Coeficientes Indeterminados: M etodo e´ todo del Anulador C. Lopez o´ pez Septiembre del 2009
Resumen
1
Intr Introd oduc ucci ci´on o´ n
Consideremos ciertas ecuaciones diferenciales no homog eneas e´ neas con ciertos coeficientes constantes de orden l : L y L y
f x
al Dl
en efecto
,
al 1 Dl
1
a1 D
(1) ao y
podemos dar soluci on ´ a (??) si sabemos como anular f x con operadores operadores simples. simples. Aqu´ Aqu´ı llamamos ”anular” al efecto de aplicar un anulador m´ınimo ınimo no trivial, digamos alg ´un un M pm Dm b1 D b0 a ambos lados de ( ??) para obtener una ecuaci´on on homog´enea enea M L y 0 o bien ML y
0
(2)
´ de (??), ya que podemos cuya soluci on o´ n no necesariamente es la misma que la de ( ??), pero contendr´ contendra´ la solucion extraer la soluci on o´ n de (??) desde la de (??). Para ilustrar esto sabemos, L y
f x
ML y
0
y
C 1 y1
C 2 y2
. ..
C m l ym
l,
en donde L es de orden l y M es de orden m, lo que vuelve a ML y una ecuaci´on on diferencial homog´enea enea de grado m l cuyas soluciones y1 ym l son linearmente independientes, es decir, que forman un conjunto fundamental de soluciones esta E.D. Si las soluciones de esta E.D. de orden m l son linearmente independientes, entonces, la solucion ´ a la ecuaci on o´ n diferencial no homog enea e´ nea L y esta´ contenida en la nueva ecuaci on o´ n homog´ homogenea e´ nea f x est´ 0, aunque en algunos casos, se pueda perder informaci´on on al aplicar M . ML y ,. ..,
2
Enco Encont ntra rand ndo o M
Ejemplo 1. Consideremos la siguiente ecuaci on o´ n diferencial lineal no homog enea e´ nea con coeficientes constantes L1 y
y
y
1
Resolviendo la parte homog enea e´ nea de L1 , tenemos como ra´ ra´ıces ıces de su polinomio caracter´ caracter ´ıstico ıstico r 2 que su soluci´on on complementaria es yc c1 e x c2 e x , con c1 c2 R.
r , a
1, por lo
,
Carlos Eduardo L opez o´ pez Camey, Universidad del Valle Valle de Guatemala, Ecuaciones Diferenciales UVG-MM2014, Carn e´ #08107, http://kmels.net http://kmels.net
1
Para resolver la parte no homog enea e´ nea y haciendo uso del m etodo e´ todo del anulador, necesitamos un operador M que vuelva homog´ homogenea e´ nea a nuestra ecuaci on o´ n diferencial L1 . Si derivamos ambos lados para esta, e´ sta, tenemos ML y
y
y
0
lo que nos deja con una E.D. homog enea, e´ nea, eso es en efecto, el resultado de aplicar el operando M lados de la ecuaci on o´ n de L y .
D en ambos
Resolviendo ML y , tenemos como ra´ıces ıces a 0 y a 1, que nos deja como soluci´on on general de esta (o vi´endolo endolo x x k 3 e , con k 1 k 2 k 3 R desde otra perspectiva, la particular de L y ) a y p k 1 k 2 e ,
y p
Pero los t´ terminos e´ rminos k 2 e x y k 3 e k 1 .
x
,
ya est´ estan a´ n inclu´ inclu´ıdos ıdos en la soluci on o´ n complementaria yc de L1 , lo que nos deja con
Encontremos ahora el coefieciente particular k 1 para y p . 0 0
y p y p
y p
1
y p
0
Lo que nos deja con la soluci on o´ n particular de L1 , y p Sabiendo que la ecuaci´on on general de L y es, y c1 e x
y
1
k 1
1
yc c2 e
1
k 1
y p , tenemos entonces x
1
c1 c2 ,
R
Habiendo resuelto la E.D. del Ejemplo 1, tan solamente o´ lamente aplicando el operador anulador M D, es decir, el operador diferencial ( D), fue un caso trivial, pero para algunas ecuaciones diferenciales este no es el caso, resumamos entonces, los diferentes anuladores para volver homog´enea a una ecuaci´on on que no lo es. 1. Para anular anular una constante constante C R, usar el operador D (como en el Ejemplo 1) n n 1 C , usar Dn 1 Para anular x x ,
,. ..,
2. Para Para anular anular ekx , usar el operador D k n 1 ekx , usar el operador D Para anular xn ekx xn 1 ekx ,
k n
,. ..,
1
3. Para Para anular anular sen(kx) o´ cos(kx) (o las dos al mismo tiempo), usar el operador D2 k 2 . Para anular xn sen(kx) xn cos(kx) xn 1 sin kx sen(kx) cos(kx), usar el operador D2 k 2 ,
,
,. ..,
n 1
,
4. Para Para anular anular ekx sen(bx) o´ ekx cos(bx) (o las dos al mismo tiempo), necesitamos el operador cuyo polimonio caracr 2 2kr k 2 b2 , en efecto el operador ter´ ter´ıstico ıstico tenga como ra´ ra ´ıces ıces a k bi, es decir, r k bi r k li a usar es D2 2kD k 2 b2 ekx sin bx o´ ekx cos( bx), usar el operador Para anular xn ekx sen(bx) xn ekx cos(bx) xn 1 ekx sin bx xn 1 ekx cos(bx) 2 2 2 n 1 D 2kD k b ,
,
,
,. ..,
Ejemplo 2. Encontremos un operador diferencial lineal con coeficientes constantes, con el m´ınimo ınimo grado posible y anula a la funci on o´ n dada. •
e8 x
e2 x :
•
2 x3
7 x2 e
•
2sen(3 x)
D 2 x
:
3cos(6 x) :
8 D
2
D4 D
2 D2
3
9 D2
36 2
3
•
3 x6
2 x4
•
xsen(2 x)
•
x x2 cos(3 x)
•
x3
•
x4 e x sen(2 x)
e
x
x3
D7
2:
cos(2 x)
D D2
3:
xsen(2 x)
cos(5 x)
3 xe x cos(2 x) :
2
D2 D2
sen(5 x) :
D4 D
e x sen(2 x) :
4
1 D2 D2
2 D
2 D
5
9
3
D2
4
2
D2
25
5
5
Resume Resumen n de los pasos pasos a seguir seguir
Los siguientes pasos explicados pueden variar alguna vez, pero cada uno va a ser parte del proceso de resolver la E.D eventualmente 1. Identific Identificar ar la soluci´ soluci´on on complementaria de L, yc que consiste en la combinaci´on on lineal de l funciones linealmente independientes . Esta es, la soluci on o´ n a la E.D. homog´ homogenea e´ nea relacionada. ´ 2. Obtener una nueva ecuaci´ ecuacion o´ n diferencial lineal homog enea e´ nea aplicando el anulador m´ m ´ınimo ınimo posible M de la funci on relacionada con L a ambos lados de la E.D. original L, para obtener ML y (a) Resolver la nueva nueva ecuaci´ ecuacion o´ n homog´ homogenea e´ nea ML y , que tendr´ tendra´ m pendientes.
l funciones soluciones linealmente inde-
(b) Identificar cuales cuales de esas funciones, ya est´ est´an contenidas en yc . (c) Las funciones que no fueron fueron ”eliminadas” ”eliminadas” por el paso 2b, forman a y p 3. Sustitu Sustitu´´ır ır los coeficientes indeterminados de y p en la E.D. original L y (a) Establece Establecerr L y p
f x y expandir la igualdad
(b) Comparar los coeficientes coeficientes en las diferentes funciones funciones de L y p con los de f x y resolver para ellos, para obtener y p 4. Establecer la soluci soluci on o´ n general de L y , que es yc
4
y p .
Mas a´ s Ejemplos
Ejemplo 3. Resolvamos 3 y
y
6e2 x
40 y
Eso es, D2
L2 y
3 D
40 y
6e2 x
Resolviendo la parte homog enea e´ nea de L2 y , tenemos que las ra´ ra ´ıces ıces de su polinomio caracter´ caracter ´ıstico ıstico son, 8 y c1 e8 x
yc
Ahora, aplicamos el anulador M 2
D D
c2 e
5 x
2 : 2 D
ML y
8 D D
La solucion ´ a ML2 y es entonces,
5 y
2 D
8 D
y
Ae2 x
Be8 x
En donde, el t´ termino e´ rmino Ae2 x representa a y p y yc 2
Be8 x
Ce
3
D
5 x
Ce
2 6e2 x 5 y
0
5 x
, que ya est´ esta´ inclu´ inclu´ıdo ıdo en yc de L2 y
5.
Resolviendo por el m etodo e´ todo de coeficientes indeterminados entonces,
y p
3 y p
y p
Ae2 x
y p
2 Ae2 x
y p
4 Ae x
6e2 x
40 y p
4 Ae2 x
3 2 Ae2 x
40 Ae2 x
6e2 x
Resolviendo entonces para A, e2 x A 4
6
6e2 x
40
42 A
6 1 7
A
Lo que nos deja, a la soluci on o´ n general y
y p
1 2 x e 7
y
yc Be8 x
5 x
Ce
B C
,
,
R
Ejemplo 4. Resolviendo D2
L3 y
3 D
40 y
sen(2 x)
Resolviendo la parte homog enea, e´ nea, tenemos como ra´ ra´ıces ıces a 8 y -5 de nuevo, por lo que c1 e8 x
yc 3
c2 e
5 x
Ahora, procediendo a anular, es decir, volviendo homog enea e´ nea a L y y obteniendo ML y al aplicar M 3 tenemos D2
ML3 y
4 D D2
ML3 y
8 D 4 D
5 y
D2
8 D
5 y
4 sin2 x 0
De donde, tenemos como soluci´on on particular y p
Ya que, los t´ terminos e´ rminos e8 x y e
5 x
A sin2 x
Bcos(2 x)
ya est´ estan a´ n inclu´ inclu´ıdos ıdos en yc . Encontremos entonces los valores de A y B y p y p y p
Asen(2 x)
Bcos(2 x)
2 Asen(2 x)
2 Bsen(2 x)
4 Asen(2 x)
4 Bcos(2 x)
Nos deja 4 Asen(2 x)
4 Bcos(2 x) 4 A
3 2 Acos(2 x)
2 Bsen(2 x)
40 Asen(2 x)
6 B
40 A sen(2 x)
4 B
6 A
44 A
6 B sen(2 x)
6 A
44 B cos(2 x)
Y resolviendo el sistema de ecuaciones 44 A
6 B
1
6 A
44 B
0
4
40 B cos(2 x)
Bcos(2 x)
sen(2 x)
sen(2 x)
sen(2 x)
D2
4 ,
nos deja con A
11 493
3 986
yB
y 11 sen(2 x) 493
y p
Encontrando la soluci´on on final y
y p
.
yc
11 sen(2 x) 493
y
3 cos(2 x) 986
3 cos(2 x) 986
Ee 8 x
5 x
Fe
E F ,
R
Ejemplo 5. Resolviendo y
8 y
e3 x
6 D
8 y
6 y 2
L4 y
D
sen( x) e3 x
sen( x)
Resolviendo la parte homog enea e´ nea de L4 , tenemos como ra´ ra ´ıces ıces del polinomio caracter´ caracter ´ıstico ıstico a yc
Aplicando el anulador M 4 D
D
c1 e
4 x
4y
2
2 x
c2 e
3 D 1 , tenemos
3 D2
1 D2
ML4 y
6 D D
8 y
3 D2
D
3 D2
1 D2
1 e3 x
6 D
8 y
sen( x)
0
Resolviendo ahora, tenemos como ra´ ra ´ıces ıces a 3, i, -4 y -2. Las soluc solucion iones es de las ultimas u´ ltimas dos ra´ ra ´ıces ıces ya fueron inclu´ inclu´ıdas ıdas en yc , lo que nos deja con y p c3 e3 x c4 cos( x) c5 sen( x) Y resolviendo los coeficientes indeterminados y p
3c3 e3 x
c4 sen( x)
c5 cos( x)
y p
9c3 e3 x
c4 cos( x)
c5 sen( x)
Implicando que 9c3 e3 x
c4 cos( x)
c5 sen( x)
6 3c3 e3 x
9c3 e3 x
c4 cos( x)
c5 sen( x)
18c3 e3 x
35c3 e3 x
7c4 cos( x)
c5 cos( x)
8 c3 e3 x
c4 cos( x)
6c5 cos( x)
8c3 e3 x
8c4 cos( x)
c4 sen( x)
6c4 sen( x)
6c4 sen( x)
7c5 sen( x)
6c5 cos( x)
e3 x
Que nos deja con el sistema de ecuaciones siguiente 35c3
y resolviendo, tenemos c3
1 ,c 35 4
7 ,c 35 5
7 c4
6c5
6 c4
7c5
c1 e
4 x
c2 e
0 1
6 65
Finalmente, escribiendo la soluci on o´ n general de L4 , y
y
1
2 x
y p
1 3 x e 35
5
yc
7 cos( x) 85
6 sen( x) 65
c5 sen( x)
e3 x
8c5 sen( x)
e3 x
sen( x)
Comp Compar arac aciion o´ n con otros m´ metodos e´ todos
5
Primero que nada, vamos a resaltar desventajas y ventajas que tiene este e´ ste m´ metodo e´ todo •
•
Ventaja: Para resolver la soluci on o´ n particular de una E.D, es suficiente saber resolver ecuaciones de sistemas lineales y de conocer, el anulador a aplicar. Desventaja Podr´ Podr´ıan ıan quedar un sistema de ecuaciones muy grande a resolver.
Comparando con el m´etodo etodo de superposici´on on y el de variaci´on on de par´ametros ametros •
´ Variaci´ Variacion o´ n de parametros amet ros vs. vs. Metodo e´ todo del anulador : Vemos que en variaci on o´ n de par´ parametros, a´ metros, de igual forma resolvemos resolvemos una ecuacion o´ n homog´ homogenea e´ nea primero (para obtener la soluci on o´ n complementaria). Luego, con el m etodo e´ todo de variaci´on on de par´ametros ametros hace falta calcular tres determinantes de matrices, y luego integrar, lo que hace m´as m´as largo el proceso. La unica u´ nica ventaja ac´ aca´ sobre el m´ metodo e´ todo del anulador es que, no hace falta resolver sistemas de ecuaciones, pero a mi juicio, es mucho m as a´ s preferible, resolverlo, que calcular determinantes de matrices o integrales (pueden ser matrices muy grandes, o integrales largas).
•
Superposici´ Superposicion o´ n vs. vs. Metodo e´ todo del anulador De igual forma, hay que resolver para la soluci on o´ n homog´ homogenea e´ nea en ambos ambos casos. casos. En el m´ metodo e´ todo de superposici on, o´ n, antes de llegar a resolver el sistema de ecuaciones (que se hace en ambos casos tambi en), e´ n), hay que tener una buena intuici on o´ n para proponer la forma de y p , cuando en el m´ metodo e´ todo del anulador, solo hace falta resolver una ecuaci´on on homog´enea. enea.
Referencias [1] 2007, Michael M. Dougherty Dougherty,, Lecture 10: Nonhomogeneous Linear ODEs And The Annihilator Method , Southwestern Oklahoma State University, Differential Equations 1. [2] 2006, Dennis Dennis G. Zill, Zill, Ecuaciones Diferenciales con aplicaciones de modelado, Octava Edici on. ´
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