DETERMINACION DE LA RIGIDEZ L ATERAL F2 F2
C
B
A F2
C
B A
2
1
3
donde,
KL
A
,
KL
B
y
C KL
* + +
* + +
* + +
es la rigidez lateral de los pórticos A, B y C en el
respectivo nivel. ING° CARLOS EDUARDO RAMOS BRAST Egresado de la Escuela de Post-grado UNI – Msc Estructuras.
1
a)
Mé todo de Muto, Pa ra la determinació
n de la s rigideces.
= Rigidez de viga a flexión. = Rigidez de columna a flexión.
+ + + 4 2*
4
2+
a *
Piso Típico
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2
= Rigidez de viga a flexión. = Rigidez de columna a flexión.
+
0.5+
2+ a *
UNION COLUMNA EMPOTRADO
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3
= Rigidez de viga a flexión. = Rigidez de columna a flexión.
+
0.5+
1 + 2 a *
UNION COLUMNA ARTICULADO
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4
= Rigidez de viga a flexión. = Rigidez de columna a flexión.
+ + + 2*
2+
a *
Semi – Empotrado – Viga de cimentación.
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5
= Rigidez de viga a flexión. = Rigidez de columna a flexión.
12* E * I
ℎ : E: Modulo de Elasticidad del concreto. I: Inercia. h: Altura de entrepiso.
Rigidez lateral para una columna con empotramiento perfecto
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6
12* a * E * I
ℎ
a * I * 12*E = a * kc * 12 * EI
ℎ * h²
D* (12* E * ko) ℎ²
h²
: E: Modulo de Elasticidad del concreto. I: Inercia. h: Altura de entrepiso. a = 1 ------ Empotrado perfecto. a = 0 ------ Articulado.
Rigidez lateral para un Sistema No empotrado. ING°sado CARLOS EDUARDO RAMOS Egre de la Escue la de Post -gradoBRAST UNI – Msc Estructuras.
7
Desplazamientos Relativos
Desplazamientos Reales
4
Distorsiones
4 = ( + + + 4 )*3/4*R
D4
= (4 - )/ℎ4
= ( + + )*3/4*R
D
= ( - )/ℎ
D
= ( - )/ℎ
= ( + )*3/4*R
= /
r4 = 4 /4
= /
= /
= ( )*3/4*R
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D
= ( )/ℎ
Las distorsiones deben ser menores al 7 por mil
8
METODO DE OSAWA El método de Ozawa es un proceso manual de cálculo que se utiliza para solucionar, en forma aproximada, pórticos mixtos sujetos a carga lateral. Bajo este procedimiento se resuelve el problema de interacción pórtico-placa sin recurrirse a procesos iterativos; también, puede ser empleado en el análisis sísmico traslacional de edificios de mediana altura (menos de 10 pisos) compuestos por una sola placa y columnas, o varias placas de igual geometría, pero cuando el edificio contiene placas de diferentes características, será necesario emplear una técnica adicional. El método contempla las deformaciones por flexión y por corte en la placa, pero no la deformación axial, por lo que los resultados son bastantes precisos cuando se aplica en estructuras de mediana altura. ING° CARLOS EDUARDO RAMOS BRAST Egresado de la Escuela de Post-grado UNI – Msc Estructuras.
9
Por otro lado, se trabaja con rigideces relativas estandarizadas al material de la placa (módulo de elasticidad = E), por lo que si se tuviese, por ejemplo, vigas y columnas de concreto armado (Ec) con un muro de albañilería (Ea), será necesario aplicar el criterio de sección transformada, multiplicando el espesor real de las vigas y columnas por la relación Ec/Ea. n
= # asignadoa un nivel o a un entrepiso (las variables relativas al entrepiso siguen la numeración del entrepiso).
= ángulo de rotación por flexión en el eje de la placa (radianes), positivo cuando está dirigido en el sentido horario.
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10
= 2*E*ko* (giro proporcional al real).
ko
= rigidez estándar, usualmente 0.001 m³.
Don
= 12*E*ko/hn² = rigidez lateral estándar de la placa en el piso «n».
kw
= Iw/(h*ko) = coeficiente de rigidez a flexión de la placa en el piso «n».
Dc Dc
= rigidez lateral relativa de una columna. = suma de las rigideces laterales de las columnas que conforman al entrepiso en la dirección en análisis (Dc1+.. ….
+ Dc7).
Aw, Iw, f= área axial, momento de inercia y factor de forma de la sección de la placa. Q
= cortante total de entrepiso «n» (valor conocido) = Fi.
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Qw
= cortante que absorbe la placa (valor desconocido) en el entrepiso «n».
Qc
= cortante que absorbe el grupo de columnas en el entrepiso «n» = Q-Qw.
Vc
= cortante que absorbe una columna Vc = Dc*Qc/ Dc. 6
2 1 0
5 2
ℎ
1
ℎ
sismo
7
4
Eje de la placa
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1.- Constantes de Entrepiso. Se considera que hay compatibilidad de desplazamientos horizontal entre la placa y el conjunto de columnas (hipótesis de diafragma rígido) = 1 +
= -3*
+
∗∗ ∗∗ ∗ ∗
= + 3*
=
=
∗
Las constantes , , y son adimensionales, mientras que tiene unidades (Tn-m); ellas se tabulan ordenadamente por cada entrepiso «n» de la siguiente manera:
Nota: si se estuviese analizando una placa aislada, sin columnas, entonces: Dc = 0, Xn = 1.0, Zn = 0, Bn =An =kwn ING°sado CARLOS EDUARDO RAMOS Egre de la Escue la de PostgradoBRAST UNI – Msc Estructuras.
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2.- Coeficiente de Rigidez a Flexión de la Viga de Borde (kv). Este coeficiente (adimensional) se obtiene como la rigidez al giro absoluta (k) de la viga que llega de la placa dividida entre la constante 6Eko; en cambio, en el método de Muto se usa la constante 4E*ko. E = módulo de elasticidad de la placa.
kv = 6∗∗ En el cálculo de k existen varios casos, los cuales se muestran a continuación: Placa
Col. I
(n) I= a
Viga
K=
4∗∗ *[1+3*(a/b)+3*(a/b)²]
b
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Placa I
(n)
K=
Viga
I=
∗∗ *[1+(a/b)]²
b
a Placa (n)
K1
K2
K = +
Viga 1 Viga 2 Cuando la base de la placa (nivel n = 0) rota, debe calcularse la rigidez absoluta del resorte helicoidal (K) y dividirla entre 6*E*ko. A continuación se presentan varios casos:
∗ Eje de la placa (n = 0)
Zapata
placa Rígida.
= 6∗∗ Suelo flexible, coef. Subrasante = ks Iz: Momento de inercia de la zapata.
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placa
placa placa zapata
sótano E, I, A, f
rígida
L
x
Pilotes de punta E, A
h
g=
n=0
6∗∗∗ ∗∗²
K = + + K=*
∗∗²
K=
∗∗
*
(+) (+)
Kvc = rigidez al giro de la cimentación
3.- Constantes por cada nivel que rote. En cada nivel del eje de la placa, donde el giro sea un grado de libertad, deberá calcularse las siguientes constantes imponiendo condiciones de borde: = + + + 6*
=
= + +
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4.- Ecuación de los 3 Giros (ecuación de ozawa). Esta ecuación proviene de efectuar el equilibrio de momentos en cada nudo «n» de la placa y se plantea sólo en los niveles que roten:
- + * + + * - * − =
El planteo de esta ecuación conduce a una formulación matricial, donde como regla práctica se llena primeramente por cada fila «n» los términos
, - y ; finalmente a sabiendas que la matriz correspondiente al primer miembro de la ecuación de Osawa es simétrica y bandeada en forma tridiagonal, se completa esta matriz llenando los términos que aparecen debajo de la diagonal.
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17
n 3 2 1 0
3 2 1 0
3 3 0 0 3 2 2 0 0 2 1 1 0 0 1 0
=
3
3 2 1 0
2 1
= 0 -1 3 2 1 0
=
3 3 0 0 3 2 2 0 0 2 1 1 0 0 1 0
3 2 1 0
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5.- Cálculo de la Fuerza Cortante que Absorbe la Placa (Qw), El conjunto de columnas (Qc) y cada columna (Vc). = [ - 3* *(− + )]/ℎ
= -
= * / Dc
6.- Cálculo del desplazamiento relativo de entrepiso (n) y de la rigidez lateral absoluta de la placa (kwn)
=
∗ *[3*(− + )+ ] ( ∗ )
+
∗ ∗ ∗
=
( ∗)
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En el caso en que Existen Placas de Diferentes características.
En este caso, se trata de evaluar los desplazamientos laterales del edificio aplicando el método de Ozawa, para lo cual se agrupa (o condensa) al conjunto de placas en un solo eje vertical equivalente y al grupo de columnas en otro eje. El método se aplica empleando los siguientes parámetros:
Eje de placa equivalente.
Eje de la columna
= * = + + = + + = * f = valor promedio de los factores de forma de las secciones transversales de las distintas placas.
Dci = Dc1 + Dc2 + Dc3 + Dc4 + Dc5 + Dc6
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Ejemplo – Análisis Manual Se tiene la presente edificación de 6 pisos, ubicado en la ciudad de Chiclayo. Determinar lo siguiente: a) La fuerza sísmica de diseño, según la Norma E-030. (Utilizar Hoja de calculo en Excel) b)
Determinar
la
rigidez
lateral
de
la
edificación. c) Determinar los centros de masa y de rigidez de cada uno de los pisos. d) Determinar los Momentos torsionantes de la edificación. e) Determinar los desplazamientos relativos y absolutos de la edificación. E-030. f) Modelar la edificación mediante el programa Etabs 9.70 y comparar resultados con el items e.
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Ubicación de los Elementos estructurales.
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22
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Determinación de las Propiedades Geométricas.
x = -
y = -
x = +
y = +
A = y * x/2
= = =
= = =
Ax = y/8*(x² + x²/3)
Ay=- x/8*(y² + y²/3)
Ix = -x∗ y/24*(y²+y²)
Iy = y∗ x/24*(x²+x²)
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Centro de Masa.
= *( +k* )*A + * = + * = + * = ( +k* )*A + = + = + =
= *( +k* )*A + * = + * = + * = ( +k* )*A + = + = + =
= =
= - A * ( )²
= =
= - A * ( )²
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25
Cargas :
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26
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27
y
Primer Piso ING°sado CARLOS EDUARDO RAMOS Egre de la Escue la de Post -gradoBRAST UNI – Msc Estructuras.
28
y
Segundo Piso ING°sado CARLOS EDUARDO RAMOS Egre de la Escue la de Post -gradoBRAST UNI – Msc Estructuras.
29
y
Sexto Piso ING°sado CARLOS EDUARDO RAMOS Egre de la Escue la de Post -gradoBRAST UNI – Msc Estructuras.
30
y
Primer Piso ING°sado CARLOS EDUARDO RAMOS Egre de la Escue la de Post -gradoBRAST UNI – Msc Estructuras.
31
y
Sexto Piso ING°sado CARLOS EDUARDO RAMOS Egre de la Escue la de Post -gradoBRAST UNI – Msc Estructuras.
32
y
Primer Piso ING°sado CARLOS EDUARDO RAMOS Egre de la Escue la de Post -gradoBRAST UNI – Msc Estructuras.
33
y
Sexto Piso ING°sado CARLOS EDUARDO RAMOS Egre de la Escue la de Post -gradoBRAST UNI – Msc Estructuras.
34
1er Piso.
2do Piso.
3er Piso.
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4 y 5to Piso.
6to Piso.
35
Determinando la Rigidez lateral
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39
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40
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41
Calculo de la Fuerza sísmica
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42
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43
= = ∗
= -
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44
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45
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46
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47
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48
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49
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50
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51
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52
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53
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54
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55
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56
*) Distribución de las cargas estáticas y Deformaciones laterales
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57
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58
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59
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60
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61
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62
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63
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64
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65
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67
Modelo Matemático - Etabs
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68
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72
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73
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74
Aplicación de las cargas
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75
Aplicación de los diafragmas rígidos.
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76
Aplicación de la Fuerza de sismo a) Análisis estático – User Coeficient. En la dirección «X – X» + Ecc Y
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77
En la dirección «X – X» - Ecc Y
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78
En la dirección «Y – Y» + Ecc X
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79
En la dirección «Y – Y» - Ecc X
Crear una combinación de carga del tipo Envolvente para la Sismo XXCOE y Sismo YYCOE
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80
Aplicación de la Fuerza de sismo X-X
b) Análisis estático – User Loads
CasoS:ismoXXL1
CasoS:ismoXXL2
-)Aquí usted colocara las fuerzas de sismo, que es el resultado de la aplicación del ZUSC/R * Ps. -)Crear una combinación por Envolvente para la fuerza sísmica XXL1 y XXL2
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81
Y -Y
Caso: SismoYYL1
Caso: SismoYYL2
-)Aquí usted colocara las fuerzas de sismo, que es el resultado de la aplicación del ZUSC/R * Ps. -)Crear una combinación por Envolvente para la fuerza sísmica YYL1 y YYL2
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82
Definición de las Combinaciones de carga
Comb # 1: Comb # 2: Comb # 3: Comb # 4: Comb # 5: Comb # 6: Comb # 7: Comb # 8: Comb # 9: Comb # 10:
1.4*D. 1.2*D + 1.6*L 1.2*D + 1.0*L + 1.0*Sx. 1.2*D + 1.0*L – 1.0*Sx. 1.2*D + 1.0*L + 1.0*Sy. 1.2*D + 1.0*L – 1.0* Sy. 1.2*D + 1.0*Sx. 1.2*D – 1.0*Sx. 1.2*D + 1.0*Sy. 1.2*D – 1.0*Sy.
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Donde : D: L: S:
CargaMuerta. CargaViva. Fuerzadesismo.
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Creando combinación para Distorsiones
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86
Cuadro comparativo Cortante de entrepiso entre User Coef. y user loads.
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87
Cuadro comparativo Cortante por pórtico
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