Método dos Residuos Ponderados

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ INSTITUTO DE TECNOLOGIA PROGRAMA DE DOUTORADO EM ENGENHARIA DE RECURSOS NATURAIS DA AMAZÔNIA

DISCIPLINA: Tópicos Especiais em Energia: Métodos de Volumes Finitos e Elementos Finitos Prof. Herbe Lins

Aluno: Sil Franciley dos Santos Quaresma

Método dos Residuos Ponderados

O método baseia-se em encontrar equações numéricas que se aproxime da solução da equação diferencial EDO, uma vez que o resíduo entre estas equações tende a zero: d 2u 2



du

dx dx  para

!1

u 0  ! 0 u 1 ! 0 Utilizando a função:

J  !  x n ( x  1) n

E, u%! § E iJ i i !1

2

n

§

 R( x) !

d E i Ji

i !1

dx 2



d E iJi   -1 dx

Solução analítica:          

Para o método da colocação a soluçã o encontrada a partir do programa Mathematica foi:

´

1

0

w( x) ( x)dx ! 0, onde w( x) representa a função peso, para o metodo da colocação:  

w( x) ! DeltaDirac ( x  xi ) As equações resultantes desta integração são: 





 

 

 

                        

                                                   

Solucionando este sistema de equações, a equação que se aproxima da equação diferencial é: 





u%!                    Plotando a solução numérica juntamente com a solução analítica da EDO temos:

0.0000384585 . ¢ 

¡ 

. £ 

¡ 

¡ 

.6

¡ 

. ¤

.

¡ 

¥ 

0 .02

0 .04

0 .0 6

0 .08

0. 0 ¦ 

0.

§ 

¦ 

Onde o valor da norma é 0,0000384585, e o resíduo  R(  x) se comporta da seguinte forma: 0 .00 6

0 .004

0 .002

0 .2

0 .4

0 .6

0 .8

0 .002

0 .004

0 .00 6

Para o método dos momentos: w( x ) ! x i 1

´

1

0

w( x ) R ( x )dx ! 0

As equações resultantes são:           



  

 



 



 

   

 

 

   



u%!                  E a solução numérica se comporta da seguinte forma:

   

1 .0

0 00004955  

02

04

¨ 

0

¨ 

08

10

08

10

¨ 

© 

¨ 

0 02  

0 04  

00  

 

0 08  

0 10  

0 12  

A norma neste caso é 0,00004955 E R(  x) se comporta da seguinte maneira: 0 00  

 

0 004  

0 002  

02

04

 

0

 

 

 

 

0 002  

0 004  

0 00  

 

Para o método dos mínimos quadrados o w( x ) ! x i R ( x ) E

O sistema de equações resultante neste caso é:   

u%! 

 

 





 

  







solução analítica da seguinte forma:



 





 

  

 

  

 



  

  

     

, a solução numérica varia em comparação a

0.000048031 02

04

 

0

 

08

 

 

 

10  

0.0 2

0.0 4

0.06

0.0 8

0.1 0

0.12

Onde a norma é 0,000048031 E o resíduo varia:

0.00 5

0. 2

0. 4

0 .8

0 .6

0.00 5

Método dos subdomínios: ( x) ! 1

 

´

 xh

 xl 

 

( x) R(x )dx ! 0  















 

                             



A solução para u%é: 





u%!                 , e seu comportamento é:

1 .0

0.0000394097 0.2

0.4

0.6

0.8

1 .0

0.8

1.0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

Cuja norma é 0,000039097, o comportamento de R(  x) é:

0.005

0.2

0 .4

0.6

0.005

Para o método Galerkin:  

( x ) ! J i

As equações resultantes da integração  





´



1

( x)R (x )dx ! 0 são:

w

0









 

                          

E a equação que aproxima a solução de u é: 





u%!                   E seu comportamento em relação a soluçã o analítica é:

   

0.0000155281 0 .2

0 .4

0.  

0 .8

1 .0

0.02

0.0 4

0.06

0.08

0.10

0.12

Cuja norma é 0,0000155281, e o resíduo  R(  x) se comporta da seguinte maneira:

0.010

0.005

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0.005

0.010

Todas as soluções de u%aproximaram-se satisfatoriamente à solução analítica para o intervalo estudado, sendo que o método de Galerkin apresentou maior precisão com o menor valor de norma .