INSTITUTO TECNOLOGICO DE ZITACUAR ZITACUARO O
CARRERA: INGENIERIA ELECTROMECAN ELECTROMECANICA ICA
MATERIA: ANALISIS DE CIRCUITOS EN CORRIENTE ALTERNA UNIDAD
VI:
A N A L I SI S D E C I R CU CU I T OS OS E N E L D OM OM I N I O D E LAPLACE
ALUMNO: V I C T OR OR H U G O T A V I R A U R B I N A N .C: 106 1065027 50270 0
DOCENTE: I N G . M A R CO CO A N T O N I O M E N D O Z A P E RD RD O M O
CURSO DE VERANO VIRTUAL
FECHA: 31-07-2014
UNIDAD VI: ANALISIS DE CIRCUITOS EN EL DOMINIO DE LAPLACE 6.1 RESPUESTA NATURAL
El hecho de trabajar en el dominio de la frecuencia mediante la transformada de Laplace permite considerar una amplia gama de circuitos variantes en el tiempo, pues elimina la necesidad de trabajar con ecuaciones integro-diferenciales en razón de que sólo se procede de forma algebraica. Sin embargo, este método tan poderoso tiene la desventaja de no ser un proceso muy visual. En contraste con lo anterior, existe una cantidad enorme de información contenida en la gráfica polo-cero de una respuesta forzada. En esta sección se considera la forma en que pueden utilizarse dichas gráficas para obtener la respuesta completa de un circuito — natural más forzada — siempre y cuando se conozcan las condiciones iniciales. La ventaja de dicho método es que establece una relación intuitiva entre la ubicación de las frecuencias críticas, fácilmente visualizable a través de la gráfica de polos-ceros y la respuesta deseada.
Se presenta el método con base en el ejemplo más simple, un circuito RL en serie como el de la figura 15.39. Una fuente de tensión general v s(t) provoca que la corriente i(t) fluya después del cierre del interruptor a t = 0. La respuesta completa i(t) para t > 0 se compone de una respuesta natural y de una forzada:
Se podría determinar la respuesta forzada trabajando en el dominio de la frecuencia, bajo el supuesto, desde luego, de que v s(t) tiene una forma funcional que transforma el dominio de la frecuencia; si 2 v s(t)=1/(1 + t ), por ejemplo, se debe proceder lo mejor que sea posible a partir de la ecuación diferencial básica del circuito. En el caso del circuito de la figura 15.39, se tiene
O
A continuación se considerará la respuesta natural. De la experiencia anterior, se sabe que la forma será una exponencial que decae con la constante de tiempo L/R, aunque se suponga que se está determinando por primera vez. La forma de la respuesta natural (sin fuente) es, por definición, independiente de la función forzada, la cual contribuye sólo a la magnitud de la respuesta natural. Para
determinar la forma apropiada se deben suprimir todas las fuentes independientes; aquí , v s(t ) se sustituye por un cortocircuito. A continuación, se intentará obtener la respuesta natural como un caso límite de la respuesta forzada. De regreso a la expresión en el dominio de la frecuencia de la ecuación [18], de manera fiel se establece V s=0. Sobre la superficie, resulta claro que I(s) debe ser cero, pero no es necesariamente cierto si se está trabajando con una frecuencia compleja que es un polo simple de I(s). Esto es, el denominador y el numerador pueden ser ambos cero, por lo que no se requiere que I(s) sea cero. Inspeccionar esta nueva idea a partir de una situación de ventaja un poco diferente. Se fijará la atención en la relación entre la respuesta forzada deseada y la función forzada. Se designará como H(s) y se definirá como la función de transferencia del circuito. Entonces:
En este ejemplo, la función de transferencia es la admitancia de entrada a la que se enfrenta Vs . Se busca la respuesta natural (sin fuente) si V s=0. Sin embargo, I f (s)=V sH(s), un valor distinto de cero para la corriente se obtiene sólo al operar en un polo de H(s). Por lo tanto, los polos de la función de transferencia adquieren un significado especial. En este ejemplo en particular, se puede apreciar que el polo de la función de transferencia ocurre en s= R/L+ j0, como se muestra en la figura 15.40. Si se elige operar en esta frecuencia compleja particular, la única corriente finita que podría resultar debe ser una constante en el dominio s (es decir, independiente de la frecuencia). De este modo se obtiene la respuesta natural.
( )
Donde A es una constante desconocida. A continuación se desea transformar esa respuesta natural al dominio del tiempo. La reacción irreflexiva podría consistir en aplicar las técnicas de la transformada inversa de Laplace en esta situación. No obstante, ya se especificó el valor de s, por lo que un procedimiento de este tipo no es válido. Mejor se enfoca la atención en la parte real de la función general , tal que:
En este caso, se tiene que
Por lo que la respuesta natural es
* +{⁄} ⁄ ⁄
Y A puede determinarse luego de que se especifican las condiciones iniciales de este circuito. La respuesta forzada se obtiene cuando se encuentra la transformada inversa de Laplace de . EJERCICIO
1.- Sea para la red que se presenta en la figura 15.85. Determinar: (a) la tensión entre las terminales en circuito abierto, si ; (b) la corriente en un corto circuito entre las terminales a y b si .
SOLUCION
a)
b)
;
,
→
6.2 RESPUESTA FORZADA
Se ha dedicado suficiente tiempo a definir e interpretar de manera introductoria la frecuencia compleja; ahora es el momento de poner a trabajar este concepto y familiarizarse con él al observar qué es lo que hace y cómo se usa. La senoide general que varía exponencialmente, que se puede representar con la función de tensión
{} {}
Se expresa en términos de la frecuencia compleja s, mediante la identidad de Euler como antes:
O
Cualquier representación es apropiada, así que ambas expresiones recuerdan que un par de frecuencias complejas conjugadas se asocia con una senoide o con una senoide amortiguada en forma exponencial. La ecuación [9] se relaciona en forma más directa con la senoide amortiguada dada, de modo que se tratará fundamentalmente con ella. Agrupando factores, se sustituye luego en:
Y se obtiene
{} {}
Antes de aplicar una función forzada de esta forma a cualquier circuito, se debe observar la semejanza de esta última representación de la senoide amortiguada con la representación correspondiente a una senoide no amortiguada.
{}
La única diferencia es que ahora se tiene s donde antes se tuvo . En lugar de restringir las funciones forzadas senoidales y sus frecuencias en radianes, en este caso se amplía la notación para incluir la función forzada senoidal amortiguada a una frecuencia compleja. No es sorpresa en lo absoluto ver cómo más adelante en esta sección se formulará una descripción en el dominio de la frecuencia de la senoide amortiguada de modo exponencial exactamente de la misma manera en que se hizo con la senoide. Sólo se omitirá la notación y se suprimirá .
* +
Ahora ya se puede aplicar la senoide amortiguada exponencialmente, según se indica mediante las ecuaciones anteriores, a una red eléctrica, donde la respuesta forzada — quizá una corriente en alguna rama de la red — es la respuesta que se desea. Dado que la respuesta forzada tiene la forma de la función forzada, así como su integral y sus derivadas, se podría suponer que la respuesta es
O
{}
Donde la frecuencia compleja tanto de la fuente como de la respuesta deben ser idénticas. Si se recuerda en este momento que la parte real de la función forzada compleja produce la parte real de la respuesta, en tanto que la parte imaginaria origina la parte imaginaria de la respuesta, entonces se está dirigiendo uno también en este caso a la aplicación de una función forzada compleja en la red y se obtendrá una respuesta compleja cuya parte real es la respuesta real deseada. En realidad, se trabajará con la notación omitida, aunque es necesario percatarse de que quizá se reinserte en cualquier tiempo y de que es necesario hacerlo, siempre que se desee la respuesta en el dominio del tiempo. De tal modo, dada la función forzada real
* +
{} {}
Se aplica la función forzada compleja ; la respuesta forzada resultante es compleja, y ésta debe tener como su parte real la respuesta forzada en el dominio del tiempo que se desea:
La solución al problema de análisis de circuitos consiste en determinar la amplitud fase ϕ correspondientes a la respuesta desconocida.
y el ángulo de
Antes de llevar a cabo en realidad los detalles del análisis de un problema y ver cómo el procedimiento se asemeja al del análisis senoidal, vale la p ena describir los pasos del método básico. • •
•
Primero se define las características del circuito con un conjunto de ecuaciones integrodiferenciales de lazo o nodales. Luego las funciones forzadas dadas y las respuestas forzadas supuestas, todas en forma compleja, se sustituyen en las ecuaciones y se efectúan las integraciones y las diferenciaciones indicadas. Todos los términos de todas las ecuaciones contendrán en ese caso el mismo factor . Por lo tanto, se divide todo entre este factor, o “se elimina ’’, entendiendo que éste debe reinsertarse si se desea la descripción en el dominio del tiempo de cualquier función de respuesta.
Con la notación Re{ } y el factor eliminados, se convierten todas las tensiones y las corrientes del dominio del tiempo al dominio de la frecuencia. Las ecuaciones integro-diferenciales se convierten en ecuaciones algebraicas y su solución se obtiene con tanta facilidad como en el estado senoidal permanente. Se ilustra el método básico mediante un ejemplo numérico. EJERCICIO
2.- Si el circuito de la figura 14.10 es alimentado por una fuente de 10 V y un ángulo de fase de 3°, la frecuencia compleja . (a) Determine . (b) Determine y .
SOLUCION
*+ ;
a)
Sustituyendo:
[1]
b)
Obtenemos
de la ecuación 1
,
Entonces
6.3 RESPUESTA COMPLETA
Cuando hay energía inicial presente en un circuito, el método de la transformada de Laplace puede emplearse para obtener la respuesta completa por medio de varios métodos diferentes, se consideraran dos de ellos. El primero es el más importante, ya que implica escribir las ecuaciones diferenciales para la red, y luego aplicar la transformada de Laplace a esas ecuaciones. Las condiciones iniciales aparecen cuando se aplica la transformada a una derivada o a una integral. La segunda técnica requiere que cada voltaje inicial de capacitor, o cada corriente inicial del inductor, se sustituyan por una fuente de cd equivalente, con frecuencia llamada generador de condición inicial. Entonces los elementos en si no tienen energía inicial.
EJERCICIO
3.- El circuito mostrado en la figura 19-10. S ea
y
, busque
.
SOLUCION
, -,
Nodo
[1]
Nodo
Identificando a
como la respuesta deseada, se eliminan
recordando que
y
[2]
; al derivar la ecuación (1),
:
[3]
Y sustituyendo en (1), (2) y (3):
O
Aplicando la transformada de Laplace
Se agrupan términos
Como
, entonces
Se necesita el valor de evaluando cada termino en
Y
. Este se puede obtener de las dos ecuaciones del circuito (1) y (2), . Realmente, en este problema solo es necesario usar la ecuación (2).
En consecuencia,
A partir de lo cual se obtiene la respuesta en el dominio del tiempo
( )
6.4 IDENTIFICACION DE CIRCUITOS
Después de un poco de práctica, se pudo ir y venir entre el dominio del tiempo y el de la frecuencia según era necesario. Ahora todo está listo para aplicar estas formidables técnicas e integrarlas con el análisis de circuitos de una manera estructurada. El conjunto de habilidades resultante permitirá analizar de manera eficiente cualquier circuito lineal par a obtener la respuesta completa — transitoria más estado permanente — sin considerar la naturaleza de las fuentes de excitación. El concepto clave que hace que los fasores resulten tan útiles en el análisis de circuitos de estado senoidal permanente es la transformación de resistencias, capacitores e inductores en impedancias. El análisis de circuitos continúa luego con el uso de técnicas básicas de análisis nodal o de malla, superposición y transformación de fuente, así como el equivalente de Thévenin o el de Norton. Como ya habrá sospechado, este concepto se extiende al dominio s, pues el estado senoidal permanente es sólo un caso especial (donde ).
Según sea la meta específica al analizar un circuito en particular, se encuentra a menudo que se simplifica nuestra tarea si se elige con cuidado la técnica de análisis. Por ejemplo, rara vez se desea aplicar la superposición a un circuito que contiene 215 fuentes independientes, pues un método de este tipo requiere el análisis de 215 circuitos independientes! Sin embargo, al pensar que los elementos pasivos, como los capacitores y los inductores, fueran impedancias, se tiene la libertad de aplicar cualquiera de las técnicas de análisis de circuito que se estudiaron en los capítulos 3, 4 y 5 para los circuitos que se han transformado en sus equivalentes en el dominio s. De esta forma, tanto la superposición, las transformaciones de fuente como los teoremas de Thévenin y de Norton se aplican todos en el dominio s. Las técnicas en el dominio s que se han desarrollado hasta el momento son muy útiles para determinar la respuesta de tensión y de corriente de un circuito particular. Sin embargo, en la práctica a menudo se deben enfrentar circuitos a los que se les pueden conectar fuentes arbitrarias y que requieren una forma eficiente de determinar la nueva salida cada vez. Esta tarea se hace fácilmente si se puede caracterizar el circuito básico mediante una función de transferencia llamada función del sistema. Como está a punto de verse, resulta que tal función del sistema es la transformada de Laplace de la respuesta de impulso unitario del circuito. El análisis puede continuar tanto en el dominio del tiempo como en el de la frecuencia, aunque en general es de mayor utilidad trabajar en el dominio de la frecuencia. En tales situaciones, se cuenta con el proceso de cuatro pasos sencillos que se menciona a continuación: 1. 2. 3. 4.
Determinar la función de sistema del circuito (si es que no se conoce todavía). Obtener la transformada de Laplace de la función forzada que se aplicará. Multipliplicar esta transformada y la función del sistema entre sí, y finalmente Obtener la transformada inversa de Laplace del producto a fin de encontrar la respuesta de salida.
EJERCICIO
4.- En el circuito en el dominio s de la figura 15.73, determinar el equivalente de Thévenin visto desde la impedancia de y utilizarlo para determinar la corriente .
SOLUCION
. / (). /
. /. / ()( ) ( )
