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UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS
CONDENSACION ESTÁTICA Y MATRIZ DE RIGIDEZ LATERAL
MATERIA: Análisis estructura II PROFESOR:
CONDENSACION ESTÁTICA Y Ing. José Chuquillanqui MATRIZ DE RIGIDEZ INTEGRANTES: LATERAL Conislla Limaylla Jesús Luna Lopez Marco FECHA DE PRESENTACION: 28 – 06 – 16 AÑO: 2016
Facultad de Ingeniería Geológica, Minera, Metalúrgica, Geográfica y
Escuela Académico Profesional de Ingeniería Civil
Tabla de contenido 1. CONDENSACIÓN ESTÁTICA DE LA MATRIZ DE RIGIDÉZ.....................2 1.1
DEFINICIÓN...............................................................................2
1.2
MÉTODO GENERAL DE LA CONDENSACIÓN DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ
1.3
MATRIZ DE RIGIDEZ PARA ANÁLISIS LINEAL..............................3
1.3.1
Análisis sin nudo rígido.......................................................3
1.3.2
Análisis con nudo rígido......................................................6
1.3.3
Ensamblaje de la matriz de rigidez.....................................8
1.4
CONDENSACIÓN DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ.............................9
1.4.1
Condensación a las coordenadas "a"................................10
1.4.2
Condensación a las coordenadas "b"................................11
1.5
2
CONDENSACIÓN MEDIANTE SOLUCIÓN DE ECUACIONES........12
1.5.1
Caso en que Qb = 0...........................................................12
1.5.2
Caso en que Qa= 0...........................................................13
1.6
CONDENSACIÓN MEDIANTE ELIMINACIÓN DE GAUSS.............13
1.7
BARRA ARTICULADA-RÍGIDA....................................................15
2. RIGIDEZ LATERAL...........................................................................18 2.1 INTRODUCCION.........................................................................18 2.2 RIGIDEZ LATERAL DE UN PÓRTICO SIMPLE................................18 2.3 MATRIZ DE RIGIDEZ LATERAL DE UN PÓRTICO DE VARIOS PISOS.20 2.4 EJEMPLO DE APLICACIÓN...........................................................21 3. MUROS DE CORTE.........................................................................24 3.1 DEFINICION................................................................................24 3.2 REQUISITOS DEL ACI- 318- 2008 PARA MUROS DE CORTANTE. .25 3.3 CLASIFICACION DE LOS MUROS DE CORTANTE:.........................27 3.4 ESTRUCTURACION CON MUROS DE CORTANTE.........................28 3.5 COMPORTAMIENTO DE LOS MUROS DE CORTANTE....................29 3.6 COMPORTAMIENTO DE LOS MUROS DE CORTANTE EN VOLADIZO30 3.7 MUROS DE CORTANTE EN VOLADIZO CON PATINES...................31 3.8-INTERACCION DE MUROS DE CORTANTE Y MARCOS CON JUNTAS RIGIDAS 3.9 MUROS CORTANTE CON ABERTURAS.........................................32 3.10 MUROS ACOPLADOS DE CORTANTE.........................................33 3. 11. MODELO DE CORTANTE PARA EDIFICIOS................................34 4. BIBLIOGRAFIA.................................................................................36
1
31
1. CONDENSACIÓN ESTÁTICA DE LA MATRIZ DE RIGIDÉZ 1.1
DEFINICIÓN
La condensación estática de la matriz de rigidez, es la base fundamental para el análisis sísmico de estructuras. Se presentan tres formas de encontrar la matriz de rigidez condensada, a saber: la primera involucra la inversión de una matriz, la segunda implica la solución de un conjunto de ecuaciones lineales y la tercera mediante la eliminación de Gauss. Por otra parte, se presenta la matriz de rigidez de los elementos para el análisis sísmico de pórticos planos, de dos maneras, la primera sin considerar nudos rígidos y la segunda considerando nudos rígidos. 1.2
MÉTODO GENERAL DE LA CONDENSACIÓN DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ
Sea un sistema de N grados de libertad caracterizado mediante su matriz de rigidez K (de tamaño N × N) que relaciona linealmente desplazamientos U con solicitaciones F tal que:
El método de condensación de grados de libertad persigue obtener, partiendo de este modelo, la matriz de rigidez correspondiente al caso de haber “eliminado” uno (o más) grados de libertad. Eliminar n grados de libertad implica que ciertos desplazamientos o giros dejarán de aparecer en el vector U, y sus correspondientes solicitaciones desaparecerán del vector F, dejando por lo tanto nuestro modelo como:
Donde evidentemente la matriz K′ debe ser obtenida de forma que este modelo condensado se comporte exactamente igual que el original. Es importante no perder de vista que el sistema condensado sigue correspondiendo al mismo sistema físico, donde solo hemos impuesto alguna condición extra. En los casos que vamos a estudiar, impondremos que las fuerzas y los momentos en los gdl condensados (los que desaparecen) sean nulos. De esta forma, si denotamos los subconjuntos de F y U que van a ser condensados como Fc y Uc, respectivamente, podemos reescribir la Ec. 2.5.1 como:
Donde los superíndices c y n usados para las submatrices indican los términos relativos a los gdl que han sido y que no han sido condensados, respectivamente. Despejando ahora la ecuación correspondiente a Fc (por simple desarrollo del producto matricial), tenemos:
2
Y como imponemos la condición de fuerzas y momentos condensados (Fc) nulos (los desplazamientos correspondientes a dichos gdl son libres), podemos despejar el valor de los desplazamientos y giros en dichos gdl:
Este resultado se puede ahora sustituir en la ecuación correspondiente a F′ según la Ec. 2.5.3, llegando al resultado:
Como se ve, la matriz de rigidez K′ correspondiente al sistema condensado no se obtiene simplemente extrayendo la parte que nos interesa de la matriz original K, sino que hay que restarle un término adicional que modela el efecto que tienen los gdl condensados en los demás. 1.3
MATRIZ DE RIGIDEZ PARA ANÁLISIS LINEAL
En análisis lineal se considera que la rigidez a flexión (EI)o, es constante; lo propio sucede con la rigidez al corte (GA)o. En consecuencia, la matriz de rigidez de un elemento es constante y lo mismo sucede con la matriz de rigidez de la estructura, como se ha visto en los capítulos anteriores. 1.3.1 Análisis sin nudo rígido En la figura 16.1, se indica el sistema de coordenadas locales de un elemento horizontal de un pórtico plano, en el que no se considera la deformación axial, hipótesis de cálculo que se puede utilizar en el análisis sísmico de estructuras para los elementos horizontales.
Figura 16.1 Coordenadas locales para un elemento axialmente rígido. Para el elemento horizontal indicado en la figura 16.1, se tiene que el sistema de coordenadas locales es igual al sistema de coordenadas globales. Por otra parte, se recuerda que las estructuras se resuelven en coordenadas globales. La matriz de rigidez del elemento, es simétrica con respecto a la diagonal principal, razón por la cual solo se presenta la matriz triangular superior. Con relación al sistema de coordenadas locales de la figura 16.1, 3
la matriz de rigidez es la siguiente.
la forma de la matriz de rigidez, indicada (16.1) es válida para elementos de sección constante o de variable. Para elementos de sección constante, se tiene:
Donde E es el módulo de elasticidad del material, I es la inercia a flexión de la sección transversal, φ es el factor de forma por corte de la sección, A es el área de la sección transversal, G es el módulo de corte y L es la longitud del elemento. EJEMPLO N.- 1
Encontrar la matriz de rigidez, sin considerar nudos rígidos, para una viga de sección constante de 30 cm. de base por 30 cm. de altura y tiene una longitud de 3.7 m. Por otra parte, considerar E=2100000 T/m2 y G=840000 T/m2. SOLUCIÓN
4
Para un elemento vertical, en la figura 16.2, se indica el sistema de coordenadas globales para el caso de que el elemento sea totalmente flexible.
5
La matriz de rigidez del elemento vertical, en coordenadas globales es la siguiente.
Los restantes términos de la matriz de rigidez, fueron indicados en las ecuaciones anteriores. 1.3.2 Análisis con nudo rígido En el análisis estructural se puede considerar que los nudos son completamente rígidos. En consecuencia, la longitud de los elementos que ingresa al nudo, tienen rigidez axial infinita y rigidez a flexión infinita. Sean c1 y c2 las longitudes de rigidez infinita de un elemento, como el indicado en la figura 16.3.
Figura 16.3 infinita
Coordenadas locales para un elemento axialmente rígido y con dos sectores de rigidez
Ahora, la matriz de rigidez del elemento, es la siguiente:
Donde, los términos de rigidez k, a, k', b, b', t, son los indicados en las ecuaciones (16.2.1 a 16.2.7).
6
EJEMPLO N.- 2 Se desea encontrar la matriz de rigidez, para la viga de sección constante del ejemplo anterior, considerando nudos rígidos, para el caso de la figura 16.4. SOLUCIÓN Al reemplazar c1 = c2 = 0.15 y los restantes datos indicados en el ejemplo anterior, en (16.5), se obtiene:
En la figura 16.5, se indica el sistema de coordenadas globales, de un elemento vertical, en el cual se consideran dos sectores de rigidez infinita de longitudes c1, para el nudo inicial y c2, para el nudo final. La matriz de rigidez del elemento, en este caso es la indicada en (16.6).
7
1.3.3 Ensamblaje de la matriz de rigidez La matriz de rigidez de una estructura K, se obtiene por ensamblaje directo de las matrices de rigidez en coordenadas globales de cada uno de los elementos de la misma. Para ello es necesario definir el vector de colocación VC, el mismo que está conformado por los grados de libertad del nudo inicial y final de un elemento. EJEMPLO N.- 3 Encontrar la matriz de rigidez de la estructura indicada en la figura 16.6, considerando nudos rígidos. Todos los elementos son de 30/30. Se consideran los mismos valores de E y G, de los ejemplos anteriores.
Figura 16.6 Geometría y grados de libertad de pórtico plano, utilizado en ejemplo 3. SOLUCIÓN Sea la columna izquierda, el elemento número 1, la viga el 2 y la columna derecha el 3. Los vectores de colocación de estos elementos, son:
La matriz de rigidez del elemento dos, se indicó en el ejemplo anterior y la de los elementos uno y tres, al aplicar (16.6), se obtiene: 8
1.4
CONDENSACIÓN DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ
En la figura 16.7, se presenta nuevamente la estructura que se ha venido analizando y cuyos grados de libertad se indicaron en la figura 16.6. A la izquierda se indican todos los grados de libertad y a la derecha se indica únicamente la coordenada a la cual se va a condensar la matriz de rigidez.
En el sistema de coordenadas de una estructura, se puede diferenciar un grupo de coordenadas a las que se denomina ``coordenadas a'', que en el ejemplo de la figura 16.7 es la uno y las restantes, a las que se denomina "coordenadas b''. Al hacer esto, tanto el vector de cargas generalizadas Q, como el vector de coordenadas generalizadas q, están particionados de la siguiente forma:
Por otra parte, la ecuación básica de análisis estático, que relaciona el vector de cargas generalizadas Q, con el vector de coordenadas generalizadas q , por medio de la matriz de rigidez de la estructura K , es: 9
Q=Kq
(16.8)
Al reemplazar (16.7.1) y (16.7.2) en (16.8) y al trabajar con submatrices, la matriz de rigidez de la estructura, también estará particionada, de la siguiente forma:
La condensación estática de la matriz de rigidez se da cuando Qa desarrollan a continuación:
o Qb son ceros, los dos casos se
1.4.1 Condensación a las coordenadas "a" Este caso se presenta cuando el vector Qb=0.
de donde:
Luego:
Sea K
*
la matriz de rigidez condensada a las coordenadas "a".
1.4.2 Condensación a las coordenadas "b" Se presenta cuando el vector de cargas Qa = 0 . Procediendo en forma similar se obtiene:
Sea K
*
la matriz de rigidez condensada a las coordenadas "b".
10
EJEMPLO N.- 4 Encontrar la matriz de rigidez condensada a la coordenada lateral 1, indicada en la figura 16.7, que corresponde a la estructura de la figura 16.6, que se ha venido analizando. SOLUCIÓN En este caso, la partición de la matriz de rigidez de la estructura K se la realiza en la primera fila y primera columna, toda vez que existe una sola "coordenada a". Por lo tanto las submatrices, son:
La submatriz Kba es la transpuesta de la submatriz K ab. Para aplicar la ecuación (16.10.3) es necesario calcular la inversa de Kba.
1.5
CONDENSACIÓN MEDIANTE SOLUCIÓN DE ECUACIONES
El trabajar con la ecuación (16.10.3) o con la ecuación (16.11.3) implica calcular una matriz inversa, lo cual demanda bastante tiempo de cálculo, razón por la cual lo que se hace en la práctica, es transformar el cálculo de la matriz inversa por un sistema de ecuaciones lineales, como se ve a continuación. 1.5.1 Caso en que Qb = 0 En la ecuación (16.10.3) se realiza, se define la matriz T de la siguiente manera:
11
Al multiplicar ambos lados de la ecuación (16.12.1) por K bb se obtiene:
Para encontrar la matriz T , se debe resolver un conjunto de ecuaciones lineales, cuya matriz de coeficientes es la submatriz Kbb y los términos independientes son las diferentes columnas de la submatriz Kba . Con el cambio de variable realizado, la ecuación (16.10.3) se transforma en:
EJEMPLO N.- 5 Encontrar la matriz de rigidez condensada del ejercicio anterior, por intermedio de la matriz T. SOLUCIÓN Al sustituir las submatrices, del ejemplo anterior en (16.12.2), se obtiene:
La solución del sistema de ecuaciones lineales, reporta
1.5.2 Caso en que Qa= 0 Se procede en forma similar al indicado en el apartado (16.3.1), con lo que se obtiene:
12
Ahora, la matriz T se obtiene resolviendo un conjunto de ecuaciones lineales que tienen una sola matriz de coeficientes que es Kaa pero diferentes términos independientes que son las diferentes columnas de la matriz kab. 1.6
CONDENSACIÓN MEDIANTE ELIMINACIÓN DE GAUSS
Si bien es cierto, mediante la solución de un conjunto de ecuaciones lineales, se optimiza la obtención de la matriz de rigidez condensada. No es menos cierto, que todavía se puede optimizar el proceso de cálculo únicamente triangularizando la matriz de rigidez, tema que se trata a continuación y es válido únicamente para el caso de que Qa= 0.
de donde:
Si a la ecuación (16.14.1) multiplicamos por K aa-1, y en ésta se reemplaza la ecuación (16.13.1), se obtiene:
Ahora, si a la ecuación (16.14.3) multiplicamos por -K ba y sumamos a la ecuación (16.14.2), se encuentra:
De acuerdo a (16.13.2), la ecuación entre paréntesis es la matriz de rigidez condensada K+.
Al rescribir en forma matricial las ecuaciones (16.14.3) y (16.14.5) se halla.
Por consiguiente, dada la matriz de rigidez total, se aplica la eliminación de Gauss Jordan hasta eliminar los elementos correspondientes a las coordenadas "a" y lo que se obtienen son las matrices T y K+. EJEMPLO N.- 6 Encontrar la matriz de rigidez condensada, de la estructura que se ha venido analizando, pero aplicando la eliminación de Gauss Jordan. SOLUCIÓN 13
Primero se debe encontrar la matriz de rigidez de la estructura, para la nueva numeración de los grados de libertad, que se indican en la figura 16.8. Nótese que la coordenada lateral, se ha numerado al último.
Figura 16.8 Numeración de los grados de libertad para poder aplicar la eliminación de Gauss
Al triangularizar la matriz de rigidez, se obtiene:
Finalmente, al llevar a la forma de la ecuación (16.14.5), se encuentra:
Los valores de las cuatro primeras filas de la quinta columna, corresponden a la matriz - T, la diferencia que existe es debido al redondeo. El último valor es la matriz de rigidez condensada a la coordenada lateral, de la estructura analizada. 14
1.7
BARRA ARTICULADA-RÍGIDA
Una barra en la que uno de sus extremos i sea articulado se caracteriza por tener 5 gdl. A diferencia del caso de barra articulada en ambos extremos, aquí sí podrían aparecer fuerzas cortantes.
Partiendo de la ecuación correspondiente a una barra biempotrada, la Ec. 2.3.5, podemos obtener la matriz para una barra articulada-rígida mediante condensación del tercer grado de libertad (θ a i, el giro del nodo i), forzando que el momento mi sea nulo:
Siguiendo el resultado obtenido en la Ec. 2.5.6, podemos obtener la correspondiente matriz de rigidez de 5 × 5:
15
Al igual que en anteriores modelos de barras, los vectores de solicitaciones y desplazamientos y la matriz de rigidez en coordenadas globales se relacionan con las de coordenadas locales mediante una matriz de rotación Ta propia de cada barra mediante:
16
2. RIGIDEZ LATERAL 2.1 INTRODUCCION. Durante el movimiento de una edificación solicitaciones sobre aquella son diversa. Se ha llegado a considerar que el tiene seis componentes de movimiento traslacionales y tres rotacionales. Dentro las traslacionales en las direcciones tomadas en cuenta, en forma de tener condiciones de carga en los general son los más importantes.
por la acción sísmica, las realmente de dirección movimiento del suelo independientes, tres de estas componentes, horizontales suelen ser independiente, para fines análisis, dado que por lo
En el caso de un pórtico plano, la sola consideración de un movimiento traslacional de la base implicaría la aparición de acciones de inercia traslacionales y rotacionales. Sin embargo, los giros ocasionados son relativamente pequeños, por lo que las acciones rotacionales también lo son y prácticamente no influyen en los efectos finales sobre la estructura, tanto a nivel de desplazamientos como de fuerzas internas. Por esta razón, se considera una acción de inercia traslacional, por lo que la "fuerza" sísmica tiene, para fines de análisis, un sentido horizontal.
2.2 RIGIDEZ LATERAL DE UN PÓRTICO SIMPLE Sea el pórtico plano simple, de una crujía, mostrado en la Figura 1, sometido a la acción de una fuerza horizontal F, que representa la acción sísmica. La deformación axial de los elementos no se considera apreciable, de modo que los tres grados de libertad del sistema consisten en un desplazamiento lateral y dos giros en los nudos superiores.
La ecuación básica del análisis matricial de estructuras es la siguiente: 17
[
24 EIc h3 F 6 EIc 0 = h2 0 6 EIc h2
{}
]
6 EIc h2 4 EIc 4 EIv + h L 2 EIv L
6 EIc h2 u1 2 EIv ∗ θ1 L θ2 4 EIc 4 EIv + h L
{}
Denotando:
γ=
EIv / L EIc /h
La matriz adopta la forma:
[
24 h2 F EIc 6 0 = h h 0 6 h
{}
]
6 h
6 h
4 (1+γ )
2γ
2γ
4 (1+γ )
{}
u1 ∗ θ1 θ2
La ecuación puede ser representada de esta forma:
{F0 }=[ KK 1121
]{ }
K 12 ∗ U K 22 θ
Dónde:
K11 K22 K12 K21
: : : :
submatriz submatriz submatriz submatriz
con con con con
traslaciones originadas por los grados de libertad de traslación. rotaciones originadas por los grados de libertad de rotación. traslaciones originadas por los grados de libertad de rotación. rotaciones originadas por los grados de libertad de traslación.
Desarrollando las ecuaciones:
F=K 11∗U + K 12∗θ
18
0=K 21∗U + K 22∗θ De la segunda ecuación, se despeja:
θ=−K 22−1 K 21∗U Reemplazando la expresión de
θ
en la primera ecuación, se tiene:
F=K 11∗U −K 12∗K 22−1 K 21∗U F=( K 11−K 12∗K 22−1 K 21 )∗U De donde:
KL=( K 11−K 12∗K 22−1 K 21 )
Finalmente, se obtiene para el pórtico:
KL=
12 EIc 1+6 γ ∗ 2+3 γ h3
(
)
La operación realizada se denomina Condensación Estática. Tiene por objeto reducir la matriz de rigidez con los términos asociados exclusivamente a las fuerzas actuantes sobre la estructura. De esta manera se concentra la labor en la obtención de ciertos desplazamientos para, a partir de éstos, calcular los desplazamientos restantes, sin los cuales no podrían calcularse las fuerzas internas completamente. En este caso, mediante una condensación estática la matriz de rigidez original fue reducida a una matriz de rigidez lateral (de un término) para obtener el desplazamiento lateral de piso causado por una fuerza horizontal.
2.3 MATRIZ DE RIGIDEZ LATERAL DE UN PÓRTICO DE VARIOS PISOS. En un pórtico de varios pisos, la matriz de rigidez total es una operación repetitiva de ensambles de matrices de los elementos, sean estas vigas, columnas, muros o arriostres, como se muestra en la Figura 2. Para obtener la matriz de rigidez lateral se harán las mismas suposiciones que en la situación anterior, por ejemplo, los desplazamientos laterales son iguales a nivel de cada piso (deformaciones axiales no consideradas) y las acciones de inercia rotacionales no son tomadas en cuenta, solamente las acciones horizontales. Además, el modelo sería más apropiado para edificios de baja a mediana altura, en los cuales los efectos de las deformaciones axiales son poco considerables.
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La matriz de representada submatrices, significado
rigidez total es por una serie de que tienen el mismo que en el acápite anterior.
¿ U1 U2 Un θ1 ../¿ θ2 ../¿
{ }
F1 F2 K 11 K 12 ∗¿ Fn = K 21 K 22 .. /¿ 0 ../¿ 0
[
]
Luego se llega a la misma expresión.
{F0 }=[ KK 1121
]{ }
K 12 ∗ U K 22 θ
Desarrollando matricialmente las particiones (efectuando la condensación estática):
F=( K 11−K 12∗K 22−1 K 21 )∗U F=( KL )∗U Luego, la rigidez lateral está dada por la expresión matricial:
KL=( K 11−K 12∗K 22−1 K 21 )
2.4 EJEMPLO DE APLICACIÓN Se desarrollará el análisis de una estructura aporticada de concreto armado (E=2x106 t/m²) de un piso, considerando que el diafragma de piso es suficientemente rígido para realizar el análisis con un modelo pseudo-tridimensional. La fuerza aplicada F es de 10 toneladas, como se indica en la figura.
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a) Obtención de la Rigideces Laterales de cada pórtico a.1) Pórtico Tipo I
Iv = 5.4 x 10-3 m4 Ic = 6.75 x 10-4 m4 L = 6.0 m h = 3.5 m Ev = Ec = 2 x 10-6 t/m²
γ=
5.4 /6 =0.4667 6.75/3.5
Matriz de Rigidez:
[
24 h2 H1 EIc 6 0 = h h 0 6 h
{ } De:
[ ]
]
6 h
6 h
4 (1+γ )
2γ
2γ
4 (1+γ )
{}
u1 ∗ θ1 θ2
θ=−K 22−1 K 21∗U
[]
θ 1 = −3 ∗ 1 u θ 2 ( 2+ 3 γ ) h 1
21
KL=( K 11−K 12∗K 22−1 K 21 ) Operando:
K LI=
12 EIc 1+6 γ =6.848 T /cm 2+3 γ h3
(
)
a.2) Pórtico Tipo II
Matriz de Rigidez:
[
36 h2 H1 6 0 EIc h = h 6 0 0 h 6 h
{} De:
6 h
6 h
4 (1+ γ )
6 h
2γ 0
4 (1+ γ ) 2γ 0 0 2 γ 4 (1+ γ )
]
{}
u1 θ1 ∗ θ2 θ3
θ=−K 22−1 K 21∗U
[]
[ ]
2+ 3 γ θ1 −3 /2 h ∗ 2 u θ2 = 2 θ 3 3 γ +6 γ +2 2+ 3 γ
KL=( K 11−K 12∗K 22−1 K 21 ) Operando:
KLII =
18 EIc 1+9 γ +6 γ 2 =10.325 T /cm h3 2+6 γ +3 γ 2
(
)
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23
3. MUROS DE CORTE 3.1 DEFINICION. Son en efecto vigas en voladizo vertical de gran peralte que proporcional estabilidad lateral a las estructuras al resistir las fuerzas cortantes y momentos flexionantes en sus planos causados por las fuerzas laterales, la resistencia de los muros cortantes es casi siempre controlada por sus resistencias a flexión, sin embargo en algunas ocasiones pueden requerir algún refuerzo cortante para prevenir las fallas por tensión diagonal. Los muros deben ser suficientemente fuertes para limitar las deflexiones a valores razonables y diseñarse de manera que los esfuerzos de tensión causadas por las fuerzas laterales no excedan los esfuerzos de compresión causados por el peso del edificio.
Los muros cortantes son usados comúnmente en edificios con losas de piso de placa plana; esta combinación de losas y muros es el tipo más común de construcción usado en edificios altos de apartamentos y otros tipos de edificios residenciales. Los muros de cortante salvan las pisos, si son cuidadosamente y en planta, resistirán eficientemente si considerablemente con los requisitos dirección horizontal pueden usarse muros toda la longitud de los paneles o crujías; menores ellos tienen que correr sobre paneles.
distancias verticales entre simétricamente colocados interferir arquitectónicos. En la de corte que corran sobre cuando las fuerzas son longitudes parciales de los
En la figura 4 muestra un muro de cortante sometido a una fuerza lateral Vu. El muro es en realidad una viga en voladizo de ancho h y profundidad total Lw. en la parte (a) de la figura el muro esta flexionado por Vu de izquierda a derecha, por lo que se requieren barras de tensión a la izquierda o lado de tensión. Si Vu se aplica desde la derecha como en la parte (b) se requerirán barras de tensión en el extremo derecho. Por ende un muro de cortante necesita refuerzo de tensión en ambos lados ya que Vu puede actuar desde cualquier dirección. Para cálculos por flexión, la profundidad de la viga del extremo de compresión del muro al centro de gravedad de las barras de tensión se estima que es aproximadamente de 0,8 veces la longitud Lw del muro de acurdo al ACI. El muro de cortante actúa como una viga vertical en voladizo y al proporcionar soporte lateral queda sometido a flexión y fuerzas cortantes. Para tal muro, la fuerza cortante máxima Vu y el momento flexionante máximo Mu se calcula en lavase. Si se calculan esfuerzos de flexión, la magnitud de estos será afectada por la carga axial de diseño N U cuyo efecto debe incluirse en el análisis.
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Figura 4.- Muro de cortante
3.2 REQUISITOS DEL ACI- 318- 2008 PARA MUROS DE CORTANTE 1. La fuerza cortante factorizada de la viga debe ser igual o menor que la resistencia de diseño por cortante del muro. Vu ≤ Φ Vn 2. La resistencia de diseño por cortante del muro es igual a la resistencia de diseño por cortante del concreto más la del refuerzo por cortante. Vu ≤ Φ Vc+ Φ Vs 3. La resistencia nominal por cortante Vn en cualquier sección horizontal en el plano del muro no debe tomarse mayor que 10
√f ’c
hd (11.9.3).
4. Al diseñar las fuerzas cortantes horizontales en el plano de un muro, d debe tomarse igual a 0.8 lw, donde lw es la longitud horizontal del muro entre las caras de los apoyos, a menos que pueda justificarse un valor mayor por medio de un análisis de compatibilidad de deformaciones (11.9.4). 5. La sección 11.9.5. del ACI establece que a menos que se haga un cálculo más detallado (como se describe en el siguiente párrafo), el valor usado de la resistencia nominal por cortante Vc no debe ser mayor que 2
√f ’c
hd en los muros sometidos a una carga Nu de compresión axial factorizada.
Si un muro está sometido a una carga Nu de tensión, el valor de Vc no debe ser mayor que el valor obtenido con la siguiente ecuación:
(
Vc=2 1+
Nu ۸ √ f ' c bwd ≥ 0 500 Ag
)
(Ecuacion11-8, ACI)
6. Usando una análisis más detallado, el valor de Vc se tomara como el menor valor que se obtenga al sustituir en la dos ecuaciones que siguen, en donde Nu es la carga axial factorizada normal a la
25
sección transversal que se presente simultáneamente con Vu. Se tiene que Nu positiva para compresión y negativa para tensión.
Vc=3.3۸ √ f c hd + '
Nud 4lw
se considerara
(Ecuacion11-27, ACI)
O bien
[
Vc= 0.6 ۸ √ f ' c +
(
lw 1.25 ۸ √ f ' c +
0.2 Nu lwh
Mu lw − Vu 2
]
) hd
(Ecuacion11-28, ACI)
La primera de estas ecuaciones se formuló para predecir la resistencia al agrietamiento inclinado en cualquier sección de un muro de cortante, que corresponderá a un esfuerzo principal de tensión de aproximadamente 4 ۸
√f ' c
en el centroide de la sección transversal del muro. La segunda ecuación fue
formulada para corresponder a la presencia de un esfuerzo de tensión por flexión de 6 ۸
√f ' c
en una
sección lw/2 arriba de la sección investigada. Si Mu/Vu - lw/2 resulta negativo, la segunda ecuación no tendrá sentido y no será utilizada. En unidades de SI, estas tres últimas ecuaciones toman la forma:
0.3 Nu ۸ √ f ' c Vc=(1+ ) bwd ≥ 0 Ag 6
(Ecuación 11-9, ACI)
1 Nud ' Vc= ۸ √ f c hd + 4 4 lw
[
Vc=
1 ' ۸ √ f c+ 2
(
lw ۸ √ f c +2 '
Mu lw − Vu 2
Nu lwh
]
) hd 10
7. Los valores de Vu calculados con las dos ecuaciones anteriores a una distancia de la base igual a lw/2 o bien hw/2 (la que sea menor), son aplicables a todas las secciones entre estas secciones y la de la base del muro (11.9.7). 8. Si la fuerza cortante factorizada Vu es menor que Φ Vc/2 calculada como se indicó en los dos párrafos anteriores, no será necesario proporcionar una cantidad mínima de refuerzo tanto horizontal como vertical, como se describió en la sección 11.9.9 o en el capítulo 14 del código. 9. Si Vu es mayor que Φ Vc, el esfuerzo de muro de cortante debe diseñarse como se indica en la sección 11.9.9 del código. 10. Si la fuerza factorizada Vu excede la resistencia por cortante Φ Vc, el valor de Vs debe determinarse con la siguiente expresión, en la que Av es el área de refuerzo por cortante horizontal y 26
s es la separación del refuerzo por torsión o por cortante, en una dirección perpendicular al refuerzo horizontal (11.9.9.1).
Vs=
Avfyd s
(Ecuación 11-29, ACI)
11. La cantidad de refuerzo por cortante horizontal p t (como porcentaje del área total vertical de concreto) no deberá ser menor que 0.0025 (11.9.9.2). 12. La separación máxima del refuerzo s2 por cortante horizontal no deberá ser mayor hw/5, 3h o 18plg (11.9.9.3). 13. La cantidad de refuerzo por cortante vertical p n (como porcentaje del área total horizontal de concreto) no deberá ser menor que el valor dado por la siguiente ecuación, en la que h w es la altura total del muro (11.9.9.4).
(
pt=0.0025+0.5 2.5−
hw ( ph−0.0025 ) lw
)
(Ecuación 11-30, ACI)
No debe ser menor que 0.00025 pero tampoco mayor que el refuerzo por cortante horizontal requerido pt. En los muros altos, el refuerzo vertical es mucho menos eficaz que en los muros bajos. Este hecho se refleja en la ecuación anterior, donde para muros con una relación de altura a longitud menor que 0.5, la cantidad de refuerzo vertical necesaria es igual al refuerzo horizontal requerido. Si la relación es mayor que 2.5, solo se requiere una cantidad mínima de refuerzo vertical (es decir, 0.0025sh).
14. La separación máxima del refuerzo por cortante vertical. No deberá ser mayor que hw/3, 3h o 18 plg. (11.9.9.5). 15. El cortante en el plano del muro es importante principalmente para muros de cortante con una pequeña relación altura a longitud. De manera alternativa, se permite diseñar muros con una altura máxima que no exceda al doble del largo del muro para las fuerzas cortantes horizontales. 16. Según el NEC 2011
3.3 CLASIFICACION DE LOS MUROS DE CORTANTE:
1.- Muros anchos: cuya altura no exceda la tercera parte de la longitud y su base se encuentre empotrada. Aquí el efecto de la fuerza cortante se considera primario, los efectos de flexión pueden ascender de 10 a 15% para el cálculo de las deformaciones. 2.- Muros esbeltos: Presentan deformaciones importantes por el esfuerzo cortante y normal generado por flexión, esto es que, los elementos mecánicos (momentos flexionantes y fuerzas cortantes) contribuyen a la deformación del sistema, La interacción con los muros de la estructura altera la rigidez principalmente con los muros superiores.
El sistema estructural total de un edificio de divide básicamente en 2 grupos:
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Subsistema vertical: Son esbeltos en una o ambas direcciones seccionales y por si mismos no pueden ser muy estables, existiendo 3 tipos de subsistemas verticales esenciales: Subsistemas de Muros, Cañones Verticales, Marcos de vigas y columnas rígidas.
Subsistema horizontal: Se debe apoyar en los subsistemas verticales para sujetarlos en su posición, estos subsistemas recogen y transmiten las cargas de piso y techo mediante deflexiones y las cargas horizontales atreves s de la acción de diafragma hacia los subsistemas verticales.
3.4 ESTRUCTURACION CON MUROS DE CORTANTE Cuando se emplean subsistemas de muros de cortante, lo mejor es que el centro de la resistencia al cortante este cerca del centroide de las cargas laterales, tal como estas se aplican debido a las propiedades de superficie o masa de la forma del edificio. De no ser así surgirá un problema de diseño de momento horizontal (Torsión).
Figura.- Plantas de sistemas estructurales con diversas distribuciones de muros resistentes al corte.
En la figura a) y b) se ilustran distribuciones inestables de muros para resistir fuerzas horizontales en la parte a) los muros no presentan rigidez en X, y en la parte b) el centroide de resistencia no coincide con el centro de aplicación de la carga, y casi no hay rigidez contra la rotación torsional. Mientras q la distribución en c) y f) son muy satisfactorias. En la figura d) hay torsión horizontal por la carga en la dirección X, pero los 2 muros de la dirección Y forman un par que puede proporcionar resistencia a la torsión y a la rotación. En la figura e) la forma tubular ofrece resistencia a las cargas horizontales en cualquier dirección. La figura f) es satisfactoria a la 28
resistencia horizontal, a la rotación y permite que las esquinas del edificio se muevan por efecto de temperatura, corrimiento y contracción. La figura g) es un caso raro en que los muros perpendiculares dan suficiente resistencia a las fuerzas cortantes, pero no a la torsión, similar a la figura b) en que el sistema en su conjunto proporciona escasa resistencia a la torsión respecto a una fuerza horizontal asimétrica sobre el edificio. Los muros curvos de la figura h) pueden resistir lateralmente en virtud de su acción de concha, especialmente si los pisos sirven como diafragmas que rigidizan dicha concha.
3.5 COMPORTAMIENTO DE LOS MUROS DE CORTANTE Debido a las necesidades actuales requieren que los edificios alcancen alturas grandes comparadas con el área que ocupan; debido a esto, las características de este tipo de obras presentan 2 problemas fundamentales: 1. Requieren de una rigidez elevada, por lo que se emplean muros de cortante para proporcionar la adecuada rigidez, colocándolos estratégicamente en cubos de elevadores o escaleras según el diseño y orientación de la estructura. 2. El comportamiento de los demás elementos que forman la estructura se ve afectado por la rigidez que dan los muros de cortante. Por ello el análisis y diseño estructural deberá estar orientado a conjugar el comportamiento entre ambos elementos estructurales, sobre todo bajo el efecto provocado por las fuerzas horizontales debidas a los movimientos sísmicos y de viento. El empleo de muros en edificios debe garantizar la resistencia para absorber los efectos de las fuerzas, principalmente deberá tenerse en cuenta los efectos de rotación. Los muros de cortante en forma aislada tienen dos modos de deformación, que dependen del mecanismo deformante (flexión y cortante), siendo el principal el flexionante, es decir un voladizo vertical. También incluye la fuerza cortante y el lugar donde se aplica.
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Figura .- Principales deformaciones en muros de cortante. Finalmente los desplazamientos debidos a la deformación de la cimentación dependen de las características mecánicas del suelo, definidos por dos componentes:
Uno de translación “d´s” proporcional al cortante en la base del edificio Uno de rotación y proporcional al momento flexionante base del edificio.
3.6 COMPORTAMIENTO DE LOS MUROS DE CORTANTE EN VOLADIZO El muro cortante en voladizo simple se comporta de la misma manera que una viga de concreto reforzado la sección transversal estrecha indica que puede plantearse el problema de inestabilidad del borde de compresión considerando la longitud critica con respecto al pandeo igual a la altura del pisos. El muro córtate, si actúa como un voladizo grande estará sujeto a momentos flexionantes y fuerzas cortantes principalmente a las cargas laterales y a compresión axial provocada por la gravedad. El esfuerzo vertical o de flexión en la porción del alma en un muro de cortante se debe tomar en cuenta al evaluar la capacidad a flexión. Los requisitos esenciales son cimientos adecuados que dan fijación total a la base y suficiente conexión de los muros cortantes para transmitir la carga horizontal
3.7 MUROS DE CORTANTE EN VOLADIZO CON PATINES No hay razón para esperar que los muros altos de cortante con patín se comporten de manera distinta que los que tienen secciones transversales rectangulares. Cuando la fuerza axial es pequeña, podemos 30
anticipar que estos muros utilicen el “par de acero” interno en el intervalo inelástico, por tanto se podrá disponer de suficiente ductilidad, durante un sismo, con tal que la restricción contra el pandeo del acero sea adecuada. Cuan la compresión axial es significativa, todo un patín y parte del alma pueden estar en compresión. En tales casos se puede considerar que los patines son columnas con estribos cargadas axialmente, con un factor más bajo de reducción de capacidad (φ=0,7). Para las posiciones intermedias del eje neutro, se puede interpolar entre 0,7 y 0,9. Los patines incrementan considerablemente el momento de resistencia de muros altos en voladizo de cortante. Por tanto la resistencia de la fuerza cortante en el alma puede ser más crítica que en los muros que tengan secciones transversales rectangulares. En un muro de cortante bien diseñado, no se espera que el refuerzo a cortante ceda en ninguna etapa de la carga. Los muros de cortante cortos con patines, incluso con una pequeña cantidad de refuerzo vertical pueden suministrar una capacidad a flexión asociada con una carga cortante excesiva en el alma, con una relación de hw/lw de 0,5. También un emparrillado de refuerzo es efectivo para distribuir uniformemente las grietas diagonales y para controlar su ancho. En los muros de cortante bajos con patines, las juntas de construcción pueden constituirse en el plano de falla crítica. El patina a compresión no es efectivo en muro de cortante bajos, ya que nos e puede desarrollar el brazo de palanca grande ideal, necesario para el comportamiento de “viga”.
3.8-INTERACCION DE MUROS DE CORTANTE Y MARCOS CON JUNTAS RIGIDAS En la figura literal a se observa un muro en voladizo de cortante y un marco, que transmiten la misma carga a determinada altura, lo que hace que el muro de cortante sufra distorsiones flexionantes y que tome una pendiente constante por arriba del nivel de carga. El marco experimental de desplazamiento de traslación y tiende a hacerse vertical por arriba del nivel de la carga.
Figura-Interacción de muros de cortante y marcos rígidos. Cuando se desprecian los acortamientos e columnas, los pisos permanecen horizontales. Debido a la incompatibilidad de las deformaciones, un muro de cortantes puede oponerse a un marco rígido en los pisos superiores y los pisos inferiores, se asisten mutuamente para transmitir la carga externa.
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3.9 MUROS CORTANTE CON ABERTURAS Las ventanas puertas y ductos de servicio requieren que los muros interiores o exteriores de cortante tengan aberturas. (una “estructura racional de muros de cortante” es tal que su comportamiento se pueda evaluar por simple inspección). Por lo general, las estructuras irracionales de muros de cortante desafían la solución mediante análisis estructurales normales, aquí las investigaciones de modelos y estudios de modelos finitos pueden ayudar a evaluar las fuerzas internas. Es imperativo que las aberturas interfieran lo menos posible con la capacidad de momentos y transmisión de cortante de la estructura, en la figura literal a se muestra un buen ejemplo de muro irracional de cortante. El repentino cambio de una sección de muro a columnas reduce drásticamente la resistencia a flexión de la estructura de voladizo. En la crítica sección de la base. La distribución escalonada de las aberturas reduce severamente el área de contacto entre los 2 muros, en el literal b se podría llegar a un caso indeseable en que el mecanismo de translación lateral de las columnas rodea el muro en una dirección opuesta a la de la traslación lateral.
Figura.- Muros irracionales de cortante a) Interferencia con la resistencia a flexión y cortante b) Deformaciones indeseables debidas a las columnas inclinadas
3.10 MUROS ACOPLADOS DE CORTANTE Muchos muros de cortante contienen una o más hileras verticales de aberturas. Un ejemplo es el (núcleo de cortante) de un edificio alto, que acomoda los cubos de elevadores, pozos de escaleras y ductos de servicio. Las puertas de acceso de todos estos atraviesan los muros. Por tanto, los muros se pueden interconectar entre vigas cortas, muy peraltadas, llamados “acoplados” por la viga. En la figura literal a se ilustra una estructura típica. Antes que se pueda evaluar el comportamiento de un muro acoplado, se debe examinar 2 tipos de deformación. El sistema de acoplamiento, consiste en un conjunto de vigas cortas de acoplamiento, transmite fuerzas cortantes de un muro a otro, lo que sujeta a las vigas de acoplamiento a
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flexión y a cortante debido a la pequeña relación del claro/peralte de estas vigas, las deformaciones a cortante pueden volverse muy significativas. Debido a que sus rigideces son grandes, las vigas de acoplamiento son sensibles a los movimientos relativos de sus apoyos empotrados, por este motivo las deformaciones axiales de los muros acoplados, pueden tener un efecto considerable en el comportamiento global. La relación claro/pendiente de los miembros y la consideración de las deformaciones axiales, significa que no se puede aplicar las técnicas manuales de análisis de marcos, pudiendo entonces usar el enfoque del “análisis laminar” o “continuo”.
Figura - Muros acoplados de cortante y su modelo matemático a) Estructura prototipo
3. 11. MODELO DE CORTANTE PARA EDIFICIOS Un modelo de cortante se define como una estructura en la cual las rotaciones de una sección horizontal, al nivel de cada piso, no existen. Con esta suposición, la estructura tendrá muchas de las características de una viga en voladizo deformada únicamente por acción de fuerzas cortantes. Además se supone que las masas de la estructura están concentradas en los niveles de piso, las vigas de techo son infinitamente rígidas comparadas con las columnas, y la deformación de la estructura es independiente de las fuerzas axiales en las columnas. De esta manera un edificio de tres pisos, por ejemplo, tendrá tres grados de libertad, para una acción sísmica en una dirección horizontal determinada. No obstante, en la literatura sobre el tema se cuenta con métodos para evaluar las rigideces de entrepiso tomando en cuenta la flexibilidad de las vigas; las propuestas por Wilbur y Biggs (EEUU) y Muto (Japón) son ejemplos de ello. En la Figura 3.a se presenta un esquema representativo de un modelo de una estructura de tres pisos. Se puede tratar el modelo como una columna simple, con masas concentradas al nivel de cada piso, entendiendo que las masas concentradas admiten solamente traslaciones horizontales. La rigidez de un entrepiso, entre dos masas consecutivas, representa la fuerza cortante requerida para producir un desplazamiento unitario relativo entre dos pisos adyacentes. En la Figura 3.b se muestran los diagramas de cuerpo libre con los que se obtienen las ecuaciones de movimiento para este modelo.
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Aplicando el principio de D'Alembert, se obtienen las ecuaciones de movimiento:
M1 Ü1 + ( K1 + K2 ) U1 - K2 U2 = F1(t) M2 Ü2 - K2 U1 + ( K2 + K3 ) U2 - K3 U3 = F2(t) M3 Ü3 - K3 U2 + K3 U3 = F3(t)
En forma matricial:
M Ü + K U = F (t)
Las matrices de masas y de rigidez son, respectivamente:
[ [
M1 0 0 M= 0 M 2 0 0 0 M3
]
K 1+ K 2 −K 2 0 K= −K 2 K 2+ K 3 −K 3 0 −K 3 K3
]
Con este modelo, apropiado para análisis sísmicos en una dirección, es fácil observar algunos términos relativos a la respuesta del sistema estructural, tales como los desplazamientos de entrepiso y los cortantes de entrepiso, relacionados entre sí con la rigidez del entrepiso respectivo, como se muestra en la Figura 4. Ui = desplazamiento absoluto
δ i = desplazamiento relativo de entrepiso
δ i = Ui - Ui-1
Vi = cortante de entrepiso Rigidez lateral del piso i-ésimo: Ki = Vi /
δ i
Cálculo del desplazamiento relativo del piso iésimo:
δ i = Vi / Ki
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4. BIBLIOGRAFIA http://ingmec.ual.es/~jlblanco/papers/blanco2012calculo_matricial_estructuras.pdf
http://www.espe.edu.ec/portal/files/libros/analisis/capi16p.pdf
https://prezi.com/on_viiuwvaqx/condensacion-de-la-matriz-de-rigidez/
http://civilgeeks.com/2014/09/02/manual-de-calculo-matricial-de-estructuras/
https://.scribd.com%2Fdoc%2F178286079%2FMetodo-general-para-determinar-la-rigidez-lateral-de-unportico-sismica-1
https://academic.uprm.edu%2Flaccei%2Findex.php%2FRIDNAIC%2Farticle%2Fview%2F306%2F327
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