Bab IV Hasil Kali Transformasi

Andaikan F dan G dua transformasi dengan : F:V→v G:V→v Sehingga produk atau komposisi dari f dan g yang ditulis sebagai GoF didefinisikan sebagai (GoF)(P) = G[F(P)], ∀P ∈ V

Jika F : V → v dan G : V → v masing-masing masing-masing suatu transformasi maka hasil kali H = GoF : V → v adalah juga transformasi. Pembuktian

1. H : V → v  Transformasi G memiliki daerah nilai dan daerah asal di V  Transformasi F memiliki daerah nilai dan daerah asal di V 2. H surjektif : Anggota kodomain memiliki pasangan didomain Ambil sebarang y ∈ V, akan dibuktikan bahwa H(x) = y  

Transformasi G : Ambil sebarang y ∈ V dan z ∈ V maka G(z) = y Transformasi F : Ambil sebarang z ∈ V dan x ∈ V maka F(x) = z

Jadi dapat disimpulkan G(z) = y , G [F(x)] = y atau (GoF)(x) = y sehingga y = H(x) 3. H Injektif : Setiap domain memiliki tepat satu pasangan pada kodomain atau dapat ditulis P≠Q maka H(P) ≠ H(Q) . Akan dibuktikan menggunakan kontradiksi Andaikan H(P) = H(Q) maka G[F(P)] = G[F(Q)] F(P) = F(Q) P=Q Dari pembuktian diatas, pengandaian H(P) = H(Q) adalah SALAH. Yang benar H(P) = H(Q) sehingga dapat disimpulkan bahwa H adalah injektif.

Andaikan g sebuah garis dan T sebuah transformasi T : V → v yang didefinisikan sebagai sebagai berikut :  

Jika x ∈ g, maka T(x) = x Jika x ∉ g maka T(x) adalah titik tengah ruas garis dari x ke g yang tegak lurus.

The world’s largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.





Pembuktian Isometri : Transformasi dan refleksi. Ambil sebuah garis h tegak lurus g dan M h (refleksi garis h) atau M h [T(x)] = y, sehingga y = (MhoT)(x). apakah merupakan hasil kali isometri? Dari gambar didapat MhoT = ToMh. Andaikan x = (x,y) maka T(x) = (x, 1/2y) dan M h[T(x)] = (-x, 1/2y)





PEMBAHASAN SOAL

1). Diketahui : garis-garis g garis-garis g dan dan h dan titik-titik P,Q dan K. Lukislah : a). A = Mg[Mh(P)] b). B = Mh[Mg(P)] c). C = Mh[Mh(P)] d). D = Mg[Mh(K)] e). R sehingga M h[Mg(R)] = Q f). Apakah Mg Mh = Mh Mg? 



Penyelesaian: a)

A = Mg[Mh(P)]

P g Q h Mh(P) b)

P g Mg(P) B = Mh[Mg(P)]

h

P = Mh[Mh(P)] c) g





d)

P

g

K = D= M g[Mh(K)] Q e)

h

R

P Q = Mh g [Mg(R)]

Mh(Q) h Tidak, sebab terlihat pada nomor (a) dan (b), diperoleh M g[Mh(P)] 

f)

Mh[Mg(P)]. Selain itu, sifat komutatif tidak berlaku secara umum pada hasilkali transformasi. Pembuktian dapat dilihat di materi.

2). Diketahui : T dan S isometri Selidiki : a). TS sebuah isometri b). TS = ST c). Jika g Jika g sebuah sebuah garis maka g maka g ’ = (TS)( g ) juga sebuah garis. d). Jika g Jika g // // h dan g dan g ’ = (TS)( g ), ), h’ = (TS)(h (TS)(h) maka g maka g ’ // h’ Penyelesaian : a). T dan S adalah isometri-isometri sehingga T dan S adalah s uatu transformasi Berdasarkan teorema “Jika F : V



V dan G : V

transformasi, maka hasil kali H = G F : V





V masing-masing suatu

V adalah juga suatu transformasi”,





Ambil sebarang titik A, B  V. Jelas S(A) = A’,

S(B) = B’. B’.

Karena S isometri maka AB = A’B’. A’B’. Jelas T(A’) = A”,

T(B’) = B”. B”.

Karena T suatu isometri maka A’B’ = A”B”. A”B”. Diperoleh AB = A’B’ = A”B”. A”B” . Jelas TS(A) = T[S(A)]= T[S(A)]= T(A’)= A” dan A” dan TS(B) = T[S(B)]= T[S(B)]= T(B’)= B”. B”. Karena AB = A”B” maka TS sebuah isometri. Jadi TS adalah suatu isometri. b). Adb TS = ST Didefinisikan T(P) = P’ dan T(Q) = Q’. Misalkan |PQ| = |P’Q’|

|PQ| = |T(P) S(Q)|.

TS(P) = P’ dan ST(P) = P’. Karena TS(P) = ST(P) = P’ maka TS = ST = 1. Jadi TS = ST. c). Apabila g Apabila g sebuah sebuah garis maka g maka g ’ = TS( g g ) juga sebuah garis. Telah diketahui bahwa TS sebuah isometri. Berdasarkan teorema “sebuah isometri memetakan garis menjadi garis”. garis”. Maka g Maka g ’ = TS( g g ) adalah sebuah garis. Jadi pernyataan “jika g “jika g sebuah sebuah garis maka g maka g ’ = TS( g ) juga sebuah garis” benar. d). Apabila g Apabila g // // h dan g dan g ’ = TS( g g ), ), h’ = TS(h TS(h) maka g maka g ’// ’// h’. Karena TS sebuah isometri, berdasarkan teorema “sebuah isometri mengawetkan kesejajaran dua garis” sehingga garis” sehingga diperoleh g diperoleh g ’// ’// h’ dengan g dengan g ’ = TS( g ), ), h’ = TS(h TS(h), g ), g // // h. Jadi pernyataan “Apabila g “Apabila g // // h dan g dan g ’ = TS( g ), ), h’ = TS(h TS(h) maka g maka g ’// ’// h’” benar.

3). Diketahui : garis-garis g garis-garis g dan dan h, A  g , B h, C  h Lukislah : a). Mg[Mh(  ABC)] b). M [M (  ABC)]





Penyelesaian: a).

A”

C” B”

A g C B

h C’ A’

Mh(A) = A’ Mh(B) = B (karena B h ) Mh(C) = C’ Mg(A’) = A” Mg(B’) = B” Mg(C’) = C” Jadi, Mg[Mh(ABC)] = A”B”C”. A”B”C”.

b).

B’ C’

A = A’ g C B

h

A”







Mg(A) = A’ = A (karena A  g ) Mg(B) = B’ Mg(C) = C’ Mh(A’) = A” Mh(B’) = B” Mh(C’) = C” Jadi, Mh[Mg(ABC)] = A”B”C”. A”B”C”. c). Akan dilukis K sehingga M g[Mh(K)] = K. Mg[Mh(K)] = K

 (MgMh)(K)

= K.

Hasil kali persamaan (MgMh)(K) = K hanya akan terjadi pada titik potong antara garis g garis g dan dan garis h. Oleh karena itu K adalah titik potong garis g garis g dan dan garis h. K

g

h d). Akan dilukiskan titik R sehingga M h[Mg(R)] = D. Karena D  h maka D’ = Mh(D) = D. Diperoleh Mg(R) = D. Jadi, R adalah prapeta D oleh M g R g D





a) g’= Mh[Mg(g)] Ambil dua titik sebarang anggota garis g, misal titik P dan Q serta namai titik perpotongan garis g dan h di di R . Setelah mendapatkan pencerminan P di P’, R di R dan Q di Q’, hubungkan titik P’, R, dan Q’ menjadi suatu garis yaitu garis g’. g’ h

P’

g

Q

R

k

P

Q’

b) g’= Mg[Mh(g)] Ambil dua titik sebarang anggota garis g, misal titik P dan Q. g Q’’ h

P’

Q

R P

g

k P’’





B’’

A’’ h

g k’ A’

k B

C A

B’

Bab IV Hasil Kali Transformasi

Recommend Documents