Juros e Taxas de Juros Juros
As operações financeiras são estabelecidas mediante a remuneração do capital inicial utilizado durante certo período de tempo. Esta remuneração do capital é chamada de Juros. Podemos definir juros como a quantia cobrada cob rada pelo credor ao tomador to mador de recursos pela utilização u tilização de seu capital. capit al. Ao fim do período de aplicação os juros são incorporados ao capital inicial formando o montante. !"#$J ! % montante & # % capital inicial & J ' juros ( processo de formação e incorporação de juros ao capital inicial pode ser feito pelo re)ime de capitalização contínua ou pelo re)ime de capitalização descontínua. *a capitalização descontínua temos os re)imes de juros simples e juros compostos. *o re)ime de capitalização a juros simples o calculo dos juros em cada período é realizado multiplicando%se a ta+a de juros sempre pelo capital inicial da operação. (s juros pa)os não são reaplicados na operação financeira. J " #.i.n J ' juros & # ' capital inicial & i ' ta+a de juros & n ' tempo de aplicação.
Taxa de Juros
A ta+a de juros i caracteriza o ,alor do alu)uel do dinheiro por um certo período. A ta+a de juros é um coeficiente que sempre se refere a uma unidade de tempo qualquer. qualquer. Pode ser e+pressa na forma percentual - /0 & /102 ou na forma unit3ria que é a forma percentual di,ida por 4// - // & //12. Taxas Taxas de juros nominal, efetiva e real.
é a ta+a de juros em que a unidade referencial de seu tempo não coincide com a Taxa nominal é unidade de tempo dos períodos de capitalização. A ta+a nominal é sempre fornecida em termos anuais e os períodos de capitalização podem ser semestrais trimestrais mensais ou di3rios. juros em que a unidade unidade referenci referencial al de tempo tempo coincide coincide com a unidade unidade de Taxa efetiva é a ta+a de juros tempo dos períodos de capitalização. 5ão e+emplos de ta+as efeti,as 60 ao m7s capitalizados mensalmente& 41 0 ao ano capitalizados anualmente. *este caso como e+iste a coincid7ncia nas unidades de medida dos tempos costuma%se apenas dizer 60 ao m7s 410 ao ano etc. é aquela que e+pur)a o efeito da inflação no período. A ta+a real corresponde 8 ta+a Taxa real é efeti,a corri)ida pelo índice inflacion3rio do período. A f9rmula de :ischer relacionada a ta+a efeti,a a real e de inflação.
:9rmula de :ischer
i real=
1 + i efetiva 1 + i inflação
−
1
E+emplo; *um dado período seu sal3rio de <= 4.///// foi reajustado em 1/0. 5abendo que a inflação no período foi de >/0 em quanto aumentou ou diminuiu o poder de compra do sal3rio? i real=
1 + 0,5 1 + 0,4
−
1=0,07142 ou 7,14
Aumentou @4>0. E+emplo; m banco ao realizar um empréstimo oferece ta+as pré%estabelecidas emprestando <= 4/ ///// receber3 no prazo m3+imo de um ano o ,alor de <= 4 /////. 5e a inflação do período foi de 0. Betermine a ta+a real de juros do empréstimo? iefet " /0 e iinf " 0. i real=
1 + 0,3 1 + 0,03
−
1= 0,262135 ou 26,21
Juros Exatos e Juros Comerciais:
As operações em juros simples são mais utilizadas em períodos curtos ocorrendo na maioria das ,ezes em dias. #aso as ta+as sejam e+pressas em período anual é necess3rio fazer o ajuste. Be,emos considerar duas possibilidades; juros e+atos -ano ci,il2 e juros comerciais ou ordin3rios -ano comercial2. 4C % Ano ci,il de D1 dias;
J =
6C % Ano comercial de D/ dias;
Cit 365
J =
Cit 360
Taxas proporcionais no sistema de capitalização simples:
Buas ta+as de juros simples -efeti,as2 são ditas proporcionais quando seus ,alores e seus respecti,os períodos de tempo reduzidos a uma mesma unidade forem proporcionais. E+emplos; a+a de 6>0 ao ano é proporcional a 60 ao m7s. a+a de 4D0 ao ano é proporcional a >0 ao trimestre. a+a de 410 ao m7s é proporcional a 4F0 ao ano.
a+a de 60 ao dia é proporcional a D/0 ao m7s. (bs.; ao dia ' a.d. & ao m7s ' a.m. & ao trimestre ' a.t. & ao ano ' a.a & etc. Em al)umas situações o período de in,estimento pode ser uma fração do período e+presso pela ta+a de juros sendo necess3rio ajust3%los.
E+emplos; a+a anual G di3ria ; di,idir por D/ a+a anual G mensal ; di,idir por 46 a+a di3ria G anual ; multiplicar por D/ E+emplo; <= 6.///// foram aplicados por sete meses a juros simples de ta+a anual de 6>0. Hual o juros desta aplicação. *ote que o prazo de aplicação esta em meses e a ta+a de juros ao ano. Be,emos transformar um deles em função do outro. J
J
=
=
C .i.n
6///.//6.@
=
6F///
6>0a.aI46 meses " 60 a.m. então ; (u @ meses equi,alem /1F anos. Para e,itar trabalhar desta forma J
=
6///./ 6>.
@ 46
=
6F/ //
E+emplo; Hual o montante )erado numa aplicação no re)ime de capitalização simples realizada com capital inicial de <= 4/.///// no prazo de 41 dias e uma ta+a de juros de >60 a.a? *ote que o prazo da aplicação est3 em dias e a ta+a em anos. Passando a ta+a de anual para di3ria; J =C . i . n
J = 10000.
0,42 360
.15=175
! " # $ J " 4/.///// $ 4@1// " 4/.4@1//
Trabalhando com Coeficientes ! " i #:
#apitalização ; - 4 $ i 2
Bescapitalização ; 4 I - 4 $ i 2
*as relações percentuais podemos e+pressar o coeficiente como um nmero. E+emplo; 5e o aumento for de 410 G 441 0 G - 4 $ /41 2 G 441 5e a redução for de 6/0 G - 4 ' /6/ 2 G /F
Acumulação de percenta)ens " multiplicação de fatores 4 $ i acum " - 4 $ i 4 2.-4 $ i62...- 4 $ in 2 E+emplo; 5upondo que num certo trimestre a inflação foi de D0 F0 e 4/0 respecti,amente qual a inflação acumulado no trimestre? 4 $ i acum " - 4 $ //D 2.-4 $ //F2.- 4 $ /4 2 4 $ iacum " 461K6F iacum " 461K6F ' 4 " /61K6F ou 61K6F0 (bs.; Perceba que as percenta)ens não são somadas.
Taxa m$dia im#, tempo m$dio n m# e capital m$dio Cm#
#hamamos de ta+a média a ta+a que substitui as ta+as i4 i6 ... in. im
=
C4 .i4 .n4
. .n6 + ... + Cn .in .nn
+ C6 i6
C4.n4 + C6 .n6
... + Cn .nn
+
Be forma semelhante calculamos o capital médio e o tempo médio. C m
=
nm
=
C4.i4.n4
. .n6
+ C6 i6
i4. n4 + i6 .n6
C4 .i4 .n4
+
+
+
C6 .i6 .n6
... + Cn .in .nn
... + in .nn
+
... + Cn .in .nn
C4.i4 + C6 .i 6 + ... + C n .i n
(bs. Huando ,3rios capitais forem aplicados a juros simples em diferentes prazos mas todos com a mesma ta+a de juros a f9rmula para obter o tempo médio pode ser simplificada. nm
=
C4 .n4
+ C6
C4
.n6
+
+ C6 +
... + Cn .nn
... + C n
Be forma semelhante quando ,3rios capitais forem aplicados a juros simples com ta+as diferentes mas todos com um mesmo período a f9rmula para obter a ta+a média pode ser simplificada.
im
=
C4 .i4
.
+ C 6 i6 +
C4
+ C6 +
... + Cn .in
... + C n
E+emplo; ma empresa apresenta um conjunto de duplicatas a pa)ar. (s títulos são <= 1///// para 41 dias <= K.///// para 6/ dias e <= 41.///// para 61 dias. Betermine a ta+a média desta operação considerando juros simples ano comercial de 610 a.m. para primeira duplicata 410 a.m. para se)unda duplicata e 4/0 a.m. para ltima duplicata. im
=
C4 .i4 .n4
.i6 .n6 + ... + Cn .in .nn
41
+
+
... + Cn .nn
K///./41.
6/
+
41///./4/.
/ / 41 6/ 61 + K///. + 41///. 1///. / / /
=
im
6
C4 .n4 + C6 .n6
1///./ 61. im
+C
=
6@@1 64///
=
/464>6F1 ou
61 /
4 64>0 a. m.
E+emplo; (s capitais de <= 6.1//// <= .1//// <= >.///// e <= .///// são aplicados a juros simples durante o mesmo prazo 8s ta+as mensais de D0 >0 0 e 410 respecti,amente. (btenha a ta+a média mensal de aplicação destes capitais. im
im
=
=
C4 .i4
.
+ C 6 i6 +
C4
+C
6
+
... + Cn .in
... + C n
61//.//D + 1//.//> + >///.// + ///.//41 61// + 1// + >/// + ///
im
=
>11 4///
=
//1 ou 10
:luxo de Caixa ( flu+o de cai+a pode ser representado por um dia)rama. As unidades de tempo e as datas de ocorr7ncias de entradas e de saídas de cai+a são marcadas no ei+o horizontal orientado para direita. *o ei+o ,ertical estão marcadas as entradas liquidas -para cima2 e saídas líquidas -para bai+o2 de cai+a.
(bs.; ( zero marca a data atual e n " > é a data futura. !ontante ou ,alor futuro " :L - future ,alue 2
&
#apital ou ,alor atual " PL - presente ,alue 2
Juros " J - interest2 & P! " Lalor de pa)amento peri9dico -prestação2
&
:L " PL $ J
