Résumé global du cours de Sciences de l'Ingénieur

CPGE – Marrakech - Révisions de S.I – Année 2011 - Résumés des cours proposés par : OUIKASSI

Document préparé par : OUIKASSI (Recueil de 30 pages)

Merci de m’envoyer, par E-mail, toutes vos remarques et suggestions à l’adresse : [email protected] Ce résumé est disponible sur le site web du lycée Ibnou Taymia. Chapitre

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Chapitre

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Chapitre

Page

Mécanique

2

Dynamique

9

Asservissements

17

Cinématique

3

Automatique

12

FAST –SADT

27

Statique

6

Combinatoire

13

Grafcet

29

Mobilité et Hyp.

8

Séquentiel

16

N.B : un résumé ne peut s’avérer bénéfique que si le cours entier est assimilé 1


2


2


1. Torseur cinématique : Le torseur cinématique du solide S par rapport au repère R, réduit au point A est :

 Ω ( S / R )  {ν ( S / R ) } =   V ( A∈S / R )  A

Ω ( S / R )

: Vecteur vitesse de rotation de S/R ;

V ( A∈S / R )

: Vecteur vitesse linéaire du point A dans le mouvement de S/R,

donné par :

V ( A∈S / R )

 d OM  =   dt  R

O est un point du repère R.

2. Relation de changement du point de réduction du torseur cinématique : En un point B, ce torseur devient :

 Ω( S / R )  {ν ( S / R ) } =   V ∈ ( / ) B S R   B

avec :

V ( B∈S / R )

= V ( A∈S / R ) + BA ∧ Ω ( S / R )

3. Relations de composition de mouvement : On considère un solide S en mouvement par rapport à un repère R lui-même en mouvement par rapport à un repère R 0.

1

,

Ω ( S / R 0) = Ω ( S / R1) + Ω ( R1 / R 0) V ( A∈S / R 0) = V ( A∈S / R1) + V ( A∈ R1 / R 0)

ν ( S / R 0 ) = ν ( S / R1) + ν ( R1 / R 0) Attention : pour déterminer le vecteur vitesse V ( M ∈S / R ) , on ne peut

pas dériver si M n’est pas un point fixe de S.

4. Vecteur accélération : Vecteur

 d 2 OA   d V ( A∈S / R )  Γ ( A∈S / R ) =  2  =   dt dt   R   R 

Pour deux points liés au même solide :

 d Ω ( S / R )  Γ ( B∈S / R ) = Γ ( A∈S / R) + BA ∧   + Ω ( S / R) ∧ [BA ∧ Ω ( S / R ) ]  dt  R 

Composition des vecteurs accélération :

Γ ( A∈S / R 0) = Γ ( A∈S / R1) + Γ ( A∈ R1 / R 0) + 2Ω ( R1 / R 0) ∧ V ( A∈S / R1) Attention : pour déterminer un vecteur accélération

Γ ( M ∈S / R ) ,

on ne

peut pas dériver si M n’est pas un point fixe de S.

3


5. Vecteur vitesse de glissement : Le vecteur vitesse de glissement de S 1 par rapport à S 0 en leur point

V ( I ∈S 1 / S 0 )

de contact I est :  

Ce vecteur est contenu dans le plan tangent commun au deux solides contenant le point I. En l’absence de glissement en I entre ces deux solides, ce vecteur

V ( I ∈S 1 / S 0 )

est nul :

=O

6. Mouvement plan sur plan : S est en mouvement plan par rapport à R si déplacent dans des plans parallèles à un plan de R. 



ses

points

se

Centre instantané de rotation de S/R (I SR ) :

C’est le point ISR tel que : 

tous

V ( I SR∈S / R )

=O

Nota: à l’instant considéré, S tourne par rapport à R autour de I Détermination graphique de I SR :

SR.

Connaissant les supports des vitesses de deux points A et B de S/R, alors : I SR = (┴ en A au support de

V ( A∈S / R ) ) ∩ (┴

en B au support de

V ( B∈S / R ) )

7.Détermination graphique des vecteurs vitesses dans le cas de mécanisme plan : 

Première méthode : Equiprojectivité (Fig.1)

C’est l’exploitation graphique de la relation :

AB.V ( A∈S / R )

= AB.V ( B∈S / R )

Conditions d’utilisation : vecteur vitesse solide). 

On doit connaître complètement le vitesse d‘un point d’un solide et le support de la de l’autre point (les deux point sont liés au même

Deuxième méthode : CIR (Triangle ou champs des vitesses) (Fig.2)

C’est l’exploitation graphique de l’existence du CIR, sachant que :

V ( I SR ∈S / R )

=O

et

que

le

mouvement

de

S/R

à

l’instant

considéré

est

une

rotation autour de I SR.

Conditions d’utilisation : On doit connaître la position du CIR et le vecteur vitesse d’un point de S/R. 

Troisième méthode : composition (Fig.3)

C’est l’exploitation graphique de la relation de composition des vecteurs vitesse (Même point mais des solides différents). Conditions d’utilisation : On doit connaître, au moins, un vecteur vitesse et les supports des deux autres.

V ( A∈S / R 0)

Fig.1

V ( A∈S / R )

V ( A∈ R1 / R 0)

V ( A∈S / R )

V ( B∈S / R ) A

A B S

V ( A∈S / R1) S

A

IS/R B Fig.2

Fig.3

V ( B∈S / R )

4


8. Rappels et compléments utiles 

Engrenages : Rapport de réduction d’un train d’engrenages à axes fixes

k =

:

ω sortie Π Z menantes = (−1) n ω entrée Π Z menées

avec : n est le nombre d’engrenages cylindriques parallèles extérieurs.

Rapport de réduction d’un train épicycloidal :

k

=

ωPlanétaire de sortie − ω porte satellite

− ω

ω

planétaire entrée

= (−1)n

porte satellite

Π Z menantes Π Z menées

Signe du rapport de réduction k d’un engrenage conique :

(k

=

ω 1 z =± 2 ) ω 2 z 1

Soit C 1 et C2 les centres des deux roues 1 et 2 respectivement, et I leur point de contact.

uuur



• Si IC 1

et

• Si

et

uuur IC 1

uuur IC 2 uuur IC 2

sont de mêmes signes, alors : k est négatif ; sont de signes différents, alors : k est positif ;

Système Vis-écrou

Soit V la vitesse de translation et w celle de rotation. P est le pas de l’hélice. On a la relation :

v=±

P

2π

w

Le tableau suivant permet de décider du signe de la relation ci-dessus : La vis tourne La vis translate

La vis tourne l’écrou translate

+ -

+

Hélice à droite Hélice à gauche



Les liaisons :

Dans l’espace

Dans le plan

( x, y )

Torseur cinématique

Torseur statique

ω x V x    ω y V y  ω V   z z 

 X L     Y M   Z N   

Réciprocité

On ne garde que : - La rotation suivant la normale ; - Les deux translations dans le plan.

 V x  ω z V  y  

Réciprocité

Les liaisons pour lesquelles le centre est fixe par rapport aux deux solides liés sont : Encastrement – Sphérique Pivot - sphérique à doigts.

Autrement (

 X   N   Y 

dit, ce sont les liaisons qui n’autorisent aucune translation)

La forme des deux torseurs est gardée en : 

Tout point de l’espace :

Encastrement Glissière

.Tout point de l’axe :

Pivot Pivot .glissant Sphère − plan

Appui − plan

hélicoidale 

Tout point d’un plan : Linéaire rectiligne

–

.Au centre :

Sphère − cylindre Sphérique Sphérique..à.doigts

5


1. Modélisation des actions mécaniques de contact surfacique : 1.1. Modélisation locale : Soient deux solide 1 et 2 en contact suivant une surface (S). L’action mécanique de 1 sur 2 est représentée en chaque point M de (S) par : le vecteur densité surfacique de contact

f M (1→ 2 ) .

f Mn (1→ 2 ) 2

Considérons le plan tangent commun π à 1 et 2 contenant le point M. On peut écrire :

f M (1→ 2 ) = f Mn (1→ 2 ) + f Mt (1→ 2 )

f Mn (1→2)

f M (1→ 2 )

f Mt (1→2 )

M

: Densité surfacique normale ou pression de contact ( ┴ à

f Mt (1→ 2 )

π )

π

;

: Densité tangentielle (Contenu dans

1.2.

π ).

1

Lois de coulomb :

1er cas : frottement V ( M ∈2 / 1) ≠0

2ème cas : Adhérence

f Mt (1→ 2 ) ^ V ( M ∈2 / 1)=0

f Mt (1→ 2 )

< k

V ( M ∈2 / 1) =0

f Mn (1→ 2 )

f Mt (1→ 2 ) . V ( M ∈2 / 1)=0 <0 f Mt (1→ 2 )

=k

f Mn (1→ 2 )

K : coefficient de frottement

A la limite de glissement (ou équilibre strict) on applique les lois de coulomb relatives au frottement. 1.3. Modélisation globale : L’action mécanique de 1 sur 2 peut être représentée globalement par le torseur :

tel que :

  {τ (1→2) } =  R ( S1→2) 

 M ( A,1→2)  A

R (1→ 2 ) =

∫∫

S

f

M (1→2 )

.ds

et

M ( A,1→2) =

∫∫ AM ^ f

M (1→ 2 )

.ds

S

Remarque : Les relations précédentes restent toutes valables dans le cas d’un contact linéique entre 1 et 2, à condition de substituer : La surface de contact (S) par la ligne de contact (L) ; L’élément de surface ds par l’élément de longueur dL ; La densité surfacique par la densité linéique.

2. Action mécanique de contact ponctuel : 2.1. Modélisation : Soient deux solides 1 et 2 en contact ponctuel en un point A. L’action mécanique de 1 sur 2 peut être modélisée par un torseur :

6


  {τ (1→2) } =  R (1→2) 

 M ( A,1→2 )  A

N

:

┴

π

à

avec :

R (1→2 ) = N + T

: Effort normal .

T

M ( A,1→ 2 ) = M n

et

: contenu dans

M n : ┴ à π : moment de pivotement . M t :

π

+

M t

: Effort tangentiel ;

contenu dans

π : moment

de roulement .

2.2. Lois analogues aux lois de Coulomb : Glissement 1er cas :

V ( A∈2 / 1)

Pivotement

V ( A∈2 / 1) ≠ 0

∧ T = 0

V ( A∈2 / 1) . T < 0 T

= k . N

2ème cas :

Roulement

ur

1er cas :

ur

Ω n (2/1) ^ M ur Ω n (2/1) . M M n

V ( A∈2 / 1) = 0

Ω n (2/1) ≠

µ :

=

n

=

0

n

<

0

0

1er cas :

Ω t ⋅( 2 / 1) ^ M Ω t ⋅( 2 / 1) . M

µ N

M t

Paramètre de résistance

η :

au pivotement;

ur

T 〈 k . N

2ème cas :

M n

<

Ω n (2/1) =

Ω t ⋅( 2 / 1) ≠

=

t =

0

t <

0

0

η N

Paramètre de résistance

au roulement;

ur

0

2

ème

cas :

Ω t (2/1) =

0

uur

µ N

M t

<

η N

3. Principe fondamental de la statique : 3.1. Enoncé : Un système matériel Σ est en équilibre par rapport à un repère Galiléen si et seulement si le torseur des actions mécaniques extérieures est nul.

τ ( Σ→Σ ) = {0} 3.2. Théorèmes généraux de la statique : Théorème de la résultante statique : Théorème du moment statique :

R ( Σ→Σ )

M A ( Σ→Σ )

=0

=0 (A

: point quelconque).

3.3. Cas particuliers : Equilibre sous l’action de forces Nota : On appelle force toute action mécaniques représentable par un torseur glisseur

Le point de la surface (ou ligne) de contact où le moment est nul est appelé : Centre de poussée.

Equilibre sous l’action de deux forces : Si le système matériel est en équilibre sous l’action de deux forces alors elles sont directement opposées : Même support ; Même module ; sens opposés.

Equilibre sous l’action de 3 forces : Si le système matériel est en équilibre sous l’action de 3 forces alors : Elles sont coplanaires ;  Leurs supports sont parallèles ou concourants en un point ;  La somme vectorielle des trois vecteurs forces est nulle (Triangle  fermé).

7


Etude statique

τ Leq = Σ{τ Li }

h = Ns - rs (ce sont les inconnues statiques indéterminées)

(I)

Formule de mobilité :mc – h = Nc - 6

Liaisons en //

C’est le nombre de ddl de Leq

γ

NL-NP+1 Intuitivement Etude statique (I) Etude cinématique :

υ Leq = {υ Li }

Intuitivement

Liaisons en série

h

Cycle ou Chaîne complexe

h = 0 mc = Nc

Pour Leq

Etude statique :

τ Leq = {τ Li }

Etude cinématique :

υ Leq = Σ{υ Li }

Etude statique : on applique le PFS à chaque solide sauf le bâti : h = Ns - rs Formule de mobilité : mc – h = Nc - 6

γ

Fermetures cinématiques mcu + mci

C’est le nombre de mouvement d’entrée

C’est le nombre de mouvement qui subsistent quand on fixe les mouvements d’entrée

Nota : dans le cas d’un mécanisme plan, la formule de mobilité devient : mc – h = Nc - 3γ Pour déterminer mc et Nc, on ne comptabilise que les translations dans le plan et les rotations normales au plan. Légende : Ns Nc NL Np

γ h mc mcu mci ddl

: : : : : : : : : :

nombre total des inconnues statiques ; nombre total des inconnues cinématiques ; nombre de liaisons ; nombre de solides ; nombre cyclomatique ; degrés d’hperstaticité ; mobilité cinématique ; mobilité cinématique utile ; mobilité cinématique interne ; degrés de liberté.

8


1. CINETIQUE : 1.4.

Centre de gravité d’un système matériel Σ:



Définition : C’est le point G /



Propriétés :

∈

- G

∫ GP.dm = 0

P∈Σ

à l’élément de symétrie de

Σ ;

n

-

Soit

Σ = U Si

(Si solide de masse m i et de centre de gravité G i) et

1 n

A point quelconque :

AG

=

∑ m AG i

i

1 n

∑m

i

1

n

n

-

V (G / R )

=

∑ m V i

( Gi / R )

1

et

n

∑

Γ (G / R ) =

∑ m Γ i

( Gi / R )

1 n

∑m

mi

1

i

1



Théorèmes de GULDIN : - Premier Théorème : La surface engendrée par la rotation d’une courbe plane et homogène, autour d’un axe de son plan, ne la traversant pas, est le produit de la longueur de la courbe par le périmètre du cercle décrit par son centre de gravité : S = 2П R G L. - Deuxième théorème : Le volume engendré par la rotation d’une surface plane et homogène, autour d’un axe de son plan, ne la traversant pas, est le produit de l’aire de la surface par le périmètre du cercle décrit par son centre de gravité : V = 2 П R G S. 

1.5. Matrice d’inertie d’un solide S en un point Q : Définitions

A =

∫ ( y

2

+ z 2 )dm

P∈S

E =

P∈S

∫ xzdm

P∈S

;

 A − F − E    − D  I (Q , S ) =  − F B Telle que :  − E − D C    ( x, y , z ) 2 2 2 2 B = ∫ ( x + z ) dm ; C = ∫ ( x + y ) dm ; D = ∫ yzdm

et

F =

∫ xydm

P∈S

. Sachant que :

QP

;

P∈S

= x x + y y + z z

P∈S

A, B et C sont des moments d’inertie ; D, E et F sont des produits d’inertie. ( En Kg.m 2) n



Pour un système matériel Σ :

Soit

Σ = U Si 1



n

alors :

I (Q,Σ )

=∑

I (Q , Si )

1

Effet de la symétrie matérielle sur la forme de la matrice d’inertie : - S possède un plan de symétrie matérielle : L’axe ┴ à ce plan est -

-

API (Axe Principal d’Inertie) ; S est une plaque plane : L’axe ┴ au à son plan est API, et le moment d’inertie autour de cet axe est la somme des deux autres moments d’inertie ; S possède un axe de révolution : La matrice d’inertie est diagonale et les moments d’inertie autour des deux autres axes sont identiques.

9




Théorème d’HYGHENS :

Soit un solide S de masse m et de centre d’inertie G. Q point quelconque :

I (Q , S )

= I (G ,S )

+ I ( Q ,{ms ,G}) , tel que : I ( Q ,{ms ,G}) =

QG = a x + b y + c z

Avec : 

 b 2 + c 2 − ab − ac    2 2 m − ab a +b − bc   − ac − bc a 2 + b 2  ( x , y , z ) 

Moment d’inertie d’un solide S par rapport à un axe (Q,δ ) :

J(S/(Q, δ ) 

1.6. Torseur cinétique d’un système matériel Σ / repère R : Définition :

 R C   σ (Q ,Σ / R )  Q

{C (Σ / ) } =  R



R C

δ . I ( Q, S ) .δ

=

avec :

R C

∫ V

=

( P / R ).

dm

et

P∈Σ

= mΣ .V (GΣ / R )

σ (Q ,S / R ) = I (Q ,S ) .Ω ( S / R ) + m.QG ^ V (Q∈S / R )

et, pour un solide ,

Σ = U Si

:

σ ( Q ,Σ / R ) =

( / R )

 R d   δ (Q ,Σ / R ) Q

avec :

R d

= ∫ Γ ( P / R ). dm

et

δ (Q ,Σ / R ) =

P∈Σ

∫ QP^ Γ

( P / R )

.dm

P∈Σ

Expressions pratiques :

R d

= mΣ .Γ ( GΣ / R )

et,

 d σ (Q,Σ / R )   + mΣ .V (Q / R ) ^V (GΣ / R ) dt   R

δ (Q ,Σ / R ) = 

1.8. Energie cinétique d’un système matériel Σ / repère R : Définition :

=

T ( Σ / R )

1

∫

V

2 P∈Σ

2 ( P / R )

.dm

Expression pratique :

T ( Σ / R )

- Pour un solide S :

1

= {V ( S / R ) }⊗ {C ( S / R ) } 2

n

- Pour un système matériel

Σ = U Si

n

: T ( Σ / R )

n

= ∑ T ( Si / R ) = ∑ 1

1

2.

( Q , Si / R )

1

1.7. Torseur dynamique d’un système matériel Σ / repère R : Définition :

{ D Σ }= 



n

∑σ

1



.dm

Expressions pratiques :

Nota : Pour un système matériel



( P / R )

P∈Σ

n



∫ QP^ V

σ (Q ,Σ / R ) =

1

1 2

{V

( Si / R )

}⊗ {C

( Si / R )

}

P.F.D : 2.1

Enoncé:

D( Σ / Rg 2.2

= τ ( Σ→Σ )

Rg : repère galiléen

Thérèmes généraux de la Dynamique (T.G.D):



Théorème de la résultante Dynamique T.R.D :



Théorème du Moment Dynamique T.M.D : 2.3 Equation de mouvement :

∀Q

po int :

mΣ Γ ( GΣ / Rg )

= R ( Σ →Σ )

δ (Q ,Σ / R ) = M ( Q ,Σ→Σ )

C’est toute équation issue des T.G.D, ne contenant aucune composante inconnue d’action mécanique (Si l’équation de mouvement est de premier ordre alors, elle sera appelée : Equation intégrale première de mouvement ).

10


3.

ENERGETIQUE : 3.1

Puissance d’action mécanique extérieure :

La puissance développé par l’action mécanique du système matériel Σ1 sur le système matériel Σ2, dans le mouvement de Σ2 par rapport au repère R, est :

∫ V

=

P( Σ1→Σ 2 / R )

( P / R )

. f M ( Σ1→Σ 2 ) .d m

M ∈Σ 2

Avec : 

f M ( Σ1→Σ 2 ) est la densité massique de l’action mécanique de Σ1 sur Σ2. Expression pratique : si Σ2 est un solide S alors : P( Σ1→S / R )

3.2



=

P( Σ1→Σ 2 / R ) + P( Σ 2→Σ1 / R )

=

P( S1→S 2 / S1) = P( S1→S 2 / S1)

Définition d’une liaison parfaite : la liaison L S1-S2 est parfaite si et seulement si :

3.3 

P( S1← → L S 2)

=

0.

Energie potentielle :

Associée à une action mécanique extérieure :

C’est le scalaire V (Σ1→Σ2/R) tel que :

Exemple : 

⊗ τ ( Σ1→S )

Propriété : cette puissance est indépendante du repère R. Pour deux solides S1 et S2 :

P( S1↔S 2) 

V ( S / R )

Puissance d’inter efforts entre Σ1 et Σ2 :

P( Σ1↔ Σ 2 ) 

=

V(pesanteur →Σ / R)

= - m Σ g.OGΣ

P( Σ1→Σ 2 / R )

=−

dV ( Σ1→Σ 2 / R ) dt

avec O est un point de R.

Associée à des inter efforts :

P( Σ1↔Σ 2 )

C’est le scalaire V (Σ1↔Σ2) tel que :

Exemples :

V(Σ1← Re ssort de traction →Σ 2)

=

1

V(Σ1← Re ssort de torsion  →Σ 2)

=

1

2

=−

dV ( Σ1↔Σ 2 ) dt

k .∆L 2 avec K est la raideur du

ressort.

3.4 

2

c .∆θ 2 avec c est la raideur du ressort.

Théorème de l’Energie Cinétique (T.E.C) :

Pour un solide S :

dT ( S / Rg ) dt

= P( S →S / Rg ) n



Pour un ensemble de solides

Σ = U Si 1

:

dT ( Σ / Rg ) dt

= P(Σ→Σ / Rg ) + Pint

Pint est la puissance de tous les inter-efforts entre les solides de Σ. Avec :

Rendement d’un mécanisme : C’est le rapport de la puissance à la sortie du mécanisme par la puissance à son entrée.

11


12


1. Généralités : 1.1. Variable logique : C’est une grandeur qui ne peut prendre que 2 états possibles (Vraie ou Faux). On associe à ces deux états le nombre 0 ou 1.

1.2. Fonction logique : Elle est représentée par des groupes de variables logiques reliées entre elles par des opérateurs logiques, et qui ne peut prendre que deux valeurs 0 ou 1.

2. Algèbre de BOOLE : 2.1. Opérateurs logiques : Convention :

•

Interrupteur non actionné : 0 Interrupteur actionné : 1

Opérateur EGALITE ou OUI : F(a)= a

Table de vérité : Schéma électrique à contacts : a F(a) 0 0 1 1 Chronogramme : a

a Symboles logiques : 1

t F(a)

t

•

Opérateur COMPLEMENT ou NON : F(a)=

a

Schéma électrique à contacts :

Table de vérité :

a a 0 1

F(a) 1 0 Symboles logiques :

Chronogramme : a

1

t F(a)

t

•

Opérateur ADDITION ou OU : F(a,b) = a + b

13


Table de vérité :

Symboles logiques :

Schéma électrique à contacts : a 0 1 0 1

b 0 0 1 1

•

F(a,b) 0 1 1 1

a

≥1

b

Opérateur PRODUIT ou ET : F(a,b) = a . b

Table de vérité : a 0 1 0 1

b 0 0 1 1

Schéma électrique à contacts : a

F(a,b) 0 0 0 1

b

Symboles logiques :

Chronogramme : a

& t b

t F(a,b)

t

•

Opérateur OU EXCLUSIF : F(a,b) = a

⊕b

Symboles logiques : Table de vérité : a 0 1 0 1

b 0 0 1 1

Remarques :

F(a,b) 0 1 1 0

=1

• Opérateur NAND : F(a,b)= a.b Symboles logiques :

&

. a ⊕ b=1 si a ≠b ; . a ⊕ b= a.b

+ a.b ; a1 ⊕ a2 ⊕ … ⊕ an =

. e (bit de parité) e est 1 si le nombre de 1 dans la combinaison a 1a2…an est impair

.Opérateur

NOR : F(a,b)=

a +b

Symboles logiques :

≥1

14


2.2. Théorème de DEMORGAN :

a.b

= a +b

a +b

= a.b

2.3. Relations fondamentales de l’algèbre de BOOLE : Somme a+b = b+a a+b+c = a+(b+c) a+b.c = (a+b).(a+c) a+0 = a

Commutativité Associativité Distributivité Elément neutre Complémentation

Produit a.b = b.a a.b.c = a.(b.c) a.(b+c)= a.b + a.c a.1 = a

a+

Idempotence Absorption d’un terme Multiple de complément Elément absorbant

a .a

a = 1 a+a = a a+a.b = a

= 0 a.a = a a.(a+b) = a

a+ a .b = a+b a+1 = 1

Double complémentation

a.(

a +b)

= a.b a.0 = 0

a= a

3. Simplification des équations : 3.1.1. Méthode algébrique :

•

Principe : Cette méthode consiste à appliquer les relations de l’algèbre de BOOLE. 3.1.2. Méthode graphique ( tableau de KARNAUGH) :

- Pour une fonction à n variables, le tableau de KARNAUGH contient 2 cases. D’une case à la suivante une seule variable change à la fois. - Porter la valeur de la fonction à l’intérieur de chaque case. - Faire les regroupements des 1 (Ou des 0).

•

n

Conseils :

◊

On ne peut regrouper qu’un nombre de cases correspondant à une puissance de 2 ;

◊ ◊

Rechercher les regroupements maxi ;

◊

Minimiser le nombre des regroupements.

Rechercher les regroupements en commençant par les cases qui ne peuvent être regroupées que d’une seule manière ;

4. Systèmes combinatoires : 4.1. Définition : On appelle système combinatoire, tout système pour lequel les variables logiques de sortie ne dépendent que des variables logiques d’entrée.

4.2. Méthode de résolution d’un système combinatoire : Trois étapes sont nécessaires : • Identifier les variables d’entrée et de sortie ; • Dresser la table de vérité ; • Simplifier les équations.

15


1. Définition : Un système est dit séquentiel si l’état des sorties dépend non seulement de l’état des entrées, mais aussi de leur ordre chronologique dans le temps. Un système séquentiel possède donc une mémoire qui enregistre ses étapes d’évolution.

2. Mémoires : (Bascules) (Nota : Q t- est l’état précédent de la variable Q t)

Bascule RS

Bascule RST T

R

S

Qt

0

Φ

Φ

Qt-

1

0

0

1

1

0

0

1 1

R

S

Qt

0

0

Qt-

0

1

1

0

1

1

Bascule D

0/1

Bascule JK

T

D

Qt

Q t-

0

Φ

Qt-

1

1

1

0

0

1

0

0

1

1

Interdit

1

1

1

j

k

Qt

0

0

Qt-

0

1

0

1

0

1

1

1

Qt −

16


Un système est dit asservi lorsqu’une grandeur de sortie (Action) suit aussi précisément que possible les variations de la grandeur d’entrée (Consigne ou Ordre), quelque soient les effets perturbateurs extérieurs.

B-1. Diagramme fonctionnel – Schéma bloc : Elément

Schématisation

Entrée

Sortie

Perturbation Système ou processus Nom du

physique + Sommateur ou comparateur

±

B-2. Transformée de Laplace :

Définition : A toute fonction du temps

f (t ) nulle pour t < 0, on fait correspondre une

fonction F (P) qu’on appelle : Transformée de Laplace de

f (t ) , telle que :

+∞

F( P ) = L  f( t )  =

∫

f( t ) .e − .dt pt

0

Propriétés de la transformée de Laplace : 

Superposition linéaire :

λ et µ cons tan tes réelles , f (t ) et g (t ) fonctions : L  λ f (t ) + µ g (t )  = λ F( p ) + µ G ( p ) 

L f (t )  = pF( p ) − f(0 + ) '

Dérivation : Avec des conditions initiales nulles :

 df n (t )  n L  = p F( p ) n dt  

17




Intégration :

L

 ∫

Avec des conditions initiales nulles : 

n

F ( p )

f(t ) dt  = n

 p n

Théorème de la valeur initiale et finale :

f = lim

(0 + )



pF

f = lim

et

( p)

p →∞

(∞)

p → 0

pF

( p)

Théorème du retard :

g ( t ) = f( t −T )

Soit

alors G( P )

= e − pT F( p )

Transformées de Laplace des signaux usuels :

L δ (t ) 

=1 §

L  u(t ) 

Lsin (ω t) u(t ) 

=

=

1 p

ω p

2

+ω

2

§ L  t u(t ) 

=

1 2

p

2 § L  t u(t ) 

Lcos (ω t) u(t ) 

§

=

=

1 3

p

§

L  e−

a t

u(t ) 

=

1

§ p+ a

p p

2

+ ω 2

B-3. Fonction de transfert :

Définition : La fonction de transfert F.T (ou Transmittance) d’un système linéaire continu est le rapport de sa sortie sur son entrée en transformée de Laplace avec des conditions initiales nulles.

Forme canonique et Caractéristiques d’une fonction de transfert :

1 1 + a1 p + a2 p 2 + ... H ( p ) = k . α . 2 p 1 + b1 p + b2 p + ...

Forme canonique : 

Ordre :



Classe



Gain : k

c’est le degré de son dénominateur ;

α :

B-4. Relations

c’est le nombre de pôles nuls à l’origine ;

= lim

p α H ( p )

p → 0

fondamentales des systèmes bouclés :

Schéma bloc minimal (forme canonique) : E(p)

ε(p)

+ _

S(p)

G(p)

Sr R(p)



FTCD :



FTBF :

G

( p )

H B F( p)

; FTCR : R (p)

=

S

(p) E

=

;

FTBO :

H

BO( p)

=

S r

ε

( )p= (

FTCD ).(

FTCR )

FTCD

1+

FTBO

18


Pour un système à retour unitaire :

R ( p )

=1

FTBO

=

H B F( p)

1 + FTBO

Théorèmes de transformation usuels : Schéma initial

Théorème Association d’éléments en série

Association d’éléments en parallèle

e

H1

s

H2 +

H1

e

Schéma transformé

e

H1.H2

s

s

±

e

H1

±

s

H2

H2

Déplacement de point de dérivation en amont d’un élément

e

s

H

e s

H

H

Déplacement de point de dérivation en aval d’un élément

e s

H

e

s

H

1 H

Déplacement d’un élément en aval d’un comparateur

H

e1

+

e1

+

s

±

±

1

e1

+

s

H

e2

H

e2

Déplacement d’un élément en amont d’un comparateur

s

H

e1

+

H

s

±

±

e2

H e2

Permutation de deux comparateurs

e1

+

+

s

±

±

e2

e3

e1

+

+

s

±

±

e3

e2

19


B-5. Réponses indicielles des systèmes élémentaires :

H ( p )

Amplificateur :

= k

s(t) k.eo

t

e0 : amplitude de l’échelon à l’entrée.

H ( p )

Intégrateur de premier ordre :

=

1 p

s(t) eo

t

1 Premier ordre fondamental :

H ( p )

=

k

1 + τ p

s(t) k.eo 0.95ke o

t

τ

3τ

H ( p )

Deuxième ordre fondamental :

k

= 1+

2 z

ωn

+

p

s(t)

s(t)

p

2

ω n 2 −π Z

D1 D1

k.eo

k.eo

t 1

t1

> 1 s(t)

s(t)

=

π ω n 1 − z 2 t

t

z

= k .e0 .e

1 − z 2

z

< 1 1.05ke o

k.eo

k.eo

t t z = z =

1 : système rapide et sans dépassements

1

: système, absolument, le plus

2

rapide

20


B-6. Diagrammes de Bode des systèmes élémentaires :

Amplificateur

Intégrateur

GdB

20LogK

GdB

-20 Log

Log

Ø

Ø

Logω

Logω

-90°

Premier ordre fondamental

GdB

20LogK

GdB

1/τ

Pour z

20LogK

3dB Log

〈

1 2

Log

ωR ωn

-20

-40 Pour z

Ø

≥

1 2

Ø 1/τ

ωn

Logω

-45°

Logω

-90°

-90°

-180° Deuxième ordre fondamental

C-1.

Rapidité :

Elle est caractérisée par T 5%, ou par la largeur de bande passante. Un système est d’autant plus rapide que son T 5% est faible ou que sa bande passante est large.

Remarques : 

Un système de premier ordre fondamental est rapide quand sa constante de temps



τ

est faible ;

Un système de deuxième ordre fondamental est rapide quand sa pulsation propre

ωn

est grande.

Méthodes de détermination graphique de T 5% : 

Par la définition : T 5% est tel que

∀ t ≥ T 5% : 0.95 s (∞ ) ≤ s (t ) ≤ 1.05 s (∞)

21




Par la réponse indicielle :

s(t)

s(t)

k.e0 0.95 keo

1.05 keo k.e0 0.95 keo

t

T5%

C-2.

t

T5%

T ωn = f(z) : (Pour un deuxième ordre fondamental ) 5%. ω



Par l’abaque



pour un premier ordre fondamental ) T τ : ( 5% = 3τ

Précision :

ε (t ) .

La précision est caractérisée par le signal d’erreur

Un système est d’autant plus précis que son signal d’erreur est faible. On se limitera à l’étude de la précision statique, définie par :

ε s = lim ε (t ) t → ∞

On appelle : 

Erreur de position (ou indicielle) : erreur statique pour une entrée échelon ;



Erreur de traînage (de poursuite ou de vitesse) : erreur statique pour une entrée rampe.

Erreur statique pour l’entrée principale : Nombre d’intégrations en BO Entrée

α

BO

= 0

eo

Echelon : e 0. u(t)

1 + k BO

Rampe : e 0.t.u(t)

∞

Accélération : e 0.t2.u(t)

∞

α

BO

= 1

0

eo k BO

∞

α

BO

= 2

0

0

2 eo k BO

Erreur pour une entrée perturbation constante : Cette erreur statique serait nulle (donc l’asservissement serait insensible à la perturbation), s’il existe au moins une intégration en amont du point d’injection de la perturbation.

C-3.

Stabilité :

Définitions : Définition 1: un système est stable si à une entrée bornée correspond une sortie bornée.

22


Définition 2 : un système est stable si sa réponse impulsionnelle tend vers zéro en régime permanent.

Condition de stabilité : Un système est stable ssi tous les poles de sa FTBF sont à parties réelles strictement négatives.

Remarques : Remarque 1 : tout système de premier ordre ou de deuxième ordre fondamental est stable. Remarque 2 : si un système asservi

est stable pour la consigne alors

il l’est pour la perturbation.

Critères de stabilité : Critère de ROUTH : Nota : on appellera équation caractéristique d’un système asservi, le dénominateur de sa F.T.B.F égalé à zéro. 

Enoncé du critère de ROUTH :

Première condition (nécessaire mais pas suffisante) : Tous les coefficients de l’équation caractéristique doivent être du même signe.

Deuxième condition : Le système est stable si tous les termes de la colonne des pivots sont strictement positifs. 

Construction du tableau de ROUTH :

D(

)p

=

B mp

m

+

B

m −1

p

m −1

+B

m −2

p

m −2

+ ... +

B1 p

+

p

B m

B m-2

B m-4

…

p m-1

B m-1

B m-3

B m-5

…

p m-2

C m-2

C m-4

C m-6

…

p m-3

D m-3

D m-5

D m-7

…

B0

. . . P1

Colonne des pivots

1

avec: C m-2 =

−

1

B m

B m −1 B m −1

B m −2 B m −3

;

C m-4 =

−

1

B m

B m −1 B m −1

B m −4 B m −5

23


Critère du revers : 

Un

S.A

est

fermée, lieu

Critère du revers dans le plan de Nyquist :

si

de

stable en

en

parcourant

transfert

ouverte,

dans

croissants,

on

en

le

sens

laisse

Im  H

boucle son

A

boucle

-1

BO( jω )



Re  H 

ω

des

le



BO( jω )



Stable

point

Instable

critique A(-1,0) sur la gauche.



Critère du revers dans le plan de Black-Nichols :

G d B −B O (ω ) Un

S.A

est

stable

en

boucle

Instabl e

fermée, si en parcourant son lieu de

transfert

en

boucle

ω

dans le sens des laisse

le

A

ouverte,

croissants, on

point

Φ BO (ω )

-180°

critique

A(-180°,0 dB) , sur la droite. Stable



Critère du revers dans le plan de Bode : GdB

Un

S.A

boucle

est

stable

ouverte,

la

Log (ω)

la

pour

phase

en

ΦBO(ω)

le

gain

décibels en BO est

<

ω-180

ω-180

boucle ouverte est de -180°,

Instable

Stable

en

à

ω-180

pulsation laquelle

si

- BO (ω)

Log (ω)

en 0 .

-180°

Marges de stabilité : Détermination analytique des marges de stabilité : La marge de phase MP est définie à la pulsation 20LogHBO(jωo)= 0 dB,

ω0,

pour laquelle

par : MP = 180° + Arg HBO(jωo).

La marge de gain MG est définie à la pulsation

ω-180,

pour laquelle

Arg HBO(jω-180) = -180° , par : MG = - 20LogHBO(jω-180) .

24


Détermination graphique des marges de stabilité : GdB

Sur Black-Nichols

- BO (ω)

G dB − B O (ω ) MP -180° MG

Sur Bode

ωo

Sur Nyquist

Log(ω)

ζ (o ,1)

a

MG

Φ BO (ω )

Im H 

BO ( jω )



o

-1

Re  H 

ΦBO(ω)

ω-180

BO ( jω )



MP Log (ω)

MP -180°

MG = 20 log a

Correcteur proportionnel : c ( p )

=b〉1

Toute augmentation du gain en BO provoque une : 

Amélioration de la rapidité et de la précision de l’asservissement ;



Détérioration de sa stabilité et de son amortissement.

Correcteur intégrateur :

c ( p )

=1

p

L’augmenation de la classe en BO provoque une nette amélioration de la rapidité et de la précisionn de l’asservissement, mais son effet pour la stabilité est néfaste.

Correcteur proportionnel-intégrateur (P.I):

c ( p )

=1+

1

τ p

=

1 + τ p

τ p

Ce correcteur permet d’améliorer la précision et la rapidité de l’asservisemnt sans gêner sa stabilité.

25


26


1. Méthode FAST Principe : Un diagramme FAST se présente sous la forme d’un « Arbre » de fonctions partant de la fonction globale ou d’une fonction de service qu’on décompose en plusieurs autres fonctions, pour déboucher finalement sur les solutions techniques permettant de les satisfaire.

Forme générale : Fonction de service

Niveau 1

Niveau 2

FT1

FT11

etc

FT12

etc

FT13

FT131

FP1

FT2 FT3

Niveau 3

Niveau 4

Solution technologique

FT1311

S 1311

FT1312

S1312

etc etc

Lecture d’un diagramme FAST : Sa lecture est basée sur une technique interrogative : « Pourquoi cette fonction doit- elle être assurée ? Comment ? Quand ? » .

Quand ? Pourquoi ?

Comment ?

Fonction technique 12

Participer à la réalisation de la fonction technique 1

Solution constructive

Quand ?

Simultanément aux fonctions techniques 11 et 13

Quand « OU »

Quand « ET »

FT 1 FS

FT 1 FS

FT 2

FT 2

27


2. Méthode SADT Principe : C’est une méthode d’analyse descendante modulaire et hiérarchisée, construite sur des fonctions. Partant de la fonction globale d’un produit, elle en construit une décomposition par niveaux successifs.

Représentation graphique : Les diagrammes SADT sont représentés par un ensemble de boites rectangulaires interconnectées par des flèches, qui traduisent les liaisons entre elles (Boites).

A-O

A1

A2

A3 A0

La représentation met en œuvre le code « MECS » : M : Moyens E : Entrée C : données de Contrôles

S : Sortie

Données de Contrôle :

• •

Energie Commande

•

Décision de l’opérateur Information sur l’état du système

•

Entrée :

• • •

Energie Information Service

Activité : Faire sur les données d’entrée

Sortie Comment ?

Moyens :

• • •

Matériels

Sur quoi ?

Pourquoi ? Que faire ?

Logiciels Personnels

Avec quoi ?

28


Principales règles de syntaxe d’un SADT :

◊ ◊

La décomposition est faite par emboîtement ;

◊

Il est recommandé de décomposer cette boites en 3 à 6 boites ; La numérotation des boites permet de connaître le niveau d’emboîtement ( L’activité A231, par exemple, est la première de la

◊

La première boite distingue la fonction globale, elle est codée A-0 ;

décomposition de l’activité A23 elle-même troisième activité de la décomposition A2 qui est la deuxième activité de A0 issue de l’activité principale A-0) ;

◊

La décomposition peut être poursuivie jusqu’à un niveau de détail jugé nécessaire.

3. GRAFCET : Structure graphique du grafcet Le grafcet est utilisé pour décrire et commander l’évolution du système ; Il permet de représenter : • D’une part les variables

de sortie placées dans les rectangles liés aux étapes ; ( ce sont les « Actions » ou

(T0)

(T1)

« ordres » qui sont les éléments à réaliser par le système : valeur ajoutée à obtenir, évènements souhaités …),

• D’autre

part les variables d’entrée placées à droite du trait représentant les transitions (elles caractérisent l’état du système ou les évolutions réalisées par le système ; elles sont appelées « Réceptivités » du grafcet).

Règle de conception du grafcet : l’alternance Etape–Transition devra toujours être respectée . Vocabulaire :

• Une étape est soit • Variable d’étape :

" active ", soit " inactive " ;

on associera la lettre « X » au numéro d’une étape pour définir une « variable d’étape » ; exemple : X4 est la variable d’étape associée à l’étape 4 ; la variable X4 vaut « 1 » si l’étape 4 est active, et « 0 » si l’étape 4 est inactive.

• •

Une transition peut être « validée » ou non ; « franchissable » ou non. L'ensemble (ou la liste) des étapes actives, définit la " situation" du grafcet à un instant donné ;

Les règles d’évolution Règle 1 : Situation initiale La situation initiale d'un grafcet caractérise le comportement initial du

12

action A

29

Résumé global du cours de Sciences de l'Ingénieur

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