PANJANG DAN SUDUT DI RUANG HASIL KALI DALAM
A. Panjang dan Jarak di Ruang Hasil Kali Dalam Dalam materi ini akan mengembangkan pemahaman mengenai panjang, jarak, dan sudut di ruang hasil kali dalam yang umum. Di ℝ2 panjang vektor u = (u1, u2) diberikan oleh ‖ ‖=
+
yang dapat ditulis dalam ruas-ruas hasil kali dalam titik sebagai ‖ ‖= √ . Dengan cara yang sama, jika ‖ ‖=
= ( . )
= ( , +
,
+
) adalah vektor di ℝ3, maka: = ( . )
= √ .
Dari hasil diatas, kita dapat membuat definisi berikut. DEFINISI Jika V adalah sebuah ruang hasil kali dalam, maka norma (atau panjang) vektor u dinyatakan oleh ‖ ‖dan didefinisikan oleh ‖ ‖= 〈 , 〉
⁄
Di ℝ2, jarak antara dua titik u = (u1, u2) dan v = (v1, v2) diberikan oleh ( , )=
(
−
) +(
−
) = ‖ − ‖
Dengan cara yang sama, di ℝ3 jarak antara dua titik u = (u1, u2, u3) dan v = (v1, v2, v3) diberikan oleh ( , )=
(
−
) +(
−
) + (
−
) = ‖ − ‖
Dari hasil ini, kita dapat buat definisi berikut:
1
DEFINISI Jika V adalah sebuah ruang hasil kali dalam, maka jarak antara dua titik (vektor) u dan v dinyatakan oleh d(u,v) dan didefinikan oleh d(u,v) = ‖ − ‖ CONTOH 1
Jika
=(
,
,
,…,
) dan
=( ,
,
,…,
) adalah
vektor pada ℝ dengan hasil kali dalam Euclidis, maka ‖ ‖=〈 , 〉
/
=
+
+
+⋯+
dan ( , )=‖ − ‖=〈 − , − 〉 =
(
−
) +(
−
⁄
) + ⋯+(
−
)
Amatilah bahwa persamaan ini tak lain dari rumus baku untuk norma Euclidis.
Norma dan jarak bergantung pada hasil kali dalam yang digunakan. Jika hasil kali dalamnya kita ubah, maka norma dan jarak antara vektor juga akan berubah.
CONTOH 2
Tentukan norma dan jarak dari vektor u = (2,4) dan v =
(0,3) dengan hasil kali dalam berikut : a. Hasil kali dalam Euclidis b. Hasil kali dalam Euclidis yang diboboti 〈 , 〉 = 3
+2
.
Solusi : a. ‖ ‖ = ‖ ‖=
(2) + (4) = √20 = 2√5 (0) + (3) = √9 = 3
( , ) = ‖ − ‖ = ‖(2 , 1)‖ =
(2) + (1) = √5
b. ‖ ‖ = 〈 , 〉 = [3(2)(2) + 2(4)(4)] = √12 + 32 = √44 = 2√11 ‖ ‖ = 〈 , 〉 = [3(0)(0) + 2(3)(3)] = √0 + 18 = √18 = 3√2
2
( , ) = ‖ − ‖ = ‖(2 , 1)‖ = 〈(2,1) , (2,1)〉 = [3(2)(2) + 2(1)(1)] = √14 Terlihat dari contoh 2 diatas bahwa norma dan jarak antara dua vektor dapat berubah dan bergantung dari hasil kali dalam yang digunakan.
CONTOH 3
Diketahui =
1 3
2 , 3
=
−1 6
7 , 2
=
6 2
3 1
carilah: a. ‖ ‖ b. ‖ ‖ c.
( , )
d.
( , )
Solusi: a. ‖ ‖ = 〈 , 〉 = √1 + 2 + 3 + 3 = √1 + 4 + 9 + 9 = √23
b. ‖ ‖ = 〈 , 〉
/
= √−1 + 7 + 6 + 2 = √1 + 49 + 36 + 4 = √90 = 3√10
c.
( , )=‖ − ‖ =〈 − ,
− 〉
⁄
=
(1 − 6) + (2 − 3) + (3 − 2) + (3 − 1)
=
(−5) + (−1) + 1 + 2
= √25 + 1 + 1 + 4 = √31
3
( , )=‖ − ‖
d.
=〈 − ,
− 〉
⁄
=
(6 + 1) + (3 − 7) + (2 − 6) + (1 − 2)
=
7 + (−4) + (−4) + (−1)
= √49 + 16 + 16 + 1 = √82 CONTOH 4
Carilah hasil kali dalam yang dibentuk oleh matriks =
1 −1
2 3
untuk mencari ‖ ‖, dimana u =(-2,2). Solusi : 〈 , 〉=
.
=
.
.
1 −1 1 2 3 −1 2 −1 −2 [−2 2] 1 13 2 −5 [−2 2] 40 [−2
2]
. 2 −2 3 2
10 + 80 = 90 Sehingga untuk ‖ ‖ = 〈 , 〉 = √90 = 3√10 . A.1 Ketaksamaan Cauchy – Schwarz Jika u dan v adalah vektor taknol di ℝ , maka mana
∙
= ‖ ‖ ‖ ‖ cos , di
adalah sudut diantara u dan v. Jika kita kuadratkan baik ruas-ruas
dari ketaksamaan ini maupun penggunaan hubungan-hubungan ‖ ‖ = ‖ ‖ =
∙ , dan cos
∙ ,
≤ 1, kita peroleh ketaksamaan ( ∙ ) ≤ ( ∙ )( ∙ )
Teorema berikut menunjukkan bahwa ketaksamaan ini dapat dibentuk terhadap
sebarang
ruang
hasil
kali
dalam.
Dengan
menghasilkan
ketaksamaan yang kita namakan ketaksamaan Cauchy-Schwarz, akan
4
memungkinkan kita untuk mendefinisikan sudut-sudut pada ruang hasil kali dalam yang lebih umum. TEOREMA 1 (Ketaksamaan Cauchy-Schwarz) Jika u dan v adalah vektor pada seluruh ruang hasil kali dalam, maka 〈 , 〉
≤ 〈 , 〉.〈 , 〉
Bukti Teorema 1: Jika u = 0, maka 〈 , 〉 = 〈 , 〉 = 0, sehingga kesamaan sebelumnya akan terpenuhi. Kini anggap bahwa u ≠ 0. Misalkan
=〈 , 〉,
= 2〈 , 〉 ,
= 〈 , 〉, dan misalkan t sebarang bilangan riil. Dengan menggunakan aksioma kepositifan, hasil kali dalam sebarang vektor itu sendiri akan selalu tak negatif. Sehingga, 0 ≤ 〈(
+ ), (
+ )〉 = 〈 , 〉 =
+ 2〈 , 〉 + 〈 , 〉
+
+
Ketaksamaan ini menyatakan bahwa polinom kuadrat
+
+
tidak
akan mempunyai baik akar riil maupun akar riil iterasi. Sehingga demikian diskriminannya harus memenuhi b2 + 4ac ≤ 0. Dengan menggunakan koefisien a, b, dan c pada ruas u dan v memberikan 4< ,
> −4 < ,
>< ,
>≤0
atau secara ekivalen, < ,
> ≤< ,
>< ,
>.
Untuk ketaksamaan Cauchy-Schwarz dapat ditulis dalam dua bentuk alternatif yang berguna. Karena ‖ ‖ = < , 〈 , 〉
≤‖ ‖ ‖ ‖
> dan ‖ ‖ = < ,
>, maka
atau
|〈 , 〉| ≤ ‖ ‖‖ ‖. Jika
=( ,
,……,
) dan
=( ,
,……,
) adalah sebarang
dua vektor pada ℝn dengan hasil kali dalam Euclidis, maka ketaksamaan Cauchy-Schwarz yang diterapkan terhadap u dan v akan menghasilkan |
+
+ …+
| ≤(
+
+⋯+
) (
+
+ ⋯+
)
(Ketaksamaan Cauchy).
5
CONTOH 5 masing
Buktikan bahwa ketaksamaan Cauchy – Schwarz pada masing-
bagian
berikut
memenuhi
vektor
yang
diberikan
dengan
menggunakan hasil kali dalam Euclidis. a. u = (2, 1), v = (1,-3) b. u = (3, -1, 2), v = (0, 1, -3) c. u = (1, 1, -1, -1), v = (1, 2, -2, 0) Solusi: Dengan menggunakan rumus ketaksamaan Cauchy – Schwarz yaitu 〈 , 〉
≤ 〈 , 〉 . 〈 , 〉 maka:
a. u = (2, 1), v = (1,-3) 〈 , 〉 = (2.1 + 1. (−3)) = 1 〈 , 〉 . 〈 , 〉 = (2 + 1 )(1 + (−3) ) = 50 Sehingga 1 ≤ 50 , dengan demikian 〈 , 〉
≤ 〈 , 〉 .〈 , 〉 ∎
b. u = (3,-1,2), v = (0,1,-3) 〈 , 〉 = (3(0) + −1(1) + 2(−3)) = 49 〈 , 〉 . 〈 , 〉 = (3 + (−1) + 2 )(0 + 1 + (−3) ) = 140 Sehingga 49 ≤ 140 , dengan demikian 〈 , 〉
≤ 〈 , 〉.〈 , 〉∎
c. u = (1, 1, -1, -1), v = (1, 2, -2, 0) 〈 , 〉 = (1.1 + 1.2 + (−1). (−2) + (−1). 0) = 25 〈 , 〉 . 〈 , 〉 = (1 + 1 + (−1) + (−1) )(1 + 2 + (−2) + (0) ) = 36 Sehingga 25 ≤ 36 , dengan demikian 〈 , 〉
≤ 〈 , 〉 .〈 , 〉 ∎
6
CONTOH 6
Buktikan bahwa ketaksamaan Cauchy-Schwarz pada masing-
masing bagian berikut memenuhi vektor-vektor yang diberikan: a.
=
−1 6
2 dan 1
=
1 3
0 3
b. p = -1 + 2x + x2 dan q = 2 – 4x2 Solusi: a.
=
−1 6
2 dan 1
=
1 3
0 3
〈 , 〉 = ((−1).1 + 2.0 + 6.3 + 1.3) = 20 = 400 〈 , 〉 . 〈 , 〉 = ((−1) + (2) + 6 + 1 )(1 + 0 + 3 + 3 ) = 42 .19 = 798 Sehingga 400 ≤ 798 , dengan demikian 〈 , 〉
≤ 〈 , 〉 .〈 , 〉 ∎
b. p = -1 + 2x + x2 dan q = 2 – 4x2 〈 , 〉 = ((−1). 2 + 2.0 + 1. (−4)) = (−6) = 36 〈 , 〉 . 〈 , 〉 = ((−1) + 2 + 1 )(2 + 0 + (−4) ) = 6 .20 = 120 Sehingga 36 ≤ 120 , dengan demikian 〈 , 〉
≤ 〈 , 〉 .〈 , 〉 ∎
Tabel 1. Sifat-sifat dari panjang dan jarak Euclidis di ℝ dan ℝ Sifat – sifat dasar panjang
Sifat-sifat dasar jarak
L1. ‖ ‖ ≥ 0
D1. d (u, v) ≥ 0
L2. ‖ ‖ = 0 jika dan hanya jika u = 0
D2. d (u, v) = 0 jika dan hanya jika u = v
L3. ‖
D3. d (u, v) = d (v, u)
‖= | |‖ ‖
L4. ‖ + ‖ ≤ ‖ ‖ + ‖ ‖ (ketaksamaan segitiga)
D4. d (u, v) ≤ d (u,w) + d (w,v) (ketaksamaan segitiga)
Bukti:
7
L1: Perhatikan bahwa ‖ ‖ sebelumnya telah didefinisikan sebagai ‖ ‖ = 〈 , 〉 dengan demikian nilai dari ‖ ‖ =
〈 , 〉 yang akan
selalu bernilai positif maka terbukti untuk sifat L1. Bahwa ‖ ‖ ≥ 0
D1: d(u,v) merupakan suatu jarak yang didefinisikan sebagai ‖ − ‖ , untuk ‖ − ‖ akan selalu bernilai positip (sesuai dengan penjelasan di bukti L1 ) maka terbukti untuk sifat D1. Yaitu d(u,v) ≥0
L2: ‖ ‖ = 0 +
〈 , 〉 = 0, ambil u = (u1,u2,u3) maka
, maka
+
= 0 , suatu bilangan kuadrat selalu bernilai positip,
jadi satu-satunya kemungkinan yang ada adalah nilai u1,u2,u3 adalah 0. Sehingga haruslah u = 0
(kanan). Jika u = 0, maka semua
komponen-komponen dalam vektor u adalah nol. Maka sangat jelas terbukti bahwa ‖ ‖ = 0 (kiri). Dengan demikian sifat L2. Terbukti.
D2: d(u,v) = 0 ↔ ‖ − ‖ = 0, nilai u – v haruslah sama dengan nol agar ‖ − ‖ = 0, maka haruslah u = v (kanan).
= , maka setiap
komponen pada vektor u yang berpadanan dengan vektor v memiliki komponen yang sama yang akan menyebabkan u – v
= 0, dan
berakibat pada ‖ − ‖ = 0 yang ekivalen dengan d(u,v) = 0 (kiri). Jadi untuk sifat D2. Terbukti.
L3: Andaikan u = (u1,u2,u3) dan k sebarang skalar, maka .(
,
(
,
=
)
) +( (
+
(
,
) + ( +
, )
)
‖=
=
=
)= √
‖
+ +
+
+
=
= | |. ‖ ‖ . maka untuk
L3. Terbukti.
D3: Misalkan u dan v adalah vektor-vektor di ℝ3, dan u – v = a, maka ( , )=‖ − ‖=‖ ‖= (− ) + (−
〈 , 〉=
) + (− ) =
+
+
=
〈− , − 〉 = ‖− ‖ = ‖ − ‖ =
( , ). Maka D3.Terbukti.
D4: Berdasarkan definisi,
( , )= ‖ − ‖=‖ −
+
− ‖=
‖( − ) + ( − )‖ ≤
8
‖ − ‖+ ‖
− ‖(
)= ( , )+
( , ). Maka , ( , ) ≤ ( , ) + ( , ). (D4. Terbukti)
L4: Menurut definisi maka, ‖ + ‖ = 〈 + , + 〉 = 〈 , 〉 + 2〈 , 〉 + 〈 , 〉 ≤ 〈 , 〉 + |2〈 , 〉| + 〈 , 〉 ≤ 〈 , 〉 + 2 ‖ ‖‖ ‖ + 〈 , 〉 = ‖ ‖ + 2 ‖ ‖‖ ‖ + ‖ ‖ = (‖ ‖ + ‖ ‖) . Dengan mengambil
akar-akar
kuadratnya
maka
akan
memberikan
‖ + ‖ ≤ ‖ ‖ + ‖ ‖. L4 Terbukti.
B. Sudut di Ruang Hasil Kali Dalam TEOREMA 2 Jika V adalah ruang hasil kali dalam, maka norma ‖ ‖ = 〈 , 〉 dan jarak d(u,v) = ‖ − ‖ memenuhi semua sifat yang didaftarkan pada Tabel 1. Ketaksamaan
Cauchy-Schwarz
dapat
digunakan
untuk
mendefinisikan sudut-sudut pada ruang hasil kali dalam yang lebih umum. Asumsikan bahwa u dan v adalah vektor-vektor tak nol dalam ruang hasil kali dalam V. Dari Teorema 1 diatas, maka dapat dijabarkan: 〈 , 〉
≤ 〈 , 〉 .〈 , 〉 ≤ ‖ ‖
‖ ‖
Karena u dan v merupakan vektor-vektor tak nol maka pertaksamaan diatas dapat menjadi 〈 , 〉 ‖ ‖ ≤ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ 〈 , 〉 ‖ ‖‖ ‖
‖ ‖ ‖ ‖
≤1
〈 , 〉 ≤1 ‖ ‖‖ ‖ Ekivalen dengan
-1 ≤
〈 , 〉 ‖ ‖‖ ‖
≤ 1
9
Jika maka cos
merupakan sudut yang mengukur radian dari 0 hingga
,
mengasumsikan setiap nilai antara -1 dan 1
Grafik Cosinus
Gambar 1. Grafik y = cos x
Jadi kita mendapatkan sudut cos
=
〈 , 〉 ‖ ‖‖ ‖
Kita mendefinisikan
CONTOH 7
dengan
adalah 0 ≤
≤
sebagai sudut diantara vektor u dan vektor v.
Carilah cosinus sudut = (4, −1, 3, 1)
yang ruang vektornya adalah
yang unik, sehingga diperoleh:
di antara vektor-vektor dan
= (3, 5, −1, 2)
dengan hasil kali dalam Euclidis.
Solusi: ‖ ‖=〈 , 〉
/
= (16 + 1 + 9 + 1)
/
= √27 = 3√3 ‖ ‖=〈 , 〉
/
= (9 + 25 + 1 + 4) = √39 = 3√13 〈 , 〉 = (4 × 3) + (−1 × 5) + (3 × −1) + (1 × 2) = 12 − 5 − 3 + 2 =7 Sehingga dengan demikian,
10
cos
= = =
〈 , 〉 ‖ ‖‖ ‖ 7 3√3 × 3√13 7 9√39
CONTOH 8
Tunjukan bahwa sudut-sudut diantara matriks U dan V
adalah U=
1 1
cos
=
0 1
V=
0 0
2 0
Solusi:
Jadi =
. ‖ ‖
‖ ‖
=
( )
( ) ‖ ‖
( ) ‖ ‖
( )
=0
.
Dari hal di atas, hanya dengan menunjukan bahwa 〈 , 〉 = 0 , maka sudut diantara vektor u dan vektor v adalah .
DEFINISI Dalam ruang hasil kali dalam, dua vektor u dan v dinamakan orthogonal jika = 0. Selanjutnya, jika u orthogonal terhadap setiap vektor pada himpunan W, maka kita katakan bahwa u orthogonal terhadap W. Dua vektor dapat orthogonal terhadap satu hasil kali dalam tetapi tidak orthogonal terhadap hasil kali dalam yang lainnya.
CONTOH 9
Apakah vektor u = (-1, 5, 2) dan v = (2,4,-9) orthogonal
terhadap hasil kali dalam Euclidis dan hasil kali dalam Euclidis yang diboboti = 3u1v1 + 2u2v2 + u3v3 ?
Solusi:
11
Terhadap hasil kali dalam Euclidis, maka diperoleh = (-2 + 20 -18) = 0. Karena = 0 maka menurut definisi vektor u dan vektor v orthogonal terhadap hasil kali dalam Euclidis. Untuk hasil kali dalam Euclidis yang diboboti, maka diperoleh = (3(-2)+2(20)+1(-18))= 16 ≠ 0 Menurut Definisi karena ≠ 0 , maka vektor u dan v tidak orthogonal terhadap hasil kali dalam Euclidis yang diboboti. TEOREMA 3 (Theorema Phytagoras yang digeneralisasikan) Jika u dan v adalah vektor – vektor orthogonal pada ruang hasil kali dalam, maka ‖ + ‖ = ‖ ‖ + ‖ ‖
Bukti Teorema 3: ‖ + ‖ = 〈( + ), ( + )〉 = ‖ ‖ + 2〈 , 〉+‖ ‖
u+v
v
= ‖ ‖ + ‖ ‖
u CONTOH 10 Buktikanlah jika v1, v2, … , vr
adalah vektor-vektor yang
orthogonal dengan cara berpasangan dalam ruang hasil kali dalam V maka, ‖
+
+⋯+
+⋯+
‖
‖ = ‖ ‖ + ‖ ‖ + ⋯+ ‖ ‖
Solusi : ‖
+
= 〈(
〈
〉 +〈 ,
⋯+ 〈 〈 , 〈 ,
,
〉+〈
, 〉+〈 ,
〉+〈
+
〉+ ⋯+ 〈 ,
〉 +⋯+ 〈
,
+ …+
) ,(
+
+ …+
〉+〈 ,
〉+
)〉
+ 〈 ,
+
,
〉+〈 ,
〉+〈 ,
,
〉+ ⋯+〈
〉+〈 ,
,
〉+〈 ,
〉+〈
,
〉+
〉+ ⋯+
〉 〉+⋯+ 〈
,
〉+〈 ,
〉 12
‖ ‖ + ‖
‖ + ⋯+ ‖
‖ ‖ + ‖
‖ + ⋯+ ‖ ‖
‖ + ‖ ‖ ∎
CONTOH 11 Misalkan ℝ mempunyai hasil kali dalam Euclidis. Untuk nilai k manakah u dan v orthogonal? Dengan u = (-1,2,4) dan v =(2,5,k). Solusi : u dan v orthogonal jika 〈 , 〉 = 0, maka 〈 , 〉=0 -1(2) +2(5)+4(k) = 0 -2+10+4k =0 8+4k = 0 k = - 2 . Jadi untuk nilai k = -2 maka vektor u dan v saling orthogonal.
13
