C hav es in ind dicam 0 inicio e 0 fim de uma marca arca9 9ao e um uma XEM M PLO : Em A = {4, 8, vir irg gula separa os elementos. E XE 16}, 4, 8 el6 sao chamados elementos ou integrantes de urn conjun njunto to; os eon j ju untos sao fi fin nitos (acabam ou tern urn eleme elem ento f inal), exceto quando indicado 0 con contrario. lu af iio d e UIIlpa UIIlpat t / ri ri i o. No meio do conju jun nto in indica dica c Olltil l £XEM PL PLO : B = {5, 10, 15, ... ,85, 90}. lit ito o No f im da sequencia indica cOlljullto illfil l (sem elemento f inal). E X EMPLO: C = {3 {3, 6, 9,12, ... }. Estte simbolo signif ica "assim como" Es o"..
I E
S i ig g n i f fi i c a p pe ert ell ce ce..
( to
o C
'l -
EXEMPLO: SeA = {4, 8, 12}, entao
12 E A, porque 0 numero 12 faz faz parte do conju jun nto A . Iliio io pert ellc e. E XE XEMP MPL LO: SeB ={2,4, 6, 8}, entao Signifi fic ca Ili 3 ~ B, porque 0 numero 3 nao integra 0 conjunt njunto o B. C O Olljullt l ljullt o v az io io: urn conju onjun nto que nao conta com nenhum elemento. Tambem pode ser representado por { }. Signifiea Signif iea
subc olljullto
e e graf ado
comoS.
I l li i i i o e sl l bc OlljlllltO ; e representado
por
$.
• a + b e urn numero real; quando se somam dois numeros reais, 0 resultado tambem e urn numero real. £XEM PL PLO : 3 e 5 san numeros reais, 3 + 5 ~ 8, e a som soma, no caso 8, tamhem e urn numero real. • a - b e urn numero real; quando se su subtr tra aem dois numeros reais, 0 resultado tambem e urn numero real. EXE EX E MPLO MPLO : 4 e 11 san nllm nllme eros reais, 4 - I I ~ -7 -7,, e a dif eren9a, no caso -7 -7,, tambem e urn numero real. • (a)( (a)(b b) e urn numero real; quando se multiplicam doi s numeros reai s, 0 resultado tambem e urn nume numero real. EXEMPLO: 10 e -3 sao numeros reais, (10)( )(--3) = -3 -30 0, e 0 produto,, -30, tambem e urn nll produto nl lmero real. • a/b e urn numero real se b >" 0; quando se dividem doi ois s numeros reais, 0 resultado e urn nllmero real, a nao ser que o denomin ina ador (divisor) se j ja a ze zero. ro. E XE M PLO: PLO: -20 e 5 san numeros rea is, -2 -20 0 I 5 = - 4, e 0 quocie ien nte, no casu - 4, tambem e urn numero real.
cad d ae ael l ementod oc onj unt oAtambem oAtambemfa faz z p par art t e Ac Bl ndi caq u eca
2 f t
doB. £ XE M PLO : SeA = {3,6} e B~ {1,3,5,6, 7, 9},entao A CB porque 3 e 6, presentes em A, fazem part rte e de B. IIIlme er o d e S Ub UbCO lljlllltO S S quando 11 equivale ao E 0 IIIlm XEM M PLO : SeA ~ {4, 5, 6},A tern numero de elementos. E XE 8 su subconjunto njuntos s, porque A tern 3 elemento ntos s e 23 = 8.
OPERAC;OES AuB I ndic ndica a
a IIlltaO do con ju jun nto A com 0 B ; todo todos s os elementos deste conju jun nto sao OU urn elemento do co conj untoA OU do B; assim, para unir dois conju jun ntos, e preci cis so agrupa ruparr todos os elementos em urn uni unico con ju jun nto grafa fan ndo apenas uma vez cada urn dos numeros repetid ido os. E X E EMPLO M PLO : SeA = {2, 4,6,8,10, 12} e B = {3, 6,9,12,15, 18}, entao A U B = {2, 3, 4, 6, 8, 9,10,12,15, 18}. illtersef f ii iio do AI l B I ndica a illterse conju onjun nto A com 0 B; todos os elementos fazem parte TAN TO do conjunt njunto o A COMO do B; ou se j ja a, para fazer a interse9a se9aO O, e preciso separar os el elementos que aparecem NOS DO DOllS con j ju untos. EX EM P LO : Se A = {2, 4, 6, 8, 10, 12} e B = {3, 6, 9, 12, 15, 18}, entao All B = {6 {6, 12}.
A
lto t o de I ndica 0 c ompl emel l A; ou seja ja,, todos os elemen!os do co conj nju unto universal que NA NAO O fazem p pa ar tedeA tedeA..£XEM PL PLO :Se
o universal e 0 co conj nju unto numerrosinte nume inteiiroseA ={0,1,2,3, ...} .. .},,entao A={-I ,-2,-3,-4,
• a + b = b + a; pode podem mos somar os numeros em orden ordens s EM PLO : 9 + 15 = disti tin ntas e 0 resultado sera 0mesmo. E X EM 24e 15+9=24, 4,assim9+ 15= 15+9. • (a)( )(b b) = (b)(a) )(a);; podemo podemos s mult ltip ipllicar os numero ros s em PL O : distin inttas ordens e 0 res resultado sera 0 mesmo. EXEM P (4)( )(2 26) = 104 e (2 (26 6)( )(4 4) = 104, assim (4)(26) = (26)(4). • a - b >"b - a; quando alt lte eramos a ordem do dos s numero numeros s na subtra ubtra9 9ao, 0result sulta ado se alt lte era, ou se ja ja,, nao ha prop propriedade EM PLO :8- 2 = 6, mas 2 - 8= comutativa para subtra9ao. £ X EM 8=--{ j j.. .·a/b>" b / a ; quando alteramo teramos s a ordem dos numero numeros s na di divisao, o resultado se alt lte era, ou se j ja a, nao ha pro rop pri rie edade co com mutativa / 8 8 ~ 0,25. MPL P LO:8/2 =4, mas 2 / para a divisao. £ X £ M
• (a + b) + e = a+(b + c) c);; somando os numeros em qua qualq lqu uer disposi9 i9a ao, obtemos 0mesmo result lta ado. EXEMP LO :(2 + 5)+9= 7 + 9 = 16 e2 +(5 + 9)=2 + 14= 16, assim (2 + 5) + 9 = 2 + (5 + 9). • (ab)e = a(be) a(be);; multipli lie eando os numeros em qualq alqu uer disposi9 i9a ao, obtemos 0 mesmo result lta ado. £X£MPLO : (4x5)8 = (20)8 = 160 e 4(5x8) = 4(40) = 160, assim (4x5)8 = 4(5x8). apllica as naoo se ap • A propri rie edade assoc associiativa na asu ubtra9ao ou a divisao. EXEMPLOS :(10 -4) -4) - 2 = 6 - 2 = 4, mas 10 - (4- 2) = 106) / 2 2 = (2)/2 = I, mas 12/(612)= 2 = 8; para divisao ( 1 2 / 6) / )=1 12/3 = 4. Observe que os result lta ados sao distintos.
COMP 0 0lEME l EME N NT T O O -
A
A
de .... }..•.•... --------" ..
Ilume ero de elemen ento tos do cO lljunt o A e I ndica 0 Ilum equivale i t representa<;ao em num nume eros cardinai rdinais s. EXE EX E MPLO MPLO : Se A = {2, 4, 6}, entao 11 (A) = 3. A - B Signif ica equival e a; ou seja ja,, 0 conjun njuntto A e 0 B tern o mesmo numero de elemento ementos s, embora estes nao se ja jam m necessari ria amente os mesmos. E X£ X£MP MPL LO : Se A = {2, 4, 6} e B = {6, 12, 18}, entao A - B, porque 11 (A) = 3 ell (B) = 3.
• a + 0 = a; zero e 0 elemento neutro da ad adi9ao i9ao,, porque seu acrescim acresci mo (soma) nao alt lte era 0resultado. E X EM PLO : 9 + = 9 e + 9 = 9. • a{I)= a{I)=a; I eaidentidade(elementoneutro) eutro)p paraamultip multiplliea9ao porque ao se se multip multipllicar urn numero por I nada muda. £X E M MPL P LO : 23(1) = 23 e (1 (1)23 = 23. • 0 casu da subtr tra a9ao e da divisao, a identidade e urn problema. E certo que 45 - = 45, mas 45 = -45 e nao 45.0 mesmo vale para a divisao: 4 / 1 = 4, mas 1/4 = 0,25 e por isso a identid dentida ade nao permanece em casu de inversao.
°
°
°-
(A)
I I
A (lB = 0 Indica c onjulltos d esarticulados e sem elementos em comum. £ XE MPLO : SeA = {3,4, 5}e B = p,8, 9}, entao A (l (lB B = 0, porque nao ha elementos comuns.
• REF EFL L EXlVA: a = a; amba ambas s as partes da equa9ao sao MPLO: 5 + k = 5 + k. iguais. £ X £ MPLO: • SIM SIME E TRIC TRICA A: Se a = b, entao b = a. Esta propri rie edade permit ite e trocar as duas part parte es de uma equa9ao. £X£M PL PLO :4 a-7 =9 -7a +15 torna-se 9-7a + 15 =4a-7. • TR TRANS ANSITI ITIVA VA:: Se a = b e b = c, entao a = c. Permit rmite e reunir os elementos que fo forrem iguais entre si. £XEM PL PLO : Em 5a - 6 = 9k e 9k = a + 2, pode-se eli lim minar o termo comum 9k e li lig gar 0 termo seguint uinte e a equa9ao: 5a - 6 = a + 2. • PROPRI PROPRIE EDADE DE ADI<;AO DE I GUA UAL L DADE: Se a = b, entao a + c = b + c. Esta propriedade per mite acrescentar qualquer numero ou termo algebrico a qualquer equa9ao a9ao,, desde que ele seja acre cres scido aos dois la lad dos. E XE XEM M PLO:5=5; se f oracrescid oracrescid0 03 a ur urn n lad l ado,aequa9aopassa a ser 8 = 5 (0 que e erra errad do), mas, se 0 mesmo valor fo forr somado nos dois lados, tem-se uma equa9ao corret rreta a: 8 =8 =8.. Tambem 5a +4= 14torna 14torna--se5a +4 +(-4)= 14+(-4) se fo forr acrescido -4 em ambos os lados. Result lta a a equa9ao 5a = 10. • PROPRI PROPRIE EDADE DE MU MUL L T TIPLI IPLIC CA<;AO DE I GUA GUALD LDA ADE: Se a = b, entao ac = bc quand quando o c >" O. Permite mult ltip ipli lic car ambos os lados da equa9ao por urn MPL P LO : Se 4a = -24, entao numero diferente de zero ro.. E X E M (4a)( )(0 0,25) = (-24)( )(0 0,25) e a = -6. No Notte que os dois lado lados s forram multipli fo lic cados por 0,25.
• • • •
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°
A = B Quando todos os ele lem mentos do con j ju unto A tambem faz fa zem parte do eonjunt njunto o B e vice-versa, mesmo aparecendo em ordem diferen ferentte. £XEM PL PLO : Se A = {5, 10} e B = {1O, 5}, entao A = B.
• a{b + c) = ab + ac ou a(b - c) = ab - ac; cada termo dentro dos parenteses deve ser multipli lica cado pelo termo antes do PLO : 4(5 + 7) = 4(5) + 4(7) = 20 + 28 =48. parentese. EXEM PL Trata-se de urn exemplo simples, e a prop proprriedade distributiva nao e necessar ecessariia para a obten9ao do resultado. Quando se tr tra ata de uma vari ria avel, a propr ropriiedade torna-se essencial. £XEM PL PLO : 4(5a + 7) = 4(5a) + 4(7) = 20a + 28.
• a + (-a) = 0; urn numero somado ao seu in inv verso aditivo (numero com sin ina al oposto) semp"e resultara em zero zero.. EXEMPLO : 5 + (-5) = e (-5) + 5 = 0. A exce9ao e zero, porque ° + = 0, porqu porque e 0 zero nao possui simetrico aditi ditivo vo. • a (1I (1I a) = I ; urn numero veze zes s seu in inve verso multipli multiplic cativo ou recip iprroco (numeral escri ritto na f orma de f ra9ao) sempre 5) = I. A exce9a sera igual a I . £X£MPLO: 5( 1 / 5) ce9ao o e zero, porque este numero nao pode ser multi ultip pli lica cado por nenhum outro e resultar em urn pro produto de I .
°
°
•
•
•
N~MERO MEROS S NATURAlS:: NATURAlS p,2, 3, 4, 5, ...... , IIII,, 12, ...... } NUMEROSINTEIROS: NUMEROSINTEIROS: { ,-4,-3,-2,-1 -1,, 0, 1,2,3, 2,3,4 4, .. .... } SEQUENC SEQUEN CIAIS IAIS:: {O, 1,2, ,10, I I, 12, 13, ... ...} } {p / {p / q q I p e q sao numeros NUMERO MEROS S RACION RACIO NAIS AIS:: inteiros, q>"O};os co conjuntos de numeros naturais, numero ros s inteiros e sequenciais, assim como os numeros que podem ser grafa grafad dos em f ra ra90es, sao subcon j ju untos dos numeros raeion raeio nais. {xl x e urn numero real, NUME UMERO ROS S IRRACIONA IRRACIO NAII S: mas nao urn numero racio racion nal}; os conjunto conjuntos s de numero numeros s racionais e irracionais nao tern elemento entos s em comum e por iss.o sao conj untos desarticulados. NUME MERO ROS S REA EAIS IS:: {x I x e a coordenada de ur urn n ponlo em uma linh linha a numerica rica} }; a uniao do conjunl onjunlo o de numeros racionai ionais s com urn conju njun nto de numer ero os ir irra racionais equivale ao .conjunto de numeros ~eai s. NUM NU MERO ROS S IMA IM AGI GINA NARIOS RIOS:: {ai I a e urn numero real e i e 0 numero cu ja segunda potenci cia a e -I -I} }; ;2 = - I ; os conju conj untos de numeros reais e imagin ina arios nao tern el"mentos comuns e sao con con j ju untos desarti artic culados. NUMERO NUME ROS S COMP CO MPLEXO LEXOS S: {a + bi I a e b sao numeros reais e i e 0 numero cuja segunda pOlencia e - I }; 0 conjunto de numeros reais e 0 de imaginarios san subconju jun ntos dos numeros complexos.
e TOTAL ou SOMA e0 resultado da adiyao. Os numeros acrescidos sao chamados parcel as . EXEMPLO: Em 5 +9 =14,05 e 0 9 sao parcelas e 0 14e 0 total. e DIFEREN<;:A eoresultadodasubtrayao. 0 nlimerosubtraido echamado desubtraendo. 0 numero do qual 0subtraendo e extraido e denominado minuendo. EXEMPLO: Em25- 8= 17,025 eo minuendo, 08e0subtraendo e017 eadif erenya. e PRODU TO e0resultado deumaoperayaodemultiplicayao. Os numeros multiplicados sao chamados de fatores. EXEMPLO: Em 15 x 6 ~90, 015 eo 6 sao fatores e0 90 e 0 produto da multiplicayao. e QUOCIENTE e 0 resultado de uma divisao. 0 numero dividido e chamado de dividendo e aquele pelo qual ocorre a divisao e chamado de divisor. Se restar urn numeral nofi nal daoperayao dedivisao, ele recebe 0nome de resto. EXEMPLO: Em 45 .;- 5=9, quetambem pode ser representado por 45Li.(le-se 5 divide 45) ou 45/5, 045 e o dividendo, 0 5e 0 divisor e 09 e0 quociente. e 0 EXPOEN TE indica 0 numero de vezes que a base e multiplicada por si mesma, isto e, funciona como urnfator. EXEMPLO: Em 53, 0 5 e a base e 0 3 corresponde ao expoente e 53 =(5)(5)(5) = 125. Observe que a base, no caso 5, foi multiplicada por si mesma 3 vezes. e NUMEROS PRIMOS sao numeros naturais maiores que 1 e que possuem apenas dois divisores: ele mesmo e 0 numero 1. EXEMPLO: 7 e urn numero primo porque pode ser dividido apenas por 7 epor 1; 13e urn numero primo porque pode ser dividido apenas por dois divisores: 13e 1. e NUMEROS COMPOSTOS sao numeros naturais que possuem mais de dois divisores. EXEMPLO: 15 e urn numero composto porque 1, 3, 5 e 15 podem ser multiplicados eresultar em 15;9 e urn numero composto porque 1, 3 e 9 podem ser multiplicados e resultar em 9. e oMA.xIMO DIVISOR COMUM(MDCl deurncon junto denumeros e0maior numero natural quepode dividir cada um dos numeros de urn conjunto; ou se ja, 0 maior numero natural que dividira todos os numeros do con junto sem resto. EXEMPLO: 0 maximo divisor comum de 12,30 e42 e 6, porque 6 e 0 maior numero que divide igualmente 12, 30 e 42 sem deixar resto. eo MINIMO MULTIPLO COMUM (MMCl de um conjunto de numeros e 0 menor numero natural que pode ser dividido emuma conta exata (sem resto) por todos os numeros do corijunto. EXEMPLO: 0 minimo multiplo comurn de 2, 3e4 e 12, porque, embora todos os numeros docon junto sejamdivisores exatos dediversos dividendos, como 48,36,24 e 12,0 menor e 12. eo DENOMINADOR deuma f rayao e 0 numero que f ica embaixo e indica 0 divisor dareferida f rayao. EXEMPLO: No caso de 5/8, 0 numero 8e 0denominador e tamb"m 0 divisor da divisao. eoNUMERADORde umafrayaoe0 numeroqueficaemcima, ouseja,0dividendodaoperayaodedivisaoexpressanaf rayao. EXEMPLO: No casodafrayao 3/4, 0nlimero 3eo numerador etambem corresponde aodividendo daoperayao dedivisao.
o Teorema
Fundamental da Aritmetica determina que todos os numeros compostos podem ser grafados como urn produto unico dos numeros primos. EXEMPLO: 15=(3)(5), em que 15 e composto e tanto 3 como 5 sao primos; 72 = (2)(2)(2)(3)(3), em que 72 ecomposto etanto 2 como 3 sao primos; note que 72equivale a(8)(9), mas isso nao demonstra o teorema, porque nem 8 nem 9 sao numeros primos.
e DESCR1<;:AO:Aordemnaqual seefetuaaadi,ao, asubtra,ao, a multiplica,ao ea divisao determina 0 resultado. eORDEM 1.Parenteses: Quando houver, todas as operayoes grafadas entre parenteses devemser f eitas primeiro. 0 mesmo vale para os simbolos { }(chaves) e [] (colchetes). 2. Expoentes: Numerais com expoentes sao solucionados em segundo lugar, quando houver. 3. Multiplica9ao e Divisao: Estas opera,oes devem ser solucionadas em terceiro lugar, obedecendo it ordem em que aparecem, daesquerda para a direita. 4. Adi9ao e Subtra9ao: Estas operayoes devem ser solucionadas em quarto lugar, obedecendo it ordem em que aparecem, da esquerda para adireita.
eA CASA DECIMAL decadadigito emumnumero debase dez depende desua posiyao emrelayao it virgula decimal. A posiyao dos numeros representa a multiplicayao por dez. EXEMPLO: Em324, 03equivalea300porquee 3vezes 102 (102 = 100).02 equivale a20 porque e2 vezes 101 (101 = 10) e0 4 equivale a4 vezes porque e4 vezes 100 (100~1). Existe uma virgula decimal invisivel it direita do 4. Em 5,82,05 equivale a5vezes 1porque e5vezes 100(100=1), o 8 equivale a 8 vezes um decimo porque e 8 vezes 10- 1 (10-1 =0,1 = 1/10) e 0 2 equivale a 2 vezes urn centesimo porque e 2 vezes 10-2 (10-2 =0,01 = 1/100).
e Regra: Sempre divida por urn numero inteiro. e Se0 divisor f or umnumero inteiro, simplesmente divida e traga a virgula decimal para 0 quociente (resultado). EXEMPLO:
0,16~ \..-0,04
e Se 0 divisor for um numero decimal, coloque a virgula decimal atras do ultimo digito. Mova avirgula decimal no dividendo, namesma quantidade de"casas". Divida etraga avirgula decimal para dentro do quociente (resultado). EXEMPLO:
3~~
t
" -.1 . 0, e Esse processo f unciona porque tanto 0 divisor como 0 dividendo sao de fato multiplicados por uma potencia de dez, isto e, 10, 100, 1000 ou 10000, para mover a virgula decimal. EXEMPLO:
.3...S
x 100 = 350 0,05 x 100 5
= 70
e Escreva 0 numero que esta depois davirgula decimal na posiyao denumerador (em cima) da f rayao. e Escreva a casa decimal do ultimo digito como denominador (embaixo) dafrayao. Todososnumeros it esquerda da virgula decimal sao numeros inteiros. EXEMPLO: Em 4,068,0 ultimo numero antes davirgula decimal e 0 8, que ocupa a casa dos milesimos. Por isso, 4,068 e representado por 41g g " e Noteque 0 numero de zerosno denominadorequivale ao de digitosexistentes depoisdavirgu1anonumerooriginal.
e Escreva os numeros decimais navertical alinhando pelas virgulas, para que as casas decimais correspondentes fiquem uma sobre as outras. e ADI<;:AO EXEMPLO: 23,045 +7,5 +143 +0,034 ficaria: 23,045 7,5 143,0 porque existe uma virgula decimal 0,034 apos 0 numero 143. 173,579
e Escreva os nlimeros decimais na vertical alinhando pelas virgulas, para que as casas decimais fiquem uma sobre as outras. e Acrescente zeros apos 0 ultimo digito depois da virgula decimal no minuendo (numero doalto) senecessario (tanto o minuendo quanta 0 subtraendo devem ter 0 mesmo numero de digitos apos avirgula decimal). e EXEMPLO: Em 340,06 - 27,3057, 0 340,06 temapenas 2 digitos apos a virgula e por isso epreciso acrescer zeros, uma vez que 27,3057 conta com4 digitos apos a virgula. Assim, aoperayao passa a ser: 340,0600 - 27,3057.
e Conte 0 numero de digitos depois da virgula decimal em todos os fatores. e Conte 0 numero de digitos depois davirgula decimal no resultado. Essenumero deveapresentar amesmaquantidade dedigitos apos avirgula decimal emtodos osfatores. Nao e precise alinhar os fatores pela virgula para fazer a multiplicayao. EXEMPLO: Em (3,05)(0,007), multiplique os numeros e conte os 5 digitos que estao depois da virgula demodo a colocar cinco digitos depois da virgula no resultado da opera,ao. Assim, (3,05)(0,007) =0,02135. Esse processo funciona porque 0,3 multiplicado por 0,2 pode ser grafado naforma de frayao, 3/10vezes 2/10, que equivale a6/100etambem a 0,06 como numero decimaldois digitos depois da virgula decimal no problema e tambem noresultado.
e Seosnumeros a serem somados tiverem 0 mesmo sinal, SOME-OS. 0 resultado tambem tera 0 mesmo sinal. EXEMPLOS: (-4) +(-9) =-13 e5 + 11=16. e Seos numeros aserem somados tiverem sinais diferentes, SUB TRAIA-OS. 0 resultado vai apresentar 0 sinal do numero mais alto (ignore os sinais ou considere apenas 0 valor absoluto dos numeros para identificar 0 maior). EXEMPLOS: (-4) + (9)~5 e (4) + (-9) = -5.
e Mude a subtra9ao para adi9ao do numero oposto; a- b= a+(-b); ou se ja, altere 0 sinal desubtrayao pelo deadiyao e mude0 sinal do numero quevemdepois dosinal desubtrayao para 0 sinal contrario. V ejaasseguintesregras deadiyao: EXEMPLOS:
(8) - (12) ~(8) +(-12) = - 4; (-8) - (12) =(-8) +(-12) =-20; (-8) - (-12) ~(-8) +(12) =4. Observe que 0 sinal do numero em frente ao sinal de subtrayao nunca se altera.
Em multiplica,ao e divisao, siga estas regras para determinar 0 sinal do resultado: e Seos numeros tiverem 0 mesmo sinal, 0resultado sera POSITIVO. e Se os numeros tiverem sinais dif erentes, 0resultado sera NEGA TIVO. e No caso de urn numero ser maior que outro, aplicamseas mesmas regras acima para determinar 0sinal do resultado. EXEMPLOS: (-2)(-5) ~10; (-7)(3) ~-21; (-2)(9) =-18.
NEGATIVO DUPLO e -(-a) =a, ou se ja, 0 sinal na frente do parentese muda 0 sinal do conteudo entre parenteses. EXEMPLOS: -(-3) ~ +3; -(3) =-3; -(5a - 6) =-5a +6.
• Dividanumerador (emcima) edenominador( embaixo) pelo mesmo nlimero, obtendo umafra9aOequivalente comtermos menores. 0 processo pode ser repetido.
20 + 4
EXEMPLO:
S
"8
32+4
ADlc;io t+~=~
onde uO
comum.
1
S
.
EXEMPLO: No caso de "3 + 4 + 6" slga estes passos:
1.1dentifique 0minimo denominador comum determinando o menor numero pelo qual podem ser divididos de forma exata (sem resto) todos os denominadores. EXEMPLO: 3, 4 e 6 san divisores de 12. 2.Multiplique 0numerador e0denominador decada fra9aOde modoque0valornao mude,mas queseobtenha0denominador comum. !x~ ~x~ _ ~ ~ 10 EXEMPLO' . 3 x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 - 12 + 12 + 12
~x.i
3.Some os numeradores emantenha 0mesmo denominador, porque a soma das fra90es depende de partes iguais.
A
EXEMPLO:
+
4± significa 4+± EXEMPLO: • Fra90es improprias saofra90escomumnumerador (nlimero superior) maior do que 0denominador (numero inferior). • Conversoes I.Numero misto para fra9ao impropria: Multiplique0denominador(embaixo)pelonumerointeiroesome0numerador(em cima)paraencontrar 0numerador dafra9aoimpropria. 0 denominador dafra9aOimpropria 60mesmo do nUmeromisto.
(+} EXEMPLO: 52= 3x5+2
• Mude para fra90es equivalentes com urn denominador 2
Aspecto gerais • Definifiio de nitmeros mistos:Numeros inteiros seguidos defra90es; ou seja, numero inteiro acrescido deumafra9aO.
{2 +f~=i~ {2 =1t =1
to
=12
3 3 2.Fra9iioimpropria paranumeromisto:Di vida0denominadorpelo numeradoreregistre0restosobre0divisor(0divisor60mesmodo denominadordaf ra9aOimpr6pria). EXEMPLO'
17 signif ica 17l2.-.
. 5
1§ 3~ 2
c
c
c
onde co"O
t
EXEMPLO: ~2. Multiplique 0 numerador e 0 denominador pelo mesmo numero de modo que 0valor da fra9aOnao mude, mas se obtenha 0denominador comurn.
~-*~j=~- J
EXEMPLO: 3.Subtraia osnumeraaores emantenha 0mesmo denominador, porque a subtra9aO das fra90es consiste em encontrar a dif eren9a entre as partes iguais.
5
• Some os numeros inteiros. • Some asfra90es seguindo os passos daadi9aOdescritos na respectiva parte deste guia. • Se0 resultadoconstitui umafra9aOimpr6pria,mude-aparaurn nllineromistoesome; nume:ointeiro@re~SUltante aor;sultado~nal. EXEMPLO' . 4 + 7 - 5 =11-5 =11+ 1-= 12-5 5 5
• PRIMEIRO SUBTRAIAA FRAC;AO. 1.Sea fra9ao do numero maior for maior do que a fra9aOdo nUmeromenor,sigaosprocedimentos parasubtra9aOdefra90es descritosnesteguia eemseguida subtraia osnumeros inteiros. EXEMPLO:
~-2i=S~=St
7
2.Caso contnirio, "empreste" UM donumero inteiro esomea fra9aO (6 preciso que os denominadores se jam comuns) antes de subtrair. 6':' =S +1.+~=S2. EXEMPLO:
, 5
7
7
- 37" =
7 5
- 37"
2,!
ATALHO PARA 0 "EMPRESTIMO": Siinplifique 0 numero inteiro porum, substitua 0numerador pela soma (adi9aO) do numerador e do denominador da fra9aO e mantenha 0mesmo denommador. /"'<
6~ =5 +L !:. J .=52
~
7~
~
EXEMPLO:
-32= 7
c
d
cxd
e dol'O
2.0U sirnplifique todos osnumeradores (emcima) comqualquer denominador (embaixo) edepois multiplique osnumeradores e os denominadores.
-t.
Transforme os numeros mistos em uma fra9aO impropria e siga os passos para multiplica9aO e divisao de fra90es.
entreduasquantidades. • Dejinifiio: COmpara9aO • Formas: 3 para 5, 3:5, 3/5, 3 . 5
1I.+Q=1I.x.d= axd onde c*O' M O' b;tO d
c
b
cxb
"
.NAO e preciso achar denominador comum. 1. Troque 0 sinal de divisiio pelo de multiplica9ao; ou seja, inverta a fra9aO que funciona como divisora e inverta 0sinal da Opera9aO.
-t
t
passa parat x EXEMPLO: t + 2.Em seguida, efetue a opera9iio de multiplica9iio como indicado acima. 2 1 EXEMPLO:
~ x %- 2 J f3 £ 1 - 3
I I
-
Areado Retfulgulo: A=hb; seh=4 eb=12, entao: A=(4) (12), A=48 unidadesquadradas. Areado Triingulo: A=b x hl2;seh=8 eb=12, entao: A=12x 8/2, A=48 unidadesquadradas.
b
~
b
~ b bl
AreadoTrapezio: A=(b[+bl)hJ2; seh=9, b1=8 e bl=12, entao: A=(8+ 12)9/2, A=9 x20/2, A=90 unidades quadradas.
bl
Areado Cfrculo: __ A=nr2; se n=3 ,14 e r=5, entao:A=(3,14) (5)2, A=(3,14) (25), A=78,5unidades quadradas. Circunferencia:C=2nr,C=(2)(3,14)(5) =31,4unidades. ~b
a
Volumedo PrismaRetangular: V=lwh;se1=12,w=3 eh=4, entao: V=(12) (3) (4), V=144unidadesctibicas.
he:t:P e[]J
I
w
Volumedo Cubo: V=e3, ja que emurncubatodos oslados, e, tern o mesmo tamanho. See=8, entao:V=(8) (8) (8), V=512unidadesctibicas. VolumedoCil indro: V=nr2h; ser=9 eh=8, entao:V=n(9)2(8), V=3,14(8I)(8), V=2034,n unidadesctibicas.
e
e
~h
Volumedo Cone: V=1I3nr2h; ser=6 e h=8, entao: V=1I3n(6)2(8), V=113(3, 14)(36) (8), V=301,44unidadesctibicas. VolumedoPrismaTri angular~ V=(areadotriangulo)h; se ternarea 12 igual a 1/2(5)(12), entao: V=30h, eseh=8, entao:V=(30)(8), V=240unidades cubicas. VolumedaPirfunidedeBaseRetangular: V=I/3(area do retingulo)h; se1=5e w=4, 0retangulo ternareaigual a 20, entao: V=1I3(20)h, eseh=9, entao:V=1I3(20)(9), v=60 unidadesctibicas. VolumedaEsfera: V=~\; ser=5, entao: V=~, V= J 5ffr,523,3 unidadescubicas.
• Percentual e numeros decimais I.Paramudar urn percentual para urn numero decimal, mova a vfrguJaduas casas para aesquerda.
DIVISio c
AreadoQuadrado: A=hb; seh=8 e b=8, pois oslados doquadrado sao h do mesmotamanho, entao: A=64 unidades quadradas.
RAZAO, PROPOR AO E PORCENTAGEM
2
x i f =1.,31 lZ6 3
EXEMPLO:
7 7
• NAO e preciso achar denominador comum. 1. Multiplique osnumeradores (emcima) emultiplique os denominadores (embaixo). Emseguida,simplifique 0resultado. 2 6 _ 12 +12 _ 1 12 -1" EXEMPLO: 1"x 12 - 36 +
I
7
-32 2. ±
MULTIPLlCAc;io 1!. x Q =a x b onde co"O
Volume: 0 volume, V,deuma formatridimensional e0 ntimero de unidades cubicas (unidades de volume: m3, cm3 etc.) que podemser colocadasno espa~odelimitadopelos lados dafigura.
TeoremadePitagoras: Seurntriingulo retfulZuJ oternhipotenusac elados a e b, entao c =a2+b2
•Altere asfra90es equivalentes para adotarum denominador comum. I. Encontre 0minimo denominador comum determinando 0 menor valor que podeser dividido sem resto por todos os denominadores (n6mero inferior daf ra9aO).
EXEMPLO:
por UffUl combinagiio que multipli ca bases e alturas, as quais sempre formam entre si iingulos de 90°, exceto em cfrculos.
AreadoParalelogramo: A=hb;seh=6 eb=9, entao: A=(6)(9), A=54 unidadesquadradas.
SUBTRAc;io _ a- b 1!. _ Q=
Perimetro: 0 perfmetro, P,deuma forma bidimensionaJ e a soma do comprimento detodos os seus lados. Area: A area, A,de uma forma bidimensional e 0 ntimero de unidades quadradas (unidadesdearea: m', cm' etc.) quepodemser colocadas dentro do espa~odelimitadopelos lados dafigura. Obs.:A area e obtida
EXEMPLOS:
45%
=0,45 ;
6%~
125%
1,~
=
o,Q §; 3,50/o~O~5
;
2.Paramudarurnnumero decimal para percentual,movaa virgula duas casaspara adireita. EXEMPLOS: 0,47 = ~%; 3,2 = 3~%; 0,205 = ~5 %
• Definifiio: Porcentagem significa "por 100"ou"emcada 100:' • Percentual e fra90es equivalentes 1.Percentuais podem ser escritos como f ra9aO, com 0numero • Definifiio: Rela9aOda igualdade entre duas fra90es ou razoes. sobre 100 e simplificando ou reduzindo. • Formas: 3esmpara5 como 9esmpara 15,3:5 ::9:15,~ =[95 3 30% ={ o o o =1 0
4,5%=~=
1 9 ~0 =2 g 0
2.A s fra90es podem ser transformadas em porcentagens adotando 0 denominador 100. 0 numerador 6 0 numero percentual.
• Solu~ao: modifique as fra90es para fra90es equivalentes com denominadores comuns, encontrenumeradores(emcima) iguaise resolvaaquestiio.EXEMPLO: =- 1 tr ' 1 tr =-1 tr ,n =15
t
• M ultiplique em cruz eresolva a equa9ao resultante. =21+5 =41EXEMPLO: ll.'uI'.1 5 =21 7'''''5' n ,n , n 5
• Variaveis sao tetras usadas para representar numeros. • Constantes sao numeros especi ficos que nao sac multiplicados
por qualquer variavel. • Coeficientes sac numeros multiplicados por uma ou mais variaveis. EXEMPLOS: -4xy tem um coeficiente de -4; 9 m3 tern urn coeficiente de 9; x tern urn coef iciente invisivel de 1. • T ermos sao express5es constantes ou variaveis. EXEMPLOS: 3a; -5c4d; 25mp3r5; 7. • T ermos semelhantes ou iguais sao os que tern as mesmas variaveis ao mesmQgrau ou valor exponencial. as coeficientes nao se alteram e podem ser iguais ou nao. EXEMPLOS: 3m' e7 m' sao termos similares porqueambos tern a mesma variavel a mesma potencia ou ao mesmo valor
% do aumento _ total do aumento ou 100 valor ongmal (valor original) x (% do aumento) = total do aumento Se0 total do aumento nao for inf ormado, pode ser obtido por meio daseguinte opera,ao: (valor novo) - (valor original) = total do aumento. EXEMPLO: A empresa X tinha 10.000 empregados em 1992 e 12.000 em 1993. Percentual do aumento = 12.000 - 10.000 = 2.000 FORMULAS:
• Tipo I: a(e +d) =ac +ad. EXEMPLO: 4x3(2xy +y' ) ~8x4y +4x3y2 • Tipo2: (a+b)(e+d)~a(e+d)+b(e+d) =ae+ad +be+bd EXEMPLO: (2x+y) (3x - 5y)~2x(3x- 5y)+y(3x- 5y) ~6x' I Oxy+3xy- 5y2 ~ 6x' - 7xy- 5y20mesmo pode ser feitocom oMetodo FOIL para Produtos deBinomios (vejaoResumiioALgebra 1). Trata-se de urn metodo para a multiplica,ao envolvendo apenas dois termos, que consiste em multiplicar primeiros term os por primeiros termos, term os extern os entre si, term os internos entre si e ultimos termos tambem entre si.
COMBINA~AO ADI~AO OU SUBTRA~~Q
FORMULAS'
valor com desconto = prevo original
---10-0-au (pre,o original) x (% do desconto) = valor com desconto Para caleular, (valor com desconto) =(pre,o original) (pre~o novo). EXEMPLO: A empresa X passou a vender por R$ 150 os ternos oferecidos a R$ 250. Qual 0 desconto? R$100 '0 d0descon t0 T OnO =R$250 0 '
assim n =40 e%do desconto
• Elimine todas as fra~oes usando a Propriedade de Multiplica,ao de Igualdade (pode apresentar erro se mal aplicada). EXEMPLO: 1/2 (3a + 5) = 2/3 (7a - 5) + 9 seria multiplicado nos dois lados do sinal de igual pelo menor denominador comum de 1/2 e 2/3, no caso 6, resultando 3(3a +5) = 4(7a - 5) +54. Note que apenas 0 1/2,02/3 e o 9 foram multiplicados por 6, mas nao 0 conteudo dos parenteses, que serao solucionados em seguida. • Simplifique e remova todos os parenteses que houver. EXEMPLO: 3(3a + 5) = 4(7a - 5) + 54 fica 9a + 15 ~ 28a - 20 +54. • Combine os termos semelhantes situados do mesmo lado do sinal de igual. EXEMPLO: 9a + 15~ 28a - 20 + 54passa a ser 9a + 15= 28a +34porque os unicos termos semelhantes do mesmo lado eram -20 e +54. • Use a Propriedade de Adi~ao de Igualdade para somar termos semelhantes do mesmo ladodosinal deigual, mais de umavez seforpreciso. 0ob jetivo serareunir todos ostermos comamesma variavel domesmo ladodosinal deigual etodas as constantes sem variaveis do outro lado do sinal. EXEMPLO: 9a+15= 28a+34passaa ser 9a+15- 28a - 15 ~28a+34- 28a -15. Note quetanto -28ae-15f oramsomados nos dois ladosdosinal ao mesmo tempo. 0resultado passaa ser -19a = 19apos asubtra,ao ou adi,ao dos termos. • UseaPropriedade deMultipliea,ao deIgualdade paraachar 0 coeficientedavariavell.EXEMPLO: -19a= 19seriamultiplicado amambasaspartespor -1/19(oudivididopor -19)parachegara I diantedea, eaequa,ao resultaemla =19(-1/19)oua~-1. • Confirme 0 resultado substituindo-o pela variavel na equa~ao original para ver se nao h:i erro.
% das despesas = despesas em R$ . 100 renda total ou (renda total) x (% das despesas) = despesas em R$ EXEMPLO: Uma empresa apresentou um f aturamento bruto de R$250.000 elucro liquidodeR$ 7.500. Calculeopercentual das despesas. Despesas: ~R$ 250.000 - R$ 7.500 =R$ 242.500. d d . n _ 242500 as espesas. 100- 250000 Assim, n = 97 e % das despesas = 97%. 0/
/ 0
40%
=
comissao em R$ 100 vendas emR$ (vendas em R$) x (% da comissao) =comissao em R$ EXEMPLO: Um corretor ganhou 4% sobre a venda de uma casa por R$ 125.000. Caleule a comissao. % dacomissao' -- =L _ comissao em R$ o . 100 R$125.000 ou (R$ 125.000)x (4%) =comissao emR$ =R$ 5.000.
, AS % damargemdelucm _ margemdelueroemR$ F0 RMUL: 100 pre,ooriginal ou (pre~o original) x (%da margem de lucro) = margem emR$ Paracalcular,(margem emR$)=(pre,o novo)- (pre~ooriginal) EXEMPLO: Uma empresacomprablusaspor R$ 20 e vendepar R$44a unidade. Calcule0percentual damargemdelucra. D
• REGRA: Combine (some ou subtraia) apenas os coeficientes dos termos semelhantes e jamais mude os expoentes durante a opera,ao de adi,ao ou subtra,ao. a +a = 2a EXEMPLOS: 4xy3e-7y3x sao termos semelhantes, embora xey3nao estej amnamesma ordem epossam sercombinados deste modo: 4xy J +-7y J x ~-3xy3 (note que sooscoeficientes foram combinados, porem os expoentes nao mudaram); -15a'bc e 3bca5 nao sao termos semelhantes, porque os expoentes de a sao distintos e nao podem ser somados ou subtraidos.
~~
/ ~:iw
% DE DESPESAS
nao sao, porque, apesar da mesma variavel, x, urn esta elevado
• Inequa~oes algebricas sao equayoes que apresentam ossinais de >, <, > ou < entre dois termos. EXEMPLOS: 50 < -2x e uma inequa,iio algebrica, assimcomo3(2n+7) >-10.
O /d / 0
n _ 2000 n ~ 20e% do aumento =20% % do aumento 100 - 10000 porque % significa entre 100 .
();
exponencial. -15a6b e6a6b saotermos similares, mas 2x4 e6x3
a potencia 4 eoutro a potencia 3. • Expressiies algebricas saotermos relacionadospela adi,ao ou subtra,ao. EXEMPLOS: 2s +4a' - 5e umaexpressaoalgebrica comtrestermos, 2s, 4a' e5. .Equa,iies algebricas saorela,5es deigualdadeentrenominimo dois termos. EXEMPLOS: 4z = 28 e uma equa,ao algebrica, assimcomo 3(a- 4)+6a~10.Observequeambososintegrantes tern sinal igual.
, % dareduyao FORMULAS: 100 valor original ou (valor original) x (% da redu~ao) = total reduzido Para caleular, total reduzido = (pre,o original) - (pre,o novo) EXEMPLO: Uma empresa tinha 12.000 funcionarios em 1993 e 9.000 em 1994. Calcule a redu,ao. Total reduzido = 12000 - 9000 = 3000 d -. n _3000 are u,ao. 100 - 12000 Assim, n = 25 e % daredu,ao = 25%.
24
margememR$ ~R$ 44 - R$ 20~R$ 24% damargem deluera:100= 20 Assim n =120e% damargem de lucro =120%.
% dolucra lucra emR$ FORMULAS: 100 total do ganho em R$ ou (total do lucro em R$) x (% lucro) = lucro em R$ Para caleular, lucro R$ =(total do ganho) - (despesas). EXEMPLO: Uma empresa tem despesas deR$ 150.000 eurn lucra de R$ 10.000. Caleule 0 percentual do lucro. Total do lucro = R$ 150000 +R$ 10.000 = R$ 160.000 . n 10000 % d I o 0 ucra. 100 = 160000 aU(R$160.000)x ( n ) ~ R$10.000.Emambososcasas,lucro= 6,25%.
35 ~ (3)(3)(3)(3)(3); isto e, 3 recebe 0 nome de baseeemultiplicado por si mesmo 5vezes, pois 0expoente e 5. am= (a)(a)(a) ...(a); ou seja, 0 a e multiplicado por si mesmo mvezes. • Multiplica,ao de mesma base (bases iguais): (amHan) =am+n; conserve a base esome os expoentes, no caso a, ou seja, apenas some os expoentes. •M Ultipliea,ao dos termossemelbantes: Multiplique todos os termos e nao so os semelhantes. • REGRA: Multiplique oscoeficientes eas variaveis (quer dizer, some os expoentes com amesma variavel). EXEMPLO: (4a4c)(-12a'b J e) =-48a6b3c2, Note que 4 vezes -12 resulta -48, a4 vezes a2 e igual a a6, c vezes e resulta e' e b3 foi grafado para indicar a multiplica,ao por b, mas 0 expoente nao muda no caso de b porque havia apenas um b no problema.
FORMULAS: i =prt. ou (valor total) = (principal) + juros Em que i = juras p = principal; soma emprestada r = taxa de juros t ~ tempo; expresso nomesmo periodo que ataxa dejuras. Por exemplo: se a taxa for anual, 0 tempo econtado emanos ou partes dele. Sef or mensa I, caleulam-se os meses. EXEMPLO: Umcliente emprestou R$ 5.000 de um banco a uma taxa de 6% ao ano. Ao devolver 0dinheira apos 3meses, quais osjuras aplicados? juros em R$ = prt = (R$ 5.000)(6%)(0,25) =R$ 75 Observe que os 3 meses equivalem a 0,25 de um ano. Soma total = p + i = R$ 5.000 + R$ 75 ~R$ 5.075.
FORMULA: A=p(l+.ft)Dt Em que: A ~ valor total p = principal; soma emprestada r = taxa de juros, em geral anual t = tempo, emgeral expresso em anos numero total de periodos n= A=p(1
+i-)nt
depositou R$ 100 em uma
A = 100(1 + .044)(4x8)
caderneta depoupan,a com
A = 100(1.01)32 A = 100(1.3749)
A
137.49 =
Barros, Fischer &Associados
• Defini fiio:
• Sigaos mesmos procedimentos para solucionar uma equa,ao deprimeiro grau descritaao lado, exceto no seguinte aspecto: • Exee,ao: Ao aplicar a Prapriedade de Multiplica,ao, 0 sinal de desigualdade deve mudar se voce multiplicar por um numera negativo. EXEMPLOS: 4m >-48, 4m(1/4) >-48(1/4), m> -12; -5x> 65, -5x(-1/5) <65(-1/5), x <-13
:~~''fiW:
JUROS COMPOSTOS
Resumao Tradu~ao:Monica Tambelli Edi,ao: MarciaMenin Arte: MauricioCiof fi Consultora: CristianeCoppe Rev isao:
Marcia
Menin
Resumao- Matematica(Serie de C ia nc ia s Exat as, n' 7)eumapublica,ao daBarros.Fischer& Associados,soblicen,aeditorialdeSpringPublishingGroup.Inc.© BarCharts,Inc.2002.USATodososdireitosreservadas. A serie de resumos de ciencias exatas e urna criativa f onte de consulta para s er usada em sala d e aula, como f erramenta de apaio na reaIiZ8y8.0 de tarefas escolares e como f orma de memorizac;ao durante a revisac antes das provas. Duravel e de b aixo custo, esta f erramenta de estudo vai acompanhar voce ate mesmo depois da conclusao de seus e studos.
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Atengao
E
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,ao do editor.
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