Resumen de Análisis matemático I

U.T.N. F.R.M. Ingeniería Electr nica

R sumen de Aná isis m temáti o I

Autores: Juan Pablo Martí

UNI AD I: RELACIONES Y FUNCIONES Entorno y Entorno Reduci o Entorno: E ( a; δ ) (entorno de cen tro “a” y radio “ δ”) E ( a; δ ) = (a − δ ; a + δ ) x − a < δ Entorno Reducido: E * (a; δ ) = E ′( a; δ ) (no incluye al punto a) E * ( a; δ ) = ( a − δ ; a) ∪ ( a; a + δ ) = 0 < x − a < δ

Funciones Par e Impar Función Par: f: A→B será par ⇔ ∀x Domf ⇒ f(x) = f(-x) Característica Gráfica: S imetría respecto al eje y. Función Impar: f: A→B será impar ⇔ ∀x ∈ Domf ⇒ f(x) = -f(-x) Característica Gráfica: S imetría respecto al origen de coordenadas.

UNI AD II: LÍMITES Y CONTINUIDAD Definición rigurosa de lím te Si lím f ( x) = l ⇔ ∀ε > 0; ∃δ (ε ) > 0 /(∀ x : x ∈ Domf ∧ 0 < x − a < δ ) x → a

f ( x) − l < ε

Propiedad del Sándwich Si lím f 1 ( x ) = l ∧ lím f 2 ( ) = l ∧ ∀ x ∈ E ( a; δ ) : f 1 ( x) ≤ f 3 ( x) ≤ f 2 ( x) x → a

lím f 3 ( x ) = l

x → a

x → a

Algunos límites especiale lím f ( x ) = l

x → ±∞

I. II. III.

gr. P(x) = gr. Q(x) ⇒ l = Cociente entre los coeficient s principales de los dos polinomios. gr. P(x) < gr. Q(x) ⇒ l = 0 gr. P(x) > gr. Q(x) ⇒ l = ∞

Infinitésimos f ( x ) es un infinitésimo en x = a ⇔ lím f ( x ) = 0 x → a

Funciones infinitésimas e uivalentes lím

x → 0

senx x

= lím x → 0

gx x

= lím x →0

senx tgx

= lím x → 0

tgx senx

= lím x → 0

x senx

= lím x → 0

x tg

=1

Definición de Continuidad f ( x) es continua en x = a ⇔ en a cumple con las siguientes cond iciones:

1. ∃ f (a ) 2. ∃ lím f ( x) = l (único y finito) x → a


Página 1

Resumen de Análisis matemático I

3. l = f (a)

Clasificación de Discontin idad Discontinuidad Evitabl (aparente): Cuando no existe f (a ) pero ∃ lím f ( x) = l (único y finito). En ese ca so se rearma la x → a

función con varias reglas para que sea continua. Existe en esta funci ón una LAGUNA. Discontinuidad No Evit ble (no removible): Cuando no existe f (a ) y no existe l único y finito. En ese caso exis e un SALTO, cuyo valor se obtiene de l d li , y puede ser finito o infinito.

Continuidad Lateral Si f ( x) tiene límites la erales distintos en x = a , pero: 1. ∃ lím f ( x) = l i = f (a ) ⇒ ∃ Continuidad Lateral Izquierd x → a

−

2. ∃ lím f ( x) = l d = f (a) ⇒ ∃ Continuidad Lateral Derecha x → a +

Álgebra de las funciones c ontinuas Funciones Continuas en x = a f ( x ) y k ∈ IR f ( x ) y g ( x ) f ( x ) y g ( x ) f ( x ) y g ( x ) ≠ 0

⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒

Función continua en = a k . f ( x) f ( x ) + g ( x) f ( x ).g ( x) f ( x ) g ( x)

f ( x ) y g ( x ) (continua en f ( a ) )


⇒

Página 2

( gof )( x )


UNIDAD III: DERIVADAS Y DIFERENCIALES Recta secante y Recta tan ente geométricas

Mtg (pendiente de la ta gente) = lím

f ( x) − f ( x0 ) x − x0

X → Xo

Incremento e incremento de la función Incremento: ∆ x = x − x 0

Incremento de la funci n: ∆ y = f ( x ) − f ( x 0 ) = f ( x 0 + ∆ x) − f ( x 0 )

Razón de cambio promedio (cociente incremental) ∆ y ∆ x

=

f ( x) − f ( x0 ) x − x0

=

f ( x0 + ∆ x) − f ( x0 ) ∆ x

Razón de cambio instantánea lím

→ Xo

∆ y ∆ x

= lím

f ( x 0 + ∆ x ) − f ( x 0 ) ∆ x

∆ x → 0

Definición de derivada y ' = f ' ( x) =

y x

= Df ( x) = lím

X → Xo

∆ y ∆ x

= lím

∆ x → 0

f ( x 0 + ∆ x) − f (

0

)

∆ x

Función derivada Es la función que nos p rmite calcular la derivada en un punto en b se al valor del punto elegido. Autores: Juan Pablo Martí

Página 3


Condición: Domf ' ⊆ D mf

Interpretación geométric de la derivada Es la pendiente de la re ta tangente en el punto. M t g = f ' ( x ) = lím

f ( x 0 + ∆ x ) − f ( x 0 ) ∆ x

∆ x → 0

Punto anguloso y cuspidal Si el cociente incremen al no tiene límite único y finito, entonces no existe derivada única. Lo que puede oc rrir es: 1. l d ≠ l i ( finit s ) ⇒ ∃2t g ⇒ tiene dos derivadas laterales Existe Punto Anguloso 2. (l = +∞) ∨ (l = −∞) ⇒ tiene derivada infinita 3. l = ±∞ ⇒ ∃ t g (coincidentes verticales), una con Mtg = ∞ y la otra con Mtg = −∞ Existe Punto Cuspidal r

r

Derivabilidad y Continuid d

D rivabilidad ⇒ Continuidad Continuidad ⇒ / Derivabilidad (no siempre) No continua

⇒

No derivable

Reglas de derivación (tabla de derivadas) Función

Función Derivada

f ( x ) = k /( k ∈ IR)

f ′( x ) = 0

f ( x ) = x f ( x ) = kx

f ′( x ) = 1 f ′( x ) = k

f ( x ) = x m /( m ∈ IR )

f ′( x) = m. x m−1

f ( x ) = n x m /( n, m ∈ IR)

f ′( x) =

f ( x ) = ln x

f ′( x) =

m n 1

⋅ x

m −1 n

f ( x ) = e

x f ′( x) = e x

f ( x ) = a x /( a > 0 ∧ a ≠ 1)

f ′( x) = a x . ln a

x

f ( x ) = log a x /( a > 0 ∧ a ≠ 1)

f ′( x) =

1

f ( x ) = cos x

x. ln a f ′( x) = cos x f ′( x) = − sin x

f ( x ) = tan x

f ′( x) = sec x

f ( x ) = cot x f ( x ) = sec x

f ′( x) = − csc x f ′( x) = sec x. tan x

f ( x ) = csc x

f ′( x) = − csc x. tan x

f ( x ) = sin x

f ( x ) = arcsin x


2

2

f ′( x) =

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1 1 − x 2


f ( x) = arccos x

f ′( x) = −

f ( x) = arctan x

f ′( x ) =

1 1 − x 2 1

f ( x) = sinh x

1 + x 2 1 f ′( x ) = − 1 + x 2 1 f ′( x) = x. x 2 − 1 1 f ′( x) = − x. x 2 − 1 f ′( x ) = sinh x f ′( x ) = cosh x

f ( x) = tanh x

f ′( x ) = sec h 2 x

f ( x) = coth x

f ′( x ) = − csc h 2 x f ′( x ) = − sec hx. tanh x f ′( x ) = − csc hx. coth x

f ( x) = arc cot x f ( x) = arc sec x f ( x) = arc csc x f ( x) = cosh x

f ( x) = sec hx f ( x) = csc hx f ( x) = arg sinh x

f ′( x) =

f ( x) = arg cosh x

f ′( x) =

f ( x) = arg tanh x

f ′( x ) =

1 1 + x 2 1 x 2 − 1 1

1 − x 2 1 f ′( x ) = − 2 x − 1 1 f ′( x) = − x 1 − x 2 1 f ′( x) = x x 2 + 1

f ( x) = arg coth x f ( x) = arg sec hx f ( x) = arg csc hx

Álgebra de la derivada Derivada de la Suma:

[ f ( x) + g ( x)]′ = f ′( x) + g ′( x) Derivada del Producto:

[ f ( x).g ( x)]′

= f ′( x ).g ( x ) + f ( x ).g ′( x)

Derivada del Cociente: f ( x) 

′

 g ( x)  = 

f ′( x).g ( x ) − f ( x ).g ′( x) g 2 ( x )

Derivada de una función compuesta ( gof ) ′( x ) = g ′[ f ( x)]. f ′( x) =


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dg df ⋅ df dx


( goho ) ′( x ) =

dg dh df (regla de la cadena) ⋅ ⋅ dh df dx

Derivada de una función n forma implícita Ejemplos: ln y. = y 2 + x 3 ⇒ derivo ⇒

1 y

⋅ y ′ = 2 y. y ′ + 3 x

2

sin y + cos = y. x ⇒ derivo ⇒ cos y. y ′ − senx = y ′. x +

Método logarítmico de derivación Se aplica generalmente a las funciones exponenciales y potenciales. g ( x ) ⇒ aplico ln y = [ f ( x)] ln y = g ( x). ln f ( x ) ⇒ derivo 1 y

· y ′ = g ′( x ). ln f ( x ) + g ( x )·



1 f ( x)

· f ′( x) ⇒ despejo y ′

g ( x ). f ′( x ) 

 ⇒ reemplazo y   g ( x ). f ′( x)  g ( x )  y ′ = [ f ( x)] . g ′( x ). ln f ( x ) +  f ( x )   y ′ = y. g ′ x). ln f ( x ) +

f ( x)

Derivada de la función in ersa y = f ( x) ⇒

= f ( y ) ⇒ derivo −1

′ − x ′ = [ f 1 ( y )] ⇒ aplico

derivada

de

una

composicion

′ 1 = [ f −1 ( y )] . ′ ⇒ reemplazo

1 = x ′. y ′ ⇒ y ′ =

1 x ′

Diferencial El incremento de la fun ión puede expresarse como ∆ y = f ′( x).∆x + ω .∆ x , siendo ω un infinitésimo para ∆ x → 0 . Al primer término se lo llama diferencial de y, y e escribe: dy = f ′( x ).∆ x

o dy = y ′.dx (expresión analítica)

Reglas de diferenciación Ya que el diferencial dif iere de la derivada en el valor arbitrario de x , las mismas reglas de derivación nos sirven para la diferenciación.


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Interpretación geométric de la diferencial Q ε .∆ x

T

∆ y

dy

P

R ∆ x

x + ∆ x

Aproximación lineal f ( x) ≅ f ( x0 ) + f ′( x 0 ).∆ x

Con:  



x = punto a aproximar x 0 = punto cercano a x ∆ x = x − x 0

Álgebra de la Diferencial d [ f ( x) + g ( x)] = df ( x) d ( g ) d [ f ( x).g ( x)] = g.df ( x) + f .dg ( x) 





 f ( x)  g.df ( x) − f .dg ( x) = 2 ( ) g x g ( x)  

d 

Deducciones de crecimiento y concavidad de las funciones f ( x )

f ′( x )

f ′′( x)

Cóncava hacia arriba

Cóncava hacia abajo

Creciente

Decreciente

+ Positiva

Negativa

Creciente

Decreciente

+ Positiva

Negativa

UNIDAD IV: APLICACIONES DEL CÁLCULO DIFER NCIAL Definición de Máximo rel tivo (Mr) y = f ( x ) tiene un Mr f ( x0 ) , siendo x 0 ∈ Domf ⇔ ∃ E * ( x 0 ; δ ) / ∀x; f ( x ) ≤ f ( x 0 )

Definición de mínimo relativo (mr) * y = f ( x) tiene un mr f ( x 0 ) , siendo x0 ∈ Domf ⇔ ∃ E ( x 0 ; δ ) / ∀x; f ( x ) ≥ f ( x 0 )

Condición necesaria pero no suficiente para la existencia de ex remos relativos Para que exista extremo relati o en un punto x0 ∈ Domf es necesario que: Autores: Juan Pablo Martí

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∃ f ′( x 0 ) = 0

Punto crítico Son los puntos donde l función puede presentar un extremo relati o. Puntos donde f ′( x) = 0 Puntos donde ∃/ f ′( x) , siendo punto anguloso o cuspidal.  

Criterios para determinar Extremos relativos Aplicando la definici n Si x0 ∈ Domf es punto crítico y h un número pequeño arbit f ( x 0 ), f ( x 0 − h) y f ( x 0 + h) y los comparamos: Si [ f ( x0 ) > f ( x0 + h)] ∧ [ f ( x 0 ) > f ( x0 − h)] ⇒ f ( Si [ f ( x0 ) < f ( x0 + h)] ∧ [ f ( x0 ) < f ( x0 − h)] ⇒ f ( Si no se cumple ninguna de las anteriores, en x0 l creci nte o decreciente. 





ario, calculamos

0

) = Mr

0

) = mr

función es

Método de la deriva a primera 1. Derivo la función. 2. Hallo los puntos críticos. 3. Si x0 ∈ Dom es punto crítico y h un número pequeño a rbitrario, calculamos f ′( x 0 − h) , ′( x 0 + h) y concluimos: Si [ f ′ x0 − h) > 0] ∧ [ f ′( x0 + h) < 0] ⇒ ∃ Mr = f ( x ) Si [ f ′ x0 − h) < 0] ∧ [ f ′( x0 + h) > 0] ⇒ ∃mr = f ( x0 ) 



Método de la deriva a segunda 1. Derivo la función. 2. Hallo los puntos críticos. 3. Hallo la deri ada segunda de la función en el punto. Si f ′′( x0 ) > 0 ⇒ ∃mr = f ( x0 ) Si f ′′( x0 ) < 0 ⇒ ∃ Mr = f ( x0 ) Si f ′′( x0 ) = 0 , aplico método de la derivada prim ra o definición. 





Puntos de Inflexión Pi ( x0 ; f ( x 0 ) ) es un Punto de Inflexión de

f ( x ) , si y sólo si en dicho punto cambia el

sentido de la concavidad de la curva, o bien es el punto donde la recta tang ente la corta. Condición necesaria pero no suficiente: Si Pi ( x0 ; f ( x0 ) ) es un P nto de Inflexión de f ( x) y ∃ f ′′( x0 ) ⇒ f ′′( 0 ) = 0 Para hallar los Puntos de Inflexión: 1. Hallamos la deri ada segunda de la función. 2. La igualamos a cero para hallar los puntos críticos, posibles i . 3. Analizamos el si no de f ′′( x) a ambos lados del punto. Si és te cambia, hay inflexión. Existe otro criterio: Autores: Juan Pablo Martí

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Si f ′′( x 0 ) = 0 , h llo la primera derivada sucesiva no nula en el punto. Si el número de derivada es impar, el punto es de inflexión. Si el número es par, no existe punto de inflexión en x0 .

Extremos absolutos Surgen de comparar los valores de los extremos relativos de una fu ción en un intervalo (a; b) , con los valore de la función en los extremos del mismo: Si el valor de la unción en algún extremo es mayor que el va lor del mayor máximo relativo dentro del intervalo, ese valor es el máximo absoluto. Sino, el mayor máximo relativo es el máximo absoluto (M). Si el valor de la unción en algún extremo es menor que el v lor del menor mínimo relativo dentro del intervalo, ese valor es el mínimo absoluto. Sino, el menor mínimo relativo es el mínimo absoluto (m). 



Asíntotas Definición: Diremos qu una recta R es asíntota de una curva f ( x) , si la distancia “d” desde un punto P de la curva q ue se aleja infinitamente sobre la f ( x) , tiende a cero. Un punto se aleja infinitamente sobre la curva cuando al menos una coordenada tiende a ∞ .

Asíntotas Horizontal s La recta y = b es una Asíntota Horizontal de f ( x) ⇔ lím f ( x) = b x →∞

Si f ( x) es una f unción racional, el valor de b se puede calc lar mediante la siguiente regla: 1. gr. P(x) = gr. Q(x) ⇒ b =

coef . ppal.P ( x ) coef . ppal.Q ( x )

2. gr. P(x) < gr. Q(x) ⇒ b = 0 3. gr. P(x) > gr. Q(x) ⇒ ∃/b

Asíntotas Verticales ±∞

La recta x = a es una Asíntota Vertical de f ( x) ⇔ lím f ( x)

+∞

x → a

−∞

Para calcular el alor de a en funciones racionales, obtenem os las raíces que anulan al polino io denominador en las cuales el límite tien e a valores infinitos.

Asíntotas Oblicuas La recta y = mx n es Asíntota Oblicua de f ( x) ⇔ lím [ y c − y r ] o que x →∞

lím [ f ( x ) − (mx

x → ∞

n)] = 0 .

Para hallar el val or de m calculamos: m = lím

x → ∞

f ( x) x

Para hallar el val or de n calculamos: n = lím [ f ( x) − mx] x →∞


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Teoremas del Valor Medi Las funciones continuas en [a; b] y derivables en (a; b) cumplen con un conjunto de teoremas en puntos int eriores del intervalo. Los tres más importantes son:

Teorema de Rolle Si f ( x) es continua en a; b] y derivable en (a; b) y además f (b) = (a ) , entonces: ∃c ∈ (a; b) / f ′(c) = 0

Teorema de Lagrange Si f ( x) es continua en a; b] y derivable en (a; b) , entonces: ∃c ∈ (a; b) /

f (b) − f ( a) b−a

= f ′(c)

Teorema de Cauchy Si f ( x) y g ( x) son con inuas en [a; b] y derivables en (a; b) , y g ′( x ≠ 0 en el (a; b) , entonces: ∃c ∈ ( a; b) /

f (b) − f (a ) g (b) − g ( a)

=

f ′(c) g ′(c)

Regla de L’Hôspital Si lím x → a

Si lím x → a

x → ∞

f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)

=

=

0 0

f ( x) f ′( x) f ′( ) = lím ⇒ lím x → a g ( x) x → a g ′( x) x → a g ′( )

y ∃ lím

∞ ∞

y ∃ lím x → a

x → ∞

f ( x) f ′( x) f ′( x) = lím ⇒ xlím →a g ( x) x → a g ′( x) g ′ x) x →∞

x → ∞

Regla de Newton (resoluc ón aproximada de ecuaciones) Sea f ( x) = 0 una ecua ión cuyo primer miembro admite una deriv da segunda; si a es un valor aproximado de la raíz de esta ecuación, es decir, si existe u a raíz α y sólo una en (a, b) , y ponemos α = a + x′ , aplicando el desarrollo de Taylor a l intervalo (a; α ) , la ecuación puede escribir se así: f ( ) = f (a) + x ′. f ′(a ) +

1 2

2

. x ′ . f ′′(ξ ) = 0

donde la nueva incógni a x′ es el incremento que debe asignarse al valor a para tener exactamente la raíz α a + x ′ . Naturalmente no pode os resolver la ecuación por tener x ′ 2 en el segundo término, pero podemos prescind ir de él y tomamos como expresión aproxim ada de la función el polinomio de primer gr do. (a ) + x ′. f ′( a) = 0 da: x′ = −

f ( a) f ′( a)

UNIDAD V: I NTEGRALES Función Primitiva F ( x) es una primitiva de f ( x) ∀ x ∈ C (conjunto común a los domi ios de las dos funciones) ⇔ F ′( x) = ( x) Autores: Juan Pablo Martí

Página 10


Cálculo Integral Conocida f ( x) , para h llar F ( x) usamos el operador integral

∫

y será tal que

antepuesto al producto f ( x).dx nos dé como resultado F ( x)

∫ f ( x).dx = F ( x) ⇒ F ′( x) = f ( x) Integral Indefinida Si F ( x) es una primitiv de f ( x) en un conjunto C, llamaremos int gral indefinida de la f ( x ) a la expresión ( x ) + c , donde c ∈ IR .

∫ f ( x).dx = F ( x) + c Tabla de Integrales Inmediatas Función

Primitiva

∫ 0.dx ∫ dx ∫ k .dx / k ∈ IR ∫ x .dx / n ≠ (−1)

k / k ∈ IR

n

∫ sin x.dx ∫ cos x.dx ∫ e .dx ∫ a .dx

kx x

n +1

+c n +1 − cos x + c

sin x + c x e +c

x

x

a

x

+c ln a ln x + c

1

∫ x.dx 1

ln x − a + c

∫ x − a .dx 1

x

∫ x. ln a ∫ sec x.dx ∫ − csc x.dx ∫ sec x. tan x.dx ∫ − csc x. tan x.dx 1 ∫ 1 − x .dx .dx

2

2

log a x + c tan x + c cot x + c sec x + c csc x + c arcsin x + c

2

∫− ∫

1

1 − x 2 1 .dx 1 + x 2

.dx


arccos x + c arctan x + c

Página 11


1

∫ − 1 + x

∫ x. ∫

−

2

arc cot x + c

.dx

1 x 2 − 1 1

arc sec x + c

.dx

x. x 2 − 1

.dx

∫ sinh x.dx ∫ cosh x.dx ∫ sec h x.dx ∫ − csc h x.dx ∫ − sec hx. tanh x.dx ∫ − csc hx. coth x.dx 1 ∫ 1 + x .dx 2

2

arc csc x + c

cosh x + c sinh x + c tanh x + c coth x + c sec hx + c csc hx + c arg sinh x + c

2

∫ ∫ ∫

∫ ∫

1

arg cosh x + c

.dx

x 2 − 1 1 .dx 1 − x 2 1 − 2 .dx x − 1 1 − .dx 2 x 1 − x 1 .dx 2 x x + 1

arg tanh x + c arg coth x + c arg sec hx + c arg csc hx + c

Propiedades de las Integr les Indefinidas 1. Integral de una suma: [ f ( x) ± g ( x)].dx = F ( x) ± G ( x) + c 2. Integral de una consta te por una función: ∫ k . f ( x).dx = k .F ( x) / k ∈ IR

Métodos Generales de Int egración Descomposición Se aplica cuand la f ( x) es una suma de funciones, o se pu de convertir en tal. Consiste en apli ar integral de una suma.

Sustitución Se hace un cam io de variable, de tal manera que con respe to a la nueva variable, la integral resulte inmediata. Una vez resuelta, vuel vo a la variable x . En general son del tipo ∫ g [ f ( x)]. f ′( x).dx Ejemplo:


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u = 1 + sin(2 x)

∫ [1 + sin(2 x)] . cos( 2 x).dx = du = 2 cos(2 x).dx = 3

du

2 1 2

∫

u 3+1

3

. u .d =

2.(3 + 1)

+c =

1 8

= cos( 2 x).dx

u4 + c =

1 8

[1 + sin(2 x)]4 + c

Integración por part s Surge de integra r la diferencial de un producto. d (u.v) = v.du + u.dv

∫ d (u.v) ∫ v.du + ∫ u.dv u.v = ∫ v. u + ∫ u.dv ∫ u.dv = u.v − ∫ v.du Luego, reemplazo la integral propuesta por su equivalente, l que debe quedar simplificada, de manera de poder resolverla inmediatament o por otro método. Ejemplo:

∫

x. sin x. x =

u = x

du = dx

dv = sin x.dx

v = − cos x

=

∫

− x. cos x − (− cos x).dx = − x. cos x + sin x + c

Integrales trigonométrica 1. Primer caso: Potencia i par: Descompongo l potencia impar en un producto de una par otra con exponente 1, para que de ello resulten integrales inmediata o susceptibles de ser resueltas po los tres métodos. 2. Segundo caso: Potenci par: Convierto el integrando en una identidad equivalente para q ue pueda ser resuelta inmedi tamente o aplicando los métodos. 3. Tercer caso: Producto e potencias de seno y coseno con un expon nte impar: Descompongo l potencia impar en un producto de una par otra con exponente 1. La potencia par puede ser reemplazada por un a identidad equivalente que contenga la primitiva de la potencia de exp nente uno. para que de ello resulten integrales inmediatas o susceptibles de ser resueltas por los tres métodos. 4. Cuarto caso: Producto e potencias de seno y coseno con exponen es pares: Convierto una d las potencias en su identidad equivalente, de manera que me queden sumas y restas de sólo senos o sólo cosenos. De esta manera logro llegar a integrales de sin 2 x o cos 2 x , y en ellas los reemplazo utili zando las identidades trig nométricas para convertirlos en sumas y re olver por descomposición. 5. Quinto caso: Producto e senos y cosenos: Surge de aplicar las fórmulas de transformación trigonométricas: 

sin p. cos q =


sin( p + q ) + cos( p − q ) 2 Página 13


(deducida d una suma m.a.m. entre las fórmulas del se o de la suma y de la resta) 

cos( p + q ) + cos( p − q )

cos p. cos q

2

(deducida d una suma m.a.m. entre las fórmulas del co eno de la suma y de la resta) 

sin p. sin q =

cos( p − q) − cos( p + q) 2

(deducida d una suma m.a.m. entre las fórmulas del co eno de la suma y de la resta)

Fórmulas útiles para la resolución de Integrales Trigonom tricas 2 2 sin x + cos x = 1 (1)

cos( x + x) = cos x. cos x − sin . sin x ⇒ cos( 2 x) = cos 2 x − sin 2 x ⇒ por (1)

cos( 2 x) + sin 2 x = cos 2 x ⇒ cos x = cos( 2 x) + 1 − cos x ⇒ cos x + cos x = cos( 2 x) + 1 ⇒ 2

2

2

2

2. cos 2 x = 1 + cos( 2 x) ⇒ 1 + cos( 2 x)

cos 2 x

(2) y sin 2 x =

2

1 − cos( 2 x) 2

(3)

Método de descomposici n en fracciones simples Consiste en descomponer una función racional en la cual P ( x) es d menor grado que Q( x) , en una suma de racciones más simples, para luego resolver l a integral por descomposición. Existe cuatro casos: 1. Primer caso: Raíces simples: P( x) Q( x)

=

A

( x − x1 )

+

B

(x −

2

)

+ ... +

N

( x − xn )

con A, B,..., N coeficientes incógnita y

x1 , x 2 ,..., x n raíces simples de Q( x) .

2. Segundo caso: Raíces últiples: P( x) Q( x)

=

A

( x − x1 ) n

+

B

( x − x1 ) n −

1

+

C

( x − x1 ) n −

2

+ ... +

D

( x − x1 )

+

E

( x − x 2 )

+ ... +

N

( x − x n )

con

A, B, C , D,..., N coefici ntes incógnita, x1 raíz múltiple de Q( x) y x 2 ,..., x n raíces

simples de Q( x) . 3. Tercer caso: Raíces co plejas simples: P( x) Q( x)

=

Ax + B Q1

+

Cx + Q2

+

E

( x − x1 )

+

F

( x − x 2 )

+ ... +

N

( x − x n )

con A, B, C , D, E , F ,..., N

coeficientes incógnita, 1 , Q2 polinomios irreducibles que contenga n raíces complejas de Q( x) y x1 , x 2 ,..., x n raíces simples de Q( x)

Integral Definida Si una función f ( x) es continua en un intervalo [a; b] y determina on el eje x una región R, en dicho inter alo existe un único valor real que es la inte ral definida de f ( x) .


Página 14


∫

b

a

f ( x .dx = Integral definida de f ( x) en [a; b ]

Propiedades de la Integra Definida a

∫ f ( x).dx = 0 ∫ f ( x).dx = −∫

I.

a

b

II.

a

a

b

f ( x).d

III. Si f ( x) es integrable e [a; b ] y f ( x) ≥ 0 en [a; b ] ⇒

∫

b

a

f ( x).dx ≥

IV. Si f ( x) y g ( x) son int grables en [a; b] y ∀ x ∈ [a; b] es f ( x) ≥ g ( x) ⇒

∫

b

a

f ( x).dx ≥

∫

b

a

g ( x).dx b

b

V. Si f ( x) y g ( x) son int grables en [a; b] ⇒

∫a [ f ( x) + g ( x)].dx = ∫a

VI. Si f ( x) es integrable e [a; b ] y k ∈ IR ⇒

b

∫

a

∫

( x).dx +

∫

b

a

g ( x).dx

b

k . f ( x).dx =k . f ( x).d a

VII. Si en la integral definid , la x se sustituye por otra variable, el valor e la integral no cambia. VIII.

b

∫ k .dx =k .(b − a) [a; b] y c ∈ (a; b) ⇒ ∫ f ( x).dx = ∫ f ( x).d + ∫

Si f ( x) = k / k ∈ IR en [a; b] ⇒

IX. Si f ( x) es integrable e

a

b

c

b

a

a

c

Teorema del valor medio el cálculo integral Si f ( x) es continua en [a; b] , entonces existe al menos un punto

∫

b

a

c

f ( x).dx

(a; b) tal que:

f ( x).dx = f (c).(b − a)

Para demostrarlo parti os de que si f ( x) es continua en [a; b] , tiene un m (mínimo absoluto) y un M (máximo absoluto). Luego integramos estas 3 fun ciones ( f ( x) , y = m y y = M ). Aplic mos propiedades y despejamos.

Función integral Si a uno de los extremos de la integral definida lo hacemos variable, entonces

x

∫

a

f (t ).dt

va a ser una función del extremo variable y la llamamos F ( x) . De allí se puede deduci que

x

∫

a

f (t ).dt = F ( x) + c (integral indefinida).

Regla de Barrow Si F ( x) es una primitiv de f ( x) en [a; b] , entonces:

∫

b

a

b

f ( x).dx = F (b) − F ( a) = F ( x) a

UNIDAD VI : APLICACIONES DEL CÁLCULO INTE RAL Cálculo de áreas Si una función f ( x) es continua en un intervalo [a; b] , el área A , q e determina su gráfica con el eje de las abscisas es la integral definida de f ( x) entre x1 = a y x 2 = b .


Página 15


∫

b

a

f ( x).dx = A

(Área de la región c omprendida entre f ( x) , el eje x y las recta s x = a y x = b ) r





Si f ( x) mantiene el signo en [a; b] , la integral definida se interpret como el área del recinto. Si f ( x) no mantiene s signo en [a; b ] , el área del recinto se calcul sumando las integrales definidas en ada intervalo de positividad y los valores ab solutos de las integrales definidas en ada intervalo de negatividad. Esto es: Si f ( x) , definida en [a; b] es ∀ x ∈ [a; c ] : f ( x) ≥ 0 y ∀ x ∈ [c; b] : f ( x) ≤ 0 , entonces el c

área A = ∫ f ( x).dx + a

∫

c

f ( x).dx

Área entre dos curvas Si f ( x) y g ( x) son int grables en [a; b] , y f ( x) > g ( x) dentro del intervalo, podemos calcular el área entre f ( x), g ( x), x = a y x = b f ( x)

g ( x)

a A R = A R1 − A R 2 =

b

∫

b

a

f ( x).dx −

∫

b

a

g ( x).dx =

b

∫ [ f ( x) − g ( x)].dx a

Si las curvas se cortan, los puntos donde lo hace no son datos del roblema, debemos  y = f ( x) averiguarlos resolviend el sistema  . = ( ) y g x 


Página 16


Sólidos de revolución Llamamos así a los cuerpos engendrados por la rotación de un arco AB (generatriz), de una curva C , cuando é ta rota alrededor de un eje e . A la curva qu e recorre cada uno de los puntos del arco e n el movimiento se la llama directriz, que en este caso es una circunferencia cuyo rad io es la distancia entre el punto y el eje e . Si la f ( x) es continua, podemos calcular el área lateral y el volumen del sólido d revolución, utilizando el cálculo int gral. Área Lateral:

∫

b

2 A L = 2π . f ( x). 1 + f ′ ( x) .dx a

Volumen:

∫

b

2

V = π f ( x).dx a

Rectificaciones de arcos d e curvas planas Se llama así al cálculo d la longitud de un arco AB correspondient a una curva plana C . Su fórmula es: L =

∫

b

a

f ′ 2 ( x) + 1.dx

Integración Numérica Aproximada Cuando la función es e pírica (surge de la experiencia) o no podemos hallar la primitiva de la misma, debemos plicar métodos de integración numérica ap oximada, para hallar el valor de la inte gral.

Método de los trape ios 



Se realiza una p rtición regular del [a; b] , que lo descompone en los [ xi −1 ; xi ] , de igual amplitud xi = h . Si se lo descompone en n subintervalos ⇒ h =

b−a n

.



Para cada subin ervalo obtengo un trapecio de área At i =



A R =

∑ At = i

2

·h .

 f ( xi −1 ) + f ( xi )  ·h  2   A R =



f ( xi −1 ) + f ( xi )

h

n −1

( y0 + yn ) + 2

2

∑



yi 

i =1



Mientras mayor sea n , menor será el error del cálculo.

Área debajo de un arco de parábola A =


h

3

( y 0 + 4 y1 + y 2 )

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Donde x0 es la abscisa del primer extremo del intervalo, x1 es la abscisa del punto medio y x 2 es la abscis del extremo final. Entonces y 0 = f ( x0 ), y1 = f ( x1 ), y 2 = f ( x 2 ) y h =

x2 −

2

0

.

Fórmula de Simpson 

Se realiza una p rtición regular del [a; b] , que lo descompone en n (número −a

par) de subinter alos [ xi −1 ; xi ] , de igual amplitud ∆ xi = h = 

.

Por tres puntos o alineados se puede hacer pasar un arco d e parábola, entonces, calculando el área de cada arco y sumándola: h

A ≅



n

3

( y 0 + 4 y1

y 2 ) +

h

3

h

( y 2 + 4 y3 + y 4 ) + ... +

3

( y n − 2 + 4 y n −1 + y n )

n n− 2   2 2 h h A ≅ ( y0 y n ) + 4∑ y 2i +1 + 2∑ y 2 i  = ( E + 4 I + 2 P  3 3 i =1 i =1   Ésta fórmula es ás exacta que la de los trapecios.

Integrales Impropias o Generalizadas Cuando el intervalo [a; ] es infinito y

f ( x) es continua, o cuando e l intervalo [a; b ] es

finito y f ( x) no es con inua y no está acotada, o sea, presenta salt infinito, la integral se llama Impropia o Ge eralizada. b

(I). · f ( x) es continua n [a; ∞) y ∀b > a : ∃∫ f ( x).dx (o sea es int grable): a

Integral Impropia:

∫

∞

a

f ( x).dx = lím

∫

b

b →∞ a

f ( x).dx b

· f ( x) es continua n (−∞; b] y ∀a < b : ∃∫ f ( x).dx (o sea es in tegrable): a

Integral Impropia:

∫

b

−∞

f ( x).dx = lím

∫

b

a → −∞ a

f ( x).dx

Para ambos casos: a. Si el límite e iste, entonces la integral es Convergente. b. Si el límite n existe, entonces la integral es Divergente. (II). f ( x) es discontinu con salto infinito en [a; b] . e > a y e > b

b.

b

e

∫ ∫ f ( x).dx Cuando el salto está en x = a , entonces ∫ f ( x).dx = lím ∫ f ( x).dx

a. Cuando el salto está en x = b , entonces

a

f ( x).dx = lím− e →b

b

a

b

a

e→ a

+

e

UNI AD VII: SERIES Y SUCESIONES Sucesiones Definición:


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Una sucesión es un con unto ordenado de elementos, llamados tér inos. Trabajaremos con sucesiones numéricas. En toda sucesión hay u primer elemento a1 , un segundo, etc. y un término general que se lo designa a n , y que es el generador, ya que contiene la regl para obtener cada término de la sucesión. La sucesión suele repre entarse (a n ) = (a1 , a 2 , a3 , a 4 ,..., a n ,...) , donde los puntos suspensivos después de a n indican que tiene infinitos términos. Una sucesión numérica infinita es una función cuyo Dominio es IN y la Imagen está incluida en IR , entonc s es una función del tipo S : IN → IR / ∀n ∈ IN : S (n) = a n . Sucesión Constante: Si ∀n ∈ IN : a n = k = c nstante ⇒ (a n ) es una sucesión constante. Igualdad de sucesiones: Las sucesiones (a n ) y ( n ) serán iguales si ∀n ∈ IN : a n = bn . No si mpre igualdad de imágenes implica igualdad de sucesiones. Sucesiones acotadas: Una sucesión estará ac tada si tiene cotas inferiores y cotas superi res.

Límite de una sucesión lím a n = l ⇔ ∀ε > 0 : ∃n0 (ε ) > 0 / ∀n : (n ∈ IN ∧ n > n0 ⇒ a n − l <

n →∞

)

Sucesiones convergentes, divergentes y oscilantes 1. Si la sucesión tiene límite l finito, es CONVERGENTE. 2. Si el límite es in inito o no existe, es DIVERGENTE. 3. En algunos caso , si el límite no existe, decimos que es OSCI ANTE.

Propiedades del límite de una sucesión 1. El límite de una sucesión numérica es único. 2. Si (a n ) y (bn ) s n sucesiones convergentes, entonces lím (a n ± bn ) = l m a n ± lím bn . n →∞

n

∞

n →∞

3. lím (a n .bn ) = lím a n . lím bn n →∞

n →∞

 a  lím 4. lím  n  = n→∞ n →∞ b  n  nlím →∞

n →∞

n

, si lím bn ≠ 0

n

n →∞

5. Si (a n ) y (cn ) c nvergen al mismo límite l y ∀n ∈ IN : a n ≤ bn ≤ cn ⇒ lím bn = l . n →∞

6. Si lím a n = l y l ≠ k ⇒ ∃n0 / si n > n0 ⇒ a n ≠ k . En síntesis: n →∞

l > k ⇒ a n > k Si  l < k ⇒ a n < k


Página 19


Sucesiones monótonas 1. Una sucesión se rá CRECIENTE, cuando ∀n ∈ IN : a n ≤ a n +1 (< para que sea en sentido estricto). 2. Una sucesión se rá DECRECIENTE, cuando ∀n ∈ IN : a n ≥ a n +1 (> para que sea en sentido estricto). Para determinar el crec imiento o decrecimiento de sucesiones, basta con comparar: 1. 2.

an

≤ 1 ⇒ es C eciente

a n +1 an

≥ 1 ⇒ es Decreciente

a n +1

Criterios de convergencia y divergencia

Implica

Convergente

No Convergente

Puede converger o no

Series Numéricas Definición Llamaremos SERIE NUMÉRICA asociada a la expresión: ∞

∑a = ∑a n

n

= a1 + a 2 + a3 + ... + a n + ...

1

Propiedades de las series infinitas I. Si las series

∑a

y

n

∑b

n

convergen respectivamente a los números A y B , y

c ∈ IR , entonces las series convergen a las sumas que se ind ican: 1. c.a n c. A

∑ ∑ (a ∑ (a

2. 3.

n

+ bn ) = A + B

n

−

n

) = A − B

II. Si suprimimos los primeros h términos de una serie, no varí su naturaleza (convergente o ivergente). Y si

∑a

h

n

= A y

∑a

n

= Ah , entonces

1 ∞

∑a

n

= A − Ah .

h +1


Página 20


Condición necesaria pero no suficiente para la convergencia Si la serie

∑a

es con ergente, entonces lím a n = 0 . La recíproca o siempre se

n

n →∞

cumple, pero la contra ecíproca sí, y es muy importante: Criterio para la diverge ncia: si lím a n ≠ 0 , entonces ∑ a n es diver ente. n →∞

Serie Geométrica La serie dada por

∑ a.r

n −1

n −1

2

= a + a.r + a.r + ... + a.r

+ ... , con a ≠ 0 se denomina

Serie Geométrica de ra ón r .

Criterio de convergencia ara series geométricas Serie Geométrica de razón r diverge si r ≥ 1 y converge si 0 < r < 1 con suma S =

a

1 − r

.

Definición de P-Series La serie dada por

1

∑n

p

=

1 p

1

+

1 2

p

1

+

p

3

+ ... +

1 n

p

+ ... , con p > 0 se llama P-Serie.

Cuando p = 1 , la P-Seri correspondiente se llama Serie Armónica.

Convergencia de P-Series 1. Converg si p > 1 2. Diverge i 0 < p ≤ 1

Series de términos positivos Una serie

∑a

que tiene a n > 0 se denomina Serie de Términos P ositivos. En tal caso,

n

la sucesión de sumas p rciales es monótona creciente, entonces si e comprueba que está acotada, será conv ergente. Para determinar su convergencia c nviene usar el criterio de comparación directa.

Criterio de comparación directa Dadas las series 1. Si

∑b

n

∑a

n

y

∑b

∑a

n

, y sean ∀n ∈ IN : 0 ≤ a n ≤ bn , entonces:

converge, entonces

número B , entonces 2. Si

n

∑a

n

diverge, entonces

∑a

n

converge. Y si

∑b

n

converge al

converge al número A ≤ B .

∑b

n

diverge.

Criterio de D’Lambert par serie de términos Sea

∑a

n

una Serie de Términos Positivos y lím

n →∞

1. l < 1 ⇒

a n +1 an

= l , y s:

a n es convergente.

2. l > 1 ⇒ a n es divergente. 3. l = 1 ⇒ , nada se puede afirmar.

Criterio de la Raíz o de Ca chy Sea

∑a

n

una Serie de Términos Positivos y lím n a n = l , y s:

1. l < 1 ⇒


n →∞

a n es convergente.

Página 21


2. l > 1 ⇒

a n es divergente.

3. l = 1 ⇒ , nada se puede afirmar.

Criterio de Rabe

∑

Sea

 a  a n una Serie de Términos Positivos y lím n.1 − n+1  = l , y es: n →∞  a n 

1. l > 1 ⇒

a n es convergente.

2. l < 1 ⇒

a n es divergente.

3. l = 1 ⇒ , nada se puede afirmar.

Series alternadas Si a n > 0 a la serie Las series

∑ (−1)

∑(

n +1

1) n+1 .a n la llamamos Serie Alternada.

.a n y

∑ (−1)

n −1

.a n serán convergentes si y sólo si cumplen las

siguientes condiciones. 1. a n es monóton decreciente. 2. lím a n = 0 n →∞

Convergencia absoluta Si

∑a

n

es una serie d Términos Cualesquiera, formamos

convergente, entonces diremos que

∑a

n

∑a

n

. i

∑a

es

n

es absolutamente conv rgente. Y se puede

demostrar que: Si

∑a

n

converge, entonces

∑a

n

converge.

Si en estas series se ord enan sus términos de manera diferente, la n ueva serie convergerá al mismo n mero que ∑ a n .

Convergencia condicional Si

∑a

n

es una erie de Términos Cualesquiera que converge y

entonces decim s que

∑a

n

∑a

n

diverge,

es condicionalmente convergente.

Si en estas serie se ordenan sus términos de manera difere te, la nueva serie no convergerá al mismo número.


Página 22


Convergencia Si es ≠ 0 ⇒ Diverge lím a n

n →∞

’

Si es = 0

Cauchy

Comparación Directa

Convergen ia Absoluta

Definición de Serie d Potencias ∞

Es la serie de expresión

∑ a . x

n

n

n

2

= a0 + a1. x + a2 . x + ... + an .x + ... .

0

También está la Serie d potencias controlada en la constante c a l expresión ∞

∑ a .( x − c) n

n

2

= a 0 + a1 .( x − c) + a 2 .( x − c) + ... + a n .( x − c) + ... . n

0

Por cada valor que se le asigne a x obtendremos una serie numérica, que puede o no ser convergente. Por ca da valor de x que hace a la serie convergen e se obtiene un número f ( x) = S , que es su suma, es decir que la serie sería una F nción de x cuyo dominio es el conjunto de valores de x para los cuales la serie se h ce convergente. Toda serie de potencia es convergente en su centro ( c ).

Convergencia de una seri de potencias Para toda serie de potencias p eden ocurrir tres cosas: 1. Que converja só lo en su centro 2. Que converja para todo x 3. Que exista un n mero R , tal que la serie converja en el inte valo (c − R; c + R) y diverja en (−∞; c − R) (c + R; ∞) . A R se lo llama radio de conver encia y el dominio correspondiente se lla a Intervalo de Convergencia. Para calcular R hacemos: R = lím

n →∞

an a n +1

La convergencia en los extremos del intervalo se determina en cada caso en particular.

Propiedades de una unción definida por una serie de pot ncias Las funciones definidas por una serie de potencias son derivables e integrables en su intervalo de convergencia.

Fórmula de Taylor (aproximación de una función con un polinomio) Podemos aproximar una funci n con un polinomio: f ( x ) ≅ P ( x ) = f ( x 0 ) + f ′( x 0 ).( x − x0 ) +


f ′′( x 0 )

2!

2

.( x − x 0 ) + ... +

Página 23

f ( n ) ( x 0 ) n!

n .( x − x0 ) .


Pero esta expresión es aproxi ada. Para que sea exacta, se debe agregar a l final un término complementario correspondie te al error cometido en el cálculo, de la for a T n =

f (

n +1)

(c)

( n + 1)!

n+ · x 1 / c ∈ ( x0 ; x) , entonces, la función queda determinada po r:

f ( x ) = P ( x ) + T n

f ( x) = f ( x 0 ) + f ′( x0 ).( x −

0

)+

f ′′( x0 )

2!

f

2

.( x − x0 ) + ... +

(n)

( x0 )

n!

.( x − x0

n

f (

+

n +1)

(c)

( n + 1)!

· x n +1

Fórmula de Mc Laurin Cuando x0 = 0 , reemplazamo en la fórmula de Taylor y obtenemos: f ′′(0)

′(0). x +

f ( x) = f (0) +

2!

2

. x + ... +

f

( n)

(0)

n!

n

. x +

f

( n +1)

(c )

( n + 1)!

· x n +

1

Serie de Taylor

∑

f ( n ) ( x 0 ) n!

n .( x − x 0 )

Serie de Mc Laurin f

∑

( n)

( 0)

n!

. x n

Para que la Serie de Mc Laurin o de Taylor sean iguales a la función que rep resentan tienen que cumplirse dos condiciones: 1. Que la Serie sea conver gente 2. Que el lím T n = 0 n →∞

Esas condiciones se cumplen e muchas funciones, algunas de ellas son: 









x

x

e = 1 + x +

sin x = x − cos x = 1 −

2

2!

x

x 2

2!

sinh x = x + cosh x = 1 +

+

3

3!

+ +

x 3

3! x

x

3!

x

x 4

4!

+


+

− −

x5

5! x

x

n

n!

+ ...

7 n

7! x

6!

+ ... + ( −1) . +

x 8

8!

+

!

+

6!

+

x

2 n +1

( 2n + 1)!

− ... + ( −1) .

+ ... +

6

x

n

7

4

4!

x

+ ... +

5

5!

2

2!

3

x 2

n

( 2n)!

+ ...

n +1

( 2n + 1)!

8

8!

x 2

+ ...

+ ... +

x

+ ...

2n

( 2n)!

+ ...

Página 24


BIBLIOGRAFÍA No hay ninguna fuente en el documento actual.

ÍNDICE UNIDAD I: Relaciones y funcio es ............................................................. ............................ 1 Entorno y Entorno Reducido..... .......................................................................................................................... 1 Funciones Par e Impar ........................................................................................................................................ 1

UNIDAD II: Límites y continuidad .............................................................. ............................ 1 Definición rigurosa de límite ............................................................................................................................... 1 Propiedad del Sándwich ..................................................................................................................................... 1 Algunos límites especiales .................................................................................................................................. 1 Infinitésimos ....................................................................................................................................................... 1 Funciones infinitésimas equivalentes ....................................................... .......................................................... 1 Definición de Continuidad .................................................................................................................................. 1 Clasificación de Discontinuidad .......................................................................................................................... 2 Continuidad Lateral ............................................................................................................................................ 2 Álgebra de las funciones continuas .................................................................................................................... 2

UNIDAD III: Derivadas y diferenciales........................................................ ............................ 3 Recta secante y Recta tangente geométricas ............................................................. ........................................ 3 Incremento e incremento de la función ............................................................................................................. 3 Razón de cambio promedio (cociente incremental)........................................................................................... 3 Razón de cambio instantánea ............................................................................................................................. 3 Definición de derivada ........................................................................................................................................ 3 Función derivada ................................................................................................................................................ 3 Interpretación geométrica de l derivada .......................................................................................................... 4 Punto anguloso y cuspidal .................................................................................................................................. 4 Derivabilidad y Continuidad................................................................................................................................ 4 Reglas de derivación (tabla de erivadas) .......................................................................................................... 4 Álgebra de la derivada ........................................................................................................................................ 5 Derivada de una función comp esta .................................................................................................................. 5 Derivada de una función en forma implícita ...................................................................................................... 6 Método logarítmico de derivación ..................................................................................................................... 6 Derivada de la función inversa . .......................................................................................................................... 6 Diferencial ........................................................................................................................................................... 6 Reglas de diferenciación ..................................................................................................................................... 6 Interpretación geométrica de l diferencial ....................................................................................................... 7 Aproximación lineal ............................................................................................................................................ 7 Álgebra de la Diferencial ..................................................................................................................................... 7 Deducciones de crecimiento y oncavidad de las funciones .............................................................................. 7

UNIDAD IV: Aplicaciones del c lculo diferencial ........................................ ............................ 7 Definición de Máximo relativo Mr) ................................................................................................................... 7 Definición de mínimo relativo (mr) ............................................................. ........................................................ 7 Condición necesaria pero no suficiente para la existencia de extremos relativos ............................................. 7 Punto crítico ........................................................................................................................................................ 8 Criterios para determinar Extremos relativos .................................................................................................... 8 Aplicando la definición ................................................................................................................................... 8 Método de la derivada primera ..................................................................................................................... 8 Método de la derivada segu da .................................................................................................................... 8 Puntos de Inflexión ............................................................................................................................................. 8 Extremos absolutos ............................................................................................................................................ 9 Asíntotas ............................................................................................................................................................. 9 Asíntotas Horizontales ................................................................................................................................... 9 Asíntotas Verticales ........................................................................................................................................ 9 Asíntotas Oblicuas .......................................................................................................................................... 9 Autores: Juan Pablo Martí

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Teoremas del Valor Medio ....... ........................................................................................................................ 10 Teorema de Rolle .............................................................................................................................................. 10 Teorema de Lagrange ....................................................................................................................................... 10 Teorema de Cauchy .......................................................................................................................................... 10 Regla de L’Hôspital............................................................................................................................................ 10 Regla de Newton (resolución a roximada de ecuaciones) ............................................................................... 10

UNIDAD V: Integrales ............ .................................................................. .......................... 10 Función Primitiva .............................................................................................................................................. 10 Cálculo Integral ................................................................................................................................................. 11 Integral Indefinida ............................................................................................................................................ 11 Tabla de Integrales Inmediatas ......................................................................................................................... 11 Propiedades de las Integrales I definidas ........................................................................................................ 12 Métodos Generales de Integra ión .................................................................................................................. 12 Descomposición ........................................................................................................................................... 12 Sustitución ................................................................................................................................................... 12 Integración por partes ................................................................................................................................. 13 Integrales trigonométricas ................................................................................................................................ 13 Fórmulas útiles para la resolución de Integrales Trigonométricas .............................................................. 14 Método de descomposición en fracciones simples .......................................................................................... 14 Integral Definida ............................................................................................................................................... 14 Propiedades de la Integral Defi ida............................................................ ...................................................... 15 Teorema del valor medio del cá lculo integral .................................................................................................. 15 Función integral ................................................................................................................................................ 15 Regla de Barrow ................................................................................................................................................ 15

UNIDAD VI: Aplicaciones del c lculo integral............................................. .......................... 15 Cálculo de áreas ................................................................................................................................................ 15 Área entre dos curvas ....................................................................................................................................... 16 Sólidos de revolución ........................................................................................................................................ 17 Rectificaciones de arcos de cur as planas ........................................................................................................ 17 Integración Numérica Aproxim da ............................................................. ...................................................... 17 Método de los trapecios .............................................................................................................................. 17 Área debajo de un arco de p arábola ................................................... ......................................................... 17 Fórmula de Simpson ......................................................................................................................................... 18 Integrales Impropias o Generalizadas............................................................................................................... 18

UNIDAD VII: Series y sucesion s................................................................ .......................... 18 Sucesiones ........................................................................................................................................................ 18 Límite de una sucesión ..................................................................................................................................... 19 Sucesiones convergentes, diver gentes y oscilantes ......................................................................................... 19 Propiedades del límite de una sucesión ........................................................................................................... 19 Sucesiones monótonas ..................................................................................................................................... 20 Criterios de convergencia y div rgencia ........................................................................................................... 20 Series Numéricas .............................................................................................................................................. 20 Definición ..................................................................................................................................................... 20 Propiedades de las series infini as ............................................................... ..................................................... 20 Condición necesaria pero no suficiente para la convergencia ......................................................................... 21 Serie Geométrica .............................................................................................................................................. 21 Criterio de convergencia para series geométricas............................................................................................ 21 Definición de P-Series ....................................................................................................................................... 21 Convergencia de P-Series ................................................................................................................................. 21 Series de términos positivos ............................................................................................................................. 21 Criterio de comparación direct ....................................................................................................................... 21 Criterio de D’Lambert para serie de términos .................................................................................................. 21 Criterio de la Raíz o de Cauchy ......................................................................................................................... 21 Criterio de Rabe ................................................................................................................................................ 22 Series alternadas ............................................................................................................................................... 22 Convergencia absoluta ..................................................................................................................................... 22 Convergencia condicional ................................................................................................................................. 22 Autores: Juan Pablo Martí

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Convergencia .................................................................................................................................................... 23 Definición de Serie de Potencias ............................................................ ...................................................... 23 Convergencia de una serie de potencias .......................................................................................................... 23 Propiedades de una función definida por una serie de potencias ............................................................... 23 Fórmula de Taylor (aproximaci n de una función con un polinomio) .............................................................. 23 Fórmula de Mc Laurin ....................................................................................................................................... 24 Serie de Taylor .................................................................................................................................................. 24 Serie de Mc Laurin ............................................................................................................................................ 24

Bibliografía ............................ .................................................................. .......................... 25 ÍNDICE ................................... .................................................................. .......................... 25 FECHA DE ÚLTIMA EDICIÓN: 13 de agosto de 2010


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Resumen de Análisis matemático I

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