2017
Tomas Kancyper
,, /∈, / ∈, ∈}∈} ℝℝ ℝℝ ×ℝ× ××ℝℝ × ℝ, /,,∈ℝ/, ∈∈ ℝℝ,} ∈ ℝ, ∈ ℝ} ℝ1,1,3ℝ×ℝ×…×ℝ , , … , / ∀ 1 , … , ∈ ℝ} 1,1,4 ,∈ℝ / 1≤ 1≤ ≤3,≤3, 1≤≤ 1≤ ≤44}
Producto cartesiano: o
o
Definición: sean y conjuntos, se llama producto cartesiano (se denota ) al conjunto . Esta definición se generaliza para una cantidad finita de conjuntos Ejemplo:
Gráfico 1
o
Definición: dados y conjuntos, una relación de en es un subconjunto de símbolos: es una relación de en Dominio de :
o
Imagen de o rango de :
o
⇔⊂ } ∈ / ∃ ∈ ∧ ∧ , ∈ ∈ / ∃ ∈ ∧∧, ∈ } ∀∈ ∃! ∈: , ∈ , ∈ ∧ , ∈⇒ :: ⟶ ⟶ :::: ⊂⊂ ℝℝ →→ ℝℝ :::: ⊂⊂ ℝℝ→→ℝℝ
Relación:
. En
Función: o
o
Definición: sean y conjuntos. Una función de en es una relación de en que verifica: Observaciones: Si es una función de en , entonces el dominio de es igual al conjunto
o
Notación:
Tipos de funciones:
se llama campo escalar escalar o función real de variables se llama campo vectorial se llama función vectorial de variable real se llama función vectorial de variable vectorial
En general todas estas funciones funciones se pueden graficar mediante una representación representación plana, aunque el dominio y el rango no sean conjuntos del plano cartesiano:
Gráfico 2
Resumen Cálculo III
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2017
Tomas Kancyper
2 ℝ 1 :ℝ: ℝ →ℝ,, → ⊂ℝ ×ℝℝ , ,, ∈ ∈ ℝ/ ,∈ ∈ ℝ, }
En particular para y través de una superficie en
podemos representar gráficamente a la función a
Tenemos que dibujar:
Gráfico 3
ℝ , ∈ℝ ,, = , , … , , >,0… , ∈ ℝ/ ,<} <} ∗ } ⊂ ℝ⇔∃>∃ ∈>ℝ0 ∶ ⊂ ⇔° ⊂ ℝ⇔ ∀> ∀∈>ℝ0 ∩≠ ∩ ≠ ∅ ∧ ∩≠∅
Nociones topológicas: o
Distancias en
: dados
se define la distancia entre y como el número real:
o
Donde y y Bola o entorno de centro y radio
:
Son los puntos que están dentro de la esfera de centro La bola reducida es el conjunto: o
o
°
y radio
Punto interior: sea , es punto interior de es el conjunto de todos los puntos interiores de es es conjunto abierto Punto frontera: sea , es punto frontera de
Gráfico 4
o
′
⊂ ℝ⇔ ∀>∀ ∈>ℝ0 ∗ ∩≠∅
Punto de acumulación: sea es punto de acumulación de
,
denota al conjunto de todos los puntos de acumulación y se llama “derivado” de
Resumen Cálculo III
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→ ℝ : : ⊂ ℝ → ∈ℝ →lim , ,, + ,→0, ℝ0 0,0,0} 0, 0 + ,, l→im ,, , l→im 0∈ℝ l i m ,, lim lim 0 → → + :: ⊂→ℝ+ →ℝ , ∈ℝ/ , ∈ , }⊂ ,,l→im, ,, ,, ∈ : : ⊂ ℝ → ℝ →limlim ,, lim lim , → → → → →lim →lim l→i m 00; l→i m →lim l→i m 0 0
Límite de una función real de dos variables reales o
Definición de límite radial: dada , pac (punto de acumulación) de . Se llama límite radial de cuando al siguiente límite: cuando cuando existe
Ejemplo: sea
con
Queremos averiguar a qué valores Queremos
tienden las imágenes de cuando punto de estudio . Por ejemplo:
. Podemos tomar rectas que pasen por el
, entonces quedaría:
y el límite:
Si considero
o
o
Definición de límite por un subconjunto de dominio: dada , pac de , continua Se llama límite por el subconjunto al siguiente límite cuando existe:
,
pac de . Sea ,
Definición de límites repetidos: dada , pac de . Llamamos límites repetidos de cuando a los siguientes límites cuando existen: y
Ejemplo:
Observación: cuando los límites radiales, repetidos y por un subconjunto del dominio existen, no garantizan la existencia de un valor límite para la función pues son casos particulares que consideramos para acercarnos al punto de estudio. La única prueba válida de la existencia del límite es demostrar que dicho valor no depende del camino elegido, es decir, probar que se cumple la definición de límite Límite o límite doble: Definición: sea , pac de , o o
→ ℝ ∈ ℝ : : ⊂ ℝ ⇔∀ ∃ ∗: ∀∈∩∗ ∈ ∈ →lim ⇔∀ | | ∀ > 0 ∃ > 0 : ∀ ∈ ∧ 0 < < < :: ⊂ ℝ → ℝ → → ∗ se se cumple
Es decir:
o
se cumple
Interpretación gráfica: cuando la función lo siguiente:
Gráfico 5
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tiene límite cuando
, ocurre
Sea la superficie representación gráfica de . Si existe el límite de de cuando , la gráfica de que se proyecta en , está comprendida entre los planos y
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Tomas Kancyper Teorema: si existe
o
Este resultado nos dice que si existe el límite, entonces existen todos los límites radiales y coinciden con el valor del límite Teorema: si y
o
→lim , lim , ∀ℝ: → ,l→im, , →liml→im , ,lim →l→im , / , ∈ , }⊂ , ∈ℝ ,,l→im, , ,l→im, , , ∈ : ⊂ℝ →ℝ, pac de , ∈ℝ ∗ ∃ ∀ ∈∩ ∈ →lim ⇔∀ →ℝ :⊂ℝ →ℝ →lim :⊂ℝ →lim →lliimm . →≠0 l.im →// →ℝ ↦ , … , ∀1, … , : →ℝ : ⊂ℝ ∈ℝ , , … , , , … , ∗ ⇔∀ ∃ ∀ ∈∩ ∈ →lim :⊂ℝ →ℝ pac de , ∈ℝ,, … , →lim ⇔∀1, … , →lim ∩ ⊂ℝ ∈ ∃ } :⊂ℝ →ℝ ∈ l i m →
o
entonces
entonces Este resultado dice que si existe el límite, los límites repetidos existen y deben coincidir Teorema: donde es continua en , y es pac de Si y entonces
Límite de función real de variables reales o
Definición: sea
tal que
o
Teorema: sean
,
se cumple
y sean
pac de ,
y
entonces:
Si
Límite de una función vectorial de variable vectorial o
Definición: sea Sea
,
y
tal que
o
Sea
donde pac de se cumple
,
entonces:
Continuidad o o
o
o
o
Punto aislado: sea , . es punto aislado si y sólo si Continuidad de una función real de variables reales: sea pac del dominio, decimos que es continua en si y sólo si
,
. Si es . SI no es
pac de ( es punto aislado) decimos que siempre es continua en Definición: es continua en su dominio si y sólo si es continua en todo punto de su dominio. La suma de funciones continuas es continua, el producto de funciones continuas es continua y la división de funciones continuas es continua siempre que la función del denominador no sea en Continuidad de funciones vectoriales: sea y . Si es pac de , decimos que es continua en si y sólo si . Si no es pac decimos que
0
→ℝ ∈ :⊂ℝ →lim →ℝ ↦ , … , ∈ : ⊂ℝ⇔∀1, … ,
es siempre continua en Teorema: sea es continua en
Resumen Cálculo III
,
,
es continua en
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Tomas Kancyper Curvas o
→ , … , ⊂ℝ :→ℝ , … , ∈ℝ/∈} ⊂ℝ→ℝ lim ∈ ⁄ lim ℎ ′⁄ ∀ →∈ ∃ ℎ → ↦′: →ℝ : ⊂ℝ→ℝ ∈ ∀1, … , :→ℝ ℝ ′,…, ′ ∃ ′ ∈ Definición: sea un intervalo real. Sea , continua en . Llamamos curva a la imagen de , es decir:
, función
Decimos que la curva está “parametrizada por ” o que “ es una parametrización de la curva” y la variable le llamamos parámetro
Derivada o
Definición derivada de función vectorial de variable real: sea , intervalo real y sea . La derivada de en , denotada por es el siguiente límite cuando existe: o
o
o
o
Definición de función derivada: si
, llamamos función derivada a la función
Teorema: sea
, intervalo real y . tiene derivada en si y sólo si tiene derivada en y vale Interpretación geométrica: sea o , intervalo real, continua en . Suponemos que para algún . Como es continua, su imagen es una curva
Gráfico 6
ℎ ⁄ℎ ⁄ℎ ⁄ℎ ⃗ℎ ℎ ℎ→0 ′ . , ∈ℝ : ⊂ℝ →ℝ ∈ l→im ℎ, ℎ, | lim , , → | El vector
o
es un vector dirección de la recta secante a la curva que pasa
por y , pues Como existe el límite para , existe el vector posición límite, es decir, existe la recta posición límite de las rectas secantes a la curva que pasan por . Por lo tanto es el vector tangente a la curva en y la ecuación de la recta tangente a la curva en será: Definición de derivadas parciales de función real de dos variables reales: sea , . Se llama derivada parcial de respecto de en , y se denota , al siguiente límite cuando existe:
Otras notaciones:
Me acerco a por la recta De manera análoga se define la derivada parcial de respecto a en . Se llama derivada parcial de respecto a en , y se denota , al siguiente límite cuando existe:
Otras notaciones:
Comentario: las derivadas parciales calculan la rapidez de cambio de una función cuando me acerco al punto por rectas horizontales y rectas verticales
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→ " " , , ′ , l→im +− l→im +,−, , 0 0 , ⟶ Observación: para calcular tomamos ecuación de la función podemos reemplazar una sola variable, la variable quiero entonces tomo existe
mientras , esto nos dice que en la , e interpretarla como una función de
y escribo
. Si existe
pues:
Por lo tanto puedo usar reglas de derivación conocidas para funciones de una variable real, mirando a la otra variable como una constante Interpretación geométrica: supongamos que existe . Sea la superficie representación gráfica de . Llamo al plano vertical . Llamo a la curva de intersección del plano con la superficie , es decir: Si introducimos un sistema de ejes coordenados en el plano vertical , donde el eje vertical será la recta intersección de con el plano , el eje horizontal será la recta intersección del plano con plano , la ecuación de la curva en el plano será: función de única variable
Gráfico 7
, l→im +−
tiene ecuación Como existe , existe
ℎ, , l→im ℎ l i m ℎ → ℎ , , , →ℝ ∈ ⊂ :⊂ℝ ∀∈ ∃ ∃ :→ℝ :→ℝ ⟼ ⟼ Sabemos que
o
es la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto , por lo tanto será la pendiente de la recta tangente a la curva en . La pendiente es la tangente trigonométrica del ángulo La interpretación de es análoga a la de sólo que en este caso tomamos como plano vertical Derivadas parciales de orden superior: dado , , tal que y . Se llaman derivadas parciales de primer orden a las funciones:
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:→ℝ :→ℝ ⟼ ⟼ :→ℝ :→ℝ ⟼ ⟼ : ⊂ℝ →ℝ ∈ ,,, , , : ⊂ℝ →ℝ , , … , ∈ li→m , , … , ℎ, …ℎ, ⋯ : ⊂ℝ →ℝ ∈ ∀1,…, ∃ ⃗∇ , , … , :⊂ℝ →ℝ , , … , ∈ :→ℝ , 1, …, , , … , ℎ , … , ⋯ :⊂ℝl →ℝi→m ∈ ℎ ∀ 1, … , :⊂ℝ , →ℝ,…,∈ ⃗ , : .⃗, ≥0 ⃗ ⃗ l→im . ⃗ ⃗ Puede ocurrir que ambas funciones sean nuevamente derivables respecto de e . Si existen sus derivadas en el conjunto , podemos definir 4 nuevas funciones llamadas derivadas parciales de segundo orden
o
Comentario: las derivadas y reciben el nombre de derivadas cruzadas (o mixtas) de segundo orden. En general no es igual a Teorema: sea , existen en y son continuas en . Entonces Derivada parcial de una función real de variables reales: sea , . Se llama derivada parcial de respecto a en al siguiente límite cuando existe:
Comentario: las derivadas parciales de estas funciones se calculan igual que antes, aplicando reglas de derivación para función de una variable, mirando a las restantes variables como constantes. Si la derivada parcial existe en más de un punto interno del dominio, podemos definir la función derivada parcial Definición: sea , tal que . Llamamos vector gradiente al siguiente vector:
o
Derivada parcial de una función vectorial de variable vectorial: sea con funciones coordenadas parcial de respecto a en es el siguiente límite cuando existe:
Teorema: sea
,
, . La derivada
tal que para algún existen
entonces
o
Derivada direccional: sea dirección , es decir:
Gráfico 8
Se llama derivada direccional de en existe:
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,
. Sea la semirrecta con origen en
y
vector unitario
en la dirección de al siguiente límite cuando
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⃗ ∈ ⃗ ≠Θ ‖‖ , ∈ ⃗ ⃗ ⃗ . ⃗, ≥0 , . ⃗, ≥0 ⃗ . ⃗, ≥0 ⃗ . . , . Definición: la derivada direccional de en
en cualquier dirección
es:
Interpretación geométrica: sea la superficie representación gráfica de , de ecuación . Sea , vector unitario y supongamos que existe . Llamo a la curva de intersección de la superficie con el semiplano vertical que contiene a la semirrecta que pasa por y tiene dirección , es decir, la ecuación del semiplano es: . Entonces las ecuaciones de la curva son:
Si introducimos un sistema de ejes cartesianos con origen en , eje vertical una recta paralela al eje que pase por , eje horizontal la semirrecta . La ecuación de la curva en el semiplano vertical es:
Gráfico 9
función de única variable real
0 0 0, 0 . ⃗⃗ 0 +0 l→i⃗m +0 l→i m +0 ⃗ tan →ℝ ∈ ⃗ : ⊂ℝ ⃗ . ⃗ l→im ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ →ℝ ∈ : ⊂ℝ ∃ ℎ,: ∀ ℎ,,∈ ℎℎ, ,: ⊂ℝ∈ℝ →ℝ,li→m,∈√+, 0 , Si entonces corresponde el punto
es decir en este sistema de ejes el punto . Como existe existe pues:
le
De esta igualdad se concluye que la derivada direccional es la pendiente de la semitangente a la curva en el punto , es decir, es igual a la Definición: sea , , vector unitario. Se llama derivada direccional de en en la dirección de al siguiente límite cuando existe:
Si el vector no es unitario y queremos la derivada direccional en la dirección de
, tomamos
como dirección
Diferenciabilidad o
Definición: sea
,
, es diferenciable en vale lo siguiente: , donde
o
si y sólo si y
Teorema condición suficiente para la diferenciabilidad: sea , existen en y son continuas en entonces es diferenciable en
Resumen Cálculo III
. Si
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o
∃ ∧ ∃ ∀ ⃗ ∃ ⃗ ⃗ ∇⃗ . ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ∇ . ∇ . c os . ⃗ ∡∇⃗ , ⃗ ⃗ ∇ max ⃗ ⃗ ∇∇⃗ ⃗ 0 ⃗∇ ∥ ⃗ −⃗ ∇⃗ ⃗ ∀.⃗:⃗ ⃗∇ . ⃗⃗ :⊂ℝ , ,→ℝ, ∈ , , , ∈ 0 0⃗ , ,1 ,,, , . , ,1, ∈ℝ
Propiedades de las funciones diferenciables (c/demo): si es diferenciable en es continua en
entonces:
o
unitario
y esta se puede calcular con la siguiente fórmula:
Máximo valor : si es diferenciable en existen todas sus derivadas direccionales. Nos preguntamos si existirá una que sea la mayor y en qué dirección se produce ese máximo valor: Donde Como el máximo valor que toma el coseno es 1, deduciremos: se produce cuando
o
o
, es decir,
y
por lo tanto la dirección será
Propiedad de la derivada direccional cuando es diferenciable en en , sabemos que existe
: al ser diferenciable
Propiedades geométricas de una función diferenciable (c/demo): Si es diferenciable en entonces toda curva de intersección de la superficie representación gráfica de con un plano vertical tiene recta tangente en
Sea diferenciable en . Sea la superficie representación gráfica de y punto que se corresponde a en el dominio de Observación: al igualar a la ecuación del plano tangente:
Su vector normal es: . En el punto de tangencia, es decir en , la ecuación de una recta normal a la superficie en es:
Gráfico 10
o
∈ℝ
.⃗, ∈ℝ , , ∈
Definición plano tangente: sea una superficie y sea . Se llama plano tangente a en , al plano que contiene a todas las rectas tangentes a todas las curvas contenidas en que pasan por y que en dicho punto admiten recta tangente
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→ℝ ∈ : ⊂ℝ : ℝ→ℝ , ℎ, ↦ . ℎ . ℎ ℎ, , , , , , ↦ , : ℝ→ℝ,, , ∆,
Diferencial o
o
Definición: sea , y diferenciable en . Se llama diferencial de en a la transformación lineal donde y . Esta transformación se denota , entonces: Interpretación geométrica de la diferencial: si es diferenciable en su gráfica tiene plano tangente en , , donde de ecuación: Si llamamos observamos que y que la gráfica de la función es precisamente el plano que es tangente a la superficie representación gráfica de en . Entonces podemos decir lo siguiente:
Es decir que la diferencial de en
mide la variación de la cota en el plano tangente
Gráfico 11
lim ℎ,0 ≅,li→m≅,√ +, 0 , → , , ≅ , , : ⊂ℝ →ℝ , ∈ ⃗ ⊂ ∈ ̅ ∇⃗ . ≠ ‖‖≠0 ‖‖ ∇⃗ . ‖‖ ‖‖ Como es diferenciable en
para puntos próximos a
pero este límite implica
ocurre que
. Entonces cuando
y
,
:
Esto dice que los valores de la función en próximos a se puede aproximar con los valores de la función en el mismo punto . Geométricamente esto significa que existe un entorno de en donde la gráfica de la función se puede aproximar con la gráfica de la función , es decir con el plano tangente
Teorema del valor medio del cálculo diferencial o
o
Definición: sea . Entonces existe
diferenciable en tal que:
. Sean
tal que el segmento
Interpretación geométrica: supongamos que , siendo y puntos interiores de . Entonces . Podemos dividir miembro a miembro la igualdad que plantea la tesis por : Vector unitario
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′ ′
̅ ̅ ∈ ′ ′ ′ ⃗ ⃗ ‖−‖− ‖−‖ − ⃗∇ . ⃗ ⃗ ′ ′ ′ →ℝ , … , ∈ : ⊂ℝ ∃ : ∀∈ . ℎ . ℎ ⋯. ℎ ℎ, … , ℎ ∀1, … , ∈ℝ ⃗li→m⃗ ⃗⃗ 0 ℎ⃗ ℎ, … , ℎ ∀1, … , ∃ ∀⃗ ∃⃗ ∇⃗ . ⃗ , . ℎ ., ⇔∃lim +,+√−+,−, 0ℎ, h , k → , :⊂ℝ →ℝ , ↦⇔∃ :ℝ,→ℝ… , ,ℎ⃗ ↦ℎ ⃗:, … ,→ℝℎ⃗∀1, … , ∈ l⃗i→m⃗ −⃗−⃗ Θ⃗ℎ⃗ ℎ⃗ Llamo a la superficie representación gráfica de . Llamo a la curva intersección de la superficie con el plano vertical que contiene al segmento es el punto de la curva que se corresponde con el punto es el punto de la curva que se corresponde con es el punto de la curva que se corresponde con
Llamo a la recta que pasa por y Como es diferenciable en , la curva tiene recta tangente en el punto cuya pendiente es
donde
es la pendiente de la recta
Gráfico 11
porque es diferenciable en y vale esa fórmula
Entonces concluimos que la recta tangente a la curva en es paralela a la recta que pasa por los puntos y
Generalización de diferenciabilidad o
Definición: sea
, . es diferenciable en el incremento de se puede escribir:
Donde
o
y
Observaciones: Si es diferenciable en
Si es diferenciable en
siendo
si y sólo si
vector de incrementos
entonces es continua entonces
Si es diferenciable en entonces unitario Vale el teorema del valor medio del cálculo diferencial Definición: antes de enunciar la definición para las funciones vectoriales de variable vectorial, observemos los siguiente: si es diferenciable en la definición de diferenciabilidad se puede escribir de esta forma equivalente: diferenciable en transformación lineal de ecuación
o
tal que
Sea
donde
es diferenciable en
y sea
.
transformación lineal tal
que
La transformación lineal
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se llama diferencial de en
y se denota
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o
ℝ ⃗ ℎ ℝ ′ ⋯ ⋯ ′× ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋯ ℎ ℎ : ℝ →ℝ, ℎ, … , ℎ↦′× ℎ⋮ : ⊂ℝ⇔∀1,→ℝ …, , ∈ , :→ℝ ℎ⃗ℎ⃗, ℎ⃗,…,ℎ⃗ :⊂ℝ →ℝ ,:⊂ℝ →ℝ ⊂ ∘:⊂ℝ →ℝ , ↦ Observación: toda transformación lineal tiene asociada una matriz. En este caso la matriz asociada a la transformación respecto de las bases canónicas de denotamos y llamamos matriz jacobiana:
y
, a la cual
Entonces o
Observaciones: Si es diferenciable en SI es diferenciable en Teorema: sea diferenciable en
o
entonces es continua en entonces existen todas las derivadas parciales de en sus funciones coordenadas es es diferenciable en . En consecuencia:
Funciones compuestas o
Definición: sean
tal que . La función se llama composición de y o también función
compuesta de con
Gráfico 12
o
o
o
:⊂ℝ →ℝ , : ⊂ℝ →ℝ ⊂ ∈ ∈ ∘ ∘ .′ :⊂ℝ,↦ →ℝ , , , :⊂ℝ,↦→ℝ ∘:,ℝ↦ →ℝ , , , , , , , , , ′, ,, ,, ∘ , . Teorema: sean y diferenciable en siguiente:
con y diferenciable en . Entonces es diferenciable en , y vale lo
Observación: este teorema nos muestra como calcular las derivadas parciales de la función compuesta Casos particulares del teorema:
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∘ .., . , . ∘ , ∘ ∘ →ℝ ∘:ℝ→ℝ :⊂ℝ→ℝ :⊂ℝ ↦, ,↦ ↦ , , , , , , ′′∘ ∘,., ,, .,′ . ′′ ∈⊂ℝ ℝ ↦ : ℝ ×ℝ→ℝ, , , , : ⊂ℝ→ℝ, ↦ 0 , ∀∈ , 0 ↦ :ℝ ×ℝ→ℝ, , , , , ∈ℝ 0 ≠0 ⊂ , × , + , ∈ℝ : →ℝ ↦ ∀∈ , 0 ∈ ⋀ , ∀∈ ,
Funciones implícitas
1. Algunas funciones reales de variable real se definen por una ecuación de la forma con . Una función dada de esta forma se dice función explícita y su gráfica en general es una curva en Definición: Sean decimos que la ecuación define implícitamente a en si y sólo si Teorema fundamental de las funciones implícitas: Sean , , son continuas en verifica la ecuación
tal que:
Entonces existe un rectángulo abierto con y existe una única función:
,
tal que:
el punto pertenece al rectángulo es continua y derivable en y su derivada es continua en
y es igual a
Gráfico 13
, , , ∈⊂ℝ ↦ :ℝ ×ℝ→ℝ, , , , , , :⊂ℝ →ℝ, , ↦ , 0 , , ∀∈ ,,, 0
2. Cuando una función real de dos variables reales está dada por una ecuación de la forma decimos que la ecuación define explícitamente a la función, porque nos permite obtener los valores de en función de los valores de e Definición: Sean decimos que la ecuación define implícitamente a en si y sólo si
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↦ :ℝ ×ℝ→ℝ, , , , , , , , ∈ℝ 0≠0 ⊂ , × , × , , , ∈ℝ+ ↦ : × →ℝ , , ∀, ∈ × , , , 0 , ∈ ⋀ , × , ,,,,,, , ,,,,,, , , , , , , , , , , , ,,,,,, , ,,,,,, , , ⃗, ,,,, , ,,,,,, 0 ⃗∇⃗, , 0 , , ∈ℝ ∈ ∇⃗≠Θ , , , , 0 : . ⃗∇ ∈ℝ ≠0 ≠0 , ,,0 Teorema fundamental de las funciones implícitas: Sean , , , son continuas en verifica la ecuación
tal que:
Entonces existe un rectángulo abierto
con
y existe una
única función:
tal que:
el punto pertenece al rectángulo es diferenciable con derivadas parciales continuas en parciales son:
y sus derivadas
Observaciones: Como la función es diferenciable , podemos aproximar los valores de en los puntos de un entorno de a través de la transformación afín de ecuación . Esta función tiene como gráfica el plano tangente a la superficie representación gráfica de la función . Para obtener esta aproximación no necesitamos conocer la ecuación de la función Como es diferenciable sabemos que la ecuación del plano tangente es: , pero como está definida implícitamente sus derivadas parciales son:
Sustituyendo estas derivadas en la ecuación del plano e igualando a cero: Deducimos que el vector
y
Conclusión: si la superficie viene dada por la ecuación decimos que tiene una representación implícita) donde (o sea ) y es continuamente diferenciable en son continuas en
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)y es:
(en este caso es tal que (significa que
, entonces la ecuación del plano tangente a
Y la ecuación de la recta normal a en Si en la hipótesis del teorema fundamental de las funciones implícitas cambiamos por entonces la ecuación define implícitamente a como función diferenciable de y
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×ℝ →ℝ, :ℝ , … , , ,…:⊂ℝ , ↦ →ℝ,,…,,…,,,↦ … , ,…,,…,,,……, ,, , …, …, , , … , , , … , ∀, … , ∈ , … , , , … , ,, …θ, ⃗,, , … , , θ⃗ , θ⃗ 1, … ,, … , , , … , 0 1, … , ,,……,,,,⋮,,……,,00 ,, …… ,, ⋮ , …:ℝ, ×ℝ →ℝ ,↦,,θ, … , ⃗, , , … , , … , ×ℝ ∈ℝ θ⃗ ≠0 ⋯ ⋯ × ⋮ ⋱ ⋮ ( ⋯ ) :⊂ℝ →ℝ, , θ↦⃗ ∀∈ , … , ′ ∀ 1,…, →ℝ, ∈ : ⊂ℝ ∀, ∈ ,≤, ∀, ∈ ,≥,
3. Definición: sean
y sea:
La ecuación vectorial
define implícitamente a en si y sólo si
Observación: Podemos identificar o llamar
, luego con esta
identificación podemos escribir quedaría
por lo tanto la ecuación
Decir que la ecuación vectorial define implícitamente a es equivalente a decir que el sistema de ecuaciones escalares define implícitamente a las variables con en términos de variables con
Las soluciones del sistema son las siguientes funciones:
Teorema fundamental de las funciones implícitas: sea donde , la ecuación . Sea , tal que: es continuamente diferenciable en
, a la que asociamos
Determinante de
, donde
es la siguiente matriz
Entonces existe una única función con conjunto abierto que contiene a tal que y es continuamente diferenciable en Observación: la matriz es la matriz jacobiana de respecto de las variables calculada en . El determinante se llama “determinante jacobiano”
Valores extremos de funciones reales o
Definición: sea alcanza en
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alcanza en
decimos que: el máximo absoluto o es el máximo absoluto si y sólo si el mínimo absoluto o
es el mínimo absoluto si y sólo si
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o o
o
o
o
ℝ , × , ×…× , , … , ∈ℝ / ∀1, … , ∈ , } ⊂ℝ ⊂ :⊂ℝ →ℝ , ∈ ∀∈ ≤≤ →ℝ, ∈ : ⊂ℝ ∃: ∀∈ ≥ ∃: ∀∈ ≤
Observación: el máximo y el mínimo absoluto cuando existen son únicos Definición de rectángulo en : se llama rectángulo al siguiente producto cartesiano: Definición de conjunto acotado: sea . Decimos que es acotado si existe un rectángulo tal que Teorema de Weierstrass: sea continua en , conjunto cerrado y acotado. Entonces existen tales que: Observación: Este teorema dice que toda función continua en un conjunto cerrado y acotado tiene máximo absoluto y mínimo absoluto Este teorema vale para funciones reales de variables reales Definición: sea . Decimos que: alcanza en un mínimo relativo o es un mínimo relativo si y sólo si
o
o
alcanza en
un máximo relativo o
es un máximo relativo si y sólo si
Observación: La función puede tener más de un extremo relativo Los extremos absolutos se pueden alcanzar en puntos interiores o en puntos frontera, en cambio los extremos relativos sólo se pueden alcanzar en puntos interiores Si un extremo absoluto se alcanza en un punto interior, también será extremo relativo. Pero si se alcanza un extremo relativo en un punto frontera no será relativo Teorema(c/demo) : sea . Si existen y y tiene un extremo relativo en entonces y Definición: sea se llama punto crítico si cumple con alguna de las siguientes condiciones:
o
o
:⊂ℝ →ℝ, ∈ 0 0 : ⊂ℝ →ℝ, ∈. 0 : ⊂ℝ →ℝ, ∈ 0 0 >0>0 0<0
no existe Teorema: sea tal que y derivadas parciales de segundo orden de son continuas en determinante hessiano:
o
Si
o
no existe o
y además las . Sea el
entonces tiene extremos relativos en Si , es mínimo relativo Si , es máximo relativo Si entonces puede tener o no extremos relativos en Extremos ligados: a veces queremos encontrar los valores extremos de una función cuando se restringe el estudio a un subconjunto de su dominio. Este subconjunto se restringe como una ecuación llamado “condición de vínculo”
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} ∈ℝ ≤≤ : →ℝ , :≤≤, , ∈ℝ : , →ℝ : , →ℝ :↦,→ℝ,
Integrales paramétricas o
Definición: sea continua en , con y , paramétrica a la siguiente función:
funciones continuas. Se llama integral
Gráfico 14
o
, ∫ :≤≤, ∈ℝ , , ≤≤} , ≥0 ∀,∈ , {, ′ , Interpretación geométrica: consideremos la integral paramétrica donde y son continuas en y es continua en con y Consideremos: La gráfica de , es decir la superficie de ecuación El plano vertical
La curva
intersección de la superficie con el plano vertical
La ecuación de la curva proyección de , llamemos
en el plano
es:
Gráfico 15 Entonces:
,
′ , ′ ′ ⃗
donde
es el área del rectángulo
determinado por los puntos y
Resumen Cálculo III
, la curva
y las rectas
,
y el eje
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′ ∈ℝ :→ℝ , :≤≤, ≤≤}∫, ,∈ℝ , , , : , →ℝ, ↦ ∫ ,, , , ∈ℝ:≤≤,≤≤} ∀∈, , . , ., , ∈ℝ ̅, ̅, … , ̅ ⊂ℝ ∈ℝ ∀, ∈ :⊂ℝ : ⊂ℝ →ℝ + ∃∈ℝ : ∀ ∈| |≤ , × , , : < < <⋯<− <, < < <⋯< < − . −, ×−, 1≤≤ 1≤≤ , , … , } max, :,max ∈}:1≤≤} , × , :→ℝ . ∀ ∑= . →lim→ =. o
Pero es igual al área de la porción del plano vertical limitada superiormente por la curva y lo segmentos que unen los puntos y , con , con . Afirmamos esto porque es la proyección de esta porción del plano, llamamos Propiedades geométricas: Continuidad(c/demo) Teorema: sea continua en , donde con y , continuas en
entonces:
es continua en
La integral paramétrica es derivable
Teorema: regla de Leibniz: sea
donde y son continuas en
y derivables en , continua en es continua en . Entonces:
y
Integral doble o
o
o
o
o
Definición de poligonal: sean , llamamos poligonal que une y a la unión finita de segmentos con Definición de conjunto conexo: sea , se dice conexo si y sólo si existe un poligonal que une y , contenido Definición de región: sea , se llama región si y sólo si es un conjunto abierto, conexo y contiene a toda su frontera o parte de ella Definición de función acotada: la función se dice acotada si y sólo si Definición de partición de un rectángulo y norma de la partición: sea consideremos los siguientes puntos de división del intervalo Consideremos los siguientes puntos de división del intervalo
:
Por cada trazamos una recta vertical, y por cada trazamos una recta horizontal. El rectángulo queda dividido en rectángulos parciales a los que llamamos : con , El conjunto de todos los rectángulos parciales se llama partición de y se denota como Llamo
o
al área del rectángulo
. El diámetro de
es el número real
Se llama norma de la partición al número real Definición de integral doble sobre un rectángulo: sea rectángulo, función acotada en , partición de en rectángulos parciales de área , la norma de la partición. Sea un punto arbitrario de . La suma se llama suma de Riemann. Si existe el número real donde:
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. , .. ∀>0 ∃>0 ⋀ ∃ ∈ℕ:∀ < ⋀ ∀≥ |∑= . | < : →ℝ ℝ ℝ ⊂ →lim 0 ℝ :ℝ→ℝ : ⊂ℝ →ℝ ⊂ℝ :→ℝ ∈ ∀ :→ℝ , ∈ , ↦, { 0, , ∈ ⇔ , , →lim→ =. ⊂ℝ :→ℝ . ≥0 ∀∈ Si además es independiente de la partición y de la elección de los puntos , este número real se llama “integral doble de sobre ” y se denota de la siguiente manera:
o o
Este límite se expresa de la siguiente manera: con cuando el límite existe decimos que es integrable Teorema: sea continua en , rectángulo de , entonces es integrable Definición de conjunto de área nula: sea rectángulo de y . Sea una partición de en rectángulos parciales . Sea la suma de las áreas de que tienen al menos un punto de , decimos que tiene área nula si y sólo si:
Observación: Todo conjunto finito en tiene área nula La gráfica de continua, es decir, una curva, tiene área nula La unión finita de conjuntos de área nula tiene área nula Teorema: toda función acotada en y continua excepto en un conjunto de puntos de área nula es integrable en Generalización de la integral doble a una región cerrada y acotada: sea región cerrada y acotada, función acotada en . Sea un rectángulo que contiene a , una partición de con norma y rectángulos parciales de área . Sea
o
Definimos la función
Gráfico 16
es integrable en
o
o
es integrable en y se escribe:
Teorema: sea región cerrada y acotada cuya frontera tiene área nula, sea función acotada en y continua en excepto en un conjunto de puntos de área nula. Entonces es integrable en Propiedades de la integral doble: sean y funciones continuas en región cerrada y acotada. Entonces vale lo siguiente: Linealidad:
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Positividad: si
entonces
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o
≥0 ≤ ∀∈ ≥ ∪ ∩ ∅
Monotonía: si
entonces
Aditividad respecto de la región de integración: si
donde
Integral iterada o sucesiva: es una integral definida cuyo integrando es también una integral definida. Tiene dos formas:
, , , ∈ℝ, , , , , ∈ℝ, , ⊂ℝ , ∈ℝ:≤≤,≤≤}
, ⃗ , ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ :≤≤,≤≤} ∈ℝ : →ℝ , , ∈ℝ , , ≤≤ , ∈ℝ:≤≤, } , ≥0 ∀∈, } , ∈ℝ:≤≤,≤≤ , ∫ , ∈, ∀∈, ∬ ,≥0 ∀∈ continuas en
Y la otra forma:
continuas en
o
o
Definición de región simple: una región
se dice simple respecto al eje si es decir, si toda paralela al eje corta a la frontera en a lo sumo dos puntos o en puntos de un segmento rectilíneo de su frontera.
se dice simple respecto al eje si toda recta paralela al eje intersecta a la frontera en a lo sumo dos puntos o en los puntos de un segmento rectilíneo de su frontera. se dice simple si es simple respecto al eje y al eje Teorema: sea continua en donde , las funciones y son continuas en , entonces es integrable en y vale la igualdad:
Si
o
Interpretación geométrica de la integral doble: supongamos continua en entonces por teorema:
Sabemos que
, ésta integral paramétrica definida
el área de una porción del plano vertical
nos da
, cuando
Si integramos estas áreas entre y obtenemos el volumen del cilindroide limitado superiormente por (gráfica de ) e inferiormente por
Gráfico 17
Es decir
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cuando
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1 ∀∈ ∬ 1 ≥ , ∬ ,
Si obtenemos el volumen de un sólido de base y altura pero este resultado se define como Si ambas continuas en entonces donde es el sólido limitado superiormente por de ecuación e inferiormente por de ecuación
Gráfico 18
o
Aplicaciones de la integral doble: Cálculo de área de regiones planas y de volúmenes de sólidos en el espacio Si es una lámina del plano cartesiano cerrada y acotada en la que está distribuida una masa total según una función densidad de masa (cantidad de masa por unidad de área) continua en , entonces:
o
o
o
, ⃗ , ⃗ , , :→ℝ :→ℝ ≥0 ∀∈ ℝ ∈ℝ . :→ℝ ⊂ℝ ∈ℝ ∗ ∈ ∗ ≡1, ≥0 ≡1, ∀∈ ≥0 ∈ℝ .1 1
Momento de inercia de la masa
respecto del eje
:
Momento de inercia de la masa
respecto del eje
:
Momento de inercia respecto del origen o momento polar:
Teorema del valor medio del cálculo integral (c/demo): sean continuas en , región cerrada y acotada de . Además existe tal que:
y
, funciones . Entonces
Teorema del valor intermedio: si es continua en región cerrada y acotada entonces para todo comprendido entre el máximo y el mínimo absoluto de la función existe tal que Interpretación geométrica caso particular : suponemos que son válidas las hipótesis del teorema y además: , entonces la tesis asegura que existe comprendido entre el máximo y el mínimo absoluto de , tal que:
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∗ ∈ ∗
Por el teorema del valor intermedio sabemos que existe tal que . El primer miembro de la igualdad representa el volumen de un sólido limitado superiormente por la gráfica de , e inferiormente por la región plana . El segundo miembro de la igualdad es el volumen de un sólido de altura . Esto se deduce por:
′ ∗ ∗
Gráfico 19
o
:⊂ℝ →ℝ , , ↦ , , , ℝ ∀∈ ≠0 ′ ⊂ :⊂ℝ →ℝ , , . |det′|. ′ det′0 , ′ , , ⃗ ⃗ ⃗ cos 0≤≤2 {sin 0≤≤∞ ,↦cos,sin × : 0 , ∞ 0 , 2 → ℝ ×0, 0 , ∞ 2 0,0 2 det′ det′≠0 ≠0 ⊂ 0, ∞×0,2 , cos,sin| |.. Teorema cambio de variables: sea abierto de tal que: es continuamente diferenciable en es inyectiva en
con
, el determinante
Si
o
es un conjunto cerrado y acotado cuya frontera tiene área nula, continua en . Entonces:
y
Observación: el teorema admite una generalización, la cual nos dice que la tesis sigue siendo válida aun cuando la función no es inyectiva en un conjunto de puntos de área nula contenido en o cuando en un conjunto de puntos de área nula contenido en Coordenadas polares: dado un punto se puede identificar con un par de números reales donde:
ángulo que se mide en sentido anti horario, formado por el vector positivo
y el semieje
Se deduce que
Defino la siguiente función es continuamente diferenciable en es inyectiva excepto en
,
y
Como si , entonces estamos bajo la hipótesis de la generalización del teorema, por lo tanto podemos decir que si con
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ℝ , × , × , ℝ , 1 < < <⋯< , 1 < < <⋯< , 1 < < <⋯< . . −,−, ×[. −−, ,]×. −−,, 1, … , ; 1, … , ; 1,… , max,/ ,∈} max :1≤≤} :→ℝ ℝ . = lim→ ∑= . → : →ℝ ℝ ℝ lim 0 → } ∈ℝ ℝ :⊂ℝ →ℝ
Integral triple o
Definición de integral triple sobre un rectángulo de : sea un rectángulo de , sea una partición del intervalo
con
Sea
una partición del intervalo
con
puntos de división:
Sea
una partición del intervalo
con
puntos de división:
puntos de división:
Trazamos por los puntos de planos paralelos al plano , por los puntos de planos paralelos al plano y por los puntos de planos paralelos al plano El rectángulo queda dividido en rectángulos parciales donde con es el volumen del rectángulo parcial , llamamos partición del rectángulo al conjunto de los rectángulos parciales El diámetro de
es:
Gráfico 20
Norma de la partición es:
Sea función acotada en rectángulo de . Sean puntos arbitrarios de los rectángulos parciales , consideramos la siguiente suma de Riemann:
Si existe el número real
o
o
independiente de la partición y de la
elección de los puntos decimos que es integrable sobre y el valor del límite se llama integral triple de Riemann de sobre Teorema: sea , rectángulo de y continua en , entonces es integrable sobre Definición de conjunto de volumen nulo: sea un rectángulo de que contiene a . Sea una partición de en rectángulos parciales . Sea la suma de los volúmenes de los rectángulos parciales que contienen al menos un punto de . Decimos que es un conjunto de volumen nulo si y sólo si . Se puede probar que los siguientes conjuntos tienen volumen nulo con Todo conjunto finito en La gráfica de una función continua definida en una región cerrada y acotada , continua en La unión finita de conjuntos de volumen nulo
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o
⊂ℝ ⊂ ℝ
:→ℝ ∈ ↦ 0 ∈ ∭ ,,.. ∭ ,,.. →lim→ =. : ⊂ℝ → Generalización de la integral triple: sea región cerrada y acotada, sea un rectángulo de tal que . Sea una partición de en rectángulos parciales de volumen y sean puntos arbitrarios de los Definimos la siguiente función:
Gráfico 21
La función es acotada en porque es acotada en
Si es integrable sobre decimos que es integrable sobre y escribimos:
o
o
Teorema: sea , región cerrada y acotada cuya frontera tiene volumen nulo, acotada en y continua en excepto en un subconjunto de volumen nulo. Entonces es integrable sobre Propiedades de la integral triple: Linealidad Positividad Monotonía Aditividad respecto de la región de integración
o
o
⊂ℝ : →ℝ , , , ∈ℝ / ≤≤ , ≤≤ ℎ , ≤≤ , } :,→ℝ ,∈ℝ:,/ ≤≤, →ℝ ≤≤ ℎ: ′ ⊂ ℝ→ℝ} : ′ → ℝ ∭,,.. ,,, , , , ,,
Definición de región simple: una región se dice simple si toda paralela a los ejes cartesianos intersecta a la frontera de en a lo sumo dos puntos o en los puntos de un segmento de recta contenido en la frontera Teorema: sea continua en donde: donde continua, continua, continua, continua, , entonces es integrable sobre y vale:
Gráfico 22
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o
o
1 , , ∀∈ , , ∭ , ℎ, , ℎ, ,, ∭,,.. ,, ⃗ ∭ ⃗,,.. ∭ ⃗,,.. :⊂ℝ ∭ ,,.. →ℝ ,,,,, ,,, ,, ∀∈:det ≠0 ′⊂ :→ℝ ∭ ,,.. ∭ , , , , , , , , . |det′,,|.. ′ det 0 ′ Interpretación geométrica: si hipótesis del teorema, es integrable
región cerrada y acotada como la de la
Aplicaciones de la integral triple: Si es un sólido que ocupa una región cerrada y acotada, con masa total distribuida según la función densidad de masa por unidad de volumen continua en , entonces la masa total de es:
Momento de inercia de una masa de un sólido que ocupa una región cerrada y acotada, donde la masa se distribuye según la función densidad continua en Momento de inercia respecto del eje :
o
Momento de inercia respecto del eje
:
Momento de inercia respecto del eje
:
Teorema cambio de variables: sea
, abierto, con la cual satisface las siguientes
condiciones: es continuamente diferenciable en es inyectiva en
Sea un conjunto cerrado y acotado tal que Entonces:
y sea
continua en .
Observación: el teorema admite una generalización la cual afirma que la tesis sigue valiendo aun cuando la función no es inyectiva en un subconjunto de volumen nulo contenido en o cuando para los puntos de un subconjunto de de volumen nulo
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o
,,
ℝ
, , ‖′‖ ⃗⃗′ 0 :,0, ∞,×↦cos 0,2 ×∞,,si∞n,→ℝ det , , ≥0,∭|det,|,.. ∭ cos , sin,.... , , ,, , ⃗ ⃗ ⃗ ⃗′ ⃗ ∈0, ∈0,2 Coordenadas cilíndricas: dado un punto se puede ubicar en números reales conocidos como coordenadas cilíndricas, donde:
según tres
es el ángulo medido en sentido anti horario desde el semieje positivo hasta el
Gráfico 23
vector
es la distancia del punto al plano Planteamos la siguiente función que cumplirá con las hipótesis de la generalización del teorema:
Como
o
, luego:
Coordenadas esféricas: dado un punto conocidos como coordenadas esféricas
se puede ubicar con tres números reales
es el ángulo que forma el semieje
es el ángulo entre el semieje positivo horario
positivo con el vector y el vector
, medido en sentido anti
Gráfico 24
. s i n . c os ..sinc.ossin × : 0 , ∞ 0 , 2 ×0, →ℝ , ,↦.detsin′.,cos,,.sin..sisnin,.cos |det′|∭ .s,in,.. ∭,, . .sin...
Se deduce
Proponemos la siguiente función que cumple con las hipótesis de la generalización del teorema:
Luego
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, entonces:
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, , ,
Integrales curvilíneas o
o
o
Definición de curva cerrada: decimos que es cerrado si , es decir, si el punto inicial coincide con el punto final Definición de curva simple: decimos que es simple si es inyectiva en o en Definición de curva regular: es una curva regular si y sólo si: es continua en es continua en
, ′ ,, ∀∈, ≠ , – , ∈, , ℝ , 1 < <⋯<− < <⋯< max| −|: 1, … , } 0, … , ⃗ ‖ ‖ − − = = lim→ ∑=‖ −‖ → ∫ , ‖:⊂ℝ ′‖→ℝ , , 1 <⋯<− < <⋯< max | | : 1, … , } − ∀0,∆…, ∆̅− →lim ∑= . ∆ − → ∈ , ,
o
o
o
Definición de curva regular a trazos: es regular a trazos si se puede descomponer en un número finito de áreas regulares Definición: si con punto inicial y punto final, es la misma curva recorrida en sentido contrario, es decir punto inicial y punto final. La ecuación de es: Longitud de arco de curva: sea curva en , simple. Sea una partición de con puntos de división: La norma de la partición es:
En quedan determinados los siguientes puntos: con Llamo a la poligonal que une los puntos . La longitud de la poligonal es:
Si existe
y es independiente de la poligonal , este límite se
llama longitud de la curva y se denota o
o
es rectificable Teorema: sea longitud es:
. Cuando existe el límite decimos que
una curva regular y simple, entones es rectificable y su
Integral curvilínea de un campo escalar: sea campo acotado en conjunto abierto, sea curva simple contenida en . Sea una partición del intervalo cerrado con puntos de división: Sea
norma de la partición , y arcos de longitudes , es decir
. Sean el arco parcial de que une los puntos y . Si existe , donde
arbitrario, y es independiente de la partición y de la elección de los puntos este límite se llama integral curvilínea del campo a lo largo de , y se denota:
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,
,
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:⊂ℝ →ℝ ⊂ , , , . ‖ ´‖ . , , ∪ ∩ ≠∅ ∩ } −, :⊂ℝ →ℝ⊂,,↦ ‖,,‖, ,,, ,, ∫ . ⃗. . ⃗ ′ . ⃗. . ‖ ′‖ . ‖ ´‖ . .′ . ,, ,, ,, . ⃗. . ⃗. . ⃗. ∪ ∩ ≠∅. ⃗ ∩} ⃗ ⃗ . . −⊂ℝ. ⃗ . ⃗ :⊂ℝ →ℝ , , ↦ , , , ⊂ ∮ . ⃗ Teorema: si es continua en abierto y conexo , regular y simple entonces es integrable sobre y vale lo siguiente:
o
curva
Propiedades de la integral: Linealidad:
o
Con constantes, funciones continuas en , curva regular y simple Aditividad respecto a la curva de integración: Si con o
Independencia del sentido de recorrido de :
Integral curvilínea de un campo vectorial: sea , abierto tal que
. Llamo
una curva regular y simple, sea campo continuo en
vector tangente unitario en cada punto de . La
integral curvilínea de a lo largo de es:
donde
es el producto escalar de
vectores. Como el producto escalar es una función continua, por teorema:
Otra forma de escribir la integral es la forma diferencial:
Propiedades de la integral: Linealidad:
o
Aditividad respecto de la curva de integración: Si con o
Dependencia del sentido de recorrido de :
Teorema de Gauss-Green (c/demo): sea región cerrada, acotada y simple. Sea curva regular a trazos, simple, frontera de , recorrida en sentido anti horario. Sea continuamente diferenciable en que . Entonces:
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, tal
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→ℝ, , ↦ :⊂ℝ ℝ, , , , , ,,∈ℝ: , , , , , , , ∈} :⊂ℝ →ℝ ∀,∈ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ∦⃗ ⃗ ×⃗ ≠Θ ⃗ ⃗ ⃗ ×⃗ ≠Θ ∈ ∀ , , ⃗, ⃗ , ⃗ ⃗ ⃗ , × ≠Θ ⃗ ⃗ ×⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ×⃗ ℝ :⊂ℝ →ℝ , … , , ∆ , ∆ →∞ , ⃗∆ ⃗∆ ⃗∆×⃗∆ ⃗ ×⃗.∆.∆ ≅ ⃗ ×⃗.∆.∆ ∑= ⃗ ×⃗. . : ⊂ℝ →ℝ :⊂ℝ →ℝ ,, , . ⃗ ×⃗ ..
Superficies – integrales de superficies o
o
o
Definición de superficie parametrizada: sea continua en conjunto conexo y no vacío. Llamamos superficie en a la imagen de , es decir: La función se llama “parametrización” de , y las variables y parámetros Definición de superficie regular: sea continuamente diferenciable en , con conjunto conexo y no vacío. Además los vectores y son linealmente independientes. Entonces decimos que es una superficie regular Observaciones: Si y son linealmente independientes entonces y
Podemos en la definición de superficie regular cambiar la condición
y
linealmente independientes por
Si es regular, el vector
es un vector tangente a la curva
contenida en la superficie. De manera análoga, el vector tangente a la curva
. El vector
es un vector
es un vector normal al
plano que generan y , pero este plano contiene a las rectas tangentes a las curvas y . Sabemos que el plano que contiene a todas las rectas tangentes es el plano tangente, por lo tanto es el vector normal del plano tangente el cual existe en cada punto de la superficie
Como y son continuas, varía con continuidad en cada punto de la superficie Por todo lo anterior, podemos decir que una superficie regular no tiene aristas ni picos vértices Definición de superficie simple: sea una superficie en . Decimos que es simple si y sólo si es inyectiva en Área de una superficie: sea una superficie regular y simple parametrizada por con región cerrada y acotada. Realizamos una partición en mediante rectas paralelas a los ejes coordenados, obteniendo rectángulos parciales . Llamo al rectángulo limitado por y . Al transformar por los segmentos que dividen a en rectángulos parciales, obtenemos una partición en , en superficies parciales que llamaremos rectángulos curvilíneos y denotamos . Llamamos al área de . Cuando , el área de es aproximadamente igual al área del paralelogramo contenido en el plano tangente a en el punto . Este paralelogramo es la proyección de en el plano tangente. Los lados de los paralelogramos
o
o
son los vectores
y
. El área del paralelogramo es:
Luego y Entonces por definición, el área de es:
o
Integral de una superficie de una función real: sea una superficie regular y simple parametrizada por con región cerrada y acotada. Sea función continua en . La integral de superficie de sobre es por definición:
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o
⃗ ×⃗ ≠Θ ∈ ∀ , ⃗ ⃗⃗ ××⃗⃗ ⃗ ⊂ℝ ∈ :⊂ℝ →ℝ , ↦ , , , , , :→ℝ, , , ↦,,, ,,⃗, ⃗⃗,××,⃗⃗ . ⃗. .⃗ ⃗ . ⃗. , . ⃗⃗ ××⃗⃗ . ⃗ ×⃗.. ⃗ ⃗ , . × .. ⃗ . . ∬ ∪ ∩ . . . ⃗ ⃗ − − Integral de superficie de un campo vectorial: si regular sabemos que . Llamamos versor normal al vector:
o
o
es una superficie es una superficie
el cual es un vector normal a la superficie
Es decir, el vector normal unitario Es claro que también es un versor normal a la superficie Definición: una superficie es orientable si y sólo si partiendo de cualquier punto y siguiendo una curva regular y cerrada contenida en , el versor normal a en cada punto de la curva varía con continuidad y vuelve a su posición inicial al regresar al punto . Toda superficie regular y simple es orientable Definición de integral de superficie de un campo vectorial: sea una superficie regular, orientable y simple parametrizada por Con región cerrada y acotada, y versor normal:
Sea campo vectorial continuo en . Se define la integral de superficie de sobre como sigue:
El producto es la componente del vector cuando se proyecta perpendicularmente sobre el versor normal . Como el producto es una función continua y real, la integral se calcula de la siguiente forma:
o
La integral es el flujo de campo a través de la superficie en la dirección normal a Propiedades de la integral superficie: Linealidad: vale para ambos Aditividad respecto a la región de integración: con
Análogamente para Dependencia de la orientación de :
Independencia de la orientación de :
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