15.5 Superficies paramétricas
Comprender la definición y esbozar la gráfica de una superficie paramétrica. Hallar un conjunto de ecuaciones paramétricas para representar una superficie. Hallar un vector normal y un plano tangente a una superficie paramétrica. Hallar el área de una superficie paramétrica.
Superficies paramétricas Ya se sabe representar una curva en el plano o en el espacio mediante un conjunto de ecuaciones paramétricas o, equivalentemente, por una función vectorial.
() = () + () Curva en el plano. () = () + () + () Curva en el espacio. . .. ,, ,, . (,,) (,, ) = (,, ) + (,, ) + (,, ) Superficie paramétrica.a. = (,, ), =( =(,, ) =( =(,, ) Ecuaciones paramétricas. r , (,) (,) ,
En esta sección se aprenderá a representar una superficie en el espacio mediante un conjunto de ecuaciones paramétricas o mediante una función vectorial. Obsérvese que en el caso de las curvas, la función vectorial es función de un solo parámetro En En el caso de las superficies, la función vectorial es función de dos parámetros y
DEFINICIÓN DE SUPERFICIE PARAMÉTRICA P ARAMÉTRICA
Sean
y funciones de dado por
y
continuas en un dominio continuas
del plano
Al conjunto de puntos Al
se le llama una superficie paramétrica. Las ecuaciones
son las ecuaciones paramétricas para la superficie.
Si S es una superficie paramétrica dada por la función vectorial entonces entonces es trazada por el vector posición a medida que el punto se mueve por el dominio como como se indica en la figura 15.35.
Figura 15.35
TECNOLOGÍA Algunos sistemas algebraicos por computadora dibujan superficies paramétricas. Si se tiene acceso a este tipo de software, utilícese para representar gráficamente algunas de las superficies de los ejemplos y ejercicios de esta sección.
EJ EMPLO 1 Trazado de una superficie paramétrica
( ) ,, = 3cos 3co s + 3 + 0≤≤2 0≤≤4. =3cos = 3 , (, , ) ,, + = 3 . 3,3, =, 3,3, 0≤≤4, Identificar y dibujar la superficie paramétrica
Donde
dada por
y
Solución Como
y se sabe que en cada punto se de la superficie, y están relacionados mediante la ecuación En otras palabras, cada sección transversal de paralela paralela al plano , es una circunferencia de radio centrado centrado en el eje Como Como donde donde se ve que la superficie es un cilindro circular recto de altura 4. El radio del se cilindro es y y el eje z forma el eje del cilindro, como se muestra en la figura 15.36.
..
Figura 15.36 Como ocurre con las representaciones paramétricas de curvas, las representaciones paramétricas de superficies no son únicas. Es decir, hay muchos conjuntos de ecuaciones paramétricas que podrían usarse para representar la superficie mostrada en la figura 15.36.
EJ EMPLO 2 Trazado de una superficie paramétrica
(,, ) = cos + + cos 0≤≤ 0≤≤2.
Identificar y dibujar una superficie paramétrica
Donde
y
dada por
TECNOLOGÍA Algunos sistemas algebraicos por computadora dibujan superficies paramétricas. Si se tiene acceso a este tipo de software, utilícese para representar gráficamente algunas de las superficies de los ejemplos y ejercicios de esta sección.
EJ EMPLO 1 Trazado de una superficie paramétrica
( ) ,, = 3cos 3co s + 3 + 0≤≤2 0≤≤4. =3cos = 3 , (, , ) ,, + = 3 . 3,3, =, 3,3, 0≤≤4, Identificar y dibujar la superficie paramétrica
Donde
dada por
y
Solución Como
y se sabe que en cada punto se de la superficie, y están relacionados mediante la ecuación En otras palabras, cada sección transversal de paralela paralela al plano , es una circunferencia de radio centrado centrado en el eje Como Como donde donde se ve que la superficie es un cilindro circular recto de altura 4. El radio del se cilindro es y y el eje z forma el eje del cilindro, como se muestra en la figura 15.36.
..
Figura 15.36 Como ocurre con las representaciones paramétricas de curvas, las representaciones paramétricas de superficies no son únicas. Es decir, hay muchos conjuntos de ecuaciones paramétricas que podrían usarse para representar la superficie mostrada en la figura 15.36.
EJ EMPLO 2 Trazado de una superficie paramétrica
(,, ) = cos + + cos 0≤≤ 0≤≤2.
Identificar y dibujar una superficie paramétrica
Donde
y
dada por
Figura 15.37 Solución Para identificar la superficie, se puede tratar de emplear identidades trigonométricas para eliminar los parámetros. Después de experimentar un poco, se descubre que
+ + = ( cocoss ) + ( )) + (cos) cos) = + + ) + = ( + =+ = 1.1. = , (, ) + =, 0≤ ≤ , = ,(,) = cos , = = cos 0≤≤2 0≤≤,
Así pues, cada punto en se encuentra en la esfera unitaria o esfera unidad, centrada en el origen, como se muestra en la figura 15.37. Para traza circunferencias de latitud
paralelos al plano
y y para
traza semicírculos de longitud (o meridianos).
Nota Para convencerse de que la función vectorial del ejemplo 2 traza toda la esfera unitaria o esfera unidad, recuérdese que las ecuaciones paramétricas
Donde y describen la conversión de coordenadas esféricas a coordenadas describen rectangulares, como se vio en la sección 11.7.
Ecuaciones paramétricas para superficies En los ejemplos 1 y 2 se pidió identificar la superficie descrita por un conjunto dado de ecuaciones paramétricas. El problema inverso, el de asignar un conjunto de ecuaciones paramétricas a una superficie dada, es generalmente más difícil. Sin embargo, un tipo de superficie para la que este problema es sencillo, es una superficie dada por
= (,, ).
Tal superficie se puede parametrizar como
(, ) =++(,)
EJ EMPLO 3 Representar una superficie paramétricamente Dar un conjunto de ecuaciones paramétricas para el cono dado por
= +
como el que se muestra en la figura 15.38.
Figura 15.38
=(, ), (, )=++ + .
Solución Como esta superficie está dada en la forma
se pueden tomar parámetros. Entonces el cono se representa por la función vectorial
donde
(,
y
como
) varía sobre todo el plano
=(), ≤≤
Otro tipo de superficie fácil de representar paramétricamente es una superficie de revolución. Por ejemplo, para representar la superficie generada por revolución de la gráfica de en torno al eje se utiliza
,
Donde
,
=, =()cos =() ≤≤ 0≤≤2. y
EJ EMPLO 4 Representación de una superficie de revolución paramétricamente Dar un conjunto de ecuaciones paramétricas para la superficie de revolución obtenida al hacer girar
en torno al eje x .
()= 1 , 1≤≤10
Figura 15.39
=, =()cos= 1 cos =() = 1 1≤≤10 0≤≤2. =() =() , =, =() cos =()
Solución Utilizar los parámetros
y
como se describió arriba para obtener
Donde y La superficie resultante es una porción de la trompeta de Gabriel , como se muestra en la figura 15.39. La superficie de revolución del ejemplo 4 se forma haciendo girar la gráfica de en torno al eje x . Para otros tipos de superficies de revolución, puede usarse una parametrización similar. Por ejemplo, para parametrizar la superficie formada por revolución de la gráfica de en torno al eje se puede usar
Vectores normales y planos tangentes Sea
una superficie paramétrica dada por
(, ) =(, ) +(, )+(, ) , . = (,)+ (,)+ (,) = (, ) + (, )+ (, ). = (,) . ((, ), (, ), (, )) (, ) = (, ) + (, ) + (, ) sobre una región abierta
derivadas parciales de
tal que y con respecto a y
tienen derivadas parciales continuas en están definidas como
Las
Y
Cada una de estas derivadas parciales es una función vectorial que puede interpretarse geométricamente en términos de vectores tangentes. Por ejemplo, si se mantiene constante, entonces es una función vectorial de un solo parámetro y define una curva que se encuentra en la superficie El vector tangente a en el punto está dado por
Figura 15.40
= (, ((, ), (, ), (, ) (, ) = (, ) + (, ) + (, ) × (,)
como se muestra en la figura 15.40. De manera similar, si se mantiene constante, entonces ) es una función vectorial de un solo parámetro y define una curva que se encuentra en la superficie . El vector tangente a en el punto está dado por
Si el vector normal no es 0 para todo en se dice que la superficie es suave y tendrá un plano tangente. De manera informal, una superficie suave es una superficie que no tiene puntos angulosos o cúspides. Por ejemplo, esferas, elipsoides y paraboloides son suaves, mientras que el cono del ejemplo 3 no es suave.
VECTOR NORMAL A UNA SUPERFICIE PARAMÉTRICA SUAVE Sea
una superficie paramétrica suave
(, )=(, ) +(, )+(, ) . (, ) (, , ) = ((, ), (, ), (, ) =(, )×(, )= ×. ×.
definida sobre una región abierta en el punto
está dado por
en el plano
Nota La figura 15.40 muestra el vector normal
Sea
un punto en D. Un vector normal
El vector
apunta en la dirección opuesta.
NOTA
EJ EMPLO 5 Hallar un plano tangente a una superficie paramétrica Hallar una ecuación para el plano tangente al paraboloide dado por
(, )=++( +)
también es normal a
y
en el punto
(1,2,5).
(,,)=(1,2,5) (, )=(1, 2). =+2 =+2 × =|10 01 22 |=−2−2+ (1, 2 , 5 × =−2−4+ (1,2,5 −2( −1)−4(−2)+( −5)=0 −2−4+=−5.
Solución El punto en el plano derivadas parciales de
que es llevado al punto
es
Las
son
El vector normal está dado por
lo cual implica que el vector normal en del plano tangente en ) es
) es
Por tanto, una ecuación
El plano tangente se muestra en la figura 15.41.
Figura 15.41 Área de una superficie paramétrica
∆ =∆∆, (, , ) = . ∑ ∆ ≈ ∑ ∆.
Para definir el área de una superficie paramétrica, se puede usar un desarrollo similar al dado en la sección 14.5. Para empezar se construye una partición interna de que consiste en rectángulos, donde el área del rectángulo i -ésimo es como se muestra en la figura 15.42. En cada sea el punto más cercano al origen. En el punto de la superficie se construye un plano tangente El área de la porción de que corresponde a puede ser aproximada por un paralelogramo en el plano tangente. Es decir, Por tanto, la superficie de está dada por El área del paralelogramo en el plano tangente es
( ) , ((, ), (, ), (, ) , ∆, ∆ ≈∆.
‖∆ ×∆r‖=‖ ×‖∆∆
lo cual conduce a la definición siguiente.
Figura 15.42 ÁREA DE UNA SUPERFICIE PARAMÉTRICA Sea
una superficie paramétrica suave
(, )=(, ) +(, )+(, ) . Á =∫ ∫ =∫ ∫‖ ×‖ = + + y = + + =(, ), (, ) =++(, ) . =+(, ) =+(, ) × =10 01 ((,, ))=−(, ) −(, ) + ×= (, ) +[(, )] +1. Á =∫ ∫ ×
definida sobre una región abierta en el plano Si cada punto de la superficie corresponde exactamente a un punto del dominio , entonces el área de la superficie está dada por
donde
Para una superficie dada por esta fórmula para el área de la superficie corresponde a la dada en la sección 14.5. Para ver esto, se puede parametrizar la superficie utilizando la función vectorial
definida sobre la región
en el plano
Utilizando
se tiene
Y
Esto implica que el área de la superficie de
es
=∫ ∫ (, ) +[(, )] +1
EJ EMPLO 6 Hallar el área de una superficie
Hallar el área de la superficie de la esfera unitaria (o esfera unidad) dada por
donde el dominio
(, )= + +cos 0≤≤ 0≤≤2. . = + −sen =− + × =|−coscos | cos − 0 = + + cos ‖ ×‖ = + + = + = = >0 0≤≤. =∫ ∫‖ ×‖ =∫ ∫ =∫ 2 =4. ( ) . , 0 =(, 2 ) . está dado por
Solución Para empezar se calcula
y
y
El producto vectorial de estos dos vectores es
lo cual implica que
Por último, el área de la superficie de la esfera es
Nota La superficie del ejemplo 6 no satisface totalmente la hipótesis de que cada punto de la superficie corresponde exactamente a un punto de En esta superficie, para todo valor fijo de Sin embargo, como el traslape consiste sólo en un semicírculo (que no tiene área), se puede aplicar la fórmula para el área de una superficie paramétrica.
EJ EMPLO 7 Hallar el área de una superficie Hallar el área de la superficie del toro dado por
(, ) = (2+cos) cos+ (2+cos) + 0≤≤2 0≤≤2.
donde el dominio D está dado por
y
(Ver la figura 15.43.)
. =− − +cos =−(2 +cos) +(2 +cos) o s − × =|−(−c | 2 +cos) (2 +cos) 0 =−(2 +cos)( +cos+ ) ‖ ×‖=(2+cos) +cos + =(2+cos) (+) + =(2+cos) + =2+cos. =∫ ∫‖ ×‖ =∫ ∫ (2 +cos) =∫4 Figura 15.43
Solución Para empezar se calculan
y
El producto vectorial de estos dos vectores es
lo cual implica que
Por último, el área de la superficie del toro es
=8
Si la superficie es una superficie de revolución, se puede mostrar que la fórmula para el área de la superficie, dada en la sección 7.4, es equivalente a la fórmula dada en esta sección. Por ejemplo, supóngase que sea una función no negativa tal que sea continua sobre el intervalo Sea la superficie de revolución formada por revolución de la gráfica de donde en torno al eje De acuerdo con la sección 7.4, se sabe que el área de la superficie está dada por
,, . . 0≤≤2.
′
, ≤≤
Á =2∫ () 1 + ′().
=, 0()cos =() , ≤≤ (, )=+()cos+() Á =∫ ∫‖ ×‖
Para representar paramétricamente, sea Entonces,
y
donde
y
Tratar de mostrar que la fórmula
es equivalente a la fórmula dada arriba (ver ejercicio 58).
EXPLOR ACIÓN
(,)
Para el toro del ejemplo 7, describir la función para fijo.
(,) para
fijo. Después describir la función
15. 5 Ejercicios
En los ejercicios 1 a 6, relacionar la función vectorial con su gráfica. [Las gráficas están marcadas a), b), c ), e) y f ).]
1. (, )=++ Solución:
2. (, )= + + Solución:
3. (, )=+ 12 (+)+ 4. (, )=+ 14 + 5. (, )=2cos +2cos +2 Solución:
Solución:
Solución:
6. (, ) =4cos+4 + Solución:
En los ejercicios 7 a 10, hallar la ecuación rectangular de la superficie por eliminación de los parámetros de la función vectorial. Identificar la superficie y dibujar su gráfica.
7. (, ) =++ 2 Solución:
8. (, ) =2 +2 + 12 Solución:
9. (, )=2cos++2 Solución:
10. (, ) =3cos +3cos +5 Solución:
En los ejercicios 11 a 16, utilizar un sistema algebraico por computadora y representar gráficamente la superficie dada por la función vectorial.
11. (, )=2 +2 +, 0≤≤1, 0≤≤2 Solución:
12. (, )=2 +4cos + , 0≤≤2, 0≤≤2 Solución:
13. (, )=2 ℎ +ℎ +cosh , 0≤≤2, 0≤≤2 Solución:
14. (, ) =2 +2 +, 0≤≤1, 0≤≤3 Solución:
15. (, ) = ( − ) cos+ (1−cos) +, 0≤≤, 0≤≤2 Solución:
16. (, ) = + +, 0≤≤ 2 , 0≤≤2 Solución:
(, ) = + +,
(, ) ≤≤
Para pensar En los ejercicios 17 a 20, determinar cómo la gráfica de la superficie
≤≤.
difiere de la gráfica de (ver la figura) donde (No es necesario representar s gráficamente.)
y
17. (, ) = + −, 0≤≤2, 0≤≤2 Solución:
18. (, ) = ++ , 0≤≤2, 0≤≤2 Solución:
19. (, )= + +, 0≤≤3, 0≤≤2 20. (, )=4 +4 +, 0≤≤2, 0≤≤2 Solución:
Solución:
En los ejercicios 21 a 30, hallar una función vectorial cuya gráfica sea la superficie indicada. 21. El plano Solución:
22. El plano Solución:
= ++=6
23. El cono Solución:
24. El cono Solución:
=√ 4 +9 =√ 16 + + =25 4 + =16
25. El cilindro Solución:
26. El cilindro Solución:
27. El cilindro Solución:
=
28. El elipsoide Solución:
+ + =1
29. La parte del plano Solución:
=4
interior al cilindro
30. La parte del paraboloide Solución:
= +
+ =9
interior al cilindro
+ =9
S uperficie de revolución En los ejercicios 31 a 34, dar un conjunto de ecuaciones paramétricas para la superficie de revolución obtenida por revolución de la gráfica de la función en torno al eje dado. Función
Eje de revolución
31. = 2 , 0≤≤6 Solución:
32. = √ , 0≤≤4 Solución:
33. = , 0≤≤ Solución:
34. = +1, 0≤≤2 Solución:
Plano tangente En los ejercicios 35 a 38, hallar una ecuación para el plano tangente a la superficie dada por la función vectorial, en el punto indicado.
35. (, ) = ( +)+ ( −)+, (1,−1,1)
Figura para 35 Solución:
36. (, ) =++ √ , (1,1,1)
Figura para 36 Solución:
37. (, ) =2 +3 +, (0,6,4)
Solución:
38. (, ) =2 ℎ +3 ℎ + 12 , (−4,0,2)
Solución:
Á rea En los ejercicios 39 a 46, hallar el área de la superficie sobre la región dada. Utilizar un sistema algebraico por computadora y verificar los resultados. 39. La parte del plano Solución:
(, ) =4−+ 0≤≤2 0≤≤1
40. La parte del paraboloide Solución:
, donde
y
(, ) =2cos+2 + 0≤≤2 0≤≤2 , donde
y
41. La parte del cilindro Solución:
42. La esfera Solución:
donde
y
(, ) =sen u cos+ +cos 0≤≤ 0≤≤2
43. La parte del cono Solución:
(, ) =cos+ + 0≤≤2 0≤≤
, donde
y
(, ) = cos+ +, 0≤≤ 0≤≤2 donde
y
( ) ( ) ( ) , = +cos c os+ + + , >, 0≤≤2 0≤≤2
44. El toro
donde
y Solución:
2
45. La superficie de revolución Solución:
(, ) = √ cos+ √ +, 0≤≤4 0≤≤ donde
y
≤2
46. La superficie de revolución Solución:
(, ) = cos++ , 0≤≤ 0≤ donde
y
Desarrollo de conceptos 47. Definir una superficie paramétrica. Solución:
. (, ) =cos+ +,0 ≤ 0≤≤2.
48. Dar la integral doble con las que se obtiene el área de la superficie de una superficie paramétrica sobre una región abierta Solución:
49. Mostrar que se puede representar el cono del ejemplo 3 de manera paramétrica mediante y
Solución:
Para discusión
0≤≤ , 0≤≤2
(, )=+ cos+ , (10,0,0), (−10,10,0),(0,10,0) (10,10,10).
50. Las cuatro figuras son gráficas de las superficie
Relacionar cada una de las cuatro gráficas con el punto en el espacio desde el cual se contempla la superficie. Los cuatro puntos son y
Solución:
51. E s fera as teroidal Una ecuación de una esfera asteroidal en
, y
es
/ +/ +/ =/. (, ) = cos + sen +a cos , 0≤≤ 0≤≤2
Abajo se presenta una gráfica de una esfera asteroidal. Mostrar que esta superficie puede representarse paramétricamente por medio de y
Solución:
52. Utilizar un sistema algebraico por computadora y representar gráficamente tres perspectivas de la gráfica de la función vectorial
(, ) = cos+ +, 0≤≤ 0≤≤ (10,0,0),(0,0,10) (10,10,10). donde
desde los puntos Solución:
y
y
53. Investigación Utilizar un sistema algebraico por computadora y representar gráficamente el
(, ) =(+cos)cos+ ( + ) + 0≤≤2 0≤≤2. )) =8, =4, =1 =1 )) =8, =4, =3 =2 toro
para cada conjunto de valores de y donde para describir los efectos de y en la forma del toro.
Solución:
y
Utilizar los resultados
54. Investigación Considerar la función del ejercicio 14. a) Dibujar una gráfica de la función donde gráfica.
=1. =2/3 =(, ).
se mantenga constante en
Identificar la
b) Dibujar una gráfica de la función donde se mantenga constante en . Identificar la gráfica. c ) Suponer que una superficie está representada por la función vectorial ¿Qué generalización se puede hacer acerca de la gráfica de la función si uno de los parámetros se mantiene constante? Solución:
55. Á rea de la s uperficie La superficie de la cúpula de un museo está dada por
(, )=20 cos+20 +20cos 0≤≤/3 0≤≤2
donde Solución:
y
y
está en metros. Hallar el área de la superficie de la cúpula.
(1,0,0)
56. Hallar una función vectorial para el hiperboloide tangente en Solución:
.
+ − =1
y determinar el plano
57. Representar gráficamente y hallar el área de una vuelta completa de la rampa en espiral
0≤≤3 0≤≤2
donde Solución:
y
(, )=cos+ +2
′ , ≤≤,, . . =,=() cos =()(, ,) =+(≤≤ 0≤≤2. ) cos+() . Á =2∫ () 1 + ′() Á =∫ ∫‖ ×‖ 58. Sea una función no negativa tal que
es continua en el intervalo Sea la superficie de revolución formada por revolución de la gráfica de donde en torno al eje Sea y donde y Entonces, se representa paramétricamente mediante Mostrar que las fórmulas siguientes son equivalentes.
Solución:
59. Proyecto abierto Las ecuaciones paramétricas
=3+ 7−cos(3−2)−2cos(3+) =3+ 7−cos(3−2) −2cos(3+) =sen(3−2) +2sen(3+) −≤≤ −≤≤,
donde y representan la superficie mostrada en la figura. Tratar de crear una superficie paramétrica propia utilizando un sistema algebraico por computadora.
Solución:
60. Banda de Möbius La superficie mostrada en la figura se llama banda de Möbius y puede representarse mediante las ecuaciones paramétricas
2cos, =+cos 2sen, = 2 =+cos −1≤≤1 0≤≤2 =3
donde , y Trate de representar gráficamente otra banda de Möbius para diferentes valores de utilizando un sistema algebraico por computadora.
