[email protected]
Hubungan Momen-Kelengkungan untuk Penampang Segiempat Dari Gambar 7 dapat ditempatkan kembali seperti Gambar 8, 8, dimana regangan pada serat terluar telah melampau regangan leleh, sedangkan regangan pada serah hingga sejauh z dari garis netral belum mencapai regangan leleh. Dengan demikian dalam daerah setinggi 2z, material masih bersifat elastis.
σyB(D/2 – z) D/2
½ σBz
z 2/3 z
D/2
B (a)
(b)
½ (D/2 + z)
(c)
Gambar 8. 8. Distribusi tegangan t egangan – regangan penampang segiempat Besarnya momen dalam dapat dicari dari resultan bagian elastis dan plastis, besarnya masing-masing resultan gaya dan titik kerjanya ditunjukkan pada Gambar 8.c. Jadi besarnya momen dalam dari penampang tersebut adalah :
⎧1 (σ yBz ) 2 z + 1 σ yB⎛ ⎜ D − z ⎞⎟⎛ ⎜ D + z ⎞⎟⎫⎬ 3 2 ⎝ 2 ⎠⎝ 2 ⎠⎭ ⎩2 ⎛ D z ⎞ = σ y B⎜⎜ − ⎟⎟ ⎝ 4 3 ⎠
M = 2⎨
2
2
(5)
dengan : B = lebar penampang D = tinggi penampang z = jarak dari sumbu netral σy = tegangan leleh Dari persamaan sebelumnya
ε = y/ρ, untuk harga ε = εy, y = z dan K = 1/ρ
dapat diperoleh harga kelengkungan : K
=
εy z
(6)
dengan εy adalah regangan leleh
Department of Civil Engineering Brawijaya University
21
[email protected]
Jika z = D/2, hanya serat terluar yang mencapai kondisi leleh (sesuai dengan Gambar 8.b), dan besar momen dalam yang ditahannya disebut dengan momen leleh My. Harga momen leleh ini dapat diperoleh dengan memasukkan nilai z = D/2 ke dalam persamaan 5, dengan hasil : My
= σ yB
D2
(7.a)
6
Nilai My juga dapat dihitung secara langsung dengan menggunakan persamaan : My = Sσy
(7.b)
dengan S adalah modulus elastis penampang, dimana untuk penampang segiempat S = BD2/6.
Selanjutnya untuk z = D/2, akan diperoleh : Ky
=
εy
2
(8)
D
Dengan menggabungkan persamaan (5) hingga (8), akan diperoleh persamaan momen-kelengkungan tanpa satuan sebagai berikut :
⎛ z ⎞ M = 1,5 − 2⎜ ⎟ ⎝ D ⎠
2
⎛ K ⎞ = 1,5 − 0,5⎜⎜ y ⎟⎟ ⎝ K ⎠
2
(9)
Dari persamaan (9) dapat dibuat kurva momen-kelengkungan seperti Gambar 9. Huruf dalam lingkaran, menunjukkan tahapan yang ada pada Gambar 8.
Dari Gambar 9, dapat dilihat bahwa harga M akan mendekati 1,5 My, jika harga K semakin besar. Bila M telah mencapai 1,5 My, harga K
akan
menjadi tak hingga (nilai z dalam persamaan (6) menjadi sama dengan nol).
Department of Civil Engineering Brawijaya University
22
[email protected]
Dengan demikian seluruh penampang telah mencapai kondisi leleh, dan momen plastisnya dapat dihitung sebagai : Mp
= 1,5 M y = σ y B
D2
(10)
4
Persamaan (10) diatas hanya berlaku untuk penampang segiempat, sedangkan untuk penampang lainnya dapat diturunkan dengan cara yang sama. (M/My)
1,5 e c
1,0
b
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 (K/Ky)
Gambar 9. Hubungan momen – kelengkungan penampang segiempat Perbandingan
antara
momen
plastis
Mp
dengan
momen
leleh
My
menyatakan peningkatan kekuatan penampang ditinjau dari kondisi plastis. Perbandingan ini tergantung dari bentuk penampangnya, dimana untuk penampang segiempat : f =
Mp My
=
Z S
= 1,5
(11)
dengan : f = faktor bentuk (shape factor ) Z = modulus plastis penampang (mm3) S = modulus elastis penampang (mm3)
Department of Civil Engineering Brawijaya University
23
[email protected]
MOMEN PLASTIS PENAMPANG
Pendahuluan Disamping cara yang dijelaskan sebelumnya untuk penampang segiempat, momen plastis penampang sembarang dapat dihitung secara langsung. Lihat Gambar 8., kondisi penampang plastis penampang sembarang dengan distribusi tegangan yang diakibatkan oleh lentur murni (Gambar 1b). Karena hanya memperhitungkan pengaruh lentur saja, maka keseimbangan horisontal akan menghasilkan : C=T
(1)
dengan : C = resultan gaya tekan di atas garis netral T = resultan gaya tarik di bawah garis netral
σy
C d
z T
(a)
(b)
Gambar 1. Penampang sembarang
Dengan demikian akan diperoleh hubungan untuk kondisi plastis : Atekan x σy = Atarik x σy
Untuk lebih jelasnya, akan diberikan contoh perhitungan untuk menentukan momen plastis dengan beberapa bentuk penampang.
Department of Civil Engineering Brawijaya University
24
[email protected]
Penampang Segiempat
σy
C D
D/2 T B
Gambar 2. Penampang segiempat
Sumbu netral berjarak D/2 dari serat atas atau bawah, dengan persamaan (1) diperoleh : C = T = σyBD/2 Dari Gambar 2, besarnya momen dalam adalah sama dengan resultan gaya tekan C terhadap jarak dari titik tangkap gaya tekan ke titik tangkap gaya tarik T. Dalam hal ini sama dengan C x D/2, dimana biasanya jarak titik tangkap disebut juga dengan lengan momen. Berdasarkan persamaan keseimbangan, yang menetapkan bahwa momen luar (MP) sama dengan momen dalam dapat diperoleh : MP
=C
D 2
= σ yB
D2
(2)
4
Persamaan (2) dapat ditulis : MP = Zσy
Dengan Z adalah modulus plastis penampang, yang nilainya tergantung dari bentuk penampang yang digunakan. Selanjutnya seperti diketahui bahwa nilai modulus elastis penampang segiempat adalah S = BD2/6, maka nilai faktor bentuk dari penampang segiempat : Z f = S
=
BD 2 / 4 BD 2 / 6
=
Department of Civil Engineering Brawijaya University
6 4
= 1,5
(3)
25
[email protected]
Penampang Lingkaran
σy
C
2D/3π
4D/3π
D T B
Gambar 3. Penampang lingkaran
Penampang lingkaran juga mempunyai sumbu netral yang membagi luas penampang menjadi dua bagian yang sama besar. Yang dengan mudah dapat ditentukan sebagai
1 8
πD dengan D adalah diameter lingkaran, 2
sehingga : C=T=
1 8
πD σ y 2
Dari Gambar 3, besarnya lengan momen adalah 4D/3π. Berdasarkan persamaan keseimbangan momen diperoleh : MP
=C
4D
π
3
= σy
D3
(4)
6
Sehingga besarnya modulus plastis penampang Z = D 3/6. Selanjutnya dari beberapa acuan, nilai modulus elastis penampang lingkaran menurut AISC adalah S = πD3/32, maka nilai faktor bentuk dari penampang lingkaran : Z f = S
=
D3 / 6
πD / 32 3
Department of Civil Engineering Brawijaya University
=
32 6
π
= 1,7
(5)
26
[email protected]
Penampang lainnya (continue)
Department of Civil Engineering Brawijaya University
27
