Descripción: INFORME DE TRAZO DE CARRETERA POR USO DE NIVEL DE INGENIERO
trazo y seleccion de rutasDescripción completa
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Memoria descriptiva básica sobre el trazo y obtención de puntos de un caminoDescripción completa
Trazo de ruta en Lineas de Transmisión de Potencia, recomendaciones.Descripción completa
Curvas de Tafel o Curvas de Polarización
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Resumen sobre: APLICACIONES DE DERIVADAS TRAZOS DE CURVAS
Elaborado por: Prof. A. Patricia Vásquez H.
Valores Extremos Definición#1: Una función f es f es derivable derivable en un intervalo I, si la derivada
existe para cada valor en el
intervalo.
Definición #2: Una
función
f
tiene
un
máximo
relativo
en
x=c, x=c,
Resultado importante: importa nte: Si f es una función continua y con extremos relativos en “c”, entonces Gráficamente estos puntos máximos y mínimos se caracterizan de la siguiente manera:
N
M, N son máximos relativos P, Q son mínimos relativos N es máximo absoluto P es mínimo absoluto
Q
P
La derivada y la función monótona Teorema #1: Si f(x) es una función continua en un intervalo I y derivable con f´(x) entonces la función es decreciente.
si
Teorema #2: Si f(x) es una función continua en un intervalo I y derivable con f´(x) entonces la función es creciente.
Ejemplo: Determine los valores extremos y relativos de la función
.
Paso #1: Derivar la función
Paso #2: Desigualar la derivada a cero y resolver la inecuación
Con los valores anteriores se hace un cuadro de análisis para determinar cuáles son los puntos máximos y mínimos y cuáles son los intervalos de crecimiento y decrecimiento: 0
-
f´(x) f(x) Interpretación
+
-
-
+
Decrece
Decrece
Crece
Según el cuadro anterior la función:
Decrece en el intervalo cuadro)
(observar indicación en las flechas del
Crece en el intervalo
(observar indicación en las flechas del cuadro)
También se observa que se tiene un punto mínimo absoluto en
. Para
indicar el punto debemos sustituir el valor anterior en la función, es decir hacer
.
Así en punto mínimo se encuentra
dado por el par ordenado:
La segunda derivada y la concavidad
Teorema #3: Si f(x) es una función continua en un intervalo I y dos veces derivable, entonces: *) f´´(x)>0 implica que f(x) sea cóncava hacia arriba *) f´´(x)<0 implica que f(x) sea cóncava hacia abajo
Definición#3: Un punto de inflexión se le llama a aquel punto que indica un cambio en la concavidad del trazo de una función.
Ejemplo: Determine los intervalos de concavidad de la función
Paso #1: Derivar la función dos veces (Primera derivada) (Segunda derivada)
Paso #2: Desigualar la segunda derivada a cero y resolver la inecuación
Con el valor anterior se hace un cuadro de análisis para determinar si este valor corresponde a un punto de inflexión y en cuáles intervalos se presenta la gráfica con concavidad hacia arriba y hacia abajo:
+
-
f´´(x)
-
+
Cóncava hacia abajo
Cóncava hacia arriba
f(x) Interpretación
Según el cuadro anterior la función:
Es cóncava hacia abajo en el intervalo Es cóncava hacia arriba en el intervalo También se observa que se tiene un punto de inflexión en
. Para
indicar el punto debemos sustituir el valor anterior en la función, es decir hacer inflexión se encuentra dado por el par ordenado:
.
Así el punto de
Pto. Inflexión
Las asíntotas Para analizar una función también debe tomarse en cuenta si las mismas presentan asíntotas, tanto verticales como horizontales.
ASÍNTOTAS HORIZONTALES Estas se hallan al tomar la función y hallar el límite al infinito de la misma, es decir:
En el caso de las funciones que son polinómicas, estas no poseen asíntotas de este tipo.
ASÍNTOTAS VERTICALES Este tipo de asíntotas se encuentran en aquellos puntos cuyo denominador de la función (encaso que lo posea), se hace cero, es decir, en aquellos puntos que indefinan la función.
ESQUEMA GENERAL A SEGUIR EN EL ESTUDIO Y REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES
PROPIEDADE S
Dominio
CARACTERIZACIÓN
OBSERVACIONES
El dominio de la función será el conjunto de valores para lo cual es permitido sustituir en la función y esta no se indefine, es decir el conjunto de valores máximo posible.
Ámbito Discontinuidades La intersección con Y puede tener ninguno o un punto. La intersección con el eje X puede tener ninguno, uno o más puntos.
Puntos de Corte Si f ’ no posee raíces reales, el nº máximo de raíces de f es uno. Si f ’ solo posee una raíz real, f tendrá dos raíces como máximo. etc...
Signo
Simetrías Periodicidad
Hacer un esquema para las regiones de existencia del siguiente modo:
Si una función es par o impar sólo es necesario estudiarla en R+ , es decir para valores positivos de x. T es el periodo mínimo Una función puede tener como máximo dos A.H., y la gráfica no puede cortar a la asíntota. Una función puede tener infinitas A.V. y la gráfica nunca corta a la asíntota.
Asíntotas Las funciones polinómicas no presentan asíntotas.
Las funciones racionales tienen asíntotas verticales en los valores de x que anulan el denominador.
Monotonía
Localizar los valores de x en los que f ’(x)=0 o la f ’(x) no está definida. Estos valores determinan unos intervalos prueba donde mirar el signo de f ’(x).
Otros criterios para localizar los extremos son:
Extremos Relativos
Cambio de signo de la f ’(x)
Teorema de Taylor
Localizar los valores de x en los que f ’’(x)=0 o la f ’’(x) no está definida. Estos valores determinan unos intervalos prueba donde mirar el signo de f ’’(x).
Curvatura
Otros criterios para localizar los puntos de inflexión. son:
Puntos de Inflexión
Tabla de valores Gráfica
Cambio de signo de la f ’’(x)
Teorema de Taylor
Construir una tabla de valores con los puntos característicos ya calculados más otros convenientemente elegidos y así facilitar su representación gráfica.
La situación de la gráfica con relación a las asíntotas es importante para la representación gráfica.
La gráfica de la función f es el lugar geométrico de los puntos del plano cuyas coordenadas satisfacen la ecuación y = f(x)
Dividir los ejes convenientemente para representar todas las características de f .
