Cut Riska Irnanda 1004101010036
BAB I MOMEN PLASTIS
1.1.
PENDAHULUAN
Konsep analisis dan desain berdasarkan kondisi plastis, atau disebut teori plastis mulai dikembangkan pada tahun 1930. Konsep ini sering digunakan untuk mendesain struktur baja, misalnya portal baja, portal beratap lancip ( pitched roof portal ) ataupun balok menerus. Jika kita perhatikan suatu balok yang terletak di atas dua tumpuan sendi yang mengalami beban terpusat, kita dapat mengetahui bahwa selama beban yang bekerja tidak terlalu besar, tegangan yang terjadi masih terletak dalam daerah elastic. Tapi jika beban terus diperbesar, bagian tertentu dari penampang tersebut akan mengalami tegangan leleh, sehingga struktur akan mengalami tegangan leleh. Sehingga, penampang tersebut telah mengalami deformasi elastis-plastis. Penambahan beban berikunya dapat mengakibatkan seluruh serat penampang akan mengalami tegangan leleh. Sehingga pada penampang ini akan terjadi rotasi yang terus-menerus dengan momen yang tetap besarnya pada penampang tersebut. Hal ini berarti pada penampang telah terbentuk sendi plastis. Selanjutnya, dengan jumlah sendi plastis tertentu, struktur akan runtuh ( collapse). collapse). Salah satu tujuan analisa plastis adalah untuk menentukan besarnya beban runtuh tersebut. Di samping itu, perlu juga diketahui apa yang terjadi jika suatu struktur runtuh dan bagaimana pula tingkah lakunya apabila tegangan-regangan dari materialnya telah melampaui batas elastis. Analisa atau desain dengan metode plastis akan menggunakan persamaan matematik yang lebih mudah bila dibandingkan dengan persamaan dalam metode elastis.
1.2.
HUBUNGAN TEGANGAN-REGANGAN
Bila suatu batang yang terbuat dari baja lunak ditarik oleh gaya aksial tertentu pada kondisi temperature ruang, maka gambar diagram tegangan – regangan
yang terjadi
adalah sebagai berikut. Regangan ( strain) strain) yang menyatakan besarnya perubahan panjang dilambangkan oleh , dan tegangan ( stress), stress), , yang menyatakan gaya per luas satuan yang bekerja pada penampang tersebut.
(1.1) 1
Cut Riska Irnanda 1004101010036
Dengan
lo = panjang awal; l = panjang batang setelah mendapat beban.
Gambar 1.1 Hubungan tegangan-regangan untuk baja lunak
Ternyata, sebagian besar percobaan atas baja lunak akan menghasilkan bentuk hubungan tegangan – regangan regangan yang sejenis, seperti gambar 1.1 di atas. Daerah pertama, yaitu OA, merupakan garis lurus, dan menyatakan daerah linear elastis. Kemiringan garis ini menyatakan besarnya modulus elastis atau disebut juga modulus Young, E. E. diagram tegangan – tegangan – regangan regangan untuk baja lunak umunya memiliki titik leleh atas ( upper yield point ), ), σyu, dan daerah leleh datar. Tegangan pada titik A disebut sebagai tegangan leleh, di mana regangan pada kondisi ini berkisar 0,0012. Apabila regangannya terus bertambah hingga melampaui harga ini, ternyata tegangannya dapat dikatakan tidak bertambah. Sifat dalam daerah AB inilah yang disebut sebagai plastis. plastis. Lokasi titik B, yaitu titik akhir sebelum tegangan mengalami sedikt kenaikan, tidaklah tertentu. Tetapi, sebagai perkiraan dapat ditentukan terletak pada regangan 0,014 atau secara praktis dapat diterapkan sebesar sepuluh kali besarnya regangan leleh. Daerah BC merupakan daerah strain hardening , di mana pertambahan regangan akan diikuti degnan sedikit pertambahan teganan. Pada titik M, yaitu pada regangan sekitar 20% dari panjang bahan, tegangannya mencapai nilai maksimum yang disebut sebagai tegangan tarik ultimit . Dan pada titik C material putus.
2
Cut Riska Irnanda 1004101010036
Tabel 1.1 Hasil percobaan dari empat jenis baja dengan kadar karbon berbeda (Roderick – Heyman) %C
σy (N/mm2)
0,28
340
1,33
9,2
0,037
0,49
386
1,28
3,7
0,058
0,74
448
1,19
1,9
0,070
0,89
525
1,04
1,5
0,098
Dari table di atas, dapat ditarik kesimpulan, bahwa semakin besar tegangan lelehnya, σy, semakin tinggi pula kadar karbon yang diperlukan, sehingga daktilitas dari material tersebut juga berkurang. Daktilitas merupakan perbandingan antara s dengan y, di mana s adalah regangan strain hardening . Unntuk baja struktur, besarnya s kira-kira sepuluh kali y, dan E, besarnya 0,04 E. Selanjutnya, kalau suatu material logam mengalami keadaan tekan dan tarik secara berulang, diagram tegangan-regangannya dapat terbentuk seperti Gambar 1.2. Lintasan tarik dan tekan adalah sama. Hal ini menunjukkan suatu keadaan yang disebut sebagai Efek Bauschinger , yang pertama kali diperkenalkan oleh J. Bauschinger dalam makalahnya yang dipublikasikan pada tahun 1886.
Gambar 1.2 Efek Bauschiunger
Hubungan tegangan-regangan untuk keperluan analisis ini diidealisasikan dengna mengabaikan pengaruh tegangan leleh atas, strain hardening , dan Efek Bauschinger ,
3
Cut Riska Irnanda 1004101010036
sehingga hubungan tersebut menjadi seperti Gambar 1.3. keadaan semacam ini sering dikatakan sebagai hubungan plastis ideal (ideal plastic relation).
Gambar 1.3 Hubungan Plastis ideal
1.3.
DISTRIBUSI TEGANGAN-REGANGAN
Suatu balok di atas dua tumpuan sendi memiliki reaksi tumpuan dari persamaan keseimbangan dan diagram lentur terlihat pada Gambar 1.4.
Gambar 1.4
Jika besarnya tegangan maksimum belum mencapai tegangan leleh, distribusi tegangan dan regangan dari semua penampang akan berupa garis lurus, sesuai dengan hokum Bernouli dan Navier. Dengan demikian, tegangan dan regangan di suatu seratyang ditinjau adalah berbanding lurus dengan terhadap jarak dari garis netral penampang. Tegangan maksimum pada serat bawah dan tegangan tekan maksimum pada serat atas adalah:
(1.2 )
Dengan : M = momen lentur, S = modulus penampang.
4
Cut Riska Irnanda 1004101010036
Jika beban terpusat semakin besar, tegangan di setiap serat penampang turut bertambah pula. Keadaan ini dapat dilihat pada Gambar 1.5.
Gambar 1.5 Distribusi tegangan-regangan
Apabila beban w diperbesar lagi, tegangan lelehnya mulai menjalar ke serat sebelah dalam seperti Gambar 1.5c-d. Perhatikan, bahwa tidak ada tegangan yang lebih besar daripada tegangan leleh, tetapi momen dalam dapat terus bertambah karena resultan gaya dalamnya bertambah besar. Dengan pemberian sedikit penambahan beban lagi, akan tercapailah keadaan di mana seluruh serat penampang mengalami tegangan leleh (Gambar 1.5e). momen dalam menjadi maksimum dan merupakan momen plastis. Pada kondisi ini, penampang tadi akan mengalami rotasi yang cukup besar tanpa terjadi perubahan momen. Dengan kata lain, di titik ini telah terjadi sendi plastis.
1.4.
HUBUNGAN MOMEN-KELENGKUNGAN
Hubungan momen-kelengkungan ( moment-curvature relationship) juga merupakan hal yang penting dalam teori plastis. Karena pada saat menjadi sendi plastis, struktur akan berotasi secara tidak terbatas. Sebelum gaya luar bekerja, balok pada Gambar 1.4a masih dalam keadaan lurus. Setelah gaya luar bekerja, balok tersebut akan melentur. Biasanya, diasumsikan bahwa materialnya bersifat homogen, dan balok hanya mengalami lentur murni, yaitu dengan mengabaikan pengaruh gaya lintang dan gaya aksial yang bekerja. Perubahan kelengkungan akiba lentur murni dapat ditunjukkan oleh Gambar 1.6b . sudut yang
5
Cut Riska Irnanda 1004101010036
terbentuk akibat terjadinya perubahan kelengkungan di titik A dan B atau B dan C, dinyatakan dengan ΔØ.
Gambar 1.6 Kelengkungan Balok
Kalau ΔØ ini cukup kecil, maka ab = ( - y) ΔØ, dan a1b1 = ΔØ
(1.3)
dengan adalah jari-jari kelengkungan (radius of curvature). Regangan memanjang di suatu serat sejauh y dari suatu sumbu netral dapat dinyatakan
sebagai:
(1.4)
di mana 1/ menunjukkan kelengkungan. Tanda negatif menunjukkan bahwa bagian di atas garis netral berada pada kondisi tekan; sedangkan bagian di bawah garis, pada kondisi tarik. Pada Gambar 1.7, regangan pada serat terluar telah melampaui regangan leleh, sedangkan regangan pada serat hingga sejauh z dari garis netral belum mencapai regangan leleh. Dengan demikian, dalam daerah setinggi 2z, materialnya masih bersifat elastis. Besarnya momen dalam dapat dicari dari resultan bagian elastis dan plastis. Besarnya masing-masing resultan gaya dan tidak kerjanya diperlihatkan pada Gambar 1.7c . Sehingga besarnya momen dalam dari penampang adalah M
= 2 (½ ( y B z ) 2/3 z + ½ y B ( D/2 – z )( D/2 + z ) = y B { D2/2 – z 2/3}
(1.5) 6
Cut Riska Irnanda 1004101010036
dengan B = lebar penampang D = tinggi penampang z = jarak dari sumbu netral y = tegangan leleh.
Gambar 1.7
Dari persamaan (1.4), untuk harga = y dan y = z dapat diperoleh nilai kelengkungan, K = y /z
(1.6)
dengan y = regangan leleh. Jika z = D/2, maka hanya serat terluar yang mencapai kondisi leleh. Harga momen leleh dapat diperoleh dengan memasukkan z = D/2 ke dalam persamaan (1.5), yang menghasilkan: M y = BD2 /6 y
(1.7a)
atau dengan persamaan M y = S y
(1.7b)
Dimana S adalah modulus penampang yang sama dengan BD2/6. Untuk z = D/2, maka K y = 2 y /D
(1.8)
dengan menggabungkan persamaan (1.5) dan persamaan (1.8), akan diperoleh persamaan momen-kelengkungan tanpa satuan, sebagai berikut: M = 1,5 – 2(z/D)2 = 1,5 – 0,5(K y /K)2
(1.9)
Dari persamaan di atas, dapat dibuat sebuah kurva momen-kelengkungan seperti yang diperlihatkan pada Gambar 1.8. Huruf dalam lingkaran sesuai dengan tahapan yang ada pada Gambar 1.5. Harga M akan semakin mendekati 1,5 M y , apabila harga K semakin 7
Cut Riska Irnanda 1004101010036
besar. Bila M telah mencapai 1,5 M y , harga K tersebut akan mencapai tak terhingga, yang berarti bahwa harga z dalam persamaan (1.6) menjadi sama dengan nol. Dengan demikian, seluruh serat penampang telah mencapai kondisi plastis, dan momen plastisnya dapat dihitung dengan M p = 1,5 M y = BD2 y / 4
(1.10)
Persamaan di atas hanya berlaku untuk penampang segi-empat, sedangkan untuk penampang lainnya, dapat diturunkan melalui cara yang sama. Perbandingan antara momen plastis M p dengan momen leleh M y menyatakan peningkatan kekuatan penampang akibat ditinjau dari kondisi plastis. Perbandingan ini tergantung dari bentuk penampangnya. Jadi, = M p/ M y = Z/S = 1,5
(1.11)
di mana = factor bentuk ( shape factor ).
Gambar 1.8 Hubungan momen kelengkungan untuk penampang segiempat
Dapat disimpulkan bahwa penampang segi-empat yang dianalisis dengan teori plastis, akan mempunyai kapasitas penampang 50% lebih besar daripada yang dihitung dengan teori elastis. Untuk balok berpenampang I, seperti terlihat pada Gambar 1.9, jika mengalami lenturan, bagian sayap ( flange) atas akan memendek dan bagian sayap bawah akan memanjang. Selanjutnya, selama proses dari elastis ke plastis, terdapat tiga keadaan penting yang perlu diperiksa. Pertama, bila tegangan lelehnya masih berada di dalam 8
Cut Riska Irnanda 1004101010036
sayap. Kedua, bila tegangan leleh telah melampaui bagian sayap yaitu berada di pelat badan (web). Dan yang ketiga , jika seluruh serat telah mencapai tegangan leleh. Keadaan ini terlihat pada Gambar 1.9b-e .
Gambar 1.9 Distribusi tegangan pada penampang I Tegangan yang masih berada di dalam sayap:
untuk tegangan yang berada di pelat badan:
di mana f = faktor bentuk = Z /S.
Kurva momen-kelengkungan yang diperoleh dari kedua persamaan tersebut terlihat pada Gambar 1.10. Distribusi serat leleh yang sesuai dengan kondisi tegangannya diperlihatkan pada Gambar 1.9f -i .
9
Cut Riska Irnanda 1004101010036
1.5.
MENENTUKAN MOMEN PLASTIS PENAMPANG Gambar 1.11 berikut menunjukkan suatu penampang sembarang yang berada dalam
kondisi plastis. Distribusi tegangannya yang diakibatkan oleh lentur murni, diperlihatkan pada Gambar 1.11b .
Gambar 1.11 Suatu Penampang Sembarang
Karena hanya memperhitungkan pengaruh lentur saja, yaitu tanpa meninjau gaya aksial dan lintang, keseimbangan horizontalnya akan menghasilkan persamaan: C = T
(1.14)
dengan C = resultan gaya tekan di atas garis netral T = resultan gaya tarik di bawah garis netral Sehingga diperoleh Luas bidang tekan y = Luas bidang tarik y
1.5.1. Penampang segi-empat
Berdasarkan persamaan (1.14) dapat diperoleh: C = T = BD y/2
(1.15)
Gambar 1.12 Penampang segi empat
Dari gambar tersebut dapat dirumuskan, bahwa besarnya momen dalam adalah sama dengan kali antara resultan gaya tekan (C ) terhadap jarak dari titik tangkap gaya tekan
10
Cut Riska Irnanda 1004101010036
gaya tarik (T ). dalam hal ini sama dengan C D/2. Berdasarkan persamaan keseimbangan yang menetapkan bahwa momen luar ( M p) sama dengan momen dalam.
(1.15)
Persamaan ini dapat disederhanakan menjadi M p = Z y , di mana Z adalah modulus plastis. Dengan nilai faktor bentuk sebegai berikut.
1.5.2. Penampang Lingkaran
Lingkaran seperti Gambar 1.13, juga memiliki garis netral yang membagi luasnya menjadi dua bagian yang sama besar. Sehingga,
(1.16)
Gambar 1.13 Penampang Lingkaran
Lengan momen dalam dapat ditentukan sebesar 4 D/3. Berdasarkan keseimbangan momen, dapat diperoleh:
(1.17)
Sehingga , besarnya modulus plastis penampang ini adalah Z = D3/6. Dari beberapa acuan, misalnya AISC, telah diketahui bahwa modulus penampangnya adalah D3/32. Dengan demikian, faktor bentuk
(1.18)
1.5.3. Penampang Segiempat, Lentur Terhadap Diagonal
Gambar 1.14 11
Cut Riska Irnanda 1004101010036
Luas bidang tekan atau tarik yang dibatasi oleh garis netral adalah BD/4. Panjang lengan momennya sama dengan D/3. Dengan demikian, besarnya momen plastis, M p = ( BD2/12) y. sehingga modulus plastisnya adalah
(1.19)
Dari teori elastis, telah diketahui bahwa besarnya modulus penampang dari profil ini adalah:
maka, faktor bentuk f = 2,0.
1.5.4. Penampang I
Penampang seperti gambar dibawah, sering digunakan sebagai salah satu komponen bangunan. Penampang ini memiliki dua sumbu simetri, dalam hal ini, dinyatakan terhadap sumbu y dan z . Untuk mempermudah hitungan, biasanya dibagi menjadi beberapa bagian. Selanjutnya, masing-masing bagian ini dianalisis tersendiri dan kemudian hasil tersebut barulah digabungkan untuk memperoleh hasil lengkapnya. Untuk bagian sayap 1 dan 2, luas bidang tekan atau tariknya mudah ditentukan sebagai 2b f t f , sehingga modulus plastisnya adalah: b f t f (D t f ).
Gambar 1.15
Untuk bagian plat badan 3 dan 4: Luas bidang tekan dan tarik = t w (D-2t f ), dan Modulus plastisnya = t w (D-2t f )2 /4 Dengan menjumkahkan kedua hasil tersebut, akan diperoleh modulusplastis untuk seluruh profil ini, yaitu:
() 12
Cut Riska Irnanda 1004101010036
Dengan cara yang sama, dapat ditentukan modulus plastis dari penampang ini bila ditinjau terhadap sumbu z, yaitu:
() Harga modulus plastis, Z, dan factor bentuk, f, dari beberapa penampang yang
sering dipakai, kita masukkan ke dalam tabel berikut.
13
Cut Riska Irnanda 1004101010036
1.6.
FAKTOR BEBAN ATAU FAKTOR KEAMANAN
Faktor keamanan (safety factor) dapat dirumuskan dalam beberapa cara. Rumusan yang dirumuskan pada teori plastis menyatakan bahwa factor keamanan merrupakan hasil pembagian antara kapasitas beban maksimum dengan beban kerja; yang ekivalen dengan momen plastis dibagi momen plastis, Mp/M. diketahui momen plastis sama dengan σ y.S . sehingga sengan menstubititusikan harga-harga ini ke dalam persamaan Mp/M akan diperoleh:
Harga factor beban untuk balok di atas dua tumpuan sederhana dapat dilihat pada
tabel berikut. Dari tabel tersebut dapat diinterpretasikan bahwa sebuah balok persegi panjang yang didesain dengan metode elastic di mana tegangan ijinnya sebesar 20 ksi, tidak akan runtuh hingga beban yang bekerja tersebut 2,48 kali beban yang direncanakan.
Tabel faktor beban untuk beberapa penampang
MPa
Rolled
20
138
Segi-empat
20
Segi-empat
Faktor
Faktor
bentuk
beban
33/20
1,12
1,85
138
33/20
1,50
2,48
24
165
33/24
1,50
2,06
Segi-empat
26
179
33/24
1,50
1,90
Lingkaran
30
207
33/20
1,70
1,87
Penampang
Bagian 2.1 dari AISC 18 menggunakan factor beban 1,70 baik untuk balok yang terletak di atas dua tumpuan maupun balok menerus. Sedangkan faktor beban untuk portal adalah 1,85 bila menahan beban mati dan beban hidup saja; dan 1,4 bila struktur tersebut menahan beban ini ditambah beban gempa ataupun beban angin. Faktor (koefisien) 1,70 ini diambil berdasarkan pada tegangan ijin nsebesar 0,66 σ y, dan faktor bentuknya adalah 1,12 yang berasal dari penampang rolled w shapes. Jadi,
dengan sf adalah faktor keamanan atau faktor beban.
14
Cut Riska Irnanda 1004101010036
Harga ini dipakai dalam desain plastis, di mana beban rencana atau beban kerja dapat diperoleh dari beban plastis (beban runtuh) dibagi dengan faktor beban. 1.7.
PERSYARATAN MENURUT PPBI
Peraturan Perencanaan Bangunan Baja Indonesia (PPBBI) menetapkan beberapat persyaratan untuk bangunan baja yang didesain dengan metode plastis dalam bab 9 buku tersebut. Beberapa di antaranya adalah sebagai berikut. (1) Perhitungan struktur berdasarkan keadaan plastis hanya dapat digunakan untuk struktur-struktur berikut.
Balok dengan dua tumpuan dan balok menerus (kecuali balok crane)
Portal dengan sambungan kaku
Bangunan bertingkat banyak, maksimum dua lantai.
(2) Faktor beban (λ) untuk perhitungan kekuatan dapat diambil
Beban mati λ
= 1,7
Beban sementara λ = 1,3
(3) Pada umumnya harus dapat ditunjukkan bahwa akibat beban sebesar λ kali beban yang bekerja, kekuatan batasnya tidak dilampaui. (4) Factor beban untuk stabilitas konstruksi:
Beban mati yang bersifat menjamin stabilitas konstruksi: λ=0,9
Beban hidup yang bersifat menjamin stabilitas konstruksi: λ=1,0
Beban mati yang bersifat mengurangi stabilitas konstruksi: λ=1,5
Beban hidup yang bersifat mengurangi stabilitas konstruksi: λ=2,0
(5) Faktor beban untuk saat-saat pemasangan konstruksi: λ=1,4 (6) Faktor be ban untuk menghitung lendutan: λ=1,0 (7) Yang dimaksud dengan beban hitungan dalam PPBBI adalah λ kali beban yang bekerja. (8) Ketentuan-ketentuan dalam peraturan tersebut terutama berlaku untuk penampang I, H, dan kotak; dimana tegangan leleh bajanya tidak lebih dari 3600 kg/cm 2. Sedangkan untuk penampang di luar criteria tersebut, pemakaiannya harus didukung oleh percobaan atau pun pembuktian teoretis.
15
Cut Riska Irnanda 1004101010036
BAB II ANALISIS PLASTIS STRUKTUR SEDERHANA
2.1.
PENDAHULUAN
Uraian bab ini terdiri dari dua bagian. Bagian pertama menjelaskan tingkah laku struktur bila beban yang bekerja pada struktur statis taktentu terus bertambah secara linear sehingga terbentuk beberapa sendi plastis pada beberapa tempat tertentu sampai struktur tersebut mengalami keruntuhan. Bagian kedua menjelaskan beberapa metode dasar yang dipergunakan untuk menganalisis keruntuhan secara langsung. Proses hitungannya akan cukup lebih mudah dan cepat, meski beberapa keadaan perlu kita periksa ketelitiannya.
2.2.
ANALISIS TAHAP DEMI TAHAP
Balok dengan kedua ujung yang terjepit seperti pada gambar.
Gambar 2.1 Balok yang kedua ujungnya terjepit
Pertama diketahui bahwa sampai batas beban tertentu, struktur masih bersifat elastsis. Sehingga momen tumpuannya sebesar M A=M B=wL2 /12. Sedangkan momen ditengah bentangnya M C =wL2 /24. Bila kedua momen terbesar yang terdapat pada tumpuan A dan B telah mencapai kapasitas momen plastisnya, akan diperoleh beban w sebesar 12 M p /L2, yang mengakibatkan terjadinya sendi plastis pada kedua tumpuan ini. Dengan penambahan beban berikutnya, nilai momen pada kedua tumpuan tidak berubah, tetapi di titik ini akan terjadi rotasi. Keadaan ini menunjukkan bahwa struktur tersebut bertingkah laku sebagai balok statis tertentu, dimana bidang momennya dapat dilihat pada gambar dibawah. Tampak bahwa momen pada kedua tumpuan adalah nol dan momen di tengah bentang adalah w’L2 /8. Sedangkan w’ merupakan factor beban yang baru. Dengan memperhatikan gambar tersebut, kita dapat mengetahui bahwa nilai momen maksimum di titik C adalah: M C =M p /2+W’L2 /8 16
Cut Riska Irnanda 1004101010036
di mana momen ini akan menjadi sama dengan kapasitas momen plastis Mp, bila w’ mencapai 4 M p /L2 atau w sebesar 16 M p /L2. Dengan terbentuknya tiga buah sendi plastis ini, dapat dipastikan bahwa struktur tersebut akan mengalami keruntuhan.
Gambar 2.2 Penigkatan momen dalam
Selain dengan urairan diatas, kita dapat pula menggunakan metode moment-area untuk menggambarkan analisis semacam itu. Metode ini menggunakan Persamaan (2.2) hingga (2.4) sebagai persamaan dasarnya.
Dengan ƟA, ƟB, ΔC berturut-turut menyatakan besarnya rotasi di titik-titik A, B, dan lendutan di titik C. Syarat kompatibilitas pada kondisi elastisitas menghendaki bahwa di titik A, dan B tidak terjadi rotasi, sehingga Ɵ A, ƟB bernilai nol. Dengan memasukkan harga-harga ini ke dalam persamaan di atas, kita peroleh: M A=M B=wL2 /12 Selanjutnya, dengan meninnjau keseimbangan momen di tengah bentang, akan kita peroleh:
17
Cut Riska Irnanda 1004101010036
Sedangkan besarnya lendutan yang terjadi di titik ini dapat kita tentukan dengan mensubstitusikan harga kedua momen tersebut ke dalam persamaan (2.4) dan menghasilkan:
yang merupakan lendutan pada kondisi elastic. Dengan memperhatikan diagram momennya, dapat kita pastikan bahwa secara serentakakan terjadi sendi plastis pada tumpuan A dan B, di mana bebannya mencapai 12 M p /L2. Hal ini juga berarti bahwa momen pada kedua tumpuan tersebut sama dengan kapasitas momen plastis penampangnya, Mp (lihat gambar ). Selanjutnya, dari persamaan (2.4) dapat kita tentukan besarnya lendutan di tengah bentang, yakni:
Gambar 2.3 Diagram momen kondisi ketiga
Adanya penambahan beban berikutnya dapat menyebabkan terbentuknya sendi plastis ketiga, dan dari gambar ini dapat kita pastikan letak sendi tersebut adalah di tengah bentangan. Dengan demikian, momen di titik ini sama dengan Mp, dan kita hasilkan: Mp = wL2 /8 Mp atau Mp = wL2 /16 maka w = 16Mp/L 2 Bila kita substitusikan harga w dan MA=MB=Mp ini ke dalam Persamaan (2.4), kita dapat tentukan bahwa:
yang merupakan besarnya lendutan pada kondisi plastis, sebelum struktur tersebut mengalami keruntuhan.
18
Cut Riska Irnanda 1004101010036
Gambar 2.4 Bentuk lendutan dan mekanisme runtuhnya
Dengan menggabungkan bentuk lendutan dari semua kondisi tersebut, akan terlihatlah peningkatan lendutan seperti yang ditunjukkan pada gambar di atas. Selama proses dari kondisi kondisi kedua hingga kondisi ketiga tidak terjadi perubahan momen di tengah bentangnya masih dapat bertambah. Keadaaan ini dimungkinkan karena adanya restribusi momen dalam struktur. Hubungan antara bentangan (Δc), yang dinyatakan oleh kurva oycb yang terdapat Gambar berikut.
Gambar 2.5 Hubungan beban-lendutan
Ternyata garis lendutan yang terjadi setelah titik C adalah horizontal. Ini sesuai dengan kenyataan, bahwa lendutan pada kondisi plastis akan terus bertambah tanpa memerlukan penambahan beban lagi. Keadaan ini menunjukkan bahwa struktur telahmencapai mekanisme runtuhnya. Pertama-tama, misalkan V=H=1,0. Selanjutnya akan kita perhatikan tingkah laku struktur ini bila beban atau factor bebannya terus bertambah. Sebagaimana telah diketahui dari uraian sebelumnya, ketika beban yang bekerja relative kecil, struktur masih bersifat 19
Cut Riska Irnanda 1004101010036
elastic. Dengan menggunakan salah satu metode elastic (misalnya slope deflection, moment distribution, dsb), diagram momennya dapat digambarkan seperti gambar berikut.
Gambar 2.5 Struktur Pembebanan
20
Cut Riska Irnanda 1004101010036
Jika λ=39, momen terbesar yang terdapat pada kaki kolom sebelah kanan ( di titik E) akan menjadi sama dengan kapasitas momen plastisnya. Sedangkan momen di bagian penampang lainnya masih terletak dalam daerah plastisnya. Sedangkan momen di bagian penampang lainnya masih terletak dalam daerah plastis. Dengan demikian,untuk keadaan ini hanya akan terbentuk sebuah sendi plastis di titik E. Jika bertambah besar lagi, akan menyebabkan titik E berotasi secara bebas dengan momen pada titik tersebut tetap sama dengan Mp. Jika struktur tadi kita analisis kembali terhadap peningkatan beban baru, di mana titik E ini sekarang kita anggap sebagai sendi, akan diperoleh harga momen yang merupakan fungsi dari factor beban baru tersebut. Momen totalnya merupakan hasil penjumlahan dari momen yang terdapat pada baris pertama kolom keempat dengan yang terdapat pada baris kedua kolomketiga dari gambar di atas. Dengan demikian momen total untuk titik C adalah: Mc=82,7+2,47 λ’ yang akan mencapai momen plastisnya (Mp=100) bila λ’=7,0 atau λ=46. Sekarang, telah terbentuk dua buah sendi yaitu di titik E dan C. Dari hasil sebelumnya dapat kita pastikan bahwa sendi berikutnya akan terbentuk di titik D, ynag persamaannya adalah; M D=97,3+4,04 λ’ Ddan kita peroleh harga λ’=0,7 atau 46,7. Dengan cara yang sama, ditentukan semua momen baru untuk setiap tahapnya. Untuk kasus ini, akan dihasilkan harga λ akhir sebesar 50, yaitu dengan terbentuknya sendi keempat di titik A. keadaan ini akan mengakibatkan struktur mengalami mekanisme keruntuhan dengan factor beban runtuhnya (collapse load factor , λc) sebesar 50. 2.3.
TEOREMA PLASTIS
Pada umumnya, jika suatu struktur mencapai kondisi keruntuhan, akan dipenuhilah tiga keadaan berikut: (a) Kondisi leleh (yield condition) (b) Kondisi keseimbangan (equilibrium condition) (c) Kondisi mekanisme (mechanism condition).
21
Cut Riska Irnanda 1004101010036
Kondisi leleh merupakan pernyataan dari sifat deformasi plastis, di mana pada saat runtuh, momen dalah dari suatu struktur tidak ada yang melampaui kapasitas momen plastisnya. Kondisi keseimbangan menghendaki bahwa momen lentur dalam harus seimbang dengan momen luar yang bekerja. Kondisi mekanisme akan terjadi bila jumlah sendi plastis dalam struktur telah cukup untuk mengubah sebagian atau seluruh struktur tersebut ke dalam kondisi mekanisme keruntuhannya. Ketiga kondisi di atas merupakan syarat dasar dari beberapa teorema berikut.
2.3.1. Teorema Batas Bawah
Teorema batas bawah (lower bound theory) menetapkanatauu menghitung distribusi momen dalam strukturberdasarkan kondisi keseimbangan dan leleh. λ < λc
2.3.2. Teorema Batas Atas
Kalau distribusi momen yang diperoleh dihitung berdasrkan syarat yang memenuhi kondisikeseimbangan dan mekanisme, dapat dipastikan bahwa harga faktor bebannya menjadi λ > λc.
2.3.3. Teorema Unik
Distribusi momen untuk teorema ini akan memenuhi ketiga kondisi tersebut, sehinggaakan diperoleh nilai beban atau factor beban eksak dari mekanisme struktur yang kita tinjau. λ = λc Terdapat tiga buah metode yang berdasrkan pada teorema ini, yaitu: (a) Metode statis ( statistical method ) (b) Metode kerja virtual (virtual work metodh) (c) Metode distribusi momen (moment balancing method )
22
