1 =1 ó =1 1 = 3 1 =1; ∞+ 2 = 3 1 =1; ∞+ 3 = 3 1 =∞−;1 4 = 3 1 =∞−;1 – = , = =2 =3 3 =3
c) El punto
está en la gráfica de
explícitas del inciso b) satisface que
pero ¿cuál de las soluciones
?
32 3 =3 349=3 129=3 3=3 = 3 1 3= 32 1 3= 341 3= 33 3=3 1 2 =3 = 3 =∞−;1 =2 ′ =, = .. La solución que satisface que ; ya que
es la solución
en el intervalo
y pertenece a ese intervalo y cumple con la condición.
41. Considere el problema con valores iniciales
de las dos curvas que se muestran en la figura Explique su razonamiento
∗′ =2
. Determine cuál
es la única curva solución posible.
∗0 = 12 =0 = 12 ∗′ =212 ′ =1 ∗′ =2 1=0212 1=1 La derivada de una función representa la pendiente de esta y en este caso la pendiente es
′ =1
lo que significa que es una curva decreciente, por lo tanto, la única solución posible
es la curva
0;
ya que esta tiene pendiente negativa.
Pag. 19 Ejercicio 45 Crecimiento de la población Al inicio de la siguiente sección veremos que las ecuaciones diferenciales se pueden usar para describir o modelar diversos sistemas físicos. En este problema suponemos que un modelo de crecimiento de la población de una pequeña comunidad está dado por el problema con valores iniciales
dPdt =0,15Pt 20 ;P0 =100
donde P es el número de personas en la comunidad y el tiempo t se mide en años. ¿Qué tan rápido, es decir, con qué razón está aumentando la población en t_ 0? ¿Qué tan rápido está creciendo la población cuando la población es de 500? t =0 P(0)=100
=0,15P(0)+20
100
=0,15(100)+20 =
+20
= 35
∴ ó ó 3500 ñ tf=T P(T)= 500
500 95
=0,15P(T)+20
=
+20
=
∴ ó ó 9500 ñ
Pág. 28 Propagación de una enfermedad 7. Suponga que un alumno es portador del virus de la gripe y regresa al apartado campus de su universidad de 1000 estudiantes. Determine una ecuación diferencial para el número de personas x(t) que contraerán la gripe si la razón con la que la enfermedad se propaga es proporcional al número de interacciones entre el número de estudiantes que tiene gripe y el número de estudiantes que aún no se han expuesto a ella. El número de estudiantes infectados es “x” y el número de no infectados es “1000-x”.
=1 → =1000
Página 33 34. Suponga que dA/dt = -0.0004332 A(t) representa un modelo matemático para el decaimiento radiactivo del radio-226, donde A(t) es la cantidad de radio (medida en gramos) que queda al tiempo t (medido en años). ¿Cuánto de la muestra de radio queda al tiempo t cuando la muestra está decayendo con una razón de 0.002 gramos por año?
=0,0004332 ⇒ ` =0,0004332
A(t)=cantidad de radio(g)
` =0,002 ` = 0,0,0004332 002 =4,6168 = 0, 0004332 Página 51
Con frecuencia, un cambio radical en la forma de la solución de una ecuación diferencial corresponde a un cambio muy pequeño en la condición inicial o en la ecuación misma. En los problemas 35 a 38 determine una solución explícita del problema con valores iniciales dado. Utilice un programa de graficación para dibujar la gráfica de cada solución.
Compare cada curva solución en una vecindad de (0, 1). 35.
=1
Cambio de variable:
, 0=1
1 = = 1 =1 = =
−= − = ⇒ 1 = 11 = = 1 1= 01 0 =1 0=1 ∴ : =1
Cuando x=0 ; y=1
c
36.
= 1
, 0 =1,01
Cambio de variable:
1 = = 1 =1 =
Cuando x=0 ; y=1,01
= −= − = ⇒ 1 = 11 = = 1 1,01= 01 0 1, 0 1=1 1,01=1 0,01=1 =100 = 1001 100 : = 101 100
37.
= 1 0,01
Cambio de variable:
Cuando x=0 ; y=1
,0 =1 1 0,01 = 1 0,01 = =1 = 10−101 = 1 = 101 10 =1 101 10 1=1 101 010 1=1 =0 : =1 101 10
38.
= 1 0,01
Cambio de variable:
,0 =1 1 0,01 = 1 0,01 = =1 = 011|= 5|1109
Cuando x=0 ; y=1
0111|=0 5|11019 5|11|= =5ln1 =0 011|= 5|1109
1011 ln 109 = 1011 109 = 1011 = 109 119 : = 1010
Comparación de todas las gráficas
En la gráfica se puede notar que para los ejercicios 35,37,38 existe una única solución que es el punto (0;1) ya que todas estas ecuaciones pasan por dicho punto, en cambio el ejercicio 37 tiene un desfase de 0,01
Página 61 Resolver el problema con valores iniciales dado. Utilice un programa de graficación para trazar la función continua y(x). 34.
=;; 0≤<1 ≥1
=; = 2 = 1 1 1 1 12 = 1 = ;∈; 12 = 1 = 12 = 1 ∫ ∫ = = + = (+) = 1 12 =0 = 12 = 12 ln=ln1 Cuando
Solución E.D. Homogénea
= 1 [∫]=∫ 1 = 1 1 1= 1= 1 = 2 = 21 = ;∈; ∞ 12 =0 = 12 = 12 ln=ln1 = 1 Solución E.D. No homogénea
Para
Solución E.D. Homogénea
Solución E.D. No Homogénea
12 = 1 = 12
= 1 ∫ ∫ = = + = (+) = 1 [ ∫]=∫ 1= 1 1 1 = 1 = 1 = 2 = 21 ; 0≤<1 = 21 ; ≥1 21 Pag.
69
Ejercicio 30 En los problemas 29 y 30 compruebe que la ecuación diferencial dada es no exacta. Multiplique la ecuación diferencial dada por el factor integrante indicado m( x , y ) y compruebe que la nueva ecuación es exacta. Resuelva.
= , = − x 2xyy =2x2y y 2xyx =2y2x − μ x, y = xy dx y 2xyx dy=0 x 2xyy xy xy + + +− = −++ −+− 4xy2y ∂M∂y = xy2x2yxy2x xy 2x 4xy2y ∂M∂y = 2x 2xy2xy2y xy ∂M∂y = xy 4xy + + +− = −++ −+− 2xy2y 4xy2x ∂N∂y = xy2xy2y 2xxy ∂M∂y = xy 4xy ∂f∂x =Mx,y 30.
;
M(x,y)=
N(x,y)=
No es exacta
Se multiplica a la ecuación por
M(x,y)=
N(x,y)=
Es exacta
∂f∂x = x 2xyy xy x 2xyy ∂f x, y = xy ∂x x 2xyy ∂f x, y = xy ∂x x 2xyy 2y f x, y = xy ∂x xy 2y f x, y = xy ∂x xy f x, y = xy ∂x2y xy1 ∂x 2 f x, y=x ∂f∂y =Nx,y ′ = y 2xyx 4 2 xy xy 44y 2y ′ = y 2xyxxy
2y =1 ′ = xxy =1 =1 g(y)=-y+c
2 f x, y=x yc ∴ =
Solución implícita
Página 100
31. Tanque cilíndrico con gotera (continuación) Cuando se considera la fricción y contracción del agua en el agujero, el modelo del problema 11 se convierte en,
, << =. = = ℎ 2ℎ =0, 6 ℎ=10 =0,= π0,5 02pies = 576 =32 =? donde
. ¿Cuánto tarda el tanque del problema 11b en vaciarse si
? Vea el problema 13 de los ejercicios 1.3.
Datos
=
Solución
ℎ = 1 ℎ = 1 2ℎ ℎ = 2ℎ ℎ =8 √ ℎ ℎ√ ℎ =8 √ ℎℎ =8 2√ ℎ =8 ℎ0 = 2√ =8 0 = 2√ 2√ ℎ =8 √ 4 √ ℎ= ℎ=0
0, 0 2√ 1 04 0, 6 576 = 0,02 1 =0,02√ 1 040,020,6 576 40, 6 40, 6 =(0,02√ 10) 2(0,02√ 10)
576 576 0=0,0040,0002630,0000173 =3035, 7 9 =50,6
13. Tanque cónico con gotera Un tanque con forma de cono recto con el vértice hacia abajo, está sacando agua por un agujero circular en su fondo. a) Suponga que el tanque tiene 20 pies de altura y tiene un radio de 8 pies y el agujero circular mide 2 pulgadas de radio. En el problema 14 de los ejercicios 1.3 se le pidió mostrar que la ecuación diferencial que gobierna la altura h del agua que sale del tanque es:
= / 6ℎ ℎ=5 6ℎ ℎ=5 125 ℎ =5
En este modelo, se consideró la fricción y la contracción del agua en el agujero con
.
y el valor de g se tomó de
tarda en vaciarse?
=
. Si al principio el tanque está lleno, ¿cuánto
ℎ=20 =0 = 125 ℎ 5 12 = 5 20 5 0 =4293.250517 ℎ=0 =? 125 ℎ =5 12 ℎ = 55 4293.250517 12 0 = 5 5 = 4293.5250517 =858.6501034 ∗ 160 =14.31 b. Suponga que el tanque tiene un ángulo de vértice de 60° y el agujero circular mide dos pulgadas de radio. Determine la ecuación diferencial que gobierna la altura h del agua. Utilice c = 0.6 y g = 32 pies/s 2. Si al principio la altura del agua es de 9 pies , ¿cuánto tarda en vaciarse el tanque?
Datos
=60° ℎℎ;=ℎ√ ;=ℎ 30° 3 = ℎ3 ℎ = 2ℎ Solución
2 ℎ =0,6 ℎ12 √ 64ℎ 3 ℎ = 2 5ℎ EJERCICIO 15 (PAG 115)
Acuíferos y la ley de Darcy
De acuerdo con el departamento de servicios de Sacramento en California, aproximadamente 15% del agua para Sacramento proviene de acuíferos. A diferencia de fuentes de agua tales como ríos o lagos que yacen sobre del suelo, un acuífero es una capa de un material poroso bajo el suelo que contiene agua. El agua puede residir en espacios vacíos entre rocas o entre las grietas de las rocas. Debido al material que está arriba, el agua está sujeta a una presión que la impulsa como un fluido en movimiento. La ley de Darcy es una expresión generalizada para describir el flujo de un fluido a través de un medio poroso. Muestra que el flujo volumétrico de un fluido a través de un recipiente es una función del área de sección transversal, de la elevación y de la presión del fluido. La configuración que consideraremos en este problema es el denominado problema para un flujo unidimensional . Considere la columna de flujo como la que se muestra en la figura 3.R.5. Como lo indican las flechas, el flujo del fluido es de izquierda a derecha a través de un recipiente con sección transversal circular. El recipiente está lleno con un material poroso (por ejemplo piedras, arena o algodón) que permiten que el fluido fluya. A la entrada y a la salida del contenedor se tienen piezómetros que miden la carga hidráulica, esto es, la presión del agua por unidad de peso, al reportar la altura de la columna de agua. La diferencia en las alturas de agua en los piezómetros se denota por h. Para esta configuración se calculó experimentalmente mediante Darcy que:
∆
= ∆ℎ
Donde la longitud se mide en metros (m) y el tiempo en segundos (s): Q =flujo volumétrico (m3/s) A =área transversal del flujo, perpendicular a la dirección del flujo (m2) K =conductividad hidráulica (m/s) L = longitud de la trayectoria de flujo (m)
∆
h =diferencia de carga hidráulica (m)
Donde la carga hidráulica en un punto dado es la suma de la carga de presión y la elevación, el flujo volumétrico puede rescribirse como:
Dónde:
∆ =
p =presión del agua (N/m2) r = densidad del agua (kg/m3) g = aceleración de la gravedad (m/s2) y = elevación (m) Una forma más general de la ecuación resulta cuando el límite de Δh respecto a la dirección de flujo ( x, como se muestran la fi gura 3.R.5) se evalúa como la longitud de trayectoria del flujo L: 0. Realizando este cálculo se obtiene:
=
Donde el cambio en el signo indica el hecho de que la carga hidráulica disminuye siempre en la dirección del flujo. El flujo volumétrico por unidad de área se llama flujo q de Darcy y se define mediante la ecuación diferencial:
Donde q se mide en m/s.
= =
a) Suponga que la densidad del fluido ρ y el flujo de Darcy q son funciones de x. Despeje la presión p de la ecuación (1). Puede suponer que K y g son constantes.
b) Suponga que el flujo de Darcy es evaluado negativamente, es decir, q < 0. ¿Qué indica esto respecto del cociente p/ρ? En concreto, ¿el cociente entre la presión y la densidad aumenta o disminuye respecto a x? Suponga que la elevación y del cilindro es fija. ¿Qué puede inferirse acerca del cociente p/ρ si el flujo de Darcy es cero?
c) Suponga que la densidad del fluido ρ es constante. Despeje la presión p( x) de la ecuación (1) cuando el flujo de Darcy es proporcional a la presión, es decir, q = α p, donde α es una constante de proporcionalidad. Dibuje la familia de soluciones para la presión.
d) Ahora, si suponemos que la presión p es constante pero la densidad ρ es una función de x, entonces el flujo de Darcy es una función de x. Despeje la densidad r( x) de la ecuación (1).
Despeje la densidad r( x) de la ecuación (1) cuando el flujo de Darcy es proporcional a la densidad, q=βρ, donde β es una constante de proporcionalidad.
− 1 = 12
e) Suponga que el flujo de Darcy es q( x) = sin
y la función densidad es:
Use un SAC para trazar la presión p( x) sobre el intervalo 0 <= x<= 2л. Suponga que K / g =1 y que la presión en el extremo izquierdo del punto ( x= 0) está normalizado a 1. Suponga que la elevación y es constante. Explique las implicaciones físicas de su resultado.
a)
= ∫
b) El cociente entre la presión y la densidad aumenta. Si el flujo de Darcy es igual a cero este cociente es constante. c)
=
= ∫
d) Cuando la presión es constante pero la densidad una función de x se tiene:
Cuando el flujo de Darcy es proporcional a la densidad se t iene que:
= 2 Donde C es una constante arbitraria.
e) Mientras la densidad y la velocidad del flujo de Darcy disminuye, la presión en el contenedor aumenta inicialmente pero luego disminuye. El cambio de densidad es menos dramático que en la caída en la velocidad y tiene un buen efecto inicial en el sistema. Sin embargo, como la densidad del fluido decrece, la presión también lo hará.
