9- 1
Flujo Adiabático
9.3
FLUJO CON AREA VARIAB VARIABLE LE
RESERVORIO
CONDUCTO FLUJO COMPRESIBLE
1
A mínima
AMBIENTE
2 A
As
Po
pB
To
TB
x
o
B
m
Vo = 0 p, T,
DATOS CONOCIDOS
DATOS CONOCIDOS
m
V, M,
Fig. 9.13 Conducto de área variable A (x). PROCESOS: Ad iab áti co Ir Adiab Irrev revers ers ib ible le Isotermo
Ad i abát Adi abátic ico o Rever Rev ersi sibl bl e Isobárico
Politrópico
9.3.1 FLUJO ADIAB ADIABÁTICO ÁTICO IRREV IRREVERSIBLE ERSIBLE T
p01
0
po2
p0
To
p1
1
p
A
2
A1*
p2
A2*
A*
T* p1*
p*
S1
Fig. 9.1.4 9.1.4 Proceso adiabático:
p2* S S
S2 (a) (a) Expansión adiabática .
9- 2
Flujo compresible
En una sección A, cualquiera, del proceso de (1) a (2): To
T
1
k 1 2
po M p
k 1
2
k
o
k 1
Conocidos: po, To y M Se obtiene: p, T, .
El flujo másico en dicha sección cualquiera de área A: i)
m
= V A
Si se cono ce el área A y la presió n p:
− 1
̇ =
(I)
Para M = 1 y A = A* = A G: De (a):
̇ =
∗ +
̇ = ∗ +
O i)
= +
Si se cono ce el área A y el número de Ma Mach: ch: ( k 1)
m
K
po A M 1
R To
k 1
2
2
M
2 ( k 1)
(II)
0,10
0,001
M 0,10
1,0
10
Fig. 9.15 Flujo másico El flujo másico se puede evaluar en la sección crítica: Para: A A crítica; y M = 1:
De la ecuación (I) o ecuación (II), se obtiene: = +
9- 2
Flujo compresible
En una sección A, cualquiera, del proceso de (1) a (2): To
T
1
k 1 2
po M p
k 1
2
k
o
k 1
Conocidos: po, To y M Se obtiene: p, T, .
El flujo másico en dicha sección cualquiera de área A: i)
m
= V A
Si se cono ce el área A y la presió n p:
− 1
̇ =
(I)
Para M = 1 y A = A* = A G: De (a):
̇ =
∗ +
̇ = ∗ +
O i)
= +
Si se cono ce el área A y el número de Ma Mach: ch: ( k 1)
m
K
po A M 1
R To
k 1
2
2
M
2 ( k 1)
(II)
0,10
0,001
M 0,10
1,0
10
Fig. 9.15 Flujo másico El flujo másico se puede evaluar en la sección crítica: Para: A A crítica; y M = 1:
De la ecuación (I) o ecuación (II), se obtiene: = +
9- 3
Flujo Adiabático
( k 1)
K
m
R To
po A * 1
k 1
2 ( k 1)
2
(III)
Considerando las dos ecuaciones anteriores:
A A
1
*
M
1
k 1
k 1
2 k
M
2 2 (k 1)
1
2
[ 9.34 ]
Aplicando la ecuación la ecuación (III) a los puntos 1 y 2 e igualando: po1 A*1 = po2 A*2
[ 9.35 ]
Mediante esta ecuación, se puede determinar las propiedades en cualquier punto del flujo adiabático. Así: A2 po2 po1
*
A1 A*2
*
A2
A1
x
A1 *
A1
̇ á∗ √ ̇ T
[ 9.36 ]
A2
=
− 1
po2
p0
p01
To
p2
2 p
p1
1 A1 *
A2 *
A*
T* p1*
p*
S1
p2* S S
S2
9- 4
Flujo compresible
9.3.2 FLUJO ADIABATICO REVERSIBLE ( FLUJO ISENTROPICO UNIDIMENSIONAL ) p
Flujo másico máximo:
Gmax
T0 p0
p0
mmax
T 0
A*
p0
(
k
2
k 1
k
2
) k 1
k 1
) k 1 R k 1 (
Para aire:
Gmax
T0 p0
0,0404
m
T 0
A*
p0
[9.44]
Esta ecuación permite establecer el valor del área de garganta ( A* ) para descargar flujo másico máximo cuando las condiciones de estancamiento po, To están dadas. Caso de tanques y reservorios. Para:
K
p/po
Aire
1,4
0,5283
Gases en turbina a gas
1,402
0,5279
Vapor sobrecalentado
1,30
0,5457
Vapor saturado
1,135
0,5774
* Vapor húmedo
0,0404
1,035 + 0,1 x
* Ecuación de Zeuner, válido para pequeñas diferencias de presión entre la entrada y la salida de la tobera.
Flujo Adiabático
9.3.2.2
9.3.2.1 9.3.4
EFECTO DE LA VARIACIÓN DE AREA EN LOS FLUJOS SUBSÒNICOS Y SUPERSONICOS
LA FUNCION IMPULSO FLUJO EN TOBERAS Y DIFUSORES Ya està màs adelante.
9.3.4 FLUJO REAL EN TOBERAS Y DIFUSORES
9- 5
9- 6
Flujo compresible
9.3.4.1. TOBERAS
h
po1
po2 ho
ec1
1 h1
ec2 ec2S h2
2
h2s p2
2s S
tob
ec 2 ec 1
V 2
2
V 2 s
2
/2
/2
ho h2
h1
ho h2 s
h1
h2
h2 s
ec 1 ec 1
0,90
á
0,99
Usualmente la energía cinética inicial es relativamente pequeña, de manera que puede no considerarse sin incurrir en error apreciable; es decir ec1 = 0 y: tob
h1 h2
hreal
h1 h2 s
hs
[9.53]
Se define como coeficiente de velocidades a la relación: veloc
tob
V 2
V 2 s
V 2
2
[9.54]
2
Cp T 1
/2
T 2 s
[9.55]
El grado de recalentamiento “y , dado por : ”
y
h2 h2 S h1 h2 S
1 tob
Así mismo se define el coeficiente de descarga de la tobera: r m real m Cd i sen t s m m
[9.56]
[9.57]
9- 7
Flujo Adiabático
9.3.4.2. DIFUSOR Se denomina así al conducto de área variable que comprime a un flujo, convirtiendo su energía cinética en energía de presión.
h po1
po2 ho, To
h2
h 2s
ec2
ec2S
2
2s
ec1
p2s
h1
p1
1 S
Fig. 9.19 Eficiencia de un difusor Dif
h S 2
V 1 / 2
h 2 S h 1 h 2 h1
[9.58]
0,75
Usado en túneles aerodinámicos y compresores. La relación de presiones de estancamiento: Dif
pO 2 p O 2 S
pO 2
p
pO 1
El porcentaje de recuperación estática:
9.4 LA ONDA DE CHOQUE NORMAL
C
p
[9.59] 2 S
2 S
p
[9.60] 1
9- 8
Flujo compresible
Onda de Choque px Tx
Vx
Vy
x
py Ty
y
9.4.1. LÍNEA DE FANNO Y LÍNEA DE RAYLEIGH h Y
ONDA DE CHOQUE
FANNO
X
RAYLEIGH
S
9.4.2. RELACIÓN DE PROPIEDADES M y2
M x2
2
k
k 1
2
k 1
M x2
Ty Tx Vy Vx
x y
1
2
k 1
1
k 1 2k ] M12 [ ] M 12 1 1 [ 2 k 1 2 (k 1) [ ] M 12 2 ( k 1)
1 1 M x 2
k
k 1 k M x 2 2k poy k 1 oy M k 1 k 1 x k 1 pox ox 1 M x 2 k 1 2 M 1 x 2k Sy Sx k k 1 1 2 Ln Ln M x2 k 1 R k 1 k k k 1 1 1 2 M x 2 1
2
2
2
1 k 1
9- 9
Flujo Adiabático NACIONAL DE INGENIERÍA UNIVERSIDAD
FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE CIENCIAS DE LA INGENIERÍA
MECANICA DE FLUIDOS II
MN 217 A, B
DINÁMICA DEL FLUJO COMPRESIBLE UNIDIMENSIONAL SEMINARIO 3.1: CONDUCTO CONVERGENTE – DIVERGENTE PROPIEDADES DEL FLUJO MÁSICO Martes 07.05.2016 P1. [P9.1] Marque la proposición verdadera (V):
[4 Ptos.]
1. Cuando la velocidad de un fluido resulta del mismo orden de magnitud o mayor que la velocidad del sonido: a. ( V ) Las variaciones de densidad se hacen importantes. b. (
) El fluido, tratado como incompresible da resultados concordantes con la realidad.
c. (
) El flujo es denominado “flujo inviscido”.
d. (
) La velocidad de propagación del sonido se puede calcular con: c = ( K R T /p ) ½.
2. En un flujo compresible de un Gas perfecto: a. (
) No es aplicable la ley de conservación de la energía.
b. (
) La función f(p, T, r) = 0, no se verifica.
c. (
) La ecuación p /
T = R, se aplica a más del 80% de los gases perfectos.
d. ( V ) la variación de la densidad influye apreciablemente en el proceso involucrado.
3. Para un gas ideal: a.
(
) La energía interna, no depende únicamente de la temperatura.
b.
( V ) La energía interna, no depende de la densidad.
c.
(
) La entalpia puede medirse con un instrumento.
d.
(
) La entalpia, depende únicamente de la temperatura
4. Cuando la ley del gas ideal representa muy bien el comportamiento de una sustancia pura: a. (
) El calor específico a presión constante es igual a: Cp = R / (k – 1).
b. (
) La relación Cp / Cv es variable.
c. ( V ) La constante particular, R, del gas está dada por: Cp – Cv. d. ( ) La constante isentrópica K, puede obtenerse de k = (n+1) / n. donde n es el grado de libertad de la molécula del gas.
9- 10
Flujo compresible
5. De la Tabla 9.1 Propiedades de los gases ideales, para una mezcla de 60% de propano y 40% de Butano: a. ( V ) La constante R es 170,346. b. (
) La constante k es 1,21.
c. (
) El valor de Cp es 1594,2 J/ kg-K.
d. (
) El valor de Cv es 1,5239 J/kg-K.
6. En un flujo isentrópico: a. (
) Al tratarse de un proceso ideal, no puede considerarse como referencia para el diseño de turbocompresores.
. b. ( V ) se desarrolla un proceso en el cual sus transformaciones de energía son perfectos y libres de pérdidas c. (
) En la sección mínima, siempre se alcanza M =1,0.
d. (
) La velocidad máxima de expansión es: Co x (2/(k+1) ½ .
7. En un flujo adiabático: a. (
) La entalpia de estancamiento es menor que la entalpia de estancamiento del flujo isentrópico.
b. (
) La eficiencia del conducto es: = h ideal / h real.
c. ( V ) ho = h + V 2 / 2 = constante d. (
) No es aplicable la ecuación: Cp To = Cp T + V 2 / 2.
8. En un flujo adiabático: a. (
) no se puede aplicar ho = h + V 2 /2.
b. (
) La velocidad máxima de expansión, es mayor que la velocidad máxima de expansión isentrópica.
c. ( ) La transformación de energía térmica a energía mecánica es mayor que en un flujo isentrópico. d. ( V ) A partir de cualquier sección, se puede hallar el estado de estancamiento isentrópico
P2. [P9.2] Considere el proceso que se muestra en la figura:
p1 = 4 psia V1 = 200 pies /s T1=194ºR
p2 = 40 psia V2 = 545 pies/s T2 = 496ºR
Gas ideal
con Cp y Cv constantes 2
¿El fluido fluye de izquierda a derecha?. Justifique su respuesta
[2 Ptos.]
Flujo Adiabático
9- 11
P3. [P9.3] Un avión vuela con un número de Mach 1,8, a 10 km sobre el nivel terrestre donde la presión es de 30,5 kPa, y la temperatura es de - 44 ºC. 4 Ptos] a. ¿Qué tan rápido está volando el avión; en km/h?. 2523,4 km/h b. La temperatura de estancamiento es una estimación de la temperatura de la superficie de la aeronave. Determine la temperatura de estancamiento. 377,2 K c. ¿Cuál es la presión de estancamiento?. 175,2 kPa d. Si el avión baja su velocidad, ¿a qué velocidad, (km/h) estará viajando en el intervalo subsónico?. V < 1402,1 km/h P4. [P9.4] En un túnel aerodinámico, el aire almacenado a una presión absoluta po = 10 bar y To = 290 K se hace pasar isentropicamente a través de un conducto de área variable (convergente-divergente), de donde sale el aire a una presión de ps = 1 bar. [2 Ptos.] a. Calcule la temperatura Ts y el número de Mach Ms del flujo en la salida del conducto convergente-divergente. Ts = 150,2 K. Ms = 2,15 2 b. Si el área de salida es de 10 cm , determine el flujo másico de aire, en kg/h. 4423,5 kg/h P5. [P9.5] Con respecto al problema anterior, se quiere aumentar el flujo másico en por lo menos un 30%; para lo cual se plantea lo siguiente: [4 Ptos.] [Indique verdadero o falso. Sustente brevemente] a. Incrementar la temperatura de estancamiento To, en más del 45%. b. Incrementar la presión de estancamiento po, en más del 35%. c. Incrementar el área de salida As, en más del 15%. d. Incrementar el área mínima A min, en más del 5%. P6. [P9.6 ]Con respecto al problema P4, en la salida del conducto se coloca un tubo de Pitot (funcionando correctamente, sin obstrucciones) y se registra una presión de estancamiento absoluta igual 1,45 bar (o 0,6154), y una presión estática absoluta igual a py bar. [4 Ptos.] a. Determine la velocidad en la salida del conducto. b. ¿Es posible obtener esta velocidad?. Justifique brevemente. c. Determine la eficiencia del conducto convergente-divergente. d. Opine brevemente sobre el valor obtenido de la eficiencia del conducto. P7. [P9.7] El gran depósito de aire comprimido de la figura se descarga a través de una tobera con una velocidad de salida de 235 m/s. el manómetro de mercurio indica h = 30 cm. Suponiendo flujo isentrópico, calcule la presión (a) en el tanque y (b) en la atmósfera (c) ¿Cuál es el número de Mach de salida? P8. [P9.9] Un flujo de aire, con condiciones de remanso de 800 kPa y 100 ºC, se expande isentrópicamente en un conducto hasta una sección donde A 1 = 20 cm2 y p1 = 47 kPa. Calcule (a) Ma 1, (b) el área de la garganta y (c) el flujo másico. En la sección 2, entre la garganta y la sección 1, el área es de 9 cm 2. (d) Calcule el número de Mach en la sección 2. Sifuentes SANCHO, Jorge Docente
9- 12
Flujo compresible
P9. [P9.8 ] Dadas las mediciones de temperatura y presión de remanso del tubo de Pitot y de la presión estática de la Figura, calcule la velocidad del aire V suponiendo (a) flujo incomprensible y (b) flujo compresible.
100 °C 80 kPa
120 kPa
P9. [P9.9] Un flujo de aire, con condiciones de remanso de 800 kPa y 100 ºC, se
expande isentrópicamente en un conducto hasta una sección donde A 1 = 20 cm 2 y p1 = 47 kPa. Calcule (a) Ma 1, (b) el área de la garganta y (c) el flujo másico. En la sección 2, entre la garganta y la sección 1, el área es de 9 cm 2. (d) Calcule el número de Mach en la sección 2.
P10. [P9.10] La figura muestra un flujo de aire que pasa de un gran depósito a otro a través de una tobera convergente-divergente. Un manómetro de mercurio entre la garganta y el depósito aguas abajo mide h= 15 cm. Calcule la presión del depósito agua abajo. ¿Aparece alguna onda de choque normal en el flujo?. Si es así, ¿se encuentra ésta en el plano de salida o más aguas arriba?.
AG = 10 cm 100 °C 300 kPa
As = 30 cm 2
h Mercurio
Flujo Adiabático
9- 13
P11. [P9.11] Una boquilla convergente-divergente con un área de garganta de 0,0013
m 2 y un área de salida de 0,0019 m 2, se conecta a un tanque que contiene aire a una presión absoluta de 552 KPa y una temperatura de 15°C. Si la boquilla opera en condiciones de diseño, determine a. ¿Cuál sería la presión ambiente exterior? Y ¿Cuál es la presión crítica?. No [ ps = 93,3 KPa. p* = 291,5 KPa ] tenga en cuenta la fricción. b. ¿Cuál es la presión de salida, para un flujo isentrópico subsónico en toda la tobera?
P12. [P9.12] A través de una tobera convergente-divergente para la cual el área de sección transversal en la salida es doble que en la garganta, fluye adiabáticamente vapor sobrecalentado procedente de un depósito grande en el cual la presión vale 1 MPa. La presión más allá de la salida es de 700 kPa. a. Determínense el número de Mach del flujo en el plano de salida, el área de sección transversal en el plano en el cual puede esperarse una onda normal de choque en la tobera, y b. el número de Mach inmediatamente corriente arriba del choque. c. ¿Qué presión ambiente sería necesaria en la salida para producir un flujo isentrópico supersónico, y sin choques? d. ¿Qué presión de salida daría el mismo régimen de flujo másico, pero con condiciones subsónicas a través del mismo? Supóngase que los efectos de fricción son despreciables, que para el vapor sobrecalentado k = 1.3, y que el vapor permanece sobrecalentado y con capacidades de calor específico constante. [0.415, 1.532 veces el área de garganta 1.838, 106.3 kPa, 941 kPa]
P14. [P9.14] Aire bajo condiciones adiabáticas, fluye a través de un tubo de 50 mm de diámetro y 80 m de largo procedente de un depósito grande en el que la presión y la temperatura son de 300 KPa y 15 ºC La presión a la salida del tubo es de 120 KPa. Supóngase un descenso despreciable de presión en la entrada al tubo, y un valor promedio para f de 0,0015. a. Determínese el régimen de flujo másico de aire, en kg/s b. ¿A qué valor necesitará elevarse la presión de entrada para aumentar en 5O% el régimen de flujo másico?, en kPa [0.292 kg/s, 43S kPa]
P15. [P9.15] Aire muy frío, para utilizarse en un sistema de acondicionamiento de aire de una cámara de prueba, pasa a través de un conducto rectangular con un área de la sección transversal de A m 2 y una longitud L m. El aire entra al conducto a una temperatura T 1 a una presión p 1 bar. Se estima que Q kilocaloría por unidad de longitud y minuto será transferido de los alrededores al flujo de aire en el conducto. Si la temperatura de salida a de ser T 2 ºC a la presión ambiente p 2 ¿ qué caudal en masa circulará?. Establecer solamente las ecuaciones. Explicar cómo podría resolverse las ecuaciones obtenidas.
9- 14
Flujo compresible
UNIVERSIDAD Flujo Adiabático NACIONAL DE INGENIERÍA
9- 15
FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA
DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE CIENCIAS DE LA INGENIERÍA
MECANICA DE FLUIDOS II
MN 217 A, B
DINÁMICA DEL FLUJO COMPRESIBLE UNIDIMENSIONAL SEMINARIO 3.2: TOBERAS Y DIFUSORES
Martes 21.04.15
P1. [P9.16] Un gran recipiente de aire en el cual la presión es de 10 bar y la temperatura es 300ºC, es puesto en relación con la atmosfera, donde la presión reinante es de 1 bar, mediante una tobera isentrópica convergente cuya sección de salida es de 2 cm 2. a. Determine el flujo másico en kg/h 1506,8 kg/h b. Manteniendo el área de salida, la presión ambiente de 1 bar y la temperatura de 300ºC, se eleva la presión de 10 bar a un valor de 20 bar. ¿se duplica el flujo másico?, sustente brevemente su respuesta. si c. Manteniendo la presión ambiente de 1 bar, po = 10 bar y la temperatura de 300ºC, se eleva el área de salida la presión de 2 cm 2 a 4 cm 2. ¿se duplica el flujo másico? , sustente brevemente su respuesta.
P2. [P9.16] Una tobera supersónica de sección circular es alimentada desde un depósito en el cual la presión es de 8 bar y la temperatura es de 250ºC. Se quiere producir una descarga de 30 kg/s de aire, para lo cual es necesario dimensionar la sección en la garganta (D G), y la sección de salida de la tobera (D S) a. Determine los valores de D G y DS de la tobera, en cm. DG = 16,44 cm. Ds = 21,4 cm b. Calcule la temperatura en la sección de salida de la tobera, en grados Celsius. T= 15,75 °C c. Calcule la velocidad del chorro a la salida de la tobera, en m/s. 686 m/s d. Calcule la fuerza del chorro de aire, en N. 20 580 N e. ¿Qué propone para incrementar la fuerza del chorro?. Sustente brevemente.
P3. [P9.16] De un reservorio a condiciones P1 y T1 se descarga un gas a través de una tobera a otro reservorio que se encuentra a condiciones p2 y T2. ¿Qué variación experimentará el flujo másico? a. Si el gas en la cámara 1 se calienta a presión constante. b. Si el gas en la cámara 2 se calienta a presión constante.
AG
1
p1 T1
aumenta disminuye
m
Un experto opina: Respecto a la pregunta (a): El flujo másico disminuye. Respecto a la pregunta (b): El flujo másico no sufre alteraciones. (¿Usted coincide con la opinión del experto?). Argumente brevemente.
2
p2 T2
9- 16
Flujo compresible
P4. [P9.16] A la tobera de una turbina a gas ingresa gases de combustión (K = 1,38 y R = 310 J/kg-K) a 873 K y 10 bar de presión, y se expande hasta obtener en la salida una presión de 1,01 bar. Se requiere descargar 22,75 kg/s, determine el diámetro de garganta, el diámetro en la salida de la tobera y la temperatura en la sección de descarga de la tobera. a. Considerando una eficiencia de tobera igual al 100 %. b. Considerando una eficiencia de tobera igual al 94 % c. Un estudiante observa y opina que: si se considera la fricción entre las partículas del aire y las partículas fluidas entre el aire y la pared interior del conducto de la tobera, se obtiene un valor del flujo másico inferior a 22,75 kg/s. ¿Está de acuerdo con la opinión del estudiante?. Sustente brevemente su respuesta.
P5. [[P00.10] En un tanque cilíndrico (D= 1,6 m; H = 2,5 m) se almacena nitrógeno seco a una presión absoluta de 689 kPa y a una temperatura de 15 °C. Mediante un conducto tobera convergente (A salida = 0,0438 cm 2) se descarga isentropicamente el nitrógeno hacia un ambiente que se encuentra a una presión absoluta igual a 101, 325 kPa. a. Determine el número de Mach a la salida de la tobera. b. Determine el flujo másico máximo que se puede descargar. c. Si se desea duplicar el flujo másico, ¿Qué se puede hacer?.
P6. [ [P00.10] Determínese el flujo másico de aire bajo condiciones adiabáticas a través de un tubo de 50 mm de diámetro interior procedente de un depósito grande en el que la presión manométrica es de 300 kPa y 15 °C de temperatura. La presión absoluta a la salida del tubo es de 120 kPa. ¿A qué valor necesita elevarse la presión de entrada al tubo para aumentar en 45 % el flujo másico?.
P7. [P9.16] Un conducto convergente-divergente, área de garganta de 0,0013 m 2 y un área de salida de 0,0019 m 2, se conecta a un tanque que contiene aire a una presión absoluta de 552 KPa y una temperatura de 15°C. Si se considera un proceso adiabático reversible, determine:
a. Considerando que el conducto descarga flujo supersónico, ¿Cuál sería la presión ambiente exterior? Y ¿Cuál es la presión en la sección de garganta?. No tenga en cuenta la fricción. [ p S = 93,3 KPa. p* = 291,5 KPa ] b. ¿Cuál es la presión de salida, para un flujo isentrópico subsónico en toda el conducto convergente-divergente?. c. Si se incrementa la presión en el tanque a 1104 kPa, ¿Qué ocurre con el flujo másico?
P8. [P9.16] Un conducto convergente divergente de sección circular es alimentada desde un depósito en el cual la presión es de 8 bar y la temperatura es de 250ºC. Se quiere producir una descarga de 30 kg/s de aire, para lo cual es necesario dimensionar la sección en la garganta (D G), y la sección de salida de la tobera (Ds) a. Determine los valores de D G y Ds, en cm. b. Calcule la temperatura en la sección de salida, en grados Celsius. c. Calcule la velocidad del chorro a la salida de la tobera, en m/s. d. Calcule la fuerza del chorro de aire, en N. e. ¿Qué propone para incrementar la fuerza del chorro?. Sustente brevemente .
Flujo Adiabático
9- 17 SIFUENTES SANCHO, Jorge Docente
P2.
A través de una tobera convergente-divergente para la cual el área de sección transversal en la salida es doble que en la garganta, fluye adiabáticamente vapor sobrecalentado procedente de un depósito grande en el cual la presión vale 1 MPa. La presión más allá de la salida es de 700 kPa. e. Determínense el número de Mach del flujo en el plano de salida, el área de sección transversal en el plano en el cual puede esperarse una onda normal de choque en la tobera, y f. el número de Mach inmediatamente corriente arriba del choque. g. ¿Qué presión ambiente sería necesaria en la salida para producir un flujo isentrópico supersónico, y sin choques? h. ¿Qué presión de salida daría el mismo régimen de flujo másico, pero con condiciones subsónicas a través del mismo? Supóngase que los efectos de fricción son despreciables, que para el vapor sobrecalentado k = 1.3, y que el vapor permanece sobrecalentado y con capacidades de calor específico constante. [0.415, 1.532 veces el área de garganta 1.838, 106.3 kPa, 941 kPa]
P3.
Aire bajo condiciones adiabáticas, fluye a través de un tubo de 50 mm de diámetro y 80 m de largo procedente de un depósito grande en el que la presión y la temperatura son de 300 KPa y 15 ºC La presión a la salida del tubo es de 120 KPa. Supóngase un descenso despreciable de presión en la entrada al tubo, y un valor promedio para f de 0,0015. c. Determínese el régimen de flujo másico de aire, en kg/s
9- 18
Flujo compresible
d. ¿A qué valor necesitará elevarse la presión de entrada para aumentar en 5O% el régimen de flujo másico?, en kPa [0.292 kg/s, 43S kPa]
P4.
Aire muy frío, para utilizarse en un sistema de acondicionamiento de aire de una cámara de prueba, pasa a través de un conducto rectangular con un área de la sección transversal de A m 2 y una longitud L m. El aire entra al conducto a una temperatura T 1 a una presión p 1 bar. Se estima que Q kilocaloría por unidad de longitud y minuto será transferido de los alrededores al flujo de aire en el conducto. Si la temperatura de salida a de ser T 2 ºC a la presión ambiente p 2 ¿ qué caudal en masa circulará?. Establecer solamente las ecuaciones. Explicar cómo podría resolverse las ecuaciones obtenidas.
Ing. Jorge Sifuentes Sancho
Flujo Adiabático
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Flujo compresible
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE CIENCIAS DE LA INGENIERÍA
MECANICA DE FLUIDOS II
MN 217 A, B
DINÁMICA DEL FLUJO COMPRESIBLE UNIDIMENSIONAL SEMINARIO 3.3: TOBERAS Y DIFUSORES- EFICIENCIA
JUEVES 16.04.15
James A. Fay P1. [12.3] En una planta generadora de energía de ciclo cerrado con turbina de gas, el helio ingresa en la turbina adiabática con una presión p 1 = 8 bar y temperatura T1 = 1100 K y sale con una presión p 2 = 1 bar y temperatura T2 = 620 K. calcule: a. La eficiencia (t ) de la turbina adiabática y b. El trabajo entregado por la turbina por kilogramo de helio que fluye a través de ella. P2. [12.4] en un túnel aerodinámico supersónico, el aire almacenado a una presión p0 = 10 bar y temperatura T0 = 290 K se hace pasar adiabáticamente a través de una boquilla convergente-divergente, de donde sale corriente de aire como vapor supersónico a una presión de p 1 = 1 bar. Si se supone una constante k = 1,4, calcule:
a. b. c. d.
El número de Mach del flujo en la salida de la boquilla. La temperatura del flujo en la salida La razón del área de salida al área de garganta, A S / A G. y El gasto másico de aire si el área de la garganta es de 10 cm 2.
P3. [12.5] Se propone diseñar un túnel aerodinámico hipersónico utilizando helio ( k = 5/3), como fluido de trabajo en el que la sección de prueba funcionará con un número de Mach = 20. Calcule:
a. La temperatura To de estancamiento si la temperatura de la sección de prueba es de Tp = 10 K,es b. La presión de estancamiento que se necesita si la presión en la sección de prueba pp = 0,0001 bar = 10 Pa y c. La razón del área de la sección de pruebas al área de la garganta, A p / A G. P4. [12.8] A través de una tubería fluye gas natural (metano), comprimido a una presión de p1 = 60 bar y temperatura T1 = 300 K. la longitud de la tubería es L = 7 km y su diámetro D. el gas sale en el otro extremo de la tubería con una presión p2 = 10 bar. La velocidad del flujo de entrada es V 1 = 45 m / s. si se supone que el flujo es adiabático, calcule: a. La temperatura T2 del flujo de salida, b. Los números de Mach M 1 y M 2 del flujo que entra y del que sale y c. El valor de fricción de de Darcy f para este flujo.
9- 21
Flujo Adiabático
P5. [12.10] Se conecta un tanque grande que contiene gas perfecto con una velocidad de propagación del sonido c y constante k a una tubería muy larga (x ≥ 0 ) mediante una válvula de apertura rápida localizada en la entrada de la
tubería. Inicialmente, la tubería ha sido completamente evacuada ( p = 0 cuando t = 0; x ≥ 0). De pronto, al tiempo t = 0, se abre la válvula y el gas fluye hacia la
tubería. El flujo del tanque hacia la entrada de la tubería es un flujo estrangulado estacionario; el flujo en la tubería es un flujo no estacionario. a. Obtenga una expresión para la velocidad máxima u máx del gas en la tubería y calcule la razón u máx / V max para k = 1,4, donde V max es la velocidad máxima del flujo estacionario para un flujo isentrópico, desde el tanque a una región de presión cero. b. Exprese la velocidad u { x, t } en la tubería FRANK M. WHITE P6. [9.76] Un gran depósito a 20 ºC y 800 kPa se usa para llenar un pequeño tanque aislado a través de una tobera convergente-divergente de 1 cm 2 de área de garganta y de 1,66 cm 2 de área de salida. El pequeño tanque tiene un volumen de 1 m 3 y está inicialmente a 20 ºC y 100 kPa. Calcule el tiempo transcurrido cuando: a. la onda de choque empieza a aparecer dentro de la tobera, y b. el gasto másico empieza a caer por debajo de su valor máximo. P7. [9.77] Un gas perfecto (no aire) se expande isentropicamente a través de una tobera supersónica con un área de salida que es cinco veces el área de garganta. El número de Mach a la salida es 3,8. a. ¿Cuál es la relación de calores específicos del gas?. b. ¿De qué gas puede tratarse. c. Si po = 300 kPa, ¿Cuál será la presión de salida del gas?. P8. [9.78] La orientación de un agujero puede ser determinante. Considere los agujeros A y B de la figura, que son idénticos, pero están contrapuestos. Para unas propiedades del gas dadas, calcule el gasto másico a través de de cada uno de los agujeros y explique porque son diferentes.
0,2 cm 2
p1 = 150 kPa
0,3 cm 2
m A
T1 = 20 ºC
p2 = 100 kPa
m B
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Flujo compresible
P9. [9.79] Un gran depósito a 600 K suministra aire a través de una tobera convergente-divergente con un área de garganta de 2 cm 2. En la sección de área 6,2 cm 2 se forma una onda de choque normal. La presión justo aguas abajo de la onda de choque es de 150 kPa. Calcule: a. La presión en la garganta, p G b. El gasto másico en kg/h, y c. La presión en el depósito, po.
6,2 cm 2
AG i
po To = 600 K
2 cm
2
A x y 150 kPa
Aire
S
pB
P10. [9.80] El neumático de un coche a nivel del mar se encuentra inicialmente a 32 lbf/pulg 2 de presión manométrica y 75 ºF. Cuando es perforado con un agujero de forma de tobera, su presión manométrica desciende a 15 lbf / pulg 2 en 12 minutos. El volumen del neumático es de 2,5 ft 3. Calcule el tamaño del agujero en milésimas de pulgadas. P11. [9.81] El helio contenido en un depósito grande a 100 ºC y 400 kPa descarga en un depósito receptor a través de una tobera convergente-divergente diseñada para descargar a M = 2,5 con un área de salida de 1,0 cm 2. Calcule: a. La presión en el depósito receptor y b. El gasto másico en las condiciones de diseño. c. Calcule el rango de presiones del recipiente para el cual el gasto másico es máximo. P12. [9.82] Una corriente de aire a 500 K alimenta a una tobera convergentedivergente, con un área de garganta de 1,0 cm 2 y un área de salida de 2,7 cm 2 . Un tubo de Pito colocado en el plano de salida mide po = 250,6 kPa y p = 240,1 kPa cuando el gasto másico es de 182,2 kg/h. a. Calcule la velocidad de salida. b. ¿Existe una onda de choque en el conducto?. Si es así calcule el número de Mach justo aguas debajo de dicha onda.
9- 23
Flujo Adiabático
P13. [9.83] Un motor cohete proporciona un empuje de 1 millón de lbf cuando opera bajo condiciones de diseño (descarga sin onda de choque ni onda de expansión a la presión de 101,325 kPa). La presión y temperatura en la cámara son 600 lbf / pulg 2 y 4000 ºR, respectivamente. Los gases de salida se asemejan a un gas con k = 1,38 y un peso molecular de 26. Calcule:
a. El número de mach a la salida y b. El diámetro de la garganta P14. [9.84] Un flujo de aire atraviesa el conducto de la figura, donde A 1 = 24 cm 2 , A2 = 18 cm 2 y A3 = 32 cm 2. En la sección 2 existe una onda de choque normal. Calcule: a. El gasto másico, b. El Número de Mach y c. La presión de remanso en la sección 3.
2
1
3
x y
Aire
m
Onda de choque M 1 = 2,5 p 1 = 40 kPa T 1 = 30 ºC P15. [9.85] Un gran tanque a 300 kPa suministra aire a través de una tobera con un área de garganta de 1,0 cm 2 y un área de salida igual a 2,2 cm 2. En el plano de salida se forma una onda de choque normal. La temperatura justo aguas abajo de esta onda de choque es de 473 K. calcule:
a. La temperatura en el gran tanque, b. La presión en el receptáculo receptor y c. El gasto másico.
ING. JORGE SIFUENTES SANCHO DOCENTE
9- 24
Flujo compresible
Flujo Adiabático
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Flujo compresible
9.4 LA ONDA DE CHOQUE NORMAL
Una pequeña perturbación se propaga en un fluido a la velocidad del sonido, cuando se encuentran ondas más fuertes, que ocasionan cambios rápidos y severos de las propiedades del flujo de una pequeña región del flujo, se dice que se ha formado una onda de choque. En la práctica se puede crear grandes perturbaciones de presión, utilizando un diafragma de acero dentro de un tubo. Cuando la presión es lo suficientemente alta, el diafragma estalla y el choque se propaga a través del tubo. La velocidad de propagación de esta onda de presión es superior a la velocidad del sonido.
Onda de choque generada en un tubo de choque mediante el movimiento de un pistón que se desplaza con una velocidad Vp, en el interior de un gas inicialmente estacionario. En la región sombreada se representa el fluido que está entre la onda de choque y el pistón y que se desplaza con la misma velocidad del pistón Figura
La onda de choque es de un espesor muy pequeño, lo cual hace difícil su estudio, requiriendo entre otras cosas la utilización de la termodinámica de los no equilibrios. En este capitulo se hará un estudio para relacionar las propiedades del flujo antes y después de la onda de choque. Onda de Choque px Tx
Vx
Vy
x
py Ty
y
Fig. 9.21 Onda de choque normal estacionaria Considere un flujo permanente y uniforme, las variables del flujo antes de la onda de choque se designan por el subíndice “ x ” y con el subíndice “ y ” las
variables del flujo después del choque. El proceso de flujo que se produce a través de la onda de choque es no isentrópico debido a los efectos de fricción y conducción de calor dentro del choque mismo.
9- 27
Flujo Adiabático
Ecuaciones aplicables: m
Continuidad :
G
X V X
A
Impulso :
p X
X
2
V X
pY
Y
2
Energía :
ho
h X
p
Gas Gas idea i deall :
T
R
V X 2
h
Sy – Sx 0
Entropía :
= constante
Y V Y
2
V Y
2
hY
V Y 2
= constante
Cp T
p 2 Sy Sx Cv Ln [ 2 p1 1
k 1
]
Considerando que son conocidas las condiciones del flujo antes del choque, las condiciones condiciones del flujo después del choque: Ty, py, y, Vy, Sy pueden ser determinadas de estas cinco ecuaciones. 9.4.1. LÍNEA DE FANNO Y LÍNEA DE RAYLEIGH RAYL EIGH
Si se considera un valor de Vy, de la ecuación de continuidad se obtiene y; de la ecuación de energía se obtiene hy; de la ecuación del gas ideal se obtiene Ty, py; finalmente de la ecuación de entropía se obtiene Sy. Repitiendo los cálculos para otros valores de Vy se obtiene, en un diagrama h-s, una curva denominada línea de Fanno. Tomando un valor particular de Vy, de la ecuación de continuidad se obtiene y; de la ecuación de impulso se obtiene py; de la ecuación del gas ideal se obtiene Sy. Repitiendo estos cálculos para otros valores de Vy, se obtiene, en un diagrama h – S, una curva denominada línea de Rayleigh. h h0
Y
ONDA DE CHOQUE
X
FANNO
RAYLEIGH
S
9- 28
Flujo compresible
Fig. Línea de Fanno y línea de Rayleigh. La parte inferior de las dos curvas corresponde a una condición en la que M > 1 y la porción porción superior señala las condiciones en que M < 1. Se demuestra que los puntos de máxima máxima entropía de estas estas líneas son A y B donde donde M = 1. Los puntos puntos de intersección de la línea Fanno Fanno y la línea Rayleigh Rayleigh constituyen una solución para el conjunto de las ecuaciones dadas. Se observa que el estado inicial “X” es un estado supersónico y el estado final “y” es un estado de flujo subsónico.
9.4.2. RELACIÓN DE PROPIEDADES
Como el flujo es adiabático: To x
2
T x
2
k 1
1
T y
k 1
Tx ( 1
k 1
1
2
Toy = Tox, de manera que 2
M X )
To y
T y ( 1
M X 2
k 1
2
2
M Y )
[9.61]
2 Y
M
Es conveniente establecer relaciones para las características características de flujo a través de la onda de choque sólo en función del número de Mach inicial. De la ecuación de estado y de continuidad: p y
T y
x
T x
T y
T x
p y
V y
p x
V x
p x
y
p y
M y C y
p x
M x C x
p y
M y
T y
p x
M x
T x
De donde: dond e: p y p x
M x
M y
1 1
k 1 2
k 1 2
M X 2 2 Y
M
Examinando la ecuación de cantidad de movimiento: p X
Gas Gas i deal: deal:
V 2
X
2
V X pY p
R T
Y
M 2 K R T
2
V Y
k p M 2
[9.62]
9- 29
Flujo Adiabático
p x ( 1 k M x2 ) p y
k M x2
1
p x
p y ( 1 k M y2 )
[9.63]
M y2
1 k
Igualand o las ecuacion ecu acion es (9.62) (9.62) y (9.63) (9.63) : M x
k
1
1
2
2
2
MY
M X
M x2
M y2
2
M X
2
k
1
1
1
k 1 2
2
M Y
2
2
M Y
k 1 2
M x
k 1
k 1
2
k
1
[9.64]
1
Sustituyendo el valor de My en (9.63), y en (9.61), se obtienen: p y
p x
Ty Tx
2
k
k 1
M 12
k 1
[9.65]
k 1
k 1 2k ] M 12 [ ] M 12 1 1 [ 2 k 1 2 (k 1) [ ] M 12 2 (k 1)
[9.66]
La relación de densidades, en en térmi nos del núm ero de Mach Mach inicial, in icial, se puede encontrar a partir d e la ecuación de estado: y
x
p y / R Ty p x / R Tx
py T x
px Ty
Vy Vx
x y
x
y
1
2
k 1
1 1 M x 2
[9.67]
La relación de presiones de estancamiento es una medida de la irreversibilidad del pro ceso de choque. poy pox
poy / py
py
pox / px
px
9- 30
Flujo compresible
k 1 M y 1 py 2 k 1 px M x 1 2
2
poy pox
2
k k 1
Introd uciendo la ecuación (9.65) y (9.64), se obti ene; k 1 2 M x k 1 1 M x 2 2
poy pox
oy ox
2
k k 1
2k k 1 k 1 M x k 1 2
1 k 1
[9.68]
El cambio de entropía: S
So
S
R
Sy Sx R
0
Sy Sx
S0 y S0 x 0
Ln ( poy / pox)
k 1 M x 1 2 Ln k 1 M x 2
2
k
k 1
2
2k k 1 1 Ln M x k 1 k 1 k 1 2
[9.69]
La gráfica de esta ecuación se encuentra en la figura 9.23, donde: Para M > 1
Sy – Sx > 0 Sy – Sx < 0, contra la segunda ley de la Termodinámica.
M < 1
Conclusión : El estado inicial de un choque normal será siempre supersónico.
Por otro lado, de la ecuación (9.64):
2
M y
M x2
2k
2
k 1
M x2 1
k 1
Como Mx > 1 siempre, resulta que M2y < 1 Conclusión: El estado final de un choque normal será siempre subsónico.
9- 31
Flujo Adiabático
oo (+) Zona posible de choque
k / ) x S y S (
(0) 1
2
Mx
(-)
Fig. 9.23 Ecuación (9.69) En esta gráfica puede verse que el número de Mach inicial Mx es mayor, mayores son los cambios de las propiedades y características del flujo a través de la onda de choque. En estas curvas puede verse que después de la onda de choque existe una temperatura mayor, una presión no perturbada mayor y una presión de estancamiento menor. RELACION RANKINE -HUGONIOT
Una interesante relación de la presión y la densidad se obti ene sust ituyendo el valor d e My de la ecuación (9.64) en la ecuación obtenid a de (9.62) y (9.61), se obtiene:
Usando la ecuación
Resolviendo para
9- 32
Flujo compresible
Conocid a como ecuación de Rankine-Hugoniet, la cual sólo será posible cuando esté encierr a de la isentrópic a y o sea para el choque.
llllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllll
EJEMPLO 9.18:
Un tubo de pitot en una corriente supersónica produce una onda de choque, como se muestra en el esquema. Considerando que la prueba es a 0° el ángulo de ataque, y que la onda de choque producida es normal al flujo, y que la prueba está diseñada para medir la presión estática después del choque py. a. Encuentre una expresión para evaluar el número de Mach de la corriente supersónica Mx, en términos de poy, py. b. Conocida Toy, determine la velocidad del flujo antes y después del choque. My < 1
Mx > 1
poy
Considerando flujo isentropico antes y después del choque:
py
9- 33
Flujo Adiabático
k 1
poy / py Mx My
2
2
2 k
k 1
k
1
k 1 My 2
[1]
2
2
k 1
Mx 2 1
[
2]
9- 34
Flujo compresible
EJEMPLO 9.19 : Una explosión en aire, k = 1.4 produce una onda de choque esférica que se propaga radialmente en aire en calma y en condiciones normales. En el instante mostrado en la figura, la presión detrás de la onda es 1380 KPa. a. Calcule la velocidad C de la onda de choque. b. Calcule la velocidad V del aire justo detrás de la onda de choque.
C
v 1380 Kpa PUM
Flujo Adiabático
9- 35
9.4.3. INTENSIDAD DE UNA ONDA DE CHOQUE Se define así a la relación del incremento de presión a la presión inicial.
Usando la ecuación (9.65), se obtiene:
Un choque débil implicaría : De (9.72):
Considerando el cambio de entropía, en la forma:
Usando (9.74) y (9.75), :
Usando la serie de expansión:
Esto indica que la producci ón de entropía es una func ión del cubo de la intensidad del choqu e. Para el caso de choques débil es, el pr oceso isentrópico constit uye una buena aproximación. AAAAAAAAAAAAAAAAAAAA
9- 36
Flujo compresible
9- 37
Flujo Adiabático
PROBLEMAS
9- 38
Flujo compresible
9.05.-FUNCIONAMIENTO DE LAS TOBERAS Una nota sobre chorros libres
Se considera chorro libre a un fluido que fluye desde un conducto hacia una zona relativamente grande que contiene fluido, el cual tiene una velocidad respecto al chorro que es paralela a la dirección del flujo en el chorro. En el caso de un fluido que sale de una tobera a la atmósfera con flujo subsónico; se demuestra que la presión de salida p s, para tales flujos, debe de ser la atmósfera que lo rodea.
Vch pa ps
Figura Nº 9.26 : Descarga de chorro subsónico Si ps > pa :
Tendría lugar a una expansión lateral del chorro. Este hecho disminuiría la velocidad del chorro, de acuerdo con la teoría del flujo isentrópico, y, por consiguiente caería necesariamente la presión en el chorro, agravando más la situación. Una continuación de éste efecto seria catastrófico.
Si ps < pa :
Tendría lugar una contracción del chorro de acuerdo con la teoría del flujo isentrópico, y un incremento de velocidad. Esto produciría una disminución posterior en la presión del chorro, agravando de nuevo la situación.
Está claro de que cualquiera de las dos suposiciones nos lleva a esperar una INESTABILIDAD en el flujo del chorro. Puesto que se observa que el chorro subsónico es estable, se puede concluir que la presión del chorro debe ser igual a la presión que lo rodea: ps = pa. Sin embargo, si el chorro emerge supersónicamente, la presión de salida no necesita ser igual a la presión de los alrededores. La presión de salida se ajusta a la presión exterior, mediante una sucesión de ondas de choque y ondas de expansión oblicuas , para el caso bidimensional o de ondas cónicas similares en el caso simétrico tridimensional. 9.5.1.-TOBERA CONVERGENTE Considere que el conducto convergente tiene una área de ingreso bastante grande, sección “o”, y descarga a través de la Sección “s” a un ambiente
que se encuentra a la presión p B (denominada contrapresión).
9- 39
Flujo Adiabático
0
S
B
Vo = 0
p0 =Const.
m
To = Const
m
pS pB
p/po 1,0
O 1
p*/po
I
22 3
II
O
x Figura Nº 9.27 : Tobera subsónica REGIMEN I
REGIMEN II p*/po 1
o T
3
2 o p
m
3
/ p
S
2
1 0
p*/po
pB / po
1
0
Figura Nº 9.28 : Funcionamiento de la tobera subsónica
pB / po
1
9- 40
Flujo compresible
Los valores de presión y temperatura en la sección “o”, serán constantes,
mientras que la presión de contrapresión PB será variable mediante una válvula. Analizaremos el efecto de la variación de pB sobre la distribución de presión a lo largo de la tobera. O: La presión pB es igual a po. La presión a lo largo del conducto es igual a po .
M=o
pB = po
=0
m
ps=pB
1: Al disminuir ligeramente PB con respecto a Po., se tiene un flujo a lo largo del conducto, con características subsónicas.
MS < 1
Ps/po=PB/po
2: Cuando la presión posterior PB disminuye hasta alcanzar en la garganta de la tobera el estado sónico, y representa el funcionamiento de una tobera en las condiciones de diseño.
MS = 1
pB / po = p*/ po
=m máx
m
ps / po = pB / po = p* / po
3: Un descenso posterior de P B, no tiene efecto alguno sobre el flujo dentro de la tobera, y se dice que la tobera está funcionando en condiciones de estrangulamiento. (a veces se denomina flujo “chocado”).
MS = 1
pB / po < p*/ po
=m máx
m
ps / po = p* / > pB/po
Una explicación:
Cuando se establecen condiciones sónicas en la garganta, el fluido en ésta región se está moviendo corriente abajo, tan veloz como la propagación de la presión puede moverse corriente arriba. De aquí que, las variaciones de presión resultantes de adicionales descensos de la presión posterior (pB) no puedan “comunicarse” hacia arriba a través de la garganta, la cual está actuando como una barrera. Por ello en éstas condiciones no pueden producirse cambios delante de la garganta . Cuando pB se reduce de nuevo, la presión del chorro continua permaneciendo en la presión critica en la salida de la tobera; existe ahora una diferencia de presión entre el chorro y los alrededores, condición solamente posible en un chorro libre cuando el flujo tiene un Mach igual o mayor que la unidad. Tiene lugar en el chorro un ajuste a la presión ambiente por medio de una serie de ondas de expansión. Los descensos posteriores de presión, producen solamente un aumento de la intensidad de las ondas de expansión Se observa de este modo, que una tobera convergente puede actuar como una válvula de corte, permitiendo solamente un cierto flujo másico máximo, para un conjunto dado de condiciones de estancamiento (po, To); como se vió al analizar la ecuación (9.44)
9- 41
Flujo Adiabático
RESUMEN:
Régimen I
Régimen II
pB / po > p* /po
pB / po < p*/ po
ps / po = p B / po
ps / po = p* / po
= f (po, To ) < m máx
=m máx
m
m
EJEMPLO 9.020: El aire de un tanque a 120 kPa y 300 K se descarga a la
atmosfera (p atm) a través de una tobera convergente que tiene un área de salida igual a 5 cm 2. a. Determine la descarga del aire en kg/h, cuando la presión atmosférica: p atm es igual a 101,325 kPa. b. Determine el flujo másico de aire que se descarga si la presión atmosférica es de 100 kPa, 90 kPa, 80 kPa y 70 kPa. c. Determine el flujo másico máximo que puede descargar la tobera, y cuál es la presión atmosférica que hace posible esta descarga máxima. d. Determine la presión patm, si se quiere una descarga de aire igual a 0,125 kg / s. e. Demuestre que el empuje de un motor cohete en el vacío viene dado por: 2
E
po As (1 k Ms )
k
(1
k 1
2
Ms 2 )
k 1
Donde, As es el área de salida; Ms es el número de Mach en la salida; po es la presión de remanso (estancamiento) en la cámara de combustión NOTE: que la temperatura de estancamiento no afecta al empuje.
9- 42
Flujo compresible
PROBLEMA:
TOBERA CONVERGENTE
OBJETIVO:
Determinar las propiedades del flujo en la se cción de salida Determinar el flujo másico que descarga la tobera Determinar la fuerza del chorro subsónico
DATOS: Fluido:
R=
287,13 J / kg K
k=
1,4
2
A = po =
120 KPa
To =
300 k
Vo =
0
o =
1,3931 kg/m
5 cm
pB =
m
101,325 KPa
3
ps = Ts = s=
Flujo Adiabático Reversible 273 = 1 +
Ts ANÁLISIS
k-1
Ms
2
=
2
120 p s
=
1,3931 s
CÁLCULOS
ps /po = pB/po = 0,84438 p*/po =
0,528282 Descarga subsónica
(ps > p* =>) Ms =
0,4976
ps =
101,33 KPa
Ts =
285,85 K
Ts =
12,845 °C
Cs =
338,98 m/s
Vs =
168,67 m/s
rs =
1,2345 kg / m 3
El flujo másico. 0,1041 kg/s La fuerza del chorro: F=
0 +
17,5609
17,561 N
RESPUESTA El flujo másico que descarga la tobera es de: La fuerza del chorro:
0,1041 kg/s 17,5609 N
Flujo másico máximo
9- 43
Flujo Adiabático
p atm [kPa]
100
95
90
85
80
75
70
65
60
55
50
m [kg/s]
0,1070 0,1163 0,1237 0,1295 0,1339 0,1371 0,1390 0,1399
0,14
0,14
0,14
I [N]
18,052 19,788 21,323 22,641 23,728 24,654 25,127 25,392
25,41
25,41
25,41
para p atm <
61 kPa,
para p atm =
89 [kPa], la descarga es de
DEMOSTRACIÓN
hace posi bl e de scargar el fl ujo mási co máxi mo = 0,125 kg/s
0,14 kg/s
9- 44 9.5.2 TOBERA CONVERGENTE DIVERGENTE
Flujo compresible
Flujo Adiabático
9- 45
Se mantienen fijas las condiciones de estancamiento, la presión posterior se varía mediante la válvula
La válvula se encuentra cerrada, y a lo largo de la tobera la presión es po, no existe flujo. Curva 0 La presión pB es elevada, permitiendo un flujo subsónico a lo largo de la tobera , y el flujo emerge como un chorro libre con una presión igual a la presión de los alrededores. Curva 1. Una disminución ulterior de la presión posterior p B se logra un estado con flujo sónico en al garganta y un retorno al flujo subsónico en la sección divergente de la tobera; curva 2, que es la curva límite para un flujo completamente subsónico a lo largo de la tobera, se señala como región II. Una disminución mayor de p B no afecta al flujo en la parte convergente de la tobera. El caudal, en consecuencia, no puede incrementarse después que se ha pasado la región I, y la tobera se considera que está operando en una condición de estrangulamiento; sin embargo, mas allá de la garganta existe de nuevo una expansión isentrópica supersónica. Curva 3, que está súbitamente interrumpida por una onda de choque plana. Después de la onda de choque se produce una expansión subsónica a la presión posterior. p B. Esta parte subsónica del flujo puede considerarse isentrópica si no ha tenido lugar un excesivo crecimiento de la capa límite, como resultado del desfavorable gradiente de presión de la onda de choque. Cuando se disminuye más la presión posterior (p B), la onda de choque se moverá corriente abajo, resultando más enérgica, puesto que la onda de choque tiene lugar a un número de Mach más elevado .Finalmente, aparecerá exactamente a la salida de la tobera , curva 4. Las curva 2 y la curva 4 forman las zonas límites donde las ondas de choque se encontraran en el interior de la tobera. Región II. Mayores descensos en p B, a partir de la presión más baja de región II, sacan la onda de choque fuera de la tobera, con el resultado que tenemos un flujo supersónico exactamente fuera de la tobera. La presión del chorro es ahora menor que la presión ambiente y la onda de choque antes mencionada se transforma en parte de un tipo oblicuo complejo durante el cual se produce un ajuste de la presión del chorro a las condiciones del medio ambiente. Curva 5. Cuando la presión posterior (pB) decrece de nuevo, las ondas de choque disminuyen en intensidad, hasta que se alcanza una presión en la que no aparecen ondas de choque apreciables; curva 6, que corresponde a las condiciones para las que fue diseñada la tobera. La ventaja de una tobera en condiciones de diseño es que se logra el mejor aprovechamiento energético. Así se forma otra región , señalada como región III, donde los tipos de onda se hallan fuera de la tobera , con un ajuste de presión en el chorro que tiene lugar desde un valor más bajo a uno más elevado, que es el de la presión ambiente. Se dice que en ésta región la tobera está trabajando sobreexpansionada.
Del descenso de p B por debajo de las condiciones de diseño, resulta la necesidad de un ajuste desde la más alta presión del chorro a la más baja
9- 46
Flujo compresible
presión ambiente, a través de una serie de ondas de expansión y ondas de choque oblicua que crecen en intensidad al disminuir la presión posterior. Así se forma la sección IV, donde la tobera se dice que trabaja subexpansionada.
RESUMEN :
0 :
Válvula cerrada. No hay flujo
I :
p2 / po < p B / po < 1 Flujo subsónico : En toda la tobera. p S / po = p B / po
2 : La curva 2 es límite del comportamiento subsónico de la tobera II :
p4 / po < p B / po < p 2 / po Parte convergente : Flujo subsónico Parte divergente : Flujo supersónico con onda de choque normal pS/po = pB/po pG/po = p*/po =m máx ; insensible a las variaciones de p B. m
4 :
pB / po = p 4 / po
Localiza la onda de choque justamente en la sección de salida de la tobera. III : p6 / po < p B / po < p 4 / po Parte convergente : Flujo subsónico Parte divergente : Flujo supersónico con onda de choque 0blicuo fuera de la tobera pS/po < pB/po pG/po = p*/po = Constante =m máx ;= Constante. m 6 :
pB / po = p 6 / po
IV :
Condición de diseño de la tobera. El flujo es isentrópico dentro y fuera de la tobera. Se logra el mejor aprovechamiento energético. p7 / po < p B / po < p 6 / po Parte convergente : Flujo subsónico Parte divergente : Flujo supersónico con onda de expansión 0blicuo fuera de la tobera
Ejemplo : Analice el funcionamiento de una tobera de motor a chorro; cuando trabaje sobre-expansionada y sub-expansionada. En un avión de motor a chorro, el objeto de la tobera es doble : 1. Funcionando en su condición de estrangulamiento, limita el caudal a un valor que es el propiamente adecuado para las exigencias de los otros
9- 47
Flujo Adiabático
componentes del sistema del motor a chorro. El tamaño de la sección de garganta es la variable de control. 2. Buscar un flujo que produzca el empuje más grande compatible con la resistencia al avance exterior y con las condiciones estructurales. p
p p amb
p amb B
A
B
A
Vuelo a.1 Sobre-expansionada
Vuelo a.2 Sub -expansionada
Considerando solamente el flujo interno :
Tobera sobre-expansionada : Nótese que entre las secciones A y B la presión interior de la tobera es menor que la ambiente, aportando un empuje negativo en la dirección del vuelo. Suprimiendo ésta sección de la tobera, se incrementaría el empuje a su máximo valor. Tobera sub-expansionada : La presión de salida supera a la presión ambiente; ahora, si la tobera fuese alargada, de modo que la expansión llegase a la presión ambiente, se produciría un empuje adicional. Posición de la onda de choque Cuando se produce un choque en el interior de la tobera supersónica, su posición se puede determinar de la siguiente manera : Partiendo de las condiciones conocidas en la garganta y en salida, considérese unas condiciones de flujo isentrópicas hacia el interior desde ambos extremos de la sección divergente de la tobera. En alguna sección a lo largo de la parte divergente de la tobera, existirá una posición donde el flujo subsónico, calculado a partir de las condiciones en la salida, y el flujo supersónico calculado a partir de las condiciones en la garganta: tendrán relaciones correspondientes a aquéllas que existen a ambos lados de una onda de choque normal.
9- 48
Flujo compresible
P. 9.021 :
Una boquilla convergente-divergente con un área de garganta de 0,0013 m 2 y un área de salida de 0,0019 m 2, se conecta a un tanque ( D = 3 m. H = 15 m) que contiene aire a una presión absoluta de 552 kPa y una temperatura de 15 ºC.
po = 552 kPa
pB
To = 288 k
481,88 kPa
p* = 291,6216 kPa 344,649 kPa
p* / po = 0,5283
93,156 kPa
a. Determine las presiones p 2 y p6. b. Determine la presión p 4. c. Si la boquilla opera en condiciones de diseño, determine la presión en la garganta. d. Demuestre que para el cálculo del flujo másico en la zona I, puede utilizarse la siguiente ecuación:
m
R To A po
2
K
k 1
p / po
Válida para flujo no bloqueado en la boquilla
2 / k
1 p / po
k 1 k
[a]
9- 49
Flujo Adiabático
e. Demuestre que para el cálculo del flujo másico en la zona II, puede utilizarse la siguiente ecuación
m
To
A * po
K R
2 k 1
k 1
2( k 1)
[b]
Válida para flujo bloqueado en la boquilla f. Para el cálculo del flujo másico máximo, ¿recomendaría la ecuación [a]?, ¿Por qué? g. Para el cálculo del flujo másico máximo, ¿recomendaría la ecuación [b]?, ¿Por qué? h. Si se considera la ecuación [a], se observa que el flujo másico descargado es sensible a la relación p / po.es decir el valor del flujo másico depende del valor de p/po. Mientras que el miembro derecho de la ecuación [b], es constante Para el valor de la contrapresión p B = 100 kPa, haga uso de las ecuaciones [a] y [b] para hallar el flujo másico en kg/s. Opine respecto a los valores hallados.
9- 50
Flujo compresible
P. 9.022 : Un pequeño cohete está equipado con una tobera convergente que, para ciertas condiciones de funcionamiento despide una mezcla de combustible y oxidante a razón de 5 kg / s. Las propiedades del gas, producto de la combustión se estiman en k = 1,3 y R = 83,14 J/kg-K. La temperatura de combustión es de 2500°C y la presión absoluta interior es de 35 bar; y descarga hacia la atmósfera donde p amb = 1 bar. Considerando que los acoplamientos flexibles y los rodamientos de soporte presentan una fuerza horizontal insignificante calcule el empuje neto de propulsión de la tobera
GASES
· pa = 1 bar
Po = 35 bar To = 2 500ºC ps
Solución De la ecuación de cantidad de movimiento: p S
p a
po
1
po
2 p0 k 1 p
*
35 k
k 1
E pS AS
0,02857 descarga subsónica
2 1,3 1
[a]
Vs m
como:
p S
p0
p * p0
;
1,3 1, 3 1
0,5457
el flujo está chocado
Las propiedades del flujo en la salida son las condiciones críticas. T 0
De:
T
p M 0 2 p
k 1
1
T 0 T *
k 1 k
2
k 1
1
0 p
2773
2
T *
k 1
1
1,3 1 2
1,15
TS = T* = 2 411 K ps = p*= 0,5457 x 35 bar = 19,099 5 bar * = 19 099 50 Pa / (83,14 J/kg-K x 2 411K) = 9,5283 kg / m 3 Vs V * C * 1,3 x 83,14 x 2411 510,476 m / s La descarga es el flujo másico máximo: 5
kg s
9,528 3
kg m
3
510,48
m
m s
V A
AS
As = 0,001028 m 2
Reemplazando valores en [a]: E = (19,1 - 1) x 10 5 Pa x 0,01028 m 2 + 5 kg/s x 510,48 m/s E = 1861 N + 2552 N = 4413 N.
9- 51
Flujo Adiabático
P. 9.023 : El cohete del ejemplo anterior es equipado con una sección divergente adicional de tal manera que la presión de salida resulta reducida exactamente a la presión ambiente (expansión completa). a. Determine el empuje neto bajo estas condiciones y el área de salida. b. Si el área de salida de la tobera es disminuida en un 15% con respecto al área
necesaria para la expansión completa, ¿Aumentará o disminuirá el empuje neto?. ¿En cuánto varia?. AG
GASES
po = 35 bar To = 2 500ºC
pa
ps
SOLUCIÓN De la ecuación de cantidad de movimiento:
E p s As
Vs m
(a) Como la expansión es completa, la tobera funciona en la curva seis T 0
Luego:
T S
1
k 1
2
M S
2
k 1 k
p 0 p S
0 p S
k 1
0 = 3 500 000 Pa / (83,14 J/kg-K x 2773 K) = 15,1813 kg / m 3 2773 T S
Así:
1
k 1
2
M S
2
1,3 1 35 1,3
1
15,1813 S
0,3
Ms = 2,91 Ts = 1221 K S = 0,985 3 kg / m3 Cs
1,3 x 83,14 x 1221
363,27 m / s
Vs = Ms Cs = 2,91 x 363,27 m/s = 1057 m/s De:
m 5
kg s
V A
0,9853
kg m
3
Reemplazando valores en [a]:
1057
m s
AS
As = 0,0048 m2
E = 0+ 5 kg/s x 1057 m/s = 5 285 N
% de incremento de E = 100 (5285 – 4413) / 4413 = 19,76 %
[a]
9- 52
Flujo compresible
(b) Disminución del área de salida en 15%, nueva área de salida de la tobera A’s
[b]
A’s / A* = 0,85 (As / A*)
A partir de las ecuaciones del ejemplo anterior: p k 1 2 M A o 1 M R 2 T o K
m
K
max m
R
k 1 2
p o
A *
T o
( k 1) 2( k 1)
( )
( k 1) 2( k 1)
Se obtiene: A A *
k 1 2 1 M 2 k 1 2
1 M
k 1
2 ( k 1)
[c]
Para Ms = 2,91: 1,3 1 1 (2,91) 2 1 2 1,3 1 2,91 A * 2
1, 31 2 (1, 31)
AS
En [b]:
4,65967
A’s / A* = 0,85 (4,65967) = 3,9607 1,3 1
En ( c):
3,9607
1 M S
2 1 2 M S 1,3 1 2
1, 31 2 (1, 31)
Ms = 2,766 1, 3 1
1,3 1
35 1,3 15,1813 (2,766) p S S
Luego :
2773
Así:
Ts = 1291,20 K. ps = 1,2752 bar. S = 1,18792 kg / m3
T S
1
2
1,3 1
2
Cs 1,3 x 83,14 x 1291,20 373,57 m / s
Vs = Ms Cs = 2,766 x 373,57 m/s = 1033 m/s El flujo másico:
1,18792 m
kg m3
1033
m
s
0,85 0,0048 m
2
Reemplazando valores en [a]: E = (1,2752 - 1) x 10 5 Pa x 0,00408 m2 + 5 kg/s x 1033 m/s E = 112 N + 5165 N = 5277 N.
5,006655
kg s
9- 53
Flujo Adiabático
P. 9.024 : De un depósito que se encuentra a una presión absoluta de poy = 4,5 bar y To = 444 K, fluye aire a través de una tobera supersónica cuya área de garganta es 6,45 cm2 y área de salida 19,5 cm 2. a. Calcular p, T y V del flujo en la salida de la tobera; cuando se produce una onda de choque en una sección de área igual a 12,9 cm 2 b. ¿Qué valor de contrapresión (p B) localizara la onda de choque normal justamente en la sección de salida de la tobera?. c. ¿Qué valor de contrapresión (p B), producirá un flujo totalmente isentrópico tanto interior como exterior a la tobera? AG = 6,45 cm2
A = 12,9 cm2 x y
AS = 19,5 cm2
po = 4,5 bar
m
pB
To = 444 k
pS T, h Ox
po x
OY
po Y To, ho
S
pS
Y
pY
A*x p*X
X
p*Y
px
A*Y S SX
SY
i) Con la relación : TABLAS S 0
A x AG
A x A *
12,9 6,45
K 1, 4
2,0 .
Mx
=
2,20
px / poX =
0,09352
Tx / To
0,50813
=
9- 54
Flujo compresible
TABLAS
ii) Onda de choque, con
0,547
py / px
5,48
T y / T x
1,8569
poy / pox poy / px
Con :
M y
0,55
K 1, 4
M x 2,20 M y
CHOQUE
0,62812
6,7163
S TABLAS K 1,4
*
A y / A y
p y / po y T y / T o
1,2550
0,81416
0,94295
iii) Sección de salida de la tobera : A y As · * * A y A y Ay As
1 ,2550
19,5
12,9
1,8971
S TABLAS K 1, 4
M s
0,33
ps / poy Ts / To
0,92736
097868
Ahora : ps
ps
ps
Ts Cs Vs
poy
poy pox
· pox
0,92736 x 0,62812 x 4,5 bar
Ts
·
To
To
0,97868 x 444 k
1,4 x 287 x 434,5 0,33 x 418 m / s
2,61 bar 434,5 k
417,98 m / s
137,94 m / s
b. El flujo presenta onda de choque justamente en la salida : curva 4 AG = 6,45 cm2
po = 4,5 bar
AS = 19,5 cm2 x y
m
pB
To = 444 k
pS
pB = p4 = p y
9- 55
Flujo Adiabático
A x AG
As
A *
19,5
TABLAS
6,45
3,023
M x
2,64,
px / pox Tx / To
0,04711
0,41772
TABLAS
Con
M x
S K 1, 4
2,64
My
choque K 1, 4
0,50048
py / px
poy / pox
7,9645
0,44529
Luego : p B
p B
p 4
pS
py
py
px
·
px pox
7,9645 x 0,04711 x 4,5 bar
· pox
1,688 bar
c. De la figura 9.29 : - El flujo totalmente subsónico en la tobera y fuera de la tobera, está dado por la condición de p2 pB < po .
- Flujo subsónico en la parte convergente y flujo supersónico en la parte
divergente de la tobera. Sin onda de expansión ni onda de compresión fuera de la tobera : pB = p6.
TABLAS
As
AG
19,5 6,45
k 1, 4
3,023
SUBSÓNICO
Ms = 0,20 ps / po = 0,92750 p2 = 0,97250 x 4,5 bar = 4,376 bar
S
SUPERSÓNICO
Ms = 2,64 ps / po = 0,04711 pB = p6 = 0,04711x 4,5 = 0,211995 bar.
9- 56
Flujo compresible
P. 9.025 : De un depósito que se encuentra a condiciones absolutas de poy = 4,5 bar y To = 444 K, fluye aire a través de una tobera supersónica cuya área de garganta es 6,45 cm2 y área de salida 19,5 cm 2.
AG = 6,45 cm2
AS = 19,5 cm2
po = 4,5 bar
m
pB
To = 444 k
pS
a. Determinar el rango de contrapresión p B , en que la tobera trabaja sobre-
expansionada y sub-expansionada. b. Si pB abs. = 2,1 bar. ¿Se produce onda de choque dentro de la tobera?. Determinar el valor del área donde estaría ocurriendo.
solución Considerando los resultados del ejemplo anterior :
p2 = 4,376 bar p4 = 1,688 bar p6 = 0,212 bar A. Según la figura 9.29 : a.1. Sobre-expansión :
p6 < pB < p 4 0,212 bar < pB < 1,688 bar.
Ondas de choque fuera de la tobera a.2. Sub-expansion :
pB < p 6 pB < 0,212 bar
Ondas de expansión fuera de la tobera
9- 57
Flujo Adiabático
p
p p amb
p amb B B
A
A
Vuelo
Vuelo
a.1 Sobre-expansionada
a.2 Sub -expansionada
a. Funcionamiento de una tobera B. Onda de choque dentro de la tobera : P 4 < pB < p2 1,688 bar < p B = 2,1 < 4,376 bar
Se está produciendo onda de choque dentro de la tobera AG = 6,45 cm2
A x
po = 4,5 bar
AS = 19,5 cm2 y
m
pB = 2,1 bar
To = 444 k ps T, h Ox
po x
OY
po Y To, ho
S
pS
Y
pY
A*x p*X
X
p*Y
px
A*Y S SX
SY
9- 58
Flujo compresible
i)
En la sección de salida de la tobera : *
po x · A x
*
poy · A y
p s
pox
·
As
p s poy
*
A x
·
As *
A y
La onda de choque normal se produce en la sección A, para que en la salida se tenga ps = pB = 2,1 bar Como :
ps = p B
2,1
·
4,5
A*x = A G
19,5
6,45
p s poy
pox = po
As
·
* A y S
TABLAS
1,4109
ps poy
·
As
K 1, 4
*
A y
M s p
S
0,40
poy AS
0,89562
1,5901
*
A y Ts
To
ii)
0,96899
En la seccion después del choque normal : Seccion A
CHOQUE
poy
poy
pox
p S
·
p S pox
1
2,1
0,89562
4,5
TABLAS
0,52105
K 1, 4
Mx = 2,45 My = 0,52 iii)
En kla seccion antes del choque normal : Seccion A
Con
TABLAS
S K 1, 4
M x 2,45
Ax / A*x = 2,5168 = A / A G Luego :
A = (A x / A*x ) A*x
=
2,5168 x 6,45 cm 2 = 16,233 cm2
9- 59
Flujo Adiabático
P. 9.026:
Una tobera supersónica se diseña para una relación de presiones igual a pB / po = 0,12. Si el fluido es aire (k = 1,4; R= 287 J / kg-K). a. Calcular el valor de la contrapresión
la sección de salida de la tobera.
pB, que localizará la onda de choque en
pB / po = 0,60:
b. Para
b1. ¿Se producirá onda de choque dentro de la tobera?. b2. Si la divergencia de la tobera es uniforme y L la longitud de la parte divergente, determinar la posición de la onda de choque respecto a la garganta .
SOLUCIÓN Condiciones de diseño, son tales que en la parte convergente de la tobera se tiene flujo isentrópico subsónico, y en la parte divergente flujo isentrópico supersónico; y no se presenta ondas de choque ni ondas de expansión fuera de la tobera. El flujo supersónico es descargado con ps = p B . La curva correspondiente es la curva 6 En la sección de salida de la tobera :
p
S
po
p B
TABLA
0,12
p o
S
K
0
1, 4
M x AS *
2.04
1,7452
A
a. Onda de choque normal, justo en la salida de la tobera : curva 4. T AG
po x
AS x
po Y To
y
po
pS pY
m
To
pB Y
p*X
L
S p*Y
X px
A*S SX
SY
S
Para que una onda de choque se localice en La salida de la tobera, se requiere que :
p
B
p y
p 4
p
6
9- 60
Flujo compresible
Luego, TABLA
Con
M x
2,04
O. de choque K 1, 4
M y
p y
p x A y
0,57068
4,6886
1,7452
*
A y
po y
0,70218
po x po y
5,8473
po X
ahora :
py
p y
p x
p x
po
p y
0,5625 po
po
4,6886 x 0,12 x po
p B
p4
B. Para pB / po = 0,60 b1. La onda de choque se produce dentro de la tobera, para la siguiente condición : p 4 po
i) De la parte (a)
p 4
p
p
B po
S
po
p 2
( )
po
0,5625
p o
ii) De la condición de diseño : ps / po = 0,12
Con
AS
* AS
TABLA
1,7452
S
K
1, 4
M S p 2 p o
luego, en ( ) :
0,5625 < 0,60 <
0,36
0,914 33
0,91433
Se produce onda de choque dentro de la tobera
9- 61
Flujo Adiabático
T
A
AG x
po
po S To
AS y
pS S
po pB To
pY
A*
ps
Y
p*X
L X
p*y
px
A* s SX
SY
S
b.2 La posición de la Onda de choque: Divergencia de la tobera: A
AG
A
AS –
r s
r r *
m
X L Caso a Si es el caso ´(b):
caso b
Por semejanza de triángulos
r - r* r s - r X L
9- 62
Flujo compresible
*
r r
r s
x
*
r
L
L
r x
* r r s
r s
*
r
1
( )
L
* r
i) De las condiciones de diseño :
*
r r
x
1
As /A* = 1,7452
ps / po = 0,12
r S / r* = (1,7452) ½
= 1,321
II) determinación del área en la sección de choque :
*
po x · A x
*
poy · A y
*
poS · AS
p s
pox
·
As
p s
po
*
A x
S 0 TABLAS K 1,4 0,60 1,7452 1,047 M S 0,537 A
s 1,2703 * A p s po s
Ahora
poy pox
poy pox
p
s pox p s
poy p s
p
s po
TABLA
1
poy
0,8218
0,60 0,73
0,8218
O , Choque K
1, 4
M x M y
TABLA
Con
M x 1,98
r x / r x* =
S
0
K 1, 4
AS
1,6597
* A
(A /A*) 1/ 2 = (1,6597) 1/2 = 1,288
Reemplazando en ( ) :
1,98
0,58
·
As *
S
AS
9- 63
Flujo Adiabático
x
1,288
1
1,321
1
x = 0,8972 L
L
9- 64 9.4
Flujo compresible
FLUJO FANNO
Considere el caso de un ducto de sección constante y sin conducción de calor, pero donde hay fricción interna, entre las partículas fluidas, y entre el fluido y la pared interiores del conducto. 9.4.1 -
CONDICIONES Y LIMITACIONES Flujo estable y uniforme, estado estable Adiabático Con fricción Compresible y unidimensional Área constante A No hay trabajo mecánico Adicionalmente: gas ideal
Ff FA
X
Ff V1 p1 T1
V2 p2 T2
L
X1
X2
Fig. 9.22 . Flujo Fanno 9.4.2 ECUACIONES DE PARTIDA
Considerando el volumen de control de la figura 9.22, donde aparecen la fuerza de fricción Ff y la fuerza de arrastre FA: m
- Continuidad:
A
1 V1
2 V2
G
const ,
siendo G el gasto másico. - Momentum:
p1 A G AV1 F f
( p1 p2 )
F f A
F A A
FA
G ( V2
p2 A G AV 2
V 1 )
[ 9.61 ]
9- 65
Flujo Adiabático
en forma diferencial:
dp
dF f
dF A
A
A
G dV
[ 9.62 ]
En este caso en particular no existen objetos dentro del flujo y F A = 0 - Ecuación de D’Arcy – Weisbach, para pérdidas por fricción:
dF f A
dp f
f
dx
V
Dh
2
[ 9.63 ]
2
donde: dp f = caída de presión por fricción f Dh
= coeficiente de fricción, f = f (Re, e / D, M). = Diámetro hidráulico = 4 A / θ es el perímetro del ducto. p
- Ecuación de estado: F( p, ρ, T) = 0; - 2da ley de la termodinámica:
T
R
const
S2 > S1 2
- Ecuación de energía (1 era ley): h1
Para gas ideal: C pT
para gases ideales.
V
V1
2
2
h2
V 2
2
h0
cte
2
2
cte
9.4.3 RELACION ENTRE PROPIEDADES 9.4.3.1
Variación del número de Mach con la longitud
Combinando las ecuaciones (9.62) y (9.63), con las condiciones G = ρ V y FA = 0 :
= ℎ 2 = 2 ℎ d p acele
d p fricc
[ 9.64 ]
9- 66
Flujo compresible
Interpretada como que la caída total de presión se debe a los efectos de aceleración (dpacel) y fricción (dpf ) Considerando la velocidad del sonido y la ecuación del gas perfecto, y la definición del número de Mach: C2 = KRT p
T
R
= =
const
M = V / C
Dividiendo (9.64) entre la expresión anterior, resulta:
= ℎ 2
de donde:
=
[ 9.65 ]
Relación que incluye el efecto de fricción.
kp
2
C
dp p
f
V
M
KM 2
2
2 Dh
, resulta:
dx
K M 2
dV
V
relación que incluye el efecto de fricción. Gas perfecto: pV
p =
RT
ρ R T
G
y
Continuidad:
ρV
= G
=
cte
pV= GRT
diferenciando logarítmicamente:
dp p
dT
T
dV
V
[ 9.66]
9- 67
Flujo Adiabático
relación válida para cualquier gas ideal que fluya por un ducto de sección recta constante. Considerando la ecuación de energía, para un flujo adiabático: 2
h1
V1
2
2
h2
V 2
h0
cte
ℎ1ℎ2 2 = 0 2
.- dh - V dV = 0 Gas ideal:
h = Cp . T Cp . dT + V dV = 0
Considerado la definición del número de Mach y la velocidad del sonido; M = V / C,
C = [KRT]½:
M2 KRT = i)
V 2 =
= 0
Dividiendo por ésta expresión, se tiene:
1 1 = 0
= 1 ii)
Diferenciando: M 2 K R T = V 2
2 =2 2 [ 1 ]=2 2 1 2 = 0
Introduciendo (9.67):
[ 9.67 ]
9- 68
Flujo compresible dV
De donde:
2dM / M
[9.68]
( K 1) M 2 2 que incluye la condición de flujo adiabático. V
Reemplazando (9.66) en (9.65):
= = 2 ℎ 1 = 2 ℎ = 2 ℎ 1 = 2 ℎ = 2 ℎ 1 2 21 4 1 2 1 = ℎ (− = +− )
Introduciendo (9.67):
Utilizando la ecuación (9.68):
Finalmente:
[ 9.69 ]
donde se establece el cambio dM que sufre el número de mach cuando el flujo recorre un trecho de tubería de longitud dx. La ecuación anterior será integrable únicamente conociendo la dependencia funcional de f. Suponiendo que f sea constante al igual que Dh , y considerando las 2 secciones de la figura 9.22, se llega a:
9- 69
Flujo Adiabático
− − +− = = +− [ 9.70 ]
f
x2 x1 Dh
f L Dh
1 k
(
1 M12
1 M 22
)
( k 1) 2K
Ln
M12 2 ( K 1) M 22
M12 2 ( K 1) M 12
De la ecuación anterior se puede establecer que:
= +− = 9.4.3.2
[ 9.71 ]
Otras relaciones y estado referencial
Integrando la relación (9.68) entre los dos estados de la fig.9.22 y procediendo de manera similar a la deducción de (9.71), se llega a:
V
cte.M 1/ 2 ( K 1) 2 1 M 2
[ 9.72 ]
Reemplazando (9.68) y (9.69) en la ec. (9.65), e integrando en forma similar:
p cte. M
1 1/ 2 ( K 1) 2 M 1 2
[ 9.73 ]
De la relación (9.18), condición de estancamiento, y para un flujo adiabático:
T
1 cte. ( K 1) 2 1 M 2
[ 9.74 ]
9- 70
Flujo compresible
Para hallar la relación entre dos estados, basta usar las tres ecuaciones anteriores despejando la constante. Como estado referencial conviene escoger aquel en el que M=1 , y al que se llega mediante un proceso Fanno; este estado se llama ESTADO CRITICO FANNO, y aunque se denota también con un asterisco, en esencia es diferente al estado crítico isentrópico. Usando este concepto se puede establecer las siguientes relaciones: a) Relación de presiones: 1/ 2
K 1 1 p 2 ( K 1) p * M 2 1 M 2
1
1/ 2
2 M 2 ( K 1) M K 1
[ 9.75 ]
b) Relación de temperaturas: K 1 T K 1 2 2 ( K 1) 2 ( 1) T * K M 2 1 M 2
[ 9.76]
c) Relación de velocid ades: 1/ 2
K 1 M 2 V * 2 ( K 1) M V
[ 9.77 ]
d) Relación de densidades: *
(
1/ 2
V V
*
) 1
1 2 ( K 1) M 2 M
( K 1)
[ 9.78 ]
e) Presiones de estancamiento:
+ [ ] − 21 ⌈ ⌉
∗ = 1 1
[ 9.79 ]
9- 71
Flujo Adiabático
La gráfica de éstas relaciones se muestran en la figura 9.23
Figra 9.23 f) Cambio de Entropía: Usando h = p/ρ + u en la ecuación [9.02] despejando dp de la ecuación [9.64]
resolviendo para ds, se llega a:
9- 72
Flujo compresible
= − − +
[ 9.80 ]
e integrando la relación anterior, se puede llegar a :
S
S* R
K 1 2 2 ( K 1) M
K 1
2
1/ 2 2 ( K 1) M 2 ) M [ 9.81 ] ( K 1)
Según la segunda ley de la termodinámica, en un proceso adiabático ds ≥ 0; el estado de equilibrio final se hallará cuando la entropía sea máxima y ya no pueda crecer, o sea ds =0. Según la ecuación (9.81) ese estado se alcanza al llegar a M = 1, o sea que el estado final de un Flujo Fanno tenderá siempre a ser el estado sónico, aunque el estado inicial sea subsónico o supersónico. Como el flujo progresa en la dirección positiva de x (fig. 9.22), S aumenta con x, y habrá un x máximo, que corresponde a Smaximo , donde se alcance M = 1 ; si Lmax = xmax – x1 , M1 = y M2 = 1 en la ecuación [9.69], se tiene :
= 1 + relación que se ilustra en la fig. 9.23 9.4.4 Graficos h-s y h-v
+ +−
[ 9.82]
9- 73
Flujo Adiabático
Fig 9.24 Como h0
Resulta
h
h0
V
2
2
h
cte
V
G
,
G
2
2
[ 9.83 ]
ecuación que sirve para graficar el proceso en el plano h vs 1/ fig 9.25
Fig 9.25 Observando la misma curva en el plano h-s, figura 9.24, se nota que el punto de máxima entropía, en el cual M = 1, confluyen dos ramas: una supersónica y otra subsónica. Esto se pude interpretar como que el Flujo Fanno es inestable, y que el Estado Crítico Fanno es su estado de estabilidad. Yendo al grafico 9.23, se nota que la tendencia de las curvas en la zona subsónica es de izquierda a derecha ya que deben dirigirse hacia M = 1. Este hecho permite confeccionar la tabla 9-1
9- 74
Flujo compresible
Tabla 9.1 FLUJO FANNO Propiedad subsónico supersónico M
crece
Decrece
V
crece
Decrece
P
decrece
crece
T
decrece
crece
ρ
decrece
crece
To
constante
Constante
h ho S
La figura muestra una tobera subsónica que alimenta a un tubo, el cual en su extremo final alcanzó M = 1 M=1
M≤1
L máx.
L
M=1
< Si al tubo existente con Flujo Fanno y L max se agregara otro tramo según lo muestra la ecuación (9.64) cada dx adicional tendería a aumentar la caída total de presión, y como esta está ya fijada por las presiones de entrada y descarga, la misma ecuación (9.64) indica que será necesario un reajuste del parámetro G para el nuevo valor de Lmax .
9- 75
Flujo Adiabático
Si el tramo del tubo, que es L máximo, se recorta, entonces en la salida del tubo con Flujo Fanno se tiene un número de Mach menor que 1. M<1 G
Si se tiene un flujo supersónico:
M=1
L máx. G
Si al tubo existente con Flujo Fanno y L max se agregara otro tramo X
G
y
M=1
G
Se produce una onda de choque en una sección tal que la distancia después de la onda de choque es la necesaria para alcanzar M = 1 en la salida. Un tramo más, la onda se hace cada vez más severa; si se continúa, la onda de choque desaparece en la garganta, y a partir de ese momento el flujo másico empieza a disminuir. po h
Y FANNO
p* ONDA DE CHOQUE
X S
S
S máx.
9- 76
Flujo compresible
P. 9.027 : Una tobera convergente está conectada por una tubería larga a un tanque grande que contiene GLP, 60[%] de Propano y 40 [%] de Butano. El caudal másico a través de la tobera, que está bloqueada, es de 4,5 kg/s. El diámetro interior de la tobera es de 6,5 mm. Tubería: L = 7,62 m. Di =7,62 cm. Tobera Po =
f = 0 0062
x
To = 38 [°C]
Plano 1
Plano 2
OBJETIVOS
a. Trace un diagrama T-s. b. Calcule las presiones estática y de estancamiento en los planos 1 y 2.
P. 9.029 : A través de una tubería fluye gas natural (metano), comprimido a una presión de p 1 = 60 [bar] y temperatura T1 = [300 K]. la longitud de la tubería es L = 7 [km] y su diámetro D. el gas sale en el otro extremo de la tubería con una presión p2 = 10 bar. La velocidad del flujo de entrada es V 1 = 45 m / s. Si se supone que el flujo es adiabático, calcule: OBJETIVOS
a. La temperatura T2 del flujo de salida, b. Los números de Mach M 1 y M 2 del flujo que entra y del que sale y c. El valor de fricción de de Darcy f para este flujo.
9- 77
Flujo Adiabático
DATOS
ANÁLISIS ECUACIONES
CÁLCULOS
9- 78
Flujo compresible
RESULTADOS
EVALUAR EL RESULTADO
P. 9.028 : La figura muestra una tobera subsónica que alimenta a un tubo, el cual en su extremo final alcanzó M = 1 M=1
M≤1
L máx.
Flujo Adiabático
9- 79
9- 80
Flujo compresible
P. 9.029 : A través de una tubería fluye gas natural (metano), comprimido a una presión de p 1 = 60 [bar] y temperatura T 1 = [300 K]. la longitud de la tubería es L = 7 [km] y su diámetro D. el gas sale en el otro extremo de la tubería con una presión p2 = 10 bar. La velocidad del flujo de entrada es V 1 = 45 m / s. Si se supone que el flujo es adiabático, calcule: OBJETIVOS
d. La temperatura T2 del flujo de salida,
9- 81
Flujo Adiabático
e. Los números de Mach M 1 y M 2 del flujo que entra y del que sale y f. El valor de fricción de de Darcy f para este flujo.
DATOS
ANÁLISIS ECUACIONES
RESULTADOS
CÁLCULOS
9- 82
Flujo compresible
9- 83
Flujo Adiabático
P. 9.030 :
Con un equipo experimental que comprende una tobera
convergente-divergente unida a un tubo, fueron obtenidos los siguientes datos con el propósito de medir el coeficiente de fricción para el flujo supersónico de aire. VER FIGURA. Se desea calcular el coeficiente de fricción promedio entre las secciones [1] y [2]. Para ello se asumirá que el flujo hasta la garganta de la tobera es isentrópico y que el flujo en todo el sistema es adiabático. p 2 abs = 37,1 cm Hg
p 1 abs = 18,25 cm Hg
D G = 0,2416 m
2
1 G
SECCI N DE PRUEBA
F
Ms =1
M>1
po To
D= 0,5009 m
f = ¿? S = 0
S
D D FANNO ADIABÁTICO
po = 516 cm Hg abs To = 107,3 °F SOLUCIÓN
Flujo adiabático, ecuación (9.35): po1 A*1 = po2 A*2 =
po x A* = po x A G
Secció n 1:
∗ = ∗ = → 18,5,1265 [0,0,52009416] = 0,1520272
Con este valor de 0,152, se ingresa a las Tablas de Flujo Adiabático ( esta función está en Tablas de Flujo Isentrópico) y se obtiene M 1 = 2,534
9- 84
Flujo compresible
Con M1 = 2,524: se ingresa a las Tablas de Flujo Fanno Fanno k = 1,4 Secció n 2:
∗ = 0,2878 á. = 0,4371
se utiliza el siguiente algoritmo
⁄ ∗ = ⁄ ,, = ,⁄∗ ∗ ∗ = 0,5850
Fano
K = 1,4
M 2 = 1,542
á. = 0,4371
El valor promedio del coeficiente de fricción entre las secciones (1) y (2):
̅ ∆ℎ = [ ∆ℎ] [ ∆ℎ] ̅ 29,6 1,ℎ 75 ℎ = 0,43710,1512 = , Este valor promedio se usará siempre, ya que la misma incertidumbre sobre su tamaño, no justifica afinar más el cálculo. Para flujo subsónico: f = f del Diagrama de Moody. Para flujo supersónico: f = ½ f del Diagrama de Moody. Fuente: J. H. Kenenan, E.P. Neuman. “ Measurements off Friction in Piper for Subsonic and Supersonic Flow of Air”.
9- 85
Flujo Adiabático
PROBLEMAS
9- 86
Flujo compresible
Flujo Adiabático
9- 87
9- 88
Flujo compresible
9.4.5 Calculo de un flujo Fanno Datos: G, To, L o M1 -
se halla Lmax, usando la ec.(9.82) y luego se asume
Fig9.26 Esa longitud hipotética igual a Lmax - se asume f inicial - Para un x dado, x [0, L], se halla M - con M se halla p y T - con p se halla v para la capa limite - se calcula Reynolds, Re = GDh/u - en el diagrama de Moody se calcula f - si f f inicial se realiza una iteración - si f = f inicial , se calcula además para el y dado los valores de
,
V,
o
, etc
Nota: en general, por análisis dimensional resulta f = función ( Є/Dh , Re , M ); sin embargo se simplifica suponiendo f = f ( Є/Dh , M); si además se considera f = cte = dato , se procede al cálculo sin necesidad de la iteración .
9.4.6 Solución mediante Tablas En forma análoga al flujo isentrópica, se pueden formar tablas del flujo Fanno basadas en el estado crítico Fanno, que se apoya en la relaciones (9.74) a (9.78) y (9.82) correspondientes a la gráfica 9.23
9- 1
Flujo Adiabático
Ejemplo 9.46: Determinar la máxima longitud sin la presencia de onda de choque, para el flujo adiabático de aire, en un ducto de 10 cm de diámetro y factor de fricción igual a 0,025. Las condiciones aguas arriba son de p = 2 bar, T = 50ºC, V = 200 m/s. Determine las condiciones de presión y temperatura en la sección de salida.
Solución 1
2 Lmáx
D = 10 cm
f = 0,025
T1 = 50ºC V1 = 200 m/s p1 = 2 bar M 1
En la sección [1]:
M 1
V1 C 1
V1
V 1
k R T 1 20,045
200 20,045
T2 = ¿? p1 = ¿?
(273 50)
T1
0,555
Usando la ecuación:
donde Lmáx es la longitud añadida ala sección 1 para tener en la salida M 2 = 1,0. Esto debido a que el flujo Fanno es un flujo inestable y la fricción lo lleva hacia su estado estable, que es el ESTADO CRITICO FANNO.
Si la longitud del ducto fuese incrementado; el valor de M1 decrecería hasta un valor tal que en la salida se continúe teniendo M 2 = 1,0. el resultado es la reducción del flujo másico, y se denomina flujo chocado por fricción. En la sección [2] se tienen condiciones críticas:
9- 1
Flujo Adiabático
Ejemplo 9.47: Dada la configuración de flujo que se muestra, encontrar los valores de presión, temperatura y velocidad en la sección [2]. p1 = 1,4 bar A1 = 30,5 cm 2 M1 = 0,5
1
M2 = 1
2
To = 333 K aire
CON FRICCIÓN
ISENTROPICO ADIABATICO
T2 = ¿? p2 = ¿? V2 = ¿? Solución
9- 2
Flujo compresible
Ejemplo 9.48: Con un equipo experimental que comprende una tobera convergentedivergente unida a un tubo liso, fueron obtenidos los siguientes datos con el propósito de medir el coeficiente de fricción para el flujo supersónico de aire. VER FIGURA. Se desea calcular el coeficiente de fricción promedio entre las secciones [1] y [2]. Para ello se asumirá que el flujo hasta la garganta de la tobera es isentrópico y que el flujo en todo el sistema es adiabático. DG = 0,2416 m
p1 abs = 18,25 cm Hg p2 abs = 37,1 cm Hg
1
2
To = 107.3 ºF
M>1
aire
D= 0,5009 m
Po abs = 516 cm Hg 1,75 D
S == 00 S
29,6 D
FANNO ADIABATI CO
Desde que el flujo es isentrópico hasta la garganta y el flujo entero es adiabático, la relación: ( p/po) (A/A*) puede usarse para encontrar el número de Mach en cualquier sección. Considerando p1 = ps = po1 = po A1* = A * 2
0,5009 4, 2986 A1 * A * AG 0, 2416 A1 p1 po1
Luego:
(
p1 po1
) (
A1 A1 *
A
p1 po
A
18,25 516
) 0, 03537
0,3537
4, 2986 0,15203
9- 3
Flujo Adiabático
Ejemplo 9.49:
Por un conducto de sección transversal rectangular de 0,25 m x 0,40 m circula un flujo másico de aire igual a 23 kg/s, que proviene de un depósito que se encuentra a una temperatura de 95ºC. Si el conducto tiene una rugosidad de 0,00061 m, se considera aislado térmicamente y trabajando en una condición de estrangulamiento; determine la presión, temperatura y velocidad del flujo en una sección situada a 5,2 m de la salida.
1
2 5,2 m
0,25 m 0,40 m
aire = 23 kg/s To = 95ºC
e = 0,00061 m
M2 = 1,0
9- 4
9.5
Flujo compresible
FLUJO RAYLEIGH
Es un flujo diabético sin friccion, por un ducto de area constante.
9.5.1 CONDICIONES Y LIMITACIONES -
Flujo estable y uniforme de estado estable Diabético, q = Q/m = dQ/dm Compresible Sin fricción Unidimensional Área constante A Eventual: gases perfectos Fig 9.27
9.5.2 ECUACIONES DE PARTIDA
Según el volumen de control de la fig. 9.27
- Ec. de energia
h01 q
(1era ley)
- Momentum:
1V1
p
h1
2
q
h2
V 22 2
h02 : la entalpia de estancamiento es variable
gas perfecto : - Continuidad:
:
V12
C pT01 q
V2
- Ec. de estado: gas ideal : p = ρRT - 2da ley: ds = dq/T
2V2
G
C pT02 cte
p GV
h = h (p,s) ρ = ρ (p,s)
cte
T01
T02
9- 5
Flujo Adiabático
Fig 9.28
9.5.3 VARIACION DE PROPIEDADES Los parámetros fundamentales del flujo Rayleigh son G y q. Es quien va ha determinar la relacion entre T 01/ T02 ; desarrollando T 02/ T01 como funcion del Nº de mach, esta ecuación nos dira en forma implicita como varia M con q; hallando después la relacion de propiedades como funcion de M, se puede hallar su variación con q.
9.5.3.1
Razon de presiones
Usando la ecuación de continuidad y la definición de M: 1 KM p 1 KM 2
p2
1
1
2
2
p p *
1 K …………..(9.84) 2 1 KM
por condiciones de estancamiento: k / k 1
K 1 1 M 2 2 p
p0
k / k 1
K 1 (1 k ) 1 M 2 p0 2 K p*0 K 1 K 1 2 (1 kM )( )
……….(9.85)
2
es de notar que en ningum¡na de las relaciones interviene directamente q , si no que su influencia se hace atraves de la variación de M a lo largo del tubo. El estado referencial es el ESTADO CRITICO REYLEIGH, denotado por un asterisco, y que se alcanza cuando se va del estado dado hacia la condicion M = 1 en un proceso hipotetico Rayleigh
9.5.3.2
Razon de Temperaturas
Usando la definición de To, la ley de los gases perfectos, la ecuación de continuidad, la definición de M y la razon de presiones: T2 T1
V2 V1
1 kM12 M ( 2 )2 2 M1 1 kM 2
2
1 kM 12 2 1 kM 2
2
(1 k ) M ………………(9.86) 2 T* (1 kM ) T
9- 6
Flujo compresible
T02
T 2
T01
T 1
T 0 T0
*
K 1
1
2
1 (
M
M -1/2
2
) M 12
2
(1 KM
T / T *
K 1
(1 K )
2
M 2
T 0 T0
*
(1 K )
2
M
2
(1 KM )
2
2
1
K
1
2 (
K
M
1
2
2
)
2
2 ( K 1) M 2 …………..(9.87) ) 2
0 M
1
: la temperatura estatica alcanza un maximo para
R
=K
ent: la temperatura de estancamiento es maxima para M = 1
9.5.3.3 Como:
Razon de densidades y velocidades V*
V V
*
*
*
V
9.5.3.4
(1 K )M 2 1 KM
p*
T
2
1 KM 2 (1 K ) M 2
T* p
, resulta
…………..(9.88)
…………..(9.89)
Relacion de entropías
En general: k 1 KR T2 p1 K S2 S 1 ( ) ln K 1 T1 P2
luego:
S
S*
k 1 K 1 K ……………(9.90) 2 ln M 2 KM 1 1
KR K
M
9- 7
Flujo Adiabático
9.5.3.5
Variaciones con M
Graficando las relaciones anteriores en un plano semilogaritmico se obtienen las curvas de la fig. 9.29 Se nota que T/T* tiene un maximo para K -1/2 ; To/To* tiene su maximo para M= 1 y Po/po* tiene su minimo para M = 1 Fig 9.29
9.5.4 Curva Rayleigh en el plano h-s (o T-s) La figura 9.30 muestra los casos de calentamiento y enfriamiento en el plano h-s, con el calentamiento crecen la entalpia de estancamiento ho y la entropía, y el proceso se realiza de derecha a izquierda; con el enfriamiento sucede lo inverso. Hallando
dT dM
1
dh
Cp dM
de 9.86 y
ds dM
de (9.90) se tiene:
2
dh
cte
1 KM
1 KM
dM
2
ds dM
Cp
3
2(1 M 2 )
M 1 KM 2
Fig 9.30
de las 2 ultimas ecuaciones se deduce que: dh ds
cte
M (1 KM 2 )
(1 M ) 1 KM 2
2
2
……………….(9.91)
la ecuación anterior permite deducir: -
h es maxima para M = K -1/2 S es maxima para M = 1 Un ingreso de calor para K -1/20, que hace, cualquiera que sea la condicion inicial (subsonica o supersonica), el flujo tienda a M= 1, que corresponde a la maxima cantidad de calor que podria agregarse Un enfriamiento, que en un proceso reversible implica ds<0, hace que el proceso tienda a alejarse de M=1. Si luego de que se alcanza qmax y M=1, se continua agregando calor, el flujo se reacomodara a qmax, variando G.
9- 8
Flujo compresible
9.5.5 Calculo de qmax q = Cp (To2 – To1) 2 k 1 2 M 2 (1 kM 12 ) 2 1 M 2 T01 T 02 q K 1 2 2 ………….(9.93) M 1 ) ( 1) (1 k 1 C pT1 T1 T01 2 2 2 2 2 M 1 (1 kM 2 ) 1 M 1 2
que se grafica en la fig. 9.31:
Fig. 9.31 Lo expuesto en las 2 secciones anterirores permite ver que en la fig 9.29 los procesos se deben interpretar como: tendiendo a M = 1 , para calentamiento partiendo de M = 1 para enfriamiento, con lo que se puede preparar la tabla 9.2
( p1 p2 )
F f A
F A A
G (V2
V 1 ).....(9.61)
tabla 9.2 Flujo Rayleigh calentamiento enfriamiento M>1 M<1 M>1 M<1 To aumenta aumenta disminuye disminuye P aumenta disminuye disminuye aumenta Po disminuye disminuye aumenta aumenta V disminuye aumenta aumenta disminuye -1/2 T aumenta Si M < K aumenta disminuye Si M < K-1/2 disminuye Si M> K-1/2 disminuye Si M> K-1/2 aumenta
9- 9
Flujo Adiabático
Se ha restringido el análisis al flujo permanente unidimensional en condiciones de cambio de área simple, fricción y calentamiento simple; cada uno de los cuales se consideró por separado. En muchos problemas prácticos uno de estos efectos dominará sobre todos los demás y, por consiguiente, las ecuaciones dadas tienen un gran valor. Algunas veces pueden modificarse los resultados, para tener en cuenta un efecto secundario que no debe ignorarse.
h
po
To
Y
p* ONDA DE CHOQUE
X
RAYLEIGH
S
S
S máx.
9- 10
Flujo compresible
EJEMPLO 9.09 Un flujo adiabático y permanente de aire circula a través de una tubería rectilínea de gran longitud de sección transversal igual a 0,05 m² A la entrada (sección 1) el aire se encuentra a una presión absoluta de 200 kPa y 60 °C teniendo una velocidad de 146 m/s. En una sección 2 aguas abajo, el aire se encuentra a una presión absoluta de 95,6 kPa y tiene una velocidad de 280 m/s. Determinar:
El flujo másico de aire y la velocidad máxima de expansión adiabática. Las condiciones de estancamiento en las secciones 1 y 2 : po, To y o Las condiciones críticas correspondientes a las secciones 1 y 2 : p*, *, T* d. El cambio de entalpía y de entropía. a. b. c.
SOLUCION
P. 9.010 : Determinar una expresión para el cálculo del cambio de entropía en función de las presiones de estancamiento. P. 9.011 : Aire fluye isentropicamente a través de un ducto de área variable. En el punto donde D1 = 34,4 cm; se tiene: V 1 = 184 m/s, p 1 = 574,263 kPa y T 1 = 200°C. a. Calcular : po, To , o, M y A* correspondientes a éste punto. b. Calcular el número de Mach, la presión estática en un punto aguas abajo donde D2 = 29,8 cm, si V 2 es subsónica y si V 2 es supersónica.
9- 11
Flujo Adiabático
*
To
T o
*
T
*
T
K 1
2 K
*
P o P
*
[
K 1
2
K 1
]
1
o
*
*
[
K 1
2
K 1
]
K 1
To *
T
To
*
*
T
K
2
1
(
Po P
*
*
K
)
(
*
*
K 1
)
Para el aire: K=.1.4 T* =
To
1.2
;P
*
= 0.5283 p * ; * = 0.6339o*
9- 12
Flujo compresible
P. 9.012 : Se expansiona isentropicamente aire desde po = 200 kPa y To = 500 K, a través de un conducto convergente divergente hasta un número de Mach en la salida igual a 2,5. Si el gasto es de 3 kg /s, calcular : a. El diámetro del conducto en la garganta. b. Las propiedades del flujo en la sección de salida: p, T, V y A.
a. La tobera se diseña para descargar su máximo flujo másico. m p
m
m
M
R T K
KRT A
M A
R
p o
T o
p o
T o
p o
p
T o
T o
p o
T
VA
Poniendo en función del número de Mach: m
p k 1 2 M A o 1 M R 2 T o K
K
max m
p o
A *
R
T o
k 1 2
( k 1) 2( k 1)
( )
( k 1) 2( k 1)
Para aire: m max
A *
T o po
2 R k 1 k
k 1 k 1
0,040418(9.44)
Reemplazando valores: 3 Kg / s
A *
500 K 200 000 Pa
0,040418
A* = 0,0082985 m 2
DG = 10,28 cm
b. Como se conoce el numero de Mach en la salida, utilizando la ecuación () , se determina As = 0,021880676 m 2 y usando :
T o Ts
1
k 1 2
p Ms 2 o ps
k 1 k
200 1 0,2 (2,5) 2 Ts p s
500
k 1 k
pS = 11,706 kPa. Ts = 222,22 K Cs = 298,812 m / s
9- 13
Flujo Adiabático
P. 9.013 : Aire a condiciones de p = 8 bar y T = 1100 K ingresa a una tobera y se expande adiabáticamente y politrópicamente con n = 1,3 hasta la presión de 3,5 bar. Calcular la temperatura y la velocidad del aire en la salida de la tobera. Solución
La ecuación de energía: Gas ideal: T o
T 1
ho
h1
V 1 2
h = Cp T V 1
2 Cp
T 2
V 2
2 Cp
h2
V 2 2
constante
constante (a )
Proceso poli tropico de (1) a (2) ; y la ecuación de estado: p
n
constante n
p T 1 2 p 2 2 p 2 T 1 p1
p 2 T 1 p1
n
1
n 1
T 2
n
2 1
n1
(b)
Reemplazando valores: 1,3 1
3,5 1100 8 T 2
T o T 1
En(): T o
1100 K
V 1
2 Cp V 1 2 Cp
1,3n
T 2
T2 = 908,95 K V 2
2 Cp
908,95 K
constante (a) V 2 2 Cp
Considerando una velocidad de ingreso a la turbina muy pequeña, se tiene V1
9- 14
Flujo compresible
EXAMEN DE MECANICA DE FLUIDOS
Marcar verdadero (V) o falso (F), según corresponda. corresponda.
1. ( V ) En un flujo de aire atmosférico moviéndose moviéndose a 3,5 km. /h la velocidad de propagación. del sonido se calcula por :
c
K R T
2. ( F ) En el área mínima de un conducto convergente-divergente, siempre se alcanza las con diciones críticas
3. ( V ) En un flujo isentrópico en conductos, el máximo flujo másico posible es proporcional al área de la garganta y a la presión de estancamiento. estancamiento. 4. ( F ) A través de de una Onda de choque normal no se cumple la ecuación de continuidad.
5. ( V ) A través través de de la onda de choque choque normal, las propiedades propiedades del fluido son discontí discontí nuas. 6. ( V ) La onda de choque sólo aparece en flujo supersónico. supersónico. 7. ( F ) Para flujo isentrópico isentrópico de un gas gas ideal, el número de Mach máximo es uno. expansión posible puede calcularse me 8. ( F ) En un flujo adiabático la velocidad máxima de expansión 2 diante la expresión: : V 2 Co / (k 1) 9. ( F ) En el caso de un flujo supersónico de un gas ideal en un conducto convergente la temperatura decrece en la dirección del flujo. 10. ( F ) Para un gas ideal que fluye a través de un conducto conducto convergente, en la salida el número de Mach es siempre uno. 11. ( V ) En un choque normal en un flujo flujo unidimensional, la presión se se incrementa. 12. ( V ) El número de Mach para un avión en vuelo, puede puede variar permaneciendo permaneciendo la velocidad del avión constante. 13. ( F ) Una tobera funcionando sobre-expansionada sobre-expansionada da su fuerza de empuje máxima. máxima. 14. ( F ) En una tobera convergente, en la salida siempre ps = pamb 15. ( V ) La velocidad de de una onda sonora puede evaluarse mediante:
c
2
(k 1) Cp.T
16. ( V ) Un flujo isentrópico isentrópico subsónico a través de un conducto convergente convergente sufre una una disminu ción de su densidad. P1. Demostrar que la
ecuación de energía para un flujo adiabático, unidimensional, unidimensional, esta ble, asumiendo asumiendo gas perfecto puede puede ser escrita escrita como: 2
C
k 1
V
2
2
1 2
k 1 k 1
*2
C
C: Velocidad del del sonido. C*: Velocidad crítica. crítica. V: Velocidad del fluido. fluido.
P2. Demostrar que para el flujo isentrópico isentrópico de un gas perfecto perfecto la velocidad del gas se puede calcular mediante: 2
V 2 Cp To 1 p / po
k 1 k
Flujo Adiabático
9- 15
9- 16
Flujo compresible
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA
DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE CIENCIAS DE INGENIERÍA
MECÁNICA DE FLUIDOS
3
RA
PRÁCTICA CALIFICADA
¡Con elementos de consulta!
MN 217 A
CICLO: 2010-3 FECHA: 17-02-2011 DURACIÓN: 110 minutos
Anote clara y brevemente sus consideraciones y asunesiones. P1. El aire es abastecido a una tobera divergente a baja velocidad, a 8,6185 bar abs y 285 ºC. Esta tobera descarga a la presión atmosférica y el flujo es ideal y adiabático. a. Para una razón de 0,4536 kg / s, calcule el número de mach a la salida, la presión en la garganta, el área de salida, el área de la garganta y las velocidades en la garganta y en la salida. b. Determine una expresión para evaluar el flujo másico real, en términos del coeficiente de descarga Cd obtenido experimentalmente. P2. Estime que cantidad de gas debe fluir para producir 4450 N de empuje en un cohete que produce gases con una constante de gas de R = 40 pies libra fuerza/libra masa y una temperatura de estancamiento de 1111 grados kelvin. Si los gases abandonan al cohete a través de la tobera de salida con un número de mach de 2. ¿Cuál debe ser el área a la salida de la tobera para que pase esta cantidad de gas, si la presión a la salida es de 0,86 bar?. P3. Los productos de la combustión ( k = 1,67 y R = 380 J / kg K), salen de la tobera de un cohete con un número de mach igual a 4. La presión en este punto es de 0,867 bar abs. La relación de calores específicos es 1,3. a. ¿Cuál es la presión de estancamiento a la entrada de la tobera considerando que se desarrolla un flujo isentrópico?. b. ¿Cuál es la relación de temperatura estática a temperatura de estancamiento? P4. En un tanque cilíndrico (D = 1,6 m; H = 2,5 m) se almacena aire seco a una presión absoluta de 689 KPa y a una temperatura de 15 ºC. Mediante una tobera convergente (A salida = 0,0438 cm 2) se descarga isentrópicamente el aire hacia un ambiente que se encuentra a una presión absoluta igual a 101,325 KPa. a. Determine el número de Mach a la salida de la tobera. b. Determine el flujo másico máximo, que se puede descargar. A la tobera convergente anterior se le agrega una parte divergente de tal manera que se tenga un flujo isentrópico dentro y fuera de la tobera. Determine las condiciones de presión y velocidad en la salida de la tobera.
Ing. Jorge Sifuentes Sancho
9- 17
Flujo Adiabático
BIBLIOGRAFIA
