CAPÍTULO 1 - JUROS 1.1- Generalidades Alguns fatores de produção e suas respectivas formas de remuneração: Trabalho Terra Tecnologia
Capital
Salário Aluguel Royalties JURO
1.2 - Conceitos 1- Juro ( j ) É o preço do dinheiro; é o pagamento efetuado pela oportunidade de se dispor de uma certa quantia de dinheiro (capital - C ) por um determinado período de tempo. Assim,
$ 1.000,00 hoje
≠
$ 1.000,00 daqui a 1 mês
O juro “cria” o valor do dinheiro no tempo. A Matemática Financeira está centrada na idéia de Equivalência Financeira que trata das relações entre as quantidades monetárias em diferentes pontos no tempo. tempo.
2- Taxa de juro ( i ) É um coeficiente que quantifica o juro (pago ou recebido) num dado período de tempo. Forma unitária:
i = 0,15 a.m. =
$ 0,15 $ 1,00
Forma percentual: i = 15% a.m. =
$ 15,00 $ 100,00
juro produzido por unidade de capital
juro produzido por 100 unidades de capital
Obs.
i=
j C
j = C i
(1.1)
3- Período 3- Período de referência É o intervalo de tempo a que se refere a taxa, no final do qual, os juros são produzidos.
1
4- Prazo (n) É o intervalo de tempo em que o capital manteve-se produzindo juros. 5- Montante (M) É a soma do capital com os juros produzidos. M = C + j => M = C(1+i)
(1.2)
Exercício: Calcular o montante produzido pela aplicação de $ 850,00 ao final de 1 trimestre à taxa de 5,5 % a.t. R: $ 896,75
6- Fluxo de Caixa – Representação gráfica Corresponde aos ingressos e/ou desembolsos de quantidades monetárias no tempo. Exemplos 1.000 1.200 (+) 0
1
2
3
4
5
0
1
2
1.000 (-)
3
4
250 400
1.3- Exercícios 1- Calcular os juros e montantes produzidos nos prazos a que se referem as taxas: a) C = $ 2.000,00 ; i = 12 % a.b. R: $ 240,00 e $ 2.240,00 b) C = C = $ 500,00 ; i = 0,3 % a.d.
R:
2- Calcular as taxas de juros relativas aos prazos abaixo: a ) C = $ 500,00 ; j = $ 60,00 ; n = 1 s
$ 1,50 e $ 501,50
R: 0,12 a.s. ou 12 % a.s.
b) C = $ 650,00 ; M = $ 700,00 ; n = 1 t
R:
7,69 % a.t.
c) C= $ 2.800,00; M = $ 2.950,00 ; n = 23 dias
R:
5,36 % em 23 dias
3- Calcular a taxa de juros anual nas seguintes situações: a) b) 12.300 0
1 4.100
0
1.500
1 1.500 R: a) 200 % a.a.
b) 0 % a.a.
2
4- Prazo (n) É o intervalo de tempo em que o capital manteve-se produzindo juros. 5- Montante (M) É a soma do capital com os juros produzidos. M = C + j => M = C(1+i)
(1.2)
Exercício: Calcular o montante produzido pela aplicação de $ 850,00 ao final de 1 trimestre à taxa de 5,5 % a.t. R: $ 896,75
6- Fluxo de Caixa – Representação gráfica Corresponde aos ingressos e/ou desembolsos de quantidades monetárias no tempo. Exemplos 1.000 1.200 (+) 0
1
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0
1
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1.000 (-)
3
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250 400
1.3- Exercícios 1- Calcular os juros e montantes produzidos nos prazos a que se referem as taxas: a) C = $ 2.000,00 ; i = 12 % a.b. R: $ 240,00 e $ 2.240,00 b) C = C = $ 500,00 ; i = 0,3 % a.d.
R:
2- Calcular as taxas de juros relativas aos prazos abaixo: a ) C = $ 500,00 ; j = $ 60,00 ; n = 1 s
$ 1,50 e $ 501,50
R: 0,12 a.s. ou 12 % a.s.
b) C = $ 650,00 ; M = $ 700,00 ; n = 1 t
R:
7,69 % a.t.
c) C= $ 2.800,00; M = $ 2.950,00 ; n = 23 dias
R:
5,36 % em 23 dias
3- Calcular a taxa de juros anual nas seguintes situações: a) b) 12.300 0
1 4.100
0
1.500
1 1.500 R: a) 200 % a.a.
b) 0 % a.a.
2
CAPÍTULO 2 - JUROS SIMPLES
2.1 - Regimes de Capitalização Um dado capital, aplicado a uma dada taxa de juros durante um determinado prazo, a evolução dos montantes poderá ocorrer, via de regra, segundo dois regimes: - regime de capitalização simples - regime de capitalização composta
2.2 - Regime de Capitalização Capitalização Simples (RCS) Neste regime, no final de cada período a que se refere a taxa, os juros produzidos são obtidos pelo produto do capital inicial pela taxa, ou seja: j = C i Exemplo: C = $ 1.000,00 ;
i = 15% a.m. ;
Mês 0 1 2 3 4 5
n: de 0 a 5 meses
Juros do mês
Montante 1.000,00 1.150,00 1.300,00 1.450,00 1.600,00 1.750,00
1.000,00 (0,15) = 150,00 1.000,00 (0,15) = 150,00 1.000,00 (0,15) = 150,00 1.000,00 (0,15) = 150,00 1.000,00 (0,15) = 150,00
Gráfico do montante em função de n
Evolução do montante 1.800 1.500 1.200 M
900 600 300 0 0
1
2
3
4
5
6
n
3
Obs. - Os pontos do gráfico acima encontram-se alinhados segundo uma linha reta, denotando um crescimento linear para o montante; - A evolução do montante dá-se segundo uma Progressão Aritmética de razão Ci.
2.3 - Juros Simples São os juros produzidos segundo o RCS.
2.4 - Cálculo dos Juros Simples Consideremos um capital C , aplicado durante um certo prazo n (n períodos) a uma taxa i. Quer-se os juros totais produzidos ao final dos n períodos. Assim, - no final do 1o período: j1 = C i - no final do 2o período: j2 = C i - .................................................. - .................................................. - no final do no período: jn = C i Somando os juros obtidos ao final de cada período, obtém-se os juros totais produzidos ao final dos n períodos: n
j = ∑ j k = j1 + j 2 + ... + j n = C i n
(2.1)
k =1
2.5 - Cálculo do Montante a juros simples Tem-se que Logo, Ou seja,
M = C + j M = C + Cin
M =C(1+in)
(2.2)
Obs. A aplicação das fórmulas (2.1) e (2.2) requerem que i e n estejam referidas nas mesmas unidades.
4
Exercício: O capital de $ 7.000,00 foi aplicado a juros simples durante 1 ano e meio à taxa de 15% a.s. Calcular os juros e o montante obtidos no final deste prazo. R: j = $ 3.150,00 ; M = $ 10.150,00
2.6 - Taxas de juros proporcionais e taxas de juros equivalentes Exemplo: Qual o montante produzido pelo capital de $1.000,00, aplicado a juros simples à taxa de R: $ 1.850,00 15% a.a. durante 5 anos e 8 meses? Obs. - Consideramos que também sejam produzidos juros em frações do período a que se refere a taxa, no caso, 8 meses; - Requeremos o atendimento da observação quanto às unidades relativas à taxa e ao prazo. Assim, o problema pode ser resolvido de duas formas: 1a forma: Passamos a parte em meses do prazo para anos: 8 meses = 8/12 anos
(completar a solução)
2a forma: Passamos a taxa anual para mensal, utilizando o conceito de taxas proporcionais . A taxa mensal proporcional à taxa anual dada é: im =
ia 12
=
0,15 = 0,0125 a.m. 12
Observemos que existe uma proporção entre os valores das taxas e os períodos a que elas se referem: 15% 12 = (completar a solução) 1,25% 1
As duas formas acima de resolução ensejam o conceito de taxas equivalentes , ou seja: Taxas de juros equivalentes são taxas referidas a períodos diferentes, mas, quando
aplicadas a um mesmo capital, durante um mesmo prazo, produzem um mesmo montante. Obs. No regime de juros simples, taxas proporcionais serão sempre equivalentes.
5
2.7 - Exercícios 1- O capital de $ 1.650,00 foi aplicado a juros simples durante 10 meses e produziu $ R: 4% a.a. 55,00 de juros. Calcular a taxa anual utilizada. 2- O capital de $ 900,00 foi aplicado a juros simples à taxa de 5% a.a., sendo obtidos $ R: 4 meses 15,00 de juros. Calcular o prazo de aplicação. 3- João aplica 2/5 do seu capital a 6% a.a. e o restante a 5% a.a., ambos a juros simples, recebendo um juro anual total de $324,00. Calcular o capital empregado. R: $ 6.000,00 4- Em quanto tempo um capital aplicado à taxa de juros simples de 2,5% a.m. rende juros R: 1 ano e 4 meses equivalentes a 2/5 do seu valor? 5- Calcular o prazo necessário para um capital triplicar o seu valor caso seja aplicado a R: 5 anos juros simples e à taxa de 10% a.t. 6- Um capital foi aplicado a juros simples durante 1 ano e 4 meses, produzindo neste período um montante equivalente a 7/5 do seu valor. Calcular a taxa mensal desta R: 2,5% a.m. aplicação. 7- Determinar o capital que diminuído dos seus juros simples de 18 meses, à taxa de R: $ 9.600,00 6% a.a. fica reduzido a $ 8.736,00. 8- Dois capitais, C’ e C”, com C’ < C” , foram colocados a juros simples, o 1 o a 4% a.m. durante 8 meses e o 2 o a 3% a.m. durante 9 meses. Calcular esses capitais, sabendo que nesses prazos renderam juros iguais e que a diferença entre eles é de $ R: C’= $ 67.500,00 ; C’’ = $ 80.000,00 12.500,00. 9- Pedro empregou o seu capital à taxa de juros simples de 5% a.a . No fim de 6 meses retirou o capital e os juros e os empregou, também a j.s. à taxa de 6% a.a. durante 4 meses, resultando no final deste prazo um total de $ 20.910,00. Calcular o capital R: $ 20.000,00 inicialmente empregado. 10- Um capital aplicado a juros simples com o juro correspondente a 4 meses eleva-se a $ 62.000,00. O mesmo capital com o juro de 9 meses eleva-se a $ 64.500,00. Calcular o R: C = $ 60.000,00 ; i = 0,833% a.m. capital e a taxa empregados. 11- Carlos deposita num banco um capital a juros simples que, no fim de 3 meses eleva-se juntamente com os juros produzidos a $ 18.180,00. Este valor rendendo juros, aplicado a mesma taxa, produz ao final de 6 meses o valor de $ 18.543,00. Calcular a taxa e o R: i = 4% a.a. ; C = $ 18.000,00 capital empregados. 12- Dois capitais, o 1o de $ 50.000,00 e o 2 o de $ 80.000,00 foram aplicados a juros simples na mesma data. Calcular o prazo comum das aplicações para que o montante
6
produzido pelo 2 o capital seja o triplo daquele produzido pelo 1 o. O 1o foi aplicado à R: 20 meses 4% a.m. e o 2o à taxa de 11,875% a.m. 13- O capital de $ 20.000,00 foi aplicado a juros simples à taxa de 7,5% a.m. Após certo prazo, a taxa foi majorada para 10% a.m. Quatro meses após esta majoração, o montante apurado durante todo o prazo de investimento resultou em $ 37.000,00. R: 6 meses Calcular o 1o prazo de aplicação. 14- Uma loja concede 5% de desconto para as suas vendas à vista e cobra 15% de juros para as vendas que faz com prazo de 90 dias. Qual a taxa mensal de juros simples R: 7,02% a.m cobrada pela loja? 15- João investe 20% do seu capital em um fundo de ações e o restante em um fundo de renda fixa durante 1 mês. Sabendo que neste período as quotas do fundo de ações e de renda fixa valorizaram 30% e 10% respectivamente, calcular a rentabilidade do capital R: 14% a.m. de João. 16- Uma mercadoria é vendida por $ 600,00 à vista ou com uma entrada de 22% mais um pagamento $ 542,88 após 32 dias.Calcular a taxa mensal de juros simples ocorrida na R: 15% a.m. operação. 17- Um banco empresta dinheiro por 1 mês à taxa de 8 % a.m. Porém, como prática bancária, cobra esses juros antecipadamente. Calcular a taxa mensal efetivamente R: 8,6957 % a.m. cobrada pelo banco. 18- Uma pessoa tomou um empréstimo de $ 20.000,00 para pagar, depois de 8 meses, o capital mais os juros simples de 12% a.m. Dois meses antes da liquidação da dívida, procurou o credor e propôs um pagamento imediato de $ 24.400,00, comprometendose a pagar $ 12.700,00 dois meses depois com o aceite do credor. R: $ 39.200,00 a) quanto o devedor devia pagar no final dos 8 meses? b) feito o acordo, após o pagamento de $ 24.400,00, quanto ficou devendo se sua R: $ 10.000,00 dívida foi calculada até aquela data? c) que taxa de juros mensal propôs pagar sobre o saldo devedor remanescente? R: 13,5% a.m.
19- O capital de $ 1.000,00 é aplicado a juros simples a 10% a.a. Na mesma data, o capital de $ 800,00 é aplicado também a juros simples a 15% a.a. Após quantos anos o montante obtido pela aplicação do 2 o capital superará o montante obtido pela aplicação R: 10 anos do 1o capital? 20- Uma loja coloca um artigo à venda através de uma entrada de $ 200,00 mais uma parcela de $ 550,00 dada 1 mês após a compra. Sabendo que a loja cobra juros simples R: $ 709,26 à taxa de 96 % a.a., calcular o seu preço à vista
7
2.8 - Juros Exatos, Comerciais e a Regra dos Bancos É comum certas operações financeiras ocorrerem por um ou mais dias. Neste caso, temos as modalidades acima referidas para o cálculo dos juros. Exemplo: O capital de $ 1.200,00 foi aplicado a juros simples à taxa de 15% a.a. de 20/05/99 a 08/06/99. Calcular os juros produzidos.
2.8.1 - Juros Exatos - Ano civil: 365 dias (ou 366, se bissexto) - Meses: 30 ou 31 dias Solução: Contagem exata dos dias via HP-12C: g D.MY 20.051999 ENTER 8.061999 g ∆DYS
cálculo dos juros:
⇒ 19
j = C i n = 1.200(0,15/365)19 = $ 9,37
2.8.2 - Juros Comerciais - Ano comercial: 360 dias - Mês comercial: 30 dias Solução: Contagem dos dias: g D.MY 20.051999 ENTER 8.061999 g ∆DYS 19 (dias exatos) x ⇌ y ⇒ 18 (base: mês comercial)
cálculo dos juros: j = C i n = 1.200(0,15/360)18 = $ 9,00
2.8.3 - Juros pela Regra dos Bancos (Forma Mista) - Contagem exata dos dias entre as datas; - Ano ou mês comercial. Solução: Contagem dos dias g D.MY 20.051999 ENTER 8.061999 g ∆DYS ⇒ 19
cálculo dos juros: j = C i n = 1.200(0,15/360)19 = $ 9,50
8
2.8.4 - Cálculo de datas via HP- 12C - Cálculo de uma data futura - Exemplo: Um cheque foi emitido em 5/8/2000 para ser resgatado 87 dias após a sua emissão. Obter a data do resgate. Solução: g D.MY 5.082000 ENTER 87 g DATE => 31.10.2000 2 - Cálculo de uma data passada - Exemplo: Uma NP (nota promissória) tem o seu vencimento para o dia 10/7/2000 e foi emitida 93 dias antes do seu vencimento. Obter a data de emissão da referida nota. Solução: g DMY 10.072000 ENTER 93 CHS g DATE => 8.04.2000 6
2.9 - Exercícios 1- Qual o tempo necessário para o capital de $ 1.000,00 produzir juros simples de R: 5 meses e 12 dias $ 81,00 à taxa de 18% a.a. (juros comerciais). 2- O capital de $ 2.500,00 foi aplicado a juros simples à taxa de 25% a.a. em 12/02/99. Se o resgate foi em 02/05/99, qual o juro recebido pelo aplicador ? (Regra dos Bancos) R: $ 137,15
3- O capital de $ 5.000,00 rendeu $ 625,00 de juros. Sabendo que a taxa de juros simples contratada foi de 30% a.a. e que a aplicação foi feita em 18/03/95, qual a data do R: 15/08/95 vencimento? (Regra dos Bancos) 4- O capital de $ 32.000,00 aplicado à taxa de juros simples de 30% a.a. produziu em 08/10/94 o montante de $ 34.920,00. Calcular a data da aplicação (Regra dos Bancos). R: 20/06/94
5- No dia 20/03/90 foram aplicados $ 125.000,00 a juros simples à taxa de 20% a.m. Determinar o montante obtido avaliado em 10/06/90 (Regra dos Bancos). R: $ 193.333,33 9
CAPÍTULO 3 - DESCONTOS DESCONTOS SIMPLES 3.1 - Conceitos 1- Título Título é um nome genérico para um documento que expressa um dado compromisso financeiro. Exemplos: duplicata, nota promissória, cheque, letra de câmbio etc. 2- Valor Nominal do título ( N ) É o valor de resgate do título, expresso no mesmo, na data do seu vencimento. 3- Operação de Desconto É o ato do portador de um título resgatá-lo antes da data do seu vencimento, o que faz surgir o “desconto” - D. 4- Valor Descontado ou Valor Atual ( A ) É a diferença entre o valor nominal ( N ) e o desconto ( D ). N D A A = N - D 0
(3.1)
n
O desconto pode ser de dois tipos: Racional e Comercial .
3.2 - Desconto Racional Simples (Desconto por Dentro) 3.2.1 - Exemplo introdutório Tenho uma dívida no valor de $ 1.000,00 com vencimento para daqui a 3 meses e quero pagá-la hoje. A taxa de juros simples é de 5% a.m. Quanto pagarei e qual o desconto racional obtido? N = 1.000,00 Ar 0
Dr = N - Ar
i= 5% a.m
(3.2)
3
10
3.2.2 - Conceito e formulário O desconto racional Dr são os juros simples produzidos pelo valor descontado racional ( Ar ) durante os n períodos faltantes para o vencimento, juros estes calculados à taxa i. (3.3)
Dr = Ar i n
como
⇒ Ar + Ar in = N
Ar + Dr = N
ou seja,
Ar =
⇒ N = Ar (1+in)
N 1 + in
levando a (3.5) na (3.3) temos:
(3.4)
(3.5)
Dr =
Nin 1 + in
(3.6)
A solução do exemplo fica: Ar =
1.000 = $ 869,57 1 + 0,05.3
e
Dr = 869,57(0,05)3 = $ 130,43
Obs. A taxa de juros simples ocorrida na operação é a mesma taxa a que o título foi descontado (5% a .m.), pois 1.000 869,57 i= 3
−1
= 0,05 a.m.
Obs.
Este fato não ocorre na operação de desconto comercial .
3.3 - Desconto Comercial Simples (Desconto por Fora) 3.3.1 - Exemplo introdutório O Banco X oferece-me um empréstimo de $ 1.000,00 a ser pago daqui a 3 meses. O Banco pratica a operação de desconto comercial e aplica sobre o valor emprestado uma taxa de desconto de 5% a.m. Quanto efetivamente me foi emprestado e qual o desconto comercial ocorrido? 11
N = 1.000,00 d = 5% a.m.
Dc = N - Ac
Ac 0
(3.7)
3
3.3.2 - Conceito e formulário O Desconto Comercial ( Dc ), impropriamente falando, são os juros simples produzidos pelo valor nominal ( N ) durante os n períodos faltantes para o vencimento, juros estes calculados à taxa de desconto d . Assim,
e pela (3.7),
Dc = N d n
(3.8)
Ac = N(1- dn)
(3.9)
A solução do exemplo fica: Dc = 1.000 (0,05)3 = $ 150,00
e
Ac = 1.000(1 - 0,05.3) = $ 850,00
Obs. Dc > Dr
logo Ac < Ar
3.4 - Taxa implícita de juros na operação de desconto comercial No exemplo visto, o cliente recebe hoje $ 850,00 e paga ao banco daqui a 3 meses $1.000,00. Assim, a taxa de juros ocorrida na operação é: 1.000 −1 850 = 0,0588 a.m. i= 3
Na operação de desconto comercial ocorrem sempre duas taxas: a taxa de desconto do título anunciada (d = 5% a.m.) e a taxa de juros efetivamente ocorrida na operação (i = 5,88% a.m.) que corresponde, ou que é equivalente à taxa de desconto d anunciada. Esta taxa de juros ( i ) é dita taxa implícita ou taxa efetiva de juros da operação. 12
3.5 - Relação entre i e d Na operação de desconto comercial tem-se a taxa de desconto d tal que Ac = N(1- dn)
e a taxa de juros implícita na operação i é tal que: Ac (1 + in) = N
d
N
Ac
i
0
n
ou seja: N(1- dn)(1 + in) = N ⇒
in =
1 1 − dn
−1
⇒
i=
d 1 − dn
(3.10)
e da (3.10) temos: d =
i
1 + in
(3.11)
3.6 - Exercícios 1- Um título de $ 10.000,00 com vencimento em 23/09/99 foi resgatado em 15/06/99. Calcular os descontos racional e comercial obtidos se a taxa de juros simples e de R: D r = $ 697,67 ; D c = $ 750,00 desconto utilizada foi de 27% a.a . 2- Um título foi descontado racionalmente à taxa de juros simples de 2 % a.m. Se o valor nominal do título foi de $ 7.144,40 e o respectivo valor descontado de $ 6.740,00 qual R: 3 meses foi o prazo de antecipação? 3- Na operação de desconto de um título a vencer daqui a 5 meses, o desconto comercial excede em $ 140,00 o desconto racional. Calcular o valor nominal do título, sabendo que R: $ 15.400,00 a taxa empregada nos descontos é de 24% a.a. 4- Um título no valor de $ 120.000,00 foi descontado comercialmente por $ 110.000,00, faltando 80 dias para o seu vencimento. Calcular as taxas semestrais de desconto e de R: d = 18,75% a.s. juros implícita equivalente. i = 20,45% a.s. 5- Um título foi descontado comercialmente com 40 dias de antecipação à taxa de desconto de 5% a.m. e, na mesma data, o seu valor atual foi aplicado a juros simples à taxa de 8%
13
a.m. durante 90 dias. Sabendo que o montante resultante desta aplicação foi de $ R: $ 150.000,00 173.600,00, calcular o valor nominal do título. 6- Uma NP no valor de $ 52.400,00 foi descontada racionalmente à taxa de juros simples de 5% a.t., faltando 4 meses e 20 dias para o seu vencimento. Calcular o valor do desconto R: D r = $ 3.781,44 ; Ar = $ 48.618,56 e o valor recebido pela nota. 7- Uma NP foi emitida em 20/02/99 com vencimento marcado para 20/07/99. No dia 12/05/99 foi descontada por $ 28.300,00. Determinar o valor do desconto comercial R: $ 1.726,53 obtido, se a taxa de desconto simples utilizada foi de 10% a.q. 8- O desconto de um título foi de $ 2.570,00 e a taxa de desconto comercial simples utilizada foi de 48% a.b. O valor nominal era de $ 12.850,00 e o seu vencimento em 09/08/99. Calcular a data em que o mesmo foi descontado e a taxa de juros implícita na R: 15/07/99 ; 60% a.b. operação. 9- Se uma financeira deseja ganhar 24% a.a. de taxa efetiva de juros, que taxa de desconto comercial simples deverá aplicar nas operações de desconto de duplicatas cujo prazo de R: 23,45% a.a. antecipação é de 35 dias. 10- Calcular o valor nominal de um título cujos descontos comercial e racional são, R: $ 3.600,00 respectivamente, $ 1.800,00 e $ 1.200,00. 11- Uma NP foi descontada por $25.000,00 no dia 10/10/99 à taxa de desconto comercial simples de 15% a.s. e o desconto obtido foi de $ 2.930,00. Calcular a data de R: 13/02/2000 ; $ 27.930,00 vencimento da NP e o seu valor. 12- Um título foi descontado racionalmente com 5 meses de antecipação por $ 2.841,18. Se o prazo de antecipação fosse 2 meses, pagar-se-ia $ 3.389,83. Qual o valor nominal do R: $ 3.890,71 ; 7,38% a.m. título e a taxa empregada? 13- Um comerciante possui em mãos uma série de títulos com um prazo médio de vencimento de 60 dias. Esses títulos podem ser descontados em um banco a uma taxa de desconto comercial simples de 3,5% a.m. Se o comerciante pode investir o capital obtido na operação a uma taxa de juros simples de 3,6% a.m., vale a pena o desconto R: não dos títulos? 14- Uma pessoa aplicou o capital de $ 12.000,00 em letras de câmbio para resgatar o valor de $ 14.520,00 após 90 dias. Faltando 15 dias para o vencimento da letra, descontou-a com desconto comercial à taxa de 8% a.m. e depositou o valor apurado numa conta com rendimentos de 10% a.m. (juros simples) por 60 dias. Calcular: R: $ 4.727,04 a) - o rendimento obtido considerando todas as operações; b) - a taxa mensal média de juros simples correspondente ao rendimento. R:
8,75% a.m.
15- Um banco descontou uma NP de $ 5.000,00 para um cliente 90 dias antes de seu vencimento e depositou o valor obtido em sua conta corrente. O extrato da conta acusou 14
um depósito de $ 3.180,00, sendo costume do banco a cobrança de uma taxa de 0,4% sobre o valor nominal do título. Calcular a taxa de desconto comercial utilizada pelo banco. R:
12% a.m.
CAPÍTULO 4 - EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS NO RCS A Equivalência de Capitais ou Equivalência Financeira é a idéia central em Matemática Financeira. Este assunto será estudado segundo os regimes de capitalização simples e composta. Primeiramente o tema será abordado segundo o RCS. Uma importante aplicação é aquela que se refere à análise relativa à antecipação ou à postergação (rolagem) de títulos. Somar ou subtrair capitais (valores monetários), estando esses capitais disponíveis em pontos distintos no tempo, embora seja uma prática comum, é um procedimento errado. Isto porque o dinheiro tem valor no tempo, ou seja, financeiramente falando, o dinheiro nunca ficará guardado sob o colchão. Capitais somente podem ser somados (ou subtraídos) quando se encontrarem disponíveis num mesmo ponto no tempo. Caso isso não ocorra, o que normalmente é o comum, os capitais devem ser “conduzidos” para um mesmo ponto no tempo, mediante uma taxa de juros (ou de desconto). Para o fluxo abaixo, se tivermos interesse em calcular o valor acumulado dos recebimentos abaixo no final do 3 o mês, o valor acumulado não será $ 370,00, pois sempre se partirá do pressuposto que todo o dinheiro disponível poderá ser aplicado a uma certa taxa de juros. Se a taxa de juros simples for de 5% a.m., tem-se: 150 100 0
TOTAL 120
1
2
TOTAL = 100(1+5%.3) +150(1+5%.2) +120(1+5%.1) 3
TOTAL = 115 + 165 + 126 = $ 406,00
Ou seja, o capital $ 100,00, hoje, “conduzido” para a data 3, à taxa de 5% a.m. é igual a $ 115,00. Dizemos que $ 1.000,00, hoje, “equivale” a $115,00 na data 3; o capital $ 150,00 na data 1 equivale a $ 165 na data 3 e $120,00 na data 2 equivale a $ 126,00, na data 3. Assim, na data 3, obtém-se o total de $ 406,00.
4.1 - Equivalência via taxa de juros ou de descontos Em geral, quando buscamos o equivalente monetário de um dado capital numa certa data futura, calculamos o seu valor futuro; caso contrário, buscamos o seu valor atual. A equivalência financeira no RCS pode ser analisada através de uma dada taxa de juros (via juros simples) ou de uma taxa de descontos (via desconto comercial simples). Assim, sendo n o número de períodos que distam os capitais X e Y, tem-se: 15
A) via juros simples: Y
X
Yi = X (1 + i n)
e
X=
Y 1 + in
(4.1)
n B) via descontos simples Y X
X = Y(1- d n) e
d
Y=
X 1 − dn
(4.2)
n Obs. A não ser que seja expresso nos exercícios, o estudo da equivalência no RCS será realizado via desconto comercial simples, utilizando-se as equações (4.2). Exercícios: Calcular os valores equivalentes aos capitais dados nos pontos de tempo considerados e às taxas consideradas. 1)
800
i = 3% a.m.
0 2)
X
A
5 i = 4% a.m.
2
m 1.000
7
3)
m 1.000
A
d = 4% a.m.
3
8
m
Obs. A seguir, conceitos e observações sobre a equivalência de capitais no RCS.
16
4.2 - Exemplo introdutório Consideremos dois títulos de valores nominais N 1 = $ 487,50 e N 2 = $ 650,00 com vencimentos para daqui a 2 e 4 meses respectivamente. Objetivamos calcular os seus valores descontados (atuais) na data de hoje (data “zero”), utilizando, para isso, uma taxa de desconto d =10% a.m. (logo, a operação será realizada via desconto comercial). 487,50
650,00
A = N(1 - dn)
A1 , A2 0
2
A1 = 487,50(1 - 0,10 .2) = $ 390,00 A2 = 650,00(1 - 0,10 .4) = $ 390,00
4
Os valores monetários de $ 487,50 e $ 650,00 daqui a 2 e 4 meses, respectivamente, equivalem hoje, a uma taxa de desconto de 10% a.m., a $ 390,00.
4.3 - Conceito Sejam dois capitais N 1 e N 2 disponíveis nas datas X e Y respectivamente e uma taxa de descontos d . N 1 e N 2 são equivalentes numa dada data Z (data focal ou de referência), à taxa considerada, se os seus valores calculados na data Z forem iguais. N 2 N 1
A1 = A2 N 1 (1 - dn1 ) = N 2 (1 - dn2 )
A1=A2 Z
equação de equivalência
X
(4.3)
Y
n1 n2
Obs. - O conceito acima estende-se naturalmente para um número maior de capitais; - Caso a data focal Z seja posterior às datas onde os capitais estão disponíveis, a equação de equivalência (4.3) tomará a forma abaixo: N 1 = N 2 N 1 = N 2 A1
A2 A1
1 − dn1 X
Y
=
A2
1 − dn 2
(4.4)
Z n2
n1
17
- A equação de equivalência (4.3) também poderia ser modelada segundo a política dos juros simples, (desconto racional) ou seja: A1 = A2 N 1
(1 + in1 )
=
N 2
(4.5)
(1 + in 2 )
- Utilizaremos as formulações (4.3) ou (4.4), ou seja, via desconto comercial. Exercício: Tenho uma dívida de $ 1.000,00 para daqui a 5 meses e quero trocá-la por outra para daqui a 3 meses. Qual o valor da nova dívida a uma taxa de desconto de 10% a.m.? Ou seja, na data atual (zero), os valores $1.000,00 e X devem representar o mesmo valor monetário, ou seja, devem ser equivalentes. X 0
1.000,00 3
5
Mostrar que os capitais acima, equivalentes na data “zero”, não são equivalentes na data 9, também à taxa de 10% a.m. No RCS, capitais que são equivalentes numa certa data, não o serão em outra.
4.4 - Valor Atual de um conjunto de capitais Conceito O valor atual de um conjunto de capitais, calculado numa determinada data focal e a uma dada taxa de desconto, é a soma dos valores atuais desses capitais referidos à data e à taxa consideradas. Para dois capitais e tomando como data de referência a data “zero”, temos o diagrama e a equação correspondente: A
N 1
A = N 1(1 - dn1) + N 2(1 - dn2)
(4.6)
N 2 0
n1
n2 18
Exercício: Uma dívida atual de $ 18.500,00 será paga por meio de 3 NPs de mesmo valor vencíveis em 30, 60 e 90 dias. Calcular o valor das notas, sabendo que a taxa de desconto simples R: $ 6.491,22 utilizada é de 10% a.q.
4.5 - Conjuntos de capitais equivalentes Conceito Dois conjuntos de capitais são equivalentes numa determinada data e a uma dada taxa de desconto, se as somas dos valores desses capitais de cada um dos conjuntos, calculados na data e à taxa considerada, forem iguais. Consideremos os dois conjuntos ( I e II ) abaixo e como data focal a data “zero”. I
II
A I
N 2
A II
N 1
M 1
M 2 M 3
0
n1
n2
0
m1
m2
m3
A equivalência entre os conjuntos I e II ocorrerá se A I = A II
(4.7)
N 1(1 - dn1) + N 2(1 - dn2 ) = M 1(1 - dm1 ) + M 2 (1 - dm2 ) + M 3 (1 - dm3 )
4.6 - Exercícios 1- Uma dívida representada por duas NPs de $ 40.000,00 e $ 90.000,00, vencíveis respectivamente em 60 e 90 dias, será substituída por duas outras NPs de mesmo valor vencíveis em 120 e 180 dias. Calcular os valores nominais desses novos títulos se a taxa R: $ 67.432,43 de descontos utilizada é de 1,5% a.m. 2- Uma NP de $ 30.000,00, vencível em 45 dias, será substituída por outra vencível em 25 dias. Calcular o valor dessa outra, se a taxa de desconto é de 30% a.a. R: $ 29.489, 36 3- Um título no valor de $ 12.500,00, vencível em 75 dias, será substituído por outro no valor de $ 12.566,81 vencível em 92 dias. Calcular a taxa de desconto simples R: 5,5% a.s. semestral utilizada.
19
4- Um título no valor de $ 16.000,00, vencível em 35 dias, será substituído por outro no valor de $ 16.845,48. A taxa de desconto utilizada foi de 30% a.s. Determinar o prazo R: 63 dias para o vencimento do título. 5- Uma NP no valor de $ 28.000,00 vencível em 95 dias será substituída por outras 3 notas vencíveis em 72, 100 e 125 dias respectivamente. Calcular o valor de cada nota, sabendo que a 2a nota é 75% do valor da 1 a e que a 3a nota é 25% maior do que a 2a. Utilizar uma taxa de desconto simples de 12 % a.s. R: N 1 = $ 10.443,15 ; N 2 = $ 7.832,36 ; N 3 = $ 9.790,45 6- Dois títulos, sendo o valor nominal do primeiro 20% maior do que o do segundo, foram descontados com taxas de desconto de 4% a.m. e 5% a.m., respectivamente, 21 dias antes dos seus respectivos vencimentos, resultando no valor líquido total de $ 57.543,30. Determinar os valores nominais desses títulos. R: N1 = $ 32.397,47; N2 = $ 26.997,89 7- Uma dívida, representada por 3 NPs para daqui a 30, 50 e 80 dias, nos valores de $ 800,00, $1.000,00 e $1.000,00, respectivamente, será substituída por outra representada pelas notas nos valores de $1.200,00 e N, dadas, na data atual e para daqui a 60 dias respectivamente. Calcular N se a taxa de desconto simples utilizada é de 2,5% a.m. R: $ 1.549,12
8- Mostrar que os capitais de $ 1.000,00 e de $ 1.097,67 disponíveis nos meses 2 e 5, respectivamente, são equivalentes no mês 7, mas não o são no mês 4, a uma taxa de desconto comercial de 2,8% a.m. 9- Uma dívida no valor de $ 48.000,00 vence daqui a 6 meses. O devedor pretende resgatála pagando $ 4.800,00 hoje, $ 14.000,00 daqui a 2 meses, e o restante 1 mês após a data do vencimento. Sendo o momento deste último pagamento definido como a data focal da operação, calcular o valor deste último pagamento. A taxa de desconto é de 30% a.a. R:
$ 27.412,59
10- Para refinanciar uma dívida de $ 2.000,00 em 45 dias, João paga $ 850,00 no momento da negociação e é emitido um novo título para 100 dias. Se a taxa de desconto comercial simples utilizada foi de 2,5 % a.m. e, a data de referência for o momento da R: $ 1.172,73 negociação, calcular o valor deste novo título. 11-Uma dívida de $ 15.000,00 com vencimento para 15/11/03 foi renegociada no dia 05/07/03. A renegociação envolveu o pagamento de 3 NP s para os dias 15/08/03, 20/09/03 e 18/10/03, respectivamente. O valor da 2 a nota é 80% do valor da 1 a nota e, o valor da 3a é 20% superior ao da 1 a nota. Calcular os valores das referidas NP s, sabendo que a taxa de descontos acordada foi de 4% a.m. R: N 1 = $4.578,51; N 2 = $3.662,81; N 3 = $ 5.494,21
20
CAPÍTULO 5 - JUROS COMPOSTOS 5.1- Regime de Capitalização Composta (RCC) Neste regime, no final de cada período a que se refere a taxa, os juros produzidos são incorporados ao montante do período anterior (os juros são capitalizados) para, juntos, formarem novos juros.
5.2- Juros Compostos São os juros produzidos segundo o RCC . Obs. - Utilizaremos no trato dos juros compostos a simbologia PV (valor presente) e FV (valor futuro) para denotar, respectivamente, o capital inicialmente empregado e o montante obtido. - faremos constar no visor da HP-12C a letra “c”. Para isso tecla-se STO EEX. Exemplo: PV = $ 1.000,00 ;
Mês 0 1 2 3 4 5
i = 15% a.m.
; n de 0 a 5 meses
Juros do mês 1.000,00 (0,15) = 150,00 1.150,00 (0,15) = 172,50 1.322,50 (0,15) = 198,38 1.520,88 (0,15) = 228,13 1.749,01 (0,15) = 262,35
Montante 1.000,00 1.150,00 1.322,50 1.520,88 1.749,01 2.011,36
Gráfico do montante FV em função do prazo n Evolução do montante
FV
2100 1800 1500 1200 900 600 300 0 0
1
2
3
4
5
n
21
Obs. - Os pontos do gráfico acima encontram-se alinhados segundo uma curva, que define um crescimento exponencial para o montante; - A evolução do montante dá-se segundo uma Progressão Geométrica de razão ( 1+i ).
5.3 - Cálculo do montante a juros compostos Consideremos o capital PV aplicado a juros compostos à taxa i por n períodos. -
PV(1+i) final do 1o período: FV 1 = PV + PVi = o final do 2 período : FV 2 = FV 1 + FV 1i = FV 1(1+i) = PV(1+i)2 final do 3o período: FV 3 = FV 2 + FV 2i = FV 2(1+i) = PV(1+i)3 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------final do no período: FV n = FV = PV(1+i) n
Observação: Como j = FV – PV , temos:
j = PV(1+i)n – PV =>
j = PV[(1+i) n –1]
(5.1)
(5.2)
5.4 - Conceito O fator (1+i) n na fórmula acima, é chamado Fator de Capitalização (ou de acumulação de capital e representa o montante obtido pela aplicação de “uma unidade de capital” (PV = $ 1,00), à taxa de juros compostos i, por n períodos. Exercício: Calcular o montante obtido no final do 5 o mês para um aplicador que investe $ 1.000,00 a juros compostos durante 5 meses à taxa de 15% a.m. Solução:
FV = PV(1+i) n FV = 1.000 (1+0,15) 5 = $ 2.011,36
Via HP-12C: 1000 5 15 FV
CHS PV n i 2.011,36
22
5.5 - Exercícios 1- Um Banco remunera as aplicações dos seus clientes a juros compostos a uma taxa de 3% a.m. Se uma pessoa aplica hoje $ 8.500,00 e $ 10.000,00 daqui a 3 meses, quanto obterá R: $ 21.076,71 daqui a 6 meses? 2- Calcular o capital que aplicado à taxa composta de 11% a.a. produz o montante de $ R: $ 1.086,20 3.800,00 após 12 anos. 3- O capital de $ 2.500,00 é aplicado durante 4 meses a juros compostos produzindo o montante de $ 3.500,00. Calcular a taxa mensal de juros compostos. Qual a taxa de juros simples necessária para o referido capital produzir o mesmo montante no prazo R: 8,776% a.m. (j.c.) e 10% a.m. (j.s.) considerado? 4- Durante quanto tempo o capital de $ 1.000,00 deve ser aplicado a juros compostos à taxa de 10% a.a. para que produza o montante de $ 1.580,00? R: 4 anos, 9 meses e 18 dias 5- Determinar o capital que aplicado à taxa composta de 5% a.m. rende juros de $ 850,00 R: $ 3.944,20 no período de 4 meses. 6- O capital de $ 30.000,00 foi aplicado a juros compostos durante 13 meses. Sabendo que a taxa de juros dos 8 primeiros foi de 3% a.m. e que o montante ao final de todo o prazo R: 3,923% a.m. foi de $ 46.065,78, calcular a taxa relativa ao período restante. 7- Um investidor colocou ¼ do seu capital a 6% a.t. e o restante a 15% a.s. ambos a juros compostos. No final de 3 anos retirou o montante de $ 33.119,23. Qual o capital R: $ 14.799,61 empregado? 8- Em quanto tempo um capital dobra se for colocado à taxa de 10% a.m. R: 7 meses e 8 dias a) a juros compostos R: 10 meses b) a juros simples 9- Qual a taxa mensal de juros simples que corresponde à taxa de 10% a.m. de juros R: 17,82% a.m. compostos durante 1 ano? 10- Um cidadão coloca 1/3 do seu capital a juros simples à taxa de 5 % a.m. durante 100 dias e o restante a juros compostos à taxa de 12% a.a. pelo mesmo prazo, resultando no R: $ 5.385,89 final o valor de $ 5.800,00. Calcular o capital aplicado. 11- Uma loja oferece uma mercadoria com desconto de 3,5 % sobre o preço tabelado para a compra à vista. Pagando com um cheque pré-datado para 30 dias, paga-se o preço tabelado e com cheque para 60 dias há um acréscimo de 4,0%. Se os rendimentos das aplicações forem da ordem de 2,5% a.m., qual a melhor forma de um cidadão adquirir R: à vista a mercadoria - à vista ou a prazo?
23
5.6 - Taxas proporcionais e equivalentes em juros compostos Exemplo1: O capital de $ 1.000,00 é aplicado a juros compostos à taxa de 15% a.a. durante 2 anos. Calcular o montante obtido. Solução:
FV 1 = 1.000(1 + 0,15)2 = $ 1.322,50
Exemplo2: O capital de $ 1.000,00 é aplicado a juros compostos à taxa de 1,25% a.m. durante 2 anos. Calcular o montante obtido. Solução: A taxa mensal: im= 1,25% a.m. é a taxa mensal proporcional `a taxa anual ia = 15% a.a., ou seja: im = ia / 12 e, neste caso, FV 2 = 1.000(1 + 0,0125) 24 = $ 1.347,35
Ou seja:
⇒
FV 1
≠
FV 2
Obs. No RCC taxas proporcionais não são equivalentes , ou seja, taxas referidas a períodos
diferentes, quando aplicadas a um mesmo capital, durante um mesmo prazo, conduzem a montantes diferentes.
5.6.1 - Equações de equivalência No caso acima, qual deve ser a taxa mensal equivalente à anual? Solução: condição de equivalência: FV 2 = FV 1
⇒
1.000(1 + im )24 = 1.000(1 + 0,15)2
⇒ im = (1 + 0,15)
1 / 12
- 1 ⇒
⇒
(1 + im )24 = (1 + 0,15)2
im = 1,1715% a.m.
Do exemplo acima, a equação de equivalência entre taxas mensais e anuais é: (1 + im )12 = 1 + ia
Da mesma forma, entre taxas anuais e bimestrais: (1 + ib )6 = 1 + ia E generalizando:
24
1 + ia = (1 + id )360 = (1 + im )12 = (1 + ib )6 = (1 + it )4 = (1 + iq )3 = (1 + is )2
(5.3)
Exemplos: 1) Calcular a taxa de juros compostos bimestral equivalente à anual de 20% a.a. Solução: Via HP-12C:
1 + ia = (1+ib )6 =>
1,20 1 6 i
1,20 = (1+ib )6
FV CHS PV n 3,0853
(3,0853% a.b.)
2) Calcular a taxa de juros compostos anual equivalente à mensal de 2,5% a.m. Solução: 1+ ia = (1+im)12
=> 1+ia = (1+0,025)12
Via HP-12C: 2,5 12 1 FV
i n CHS PV 1 - 0,3449 (34,49% a.a.)
5.6.2 - Procedimento prático para conversão de taxas equivalentes As equações de equivalência (5.3) ensejam a utilização de um procedimento bastante prático e útil para as conversões de taxas efetivas em juros compostos. Este procedimento requer que os períodos a que se referem as taxas sejam expressos em dias. Exemplo: Dada a taxa de 6 % a.b., expressar a fórmula para o cálculo da taxa trimestral equivalente. Solução: 3
6
4
(1 + ib ) = (1 + it )
=> i t = (1 + i b )
2
−1 ⇒
i t
= (1 + 0,06)
90 60
− 1 = 9,1337 % a.t .
A equação em negrito, acima, nos leva ao procedimento prático abaixo, de fácil memorização aplicável a todos os casos de conversão entre taxas efetivas. i quero = (1 + i tenho )
per. quero per. tenho
−1
(5.4)
25
A rotina na HP-12C para o exemplo acima, fica: 1,06 ENTER 90 ENTER 60 ÷ y x 1 – 100 x => 9,1337
5.6.3 - Exercícios 1- Calcular a taxa anual equivalente à taxa mensal de 0,5% a.m.
R: 6,1678% a.a.
2- Calcular a taxa bimestral equivalente à taxa de 3% a.m.
R: 6,0900% a.b.
3- Calcular a taxa diária equivalente à taxa de 15% a.m.
R: 0,4670% a.d.
4- Calcular a taxa mensal equivalente à taxa de 5,5% a.b. 5- Calcular a taxa trimestral equivalente à taxa de 10,5% a.s. 6- Calcular a taxa anual equivalente à taxa de 12% a.q. 7- Calcular a taxa para 25 dias equivalente à taxa de 4% a.m.
R: 2,7132 % a.m. R: 5,1190% a.t. R: 40,4928% a.a. R: 3,3224% a.p.
8- Calcular a taxa para 44 dias equivalente à taxa de 15,91484% para 252 dias R:
2,6122% a.p.
9- Calcular o montante obtido pela aplicação de $1.000,00 durante 22 dias à taxa de 3,8% R: $ 1.027,73 a.m. 10- O que é preferível: aplicar $ 1.000,00 por 1 ano à taxa de 2,5% a.b. ou à taxa de R: é indiferente 3,77334 % a.t.? 11- Um corretor propõe a seu cliente uma aplicação cuja rentabilidade é de 40% a.a. Se o investidor souber de outra aplicação onde possa ganhar 9% a.t. qual deve ser a sua R: 9% a.t. escolha? 12- Que taxa mensal de juros compostos fará um capital dobrar em 1 ano? Qual a taxa R: 5,9463% a.m. ; 100% a.a. anual equivalente? 13- No 1o semestre de 2003, noticiou-se que as taxas de juros no “cheque especial” eram R: 8,8612% a.m. da ordem de 177% a.a. Qual a sua equivalente mensal?
26
5.7 - Taxas Nominais e Taxas Efetivas Quando se diz que uma taxa de juros compostos é de 24% a.a. significa que ao final de cada ano são produzidos juros à taxa de 24%, que são agregados ao capital para, juntos, formarem novos juros no final do ano seguinte. Esta é a regra e deveria ser o usual, ou seja, os juros são produzidos e capitalizados nos finais dos períodos a que se refere a taxa. Na prática, porém, isto não acontece, existindo o hábito de dissociar o período a que a taxa se refere (período de referência), do período em que os juros são incorporados ao capital (período de capitalização) como no exemplo abaixo: “24% ao ano com capitalização mensal” ⇒ 24% a.a./m. período de referência período de capitalização
24% a. a. / m.
Taxas assim referidas são chamadas taxas nominais, ou seja, não há homogeneidade entre os períodos de referência e de capitalização. Isto ocasiona a não possibilidade do seu uso nas formulação utilizada. Neste caso, busca-se uniformizar os períodos referidos, calculando-se a taxa efetiva de juros correspondente à taxa nominal dada. Esta taxa efetiva é a que será utilizada nos formulários, sendo calculada via taxas proporcionais . Ou seja: taxa nominal: i N = 24% a.a./m. taxa efetiva mensal: im = 24/12 = 2% a.m./m. se quisermos a taxa efetiva anual equivalente, teremos: (1 + im )12 = 1 + ia
⇒
ia = (1+0,02)12 – 1
⇒
ia= 26,82% a.a./a.
Visualizando o que foi feito acima: 24% a.a./m. via proporção
2% a.m./m
taxas ditas equivalentes
via rel. equivalência
26,82% a.a./a.
Obs. A taxa efetiva apresenta os períodos de referência e de capitalização nas mesmas unidades e corresponde à taxa de juros compostos que efetivamente está sendo praticada. O que “manda” no RCC é o período de capitalização! ” -
A partir de agora, ao nos referirmos a uma taxa de juros compostos, o faremos citando o período de referência e o de capitalização, salientando assim o fato de se tratar de uma taxa de juros efetiva ou nominal, como p.e., 2,5% a.m./m. (efetiva) ou 8,5 % a.a./b. (nominal).
27
Exemplo: Para emprestar dinheiro, um agiota cobra dos clientes uma taxa de juros de 120% a.a./m. Calcular: a) a taxa nominal de juros pagos; b) a taxa efetiva mensal; c) a taxa efetiva anual.
5.8 - Exercícios 1- Calcular a taxa anual capitalizada anualmente que equivale à taxa de 30% a.a./m. R:
34,49 % a.a./a.
2- Calcular a taxa anual capitalizada anualmente que equivale à taxa de 1,5% a.m./m. R:
19,56% a.a./a.
3- Calcular a taxa semestral com capitalização semestral equivalente à taxa de 16% R: 7,7033% a.s./s. a.a./a. 4- Calcular a taxa anual capitalizada trimestralmente que produz o mesmo rendimento que R: 25,46% a.a./t. a taxa de 28% a.a./a. 5- Dada a taxa de 5% a.t./t. calcular: a) a taxa anual c/ cap/ trimestral equivalente; b) a taxa anual efetiva equivalente; c) a taxa mensal efetiva equivalente.
R: 20% a.a./t. R: 21,55% a.a./a. R: 1,640% a.m./m.
6- Calcular a taxa anual capitalizada bimestralmente que equivale à taxa de 2% R: 24,24% a.a./b. a.m./m. 7- Calcular a taxa semestral com capitalização bimestral que equivale à taxa de 28% R: 58,6133 % a.s./b. a.t./m. 8- O capital de $ 950,00 foi aplicado à taxa de 30% a.a./m. Determinar o montante avaliando-o ao final de 2 anos e 4 meses. Resolva o exercício utilizando a taxa anual R: $ 1.896,67 efetiva equivalente. 9- Calcular a taxa anual capitalizada bimestralmente necessária para o capital de $ 5.458,00 produzir no final de 7 anos o montante de $ 7.552,86. R: 4,6586% a.a./b. 10- Calcular o capital que aplicado à taxa de 5% a.t./t. produziu no prazo de 3 anos e 6 R: $ 8.070,98 meses o montante de $ 15.980,00. 11- O capital de $ 500,00 foi aplicado à taxa de 30% a.a./s. Determinar o prazo necessário R: 4 anos e 6 meses para produzir o montante de $ 1.758,94.
28
12- Uma pessoa deseja fazer uma aplicação pelo prazo de 1 ano. São oferecidas a ela as seguintes taxas: a) 48,2% a.a./a. ; b) 3,2% a.m./m. ; c) 38% a.a./t. R: (a) Qual a melhor opção? 13- Um automóvel tem o seu preço tabelado em $ 12.800,00. Como forma de intensificar as vendas, a loja faz a seguinte oferta: “compre hoje e só pague daqui a 3 meses pelo preço de tabela”. Se a taxa de juros compostos para aplicações é da ordem de 1,5% a.m./m., qual o desconto que a loja poderia dar a um cliente que optasse pelo R: $ 559,14 pagamento à vista? 14- A Caderneta de Poupança, além da atualização monetária, paga juros de 6% a.a./m. R: 6% a.a./m. Calcular: a) a taxa nominal de juros pagos; R: 0,5% a.m./m. b) a taxa efetiva mensal; R: 6,1678% a.a./a. c) a taxa efetiva anual. 15- No início de set/99 apliquei uma quantia à taxa de 4% a.m./m. Depois de 5 meses, com a elevação da taxa para 12% a.m./m., o meu capital ficou ainda empregado por mais 3 meses a essa nova taxa, quando então retirei o montante de $ 17.093,10. Calcular: R: $ 10.000,00 a) o capital inicialmente empregado; b) a taxa média mensal efetiva de juros compostos ocorrida. R: 6,93% a.m./m 16- Certo capital esteve empregado durante 1 ano da seguinte forma: a 5 % a.m./m. nos 6 primeiros meses; a 7 % a.m./m. nos 3 meses seguintes e a 10% a.m./m. nos últimos 3 meses. Calcular: a) a taxa efetiva anual a que o capital esteve empregado; R: 118,51% a.a./a. R: 6,7307% a.m./m. b) a taxa média mensal equivalente. 17- João necessita de um empréstimo e vai a 3 Bancos, A, B e C que praticam as seguintes taxas de juros: Banco A: 24 % a.a./t. ; Banco B: 13,5 % a.a./ b.; Banco C: 2 % a.m./m. Determine, qual o Banco “mais atrativo” para João tomar o seu empréstimo e, neste caso, se ele tomar emprestado $ 25.000,00, qual será sua dívida final de um ano R: Banco B - $ 30.542,87 e meio? 18- O Banco A remunera as aplicações à taxa de 30% a.a./m. O Banco B oferece uma taxa anual, mas com capitalização trimestral. Qual deve ser esta taxa nominal para que R: 30,756% a.a./t. um cliente sinta-se indiferente quanto a escolha do Banco? 19- Uma loja de automóveis, objetivando intensificar as suas vendas faz a seguinte oferta: “Compre hoje e só pague daqui a 6 meses. Pagando à vista, tem um desconto de 30% no preço do carro.” Qual a taxa mensal de juros compostos praticada pela loja? Qual R: 6,125% a.m./m. - 73,5% a.a./m. a taxa anual c/ cap/ mensal equivalente? 20- Uma loja coloca suas mercadorias à venda oferecendo duas opções ao comprador: a) pagar o preço tabelado somente após 90 dias da compra; b) oferecer um desconto de 15% sobre o preço tabelado para pagamento à vista. Determinar a melhor opção para um comprador que possui o dinheiro para pagar à R: melhor a prazo vista, se a taxa de juros para aplicações é de 6% a.m./m. 29
21- Um cidadão faz uma aplicação de 30% do seu capital a 15% a.a./m. por 125 dias e o restante a 6% a.s./s. pelo mesmo período. Ao final deste prazo, reaplicou o montante obtido à taxa de 3% a.b./b. por mais 15 meses, resultando finalmente no valor de $ R: $ 9.814,76 12.800,00. Calcular o capital aplicado. 22- Pedro Hinves Thidor possui $ 10.000,00 para investir pelo prazo de 1 ano e meio e lhe são oferecidas as seguintes alternativas: Banco A : 10,5% a.a./a. ; Banco B: 9,6% a.a./m. ; Banco C: a juros compostos à taxa de 0,75% a.m./m no primeiro ano e a a juros simples à taxa de 1,2% a.m. nos últimos 6 meses. Banco C (maior montante: $ 11.725,61) Qual a melhor opção para Pedro? 23- Um cidadão aplicou 30% do seu capital na Financeira A, à 16% a.a./t. e o restante na Financeira B à 18% a.a./s. Depois de 3 anos, recebeu $ 10.800,00 de juros da R: $ 4.108,58 Financeira B. Calcular o valor dos juros recebidos da Financeira A.
5.8 - Montante a Juros Compostos Para Prazo Fracionário Convenções Linear e Exponencial A expressão: FV = PV(1+i)n foi demonstrada para n sendo um prazo inteiro de períodos a que se refere a taxa (taxa efetiva) . Para n fracionário, temos estabelecidas duas convenções - a convenção linear e a convenção exponencial . Se a taxa anunciada for nominal, calculamos primeiro a taxa efetiva relativa ao período de capitalização. Exemplo: Calcular o montante obtido a partir da aplicação do capital de $ 1.000,00, à taxa de 15 % a .a./a. no prazo de 3 anos e 6 meses.
5.8.1 - Convenção Exponencial “ Por esta convenção o montante é obtido aplicando-se a fórmula FV = PV(1+i)n para todo o prazo de aplicação.” Solução:
FV EXP = FV = 1.000 (1 + 0,15) 3,5 = $ 1.630,96
Via HP-12C: STO EEX ( coloca o “c” no visor) 1000 CHS PV 3,5 n 15 i FV ⇒ 1.630,96 30
5.8.2 - Convenção Linear “ Por esta convenção, é calculado o montante a juros compostos durante a parte inteira do prazo a que se refere a taxa, calculando-se a seguir os juros simples sobre este montante durante a parte fracionária”. FV
FV 4
⇒
FV LIN
FV 3
FV EXP
3
3 + 6/12
4
n
Solução: FV LIN = FV 3 (1 + 0,15. 6/12) = 1000 ( 1 + 0,15) 3 [1 + 0,15. 6/12] = $ 1.634,94
Via HP-12C: STO EEX (suprime o “c” do visor) 1000 CHS PV 3,5 n 15 i FV ⇒ 1.634,94 Generalizando, temos a expressão abaixo para o cálculo de FV pela convenção linear: FV LIN = PV(1 + i) n [1 + i. p/q]
(5.5)
Obs. - valor de n na (5.5) corresponde à parte inteira do prazo; - FV EXP < FV LIN o que pode ser verificado na figura anterior.
31
5.8.3 - Exercícios 1- O capital de $ 12.500,00 foi aplicado à taxa de 12% a.a./a. Calcular o montante, avaliando-o pelas duas convenções no prazo de 5 anos, 8 meses e 10 dias. R:
$ 23.833,03 (conv. exp.)
-
$ 23.865,04 (conv. lin.)
2- Calcular o capital que aplicado à taxa de 12% a.a./b. produziu o montante de $ 23.850,00 no prazo de 3 anos e 9 meses. Utilizar as duas convenções. R:
$ 15.275,12 (conv. exp.)
-
$ 15.274,37 (conv. lin.)
3- Calcular, via convenção exponencial, o prazo necessário para o capital de $ 5.000,00 R: 5a, 6m e 7d produzir o montante de $ 7.646,29 a uma taxa de 8% a.a./a. 4- Calcular o capital que aplicado à taxa de 5,5% a.s./t. produziu o montante de $ 51.300,00 no prazo de 4 anos, 8 meses e 16 dias. Utilizar as duas convenções. R:
$ 30.767,72 (conv. exp.)
-
$ 30.766,24 (conv. lin.)
5- Calcular o capital que aplicado à taxa de 30% a.a./q. produziu o montante de $ 35.794,00 R: $ 1.695,29 no prazo de 10 anos e 8 meses. 6- O capital de $ 5.720,00 foi aplicado à taxa de 24% a.a./t. Calcular o montante, avaliandoo pelas duas convenções, no prazo de 3 anos, 8 meses e 20 dias. R:
$ 13.619,85 (conv. exp.)
-
$ 13.622,10 (conv. lin.)
7- O Banco Alfa concede empréstimos aos seus clientes a uma taxa de 12% a.a./b. Um cliente procura o Banco Alfa e toma emprestado a quantia de $ 5.000,00 pelo prazo de 1 ano e 3 meses. Utilizando a convenção exponencial, qual o valor da dívida no final do R: $ 5.800,58 prazo? 8- O Banco Beta remunera as aplicações dos seus clientes a uma taxa de 12% a.a./b. Um cliente procura o Banco Beta e aplica a quantia de $ 3.500,00 pelo prazo de 1 ano e 5 meses. Utilizando a convenção linear, qual o montante produzido ao final do prazo R: $ 4.141,82 considerado? 9- João Pokagrana necessita de um empréstimo de $ 3.500,00 que será pago ao final do prazo de 1 ano e meio. São oferecidas as seguintes opcões: R: $4.155,20 A) - à taxa de 12% a.a./a. via convenção linear; R: $ 3.937,03 B) - à taxa de 8% a.a./s.; C) - a juros simples nos primeiros 12 meses à taxa de 1,5 % a.m., passando a incidir, sobre o montante produzido, juros compostos à taxa de 1 % a.b./b. nos últimos 6 R: $ 4.255,14 meses. R: opção B Determinar a opção “mais atrativa” para João. 10- Um cidadão procura o Banco X para obter um empréstimo. O Banco X pratica uma taxa de 18% a.a./a e utiliza a convenção linear. Sabendo que o empréstimo foi por 3 anos e que o mesmo foi pago com 2 meses de atraso, totalizando o valor de $ R: $ 3.427,24 5.800,00, calcular o valor do empréstimo.
32
CAPÍTULO 6 - EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS NO RCC O grande número de aplicações práticas, fazem da equivalência de capitais no RCC o foco central da Matemática Financeira. A idéia da equivalência financeira no RCC é análoga à equivalência no RCS. Por exemplo, o capital $ 1.000,00, hoje, é equivalente ao capital $ 1.157,63, daqui a 3 meses, à taxa de 5% a.m./m. Ou seja, “conduzindo” o valor $ 1.000,00, hoje, para a data 3, obtémse $ 1.157,63. 1.157,63 1.000
5 % a.m./m
0
1.000 (1+5%)3 = 1.157,63
3
Da mesma forma, o capital $ 2.500,00, daqui a 5 meses, equivale hoje a $ 2.209,64 a uma taxa de juros de 2,5% a.m./m. 2.500 2.209,64
2,5% a.m./m
0
2.209,64 =
2.500 (1 + 2,5%) 5
5
Observamos que a “movimentação” dos capitais no tempo é realizada pela aplicação da fórmula FV = PV(1+i) n.
6.1 - Capitais equivalentes “Sejam dois capitais N 1 e N 2 disponíveis nas datas X e Y respectivamente e uma taxa de juros compostos i. N 1 e N 2 são equivalentes numa dada data Z (data focal ou de referência), à taxa considerada, se os seus valores calculados na data Z forem iguais”.
N 2 A1 = A 2
A1=A2
N 1
N 1
(1 + i ) n1 Z
X
=
N 2
(6.1)
(1 + i ) n 2
Y
n1 n2
33
Obs. A juros compostos, se dois capitais são equivalentes numa determinada data, a uma certa taxa de juros, também o serão em outra data. Exercício 1: Calcular o capital X para que os capitais abaixo sejam equivalentes na data de hoje à taxa de 12% a.a./m. Após, mostrar que os referidos capitais também são equivalentes na data 9. 1.000 X 0
3
5
(mês)
6.2 - Valor Atual de um conjunto de capitais “O valor atual de um conjunto de capitais, calculado numa determinada data focal e a uma dada taxa de juros compostos i, é a soma dos valores atuais desses capitais referidos à data e à taxa consideradas.” Para dois capitais e tomando, como data de referência a data “zero”, temos o diagrama e a equação correspondente:
A
A =
N 1
N 1
(1 + i) n1
+
N 2
(1 + i ) n2
(6.2)
N 2 0
n1
n2
Exercício 2: Uma loja vende um eletrodoméstico da seguinte forma: entrada de $ 300,00, mais duas prestações mensais, a 1 a de $ 350,00 e a 2 a de $ 400,00. Se a loja opera a uma taxa de juros R: $ 1.016,85 de 3% a.m./m., calcular o seu preço à vista.
6.3 - Conjuntos de capitais equivalentes “Dois conjuntos de capitais são equivalentes numa determinada data e a uma dada taxa de juros compostos i se as somas dos valores dos capitais de cada um dos conjuntos, calculados na data e à taxa consideradas, forem iguais.” 34
Consideremos os dois conjuntos ( I e II ) abaixo e como data focal a data “zero”. I
II
A I
A II
N 2 N 1
M 1
M 2 M 3
0
n1
n2
0
m1
m2
m3
A equivalência entre os conjuntos I e II ocorrerá se A I = A II N 1
(1 + i) n1
+
N 2
(1 + i ) n2
=
M 1
(1 + i) m1
+
M 2
(1 + i ) m2
+
(6.3)
M 3
(1 + i ) m3
6.4 - Exercícios 1- Uma loja vende uma geladeira nas seguintes condições: uma entrada de $ 1.000,00 mais uma parcela de $ 1.200,00 após 1 mês. Um cliente propõe pagar uma entrada de $ 600,00 mais duas prestações mensais iguais, vencendo a 1 a dois meses após a compra. Se a taxa de juros praticada é de 4,5% a.m./m., calcular o valor das parcelas de modo que as duas R: $ 864,02 formas de pagamento sejam equivalentes. 2- Uma mercadoria está à venda na seguinte condição: uma entrada de $ 250,00 mais 4 parcelas mensais de $ 200,00 cada. A uma taxa de juros de 60% a.a./m., calcular o seu R: $ 959,20 preço à vista. 3- O preço de um equipamento é de $ 2.500,00. Quanto deverá ser dado de entrada para o saldo ser pago em 3 prestações mensais de $ 800,00 cada? A taxa de juros é de 15% a.a./s. R:
$ 157,05
4- Uma loja de artigos esportivos põe à venda um equipamento de ginástica na seguinte condição: entrada de $ 2.500,00, mais 6 prestações mensais de $ 850,00 cada, vencendo a primeira 120 dias após a entrada. Um cliente propõe pagá-lo dando uma entrada de $ 3.000,00 e o restante em 4 prestações mensais iguais, vencendo a primeira 180 dias após a entrada. Calcular o valor dessas prestações se a taxa de juros embutida no financiamento é R: $ 1.113,61 de 18% a.m./m. 5- Solicitei hoje um empréstimo de $ 4.648,58 para ser pago no final de um ano, acrescido de juros calculados à taxa de 24% a.b./m. Se pagar $ 3.856,48 daqui a 120 dias, $ 3.000,55 no fim de 6 meses e $ 469,36 no fim de 11 meses, haverá saldo a pagar na data do R: $ 2.114,03 vencimento? Quanto? 35
36
