CAPITU CAPITULO LO 1
Bases Num´ ericas ericas y Polinomios Polinomio s 1. Introducc Introducci´ i´ on on
El capitulo, ”Bases num´ ericas ericas y Polinomios” est´ a destinado a presentar contenidos y actividades que deber´ ber´ıan haber sido expuestos y discutidas, por p or los profesores y estudiantes en los correspondientes correspondi entes cursos de Segundo, Tercero y Cuarto de su Ense˜ nanza nanza Media, raz´on on por la cual deseo abordar t´opicos opicos que permitan al estudiante, dentro de lo posible y en directa proporci´on on a su trabajo, fortalecer y mejorar su operatoria b´asica. asica. La herramienta herramienta escogida escogida para el efecto son los polinomios, y la idea es introducir introducir informalmente informalmente el concepto, el cual ser´a abordado posteriormente desde el punto de vista de las estructuras algebraicas. El punto de partida ser´a escoger el fundamento natural de los polinomios en el n´umero. umero. El cual satisface satisface todos los atributos atributos de un buen axioma, axioma, porque buscando una buena respuesta respuesta para ¿ qu´ e es un n´ umero?, umero?, podemos pasar por to das las ´epocas epocas citando personajes persona jes fabulosos como: Pit´ agoras, agoras, indexPit´ agoras agoras Hermes, Hiram, entre otros, sin encontrar una respuesta satisfactoria, sin embargo todos tenemos, una idea que nos deja tranquilo respecto de lo que un n´ umero es, probablemente la m´ umero as as com´ un de las interpretaciones, es un asociar un n´ umero con la idea de cantidades de cosas, por ejemplo un maestro, tres malos alba˜niles, umero niles, nueve escogidos escogidos caballeros caballeros,, etc. As´ As´ı que para una primera primera aproximac aproximaci´ i´ on on nos conten contentarem taremos os con lo que ´el el para nosotros representa, claro esta del punto de vista que nos conviene para nuestro prop´osito, osito, y en ese tenor podemos citar algunos ejemplos. (1) 33 = 3 101 + 3 100 (2) 987 = 9 102 + 8 101 + 7 100
·
·
·
·
·
La idea es que en la representaci´on on en potencias del n´umero umero 10 (objetos del tipo 10n ), aceptamos como coeficientes ( los n´ umeros que multiplican a las potencias de 10) n´ umeros umeros mayores o iguales a 0 y menores umeros que 10. Para el caso del 33, lo hacemos as´ as´ı,
−
33 30
: 10 10 = 3
⇐⇒
−−−
3
33 = 3 101 + 3 100
·
·
87 80
: 10 = 8
Para el n´ umero umero 987 tenemos que
−
987 900
: 100 = 9
⇔
−−−
87
−
987 = 9 102 + 87
·
∧
⇐⇒
−−
7
87 = 8 101 + 7
Sustituyendo, la representaci´on on de 87 obtenemos que: 987 = 9 102 + 8 101 + 7 100
·
Definici´ on on 1.1. Si (n
∈ N) tal que
n = as 10s + as−1 10s−1 +
·
· · · + a1101 + a0100; 1
·
(0
9); (0 ≤ j ≤ s) ≤ a ≤ 9); j
·
´ 1. BASE BASES S NUM NUMERICAS ERICA S Y POLINOMIOS POLINOMIOS
2
entonces n = as as−1 as−2 as−3
(1)
· · · a2a1a0
La llamaremos representaci´ on del n´ umero n en base 10 umero de la forma (1) no es una exclusividad de la base Observaci´ on on 1.1.1. 1.1.1. La idea de representar un n´ 10 (del n´ umero 10 10), ), m´ as a´ un, si uno se fija en la idea central obtiene un algoritmo o procedimiento para representar n´ umeros en cualquier base entera mayor o igual a 2. (1) Por ejemplo n = 10 lo podemos representar en base “ 2”, como sigue, 10 = 8 + 2 = 1 23 + 1 21 = 1 23 + 0 22 + 1 21 + 0 20
· ·
· ·
·
·
As´ı que, qu e, 10 = 1010
( base 2)
(2)
(2) Para n = 33 tenemos que 33 = = = =
2 16 + 1 2 24 + 1 25 + 1 1 25 + 0 24 + 0 23 + 0 22 + 0 21 + 1 20
· · ·
·
·
·
·
·
Luego, 33 = 100001
(base 2)
(3) Para n = 10 en base 3 tenemos 10 = = = =
9+1 32 + 1 1 32 + 1 30 1 32 + 0 31 + 1 30
· ·
· ·
·
As´ı que, qu e, 10 = 101
( base 3)
(3)
(4) Para n = 33 tambi´ tam bi´en en en base 3, tenemos que 33 = 27 + 6 = 33 + 2 3 = 1 33 + 0 32 + 2 31 + 0 30
·
·
·
·
Luego, 33 = 1020
(base 3)
·
´ INFORMAL DE POLINOMIOS 2. CONSTRUCCION
3
2. Construcci´ on Informal de polinomios
Hemos observado que es posible representar un n´umero n, (n n = aq aq−1
··· a1a0
(base m)
q
⇐⇒ n = a m q
∈ N) en base m, (m ∈ N), es decir, + ··· + a1 m1 + a0 m0 (0 ≤ a < m) i
(4)
porque,
• Las potencias de m est´an definidas, es decir, m0 = 1 y m · m = m + • Los coeficientes a de la representaci´on en base m verifican la propiedad 0 ≤ a ≤ m, esta propiedad permite ver a m, no como el n´ umero que es, sino como un “s´ımbolo ” • Por tanto, para obtener una estructura similar, no podemos dejar de llevar en consideraci´on estas r
t
r t
i
i
propiedades...
on se llama un polinomio en la variable “x”, y con coeficientes en los n´ umeros Definici´ on 2.1. Una expresi´ reales si: (1) Es de la forma; p(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 +
n
·· · + a x n
(5)
(2) Los n´ umeros as , donde s = 0, 1, 2, . . . , n , se llaman los coeficientes del polinomio y son en este caso numeros reales. (3) La variable x satisface las propiedades: (a) x no es un n´ umero complejo (b) x0 = 1 (c) xs xt = xs+t
·
(4) Los exponentes son n´ umeros enteros no negativos, es decir n
∈ (Z+ ∪ {0})
Ejemplo 2.1.1. Algunos ejemplos de polinomios son:
(1) p(x) = 0+0x +0x2 +0x3 + p(x) = 0
n
·· · +0x ; se l lama el polinomio nulo y lo escribiremos de la forma abreviada:
− 3 · x2 + x5 √ 5 (3) q (x) = 3 x + x3 (2) p(x) = 1
7
(4) De acuerdo a estudios hechos por la polic´ıa la cantidad de robos por cada 100.000 habitantes, a partir de 1990 puede calcularse aproximadamente por el polinomio: r (x) = 251
− 17.24 · x + 1.76 · x2
(6)
• ¿Cu´ antos robos por cada 100.000 habitantes hubo aproximadamente en 1990? Para este caso, tenemos el siguiente an´ alisis del problema: 1990 es el primer a˜ no as´ı que en r(x) hacemos x = 0, y obtenemos ;
´ 1. BASES NUMERICAS Y POLINOMIOS
4
r(0) = 251
= 251
− 17.24 · 0 + 1.76 · 02
• ¿Cu´ antos robos por cada 100.000 habitantes hubo aproximadamente en 2000? Para este caso, debemos hacer en r(x), x = 10, y obtenemos;
− 17.24 · 10 + 1.76 · 102 251 − 172.4 + 176
r (10) = 251
=
255
≈
• ¿Cu´ antos robos por cada 100.000 habitantes habr´ a aproximadamente en 2010? Para este caso, haciendo en r(x), x = 20, obtendremos; r (20) = 251
610
≈
− 17.24 · 20 + 1.76 · 202
• ¿Ser´ a posible que en alg´ un instante los robos se aproximen a cero por cada 100000 habitantes? Para este caso, debemos hacer r(x) = 0, es decir; 251
− 17.24 · x + 1.76 · x2
= 0= 17.24 x = = =
•
⇒ ± (17.24)2 − 4 · 1.76 · 251 2 · 1.76 √ 17.24 ± 297.2176 − 1767.04 3.52
17.24
± √−1463.8224 ∈ R
3.52 La conclusi´ on es que no existe x R tal que r(x) = 0, es decir, esta f´ ormula indica que es necesario tomar otras medidas adicionales, caso contrario la delincuencia triunfar´ a.!!!
∈
Definici´ on 2.2. Llamaremos grado de un polinomio al mayor exponente de la variable x, cuyo coeficiente
es distinto de cero. Notaci´ on: ∂ ( p(x)) = grado del polinomio p(x) Ejemplo 2.2.1. Algunos ejemplos del grado de un polinomio son:
(1) ∂ (1 + 3x3
− 2x7) = 7 (2) ∂ (a0 ) = 0 a0 ∈ (R − {0}) (3) ∂ (2 + 3x − 5x2 + x4 ) = 4 3. Adici´ on de Polinomios
Si p(x) = a0 + a1 x + + an xn y q (x) = b0 + b1 x + + bm xm entonces diremos que estos polinomios son iguales si poseen el mismo grado y coinciden todos sus coeficientes. Es decir
···
p(x) = q (x)
·· ·
⇐⇒ n = m ∧
ai = b i
(i = 0, 1, 2, . . . , n )
(7)
´ DE POLINOMIOS 3. ADICION
5
Sabemos que la adici´ on o suma de n´ umeros se realiza en la forma usual, es decir
+
3 4 7
31 02 33
+
3285 0015 3300
+
Esta forma de disponer los n´ umeros para sumarlos no es al azar, en realidad corresponde a un ordenamiento l´ ogico, por ejemplo en base 10
+
3 100 4 100 7 100
· · ·
+
3 101 + 1 100 0 101 + 2 100 3 101 + 3 100
· · ·
· · ·
3 103 + 2 102 + 8 101 + 5 100 0 103 + 0 102 + 1 101 + 5 100 3 103 + 3 102 + 0 101 + 0 100
· · ·
+
· · ·
· · ·
· · ·
Otra posible escritura, que emule la escritura en base 10 es por ejemplo:
• 2 = 1 · 21 + 0 · 20 =⇒ 2 = 10 (base2) • 10 = 1 · 23 + 0 · 22 + 1 · 21 + 0 · 20 = 1010 • 12 = 1 · 23 + 1 · 22 + 0 · 21 + 0 · 20 = 1100
(base2) (base2)
y podemos sumarlos como antes en su base...
+
2 = 0 23 + 0 22 + 1 21 + 0 20 10 = 1 23 + 0 22 + 1 21 + 0 20 12 = 1 23 + 1 22 + 0 21 + 0 20
· · ·
· · ·
· · ·
(base2) (base2) (base2)
· · ·
Para concluir esta motivaci´ on observen que nuestros polinomios se escriben ” en base x ”, aunque ya di jimos que x no es un n´ umero, sin embargo podemos imitar el procedimiento para sumar representaciones num´ericas con las debidas precauciones. Si p(x) = 5 + 2x + 3 x3 + x5 y q (x) = 4x + 3 x2 7x4 entonces aplicando el formato utilizado para la representaci´ on de los n´ umeros en las diversas bases tenemos que:
·
+
−
p(x)
=
5x0
+
2x1
+
0x2
+
3x3
+
0x4
+
1 x5
q (x)
=
0x0
+
4x1
+
3x2
+
0x3
+
( 7)x4
+
0x5
p(x) + q (x)
= (5 + 0)x0
+ (2 + 4)x1
+ (0 + 3)x2
+ (3 + 0)x3
−
+ (0 + ( 7))x4
−
·
+ (1 + 0)x5
Luego, p(x) + q (x) = 5 + 6x1
+ 3x2 + 3x3
−
7x4 + x5
Definici´ on 3.1. Si consideramos los polinomios p(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + a4 x4 + q (x) = b0 + b1 x + b2 x2 + b3 x3 + + bn xn entonces
···
n
· ·· + a x n
y
´ 1. BASES NUMERICAS Y POLINOMIOS
6
p(x) + q (x) = (a0 + b0 ) + ( a1 + b1 )x + (a2 + b2 )x2 + (a3 + b3 )x3 +
· ·· + (a
n
+ bn )xn
(8)
representar´ a la adici´ on de polinomios o la forma de sumar dos polinomios. Ejemplo 3.1.1. Si p(x) = x2 + 5x
− 2 y q(x) = 3x2 + 7x + 4 entonces p(x) + q(x) = 4x2 + 12x + 2
Ejemplo 3.1.2. Si p(x) = 4x3 + 2x + 21 y q (x) = x2 + x entonces p(x) + q (x) = 4x3 + x2 + 3x + 21
on Observaci´ on 3.1.3. Si recordamos que la resta de dos reales puede ser interpretada como la operaci´ inversa de la adici´ on, esto es, a b = a + ( b) entonces en nuestra optica ´ tenemos
−
45
− 12
−
= (4 101 + 5 100 )
− (1 · 101 + 2 · 100 ) 4 · 101 + 5 · 100 + (−1) · 101 + (−2) · 100 3 · 101 + 3 · 100 ·
= =
·
= 33 As´ı que la resta de polinomios la definimos como sigue. Definici´ on 3.2. Si p(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 +
entonces p(x)
n
· ·· + a x n
y q (x) = b0 + b1 x + b2 x2 + b3 x3 +
n
− q(x) = (a0 − b0) + (a1 − b1)x + (a2 − b2)x2 + (a3 − b3)x3 + · ·· + (a − b )x n
n
n
··· + b x
n
(9)
representar´ a la sustracci´ on de polinomios o la forma de restar dos polinomios. Ejemplo 3.2.1. Si p(x) = x2 + 5x
− 2 y q(x) = 3x2 + 7x + 4 entonces p(x) − q(x) = −2x2 − 2x − 6
Ejemplo 3.2.2. Si p(x) = 4x3 + 2x + 21 y q (x) = x2 + x entonces p(x)
− q(x) = 4x3 − x2 + x + 21
Definici´ on 3.3. Notaremos al conjunto de polinomios como:
(1)
R[x]
(2)
Rs [x]
=
n
{ p(x) = a0 + a1 x + ·· · + a x | a ∈ R; (0 ≤ i ≤ n) ∧ n ∈ N} = { p(x) ∈ R[x] | ∂ ( p(x)) ≤ s} n
i
3.4. Propiedades de la Adici´ on de Polinomios. Si consideramos p(x) = a0 + a1 x + n R[x] y r (x) = c0 + c1 x + + bn x + cn xn R[x] entonces q (x) = b0 + b1 x +
···
∈
·· ·
∈
n
·· · + a x ∈ R[x], n
(1) Verifican la llamada Propiedad Asociativa, la cual permite sumar un n´ umero finito de polinomio p(x) + [ q (x) + r(x)] = [ p(x) + q (x)] + r (x)
En efecto
(10)
4. PRODUCTO DE POLINOMIOS
7
+ an xn ) + [(b0 + b1 x + + bn xn ) + (c0 + c1 x + + cn xn )] p(x) + [ q (x) + r(x)] = (a0 + a1 x + = (a0 + a1 x + + an xn ) + [(b0 + c0 ) + (b1 + c1 )x + + (bn + cn )xn ] = (a0 + [b0 + c0 ]) + (a1 + [b1 + c1 ])x + + (an + [bn + cn ])xn ) = ([a0 + b0 ] + c0 ) + ([a1 + b1 ] + c1 )x + + ([an + bn ] + cn )xn ) = ([a0 + b0 ] + [a1 + b1 ]x + + [an + bn ]xn ) + ( c0 + c1 x + + cn xn ) = [(a0 + a1 x + + an xn ) + ( b0 + b1 x + + bn xn )] + (c0 + c1 x + + cn xn ) = [ p(x) + q (x)] + r(x)
·· · ·· ·
··· · ·· · ·· ···
· ··
·· ·
· ··
· ··
· ··
· ··
(2) Existe el polinomio 0 que llamaremos neutro aditivo tal que p(x) + 0 = p(x) = 0 + p(x)
(11)
En efecto + 0xn ) p(x) + 0 = (a0 + a1 x + an xn ) + (0 + 0x + = (a0 + 0) + (a1 + 0)x + (an + 0)xn = a0 + a1 x + an xn = p(x)
·· · ·· ·
·· ·
· ··
(3) Para p(x) existe el polinomio inverso aditivo p(x) tal que
−
p(x) + ( p(x)) = 0
(12)
−
En efecto p(x) + ( p(x))
−
= = = =
(a0 + a1 x + + an xn ) + ( [a0 + a1 x + (a0 + a1 x + + an xn ) + ( a0 a1 x 0 + 0x + + 0xn 0
···
·· · ·· ·
− − −
n
·· · + a x ]) − · · · − a x ]) n
n
n
(4) Verifican la llamada Propiedad Conmutativa p(x) + q (x) = q (x) + p(x)
(13)
En efecto p(x) + q (x) = (a0 + a1 x +
= = =
n
n
· ·· + a x ) + (b0 + b1 x + ·· · + b x ) (a0 + b0 ) + (a1 + b1 )x + · ·· + (a + b )x (b0 + a0 ) + (b1 + a1 )x + · ·· + (b + a )x (b0 + b1 x + · ·· + b x ) + (a0 + a1 x + ·· · + a x ) n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
= q(x) + p(x) 4. Producto de Polinomios
La multiplicaci´ o n usual de n´ umeros nos dice que 3 11 = 33, pero conforme a lo que observamos antes, tambi´en tenemos que:
·
3 11 = = = =
·
· 1000 ) · (1 · 1011+ 1 · 100 ) 0 · 10 ) · ((1 · 10 ) + (3 · 10 ) · (1 · 100 ) · 1)1 · 100+1 +0 (3 · 1) · 100+0 · 10 + 3 · 10
(3 (3 (3 3
Del mismo modo, 231 27 = 6237, y en base 10
·
´ 1. BASES NUMERICAS Y POLINOMIOS
8
231 · 27
=
(2 · 100 + 3 · 10 + 1 · 100 ) · (2 · 10 + 7 · 100 )
=
(2 · 102 + 3 · 101 + 1 · 100 ) · (2 · 10 + 7 · 100 )
=
(2 · 102 ) · (2 · 10 + 7 · 100 ) + (3 · 101 ) · (2 · 10 + 7 · 100 ) + (1 · 100 ) · (2 · 10 + 7 · 100 )
=
(2 · 102 ) · (2 · 10) + (2 · 102 )(7 · 100 ) + (3 · 101 ) · (2 · 10) + (3 · 101 )(7 · 100 )+ (1 · 100 ) · (2 · 10) + (1 · 100 )(7 · 100 )
=
4 · 103 + 14 · 102 + 6 · 102 + 21 · 101 + 2 · 10 + 7 · 100
=
4 · 103 + (101 + 4 · 100 ) · 102 + 6 · 102 + (2 · 101 + 1 · 100 ) · 101 + 2 · 10 + 7 · 100
=
4 · 103 + 103 + 4 · 102 + 6 · 102 + 2 · 102 + 1 · 101 + 2 · 10 + 7 · 100
=
5 · 103 + 12 · 102 + 3 · 101 + 7 · 100
=
5 · 103 + (101 + 2 · 100 ) · 102 + 3 · 101 + 7 · 100
=
5 · 103 + 103 + 2 · 102 + 3 · 101 + 7 · 100
=
6 · 103 + 2 · 102 + 3 · 101 + 7 · 100
=
6237
(14)
(15) La forma de multiplicar los n´ umeros en base 10, sugiere definir el producto de polinomios en un caso p eque˜ no como sigue: Si p(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 y q (x) = b0 + b1 x + b2 x2 son dos polinomios de grado 3 y 2 respectivamente entonces imitando la idea podemos hacer lo siguiente:
p(x) · q (x)
=
(a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 ) · (b0 + b1 x + b2 x2 )
=
(a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 )b0 + (a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 )b1 x + (a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 )b2 x2
=
(a0 b0 + a1 b0 x + a2 b0 x2 + a3 b0 x3 ) + (a0 b1 x + a1 b1 x2 + a2 b1 x3 + a3 b1 x4 ) + ( a0 b2 x2 + a1 b2 x3 + a2 b2 x4 + a3 b2 x5 )
=
a0 b0 x0 + (a1 b0 + a0 b1 )x + (a2 b0 + a1 b1 + a0 b2 )x2 + (a3 b0 + a2 b1 + a1 b2 )x3 + (a3 b1 + a2 b2 )x4 + a3 b2 x5
La idea anterior nos permite generar una definici´on de producto de polinomios: Definici´ on 4.1. Si p(x) = a0 + a1 x + a2 x2 +
n
·· · + a x n
y q (x) = b0 + b1 x + b2 x2 +
p(x) q (x) = c0 + c1 x + c2 x2 + c3 x3 +
donde c0 c1 c2 c3
·
= = = =
a0 b0 a1 b0 + a0 b1 a2 b0 + a1 b1 + a0 b2 a3 b0 + a2 b1 + a1 b2 + a0 b3
··· ··· ···
n+ m n mx
··· + c +
· ·· + b
m mx
entonces (16)
4. PRODUCTO DE POLINOMIOS
9
En general cs = as b0 + as−1 b1 + as−2 b2 +
Ejemplo 4.1.1. Si p(x) = 2 + 5x
p(x)q(x)
··· + a2b −2 + a1b −1 + a0b s
s
0
s
≤s ≤n+m
− 4x3 y q(x) = x − 7x2 + 6x4 entonces el producto es el siguiente:
= c0 + c1 x + c2 x2 + c3 x3 + c4 x4 + c5 x5 + c6 x6 + c7 x7 = 0 + 2x 9x2 35x3 + 8x4 + 2x5 + 0x6 24x7 = 2x 9x2 35x3 + 8x4 + 2x5 24x7
−
−
−
−
−
−
Donde, c0 c1 c2 c3 c4 c5 c6 c7
= = = = = = = =
= = = = = = = =
a0 b0 a1 b0 + a0 b1 a2 b0 + a1 b1 + a0 b2 a3 b0 + a2 b1 + a1 b2 + a0 b3 a4 b0 + a3 b1 + a2 b2 + a1 b3 + a0 b4 a5 b0 + a4 b1 + a3 b2 + a2 b3 + a1 b4 + a0 b5 a6 b0 + a5 b1 + a4 b2 + a3 b3 + a2 b4 + a1 b5 + a0 b6 a7 b0 + a6 b1 + a5 b2 + a4 b3 + a3 b4 + 21 b5 + a1 b6 + a0 b7
0 2 9 35 8 2 0 24
− − −
4.2. Algunas Propiedades del Producto de Polinomios. Si p(x) = p0 + p1 x + p2 x2 + q (x) = q0 +q1x +q2 x2 + +qm xm R[x] y s(x) = s0 + s1 x +s2 x2 + +st xt R[x] donde n
· ··
∈
· ··
n
·· · + p x ∈ R[x] ≤ m ≤ t entonces
∈
n
(1) Se verifica la propiedad distributiva del producto respecto de la adici´ on
p(x)[q(x) + s(x)] = p(x)q (x) + p(x)s(x)
(17)
En efecto p(x) q(x) = c0 + c1 x + c2 x2 + c3 x3 + p(x) s(x) = d0 + d1 x + d2 x2 + d3 x3 +
donde, cr dr
·· · + c + x ++ · ·· + d + x
· ·
= pr q0 + pr−1 q1 + pr −2 q2 + = pr s0 + pr −1 s1 + pr−2 s2 +
ahora, p(x)[q(x) + s(x)]
n t
··· + p2q −2 + p1q −1 + p0q ·· · + p2s −2 + p1s −1 + p0s r
r
r
r
r
r
n m n t
(0 (0
≤ r ≤ n + m) ≤ r ≤ n + t)
= ( p0 + p1 x + p2 x2 + + pn xn ) [(q0 + s0 ) + (q1 + s1 )x + = u0 + u1 x + + un+txn+t ( )
·· ·
donde,
· ··
ur = pr (q0 + s0 ) + pr−1 (q1 + s1 ) +
Pero, ur
n m
= = = =
·
∗
·· · + p0(q
t
+ st )
0
·· · + (q
≤ r ≤ n+t
+ p0 (qt + st) pr (q0 + s0 ) + pr−1 (q1 + s1 ) + + p0 qt + p0 st pr q0 + pr s0 + pr −1 q1 + pr−1 s1 + ( pr q0 + pr−1 q1 + + p0 qt) + ( pr s0 + pr−1 s1 + + p0 st ) ( ) cr + dr 0 r n + t
···
≤ ≤
· ··
∗∗
·· ·
·· ·
t
+ st)xt ]
´ 1. BASES NUMERICAS Y POLINOMIOS
10
Sustituyendo (*) en (**), tenemos finalmente que
+ un+t xn+t p(x)[q (x) + s(x)] = u0 + u1 x + = (c0 + d0 ) + (c1 + d1 )x + + (cn+t + dn+t )xn+t = (c0 + c1 x + + cn+t xn+t) + ( d0 + d1 x + + dn+t xn+t) = p(x)q (x) + p(x)s(x)
··· · ··
· ··
· ··
(2) Existe el elemento neutro multiplicativo, e(x) = 1 pues, p(x)e(x) = ( p0 + p1 x + p2 x2 + = p0 + p1 x + p2 x2 + = p(x)
·· · + p x ) · (1 + 0x + 0x2 + 0x3 + ·· · + 0x ) ·· · + p x n
n
n
n
n
5. Divisibilidad en
R[x]
Sabemos que para polinomios, el proceso inverso de sumar es restar, es decir, si sumar significa hacer entonces restar significa deshacer y viceversa. Pregunta ¿el producto de polinomios tiene proceso inverso? La pregunta tiene sentido, pues el concepto de inverso esta ligada directamente a la construcci´ on de algoritmos (procedimientos, f´ ormulas) que permiten realizar operaciones en forma r´apida y eficiente, por ejemplo la f´ ormula: 1 d´ olar = 550 pesos
1 d´olar ⇐⇒ 1 peso = 550
Nos permite usar sin problemas las monedas d´olar y peso indistintamente, pues a la hora de comprar podemos hacer lo siguiente: Si un articulo vale 300 d´olares entonces sacamos la calculadora y hacemos 300 d´ olares = 300 1d´ olar = 300 550 pesos = 165000 pesos
· ·
Por el contrario si un articulo vale 165000 pesos y s´olo tenemos d´ olares entonces sacamos la calculadora y hacemos 165000 pesos =
165000 1 peso 1 = 165000 d´olares 550 165000 = d´olares 550 = 300 d´ olares
·
·
Como se ve la existencia de una operaci´ on inversa esta ligada a la ”resoluci´ on de ecuaciones”´es decir, cuando vale la equivalencia en el caso aditivo x+a=b
O en el caso multiplicativo ax = b
⇐⇒ x = b − a
⇐⇒ x = ab
(a = 0)
Por ahora seguiremos actuando en forma intuitiva y haremos lo siguiente.
(18)
(19)
5. DIVISIBILIDAD EN
R[x]
11
• ¿ Qu´e significa que 82 = 4? ◦ Interpretaci´on pr´actica parte 1
parte 2
parte 3
parte 4
•
•
•
•
Figura 1: 8
÷2
◦ Interpretaci´on b´asica 8 ( )
−
:
2 = 4
4 2
· −−− 0
(resto)
• ¿ Qu´e significa que 92 = 4.5? ◦ Interpretaci´on pr´actica parte 1
parte 2
parte 3
parte 4
•
•
•
•
Figura 2: 9
parte 4 media
•
÷2
◦ Interpretaci´on b´asica 9
:
2 = 4
( ) 4 2
−
· − 1
(resto)
En resumen, esto se representa normalmente como
8 = 2 4+0
·
⇐⇒ 82 = 4 + 02
∧
9 = 2 4+1
·
⇐⇒ 92 = 4 + 12
umeros enteros entonces diremos que n divide m si existe un n´ umero Conclusi´ on 5.1. Si n y m son dos n´ entero s tal que m = n s. En s´ımbolos podemos escribir como sigue:
·
´ 1. BASES NUMERICAS Y POLINOMIOS
12
|
nm
⇐⇒ (∃s; s ∈ Z)
: m=n s
·
Motivados por el comportamiento de los n´ umeros, preguntamos: ¿ C´omo generalizar estas ideas a los polinomios?. Podemos copiar el algoritmo anterior, en algunos casos conocidos: (1) Como x2
− 1 = (x − 1)(x + 1), pues (x − 1)(x + 1) = x2 + x − x − 1 = x2 − 1 entonces (x2 (-)
− 1) :(x − 1) = x+1 x2 − x x−1 (-) x−1 0
Es decir,
x2
− 1 = (x + 1)(x − 1) + x −0 1
(2) Como x2
− 1 = (x − 1)(x + 1), entonces las soluciones de la ecuaci´on x2 − 1 = 0 son x = 1 o x = −1 (3) Si escribimos p(x) = x2 − 1 entonces este polinomio puede ser interpretado como una f´ormula llamada funci´on que estudiaremos m´ as adelante, por ahora esta formula funciona como sigue:
p(a) = a2
− 1,
a
∈R
En particular, p(2) p( 2) p(5) p(1) p( 1) etc...
− −
= = = = =
22 1 ( 2)2 52 1 12 1 ( 1)2
− − −1 − − − −1
= = = = =
3 3 24 0 0
(4) Si consideramos el conjunto
| ∈ R} = {(x, x2 − 1) | x ∈ R}
Graf ( p(x)) = (x, p(x)) x
{
entonces el gr´afico en el plano de este es el siguiente:
5. DIVISIBILIDAD EN
(1.5, 1.2)
R[x]
•
13
• (1.5, 1.2)
− •
•(1, 0)
( 1, 0)
• (0, −1) Figura 3: p(x) = x2
−1
Esto, nos permite adoptar por ahora, un convenio para evaluar polinomios: Definici´ on 5.2. Si p(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 +
n
··· + a x entonces 2 3 (1) p(c) = a0 + a1 c + a2 c + a3 c + ··· + a c , para cada c ∈ R (2) p(c) = 0 ⇐⇒ (x − c)| p(x) ⇐⇒ el resto de la divisi´ on p(x) ÷ (x − c) es 0 n
n
n
on. Ejemplo 5.2.1. La idea es descomponer en factores usando un pseudo algoritmo de la divisi´ (1) Si p(x) = x3
− 1 entonces p(1) = 13 − 1 = 0, luego podemos dividir: (x3 − 1): (x − 1) = x2 + x + 1 - 3 x − x2 x2 − 1 - 2 x −x x−1 - x−1 0
As´ı que, x3
− 1 = (x − 1)(x2 + x + 1) (2) Si p(x, y ) = x3 − y 3 entonces p(y, y ) = y 3 − y 3 = 0, luego podemos dividir: − y3 ) :(x − y=) x2 + xy + y2 x3 − x2 y x2 y − y3 - 2 x y − xy2 2 3 - xy2 − y3 xy − y -
(x3
0
As´ı que, x3
− y3 = (x − y)(x2 + xy + y2 ) (3) En general, x − y = (x − y)(x −1 + x −2 y + x −3 y 2 + · ·· + y −1 ) √ √ (4) Extendamos esta idea para el caso h(x, y ) = x − y, como sigue n
n
n
n
n
n
´ 1. BASES NUMERICAS Y POLINOMIOS
14
• a = √x ⇐⇒ x = a2 ∧ b = √y ⇐⇒ y = b2 √ √ √ √ a2 − b2 = (a − b)(a + b) =⇒ x − y = ( x − y)( x + y) • (5) Como, x − y = (x − y)(x −1 + x −2 y + x −3 y2 + ··· + y −1 ) entonces para a = x n
n
n
n
n
n
n
y b = yn tenemos
la f´ ormula: a
− b = ( √a − n
√ n
b)((
√a) −1 + ( √a) −2 ( √b) + ( √a) −3( √b)2 + ·· · + ( √b) −1) n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
6. Ejercicios Propuestos 6.1. Factorizaci´ on directa de trinomios. Descomponga en factores
(1) p(x) = x5
−x
(2) p(x) = 2x3 + 6x2 + 10x (3) p(x) = 2x3 + 6x2
− 10x (4) p(x) = x4 − 5x2 − 36 (5) p(x, y ) = 3xy + 15x − 2y − 10 (6) p(x) = 2xy + 6x + y + 3
6.2. Factorizaci´ on de trinomios usando sustituci´ on. Ideas para resolver
Consideremos el trinomio; p(x) = ( x imiento o algoritmo:
− 2)2 + 3(x − 2) − 10 entonces podemos desarrollar el siguiente proced-
• Sea u = x − 2 • Sustituyendo en p(x) tenemos que p(x) = (x
− 2)2 + 3(x − 2) − 10 ⇐⇒ q(u) = u2 + 3u − 10
• Resolvemos la ecuaci´on de segundo grado para la variable u. √ − 3 ± 9 + 40 q (u) = 0 ⇐⇒ u = 2 ⇐⇒ u = −32± 7
u = 2 ⇐⇒ u = ∨ u = −5 ⇐⇒ ⇐⇒
q (2) = 0
∨ q(−5) = 0 q (u) = (u − 2)(u + 5)
(20)
6. EJERCICIOS PROPUESTOS
15
• Volvemos a la variable original y obtenemos: p(x) = ((x
=
− 2) − 2)((x − 2) + 5) (x − 4)(x + 3)
Usando el procedimiento anterior factorize los siguientes:
− 3)2 + 10(x − 3) + 24 (2) p(x) = (x + 1)2 − 8(x + 1) + 15 (3) p(x) = (2x + 1)2 + 3(2x + 1) − 28 (4) p(x) = (3x − 2)2 − 5(3x − 2) − 36 (5) p(x) = 6(x − 4)2 + 7(x − 4) − 3 (1) p(x) = (x
6.3. Planteamiento y resoluci´ on de ecuaciones polinomiales. A modo de ejemplo, consideren el
problema: Una sala de clases posee 78 sillas universitarias. Si el n´ umero de sillas por fila es uno m´as que el doble del n´umero de filas entonces determine el n´umero de filas y de sillas por fila.
• Planteamiento del problema Si x es la variable que representa el n´umero de filas entonces x(2x + 1) representa el n´ umero de sillas por fila, as´ı que x(2x + 1) = 78 representa el n´ umero total de sillas
(21)
• Resolvemos la ecuaci´on 2x2 + x − 78 = 0 2
2x + x
− 78 = 0
√ 1 ± 1 + 624 − ⇐⇒ x = 4 ⇐⇒ x = −1 ±4 25 ⇐⇒ x = 6 ∨ x = − 132
• Decidimos la factibilidad de los resultados: Como el n´ umero de filas es un natural, as´ı que desechamos x = hay 13 sillas por fila. Resuelva los siguientes problemas: (1) Determine dos enteros consecutivos cuyo producto sea 72
− 132 y x = 6 es el resultado posible y
´ 1. BASES NUMERICAS Y POLINOMIOS
16
(2) Determine dos enteros cuyo producto sea 105 y uno de ellos debe ser uno m´as que el doble del otro. (3) El per´ımetro de un rect´ a ngulo mide 32 cm y su a´ rea es de 60 cm2 . Determine las dimensiones del rect´ angulo. (4) Si el largo de un rect´angulo excede en 2 cm al triple de su ancho y su a´rea es 56 cm2 . Determine las dimensiones del rect´angulo. (5) La suma de las a´reas de dos c´ırculos es 65π cent´ımetros cuadrados. Si el radio del c´ırculo mayor mide un cent´ımetro menos que el doble del radio del c´ırculo menor entonces determine el radio de cada c´ırculo. 6.4. Divisi´ on de polinomios. Realice las divisiones que se indican:
(1) (x2
− 7x − 78) ÷ (x + 6) (2) (2x3 + x2 − 3x + 1) ÷ (x2 + x − 1) (3) (5a3 + 7a2 − 2a − 9) ÷ (a2 + 3a − 4) (4) (2n4 + 3n3 − 2n2 + 3n − 4) ÷ (n2 + 1) (5) (x5 + 1) ÷ (x + 1) (6) (x5 − 1) ÷ (x − 1) 6.5. Ecuaciones con radicales. Resuelva las ecuaciones
√x + 2 = 7 − √x + 9 √ (2) x2 + 13x + 37 = 1 √ √ (3) x + 19 − x + 28 = −1 √ (4) x + 1 = 4 √ (5) 3x − 1 = −4 √ √ (6) 3x − 1 = 2 − 5x (1)
3
3
3
3
6.6. Ejercicios miscel´ aneos.
(1) Sea g(x) = 6 x2
− 24:
(a) Determine las soluciones de la ecuaci´ on g(x) = 0 (b) Determine las soluciones de la ecuaci´ on g(x) = 0 en base 2 (2) Realice la operaci´ on pedida: (5a3 + 7a2
− 3a − 9) ÷ (a2 + 3a − 4)
6. EJERCICIOS PROPUESTOS
17
2x3 + x2
− 3x entonces grafique f (x) en el plano R2 −x √ √ (4) Determine la o las soluciones de la ecuaci´ on. 3x − 1 − 2 − 5x = 0 (3) Si f (x) =
x2
3
(5) Define hs (x, y ) = xs y s para cualquier s hn (x, y ) = h1 (x, y ) u(x, y)
·
−
(6) Determine el conjunto S =
(7) Si p(x) = 6(x
∈ N.
3
Demuestre que existe una expresi´ on u(x, y ) tal que
{x ∈ R | √x + 19 − √x + 28 + 1 = 0}
− 1)3 + 7(x − 1)2 − 3x + 3 entonces determine el conjunto S =
{x ∈ R | p(x) = 0}
(8) Demuestre que p(x) = xn+1
− (n + 1)x + n es divisible por (x − 1)2 y no por (x − 1)3 , para cada n ∈ N (9) Sean p(x) = x3 + mx − 6 ∈ R[x] y q (x) = x2 + mx − 2 ∈ R[x]. Determine el conjunto S
(10) Sea a
= m
{ ∈ R | (∃α; α ∈ R) : p(α) = 0}
∈ Z tal que su representaci´on en potencias de 10 es de la forma. a = a0 + a1 10 + a2 102 + a3 103 +
·
·
·
s
· ·· + a · 10 s
Demuestre que a es divisible por 5
(11) Sean p(x)
⇐⇒ a0 = 0 ∨
a0 = 5
∈ R[x] y q(x) ∈ R[x] tal que ∂ ( p(x)) = n y ∂ (q(x)) = m. Demuestre que ∂ ( p(x) · q (x)) = n + m
Bibliograf´ıa
´ [1] Bello, I. “Algebra Elemental ”, Brooks/Cole Publishing Company 1999. [2] Bobadilla, G. Labarca R. “C´ alculo 1 ”, Facultad de Ciencia, Universidad de Santiago 2007. ´ [3] Boldrini, J. Rodriguez, S. Figueiredo, V. Wetzler, H. “Algebra Linear”, Editora Harper & Row do Brasisl Ltda, 1984. ´ [4] Fraleigh J. “Algebra Abstracta ”Addison-Wesley Iberoamericana 1988. [5] Grimaldi, R. “Matem´ aticas Discretas y Combinatorias ”, Addison Wesley 1997. ´ [6] Gustafson, R. “Algebra Intermedia ”, Brooks/Cole Publishing Company 1997. ´ [7] Kaufmann, J. “Algebra Intermedia ”, Brooks/Cole Publishing Company 2000 ´ [8] Santander, R. “Algebra Elemental y superior”, Universidad de Santiago 2004 ´ [9] Santander, R. “Algebra Lineal”, Universidad de Santiago 2004 [10] Santander, R. “Un Segundo curso de Algebra Lineal” ´ [11] Swokowski, E. “Algebra y trigonometr´ıa ”, Brooks/Cole Publishing Company 1997. ´ [12] Zill, D. ” Algebra y trigonometr´ıa ”, Mc Graw Hill 1999
19
Indice Alfab´ etico
Bicondicional l´ ogico, 2 Conjunci´ on l´ ogica, 2 Contradicci´on, 3 Disyunci´ on l´ ogica, 2 Equivalencia l´ ogica, 2 F´ ormula proposicional, 7 Implicaci´ on l´ ogica, 2, 5 Ley de De Morgan para la disyunci´on, 4 Ley del silogismo, 5 M´etodo de afirmaci´ on, 5 M´etodo de contradicci´ on, 6 M´etodo de negaci´on, 5 Modus ponens, 5 Modus tollens, 5 Negaci´ on de una proposici´ on, 2 Producto l´ ogico, 2 Proposici´ on l´ ogica, 1 Proposici´ on l´ ogica compuesta, 2 Reducci´ on al absurdo, 6 Suma l´ ogico, 2 Tabla de verdad, 1 Tautolog´ıa, 3
21
Contenidos Bases Num´ericas y Polinomios Introducci´ on Construcci´ on Informal de polinomios Adici´ on de Polinomios Producto de Polinomios Divisibilidad en R[x] Ejercicios Propuestos
1 1 3 4 7 10 14
Capitulo 1.
1. 2. 3. 4. 5. 6.
Bibliograf´ıa
19
Indice Alfab´etico
21
23
