Exercícios Resolvidos: Juros Simples – Descontos – Juros Compostos – Testes
- Profº Paulo Vieira Neto
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No regime de juros simples, os juros incidem somente sobre a aplicação capital inicial, qualquer que seja o número períodos de capitalização. Por definição, o juro simples é diretamente proporcional ao capital inicial e ao tempo de aplicação, sendo a taxa de juro por período o fator de proporcionalidade. 1. Um capital de $ 2.000,00 foi aplicado durante 3 meses, à juros simples, à taxa de 18% a.a. Pede-se: a) Juros b) Montante.
1) Solução:
J = Cin
2)
C = 4000,00
M=C+j
3)
M = C +Cin
i = 18% a.a.
a) J = Cin J = 4000 {[(18/100)/12]x3} J = 4000 {[0,18/12]x3} J = 4000 {0,015 x 3} J = 4000 x 0,045 J = 180,00
4)
M = C (1+ in)
5)
J= M-C
n=3m b) M = C + J M = 4000 + 180 M = 4.180,00
2. Calcular o juro simples referente a um capital de $ 2.400,00 nas seguintes condições: Taxa de Juros Prazo Taxa de Juros Prazo a) 21% a.a. 1 ano c) 21% a.a. 3 meses b) 21% a.a. 3 anos d) 21% a.a. 32 dias Solução:
a) J = Cin b) J = Cin c) J = Cin d) J = Cin J = 2400 [(21/100)x1] J = 2400 [(21/100)x3] J = 2400 {[(21/100)/12]x3} J = 2400 {[(21/100)/360]x32} J = 2400 [0,21 [0,21 x 1] J = 2400 [0,21x3] [0,21x3] J = 2400 {[0,21/1 {[0,21/12]x3 2]x3} } J = 2400 {[0,21/3 {[0,21/360]x 60]x32} 32} J = 2400 x 0,21 J = 2400 0,63 J = 2400 {0,0175x3} J = 2400 {0,000583333 x 32} J = 504,00 J = 1.512,00 J = 2400 x 0,0525 J = 2400 x 0,018666667 J = 126,00 J = 44,80 3. Que Montante um aplicador receberá, tendo investido $ 3.000,00, a juros simples, nas seguintes condições: Taxa de Juros Prazo a) 30% a.a. 5 meses b) 27% a.a. 1 ano e 4 meses c) 3% a.m. 48 dias Solução:
a) J = Cin – M = C + J
M = C(1 + in)
a) J = Cin a) M = C + J J = 3000 3000 {[(3 [(30/1 0/100)/1 0)/12 2]x5 ]x5} M = 3000 + 375 J = 3000 {[0,30/12]x5} M = 3.375,00 J = 3000 {0,025x5} J = 3000 X 0,125 J = 375,00 b) n = 1 a 4m 12m + 4m = 16m b) J = Cin b) M = C + J J = 3000 3000 {[(2 {[(27/ 7/10 100) 0)/1 /12] 2]x1 x16} 6} [(27/100)/12]x16} J = 3000 {[0,27/12]x16} M = 4.080,00 J = 3000 {0,0225x16} J = 3000 X 0,136 J = 1.080,00
b) J = Cin b) M = C + J J = 3000 3000 {[(3 [(3/10 /100)/ 0)/30] 30]x48} 48} M = 3000 + 144 J = 3000 {[0,3/30]x48} M = 3.144,00 J = 3000 {0,001x48} J = 3000 X 0,048 J = 144,00
ou
M = C(1 + in) M = 3000 x { 1 + [(30 (30/100) 100)/1 /12 2]x5 ]x5} M = 3000 x {1 + [0,30/12] x 5} M = 3000 x {1 + 0,025 x 5} M = 3000 x {1 + 0,125} M = 3000 x 1,125 M = 3.375,00
ou
M = C(1 + in) M = 3000 3000 + 1080 1080
M = 3000 3000 x { 1 +
M = 3000 x {1 + [0,27/12] x 16} M = 3000 x {1 + 0,0225 x 16} M = 3000 x {1 + 0,365} M = 3000 x 1,36 M = 4.080,00 ou
M = C(1 + in) M = 3000 x { 1 + [(3/ (3/100)/ 00)/3 30]x4 0]x48 8} M = 3000 x {1 + [0,03/30] x 48} M = 3000 x {1 + 0,001 x 48} M = 3000 x {1 + 0,048} M = 3000 x 1,048
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M = 3.144,00 4. Calcule os juros simples simples auferidos de uma aplicação aplicação de $ 3.500,00, à taxa de 38% a.a. a.a. pelo prazo de 5 meses. Solução: J = Cin C: 3500 J = 3500 x {[(38/100)/12] x 5} i: 38 3 8% a.a. J = 3500 x { [0,38/12] x 5 } n : 5m J = 3500 x { 0,031666667 x 5 } J = 3500 x 0,158333333 J = 554,17 5. Um capital de $ 19.000,00 foi aplicado a juros simples à taxa de 39% a.a., pelo prazo de 56 dias. Obtenha os juros comerciais e exatos para esta aplicação. Solução: J = Cin Juros Comercias J = Cin Juros Exatos C: 19000 J = 19000 x {[(39/100)/36 0] x 56} J = 19000 x {[(39/100)/36 {[(39/100)/36 5] x 56} i: 39 3 9% a.a. J = 19000 x { [0,39/36 0] x 56 } J = 19000 x { [0,39/36 5] x 56 } n : 5 6d J = 19000 x { 0,001083333 x 56 } J = 19000 x { 0,001068493 x 56 } J = 19000 x 0,060666667 J = 19000 x 0,059835616 J = 1.152,67 J = 1.136,88 DESCONTO: É a quantia abatida do valor nominal, isto é, a diferença entre o valor nominal e o valor atual. [Valor Nominal também chamado de Valor Futuro ou Valor de Face ou Valor de Resgate] Desconto Comercial [ Dc ], bancário ou por fora, o equivalente a juros simples, produzido pelo valor nominal [N] do título no período de tempo correspondente e a taxa fixada. Dc = Nin onde: Dc: Desconto Desconto comercial; i: Taxa de desconto desconto [i ÷ 100], n: prazo. Desconto Racional [Dr] ou por dentro, é o equivalente a juros simples, produzido pelo valor atual do título numa taxa fixada e durante o tempo correspondente. Nin Dr = 1 + in Valor Atual [VA], é a diferente entre o Valor Nominal Nominal [N] menos o [VA]
d = N – VA
1. Um título no valor de $ 14.000,00 foi descontado num banco 3 meses antes do vencimento, a uma taxa de desconto comercial de 3,5% a.m.. a) calcule o desconto; b) calcule o valor líquido recebido pelo empresa. [Valor Atual – VA] Dc = Nin VA = N - d Solução: Dc = 14000 x [(3,5/100) x 3] VAc = N - dc N: 14000 Dc = 14000 x [0,035 x 3] VAc = 14000 - 1470 i: 3,5% a.m. Dc = 14000 x 0,105 VAc = 12.530,00 n: 3 meses. Dc = 1.470,00 2. Uma empresa descontou num banco um título de valor nominal igual a $ 90.000,00, 40 dias antes do vencimento, a uma taxa de desconto comercial de 30% a.a.. a) qual o desconto comercial; b) calcule o valor líquido recebido pelo empresa. [Valor Atual – VA] Dc = Nin VA = N - d Solução: Dc = 90000 x {[(30/100)/360] x 40} VAc = N - dc N: 90000 Dc = 90000 x {[0,30/360] x 40} VAc = 90000 - 3000 i: 30 30% a.a. Dc = 90000 x 0,000833333 x 40 VAc = 87.000,00 n: 40 dias. Dc = 90000 x 0,033333333 Dc = 3.000,00 3. Uma duplicata de valor nominal igual a $8.000,00, foi descontada num banco dois meses antes do vencimento, a uma taxa de desconto comercial de 2,50% a.m.. a) qual o desconto comercial; b) calcule o valor líquido recebido pelo empresa. [Valor Atual – VA] Dc = Nin VA = N - d Solução: Dc = 8000 x [(2,50/100) x 2] VAc = N - dc N: 8000 Dc = 8000 x [0,025 x 2} VAc = 8000 - 400 i: 2,5% a.a. Dc = 8000 x 0,05 VAc = 7.600,00 n: 2 meses. Dc = 400,00 4. Uma dívida de $ 13.500,00, será saldada 3 meses antes do seu vencimento. Que desconto racional será obtido, se a taxa de juros que reza no contrato é de 30% a.a.? N: 13.500 Dr
=
Nin 1+ in
n: 3 meses ⇒
Dr
=
i: 30% a.a.
13500x[(0,30/12)x3] 1+[(0,30/12)x3]
Dr = ? Dr
→
=
13500x[0,025x3] 1+[0,025x3]
Dr
→
=
13500x0,075 1+ 0,075
Dr
→
=
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$ 941,86 é, portanto, o desconto racional obtido pelo resgate antecipado da dívida.
5. Determinar o desconto racional em cada uma das hipóteses abaixo, adotando-se o ano comercial. Valor Nominal Taxa de Juros Prazo de Antecipação a) $ 12.000,00 27,30% a.a. 7 meses b) $ 4.200,00 18,0% a.a. 120 dias c) $ 7.400,00 33,0% a.a. 34 dias d) $ 3.700,00 21,0% a.a. 5 meses e 20 dias Solução: a) N: N : 12000
Dr
=
Nin
+
1
Dr
=
in
{
i: 27,3%a.a. n: 7 meses Dr = ? 27,3 /12 x7 12000 100 → 12000{ [ 0,273/12 ]x7} → → 1 + { [ 0,273/12 ] x7} 27,3 /12 x7 1 + 100
12000 0,02275x7 1
b) N: 4200
Dr
1
→
Dr
12000 x 0,15925
=
1
+ in
i: 33%a.a.
4200 x 0,06 1
252 1,06
Nin 1
Dr
=
+
i: 33%a.a.
n: 34 dias
33 /360 x34 100 → 33 /360 x34 1 + 100
→
in
7400 x 0,03116666 7 1
+ 0,03116666
d) N: 3700
→
7
Dr
=
i: 21%a.a.
7400 1
Nin
= 1
Dr
=
+
{[ 0,33/360 ]x34} ]x34}
230,63
→
1,03116666 7
Dr
= 1.648,48
Dr = ?
→
in
+ 0,09916666
7
→
Dr
Dr
→ Dr =
{
} }
7400 0,00091666 7x34 1
+ { 0,00091666
7x34
→
= 223,66
n: 5 m e 20 dias = [(5x30)+ 0)+20] 20] = 170 dias
21 /360 x170 100 → 21 /360 x170 1 + 100
3700 x 0,09916666 7 1
→
Dr = ?
+ { [ 0,33/360
3700 Dr
1911 1,15925
→ Dr = 237,74
7400
=
=
→ Dr =
+ 0,06
c) N: 7400
Dr
Dr
n: 120 dias = 4 meses
→ Dr =
→
+ 0,15925
18 /12 x4 4200 100 → 4200 {[ 0,18/12 ]x4} → Dr = 4200 { 0,015x4 } → 1 + { [ 0,18/12 ] x4} 1 + { 0,015x4 } 18 /12 x4 1 + 100
Nin
=
}
+ { 0,02275x7 }
=
3700 1
{[ 0,21/360 ] x170 } ] x170 }
+ { [ 0,21/360
366,92 1,09916666 7
→
Dr
→ Dr =
{
Dr = ?
} }
3700 0,00058333 3x170 1
+ { 0,00058333
3x170
→
= 333,81
JUROS COMPOSTOS No regime de juros compostos, o rendimento gerado pela aplicação será incorporado a ela a partir do segundo período. Dizemos, então, que os rendimentos ou juros são capitalizados: O fator (1 + i)n é chamado de fator de acumulação de capital , para pagamento único. Para o Cálculo do Montante, utilizamos a seguinte fórmula: ( ) preferir: [3], M = C + J [4] J
=C
1
+i
n
−1
M
=
C(1
n
+ i)
[1], Cálculo do Juro: J = M – C [2] ou se
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1. Qual o montante de uma aplicação de $16.000,00, a juros compostos, pelo prazo de 4 meses, à taxa de 2,5% a.m.? Solução: C: 16000
i: 2,5% a.m.
n: 4 meses.
n
M = C(1+ i)
1 + 2,5 100 100
M = 16000
4
→ M = 16000 [1 + 0,025
]4
→ M = 16000 [1,025
]4
→ M = 16000 x 1,10381289 1 → M = 17.661,01
Solução, utilizando a calculadora científica, modelo ML-82LB ou similar: 2,5 ÷ 100 + 1 = 1,025 YX 4 = 1,103812891 X 16000 = 17661,100625, para fixar 2 casas decimais: 2ndF TAB 2 17.661,01 [Resposta final]. 2. Calcule o montante e os juros das aplicações abaixo, considerando o regime de juros compostos: Capital Taxa de Juros Prazo de Antecipação a) $ 20.000,00 3,0% a.m. 7 meses b) $ 6.800,00 34,49% a.a. 5 meses c) $ 6.800,00 34,49% a.a. 150 dias d) $ 6.800,00 2,5% a.m. 5 meses Solução: a) C: 20000 n M = C(1 + i) M
=
20000
i: 3,0% a.m.
1 + 3 100
n: 7 meses.
7
→M =
[
20000 1
+
0,03
]7
[
→M =
20000 1,03
]7
→M =
20000 x 1,22987368 5
→ M = 24.597,48
Solução, utilizando a calculadora científica, modelo ML-82LB ou similar: 3 ÷ 100 + 1 = 1,03 YX 7 = 1,229873865 X 20000 = 24597,47731, para fixar 2 casas decimais: 2ndF TAB 2 24.597,48 [Resposta final].
Solução: b) C: 6800
i: 34 3 4,49% a.m.
n: 5 meses. 5
M
M
(
= =
C 1
+ i)
n
⇒
M
[1,3449 ]5/12
6800
=
6800
→M =
1 6800
34,49 + 100
12 →M =
6800
[1
+ 0,3449
]5/12
→M =7.693,60
x 1,13141213
Solução, utilizando a calculadora científica, modelo ML-82LB ou similar: Observa que o período está fracionado! 34,49 ÷ 100 + 1 = 1,3449 YX (5 ÷ 12) = 1,13141213 X 6800 6800 = 7693,602486, para para fixar 2 casas decimais: 2ndF TAB 2 7.693,60 [Resposta final]. Solução: c) C: 6800
i: 34 3 4,49% a.m.
n: 150 dias. 150
M
M
(
= =
C 1
+
6800
)n
i
⇒
M
=
[1,3449 ]150/360
6800
1
→M =
34,49 + 100
6800
360 →M =
x 1,13141213
6800
[1
+
0,3449
]150/360
→M =7.693,60
Solução, utilizando a calculadora científica, modelo ML-82LB ou similar: Observa que o período está fracionado! 34,49 ÷ 100 + 1 = 1,3449 YX (150 ÷ 360) = 1,13141213 X 6800 = 7693,602486, para fixar 2 casas decimais: 2ndF TAB 2 7.693,60 [Resposta final]. Solução: c) C: 6800
i: 2,5% a.m.
n: 5 meses 5
M
=
M
=
(
)n
C 1+ i
6800
=
6800
1 + 2,5 100
→M =
→M =
6800
x 1,13140821
3
⇒
[1,025 ]5
M
6800
[1
+ 0,025
]5
→M =7.693,58
Solução, utilizando a calculadora científica, modelo ML-82LB ou similar: 2,5 ÷ 100 + 1 = 1,025 YX 5 = 1,131408213 X 6800 = 7693,575848, para fixar 2 casas decimais: 2ndF TAB 2 7.693,58 [Resposta final]. As taxas taxas 2,5% a.m. e 34,4889% a.a. são são equivalentes. equivalentes.
Questões Falso [F] – Verdadeira [V] a. (F) (V) Montante: define-se como montante de um capital, aplicado à taxa i e pelo prazo de n períodos, como sendo a soma do juro mais o capital inicial; b. (F) (V) Juro exato: é o juro obtido tomando como base o ano de 365 ou 366 dias como os anos bissextos;
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c. (F) (V) Os fatores necessários para calcular o valor do juro são: Montante (M. (M .), Taxa (n) e Tempo (i); d. (F) (V) Capital: quantia de dinheiro envolvida numa operação financeira; financeira; e. (F) (V) Forma percentual: Nesta situação diz-se aplicada a centos do capital, isto é, ao que se obtém após dividir-se o capital por 100;
f. (F) (V) Juro exato: é o juro obtido tomando tomando como base o ano de 365 ou 366 dias como os anos bissextos; g. (F) (V) Juro comercial: é o juro obtido tomando como base o ano de 360 dias (ano comercial) e mês de 30 dias (mês comercial). h. (F) (V) Regime Regime de capitaliz capitalização ação:: Entende-se Entende-se por regime regime de capitaliz capitalização ação o processo processo de formação de juro. juro. Há dois tipos tipos de regimes de capitalização. capitalização. i. (F) (V) Regime Regime de capitalizaçã capitalização o a juro simples simples : por convenção convenção,, os juros incidem incidem somente somente sobre o capital inicial. Apenas o capital inicial rende juros, i.e., o juro formado no fim de cada período a que se refere a taxa. Não é incorporado ao capital, j. (F) (V) Regime de capitalização a juro composto: o juro formado no fim de cada período é incorporado ao capital que tínhamos no início desse período, passando o montante a render juro no período seguinte; dizemos que os juros são capitalizados. k. (F) (V) juro: É a remuneração, remuneração, a qualquer qualquer título, atribuída ao ao capital; l. (F) (V) Taxas Proporcionais: são proporcionais proporcionais quando, aplicadas sucessivamente no cálculo dos juros simples de um mesmo capital, por um certo período de tempo, produzem juros iguais; m. (F) (V) Por definição, o juro simples é diretamente diretamente proporcional proporcional ao capital inicial e ao tempo de aplicação, sendo a taxa de juro por período o fator de proporcionalidade; n. (F) (V) No regime de juros simples, simples, os juros incidem somente somente sobre a aplicação capital capital inicial, qualquer que seja o número períodos de capitalização; capitalizaç ão; o. (F) (V) DESCONTO: É a quantia quantia abatida do valor nominal, nominal, isto é, a diferença entre o valor nominal e o valor atual. [Valor Nominal também chamado de Valor Futuro ou Valor de Face ou Valor de Resgate]; p. (F) (V) Desconto Comercial [ Dc ], bancário ou por fora, o equivalente a juros simples, produzido pelo valor nominal nominal [ N ] do título no período período de tempo correspondente correspondente e a taxa fixada; p1. (F) (V) Desconto Comercial Comercial [ Dc ], incide sobre o valor do Título [Sobre [Sobre o valor de face]; q. (F) (V) Desconto Racional Racional [Dr] ou por dentro, dentro, é o equivalente equivalente a juros simples, simples, produzido pelo pelo valor atual do título numa taxa fixada e durante o tempo correspondente; q1. (F) (V) Desconto Racional Racional [Dr], incide sobre o VA [Valor Atual]; Atual]; r. (F) (V) o desconto comercial é maior que o desconto racional efetuado nas mesmas condições, Dc > Dr; t. (F) (V) Juros compostos: compostos: o rendimento rendimento gerado pela aplicação será incorporado incorporado a ela a partir do segundo segundo período. Dizemos, então, que os rendimentos rendimentos ou juros são capitalizados; u. (F) (V) o fator (1 + i)n é chamado de fator de acumulação de capital , para
pagamento único.
Combine as questões abaixo:
I. É aquele em que a taxa de descontos incide sobre o valor nominal; II. É aquele em que a taxa de descontos incide sobre o valor líquido; III. Soma do capital com o juro obtido pela aplicação (ou pago pelo empréstimo); IV. É a remuneração, a qualquer título, atribuída ao capital; V. É calculado unicamente sobre o capital inicial; VI. A cada período financeiro, a partir do segundo, é calculado a sobre o montante relativo ao período anterior; VII. É o juro obtido tomando como base o ano de 360 dias (ano comercial) e mês de 30 dias (mês comercial);
VIII. quando aplicadas sucessivamente no cálculo de juros simples de um mesmo capital, por um certo período, produzem juros iguais.
a. (
) Juros compostos;
b. (
) Juros;
c. (
) Montante;
d. (
) Desconto comercial;
Exercícios Resolvidos: Juros Simples – Descontos – Juros Compostos – Testes e. (
) Taxas proporcionais;
f. (
) Juro comercial;
g. (
) Juros simples;
- Profº Paulo Vieira Neto h. (
) Desconto racional.
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