ALJABAR LINEAR ELEMENTER " RUANG HASIL KALI DALAM "

MAKALAH
ALJABAR LINEAR ELEMENTER
" RUANG HASIL KALI DALAM "

DOSEN : Drs. HENDRA SYARIFUDDIN, M.Si,Ph.D

KELOMPOK 2
HALIMAH SYAPUTRI (14029074)
VENITA ERISWANDI (14029054)
YONY UTAMI (14029039)

JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS NEGERI PADANG
2015

RUANG HASIL KALI DALAM

Pada ruang vektor riil yang umum, hasil kali dalam didefinisikan secara aksioma dengan menggunakan sifat-sifat ini sebagai aksioma.
Hasil Kali Dalam
Definisi. Sebuah hasil kali dalam ( inner prosuct) pada ruang vektor riil V adalah fungsi yang mengasosialisasikan bilangan riil < u,v > dengan masing-masing pasangan vektor u dan v pada V sedemikian rupa sehingga aksioma-aksioma berikut dipenuhi untuk semua vektor u,v, dan w di V dan juga untuk semua skalar k.
= (aksioma simetri)
= + (aksioma penambahan )
= k = 0 (aksioma homogen)
0 ; dan = 0 (aksioma kepositifan )
jika dan hanya jika v = 0

Pengertian Ruang Hasil Kali Dalam
"Sebuah ruang vektor riil dengan sebuah hasil kali dalam dinamakan ruang hasil kali dalam riil (real product space )".
Defenisi Hasil Kali Dalam
Ingatlah Definisi Hasil Kali dalam Euclidean:
Perkalian titik Euclidean 2 buah vektor dalam Rn yang dinotasikan u.v
Jika u=(u1 ,u2 ,…,un), v=(v1 ,v2 ,…, vn) adalah vektor-vektor dalam Rn , maka Euclidean Inner Product u.v dinyatakan oleh
u·v = u1v1+u2v2+…+unvn
Pada bab ini u.v dinotasikan juga dalam

Hasil Kali Dalam yang Diboboti
jika u=(u1, u2, ....un)
v= (v1, v2,.....,vn)
Jika w1,w2,...,wn adalah bilangan riil positif yang disebut pembobot, maka:
= w1 u1 v1 + w2 u2 v2 +...+wn un vn
contoh hasil kali dalam Euclidis yang diboboti:
Misal u=(u1, u2)
v= (v1, v2)
w= (w1 ,w2 )
adalah vektor-vektor pada R2
buktikan bahwa hasil kali dalam Eulicdis yang diboboti:
= 3 u1 v1 + 2 u2 v2
dapat memenuhi keempat aksioma hasil kali dalam tersebut.
Jawab:
Kita akan buktikan bahwa memenuhi keempat aksioma diatas:
Aksioma 1:
=
Bukti:
= 3 u1v1+ 2u2v2
=3v1u1+2v2u2
=
:. Aksioma 1 terpenuhi
Aksioma 2:
= +
Bukti:
=3(u1+ v1)w1+2(u2+v2)w2
=3u1w1+3v1w1+2u2w2+2v2w2
=(3u1w1+ 2u2w2)+(3v1w1+2v2w2)
= +
Aksioma 3:
= k
Bukti:
=3(ku1)v1+ 2(ku2)v2
= k(3v1u1+ 2v2u2)
= k
Aksioma 4:
0 ; dan = 0 jika dan hanya jika v = 0
Bukti:
= 3v1v1 + 2 v2v2
= 3v12 + 2 v22
jelaslah bahwa:
= 3v12 + 2 v22 0 ( terpenuhi )
= 3v12 + 2 v22 =0 ( terpenuhi )
jika dan hanya jika v1=v2=0 sehingga v=(v1,v2)=0
contoh lainnya yang tidak memenuhi keempat aksioma:
Diketahui = ad + cf dengan u = (a,b,c) dan
v = (d,e,f). Apakah tersebut merupakan hasil kali dalam ?
Jawab :
Akan ditunjukkan apakah memenuhi 4 aksioma hasil kali dalam berikut ini :
Simetri (Aksioma 1)
= ad + cf
= da + fc
=
:. (terpenuhi)
Aditivitas (Aksioma 2)
Misalkan w = (g,h,i)
= ((a + d, b + e, c + f), (g,h,i))
= (a + d)g + (c + f)i
= (ag + ci) + (dg + fi)
= +
:. (terpenuhi)
Homogenitas (Aksioma 3)
= (kad + kcf)
= k(ad + cf)
= k
:. (terpenuhi)
Positivitas (Aksioma 4)
= (v.v) = (a2 + c2) 0 (terpenuhi)
Dan,
= (a2 + c2) = 0 tidak selalu v =(0,0,0), karena nilai v =(0,b,0) dengan
b 0, maka nilai v = 0 (tidak terpenuhi )
"Karena aksioma positivitas tidak terpenuhi, maka = ad+ cf dengan dengan
u = (a,b,c) dan v = (d,e,f) bukan merupakan hasil kali dalam"
Hasil Kali Dalam Jika Vektornya Berupa Matriks

(dinyatakan dalam matriks n×1), dan anggap matriks standar A
n×n invertible (bisa dibalik), maka:
Jika u.v adalah hasil kali dalam Eucl. Pada Rn;
u,v = Au· Av
u,v = Au· Av

mendefinisikan hasil kali dalam pada Rn yang dibangkitkan oleh A
=Au ·Av
Hasil kali dalam Eucl. bisa ditulis sebagai hasil kali matrik (vTu) sehingga = Au· Av
dapat ditulis dalam bentuk alternative:
u.v = vTu
=(Av)TAu
Secara ekivalen,
= vTATAu
Hasil kali dalam pada Rn yang dibangkitkan oleh matriks identitas nxn adalah hasil kali dalam Euclidean, dandengan mensubsitusikanA=I didapat:
= Iu ·Iv= u· v
Untuk hasil kali dalam Euclidean terboboti
= w1u1v1+w2u2v2+ …+ wnunvn
adalah hasil kali dalam Rn yang dibangkitkan oleh:
A = diagonal ( w1 , w2 , …, wn

Contoh hasil kali dalam Euclidean terboboti:
Hasil kali dalam Euclidean terboboti = 3u1v1+2u2v2
Merupakan hasil kali dalam R2 yang dibangkitkan oleh:
= vTATAu

Jika U = u1u2u3u4 dan V = v1v2v3v4
Adalah matriks 2x2, maka definisi hasil kali dalam M22
= u1v1+u2v2+u3v3+u4v4

Contoh latihan 4.7 nomor 3a.
a. Hitunglah < u, v> dengan menggunakan hasil kali dalam
u=2-137 dan v=0422
Jawab:
< u, v> = 2.0 + (-1).4 + 3.2 + 7.2
= 0 – 4 +6 +14
= 16
Jika bentuk pesamaannya:
p =a0+a1x+a2x2 dan q=b0+ b1x+b2x2 adalah
sembarang dua vektor dalam P2,
hasil kali dalam pada P2:
=a0b0+a1b1+ a2b2
Contoh soal untuk bentuk:
p =a0+a1x+a2x2 dan q=b0+ b1x+b2x2
hitunglah dengan menggunakan hasil kali dalam dari:
p = -1 + 2x + x2
q = 2 - 4x2
jawab:
p= (p0 ,p1 ,p2 ) = (-1,2,1)
q= (q0 ,q1 ,q2 ) = ( 2,0,-4)
maka:
= p0 q0 + p1 q1 +p2 q2
= (-1)(2)+(2)(0)+(1)(-4)
= (-2)+0+(-4)
= -6
Teorema 19. Jika u, v, w adalah vektor-vektor pada ruang hasil kali dalam riil dan k sebarang skalar, maka:
< 0,v > = < v,0 > = 0
< u,v + w > = < u,v > + < u,w >
< u, kv> = k< u,v >
Contoh 53
< u,v + w > = (v +w )tAt Au
= ( vt+wt ) AtAu (sifat transfos)
= (vt AtAu ) + (wt AtAu ) (sifat perkalian matriks )
= < u, v > + < u, w >
Misal : u=(u1, u2)
v= (v1, v2)
w= (w1 ,w2 )
Maka ,
<0,v> = 0. v1 + 0. v2
= v1 .0 + v2. 0
= = 0
2. = u1(v1+w1) + u2(v2+w2)
= u1v1+u1w1 + u2v2+ u2w2
= (u1v1+ u2v2 )+ (u1w1 + u2w2 )
= +
3. = u1(kv1) + u2(kv2)
= ku1v1 + ku2v2
= k(u1v1 + u2v2 )
= k
Tambahan Contoh soal:
(Bagi Anda yang sudah menelaah Kalkulus), Gunakan Hasil kali dalam,
= 01fxgxdx
Untuk menghitung untuk vektor-vektor f = fx dan g = gx pada C [0,1] untuk f = cos 2πx
g = sin 2πx
jawab:
= 01fxgxdx
= 01cos 2πx sin 2πxdx
= 12 01sin 4πxdx
= 12 14π - cos 4πx ]10
= - 12 14π (1-1)
= - 12 14π (0) = 0
Hitunglah dengan menggunakan hasil kali dalam,
p = -3+ 2x+ x2 dan q=2+ 4x - 2x2
jawab:
p = (p0,p1, p2 ) = (-3, 2, 1)
q= (q0,q1, q2 ) = (2, 4, -2)
=p0q0+p1q1+ p2q2
= (-3)(2) + (2) (4) + (1) (-2)
= (-6) + (8) + (-2)
= 0
Gunakan rumus (4.21) untuk menunjukkan bahwa = 9 u1v1+ 4u2v2 adalah hasil kali dalam pada R2 yang dibentuk oleh: 3002
Jawab:
= vTATAu
= [v1 v2] 30023002 u1u2
= [v1 v2] 9004 u1u2
= 9 u1v1+ 4u2v2
:. Jadi, dapat ditunjukkan bahwa bahwa = 9 u1v1+ 4u2v2 adalah hasil kali dalam pada R2 yang dibentuk oleh: 3002
Hitung dengan menggunakan hasil kali dalam:
u= 12-35 dan v= 4608
jawab:
= u1v1+u2v2+u3v3+u4v4
= (1)(4) + (2)(6) + (-3)(0) + (5)(8)
= 4 + (12) + 0 + 40
= 56
:. Jadi diperoleh hasilnya adalah 56

Misalnya W R3 yang dilengkapi dengan operasi hasil kali berbentuk :
< u , v > = 2u1v1 + u2v2 + 3u3v3, u , v W
Buktikan bahwa W adalah ruang hasilkali dalam!
Jawab :
Misalnya w,v,u, W
(i) = 2u1v1 + u2v2 + 3u3v3
= 2 v1u1 + v2 u2+ 3 v3u3
= < v , u >
:. (terbukti simetris)

(ii) = <(u1+v1 , u2+v2, u3+v3), (w1 , w2 , w3)>
= 2(u1+ v1)w1 + (u2+v2) w2 + 3(u3+v3) w3
= 2u1w1 + 2v1w1 + u2w2 + v2w2 + 3u3 w3 + 3v3w3
= 2u1w1+u2 w2 + 3u3w3+ 2v1w1 + v2w2 + 3v3w3
= < u,w > + < v,w>
:.(terbukti aditivitas)

(iii) untuk suatu k R,
= <(ku1, ku2, ku3), (v1, v2, v3)>
= 2ku1v1 + ku2v2 + 3ku3v3
= k.2u1v1 + ku2v2 + k.3u3v3
= k
:. (terbukti homogenitas)
(iv) = 2u12 + u22 + 3u32
Jelas bahwa < u, u > 0, untuk setiap u, dan
< u, u > = 0 u = 0

:.(terbukti memenuhi sifat positifitas.)

Tunjukan bahwa < u, v > = u1v1 + 2u2v2 – 3u3v3 bukan merupakan hasil kali dalam
Jawab :
Misalkan u= (u1, u2, u3) W
Perhatikan < u, u > = u12 + 2u22 – 3u32
Jelas bahwa saat : 3u32 > u12 + 2u22 maka < u, u > < 0
(Ini menunjukan tidak memenuhi sifat positifitas)
:. Jadi < u, v > = u1v1 + 2u2v2 – 3u3v3 bukan merupakan hasil kali dalam.

Untuk u, v P2, didefinisikan operasi bernilai riil, berikut:
= 01uxvx dx
Apakah operasi tersebut hasil kali dalam?
Jawab:
Ambil p, q P2, maka
= 01pxqx dx {sifat komutatif integral fungsi riil}
= 01qxpx dx
=

Ambil p, q, r P2, maka

= 01(px+r(x)) qx dx {distributif bilangan riil}
= 01(pxqx+rxqx dx {sifat integral penjumlahan fungsi}
= 01pxqxdx+01(rxq(x )dx { definisi }

= +

Ambil p, q P2, maka
= 01(k px) qx dx{sifat integral perkalian dgn konstanta}
= k 01 px qx dx {definisi
= k

Ambil p P2, maka:
= 01px px dx 0{sifat integral fungsi riil kuadrat}
Dan = 0, jika p(x)=0 atau p=0
Jadi, yang didefinisikan termasuk hasil kali dalam

Untuk u, v R2, didefinisikan operasi berikut:
= u1v2+u2v1
Apakah operasi tersebut hasil kali dalam?
Jawab:
Operasi yang didefinisikan di atas bukan hasil kali dalam, dengan contoh penyangkal:
U = (3, 0) o, tetapi = <(3, 0), (3, 0)> = 3.0+0.3 = 0.
Jadi, bukan hasil kali dalam.

Untuk u, v M2x2, didefinisikan operasi bernilai riil, berikut:
= = u1v1+ u2v2+ u3v3+ u4v4
Apakah operasi ini hasil kali dalam?
Jawab:
Ambil a, b M2x2, misalkan: a= a1a2a3a4 b=b1b2b3b4
Maka:
= a1b1+ a2b2+ a3b3+ a4b4 {komutatif perkalian bilangan riil}
= b1a1+ b2a2+ b3a3+ b4a4 {definisi operasi }
=

Ambil a, b, c M2x2, misalkan: a= a1a2a3a4 b=b1b2b3b4
c= c1c2c3c4 Maka:
= (a1+b1)c1 + (a2+b2)c2 +(a3+b3)c3 +(a4+b4)c4 {distributif bila riil}
= a1c1+ b1c1 + a2c2 + b2c2 + a3c3 + b3c3 + a4c4 + b4c4 {aso bil riil}
= (a1c1+ a2c2 + a3c3 + a4c4) + (b1c1 + b2c2 + b3c3 + b4c4){def }
= +

Ambil a, b M2x2, misalkan: a= a1a2a3a4 b=b1b2b3b4 , ambil k R,maka:
= (ka1)b1 + (ka2)b2 + (ka3)b3 + (ka4)b4 {distributif bilangan riil}
= k(a1b1 + a2b2 + a3b3 + a4b4) {definisi operasi }
= k

Ambil a M2x2, misalkan: a= a1a2a3a4, maka:
= a1a1 + a2a2 + a3a3 + a4a4 0 {sifat kuadrat bilangan riil}
dan = 0, jika a1=0, a2=0, a3=0, a4=0, atau a = 0
Jadi, operasi bernilai riil di atas merupakan hasil kali dalam.

ALJABAR LINEAR ELEMENTER " RUANG HASIL KALI DALAM "

Recommend Documents